Asignatura: Calculo III

Profesor:

Superficies cuádricas

Una superficie cuádrica es la gráfica en el espacio de una

ecuación de segundo grado en x, y y z. Nos enfocaremos en la

ecuación general de la forma:

donde A, B, C, D y E son constantes. Las superficies cuádricas

básicas son los elipsoides, los paraboloides, los conos elípticos

y los hiperboloides. Las esferas son casos especiales de los

elipsoides. Daremos unos cuantos ejemplos para ilustrar cómo

dibujar una superficie cuádrica y luego presentamos una tabla de

gráficas en la que se resumen los tipos básicos.

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Superficies cuádricas

El elipsoide

La ecuación del elipsoide con centro en el origen tiene la forma:

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

La superficie es simétrica con respecto a cada uno de los planos

coordenados, ya que la ecuación que la define, cada variable está elevada

al cuadrado. Las trazas son elipses en planos paralelos a los tres planos

coordenados.

Si a=b=c el elipsoide es una esfera. Si cualquiera de los semiejes a, b y c

son iguales entre si, la superficie es un elipsoide de revolución.

donde a, b, c son números reales positivos y se llaman semiejes del

elipsoide, pues coinciden con los ejes; corta a los ejes de coordenadas en

los puntos (-a,0,0), (a,0,0), (0,-b,0), (0,b,0), (0,0,-c) y (0,0,-c).

La ecuación de un paraboloide elíptico con eje vertical esta dada por:

El paraboloide elíptico

2

2

2

2

b

y

a

x

c

z

Es este caso es simétrico respecto de los planos x=0 e y=0. La única

intersección con los ejes es el origen. Excepto por este punto, la

superficie está completamente por arriba del plano horizontal, si c>0

o por debajo si c>0.

Las trazas horizontales son elipses y las trazas verticales son

parábolas. La variable elevada a la primera potencia indica el eje del

paraboloide.

El paraboloide Hiperbólico (silla de montar)

La ecuación de un paraboloide hiperbólico con eje vertical esta dada por:

2

2

2

2

a

x

b

y

c

z

Tiene forma de silla de montar. Su traza en el plano horizontal para z no

nula es una hipérbola, o dos rectas que se interceptan si z=0.

Su traza en un plano vertical paralelo al plano XZ es una parábola que

se abre hacia abajo, mientras que su traza en un plano paralelo al plano

YZ es una parábola que se abre hacia arriba. En particular, la traza de un

paraboloide hiperbólico del plano XZ es una parábola que se abre hacia

abajo desde el origen, mientras que su traza en el plano YZ es una

parábola que se abre hacia arriba desde el origen. Por tanto, el origen

se ve como un máximo local desde una dirección pero como mínimo

local desde la otra. A tal punto se le llama silla de montar.

Las trazas horizontales son elipses y las trazas verticales son hipérbolas.

El eje de simetría corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo.

La superficie es conexa, lo que significa que es posible viajar de un

punto de ella a otro, sin dejar la superficie. Por esta razón, se dice que

tiene una hoja, en contraste con el hiperboloide de dos hojas. Si en la

ecuación a=b, el hiperboloide de una hoja es una superficie de

revolución.

La ecuación de un Hiperboloide de una hoja con eje vertical esta dada por:

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

El Hiperboloide de una hoja

Su grafica presenta simetría con respecto a los tres planos coordenados y

su superficie queda separada en dos partes esto justifica su nombre. Si el

eje vertical coincide con el eje OZ, sus trazas horizontales para z=k, no

nula, son elipses, siempre que k en valor absoluto sea mayor que c, y sus

trazas verticales son hipérbolas. El eje de simetría corresponde a la

variable cuyo coeficiente es positivo. Los dos signos menos en la

ecuación indican dos hojas. A continuación se dan las ecuaciones del

hiperboloide de dos hojas considerando su eje de simetría horizontal:

El Hiperboloide de dos hojas:

La ecuación de un Hiperboloide de dos hojas con eje vertical esta dada por:

12

2

2

2

2

2

b

y

a

x

c

z

12

2

2

2

2

2

c

z

a

x

b

y1

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

La ecuación de un cono elíptico con eje vertical esta dada por la ecuación:

El cono elíptico:

02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Al tener eje vertical que coincide con el eje OZ, las trazas horizontales son

elipses y las verticales en los planos de ecuaciones x=k e y=k son

hipérbolas siempre que k sea no nulo, pero son dos rectas que pasan por

el origen si k=0.

Cono elíptico con eje OX, su ecuación es: 02

2

2

2

2

2

a

x

c

z

b

y

Cono elíptico con eje OY, su ecuación es: 02

2

2

2

2

2

b

y

c

z

a

x