1

Modelos para Risco de Crédito 3:

KMV Análise de Risco (11)

R.Vicente

2

Resumo

IntroduçãoEstimação do valor de mercado e volatilidade dos ativos Cálculo da Distância-para-defaultCálculo da Probabilidade de DefaultBibliografia

3

Principal Diferença

KMV Credit Risk+ e Credit Metrics

Probabilidade de defaultcalculada para cada ativo

Probabilidade de default determinada pela taxa média para cada classificação de crédito

4

Idéia Geral

DD = Distance-to-default

EDF = Expected Default FrequencyTM

Taxa esperada de crescimento

5

Estimação do valor de mercado dos ativos: Modelo de Merton

Exemplo: Fundo mútuo: $20 de capital dos sócios , $80 emprestados, $100 investidos em ações.

ATIVO PASSIVO

$100

$80

$20

Após 5 anos os ativos serão vendidos e distribuídos entre sócios e credores.

6

Estimação do valor de mercado dos ativos: Modelo de Merton

ATIVO PASSIVO

$100 $80

$20Qual o valor de mercado das ações deste fundo no final dos 5 anos ?

80 VA

V

0

7

Estimação do valor de mercado dos ativos: Modelo de Merton

ATIVO PASSIVO

$100 $80

$20

Qual o valor de mercado das ações deste fundo antes de 5 anos ?

80 VA

V

0

Valor de uma CALL sobre o ativo do fundo com strike em $80.

8

Estimação do valor de mercado dos ativos: Modelo de Merton

( ) ( )1 2rT

E AV V N d e XN d= −

2

1

2 1

ln2

A A

A

A

Vr T

Xd

T

d d T

σ

σ

σ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜⎟⎜ ⎟+ +⎜⎟⎜ ⎟⎟ ⎜⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

= −

1( )A AE A A

E E

V VN d

V Vσ σ σ= Δ =

9

Distância para Default

Valor de Mercado Ponto

Distancia de Defaultdos Ativos

Valor de Mercado Volatilidade para Default

dos Ativos dos Ativos

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Ponto de Default = STRIKE (X)

= Dívida de Curto Prazo + ½ Divida de Longo Prazo

10

Probabilidade de Default

0

0

Pr

Pr ln ln

tt tA A A

ttA A A

p V X V V

V X V V

⎡ ⎤= ≤ =⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= ≤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

11

Probabilidade de Default

2

ln ln2

t AA A A AV V t t

σμ σ ε⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

Assumindo uma dinâmica browniana geométrica:

A probabilidade que se deseja calcular é equivalente à probabilidade da Call com strike Xt “virar pó” em t :

2

Pr ln ln2A

t tA A Ap V t t X

σμ σ ε

⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥⎟= + − + ≤⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

12

Probabilidade de Default

Rearranjando:

2

Pr ln ln2A

t tA A Ap V t t X

σμ σ ε

⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥⎟= + − + ≤⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

2

ln2

Pr

A AA

tt

A

Vt

Xp

t

σμ

εσ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟+ −⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥= ≥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

13

Probabilidade de Default

Como ´é um choque normal :

2

ln2

A AA

tt

A

Vt

Xp N

t

σμ

σ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟+ −⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ε

14

Ligando Probabilidade de Default e Distância para Default:

2

ln2

A AA

tt

A

Vt

Xp N

t

σμ

σ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟+ −⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2

ln2

A AA

t

A

Vt

XDD

t

σμ

σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟+ −⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠=

DD é o número de desvios padrão entre o valor de mercado dos ativos e o Ponto de Default:

15

Ligando Probabilidade de Default e Distância para Default:

[ ]tp N DD= −

16

Obtendo probabilidades de default reais a partir da DD

[ ]tp N DD= −Assumindo que os ativos seguem um processo estocástico browninano geométrico e homocedástico:

Uma curva empírica é utilizada para corrigir os

efeitos do processo estocástico assumido:

[ ]EDFtp DD= −

17

Exemplo 1

Utilizando o mapeamento empírico: EDF = 25 bp (0,25%)

Utilizando o modelo normal: p= 2 bp (0.02%)

18

Exemplo 2

19

Comportamento do Ativo versus Passivo em um Default Real

20

KMV e S&P em um Default Real

21

Bibliografia

•Crouhy M. Galai D. e Mark R., A comparative analysis of current credit risk models, Journal of Banking and Finance 24 (2000) 59-117.

•Crosbie, P.J. e Bohn J., Modeling Default Risk, KMV, 2002

Leitura ComplementarMerton, R. On pricing of corporate debt: The risk structure of interest rates. Journal of Finance 28, 449-470.