serway_cap10_3et1

7/22/2019 serway_cap10_3et1

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10Rotacin de un cuerpo rgido

alrededor de un eie fijo

uando un eueqpo extendido, como una rueda, $ra alrededor de sueje, no puede nahzarse su movimiento considerndola eomo unapartcula, ya que en cualquier instante sus diferentes componentesiendrn velocidades y aceleraciones diferentes. Por esta taz6o, s.onEiGte considerar un objetb extendido como un nmero grande de par-tculas, cada una con velocidad y aceleracin propias.El estudio de la rotacin de un cuerpo se simplifica en gran parte supo-niendo que es rgido. Un cuerpo rgido se define como aquel que no es defor- Cuerpo rgidomable, r"" "tr "l que las distancias entre todos sus pares de partculas perma-necen constantes. iodos los cuerpos reale en la naturaleza son deformableshasta cierto punto; sin embargo, el modelo de cuerpo rgid9 que se utilizar estil en muchos casos en los q,r l" deformacin es despreciable. En este captulose analiz arla rotacin de un cuerpo rlgido alrededor de un eje fijo, comn-mente conocido como eie de totacin.En el captulo ll se presentarn con detalle la naturaleza vectorial de lascantidades agulares, las rotaciones en el espacio y el concepto de momentoangular.rO.1 VELOCTDAN Y ACMT,F:AAi]I(}I{ ANCTILANASEn la figura l0.l se muestra un cueq)o rlgido plano de forma arbitraria restringidoal plano ry, g gira alrededor de un eje fijo que pasa por o y es perpendicula alplano de a figuta. Una partcula del cuerpo situada en P est a una distancia

Moolmbnn dc otacn fu uubatbrtw iI balla. (A'1986John Teewe Turne1 FPGIatenwtbrcl)


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252 r0 RorAcrN DE uN cuERpo RfcrDo ALREDEDoR DE uN EJE FrIofiia r del origen y gra describiendo una circunferencia de radio r alrededor deO. De hecho, toda paftcula del cuerpo describe un movimiento circular alre-dedor de O. Resulta conveniente representar la posicin del punto P con sus co-ordenadas polares (r, 0). En esta representacin, la nica coordenada que cam-bia con el tiempo es el ngulo 0; r permanece constante. (En coordendas rec-tangulares,'tanto r como y variancon el tiempo.) Cuando la partcula se muevea lo largo de la circunferencia a partir del eje r positivo (0 : 0) hasta.el puntoP, se mueve describiendo un "t" d" longitud s,ll cual est relacionado con laposicin angular 0 mediante la relacins: r00:sfr (10.1a)(l o.lh)igura l0.l Rotacin de un cuer-po rgido alrededor de un eje fijo atravs de O perpendicular al planode la figura (eje z). Ntese que lapartcula en P gira en un crculo deradio r centrado en O.

Figura 10.2 Una partcula sobreun cuerpo gido girando se muevedesde P hasta Q a lo largo del arcode un cculo, En el intervalo de5ernpo Af : 2 - 1 , el radio vectorCecribe un ngulo LX = 0 -: h.

Es importante hacer notar las unidades de 0 segn queda expresado por laecuacin tO.fb. El ngulo 0 es la raz6n de la longitud el arco y el radio delcrculo, por consiguiente es un nmero puro. Sin embatgo, poi lo comn semenciona a la unidad de 0 como radin (rad), dondeun rael m el ngulo sustentado por la longitud de arco igual al radio delarc(!.

Ya que la eircunferencia de un crculo es2m, se deduce que 3600 corresponde aun ngulo de 2rr/r rad, o bien Ztr rad (una revolucin). De donde, f rad :3600 l2r : 57.30. Para convertir un ngulo en grados a uno en radianes, pue-de aplicarse el hecho de que 2r raanes : 3600; as0 (rad) : ,h g (deg) )

Por ejemplo, 60o es igual a rls rad, y 4so es igual rl4 rad,.cuando la partcula se mueve desde p hasta e (Fig. l0.z) en un tiempo6, el radio vecto bTre un ngulo a,0: 0z- 0r, "l ".t"1 es igual al desph-miento angular. Se define la velocidad angular media , (omeg) como la raz6nentre este desplazamiento angular y el intervalo d6 tiempo a?l00-0, Les --:- tz- \ LtEn analoga con la velocidad lineal, la velocidad angular instantnea, @,se define como el lmite de la raz6n dada en la ecuacin 10.2, cuando A tiendea cero:

(10.2)

(10.3) =;_lmAt-+0 Ag *-Lt dtLa velocidad angular tiene unidades de rad/s, o sea, s-r, ya que los ra-ilianes no tienen dimensiones. Se adoptar la convencin deq.r""i ee fio de ro-tacin para el cuerpo rgido es el eje z, como se indica en la figura 10.1. Se to-mar c.'l como positiva cuando 0 est creciendo (movimiento en sentido contrarioa las manecillas del reloj) y negativo cuando d est decreciendo (movimiento ensentido de las manecillas del reloj).Si la velocidad angular instantnea de un cuerpo cambia desde co1 hasta co2en un intervalo de tiempo At, el cuerpo tiene una aceleracin angular. La

aceleracin angular media a (alfa) de un cuerpo que gira se define "orrro la ra-zn del cambio en la velocidad angular al intervalo de tiempo a:


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ro crNEMTrcA DE r.A RorActr.l: ltovlMIENTo DE RorAclN cot AcELERActN coxstaurn 253(Do - (Dt LAI--- h,-h Lt \ (10.4) As'leracin angular promedio

(ro.s) figffi::n angurar

b)Figura 10.3 a) Regla de la manoderecha para determinar la direc-cin de la velocidad angular. b) Ladireccin de o est en la direccinde avance de un tornillo con cuerdaderecha.

En andoga con la aceleracin lineal, se define la aceleracin angular instant-Er como el lmite de la raz6n Lol Lt cuando Af tiende a cero:aa ImA+O

La aceleracin angular tiene unidades de rad/sz, o sea s-2, Obsrvese quec es positiva cuando o est creciendo en el tiempo, y negativa cuando c estdecreciendo en el tiempo.Para la rotacin alrededor de un eie fiio se oe que todos las pattlcwlasd"el cverpo gido tienenla misma oelocidad angular y ln misma aceleracin an-ginr. Es deeir, la a y la a caraterizan al cuerpo rgido completo. Aplicando es-ias cantidades se puede simplificar mucho el anlisis de la rotacin de un euer-po gido. Obsrvese que el desplazamiento angular 0, la velocidad angular or yi" ""l"t"cin angular o, son anlogos al desplazamiento lineal (r), la velocidadlineal (r) y la aceleracin lineal (a), respectiv_amente, para el movimiento uni-mensional que se analiz en el captulo 3. Las variables 0, @ y a difieren di-mensionalmente de las variables , D Y slo en un factor de longitud.Ya se indic en qu forma se determinan los signos para cd y para a; sin em-bargo, no se ha especificado la direccin en el espacio asociada con estas canti-dads vectorialo.i P"tu la rotacin alrededor de un eje fijo, la nica direccinen el espacio que especifica de manera nica este tipo de movimiento es la di-reccin a lo laigo del propio eje de rotacin. Sin embargo, tambin debe tomar-se una decisin acerca del sentido de estas cantidades, es decir, si apuntan haciaafuera o hacia dentro del plano de la figura 10.1.

Como ya se mencion, la direccin de o, es a lo largo del eie de rotacin, elcual corresponde al eie z enlafigura 10.1. Por convencin, se toma la direccinde c como hacia afuera del plano del diagrama cuando la rotacin se realiza ensentido contrario de las r-nanecillas del reloj, y hacia dentro del plano del dia-grama cuando la rotacin corresponde al sentido de las manecillas del reloj.on el fin de mostrar todava ms esta convencin, resulta conveniente utilizarla regla de la mano derecha que se muestra en la figura 10.3a; los cuatro dedosde la mano derecha se curvan en la direccin de la rotacin; el pulgar derechoextendido apunta en la direccin de


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254 ro RoTACTN DE UN CUERPO RfcrDO ATREDEDOR DE UN EJE FIIO

Movimiento de rotacin alrededorde un eje fijocon c = constante. Variables: 0 y or

TABLA fO.l Comparacin de las ecuaciones cinemticas para movimientos derotacin y lineal con aceleracin crnstante \Movimiento lineal oon a =constante.Variables: c y r:

@:@o+at0: 0o* otst * latze)2: aoz * 2a(0 - 0s): Og* Atx: o * ost * lazo2: oo2 * Za(r - ro)

Hcuaeiones de la einemtic derotscin

.j IIIMPI.{} l0.l Rotacin de una medaUna rueda gira con aceleracin angular constante de35 rad/sz. Si la velocidad angular de la rueda es de2.0 rad/s s = 0, a) qu ngulo describe la rueda en2s?0 - 0o: e)ot + tol

constante (Cap. 3). Del mismo modo, para el movimiento de rotacin alrede,dor de un eje fijo, el movimiento acelerado ms sencillo que puede analizarse esel que se realiza con aceleracin angular constante. A continuacin, se de.sarrollarn las relaciones cinemticas para el movimiento de rotacin bajo ace,leracin angular constante. Si se escribe la ecuacin 10.5 en la forma da : adty se hace @: Q)o en e : 0 , podemos integrar directamente esta expresin:;r il::':,' "'i.. l;t':i:..,;l:i:(o.: constante) (10.6)

Del mismo modo, al sustituir la ecuacin 10.6 en la 10.3 e integrar una vez ms(con 0 - 0oents: 0), seobtiene(10.7)

Si se elimina de las ecuaciones 10.6 y 10.7 se obtiene(10.8)

Obsrvese que estas expresiones cinemtieas para el movimiento de rotacincon aceleracin angular constante tienen la rnisma forma que las correspon-dientes al movimiento lineal con aceleracin lineal constante haciendo las sus-tituciones - 0,D+ @, y a- a. En la tabla l0.l se proporciona una com-paracin entre las ecuaciones cinemticas de los movimientos de rotacir ylineal. Adems, las expresiones son vlidas tanto para la rotacin del cuerpo r-gido como para el momiento de una partcula alrededor de un eje fijo-

t\

: (n.o +) (z s) +*(s.s #) (2,)zt5i!...*$10.8 rad


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IO.3 REI.ACIONES ENTRE CANTIDADES ANGUIIRES T LN'E{LE,S 2551S"3 RE[,ACI{}]{S$ 3IN?-I1X C'tN?El].{$gs AHC.utR$Y I,INfrAT,$.qEn esta seccin se obtendrn algunas relaciones tiles entre la velocidad y laaceleracin angulares de un cue{po rgido que gira, y la velocidad y aceleracinlineales de un punto arbitrario del cuerpo. Para hacerlo, debe tenerse presenteque cuando un cuerpo rgido gira alrededor de un eie fiio, toda partcula delmismo se mueve describiendo una circunferencia cuyo centro est en el eie derotacin (Fig. 10.4)En primer lugar, puede relacionarse la velocidad angular del cuerpo quegira con la rapidez tangencial, o, de un punto sobre 1. Dado que P se muevedescribiendo una circunferencia, el vector veloeidad lineal siempre es tangentea la trayectoria circular, de aqu el trmino oelocidad, tangencial. La magnitudde la velocidad tangencial del punto P es, por definicin, ds/dt, en donde s es ladistancia recorrida por el punto, medida a lo largo de la trayectoria circular. Sise recuerda que s : r0, y se observa que r es constante, se obtiene

Figura 10.4 Cuando un curlp nrgdo gira alrededor de un t# Eio travs de O, el punto P tiene un 'Flocidad lineal o, la cual es siempttangente a la trayectoria circular &radio r. ',

o = flx) (10.9) f{el*cin cffitre rapide;: iinecl yangularEs decir, la rapidez tangencial de un punto en un cue{po $do que gira esigual a la distancia a la que se encuentra ese punto respecto del eje de rotacinmultiplicada por la velocidad angular. Por lo tanto, aunque todo punto del"rr"tpo rgido tiene la misma velocidad angular, no todos los puntos tienen lamisma velocidad lineal. En efecto, la ecuacin 10.9 indica que la velocidad li-neal de un punto del cuerpo giratorio aumenta a medida que uno se mueve ha-cia afuera del centro de rotacin hcia el borde, tal como se esperara en formaintuitiva.Es posible relacionar la aceleracin angular del cuerpo rgido que gira conla componente tangencial de la aceleracin lineal del punto P tomando la deri-vada de o respecto al tiempo: s doa :-:f

-vtdt'dt. !]':::l::;]]] :|:|l :ft'tt,L, ,,

Es decir, la componente tangencial de la aceleracin lineal de un punto de uncuerpo gido que gira es igual a la distancia a la que se encuentra ese punto res-pecto del eje de rotacin multiplicada por la aceleracin angular.En el captulo 4 se encontr que un punto que describe una trayectoria cir-cular experimenta una aceleracin centrpeta o radial de magnitud o2/r y diri-gida hacia el centro de rotacin (Fig. 10.5). Como t) : r@, para el punto P delcuerpo rgido que gira, esta componente radial de la aceleracin se puedeexpresar como

d0t:-:t,-1/ dt'dt

riffi

(ro.1o)

(ro. r l)La aceleracin lineal total de la partcula es r, : a, * a,. Por consiguiente,Ia magnitud de la aceleracin lineal total del punto P sobre un cuerpo rgido

que gira est dada por

Figura 10.5 Cuando un cuerpo rl-gido $ra alrededor de un eie fiioque pasa a travs de O, el punto Pexperimenta una aceleracin tan-gencial, t, y una aceleracin cen-trpeta, ar \.a aceleracin total deeste punto es - at * d,

flo ,ao:Jffi:JTr2'61 :ffil (10.12)


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256 l0 RorAcrN DE uN cuERpo RfcrDo ALREDEDoR DE uN EJE FrJo! HJf,[,ql'I.t] I i].:,: ti;i i:+.]rr;lirr,rr;i L,0 : 0 - 0o: e)ot + +g,tzEl tornamesa de un tocadisco $ra al inicio con una rapi-dez de 33 revoluciones/min y tarda 20 s para llegar al re : 19.46(20) + +(- 0. 17gX20)21 rad : 34.6 radposo. a) Cul es la aceleracin angular del tornamesa, su-poniendo que la aceleracin es uniforme?Recurdesequel rev = Ztrrad,,entonceslavelocidad Esto corresponde a 34'6 +2r rev' o bien 5'51 rev'angular inicial e

(00:(', #) (r, #) (# +) : 3 46 rad/sAl aplicar @: e)o* at y el hecho de que co : 0 en :20 s, se obtiene

o: -*- - 3'46-rad/s - -o.rzg radfse 20sen donde el signo negativo indica una desaceleracin an-gular (c,r est disminuyendo).b) Cuntas rotaciones efecta la tornamesa antes dequedar en reposo?Se aplica la ecuacin 10.7 y se encuentra que eldesplazamiento 1Su._la; "i 39 r *T-

c) Cules son las magnitudes de las componentes ra-dial y tangencial de la aceleracin lineal de un punto sobreel borde para = 0?Se aplica la relacin a: re, y a": raz, para ob-tener

at: ra: (14",", (o.1zs +) : z.4L cmlsza,: r(Dz : (t4"-) (s.+o +)t : 168 cm/se

-, Si el radio de la tornamesa es de 14 cm, culrapidez inicial de un punto en el bdrde?48.4 cm/s

Considrese un cuerpo rgido como una coleccin de partculas pequeas y su-pngase que gira alrededor del eje fijo z con una velocidad angular , (fig.10.6). Cada partcula del cuerpo tiene cierta energa cintica, determinada porsu masa y velocidad. Si la masa de la i-sima partcula es rn y su rapidaz as t),la energla cintica de la partcula esKt: bnPrz

Con el fin de seguir adelante, debe recordarse que aun cuando todas las part-culas del cerpo gido tienen Ia misma velocidad angular, c,r, las velocidaes h-neales por separado dependen de la distancia r, respecto al eje de rotacin segnla expresi6n or: r{D (Ec. 10.9). La energa cintica totaldel cuerpo rgido quegira es la suma de las energas cinticas de las partculas individuales:K : >Iq :Zhnrq' : *\mrrrr)ZK: tr(>*,,f)r,en donde se ha extrado c2 eomo factor comn de la suma, ya que es comn atodas las partculas. La cantidad que se encuentra entre parntesis es una pro-piedad del cuerpo gido conocida como momento de inrcia, /:

I * }mr4' (10.14)Si se utiliza esta notacin, es posible expresar la energa cintica del cuerpo rgi-do giratorio (Ec. 10.13) como

es la

Figura lO.Q Un cuerpo rlgido quegira alrededor del eje a con una ve.locidad angular ss. La energla cin6tica de la partcula de masa ral, est'zm)i2. La energa cintica totaldel cuerpo esllotz.

(10. r 3)

g: llate (10.15)


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IO.4 ENERGA CINTICA DE T.A ROTACIO}-TAL ffi.:t Frtir de la definicin de cantidad de movimiento lineal se ve que tiene las di--;dr* MLz (kg . m2 en unidades del SI, y g . cmz en unidades del cgs). sta{Fempena el papel de masa en todas las ecuaciones rotacionales. Aun cuandoc comn referirse a la cantidad *Icr' como energa cintica rotacional, debellorse notar que no se trata de una nueva forma de energa. Es una energa ci-rtice comn ya que se obtuvo a partir de la suma de todas las energas cinti-w; individuales de las partculas contenidas en el cuerpo rgido. Sin embargo,. forrra de la energa cintica dada por la ecuacin 10.5 es muy conveniente al:lrtr con movimiento de rotacin, siempre que se sepa en qu forma calcularl. Es importante que se reconozcalaanaloga entre la energa cintica asociadacon el movimiento lineal +rno2, y la energla cintica de la rotacin, *Iao. Lascandades / y o en el movimiento de rotacin son anlogas amy o del movi-niento lineal, respectivamente. En la seccin que sigue se describir cmo cal-cular los momentos de inercia para los cuerpos rgidos. Los ejemplos siguientesnn6trarn cmo calcular los momentos de inercia y la energa cintica de rota-ein para una distribucin de partculas.

EJEMPLO t{},3 La mol,fu:ula de nxgenoConsidrese la molcula diatmica de odgeno, 02, la cualest girando en el plano ry alrededor del eiez. A la tempe-ratura ambiente, la separacin "media" entre los dos to-mos de oxgeno es l.2l x l0-r0 m (los tomos son tratadoscpmo masas puntuales). a) Calclese la cantidad de movi-miento lineal de la molcula alrededor del eje z.Como la masa de un torno de oxgeno q 2.77 x10-26 kg, y la distancia de cada tomo al eje z e dr2,lacantidad de movimiento lineal alrededor del eie z es

b) Si la velocidad angular en torno al eje z q 2.0 x1012 rad/s, cul es la energa cintica de rotacin de lamolecula?

Figura 10.7 (Ejemplo 10.4) Todas la partculas estn fijas a lasdistancias mostradas. La cantidad de momiento lineal dependedel eje alrededor del cual se est evaluando.

dad de movimiento lineal alrededor del eje V y la energacintica de rotacin alrededor de ese eje.En primer lugar, obsrvese que las partculas de masa,n que se encuentran sobre el eje y no contribuyen a I, (esdecir, para estas partculas / = 0 respecto a este eje). Alaplicar la ecuacin 10.14, se obtienelr:Z*rqz - Maz * Maz: 2Ma2

Por lo tanto, la energa cintica de rotacin en torno al ejegesY: llro2 : (ZMaz)az : Mazaf

El hecho de que las masas m no entren en el resultado tienesentido, puesto que estas partculas no tienen movimientoalguno respecto al eje de rotacin elegido; entonces notienen energa cintica.

: (ry r.g)tr.er x ro-,0 m)!: 1.95 X 10-.o kg.-t

t:Z*,,r: *(*)' . *(!r)' :ry

'0"+)y: llap

: +(1.e5 x 10-{6 ks'-r) (n.o *:3.89 X 10-22 IEsto tiene aproximadamente un orden de magnitud menorque la energa cintica promedio asociada con el movi-miento de traslacin de la molecula a la temperatura am-biente, la cual es de unos 6.2 x 10-21I.EtrEMPLO 10.4 Cuatro partculas rotandoCuato masas puntuales estn sujetas en las esquinas de unmarco de masa despreciable que se encuentra en el planoxA Fig.l0.7). a) Si la rotacin del sistema ocurre en tornoal eje y con una velocidad angular t,t, encuntrese la canti-


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958 ro RCrrAcIN DE uN cuERpo RfcrDo ALREDEDoR DE uN EJE FrIob) Supngase ahora que el sistema gira en el plano ryeo tomo a un eie que pasa por O (eie z). Calcrllese la canti-dsd de movlmiento lineal respecto al eje z y la energfa ci-oce de rotacin alrededor de este eje.Como r, de la ecuacin 10.14 es la distanciaperpendi-afu al 4e de rotacin, se obene'

Si se comparan los resultados obtenidos en los incisosa y b, se concluye que la candad de movimiento lineal y,en @rleecuencia la energla cintica de la rotacin asociadacon rna rapidez angular dada, dependen del eje de rota-cin. En el inciso b era de esperarse que el resultado inclu-yera todas las masas y todas las distancias ya que todas laspardcrrlas estn en movimiento debido a la rotacin delplano y, Es ms, el hecho de que la energla cintica obte-nid ea d iDciso o sea menor que la obtenida en el inciso binca que haba que realizar menos esfuerzo (trabajo)psn pou al sistema en rotacin alrededor del eje U quealedcdor d 6e z.

lr- \m1t - Ma2 * Maz * mbt * mbz:mK: {rttf : (ZMas } flfiz)oz :l.S ALtlut"i} fttl MOIL\Tu: IIE I\ERCIASe puede evaluar la cantidd de mcn{mitnto lineal de un cuerpo rgido imagi-nndolo como si estuviera dividido ea eernentos de volumen, cada uno con ma-sa Am. Ahora se puede utilizr I dtfinicifin I: )l Atn ytomarellmitedeesta suma cuando .Lm - 0. En esb Hmite, [a suma se trasforma en una in-tegral tomada sobre todo el arerpo, donde r es la distancia perpendicular al ejede rotacin desde el elemento Am. Por lo tanto,

(10. l6)Para evaluar la cantidd de movimiento lineal utilizando la ecuacin10.16, es necesario expresar el dmento de masa dm entrminos de sus coorde-nadas. Es comtn definir une densidd de masa en varias formas. Para un cuer-po tridimensional, por lo genrat s usa la denstdad oolurntrica local, es de-cir, la rnufl por unidd fu ooIumen En este caso, puede escribirse

p:#To #:y,dm: NV

Por lo tanto, es posible rpresar la qantidad de movimiento lineal en la formar: Ir*avSi el cuerpo es homogneo, entonces p es constante y puede evaluarse la in-tegral para una geometra conocida, Si p no es constante, entonces debe especi-ficarse su variacin con la posicin. Al considerar un objeto en la forma de unalmina de espesor uniforme , resulta conveniente definir una densidad superfi-cial o: !t, la cual significa rnosa por unidad de rea. Por ltimo, cuando lamasa est distribuida a lo largo de una barra uniforme de rea A de seccintrasversal, suele utilizarse la densidad lineal, )r: pA, en donde \ se define comola masa por unidd dc longitud.


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ros crruulDExouElrfiFDsErffir lllEIEMPLO 10.5 Arp rniformeEruatese la candad de movimiento lineal de un arodforne & masa M y rao R alrededor de un eje perpen-dcllr d plano del mismo y que pasa por su centro (Fig.r0.8).

Irryura 10.8 (Eiemplo f0.5) Todc lc elementc de masa de uno uniforme estn a la misma distancia de O.Soluciot Todos los elementos de masa se encuentran auna misma distancia r = B del eje, por lo que, si se aplicala ecuacin 10.16, se obtiene para la cantidad de movi-miento lineal respecto d eie z qtrc pasa por O:

EJEMPTO 10.6 Barra r{gida uniforme DCalclese la cantidad de movimiento lineal de una barrarl$da de lon$tud L y masa M (Fig. 10.9) respecto a un ejeperpendicular a la misma ("je y) que pasa por su centro demasa.

Figura 10.0 (Ejemplo 10.6) Una barra rfgida uniforme de longi-tud . La cantidad de movimiento lineal alrededor del eie y esmenor que el de alrededor del eie g' .Salucin El elemento sombreado de anchura dr tiene unamaa cr,n igual a la masa por unidad de longitud multipli-cada por el eletnento de lon$tud, dr. Es decir, dnr =Y a". Si se sustuye esto en la ecuacin 10.16 con r = r,L,se obtiene

f&:# [f]::,: #uns

Ejercicio 3 Calclese Ia cantidad de movimiento linalde un barra l$da uniforme alrededor de un eje perpendi-cular a la barra que pase a travs de un extremo (eie y'),Obsrvese qu clculo requiere que los lmites de la in-tegracinseandesder = 0hasta x: L.Respuen trUtz.EIEMPLO t0.? {iilinrht rtlrrirr trifrtnt'Un cilindro slido uniforme tiene un radio R, masa M ylon$tud L. Calclese su cantidad de movimiento linealalrededor de un eje que pase por el centro a lo largo de sulongitud (el eie a de la figura 10"f0).

Figura 10.10 @iemplo 10.7) Calculando f ahededor de un eje zpara un cilindo slido uniforme.Solucin En este ejemplo, es conveniente dividir el ci-lindro en cascarons cillndricos de radio r, espesor dr ylon$tud L, como se indica en la figura, r0.10. En este ca-s, s eligen los cascarones cillndricos porque se desea quetodos los elementos de masa dm tengan un solo valor de r,con lo cual se hace ms direeto el clculo de I. El volu-men de cada cascarn es el rea de su seccin trasversalmulplicada por la longitud, o sea, dV = dA ' L = (Zttdr)L, Si la masa por unidad de volumen es /, la masade este elemento diferencial de volumen q dm: pdV : PZnrL dr. Sustituyendo esta erpresin en la ecuacin 10.16,se obtiene

,,: Ir, d.m:ZnpL I:- Or:#Sin embargo, como el volumen'total del cilindroes nRzL,y la densidad es p: MIV: MlnRzL. Si se sustituye estoen el resultado anterior, se tiene

,,- In dm: I::,"f a.:y I:,

,: I* drn:n' Ia*: ,ffi

U,

In: lMRg


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260 l0 RoTAclN pn UN cUERpo nfcpo ALREDEDoR DE UN EIE rTJoTABLA f0.2 Momentos de inercia de cuerpc ddd bomogeneoocpn diferentes geometras

Aro o cascarncillndricol, : MRz

Cilindro slido odisco

Cilindro huecoL:;M(Rrz+Rzz)

Placa rectangular,,: i*raz + bz)r, = )un'

Barra delgada ylarga,: $ur,

Esfera slid" : tun'

Barra delgada ylargar:!u*Cascarn edricodelgado, :zun'

is# Cs,4t"Como se vio en los eiemplos anteriores, los momentos de inercia de los cuerposgidos que tengan geometra sencilla (alta simetra) se calculan con relativa fa-eilidad si"mpte. que el eie de referencia coincida con un eie de simetra. En latabla 10.2 se listan, para algunos cue{pos rgidos comunes, los momentos deinercia respecto a eies especficos.2

El clculo de los momentos de inercia respecto a un eje arbitrario puede re-sultar un tanto incmodo, incluso para un cuerpo fuertemente simtrico, comouna esfera. Al respecto, existe un importante teorema conocido como teoremade los eies paralelos, que a menudo simplifica el clculo de los momentos deinercia. Supngase que la cantidad de movimiento lineal respecto a cualqrriereje que pase por el centro de masa es /". El teorema de los eies paralelos afirmaque la cantidad de momiento lineal respecto a cualquier eie que sea paraleloal eje que pasa por el centro de masa y se errcuentre a una distancia D de l esl: Io+ M '(1b.17)

2 Los ingenieros ciles utilizan el concepto de cantidad de movimiento lineal para caracte.izi hspropiedades elsticas (ri$dez) de las estructuras cuando las gas estn cargadas. Por lo tanto seutiliza an en contexto de no rotacin con frecuencia.

'Ieorema de ejer raralt,.i,i.'


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r0.5 cficur DE MoMEr{Tos pe E}rgncfa 8l'Ml del teorema de ejes paralelos Supngasq que un cuerpo gira en el pla-rc.ry alrededor de un eje que pasa por o, como se ve en la figura l0.ll, y queXs coordenadas del centro de masa son x", U". Supngase tambin que el ele-mento Am tiene coordenadas r, u en relacin con el origen. Como este elementose encuentra a una distancia r : Jffi del eje a, la cantidad de movimientoUneal respecto a este eje que pasa por O es

Sin embargo, es posible relacionar las coordenadas x, A conlas coordenadas delcentro de masa, x", U", y con las coordenadas relativas al centro de masa ' , A' ,a travs de las relaciones r : r' * x. y A : A' * V.,Porlo tanto,

, -- I* d*: J u, * sz)d,m

t: [I@' * r"), * (a' * y.)zld.m: II{*')u * (o)'lo* + z*"[ x' d.n * ,r"lr' d.m * (".0* a.,l[a^El primer trmino de la derecha es, por definicin, la cantidad de movimientolineal respecto a un eie paralelo al eie z, que pase por el centro de masa. Los dossegundos trminos de la derecha son c-ero, ya que por definicin de eentro demasa Ix' dm: !A' dm:0 (x' , y' son las coordenadas del elemento de masaen relacin con el centro de masa). Finalmente, el ltimo trrrino de la derechaes simplemente MDz, ya que Id* - M y D2 -x.2 * U.". Como consecuencia,se concluye que . .I:1.+MDz

Figura l0.ll El teorema de ejes paralelos. Si lacantidad de momiento lineal alrededor de uneje perpencular a la figura a travs del centrode masa en c, es f", entonces Ia cantidad de mo-vlmiento lineal alrededor del eje z e ln: I. *MDt.


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%2 ro nor-{c!i on u}i cuERpo nfcno ALREDEDoR DE uN EIE FIIoCocundcrcr de n.eso una barra rlgida u *"r" y longi-ill L cc,,'no en Lr figura 10.9. Encuntrese la cantidad descq;Js:lno lineel de la barra alrededor de un eie perpen-&arnirr l brre a travs de un extremo (eje A' en la fi-nr ItJ,9.

Ya que la cantidad de movimiento lineal de lab.rrr lrededor de un eje perpendicular a la barra a travsde nr centro de masa q ML2llZ, y gue la distancia entre

este eje y el eje paralelo a travfo de un "*tr"oro *; =LlZ, por el teorema de ejes paralelos se obtiene quer : t"+ M : r MLz * * (r)' : rdr

Calclese la cantidad de movimiento lineade la barra alrededor de un eje perpendicular a la barra yque pase a travs de ur punto x = Ll4,I: tMLe

Cuando se ejerce en forma apropida una fuerza sobre un cuerpo gido que puede girar alrededor de algn eje, el cuerpo tender a realizar esta rotacin alrededor de ese eje. La capacidad de la fuerzapara hacer girar a un cuerpo alrededor de algn eje se mide por una cantidad conocida como momento de lfuerza (") (o momento de torsin). Considrese la llave de tuercas que gira alrededor del eje que pasa por O en la figura 10.12. Por lo general, lafuerza aplicada F puede actuar formando un ngulo { con la horizontal. Se define la magntud del momento de una fuerza, r (la letra griega tau), resultante de la fuerzpor la expresin r=rFsen:Fd, (10.18

Es importante que se reconozea'que el momento de una fuerza est defindo sIo cuando se especiJica un punto de reterencia. .a cantidad d : r sen {conocida como brazo de palanca (o brazo de momento) de la fuerza representla distancia perpendicular desde el eie de rotacin hasta la Inea de accin de FObsrvese que la nica componente de F que tiende a provocar una rotacin eF sen ,la componente perpendicular a r. La componente horizontal, F cos @que pasa por O, no tiene tendencia a provocar una rotacin. Si existen dosms fuerzas actuando sobre un cuerpo rgido, como en la figura 10.13, caduna tiene tendencia a producir rotacin alrededor del pivote que est en O. Poejemplo, F2 tiene tendencia a hacer girar al cuerpo en sentido del movimient

F'cos @

F sin @--t I*r iFigur 10.12 La fuerza F tieneuna mayor tendencia a hacer giraralrededor de O cuando F aumenta ycuando el brazo de momento, d, av-menta. Es la componente F sen laque tiende hacer girar el sistema al-rededor de O.

F2Figura 10.13 La fuerza F1 tienoe ahacer girar el cuerpo en sentido con-trario a las manecillas del reloj alrededor de O, y F2 tiende hacer girarel cuerpo en sentido de las maneci-llas del reloj.


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n.7 REIAcIoNES ENTRE EL MoMEIITo DE uNA FUERZA y LA AcELEnrcr Axcttr"rnde las manecillas del reloj, y F1 tiene tendencia a hacerlo girar en sentidoeontrario. Se aplicarlaconvencin de que el signo del momento de una fuerzaproducido por una fuerza es positivo si su tendencia para hacer girar es en senti-o contrario al movimiento de las manecillas del reloj, y negativo si esa tenden-cia es en el mismo sentido de ese movimiento. Por ejemplo, en la figura 10.13'el momento de una fuerza produeido porF1, la cual tiene un brazo de momentod1, s positivo e igual a + Fl d el momento de una fuerza de F2 es negativo eigual _Frdr. De donde el momento neto que acta sobre el cuerpo rgidoalrededor de O es

Tneto: t, * t2: Ftdt - Fod,A partir de la definicin de momento de una fuerza se ve que la tendenciaa producir rotacin aumenta a medida que aumenta F y tambin a medida queaumenta d. Por ejemplo, es ms fcil cerrar una puerta si se empuja en la pe-rilla en lugar de hacerlo en un punto cercano al gozne. Na debe conJundirse gImomentoe nriin can la Juerza" El momento de una fuerza tiene unidades defuerzas multiplicadas por unidades de longitud, o bien N . m en el SI de unida-

des, la misma combinacin que se da para el trabajo. En la seccin 10.7 se verque el concepto de momento de una fuerza resulta conveniente para analizar laditt*i"" dsla rotacin de un cuerpo rgido. En el captulo siguiente se descri-bir con todo detalle la naturaleza vectorial del momento de una fueza'

lr.i t"F,,ii i'i' :'p ::I {i, un cilindro slido puede girar alre


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?H ro RcrrAcri DE uN cuERpo nlcrpo ALREDEDoR DE uN EJE FrIo

flrr f0.H Parcula $rando enrm ercrIo bajo la influencia de unahez, tangencial Ft. Una fuenacentrpeta (no mostrada) debe estarpresente para mantener el movi-miento circular.

ta alrededor de ese eje. Antes de analizar elcaso ms complejo de la rotacinde un cuerpo r$do, es instructivo analizar brevemente el caso d" ,rrr" partculaque gira alrededor de algn punto fijo con la influencia de una fuerza externa.En seguida se extendern las ideas englobadas en esta situacin al caso de uncuerpo rgido que gira alrededor de un eje fijo.Considrese una partcula de masa m que $ra describiendo una circunfe-rencia de radio r con la influencia de una fuerzu tatrg"rr"ial Ft, como en la fig,r_ra 10.15 y una fuerzacentrpeta F. no mostrada en li figura. '(Lufu"rra cenlr-peta debe ser considerada para asegurar que la partcJa ," ,rr.r"0" en una cir-cunferencia.) La fuerza tangencial suministra una aceleracin tangen cial at, yFr: ma,El momento de una fuerza respecto al origen debida ala fuerza Ft es el produc-to de la magnitud de la fuerza F. y el brazo de momento de ella:

x : Frr: (mar)rYa que la aceleracin tangeneial est relacionada con la aceleracin angular atravs de la expresin at: re., es posible expresar el momento de .rrr" fr"ri"como

r : (mra)r: (m&)aRecurdese que la cantidad mr2 es la cantidad de movimiento lineal de la masaque est girando alrededor del eje z que pasa a travs del origen, de modo que

ll*la*:im ent* meJrn*rto de un.rfnr:rc'a _rl nc*rl*rn*it'rn angular .t =trd- (10.1e)

ftsr -tll Co.rpo rlgtdo ptvo,b.tt*rir,T & un qe travb deo. dededr & O cn |r mis1 acele-rrcfto ngnl-r, o, y d momento deuna ferzr m rbre d cuerpo esproporcionel r c"

Es decir, el monento de una luerza que acta sobre una partcula es propor-cional a su aceleracin angular, y la constante de proporcionalidad es la cnti-dad de movimiento lineal. Es importante hacer troiuiq,t" 't.: Iq. es el anlogorotacional de la segunda ley del movimiento de Newton, F = ma.Ahora, se extender este anlisis a un cuerpo rgido de forma arbitrariaque gira alrededor de un eje fijo como en la figura l0.l-6. Se puede considerar elcuerpo como un nmero infinito de elementos de masa dm detamao infinitesi-mal. Cada elemento de masa describe una circunferencia alrededor del origen,y cada uno tiene una aceleracin tangencial a, producida por una fuerz" i"tr-gencial dFr. Para cualquier elemento dado, poi lu segunda ley de Newton sesabe quedFr: (dm)a,El momento de una fuerz a dt asociado con ra fuerzadFl, que acta arrededordel origen est dada por

dt : r dFr: (r dm)a,Como a: re., la expresi1n dt queda como

dt : (r dm)ra: ( dm)aEs importante reconocer que aun cuando cada punto del cuerpo rgidcrpuede tener rl It diferente, todos los elementos de .tL" tienen la mi"*ace-leracin angular, a. Teniendo en cuenta este hecho, se puede integrar la expre-sin antes dada para obtener el momento de una fuerz neto respecto de O,


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rO.7 RET'{CIONES ENTRE EL MOMENIIO DE UNA FT'EtzA LAACELARACIN ANGUIAR 265?neto : Ir* d.m)a-- o[* o*

en donde puede extraerse a del signo de interrogacin ya que es comn para to'dos los elementos de masa. Como la cantidad de movimiento lineal del cuerpoalrededor del eje de rotacin que p?sa por O se define por medio de I: tf dm,la expresin para 7s1e, euda comoT*ro: IA (l o.20)

De nuevo se ve que el momento de una fuerzarespecto a un eje de rotacines proporcional a la aceleracin angular del cuerpo, siendo / el factor de pro-porcionalidad, el cual depende del eje de rotacin y del tamao y forma delcuerpo.En vista de la naturaleza compleja del sistema, el importante resultado deque Tneto: Ia es sorprendentemente simple y concuerda por completo con lasobservaciones experimentales. La sencillez del resultado se apoya en la formaen que se describe el movimiento.Aun cuando cada puntei rlel errerpo rgiclo nL ptletlc e,rrerinr*ntar la mi.smafuerza, la mismr ar:eleracin lineal o la misryra vt'lttcitlatl lineal, {odo pun"to dcl cuerpo tiene la nrisma aceleral:ian an{inr v li ntistra vt:lcrcirJd :.iiit-gular elr r:rral


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ffi r0 RorAcrN DE uN cunRpo nfcpo ALREDEDoR DE uN EIE Frto

T,"

Ahorq si se aplica la segunda ley del movimiento de New-ton a l m"o srspendida m, haciendo uso del diagfama decrrerlro bre (Fig. 10.18):XFr:T-*g:-rrvr,(2) a-ms- T

La aceleracin lineal de la -Jr,,*ndida es igual a laaceleracin tangencial de un punto en la orilla del disco.Por lo tanto, la aceleracin angular del disco y esta acele-racin lineal estn relacionadas Wr o: Ilc. Ulizando es-te hecho junto con las ecuaciones (t) y (2) se obtienea:Rq.:ry:#, f';',*"'- .,#*'.rI .{* :J+-*i.'+ t : i g ..T

nxgFigura 10.18 (Ejemplo l0.ll) La cuerda que sujeta a m seenrolla alrededor de la polea, la cual produce un momento defuerza alrededor de un eje a travs de O.

a: Le,: tg,Este resultado es bastante interesante, ya que ot ( g. Esdecir, el extremo de la barra tiene una aceleracin mayorque la debida a la gravedad" Por lo tanto, si se colocarauna moneda en el exemo de la barra, ste caera ms r-pido que la moneda, al dejarla en libertad.Otros puntos de la barra tienen una aceleracin linealmenor que tg. Por ejemplo, el punto medio de la mismabarra tiene una aceleracin de fu.

: !'': ,r.jr'j r:."..1:Un disco de radio R, masa M y cantidad de movimiento li-neal I est montado sobre un eje horizontal sin friccin co-mo se muestra en la figura 10.18. Un cordn ligero estenrollado alrededor del disco soportando un cuerpo demasa m. Calclese la aceleracin lineal del cuerpo suspen-dido. la aceleracin angular del disco, y la tensin en elcordn.El momento de una fuerza que actha sobre eldisco alededor de su eje de rotacin es r: TR. El peso deldisco v la fuerza normal del eje sobre el diso pasan a tra-vs del eje de rotacin y no producen momento de unauerza' Ya que r : la, se obtiene

t:Ia:TR(l) a: TP.ll

Del mismo modo, despeiando a y a se obenei:: .,o:'".:I + t/tttfil,:i I :,^- & - g,u-n-E+r.;[

Ejercicio S El disco en la figura lp.l8 es un disco slidodemasa M = [kg,R = 30cm,: Q.$gkg. mz.Elobie_to suspendido tiene una masa - = .5. kg. Encuntrese latensin en el cordn y la aceleracin enrgular del disco.,**r*r**t* 3.27 N; 10.9 rad/sziJlistr,# l,lgDos masas mty mzestn conectadas una a la otra a travsde una cuerda ligera que pasa sobre dos poleas idnticas,cada una con una candad de movimiento lineal I. (Vasela figura l0.f9a). Encuntrense la aceleracin de cadamrisa y las tensiones ?r, Tzy Ts en la cuerda. (Supngaseque no hay deslizamientos entre la cuerda y la polea.)Tlsr:dn Primero, escrbase la segunda lq del movi-miento de Newton aplicada a cada bloque, tomandotnz) rn1 . Los diagramas de cuerpo libre se muestran en lafigura l0.lgb.

Tt - mtg: tnra (1)mzg- Ts: rflsa (2)Despus, se deben incluir los efectos de las poleassobre el movimiento. Los diagramas del cuerpo libre para )'lar'poleas se muestran en la figura l0.lgc.El momento de una fuerza neto alrededor del eie parala polea de la iz{uierda es (f, - fJR, mientras que el


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rg.E TnlrrAtoyENEncfAsl{ElxffIxrrToureredr 3(Ts - T)R: ZIa

Sumando las ecuaciones (l) y (2) se tieneTt- Ts* *zg- tg: (mt* m)a

o bien Ts- Tt: (mz- m)g- (-, * mslo (6)Sustituyendo la ecuacin (6) en la ecuacin (5)' se tiene

I@z- mt)g- (*r* ms)olR:Lla4Ya que o:;., esto puede simplificarse como sigue:

(*z* mtlg- (*, * msla: n #o

Frf

{LsT,i

@mt9,b)

N,\ rzw', I Fw!s t'lc)

Figura 10.10 (EiemPlo 10.12).momento de una fuerza neto para ta polea de la derecha es(T, - ?tn. Utilizando

la relacin ?'.to: Ia para cadapoi"", y 'bt"*"t do que cada disco tiene-la misma a obtenemos (Tr- T1)R: Ia

(T. - T2)R: IaAhora se tienen cuatro ecuaciones con cuatro incgni-tas; a saber a, Tt, Tz Y Ts, stas pueden ser resueltas si-

1, *,tttatt"amente. Sumando las ecuaciones (3) y (4) se ob-I ti*nu

N2

T3

(7)

Este valor de c puede entonces ser sustuido dentro de lasecuaciones (t) V (2) para obtener T1y T3. Finalmente, ?1puede ser encontrads de la ecuacin (3) o de la ecuacin(4).

nurrr l0.gt Crqo ilf rglra alrededor & un elc quc Pm.trav& de O con la amin de unfuerza, extcrn& F aplicada en P..

(3)(4)

$,S '"nfuL&rt${i x.1:,;i+*:,:;; ':.' lH)t ;{{}'t''orl':" i:"'La descripcih de un cuerpo rlgido que gira no quedarla completa sin un anli-sis de la eirergla cintica a ta rtacin y cmo est relacionado su cambio con eltrabajo llevado a.cabo por las fuetzas externas'tr" vez, se restrinlgir el anlisis a Ia rotacin alrededor de un eie fijo Io-calizado en un marco d referencia inercial. Adeofo, se ver que la relacinimportant rn"6: Ia deducida en la secrin anterior, tambin puede obtenersecoisiderando la rapidez con la que cambia la energla en-el te-mpo'Considr"r" *i cuerpo rgido que puede girar alrededor del punto O segnse indica en la figura 10.10. Supngase que se aplica una sola fuerza externa Fen el punto p. Erabajo realizado por F a medida que el_cuerpo $ra recorrien-do una distancia infinitesimal ds : r d0 en un tiempo dt e

dW: F . ils: (F *n$)r d0donde F sen { es la componente tangencial deF, o sea la componente de la fuer-za alo largo del desplazamiento. Obsrvese en la figura I0.g qu9 Ia comPonente radl de F noiealiza trabaio Va que es perpendictilar al desplazq*i*ry.Como la rnagnitud del *o*"ttto de una fuerza debida a F alrededor delorigen se defini o*o rF sen se puede escribir el trabajo realizado para larotacin infinitesimal como

rnr *,rn*,#ttffi

e7:,


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2ss lo Ror^crr pe uN cuERFo nfcpo ALREDEDoR DE uN EIE FrIodW: t d0

dw d0-:+-dt 'dtLa rapidez con la cual F est realizando trabajo para la rotacin alrede-dor del eje fijo se obtiene al dividir el lado izquierdo y "l d"r""ho de la ecuacinf0.21 por dtz

(10.21)

(10.22)

(r 0.23)

(10.24)

i."r iil! tl.,l.,t:':: i"::, itii it,:i. {1t:

Pero, por definicin, la cantidad dW/d es la potencia instantnea, p, entre-gada por la fuerza. Es ms, como deldt: @,la ecuaci 6n L0.22 se reduce a:P:#:rc')

Esta expresin es anloga a P : Fo, en el caso del movimiento lineal, y laexpresin dW : t d0 es anloga a dW : F, dx.Teorema del trabajo y la energa en el movimiento de rotacinEn el movimiento lineal, se encontr que el concepto de energa, y en par-ticular el teorema del trabajo y la enetga, eran extremadamente til aldescribir el movimiento de un sistema. De la misma manera, el concepto deenerga puede resultar til para simplificar el anlisis del movimiento d rota-cin. A partir de lo que aprendi en el movimiento lineal, es de esperar que pa-ra la rotacin de un obieto simtrico (como un disco) alrededor de un eje fijo, eltrabajo realizado por las fuerzas externas sea igual al cambio en la energla titre-tica de la rotacin. Para demostrar que en efecto ste es el caso, empiese conr : Iq. Aplicando la regla de la cadena del clculo, el momento de una fuerzapuede expresarse comor:Iq.:I#:I#;#:r#,Si se simplifica la expresin anterior y se observa que t d0: dW, se obtiene

r d0: dW: Io daSi se integra esta expresin y se observa que l es una constante, se obtiene el tra-bajo total

donde la velocidad angular cambia desde coe hasta c a med.ida que el desplaza-miento angular cambia desde 0s hasta d. Obsrvese que esta expresin es uilog"a la del teorema del trabajo y la energa en el movimiento lineal, habind;eremplazado mpor / y o por c,r. Es decir:


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1O.8 TnABAIO y ENERGfA EN EL MO/IIIIENTO DE HlT.lrffi5 nTABIJ\ 10.3 Comparacin de las ecuaciones utilizadas en el movimiento de rotacin ytnslciondMovimiento de rotacinlrededor de un eje fijo Movimiento linealVelocidad angular o: d|ldtAceleracin angular q.: daldtMomento de una fuerzaresultante 2t: IaSi:Trabajo V[/:Energa cintica l(: tJ62Potencia P: raMomento angular L: laMomento de una fuetzaresultante t: dLldt

Velocidad lineal o: dxldtAceleracin lineal a: doldtFuerza resultante 2F: MaSi ( u:os* atrz : constante{ x - ro: Dot + +atzl. o2 : oo2 * Za(x - rs)

Trabajo WEnerga cintica Y: mozPotencia P = FoMomento lineal (cantidadde movimiento) P: rnoFuerza resultante F: dpldt

lr:ao*atconstante lt 0 - 0s: ast + +atzlaz: @o2 * 2a(0 - 0s)L"'ot : I)",. o,

En la tabla 10.3 se listan varias ecuaciones que han sido analizadas y quepertenecen al movimiento de rotacin, junto con las expresiones anogas parael movimiento lineal. Las dos ltimas ecuaciones en la tabla 10.3, quecomprenden el concepto de momento angu\ar L, se analizarn en el captulo lly re incl,ryen nicamente para que !a tabla quede completa. En todos los casos,obsrvese la semejarr"u "rrir" laslcuaciones del movimiento de rotacin y las delmovimiento lineal.r*---**'-I EIr,:ntH.{} lt}.ls Barra rrtatdo: llevisiEirI Un" barra uniforme de longitud L y masa M puede girarI hbte*ettte sobre un pivote sin friccin que pasa por unoI d" r.tr extremos (Fig. f0.2f ). La barra se libera a partir del| ,"poro, en la posicin horizontal. a) Cul es la velocidad

L/2IangUlar de la barra cuando se encuentra en su posicinms baja?,$rltrE:dr,r'n Se puede contestar fcilmente la pregunta' con-siderando la energa mecnica del sistema. cuando labarra est en la posicin horizontal no tiene energa cinti-ca. su energa potencial en relacin con la posicin msbaja de su centro de masa (O') es MgLlZ. Al llegar a supori"ir, ms baja, la energa es por completo cintica+Iare donde.I es la cantidad de movimiento lineal respectoal pivote. Como : MLz (Tabla 10.2) y ya que se conser-va la energa mecnica, se tiene

*MeL - LrI)z : (MLz) azt&,: rrlT

jr

Por ejemplo, si la barra es una regla de un metro, se en-cuentra que o :5.42 rad/s.

b) Determnense la velocidad lineal del centro de ma-sa de la masa y la velocidad lineal del punto ms bajo de labarra en la posicin vertical.

t)c: r(r):f,r: +\@,El punto ms bajo de la barra tiene una velocidad igual a2o": JlF.

E= MgL/2T"

IJ B= |n2Figura 10.21 (Ejemplo f0.13) Una barra rgida uniforme pivcr"teida en O gira en un plano vertical con la accin de la grnve


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Eru r0 RorAcrry pe uN cuERFo nfcoo ALREDED'R DE uN EJE FrJo:'r 'coasidrense dos masas conectadas por medio de unacuerda que pasa rylr" una polea que tiene una candad demoqimiento lineal r respecto a stiee de rotaciJ",-*" *e en [a figura r0.zz. L cuerda no resbala roLr"ffir"" y' el sistema se libea a partir del reposo. Determnense rasi velocidadq lineales e tas masas despus de que *r"^r*cprriendo una distancia h, yravelocidad angular de la po-; lea en ese instante

tI '"' si se deqprecia la fricrcin en el sistema, entonces: se cprserva la energfa mecnic" y poud" "i._"rr"-qrr" "fayello en la energfa cinca d"i rirt"rn" es igual a la dis-i m11u9iOn en la energfa potencial. Como K, = -O (el sistemar est aI inicio en rqloso)rse tieneiI ^K : l - Kt : lrnsz * lrn2oz * llazen donde nty ntztienen rapidez comn. pero o : Rctl, asfque

AK: r(^, * *2+ n|)", En la $Sut" ll.zlse ve que la masa m2pierdeenergla po_, tencial, en tanto que Ia masa ^, ii gana. Br-ti.,', AUo:.:*-rg!t y LYr: TrFh. Aplicand"o i;l;;"-*r_;ffi*de la energfa en la for_" f + ^U, *' AJr: e

r(^, * ^2+ Ui)" * ^h - mslt: o

T-LDado que : Rg: Ia velocidad angular de la polea en ee linstante a a: cf R. -- -- rv'vs "'^ *'i i'"' ir'ir Repita el clculo de o en el ejemplo r0.14 utili- i'ando r".to: Ia aplicada a la polea y't" ,"gurr" ili Newton aplieada a las masas it y mz. Utilice "l pro""jl ,miento presentado en los eempLi tO.il y 10.12. r

T-LFigura 10.22 (Ejemplo 10.14),

r 2@2- mr)eh 1tt2": L(-, * mz**)J


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,,.rim.Wt ., i- ",, -";e:0n*tof+*ftt'ail*uol*2a$-0ol!:gi+u i;;]r;liii[lfi[#,

edCfi rn curyo fi br i#d $or'de * eje,fiorN lf.e={o*eug,,f$tr;ileurai '[ ,ilcer**i* aUii &ten relacinadas con la "elocidaa,$genr;;]*,ii!celcrlc16fi ,lino mdiilutb,f g.'fplacionss'"**.ffift,*#,ftl

*x,Iaf - *I e

' ,0..,i '':,:i'i1i$' ' ,. tt'tfill.,;;i{.CI . $

: , ' ,' 'lut 1ti*C Ca*svi. rlto linbsl d un siste*C'*C.p*rolll s#td$d$!i|. , -. : ..:lr:+DOr :r--iiii,st$tr ##ffit'U*t 3trededo de untie ljo oo $ i ,di$fiuterutffi*iffiiw#uu*e ecribir . "'.i: . ,l:: :l tr$';,8**e r.*s l* p;nticu* 'nvi#ffi;tg"al alrededor,de_l eie de rotacin-:ii: ";=td'Ct&p'*oVl*$n$'tifi =$b u" cuerpo rgido st dado por;#ffi## {10.r6}

t!:t::rft:::::; : {10.24}r$ in'dl'cue*po:rt" es el teorema del trabajo y energa aplicacio al movimi""to de rotacin.


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_-: ir) RoT.rCrN DE UN CUERPO RGIDO ALREDEDOR DE UI{ EJE FIJOPREGUT,ITASl. Cul es la magnitud de la velocidad angular, c'r, del se-iu.rdero de unleloj? Cul es la direccin de c'r cuandoest viendo el reloj colgando verticalmente? cul e.s laaceleracin angular, cr, de un segundero?2. Un disco gira en sentido contrario a las manecillas del

reloj en ,ri plano xE, Cules la direccin de c'r? Cules la direccin de aisi la velocidad angular est decre-ciendo con el tiemPo?3. Las expresiones cinemticas para 0, @, Y ct son vlidasIrr"tdo el d"spl"ramiento es medido en grados en lugarde radianes?4" Un tornamesa gira a una razn de 45 rev/min' Cules la magnitu de su velocidad angular en rad/s?Cul es su aceleracin angular?5. uando un disco de radio R gira alrededor de un eiefijo, todos los puntos sobre el disco tienen la misma ve-fo""a angulai? Todos tienen 1a misma velocidad li-neal? Si la velocidd angutar es constante e igual a cds'descritas en la figura 10.7. Alrededor de qu eie (x' E onealesdelosPuntos r:0,r = RIZ,Yr = R'6. Suponga a : b y M > rn en el sistema de partculas,Je.scrits en la figur a I0.7 . Alrededor de qu eie (x' y oz) tiene el valorLrri*o la cantidad de movimiento li-neal? Y el maYor valor??. Un disco est en forma de aro como en la figura 10'8'En dos experimentos separados, el disco es girado desdeel reposo Lasta una velocidad angular ro' En u gxperi-*"rrio, la rotacin ocurre alrededor del eie de las z atravs de o; en el otro, la rotacin ocurre alrededor deun eje paralelo a 7 a travs de P' Cul rotacin requiere ms trabajo?8. Siuponga que la barra de la figura 10.9 tiene una distri-buciOn de masa no uniforme' En general, podrla lacantidad de movimiento lineal alrededor del eje y serigual a |2(MLz)? Si no, podra ser calculada la canti-dad de movimiento lineal sin conocer la manera en lacual la masa es distribuida?g" suponga que slo dos fuerzas externas actan sobre un"""tpo tigido, Y que las dos fuerzas son iguales e]lmag-nitue p*r opootas en direccin. En qu condicionesgirar el cuerPo?10. xptique cmo se podra ulizar el aparato descrito en*t "epto l0.ll para determinar la cantidad de movi-

PROBLEMAS. .r.,i-r: r-. ,{ q.,,,,:.*i:!t"it" i\{.,'il '1p11!"r 1lt:: ',. j, ; 'i'. i'.',': ::,- i;f;i {l{ti'l5lliij'i.r'

-l " tJn disco comienza a girar desde el reposo con acelera-cin angular constant hasta una velocidad angular de1.9 rad/s en un empo de 3 s. Encuentre: a) la acelera-cin angular del disco y b) el ngulo en radianes quedescribe en ese tiemPo. .2, La tornamesa de un tocadiscos gira a raz6n de 33 l/3rer. min r. le toma 60 s llegar al reposo cuando el in-::::*:tor se abre. Calcule: a) su aceleracin angular y

miento lineal del disco. {si el disco no es uniforme. tacantidad de movimiento lineal no es necesariamenteigual al(MRz.)ff. Utiliz"ttdo los resultadm del ejemplo 10'11, cmocalculara la velocidad angular del disco y la velocidadlineal de la masa suspenda para t = 2 s, si el sistemase abandona desde l t"p*o en f = 0? Es vlida Iarelacin o: Ra) en esta situacin?12. Si una pequea esfera de masa M fuera colocada en elextrem d la barra en la figura 10.21, la o.t resultantesera mayor, menor o igual al valor obtenido en el ejem-plo 10.13?13. bxplique por qu al cambiar el eje de rotacin.de un"""tpo cambia su cantidad de movimiento lineal'14. Es posible cambiar la energa cintica traslacional dei' obuto sin cambiar su energa cintica rotacional?15. Dos "ilindrot que tienen las mismas dimersiones estnsujetos a rotacin alrededor de sus ejes con la misma ve-'tociad angular. Uno est vaco y el otro lleno conagua. CuI de los cilindros ser ms fcil de detener?16. ub" ,rt cuerpo ser rotado para tener una cantidad demovimiento lineal diferente de cero?lT.Siveunobjetogirando,existenecesariamenteunmo-mento de una fuetza neta actuando sobre l?18. Puede un cuerpo estacionario (momentneamente) te-ner aceleracin angular diferente de cero?19. Una partcula est movindose en un crculo con rapi-dez constante. Localice un punto alrededbr del cual elmomento angular de la partcula es constante y otroalrededor del cual est cambiando con el tiempo'20. El dimetro polar de la Tierra es ligeramente menorqueeldimetroecuatorial.Cmocambiaralacanti-aiaa ae movimiento lineal de la Tierra si alguna masacercana al ecuador se removiera y fuera trasladada a lasregiones polares haciendo a la Tierra una efera per-fecta?21. Durante una demolicin, una chimenea alta est vol-cndose por la explosin de una cargaen su base' Se ob-serva q,r" l" chimenea est fracturada en la mitad infe-rior poir lo que se vuelca de tal manera que la parte in-ferio^r llega a caer antes que la parte superior. Expliquepor qu sucede esto.

b) el nmero de revoluciones que hace antes de llegar ereposo.3. Cul es la rapidez angular en rad/s de: a) la Tierra esu rbita alrededor del sol r-b) de la Luna alrededor dla Tierra?4. Un disco gira de tal manera que su desplazamiento aqgular en funcin del tiempo est dado por g : at2 + bt3onde a r.b son constantes. Determine las ecuaciones efuncin del tiempo para: a) la rapidez angular y b) laceleracin angular.5. Un motor elctrico que gira un disco de esmeril araz6


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PROBLEMAS 273

Ftgun 10.23 (Problema l5).

de 100 rev/min est con el interruptor abierto. Supo-niendo una aceleracin angular negativa constante demagnitud 2 radlsz, a) qu tiempo le tomar al-discode meril detenerse? b) A travs de cuntos radinestiene el disco que rotar durante el tiempo encontrado enel inciso a)?E "" posicin angular de un punto sobre un disco puede- *, escrita por g: 5 * 10t + 2t2 rad. Determine laposicin angular, la rapidez y la aceleracin del puntoparat:0y = 3s.: n disco de esmeril, inicialmente en reposo' se hace gi-rar con aceleracin angular q':5 rad/st por 8 s' Eldisco es entonces llevado hasta el reposo con una acele-racin negativa constante en l0 revoluciones. Determi-ne la aceleracin negativa requerida y el tiempo n@esa-rio para llevar el disco al rePoso.' Un it"o, que inicia desde el reposo, gira con acelera-cin angular constante a: (10 + 6t) radf s2, donde est en segundos. Determine el ngulo en radianes atravs del cual ha girado en los primeros cuatro segun-dos.

*,,'r :.tillf lt.l.,-i Iir:Ji:i'*'^, 'r i'rirl-I '. r" r { ' ,;"-iiirr, ai.,'9. Un automvil de carreras recolre una pista circular cu-yo radio es de 250 m. Si el automvil se mueve con rapildez constante de 45 m/s, calcule: a) la rapidez angular

del automvil y b) la magnitud y la direccin de la ace-leracin del automvil.r0. El automvil de carreras descrito en el problema 9 co-mienza desde el reposo y acelera uniformemente hastauna rapidez de 45 m/s en 15 s. Encuentre: a) la rapidezangular promedio del automvil en ese intervalo, b) laaceleracin angular del automvil, c) la magnitud de laaceleracin lineal del automvil para = 10 s, y d) ladistaneia total recorrida en los primeros 30 s.ll. un volante de 2 m de dimetro gira con aceleracin an-gola, constante de 4 rad/sz. El volante est en reposon = 0, y el radio vector del punto P en el borde haceun ngulo de 57.30 con la horizontal en este tiempo'Para el tiempo t = 2s, encuentre: a) la rapidez arigulardel volante, b) la velocidad lineal y la aceleracin delpunto P, y la Posicin del Punto P.

12. Un cilindro de radio 0.1 m comenzando desde el reposo$ra alrededor de su eje con una aceleracin angular de5 rad/s2. Pata t = 3 s, cul es: a) su velocidad angu-lar, b) la rapidez lineal de un punto en su orilla 1 c) lascomponentes radial y tangencial de la aceleracin de unpunto del borde?13. Un disco de 8 cm de radio gira con una rapidez constan-te de 1200 rev + min alrededor de su eje. Determine: a,rla rapidez angular del disco, b) la rapidez lineal de unpunto a 3 cm del centro del disco, c) la aceleracin ra-dial de un punto sobre el borde y d) la distancia.total re'corrida por un punto en el borde en 2 s.14. Un automvil viaia a 36 km/h sobre una carretera rec-ta. El radio de las llantas (neumticos) es de 25 cm. En-cuentre la rapidez angular de una llanta con su eie to-mado como eie de rotacin.Un bloque de 6 kg se libera desde el punto A sobre unriel sin friccin como se muestra en la figura 10.23. De''termine las componentes radial y tangencial de la acele-racin para el bloque en P.

Una llanta (neumtico) de cantidad de movimientolineal de 80 kg. mz gira alrededor de un eje fijo central araz6n de 600 rev/min. Cul es su energa cintica?17. Las cuatro parculas en la figura L0,24 estn conecta-

r(m)

Figura 10.24 (Problemas 17 y I8).


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n4 t0 nOTAcIN DE UN cUEnPo RfGIDo ALREDEDoR DE UN EIE FIIodas por una barra de masa despreciable. si el sistemagira en el plano ry alrededor del eje z con una velocidad*g,tl"" de 6 rad/s, calcule: a) la cantidad de movi-minto lineal del sistema alrededor del eje ayb) la ener'gla ctnca del sistema.18. Et slstema de parculas descrito en el problema 17 (Fig.10.24) gira aliededor del ele A,Calcule: a) la cantidadde movimiento lineal alrededor del eje U, y b) el trabajoroquerido para llevar el sistema desde el reposo hastauna rapldez angular de 6 rad/s.

10., Tres parculas conectadas por barras rf$das de masa,' dsp;iable se encuentran a lo largo del eie y (Fig'10.25). Si el sistema $ra alrededor del eje f con ura ra-pidez'angular de 2 rad/s, encuentre: a) la candad demovmieto hneal alrededor del eie x y La energla cin6dcawaluadaapartirdetlofyb)lanpidezlinealdecad patUcula yia energla cintica evaluada a partir deTulmo',

de movimiento lineal mnima cuando el eje pasa atravs del centro de masa. Demuestre que la cantidad demorimiertolhealesf = r.L2donde p" = mM/(m + IuI\.

Figura 10.27 (Problema 2l).11'", ,.

: 1 :."i , . , 1, ir :r.f i.r{'}}: . iit :'1. -,,'":Siguiendo el proctdimiento utilizado en el eiemplo10.6, pruebe que la cantidad de movimiento lineal alre-dedor del eje g de la barra rlgida en la figura 10.9 e

Ftgure 10.25 (Problema l9)'Trce parculas cada una de masa M estn colocadas enloe vrtioes do un tringulo equiltero Eomo se muestrao,n la figura 10.26. Determine la cantidad de movi-mlento lineal alrededor de los eies r, V y z. El eie z pasa travs e O y es normal al Plano rOY.

Figure f0.28 (Problema 20).Doc maas M y m estn conectadas por medio de unaberra rfdds de longitu d L y masa deqpreciable como semuestra en la figural}.Z7. Para un eie perpendicular ah barra, demuestre que el sistema ene una cantidad

+MLt.23. Utilice el teorema de los ejes paralelos y la tabla 10.2para encontrar los momentos de inercia de: a) un ciiittdto slido alrededor de un eje paralelo al eje decrntro de masa y que pasa por el borde del propio cilindro, y b) una esfera slida alrededor de un eie tangente a su suPerficie.

Cdcrrle el momento de una fuetza neto (magnitud y direccin) sobre la viga de la figura 10.28 respecto de aun eje que pasa a traves de O, perpendicular a la figuray b) un eie a travs de C, perpendicular a la figura.

30NFigura 10.28 (Problema 24).

Encuentre el momento de una fuerza neto en el volantde la figura 10.29 alrededor de un eje que pasa a travdeOsid: l0cmyb = 25cm"

l0N-+r**'

21.

25.

| ,ozsNlso',C

Figura 10.29 (Problerna 25).


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m. Encuentre la masa r?t neeesaria para balancear los 150kg del camin sobre el plano inclinado de la figura10.30. El ngulo de inclinacin 0 es de 45o. Supongaque las poleas no tienen friccin y son de masa despre-ciable.

Figura 10.30 (Problema 26).

9?. Un volante en forma de cilindro slido de radio ^R :0.6 cm y masa M = I6kgpuede ser llevado a la rapidezangular de 12 rad/s en 0.6 s por un motor ejerciendoun momento de una fuerzaconstante. Despus de que elmotor se apaga, el volante hace 20 revoluciones antesde llegar al reposo debido a las prdidas por friccin(supuesta constante durante la rotacin). Qu porcen-taje de la potencia generada por el motor es utilizadapara vencer las prdidas por friccin?, eccin 10.7 Relaciones entre rnomento de una fuerza vac'eleracin angular28. La combinacin de una fuerza aplicada y Ia fuerza derozamiento producen un momento de una fuerza totalconstante de 36 N . m sobre un volante que gira alrede'dor de un eje fijo. La fuerza aplicada acta por 6 s, du-rante dicho tiempo la rapidez angular del volante seincrementa desde 0 hasta l0 rad/s. La hterza aplicadase elimina y el volante llega al reposo en 60 s. En-cuentre: a) la cantidad de movimiento lineal del volan-te, b) la magnitud del momento de una fuerza produci-da por la friccin y c) el nmero total de revolucionesque realiza el volante.29. Si un motor produce un momento de una fuerza de 50 N. m sobre un volante que gira a 2400 rev/min, cuntapotencia entrega en motor?30. El sistema descrito en el ejemplo 10.11 (Fig. 10.18) se li-bera a partir del reposo. Despus de que la masa m hacado una distaneiah, encuentre: a) la velocidad linealde la masa m y b) la rapidez angular del volante.$e*cil l{}.8 Trabajo y energa en el movinientt derotaci ;.31. Un volante de I m de dimetro gira sobre un eje hori-zontal fijo sin friccin. Su cantidad de movimiento li-

fr(rrrf wneal alrededor de ese eje es 5 kg . mr. LJEI ffi ou,tante de 20 N se mantiene con una cred euo&r&alrededor del borde de modo que ste acdere. 5i C volante parte del reposo en = 0, calcule: a) su cdcr,*cin angular, b) su rapidez angular para = 3 q c) nenerga cintica para t = 3 s, y d) la longihrd de lcuerda desenrollada en los primeros 3 s.Una masa de 15 kg se ata a una cuerda que est enrollr-da en un volante de radio r : l0 cm (Fig. f0.31). Semide la aceleracin de la masa al bajar por el plano in-clinado sin friccin y es de 2.5 m/s2. Suponiendo queel eje del volante no tiene friccin, determine: a) la ten-sin en la cuerda, b) la cantidad de movimiento linealdel volante y c) la rapidez angular del volante 2 s des-pus de iniciar la rotacin a partir del reposo.

Figura 10.31 (Problema 32).a) Un disco slido uniforme de radio R y masa M puedegirar libremente sobre un pivote sin friccin que pasapor un punto de su borde (Fig. 10.32). Si el disco se libe,ra a partir del reposo en la posicin mostrada por elcrculo verde, cul es la velocidad de su centro de ma-sa cuando alcanzala posicin indicada por el crculo delneas de trazo? b) Cul es la rapidez del punto msbajo del disco en esta posicin? c) Repita la parte a si elobjeto es un aro uniforme.

Figura 10.32 (Problema 33).Un volante de alfarero con un diseo de piedra de 0.5 mde radio y 100 kg de masa, puede girar libremente a 50rev/min. El alfarero puede parar el volante en 6 s alpresionar un trapo mojado en el borde del volante conuna fuerza hacia dentro de 70 N. Encuentre el coefi-ciente de friccin cintico efectivo entre el volante y eltrapo mojado.

32.

33.

34.


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276 IO ROTACIN DE UN CUERPO RGIDO ALREDEDOR DE U5 EIE FTJO35. Un peso de 50 N se ata en el extremo libre de unalambre ligero enrollado en un polea de radio 0'25 m ymasa 3 kg.1a polea es libre de girar en el plano veticalalrededoi del e horizontal que pasa a travs del cen-tro. El peso es liberado 6 m arriba del piso' a) Determi-ne la teirsin del alambre, la aceleracin de la masa y lavelocidad con que el peso llega al suelo. b) Encuentrela velocidad calculada en la parte @ pero utilizando laley de conservacin de la energa'$6. Clnsiderelafigura 10.22(Ei. 10'14) conrn, : 12'5kg'

I1r2 = 20kg,n = O'Zmylamasadelapolea M = kg'La masa m, l.x;t en reposo sobre el piso y la masa m2est a 4 m sobre el piso cuando se libera desde el reposo.Calcule el tiempo que toma rfl2allegar al piso' Cmocambiara la respuesta si la masa de la polea fueradespreciable?PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS37. Una cuerda se enrolla alrededor de un disco uniformede0.2Smderadioy8kgdemasa.Eldiscocomienzadel reposo y es libre de girar alrededor de su eje' Elextrerio de ia cuerda se jala con una fuerza constante det2 N. Parat = 2 s, despues de que la fuerza se aplica'determine: a) el momento de una fuetza eiercido sobreel disco, b) la aceleracin angular del disco, c) la acele-racin del extremo de la cuerda, d) la velocidad angulardel disco, e) la velocidad del extremo de la cuerda, f) laenerga cintica del disco. g) el trabajo realizado sobreel disco, h) el ngulo a trar's del cual el disco ha giradoe i) la longitud de cuerda que ial al disco'38. Calcule la cantidad de mor"imiento lineal de una esfera

slida uniforme de masa M v radio R alrededor de undimetro (vase la tabla t0'2). (sugerena: trate a laesfera como un conjunto de discos de varios radios, y pri-mero obtenga una erpresin para la cantidad de movi-miento Iineal de uno de estos discos alrededor de su ejede simetra.)3*" Un cilindro slido uniforme de masa M y radio R girasobre un eje horizontal sin fricein (Fig' 10'33)' Dosmasas iguaies cuelgan de cuerdas ligeras enrolladas al-rededoidel cilindro. Si el sistema se libera del reposo,encuentre: a) la tensin en cada cuerda, b) la acelera-cin de cada masa y c) la velocidad angular del cilindro

dspr*s de qn e l.ro rnasas han desctndido una distan-cia h.40. Encuentre por integrecin la cantidad de momientolineal de un cilindo hueco alededor de su eje de sime'tra. La masa dd eilinCo es lf. zu radio interno es Rr Ysu rao externo es fir. 1\-erifique su resultado con el va-lor dado en la tabla 10.2',41. Un cordn ligero de 4 m de trongitud se enrolla alrede'dor de un carrete cilndrict uniforme de radio 0'5 m yI kg de masa. El carrete se monta sobre un eie sin fricciny; inicialmente en reposo. El cordn se jala desde elcarrete con una aceleracin csnstsnte de 2.5 m/s2. a)Cunto trabajo debe hacerse sobre el carrete para quete alcance una rapidez angular @: 8 rad/s? b) Su-poniendo que existe suficiente cordn sobre el carrete,qu tanto tiempo se necesita para que alcance una ra-pia"" de 8 rad/s? Existe suficiente cordn en el carre-te para que ste alcance esta rapidez angular de 8rad/s?49. Atgunas mquinas hacen uso de discos circulares psa-' dos, llamados volantes, para ayudar a mantener un mo-vimiento de rotacin uniforme. La inercia rotacionalde un volante evita que fluctuaciones en la velocidadrotacional puedan ocurrir durante la operacin, tacomo entrela carrera de potencia en el motor de gasoli-na. Un volante particular de dimetro 0'6 m y masa200 kg est montado sobre una barra sin friccin' Unmotor conectado al volante acelera ste desde el reposohasta 1000 rev/min. a) Cul es el cantidad de movi-miento lineal del volante? b) cunto trabajo se realizsobre el volante durante la aceleracin? c) Despus deque el volante llega a las 1000 rpm el motor se desconec-t-a, y se utiliza un freno para disminuir la rotacin devolnte hasta 500 rpm. Cunta energa se disipa comocalor en el freno?43. Una barra uniforme de longitud L y masa M est pivoteada a travs de un pivote horizontal sin friccin qupasa a travs de uno de sus extremos. La barra se liberadesde el reposo en la posicin vertical como se muestren la figura 10.34. Para el instante en que la barra esthorizontal, encuentre: a) la velocidad angular de la barra, b) su aceleracin angular, c) las componentes r yde la aceleracin del centro de masa y d) las componentes de Ia fuerza de reaccin en el pivote'

44.

PivoteFigunl0.3{ (Prcblema4l).

Un pequeo disco cuya masa es de 2 kg se desliza sbre una superficie horizontal. El disco est restringidFigura 10.33 (Problema 39).


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en una rbita circular por una barra de l.b m de masadepreciable, pivoteada en un extremo, como se mues-ba m Ia figura 10.35. Inicialmente, el disco tiene unavdocidad orbital de 5 m/s. Una masa de I kg se dejacaer directamente sobre el disco. Si Ia masa se une aldisco, cul es el nuevo periodo de rotacin?--,---\-] oo:5m/s

PROBLEMAS SUPLE}{ENTAXI(F Tficonecta con una masa M que cuelga sobre la orIIde la cochera. Cuando la masa M se libera dsd d r+poso, el estudiante determina el tiempo que toma lamasa en caer una distancia h. De estos datos el estu-diante 6 capaz de deducir la inercia rotacional .I delgallo y la flecha. Encuentre la expresin de I en trmi-nos de ffi, M, r, g, hy t,Un carrete en forma de cascarn cilndrico uniformetiene un radio interior de RlZ, un radio exterior R ymasa M (vase la figura 10.37). ste se monta de talmanera que gira sobre un eje fijo horizontal. Una masar?? se conecta en el extremo de la cuerda que es enrolladaalrededor del carrete. Se observa que la masa r?? cae unadistancia y en un tiempo . Demuestre que el momentode una fuerza debida ala fuerza de rozariento entre elcarrete y el eje es

47.

R: 1.5m disco de 2 kg(Pivote I//./,/--_-/'Vista superior

Figura 10.35 (Problema 44).45. Para cualquier eje de rotacin, el radio de giro, K, deun cuerpo rgido est definido por la expresin K2 :I/M, donde M es la masa total del cuerpo e.I es la can-tidad de movimiento lineal alrededor de un eje da-do. Es decir, el radio de giro es igual a la distancia deun punto imaginario de masa M desde el eje de rotacintal que I para esa masa puntual alrededor del eje sea elmismo que para un cuerpo rgido alrededor del mismoeje. Encuentre el radio de giro de: a) un disco slido deradio R, b) una barra uniforme de longitud L y c) unaesfera slida de radio R, todos rotando alrededor de uneje central.46. Un estudiante de Fsica adquiere una veleta para lacochera de su padre. La veleta copsta de un gallo situa-do sobre una flecha. La veleta se fija sobre un eje verti-cal de radio r y masa rn que puede girar libremente ensu base como se muestra en la figura 10.36. El estudian-te monta un experimento para medir la inercia rotacional del gallo y la flecha sujeta al eje. La cuerda enrolla-da al eje vercal pasa a travs de una polea que la

IIII\\

TI47).

49.

50.

,,:nl*(-- 7)-r"e)J

ru2---Figun l0.frI (Problema

48. una cuerda se enolla alrededor de una polea de masam v rao r. En el extremo libre de la cuerda se ata unbloque de masa M. El bloque se libera en reposo sobreun plano inclinado que hace un ngulo 0 con la hori-zontal. El coefieiente de friccin cintico entre el blo-que y el plano inclinado es p. a) Utilice el teorema deltrabajo y energa para demostrar que la velocidad delbloque o como funcin del desplazamiento d hacia aba-jo del plano inclinado es

' :lnro(h) (sen d - r cos r)f'b) Encuentre la aceleracin del bloque en trminos deF, ffi, M, gy 0,Un agujero circular de radio Rl4 w eorta en un discode radio R y masa M. El agujero est centrado en R/2del centro del disco. Encuentre una expresin para lacantidad de movimiento lineal de este objeto alrededorde un eje normal que pase a travs del centro del disco.fSugerenci; Considere el agujero como un disco de ma-teial de "masa negativa".]La masa mrest atada con un cordn ligero a una masarn2, la cual se desliza sobre una superficie lisa (Fig.10.38). La polea gira alrededor de un eje sin fricein ytiene una cantidad de movimiento lineal / y radio R.igura 10.36 (Problema 40).


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278 to RoTACIN DE UN CUERPO RfGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO

51.

Suponiendo que la cuerda no se desliza sobre la polea,emrentre: a) la aceleracin de las dos masas, b) las ten-siones Tty Tz, y c) los valores numricos pata T1y T2siI - 0.5kg.m2,R = 0.3 rrt,Irtl = 4kgYffiz:3kg. d)Cules seran la respuestas si la inercia de la poleafuera despreciable?

Figura 10.39 (Problema 5l).La polea que se muestra en la figura 10.40 tiene un ra-o R y una cantidad de movimiento lineal /. Uno de losextremos de la masa m est conectado a un resorte de

FigPra 10.38 (Problema 50)'

Dos bloques cemo se muestran en la figura 10.39, estnconectados por una cuerda de masa despreciable quepasa a travs de una polea de radio 0.25 m y cantidade movimiento lineal I. El bloque sobre el plano incli-nado se mueve hacia arriba cun aceleracin corstantede 2 m/sz. a) Determine las tensiones Tr Y Tz, en lados partes de la cuerda, y b) encuentre la cantidad delmomento lineal de la Polea.

uerza constante k, y el otro extremo est atado a unacuerda enrollada alrededor de la polea. EI eje de la po-lea y el plano inclinado no tienen friccin. Si la polea segira en sentido contrario a las manecillas del reloj de talmanera que estira el resorte una distancia d de su posi-cin de equilibrio y entonces se libera desde el reposo,encuentre: a) la velocidad angular de la polea cuando elresorte est nuevamente sin estirar y b) el valor numri-co para la velocidad angular en este punto si.I : I kg 'm2, R = 0.3 1, k = 50 N/m, m = 0.5kg, d: 0.2 my0:37o.

Figura 10.40 (Problema 52).53. Un carete de hilo cilndrico de radio 0.1 m y masa 4 kgse monta de tat manera que puede girar libremente al-rededor de zu eje de simetra longitudinal. El carretecomienza a girar desde el reposo cuando el hilo es jala-do hacia afuera del carrete con una tensin constante de8 N en el hilo. Desprecie la masa del hilo enrollado. De-termine: a) el momento de una fuerza que acta sobreel carrete y su aceleracin angular. Para el instante enque la velocidad angular del carrete es 10 rad/s, deter-mine: b) el ngulo recorrido por el carrete desde el prin-cipio, c) la aceleracin tangencial y radial de un puntoen el borde del carrete y d) la energa cintica de rota-cin.54. Un motor electrico puede acelerar una rueda Ferris decantidad de movimiento lineal I : 20 000 kg ' m2 des-de el reposo hasta l0 rev/min en 12 s. Cuando el mo-tor se apaga, la rueda Ferris se frena desde l0 hasta8 rev/min en l0 s debido a la prdida por friccin.Determine: a) el momento de una fuerza producido porel motor para llevar a la rueda hasta l0 rev/min y b) lapotencia necesaria para mantener la rueda Ferrisgirando a l0 rev/min.

52.

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