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PAU - SEPTIEMBRE 2009 MATEMÁTICAS II - OPCIÓN B

Resuelto por: Ana Isabel Aparicio Cervantes, Araceli Arjona Muñoz y Carmen de la Llave Peral http://ticmatec.blogspot.com/

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MATEMÁTICAS II. OPCIÓN B

EJERCICIO 1: Calificación máxima: 3 puntos.

a) (1 punto)Dada la función:

��

Hallar el punto o los puntos de la gráfica de f(x) en los que la pendiente de la recta

tangente sea 1.

Lo primero que debemos saber es la definición de derivada en un punto: “La derivada de

una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto”.

Luego nos piden calcular los valores de x que cumplan:

f’(x)=1

f �x� � 1 �1 � �� 2��1 � �� 1 � �� 2��1 � �� 1 � ��1 � �� 1

Despejando: 1 � �� 1 �1 � ��; 1 � �� 1� � 2 1 �� ; 1 � �� 1 � 2�� ; �� 3�� 0; �� 3� � 0 �

Solución: En x=0 ó ± √� la pendiente de la recta tangente vale 1.

b) (0.5 puntos)Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica f(x) en el punto x=0.

La ecuación de la recta tangente a f�x� � �� en el punto x=0 viene dada por la fórmula:

� � ��0� � ��0� �� 0�

��0� � 01 � 0� � 0; ��0� � 1 � !" #$ % %"&%'! %�

� � 0 � 1 �� 0� � � � �

Solución: La recta tangente a f(x) en x=0 es y=x.

�� 0 � � � 0

�� 3 � 0 � � � (√3



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c) (1.5 puntos) Sea g una función derivable con deriva da continua en toda la recta

real, y tal que g(0)=0, g(2)=2. Demostrar que exist e al menos un punto c en el

intervalo (0,2) tal que g’(c)=1.

La hipótesis propuesta (g’(c)=1) se puede demostrar mediante el teorema del valor medio

(Teorema de Lagrange).

El teorema de Lagrange nos dice que “dada cualquier función f continua en el intervalo

abierto (a,b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a,b) tal que la tangente

a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a,f(a)) y (b,f(b))”, es decir,

existe al menos un punto c que satisface la igualdad: ��)� � ��*� � ��%�* � %

Puesto que la función g es derivable con derivada continua en toda la recta real, según

afirma el enunciado, se le puede aplicar el teorema de Lagrange en el intervalo [0,2], por lo

tanto existirá al menos un valor c + (0,2) tal que:

,�)� � -��-�.��. �

Por lo que queda demostrada la hipótesis propuesta.

,�2� � 2

,�0� � 0 � 2 � 02 � 1



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Dada la recta: / 0 1�� 2�� 3� y el plano 4 0 1 � 2 � �3 � � � 5, hallar la ecuación de la

recta s simétrica de la recta r respecto del plano 4. Se busca un recta r’ que tenga la misma proyección ortogonal

que la recta r sobre 7, y que ambas están contenidas en un

plano perpendicular a 7. La recta r’ se obtiene mediante dos puntos. M (intersección de r

con 7) y A’ (simétrico de cualquier punto A de la recta r respecto

de 7).

Vamos a calcular en primer lugar las coordenadas del punto M, que se obtiene como

intersección de r y 7.

" 0

7 0 � � � � 28 � 1 � 0

Sustituyendo r en 7 � �1 � 9� � ��9� � 2 �9� � 1 � 0

Operamos y despejamos el valor de 9. 2 � 29 � 0 � 9 � 1

Sustituimos en las paramétricas en r el valor de 9 y obtenemos las coordenadas de M.

9 � 1 � : 0 � M � �2, �1,1�

Calculamos ahora las coordenadas del punto A’. A’ es el simétrico de cualquier punto A de r

(excepto M) de 7. Como punto A tomamos el punto con el que está definida la ecuación

continua de r. A = (1,0,0) y 7 0 � � � � 28 � 1 � 0

x = 1+9

y = - 9

z = 9

XM = 1+9=1+1=2

YM = - 9=-1

ZM = 9=1

M �



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Para ello, seguimos los siguientes pasos:

• Paso 1: Se calcula la recta s, perpendicular a 7 que

contiene a A.

• Paso 2: Se calcula M1 como intersección de s y 7.

• Paso 3: Conocidos A y M1 se calculan las

coordenadas de A’ con las ecuaciones del punto

medio de un segmento.

Paso 1:

s: � = 0

Paso 2:

= 0

7 0 � � � � 28 � 1 � 0

Sustituyendo s en 7 � �1 � 9� � �9� � 2��29� � 1 � 0

Operamos y despejamos el valor de 9. 2 � 69 � 0 � 9 � � 13

Sustituimos en las paramétricas en s el valor de 9 y obtenemos las coordenadas de M1.

9 � � �? � M1 0 � M1 � ��? , � �? , �?�

= @ 7 � '=AAAAB � C7AAAAAB � �1,1, �2�

A = (1,0,0)+ "

x = 1+9

y = 9

z =�2 9

x = 1+9

y = 9

z =�29

M �

XM1 = 1+9 � 1 � D� �?E � �?

YM1 = 9 � � �?

ZM1 =�29 � �2 D� �?E � �?



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Paso 3:

Teniendo en cuenta que M1 es el punto medio de FGFAAAAAAB, se calculan las coordenadas de A’

despejando de las coordenadas del punto medio.

M1� DH�IHJ�� , H�IHJ�� , H?IHJ?� E �

Luego A’= (�? , � �? , �?)

Conocidos M � �2, �1,1� y A’= (�? , � �? , �?), ya podemos calcular r’, simétrica de r respecto de

7.

"G 0

Solución: Tenemos que /′ 0 1��K � 2I�� 3��

XM1 =H�IHJ�� %1 � 2 XM1�%1 � 2 �? � 1 � �?

YM1 = H�IHJ�� %2 � 2 YM1�%2 � 2 D� �?E � 0 � � �?

ZM1 =H?IHJ?� � %3 � 2 ZM1�%3 � 2 �? � 0 � �?

'"AAAAAAB � FG:AAAAAAAAB � L2 � 13 , �1 � L� 23M , 1 � 43M � �53 , � 13 , � 13�//�5, �1, �,1�

M � �2, �1,1�



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Dado el sistema

se pide:

a) (1 punto). Obtener los valores del parámetro Q para los cuales el sistema tiene

soluciones distintas de x=y=z=0.

Sea la matriz de coeficientes A=R9 2 19 �1 21 �9 2S y la matriz ampliada A’=R9 2 1 09 �1 2 01 �9 2 0S

rg A = rg A’� TU=&#V% )!V %&U*$#:

|F| � Y9 2 19 �1 21 �9 2Y � �29 � 4 � 9� � ��1 � 49 � 29�� 9� � 69 � 5 � �9 � 1� �9 � 5�

|F| � 0 � �9 � 1� �9 � 5� � 0 �

Solución: Para que la solución sea distinta de la t rivial (x=y=z=0), Q � � ó Q � K.

b) (1 punto). Resolver el sistema para x=5.

9 � 5 �

|F| � 0 � ", F [ 3 � \ 2 1�1 2\ � 5 ] 0 � ", F � ",F � 2 [ C � 3

9� � 2� � 8 � 0 9� � � � 28 � 0 � � 9� � 28 � 0

5� � 2� � 8 � 0 5� � � � 28 � 0 � � 5� � 28 � 0

Si |A| ] 0 � rg A � rg A � n � 3. Sistema compatible

determinado (x=y=z=0) Solución trivial.

Si |A| � 0 � rg A � rg A ] n. Sistema compatible

indeterminado Infinitas soluciones.

9 � 1 � 0 � 9 � 1

9 � 5 � 0 � 9 � 5



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Luego si 9 � 5 tenemos un sistema compatible indeterminado con dos ecuaciones

linealmente independientes, tal y como indica su rango.

Sistema equivalente:

Resolvemos este sistema tomando una de las variables como constante y transformándola

en un parámetro, por ejemplo x= 9

Resolvemos por el método de Cramer:

� � \�59 1�59 2\\ 2 1�1 2\ � �109 � 595 � �9; 8 � \ 2 �59�1 �59\

\ 2 1�1 2\ � �109 � 595 � �39; Solución: La solución es �Q, �Q, ��Q� dQ + e.

5� � 2� � 8 � 0 5� � � � 28 � 0

2� � 8 � �5 9 �� 28 � �59



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Dadas las matrices : f � Dg �� E ; h � D g �� E, obtener una matriz cuadrada X de

orden 2 que verifique la ecuación matricial A·X·B = A+B.

¡Ojo! Debemos tener en cuenta que:

1. Para obtener una ecuación matricial equivalente, se deben multiplicar los dos

miembros de la igualdad por la misma matriz y en el mismo orden.

2. El producto de una matriz por su inversa es la matriz identidad (I).

3. La matriz identidad o unidad es el elemento neutro de la multiplicación de matrices.

Dicho todo esto, comenzamos despejando la matriz X, para ello multiplicamos por la inversa

de A a la izquierda y por la inversa de B a la derecha.

A X B � A � B � F�� F k l l�� F�� F � l� l��

Operamos:

I X I � A�� A B�� A�� B B�� X � I B�� A�� I � X � B�� A��

Calculamos las inversas:

A�� 1|F| n%'o�F�pq

|F| � \4 �21 1 \ � 6; %'o�F� � L �|1| �|1|�|�2| �|4|M � D1 �12 4 E ; n%'o�F�pq � D1 �12 4 Eq � D 1 2�1 4E

Luego A�� r D 1 2�1 4E � s �r �?��r �?t

|l| � \ 4 �2�3 1 \ � �2; %'o�l� � L �|1| �|�3|�|�2| �|4| M � D1 32 4E ; n%'o�l�pq � D1 32 4Eq � D1 23 4E

Luego B�� D1 23 4E � s�� 1�?� �2t

Por lo tanto, X � B�� A�� s �r �?��r �?t � s�� 1�?� �2t � s��? ��?�u? ��?

t



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Solución: v � s�� K� �g�t

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