Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralXX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Mérida, Yucatán 2016. 2 mampostería no reforzada. Estas herramientas son excelentes para

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ANÁLISIS NO LINEAL DE ESTRUCTURAS HISTÓRICAS DE MAMPOSTERÍA CON MODELOS

DE BLOQUES RÍGIDOS

Agustín Orduña Bustamante1

RESUMEN

En el presente documento se presenta resumidamente una formulación para el análisis no lineal de modelos numéricos hechos con bloque rígidos que interactúan a través de interfaces cohesivo-friccionantes. Este enfoque es útil para el análisis y evaluación estructural de construcciones históricas de mampostería. Se valida esta propuesta por medio de ejemplos de aplicación. Finalmente, se concluye a través de estos ejemplos, que la formulación reproduce razonablemente bien la curva de comportamiento de estructuras de mampostería no reforzada sujetas a cargas laterales, así como sus modos de falla y mecanismos de colapso.

ABSTRACT

This paper presents a resume of the formulation of non-linear analysis of rigid block models, which interact through cohesive-frictionant interfaces. This approach is useful in the analysis and structural assessment of ancient masonry constructions. A number of application examples serves to validate the proposal. Finally, the conclusion after these examples is that the formulation reproduces with reasonable accuracy the behavior curve of unreinforced masonry structures subject to lateral loads, and also their failure modes and mechanisms.

INTRODUCCIÓN

El comportamiento estructural de construcciones históricas de mampostería es bastante diferente, comparado con el de estructuras modernas de concreto reforzado o acero, diseñadas y construidas de acuerdo con códigos y técnicas recientes. Entre estas diferencias están, la ductilidad reducida de la mampostería sin refuerzo, la falta de control de calidad en la construcción histórica, el hecho de haber sufrido, normalmente, daño, modificaciones, reconstrucciones, reparaciones y otras intervenciones a través de los años. Esta acumulación de ciclos de daño y reparación usualmente llevan a que estas construcciones sean parcialmente discontinuas, en contraste con la relativa continuidad que usualmente presentan las estructuras modernas. Adicionalmente, la falta de continuidad de las estructuras históricas está muchas veces relacionada con las diferencias en las propiedades mecánicas entre las piezas y el mortero de la mampostería, así como a la ausencia o degradación del material aglutinante en las juntas. Una consecuencia de estas diferencias es que las metodologías simplificadas, que se desarrollan actualmente, orientadas a la evaluación por desempeño de estructuras modernas, son poco o nada aplicables a construcciones históricas de mampostería (Theodossopoulos y Sinha, 2013). Por otro lado, herramientas de análisis altamente sofisticadas, como el método de los elementos finitos (MEF) (Lourenço y Rots, 1997; Macorini y Izzuddin, 2011) o el método de los elementos discretos (MED) (Lemos, 2007; Lancioni et al., 2013), resultan generalmente imprácticos en la evaluación estructural de construcciones históricas de mampostería porque requieren de mucho tiempo para la elaboración de modelos, personal muy especializado y software caro. En general, estas herramientas son más adecuadas para investigación y, si se quieren usar en proyectos prácticos, normalmente se recurre a estrategias de simplificación del modelo como la subestructración. Existen también herramientas simplificadas y adaptadas para el análisis de edificios de mampostería no reforzada. Por ejemplo, Lagomarsino et al. (2013) y Parisi y Augenti (2013) presentan métodos desarrollados para el análisis no-lineal de edificios cuya estructura es un sistema de muros de

1 Profesor e investigador de tiempo completo, Universidad de Colima, Facultad de Ingeniería Civil, km 9, carretera Colima-Coquimatlán, 28400, Coquimatlán, Colima. Teléfono, (312) 3161167; [email protected]

XX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Mérida, Yucatán 2016.

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mampostería no reforzada. Estas herramientas son excelentes para el propósito para el cual fueron creadas; sin embargo, es imposible utilizarlas en edificios o monumentos con geometrías más complejas, como bóvedas o cúpulas, por ejemplo. Los modelos de bloques rígidos se han usado con éxito en la evaluación de edificios históricos de mampostería. Esta estrategia permite al analista simplificar significativamente el modelo estructural, usar relativamente pocos grados de libertad y mantener un nivel de aproximación razonable. Existen varios desarrollos basados en bloques rígidos en los que se usa el análisis límite, tanto en dos dimensiones (Kooharian, 1952; Orduña y Lourenço, 2003; Gilbert et al., 2006) como tridimensionales (Livesley, 1992; Orduña and Lourenço, 2005; Portioli et al., 2013). El análisis límite es capaz de producir buenas aproximaciones de la resistencia global del modelo y su mecanismo de colapso. Sin embargo, esto no es suficiente para los enfoques modernos de evaluación por desempeño, basados en las capacidades de desplazamiento lateral y niveles de daño asociados. La familia de métodos de elementos discretos usa modelos de bloques rígidos, en general. Estos métodos producen muy buenos resultados para el comportamiento dinámico de estructuras. Sin embargo, consumen una gran cantidad de recursos computacionales en la búsqueda de contactos nuevos entre bloques. Este puede ser un problema importante en problemas geotécnicos y de mecánica de rocas, en donde se originó el método, pero normalmente es irrelevante en aplicaciones estructurales. Casolo (2000) y Casolo y Peña (2007) propusieron el método de los elementos rígidos para análisis dinámico de modelos bidimensionales de muros de mampostería no reforzada, excitados fuera del plano y el en plano, respectivamente. El método es adecuado para evaluaciones estructurales en la práctica; sin embargo, como se mencionó, está restringido a modelos en dos dimensiones. La propuesta que se presenta aquí está relacionada con el método de los elementos rígidos, se extiende a tres dimensiones y está restringida a análisis estáticos, por lo pronto. En la propuesta se supone que los desplazamientos son pequeños. El comportamiento de la interfaz es lineal-perfectamente plástico en compresión (no tiene ablandamiento) y en tensión es lineal hasta el esfuerzo de agrietamiento, a partir de ahí, se puede usar un modelo de falla frágil o casi-frágil. Adicionalmente, en cortante se usa el modelo de Coulomb. El propósito de usar un modelo constitutivo bastante simple es no sobrecargar el cálculo, mantener de esta forma bajos los tiempos de cómputo y, aun así, lograr una precisión razonable en los resultados. Este modelo constitutivo de interfaz es adecuado tanto para simular el comportamiento de juntas secas (con resistencia a tensión y cohesión iguales a cero) como para mampostería con juntas de mortero (con resistencia a tensión y cohesión distintas de cero). El artículo presenta un resumen de la formulación del análisis no-lineal con modelos de bloques rígidos y del modelo de comportamiento de las interfaces. En la sección Validación, se presentan ejemplos de análisis de elementos y estructuras, en los que se comparan los resultados obtenidos con esta propuesta contra los que se obtienen de forma experimental y/o con el MEF. Finalmente, se aportan las principales conclusiones de este trabajo.

FORMULACIÓN

La propuesta que aquí se presenta consiste en modelar una estructura como un conjunto de bloques rígidos que interactúan a través de interfaces planas. Al considerar a los bloques como infinitamente rígidos, estos no contribuyen a los desplazamientos del modelo. Sin embargo, la forma y el tamaño de los bloques son esenciales en el modelado geométrico de la estructura. Las interfaces concentran todas las deformaciones en sus desplazamientos relativos. Por tanto el comportamiento estructural del modelo depende en gran medida de las propiedades mecánicas de sus interfaces.


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FORMULACIÓN GENERAL

La ecuación 1 establece el principio del trabajo virtual para un modelo hecho de bloques e interfaces. Aquí son las deformaciones virtuales en el interior de los bloques; son son los desplazamientos virtuales relativos en las interfaces; son los desplazamientos virtuales dentro de los bloques; son los desplazamientos en

las superficies del modelo sujetas a fuerzas externas, . Asimismo, son los esfuerzos en el interior de los bloques; son las tracciones en las interfaces, ; y son las fuerzas de cuerpo que actúan dentro de los bloques. Las deformaciones virtuales son continuas y son compatibles con: las condiciones de frontera, los desplazamientos virtuales y los desplazamientos virtuales relativos. Las primeras integrales a ambos lados de la igualdad se avalúan sobre todo el volumen del modelo, , que es la suma de los volúmenes de todos los bloques (las inrefaces carecen de volumen). Dado que los bloques se consideran como infintamente rígidos y que las deformaciones virtuales son compatibles con esta hipótesis, entonces estas últims con cero y la primera integral del lado izquierdo de la ecuación 1 es nula también.

(1) Desde el punto de vista de modelado estructural, los bloques son los nudos y las interfaces los elementos. Los grados de libertad se escogen que sean los tres desplazamientos y los tres giros de cada bloque, referidos a su centro de masa. La ecuación 2 establece la relación de compatibilidad entre los desplazamientos en los grados de libertad de los bloques a ambos lados de una interfaz, , y las desplazamientos relativos en esa misma interfaz, . A través de la matriz de compatibilidad, . (2) La relación constitutiva se expresa mediante la ecuación 3. En donde son las tracciones en un elemento interfaz y es la matriz constitutiva. (3) La ecuación 4 presenta la relación entre los grados de libertad de un bloque, , y los desplazamientos de puntos cualesquiera dentro del mismo bloque, . La matriz depende de la posición relativa del centro de masa del bloque y del punto en donde se calculan los desplazamientos. (4) Al sustituir las ecuaciones 2 a 4 en la ecuación 1 y hacer el álgebra necesaria, se llega a la ecuación 5, que es la expresión clásica del método de los desplazamientos. La matriz de rigidez se calcula con la ecuación 6. Las fuerzas de cuerpo y de superficie se obtienen mediante las ecuaciones 7 y 8, respectivamente. Más detalles sobre las matrices y vectores involucrados en estas ecuaciones se pueden consultar en Orduña (2016).

(5)

(6)

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(8) La integración para obtener las matrices de rigidez de cada elemento interfaz, ecuación 6, se realiza por procedimientos numéricos ampliamente usados en el MEF (Bathe, 1996). Asimismo, el análisis no-lineal que se emplea aquí, sigue los procedimientos incrementales-iterativos clásicos (De Borst et al., 2012).


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MODELO DE INTERFAZ

La ecuación 9 es la propuesta para la matriz constitutiva, , que relaciona los desplazamientos relativos en un punto de una interfaz con sus correspondientes tracciones, ecuación 3. Aquí, E es el módulo de Young del material, en dirección normal a la interfaz; G1 y G2 son los módulos de cortante en las direcciones locales en el plano de la misma interfaz. Asimismo, Le es una longitud característica de la interfaz. La figura 1 muestra la propuesta para obtener este parámetro, que corresponde con la distancia entre los centros de masa de los bloques unidos por la interfaz en cuestión, proyectada en su dirección normal.

(9)

cmi

cmj

Le

Figura 1 Longitud característica de una interfaz El modelo del comportamiento no-lineal de la interfaz es bastante simple. En compresión se usa un modelo lineal-perfectamente plástico, con resistencia fc, figura 2. En tensión se usa un modelo simple de agrietamiento, con resistencia ft. La figura 2 muestra tres comportamientos a tensión. El primero corresponde con una junta seca, en donde la resistencia a tensión y la cohesión son ambas cero. El segundo comportamiento es frágil; aquí el esfuerzo a tensión cae a cero para un desplazamiento relativo superior al de agrietamiento. El tercer modelo es casi-frágil con ablandamiento lineal. En cortante se usa el modelo de Coulomb, en donde el esfuerzo cortante total, st, se mantiene menor o igual que el esfuerzo cortante de fluencia, sy, ecuación 10. Aquí c es la cohesión, μ es el coeficiente de fricción, y n es la tracción normal (positiva en tensión). La cohesión está acoplada con la resistencia a tensión: cuando esta se reduce o se anula, la cohesión también se reduce en la misma proporción. La figura 3a presenta las superficies de falla para un estado sin daño y otro completamente dañado.

(10)


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Figura 2 Modelo constitutivo en dirección normal

Figura 3 Superficie de falla

VALIDACIÓN

Bloque de piedra

El primer ejemplo de validación y exploración del método es un bloque de piedra (granito) con propiedades extraídas de Peña et al. (2007). Las dimensiones del bloque son 250x1000x754 mm y está apoyado en una de sus caras sobre otro bloque de la misma roca, figura 4. El bloque se considera sujeto a su peso propio, de 4.93 kN, y a una fuerza horizontal, creciente aplicada en su centro de masa y en la dirección de su dimensión menor. El coeficiente de fricción es μ=0.58 y Peña et al. (2007) reportan una rigidez vertical equivalente de 6560 kN/m, de donde se obtiene un módulo de Young equivalente de E=34.8 MPa. Se calculó una curva fuerza-desplazamiento, llamada teórica, basada en suponer una distribución lineal de esfuerzos normales en la base del bloque y sin permitir tensiones, figura 5. Asimismo, se analizó el modelo que se ilustra en la figura 4 con un solo bloque y una sola interfaz en la base del mismo. Este modelo se analizó usando integración de Gauss en la interfaz y con diferente número de puntos de integración. Esto tiene el fin de observar el comportamiento de la interfaz en la falla por volteo con las diferentes cuadraturas. La figura 5 muestra las curvas que se obtienen con cuadraturas de 2x2, 3x3 y 4x4 puntos de integración gaussiana.


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Figura 4 Modelo de bloque de piedra

Figura 5 Curvas fuerza-desplazamiento de bloque de piedra Se observa, en primer lugar que las curvas analíticas reproducen muy bien la rigidez inicial del bloque, calculado teóricamente. Asimismo, se observa que con la cuadratura de 2x2 puntos, el comportamiento es bilineal y la fuerza que produce el volteo del bloque es 33% menor que la teórica. Con 3x3 puntos de integración la curva es trilineal y aproxima un poco mejor a la curva teórica. La resistencia al volteo es 11% menor que la teórica. La cuadratura de 4x4 puntos de integración arroja una curva de cuatro ramas rectas, que aproxima bastante mejor a la teórica. En este caso el error en la fuerza de volteo es sólo el 1%, también debajo de la teórica. Las diferentes formas de las curvas analíticas se explican al considerar que cuando una línea de puntos de integración, perpendicular a la fuerza aplicada, pierde contacto con la base, se pierde la rigidez que aportan dichos puntos y cambia la pendiente de la curva. En el caso de 2x2 puntos de integración, solo es necesario que se pierda contacto en una línea de puntos para tornar el modelo en un mecanismo que rota alrededor de la otra línea. Con 3x3 puntos de integración, al separarse la primera línea de puntos se pierde parte de la rigidez y cambia la pendiente de la curva; mientras que al perderse contacto en la segunda línea de puntos se forma nuevamente un mecanismo y voltea el bloque. Algo análogo ocurre con 4x4 puntos de integración. La conclusión de este ejemplo es que, si se espera que haya modos de falla por volteo en algún modelo (lo cual es bastante común) se recomienda usar cuadraturas de 4x4 puntos de Gauss. Está pendiente probar otras cuadraturas distintas.


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Muro de mampostería de junta seca con carga en el plano

En esta sección se presentan un par de ejemplos de análisis con base en los muros ensayados y analizados por el MEF por Lourenço et al. (2005). Los especímenes ensayados son muros de mampostería de piedra con juntas secas, sujetos a su peso propio, una carga vertical adicional y constante, aplicada en su parte superior, y una carga horizontal creciente. Los muros tienen 1000 mm de largo, 1000 mm de alto y 200 mm de espesor. Las piezas son de 200x200x100 mm. Se ensayaron un total de siete especímenes con cargas verticales adicionales de 30, 100, 200 y 250 kN. Para fines de validar la propuesta analítica de este trabajo, se modelaron los especímenes con los casos extremos: 30 y 250 kN de carga vertical y se identifican como SW.30 y SW.250, respectivamente. La figura 6 muestra modelos para estos dos análisis. El modelo SW.30 consiste de piezas completas, ya que el experimento no mostró daño en ellas. Mientras que el modelo SW.250 incluye interfaces que dividen las piezas en dos bloque por la mitad, con el fin de simular el agrietamiento de las mismas, como se observó en el experimento. Los bloques que se observan en la base de los modelos y a la izquierda de la primera hilada de la figura 8 representan las restricciones impuestas a los modelos experimentales, pero no forman parte de los modelos analíticos.

Figura 6 Modelos de muros de mampostería de junta seca El peso específico de la roca es γ=25 kN/m3 (Lourenço et al. 2005). La viga de concreto reforzado en la parte superior de los muros tiene dimensiones 200x200x1600 mm y se considera un peso volumétrico de γ=24 kN/m3. Esta viga transfiere al muro la carga vertical adicional, así como la carga horizontal. La tabla 1 contiene las propiedades que se usaron para las distintas interfaces en los modelos analíticos. La mayoría de estos parámetros se obtuvieron de Lourenço et al. (2005). Adicionalmente, el coeficiente de fricción para las interfaces que representan las grietas se tomó igual que el de las juntas secas y su cohesión se supuso igual que su resistencia a tensión. Las interfaces que simulan las grietas en el modelo SW.250 tienen comportamiento frágil en tensión.

Tabla 1 Propiedades mecánicas de los muros de mampostería de junta seca

Modelo Tipo de interfaz

E MPa

G MPa

μ -

c MPa

ft

MPa fc

MPa SW.30 Junta 566 236 0.62 0.0 0.0 57.0

SW.250 Junta 1,202 501 0.62 0.0 0.0 57.0 SW.250 Grieta 15,500 5,960 0.62 3.3 3.3 82.7


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La figura 7 muestra las gráficas fuerza-desplazamiento horizontales en la viga superior para el modelo SW.30. Esta figura presenta las curvas de dos modelos experimentales, así como las que se obtienen analíticamente tonto por el MEF (Lourenço et al. 2005) como por modelos de bloques rígidos. En su parte inicial, casi-lineal, estas curvas son bastante similares entre sí. Cuando el comportamiento no-lineal se hace evidente, las curvas experimentales muestran un comportamiento disperso. Aun así, se aprecia que las curvas analíticas siguen la tendencia general de las experimentales. La curva por bloques rígidos sigue bastante bien a la del MEF. La diferencia entre ambas curvas es aproximadamente del 4% en fuerza.

Figura 7 Gráficas fuerza-desplazamiento horizontal, muro SW.30 Las figuras 8a-d presentan una serie de configuraciones desplazadas del modelo de bloques rígidos a distintos desplazamientos horizontales. El comportamiento no-lineal cambia de deslizamiento y separación entre bloques en la parte inferior derecha del modelo, a puntales más definidos y “caída” de algunas piezas a su posición original, hasta un mecanismo de volteo claramente definido. Este comportamiento coincide con lo observado experimentalmente y durante el análisis por el MEF (Lourenço et al. 2005). En particular, el mecanismo de falla final, figura 8d, es muy similar a la configuración desplazada incremental al final del análisis por el MEF, figura 8e, y a la configuración experimental final, figura 8f.

(a) (b)


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(c) (d)

(e)

(f)

Figura 8 Configuraciones desplazadas del muro SW.30; (a) u=1.5 mm; (b) u=5.3 mm; (c) u=6.5 mm; (d) u=26.6 mm; (e) MEF y (f) experimental

La figura 9 presenta las gráficas fuerza-desplazamiento lateral del muro SW.250. En este caso se dispone de una curva experimental solamente. Se observa en la figura 9 que tanto el MEF como los bloques rígidos presentan una rigidez similar a la experimental, aunque existe una diferencia de desplazamiento de aproximadamente medio milímetro en la etapa inicial de las gráficas. Después de 5 mm de desplazamiento, la curva del MEF pierde rigidez más rápido que las otras dos y continua con esta tendencia hasta aproximadamente 15 mm con caso 100 kN de fuerza lateral. Por otro lado, la curva de bloques rígidos sigue más de cerca a la curva experimental hasta aproximadamente 9 mm de desplazamiento, donde la curva experimental presenta una caída en carga y luego se estabiliza alrededor de los 80 kN. Por si parte, la curva de bloques rígidos presenta un comportamiento muy similar, solo que la caída en carga ocurre 1 mm más adelante. Esta caída de carga coincide con el agrietamiento de piezas en el modelo de bloques rígidos, como se puede observar al comparar las figuras 10b y c. Que corresponden con estados antes y después de la caída en carga.


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Figura 9 Gráficas fuerza-desplazamiento horizontal, muro SW.250 Las configuraciones desplazadas de este modelo, figuras 10a-d, presentan una evolución distinta a las del muro SW.30. Al inicio se comportan de forma similar con separación y deslizamiento de bloques en la parte inferior izquierda del muro, seguidos de la formación de puntales y “caída” de bloques. Sin embargo, alrededor de 10 mm de desplazamiento, cuatro piezas se agrietan en la parte inferior izquierda del muro. Este comportamiento modifica el mecanismo de falla que ahora consiste en deslizamiento de bloques a lo largo de la diagonal en compresión, combinado con un comportamiento de volteo de las piezas agrietadas. Los resultados del MEF muestran un comportamiento similar, figura 10e. Ambos resultados numéricos coinciden a su vez con los experimentales, figura 10f. Esta figura presenta la configuración desplazada del modelo experimental justo antes del colapso por aplastamiento de la esquina en compresión. Este mecanismo experimental presenta deslizamiento cerca de la diagonal en compresión y agrietamiento de piezas en la parte inferior izquierda del muro, en concordancia con los resultados numéricos.

(a)

(b)


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(c) (d)

(e)

(f)

Figura 10 Configuraciones desplazadas del muro SW.250; (a) u=4.9 mm; (b) u=9.9 mm; (c) u=10.4 mm; (d) u=16.6 mm; (e) MEF (SW.200) y (f) experimental

EDIFICIO DE MAMPOSTERÍA DE LADRILLO

Este último ejemplo de validación ilustra la capacidad de una estrategia de modelación por bloques rígidos que condice a resultados satisfactorios para estructura de mampostería con juntas de mortero. En este ejemplo se modela el edificio de mampostería no reforzada de ladrillo ensayado experimentalmente por Shahzada et al. (2012). El espécimen consiste en un edificio pequeño de un nivel y un cuarto. Sus dimensiones en planta son 3.50x4.12 m, con 3.35 m de altura. Los muros tienen 0.23 m de espesor. La figura 11 muestra dos vistas del modelo de bloques rígidos. El espécimen tiene una puerta-ventana en la fachada norte, entre los muros P1 y P2. Hay también dos ventanas en la fachada sur, entre los muros P3, P4 y P5 y otra ventana más en la fachada oeste. Todas las aberturas están cerradas en su parte superior por vigas de concreto reforzado con 0.15 m de peralte y 0.23 m de ancho. Una losa de 0.15 m de espesor cubre el cuarto. El modelo experimental tiene 4 muros adicionales sobre la losa, alineados con los muros del cuarto. Estos muros simulan peso y rigidez adicional debida a otras partes del edificio; tienen 0.34 m de espesor y 1.50 m de alto. Una capa de arena de 0.25 m de espesor simula más peso adicional sobre la losa. El modelo numérico toma en cuenta este peso adicional de muros y arena como una carga constante de 237 kN. Asimismo, la losa es un solo bloque con la intención de tomar en cuenta aproximadamente la rigidez adicional de los muros superiores.


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(a) (b)

Figura 11 Modelo de edificio de mampostería de ladrillo; (a) muros norte y oeste y (b) muros sur y este

El modelo experimenta está sujeto a su peso propio y peso adicional, como se describió arriba, y a una carga horizontal cíclica aplicada sobre la losa. Esta carga lateral está aplicada en la dirección este-oeste (oeste es positivo) y se controla por desplazamiento. En este trabajo se reportan dos análisis numéricos. En ambos análisis se aplica el peso propio y el adicional y, a continuación se aplica la carga lateral que se incrementa de forma monótona, en dirección positiva en el primer análisis y negativa en el segundo. La tabla 2 presenta las propiedades mecánicas usadas en los análisis por bloques rígidos. El módulo de Young, E, la resistencia a compresión de la mampostería, fc, y su peso específico, γ, se tomaron de Shahzada et al. (2012). El valor del módulo de cortante, G, resulta de suponer una relación de Poisson de 0.3. El valor del coeficiente de fricción, μ, se considera representativo de este tipo de mampostería. Shahzada et al. (2012) reportan una resistencia a tensión de 0.05 MPa obtenida de pruebas a compresión diagonal. Sin embargo, un análisis preliminar con este valor tan bajo de la resistencia a tensión, arrojó una resistencia a carga lateral del modelo excesivamente baja comparada con el experimento. Por tanto se usó el doble del valor reportado experimentalmente, que se considera más acertado para el tipo de material. La cohesión, c, se supuso igual que la resistencia a tensión. Finalmente, la energía de fractura en tensión, Gf se tomó como Gf =ft*(0.1 mm).

Tabla 2 Propiedades mecánicas del modelo de edificio de mampostería de ladrillo

E MPa

G MPa

μ -

c MPa

ft

MPa fc

MPa γ

kN/m3 Gf

kN/m 1,227 472 0.6 0.1 0.1 3.02 14.7 0.01

El modelo de bloques rígidos tiene un arreglo tipo mampostería, figura 11. Este arreglo no corresponde directamente con el del modelo experimental; sin embargo, esta es una estrategia de modelado que intenta simular el comportamiento ortótropo de la mampostería de una forma indirecta y simplificada. En el modelo numérico las hiladas tienen 0.305 m de alto y la longitud de las piezas varía entre 0.3 y 0.4 m. Los bloques en el modelo numérico representan porciones relativamente grandes de mampostería; no intentan modelar piezas individuales, las cuales son bastante menores. La figura 12 muestra las gráficas carga lateral contra porcentaje de deriva de entrepiso para los modelos experimental y numérico. La curva experimental corresponde con el promedio de las envolventes para ciclos de desplazamiento positivo y negativo, las cuales no difieren mucho entre sí. Las curvas numéricas representan la respuesta del modelo ante carga positiva y negativa por separado. Estas curvas analíticas son bastante parecidas entre sí. Al comparar las curvas numéricas con la experimental, puede decirse que concuerdan bien, en términos generales. Sin embargo, las curvas analíticas exhiben una rigidez inicial menor que la experimental y las curvas numéricas siempre predicen cargas menores que el experimento. La diferencia en resistencia, entre derivas de 0.10% a 0.25%, es alrededor de 15 kN o, aproximadamente, 15% que es un error común y aceptable en el análisis de este tipo de estructuras, sobre todo si se toma en cuenta que no se dispone de una caracterización exhaustiva del material.


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Figura 12 Gráficas carga-deriva del modelo de edificio de mampostería de ladrillo La figura 13 presenta configuraciones desplazadas del modelo numérico cerca del fin de las simulaciones en ambos sentidos, con derivas de aproximadamente 0.43%. La localización del agrietamiento es similar al reportado experimentalmente. Los muros P1 y P2 del muro norte presentan bastante agrietamiento en el experimento, figura 14, incluyendo grietas horizontales, diagonales y verticales. El modelo numérico presenta un patrón de daño más definido con grietas diagonales en la base del muro P1, agrietamiento diagonal en el muro P2 para carga positiva y otra grieta más baja para carga negativa, figura 13a y c. En el modelo numérico aparecen grietas en diagonal de las esquinas de las aberturas a las esquinas externas de los muros P1 y P2. Este patrón no es claro en el modelo experimental; son embargo, es típico de edificios de mampostería dañados por sismo. Estas grietas diagonales de la esquina superior de las aberturas a la esquina externa del edificio son más evidentes para la fachada sur, tanto en el experimento como en el análisis. Grietas similares van de las esquinas inferiores de las ventanas a las esquinas externas de los muros P3 y P5 en el análisis, figura 13b y d, y en el experimento, figura 14. El comportamiento del muro central P4 es también coincidente en ambos modelos, con grietas horizontales en la base y en la parte superior, que indican volteo, combinadas con agrietamiento diagonal y vertical. La grieta horizontal en el muro este, figura 13b, también se presenta en el experimento, figura 14. Asimismo, la grieta diagonal que empieza en la esquina superior derecha de la ventana del muro oeste, figura 13c, y se propaga al muro P3 en la fachada sur, terminando en su esquina inferior izquierda, figura 13d, también está presente en el modelo experimental, figura 14.


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(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 13 Configuraciones desplazadas del modelo de edificio de mampostería de ladrillo; carga positiva, deriva=43.5% (a) vista noroeste; (b) vista sureste; carga negativa, deriva=43.1% (c) vista

noroeste; (d) vista sureste

Figura 14 Patrón de daño final modelo de edificio de mampostería de ladrillo (Shahzada et al. 2012)

CONCLUSIONES

La propuesta de análisis no-lineal con modelos de bloques rígidos presenta una serie de características atractivas. Los resultados coinciden satisfactoriamente con los de la evidencia experimental y análisis con el MEF, en términos tanto de curvas carga desplazamiento, como de configuraciones desplazadas y mecanismos de colapso. El número de grados de libertad en modelos de bloques rígidos puede ser significativamente menor al de modelos de elementos finitos, u otras herramientas, para analizar una misma estructura. Los modelos de bloques rígidos capturan de una forma más natural la semi-discontinuidad de las estructuras de mampostería, en comparación con el MEF. Por otro lado, esta propuesta no invierte tiempo y recursos en la búsqueda de nuevos contactos entre bloques, que son muy poco frecuentes en el comportamiento estructural


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de construcciones históricas de mampostería. Esto es una ventaja frente a los métodos de elementos discretos. El modelo no-lineal simple para los elementos interfaz y la propuesta de la matriz constitutiva lineal, ecuación 9, parecen funcionar adecuadamente, dado que los resultados obtenidos son satisfactorios. Esta propuesta se basa en un análisis no-lineal paso a paso que proporciona más e importante información para la evaluación estructural, en comparación con el análisis límite. Cada estrategia de análisis tiene su propio ámbito de aplicación en la evaluación estructural de construcciones históricas de mampostería. La propuesta presente intenta llenar un espacio entre procedimientos altamente especializados, precisos y caros y métodos simplificados, prácticos, pero de uso limitado.

AGRADECIMIENTOS

El autor agradece el financiamiento para desarrollar este proyecto por parte del Fondo de Ciencia Básica, SEP-CONACYT, a través del proyecto CB-2011-01-166912. Asimismo, agradece el financiamiento para realizar su año sabático por parte de CONACYT, por medio del acuerdo 2447. El autor aprecia grandemente las interesantes conversaciones sostenidas con los Drs. Gustavo Ayala y Jaime Retama en el Instituto de Ingeniería de la UNAM, y que sin duda contribuyeron a enriquecer este trabajo.

REFERENCIAS

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