República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria

Universidad Gran Mariscal de Ayacucho

Bna - Edo. Anzoátegui

SISTEMAS

VIBRATORIOS

Profesora: Integrantes:

Luz Cordero Montero, Yamileth C.I.: 14.317.530

Sulbaran, David C.I.: 20.104.431

Barcelona, 16 de Junio del 2014

INDICE

Índice…………………………………………………………………………………….….2

Introducción………………………………………………………………………………..3

Desarrollo……………………………………………………………….……………...4-18

Conclusión…………………………………………………………………………….....19

Bibliografía………………………………………………………………………………..20

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INTRODUCCIÓN

El estudio de las vibraciones mecánicas se ha convertido en algo esencial para el estudiante de ingeniería ya que el buen funcionamiento de maquinaria mecánica está relacionado en muchos casos con su comportamiento vibratorio.

Es importante conocer la clasificación de las vibraciones mecánicas ya que nos presentan un panorama de los diferentes estudios.

Otra herramienta importante en el estudio de las vibraciones mecánicas es el modelo matemático. Este procedimiento debe ser preciso ya que los errores producen información errónea.

Desde que aparecieron los primeros instrumentos musicales, en especial los de cuerda, la gente ya mostraba un interés por el estudio del fenómeno de las vibraciones, por ejemplo, Galileo encontró la relación existente entre la longitud de cuerda de un pendido y su frecuencia de oscilación, además encontró la relación entre la tensión, longitud y frecuencia de vibración de las cuerdas.

A través de la historia, grandes matemáticos elaboraron importantes aportaciones que hicieron del fenómeno de las vibraciones toda una ciencia, tan así que hoy en día se ha convertido en una de las mas estudiadas y aplicadas en la industria.

Podemos mencionar entre otros, Taylor, Vernoulli, D’ Alember, Lagrange, Fourier, etc. La ley de Hooke en 1876 sobre la elasticidad, Coulomb dedujo la teoria y la experimentación de oscilaciones torcionales, Rayleigh con su método de energías, etc. Fueron grandes físicos que estructuraron las bases de las vibraciones como ciencia.

El buen funcionamiento de los amortiguadores de un automóvil. El mal aislamiento de maquinaria que pueda dañar la infraestructura de la misma y zona aledaña, ruido causada por maquinaria. Son ejemplos de algunos ejemplos.

Un fenómeno de la cual las maquinas temen es la llamada resonancia, cuyas consecuencias pueden ser serias.

El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos. Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar. Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las máquinas y estructuras experimentan vibraciones hasta cierto

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grado por lo que su diseño requiere la consideración de este efecto dinámico debido a que ocasiona un aumento en los esfuerzos y tensiones.

Su característica fundamental es que es periódico, siendo frecuente el movimiento armónico simple, por lo que este movimiento adquiere una singular importancia en los estudios vibratorios.

Los sistemas mecánicos al ser sometidos a la acción de fuerzas variables con el tiempo, responden variando sus estados de equilibrio y, como consecuencia, presentan cambios de configuración que perturban su normal funcionamiento, presentan molestias al personal que los maneja y acortan la vida útil de los mecanismos.

Se sabe que el análisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado libros completos. Por lo tanto, solo limitaremos nuestro estudio a los tipos de vibraciones más simples.

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VIBRACIONES MECANICAS

El estudio de las vibraciones mecánicas también llamado, mecánica de las vibraciones, es una rama de la mecánica, o más generalmente de la ciencia, estudia los movimientos oscilatorios de los cuerpos o sistemas y de las fuerzas asociadas con ella.

Podemos decir que la vibración es el movimiento de vaivén que ejercen las partículas de un cuerpo debido a una excitación.

Existe una relación entre el estudio de las vibraciones mecánicas del sonido, si un cuerpo sonoro vibra el sonido escuchado está estrechamente relacionado con la vibración mecánica, por ejemplo una cuerda de guitarra vibra produciendo el tono correspondiente al # de ciclos por segundo de vibración.

Para que un cuerpo o sistema pueda vibrar debe poseer características potenciales y cinéticas. Nótese que se habla de cuerpo y sistema si un cuerpo no tiene la capacidad de vibrar se puede unir a otro y formar un sistema que vibre; por ejemplo, una masa y resorte donde la masa posee características energéticas cinéticas, y el resorte, características energéticas potenciales.

Otro ejemplo de un sistema vibratorio es una masa y una cuerda empotrada de un extremo donde la masa nuevamente forma la parte cinética y el cambio de posición la parte potencial.

La vibración mecánica es el movimiento de vaivén de las moléculas de un cuerpo o sistema debido a que posee características energéticas cinéticas y potenciales.

En cualquiera que sea el caso, la excitación es el suministro de energía. Como ejemplos de excitación instantánea tenemos el golpeteo de una placa, el rasgueó de las cuerdas de una guitarra el impulso y deformación inicial de un sistema masa resorte, etc.

Como ejemplo de una excitación constante tenemos el intenso caminar de una persona sobre un puente peatonal, un rotor desbalanceado cuyo efecto es vibración por desbalance, el motor de un automóvil, un tramo de retenedores es una excitación constante para el sistema vibratorio de un automóvil, etc.

Vamos a ver varias formas de clasificar el estudio de las vibraciones mecánicas.

Vibración libre: es cuando un sistema vibra debido a una excitación instantánea.

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Vibración forzada: es cuando un sistema vibra debida a una excitación constante.

Esta importante clasificación nos dice que un sistema vibra libre mente solo y solo si existen condiciones iniciales, ya sea que suministremos la energía por medio de un pulso (energía cinética) o debido a que posee energía potencial, por ejemplo deformación inicial de un resorte. Esta energía es disipada por el fenómeno llamado amortiguación, en ocasiones es despreciable. Aun cuando la energía es disipada durante la vibración, en el caso de la vibración forzada esta descompensada por la excitación constante.

Vibración amortiguada: es cuando la vibración de un sistema es disipada.

Vibración no amortiguada: es cuando la disipación de energía se puede disipar para su estudio.

El amortiguamiento es un sinónimo de la perdida de energía de sistemas vibratorios. Este hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno de un material, de rozamiento, o bien, un elemento físico llamado amortiguador.

Vibración lineal: si los componentes básicos de un sistema tienen un comportamiento lineal la vibración resultante es lineal.

Vibración no lineal: se produce si alguno de sus componentes se comporta como no lineal.

El comportamiento lineal de un elemento facilita su estudio, en la realidad todo elemento de comporta como no lineal pero los resultados de su estudio no difieren, en su mayoría, a los realizados si se consideran como elementos lineales.

Un ejemplo de ello es el resorte, donde según la ley de Hooke el comportamiento fuerza-deformación es lineal.

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Cuando el comportamiento vibratorio de un sistema se puede representar por medio de una ecuación matemática entonces se dice que la vibración es determinante, pero si se tiene que determinar por ecuaciones probabilísticas, entonces la vibración es probabilística o random.

Si el comportamiento determinante de la vibración se repite de igual forma después de cierto tiempo, entonces la vibración es periódica, de lo contrario es no periódica.

Vibración determinante (a) y Random (b)

Si las características de señal de la vibración de un sistema se asemejan a una señal senoide, entonces se dice que la vibración es senoide.

Una señal compleja a simple vista no se pude representar por medio de una ecuación matemática, pero si puede ser determinado por medio de senos y cosenos.

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Toda señal compleja puede ser representada por la suma de senos y cosenos (llamados armónicas).

Este descubrimiento de Fourier adquiere importancia ya que el análisis de los armónicos de una señal nos puede revelar posibles fallas en una maquinaria.

ELEMENTOS DE SISTEMAS VIBRATORIOS

Para que un sistema pueda vibrar debe poseer elementos que puedan adquirir energía cinética y elementos capaces de almacenar energía cinética. El análisis cinético es el procedimiento que le sigue al modelaje matemático, es por eso que el estudio de sistemas dinámicos se vuelve esencial para el estudio de las vibraciones mecánicas.

Un sistema vibra si posee energía cinética y potencial, la carencia de uno de ellos anula la posibilidad, es por eso que en esta unidad se hace un estudio a los sistemas dinámicos desde el punto de vista de la 2da ley de Newton y de la conservación de la masa. También se hace un estudio a la ley de Hooke y del cálculo de la constante elástica equivalente de sistemas que posean diferentes elementos elásticos.

VIBRACIÓN LIBRE

Aunque los sistemas vibratorios generalmente trabajan como sistemas forzados el análisis de sistemas libres adquiere importancia debido a que uno de los problemas a los que "las maquinas temen" es la resonancia. La resonancia se presenta cuando la frecuencia de excitación es igual a la frecuencia de resonancia. La frecuencia natural es la frecuencia de los sistemas vibratorios en la vibración libre, de aquí que el cálculo de frecuencias naturales es importante. Consideremos el caso general en que el existe un amortiguamiento, y luego se analizara para diferentes valores de amortiguamiento incluyendo el despreciable.

Movimiento armónico

El movimiento armónico es importante de estudiar ya que tiene similitud con muchos movimientos de sistemas vibratorios, todo movimiento periódico debe satisfacer:

x (t) = X (t + t ) Ec 3.1

Vamos a ver qué significa esto. Un movimiento periódico es un movimiento que se repite a intervalos de tiempo llamados periodos ‘t ’.

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La frecuencia se define como el número de ciclos por unidad de tiempo, de tal forma que se relaciona con el periodo de la forma

F = 1/t

Las unidades de la frecuencia son ciclos/seg ó Hertz

La figura muestra un ejemplo de un movimiento periódico en donde la grafica de la posición de una partícula ‘P’ en función del ángulo se muestra.

Movimiento Armónico

En la fig. se puede observar el máximo valor llamado la amplitud ‘A’.

Ahora si no se conociera el centroide existe una forma sencilla de calcularlo y es aprovechando el equilibrio estático ya que cuando el cuerpo esta estático el centro de gravedad esta por una línea imaginaria vertical al pivote.

Vibración libre no amortiguada

En este apartado se estudiara el modelo más simple de tal modo que una ecuación matemática denotara su comportamiento.

Este modelo lo llamaremos el modelo típico, y la ecuación diferencial que determina su comportamiento lo llamaremos la forma canónica de un sistema libre no amortiguado.

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En la figura se muestra un modelo de un sistema de masa ‘m’ y una constante elástica ‘k’ vamos a realizar un estudio estático y cinético con el fin de determinar la ecuación diferencial que determinara el movimiento posteriormente veremos la solución de la ecuación diferencial para ver la respuesta en el tiempo del sistema así como la formula que determina el cálculo de la frecuencia natural.

Modelo típico de un sistema libre no amortiguado.

Supongamos tres casos como se muestra en la siguiente figura.

En la figura se tiene el resorte sin deformar, posteriormente se coloca una masa ‘m’ y el resorte sufre una deformación Xs que llamaremos deformación estática; de aquí

Fk = KXs

ANALOGÍA DE SISTEMAS DE RESORTES

A continuación se presenta dos sistemas de resorte, el sistema de resorte lineal (traslación) y el sistema de resorte de torsión.

Sistema de resorte lineal (traslación)

En el caso de sistemas de resorte lineal el estiramiento o compresión es proporcional a las fuerzas aplicadas, por lo tanto su ecuación es:

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F = K∙X

Donde:

F es igual a la fuerza,

K es una constante que depende de las características físicas del resorte.

Nota: Cuanto mayor sea el valor de K, mayor será la fuerza para estirar o comprimir el resorte y así la rigidez será mayor.

Sistema de resorte torsional

En el caso de sistemas de resorte torsional, hay rotación, por lo tanto hay un desplazamiento angular. Su ecuación es:

T = K∙θ

Donde:

T es Torque

θ es el ángulo de desplazamiento

Ejemplos

-Sistema de resorte lineal: el amortiguador de un auto.

-Sistema de resorte torsional: un broche

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VIBRACIONES CON AMORTIGUAMIENTO

En todos los movimientos oscilantes reales, se disipa energía mecánica debido a algún tipo de fricción o rozamiento, de forma que dejado libremente a sí mismo, un muelle o péndulo finalmente deja de oscilar. Este movimiento se denomina amortiguado y se caracteriza porque tanto la amplitud como la energía mecánica disminuyen con el tiempo.

La ecuación diferencial que describe el movimiento es mx''+cx'+kx = 0; la ecuación característica mr² + cr + k = 0, cuyas raíces son:

Se presentan tres casos posibles:

a) Amortiguamiento supercrítico:

Las raíces r1 y r2 son reales y distintas. La solución de esta ecuación,

amortiguada pero no armónica, es de la forma

Donde C1 y C2 son las constantes de integración. El sistema no oscila, simplemente vuelve a la posición de equilibrio, cuanto mayor es el amortiguamiento, más tiempo tarda el sistema en alcanzar la posición de equilibrio.

b) Amortiguamiento crítico:

La raíz de la ecuación característica es doble e igual

La solución, amortiguada pero no armónica, es de la forma

El sistema vuelve a la posición de equilibrio en el tiempo más breve posible sin oscilación. El amortiguamiento crítico tiene una importancia especial porque separa los movimientos aperiódicos (no oscilatorios) de los oscilatorios amortiguados. Es decir, el valor crítico es la menor cantidad de amortiguamiento

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para que el sistema no oscile. En muchas aplicaciones prácticas se utiliza un amortiguamiento crítico, o próximo al crítico, para evitar vibraciones y conseguir que el sistema alcance el equilibrio rápidamente.

c) Amortiguamiento subcrítico:

Las raíces son imaginarias conjugadas e iguales a,

Y la frecuencia de la vibración amortiguada es

La solución es de la forma

Esta solución es aproximadamente armónica, es decir, existe una cierta periodicidad en el movimiento con intervalos temporales medidos por el pseudoperiodo T', que se puede expresar en función del periodo T correspondiente a la vibración no amortiguada a través de la relación

Elevando al cuadrado la expresión de la frecuencia de la vibración amortiguada, se tiene

Relación que permite la determinación del coeficiente de amortiguamiento para unas frecuencias dadas a priori o medidas experimentalmente.

Denominando factor de amortiguación y factor de frecuencias

Se obtiene la ecuación de una elipse

En las vibraciones amortiguadas, por ser un movimiento aperiódico no se cumple el principio de conservación de la energía mecánica, pero si el de la energía total, de forma que la suma de la energía cinética, el potencial elástico y la

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energía disipada en forma de calor, debido a la existencia de amortiguamiento, se mantiene constante,

Los dos primeros términos disminuyen con el tiempo y la energía disipada tiende a alcanzar el valor máximo, es decir, existe transformación de energía mecánica en calorífica.

Factor de amplificación vs. Relación de frecuencias para diferentes constantes de amortiguación

VIBRACIONES NO AMORTIGUADAS

Es cuando en las vibraciones, los efectos del rozamiento se pueden despreciar.

El modelo más simple y probablemente uno de los más importantes en el estudio de las vibraciones mecánicas es el de un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibración libre no amortiguada.

El sistema está formado por una masa y un resorte, la masa permite almacenar energía potencial y energía cinética mientras que el resorte permite almacenar energía potencial, debida a la deformación del resorte, la vibración libre

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de este sistema vibratorio puede interpretarse como el resultado del intercambio de la energía entre estos dos elementos.

Las suposiciones de este modelo son

Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad No Amortiguado.

1. La masa del sistema es constante y totalmente rígida, se denomina M.

2. El resorte es lineal y de masa despreciable, por lo tanto es posible describir el resorte mediante una única constante, denominada la constante del resorte, k. De manera que la relación entre la fuerza y la deformación del resorte está dada por

Donde F es la fuerza del resorte y δ es la deformación del resorte.

3. No hay amortiguamiento presente en el sistema.

4. El movimiento de la masa es traslación rectilínea.

A fin de lograr que la traslación de la masa sea rectilínea, es frecuente que el sistema emplee guías, en cuyo caso debe suponerse que las guías están completamente libres de fricción.

La unidad de frecuencia es una frecuencia de 1 ciclo por segundo correspondiente a un periodo de 1 s. en términos de las unidades básicas, la unidad de frecuencia es, por lo tanto, 1/s o s ˉ ˡ, denominado hercio (Hz) en el sistema SI de unidades.

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VIBRACIONES FORZADAS

Las vibraciones forzadas ocurren cuando el sistema oscila debido a la acción de fuerzas externas que lo estimulan.

Cuando la estimulación es de tipo oscilatorio, el sistema tiende a vibrar de la misma manera y con la misma frecuencia, es decir que la respuesta del sistema estará en función de la frecuencia de la estimulación.

VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTO.

Para mantener un sistema oscilando es necesario suministrar energía al sistema, cuando esto se lleva a cabo se dice que la vibración es forzada. Si se introduce energía en el sistema a un ritmo mayor del que se disipa, la energía aumenta con el tiempo, lo que se manifiesta por un aumento de la amplitud del movimiento. Si la energía se proporciona al mismo ritmo que se disipa, la amplitud permanece constante con el tiempo.

La ecuación diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo periódico, es

Donde Fₒ es la amplitud y ω la frecuencia de la fuerza excitadora o estimulante.

La solución general de la ecuación diferencial se obtiene añadiendo a la solución

general de a homogénea una solución particular de la completa . La ecuación característica es , las raíces de esta ecuación son

imaginarias conjugadas y la solución general de la homogénea es

. La solución particular de la completa es

Así, la solución general tiene por expresión:

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En todo sistema no amortiguado y forzado armónicamente, el movimiento resultante se compone de la suma de dos armónicos, uno de frecuencia natural

y otro de frecuencia de la fuerza exterior .

VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO.

La ecuación diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es

de tipo periódico, es de la forma

La ecuación característica correspondiente a la ecuación diferencial

homogénea es . Se supone amortiguamiento inferior al crítico para que resulte una vibración, la solución general se obtiene añadiendo a la solución de la ecuación diferencial de la homogénea una solución particular de la

completa resultando

Esta solución consta de dos partes, una solución transitoria, en la que el primer

término , al cabo de un tiempo generalmente breve, se reduce a un valor

despreciable, y la solución estacionaria , en la que el sistema oscila con frecuencia ω, amplitud A constante y desfase Θ cuyas expresiones son:

RESONANCIA

La resonancia es un fenómeno físico producido cuando un cuerpo es sometido a vibraciones forzadas que tienen una frecuencia igual a su frecuencia natural. Esta frecuencia natural es la que requiere la mínima cantidad de energía para producir vibraciones forzadas.

Una fuerza relativamente pequeña aplicada en forma repetida, hace que una amplitud de un sistema oscilante se haga muy grande.

En estas circunstancias el cuerpo vibra, aumentando de forma progresiva la amplitud del movimiento tras cada una de las actuaciones sucesivas de la fuerza.

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Este efecto puede ser destructivo en algunos materiales rígidos como el vaso que se rompe cuando una soprano canta y alcanza y sostiene la frecuencia de resonancia del mismo. Por la misma razón, no se permite el paso por puentes de tropas marcando el paso, ya que pueden entrar en resonancia y derrumbarse.

Cuando la frecuencia de la fuerza exterior es igual a la frecuencia natural del

sistema , es decir, cuando ∆ω → 0, se produce la resonancia, la ecuación que rige dicho fenómeno es,

Expresión que corresponde a un movimiento armónico de frecuencia ω n y cuya amplitud tiende a infinito cuando t → ∞.

Ejemplos de fenómenos con resonancia

• Instrumentos musicales.

• Niño en un columpio.

• Puente de Tacoma Narrows 1940. El puente de Tacoma (Washington), uno de los puentes colgantes más importantes de su época, fue construido en la década del treinta y ganó notoriedad cuando la mañana del 7 de noviembre de 1940 comenzó a moverse imprevistamente y a presentar oscilaciones trasversales y torsionales de gran amplitud hasta que la estructura no pudo más y finalmente se desplomó.

• Movimientos sísmicos.

• Máquinas que vibran.

• Bahía de Fundy. Mareas en la Bahía de Fundy, al comienzo de la bahía, las olas alcanzan una altura de 15 m o más, y al final de la misma, donde desemboca, en el golfo de Maine, solo tienen una altura de unos 3m. Esto es debido a la resonancia, asociada al comportamiento ondulatorio.

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CONCLUSIÓN

En su forma más general, un sistema vibratorio está constituido por elementos que tienen propiedades másicas o de inercia, elásticas y de disipación de energía. Aún cuando las propiedades de disipación de energía están siempre presentes en cualquier sistema vibratorio, desde un punto de vista matemático, un sistema capaz de vibrar puede existir sin que el sistema disipe energía; estos sistemas se denominan como no amortiguados.

Actualmente, el estudio y análisis de las vibraciones mecánicas ha adquirido gran importancia en la supervisión de los sistemas mecánicos, sobre todo de elementos de tipo rotativo. Independientemente de los planes, el mantenimiento predictivo se basa, principalmente, en el estudio de las vibraciones mediante la instalación de sensores que permiten detectar vibraciones fuera de rango.

Por otra parte, el refuerzo del sonido por medio de la resonancia tiene múltiples aplicaciones, así como también buen número de consecuencias desagradables. La resonancia en una columna de aire en un tubo de órgano amplifica el débil sonido de una vibración de un chorro de aire vibrante. Muchos instrumentos musicales se diseñan con cavidades resonantes para producir una variedad de sonidos. La resonancia eléctrica en los receptores de radio permite al oyente percibir con claridad las señales débiles. Cuando se sintoniza la frecuencia de la estación elegida, la señal se amplifica por resonancia eléctrica. En auditorios mal diseñados o enormes salas de concierto, la música y las voces pueden tener un sonido profundo que resulta desagradable al oído. Se sabe que los puentes se destruyen debido a vibraciones simpáticas de gran amplitud producidas por ráfagas de viento.

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BIBLIOGRAFÍA

Mecánica Vectorial para Ingenieros: Dinámica, 6ta Edicion – Ferdinand P. Beer y E. Russell Johnston Jr.

http://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/fisica-aplicada-a-la- ingenieria/contenidos/tema-4/VIBRACIONESMECANICAS.pdf

http://www.cib.espol.edu.ec/Digipath/Librospdf/ MECANICA_VECTORIAL_PARA_INGENIEROS.pdf

http://ar.answers.yahoo.com/question/index? qid=20090212143405AAfcYJd

http://www.monografias.com/trabajos14/vibraciones/ vibraciones.shtml#ixzz331Z3pJZ4

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