S10infancia

Modelo para el anaacutelisis didaacutectico eneducacioacuten matemaacutetica

VICENCcedil FONT1 NUacuteRIA PLANAS2 Y JUAN D GODINO3

1Universidad de Barcelona 2Universidad Autoacutenoma de Barcelona 3Universidad de Granada

ResumenLa finalidad de este artiacuteculo es presentar la viabilidad de un modelo teoacuterico para el anaacutelisis de procesos de ensentildeanza y

aprendizaje de las matemaacuteticas Dicho modelo contempla cinco niveles de anaacutelisis los cuales son aplicados conjuntamentea un episodio de clase Este modelo se ha elaborado para describir (iquestqueacute ha ocurrido aquiacute) explicar (iquestpor queacute ha ocu-rrido) y valorar (iquestqueacute se podriacutea mejorar) procesos de instruccioacuten en el aula de matemaacuteticas Nos basamos en una siacutente-sis teoacuterica de aspectos del enfoque ontosemioacutetico del conocimiento y la instruccioacuten matemaacutetica que venimos desarrollandodesde hace una deacutecada Aunque algunas partes del modelo son especiacuteficas de la actividad matemaacutetica investigadores deotras aacutereas educativas pueden adaptarlas de modo que resulten eficaces en el anaacutelisis didaacutectico de otros tipos de praacutecticasescolares El principal resultado esperado de la aplicacioacuten del modelo es llegar a una valoracioacuten fundamentada de la ido-neidad didaacutectica de procesos de instruccioacutenPalabras clave Ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas enfoque ontosemioacutetico praacutecticas de aula obje-tos y procesos matemaacuteticos normas conflictos semioacuteticos idoneidad didaacutectica

A model for the study of mathematicsteaching and learning processes

AbstractThe viability of a theoretical model to analyse teaching and learning mathematical processes is presented in the paper

It is a model with five levels of analysis that are jointly applied to a classroom episode We have constructed the modelin order to describe (what has happened here) explain (why has it happened) and evaluate (what could beimproved) instruction processes in the mathematics classroom Our work is based on a theoretical synthesis of aspects ofthe onto-semiotic approach applied to mathematical knowledge and instruction Although some parts of the model arespecific to mathematical activity researchers from other educational areas can adapt them so that they can be usedeffectively to analyse other types of educational practices The application of the model primarily seeks to provide a solidevaluation of the educational suitability of mathematics instruction processesKeywords Teaching and learning mathematics onto-semiotic approach classroom practices mathematicalobjects and processes norms semiotic conflicts educational suitability

Agradecimientos Trabajo realizado en el marco de los proyectos de investigacioacuten EDU2009-08120EDUC EDU2009-07113EDUC y SEJ2007-60110EDUC MEC-FEDERCorrepondencia con los autores Vicenccedil Font Universitat de Barcelona Facultat de Formacioacute del Professorat Departamentde Didagravectica de les Ciegravencies Experimentals i la Matemagravetica Campus Vall drsquoHebron Passeig de la Vall drsquoHebron 17108035 Barcelona Tel 93 403 50 35 Fax 93 403 50 13 E-mail vfontubedu

copy 2010 Fundacioacuten Infancia y Aprendizaje ISSN 0210-3702 Infancia y Aprendizaje 2010 33 (1) 89-105

10 FONT 171209 1153 Paacutegina 89

INTRODUCCIOacuteN

En Coll y Saacutenchez (2008) se discuten aspectos baacutesicos a tener en cuenta en el desa-rrollo de modelos para el anaacutelisis de la interaccioacuten y la praacutectica educativa en el aulaHemos tenido en cuenta este trabajo en la organizacioacuten del presente escrito sobre unmodelo para el anaacutelisis de procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas Setrata de un modelo teoacuterico compuesto por cinco niveles elaborado para describir expli-car y valorar procesos de instruccioacuten matemaacutetica La finalidad de este artiacuteculo es presen-tar la viabilidad de aplicar conjuntamente los cinco niveles de anaacutelisis utilizando comocontexto de reflexioacuten un episodio de clase En primer lugar presentamos herramientaspara una didaacutectica descriptiva y explicativa que sirva para responder ldquoiquestqueacute ha ocurridoaquiacute y por queacuterdquo En segundo lugar presentamos herramientas para una didaacutectica valo-rativa que sirva para responder ldquoiquestqueacute se podriacutea mejorarrdquo Entendemos que el estudiode aspectos descriptivos y explicativos de una situacioacuten didaacutectica es necesario para poderargumentar valoraciones fundamentadas

Nuestro marco teoacuterico de referencia es baacutesicamente el enfoque ontosemioacutetico delconocimiento y la instruccioacuten matemaacutetica (DrsquoAmore Font y Godino 2007 Font yContreras 2008 Godino Batanero y Font 2007 Godino Contreras y Font 2006Ramos y Font 2008) Este marco trata de integrar diversas aproximaciones y modelosteoacutericos usados en la investigacioacuten en educacioacuten matemaacutetica a partir de presupuestosantropoloacutegicos (Bloor 1983 Chevallard 1992) y semioacuteticos (Radford Schubring ySeeger 2008) sobre las matemaacuteticas adoptando principios didaacutecticos de tipo sociocons-tructivista (Ernest 1998) e interaccionista (Cobb y Bauersfeld 1995) para el estudio delos procesos de ensentildeanza y aprendizaje

Estructuramos el artiacuteculo en seis apartados el primero de los cuales es esta introduc-cioacuten En el segundo apartado introducimos los niveles de anaacutelisis didaacutectico En el terce-ro presentamos la transcripcioacuten de un episodio breve de clase que vamos a utilizar paraejemplificar nuestro modelo En el siguiente apartado aplicamos los niveles descriptivosy explicativos al anaacutelisis del episodio de clase A continuacioacuten aplicamos el nivel valora-tivo y por uacuteltimo terminamos con algunas reflexiones sobre la aplicacioacuten del modelode anaacutelisis propuesto en la formacioacuten de profesores de matemaacuteticas La reflexioacuten de losprofesores sobre su propia praacutectica docente es un requisito importante para la mejoraefectiva de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje (Schoumln 1983) Dicha reflexioacuten debeser sistemaacutetica teniendo en cuenta las diversas facetas implicadas y tipos de conoci-mientos requeridos (conocimiento profundo del contenido especializado de los estu-diantes y de las interacciones en el aula entre otros) Las herramientas teoacutericas presenta-das en este trabajo convenientemente adaptadas pueden ser usadas por el profesoradopara fundamentar cambios y mejoras Aunque algunas partes del modelo son especiacuteficasde la actividad matemaacutetica investigadores de otras aacutereas educativas pueden adaptarlasde modo que resulten eficaces en el anaacutelisis didaacutectico de otros tipos de praacutecticas escola-res

iquestQUEacute ANALIZAMOS

En diversos trabajos realizados en el marco del enfoque ontosemioacutetico del conoci-miento matemaacutetico (DrsquoAmore et al 2007 Font y Contreras 2008 Godino Font Wil-helmi y de Castro 2009) se han propuesto cinco niveles para el anaacutelisis de procesos deinstruccioacuten

1) Anaacutelisis de los tipos de problemas y sistemas de praacutecticas2) Elaboracioacuten de las configuraciones de objetos y procesos matemaacuteticos3) Anaacutelisis de las trayectorias e interacciones didaacutecticas4) Identificacioacuten del sistema de normas y metanormas5) Valoracioacuten de la idoneidad didaacutectica del proceso de instruccioacuten

Infancia y Aprendizaje 2010 33 (1) pp 89-10590


Estos niveles son el resultado de un trabajo de siacutentesis teoacuterica de diferentes anaacutelisisparciales consolidados en el aacuterea de didaacutectica de la matemaacutetica Por ejemplo el nivel 4se propone para integrar aspectos de anaacutelisis de normas sociomatemaacuteticas desarrolladospor enfoques socioculturales en educacioacuten matemaacutetica (Civil y Planas 2004 Planas yCivil 2009 Yackel y Cobb 1996) Hasta el momento desde el enfoque ontosemioacuteticose han realizado anaacutelisis didaacutecticos a episodios de aula pero no se han aplicado conjunta-mente todos los niveles anteriores a un mismo proceso de instruccioacuten Por ejemplo enGodino Font y Wilhelmi (2006) se han aplicado parcialmente los niveles 1 y 2 al estu-dio de una leccioacuten de un libro de texto sobre los conceptos de suma y resta En FontGodino y Contreras (2008) se han aplicado los niveles 1 y 2 al anaacutelisis de una tarea deaula para justificar la derivada de la funcioacuten f(x) = x2 En Godino Bencomo Font y Wil-helmi (2006) se ha aplicado el nivel 5 a una sesioacuten de clase para la ensentildeanza de lanocioacuten de funcioacuten con estudiantes de primer curso de una escuela de ingenieriacutea

Los niveles de anaacutelisis propuestos por el enfoque ontosemioacutetico estaacuten pensados parael desarrollo de un anaacutelisis completo que permita describir explicar y valorar procesosde instruccioacuten Sin embargo la profundizacioacuten en el anaacutelisis de algunos de los nivelesestaacute muy condicionada por el tipo de episodio En cuanto al nivel 5 para valorar la ido-neidad didaacutectica global de un proceso de instruccioacuten (de acuerdo con la nocioacuten de ido-neidad didaacutectica desarrollada en Godino Bencomo et al 2006) se necesita disponer deun anaacutelisis longitudinal previo y amplio que el anaacutelisis de los niveles 1 2 3 y 4 aplica-dos a un episodio breve de aula no proporciona Esto no excluye que sea posible realizaruna valoracioacuten parcial de la idoneidad de un proceso de instruccioacuten puntual teniendoen cuenta por ejemplo la idoneidad de la interaccioacuten observada en la aplicacioacuten del nivel3 En cuanto al nivel 4 puesto que las normas se infieren de regularidades observadas enel proceso de instruccioacuten su identificacioacuten en un episodio breve no deja de ser cuestio-nable por no informar sobre la recurrencia en el tiempo a pesar de ello se puede haceruna inferencia plausible de normas teniendo en cuenta datos obtenidos al aplicar losniveles 1 2 y 3 y asumiendo el caraacutecter local de estos datos

En este artiacuteculo proponemos mostrar la viabilidad de aplicar conjuntamente los cinconiveles utilizando como contexto de reflexioacuten el anaacutelisis del episodio que introducimosen el proacuteximo apartado Para ello adaptamos los niveles del enfoque ontosemioacutetico

Nivel 1 Identificacioacuten de praacutecticas matemaacuteticasNivel 2 Identificacioacuten de objetos y procesos matemaacuteticosNivel 3 Descripcioacuten de interacciones en torno a conflictos Nivel 4 Identificacioacuten de normas Nivel 5 Valoracioacuten de la idoneidad interaccional del proceso de instruccioacutenPara un proceso de instruccioacuten la aplicacioacuten del nivel 1 lleva a describir la secuencia

de praacutecticas matemaacuteticas La realizacioacuten de una praacutectica moviliza elementos distintos asaber un agente (institucioacuten o persona) que realiza la praacutectica y un medio donde se rea-liza (en este medio puede haber otros agentes objetos etceacutetera) Puesto que el agenterealiza praacutecticas orientadas a la resolucioacuten de situaciones-problema es necesario consi-derar entre otros aspectos objetos y procesos matemaacuteticos que posibilitan dichas praacutec-ticas de ello se encarga el nivel 2 La finalidad de este segundo nivel de anaacutelisis es des-cribir la complejidad de las praacutecticas matemaacuteticas tomando en consideracioacuten la diversi-dad de objetos y procesos asiacute como de tipologiacuteas de unos y otros

Dado que el estudio de las matemaacuteticas tiene lugar usualmente bajo la direccioacuten deun profesor y en interaccioacuten con otros aprendices el anaacutelisis didaacutectico debiera progresardesde la situacioacuten-problema y las praacutecticas matemaacuteticas necesarias para su resolucioacuten(nivel 1) a las configuraciones de objetos y procesos matemaacuteticos que posibilitan dichaspraacutecticas (nivel 2) y de ahiacute hacia el estudio de las interacciones entre profesor y alum-nos En nuestro caso y dada la gran diversidad de interacciones didaacutecticas ocurridas encualquier proceso de instruccioacuten para el nivel 3 nos centramos en las interacciones entorno a conflictos de tipo semioacutetico de faacutecil identificacioacuten siguiendo el procedimiento

91Anaacutelisis didaacutectico en educacioacuten matemaacutetica V Font et al


usado en Planas e Iranzo (2009) En el nivel 4 consideramos que praacutecticas matemaacuteticase interacciones estaacuten condicionadas y soportadas por una trama de normas y metanor-mas que regulan las acciones y que deben ser analizadas

Los cuatro niveles de anaacutelisis descritos son herramientas para una didaacutectica descripti-va y explicativa en tanto que sirven para comprender y responder a la pregunta ldquoiquestqueacute haocurrido aquiacute y por queacuterdquo Sin embargo no evaluacutean la pertinencia del proceso de ins-truccioacuten matemaacutetica ni determinan pautas para la mejora del disentildeo y de la implemen-tacioacuten de este proceso La didaacutectica de la matemaacutetica no deberiacutea limitarse a la mera des-cripcioacuten sino que deberiacutea aspirar a la mejora del funcionamiento de los procesos de ins-truccioacuten Son necesarios por tanto criterios de ldquoidoneidadrdquo o adecuacioacuten que permitanvalorar los procesos de instruccioacuten efectivamente realizados y ldquoguiarrdquo su mejora El nivel5 se ocupa de este anaacutelisis de tipo valorativo

Las nociones teoacutericas mencionadas en la descripcioacuten de los distintos niveles de anaacuteli-sis seraacuten introducidas en los siguientes apartados aplicadas al caso de un episodio declase perteneciente a un proceso de instruccioacuten en el que un profesor interactuacutea con ungrupo de estudiantes que resuelven un problema sobre proporcionalidad

EL EPISODIO

El episodio de aula (ver su transcripcioacuten en la Tabla I) tiene lugar en una clase dematemaacuteticas con 21 estudiantes de 15 y 16 antildeos (ensentildeanza obligatoria) de una escuelapuacuteblica en Barcelona Espantildea Este mismo episodio ha sido analizado con otros objeti-vos en Planas y Civil (2002 2004) El profesor tiene 19 antildeos de experiencia docente lostres uacuteltimos en la escuela actual considerada por la Administracioacuten como centro deatencioacuten educativa preferente Nuestro episodio de 10 minutos aproximadamenteocurre durante la segunda semana de clases al inicio del primer semestre del antildeo escolarEs la primera leccioacuten donde el profesor propone la dinaacutemica de resolver un problema enpequentildeos grupos y llevar a cabo una puesta en comuacuten El enunciado del problema(escrito en una hoja para cada grupo) menciona dos barrios de la ciudad uno cercano a laescuela En la figura 1 por cuestiones de anonimato sustituimos el nombre de losbarrios por B1 y B2 El curso pasado estos alumnos habiacutean trabajado temas de propor-cionalidad y de resolucioacuten de ecuaciones Se supone por tanto que tienen los conoci-mientos y las habilidades matemaacuteticas requeridas para resolver la tarea disponen ade-maacutes de calculadoras

El episodio se inicia despueacutes de que Alicia (A) Emilio (E) y Mateo (M) miembros deun grupo le hayan dicho al profesor (P) que no han consensuado una solucioacuten comuacuten alproblema El episodio termina cuando el profesor deja de explorar las ideas de estegrupo e interpela a otros grupos para que participen Alicia Emilio y Mateo se hanagrupado libremente al inicio de la sesioacuten y han estado trabajando juntos durante unos30 minutos hasta el momento de la puesta en comuacuten fase a la que pertenece el episodio


FIGURA 1Enunciado del problema

Aquiacute tienes la poblacioacuten y el aacuterea de dos barrios de Barcelona

Barrio 1 (B1) Barrio 2 (B2)

65075 habitantes 190030 habitantes

7 km2 5 km2

(i) Discute en cuaacutel de estos dos lugares se vive maacutes espaciosamente(ii) Encuentra cuaacutenta gente deberiacutea trasladarse de un barrio a otro para que

en ambos se viviera igual de espaciosamente



TABLA ITranscripcioacuten del episodio

Representacioacuten escrita del discurso de la clase

1 A Este problema es de densidades porque los datos son sobre densidades2 P De acuerdo Decidle a Alicia que necesita explicarse mejor [A Alicia] Sabemos que sabes

mucho perohellip3 A En B1 [dice el nombre del barrio] la densidad es menor que en B2 [dice el nombre del

barrio] Eso es todo4 P Emilio dice que no5 E iexclYo no lo entiendo Hay algo que falta6 P [A Emilio] iquestCoacutemo lo has resuelto7 E Estaacute claro que aquiacute [sentildeala B2 en el papel] hay maacutes personas y menos espacio Yo he estado

alliacute Los pisos son muy pequentildeos8 P De acuerdo Lo que tuacute dices estaacute claro pero entonces coacutemo respondes a la segunda pregun-

ta9 E La segunda pregunta estaacute mal10 P iquestPor queacute11 E Yo no me mudariacutea solo lo hariacutea con toda mi familia12 P iquestA queacute te refieres13 E Yo cambiariacutea la segunda pregunta14 P iexclNo empieces de nuevo Emilio Tuacute sabes que los problemas son como son15 M A miacute no me importa cambiar la pregunta pero si la cambias no practicaremos las mates

que el profesor quiere que practiquemos Puedes hacerlo por ensayo y error primero empie-za con cincuenta mil personas

16 A iexclEso no es matemaacutetico17 E iquestPor queacute no es matemaacutetico18 P Mejor que continuemos Alicia iquestcuaacutel es tu opinioacuten19 A Ya lo he dicho Es un problema de densidades20 P Sabes de lo que hablas pero no te cansashellip21 A iquestVoy a la pizarra22 P [El profesor asiente]23 A [En la pizarra]

65075 65072 = 9296 hkm2 en B17 7

190030 = 9296 hkm2 en B2 9296lt380065

24 P De acuerdo Necesitamos comparar los dos barrios Estos nuacutemeros no significan nada si nolos comparamos

25 A Este nuacutemero [sentildeala 9296] eshellip26 E Hemos colocado algunas personas aquiacute y otras alliacute27 A iexclDeacutejame terminar Nueve mil doscientos noventa y seis es maacutes pequentildeo que este nuacutemero

[sentildeala 38006] Esto significa que en B1 [dice el nombre] se vive maacutes espaciosamente28 P De acuerdo29 A Ahora veamos la ecuacioacuten [En la pizarra]

19030 - x = 65072 + x 38006 - x = 9296 + x 38006 - 9296 = x + x5 7 5 7 5 7

28710 = 12x x = 2871035 x = 837375 83737 personas35 12

30 P Alicia tienes que explicar queacute has hecho y por queacute31 E Yo no entiendo por queacute cambia sesenta y cinco mil setenta y cinco por sesenta y cinco mil

setenta y dos32 P iquestAlicia iquestPor queacute sustituyes este nuacutemero33 A [Regresa a su sitio] Yo ya he explicado mi propuesta ahora que hablen ellos34 M No creo que necesitemos hacer una ecuacioacuten iquestPor queacute no probamos con diferentes nuacuteme-

ros iquestNo necesitamos ser exactos aquiacute verdad


iquestCOacuteMO ANALIZAMOS

A continuacioacuten describimos brevemente aspectos teoacutericos de los cuatro primerosniveles de anaacutelisis y los aplicamos al episodio de clase

Identificacioacuten de praacutecticas matemaacuteticas

Suponemos que el aprendizaje de las matemaacuteticas consiste en aprender a realizar unapraacutectica operativa (de lectura y produccioacuten de textos) y sobre todo una praacutectica discur-siva (de reflexioacuten sobre la praacutectica operativa) que puede ser reconocida como matemaacuteti-ca por un interlocutor experto Desde esta perspectiva entendemos el discurso del pro-fesor como un componente de su praacutectica profesional Dicha praacutectica tiene como objeti-vo generar en el estudiante un tipo de praacutectica operativa y una reflexioacuten discursivasobre ella (praacutectica discursiva) que el profesor pueda considerar como matemaacutetica Deacuerdo con esto consideramos la praacutectica matemaacutetica como cualquier accioacuten o mani-festacioacuten (linguumliacutestica o de otro tipo) llevada a cabo en la resolucioacuten de problemas mate-maacuteticos y en la comunicacioacuten de soluciones a otras personas a fin de validarlas y genera-lizarlas a otros contextos y problemas (Godino y Batanero 1994)

El primer nivel de anaacutelisis se orienta a identificar praacutecticas matemaacuteticas realizadas enel episodio de clase En dicho episodio se propone una situacioacuten-problema de contextoextramatemaacutetico cuya resolucioacuten implica entre otros el uso del concepto de densidad yel procedimiento de comparacioacuten de densidades (ver Figura 1) La tabla II recoge laspraacutecticas matemaacuteticas maacutes relevantes

Alicia realiza mayoritariamente las praacutecticas matemaacuteticas del episodio Esta alumnaresuelve el apartado (i) del problema aplicando el concepto de densidad y el procedi-miento de comparacioacuten de densidades y el apartado (ii) planteando y resolviendo unaecuacioacuten A peticioacuten del profesor contextualiza a posteriori el uso de los objetos anterio-res en una situacioacuten extramatemaacutetica y en base a ello da sentido a la solucioacuten halladaaunque sin ubicarse ldquodentrordquo de la situacioacuten como sus compantildeeros de grupo

Emilio realiza la praacutectica de resolver el apartado (i) con un razonamiento que puedeconsiderarse intuitivo y vivencial al aplicar su ldquoconocimiento del mundordquo (en este casosu conocimiento de los barrios citados en el problema) Discrepa de la resolucioacuten quehace Alicia pero se puede inferir que sigue sus explicaciones ya que le hace observar una

Infancia y Aprendizaje 2010 33 (1) pp 89-1059435 P Veamos de nuevo la propuesta de Alicia [A Emilio] iquestAuacuten quieres cambiar la segunda pre-

gunta36 E Todos conocemos estos barrios iquestno es extrantildeo lo que ella dice iquestPor queacute tenemos que usar

densidades y ecuaciones37 M [Al profesor] iquestPor queacute ha movido tres personas de aquiacute [sentildeala 65072 en la pizarra]38 P Mateo concentreacutemonos olviacutedate ahora de las personas y piensa solo en la fraccioacuten iquestEs

sesenta y cinco mil setenta y cinco muacuteltiplo de siete39 M No40 P iexclDe eso se trata Sesenta y cinco mil setenta y dos es muacuteltiplo de siete y sesenta y cinco mil

setenta y cinco no Ahora podemos hacer la divisioacuten exacta [muestra la calculadora] 41 M iexclPero no se trata de muacuteltiplos son personas42 E En la uacuteltima operacioacuten ella no ha mirado los muacuteltiplos iquestverdad43 A Esto no es importante44 P iquestVes coacutemo ha resuelto la ecuacioacuten45 M Siacute46 P Esto es lo importante47 M iquestPodemos dar una respuesta aproximada48 A Por favor esto no es importante49 M iquestCopiamos la ecuacioacuten50 P Ordenemos nuestras ideas primero Necesitamos calcular las densidades y luego necesita-

mos que sean iguales Esta es una propuesta iquestY vosotros queacute [mirando a otro grupo]iquestCuaacutel es vuestra solucioacuten


contradiccioacuten entre las maneras como ha resuelto (i) y (ii) [42] Por su parte Mateosugiere la posibilidad de resolver el problema por ensayo y error y de hallar respuestasaproximadas sin llegar a aplicar este meacutetodo ni aportar ninguna solucioacuten concreta

El profesor interviene principalmente para gestionar los turnos de intervencioacutenDesde el punto de vista de las praacutecticas matemaacuteticas sus intervenciones son sobre todometamatemaacuteticas (eg consideraciones sobre el papel del contexto extramatemaacutetico enel aula de matemaacuteticas validacioacuten de la argumentacioacuten de Alicia rechazo de las pro-puestas de no exactitud de Mateo y de reformulacioacuten del problema de Emilio) aunqueen una ocasioacuten contribuye a completar una explicacioacuten de Alicia explicando el motivopor el cual esta alumna ha sustituido 65075 por 65072

Identificacioacuten de objetos y procesos matemaacuteticos

Objetos matemaacuteticos

Para realizar una praacutectica matemaacutetica el agente necesita conocimientos que son baacutesi-cos tanto para su realizacioacuten como para la interpretacioacuten de sus resultados como satisfac-torios Si consideramos los componentes del conocimiento que es necesario que el agen-te tenga para la realizacioacuten y evaluacioacuten de la praacutectica que permite resolver una situa-cioacuten problema (eg primero plantear y despueacutes resolver un sistema de dos ecuacionescon dos incoacutegnitas) vemos que ha de utilizar un determinado lenguaje verbal (eg solu-cioacuten ecuacioacuten) y simboacutelico (eg x =) Este lenguaje es la parte ostensiva de una serie deconceptos (eg ecuacioacuten solucioacuten) proposiciones (eg si se suma el mismo teacutermino alos dos miembros de la ecuacioacuten se obtiene una ecuacioacuten equivalente) y procedimientos(eg resolucioacuten por sustitucioacuten por igualacioacuten) a utilizar en la elaboracioacuten de argumen-tos para decidir si las acciones simples que componen la praacutectica y ella misma entendi-da como accioacuten compuesta son satisfactorias Consideramos que cuando un agente rea-liza y evaluacutea una praacutectica matemaacutetica tiene que activar un conglomerado formado poralgunos de los objetos citados anteriormente (o todos) situaciones-problema lenguaje


TABLA IIIdentificacioacuten de praacutecticas matemaacuteticas

Alicia - Lee y entiende el enunciado del problema- Resuelve el apartado (i) del problema aplicando el concepto de densidad y el procedimiento decomparacioacuten de densidades

- Resuelve el apartado (ii) del problema planteando y resolviendo una ecuacioacuten - Contextualiza y da sentido a la solucioacuten hallada redondeando el resultado

Emilio- Lee y entiende el enunciado del problema Por otra parte cuestiona el apartado (ii)- Resuelve el apartado (i) mediante un razonamiento de tipo intuitivo y vivencial usando su cono-cimiento de los barrios citados en el problema

- Sigue las explicaciones de Alicia y observa una contradiccioacuten entre la resolucioacuten de (i) y (ii)

Mateo- Lee y entiende el enunciado del problema- Propone una resolucioacuten por ensayo y error aunque no aplica este meacutetodo- Propone la aceptacioacuten de soluciones aproximadas

Profesor - Considera el papel del contexto extramatemaacutetico en matemaacuteticas- Valida la argumentacioacuten de Alicia e interviene para completar explicaciones de esta alumnasobre la sustitucioacuten de 65075 por 65072

- Reconduce propuestas de aproximacioacuten al problema de Emilio y Mateo


conceptos-definicioacuten proposiciones procedimientos y argumentos Estos tipos de obje-tos se articulan formando la configuracioacuten de la figura 2 (Font y Godino 2006 p 69)A continuacioacuten aplicamos esta herramienta para conocer los objetos activados en lapraacutectica matemaacutetica del episodio

TABLA IIIIdentificacioacuten de objetos matemaacuteticos

Lenguaje - A (verbal) densidad menor ecuacioacuten nuacutemero nueve mil doscientos noventa y seis (simboacutelico)las fracciones decimales unidades de densidad ecuaciones y desigualdades de la Tabla I

- P (verbal) muacuteltiplo divisioacuten exacta nuacutemeros fraccioacuten siete sesenta y cinco mil setenta y cincosesenta y cinco mil setenta y dos ecuacioacuten calcular iguales (simboacutelico) 65075 190030 7 5km2

- M (verbal) cincuenta mil ecuacioacuten tres muacuteltiplos- E (verbal) maacuteshellip menos sesenta y cinco mil setenta y cinco sesenta y cinco mil setenta y dosdensidades ecuaciones operacioacuten muacuteltiplos

Conceptos-definicioacuten- A densidad mayor y menor fraccioacuten decimal incoacutegnita ecuacioacuten- P muacuteltiplo problema nuacutemero fraccioacuten muacuteltiplo divisioacuten exacta ecuacioacuten densidad- M ecuacioacuten solucioacuten exacta de una ecuacioacuten respuesta aproximada a un problema muacuteltiplo- E densidades ecuaciones operacioacuten muacuteltiplos

Proposiciones- A es un problema de densidades en B1 la densidad es menor que en B2 nueve mil doscientosnoventa y seis es maacutes pequentildeo que este nuacutemero esto significa que en B1 se vive maacutes espaciosa-mente

- P sesenta y cinco mil setenta y dos es muacuteltiplo de siete y sesenta y cinco mil setenta y cinco noahora podemos hacer la divisioacuten exacta necesitamos comparar los dos barrios necesitamos calcu-lar las densidades y luego necesitamos que sean iguales

- E estaacute claro que aquiacute hay maacutes personas y menos espacio hemos colocado algunas personas aquiacute yotras alliacute en la uacuteltima operacioacuten ella no ha mirado los muacuteltiplos


FIGURA 2Configuracioacuten de objetos


- M puedes hacerlo por ensayo y error primero empieza con cincuenta mil personas pero no setrata de muacuteltiplos son personas no creo que necesitemos hacer una ecuacioacuten

Procedimientos- A dividir redondeo de nuacutemeros caacutelculo de densidades comparacioacuten de nuacutemeros que represen-tan densidades resolucioacuten de ecuaciones traduccioacuten de lenguaje verbal a algebraico plantea-miento de ecuaciones

- P determinar si un nuacutemero es muacuteltiplo de otro- M ensayo y error (se cita pero no se aplica)

ArgumentosA Es un problema de densidades - En los problemas de densidades los datos son densidades- En este problema los datos son densidadesEn B1 la densidad es menor que en B2- 65075 puede sustituirse por 65072- Dividiendo el nuacutemero de habitantes por el de km2 se obtiene que la densidad en B1 es 9296hkm2

- Dividiendo el nuacutemero de habitantes por el nuacutemero de km2 se obtiene que la densidad en B2 es38006 hkm2

- 9296 es menor que 38006Esto significa que en B1 se vive maacutes espaciosamente- Si la densidad de un barrio es menor que la del otro eso quiere decir que en el de menor densidadse vive maacutes espaciosamente

- En B1 la densidad es menor que en B2Si se trasladan 83737 personas de B2 a B1 los dos tendraacuten la misma densidad- Planteamiento y resolucioacuten de una ecuacioacutenE Estaacute claro que aquiacute hay maacutes personas y menos espacio - Yo he estado alliacute Los pisos son muy pequentildeos

Las tablas III y IV no pretenden recoger de forma exhaustiva los objetos y procesosmatemaacuteticos de la configuracioacuten asociada al episodio Identificamos los objetos y proce-sos que consideramos maacutes relevantes en el desarrollo del proceso de instruccioacuten mate-maacutetica agrupaacutendolos en funcioacuten de quieacuten (A P M E) los introduce

Procesos matemaacuteticos

La configuracioacuten de la figura 2 informa sobre la ldquoanatomiacuteardquo de la actividad matemaacute-tica en un episodio de clase Si ademaacutes de la ldquoestructurardquo interesa el ldquofuncionamientordquo(coacutemo interactuacutean los objetos) en una perspectiva temporal y dinaacutemica conviene utilizarla tipologiacutea de procesos propuestos por el enfoque ontosemioacutetico para el conocimientomatemaacutetico La actividad matemaacutetica queda modelada en teacuterminos de sistemas de praacutec-ticas operativas y discursivas De estas praacutecticas emergen diferentes tipos de objetosmatemaacuteticos (lenguaje conceptos proposiciones procedimientos y argumentos) comose observa en el hexaacutegono de la figura 3 Estos tipos de objetos pueden considerarse enbase a cinco dimensiones duales (ver decaacutegono de la Figura 3) personalinstitucionalunitariasisteacutemica expresioacutencontenido ostensivano-ostensiva y extensivaintensivaEstas dimensiones duales pueden analizarse desde una perspectiva de producto-proceso

En Font y Contreras (2008) y Font et al (2008) se detallan los dieciseacuteis procesosmatemaacuteticos de la figura 3 procesos de generalizacioacuten-particularizacioacuten institucionali-zacioacuten-personalizacioacuten representacioacuten-significacioacuten descomposicioacuten-reificacioacuten idea-lizacioacuten-materializacioacuten (asociados a las cinco dimensiones duales) y procesos de comu-nicacioacuten definicioacuten enunciacioacuten argumentacioacuten algoritmizacioacuten y problematizacioacuten(asociados a los objetos matemaacuteticos identificados en el proceso de instruccioacuten que seanaliza) Esta lista es una seleccioacuten de procesos que consideramos relevantes en la activi-dad matemaacutetica Otros procesos igualmente relevantes como los procesos de compren-



sioacuten de modelizacioacuten o de resolucioacuten de problemas pueden entenderse como mega-procesos que incluyen algunos de los tipos anteriores

La tabla IV recoge procesos matemaacuteticos identificados en el episodio Se observa unproceso de institucionalizacioacuten de la solucioacuten del problema que propone Alicia En latrayectoria argumentativa que lleva a dicha institucionalizacioacuten alumnos y profesoradoptan tanto el papel de proponente como el de oponente Alicia realiza un proceso degeneralizacioacuten al considerar el problema un caso particular de un problema maacutes general[1 19] En [3] hace un proceso de enunciacioacuten de una proposicioacuten sin ninguna justifi-cacioacuten A instancias del profesor realiza un proceso de argumentacioacuten [23 27 29] en[23] escribe en la pizarra (proceso de representacioacuten y materializacioacuten) signos matemaacute-ticos que un observador experto puede interpretar como el uso del concepto de densidady de procedimientos como son entre otros la divisioacuten y la comparacioacuten de densidadesen [27] realiza un proceso de enunciacioacuten y comunicacioacuten de una proposicioacuten que unobservador experto puede interpretar como la inferencia que se obtiene de aplicar elconcepto de densidad y el procedimiento de comparacioacuten de densidades en [29] vuelvea escribir en la pizarra (proceso de representacioacuten y materializacioacuten) signos matemaacuteticosque un observador experto puede interpretar como (a) el planteamiento de una ecuacioacuteny (b) su resolucioacuten

Emilio hace un proceso de enunciacioacuten de una proposicioacuten [7] y despueacutes [11 16]realiza procesos de argumentacioacuten basados en su conocimiento del contexto extramate-maacutetico del problema Por su parte Mateo hace dos procesos de comunicacioacuten [15 34]cuando plantea respectivamente la posibilidad de resolver el problema por el meacutetodode ensayo y error y la de obtener soluciones aproximadas En cuanto al profesor en praacutec-ticamente todas sus intervenciones gestiona el proceso de institucionalizacioacuten de lasolucioacuten hallada dedicando soacutelo alguacuten momento a procesos de argumentacioacuten para sol-ventar dudas de alumnos En la transcripcioacuten profesor y alumnos llevan a cabo procesos

Infancia y Aprendizaje 2010 33 (1) pp 89-10598FIGURA 3

Representacioacuten ontosemioacutetica del conocimiento matemaacutetico


de valoracioacuten [8 9 16 20 24 46] que estaacuten sustentados por normas y metanormas Enel cuarto nivel de anaacutelisis realizamos el estudio de este tipo de procesos no incluido en lafigura 3

Descripcioacuten de interacciones en torno a conflictos

Fijada una situacioacuten problema y haciendo uso de una tecnologiacutea el profesor y losestudiantes emprenden una secuencia de actividades en interaccioacuten con el fin de lograrque los alumnos sean capaces de resolver esa situacioacuten y otras relacionadas Llamamosconfiguracioacuten didaacutectica a la secuencia interactiva que tiene lugar a propoacutesito de unasituacioacuten problema Una configuracioacuten didaacutectica se compone de una configuracioacutenepisteacutemica esto es una situacioacuten problema lenguajes conceptos proposiciones proce-dimientos y argumentos que pueden estar a cargo del profesor de los estudiantes o biendistribuirse entre ambos en interaccioacuten El profesor puede desempentildear por ejemplo lasfunciones de asignacioacuten motivacioacuten recuerdo interpretacioacuten regulacioacuten y evaluacioacutenmientras que el alumno puede desempentildear entre otras las funciones de exploracioacutencomunicacioacuten validacioacuten recepcioacuten y autoevaluacioacuten

Dada la gran diversidad de interacciones didaacutecticas ocurridas en cualquier proceso deinstruccioacuten a veces conviene centrarse en las interacciones en torno a conflictos de tiposemioacutetico De acuerdo con Godino et al (2007) entendemos por conflicto semioacuteticocualquier disparidad entre los significados atribuidos a una expresioacuten por dos sujetospersonas o instituciones En el episodio analizado el primer y seguramente el principal


TABLA IVIdentificacioacuten de procesos matemaacuteticos

Alicia - Proceso de generalizacioacuten [1 19] cuando considera que el problema es un caso particular de un

problema maacutes general- Proceso de enunciacioacuten de una proposicioacuten [3]- Proceso de argumentacioacuten [23 27 29]- Proceso de representacioacuten y materializacioacuten [23] al escribir en la pizarra signos matemaacuteticos

interpretables como el uso del concepto de densidad y de procedimientos de comparacioacuten dedensidades

- Proceso de enunciacioacuten y comunicacioacuten de una proposicioacuten [27] interpretable como la inferencia quese obtiene de aplicar el concepto de densidad y el procedimiento de comparacioacuten de densidadesy como un uso contextualizado y correcto de la solucioacuten

- Proceso de representacioacuten y materializacioacuten [29] al escribir signos matemaacuteticos interpretables comoel planteamiento y resolucioacuten de una ecuacioacuten

Emilio- Proceso de enunciacioacuten de una proposicioacuten [7] sobre la interpretacioacuten del enunciado- Proceso de argumentacioacuten [11 16] basado en el conocimiento del contexto extramatemaacutetico del

problema

Mateo- Proceso de comunicacioacuten [15] al plantear la posibilidad de resolver el problema por el meacutetodo de

ensayo y error- Proceso de comunicacioacuten [34] al plantear la posibilidad de buscar soluciones aproximadas al

problema

Profesor - Proceso de institucionalizacioacuten [todos sus turnos y en especial la 50] de la solucioacuten del problema- Proceso de argumentacioacuten [40] para resolver dudas de Emilio y Mateo- Proceso de idealizacioacuten [38] cuando pide prestar atencioacuten a las fracciones por delante de las

personas


conflicto semioacutetico se produce cuando el profesor crea un conflicto a Emilio y le dice [8]que el argumento que ha aplicado en (i) no le serviraacute para contestar (ii) esperando quedicho alumno cambie su argumentacioacuten basada en su conocimiento del contexto extra-matemaacutetico por una argumentacioacuten ldquomaacutes matemaacuteticardquo Es de suponer que la intencioacutendel profesor es crear una contradiccioacuten en el alumno acerca de las praacutecticas que ha reali-zado puesto que la disparidad se produce entre praacutecticas de un mismo sujeto hablamosde conflicto semioacutetico de tipo cognitivo

Emilio en lugar de resolver el conflicto semioacutetico de tipo cognitivo de la manera queparece esperar el profesor plantea un conflicto entre su ldquomundo de la vidardquo y la ldquoclase dematemaacuteticasrdquo [9-14] De alguacuten modo Emilio se hace portavoz de una manera vaacutelida deresolver el problema en el ldquomundo de la vidardquo que contrapone a la resolucioacuten vaacutelida enel aula de matemaacuteticas cuyo portavoz en este caso es el profesor Se trata de un conflictointeraccional entre personas pero se puede interpretar que estas personas proponenpraacutecticas vaacutelidas en instituciones diferentes mundo de la vida y aula de matemaacuteticas Sila disparidad se produce entre praacutecticas propias de instituciones diferentes hablamos deconflicto semioacutetico de tipo episteacutemico La interaccioacuten en torno a este conflicto finalizacuando el profesor apela al principio de autoridad [14] Emilio sin embargo vuelve amanifestar este conflicto en [36]

Tambieacuten se produce un conflicto semioacutetico de tipo interaccional cuando Alicia yMateo discrepan sobre si el procedimiento de ensayo y error se puede considerar ldquomate-maacuteticordquo [16-17] La intervencioacuten del profesor interrumpiendo la discusioacuten deja esteconflicto abierto [18] volviendo a aparecer posteriormente [34] Cuando la disparidadse produce entre las praacutecticas de dos sujetos diferentes en interaccioacuten social hablamos deconflicto semioacutetico de tipo interaccional Los tipos de conflicto semioacutetico introducidosno son excluyentes puesto que un mismo conflicto puede ubicarse en un tipo u otro enfuncioacuten de la perspectiva que se adopte Por ejemplo el conflicto episteacutemico entre Emi-lio y el profesor tambieacuten es un conflicto interaccional y los conflictos cognitivos de unapersona a menudo son resultado de interacciones sociales generadoras de conflicto

En [31] Emilio expresa un conflicto de tipo interaccional puesto que no entiende unpaso de lo que ha escrito Alicia en la pizarra (el cambio de 65075 por 65072) Mateovuelve a expresar este conflicto en [37] que el profesor pretende resolver en [38-40] Elintento de resolucioacuten por parte del profesor hace rebrotar los dos conflictos anterioressiendo ambos manifestados ahora por Mateo el episteacutemico en [41] y el interaccional entorno al uso del ensayo y error y las soluciones aproximadas en [47] Finalmente en [42]Emilio contribuye a provocar un conflicto semioacutetico de tipo cognitivo en Alicia alhacerle observar que no ha sido coherente en la resolucioacuten de (i) y (ii) Alicia [43] y elprofesor [44] niegan la importancia del conflicto sentildealado por Emilio

Identificacioacuten de normas

La actividad matemaacutetica en el aula tiene una dimensioacuten social ya que la clase es unamicro-sociedad donde tiene lugar la difusioacuten y construccioacuten de conocimiento matemaacute-tico a traveacutes de la interaccioacuten social entre alumnos y profesor En consecuencia el apren-dizaje matemaacutetico estaacute condicionado por metaconocimientos matemaacuteticos y didaacutecticostales como las normas sociomatemaacuteticas (Planas y Setati 2009 Yackel y Cobb 1996) ylas claacuteusulas del contrato didaacutectico (Brousseau 1997) De acuerdo con DrsquoAmore et al(2007) hay diferentes criterios de clasificacioacuten de las normas seguacuten el momento en queintervienen (disentildeo curricular planificacioacuten implementacioacuten y evaluacioacuten) seguacuten elaspecto del proceso de instruccioacuten a que se refieren (episteacutemica cognitiva interaccionalmediacionalhellip) seguacuten su origen (disciplina escuela aula sociedadhellip) seguacuten el tipo ygrado de coercioacuten (social y disciplinar) etceacutetera



Siguiendo a DrsquoAmore et al (2007) entendemos por normas episteacutemicas las con-figuraciones de objetos (ver Figura 2) que regulan la praacutectica matemaacutetica en unmarco institucional Cada componente de la configuracioacuten de objetos estaacute relacio-nado con normas metaepisteacutemicas denominadas normas sociomatemaacuteticas Si nosfijamos en las situaciones problema es necesario que el alumno pueda responder apreguntas del tipo iquestqueacute es un problema iquestcuaacutendo se ha resuelto o iquestqueacute reglasconviene seguir para resolverlo Lo mismo si nos fijamos en el componente ldquoargu-mentordquo ya que el alumno necesita saber queacute es un argumento en matemaacuteticascuaacutendo se considera vaacutelido etceacutetera Hemos detallado normas episteacutemicas al des-cribir la configuracioacuten de objetos pero en la transcripcioacuten del episodio se puedeninferir otros tipos de normas (ver Tabla V) a) normas metaepisteacutemicas (en el profe-sor de N1 a N7 en Alicia de N11 a N13 en Emilio N14 y N15 en Mateo N17y N18) b) normas que regulan las interacciones (en el profesor N8 y N9 en Emi-lio N16 en Mateo N19) y c) normas que regulan el uso de los materiales en elaula (en el profesor N10 en Mateo N20)

TABLA VIdentificacioacuten de normas

Profesor- N1 No basta dar la solucioacuten de un problema hay que justificar que la solucioacuten es correcta [420 24 30]

- N2 Hay que interpretar el sentido de la solucioacuten en el contexto del problema [24]- N3 Los enunciados de los problemas no se pueden modificar [14]- N4 Hay una fase en la que tiene sentido trabajar con el modelo matemaacutetico con independenciadel contexto inicial del problema [38]

- N5 Hay elementos importantes en matemaacuteticas como las ecuaciones a diferencia de otros comoel meacutetodo de ensayo y error [46 50]

- N6 Los problemas se pueden resolver por diferentes meacutetodos no todos ellos igual de matemaacuteti-cos [6 50]

- N7 El profesor decide sobre la validez de una argumentacioacuten [28 49]- N8 El profesor interviene para resolver dificultades de los alumnos [38 40]- N9 El profesor tiene un papel determinante en el inicio distribucioacuten y finalizacioacuten de interven-ciones [2 6 18 22 50]

- N10 Se puede usar la calculadora (por ejemplo para comprobar que la divisioacuten es exacta) [40]

Alicia- N11 Hay argumentaciones que no son vaacutelidas en matemaacuteticas [16]- N12 Hay aspectos que no son relevantes en matemaacuteticas [43 46]- N13 Los problemas pertenecen a familias de problemas [1 19]

Emilio- N14 En la resolucioacuten de un problema contextualizado hay que usar lo que se sabe del contexto

[7 36]- N15 Las preguntas de los problemas contextualizados deben ser coherentes con el contexto pro-puesto [9 11 13]

- N16 Los alumnos intervienen cuando no entienden algo [31]

Mateo- N17 Los problemas tienen por objetivo la realizacioacuten de praacutecticas matemaacuteticas previamente pla-nificadas por el profesor [15]

- N18 Los problemas se pueden resolver por diferentes meacutetodos [15]- N19 Los alumnos intervienen cuando no entienden algo [37]- N20 Las soluciones correctas se tienen que copiar en el cuaderno de clase [49]



Las normas N2 y N4 pueden ocasionar conflictos a los alumnos ya que seguacuten coacutemose interpreten pueden ser contradictorias La praacutectica matemaacutetica conlleva la posibili-dad de desprenderse del contexto extramatemaacutetico y volver a eacutel cuando conviene Paraalgunos alumnos puede ser difiacutecil entrar en este ldquojuego de lenguajerdquo El anaacutelisis realiza-do en el apartado anterior muestra que dichos conflictos se han producido

iquestPARA QUEacute ANALIZAMOS

A continuacioacuten aplicamos el quinto y uacuteltimo nivel de anaacutelisis al episodio de clasecentrado en la valoracioacuten de su idoneidad didaacutectica (Godino Bencomo et al 2006)Dicho anaacutelisis se basa en los cuatro anaacutelisis previos y constituye una siacutentesis orientada ala identificacioacuten de potenciales mejoras del proceso de instruccioacuten De acuerdo conGodino Bencomo et al (2006) como miacutenimo se pueden proponer seis criterios paravalorar la idoneidad didaacutectica de los procesos de instruccioacuten matemaacutetica a saber

1 Idoneidad episteacutemica para valorar si las matemaacuteticas que se ensentildean son unas ldquobue-nas matemaacuteticasrdquo

2 Idoneidad cognitiva para valorar antes de iniciar el proceso de instruccioacuten si lo quese quiere ensentildear estaacute a una distancia razonable de lo que saben los alumnos y des-pueacutes del proceso si los aprendizajes logrados se acercan a los que se pretendiacuteanensentildear

3 Idoneidad interaccional para valorar si la interaccioacuten ha resuelto dudas y dificultadesde los alumnos

4 Idoneidad mediacional para valorar la adecuacioacuten de recursos materiales y tempora-les utilizados en el proceso de instruccioacuten

5 Idoneidad emocional para valorar la implicacioacuten (intereacutes motivacioacuten) de los alum-nos en el proceso de instruccioacuten

6 Idoneidad ecoloacutegica para valorar la adecuacioacuten del proceso de instruccioacuten al proyectoeducativo del centro las directrices curriculares las condiciones del entorno socialy profesional etceacutetera

La identificacioacuten de estas seis idoneidades parciales en un proceso de instruccioacuten permi-te considerarlo un proceso ldquoidoacuteneordquo Conseguir una sola idoneidad parcial es relativamentefaacutecil pero es difiacutecil conseguir una presencia equilibrada de las seis idoneidades parcialesEn nuestro caso por las caracteriacutesticas de la transcripcioacuten y por la informacioacuten que tene-mos del episodio solo consideramos viable valorar la idoneidad interaccional Esta idonei-dad se puede conseguir si el profesor a) presenta adecuadamente el tema por ejemploponiendo suficiente eacutenfasis en los conceptos clave b) reconoce y resuelve conflictos de sig-nificado de los alumnos por ejemplo interpretando correctamente sus silencios gestos ypreguntas c) promueve situaciones comunicativas en las que se llega a consensos conven-ciendo con argumentos d) utiliza diversos recursos retoacutericos y argumentativos para impli-car a los alumnos e) facilita su inclusioacuten en la actividad matemaacutetica de la clase f) favoreceel diaacutelogo entre alumnos g) contempla momentos en los que los alumnos asumen la res-ponsabilidad del estudio por medio de la exploracioacuten formulacioacuten y validacioacuten etceacutetera

Alicia realiza las praacutecticas matemaacuteticamente importantes del episodio que ademaacutesson validadas por el profesor Las praacutecticas alternativas propuestas por Emilio y Mateono son consideradas por el profesor Sin embargo las propuestas de Mateo de resolver elproblema por ensayo y error y de buscar soluciones aproximadas eran viables si se tieneen cuenta que los alumnos teniacutean calculadoras y si se revisan las caracteriacutesticas del pro-blema El profesor en ninguacuten momento ofrece contra-argumentos para descartar laspropuestas de estos alumnos a pesar de que establece pequentildeos diaacutelogos con ellos

En el episodio analizado el profesor pretende realizar el proceso de institucionaliza-cioacuten de la solucioacuten al problema de contexto extramatemaacutetico Puesto que la praacutecticamatemaacutetica de resolucioacuten de problemas de contexto extramatemaacutetico conlleva la posi-bilidad de desprenderse del contexto del problema cuando conviene y volver a eacutel cuando



interesa el profesor realiza diferentes intervenciones [23-28] y [38-41] de las cuales seinfieren dos normas que regulan dicha praacutectica

N2 Hay que interpretar el sentido de la solucioacuten en el contexto del problemaN4 Hay una fase en la que tiene sentido trabajar con el modelo matemaacutetico con

independencia del contexto inicial del problemaLa praacutectica de resolucioacuten de problemas de contexto extramatemaacutetico estaacute sustentada

tambieacuten en procesos de generalizacioacuten-particularizacioacuten y de materializacioacuten-idealiza-cioacuten Por ejemplo el profesor pretende que Mateo realice un proceso de idealizacioacuten yque se concentre en la fraccioacuten que a su vez se representa en la pizarra con la materiali-zacioacuten 650757

Alicia realiza un proceso de generalizacioacuten cuando considera que el problema pro-puesto es un caso particular de una clase de problemas (problemas de densidades) Encambio Emilio se resiste a realizar el proceso de generalizacioacuten (descontextualizacioacuten) alnegarse a considerar que el problema cae bajo el dominio de los ldquoproblemas de densida-desrdquo Seguir las normas N2 y N4 no es tarea faacutecil para muchos alumnos En el caso quenos ocupa siacute lo es para Alicia pero no para Mateo y Emilio como se observa en los con-flictos que se producen en el episodio

El conflicto semioacutetico maacutes importante se produce cuando el profesor pretende crearun conflicto de tipo cognitivo en Emilio y le dice que el argumento que ha aplicado en(i) no le serviraacute para contestar (ii) esperando que dicho alumno cambie su argumenta-cioacuten basada en su conocimiento del contexto extramatemaacutetico por una argumentacioacutenldquomaacutes matemaacuteticardquo Emilio en lugar de experimentar un conflicto cognitivo como con-secuencia de las intervenciones del profesor plantea un conflicto de tipo episteacutemico queconfronta meacutetodos de resolucioacuten de problemas contextualizados vaacutelidos en ldquola vida realrdquocon meacutetodos de resolucioacuten de problemas contextualizados en ldquola clase de matemaacuteticasrdquoEl profesor apela al principio de autoridad y recuerda las normas metaepisteacutemicas de lainstitucioacuten clase de matemaacuteticas ldquolos problemas son como sonrdquo Sin embargo Emilio yMateo maacutes tarde vuelven a manifestar el conflicto

Hay indicadores de idoneidad interaccional que se cumplen Por ejemplo en el epi-sodio el profesor promueve el diaacutelogo al requerir la exposicioacuten oral de uno de los gruposde trabajo y hacer intervenir a los miembros de este grupo Sin embargo si se hace unestudio maacutes detallado de la interaccioacuten y se utilizan para ello tres de los indicadoressentildealados anteriormente b) reconoce y resuelve conflictos de significado de los alum-nos c) promueve situaciones comunicativas en las que se llega a consensos convencien-do con argumentos y d) facilita la inclusioacuten de los alumnos en la actividad matemaacuteticade la clase la valoracioacuten no es ldquobuenardquo Con relacioacuten al indicador b) se observa que sibien se resuelve alguacuten conflicto el principal conflicto semioacutetico no se resuelve correcta-mente Con relacioacuten al indicador c) las tesis que se imponen son las que Alicia defiendeaunque no siempre con argumentos desde el inicio del episodio el profesor valida estastesis y Emilio y Mateo las asumen copiaacutendolas en su cuaderno aunque los indicios (lainsistencia en la defensa de sus tesis el cambio repentino etceacutetera) apuntan a una faltade convencimiento Con relacioacuten al indicador e) se observa que la interaccioacuten excluyede la praacutectica matemaacutetica a Emilio y Mateo

Nuestra valoracioacuten final sobre la interaccioacuten en el episodio es que puede mejorarse yaque el profesor no consigue incorporar ni a Mateo ni a Emilio a la ldquopraacutectica matemaacuteticardquoque consiste en tener en cuenta o no el contexto extramatemaacutetico seguacuten convenga Porotra parte ni Alicia ni el profesor responden a Emilio y Mateo con contra-argumentos alas propuestas de aproximacioacuten al problema de estos alumnos

CONSIDERACIONES FINALES

La valoracioacuten de la idoneidad del episodio que se ha realizado en el apartado anteriorcoincide en parte con la valoracioacuten que mayoritariamente suelen hacer los profesores con



los que hemos trabajado en diversos seminarios de formacioacuten1 donde hemos pedido quediscutieran el episodio de clase aquiacute estudiado y otros similares La diferencia entrenuestra valoracioacuten y la de los profesores en primer lugar estaacute en la fundamentacioacuten dedicha valoracioacuten contrariamente a lo que hicieron muchos profesores en nuestro anaacuteli-sis hemos sido sistemaacuteticos teniendo en cuenta por una parte niveles de anaacutelisis y porotra relaciones entre ellos En segundo lugar hay una diferencia en la delimitacioacuten deltipo de valoracioacuten que se puede hacer con la informacioacuten de que se dispone a saber soacutelovaloramos la idoneidad interaccional Por ejemplo algunos de los profesores valoraronla idoneidad emocional del episodio lo cual en nuestra opinioacuten no es posible con losdatos de los que disponemos

En nuestro caso hemos aplicado un modelo que permite un anaacutelisis didaacutectico siste-maacutetico para la descripcioacuten explicacioacuten y valoracioacuten de episodios de clases de matemaacuteti-cas A diferencia del anaacutelisis realizado por los profesores de los seminarios donde eleacutenfasis estaba en responder a ldquoiquestqueacute se podriacutea mejorarrdquo el tipo de anaacutelisis que se hadesarrollado ha respondido en primer lugar a ldquoiquestqueacute ha ocurrido aquiacute y por queacuterdquoEntendemos que el estudio exhaustivo de aspectos descriptivos y explicativos de unasituacioacuten didaacutectica es necesario para poder argumentar valoraciones fundamentadassobre esta situacioacuten Nuestra nocioacuten de idoneidad didaacutectica y las herramientas para suanaacutelisis y valoracioacuten permiten establecer un puente entre una didaacutectica descriptiva-explicativa y su aplicacioacuten para la valoracioacuten de procesos de instruccioacuten

La nocioacuten de idoneidad didaacutectica proporciona una siacutentesis global sobre los procesosde instruccioacuten pero su aplicacioacuten requiere realizar los anaacutelisis previos de las diversasdimensiones implicadas En particular la idoneidad episteacutemica requiere caracterizar lostipos de problemas los sistemas de praacutecticas institucionales correspondientes asiacute comola reconstruccioacuten de las configuraciones de objetos y procesos matemaacuteticos implicadosLa idoneidad cognitiva precisa elaborar informacioacuten detallada de los significados perso-nales y la identificacioacuten de conflictos semioacuteticos potenciales La idoneidad interaccionaly la mediacional requieren analizar las trayectorias de estudio y las interacciones didaacutec-ticas entre el docente los estudiantes y los medios disponibles y la identificacioacuten deconflictos semioacuteticos que se han producido El anaacutelisis de las normas ayuda a compren-der entre otros aspectos los factores ecoloacutegicos que condicionan los procesos de instruc-cioacuten y por tanto la valoracioacuten de la idoneidad ecoloacutegica

Nuestra conclusioacuten es que el modelo de anaacutelisis didaacutectico aplicado en este trabajo esuacutetil para la investigacioacuten sobre la praacutectica docente de los profesores de matemaacuteticasBasaacutendonos en la experiencia positiva de seminarios de formacioacuten llevados a cabo cree-mos que tambieacuten puede ser uacutetil para el colectivo de profesores interesados en reflexionarsobre su propia praacutectica Como afirman Hiebert Morris y Glass (2003) un problemapersistente en educacioacuten matemaacutetica es coacutemo disentildear programas de formacioacuten queinfluyan sobre la naturaleza y calidad de la praacutectica de los profesores Para el disentildeo deestos programas son necesarias herramientas de anaacutelisis de la praacutectica docente como lasque aquiacute se han propuesto

Reconocemos que la realizacioacuten de los tipos de anaacutelisis descritos en este trabajo pre-senta un nivel de complejidad elevado para que pueda ser directamente aplicado por losprofesores en la reflexioacuten sobre su praacutectica docente Esta complejidad es en siacute misma unalimitacioacuten que abre liacuteneas de investigacioacuten En el futuro consideramos necesario identi-ficar nuevos conocimientos y competencias implicadas en el uso del modelo que con-vendriacutea desarrollar con los profesores asiacute como estudiar estrategias formativas adecua-das para el logro de este objetivo Otra liacutenea a continuar consistiriacutea en relacionar elmodelo presentado con investigaciones realizadas en el campo de formacioacuten de profeso-rado de matemaacuteticas de manera especial los trabajos sobre el ldquoconocimiento pedagoacutegicodel contenidordquo (Hill Ball y Schilling 2008) y el ldquoconocimiento matemaacutetico para laensentildeanzardquo (Sullivan 2008)



Notas 1 Este episodio ha sido discutido en cuatro cursos de maestriacutea y en tres cursos de formacioacuten permanente de profesorado Porlimitaciones de espacio no aportamos datos concretos sobre el desarrollo de dichas experiencias de formacioacuten

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in Mathematics Education 27 (4) 458-477



INTRODUCCIOacuteN

En Coll y Saacutenchez (2008) se discuten aspectos baacutesicos a tener en cuenta en el desa-rrollo de modelos para el anaacutelisis de la interaccioacuten y la praacutectica educativa en el aulaHemos tenido en cuenta este trabajo en la organizacioacuten del presente escrito sobre unmodelo para el anaacutelisis de procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas Setrata de un modelo teoacuterico compuesto por cinco niveles elaborado para describir expli-car y valorar procesos de instruccioacuten matemaacutetica La finalidad de este artiacuteculo es presen-tar la viabilidad de aplicar conjuntamente los cinco niveles de anaacutelisis utilizando comocontexto de reflexioacuten un episodio de clase En primer lugar presentamos herramientaspara una didaacutectica descriptiva y explicativa que sirva para responder ldquoiquestqueacute ha ocurridoaquiacute y por queacuterdquo En segundo lugar presentamos herramientas para una didaacutectica valo-rativa que sirva para responder ldquoiquestqueacute se podriacutea mejorarrdquo Entendemos que el estudiode aspectos descriptivos y explicativos de una situacioacuten didaacutectica es necesario para poderargumentar valoraciones fundamentadas

Nuestro marco teoacuterico de referencia es baacutesicamente el enfoque ontosemioacutetico delconocimiento y la instruccioacuten matemaacutetica (DrsquoAmore Font y Godino 2007 Font yContreras 2008 Godino Batanero y Font 2007 Godino Contreras y Font 2006Ramos y Font 2008) Este marco trata de integrar diversas aproximaciones y modelosteoacutericos usados en la investigacioacuten en educacioacuten matemaacutetica a partir de presupuestosantropoloacutegicos (Bloor 1983 Chevallard 1992) y semioacuteticos (Radford Schubring ySeeger 2008) sobre las matemaacuteticas adoptando principios didaacutecticos de tipo sociocons-tructivista (Ernest 1998) e interaccionista (Cobb y Bauersfeld 1995) para el estudio delos procesos de ensentildeanza y aprendizaje

Estructuramos el artiacuteculo en seis apartados el primero de los cuales es esta introduc-cioacuten En el segundo apartado introducimos los niveles de anaacutelisis didaacutectico En el terce-ro presentamos la transcripcioacuten de un episodio breve de clase que vamos a utilizar paraejemplificar nuestro modelo En el siguiente apartado aplicamos los niveles descriptivosy explicativos al anaacutelisis del episodio de clase A continuacioacuten aplicamos el nivel valora-tivo y por uacuteltimo terminamos con algunas reflexiones sobre la aplicacioacuten del modelode anaacutelisis propuesto en la formacioacuten de profesores de matemaacuteticas La reflexioacuten de losprofesores sobre su propia praacutectica docente es un requisito importante para la mejoraefectiva de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje (Schoumln 1983) Dicha reflexioacuten debeser sistemaacutetica teniendo en cuenta las diversas facetas implicadas y tipos de conoci-mientos requeridos (conocimiento profundo del contenido especializado de los estu-diantes y de las interacciones en el aula entre otros) Las herramientas teoacutericas presenta-das en este trabajo convenientemente adaptadas pueden ser usadas por el profesoradopara fundamentar cambios y mejoras Aunque algunas partes del modelo son especiacuteficasde la actividad matemaacutetica investigadores de otras aacutereas educativas pueden adaptarlasde modo que resulten eficaces en el anaacutelisis didaacutectico de otros tipos de praacutecticas escola-res

iquestQUEacute ANALIZAMOS

En diversos trabajos realizados en el marco del enfoque ontosemioacutetico del conoci-miento matemaacutetico (DrsquoAmore et al 2007 Font y Contreras 2008 Godino Font Wil-helmi y de Castro 2009) se han propuesto cinco niveles para el anaacutelisis de procesos deinstruccioacuten

1) Anaacutelisis de los tipos de problemas y sistemas de praacutecticas2) Elaboracioacuten de las configuraciones de objetos y procesos matemaacuteticos3) Anaacutelisis de las trayectorias e interacciones didaacutecticas4) Identificacioacuten del sistema de normas y metanormas5) Valoracioacuten de la idoneidad didaacutectica del proceso de instruccioacuten














EL EPISODIO








7 km2 5 km2














65075 65072 = 9296 hkm2 en B17 7

190030 = 9296 hkm2 en B2 9296lt380065




19030 - x = 65072 + x 38006 - x = 9296 + x 38006 - 9296 = x + x5 7 5 7 5 7

28710 = 12x x = 2871035 x = 837375 83737 personas35 12













































































problema



problema


personas





































































































EL EPISODIO








7 km2 5 km2














65075 65072 = 9296 hkm2 en B17 7

190030 = 9296 hkm2 en B2 9296lt380065




19030 - x = 65072 + x 38006 - x = 9296 + x 38006 - 9296 = x + x5 7 5 7 5 7

28710 = 12x x = 2871035 x = 837375 83737 personas35 12













































































problema



problema


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EL EPISODIO








7 km2 5 km2














65075 65072 = 9296 hkm2 en B17 7

190030 = 9296 hkm2 en B2 9296lt380065




19030 - x = 65072 + x 38006 - x = 9296 + x 38006 - 9296 = x + x5 7 5 7 5 7

28710 = 12x x = 2871035 x = 837375 83737 personas35 12













































































problema



problema


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65075 65072 = 9296 hkm2 en B17 7

190030 = 9296 hkm2 en B2 9296lt380065




19030 - x = 65072 + x 38006 - x = 9296 + x 38006 - 9296 = x + x5 7 5 7 5 7

28710 = 12x x = 2871035 x = 837375 83737 personas35 12













































































problema



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personas


































































































































































problema



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personas




















































































































































problema



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personas





































































































































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personas

























































































































problema



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problema



problema


personas






































































































problema



problema


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