ESTADÍSTICA

SEMANA 8

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ÍNDICE TEORÍA DE CONTEO ....................................................................................................................... 3 APRENDIZAJES ESPERADOS ........................................................................................................... 3 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 3

REGLA DE LA SUMA ................................................................................................................... 3 REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN ............................................................................................. 4

PERMUTACIONES ...................................................................................................................... 5 FACTORIAL ................................................................................................................................. 5 VARIACIÓN ................................................................................................................................ 6 COMBINACIÓN .......................................................................................................................... 7

COMENTARIO FINAL .................................................................................................................... 10 REFERENCIAS ............................................................................................................................... 11

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TEORÍA DE CONTEO

APRENDIZAJES ESPERADOS El objetivo de esta semana es comprender los principales usos y aplicaciones de las técnicas de

conteo; se presentará la definición de permutaciones, combinaciones y diagramas de árbol, los

que permiten comprender las diferentes posibilidades en que puede ocurrir un determinado

evento.

INTRODUCCIÓN El concepto de teoría de conteo se puede ordenar en dos reglas principales, la regla de la suma y la

regla de la multiplicación y para esta regla en particular, se presentarán tres conceptos:

permutación, variación y combinación.

Diagrama explicativo

REGLA DE LA SUMA Para explicar la regla de la suma, se utilizará el concepto de tarea, el cual se refiere a cualquier

acción o experimento numerable, por lo tanto, si se quisiera realizar una tarea de m formas y una

segunda tarea de n formas y no es posible realizar las tareas en paralelo (al mismo tiempo),

entonces para realizar cualquiera de las tareas, pueden utilizarse las m + n formas.

A continuación se presenta un ejemplo para ilustrar esta definición: Una persona desea arrendar

una película y para esto se dirige a un video club; el video club tiene disponibles 20 películas de

terror, 15 de acción y 10 de comedia.

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Por la regla de la suma la persona puede elegir 20+15+10 = 45 películas

NOTA: la persona no quiere ver una película de terror y acción y comedia, sino terror o acción o

comedia.

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

Suponiendo que un experimento puede ocurrir de N formas y que este se puede separar en dos

subexperimentos consecutivos, donde cada resultado del primero, n, puede coincidir con cada

resultado del segundo, m, entonces, se cumple que:

Ejemplo:

Se lanza una moneda y un dado, se determinará el espacio muestral (posibles resultados).

Es decir, N = 12 elementos o posibles resultados subexperimentos.

Sub-experimento 1: Lanzar una moneda n = 2 resultados posibles.

Sub-experimento 2: Lanzar un dado de seis caras m = 6 resultados posibles.

Luego, los posibles resultados del experimento total son:

Ejemplo aplicado:

En una compañía de teatro trabajan 18 actores, de los cuales 10 son mujeres y 8 son hombres, el

director necesita 1 pareja para que sean los protagonistas, por lo tanto, puede elegir entre 80

combinaciones posibles:

Otros ejemplos:

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En el último caso, supóngase que los tres objetos son a, b, c, entonces

La idea es pensar que tenemos tres casilleros vacíos y los llenamos de la siguiente forma:

Luego, por el principio de multiplicación:

PERMUTACIONES Una forma de entender claramente la definición de permutación es estableciendo un conjunto de

N elementos y formando diferentes subconjuntos donde cada subconjunto difiere de otro si se

considera el orden de cada uno de los elementos de estos subconjuntos, esto será entonces una

permutación.

El número posible de ordenar N objetos diferentes es:

Y se define por ene factorial (n!) y a cada resultado se le llama una permutación.

FACTORIAL

La definición del concepto factorial es la siguiente:

Para un entero , se define como:

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La definición de , para

Finalmente,

Ejemplos:

Posibles directivas de presidente, secretario y tesorero si se tienen tres candidatos:

Posibles formas de ordenar las posturas de cinco chaquetas durante una semana:

En la representación a una licitación usted, como gerente de una empresa tiene que elegir a dos

representantes, para los cargos de asesor y encargado del proyecto. Si usted dispone de cuatro

personas para estos cargos. ¿De cuántas posibilidades dispone?

La respuesta es: cuatro personas para el primer cargo y tres personas para el segundo, ocupando

la fórmula del Principio de Multiplicación, el resultado es:

VARIACIÓN Para definir el concepto de variación, se utilizará un conjunto de n elementos, es relevante considerar una variación de tamaño r a todos los conjuntos de r elementos seleccionados entre los n de forma tal que un conjunto difiere de otro en, al menos, un elemento o en el orden en que se consideran los elementos.

Supóngase que los sujetos (postulantes a un cargo) son (A,B,C,D), las posibilidades son: (A,B)

(significa A: asesor y B: encargado) o (B,A) (B: asesor y A: encargado); (A,C) ; (C,A) (A,D) ; (C,D) (B,C)

; (C,B) (B,D) ; (D,B) (D,A) ; (D,C). Generalizando, el número de posibilidades (formas), de elegir k

sujetos de un total de n, cuando el orden sí importa se llama variación y su fórmula es:

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COMBINACIÓN Una combinación se define al utilizar un conjunto de n elementos y esta se definirá a su vez como

una combinación de tamaño r a todos los subconjuntos que se puedan formar con r elementos

escogidos de entre los n elementos del conjunto inicial, de tal forma que cada subconjunto será

diferente de los otros subconjuntos en, por lo menos, un elemento.

Ejemplos: En un partido de tenis de dobles, en donde usted es el capitán, tiene que decidir, cuál equipo

jugará. Si dispone de cuatro jugadores. ¿Con cuántos equipos cuenta? Aunque parece un ejemplo

muy similar al problema anterior, la diferencia ocurre, en que aquí el orden no importa, y se le

llama combinación. Si los sujetos son (A, B, C, D), las posibilidades son: (A,B) (Significa que A y B

componen el equipo) (A,C) (A,D) (B,C) (B,D) (C,D)

Generalizando, el número de posibilidades (formas), de elegir k sujetos de un total de n, cuando el

orden no importa es:

En el ejemplo

Problemas resueltos:

A continuación se presenta una serie de ejercicios resueltos a) Número de muestras posibles de tamaño n en una población de tamaño N:

b) Número de posibilidades en el juego del LOTO:

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c) Número de posibilidades en el juego del KINO:

d) Si en un microbús hay 10 asientos vacíos. ¿En cuántas formas pueden sentarse 7 personas?

e) Un estudiante para aprobar un examen que consta de 10 pregunta, debe contestar 7 de ellas.

¿De cuántas maneras puede hacer la selección para aprobar el examen?

f) ¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas en una fila?

g) Tres personas suben en la planta baja al ascensor de un edificio que tiene 5 pisos. ¿De cuántas

maneras diferentes pueden ir saliendo del ascensor si en ningún piso baja más de una persona?

h) ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas se pueden formar con los dígitos del 1 al 9?

i) ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 6 discos en un estante?

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j) En un edificio en el que viven 25 personas adultas, hay que formar una comisión interna de 3

personas. ¿Cuántas comisiones se pueden formar?

k) Un marino tiene cuatro banderas distintas para hacer señales. ¿Cuántas señales diferentes

puede hacer si coloca tres banderas en un mástil una sobre otra?

l) ¿Cuántas palabras de cinco letras pueden formarse, tengan o no sentido, usando las letras de la

palabra cuaderno?

m) ¿Cuántos equipos de fútbol se pueden formar con los 20 alumnos de un curso, con un director

técnico?

n) En un grupo de 18 alumnos hay que formar un grupo de 6. ¿De cuántas maneras puede

hacerse?

o) ¿De cuántas maneras un alumno en particular, Juan, puede integrar el equipo?

p) ¿De cuántas maneras puede hacerse excluyendo a Juan?

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COMENTARIO FINAL Al llegar casi al final de este curso ya se ha recorrido desde los temas más básicos y cotidianos

como son el estudio de la estadística descriptiva; además, se revisó la utilidad de los diferentes

tipos de gráficos, los cuales sirven para verificar rápidamente cómo se comporta un determinado

conjunto de datos. Asimismo se revisó otro tema muy aplicado como son el uso de modelos de

regresión lineal y, por último, se revisaron las probabilidades. Con todos estos conceptos

estudiados se está en condiciones de reconocer, analizar, calcular y resolver un amplio conjunto

de problemas relacionados con la estadística.

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REFERENCIAS

Anderson David R., Sweeney Dennis J., Williams Thomas A. (2008). Estadística para administración y economía (10ª edición). Cencage Learning

Canavos, George. (1988). Introducción y estadística descriptiva. Probabilidad y estadística. México: McGraw-Hill/Interamericana S. A.

Pagano, Robert R. (2011). Estadística para las ciencias del comportamiento (9ª edición). Cencage Learning.

PARA REFERENCIAR ESTE DOCUMENTO, CONSIDERE: IACC (2012). Estadística. Semana 8.