Separata01

Capítulo 1

Relaciones

Observaciones.

1. Cuando ��, �� , se indicara con la notacióncon � mediante �”.

2. Casi siempre se tratará con relaciones entre los elementos de dos conjuntos. De

esta manera, la palabra binaria se omitirá de aquí en adelante.

3. Si es un subconjunto de

Ejemplo 1.1 Sean � 0,1Solución. Los pares de la relación �3,1� y �4,0�. Por tanto,

Ejemplo 1.2 Sea � el conjunto de estudiantes de tu universidad y

asignaturas. Sea � la relación que consta de aquellos pares

estudiante matriculado en la asignatura

Cuevas están matriculados en

Quispe, III � 01) y (María Cuevas

Ejemplo 1.3 Una línea aérea da servicio a cinco ciudades dada muestra el costo (en dólares) del viaje de

viaje de �� a �� es $100, mientras que el costo del viaje de

Definición 1.1 Sea � y subconjunto de � � �. En otras palabras, si � es una relación binaria entre ordenados ��, ��, donde �

1

, se indicara con la notación �� y se lee como

tratará con relaciones entre los elementos de dos conjuntos. De

esta manera, la palabra binaria se omitirá de aquí en adelante.

Si es un subconjunto de � � �, diremos que � es una relación sobre el conjunto

1,2,3,4� y � 0,1,2,3�. Se define la relación

��, �� 4

de la relación � que satisfacen la propiedad dada, son

� �1,3�, �2,2�, �3,1�, �4,0��

el conjunto de estudiantes de tu universidad y �la relación que consta de aquellos pares ��, �� en los que

estudiante matriculado en la asignatura �. Por ejemplo, si Carlos Quispe y María

Cuevas están matriculados en III � 01, que es Matemática Discreta, los

María Cuevas, III � 01) pertenece a �.

línea aérea da servicio a cinco ciudades ��, ��, ��, �dada muestra el costo (en dólares) del viaje de �� a ��. En consecuencia, el costo del

es $100, mientras que el costo del viaje de �� a �� es $200.

�� 140 100 150 200 �� 190 200 160 220 �� 110 180 190 250 �� 190 200 120 150 �� 200 100 200 150

� ��, ��/� � � ! � � ��

y � dos conjuntos. Una relación binaria � des una relación binaria entre � y �, � es un conjunto de pares � � � y � � �. Simbólicamente

y se lee como “� se relaciona

tratará con relaciones entre los elementos de dos conjuntos. De

es una relación sobre el conjunto �.

Se define la relación � mediante

son �1,3�, �2,2�,

� el conjunto de

en los que � es un

. Por ejemplo, si Carlos Quispe y María

, que es Matemática Discreta, los pares (Carlos

�� y ��. La tabla . En consecuencia, el costo del

es $200.

de � en � es un

es un conjunto de pares

Definiendo la relación � sobre el conjunto de ciudades siguiente manera: �� si y sólo si el costo de ir de

dólares. Determine �. Solución.

La relación � es el subconjunto de

donde el costo del viaje de � ��, ��, ��, ��, ��,

Dominio y rango de una relación

Ejemplo 1.4 Considerando el ejemplo

"�Relación Identidad

Relación Inversa

Ejemplo 1.5 Sean � 2,3mediante

Entonces � �#� Es claro ver que

"�$�

El dominio y el rango de una relaciónconjuntos respectivamente

Una relación sobre un conjunto � ��, ��/� � �� y es denotado por

Sea � % � � �. La inversa

consta de aquellos pares ordenados obtenidos al intercambiar los elementos de los pares ordenados de �

2

sobre el conjunto de ciudades � ��, ��, �si y sólo si el costo de ir de �� a �� es menor o igual a 180

es el subconjunto de � � � formado por todas las ciudades

donde el costo del viaje de �� a �� es menor o igual a 180 dólares. Por tanto,� , ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��relación

Considerando el ejemplo 1.1, se observa que

"� 1,2,3,4� , $� 0,1,2,3�

3,4,5� y � 6,8,10,11�. Se define la relación

�� ) � divide a �

�2,6�, �2,8�, �2,10�, �3,6�, �4,8�, �5,10��

�6,2�, �8,2�, �10,2�, �6,3�, �8,4�, �10,5��

"� $�/0 2,3,4,5� $� "�/0 6,8,10�

� � � �: �� para algún � � �� : �� para algún � � ��

El dominio y el rango de una relación � % � � �, están dados por los siguientes conjuntos respectivamente

Una relación sobre un conjunto � se conoce como relación de identidad,

y es denotado por 78.

�#� ��, ��/ ��, ��

inversa de �, denotada por �#�, es la relación de consta de aquellos pares ordenados obtenidos al intercambiar los elementos de � i.e.,

��, ��, �� de la es menor o igual a 180

formado por todas las ciudades 9��, ��:, en

es menor o igual a 180 dólares. Por tanto, � ��, ��, ��, ��

e define la relación � de � en �

�

, están dados por los siguientes

relación de identidad, si

, es la relación de � a � que consta de aquellos pares ordenados obtenidos al intercambiar los elementos de

1.1 Propiedades de las relaciones sobre un conjunto

Ejemplo 1.6 Sean � � Determine si � es reflexiva, simétrica, antisimétric cada caso.

Solución.

� es no reflexiva, puesto que � es no simétrica, puesto que � es no antisimétrica� es transitiva, dadosla relación �, implican que los pares de la forma

Observaciones.

1. Si existen �, � � � tales que � no es antisimétrica.2. La simetría y la antisimétric� 1,2,3� definamos las relaciones,�

Así, � no es simétrica ni antisimétrica, y

1.2 Combinación de relaciones

Si � y ; denotan relaciones, definimos las siguientes operaciones

Definición 1.2. Sea una relación sobre un conjunto

I. � es reflexiva

II. � es irreflexiva

III. � es simétrica

IV. � es antisimétrica

V. � es transitiva

VI. � es de equivalencia

� <� =� �

Intersección

Unión

Diferencia

Complemento

3

Propiedades de las relaciones sobre un conjunto.

1,2,3,4�. Si � es una relación sobre � dada por�2,2�, �2,3�, �2,4�, �3,2�, �3,3�, �3,4�� es reflexiva, simétrica, antisimétrica o transitiva, justificando en

, puesto que �1,1� > �. no simétrica, puesto que �2,4� � � pero �4,2� > �.

antisimétrica, puesto que �2,3� � � y �3,2� � �, pero 2dados que todos los pares de la forma ��, �� y ��,

, implican que los pares de la forma ��, �� .

tales que ��, �� , y ��, �� , pero � Bno es antisimétrica.

La simetría y la antisimétrica no son el negativo del otro. Por ejemplo, en definamos las relaciones, �1,3�, �3,1�, �2,3�� , ; �1,1�, �2,2��

no es simétrica ni antisimétrica, y ; es tanto simétrica como antisimétrica

Combinación de relaciones.

denotan relaciones, definimos las siguientes operaciones

Sea una relación sobre un conjunto �. Se dice que:

reflexiva, si C� � �: ��, �� . irreflexiva, si C� � �: ��, �� > �. simétrica, si C�, � � �: ��, �� D ��, �� . antisimétrica, si C�, � � �: ��, �� ! ��, �� transitiva, si C�, �, � � �: ��, �� ! ��, �� D

equivalencia, si � es reflexiva, simétrica y transitiva.

< ; ��, ��/��, �� ! ��, �� ;�

= ; ��, ��/��, �� E ��, �� ;�

� ; ��, ��/��, �� ! ��, �� > ;�

�F ��, ��/ ��, �� > ��

dada por

a o transitiva, justificando en

B 3. � , �� que están en

B �, indica que

a no son el negativo del otro. Por ejemplo, en

�es tanto simétrica como antisimétrica

Se dice que:

D � �. D ��, �� . es reflexiva, simétrica y transitiva.

Ejemplo 1.7 Sean los conjuntoslas relaciones �� % � � �

��Encuentre �� G ��.

Solución. Para obtener la composición

ordenados que se forman al combinar

��, �� 1 , �1,2� , �1,6� , �2,4� , �2,4� , �3,4� , �3,4� , �3,6� , �3,8� , Por tanto,

�� °��

Ejemplo 1.8 Sean � �1,Solución.

�2Por tanto, �3

� G ; ��, �� Definición 1.3. Sean las relaciones de � y ;, que se denota comoobjeto intermedio � tal que

Definición 1.4. Sea � una relación en recursivamente,

Teorema. La relación �para todo I % J.

4

Sean los conjuntos � 1,2,3,4,5,6�, � 2,4,6,8,10� y y �� % � � K tales que �1,2�, �1,6�, �2,4�, �3,4�, �3,6�, �3,8�� 2, L�, �4, M�, �4, N�, �6, N�, �8, L��

Para obtener la composición �1 G �2, se deben determinar todos los pares

ordenados que se forman al combinar ��, �� con ��, �� para obtener �� , �� 2 D ��, �� 1�2, L� �1, L� �6, N� �1, N� �4, M� �2, M� �4, N� �2, N� �4, M� �3, M� �4, N� �3, N� �6, N� �3, N� �8, L� �3, L�

�1, L�, �1, N�, �2, M�, �2, N�, �3, M�, �3, N�, �3, L��

� ,1�, �2,1�, �3,2�, �4,3��. Calcular ��.

2 � °� �1,1�, �2,1�, �3,2�, �4,2��

�2 °� �1,1�, �2,1�, �3,1�, �4,1��

� � K/ ��, �� ! ��, �� ;, para algún ean las relaciones � de � en � y ; de � en K. La composición denota como � G ;, contiene los pares ��, �� si y sólo si existe un

tal que ��, �� está en � y ��, �� está en ;. Por consiguiente,

�� PQ� �P °�

una relación en �. La potencia �P, I � J, se defin

� sobre un conjunto � es transitiva si, y sólo si,

� y K L, M, N�, y

, se deben determinar todos los pares ��, ��, esto es,

1 G �2 � � � � � � � � � � � � � � � �

�

� � ��

. La composición si y sólo si existe un

. Por consiguiente,

se define

es transitiva si, y sólo si, �P % �,

1.3 Representación matricial de una relación

Si � y � son dos conjuntos finitos con

relación de � en �, entonces es posible representar a R � I , denotada por S�

Ejemplo 1.9 Sean los conjuntos � �1Solución.

Los elementos del conjunto A se representan como filas y los del conjunto B como columnas. Así,

Observación.

Sean �� y �� relaciones en un conjunto

y S�T U��V respectivamente. Entonces

1. S�0=�T S�0 E S�T2. S�0<�T S�0 ! S�T

Ejemplo 1.10 Sean

S�0

¿Cuáles son las matrices que representan a las relaciones

Solución. Según la observación anterior

S�0=�T S�

S�0<�T S�

5

Representación matricial de una relación.

son dos conjuntos finitos con R y I elementos respectivamente, y

, entonces es posible representar a � como una matriz de orden WR��X cuyas entradas son definidas por

R�� Y 1, si ��, �� 0, si ��, �� > �[ Sean los conjuntos � 1,2,3,4� y � 1,2,3,4,5�. Determine

�1,1�, �2,1�, �1,4�, �3,5�, �4,4�, �4,1�, �2,3��

Los elementos del conjunto A se representan como filas y los del conjunto B como

1 2 3 4 5 1234 \ 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0] S�

relaciones en un conjunto � representadas por las matrices

respectivamente. Entonces

U��V, donde �� E ��. U��V, donde �� ! ��. ^1 0 11 1 00 0 1_ y S�T ^0 1 00 0 11 0 1_

¿Cuáles son las matrices que representan a las relaciones �� = �� y �Según la observación anterior

0 E S�T ^1 E 0 0 E 1 1 E 01 E 0 1 E 0 0 E 10 E 1 0 E 0 1 E 1_ ^1 11 11 0�0 ! S�T ^1 ! 0 0 ! 1 1 ! 01 ! 0 1 ! 0 0 ! 10 ! 1 0 ! 0 1 ! 1_ ^0 00 00 0

elementos respectivamente, y � es una

como una matriz de orden

. Determine S� , si

�Los elementos del conjunto A se representan como filas y los del conjunto B como

epresentadas por las matrices S�0 U��V

_�� < ��?

111_

001_

3. Supongamos que �, �� % � � � y �� %S�T U��V respectivamente, entonces la composición de las relaciones

se representa por

donde �� 9�

Ejemplo 1.11 Halla la matriz que representa a la relación que representan a �� y ��

S�0 Solución. La matriz de �� °

1.4 Representación de relaciones usando dígrafos

Hemos visto que una relación se puede representar

ordenados o utilizando una matriz booleana. Hay otra manera importante de representar una relación por medio de una representación grafica.

Sea � una relación sobre un conjunto finito cada elemento de � se representa mediante un punto. Estos puntos se denominan nodos o vértices. Siempre que el elementopunto � al punto �. Estos arcos se llaman arcos o aristas. Los arcos empiezan desde el primer elemento de par ordenado y van al segundo elemento. La dirección se indica mediante una flecha. El diagrama que resulta se conoce como

Ejemplo 1.12 El dígrafo de la relación� �1,1�sobre el conjunto 1,2,3,4�

6

� y K tienen R, I y a elementos respectivamente% � � K representadas por las matrices

respectivamente, entonces la composición de las relaciones

S�0 ° �T S�0 b S�T U��V,

9�� ! ��: E 9�� ! ��: E … E 9��P ! �P�:

Halla la matriz que representa a la relación �� °��, siendo las matrices �

^1 0 11 1 00 0 0_ y S�T ^0 1 00 0 11 0 1_

°�� viene dado por

S�0 ° �T S�0 b S�T ^1 1 10 1 10 0 0_,

Representación de relaciones usando dígrafos

Hemos visto que una relación se puede representar ennumerandoordenados o utilizando una matriz booleana. Hay otra manera importante de representar una relación por medio de una representación grafica.

una relación sobre un conjunto finito �. Para representar �se representa mediante un punto. Estos puntos se denominan

nodos o vértices. Siempre que el elemento ��, �� , se dibuja un arco desde el Estos arcos se llaman arcos o aristas. Los arcos empiezan desde el

primer elemento de par ordenado y van al segundo elemento. La dirección se indica mediante una flecha. El diagrama que resulta se conoce como grafo dirigido

dígrafo de la relación � �, �1,4�, �2,1�, �2,3�, �2,4�, �3,1�, �4,1�, �4,2�� se muestra en la siguiente figura

elementos respectivamente. Sean S�0 U��V y

respectivamente, entonces la composición de las relaciones �� y �� ,

:, siendo las matrices

_

_

umerando todos sus pares ordenados o utilizando una matriz booleana. Hay otra manera importante de

� gráficamente, se representa mediante un punto. Estos puntos se denominan

, se dibuja un arco desde el Estos arcos se llaman arcos o aristas. Los arcos empiezan desde el

primer elemento de par ordenado y van al segundo elemento. La dirección se indica dirigido o dígrafo.

� ��

1.5 Partición de un conjunto

Ejemplo 1.13. En d se define

¿Cuál es la clase de equivalencia de 0 y 1?

Solución. W0X e � d/�e, 0 e � d/e f e � d/[e|2�

Por tanto, W0X h , �4

En el ejemplo anterior, se puede

Nota: Cualquier elemento �equivalencia W�X.

Ejemplo 1.14. ¿Cuáles de estas colecciones de subconjuntos son particiones de � 1,2,3,4,5,6�? (a) 1,2�, 2,3,4�, 4,5

Definición 1.5. Sea � elementos de � que se relacionan con un elemento equivalencia de i y es denotado por

Definición 1.6. Si � B j, una colección de subconjuntos no vacíos disjuntos de

Cuya unión es � recibe el nombre de partición de

subconjuntos �� es una partición de

i. �� B j, para cada k

ii. �� < �� j, para todo

iii. =� �� A.

Teorema. Si � es una relación de equivalencia sobre un conjunto no vacío Entonces

i. � � W�X, para todo ii. � � W�X, si y sólo si,

iii. Si W�X B W�X, entonces

7

Partición de un conjunto

se define la relación � dada por

�� f ��mod 2�

es la clase de equivalencia de 0 y 1?

0� � �� W1X e � d/�e, 1

0�mod 2�� e � d/e f

[ e � d/[�e �

4, �2,0,2,4, h � , W1X h , �3, �1,1,3,5, h

En el ejemplo anterior, se puede observar que:

W0X < W1X j

� � W�X se conoce como representante de la clase de

¿Cuáles de estas colecciones de subconjuntos son particiones de

5,6� (b) 1, �, 2,3,6�, 4�, 5� (c) 2,4,6�,

W�X e � �/e��

una relación de equivalencia en �. El conjunto de todos los que se relacionan con un elemento � � � se le llama y es denotado por W�X.

una colección de subconjuntos no vacíos disjuntos de

recibe el nombre de partición de �. Es decir, la colección de

es una partición de � si, y sólo si,

para todo k B o.

es una relación de equivalencia sobre un conjunto no vacío

, para todo � � �.

, si y sólo si, W�X W�X.

, entonces W�X < W�X j

1� � ��

1�mod 2��

[ � 1�|2�

h �

se conoce como representante de la clase de

¿Cuáles de estas colecciones de subconjuntos son particiones de

� 1,3,5�

. El conjunto de todos los se le llama clase de

una colección de subconjuntos no vacíos disjuntos de �.

. Es decir, la colección de

es una relación de equivalencia sobre un conjunto no vacío �.

Solución.

(a) Sean �� 1,2�, Auna partición de A, puesto que

(b) Sean �� 1�, A�Ck 1,2,3. Además,�� y

Por tanto ��, ��, �(c) Sean �� 2,4,6� �, pues que �� = �

1.6 Funciones Hashing

Cuando se almacena registros (datos) en un archivo de acceso directo en una

computadora, ésta puede recuperar un registro específico sin leer primero otros

registros. Lo anterior es posible s

de memoria en las cuales se almacenan registros en la forma de enteros no negativos,

llamados llaves. Una transformación que mapea el conjuntos de llaves a un conjunto

de direcciones (de celdas de memoria) s

mapeo de llaves). Aun cuando se usan varias funciones de mapeo de llaves, se

estudiara una de las comunes obtenida por el método de congruencia.

Nota: Como las funciones hashing adecuadas deben distribuir uniformemente los registros (llaves) sobre los elemenmanera adecuada. Casi siempre número máximo de registros en el archivo.

Observación. Cuando la celda de memoria con dirección

momento en el que se intenta almacenar

general, se presenta una colisión para una función hashing si p� B p�. Para resolver la colisión se recurre al siguiente método sim

política de resolución de colisiones

sigue a la celda ya ocupada será usada para almacenar el valor presente de

Definición 1.7. Si I es el número de localidades de memorias disponibles

el entero no negativo que representa la llave, la

representa las direcciones de la celda de memoria en la cual

se define como

i.e., q�e� es simplemente el residuo cuando

del conjunto 0,1,2, … , I

8

� A� 2,3,4� y A� 4,5,6�. La colección ��una partición de A, puesto que �� y �� no son disjuntos. 2,3,6�, A� 4� y A� 5�. Es claro ver que

Además, �� < �� < �� < �� j, �� < �� < �� < �� j, =�r�� , �� es una partición de �. � y A� 1,3,5�. La colección ��, �� no es una partición de �� no es igual a �.


sta puede recuperar un registro específico sin leer primero otros

registros. Lo anterior es posible sólo si la computadora puede identificar las localidades

a en las cuales se almacenan registros en la forma de enteros no negativos,

. Una transformación que mapea el conjuntos de llaves a un conjunto

nes (de celdas de memoria) se conoce como función de hashing

Aun cuando se usan varias funciones de mapeo de llaves, se

estudiara una de las comunes obtenida por el método de congruencia.

: Como las funciones hashing adecuadas deben distribuir uniformemente los

registros (llaves) sobre los elementos del conjunto de direcciones,

manera adecuada. Casi siempre I es escogido como un número primo mayor que el

número máximo de registros en el archivo.

Cuando la celda de memoria con dirección q�p� ya está ocupada en el

se intenta almacenar p en ella, se dice que ocurre una colisión. En

general, se presenta una colisión para una función hashing si q�p�. Para resolver la colisión se recurre al siguiente método sim

política de resolución de colisiones. Esto consiste en que la primera

sigue a la celda ya ocupada será usada para almacenar el valor presente de

es el número de localidades de memorias disponibles

el entero no negativo que representa la llave, la función hashing

representa las direcciones de la celda de memoria en la cual p esta almacenada

q�p� p�mod I� ,

es simplemente el residuo cuando p es dividido entre I y toma valores I � 1�.

�, ��, �� no es

. Es claro ver que �� B j,

no es una partición de


sta puede recuperar un registro específico sin leer primero otros

lo si la computadora puede identificar las localidades

a en las cuales se almacenan registros en la forma de enteros no negativos,

. Una transformación que mapea el conjuntos de llaves a un conjunto

función de hashing (función de

Aun cuando se usan varias funciones de mapeo de llaves, se

: Como las funciones hashing adecuadas deben distribuir uniformemente los

tos del conjunto de direcciones, I se elige de

es escogido como un número primo mayor que el

ya está ocupada en el

en ella, se dice que ocurre una colisión. En � �� q�p�� pero

. Para resolver la colisión se recurre al siguiente método simple llamado

celda vacía que

sigue a la celda ya ocupada será usada para almacenar el valor presente de p.

es el número de localidades de memorias disponibles y p es

función hashing q �p� que

esta almacenada

y toma valores

Ejemplo 1.13. Para la función datos: 714, 631, 26Se insertarían en el orden dado en celdas inicialmente vacías.

Solución. El siguiente cuadro representa el orden de las celdas inicialmente vacías 0 1 2 3

Datos - - - -

Dado que I 17, entonces q�714� q�631� q�26� q�373� q�775� q�906� q�509� q�2032� q�42� q�4� q�136� q�1028�

Los datos quedarían distribuidos como se indica a continuación

0

Datos 714

orden 1

9

Datos 26

orden 3

1.6 Relaciones n-arias.

Definición 1.8. Sean �conjuntos es subconjunto de llaman dominios de la relación y n es el grado de la relación.

9

Para la función q�e� e�Ruv17�, demuestre cómo los siguientes

26, 373, 775, 906, 509, 2032, 42, 4,136 y 1028Se insertarían en el orden dado en celdas inicialmente vacías.

El siguiente cuadro representa el orden de las celdas inicialmente vacías

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

- - - - - - - - - -

, entonces q�e� � 0,1,2, … ,16�. Luego para los datos

714�mod17� 0 631�mod17� 2 26�mod17� 9 373�mod17� 16 775�mod17� 10 906�mod17� 5 509�mod17� 16 2032�mod17� 9 42�mod17� 8 4�mod17� 4 136�mod17� 0 1028�mod17� 8

Los datos quedarían distribuidos como se indica a continuación

1 2 3 4 5 6 7 8

509 631 136 4 906 - - 42

7 2 11 10 6 9

10 11 12 13 14 15 16

775 2032 1028 - - - 373

5 8 12 4

arias. Base de datos relacionales

��, ��, h , �P conjuntos. Una relación n-aria en estos conjuntos es subconjunto de �� h � �P. Los conjuntos ��llaman dominios de la relación y n es el grado de la relación.

, demuestre cómo los siguientes

1028

El siguiente cuadro representa el orden de las celdas inicialmente vacías

14 15 16

- - -

. Luego para los datos dados se tiene

42

16

373

aria en estos �, ��, h , �P se

Ejemplo 1.14 Sea � ��, �, �� en las que �1,2,4� � � pero �4,2todos iguales al conjunto Ejemplo 1.15 Sea � la relación 5representan vuelos comerciales, donde vuelos, a es el punto de partidaejemplo, si Nadir Express Airlines tiene el vuelo 963 de Newark a Banger a las 15:00, entonces (Nadir, 963, Newark, Banger, 15:00) Aplicaciones. Base de

El modelo más popular en base de datos, es el sistema de base de datos relacionales. En este modelo, los datos se representan mediante una serie de relaciones. En apariencia, base de datos relacionales organiza los datos de manera que la vista externa sea una serie de relaciones o tablas. Esto no significa que los datos se almacenan como tablas; el almacenamiento físico de los datos es Independiente de la forma en que éstos están lógicamenrelación 3-aria.

No

CIS15

CIS17

CIS19

CIS51

Una relación en un sistema de base de siguientes:

� Nombre. Cada relación en una base de datos relacional debe tener un

nombre único entre otras relaciones.

� Atributos. Cada columna en una relación se llama atributo. Los atributos

son los encabezados de las columnas en la tabla. Cada atributo da

significado a los datos almacenados bajo él.

Cada columna en la tabla debe tener un nombre que sea único en el

ámbito de la rel

conoce como el grado de la relación.

� Tuplas (Registros).

tupla define una colección de valores de atributos. El número total de filas

en una relación s

cardinalidad de una relación cambia cuando se añaden o eliminan tuplas.

Esto vuelve dinámica a la base de datos.

10

la relación en J � J � h � J que consta de las ternas

en las que �, �, � son enteros positivos con � w �� 2,1� > �. El grado de esta relación es 3 y sus dominios son

todos iguales al conjunto J.

la relación 5-aria que consta de las 5-tuplas �representan vuelos comerciales, donde x es la línea aérea, I es el número

es el punto de partida, v es el destino y M es la hora de salida. Por

ejemplo, si Nadir Express Airlines tiene el vuelo 963 de Newark a Banger a las

15:00, entonces (Nadir, 963, Newark, Banger, 15:00) � �.

Base de datos relacionales

El modelo más popular en base de datos, es el sistema de base de datos

relacionales. En este modelo, los datos se representan mediante una serie de

. En apariencia, una relación es una tabla bidimensional. El sistema de

relacionales organiza los datos de manera que la vista externa sea

una serie de relaciones o tablas. Esto no significa que los datos se almacenan

como tablas; el almacenamiento físico de los datos es Independiente de la forma

en que éstos están lógicamente organizados. La figura muestra un ejemplo de una

Nombre del curso Créditos

Introducción a la Informática 5

Análisis Matemático II 5

Linux 4

Conectividad en red 5

en un sistema de base de datos relacionales tiene las características

Cada relación en una base de datos relacional debe tener un

nombre único entre otras relaciones.

Cada columna en una relación se llama atributo. Los atributos


significado a los datos almacenados bajo él.


ámbito de la relaciones. El número de atributos para una relación se

conoce como el grado de la relación.

Tuplas (Registros). Cada fila en una relación se conoce como


en una relación se llama cardinalidad de la relación. Observe que la


Esto vuelve dinámica a la base de datos.

que consta de las ternas � w �. Entonces

. El grado de esta relación es 3 y sus dominios son

�x, I, a, v, M� que

es el número de

es la hora de salida. Por

ejemplo, si Nadir Express Airlines tiene el vuelo 963 de Newark a Banger a las

El modelo más popular en base de datos, es el sistema de base de datos

relacionales. En este modelo, los datos se representan mediante una serie de

es una tabla bidimensional. El sistema de

relacionales organiza los datos de manera que la vista externa sea

una serie de relaciones o tablas. Esto no significa que los datos se almacenan

como tablas; el almacenamiento físico de los datos es Independiente de la forma

te organizados. La figura muestra un ejemplo de una

datos relacionales tiene las características

Cada relación en una base de datos relacional debe tener un

Cada columna en una relación se llama atributo. Los atributos



aciones. El número de atributos para una relación se

Cada fila en una relación se conoce como tupla. Una


e llama cardinalidad de la relación. Observe que la


Operaciones con relaciones

Operaciones unarias

1. Inserción. Se aplica a una sola relación. La operación inserta una nueva tupla en la relación. CURSOS

No Nombre del curso

CIS15 Introducción a la Informática

CIS17 Análisis Matemático II

CIS19 Linux

CIS51 Conectividad en red

2. Eliminación. La operación elimina una tupla definido por un criterio de la

relación. CURSOS

No Nombre del curso



CIS19 Linux


CIS52 Matemática Discreta

3. Actualización. La operación cambia el valor de algunos atributos de una tupla.

No Nombre del curso



CIS19 Linux



4. Selección. Se aplica a una sola relación y crea otra relación. Las tuplas (filas) de la relación resultante son un subconjunto de las tuplas de la relación original. Esta operación utiliza algunos criterios para seleccionar algunas de las tuplas de la relación original. El número de atributos (columnas) en esta operación

permanece igual.

Ejemplo. Seleccionar sólo los cursos de 5 créditos

11

Operaciones con relaciones

Se aplica a una sola relación. La operación inserta una nueva tupla en




4


La operación elimina una tupla definido por un criterio de la


5


4


Matemática Discreta 6

La operación cambia el valor de algunos atributos de una tupla.


5

Matemático II 5

4



Se aplica a una sola relación y crea otra relación. Las tuplas (filas) de

la relación resultante son un subconjunto de las tuplas de la relación original.

Esta operación utiliza algunos criterios para seleccionar algunas de las tuplas de

nal. El número de atributos (columnas) en esta operación

Ejemplo. Seleccionar sólo los cursos de 5 créditos

No Nombre del curso



CIS19 Linux



No Nombre del curso

CIS15 Introducción

a la Informática




No Nombre del curso

CIS15 Introducción

a la Informática


CIS19 Linux



Se aplica a una sola relación. La operación inserta una nueva tupla en

La operación elimina una tupla definido por un criterio de la

La operación cambia el valor de algunos atributos de una tupla.

Se aplica a una sola relación y crea otra relación. Las tuplas (filas) de

la relación resultante son un subconjunto de las tuplas de la relación original.

Esta operación utiliza algunos criterios para seleccionar algunas de las tuplas de

nal. El número de atributos (columnas) en esta operación




4




a la Informática

5





a la Informática

5


4


Discreta 6

No Nombre del curso



CIS19 Linux



5. Proyección. Se aplica a una sola relación y crea otra relación. Los atributos

(columnas) en la relación resultante son un subconjunto de los atributos de la relación original. La operación de proyección crea una relación en la cual cada tupla tiene menos atributos. Esiendo el mismo.

No Nombre del curso



CIS19 Linux



Operaciones binarias

6. Juntura. Toma dos relaciones y las combina con base en atributos comunes. Esta operación es muy compleja y tiene muchas variantes. En lamostradas aparece un ejemplo muy simple en el cual la relación de CURSOS se combina con la relación de IMPARTIDOS POR para crear una relación que muestra toda la información sobre los cursos, incluyendo los nombres de los profesores que los imparten. En este caso, curso (N0) CURSOS

No Nombre del curso



CIS19 Linux



12


5


4



Se aplica a una sola relación y crea otra relación. Los atributos (columnas) en la relación resultante son un subconjunto de los atributos de la relación original. La operación de proyección crea una relación en la cual cada tupla tiene menos atributos. El número de tuplas (filas) en esta operación sigue


a la Informática

5


4



Operaciones binarias

Toma dos relaciones y las combina con base en atributos comunes.

Esta operación es muy compleja y tiene muchas variantes. En la

aparece un ejemplo muy simple en el cual la relación de CURSOS se

combina con la relación de IMPARTIDOS POR para crear una relación que

muestra toda la información sobre los cursos, incluyendo los nombres de los

profesores que los imparten. En este caso, el atributo común es el número de

IMPARTIDOS POR


5

Matemático II 5

4



No Nombre del curso

CIS15 Introducción

a la Informática



No Créditos

CIS15

CIS17

CIS19

CIS51

CIS52

No Nombre del curso Créditos Profesor

CIS15 Introducción

a la Informática

5 Gonzales

CIS17 Análisis Matemático II 5 Campos

CIS19 Linux 4 Salas

CIS51 Conectividad en red 5 Contreras

CIS52 Matemática Discreta 6 Onofre

JOIN

Se aplica a una sola relación y crea otra relación. Los atributos

(columnas) en la relación resultante son un subconjunto de los atributos de la

relación original. La operación de proyección crea una relación en la cual cada

l número de tuplas (filas) en esta operación sigue

Toma dos relaciones y las combina con base en atributos comunes.

Esta operación es muy compleja y tiene muchas variantes. En las tablas

aparece un ejemplo muy simple en el cual la relación de CURSOS se

combina con la relación de IMPARTIDOS POR para crear una relación que

muestra toda la información sobre los cursos, incluyendo los nombres de los

el atributo común es el número de

IMPARTIDOS POR


a la Informática

5



Créditos

5

5

4

5

6

No Profesor

CIS15 Gonzales

CIS17 Campos

CIS19 Salas

CIS51 Contreras

CIS52 Onofre

Profesor

Gonzales

Campos

Salas

Contreras

Onofre

7. Unión. Toma dos relaciones y crea una nueva relación. Sin embargo, hay una restricción en las dos relaciones; éstas deben tener los mismos atributos. La operación de unión, según se define en la teoría de conjuntos, crea una nueva

relación en la cual cada tupla está ya sea en la primera relación, en la segunda o

en ambos

LISTA DE TURNOS DE CIS15

Codigo Nombre Apellido

11340J John Breman

11243K George Caballero

11346B Any Carranza

11248L Iván Fernández


Codigo Nombre

11245K Ricardo

11340J John

11243K George

8. Intersección. Toma dos relaciones y crea una nueva relación. Al igual que la

operación unión, las dos relaciones deben tener los mismos

operación de intersección, según se define en la teoría de conjuntos, crea una

nueva relación en la cual cada tupla es un miembro de ambas relaciones.

La operación intersección a


9. Diferencia. Se aplica a dos relaciones con los mismos atributos. Las tuplas en la

relación resultante son aquellas que están en la primera relación pero no en la

segunda.

Aplicando la operación diferencia a las relaciones 3

CIS15 y LISTA DE TURNOS DE CIS52

SQL

El Lenguaje de Consultas Estructurado

Instituto Nacional Norteamericano (ANSI) y la Organización Internacional para la

Estandarización (ISO) para usar en las bases de datos relacionales. Es un lenguaje

declarativo (no de procedimientos), lo cual significa

que quieren sin tener que escribir un procedimiento paso a paso. El lenguaje SQL

13

Toma dos relaciones y crea una nueva relación. Sin embargo, hay una

en las dos relaciones; éstas deben tener los mismos atributos. La

operación de unión, según se define en la teoría de conjuntos, crea una nueva


IS15

Apellido

Breman

Caballero

Carranza

Fernández


Apellido

Pérez

Breman

Caballero

Toma dos relaciones y crea una nueva relación. Al igual que la

operación unión, las dos relaciones deben tener los mismos



La operación intersección a las relaciones 3-arias: LISTA DE TURNOS DE CIS15

NOS DE CIS52, obtiene la siguiente tabla

aplica a dos relaciones con los mismos atributos. Las tuplas en la


Aplicando la operación diferencia a las relaciones 3-arias: LISTA DE TURNOS DE

TURNOS DE CIS52, obtenemos


11346B Any Carranza

11248L Iván Fernández

Lenguaje de Consultas Estructurado (SQL) es el lenguaje estandarizado por el



declarativo (no de procedimientos), lo cual significa que los usuarios declaran lo


Codigo Nombre

11340J John

11243K George

11346B Any

11248L Iván

11245K Ricardo


11340J John Breman

11243K George Caballero

Toma dos relaciones y crea una nueva relación. Sin embargo, hay una

en las dos relaciones; éstas deben tener los mismos atributos. La

operación de unión, según se define en la teoría de conjuntos, crea una nueva


Toma dos relaciones y crea una nueva relación. Al igual que la

operación unión, las dos relaciones deben tener los mismos atributos. La



LISTA DE TURNOS DE CIS15 y

aplica a dos relaciones con los mismos atributos. Las tuplas en la


LISTA DE TURNOS DE

) es el lenguaje estandarizado por el



que los usuarios declaran lo


Nombre Apellido

Breman

George Caballero

Carranza

Fernández

Ricardo Pérez

primero se implantó por Oracle Corporation en 1979; desde entonces se han

liberado nuevas versiones de SQL.

En esta sección se definen algunas ins

se relacionan con las operaciones definidas en la sección anterior. De ninguna

manera es un tutorial para el lenguaje SQL

Instrucciones.

1. Insert

2. Delete

3. Update

4. Select

*: significa que todos los atributos se eligen

5. Project

6. Join

Las instrucciones siguientes está relacionados con las operaciones que definimos

anteriormente al igual que los ejemplo mostrados.

insert into NOMBREvalues (. . . , . . . , . . .)

delet from NOMBREwhere criterios

update NOMBRE-set atributo1=valor1, where criterios

select * from NOMBRE-RELACIÓN

where criterios

select Lista - Atributos

from NOMBRE-RELACIÓN

select Lista - Atributos

from RELACIÓN 1, RELACIÓN 2

where criterios

14


liberado nuevas versiones de SQL.

En esta sección se definen algunas instrucciones comunes en el lenguaje SQL que


manera es un tutorial para el lenguaje SQL

Ejemplo

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

que todos los atributos se eligen

Ejemplo:

Ejemplo:


anteriormente al igual que los ejemplo mostrados.

NOMBRE-RELACIÓN . .)

insert into CURSOS values (“CIS52”, “Matemática Discreta”,6)

NOMBRE-RELACIÓN

-RELACIÓN 1=valor1, atributo1=valor1, . . . .

RELACIÓN

Atributos RELACIÓN

Atributos 1, RELACIÓN 2

delet from CURSOS where No=”CIS19”

update CURSOSset crédito = 6 where No=”CIS51”

select * from CURSOS

where créditos=5

select No . créditos

from CURSOS

select No.Nombre del curso. Créditos. Profesor

from CURSOS . IMPARTIDOS POR

where CURSOS. No = IMPARTIDOS POR. No;


trucciones comunes en el lenguaje SQL que



values (“CIS52”, “Matemática Discreta”,6)

CURSOS

No=”CIS51”

créditos=5

No . créditos

curso. Créditos. Profesor CURSOS . IMPARTIDOS POR

CURSOS. No = IMPARTIDOS POR. No;

7. Union

8. Intersection

9. Difference

Observación. El lenguaje SQL le permite

para extraer información más compleja desde una base de datos.

select * from RELACIÓN 1

union

select *

from RELACIÓN 2


intersection

select *

from RELACIÓN 2


minus

select *

from RELACIÓN 2

15

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

El lenguaje SQL le permite combinar las instrucciones anteriores


select * from LISTA DE TURNOS DE CIS15

union

select *

from LISTA DE TURNOS DE CIS52


intersection

select *



minus

select *


combinar las instrucciones anteriores


CIS15

IS52

Documents

Separata01