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5/25/2018 Sistemas de Ecuaciones Con Laplace
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Solucin de un sistema de ecuaciones
Los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias simultneas,
comprenden dos o msecuaciones que contienen las derivadas de dos o
ms funciones incgnitas con respecto auna sola variable
independiente.
Ejemplo.- Si x, y, z son funciones de la variable t,
entonces
yz3dt
dz
dt
dx
dt
yd2
zy5dt
dx6
dt
xd5
2
2
2
2
+=
++=
y
sentt'z6'yx
t2'z3y'y'x
5'z3'yy3'x
2
+=+
=+
=++
son dos sistemas de ecuaciones diferenciales simultneas.
Solucin de un sistema
Una solucin de un sistema de ecuaciones diferenciales es un
conjunto de funcionesderivables que satisfacen cada una de las
ecuaciones del sistema en algn intervalo I.
Cuando se especifican condiciones iniciales, la transformada de
Laplace reduce un sistemade ecuaciones diferenciales lineales de
coeficientes constantes en un conjunto de
ecuaciones algebraicas simultneas en las funciones
transformadas.
Resolviendo las ecuaciones algebraicas y calculando la
transformada de Laplace inversa de
cada solucin, se obtiene la solucin del sistema de
ecuaciones.
Ejemplo.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones
diferenciales
a)
0y2dt
dy
dt
dx
0ydt
dyxdt
dx
=++
=++ x(0) = 0, y(0) = 1
b)
tx8dt
dy
ey2dt
dx t
=
+=
x(0) = 1, y(0) = 1
c)
0dt
dx4dt
dy
dt
yd
0dt
dy
dt
dx
dt
xd
2
2
2
2
=+
=++
x(0) = 1, 0)0('x = , 1)0(y = , 5)0('y =
Solucina) Aplicando la transformada de Laplace al sistema de
ecuaciones, se tiene
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0Y2)0(yxY)0(xsX0Y))0y((sYX)0x(sX
}0{{y}2dt
dy
dt
dx
}0{{y}dt
dy{x}
dt
dx
=++=++
=+
+
=+
+
LLLL
LLLLL
sustituyendo las condiciones iniciales, se tiene
1Y)2s(sX
1Y)s1(X)1s(
0Y21sYsX
0Y1sYXsX
=++
=++
=++
=+++
resolviendo el sistema para X y Y, usando la regla de Cramer
1s2s1s)s1()1(s1s
11s
31s2ss)1()2)(s1(2s1
s11
2s2s2ss2s3s)1s(s)2)(s1(s
2ss
s11s
Y
X
222
+=++=+=+
=
=+=+=+
=
++=+++=+++=
+
+=
as, X y Y son:
+
+
+=
+++
+=
++
+
=++
+=
=
+
+
=
+++
=++
=++
=
=
4
3
2
1s
2
1s
4
3
4
1ss
2
1s
)1ss(2
2
1s2
2s2s2
1s2Y
4
3
2
1s2
3
4
3
4
1ss2
3
)1ss(2
3
2s2s2
3X
22
22
Y
22
22
X
aplicando la transformada inversa de Laplace, se tiene
+
=
+
+
=
+
+
=
+
2
1ss
2
1
2
1
2
1
4
3s
23
3
4
3
2
1s
23
3
4
3
2
1s2
3x(t) LLL
=
t2
3sene3)t(x
t2
1
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+
=
+
+
+=
+2
1ss
22
4
3s
s
4
3
2
1s
2
1s
y(t) LL
=
t
2
3cose)t(y
t2
1
b) Aplicando la transformada de Laplace al sistema de
ecuaciones, se tiene
2
t
s
1X8)0(ysY
1s
1Y2)0(xsX
}t{}x{8dt
dy
}e{}y{2dt
dx
=
+=
=
+=
LLL
LLL
sustituyendo las condiciones iniciales, se tiene
2
2
2
2
s
1s
s
11sYX8
1s
s
1s
11s
1s
11Y2sX
s
1X81sY
1s
1Y21sX
==+
=
+=
+=
=
+=
multiplicando por 8 la primera ecuacin y por s la segunda, se
tiene
s
1sYsX8s
1s
s8Y16sX8
22 =+
=
sumando las ecuaciones, se tiene
)4s)(4s)(1s(s
1ss7s
)16s)(1s(s
1ss7sY
)1s(s
1ss7s
)1s(s
)1s)(1s(s8
s
1s
1s
s8Y)16s(
23
2
23
232222
+
++=
++=
++=
+=
+
=
aplicando el mtodo de fracciones parciales para encontrar la
transformada inversa, se tiene
-
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4s
D
4s
C
1s
B
s
A
)4s)(4s)(1s(s
1ss7sY
23
+
++
+=
+
++=
sumando las fracciones e igualando los denominadores, se
tiene
)4x)(1x(Ds)4s)(1s(Cs)4s)(4s(Bs)4s(4s)(1s(A1ss7s 23 ++++++=++
Valuando en 0, 1, -4 y 4 se tiene
s = 0, A16)4)(4)(1(A1 == 16
1A=
s = 1, B15)3)(5)(1(B8 == 15
8B =
4s = C160)8)(5)(4(C53 == 160
53C =
s = 4, D96)8)(3)(4(D173 == 96
173D=
entonces y(t) es
+
+
=
+
+
+
+=
+
++
4s
1
96
173
4s
1
160
53
1s
1
15
8
s
1
16
1)t(y
4s96
173
4s160
53
1s15
8
s16
1
)4s)(4s)(1s(s
1ss7s
1111
23
LLLL
la solucin es
t4t4t e96
173e
160
53e
15
8
16
1)t(y +=
Ahora para encontrar X. Multiplicando por s la primera ecuacin y
por 2 la segunda, setiene
2
2
22
s
2s2sY2X16
1s
ssY2Xs
=+
=
sumando las ecuaciones, se tiene
)4s)(4s)(1s(s
2s2s2s2s
)16s)(1s(s
2s2s2s2s
X
)1s(s
2s2s2s2s
)1s(s
)1s)(2s2(s
s
2s2
1s
sX)16s(
2
234
22
234
2
234
2
24
2
222
+
++
=
++
=
++=
+=
+
=
aplicando el mtodo de fracciones parciales para encontrar la
transformada inversa, se tiene
4s
E
4s
D
1s
C
s
B
s
A
)4s)(4s)(1s(s
2s2s2s2sX
22
234
+
++
++=
+
++=
sumando las fracciones e igualando los denominadores, se
tiene
-
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)4s)(1s(Es)4s)(1s(Ds)4s)(4s(Cs
)4s)(4s)(1s(B)4s)(4s)(1s(As2s2s2s2s
222
234
+++++
+++=++
Valuando en 0, 1, 4, 4 y 1, se tiene
s = 0 B16)4)(4)(1(B2 == 81B=
s = 1 C15)3)(5)(1(C1 == 15
1C =
s = 4 D640)8)(5)(16(D106 == 320
53D=
s = 4 E384)8)(3)(16(E346 == 192
173E=
s = 1
736
4325A30
192
1736
320
5310
15
115
8
1301
E6D10C15B301A30
E6D10C15B30A301
)3)(2)(1(E)5)(2)(1(D)5)(3)(1(C
)5)(3)(2(B)5)(3)(2)(1(A1
=
+
+=
++=++=
+++
+=
4416
865A =
entonces
4s
192
173
4s
320
53
1s
15
1
s
8
1
s
4416
865
)4s)(4s)(1s(s
2s2s2s2s22
234
+
+
+
++
=
+
++
La solucin es
+
++
+
= 4s
1
192
173
4s
1
320
53
1s
1
15
1
s
1
8
1
s
0
4416
865)t(x 111
2
11LLLLL
t4t4t e192
173e
320
53e
15
1t
8
1)t(x ++=
c) Aplicando la transformada de Laplace al sistema de
ecuaciones, se tiene
0))0x((sX4)0y(sY)0y'()0sy(Ys
0)0y(sY)0x(sX)0x'()0sx(Xs
}0{dt
dx4
dt
dy
dt
yd
}0{dt
dy
dt
dx
dt
xd
2
2
2
2
2
2
=+
=++
=
+
=
+
+
LLLL
LLLL
sustituyendo las condiciones iniciales, se tiene
-
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sY)ss(sX4
ssYX)ss(
04sX41sY5sYs
01sY1sXsXs
2
2
2
2
=++
=++
=++++
=+++
resolviendo el sistema para X y Y, usando la regla de Cramer
2322
2X
2222222222
2
2
s2sss)s(ssss
ss
)5s2(ss)4)1((sss4)1(sss4s)(ssss4
sss
+=++=+
=
++=++=++=++=+
+=
4)1(s
4
4)1(s
1s
4)1s2(s
41s
5s2s
3s
)5s2(ss
s3s
Y
4)1(s
1
4)1(s
1s
4)1s2(s
11s
5s2s
2s
)5s2(ss
s2s
X
s3ss4sss4s)s)((sss4
sss
222222
23Y
222222
23X
23223222
Y
+++
++
=
+++
+=
++
+=
++
+==
+++
++
+=
+++
++=
++
+=
++
+==
+=+=++=
+=
aplicando la transformada inversa de Laplace, se tiene
++
+=
+++
++
+=
+
+
1ss
2
1
1ss
2
1
2
1
2
1
4s
2
2
1
4s
s
4)1s(
1
4)1s(
1s)t(x LLLL
t2sene2
1t2cose)t(x tt +=
++
+=
+++
++
+=
+
+
1ss
2
1
1ss
2
1
2
1
2
1
4s
22
4s
s
4)1s(
4
4)1s(
1s)t(y LLLL
t2sene2t2cose)t(y tt +=
