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ESTADÍSTICA PARA LA ADMINISTRACIÓN
La palabra estadística tiene 2 significados;
Estadística 1; hechos numéricos sistemáticamente recolectados 2; Ciencia de recolectar, clasificar y utilizar estadísticas
–(Oxford
Concise Dictionary) Por ejemplo……………….
Introducción a la Estadística
Algunas definiciones de Estadistica.
Rama de las matemáticas que proporciona herramientas que permiten manejar grandes cantidades de datos, convirtiendolos en información útil.
Forma de decir mentiras con fundamentos matemáticos.
DEFINICION: Es una ciencia, pues aplica el
Método Científico al ocuparse de la recolección, organización, análisis, interpretación y presentación de datos, tanto para la deducción de conclusiones como para la toma de decisiones razonables de acuerdo a tales análisis.
Introducción (cont.)
La ciencia de la Estadística utiliza; · matemáticas (teoría de probabilidades) · ciencia de las computadoras (graficos
and simulaciones) · filosofía
Qué distingue a la Estadística de las matemáticas? · La estadística hace uso de las
matemáticas
La Estadística enfatiza la VARIABILIDAD NATURAL De individuos (personas, plantas, ratas,
ovejas, bombillas de luz, precios de acciones, etc).
La Estadística es utilizada por: · científicos · biólogos · químicos · físicos · psicólogos · economistas
Introducción (cont.)
Introducción (cont.)
La Estadística se usa para: Informar al publico Proveer comparaciones Explicar resultados Influenciar decisiones Justificar un reclamo o afirmación Predecir futuros resultados Establecer una relación o asociación Estimar cantidades desconocidas
Los Estadísticos (personas que estudian la estadística): Entienden la idea de la variabilidad de los individuos
Se toman el tiempo siendo lógicos, profundos e imparciales cuando preparan resultados y reportes
Se cuidan de no sacar conclusiones que están fuera de los límites de la pregunta que debe responderse mediante la estadística
Introducción (cont.)
UNIDAD DE ESTUDIO: Es el elemento mas pequeno al que podemos hacer referencia en un estudio estadistico.
COLECTIVO: Es todo conjunto compuesto por mas de una unidad de estudio; un colectivo puede ser una MUESTRA o una POBLACION.
Datos Datos son piezas de información Varias piezas de datos forman un conjunto de
datos Los Datos se componen de los objetos que han
sido medidos (eg personas, arboles, ratas) y los atributos que fueron registrados (edad, tamaño, ph, costo, peso, etc)
objetos son aka sujetos, casos, entidades, etc Atributos son aka caracteristicas, variables,
factores, etc
Variables
Cuando medimos los atributos de un objeto, obtenemos un valor que varía entre objetos. Por ejemplo considere las personas en esta clase como objetos y su estatura como el atributo
El atributo “altura” varía entre objetos, de ahí que los atributos son mas colectivamente conocidos como variables
TIPOS DE VARIABLES:
DISCRETAS: Son aquellas que toman valores puntuales en una escala, ejemplo: No. de unidades producidas, No. de quintales transportados, etc.
CONTINUA: Son aquellas que pueden tomar cualquier valor real en una escala, por ejemplo:Temperatura, peso, longitud, etc.
Tipos de Datos
Las Variables pueden ser medidas en cuatro escalas diferentes
Es escencial que sea capaz de identificar las cuatro diferentes escalas de medición y ejemplos de cada una
1 Escala Nominal de Medición
Los datos son medidos al nivel nominal donde cada caso es clasificado en una de un numero discreto de categorías
EG Color, Partido Politico, Genero, etc
2 Escala Ordinal de Medición
Los datos son medidos en una escala ordinal si las categorías implican orden
EG Rango Militar, Talla de ropa, etc
La diferencia entre rangos es consistente en dirección, pero no en magnitud.
3 Escala de medición de Intervalo
Si las diferencias entre los valores tienen significado, los datos son medidos en la escala de Intervalo.
La temperatura es el mejor ejemplo
4 Escala de medición de Ratio (rata)
Los datos medidos en una escala de ratio tienen diferencias que son significativas, y relativas a algun punto real de origen o cero.
eg Peso, Altura, edad, etc Esta es la escala más común de medición.
Tipos de Datos (Cont.) Datos de tipo Ordinal, Intervalo y Ratio también
se conocen como datos Cuantitativos Datos de tipo Nominal también son denominados
datos Cualitativos
Dos tipos de Estadística
Estadística Descriptiva métodos de resumir grandes cantidades
de datos en una forma conveniente
Estadística Inferencial Métodos para extraer
conclusiones (hacer inferencias) respecto a las características de una población
por ejemplo…….
POBLACION: Se le llama población o universo, al conjunto total de unidades de estudio que se desean investigar.
MUESTRA: Es un subconjunto de una población. Se utiliza cuando la población es muy numerosa, infinita o muy difícil de examinar.
MUESTRA ALEATORIA: Es cuando cada elemento tiene la misma oportunidad de ser escogido.
• Muestreo aleatorio estratificado:
• Muestreo aleatorio sistematico:
Poblaciones
Un componente esencial de entender la ciencia de la estadística es entender estos términos
La población consiste en el conjunto de todas las mediciones en que el investigador está interesado
Un número que describe una población se denomina un parametro
por ejemplo…………...
Muestras
Una muestra es un subconjunto de datos de la población
Un numero que describe una muestra es un estadístico
por ejemplo…………...
Inferencia Si tomamos una muestra y calculamos un
estadístico, utilizamos ese estadístico para inferir algo respecto a la población de la cual la muestra fue extraída.
EG: Comunmente, las muestras son utilizadas para inferir respecto a:
Resultados de Elecciones Preferencias del consumidor Actitudes hacia aspectos sociales Se le ocurre algún otro ?????
CONTENIDO
Estadistica Descriptiva Regresion y Correlacion Distribuciones Control Estadistico de Procesos
ESTADISTICA DESCRIPTIVA:
Es la parte de la Estadística que trata solamente de describir y analizar un colectivo, sin sacar conclusiones o inferencias de un colectivo mayor, a partir de ella.
La Estadística descriptiva incluye las técnicas que se relacionan con el resumen y la descripción de datos. Estos datos pueden ser representados en forma gráfica y pueden incluir análisis por computadora.
ESTADISTICA DESCRIPTIVA MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL MEDIDAS DE DISPERSION MEDIDAS DE ORDEN MEDIDAS DE FORMA REPRESENTACION GRAFICA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
MEDIA (ARITMETICA O PONDERADA)
MODA MEDIANA
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Rango Desviacion Media Varianza Desviación Típica o
standard
MEDIDAS DE ORDEN
Cuartiles Deciles Percentiles
MEDIDAS DE FORMA
Sesgo Curtosis Momentos
REPRESENTACION GRAFICA Histograma de frecuencias Diagrama de Pareto Ojiva de Frecuencias
Acumuladas Diagrama de Pastel Diagrama de Cajas Diagrama de Tallos y Hojas
MEDIA ARITMETICA
.....
....
.
:
1
datosdeTotaln
datoslosdeunoCadax
AritmeticaMediax
Donden
xx
i
n
ii
1 192 223 244 205 21 338/15 = 22.536 197 258 219 23
10 2211 2212 2113 2414 3515 20
338
Edad de 15 estudiantes de universitarios
Media Aritmetica =
EJEMPLO
.....
....
..
.
:
*
1
1
datosdeTotaln
datoslosdeunoCadax
PesodeFactorw
PonderadaMediax
Donde
w
xwx
i
n
ii
n
iii
i
MEDIAPONDERADA
EJEMPLO
Dia Cantidad Peso Cant*Peso1 1500 98 1470002 2500 103 2575003 1200 105 1260004 5500 90 4950005 2000 99 1980006 1800 100 1800007 450 109 49050
14950 704 1452550
Media Ponderada = 97.16
Media Aritmetica = 100.57
Produccion de Sacos de Fertilizantedurante una semana
Mediana
Valor que divide la serie de datos en dos partes iguales. Si el numero de datos es impar, es el valor
que está situado justo en medio.
Si el número de datos es par, es el promedio aritmético de los dos datos de en medio.
19192020212121
Mediana --> 2222222324242535
EJEMPLO
Moda
Es el valor que mas se repite en un conjunto de datos.
Puede no existir o puede existir mas de uno.
1919202021
Moda -----> 212122
Moda -----> 22222324242535
EJEMPLO
RANGO (R)
El rango de un conjunto de números es la diferencia entre el dato mayor y el datomenor de todos ellos. El rango considera solo el valor más alto y el más bajo de ladistribución y deja de tomar en cuenta cualquier otra observación del conjunto de datos.Debido a que mide dos valores, el rango cambia drásticamente entre muestras de unamisma población, aunque los valores que se encuentren entre el mayor y menor puedanser muy similares. Téngase en mente también, que las distribuciones abiertas en losextremos no tienen rango, ya que no tiene valores "mayor" o "menor".
R = dato mayor - dato menor
EJEMPLO
Hallar el rango de los siguientes de números:
5,3,8,4,7,6,12,4,3
R = 12 - 3 = 9
Dato Menor -------> 191920202121 Rango = 35 - 19 = 162122222223242425
Dato Mayor -------> 35
EJEMPLO
DESVIACION MEDIA (D.M.)
La desviación media, es una medida de dispersión que involucra las diferencias (odesviaciones) entre cada uno de los valores de la distribución y su media aritmética. Paracalcularla se debe restar la media aritmética a cada valor del conjunto de datos y seignora el signo (positivo o negativo), es decir, que se toma el valor absoluto de lasdesviaciones; de lo contrario la suma algebraica será nula. Finalmente, se suman todasestas diferencias y se divide por el número total de la muestra. _
Desviación = di = xi - x _ D.M. = ¦ xi - x ¦ / N
Dato Menor -------> 19 - 22.53 = 3.5319 - 22.53 = 3.5320 - 22.53 = 2.5320 - 22.53 = 2.5321 - 22.53 = 1.5321 - 22.53 = 1.5321 - 22.53 = 1.5322 - 22.53 = 0.5322 - 22.53 = 0.5322 - 22.53 = 0.5323 - 22.53 = 0.4724 - 22.53 = 1.4724 - 22.53 = 1.4725 - 22.53 = 2.47
Dato Mayor -------> 35 - 22.53 = 12.47
Media = 22.53 Sumatoria 36.67
Desviacion Media = 36.67/15 = 2.44
EJEMPLO
DESVIACION TIPICA (s)
La desviación típica es la medida de dispersión más importante, ya que losvalores extremos de la distribución son influyentes en el cálculo de la misma,no así los valores que se encuentran cerca de la media aritmética, ysimplemente es la raíz cuadrada de la varianza.
s = (xi - x)2) /N
A veces, la desviación típica viene definida por (N - 1) en el denominadoren lugar de N, a esta se le llama desviación estandar, ya que el valorresultante es un estimador mejor de la desviación típica de la población.
Para valores grandes (N > 30) prácticamente no hay diferencia entre ladesviación típica y la estandar.
Dato Menor -------> 19 - 22.53 = 3.53 2̂ = 12.4819 - 22.53 = 3.53 2̂ = 12.4820 - 22.53 = 2.53 2̂ = 6.4220 - 22.53 = 2.53 2̂ = 6.4221 - 22.53 = 1.53 2̂ = 2.3521 - 22.53 = 1.53 2̂ = 2.3521 - 22.53 = 1.53 2̂ = 2.3522 - 22.53 = 0.53 2̂ = 0.2822 - 22.53 = 0.53 2̂ = 0.2822 - 22.53 = 0.53 2̂ = 0.2823 - 22.53 = 0.47 2̂ = 0.2224 - 22.53 = 1.47 2̂ = 2.1524 - 22.53 = 1.47 2̂ = 2.1525 - 22.53 = 2.47 2̂ = 6.08
Dato Mayor -------> 35 - 22.53 = 12.47 2̂ = 155.42
Media = 22.53 Sumatoria 211.73
Varianza= 211.73/15 = 14.12
Desviacion Estandar = Raiz(14.12)= 3.76
EJEMPLO
USOS DE LA DESVIACION TIPICA
La desviación tipica permite determinar, con cierto grado de certeza, dondeestán localizados los valores de una distribución de frecuencia con relación a lamedia.
Se puede medir con bastante precisión el porcentaje de elementos quecaen dentro de rangos específicos, si la distribución de frecuencias toma la formade una curva simétrica en forma de campana (campana de Gauss) llamadaDISTRIBUCION NORMAL, en estos casos se dice que:
1. Cerca del 68% de los valores de la población caerán dentro de más omenos una desviación tipica, a partir de la media aritmética.
2. Cerca del 95% de los valores se encontrarán dentro de más o menos dosdesviaciones tipica, a partir de la media aritmética.
3. Cerca del 99% de los valores estarán en un intervalo que va desde tresdesviaciones tipicas después de la media.
350 347 352 336336 385 340 340359 368 336 342374 391 336 344373 345 336 335381 380 340 346322 331 341 349351 363 332 340371 369 338 347339 384 340 337345 354 337 342330 347 340 342327 365 342 337340 349 351 340343 366 330 340323 333 340 336346 342 350 344349 332 342 336357 350 341 344350 355 335 340350 355 337 339349 350 341 340375 388 347 343354 329 343 349352 344 349 342
MAQUINA 1 MAQUINA 2
RESULTADO DEL PROCESO DE LLENADO INDUSTRIAL DE REFRESCOS (en ml)
322 350 330 340323 350 332 340327 351 335 341329 352 335 341330 354 336 341331 354 336 342332 355 336 342333 355 336 342336 357 336 342339 359 336 342340 363 337 342342 365 337 343343 366 337 343344 368 337 344345 369 338 344345 371 339 344346 373 340 346347 374 340 347347 375 340 347349 380 340 349349 381 340 349349 384 340 349350 385 340 350350 388 340 351350 391 340 352
MAQUINA 1 MAQUINA 2
DATOS ORDENADOS
322 350 330 340323 350 332 340327 351 335 341329 352 335 341330 354 336 341331 354 336 342332 355 336 342333 355 336 342336 357 336 342339 359 336 342340 363 337 342342 365 337 343343 366 337 343344 368 337 344345 369 338 344345 371 339 344346 373 340 346347 374 340 347347 375 340 347349 380 340 349349 381 340 349349 384 340 349350 385 340 350350 388 340 351350 391 340 3528500 9170 17670 8433 8614 17046
Media Aritmetica = 17670/50 = 353.4 17046/50= 340.9
Mediana = Dato 25 + Dato 26
Moda = 350 340
MAQUINA 1 MAQUINA 2
2.00
350 340
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Rango = 391 - 322 = 69 352 - 330 = 22
Desv. Media = 689/50 = 14 183/50 = 4
Desv. Est. = raiz(14923/50) = 17 raiz(1144/50) = 5
MAQUINA 1 MAQUINA 2
MEDIDAS DE DISPERSION
322 350 330 340323 350 332 340327 351 335 341 # DE DATOS = 50329 352 335 341330 354 336 341 # DE CLASES O INTERVALOS = 1+3.3 * LOG (N) o Raiz(N)331 354 336 342332 355 336 342 6.61 7.07333 355 336 342336 357 336 342339 359 336 342 Amplitud de los intervalos = Rango/# de intervalos340 363 337 342342 365 337 343 Maquina 1 10343 366 337 343 Maquina 2 3344 368 337 344345 369 338 344345 371 339 344346 373 340 346347 374 340 347347 375 340 347349 380 340 349349 381 340 349349 384 340 349350 385 340 350350 388 340 351350 391 340 352
MAQUINA 1 MAQUINA 2
CONSTRUCCION DE UNA TABLA DE FRECUENCIAS
L. I. L. S. f L. I. L. S. f322 - 331 6 330 - 332 2332 - 341 5 333 - 335 2342 - 351 17 336 - 338 11352 - 361 7 339 - 341 15362 - 371 6 342 - 344 11372 - 381 5 345 - 347 3382 - 391 4 348 - 350 4
50 351 - 353 250
MAQUINA 2MAQUINA 1
TABLA DE FRECUENCIAS
L. I. L. S. Xi f F F%322 - 331 326.5 6 6 12332 - 341 336.5 5 11 22342 - 351 346.5 17 28 56352 - 361 356.5 7 35 70362 - 371 366.5 6 41 82372 - 381 376.5 5 46 92382 - 391 386.5 4 50 100
50
MAQUINA 1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1 2 3 4 5 6 7
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
OJIVA DE FRECUENCIAS
0102030405060708090
100
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
Intervalo
Frec
uenc
ia A
cum
ulad
a
MEDIDAS DE ORDEN
Son aquellas que nos permiten ubicar un dato de acuerdo a la posicion que ocupa dentro de la serie de datos.
Nos permiten ordenar, clasificar y categorizar los datos.
Tambien se conocen como fractilos porque dividen los datos en partes iguales.
FRACTILOS
De acuerdo al numero de partes en que se dividan los datos los fractilos pueden ser: Cuartiles: si dividen a los datos en
cuatro partes iguales. Deciles: si dividen a los datos en
diez partes iguales. Percentiles o Centiles: si dividen a
los datos en cien partes iguales.
FRACTILOS cont...
Por ejemplo, los cuartiles dividen la distribucion de datos en cuatro partes iguales, cada una conteniendo el 25% de los datos.
De lo anterior se deduce que, como se dijo anteriormente, si la mediana divide los datos en dos partes iguales, debe ser igual al cuartil 2, al decil 5 y al percentil 50.
FRACTILOS cont...
Forma de calculo: D = # de partes en que vamos a
dividir los datos (para cuartiles 4, para deciles 10, para percentiles 100).
F = # del fractilo a calcular, es decir, si queremos calcular el tercer cuartil, F es igual a 3, si queremos calcular el sexto decil, F es igual a 6, etc.
N = # de datos en la distribucion.
FRACTILES cont... Entonces, la posicion del fractilo esta
dada por: F*N + (D-F)
D Ejemplo: Para calcular el cuartil 3 de
50 datos: 3*50 + (4-3) 4 37.75, es decir que el tercer cuartil esta
ubicado entre el dato 37 y el 38, a un 75% de la distancia entre ambos datos.
EJEMPLO
Para continuar con el ejemplo de las dos maquinas llenadoras, vamos a calcular los cuartiles 1 y 3 para cada maquina, entonces: D = 4 N = 50 F = 1 y 3
1*50 + (4-1) 4 13.25 para el cuartil 1 3*50 + (4-3) 4 37.75 para el cuartil 3 Esto quiere decir que el cuartil 1 se encuentra entre el dato 13 y
el 14 mientras que el cuartil 3 esta entre el dato 37 y 38.
322 350 330 340323 350 332 340327 351 335 341 Para la Maquina 1 el dato 13 es 343 y el 14 344329 352 335 341330 354 336 341 La diferencia entre estos dos datos es 1331 354 336 342332 355 336 342 Posicion del cuartil 1 = 13.25333 355 336 342336 357 336 342 Cuartil 1 = 343.25339 359 336 342340 363 337 342 Para la maquina 1 el dato 37 es 365 y el 38 es 366342 365 337 343343 366 337 343 La diferencia entre estos dos datos es 1344 368 337 344345 369 338 344 Posicion del cuartil 3 = 37.75345 371 339 344346 373 340 346 Cuartil 3 = 365.75347 374 340 347347 375 340 347 Maquina 2349 380 340 349349 381 340 349 Cuartil 1 = 337 (En este caso el dato 13 y 14 son iguales)349 384 340 349350 385 340 350 Cuartil 3 = 343 (De igual forma, el dato 37 y 38 son iguales)350 388 340 351350 391 340 352
MAQUINA 1 MAQUINA 2
OTRA MEDIDA DE DISPERSION El Rango Intercuartil es otra
medida de dispersion utilizada para poder determinar el rango de valores en el que se encuentra el 50% de los datos, excluyendo el 50% que se encuentre en los extremos, es decir, 25% en el extremo superior y 25% en el extremo inferior.
RANGO INTERCUARTIL
El rango intercuartil es la diferencia entre el cuartil 3 y el cuartil 1:
RI = Q3 - Q1
EJEMPLO
Para las maquinas llenadoras: Maquina 1:
365.75 - 343.25 22.5
Maquina 2: 343 - 337 6
DIAGRAMA DE CAJAS
Esta es una herramienta sumamente util para comparar distintos grupos de datos, ya que permite ver en una sola grafica, la tendencia central y la dispersion, asi como detectar datos atipicos o sospechosos.
Non-Outlier Max = 25Non-Outlier Min = 19
75% = 2425% = 20
Median = 22
Outliers
Box Plot (notas.STA 1v*15c)
16
20
24
28
32
36
40
VAR1
EJEMPLO
PASOS PARA CONSTRUIR UN DIAGRAMA DE CAJAS
Calcular los cuartiles 1,2 y 3. Graficar una linea para cada uno de
los cuartiles. La caja queda definida por el rango intercuartil y la linea dentro de la caja identifica la mediana.
Calcular el rango intercuartil (Q3 - Q1) al que se denomina RI.
Calcular dos valores: Valor Adyacente Superior y Valor Adyacente Inferior (VAS y VAI).
Estos valores se calculan de la siguiente manera: VAS = Q3 + 1.5*RI VAI = Q1 - 1.5*RI
Luego, encontrar en los datos dos valores: m y M tal que: m = max(Xi | Xi <= VAS) M = min(Xi | Xi >= VAI)
Estos valores se grafican como los limites de los alambres que nos sirven para identificar datos atipicos del conjunto de datos.
EJEMPLO19 Posicion del cuartil 1 = (15*1 + 4 -1)/419 Posicion del cuartil 1 = 4.520 Cuartil 1 = 20.520 Posicion del cuartil 2 = (15*2 + 4-2)/421 Posicion del cuartil 2 = 821 Cuartil 2 = 22 (Mediana)21 Posicion del cuartil 3 = (15*3 + 4-3)/422 Posicion del cuartil 3 = 11.522 Cuartil 3= 23.522 Rango Intercuartil = 23.5 - 20.5 = 323 VAS = Q3 + 1.5*RI = 23.5 + 1.5*324 VAS = 2824 VAI = Q1 - 1.5*RI = 20.5 - 1.5*325 VAI = 1635 m = 25
M = 19
Non-Outlier MaxNon-Outlier Min
Median; 75%25%
Box Plot (notas.STA 2v*50c)
310
320
330
340
350
360
370
380
390
400
MAQUINA 1 MAQUINA 2
PARETO: Forma de separar los pocos vitales de
los muchos triviales, que significa en esencia analizar la causas y efectos que constituyen en el 80% de un problema y obviar el 20% que suelen ser causas triviales.
Este enfatiza en la mayoría de los casos que pocas causas pueden ser provocadoras del 80% de efectos de un problema.
Ejemplo: Se presenta a continuación una tabla con las causas a las que se atribuye el bajo rendimiento de los alumnos en los programas de maestria que imparte FISICC.
Construya un diagrama de pareto para identificar cuales son los principales problemas que afrontan los estudiantes.
Frecuencia Aporte por AcumuladoTIPO DE FACTOR Frecuencia Acumulada Factor %Preparación de la clase N/H 63 63 19.69% 19.69%No estudiar adecuadamente 41 104 12.81% 32.50%Metodología de la enseñanza 31 135 9.69% 42.19%Programa de la maestria 28 163 8.75% 50.94%Preparación del Catedrático 27 190 8.44% 59.38%Interes 27 217 8.44% 67.81%Asistencia 19 236 5.94% 73.75%Método de evaluar el curso 13 249 4.06% 77.81%Caracteristicas del trabajo(est.) 11 260 3.44% 81.25%Problemas familiares 9 269 2.81% 84.06%Material didactico 9 278 2.81% 86.88%Horario 9 287 2.81% 89.69%Economia del estudiante 8 295 2.50% 92.19%Transporte 7 302 2.19% 94.38%Bibliografia 7 309 2.19% 96.56%Otros 11 320 3.44% 100.00%Total 320 100.00%
Diagrama de Pare de Factores que afectan el redimiento de los alumnos de FISICC
0
10
20
30
40
50
60
70
Pre
pa
raci
ón
de
la c
las
e N
/H
No
es
tud
iar
ad
ecu
ad
am
en
te
Me
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olo
gía
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ns
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an
za
Pro
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ae
str
ia
Pre
pa
raci
ón
de
l Ca
ted
rátic
o
Inte
res
As
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a
Mé
tod
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valu
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st.)
Pro
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o
Eco
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tud
ian
te
Tra
ns
po
rte
Bib
liog
rafia
Otr
os
Fre
cue
nci
a
COEFICIENTE DE VARIACION (cv)
La desviación tipica y la varianza son medidas de variación absoluta, es decir, miden lacantidad real de la variación presente en un conjunto de datos y dependen de la escala demedición.
Para comparar la variación entre diferentes muestras de datos es conveniente usar elcoeficiente de variación, el cual da la variación tipica como un porcentaje de la media aritmética. _ cv = s / x * 100
El coeficiente de variación mide la variación relativa de una muestra.
APLICACIONES DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSION
A B C D E
MEDIA 85 85 60 70 65
DESV.
18 16 22 14 12
¿Cuál es la clase más homogénea?
¿En cuál espera que existan menos alumnos que pierdan la clase?
¿En cuál parece que hay más problemas?
¿Comparando las clases A,B y D, En cuál seguramente hay notas más altas?
Media Aritmetica 85 85 60 70 65Desviacion Estandar 18 16 22 14 12Coeficiente de variacion 21.18 18.82 36.67 20.00 18.46
Problema: Exámenes de curso
1º. 2º. 3º 4º 5º 6º
Media 90 65 90 85 65 90
Desv. 12.5 7 7.5 8 17.4 9.5
¿Cuál cree Ud. Que fue el examen más difícil?
¿Cuál cree Ud. Que fue el más fácil?
MEDIDAS DE FORMA
Las medidas de forma sirven para darnos una idea respecto a la simetria y la agudez de la distribucion de los datos. Las medidas de forma mas importantes son: Sesgo Curtosis
SESGO
DesviaciónModaMedia
Sesgo
Si el resultado es positivo esta sesgada a la derecha
Si el resultado es negativo esta sesgada a la izquierda
OTRAS FORMULAS:
3*(MEDIA - MEDIANA) SESGO=
DESVIACION
Curtosis: También se le denomina grado de agudez, y es el grado de
apuntamiento de una distribución. Existen 3 tipos:
Normal o mesocurtica:Distribución no muy apuntalada ni achatada, o sea normal.
Leptocurtica: Tiene apuntamiento. Platicúrtica: Más achatada que la Normal.
VARIANZA (s2)
La varianza de la población es similar a la desviación media, pero en este caso,para calcular la varianza sumamos el producto de las desviaciones al cuadrado por surespectiva frecuencia ( fi * di
2 ) y luego dividimos esta suma entre el número total dedatos. Al elevar al cuadrado cada desviación, automáticamente se hacen positivos todoslos números y por tanto no es necesario tomar el valor absoluto de cada desviación,entonces tenemos:
_ s2 = fi*(xi - x)2
N
Utilizando propiedades de las sumatorias, se puede calcular la varianza así: _ s2 = ( fi*xi
2 )/N - (x)2
Para valores no agrupados tómese fi = 1.
AGRUPACION DE DATOS: Rango= Dato mayor -Dato menor Número de clases (K)
K= 1 + 3.3. Log N (usar entre 3 y 12 intervalos como máximo)
Intervalos de clase (i) i= Rango/K
Número de observaciones y número
de celdas recomendado: De: 20 - 50 6 celdas De: 51 - 100 7 celdas De: 101 - 200 8 Celdas De: 201 - 500 9 Celdas De: 501 - 1000 10 celdas De: 1000 en adelante 11 a 15 celdas
:
*)2(
Donde
if
Fn
LMedianaMe
a
ri
Lri = Limite inferior de la celda donde esta la mediana n = Número total de observacionesFa = Frecuencia acumulativa anterior a la celda donde esta la medianaFMe = Frecuencia de la celda de la mediana i = Ancho del intervalo de la celda.
MEDIANA
:
*)(21
1
Donde
iLModa ri
Lri = Limite inferior de la clase modal
= Diferencia con la clase anterior
= Diferencia con la clase posterior
i = Ancho del intervalo de la celda.
1
2
MODA
Intervalo Limites Aparentes Limites Reales Xi f F fr Fr Xi *f Xi -X (Xi - X) 2 f * (Xi - X) 2
1 10 19 9.5 19.5 14.5 3 3 0.03 0.03 43.500 -29.8 888.04 2664.122 20 29 19.5 29.5 24.5 14 17 0.14 0.17 343.000 -19.8 392.04 5488.563 30 39 29.5 39.5 34.5 29 46 0.29 0.46 1000.500 -9.8 96.04 2785.164 40 49 39.5 49.5 44.5 22 68 0.22 0.68 979.000 0.2 0.04 0.885 50 59 49.5 59.5 54.5 14 82 0.14 0.82 763.000 10.2 104.04 1456.566 60 69 59.5 69.5 64.5 10 92 0.1 0.92 645.000 20.2 408.04 4080.47 70 79 69.5 79.5 74.5 4 96 0.04 0.96 298.000 30.2 912.04 3648.168 80 89 79.5 89.5 84.5 2 98 0.02 0.98 169.000 40.2 1616.04 3232.089 90 99 89.5 99.5 94.5 2 100 0.02 1 189.000 50.2 2520.04 5040.08
Total 100 1 4430.000 Total 28396
MEDIA = 4430 44.30 Varianza = 28396 283.96100 100
Desviación = SQR(283.96) 16.85111
Calculo de Medidas de Tendencia Central
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
0
5
10
15
20
25
30
35
14.5 24.5 34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5
MARCA DE CLASE
FRECUENCIA
Cálculo de la MODA
32.36
10*)22/15(5.29
*)(21
11
iLModa
Cálculo de la Mediana
32.41
10*)22/)4650((5.39
*)2(
if
Fn
LMedianaMe
a
ri
.
CUARTILES (Qj)
Análogamente a la mediana, que divide en 2 partes los datos, los cuartiles sonparámetros que dividen la muestra de datos en 4 partes iguales, de manera quese tiene:
CUARTIL PRIMERO (Q1)
Q1 = 25% de los datos y se obtienen para 1N/4.
CUARTIL SEGUNDO (Q2)
Q2 = 50% de los datos y se obtiene para 2N/4 = N/2. El cuartil 2 es igual ala mediana.
CUARTIL TERCERO (Q3)
Q3 = 75% de los datos y se obtiene para 3N/4.
LA FORMULA GENERAL ES:
Qj = Lri + ( (jN/4 - FaQj)/fQj) * i
donde j representa el número del cuartil y jN/4 se calcula inicialmente y en base alresultado obtenido, se sustituyen en la fórmula los datos correspondientes alintervalo donde la frecuencia acumulada sea mayor o igual a dicho resultado, elcálculo de un cuartil es similar al cálculo de la mediana.
DECILES (Dj)
Son los valores que dividen los datos en 10 partes iguales, como los cuartiles, y serepresentan por:
D1 = 10% de los datos y se obtiene para 1N/10,D2 = 20% de los datos y se obtiene para 2N/10,
y así sucesivamente hasta:
D9 = 90% de los datos y se obtiene para 9N/10.
LA FORMULA GENERAL ES:
Dj = Lri + ( (jN/10 - FaDj)/fDj) * i
donde j representa el número del decil y se aplica análogamente al cálculo de loscuartiles.
PERCENTILES (Pj)
Los percentiles son parámetros que dividen a los datos en cien partes iguales y serepresentan por:
P1 = 1% de los datos y se obtiene para 1N/100,P2 = 2% de los datos y se obtiene para 2N/100,P3 = 3% de los datos y se obtiene para 3N/100,
y así sucesivamente hasta:
P99 = 99% de los datos y se obtiene para 99N/100.
LA FORMULA GENERAL ES:
Pj = Lri + ( ( jN/100 - FaPj)/fPj) * i
donde j representa el número de percentil, y se calculan análogamente a loscuartiles y deciles.
Nótese que Me = Q2 = D5 = P50.
EJEMPLO
La siguiente tabla muestra una distribución de frecuencias de los salariossemanales de 65 empleados de una compañía:
Salarios(Q)
No. deempleados (fi)
Fa Limites reales
50.00 - 59.99 60.00 - 69.99 70.00 - 79.99 80.00 - 89.99 90.00 - 99.99100.00 - 109.99110.00 - 119.99
8 10 16 14 10 5
2
8 18 34 48 58 63 65
49.995 - 59.995 59.995 - 69.995 69.995 - 79.995 79.995 - 89.995 89.995 - 99.995 99.995 - 109.995109.995 - 119.995
N = 65
Hallar:
a) Cuartil 3 (Q3).b) Decil 2 (D2).c) Percentil 5 (P5).
Solución:
a) Q3 = Lri + ( (3N/4 - FaQ3)/fQ3) * i
3N/4 = 3x65/4 = 195/4 = 48.75
Se busca en las frecuencias acumuladas un número que seamayor o igual a 48.75, en este caso nos da el intervalo 89.995 -99.995, y se sustituyen en la fórmula todos los datoscorrespondientes a ese intervalo:
Q3 = 89.995 +( (48.75 - 48)/10) * 10 = 90.75
Esto significa que el 75% de los empleados ganan un salario deQ90.75 o menos.
b) D2 = Lri + ((2N/10 - FaD2)/fD2) * i
2N/10 = 2x65/10 = 130/10 = 13
D2 = 59.995 + ((13 - 8)/10) * 10 = 65.00
El 20% de los empleados ganan Q 65.00 o menos.
c) P5 = Lri + ((5N/100 - FaP5)/fP5) * i
5x65/100 = 3.25
P5 = 49.995 + ((3.25 - 0)/8) * 10 = 54.06
El 5% de los empleados ganan Q 54.06 o menos.
EJEMPLO
Calcule la desviación media del ejemplo anterior(media aritmética = 11.0917 ton):
Marcas de clase(xi)
_ xi - x
_fi* xi - x
9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0
1.5917 1.0917 0.5917 0.0917 0.4083 0.9083 1.4083 1.9083
3.1834 5.4585 7.1004 1.5589 5.7162 5.4498 4.2249 1.9083
36.6004
D.M. = 36.6004/60 = 0.61 Ton.
EJEMPLOCon los datos del problema anterior, encuentre:a) varianza (s2),b) desviación típica (s),c) desviación estándar (s’),
d) coeficiente de variación (V).
Solución
Xi fi fi * Xi (Xi - X)^2 fi * (Xi - X)^29.5 2.0 19.0 2.533403 5.066806
10.0 5.0 50.0 1.191736 5.95868110.5 12.0 126.0 0.350069 4.20083311.0 17.0 187.0 0.008403 0.14284711.5 14.0 161.0 0.166736 2.33430612.0 6.0 72.0 0.825069 4.95041712.5 3.0 37.5 1.983403 5.95020813.0 1.0 13.0 3.641736 3.641736
60.0 665.5 32.24583
Media = Suma(fx) / n Media = 665.5 11.091667n = 60 60.0Suma( fx) = 665.5
a) varianza (s2): Suma(fi * (xi – X)^2)
s2 = 32.2458/60 = 0.537
b) desviación típica (s):
s = 32.2458/60 = 0.733
c) desviación estandar (s´):
s’ = 32.2458/(60 - 1) = 0.739
como puede observarse, hay una variación no significativaentre la desviación típica y la estandar.
d) coeficiente de variación (V): (S/X) * 100
V = 0.733/11.0917 * 100 = 6.61%
Ejemplos de uso de la Desviación típica,
y Varianza
2
2
.).(
))(*(..
StDesvVarianza
n
XXfStDesv
i
MOMENTOS
Se utilizan para producir valores que sirven el cálculo de las medidas de asimetría y agudez.
Existen de 3 clases: Con respecto del origen Con respecto a la media. Con respecto a cualquier punto.
Datos no agrupados: Respecto al origen
Respecto a la media
,..3,2,1 rdondeN
xx
rjr
,..2,1)(
rdondeN
xxm
rj
r
Con respecto a cualquier punto.
,..3,2,1)(
rdondeN
Axm
rj
r
Datos agrupados:
momentosegundor
mediaesrparaN
xfx
rjj
r
2
1
.var,2
)(*
ianzaesr
condondeN
xxfm
r
jjr
N
Axfm
rjj
r
)(*
Coeficiente de asimetría
Dado en función del momento 3
23
3 sm
a + Asimetria positiva
0 Simétrica
-Asimetria negativa.
METODO DE OCHO PASOSPARA RESOLVER PROBLEMAS
“UNA PERSONA VALIENTE NO ES EL QUE NO TIENE MIEDO, SINO AQUEL QUE A PESAR DEL TEMOR LOSUPERA Y SE ENFRENTA A SUS PROBLEMAS”
Los problemas nunca se acaban
Pero todo en la vida tiene solución y los problemasempresariales no son la excepción. Sin embargo,hay que saberlos tratar para que se resuelvan de manera efectiva y, de ser posible, para siempre.
“Mil cortes en las hojas del árbol del mal equivalena uno sólo en las raíces” Thoreau
¿Qué es un problema?
SITUACIÓN EN DONDE EL RENDIMIENTO O COMPORTAMIENTO DE UN SISTEMA NO SA-TISFACE LAS EXPECTATIVAS.
En general, podríamos decir que existe un problemacuando algo no ofrece el resultado que esperamos.
Los ocho pasos• Definición del problema• Acción momentánea• Definición del origen• Acción correctiva definitiva• Comprobación• Estandarización• Documentación• Conclusiones
1. Definición del problemaA) El tiempo en que ocurreB) El tipo de problemaC) El síntoma presentadoD) Aspectos circunstancialesE) Incluir información que no pueda ser presentada en forma de datos (gráficas y diagramas)F) Considerar cuándo, cuánto, qué, quién, dónde, etcétera)
2. Acción momentáneaEs la acción para solucionar el problema temporalmente yasí garantizar que, a pesar de que el problema existe, éste no va a afectar al cliente.
Busque una acción momentánea a realizar para cada problemamientras lo resuelve de forma definitiva.
3. Definición del origen del problema
Definir dónde exactamente se originó un problema es laclave para encontrar la solución más acertada.
A) Generar lluvia de ideas: Un mismo problema puede ser visualizado de muydistintas maneras por diferentes personas.Importante: Debe realizarse en un clima de amistad.
Todas las ideas son importantes.
B) Elaborar diagrama de causa-efecto (Ishikawa): Relación entre un problema o resultado y las causasque lo ocasionaron.
Construcción de un diagrama de causa-efecto
1) Definir el problema2) Identificar las causas mayores ayudados por una lluvia de ideas.3) Identificar las subcausas.4) Ponderar las causas antes de evaluarlas5) Evaluar las causas más probables6) Tomar una solución.
Diagrama de causa-efecto
COMUNICACIÓN INADECUADA
R.R. H.H.EQUIPO
MEDIO AMBIENTE METODOS
LIDERAZGODESUNION
RESPONSABILIDAD
OPORTUNIDAD
IDENTIFICACION CON LA
INSTITUCION
REL. INTERNAS
ACTITUD
CONFIANZA
EQUIPO DE COMPUTO
DESIGUALDADTELEFONOS
ESPACIO
REDUCIDO
EXCESO DE PERSONAS
VENTILACION
TRABAJO
CARGAS
TIEMPOS
PROCESOS
DEFINICIÓN
OBJETIVOS
CLAROS
INFORMACION
FORMA DE TRANSMITIR
DISPONIBILIDAD
CLARIDADRIGIDEZ
DECISIONES
AUTORIDAD RIGIDA
4. Acción correctiva definitivaA) Actividades a realizarB) ResponsablesC) InvolucradosD) TiemposE) Recursos
5. ComprobaciónA) Tiempo de revisiónB) FrecuenciaC) Responsable
6. EstandarizaciónLos cambios deberán establecerse de manera
formal para asegurar su correcta aplicación enadelante.
7. DocumentaciónRecopilar toda la información, hechos, decisiones, etcétera, que se llevaron a cabo desde que aparecióel problema hasta su solución definitiva.
8. ConclusionesAunque el problema resuelto sea el mismo, la experienciasde cada una de las personas es diferente; cada quienve el problema desde su propia perspectiva.Compartir experiencias es una forma de aprendizajemuy enriquecedora.
Probabilidad:
Posibilidad de que algo llegue a suceder
Frecuencia de un evento dentro de un todo (población).
P= (NA/N) Donde:
NA= # de veces que ocurre el evento A
N= # total de posibles resultados.
FORMULAS: P(AUB)= P(A) + P(B) , para sucesos mutuamente
excluyentes (Si uno sucede es imposible que el otro se produzca).
P(AUB)= P(A) + P(B) - P(A B)
Para eventos no mutuamente excluyentes.
Si A y B son eventos independientes: P(A B)= P(A)*P(B)
Si los sucesos son dependientes:
P(A B)= P(A)*P(B/A)
PERMUTACION: Es una disposición ordenada de un
conjunto de objetos.
COMBINACION: Si la forma como se ordenan es irrelevante
entonces se le llama combinación, (no importa el orden)
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Y FRECUENCIA Experimento: En estadistica, se
denomina experimento a cualquier actividad que se realice con el fin de comprobar una hipotesis.
Evento: Es el resultado de un experimento.
Variables Aleatorias: Es aquella que toma valores diferentes como resultado
de un experimento aleatorio TIPOS:
DISCRETA: toma valores puntuales en una escala de medicion.
CONTINUA: Puede tomar cualquier valor dentro de una escala de medicion o de valores.
VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA:
Es un promedio pesado del valor de cada resultado posible multiplicado por la probabilidad de dicho resultado
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES: Están relacionadas con las distribuciones de frecuencias,
generalmente se piensa como una distribución de frecuencia teórica cuando se habla de distribución de probabilidades.
TIPOS: DISCRETAS: Cuando los datos y la variable toma números
limitados de valores. CONTINUAS: Cuando los datos y la variable (toma valores
en un rango a utilizar) y la población se puede decir que es muy grande (infinita)
DISTRIBUCIONES DISCRETAS: Entre las funciones de distribución de probabilidades que
más utilizamos están: HIPERGEOMETICA BINOMIAL POISSON
LA DISTRIBUCION BINOMIAL: Se utiliza en probabilidad discreta, cuyo número de elementos es
infinito, es usada cuando tenemos atributos, ejemplo: aceptable, no aceptable, éxito o fracaso, falla o no falla, etc.
Esta describe resultados de un proceso de Bernoulli (este proceso dice que las probabilidades solo pueden ser p= éxito, cara, etc
q=1-p, lo contrario de p. La probabilidad de este evento permanece fijo respecto al tiempo.
Los eventos son estadísticamente independientes.
Se utiliza cuando la muestra de la población es finita y se toma la muestra sin reemplazo
Para fines de la carrera es muy poco utilizado.
HIPERGEOMETICA:
Formula de la Binomial: P(Probabilidad de r éxitos en n ensayos)=
p= probabilidad de tener éxito q= probabilidad de no tener éxito r= # de éxitos deseados n= # de intentos hechos.
rnrqprnr
n
)
)!(!!
(
DISTRIBUCION DE POISSON: Se utiliza en probabilidad discreta, se aplica a diversas situaciones
que aplican la realización de observaciones por unidad de tiempo. Ejemplo contar el número de vehículos que llegan a una caseta de control, contar el número de máquinas descompuestas durante 1 día, distribución de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador, la demanda de pacientes que necesitan servicios, etc.
CARACTERISTICAS: Con el ejemplo del número de vehículos que pasan por una sola
caja de una caseta de cobro, daremos las características: La media del número de vehículos que llegan por hora pico
puede estimarse a partir de datos sobre tráfico que se tengan disponibles.
Si dividimos la hora pico en períodos (intervalos) de un segundo cada uno, encontraremos las siguientes afirmaciones: A) La probabilidad de que exactamente un vehículo llegue a
una caja por segundo es muy pequeño.
B) La probabilidad de que dos o más vehículos lleguen en un intervalo de un segundo es muy pequeña.
C) El número de vehículos que llegan a un intervalo dado de un segundo es independiente de que dicho intervalo se presente en la hora pico.
El número de llegadas en cualquier intervalo de un segundo no depende del número de llegadas en cualquier otro intervalo de un segundo.
FORMULA:
!)(
Xe
XPX
Donde:
= Número medio de presentaciones por intervalos de tiempo.
X= Valor de variable.
FUNCIONES CONTINUAS: La más utilizada es la Normal y es sobre la
cual esta soportada muchas aplicaciones. Definimos:
Donde:
xi= Dato
= Media
xx
Z i
x
Desviación
ANALISIS DE REGRESION Y CORRELACION
ANALISIS DE REGRESION El término regresión, se uso por primera vez como un concepto
estadístico por Sir Francis Galton. Galton hizo un estudio que mostró que, la altura de los niños de los padres altos tiende a bajarse, o "regresar", hacia la altura media de la población. El designó la palabra "regresión" como el nombre del proceso general de predecir una variable (la altura de los niños), a partir de otra (la altura de los padres).
Posteriormente, los estadísticos usaron el término regresión múltiple para describir el proceso mediante el cual se usan varias variables para predecir otra.
En el análisis de regresión, se desarrollará una ecuación de estimación, es decir, una fórmula matemática que relaciona las variables conocidas con la variable desconocida
TIPOS DE RELACIONES DE CURVAS DE REGRESION Los análisis de regresión y correlación, están basados en la
relación o asociación entre dos o más variables. La variable conocida es llamada variable independiente. La variable que se está tratando de predecir es la variable dependiente.
REGRESION LINEAL La ecuación de la relación lineal es:
Y = ao + a1X
Donde ao & a1 son parámetros estadísticos que se deben calcular.
METODO DE MINIMOS CUADRADOS Consideremos los puntos representados por (X1,Y1), (X2,Y2), ..., (Xn,Yn). Para un
valor de Xi, existirá una diferencia Di entre Yi y el valor que da la ecuación de ajuste. Cada diferencia Di, se conoce como desviación, error o residuo; la cual, puede ser positiva, negativa o cero.
De todas las curvas de aproximación a una serie de datos puntuales, la curva que tiene la propiedad de que:
D12 + D2
2 + ... + DN2 es mínimo
se conoce como la mejor curva de ajuste. Así una recta con esta propiedad se llama recta de mínimos cuadrados y tiene la ecuación:
Y = ao + a1X
donde las constantes ao y a1 se determinan mediante el sistema de ecuaciones simultáneas:
Y = ao (N) + a1 ( X)
XY = ao ( X) + a1 ( X2) que son llamadas ecuaciones normales para la recta de mínimos cuadrados. Si se resuelve el sistema en forma general, entonces se obtienen las siguientes
fórmulas:
221
22
2
)()(
))(()(
)()(
))(())((
xxN
yxxyNa
xxN
xyxxyao
Formulas para calcular los valores
CORRELACION La correlación, es el grado de relación que existe entre las variables, y un
análisis de correlación determina en que medida una ecuación lineal o de otro tipo describe o explica de una forma adecuada la relación entre las dos variables.
Si todos los valores de las variables satisfacen exactamente una ecuación, se dice que las variables están correlacionadas perfectamente o que hay correlación perfecta entre ellas. Así las áreas "A" y los radios "r" de todos los círculos están correlacionados perfectamente, puesto que A = * r2. Las variables altura y peso de los individuos muestran cierta correlación.
CORRELACION LINEAL Consideremos el diagrama de dispersión de la figura 4.3, si "Y" tiende a
incrementarse cuando "X" aumenta, como en (a), la correlación se dice positiva o correlación directa. Si "Y" tiende a disminuir cuando se incrementa "X", como en (b), la correlación se dice negativa o correlación inversa. Si no hay ninguna relación entre las variables, como en (c), se dice que no hay correlación entre ellas, es decir, no están correlacionadas.
COEFICIENTE DE CORRELACION LINEAL
Si se supone una relación lineal entre las dos variables, el coeficiente de correlación se calcula como:
Donde r esta en el rango entre -1 y 1, si
r=1 se dice que es una buena correlación y si r=0, no hay correlación
])(][)()[(
))(()(2222 yyNxxN
yxxyNr
COEFICIENTE DE DETERMINACION
Al cuadrado del coeficiente de correlacion se le denomina “coeficiente de determinacion”. Aunque el mas utilizado es el coeficiente de correlacion, es el coeficiente de determinacion el que tiene un significado mas concreto. El coeficiente de determinacion representa la fraccion (o el porcentaje) de la variacion de “y” que es explicada por la variacion de “x”. Por ejemplo, si obtenemos un coeficiente de correlacion de 0.95 y lo elevamos al cuadrado obtenemos 0.9025, es decir que la variacion de la variable independiente (x) explica el 90.25% de la variacion de la variable dependiente (y). El otro 10% de la variacion de “y” es atribuible a otras causas que pueden incidir en dicha variable.
EJEMPLO Los siguientes datos son las mediciones de velocidad del
aire y del coeficiente de evaporación de las gotitas de combustible en una turbina de propulsión.
Velocidad del aire Coeficiente de evaporación X (cm/seg) Y (mm2/seg) 20 0.18 60 0.37 100 0.35 140 0.78 180 0.56 220 0.75 260 1.18 300 1.36 340 1.17 380 1.65
Encuentre: a) la ecuación de la recta
de mínimos cuadrados, b) utilice la ecuación
anterior, para estimar el coeficiente de evaporación de una gotita
cuando la velocidad del aire es de 190 cm/seg,
c) coeficiente de correlación.
SOLUCION:
a) Recta de regresión "Y" sobre "X":
X Y X2 Y2 XY 20 0.18 400 0.0324 3.6 60 0.37 3,600 0.1369 22.2 100 0.35 10,000 0.1225 35.0 140 0.78 19,600 0.6084 109.2 180 0.56 32,400 0.3136 100.8 220 0.75 48,400 0.5625 165.0 260 1.18 67,600 1.3924 306.8 300 1.36 90,000 1.8496 408.0 340 1.17 115,600 1.3689 397.8 380 1.65 144,400 2.7225 627.0 2,000 8.35 532,000 9.1097 2,175.4
N = 10 datos X = 2,000 X2 = 532,000 Y = 8.35 XY = 2,175.40
Sustituyendo en las ecuaciones normales: Y = ao N + a1 X
XY = ao X + a1 X2
8.35 = ao 10 + a1 2,000 (1)
2,175.40 = ao 2,000 + a1 532,000 (2) Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) en forma simultánea tenemos:
ao = 0.069 ; a1 = 0.0038,
sustituyendo en Y = ao + a1 X, obtenemos la ecuación de la recta de regresión de "Y" sobre "X":
Y = 0.069 + 0.0038 X (3) b) para X = 190 el coeficiente de evaporación será: Y = 0.069 + 0.0038(190) = 0.79 Y = 0.79 mm2/seg
c) el coeficiente de correlación es :
r = 10(2,175.40) - (2,000)(8.35) = 0.95 [10(532,000)-(2,000)2][10(9.1097) - (8.35)2]
El valor del coeficiente de correlación nos indica:
• que la correlación es positiva, debido al signo del coeficiente,
• que la relación entre X & Y es bastante buena, ya que el coeficiente es bastante cercano a 1, en valor absoluto,
• cuando el coeficiente es bastante cercano a cero, se dice que no hay correlación entre las variables X & Y.
d) el coeficiente de determinacion es :
r^2 = 0.95 ^ 2 = 0.9025 equivalente a 90.25% El valor del coeficiente de determinacion nos indica:
• Que podemos atribuir en un 90.25% la variacion de Y a la variacion de X y un 9.75% de la variacion es atribuible a otros factores que no fueron considerados en el modelo matematico.
• Cuando el porcentaje es bajo, digamos abajo del 80%, debemos escoger otra variable independiente o agregar una variable mas al modelo y realizar un analisis de regresion multiple.
CURVE EXPERT
Es uno de tantos programas disponibles para realizar analisis de regresion y correlacion. Tiene la ventaja de tener predetermina-dos una gran cantidad de modelos, aparte de los que el usuario quiera definir. Es un Shareware que se encuentra disponible en internet.
