INSTITUTO POLITCNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERA MECNICA Y ELCTRICAUNIDAD PROFESIONAL ZACATENCOINGENIERA EN COMUNICACIONES Y ELECTRNICATEORIA DE RADIADORES ELECTROMAGNTICOSPROFESOR: GILLEN IBARRA EDUARDOGRUPO: 5CV5ECUACIONES DE MAXWELLMORALES LOPEZ PEDRO2013300691

FECHA DE ENTREGA: 2/SEPTIEMBRE/2014ECUACIONES DE MAXWELLLas ecuaciones de Maxwell permitieron ver en forma clara que la electricidad y el magnetismo son dos manifestaciones de un mismo fenmeno fsico, el electromagnetismo. El fenmeno era similar a la gravitacin, cuyas leyes fueron descubiertas por Newton; as como un cuerpo masivo produce una fuerza gravitacional sobre otro, un cuerpo elctricamente cargado y en movimiento produce una fuerza electromagntica sobre otro cuerpo cargado. La diferencia ms importante es que la magnitud y la direccin de la fuerza electromagntica dependen de la carga del cuerpo que lo produce y tambin de su velocidad; por esta razn, la teora del electromagnetismo es ms complicada que la teora newtoniana de la gravitacin, y las ecuaciones de Maxwell son ms complejas que la frmula de Newton para la fuerza gravitacional. Un aspecto comn entre la gravitacin y el electromagnetismo es la existencia de una aparente accin a distancia entre los cuerpos, accin que tanto disgustaba a Newton. Maxwell no resolvi ese problema, pero invent un concepto que desde entonces se ha utilizado constantemente en la fsica: el campo electromagntico. Segn esta interpretacin, en todo punto del espacio alrededor de una carga existe una fuerza electromagntica, cuya intensidad y direccin estn definidas por medio de unas frmulas matemticas. En realidad, ms que un concepto, el campo es una definicin que da cierta consistencia a la idea de que una carga elctrica acta sobre otra lejana, sin tener que recurrir a una accin a distancia. Slo en el siglo XX se pudo encontrar cierta base fsica a este concepto, pero en tiempos de Maxwell el campo electromagntico era una nocin matemtica sumamente til, descrita por ecuaciones, pero cuya realidad fsica trascenda toda interpretacin terica. El primer xito, y el ms notable, de la teora de Maxwell fue la elucidacin de la naturaleza de la luz. Maxwell demostr, a partir de sus ecuaciones matemticas, que la luz es una onda electromagntica que consiste en oscilaciones del campo electromagntico. As quedaba establecida, ms all de cualquier duda, la naturaleza ondulatoria de la luz, tal como lo pensaba Huygens y en contra de la opinin de Newton.La gran contribucin de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos aos de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos elctricos y magnticos en un solo concepto: el campo electromagntico.

LAS CUATRO ECUACIONES DE MAXWELL

Estas cuatro ecuaciones junto con lafuerza de Lorentzson las que explican cualquier tipo de fenmeno electromagntico. Una fortaleza de las ecuaciones de Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades, salvo de pequeas excepciones, y que son compatibles con larelatividad especialygeneral. Adems Maxwell descubri que la cantidadera simplemente lavelocidad de la luzen el vaco, por lo que la luz es una forma deradiacin electromagntica. Los valores aceptados actualmente para la velocidad de la luz, la permitividad y la permeabilidad magntica se resumen en la siguiente tabla:

DETALLES DE LAS 4 ECUACIONES

LEY DE GAUSS

La ley de Gauss explica la relacin entre el flujo delcampo elctricoy una superficie cerrada. Se define comoflujo elctrico() a la cantidad defluido elctricoque atraviesa una superficie dada. Anlogo alflujode lamecnica de fluidos, este fluido elctrico no transporta materia, pero ayuda a analizar la cantidad de campo elctrico () que pasa por una superficie S.3Matemticamente se expresa como:

La ley dice que el flujo del campo elctrico a travs de una superficie cerrada es igual al cociente entre lacarga(q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la superficie y lapermitividad elctricaen el vaco (), as:

La forma diferencial de la ley de Gauss, en forma local, afirma que ladivergenciadel campo elctrico es proporcional a la densidad de carga elctrica, es decir,

Dondees la densidad de carga en el medio interior a la superficie cerrada. Intuitivamente significa que el campo Edivergeo sale desde una carga, lo que se representa grficamente comovectoresque salen de la fuente que las genera en todas direcciones. Por convencin si el valor de la expresin es positivo entonces los vectores salen, si es negativo estos entran a la carga.Para casos generales se debe introducir una cantidad llamadadensidad de flujo elctrico() y nuestra expresin obtiene la forma:

LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNTICO

Experimentalmente se lleg al resultado de que loscampos magnticos, a diferencia de loselctricos, no comienzan y terminan en cargas diferentes. Esta ley primordialmente indica que laslneasde los campos magnticos deben ser cerradas. En otras palabras, se dice que sobre una superficie cerrada, sea cual sea sta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo, esto expresa la inexistencia delmonopolo magntico. Al encerrar un dipolo en una superficie cerrada, no sale ni entra flujo magntico por lo tanto, el campo magntico no diverge, no sale de la superficie. Entonces la divergencia es cero6Matemticamente esto se expresa as:

dondees la densidad deflujo magntico, tambin llamadainduccin magntica. Es claro que la divergencia sea cero porque no salen ni entran vectores de campo sino que este hace caminos cerrados. El campo no diverge, es decir la divergencia de B es nula.Su forma integral equivalente:

Como en la forma integral del campo elctrico, esta ecuacin slo funciona si la integral est definida en una superficie cerrada.

LEY DE FARADAY-LENZ

La ley deFaradaynos habla sobre lainduccin electromagntica, la que origina unafuerza electromotrizen uncampo magntico. Es habitual llamarla ley de Faraday-Lenz en honor aHeinrich Lenzya que el signo menos proviene de laLey de Lenz. Tambin se le llama como ley de Faraday-Henry, debido a queJoseph Henrydescubri esta induccin de manera separada a Faraday pero casi simultneamente.Lo primero que se debe introducir es la fuerza electromotriz (), si tenemos un campo magntico variable con el tiempo, una fuerza electromotriz es inducida en cualquiercircuito elctrico; y esta fuerza es igual a menos la derivada temporal delflujo magntico, as: ,como el campo magntico es dependiente de la posicin tenemos que el flujo magntico es igual a:.Adems, el que exista fuerza electromotriz indica que existe uncampo elctricoque se representa como:

con lo que finalmente se obtiene la expresin de laley de Faraday:

Lo que indica que un campo magntico que depende del tiempo implica la existencia de un campo elctrico, del que su circulacin por un camino arbitrario cerrado es igual a menos la derivada temporal del flujo magntico en cualquier superficie limitada por el camino cerrado.El signo negativo explica que el sentido de la corriente inducida es tal que su flujo se opone a la causa que lo produce, compensando as la variacin de flujo magntico (Ley de Lenz).La forma diferencial local de esta ecuacin es:

Es decir, elrotacionaldel campo elctrico es la derivada de la induccin magntica con respecto al tiempo.Se interpreta como sigue: si existe una variacin de campo magntico B entonces este provoca un campo elctrico E o bien la existencia de un campo magntico no estacionario en el espacio libre provoca circulaciones del vector E a lo largo de lneas cerradas. En presencia de cargas libres, como los electrones, el campo E puede desplazar las cargas y producir una corriente elctrica. Esta ecuacin relaciona los campos elctrico y magntico, y tiene otras aplicaciones prcticas cmo losmotores elctricosy losgeneradores elctricosy explica su funcionamiento. Ms precisamente, demuestra que un voltaje puede ser generado variando el flujo magntico que atraviesa una superficie dada.

LEY DE AMPERE GENERALIZADA

Ampereformul una relacin para uncampo magnticoinmvil y unacorriente elctricaque no vara en eltiempo. Laley de Amperenos dice que la circulacin en un campo magntico () a lo largo de una curva cerrada C es igual a ladensidad de corriente() sobre la superficie encerrada en la curva C, matemticamente as:

dondees lapermeabilidad magnticaen el vaco.Pero cuando esta relacin se la considera con campos que s varan a travs del tiempo llega a clculos errneos, como el de violar laconservacin de la carga.Maxwell corrigi esta ecuacin para lograr adaptarla a campos no estacionarios y posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente porHeinrich Rudolf Hertz.Maxwell reformul esta ley as:

En el caso especfico estacionario esta relacin corresponde a la ley de Ampere, adems confirma que uncampo elctricoque vara con el tiempo produce un campo magntico y adems es consecuente con el principio de conservacin de la carga.9En forma diferencial, esta ecuacin toma la forma:

En forma sencilla esta ecuacin explica que si se tiene un conductor, un alambre recto que tiene una densidad de corriente J, esta provoca la aparicin de un campo magntico B rotacional alrededor del alambre y que el rotor de B apunta en el mismo sentido que J.

PRINCIPIO DE CONSERVACIN DE LA CARGA

Las ecuaciones de Maxwell llevan implcitas elprincipio de conservacin de la carga. El principio afirma que lacargaelctrica no se crea ni se destruye, ni global ni localmente, sino que nicamente se transfiere; y que si en una superficie cerrada est disminuyendo la carga contenida en su interior, debe haber un flujo de corriente neto hacia el exterior del sistema. Es decir la densidad de cargay la densidad de corrientesatisfacen unaecuacin de continuidad.A partir de la forma diferencial de la ley de Ampere se tiene:

que al reemplazar la ley de Gauss y tomar en cuenta que(para cualquier vector), se obtiene:

o bien en forma integral:

ECUACIONES ORIGINALES DE MAXWELL

Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como "las ecuaciones de Maxwell", pero ahora este epteto lo reciben las ecuaciones que agrup Heaviside. La versin de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell realmente contiene solo una ecuacin de las ocho originales, laley de Gaussque en el conjunto de ocho sera la ecuacin G. Adems Heaviside fusion la ecuacin A de Maxwell de la corriente total con laley circuital de Ampreque en el trabajo de Maxwell era la ecuacin C. Esta fusin, que Maxwell por s mismo public en su trabajoOn Physical Lines of Forcede1861modifica la ley circuital de Ampre para incluir lacorriente de desplazamientode Maxwell.Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma vectorial as:

Dnde:

es elvectorintensidaddecampo magntico(llamado por Maxwell comointensidad magntica); es ladensidad de corrienteelctrica yes la corriente total incluida la corriente de desplazamiento; es el campo desplazamiento (desplazamiento elctrico);es la densidad de carga libre (cantidad libre de electricidad); es elvector potencial magntico(impulso magntico); es elcampo elctrico(fuerza electromotriz [no confundir con la actual definicin defuerza electromotriz]);es elpotencial elctricoyes laconductividad elctrica(resistencia especfica, ahora soloresistencia).

Maxwell no consider a los medios materiales en general, esta formulacin inicial usa lapermitividady lapermeabilidaden medios lineales,istroposy nodispersos, a pesar que tambin se las puede usar en medios anistropos.Maxwell incluy el trminoen la expresin de la fuerza electromotriz de la ecuacin D, que corresponde a lafuerza magnticapor unidad de carga en un conductor que se mueve a una velocidad. Esto significa que la ecuacin D es otra formulacin de lafuerza de Lorentz. Esta ecuacin primero apareci como la ecuacin 77 de la publicacinOn Physical Lines of Forcede Maxwell, anterior a la publicacin de Lorentz. En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de Maxwell pero se la considera una ecuacin adicional fundamental en elelectromagnetismo.