M.Sc. Edinson Idrogo Burga 1

DOCENTE: EDINSON IDROGO BURGA

TRANSFORMADA INVERSA Sea una funcin seccionalmente continua y de orden

exponencial, entonces esta garantizada la existencia de

Luego como:

A esta expresin se le conoce como transformada inversa de laplace.

Ejemplos: Cual ser la transformada inversa de:

Rf ,0[:

0

)()()}({ sFdttfetf st

)}({)( )()}({ 1 sFtfsFtf

3

4)( )1(

s

sF9

6)( )2(

2 s

sF

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PROPIEDADES

1) Propiedad de linealidad: Dadas las constantes . Entonces:

Ejemplo: Calcular

2) Propiedad de traslacin: Si

Ejemplo: Calcular

Rba ,

)()()}({)}({)}()({ 111 tbgtafsgbsfasbgsaf

4

2

7

3423

1

ss

s

s

)()}({ )()}({ 11 tfeasftfsf at

9)3(

62

1

s

s

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TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE POR EL

MTODO DE LAS FRACCIONES PARCIALES

Las funciones racionales donde P(s) y Q(s) son polinomios en las

cuales el grado de p(s) es menor que el grado de Q(s), pueden

expresarse como una suma de funciones racionales simples, aplicando

el criterio de descomposicin estudiado en el caso de las integrales de

funciones racionales .

Ejemplos: Calcular

)(

)(

sQ

sP

)3)(1)(2(

3719 )1( 1

sss

s

ss

s3

1 12 )3(

6420

2416 )2(

24

31

ss

ss

)1)(1(

1 )4(

2

1

ss

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CONVOLUCIN: Sean f(t) y g(t) continuas por segmentos en . La

Convolucin de f(t) y g(t), denotada por f*g, se define mediante:

Ejemplo:

Encontrar la Convolucin de las siguientes funciones:

TEOREMA DE CONVOLUCIN PARA LA TRANSFORMADA INVERSA

Suponiendo que:

y

Entonces:

Donde F*G es la Convolucin de F y G

,0[

t

duutguftgf0

)()())((

2)( ,)( ttgttf

)()}({1 tFsf )()}({1 tGsg

t

GFduutGuFsgsf0

1 )()()}().({

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Ejemplos: Utilice el teorema de Convolucin para encontrar:

22

1

)1(

1 )1(

s

)1()1(

1 )2(

2

1

ss

42

21

)1( )3(

s

s

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APLICACIONES DE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE A LA

RESOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Ecuacin Diferencial

Ecuacin de la T.L

Resolucin de la ecuacin de T.L

Solucin de la ecuacin diferencial

1

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Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

3)0( ,0)0( ,3 182 )12

2

yytseneydt

dy

dt

yd t

0)0( ,0)0( ,3)(16)(8(t)y )2 yytytyt

3)0( ,0)0( ,0)0( ,cos10254 )32

2

3

3

yyytydt

dy

dt

yd

dt

yd

1)0( ,3)0( ,2cos6d

4)2

2

xxtxdt

x

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5) Un qumico desea enfriar desde 80C hasta 60C una sustancia

contenido en un matraz se coloca el dispositivo en un recipiente amplio

por el que circula agua a 15C. Se observa que despus de 2 minutos la

temperatura ha descendido a 70C. Estimar el tiempo total de

enfriamiento.

6) Un peso de 8 lb se sujeta a un resorte suspendido del techo. Cuando el

peso llega al reposo en equilibrio, el resorte ha sido estirado 2 pies. La

constante de amortiguamiento b del sistema es 1 lb- pie/seg. Si el peso

se eleva 6 pulgadas sobre la posicin de equilibrio y se le aplica una

velocidad inicial dirigida hacia arriba de 1 pie/seg, encuentre la ecuacin

del movimiento del peso. Cul es el desplazamiento mximo que

alcanzara el peso arriba del punto de equilibrio?

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