SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE NAVIER STOKES PARA FLUJO EN CAVIDAD TRIANGULAR CON NÚMEROS DE REYNOLDS ALTOS POR

MEDIO DE DIFERENCIAS FINITAS

Carlos Roberto Acosta Leaño

Profesor Asesor: José Rafael Toro

Universidad de Los Andes

Bogotá D. C. 19 de enero de 2009

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Contenido Resumen ........................................................................................................................................ 1

Introducción .................................................................................................................................. 1

Ecuaciones de Navier-Stokes ......................................................................................................... 1

Solución de las ecuaciones para cavidades cuadradas.................................................................. 2

Método numérico .......................................................................................................................... 5

Derivadas espaciales .................................................................................................................. 5

Condición de frontera ................................................................................................................ 6

Derivadas temporales ................................................................................................................ 8

Simulaciones y discusión ............................................................................................................... 8

Conclusiones ................................................................................................................................ 23

Referencias .................................................................................................................................. 24

Apéndice ......................................................................................... Error! Bookmark not defined.

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Resumen El presente trabajo investiga flujos en cavidades triangulares por medio del método de las diferencias finitas en Matlab para un número de Reynolds de 12500, se busca comparar el comportamiento del flujo con el de las esquinas de una cavidad triangular sometidas a este número de Reynolds. No se encuentra relación entre las simulaciones encontradas y las esquinas del flujo en una cavidad cuadrada.

Introducción Gracias a los programas de computadoras cada vez más potentes es posible analizar numéricamente problemas de los cuales no se es posible hallar soluciones analíticas con las herramientas matemáticas actuales. Uno de estos problemas es encontrar soluciones a las ecuaciones de Navier Stokes para los fluidos. La solución de estas ecuaciones resulta bastante compleja mediante métodos analíticos, sin embargo, estas ecuaciones se pueden resolver numéricamente de una manera mucho más sencilla. Uno de los métodos utilizados para este fin es el método de las diferencias finitas, que consiste en convertir en discretas las derivadas parciales espaciales.

El problema del flujo en una cavidad cuadrada bidimensional es un tema que se ha estudiado bastante mediante los métodos numéricos. Consiste en un fluido dentro de un cuadrado del cual una de las paredes se mueve a una velocidad constante. La respuesta en el estado estable de este sistema para números de Reynolds entre 10.000 y 15.000 presenta un comportamiento estacionario en el centro y tres de sus esquinas, y un comportamiento periódico en una de ellas, como se pudo verificar en el trabajo de Oliver Goyon [1].

Debido a las limitaciones de memoria y velocidad de procesamiento de los computadores no es posible realizar análisis para rejillas muy grandes (con un alto número de nodos). Por esta razón y teniendo en cuenta que el comportamiento no estable se genera en una de las esquinas sería favorable concentrar la mayor resolución posible en la esquina que presenta el comportamiento periódico. Por esta razón en el presente trabajo se utiliza el método de las diferencias finitas en al programa Matlab para simular el comportamiento de una cavidad triangular, buscando asemejarse a la esquina con el comportamiento periódico, tratando de ver cómo responde a números de Reynolds altos. La idea es comparar el comportamiento de ésta con el comportamiento periódico de la esquina, que se encuentra en la literatura.

Ecuaciones de Navier-Stokes Las ecuaciones de Navier-Stokes en dos dimensiones escritas en términos de la vorticidad y la función de corriente del están dadas por:

������ � ������ � �

�� � � ��� � � ��� � ������ � ������ � �

2

Donde es la viscosidad del fluido, � la velocidad en la dirección � y � la velocidad en la dirección �. La velocidad y la función de corriente están relacionadas por:

� � ����

� � �����

Solución de las ecuaciones para cavidades cuadradas Para el flujo en una cavidad cuadrada, que se muestra esquemáticamente en la figura 1, se encontró una respuesta periódica en la esquina inferior izquierda para un número de Reynolds de 12500 [1]. La dinámica se puede apreciar en la figura 2.

Figura 1 Esquema del flujo en una cavidad cuadrada.

En el momento no se sabe cuál es el mecanismo por medio del cual se genera esta respuesta periódica. Es posible que se genere a partir de vibraciones poco perceptibles en el vórtice central, ya que como se mostró en el trabajo de Auteri, Parolini y Quartapelle [2] existe una calle de vórtices que se mueve alrededor del vórtice central, que está conformado por pequeños vórtices adyacentes de signos alternantes. Por esta razón, en el análisis del flujo en una cavidad triangular, se intentará simular esta calle de vórtices para establecer cuál es su influencia en el comportamiento de este flujo.

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Figura 2 Dinámica de los vórtices en una cavidad cuadrada para Re = 12500 [1].

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Figura 2 Continuación.

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Método numérico

Derivadas espaciales En primer lugar se construye una rejilla para poder convertir las ecuaciones diferenciales en ecuaciones diferencia. Cada variable en un nodo se numera por medio de un subíndice que indica la coordenada � y la coordenada �. El espaciamiento entre nodos es constante y se denota como �� para nodos adyacentes horizontalmente y �� para nodos adyacentes verticalmente, figura 3.

Figura 3 Malla en cavidad triangular.

Para tratar el problema de la cavidad numéricamente se comienza con hacer discretas las derivadas parciales espaciales. Para hacer esto se utiliza el método Upwind de tercer orden con el fin de evitar oscilaciones debidas a los cálculos internos del programa. Este método consiste en hacer diferencias finitas descentradas para las derivadas parciales que se multiplican con las componentes de la velocidad.

������ � ������ � ������ � ���� � ��������� ����� � �

������ � ������ � ���� � ������ ��������� ����� � �

������ � ������ � ������ � ���� � ��������� ����� � �

������ � ������ � ���� � ������ ��������� ����� � �

Para el caso de las regiones adyacentes a la frontera se realiza el método Upwind de primer orden.

������ � ����� � ����� ����� � �

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Las derivadas de segundo orden se aproximan cómo se muestra a continuación.

Condición de frontera En este trabajo se estudian dos condiciones de frontera. La primera cosiste en velocidad cero en la base y la altura del triangulo y velocidad igual a 1 en la hipotenusa, en la dirección paralela a la misma, como se muestra en la figura 4. La velocidad en la que se mueve la pared de la hipotenusa intenta simular la velocidad del vórtice central.

Figura 4 Flujo en cavidad triangular

La otra condición de frontera estudiada, figura 5, es igual a la antes mencionada pero sumándole a velocidades alternantes, que viajan en la misma dirección. Estas velocidades se modelan mediante una función seno. Las velocidades alternantes intentan aproximarse la calle de vórtices mencionada anteriormente. Los parámetros que se usaran para hacer las simulaciones son:

: Amplitud de la onda que simula la calle de vórtices.

VS = 1

V = 0

V = 0

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: Longitud de la onda.

!": Velocidad de propagación de la onda.

Figura 5 Flujo en cavidad triangular con oscilaciones.

La condición de velocidad en la frontera nos permite calcular los valores de la vorticidad en la frontera, para la hipotenusa del triángulo. Esto se realiza mediante expansiones de Taylor de la función de corriente centradas en los valores de la frontera. Primero que todo se realiza expansiones horizontales y verticales. Ver figura 6.

�# � �$ � ����$ %�# � �$& � ������$ %�# � �$&��

�' � �$ � ����$ %�# � �$& � ������$%�' � �$&��

Tomando �# � �$ � �(�, �# � �$ � �(�, �$ � )*)+$, �$ � � )*),$ y sabiendo que �$ � �,

tenemos que

�# � �$(� � ������$ (���

�' � �$(� � ������$(���

Además usando que

������$ � ������$ � �$

Y despejando tenemos que

$ � �%�(���# � (���' � �$(��(� � �$(�(��&(��(��

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Con esta fórmula calculamos los valores de la vorticidad en la frontera de la hipotenusa del triángulo a partir de los valores de la velocidad y la función de corriente.

Figura 6 Puntos para la condición de frontera.

Para hallar los valores en la base y la altura del triangulo basta con hacer una expansión de Taylor en cada caso.

Derivadas temporales Para hacer discretas las derivadas temporales se utilizó el método MacCormack que usa un predictor y un corrector. El subíndice indica el número de la iteración y�� indica el intervalo de tiempo por cada iteración. Las derivadas parciales se calcular mediante la discretización espacial.

Predictor

" � - � � .�- /���0- � �- /���0- � 1 ��������- � �������-�2

Corrector

-�� � 3�.- �" � � 4�" �"�� � �" �"�� � 1 ���"��� � ��"��� �52

Simulaciones y discusión Primero que todo se realizaron las simulaciones en la cavidad triangular, sin considerar la calle de vórtices. Se encontró un comportamiento distinto comparado con la esquina que presenta soluciones periódicas. Sin embargo, su evolución es similar a la de la cavidad cuadrada vista como un todo. Comienza con un vórtice descentrado, que pasa a ser el vórtice central, y vórtices en las esquinas inferior izquierda y superior, figura 6. En la figura 7 se muestra el campo de velocidad normalizado para estas condiciones. Ambas graficas se hicieron con una malla de 50x50, al igual que en las graficas subsiguientes.

9

(a) (b)

Figura 7 Flujo para Re = 12500. (a) t = 10, (b) t = 200.

Figura 8 Campo de velocidad para Re = 12500, t = 200.

Tabla 1 Pruebas para 6789 � : ;< = No. Prueba λ Vp

1 1/4 1/4 2 1/4 1/2 3 1/4 1 4 1/2 1/4 5 1/2 1/2 6 1/2 1 7 1 1/4 8 1 1/2 9 1 1

En la figura que siguen se muestra la dinámica que se genera al perturbar el sistema con una función seno, aplicada desde el tiempo t = 200, que se propaga en el espacio, la cual simula la

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calle de vórtices. Estas gráficas hacen referencia a los valores de las tablas 1 y 2. Al igual que antes, el campo de velocidad está normalizado, para apreciar mejor el comportamiento.

Tabla 2 Pruebas para 6789 � > ;< = No. Prueba λ Vp

10 1/4 1/4 11 1/4 1 12 1 1/4 13 1 1

Se destaca que en algunos casos el sistema evoluciona moviendo el vórtice central a la esquina inferior derecha y crecen los vórtices de la izquierda. En otros casos no se genera mayor perturbación a la configuración de vórtices.

(a)

(b)

11

(c)

Figura 9 Prueba 1. Flujo para oscilaciones que comienzan en t = 200, con 6789 = 0.25,�? = 0.25, 6@�= 0.25.(a) t = 210, (b) t = 300, (c) t = 400.

(a)

(b)

12

(c)

Figura 10 Prueba 2. Flujo para oscilaciones que comienzan en t = 200, con 6789 = 0.25,�? = 0.25, 6@�= 0.5.(a) t = 210, (b) t = 300, (c) t = 400.

(a)

(b)

13

(c)

Figura 11 Prueba 3. Flujo para oscilaciones que comienzan en t = 200, con 6789 = 0.25,�? = 0.25, 6@�= 1.(a) t = 210, (b) t = 300, (c) t = 400.

(a)

14

(b)

(c)

Figura 12 Prueba 4. Flujo para oscilaciones que comienzan en t = 200, con 6789 = 0.25,�? = 0.5, 6@�= 0.25.(a) t = 210, (b) t = 300, (c) t = 400.

(a)

15

(b)

(c)

Figura 13 Prueba 5. Flujo para oscilaciones que comienzan en t = 200, con 6789 = 0.25,�? = 0.5, 6@�= 0.5.(a) t = 210, (b) t = 300, (c) t = 400.

(a)

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(b)

(c)

Figura 14 Prueba 6. Flujo para oscilaciones que comienzan en t = 200, con 6789 = 0.25,�? = 0.5, 6@�= 1.(a) t = 210, (b) t = 300, (c) t = 400.

(a)

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(b)

(c)

Figura 15 Prueba 7. Flujo para oscilaciones que comienzan en t = 200, con 6789 = 0.25,�? = 1, 6@�= 0.25.(a) t = 210, (b) t = 300, (c) t = 400.

(a)

18

(c)

(c)

Figura 16 Prueba 8 Flujo para oscilaciones que comienzan en t = 200, con 6789 = 0.25,�? = 1, 6@�= 0.5.(a) t = 210, (b) t = 300, (c) t = 400.

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(a)

(b)

Figura 17 Prueba 9. Flujo para oscilaciones que comienzan en t = 200, con 6789 = 0.25,�? = 1, 6@�= 1.(a) t = 210, (b) t = 400.

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(a)

(b)

(c)

Figura 18 Prueba 10. Flujo para oscilaciones que comienzan en t = 200, con 6789 = 0.75,�? = 0.25, 6@�= 0.25.(a) t = 210, (b) t = 300, (c) t = 400.

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(a)

(b)

(c)

Figura 19 Prueba 11. Flujo para oscilaciones que comienzan en t = 200, con 6789 = 0.75,�? = 0.25, 6@�= 1.(a) t = 210, (b) t = 300, (c) t = 400.

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(a)

(b)

(c)

Figura 20 Prueba 12. Flujo para oscilaciones que comienzan en t = 200, con 6789 = 0.75,�? = 1, 6@�= 0.25.(a) t = 210, (b) t = 300, (c) t = 400.

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(a)

(b)

(c)

Figura 21 Prueba 13. Flujo para oscilaciones que comienzan en t = 200, con 6789 = 0.75,�? = 1, 6@�= 1.(a) t = 210, (b) t = 300, (c) t = 400.

Conclusiones A pesar de que el vórtice central en una cavidad cuadrada es estable en el tiempo las simulaciones en la cavidad triangular no presentan el comportamiento que se observa en las esquinas de la cavidad cuadrada al aplicarles una velocidad constante que simula el vórtice central. Tampoco se comportan de manera semejante al aplicarles una oscilación que intenta aproximarse a la calle de vórtices que se presenta en las cavidades rectangulares.

Sin embargo, el comportamiento sin las oscilaciones es semejante al de la cavidad cuadrada vista como un todo. Es decir, presenta un vórtice central y vórtices en las esquinas.

Finalmente se encontró que para ciertos valores de los parámetros de las oscilaciones se altera el comportamiento de la cavidad triangular. El vórtice central baja y se generan vórtices al costado izquierdo del triángulo.

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Dado que el objetivo de este trabajo es analizar la semejanza de las simulaciones del triangulo con la esquina del cuadrado que presenta el comportamiento periódico, no se realiza un análisis profundo de las tendencias que corresponden a los diferentes parámetros de las oscilaciones. Sin embargo sería viable para otro trabajo el análisis de las tendencias expuestas en esta tesis.

Referencias 1. Olivier Goyon (1995) EISEVIER. Computer methods in applied mechanics and englneerlng.

High-Reynolds number solutions of Navier-Stokes equations using incremental unknowns. Laboratoire d’Analyse Nume’rique d’orsay, Universitk Paris Xl, 91405 Orsay cedex, France.

2. F. Auteri, N. Parolini y L. Quartapelle (2002). Numerical Investigation on the Stability of Singular Driven Cavity Flow. Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale, Politecnico de Milano, Via La Masa 34, 20158 Milano, Italy.

3. U. Ghia, K. N. Ghia, y C. T. Shin (1982) High-Re Solutions for Incompressible Flow Using the Navier-Stokes Equations and a Multigrid Method. University of Cincinnati, Cincinnati, Ohio 45221

4. Anderson, Dale A. Computational fluid mechanics and heat transfer.