Solucin a los ejercicios propuestos en el mdulo 4

1

1.- Una partcula se somete a una fuerza Fx que vara con la posicin como muestra el grfico. Determine el trabajo realizado por la fuerza sobre el cuerpo cuado ste se mueve: a) de x = 0 a x = 6,0 m b) de x = 6,0 m a 10,0 m c) de x = 10,0 m a 16,0 m d)de x = 0 m a 16,0 m

SOLUCION:

Como la fuerza que acta sobre la partcula no es constante entre 0 y 6m, el trabajo est determinado por el rea bajo la curva entre estos puntos: rea del tringulo = ( base altura ) / 2 rea del tringulo = ( 6 m 3 N) / 2 rea del tringulo = 9 N m = 9 J Entre 6m y 10 m, el trabajo realizado lo podemos calcular ahora marcando el rea entre 6 m y 10 m; rea del rectngulo = ( base altura ) rea del rectngulo = ( 6 m 3 N ) rea del rectngulo = 18 N m = 18 J Entre 10 m y 16 m: rea del tringulo = ( base altura ) / 2 rea del tringulo = ( 6 m 3 N) / 2 rea del tringulo = 9 N m = 9 J El trabajo entre 0 m y 16 m es la suma algebraica de las reas obtenidas: Trabajo total = 9 J + 18 J + 9 J = 36 J

2

2.-Un nio ejerciendo una fuerza F = 30 N tira de un carro cuyo peso es P = 50 N , a lo largo de la rampa que muestra la figura. Despreciando la friccin entre el carro y la rampa y considerando el desplazamiento AB = 4,0 m , seale cul de las afirmaciones est equivocada: a)El trabajo realizado por la reaccin normal N es nulo. b)El ngulo formado por la fuerza F con el desplazamiento del carro es de 30 o , c)El trabajo realizado por la componente PT es de -100 J. d)El ngulo formado por la componente PN con el desplazamiento del carro es de 90 o . e)El trabajo total realizado sobre el carro es de 20 J.

SOLUCION Las fuerzas que actan sobre el carro son las que muestra la figura. a) ( V ) El trabajo realizado por la fuerza normal es cero porque siempre es perpendicular al desplazamiento. b) ( F ) El ngulo que forma la fuerza F = 30 N con el desplazamiento es cero grados. TF = 30 N 4,0 m cos 0o

= 120 J

c) ( V ) El trabajo realizado por la componente PT es: T = 25 N 4,0 m cos 180 = - 100 J d) ( V ) El ngulo que forma PN con el desplazamiento es 90o . e) ( V ) El trabajo total es igual a la suma de los trabajos individuales: TTOTAL = TN + TPT + TPN + Tf = 0 - 100 + 0 + 120 = 20 J

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3.- Un cuerpo de 4 kg de masa se mueve hacia arriba en un plano inclinado 20 con respecto a la horizontal. Sobre el cuerpo actan adems de su peso, las siguientes fuerzas: una fuerza horizontal de 80 N, una fuerza paralela al plano de 100 N favoreciendo el movimiento; una fuerza constante de friccin de 10 N que se opone al movimiento. El cuerpo se traslada 20 m a lo largo del plano. Calcular el trabajo efectuado por cada fuerza y luego el trabajo total.

o

SOLUCION En este caso las fuerzas son constante, luego podemos calcular el trabajo realizado por cada una mediante la expresin: T = F d cos , es el ngulo formado entre la fuerza y el desplazamiento del objeto: Trabajo realizado por la fuerza de 100 N: En este caso la fuerza es paralela y en el mismo o sentido que el desplazamiento, luego = 0 : T = 100 N 20 m cos 0 = 2000 J Trabajo realizado por la fuerza de 80 N: En este caso la fuerza es horizontal y el desplazamiento, es a lo largo del plano, luego = 20o : T = 80 N 20 m cos 20 = 1503,5 J Trabajo realizado por la fuerza normal N: Siempre la fuerza normal N es perpendicular o al desplazamiento, luego = 90 : T = N N 20 m cos 90 = 0 J Trabajo realizado por la fuerza de roce f = 10 N: Siempre la fuerza de roce es opuesta al desplazamiento, o luego = 180 : T = 10 N 20 m cos 180 = - 200 J Trabajo realizado por el peso = 40 N : El peso se decompone en sus componentes, la componente perpendicular al plano no realiza trabajo, luego la nica que realiza trabajo es la componente paralela al plano: 40 sen 20o = 13,68 N T = 13,68 N 20 m cos 180 = - 273,6 J

Trabajo total = 2000 J + 1503,5 J + 0 J + - 200 J + - 273,6 J = 3029,9 J

4

4.-Un montacargas sube en 3,0 seg y con velocidad constante un saco de caf de 60 kg desde el suelo hasta 2 un estante a 2,0 m de altura (considere g = 10 m/s ): a)Cul es en newtons la fuerza que ejerce el montacargas sobre el saco al realizar esta operacin? b)Cul es el trabajo realizado por el montacargas? c)Que potencia desarrolla?

SOLUCION Como el montacargas sube el saco con velocidad constante la fuerza resultante sobre el saco es igual a cero. Luego, la fuerza ejercida por el montacargas es F = 600 N El trabajo realizado por la fuerza que ejerce el montacargas es: T = 600 N 2,0 m cos 0o T = 1200 J La potencia desarrollada es el trabajo realizado dividido por el tiempo empleado: P = 1200 J / 3,0 s = 400 W

5.-Un tanque con capacidad de 2000 litros , est colocado a 6,0 m de altura por encima de una cisterna. Una bomba que funciona durante 20 min hace subir verticalmente el agua llenando completamente el tanque en dicho tiempo. 2 a)Cul es en newtons el peso total del agua subida por la bomba? (considere g = 10 m/s , y recuerde que 1 litro de agua tiene una masa de 1 kg) b)Cul fue el trabajo total realizado por la bomba al subir el agua? c)Cul fue la potencia desarrollada por el motor de la bomba para efectuar este trabajo?

SOLUCION Los 2000 litros de agua tienen una masa de 2000 kg Luego el peso total del agua es: P = m g = 2000 kg 10 m/s2

= 20000 N

El trabajo realizado por la bomba es equivalente a realizar el trabajo de levantar el agua verticalmente aplicando una fuerza igual a su peso (con velocidad constante): T = 20000 N 6,0 m cos 0o

= 120000 J

La potencia desarrollada por el motor es el trabajo realizado dividido por el tiempo empleado ( 20 min = 20 ( 60 s ) = 1200 s ): P = 120000 J / 1200 s = 100 W

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6.- a)Una mujer de 55 kg sube en una bicicleta de 7 kg por una pendiente del 3 % con una rapidez constante de 5,4 km/h. Qu potencia debe desarrollar? b) Un hombre de 80 kg con una bicicleta de 8 kg empieza a descender por la misma pendiente manteniendo una rapidez constante de 21,6 km/h. Qu potencia disipan los frenos?

a) La rapidez de 5,4 km/h equivale a: 5,4 : 3,6 = 1,5 m/s La pendiente de 3% (0,03 )corresponde a un ngulo: -1 o shift tg ( 0,03 ) = 1,71 Las fuerzas sobre la ciclista es: N : fuerza normal P: peso de la ciclista y la bicicleta = 62 kg 10 N/kg = 620 N f : friccin esttica que permite que la bicicleta se impulse y pueda subir A lo largo del plano: f - P sen 1,71o

= 0

f = 620 sen 1,71

o

f = 18,5 N

La potencia P es igual a f multiplicada por la velocidad: P = f v = 18,5 1.5 = 27,7 W b) La rapidez de 21,6 km/h equivale a: 21,6 : 3,6 = 6,0 m/s La pendiente de 3% (0,03 )corresponde a un ngulo: shift tg-1 ( 0,03 ) = 1,71o Las fuerzas sobre el ciclista son: N : fuerza normal P: peso del ciclista y la bicicleta = 88 kg 10 N/kg = 880 N f : friccin cintica ( contraria al movimiento de descenso ) A lo largo del plano: f - P sen 1,71o

= 0

f = 880 sen 1,71

o

f = 26,25 N

La potencia P es igual a f multiplicada por la velocidad: P = f v = 26,25 6 = 157,5 W

6

7.-Viajando por una va horizontal, un tren de 100 toneladas requiere una potencia de 400 CV para mantener una rapidez constante de 80 km/h. Determine. a)La fuerza total necesaria para vencer el rozamiento en los ejes, la resistencia a la rodadura y la resistencia del aire. b)La potencia adicional necesaria para que el tren mantenga esa misma velocidad subiendo una pendiente del 1 %. SOLUCION a) Podemos calcular directamente de la definicin la fuerza necesaria: P = Fv 298400 W 1 CV = 746 W = F 22,222 m/s 400 CV = 298400 W = 298,4 kW , F = 13,25 kN 80 km/h = 80 : 3,6 = 22,222 m/s

b) Para que el tren suba por la pendiente de 1% = 0,01, el ngulo es shift tg-1 ( 0,01 ) = 0,57o El peso del tren es: 100 toneladas = 100000 kg P = 100000 10 = 1000000 N La fuerza de friccin esttica debe ser tal que equilibre la componente del peso a lo largo del plano: f = P sen 0,57 P = fvo

f = 1000000 sen 0,57

o

= 9948,21 N P = 221,069 kW = 296,3 CV

P = 9948,21 N 22,222 m/s

8.-A plena carga el montacargas E tiene una masa de 3000 kg y est unido como se muestra al contrapeso W de masa 1000 kg. Determine la potencia en kW que desarrolla el motor: a) cuando el montacargas desciende con velocidad constante de 3 m/s

SOLUCION a)Cuando el montacarga desciende con velocidad constante La figura ( a ) muestra las fuerzas sobre el montacarga E El peso del montacarga es 3000 9,8 = 29400 N T es la tensin en la cuerda unida al contrapeso, como el sistema se mueve con velocidad constante T = W = 1000 9,8 = 9800 N F es la fuerza ejercida por el motor porque es una sola cuerda Entonces, como el montacarga se mueve con velocidad constante: 29400 N - 9800 - 2 F = 0 F = 9800 N

Para que el contrapeso baje a 3 m/s, la cuerda sujeta al motor ( C ) debe moverse a razn de 6 m/s, entonces la potencia mecnica del motor: P = F v P = 9800 N 6 m/s = 58800 W = 58,8 kW

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9.-En el sistema mostrado en la figura de este problema, la polea y la cuerda tienen masas despreciables y tanto la polea como la tapa de la mesa no presenta friccin. Suponiendo que el sistema sea liberado del reposo, use la conservacin de la energa para calcular las velocidades de los cuerpos A y B, despus que el cuerpo B desciende una distancia d = 2,0 m. Suponga: mA = 2,0 kg mB = 3,0 kg , g = 10 m/s2 .

SOLUCION

Como no existe friccin, la energa mecnica total inicial debe ser igual a la energa mecnica final ( es decir cuando el objeto que cuelga ha cado 2,0 m ) Energa mecnica inicial: ECINET. = 0 J (cuerpo A y B en reposo) EGRAVIT = m g h (solo tiene energa gravitatoria el cuerpo B, el nivel se toma al final de los 2,0 m) EGRAVIT = 3,0 10 2,0 = 60 J Energa mecnica final: El cuerpo A se ha movido una cierta distancia, luego alcanza una rapidez v, es decir tiene energa cintica final: ECINET. = mA (v) / 2 = 2,0 (v) / 22 2

= (v)

2

El cuerpo B ha bajado los 2,0 m luego alcanza una rapidez v, (igual a la de A) es decir tiene energa cintica final: ECINET. = mB (v) / 2 = 3,0 (v) / 22 2

= 1,5 (v)

2

El cuerpo B ahora no tiene energa gravitatoria pues se encuentra en el nivel de referencia: Energa mecnica inicial 60 J = (v)2 = + Energa mecnica final 1,5 (v)2

v = 4,9 m/s

8

10.-La pastilla de 230 gr se comprime contra el resorte A de k = 534 N/m y luego se suelta desde el reposo. Despreciando el roce, hallar la menor compresin del resorte para que la pastilla recorra el bucle ABCDE sin perder nunca el contacto con el mismo.

SOLUCION Cuando la pastilla pasa por el punto mas alto D, su energa potencial gravitatoria ser mxima, y por tanto ser mnima su energa cintica y su velocidad. Para que la pastilla se mantenga en contacto con el bucle, la fuerza N ejercida por ste sobre la pastilla debe ser mayor o igual que cero. Con N = 0, la velocidad vD ser la mnima posible, entonces en el punto D, acta slo el peso de la pastilla: FC = m aC P = m aC m g = m aC2

aC = g = 10 m/s

La aceleracin centrpeta en el punto ms alto es: ac = ( vD ) / R ( vD ) = 10 0,6 vD = 2,45 m/s2 2 2

Como no existe friccin, la energa mecnica se conserva, es decir en cualquier punto la suma de la energa cintica mas la energa potencial es la misma.. Cuando el resorte est comprimido, el sistema tiene energa elstica ( k x ) / 2, en el punto ms alto D, la patilla tiene energa cintica ( m vD 2 / 2 ) ms potencial gravitatoria ( m g h ), entonces:2

Energa mecnica en A ( k x ) / 22

= =

Energa mecnica en D m vD / 22

+2

mgh 0,23 10 1,2

( 534 x ) / 22

=

0,23 (2,45) / 2

+

x = 0,11 m

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11.-Un cuerpo de 2 kg es soltado desde una altura h = 1,5 m directamente sobre un resorte no deformado cuya constante elstica es k = 200 N/m. Determine la mxima deformacin que el cuerpo provocar en el resorte , despus de llegar a l.

SOLUCION

Consideremos como nivel de referencia, el punto donde el resorte no esta deformado: El bloque tiene energa gravitatoria: EGRAVIT. = m g h = 2 10 1,5 = 30 J Esta es la energa mecnica inicial del sistema. Cuando el bloque ha comprimido el resorte, ahora tenemos energa gravitatoria del bloque EGRAVIT. = - m g x ( negativa porque est bajo el nivel de referencia) EGRAVIT. = - 2,0 10 x = - 20 x

Energa elstica del resorte, pues est deformado EELAST. = k ( x ) / 2 = 200 ( x ) / 2 = 100 ( x )2 2 2

La energa mecnica final del sistema es: EMECAN. = - 20 x + 100 ( x )2

Igualando la energa mecnica total inicial, con la energa mecnica final se tiene: 30 J = - 20 x + 100 ( x )2

Ordenando la ecuacin resulta: Resolviendo para x se tiene:

100 ( x )2 - 20 x - 30 = 0 x = 0,66 m

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12.-En la figura, un bloque de 10 kg se suelta desde A. La pista no ofrece friccin excepto en la parte entre B y C de 6,0 m de longitud. El bloque se mueve hacia abajo por la pista, golpea un resorte de constante k = 2250 N/m y lo comprime 0,3 m desde su posicin de equilibrio antes de quedar momentneamente en reposo. Determine el coeficiente de roce cintico entre el bloque y la superficie entre B y C.

SOLUCION Este ejercicio lo desarrollaremos en tramos AB , BC , CD, ocuparemos para cada uno de ellos el teorema del trabajo y la energa cintica, es decir : Ttotal = ECINET. FINAL - ECINET. INICIAL AB (no hay fuerza de roce)

Las fuerza que acta sobre el objeto son la normal N y el peso P T(Normal) + T(Peso)A B = ECINET. FINAL ECINET. INICIAL

El trabajo de la fuerza normal siempre es cero porque es perpendicular al desplazamiento. El trabajo realizado por la fuerza peso de A a B es igual a la energa gravitatoria en A menos la energa gravitatoria en B: T(Peso)A B = EGRAV. A - EGRAV. B = 10 10 3,0 T(Peso)A B = 300 J , luego se tiene: T(Normal) + T(Peso)A B 0J + 300 J = = ECINET. FINAL 0J ECINET. INICIAL ECINET. FINAL = 300 J - 10 10 0

ECINET. FINAL

Esta energa cintica final que alcanza el bloque en B, la consideraremos cintica inicial para el tramo BC

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BC ( Las fuerzas que acta son el peso , la normal y la fuerza de roce f ) T(Normal) + T(Peso)A B + T ( fuerza roce ) = T(Normal) = 0 J T(Peso)B C = 0 J (El peso es perpendicular al desplazamiento) En la direccin vertical N = mg = 100 N ECINET. FINAL ( C ) ECINET. INICIAL( B)

Luego el trabajo de la fuerza de roce es: T ( fuerza roce ) = f dBC cos 180o ( pero f = N ) T ( fuerza roce ) = 100 6,0 ( - 1 ) = - 600 T(Normal) + T(Peso)A B + T ( fuerza roce ) = OJ + 0J 600 ECINET. FINAL ( C ) ECINET. INICIAL ( B ) ( )

= ECINET. FINAL ( C )

300 J.

Ahora considere el tramo CD ( el objeto golpea el resorte que est inicialmente no deformado y lo comprime 0,3 m) CD ( Las fuerzas que acta son el peso , la normal y la fuerza elstica ) T(Normal) + T(Peso)C D + T ( fuerza elstica ) = T(Normal) = 0 J T(Peso)B C = 0 J (El peso es perpendicular al desplazamiento) ECINET. FINAL ( D ) = 0JD D D

ECINET. FINAL ( D )

-

ECINET. INICIAL

( C)

T ( fuerza elstica )C T ( fuerza elstica )C T ( fuerza elstica )C

= EELASTICA ( C ) = 0 J = -

-

EELASTICA ( D )

2250 ( 0,3 )2 / 2

- 101,25 J ECINET. FINAL ( D ) ECINET. INICIAL( C)

T(Normal) + T(Peso)C D + T ( fuerza elstica ) = 0J + 0J 101,25 J( C)

-

ECINET. INICIAL

( C)

= =

0J -

ECINET. INICIAL

101,25 J

Reemplazando en ( ) se tiene: - 600 = 101,25 j 300 J = 0,33

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13.-Una partcula de 0,5 kg de masa se dispara desde P como muestra la figura con una velocidad inicial vi que tiene una componente horizontal de 30 m/s. La partcula asciende hasta una altura mxima de 20 m sobre P. Con la ley de conservacin de la energa, determine: a)La componente vertical de vi b)El trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre la partcula durante su movimiento de P a B c)Las componentes horizontal y vertical del vector velocidad cuando la partcula llega a B.

SOLUCION Tomando nivel de referencia en el suelo, cuando el objeto llega a la altura de 80 m, la energa mecnica (total ) es igual a la gravitatoria ms la energa cintica. En ese punto la velocidad en vY es nula (punto ms alto) luego la energa cintica est determinada por la componente en x: EGRAVITA.. = 0,5 10 80 = 400 J ECINET. = 0,5 ( 30 )2 / 2 = 225 J }

Emecan.total = 400 + 225 = 625 J

La energa total en P es entonces 625 J, como en ese punto la altura es 60 m, la energa gravitatoria es: EGRAVITA.. = 0,5 10 60 = 300 J , luego la cintica en P es ECINET. = 325 J Con este valor podemos calcular la rapidez total con que sale la partcula: ECINET. = 325 J = 0,5 ( v )2 / 2 v = 36,0 m/s

Ahora podemos calcular la componente de la velocidad vertical ( vY ): ( vY )2

+ ( 30 )

2

=

( 36 )

2

vY =

19,8 m/s

El trabajo realizado por la fuerza gravitacional desde P hasta B es : TPESO = TPESO = TPESO = EGRAVIT.P

0

EGRAVIT.

B

0,5 10 60 300 J

Cuando la partcula llega a B, la energa gravitatoria es cero, la cintica es 625 J 625 J = 0,5 ( v ) / 2 ( vY )2 2

v = 50 m/s (rapidez total) ( 50 )2

+ ( 30 )

2

=

vY =

40 m/s

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14.-Un bloque se desliza hacia abajo por una pista curva sin friccin y despus sube por un plano inclinado como muestra la figura. El coeficiente de roce cintico entre el bloque y la pendiente es uc . Con mtodos de energa demuestra que la altura mxima alcanzada por el bloque es: h ymax = 1 + uc cot

SOLUCION El problema consiste en un bloque de masa m que se suelta en el lado derecho (sin roce) y entra en otra pista con roce (izquierda). Haremos uso del teorema del trabajo y la energa cintica. Lado derecho: TTOTAL = ECINT. F INAL - ECINET. INICIAL Las fuerzas que acta sobre el objeto son su peso, y la fuerza normal. TNORMAL = 0 J ( la normal es perpendicular al desplazamiento) TPESO = EGRAVTIT. ( A ) TNORMAL + TPESO OJ + mgh mgh = = EGRAVTIT. ( B) = m g h - 0 = m g h ECINT. F INAL - ECINET. INICIAL -- 0 J

ECINT. F INAL =

ECINT. F INAL

Esta energa cintica que alcanza al llegar abajo, la ocuparemos como energa cintica inicial para el tramo de la izquierda- En este tramo las fuerzas que acta son : Normal, peso , fuerza de roce, al llegar al punto de yMAX la energa cintica es cero. TNORMAL + TPESO + TFROCE = ECINT. F INAL - ECINET. INICIAL

TNORMAL = 0 J ( la normal es perpendicular al desplazamiento) TPESO = Egravit inici - EGRAVIT.FINAL = 0 - m g yMAX

TFROCE = f d cos 180 = N d ( -1 ) Con N = m g cos y d = ymax / sen TFROCE = - m g cos ymax / sen TNORMAL + TPESO 0J - m g yMAX yMAX + TFROCE = ECINT. F INAL - ECINET. INICIAL = 0 - mgh

- m g cos ymax / sen = h

+ cos ymax / sen h / ( 1 + cot )

yMAX =

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15.-En la figura se muestran dos bloques conectados entre s por medio de una cuerda ligera que pasa sobre una polea sin friccin. El bloque de masa m1 descansa sobre una superficie horizontal y est conectado a un resorte de constante elstica k. El sistema se libera desde el reposo cuando el resorte no est deformado. Si el bloque que cuelga, de masa m2 cae una distancia h antes de quedar en reposo, demuestre que el coeficiente de roce cintico entre m1 y la superficie se puede obtener por la expresin: m2 g - k h/2 uc = m1 g

SOLUCION El sistema se libera desde el reposo, luego la energa cintica inicial es cero. El bloque de masa m2 cae una distancia h antes de quedar en reposo, es decir la energa cintica final del sistema tambin es cero: TNORMAL + TROCE TNORMAL = 0 J TELASTICA = EELAST. ( I ) - EELAST. ( F) = 0 = TPESO 2

+ TELASTICA

+ TPESO

=

ECINET. (F)

- ECINET.( I )

kh /22

- kh /2 EGRAVIT. ( F ) - 0

= EGRAVIT. ( I ) = = m2 g h m2 g h

TROCE

= f d cos 180 = N h(-1) = - N h , con N = m1 g

TNORMAL + TROCE 0J

+ TELASTICA

+ TPESO 2

=

ECINET. (F) +2

- ECINET.( I ) = 0

- m1 g h =

kh /2

m2 g h

m2 g h - k h / 2 m1 g h = m2 g - k h / 2 m1 g

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16.- Una corredera de 10 kg desliza sin rozamiento a lo largo de una gua vertical como muestra la figura. El resorte unido a la corredera tiene una longitud natural de 100 mm y una constante de 500 N/m. Si la corredera parte del reposo de la posicin 1 , determine la velocidad en la posicin 2 tras haberse desplazado 150 mm.

SOLUCION El trabajo realizado por el resorte para ser llevado desde su longitud original ( O ) a la posicin 1 es: TRESORT O 1 = EELAT. O - EELAST. 1 TRESORT O 1 = 0 - ( 500 ( 0,1 )2 ) / 2 = - 2,5 J

Considerando como nivel de referencia el punto 2, al moverse la corredera desde 1 hacia 2, el peso de ella realiza trabajo: TCORREDR. 1 2 = EGRAV. 1 - EGRAV. 2 = m g h - 0 TCORREDR. 1 2 = 10 9,81 0,15 = 14,71 J

El trabajo realizado por el resorte para ser llevado desde su posicin 1 a la posicin 2 es: TRESORT 1 2 = EELAT.1 - EELAST. 2 TRESORT 1 2 = 2,5 J - 500 ( 0,15 )2 ) / 2 = - 3,125 J En el punto 2 el sistema tiene energa cintica ( m v2 ) / 22

Ocupando el teorema del trabajo y la energa cintica, se tiene: Ttotal = TPESO + TELAST. 1 2 14,712

= ECINET. 2 - ECINET. 1

- 3,125 = ( 10 v2 ) / 2 - 0

v2 = 1,52 m/s

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17.-Un bloque de 5 kg se pone en movimiento ascendente en un plano inclinado con una rapidez inicial de 8,0 m/s. El bloque se detiene despus de recorrer 3,0 m a lo largo del plano, el cul est inclinado a un ngulo de o 30 con la horizontal. Determine para este movimiento: a)El cambio en la energa cintica del bloque b)El cambio en su energa potencial gravitatoria c)La fuerza de roce ejercida sobre l supuesta constante.

SOLUCION La energa cintica inicial del bloque es: ECINET. INIC = 5 ( 8 )2 / 2 = 160 J ECINET. FINAL = 0 J El cambio o variacin en la energa cintica es la diferencia entre la energa cintica final y la inicial: E CINET. = ECINET. FINAL - ECINET. INICIAL = 0 - 160 = - 160 j El cambio o variacin en la energa gravitatoria es la diferencia entre la energa gravitatoria final y la inicial: E GRAVITAT.. = EGRAVIT. FINAL - EGRAVIT. INICIAL = m g y - 0 ( y = sen 30 3 = 1,5 m ) = 5 10 1,5 = 75 J TTOTAL = ECINET. FINAL ECINET. INICIAL

TNORMAL +TROCE + TPESO = ECINET. FINAL - ECINET. INICIA TNORMAL = 0 J TPESO ( A TPESO ( A B) B)

= EGRAVIT. A = O = - 75 J

EGRAVIT. B 75 J

TROCE = f d cos 180 = f 3,0 ( - 1 ) = - ( 3,0 f ) TNORMAL 0J + TROCE + TPESO = f = = 0 ECINET. FINAL 160 ECINET. INICIA

- ( 3,0 f )

- 75 J

28,3 N

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18.-Una piedra de masa m est oscilando como un pndulo, partiendo del reposo de una posicin o en la cual el hilo forme 60 con la vertical. Calcular la tensin del hilo cuando la piedra pasa por la posicin mas baja de su trayecto (exprese la respuesta en funcin del peso mg de la piedra).

SOLUCION Al soltar el objeto desde A tiene slo energa gravitatoria: En A : EA = m g h

Cuando pasa por B (punto ms bajo) tiene slo Energa cintica : En B : ECINET. = m ( vB ) / 22

,

En la figura se observa que h = L L cos 60 h = 0,5 L

o

Como no hay roce, la energa total en A es igual a la energa total en B: mgh = m ( vB ) / 2 2

0,5 m g L = m ( vB ) / 22

vB = g L Cuando pasa por el punto ms bajo, las fuerzas que acta son el peso del objeto ( mg ) y la tensin T en la cuerda ( hacia arriba). Como el objeto describe una circunferencia, la resultante de estas dos fuerzas debe estar dirigida hacia el centro de la circunferencia ( fuerza centrpeta): T - mg = m ( vB )2 / R T - mg = m ( g L ) / L2

con R = L

( L es radio de la circunferencia )

T - mg = mg T = 2 mg

18

19.-Una partcula de masa m es soltada en A y se desliza sin roce a lo largo de un riel como muestra la figura. El radio de la parte circular es R y h = 5R , marque la afirmacin falsa : a)la energa mecnica total del cuerpo en el punto C vale 5 mgR b)La energa cintica del cuerpo en B es 5 mgR c)La energa cintica del cuerpo en D es 3 mgR d)La velocidad del cuerpo en C es 8gR e)La reaccin normal del riel sobre el cuerpo en C es 3 mg

SOLUCION Como no existe roce, la energa mecnica es la misma en todos los puntos, es decir slo tenemos transformacin de energa gravitatoria en cintica y viceversa. En A : EGRAVIT. = m g h = mg5R = 5mgR , EMECAN. = 5mgR Luego, en los puntos B , C , D, la energa mecnica es 5mgR. La alternativa ( c ) es Verdadera ECINET. = 0 J

En B, la energa gravitatoria es cero, por lo tanto en B tiene slo energa cintica igual a 5mgR. Luego la alternativa ( b ) es Verdadera. En D el cuerpo tiene energa cintica y gravitatoria: EGRAVIT. = m g 2R = 2mgR , por lo tanto ECINETIC = 3mgR (lo que le falta para completar 5mgR ). La alternativa ( c ) es Verdadera. En C la EGRAVIT. = m g R2

, por lo tanto ECINET. = 4mgR 4mgR = m ( v ) / 2 v = 8 g R2

De ECINET. = m ( v ) / 2 Verdadera.

La alternativa ( d ) es

En C la fuerza normal ejercida por el riel proporciona la fuerza centrpeta, es decir: N = m ( vC ) / R2

= m ( 8 g R )

2

/ R

N = 8 mg. Luego la alternativa ( e ) es Falsa

19

20.-En relacin al ejercicio anterior : a)Cul es el mdulo de la fuerza resultante que acta en el cuerpo en el punto C? b)Cul es el valor de la reaccin normal del riel sobre el cuerpo en el punto B? Y en el punto D ? c)Cul debe ser el mnimo valor de la altura h (en funcin de R ) para que el cuerpo pase por el punto D sin ejercer compresin sobre el riel? SOLUCION En el punto C acta sobre el objeto la fuerza ejercida por el riel (hacia el centro) y el peso del objeto (vertical hacia abajo): Por el ejercicio anterior la normal en C es: NC = 8 mg P = m g (peso del objeto) La fuerza resultante sobre el cuerpo en C es: F = ( 8 mg )2

+ (mg)

2

F = mg 65 En el punto B, las fuerzas que actan sobre el objeto son la ejercida por riel hacia Arriba ( normal ) y el peso P vertical hacia abajo. Como el objeto describe una Circunferencia la resultante de estas dos debe apuntar hacia el centro (fuerza centrpeta): N - mg = m ( vB )2 / R ( )

En B tiene slo ECINET. = 5mgR = m ( vB )2 / 2 vB = 10 gR En ( ) se tiene: N - mg = m ( 10 gR ) / R2

N = 11 mg

En D acta sobre el cuerpo la fuerza ejercida por el riel hacia abajo ( normal) y el peso del cuerpo tambin hacia abajo: N + mg = m ( vD )2 / R ( )2

Se tiene ECINET. = 3mgR = m ( vD ) / 2 vD = 6 gR En ( ) se tiene: N + mg = m ( 6 gR )2 / R N = 5 mg

Para que el cuerpo pase por D sin ejercer compresin ( normal = 0 ), la velocidad que debe tener es: mg = m ( vD )2 / R vD2

= gR,

igualando la energa mecnica en A y en D se tiene:2

mg x = m g 2R + m ( vD ) / 2 De aqu se obtiene x = 2,5 R

mg x = m g 2R + m ( g R ) / 2

20

21.- Una pelota de tenis de masa m = 100 gr y velocidad v1 = 10 m/s es devuelta por un jugador impulsndola con una velocidad v2 del mismo valor y direccin que v1 pero con sentido contrario. a)Cul es la variacin en el momentum de la pelota? b)Si el tiempo de contacto fue t = 0,01 seg , calcule la magnitud de la fuerza promedio que la raqueta ejerce sobre la pelota. SOLUCION Supongamos que el movimiento de la pelota se desarrolla en la direccin horizontal, e imaginemos que inicialmente la pelota se mueve hacia la derecha y consideremos este como sentido positivo: pI = m vI pI = 0,1 10 i = 1 kg m/s i pF = m vF pF = 0,1 - 10 i = - 1 kg m/s i La variacin en el momentum es la diferencia entre el momentum final y el inicial: p = pF - pi = - 1 kg m/s i - (1 kg m/s i ) = - 2 kg m/s i La fuerza media ejercida por la raqueta es: F = p / t F = ( - 2 kg m/s i ) / 0,01 s = - 200 N i La magnitud de la fuerza promedio es 200 N

22.-Una bola de billar de 0,5 kg de masa , al moverse hacia la izquierda con una velocidad de 2,0 m/s perpendicular a una banda de la mesa, choca con ella y se vuelve con una velocidad de igual magnitud y direccin. Considere positivo el sentido hacia la derecha. Seale cul de las afirmaciones siguientes est equivocada: a)La cantidad de movimiento de la esfera antes de chocar con la banda era de 1,0 kg m /s b)La cantidad de movimiento de la bola despus del choque es de 1,0 kg m /s c)La variacin de la cantidad de movimiento de la bola, en virtud del choque con la banda fue nula. d)El impulso que la bola recibi de la banda fue de 2,0 N s e)Si conociramos el tiempo de interaccin de la banda con la bola, sera posible calcular la fuerza media que una ejerci sobre la otra.

SOLUCION ( a ) Es verdadero, pues al considerar sentido como positivo hacia la derecha, la cantidad de movimiento de la bola inicial es hacia la izquierda: pI = - 0,5 kg 2 m/s = - 1,0 kg m / s ( b ) Es verdadero, pues al considerar sentido como positivo hacia la derecha, la cantidad de movimiento de la bola final es hacia la derecha : pI = + 0,5 kg 2 m/s = + 1,0 kg m / s ( c ) Es falso, porque la variacin en la cantidad de movimiento es igual al momentum final menos el inicial: p = pF - pI p = + 1,0 kg m / s - ( - 1,0 kg m / s ) = 2,0 ( kg m / s ) ( d ) Es verdadero, porque el impulso tiene la misma magnitud , direccin y sentido que la variacin de momentum: I = p = 2,0 N s ( e ) Es verdadero, porque el impulso es igual al producto de la fuerza media ejercida y el tiempo de contacto: I = F t F = I / t 21

23.-Una persona de masa igual a 70 kg, salta desde una altura de 5,0 m y cae de pie verticalmente sobre el suelo. Suponga, que al llegar al piso para amortiguar el impacto, dobla las rodillas como lo hacemos habitualmente , de manera instintiva. En estas condiciones, se sabe que el impulso del suelo sobre la persona 2 dura cerca de 0,05 seg (considere g = 10 m/s ). a)Calcule el valor de la reaccin normal que el suelo ejerce sobre la persona. 2 b)Sabiendo que el rea del hueso de la pierna que sufre el impacto es de 3,0 cm y que el hueso humano, 8 2 puede soportar una carga de compresin mxima de 1,7 x 10 N/m , sin romperse, verifique si la persona se fractur la pierna.

SOLUCION La persona salta desde una altura de 5,0 m , lo primero es determinar la velocidad con que llega al suelo. Ocupando la conservacin de la energa mecnica, se tiene: mgh = mv /2 v = 2gh2

v = 2 10 5,0 v = 10 m/s La variacin de momentum en la persona es igual al mometum final ( pF = 0, se detiene) menos el momentum inicial ( pI = 10 m/s 70 kg = 700 kg m/s) p = pF - pI p = 0 - 700 = - 700 kg m/s

El impulso aplicado por el suelo sobre la persona ( F t ) es igual a la variacin de momentum en la persona: F t = p F 0,05 = - 700

F = 1,4 x 104 N b) La fuerza dividida en el rea da como resultado: F A = 1,4 x 104 N -4 2 3,0 x 10 m = 0,46 x 108 N/m2

Luego, no se fractura la pierna.

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24.-La velocidad inicial del bloque en la posicin A es de 9 m/s. Sabiendo que el coeficiente de roce cintico entre el bloque y el plano inclinado es uc = 0,3, determine cunto tiempo tarda el bloque en llegar a B con velocidad nula.

SOLUCION

Dibujemos las fuerzas que actan sobre el bloque a medida que sube por el plano inclinado: En direccin perpendicular al plano: N : fuerza normal ; m g cos 30 : componente del peso del bloque

En direccin paralela al plano: f = u N : fuerza de roce con u = 0,3 m g sen 30 : componente del peso del bloque paralela al plano inclinado En la direccin perpendicular al plano no hay movimiento por lo tanto: N = m g cos 30 Considerando sentido positivo hacia arriba del plano y sabiendo que el impulso aplicado es igual a la variacin de momentum, se tiene: F t = m vF - m vI - m g sen 30 t - u N t = m vF - m vI - m g sen 30 t - u m g cos 30 t = m 0 - m 9 - g sen 30 t - u g cos 30 t = t = 1,18 s 0 - 9 (se elimina m )

23

25.-Una bola de acero de 3,0 kg golpea una pared con rapidez de 10,0 m/s a un ngulo de 60o con la superficie. Rebota con la misma rapidez y ngulo. Si la bola est en contacto con la pared durante 0,2 s, cul es la fuerza promedio ejercida por la pared sobre la bola?

SOLUCION

En el punto de contacto, actan sobre la bola, el peso y la fuerza total que ejerce la pared, sta la descomponemos en una horizontal ( N ) y otra vertical Fy : Aplicando que el impulso es igual a la variacin de momentum en la direccin y ,se tiene: Fy t - m g t = m vf - m vi Fy t - 3 10 t = 3 cos 60 10 - 3 cos 60 10 Fy = 30 N

Aplicando que el impulso es igual a la variacin de momentum en la direccin x ,se tiene: Nt N 0,2 N = = m vf - m vi = - 3 sen 60 10 - 3 sen 60 10 259,8 N

La fuerza total ejercida por la pared es: F = - 259,8 N i + 30 N j Magnitud: F = ( 259,8 ) + ( 30 )2 2

F =

261,5 N

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26.-Un proyectil de se mueve horizontalmente a la derecha con rapidez v = 40 m/s. En un instante explota fragmentndose en tres partes A , B , C de masa M , 2M , 3M, respectivamente. Sabiendo que despus de la explosin la rapidez de las partes B y C valen vB = vC = 110 m/s, determine la rapidez de la parte A.

SOLUCION Aplicamos la conservacin del momentum tanto en la direccin x como en la direccin y: Momentum total antes de la explosin = Momentum total despus de la explosin

Direccin Y : 0 0 = M vAY + Vb sen 60o 2M = M vAY + 110 sen 60 2M o

Vc sen 60o 3M 110 sen 60 3Mo

vAY = 95,2 m/s ( La parte A despus de la explosin tiene una componente de la velocidad en la direccin vertical hacia arriba)

Direccin X : 40 6M 240 M = M vAX + Vb cos 60o 2M + = M vAX + 110 cos 60 2M +o

Vc cos 60o 3M 110 cos 60 3Mo

vAY = - 35 m/s ( La parte A despus de la explosin tiene una componente de la velocidad en la direccin horizontal hacia la izquierda) vA = - 35 m/s i + 95,2 m/s j

La velocidad total de la parte A es :

La rapidez de A es:

vA

=

( 35 )2 + ( 95,2 )2 = 101,4 m/s

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27.-Un bloque B de 1 kg se mueve con una velocidad vo de magnitud 2 m/s cuando golpea contra la esfera A de 0,5 kg, la cul est en reposo y cuelga de una cuerda sujeta en O. Sabiendo que el coeficiente de roce cintico entre el bloque y la superficie horizontal es uc = 0,6 y que e = 0,8 entre el bloque y la esfera, determine tras el impacto: a)La altura mxima alcanzada por la esfera b)La distancia x que recorre el bloque

SOLUCION Aplicamos la conservacin del momentum para calcular la velocidad despus del choque de la esfera ( vA ) y del bloque ( vB ): Consideremos sentido positivo hacia la izquierda Antes del choque, el momentum de la esfera A es cero porque est en reposo, el del bloque es 1 2 = 2 kg m/s Despus del choque la velocidad de la esfera es vA y la del bloque es vB . 0 + 2 = 0,5 vA + 1 vB 2 = 0,5 vA + 1 vB ...( 1 ) El coeficiente de restitucin ( e = 0,8 ) es igual a la expresin: e = ( vFB - vFA ) / ( vIA - vIB ) (En este caso el cuerpo B es la esfera y el cuerpo A es el bloque) 0,8 = ( vA - vB ) / ( 2 - 0 ) 1,6 = vA - vB .....( 2 ) Combinando ( 1 ) y ( 2) se tiene: 2 = 0,5 vA + 1 vB 1,6 = vA - vB Resolviendo el sistema se tiene: vA = 2,4 m/s , vB = 0,8 m/s Ocupando la conservacin de la energa calculamos la altura alcanzada por la esfera: 2 ECINTICA = EGRAVITATORIA m v / 2 = m g h 2 0.5 (2,4 ) / 2 = 0,5 10 h h = 0,288 m Para calcular la distancia recorrida por B despus del choque ocupamos el teorema del trabajo y la energa: TTOTAL = ECINT. FINAL - ECINET. INICIAL Las fuerzas que actan sobre el bloque son el peso, la normal y la fuerza de roce. La nica que realiza trabajo es la fuerza de roce (la normal y el peso son perpendiculares al desplazamiento) TROCE = ECINT. FINAL - ECINET. INICIAL u N d cos 180 = m (vF ) / 2 - m (vF ) / 22 2

0,6 10 d ( - 1 ) = 1 (0 ) / 2 - 1 (0,8 ) / 2 d = 0,053 m2 2

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28.-Un bloque de 30 kg se deja caer desde una altura de 2 m sobre el plato de 10 kg de una balanza de resorte. Suponiendo que el choque es perfectamente elstico , determine el mximo desplazamiento del plato. La constante elstica del resorte es k = 20 kN/m

SOLUCION Aplicando la conservacin de la energa, calculamos la velocidad con que llega el bloque al plato: EGRAVIT A = ECINET. B mgh = mv /2 2

30 9,81 2 = 30 v / 2 v = 6,26 m/s , esta es la velocidad con que llega el bloque al plato de la balanza.2

Como el choque es perfectamente elstico ( e = 0 ) el bloque y el plato se mueven con la misma velocidad (juntos ) luego del choque. Aplicando la conservacin del momentum, se tiene: Momentum antes del choque = Momentum despus del choque ( mBLQUE + mPLATO ) vCONJ. vCONJ. = 4,69 m/s

mBLOQUE vBOLQUE + mPLATO vPLATO = 30 6,26 + 10 0 =

( 30 + 10 ) vCONJ.

Inicialmente el resorte soporta el peso del plato ( a ) , por lo tanto tiene una pequea deformacin. En el equilibrio: FELAST = m g k x1 = m g 20000 x1 = 10 9,81 x1 = 4,9 10-3 m

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En relacin a la posicin no deformada del resorte, cuando el bloque golpea el plato ( b ) , el sistema tiene: energa cintica: ( 30 + 10) ( 4,7 ) / 2 = 441,8 J,2

energa elstica debido a la deformacin del resorte : ( - 20000 (4,9 10 ) ) / 2 = - 0,24 J-3 2

energa gravitatoria debido a las dos masas : ( - 40 9,81 4,9 10-3 ) = - 1,92 J . En el punto ms bajo (mxima compresin del resorte) la energa cintica es cero, el resorte tiene energa 2 2 elstica ( k x2 ) / 2 = 10000 x2 y el conjunto bloque plato tiene energa gravitatoria ( - 40 9,81 x2 ). Ocupando la conservacin de la energa mecnica entre los dos ltimos puntos mencionados, se tiene: 441,8 10000 x22

0,24 - 1,92

= 10000 x22 - 40 9,81 x2

- 392,4 x2 - 439,64 = 0

x2 = 0,23 m Por lo tanto la mxima deformacin del resorte h = x2 - x1 es h = 0,23 m - 4,9 10 m = 0,225 m-3

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294.-Dos automviles de igual masa, A y B se encuentran en reposo con los frenos sueltos. El auto C de igual masa ha sido empujado y choca con B con una velocidad de 1,5 m/s. Sabiendo que el coeficiente de restitucin es 0,8 entre B y C y 0,5 entre A y B, determine las velocidades de cada auto luego de producirse todas las colisiones.

Como los autos tienen igual masa, suponemos el valor m para ella. SOLUCION Consideremos sentido positivo hacia la izquierda, para el choque entre C y B, aplicando la conservacin del momentum, se tiene: Momentum total antes del choque = Momentum total despus del choque 1,5 m + 0 m 1,5 = VF (C) = VF (C) m + VF (B) m , donde VF (C) y VF (B) son las velocidades finales de B y C, despus del choque. + VF (B) ( 1 )

El coeficiente de restitucin ( e ) est dado por: e = ( VF (B ) - VF ( C ) ) ( VI (C ) - VI ( B ) ) 0,8 = ( VF (B ) - VF ( C ) ) ( 1,5 - 0 ) 1,2 = VF (B ) - VF ( C ) ....... ( 2 ) VF ( B ) = 1,35 m/s

Formando el sistema con las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) , se obtiene : VF ( C ) = 0,15 m/s , Como las velocidades son positivas, entonces B y C se mueven hacia la izquierda

La velocidad final de B, es decir 1,35 m/s es considerada ahora velocidad inicial para el choque con A: Momentum total antes del choque = Momentum total despus del choque 1,35 m + 0 m 1,35 = VF (A) = VF (B) m + VF (A) m , donde VF (A) y VF (B) son las velocidades finales de B y A, despus del choque. + VF (B) ( 3 )

El coeficiente de restitucin ( e ) est dado por: e = ( VF (A ) - VF ( B ) ) ( VI (B ) - VI ( A ) ) 0,5 = ( VF (A ) - VF ( B ) ) ( 1,35 - 0 ) 0,675 = VF (A ) - VF ( B ) ....... ( 4 ) VF ( B ) = 0,338 m/s

Formando el sistema con las ecuaciones ( 3 ) y ( 4 ) , se obtiene : VF ( A ) = 1,013 m/s , Como las velocidades son positivas, entonces B y A se mueven hacia la izquierda

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30.-Un bloque B de 1,5 kg est sujeto a un resorte no deformado de constante k = 80 N/m y descansa sobre una superficie horizontal sin roce cuando es golpeado por un bloque igual A que se mueve a 5 m/s. Considerando sucesivamente los casos en que el coeficiente de restitucin entre ambos bloque es (a) e = 1 , (b) e =0, determine, la mxima deformacin del resorte y la velocidad final del bloque A.

SOLUCION Sentido positivo hacia la izquierda Para el caso ( b ) cuando e = 0, esto significa que luego del choque los cuerpos tienen la misma velocidad, es decir continan juntos. Aplicando la conservacin del momentum a los dos bloque, se tiene: Momentum total antes del choque = Momentum total despus del choque 1,5 5 + 1,5 0 = 3,0 vC vC = 2,5 m/ s

Luego de chocar los cuerpos siguen juntos con la velocidad de 2,5 m/s Para calcular la mxima deformacin del resorte, aplicamos la conservacin de la energa mecnica, no hay 2 friccin: la energa cintica de los cuerpos ( 3,0 ( 2,5 ) ) / 2 se transforma en energa elstica en el 2 resorte ( 80 (x ) ) / 2 , es decir: 3,0 ( 2,5 ) / 22

= 80 (x ) / 22

x = 0,484 m = 484 mm

Para el caso ( a ) cuando e = 1, esto significa que las velocidades relativas de los cuerpos antes y despus del choque es la misma: VI (A ) - VI ( B ) = VF (B ) - VF ( A ) 5 - 0 = VF (B ) - VF ( A ) 5 = VF (B ) - VF ( A ) ( 1 ) Aplicando la conservacin del momentum a los dos bloque, se tiene: Momentum total antes del choque = Momentum total despus del choque 1,5 5 + 1,5 0 = 1,5 VF (B ) + 1,5 VF ( A ) ( 2 ) vB = 5,0 m/ s

Para calcular la mxima deformacin del resorte, aplicamos la conservacin de la energa mecnica, no hay 2 friccin: la energa cintica del cuerpo ( 1,5 ( 5 ) ) / 2 se transforma en energa elstica en el 2 resorte ( 80 (x ) ) / 2 , es decir: 1,5 ( 5 ) / 22

= 80 (x ) / 22

x = 0,685 m = 685 mm

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