TALLER DE INGRESO - insup.com.arinsup.com.ar/SanFernandoRey/Cuade/Mate.pdf · TALLER DE INGRESO Profesorado en Matemática AÑO 2018 . Profesorado en Matemática ... antes de ello

Provincia del Chaco

Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología

INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR “SAN FERNANDO REY”

TALLER DE INGRESO

Profesorado en Matemática

AÑO 2018

Profesorado en Matemática Año 2018 Provincia del Chaco

Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR

“SAN FERNANDO REY”

-

Página 2

ÍNDICE

Módulo I Conjuntos Numéricos-Operaciones…………………………. Pág. 3 Módulo II Función, Función Lineal y Cuadrática……………………..Pág. 17 Módulo III Ecuación Lineal, Cuadrática y Sistema de Ecuaciones …………………………………….Pág. 27 Módulo IV Expresiones Algebraicas…………………….………………..Pág. 31




-

Página 3

MODULO I - CONJUNTOS NUMÉRICOS, OPERACIONES Y PROPIEDADES1 UN POCO DE HISTORIA NATURALES: Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el hombre usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Luego aparecen los símbolos gráficos como por ejemplo marcas en una vara. En la Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla. Este sistema de numeración fue adop-tado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postula-dos, que después precisó Peano, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. El conjunto de los números naturales es . ENTEROS: Los números negativos antiguamente conocidos como “números deudos” o “números absurdos”, datan de una época donde el interés central era el de convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza. Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo V, en Oriente, y no llega hasta Occidente hasta el siglo XVI. En Oriente se manipulaban números positivos y negativos, utilizando los ábacos, con tablillas o bolas de diferentes colores. Sin embargo, los chinos no aceptaron la idea de que un número negativo pudiera ser solución de una ecuación. Corres-ponde a los Indios la diferenciación entre números positivos y negativos, que interpretaban como créditos y débitos, respectivamente, distinguiéndolos simbólicamente. La difusión de los símbolos germánicos (+) y (-), se popularizó con el matemático alemán Stifel (1487 – 1567) en el siglo XV, antes de ello se utilizaba la abreviatura de p para los po-sitivos y m para los negativos. El hombre, visto en la imposibilidad de realizar, la operación de resta, por ejemplo 5 – 9 que resulta un número que no es natural, crea otro conjunto, que es el conjunto de los números negativos. Los números naturales junto con los negativos y el cero, formarán luego el con-junto de los números enteros, definido como:

RACIONALES: Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1. En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, famoso, entre otras cosas por la serie de Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y deno-minador en las fracciones. A principios del siglo XV, el árabe Al Kashi fue el que generalizó el uso de los números de-cimales tal y como los conocemos hoy.

1Elaborado por: Lic. Lelia Plaquin, Mg. Laura Ochoa Gabriela Melgarejo y Merecedes Flores




-

Página 4

A finales del siglo XVI, Simon Stevin desarrolló y divulgó las fracciones decimales que se expresaban por medio de números decimales: décimas, centésimas, milésimas, etc., pero los escribía de una forma complicada; así para 456, 765 escribía 456 (0) 7(1) 6(2) 5(3). A principios del siglo XVII, los números decimales ya aparecieron tal y como los escribi-mos hoy, separando con un punto o una coma la parte entera de la parte decimal. Los nú-meros decimales se impusieron, en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal, en el siglo XVIII, concretamente en 1792. Las divisiones del tipo4 : 5 carece de sentido en los enteros. Surge, por tanto, la necesi-dad de extender el sistema de los números enteros, a uno nuevo en el que tengan sentido tales operaciones, creándose así el sistema de los números racionales, que se simboliza

con la letra Q y se define como:

REALES: Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento prescindían del rigor y fundamento lógico, tan exi-gente en los enfoques teóricos de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y pro-blemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear en la matemática, una base rigu-rosa del concepto de número real. Aparecen números de creación académica de la Matemáticas que no tienen nada que ver

con la realidad. El ejemplo, el número , , llamados números irracionales. La unión de los dos tipos de números, racionales e irracionales, constituyen los números reales y se simboliza con la letra ℝ.

NATURALES: 1.- Algunas características de los números naturales son:

I. Todo número mayor que 1 va después de otro número natural. II. Entre dos números naturales no consecutivos siempre hay un número finito de natu-

rales. III. Dado un número natural cualquiera, siempre existe otro natural mayor que este.

IV. Entre el número natural y su sucesor no existe ningún número natural. V. Es un conjunto discreto

2.- Las operaciones que se verifican son: I. Adición: dados dos números naturales cualesquiera considerados sumandos,

la suma de ambos también es un natural. Por ej.: 12 + 35 = 47 II. Multiplicación: dados dos números naturales cualesquiera considerados facto-

res, el producto de ambos también es un natural. Por ej.: 12 . 30 = 360




-

Página 5

Para resolver operaciones del tipo 35 – 50 = -15 ó 10 : 4 = 2,5 se deben recurrir a otros campos numéricos. 3.- Las propiedades que se cumplen son: Adición:

I. Ley de cierre: 2 es un natural y 4 es un natural luego 2 + 4 = 6 es un natural II. Ley conmutativa: 15 + 13 = 13 + 15 III. Ley asociativa: 10 + ( 15 + 13) = (10 + 15) + 13

Multiplicación:

I. Ley de cierre : 2 es un natural y 4 es un natural, luego 2.4 = 8 es un natural II. Ley conmutativa: 8.3 = 3.8 III. Ley asociativa: (8.3). 5 = 3.(8.5) IV. Elemento neutro: el 1 es el neutro ya que 3 .1 = 1 . 3 = 3

Ley distributiva del producto respecto de la adición: 3. (2 + 5) = 3.2 + 3.5 ENTEROS: Las siguientes notaciones indican:

Z+ como los enteros positivos Z-, como los enteros negativos El cero no tiene signo, es neutro, vale decir no es positivo ni negativo; más aún es el

nexo entre estos dos. Las reglas de los signos - Operaciones con números enteros Para operar con números enteros generalmente es necesario memorizar las reglas de los signos:

Más por más, es más: (+) x (+) = (+) Por ejemplo: (+ 2) x (+ 6) = + 12 Más por menos, es menos: (+) x (-) = (-) Por ejemplo (- 2) x (+ 6) = - 12 Menos por menos, es más: (-) x (-) = (+) Por ejemplo (- 2) x (- 6) = + 12

¿Razonamos juntos, para encontrar el significado de estas reglas? El resultado del cálculo pues dado que se trata de una suma de opuestos y que la multiplicaciónpor cero da por resultado 0. Pero como al ampliar los conjuntos numéricos pasando de los naturales a los enteros se mantienen las propiedades de los naturales, entre ellas, la propiedad distributiva de la multi-plicación respecto de la suma. En el siguiente el cálculo y aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, se tiene:

.

¡Hemos probado entonces la conocida regla más por menos es menos! ¿Seguimos redescubriendo la regla de signos? Dado el siguiente cálculo:

, ya que se trata de una suma de opuestos y que la multiplicación por cero da por resultado 0. Pero




-

Página 6

¡Hemos probado entonces la conocida regla menos por menos es más! RACIONALES

I. Fracciones de las formas:

II. Decimales: a. Decimales con un número finito de cifras decimales. Por ejemplo:

217.8092,17809

100.00

b. Decimales con infinitas cifras decimales periódicas. Por ejemplo:

4,0777 4,07

Operaciones:

I. Aditivas: procedimientos no convencionales – expresiones equivalentes – y algorít-micos.

;

II. Multiplicación: asociada a la noción de superficie. El sgte. problema permitirá encon-trar el significado a la noción de multiplicación entre números fraccionarios.

“La Municipalidad de Villa Ángela donó un sector de un terreno para la construcción de una escuela. El sector construido ocupará 2/3 del ancho ¾ del largo del terreno. ¿Qué superficie ocupará la escuela, si se toma como unidad de medida el área de todo el terreno? “

III. División: asociado al concepto del inverso multiplicativo y la división por la unidad.

La regla dice: “Para dividir un número fraccionario por otro, se multiplica el primer núme-

ro por la fracción inversa del segundo”. Por ejemplo:

Esto es cierto porque cualquier división si se multiplica el dividendo y el divisor por un mismo número, el cociente de la división no cambia. Por ejemplo: 12: 4 = 3, luego 12 x 2 =24 y 4 x 2 = 8, entonces 24: 8 = 3. Esta propiedad se cumple también al dividir números fraccionarios.

En la división Pero la división de cualquier número por 1 da

por resultado ese mismo número, entonces Podemos usar este procedi-

miento para dividir cualquier par de números fraccionarios.




-

Página 7

¡Hemos encontrado el sentido de las técnicas de resolución de las operaciones con fracciones! Observaciones: El conjunto de los racionales es denso, porque entre dos números raciona-les cualesquiera, se pueden encontrar infinitos racionales. CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Desde sus inicios históricos a partir de conocimientos empíricos y como resultado de expe-riencias directas, pasando por los antiguos griegos y su sistematización, la Geometría ha recorrido un largo camino hasta nuestros días. Si consideramos que, como cuerpo de conocimientos matemáticos, la Geometría es la cien-cia que tiene por objeto analizar, organizar y sistematizar los conocimientos espaciales, se torna necesario reflexionar acerca de las similitudes y diferencias entre esas distintas mira-das geométricas, teniendo en cuenta que comparten el mismo objeto de estudio. Los tópicos de geometría abarcados en este módulo brindarán al futuro docente la posibilidad de una visión integradora de muchas cuestiones geométricas en apariencia inconexas. Se trabajará las relaciones existentes entre los conceptos geométricos y los conceptos de otras áreas de la matemática: como ecuaciones, operaciones, etc. Ángulos Se toma un punto del plano y partiendo de ese punto, se trazan dos semirrectas. A la inter-sección formada por las dos semirrectas se le llama ángulo. Definición de ángulo Se llama ángulo a la parte del plano delimitada por dos semirrectas que parten de un mismo origen llamado vértice. A cada semirrecta se le llama lado del ángulo.

Los lados del ángulo son las semirrectas que lo forman. El vértice del ángulo es el punto de intersección es origen de los lados.

Clasificación de ángulos. Los tipos de ángulos son:

Agudo < 90° Recto = 90° Obtuso > 90° Convexo < 180° Llano = 180° Cóncavo > 180° Completo = 360° Nulo = 0°




-

Página 8

Los ángulos pueden nombrarse utilizando letras griegas.

Cómo medir ángulos usando el transportador Medir un ángulo significa determinar su amplitud y, para hacerlo generalmente se utiliza el transportador. Un transportador es un instrumento en forma circular o semicircular y graduado angularmen-te.

Los ángulos se miden en grados sexagesimales. Un grado corresponde a la medida del án-gulo que se forma cuando una circunferencia se divide en 360 partes iguales. Los grados indican la separación de los lados del ángulo. Mientras más separados están los rayos que forman el ángulo, mayor es la cantidad de grados que este mide. Para medir ángulos utilizando el transportador semicircular debes: 1° Colocar el trazo recto del transportador sobre uno de los lados del ángulo. 2° Hacer que el punto medio de ese trazo coincida con el vértice del ángulo. 3° Observar el otro lado del ángulo y su valor según la escala angular del transportador. Si el ángulo está abierto hacia la izquierda debes fijarte en la escala externa y si está abierto ha-cia la derecha en la escala interna. Para medir ángulos utilizando el transportador circular debes: 1° Colocar uno de los lados del ángulo frente al 0°. 2° Hacer coincidir el centro de la circunferencia con el vértice del ángulo. 3° Observar el otro lado del ángulo y su valor según la escala angular del transportador. Triángulo Un triángulo es un polígono de tres lados determinado por tres segmentos de tres rectas que se cortan, denominados lados. Los puntos donde se cortan estos segmentos, y que eviden-temente nunca estarán alineados, se denominan vértices. Elementos básicos del triángulo

Altura es cada una de las perpendiculares trazadas desde un lado al vértice opuesto. Vértices




-

Página 9

Lados Ángulos interiores y exteriores

Clasificación de triángulos Los triángulos se pueden clasificar según diferentes criterios:

Por sus lados Por sus ángulos

Clasificación de triángulos según sus lados

Triángulo equilátero Si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden grados). Triángulo isósceles Si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. Triángulo escaleno Si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.

Clasificación de triángulos según sus ángulos Triángulo Rectángulo Si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa. Triángulo obtusángulo Si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90° ); los otros dos son agudos (menor de ). Triángulo acutángulo Cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo. Triángulo equiángulo Normalmente se llama Triángulo equilátero y ya se ha comentado anteriormente. Propiedades generales




-

Página 10

CUADRILÁTEROS Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados y por lo tanto cuatro vértices que se nom-bran como en el ejemplo de la figura

. La diagonal es el segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono. En el ca-so de los cuadriláteros tenemos dos: AC y BD. Cada diagonal de un cuadrilátero divide a este en dos triángulos. Siempre: la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero suma 360º. CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS

La primera gran división que podemos realizar es cuadriláteros convexos y cuadriláteros no convexos, llamados puntas de flecha o deltoides.

CUADRILÁTERO CONVEXO CUADRILÁTERO NO CONVEXO (CÓNCA-VO)

Cada uno de los ángulos interiores es menor de 180º. O bien, dados dos puntos cualesquiera inte-riores al cuadrilátero, el segmento que los une tiene todos sus puntos interiores al cua-drilátero.

Uno de los ángulos (D) es mayor de 180º. Podemos encontrar dos puntos, P, Q, tales que el segmento PQ tenga puntos, X, exterio-res al cuadrilátero

Atendiendo al paralelismo de sus lados se pueden clasificar en dos grupos principa-les:

o Paralelogramos: son aquellos cuadriláteros que tienen todos los lados opuestos pa-ralelos dos a dos. Como características generales de los paralelogramos podemos enumerar las siguientes: Los lados opuestos siempre son iguales. Miden lo mismo. También son iguales sus ángulos opuestos. Dos ángulos consecutivos son complementarios. Las diagonales se bisecan, es decir, se cortan en sus puntos medios y ambos que-dan divididos en sus mitades. Cada diagonal divide al paralelogramo en dos triángulos iguales.




-

Página 11

Cuadrado: es el cuadrilátero regular. Por lo tanto todos sus lados y ángulos son iguales. Dichos ángulos son rectos (90º). Sus dos diagonales son iguales y se cortan formando también ángulos rectos.

Rectángulo: son cuadriláteros que tienen los lados opuestos iguales dos a dos y ángulos rectos (90º). Sus diagonales también son iguales, pero al cor-tarse no forman ángulo de 90º.

Rombo: es un cuadrilátero que tiene los cuatro lados iguales, pero sus ángu-los (distintos a 90º) sólo son iguales al opuesto. Sus diagonales tienen medi-da distinta, pero si forman ángulo recto.

Romboide: son cuadriláteros que tienen lados y ángulos que solamente son iguales a su opuesto. Sus diagonales no miden lo mismo y se cortan forman-do ángulos distintos a 90º.

Otra característica particular es que en el cuadrado y el rombo, las diagonales son las bisec-trices de los ángulos de la figura.

o No paralelogramos: son todos aquellos cuadriláteros que no cumplen la condición de los paralelogramos. Dentro de esta categoría podemos distinguir dos grandes grupos.

Trapecios: Son cuadriláteros que sólo tienen dos lados opuestos iguales. A su vez se pueden clasificar en tres tipos.

Trapecios rectángulos: tienen dos ángulos rectos. Trapecios isósceles: sus lados no paralelos miden lo mismo y sus án-

gulos son iguales dos a dos. Trapecios escalenos: tienen todos los ángulos y lados desiguales.

Trapezoides: Son cuadriláteros que no tienen ningún lado paralelo a otro. A su vez se pueden clasificar en tres tipos.

Trapezoides rectángulos: tienen un ángulo recto. Trapezoides bisósceles: tienen dos pares de lados iguales y son con-

secutivos. También tiene dos ángulos opuestos iguales. Sus diagona-les forman ángulo recto.

Trapezoides escalenos: tienen todos los ángulos y lados desiguales.




-

Página 12

1. Circunferencia Si ponemos una moneda sobre el papel y pasamos un lápiz alrededor de su borde obte-nemos una circunferencia. Con el compás también podemos dibujar una circunferencia. La aguja del compás es el centro. La circunferencia es una curva cerrada de la que todos sus puntos están a la misma dis-tancia del centro.




-

Página 13

2. Elementos de la circunferencia. Radio es un segmento cuyos extremos son el centro y un punto de la circunferencia. Diámetro es una cuerda que pasa por el centro. Equivale a dos radios. El diámetro divide a la circunferencia en dos semicircunferencias. Cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro. Arco es una porción de la circunferencia. La secante corta a la circunferencia en dos puntos. La tangente toca a la circunferencia en un punto. La recta que no toca a la circunferencia se llama exterior.

3.- El círculo La circunferencia es una línea. El aro es un ejemplo de circunferencia. El círculo es una porción de la superficie plana limitada por la circunferencia. Tiene dos dimensiones. La cara de una moneda es un ejemplo de círculo.

4.- Elementos del círculo El diámetro divide al círculo en dos semicírculos. La parte del círculo comprendida entre dos radios y un arco se llama sector circular. Si el sector circular comprende la cuarta parte del círculo, se llama cuadrante. La corona circular es el espacio comprendido entre dos circunferencias concéntricas (que tienen el mismo centro).




-

Página 14

OPERACIONES CON EL SISTEMA SEXAGESIMAL Para operar en el sistema sexagesimal debemos tener en cuenta que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior.

1 h 60 min 60 s

1º 60' 60'' Suma 1º. Se disponen las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minu-tos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.

2º. Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se sumará a los minutos.

3º. Igual para los minutos.




-

Página 15

Resta 1º. Se disponen las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minu-tos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.

2º. Se restan los segundos. Si el minuendo es menor que el sustraendo, pasamos un minuto del minuendo a 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.

3º. Igual con los minutos.

Multiplicación por un número 1º. Se multiplican los segundos, minutos y horas (o grados) por el número.

2º. Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.

3º. Se hace lo mismo para los minutos.

División por un número Dividir 37º 48' 25'' entre 5 1º. Se dividen las horas (o grados) entre el número.

2º. El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos.




-

Página 16

3º. Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minu-tos.

4º. Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.




-

Página 17

MODULO II – FUNCIÓN, FUNCIÓN LINEAL Y FUNCIÓN CUADRÁTICA2

UN POCO DE HISTORIA: LA EVOLUCIÓN DE LA NOCIÓN DE FUNCIÓN EDAD ANTIGUA: La función como variación: Los matemáticos y astrónomos babilónicos, en su intento por aritmetizar las ob-servaciones que eran difícilmente medibles, tales como: compilación de las efeméri-des del sol, de la luna y de los planetas, problemas de variaciones continuas de la luminosidad de la luna en intervalos de tiempo iguales, o los períodos de visibilidad de un planeta en relación con el ángulo que éste forma con el sol, y es por ello que profundizaron métodos cuantitativos tabulando datos, interpolando y extrapolando, en busca de regularidades.

Establecieron relaciones sistemáticas entre las variaciones de las causas y los efectos: los fenómenos sujetos al cambio, tales como el calor, la luz, la distancia, la velocidad, etc. Estas magnitudes variables encierran la presencia potencial de medidas, que las plasmaban en tablas dispuestas en dos columnas, de forma análo-ga a las tablas de valores actuales. La función como proporción:

Si bien las ideas de cambio y de cantidad variable estaban presentes en el pen-samiento griego, los problemas del movimiento, de la continuidad, del infinito habían sido examinados desde la época de Heráclito y de Zenón, y, además una gran parte de la filosofía natural aristotélica estaba consagrada al estudio de estas cuestiones. Es por ello que en el pensamiento griego existía una idea primitiva de función conte-nida en las nociones de cambio y relación entre magnitudes variables y situaban al cambio y al movimiento como algo externo a la Matemática. EDAD MEDIA: La función como gráfica:

El cambio más significativo ocurrido durante la Edad Media estuvo dado por el acercamiento entre la Matemática y las Ciencias de la Naturaleza, y los principales núcleos de desarrollo fueron las escuelas de Oxford y París.

El principal representante de la escuela francesa es Nicolás Oresme, quien ya en el siglo XIV utiliza el grafismo para representar los cambios y así describirlos y com-pararlos. Se vale de segmentos para representar las intensidades de una cualidad de una determinada magnitud continua que depende de otra magnitud continua. Es-tas gráficas representaban las relaciones desde lo cualitativo más que desde lo cuantitativo, pues los gráficos se consideraban como modelos geométricos de las relaciones y no necesitaban representar fielmente dichas relaciones.

2Elaborado por: Lic. LeliaPlaquin, Mg. Laura Ochoa




-

Página 18

Introducción de la representación analítica

A principios del siglo XVII, Fermat y Descartes descubren el mundo de la re-presentación analítica al conectar los problemas de dos ramas de la matemática: la Geometría y el Algebra.

Comienza a formarse la geometría Analítica como un método de expresión de

la relación numérica establecida entre determinadas propiedades de objetos geomé-tricos, utilizando esencialmente el método de las coordenadas. Se sostiene por pri-mera vez la idea de que una ecuación en x e y es un medio para introducir la de-pendencia entre dos cantidades variables. EDAD MODERNA:

Nace en el siglo XVII y continúa con Euler y Lagrange en el siglo XVIII. Se pensaba que las únicas funciones dignas de estudio eran las que podían ser des-criptas por medio de expresiones algebraicas. Se intentaron resolver problemas de la Física. Permanece aún la idea de asignar la variación a las “cantidades”.

Aparece la idea de función no continua. Leibniz habla de “función f(x)”, donde expresa la idea general de dependencia funcional, introduciendo el término función, donde aparece en sus manuscritos en el año 1673. EDAD CONTEMPORÁNEA: La función como correspondencia arbitraria de aplicación

Esta idea de función como aplicación aparece con los últimos trabajos de Euler sobre “funciones arbitrarias”, (siglo XVIII), continuando en el siglo XIX con los de Fourier sobre series trigonométricas y los de Cauchy, Dedenkind y otros sobre números reales.

A partir del problema de la cuerda vibrante de Euler, surge la noción de co-rrespondencia general: se dice que “una cantidad es función de otra u otras”, aunque no se conozca porque operaciones atravesar para llegar de una a la otra.

El término función se corresponde con la expresión f(x), y más tarde se repre-sentará como: f(x). Continúa el uso de los ejes cartesianos y aparece una nueva re-presentación: los diagramas de Venn. FUNCIONES CONCEPTO DE FUNCIÓN: Es una relación entre los elementos de dos conjuntos, de forma que a determinados elementos del primer conjunto se asocian elementos del segundo conjunto de manera unívoca, es decir que a un elemento del primer conjunto no le podemos asociar más de un elemento del segundo conjunto.

A un elemento cualquiera del primer conjunto lo representamos con la letra x,

que denominamos variable independiente y al único elemento que le corresponde




-

Página 19

en el segundo conjunto lo representamos por la letra y, a la que denominamos va-riable dependiente.

A la relación la representamos por la letra f y escribimos y = f(x) Dado que trabajaremos con funciones que van de Reales en Reales, daremos las definiciones basadas en dicho conjunto:

f es una función o aplicación de R en R si y sólo si f es un subconjunto

de R x R que satisface las siguientes condiciones de existencia y unicidad

a) Existencia: b) Unicidad:

La condición de existencia asegura que para cada elemento del primer conjunto de-be existir un elemento del segundo conjunto que se relacione con el primero. (Exis-tencia de la imagen) La Unicidad impone que a un mismo elemento del primer conjunto no le puede co-rresponder más de un elemento del segundo conjunto. (Unicidad de la imagen)

Dominio de una función f: Es el conjunto de valores de x para los que la función f(x) exis-te. Lo representamos por Don (f).

Imagen de una función f: Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y. Lo representamos por Ing. (f).

La siguiente expresión es la definición de función en el lenguaje simbólico

Función real de variable real: Es aquella cuyo dominio y recorrido son subconjuntos del conjunto de los números reales. Las funciones reales de variable real se suelen representar en el plano, utilizando un sistema de referencia denominado sistema de ejes cartesianos.

Se define como Codominio de una función cualquier intervalo real que contuviera a la Ing. (f) o bien todo el conjunto de números reales

Un sistema de referencia y localización de un punto en el plano es el sgte:




-

Página 20

En la figura que sigue, la primera gráfica, no es la gráfica de una función; la segunda, es la gráfica de una función:

En el primer caso, hay valores de x que no están únicamente determinados, es de-cir, existen valores de x para los cuales existe más de una valor de y que le corres-ponda a través de la función (por ejemplo X1 tiene tres valores de y). Recordar que la imagen debe ser única. En el segundo caso a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Es decir, para todos los valores de X del dominio se verifica que tienen una sola imagen.

Una función puede definirse mediante una expresión verbal, una tabla, una fórmula o una gráfica. En general trabajaremos con funciones expresadas mediante una fórmula o expresión analítica y su gráfica.

Según la expresión analítica clasificaremos las funciones (que se trabajarán en 1er. año) de la siguiente forma:




-

Página 21

FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE

Una función f es creciente(A), en un intervalo, si para cualquier par de números x1,

x2 del intervalo. .

Una función f es decreciente (B), en un intervalo si para cualquier par de números

x1,x2 del intervalo, .

Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a,b]. La si-guiente es la representación gráfica de f en el intervalo[a,b].

En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:

Creciente en los intervalos (a,x3),(x5,x6) Decreciente en los intervalos(x3, x5), (x6, b) Adquiere máximo en x3 y en x6 Adquiere mínimo en x5 y en b

FUNCION LINEAL- FUNCION AFIN O POLINOMICA DE PRIMER GRADO Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un poli-nomio de primer grado. Su gráfica es una recta. Esta recta puede ser oblícua positiva (la función es crecien-te), o es oblícua negativa (la función es decreciente), o es horizontal (la función es constante). Se puede observar que la gráfica nunca será una recta vertical, pues no estaría cumpliendo con la condición de unicidad de la imagen




-

Página 22

La función lineal se define por la ecuación f(x) = ax + bóy = ax + b en donde aes la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y. Observación: Algunos textos y/o autores denominan función afín a la expresión f(x) = ax + bóy = ax +

b siendo la función lineal un caso particular de la función afín cuando b = 0 De acuerdo a los textos y/o autores la expresión f(x) = ax + bóy = ax + b puede presen-

tarse con otras letras, como por ejemplo f(x) = ms + n ó y = mx + b Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 ; g(x) = - x + 7 ; h(x) = 4 ; t(x) = 2x

Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2. Vemos que a = 3 y b = 2

(De la forma y = ax + b)

Este número a se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es a = 3. b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y)

Volvamos al ejemplo de las funciones lineales f(x) = 3x+2 Si x es 3, entonces f (3) = 3.3+2 = 11

Si x es 4, entonces f (4) = 3.4+2 = 14 Si x es 5, entonces f (5) = 3.5+2 = 17

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se in-

crementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. g(x) = -3x+7 Si x= 0, entonces g (0) = -3.0 +7 = 0+7 = 7

Si x= 1, entonces g (1) = -3.1 +7 = -3+7 = 4 Si x= 2, entonces g (2) = -3.2 +7 = -6+7 = 1




-

Página 23

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), dis-minuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es De-creciente. h(x) = 4 Si x= 0 , entonces h(0) = 4

Si x= 1 entonces h(1) = 4 Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO

aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X. Esta es la representación grafica de los tres tipos de funciones descriptas, donde

a = m.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0.

La gráfica es una curva en forma de U, que puede estar orientada hacia arriba o hacia aba-jo, y es simétrica con respecto a una recta vertical llamada eje de simetría el cual divide a la gráfica en dos partes iguales y opuestas. En la curva puede observarse también que adquie-re una altura máxima si la curva está orientada hacia abajo, y adquiere una altura mínima si la curva está orientada hacia arriba. También podemos observar que generalmente la gráfi-ca se encuentra “desplazada” con respecto al origen de coordenadas, Más adelante se es-tudiarán las condiciones que influyen sobre la posición de dicha gráfica

La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es una curva simétrica y se llama parábola:.




-

Página 24

Otra función no tan sencilla, cuya representación Gráfica es la siguiente: f(x) = x2 -2 x - 3.

Obtención general del vértice: Sea la parábola y = ax2 + bx + c. Localizado el corte con el eje

Y, (0, c) hallamos su simétrico resolviendo el sistema .

Igualando: a x2 + b x + c = c → a x2 + b x = 0 → x (a x + b) = 0; es decir, x = 0 óax + b = 0 que nos lleva a la solución x = -b/a. La primer coordenada del vérti-ce coincide con el punto medio del segmento de extremos 0 y - b/a, es de-cir, p = –b/2.a Observación: otro modo de presentar la función cuadrática es a través de la expresión: f(x) =(x-h)2 + k, donde h y k son números reales que representan las coordenadas del vértice V (h,k) de la parábola. Por ejemplo: . En el gráfico se observa que h = 2 y k =

1

En la expresión , desarrollando el cuadrado del binomio se obtiene

la siguiente expresión general , que tiene la misma gráfica que

Cortes con los ejes:

a) Ordenada al origen: es la intercepción de la gráfica con el eje Y. En la expresión ge-neral, el termino independiente c es el que brinda esa información.

b) Raíces: son los puntos de intercepción de la gráfica con el eje X, y en dichos puntos la función se anula. La función puede tener 2 (dos) raíces, 1 (una) o ninguna.

Se puede calcular por medio de la fórmula .




-

Página 25

Ejemplos: y = - x2 + 2x + 3 b) y = x2 - 4x + 4 c) y = x2 - 2x + 3

Parábolas del tipo y = ax2(b = 0, c = 0)

En el gráfico se observa que: Cuando a > 0

La parábola más abierta corresponde a la función (A), le sigue la fun-

ción y la más cerrada es la función

Cuando a < 0

La parábola más abierta corresponde a la función (A’), le sigue la

función y la más cerrada es la función

Un resultado importante: La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a de x2, es decir, cualquier parábola del tipo y = ax2 + bx + c tiene la misma forma que la parábola y = ax2.

Parábolas del tipo y = ax2 + c (b = 0)

Las parábolas de ecuación y = ax2

tienen por vértice el punto V (0,0).

Cuanto mayor sea a (en valor abso-luto), más cerrada será la parábola.

Las ramas van hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0.




-

Página 26

La gráfica de g(x) = 2x2 + 3, se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = 2x2, desplazán-dola 3 unidades hacia arriba. El vértice se halla en V (0,3).

La gráfica de h(x) = x2 - 4, se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = x2 , desplazándola 4 uni-dades hacia abajo. El nuevo vértice es V(0,-4).

Parábolas del tipo y = ax2 + bx (c = 0)

La gráfica de las funciones f(x) = 2x2 - 4x ; g(x) = 2x2 + 4xpasa por el punto (0,0). La 1ª coordenada del vértice es -b/2a = 1. Sustituyendo, obtenemos que la 2ª coordenada del vértice es -2. Luego el vértice es V(1,-2). Utilizando la simetría de la parábola podemos ob-tener el punto (2,0).

Si la parábola es del tipo y = ax2 + bx. entonces pasa por el origen de coordenadas y corta también al eje x en el punto (- b/a, 0)

Las parábolas del tipo y = ax2 + c, tienen exactamente la misma gráfica que y = ax2, c uni-dades hacia arriba o hacia abajo – desplazamiento vertical - , según el signo de c y, por lo tanto, su vértice es el punto V(0,c).




-

Página 27

MODULO III - ECUACION LINEAL, CUADRÁTICA Y SISTEMA DE ECUACIONES3

UN POCO DE HISTORIA

ANTIGÜEDAD: Ya en el siglo XVI a. C., los egipcios resolvían problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales que eran equiva-lentes a resolver ecuaciones algebraicas simples de primer grado; como la notación alge-braica no existía, usaban un método iterativo aproximado, llamado el «método de la falsa posición».

El matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Arithmetica en el siglo III tratando las ecuaciones de primer y segundo grado; fue uno de los primeros en utilizar símbolos para representar las ecuaciones. También planteó las ecuaciones con soluciones enteras, llamadas en su honor ecuaciones diofánticas. Siglos XV – XVI: Pasada la “edad oscura” medieval, el estudio de las ecuaciones algebrai-cas experimenta un gran impulso. En el siglo XV estaban a la orden del día los desafíos ma-temáticos públicos, con premios al vencedor; así, un desafío famoso enfrentó a dos mate-máticos a resolver ecuaciones de tercer grado, el vencedor fue Niccolò Fontana Tartaglia,

experto algebrista.

En el XVI, el matemático francés René Descartes popularizó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabe-to, a, b, c, … y las variables o incógnitas por las últimas, x, y, z. Siglos XVII-XVIII: En el siglo XVII, Isaac Newton y Gottfried Leibniz publicaron los primeros métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales que aparecen en los problemas de la dinámica. ÉPOCA MODERNA: A pesar de todos los esfuerzos de las épocas anteriores, las ecuacio-nes algebraicas de quinto grado y superiores se resistieron a ser resueltas; solo se consi-guió en casos particulares, pero no se encontraba una solución general. A principios del siglo XIX, Niels Henrik Abel demostró que hay ecuaciones no resolubles; en particular, mostró que no existe una fórmula general para resolver la ecuación de quinto grado Durante el siglo XIX, las ciencias físicas utilizaron en su formulación ecuaciones diferencia-les en derivadas parciales y/o ecuaciones integrales. El uso habitual de estas ecuaciones y de los métodos de solución llevó a la creación de una nueva especialidad, la física matemá-tica.

Ya en el siglo XX, Albert Einstein utilizó ecuaciones tensoriales para su Relatividad General. Las ecuaciones diferenciales tienen también un amplio campo de aplicación en teoría económica.

Debido a que la mayoría de ecuaciones que se presentan en la práctica son muy di-fíciles o incluso imposibles de resolver analíticamente, es habitual utilizar numéricos para encontrar raíces aproximadas. El desarrollo de la informática posibilita actualmente resolver en tiempos razonables ecuaciones de miles e incluso millones de variables usan-do algoritmos numéricos.

3Elaborado por: Lic. Alicial Bernal, Prof. María Alejandra Mansilla y la colaboración de Mg. Laura Ochoa




-

Página 28

CONCEPTO: Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denomi-nadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógni-tas, relacionados mediante operaciones matemáticas. En cada uno de los miembros hay uno o más términos.

Los valores numéricos que acompañan a la incógnita, de la/s expresión/es algebrai-ca/s, se denominan coeficientes, son llamados términos independientes cuando son sola-mente valores numéricos. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constitu-yen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

La letra x representa la incógnita, mientras que los números 3 y 1 son los coeficien-

tes que acompañan a la incógnita, los números 1 y 9 son los términos independientes.

Resolver una ecuación es encontrar los valores de la incógnita que la satisfacen la igualdad. Resolvamos juntos aplicando propiedades para mantener la igualdad:

Esta ecuación que hemos resuelto forma parte de las denominadas de primer grado con una incógnita.

Se dice que una ecuación es de primer grado o ecuación lineal cuando la variable (x) tiene como exponente a la unidad.

Es de la forma canónica:

Cuando se tienen ecuaciones de primer grado con dos incógnitas de la forma:

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también cono-cido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer gra-do), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de seña-les, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación li-neal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico

Un ejemplo de un sistema de ecuaciones es el siguiente:




-

Página 29

Para encontrar los valores de x e y que verifiquen el sistema se pueden utilizar distin-tos métodos (sustitución, reducción, determinantes) pero en este caso se utilizará como método de resolución el Método de igualación: para aplicar este método debemos despe-jar, en ambas ecuaciones, una de las variables y luego igualar las ecuaciones obtenidas-

Ejemplo:

Resolvamos, aplicando este método de igualación, el sistema

Despejando la variable y de la primera ecuación tendremos

Despejando la variable y de la segunda ecuación tendremos

Como y = y = quedándonos así una ecuación de una única variable: x.

Resolviendo esta ecuación obtenemos el valor de la variable x: x = 2

Reemplazando este valor de x en , por ejemplo, obtenemos el valor de la varia-

ble y: y = 3

Por lo tanto, el conjunto solución de este sistema S = {(2;3)}

Otro método de resolución de un sistema de ecuaciones es el gráfico. Para resolver un sistema de ecuaciones gráficamente se deben representar las rectas obtenidas al despejar la variable y de cada ecuación en un mismo sistema de coordenadas cartesianas.-

Ejemplo: Resolveremos gráficamente el sistema

Despejando la variable y de la primera ecuación tendremos

Despejando la variable y de la segunda ecuación tendremos

Y graficando ambas rectas en un mismo sistema de coordenadas cartesianas, obtenemos:

El conjunto solución de este sistema será S = {(4;2)}




-

Página 30

En los ejemplos resueltos presentados obtuvimos que la solución del sistema era única, pe-ro pueden también presentarse sistemas de ecuaciones que no posean solución, o bien que admitan infinitas soluciones. Los sistemas de ecuaciones se clasifican, según la existencia o no de soluciones, y en el primer caso, el número de ellas, de la siguiente manera:

Sistema compatible: es el que tiene solución. Dependiendo del número de solucio-nes puede ser:

Sistema compatible determinado si tiene una única solución. Sistema compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones.

Sistema incompatible: es el que no tiene solución.

Se dice que una ecuación es de segundo grado o ecuación cuadrática cuando es de la forma canónica donde:

a es el coeficiente principal que acompaña a la variable con exponente 2 o va-riable cuadrática.

b es el coeficiente que acompaña a la variable con exponente 1 o variable lineal. c es el término independiente.

Para su resolución se emplea la siguiente fórmula: donde x1 y

x2 son las soluciones que verifican la ecuación.

Ejemplo: Resolver la ecuación 4x2 – 5x + 1 = 0a = 4 b = -5 c = 1 Reemplazando en la fórmula los coeficientes tendremos:

= = =




-

Página 31

MODULO IV – EXPRESIONES ALGEBRAICAS4 UN POCO DE HISTORIA

EL ÁLGEBRA EN LA ANTIGÜEDAD: Las raíces del álgebra pueden rastrearse hasta la antigua matemática babilónica, que había desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algorítmica. Con el uso de este sis-tema lograron encontrar fórmulas y soluciones para resolver problemas que hoy en día sue-

len resolverse mediante ecuaciones, ecuaciones de segundo grado y ecuaciones indetermi-nadas.

Diofanto (siglo III d.C.), algunas veces llamado «el padre del álgebra», fue un mate-mático alejandrino, autor de una serie de libros intitulados Arithmetica. Estos textos tratan de las soluciones a las ecuaciones algebraicas. Los babilonios y Diofanto utilizaron sobre todo métodos especiales "ad hoc" para resolver ecuaciones, la contribución de Al-Khwarizmi fue fundamental; resuelve ecuaciones lineales y cuadráticas sin el simbolismo algebraico, núme-ros negativos o el cero.

El matemático persa Omar Khayyam desarrolló la geometría algebraica y encontró la solución geométrica de la ecuación cúbica. Otro matemático persa, Sharaf Al-Din al-Tusi, encontró la solución numérica y algebraica a diversos casos de ecuaciones cúbicas; también desarrolló el concepto de función. Los matemáticos indios Mahavirá y Bhaskara II, el mate-mático persa Al-Karaji, y el matemático chino ZhuShijie, resolvieron varios casos de ecua-ciones de grado tres, cuatro y cinco, así como ecuaciones polinómicas de orden superior mediante métodos numéricos.

EDAD MODERNA: Durante la Edad Moderna europea tienen lugar numerosas innovacio-nes, y se alcanzan resultados que claramente superan los resultados obtenidos por los ma-temáticos árabes, persas, indios o griegos. Parte de este estímulo viene del estudio de las ecuaciones polinómicas de tercer y cuarto grado. Las soluciones para ecuaciones polinómi-cas de segundo grado ya era conocida por los matemáticos babilónicos cuyos resultados se difundieron por todo el mundo antiguo.

El descubrimiento del procedimiento para encontrar soluciones algebraicas de tercer y cuarto orden se dieron en la Italia del siglo XVI. Entre los siglos XVI y XVII se consolidó la noción de número complejo, con lo cual la noción de álgebra empezaba a apartarse de can-tidades medibles. Gabriel Cramer también hizo un trabajo sobre matrices y determinantes en el siglo XVIII. También Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange, Adrien-Marie Legendre y numerosos matemáticos del siglo XVIII hicieron avances notables en álgebra.

Durante el Siglo XIX se desarrolló el álgebra abstracta, inicialmente centrada en lo que hoy se conoce como teoría de Galois y en temas de la constructibilidad. Los trabajos de Gauss generalizaron numerosas estructuras algebraicas. La búsqueda de una fundamenta-ción matemática rigurosa y una clasificación de los diferentes tipos de construcciones ma-temáticas llevó a crear áreas del álgebra abstracta durante el siglo XIX absolutamente inde-pendientes de nociones aritméticas o geométricas (algo que no había sucedido con el álge-bra de los siglos anteriores).

4Elaborado por: Prof. Ethel Vechietti; Prof. María Teresa Carrara; Esp. Damián Toledo; Prof. Rubén Rotela; Prof. Beatriz Sán-

chez Parra; Prof.: Marcela Grella y la colaboración de la Lic. Alicia Bernal; Lic. Lelia Plaquín y Mg. Laura Ochoa.




-

Página 32

POLINOMIO

Un monomio es una expresión de la forma , donde a es un número real y k es un entero no negativo. Un binomio es una suma de dos monomios y un trinomio es una suma de tres monomios. En general, una suma de mono-mios se llama polinomio (por poli= muchos).

La notación general de un polinomio es:

Algunos ejemplos son:

P(x) = 8x monomio Q(x) = 7x + 4 binomio D(x) = 8x2 + 2x + 5 trinomio A(x) = 23 polinomio constante E(x) = 0 polinomio nulo

Grado de un Polinomio: El grado del polinomio es el mayor exponente entero no negativo que acompaña a la variable, siempre que su coeficiente sea distinto de cero Polinomio completo: Es aquel que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.- Polinomio ordenado: Un polinomio puede ordenarse de forma creciente o decreciente, siendo los de orden creciente aquellos que tienen a los exponentes de la variable de sus monomios ordenados de menor a mayor, y los de orden decreciente los que se ordenan de mayor a menor. Por ejemplo, el polinomio P(x) = 3x5 – 2x4 + 2x2 + 5x + 2 esta ordenado en forma decrecien-te, y el polinomio Q(x) = 9 - 2x +2x2+7x3 - 6x5 esta ordenado de forma creciente. Un polinomio se l lama irreducible o primo cuando no puede descomponer-se en factores. Por ejemplo: P(x) = x2 + x + 1 OPERACIONES CON POLINOMIOS

1. Adición: Los términos son semejantes si poseen el mismo grado y la su-ma de polinomios resulta de la adición de términos semejantes.

Sean P(x) = 3x2 + 2x + 1 y Q(x) = 4x + 3 y se procede del sgte. Modo

P (x) = 3x2 + 2x + 1

+ Q(x) = 0x2 + 4x + 3

P (x) + Q(x) = 3x2 + 6x + 4

Para la resta de polinomios se opera con el opuesto aditivo. P (x) + [-Q(x)]




-

Página 33

2. Producto: Para multiplicar dos polinomios se aplica la ley distributiva de la multipli-cación con respecto a la adición, es decir, se multiplica cada término del primero por cada término del segundo y luego se sumar los términos semejantes.

Dados P(x) = -x2 +2x +1 y Q(X) = 8x3 + 12x + 9 su producto es:

P(x).Q(x) = (-x2 + 2x+1). (8x3 + 12x+ 9)

= -8x5 – 12x3 –9x2 + 16x4 + 24x2 +18x + 8x3 + 12x + 9

= - 8x5 + 16x4 - 4x3 + 15x2 + 30x + 9

3. División: Para facilitar la operación de división entre polinomios se adopta una dis-posición similar a la utilizada para la división de números de varias cifras. Los poli-nomios deben estar ordenados de decreciente y el polinomio dividendo debe estar completo.

Dados dos polinomios D(x) y d(x), donde el grado de D(x) es mayor que el grado de d(x), se trata de determinar otros dos polinomios C(x) y R(x) tales que: D(x) = C(x).d(x) + R(x) con la condición grado de R(X) <grado de d(X)

Regla de Ruffini

El cociente de dividir un polinomio P(x) por otro polinomio de la forma Q(x) = x – a, dado por potencias decrecientes (y completadas si es necesario, con términos de coeficientes nulos), es otro polinomio igualmente ordenado. Para realizar este cociente se adopta una disposi-ción práctica conocida como la Regla de Ruffini: Ejemplo: Dividir D(x)= x3 – 8x + 5 por d(x)= x – 3

El dividendo ordenado y completo es: D(x) = x3 + 0x2 - 8x + 5 El divisor d(x) = x – 3 donde a = 3

El cociente y resto obtenido son: C(x) = x2 + 3x + 1 y el resto R(x) = 8 Teorema del resto: El resto de la división de un polinomio P(x), por un binomio de la forma es el valor nu-mérico de dicho polinomio para .




-

Página 34

FACTORIZACION DE POLINOMIOS (solamente se trabajarán los sgtes. casos) Factorizar un polinomio P(x) significa transformarlo en el producto de una constante por uno o más polinomios primos de coeficiente principal igual a uno.

1. FACTOR COMÚN

Sacar factor común a un pol inomio consiste en aplicar la propiedad distributiva . Por ejemplo

5·x4 -3·x2 + 8·x = x (5x3 -3x + 8)

Una raíz del polinomio será x = 0

2. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

El cuadrado de un binomio de la forma , es decir de un polinomio de dos términos, se calcula de la siguiente manera . La expresión de la derecha recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto. Por ejemplo: 25x2 + 10xy2 + y4 = (5x + y2)2 De acuerdo con la definición de cuadrado de un binomio resulta que en el trinomio cuadrado perfecto:

Dos de sus términos son cuadrados perfectos. El término restante es el doble producto de las bases de los cuadrados.

3. DIFERENCIA DE CUADRADOS

El producto de la suma por la diferencia de dos términos, nos determina una expre-sión algebraica denominada diferencia de cuadrados . En símbolos, es posi-ble expresarla como

Por ejemplo: x2- 25 = (x - 5).(x + 5) deducimos que (x – 5) y (x + 5) son factores de x2– 25

Documents

TALLER DE INGRESO - insup.com.arinsup.com.ar/SanFernandoRey/Cuade/Mate.pdf · TALLER DE INGRESO Profesorado en Matemática AÑO 2018 . Profesorado en Matemática ... antes de ello