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7/17/2019 Taller 3
http://slidepdf.com/reader/full/taller-3-568fd62c83c14 1/2
Electiva de profundizacion I Cod: 8106737
Profesor: Pedro Nel Maluendas Pardo
Taller 3. Mayo 20-2013.
1. Considere un sistema lineal
(1) y = A(t)y
donde A es una matriz n × n de funciones a valor real, continuas y acotadas en R.
a ) Demuestre que para cada (t0, y0) ∈ [0,∞) × Rn existe una unica solucion ϕ(·; t0, y0) definida en
todo [t0,∞).
b) De acuerdo con el item anterior, para t0 ≥ 0 fijo, se puede definir una aplicacion ϕ : Rn →
C ([t0,∞) × Rn) ∩ C 1 ((t0,∞) × R
n), y → ϕ(·; t0, y). Demuestre que ϕ es una inyeccion lineal y
continua.c ) Si y es una solucion tal que y(t0) = 0 para algun t0 ≤ 0, pruebe que y(t) = 0 para todo t ≥ 0.
d ) Si k > n, cualquier conjunto de k soluciones de (1) es linealmente dependiente.
e ) Demuestre que existen n funciones linealmente independientes y1, . . . , yn, soluciones de (1).
f ) Cada solucion y de (1) es de la forma y = c1y1 + . . . + cnyn, por tanto, el espacio de soluciones
de (1) es un espacio n-dimensional isomorfo a Rn.
g ) Al conjunto de n soluciones {y1, . . . , yn} se le llama sistema fundamental de soluciones . Pruebe
que un sistema fundamental de soluciones queda unıvocamente determinado por n vectores lin-
ealmente independientes en Rn.
h ) Un conjunto de soluciones de (1) {y1, . . . , yn}, define una matriz Y (t) cuyas columnas son pre-cisamente {y1, . . . , yn}, en particular si las soluciones forman un sistema fundamental, la matriz
es llamada matriz fundamental . Demuestre que si C es una matriz y Y (t) es una matriz de solu-
ciones, entonces la matriz Y (t)C es una matriz de soluciones de (1). Adem as, si C es invertible y
Y (t) es una matriz fundamental, entonces Y (t)C es una matriz fundamental.
i ) Fije t0 ≥ 0. Demuestre que existe una matriz fundamental X (t) tal que para cada matriz funda-
mental Y (t) se tiene que Y (t) = X (t)Y (t0).
j ) Demuestre que
d
dt(det X (t)) t=t0= trz A(t0)
donde X es la matriz del item anterior.
k ) Sea Y (t) una matriz fundamental. Si φ(t) = det Y (t), pruebe que φ satisface la ecuacion diferencial
φ = (trz (A(·))φ
en (0,∞). phi(t) es llamado el Wronskiano del sistema fundamental de soluciones.
l ) Demuestre que una matriz de soluciones es una matriz fundamental si y solo si su Wronskiano es
diferente de cero.
2. Explique cual es la diferencia entre un punto de equilibrio y una soluci on de equilibrio de una sistema
de ecuaciones diferenciales y = f (y).
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3. Determine los puntos de equilibrio y las soluciones de equilibrio de los siguientes sistemas de ecua-
ciones.
a) y
= 3y
2
− 3y b) y
= 2y − 1 c) y
=
y
3
− 7y + 6 d) y
= e
y
e)
x = 3x − 2y
y = 2x + 3yf)
x = x + 2y
y = 2x + 4yg)
x = x − 2y + z
y = x + y
z = x − z
h)
x = xy − 1
y = x − y
i)
x = x − y
y = x + y j) y = seny k)
x = −y
y = z
z = −y + z
4. ¿Cuales de los sistemas del item anterior son lineales?
5. Realice un analisis completo de estabilidad de la solucion de equilibrio de cada una de las siguientes
ecuaciones en dimension 1. Realice un grafico de la familia de soluciones.
a) y = ay, a > 0 b) y = ay, a < 0 c) y = 0 d) y = y2
e) y = y − y2 f) y = (y − 1)2 g) y = (y − 1)(y + 2) h) y = y2 − 1.
6. Realice un analisis completo de estabilidad de la solucion de equilibrio de cada una de las siguientes
ecuaciones en dimension 2. Realice un diagrama (retrato) de fases de las soluciones.
a)
x = x − y
y = x + yb)
x = y
y = xc)
x = y
y = −xd)
x = x − y
y = y
e)
x = x + 2y
y = 2x + yf)
x = −x + 1
2y
y = 2x − yg)
x = x + y
y = −2x − yh)
x = −x − 3y
y = 3x − y
7. Realice un analisis completo de estabilidad de la solucion de equilibrio y = 0 de cada una de las
ecuaciones y = Ay donde la matriz A es dada por:
a) A = 0 de tamano n. b) A =
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
−1 0 −2 0
c) A =
1 −1 1 −1
−3 3 −5 4
8 −4 4 −4
15 −10 11 −11
d) A =
1 0 0
0 −1 3
0 0 −1
e) A =
0 0 0
0 −1 3
0 0 −1
f) A =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 −1 3
0 0 0 −1
