Universidad de Guanajuato División de Ingenierías

Facultad de Ingeniería Civil

Tarea No.1

Dinámica

Grupo: 401C

Equipo: Civiles

Profesor: Dr. Israel Quirós Rodríguez

Fecha de entrega: 17 de Febrero del 2015

1. Un ciclista parte del reposo y después de viajar a lo largo de una trayectoria recta una distancia de 20m alcanza una rapidez de 30km/h. Determine su aceleración si esta es constante. Calcule, además, cuánto le toma alcanzar la rapidez de 30km/h. Datos:

𝑑0 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑜

𝑑𝑓 = 20 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 �̇� =30 km/h o 8.33m/s �̈� = 𝑐𝑡𝑒 Partiendo de nuestro modelo matemático

�̈� =∆�̇�

∆𝑡 = lim∆𝑡→0

∆�̇�

∆𝑡=

𝑑�̇�

𝑑𝑡

�̇�−𝑥0̇

𝑡−𝑡0= �̈� 1

Despejando ecuación 1 obtenemos

𝑥�̇� = �̇�0 + 𝑥�̈� 2

De la ecuación 𝑑 = (�̇�+�̇�𝑓

2)𝑡

Obtenemos el tiempo en que recorrió la distancia.

20𝑚 = (8.33

2) 𝑡

𝑡 = 4.80𝑠 Ahora de la ecuación 2 obtenemos la aceleración

8.33 = �̈�(4.80)

�̈� = 1.73𝑚

𝑠2

2. Una pelota de béisbol es lanzada hacia abajo desde una torre de 50 metros de altura con una rapidez inicial de 10km/h. Determine con qué rapidez la pelota toca el suelo y que tiempo demora en hacerlo. Datos:

𝑑0 = 50 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑓 = 0 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 �̇� =10 km/h o 2.77m/s �̈� = 9.81 𝑚/𝑠2

Partiendo de nuestro modelo matemático

�̈� =∆�̇�

∆𝑡 = lim∆𝑡→0

∆�̇�

∆𝑡=

𝑑�̇�

𝑑𝑡

�̇�−𝑥0̇

𝑡−𝑡0= �̈� 1

�̇� = 30𝑘𝑚/ℎ

d=20m

Despejando ecuación 1 obtenemos

𝑥�̇� = �̇�0 + 𝑥�̈� 2 Integramos la ecuación 2, obtenemos:

�̇�2 = �̇�02 + 2𝑥�̈�

Sustituimos los datos dados para encontrar la velocidad con que llega al suelo.

�̇�2 = (2.77)2 + 2(9.81)(50)

�̇� = 31.44 𝑚/𝑠

De la ecuación 𝑑 = (�̇�+�̇�𝑓

�̈�)𝑡

Obtenemos el tiempo en que tocara el suelo.

𝑡 = (31.44 − 2.77

9.81)

𝑡 = 2.92𝑠 3. La posición de una partícula a lo largo de una línea recta está dada por: x(t) = t3- 9t2 + 15t; Donde la posición se da en metros y t en segundos. Determine la máxima aceleración y máxima velocidad de la partícula durante el intervalo de tiempo 0 <_ t <_ 10s.

Partiendo del vector de posición de la partícula: x(t) = t

3- 9t

2 + 15t;

Derivamos la ecuación del vector posición para obtener el vector de velocidad.

�̇� =𝑑𝑥

𝑑𝑡= 3𝑡2 𝒊 − 18𝑡 𝒋 + 15 𝒌

Derivamos la ecuación del vector velocidad para obtener el vector de aceleración.

�̈� =𝑑�̇�

𝑑𝑡= 6𝑡 𝒊 − 18 𝒋

Ahora cuanto t=10s, sustituimos para hallar la máxima velocidad y máxima aceleración

�̇�(10) = 3(10)2 𝒊 − 18(10)𝒋 + 15 𝒌 �̇�(10) = 350.17𝑚/𝑠

�̈�(10) = 6(10) 𝒊 − 18 𝒋 �̈�(10) = 62.64 𝑚/𝑠2

4. En las etapas finales de alunizaje, modulo lunar desciende bajo el impulso de su propio motor a una altura h = 5m de la superficie lunar, donde tiene una velocidad de descenso de 2m/s. Si el motor de descenso es apagado bruscamente en este punto, calcular la velocidad del impacto del tren de aterrizaje contra la Luna. La gravedad lunar es 1=6 de la gravedad terrestre.

Datos:

ℎ = 5 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 �̇� = 2 m/s �̈� = 1.635 𝑚/𝑠2

Partiendo de nuestro modelo matemático

�̈� =∆�̇�

∆𝑡 = lim∆𝑡→0

∆�̇�

∆𝑡=

𝑑�̇�

𝑑𝑡

�̇�−𝑥0̇

𝑡−𝑡0= �̈� 1

�̈� = 1.635

�̇� = �̈�𝑡 + 𝑥�̇�

ℎ =�̈�𝑡2

2+ �̇�𝑡

De la ecuación de nuestro modelo matemático tenemos que:

ℎ =�̈�𝑡2

2+ �̇�𝑡

Sustituyendo datos

5 =1.635𝑡2

2+ 2𝑡

Nos obtenemos una cuadrática

0.8175𝑡2 + 2𝑡 − 5 = 0 Nos da dos valores t=1.53s y t=-3.98s De estos valores tomaremos el positivo que es de t=1.53s De la ecuación de nuestro modelo matemático.

�̇� = �̈�𝑡 + �̇�𝑖 Sustituimos

�̇� = 2 + (1.635)(1.53)

�̇� = 4.5 𝑚/𝑠

5. Se dispara un proyectil hacia arriba con una velocidad inicial de 200m/s. Calcular la altura máxima h alcanzada por el proyectil y el tiempo de vuelo t (tiempo que tarda en retornar al suelo desde el momento del disparo). Despreciar la resistencia del aire y considerar la aceleración de la gravedad constante: g = 9; 81m/s2. Datos del problema: 𝑣𝑜 = 200

𝑚

𝑠

𝑔 = 9.81𝑚

𝑠

Calcular h máx.= ? t total= ? Ahora partiendo de nuestro modelo matemático tenemos estas ecuaciones:

�̈� = −𝑔

�̇� = −𝑔𝑡 + 𝑐1

ℎ =−𝑔𝑡2

2+ 𝑐1𝑡 + 𝑐2

Empleando las condiciones iniciales para satisfacer los valores de 𝑐1 𝑦 𝑐2 �̇�(0) = 𝑣0

ℎ(0) = 𝑥0

Sustituyendo tenemos que:

�̇�(0) = 200𝑚

𝑠= 𝑐1

ℎ(0) = 0 = 𝑐2 De nuestra ecuación de velocidad

�̇�(𝑡) = 0 = −𝑔𝑡 + 𝑐1

𝑡 =𝑐1

𝑔=

200 𝑚 𝑠⁄

9.81 𝑚 𝑠2⁄

𝑡 = 20.39 𝑠

ℎ 𝑚𝑎𝑥 = ℎ(𝑡) = −𝑔𝑡2

2+ 𝑐1𝑡

ℎ 𝑚𝑎𝑥 = −(9.81 𝑚 𝑠2⁄ )(20.39 𝑠)2

2+ (200 𝑚 𝑠⁄ )(20.39 𝑠)

ℎ 𝑚𝑎𝑥 = 2038.74 𝑚

Cuando alcanza ℎ 𝑚𝑎𝑥 :

�̇�(0) = 0 = 𝑐1 ℎ(0) = 2038.74 𝑚 = 𝑐2

Al llegar al suelo:

ℎ(𝑡1) = 0 = −𝑔𝑡2

2+ 𝑐2

𝑡1 = ±√2𝑐2

𝑔= √

2(20.38.74 𝑚)

(9.81 𝑚 𝑠2)⁄= 20.39 𝑠

Tiempo de vuelo total:

𝑡 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑡 + 𝑡1 = 20.39 𝑠 + 20.39 𝑠 = 40.78 𝑠

6. La velocidad de una partícula está dada por v = 16𝑡2i + 4𝑡3j + (5t + 2)k; medida en m/s. Si la partícula está en el origen cuando t = 0, determine la magnitud de su aceleración cuando t = 2s. ¿Cuáles son las coordenadas de posición de la partícula en ese instante? Datos:

�̇� = 16𝑡2𝒊 + 4𝑡3𝒋 + (5𝑡 + 2)𝒌

Partiendo de la ecuación del vector velocidad:

�̇� = 16𝑡2𝒊 + 4𝑡3𝒋 + (5𝑡 + 2)𝒌

Derivamos la ecuación del vector velocidad para obtener el vector de aceleración.

�̈� =𝑑�̇�

𝑑𝑡= 32𝑡 𝑖 + 12 𝑡2 𝑗 + 5 𝑘

Ahora de la ecuación del vector velocidad integramos para obtener el vector de posición:

∫ 𝑑𝑥 = ∫ �̇�𝑑𝑡 = 16

3𝑡3𝑖 + 𝑡4𝑗 + (

5

2𝑡2 + 2𝑡) 𝑘 + 𝑐1

Tomando en cuenta si 𝑡 = 0: 𝑐1 = 0

Obtenemos la siguiente ecuación de nuestro vector de posición.

𝑥(𝑡) = 16

3𝑡3𝑖 + 𝑡4𝑗 + (

5

2𝑡2 + 2𝑡) 𝑘

Al evaluar para obtener la magnitud de la aceleración y la posición del vector en

𝑡 = 2𝑠, obtenemos:

�̈�(2) = 64 𝒊 + 48 𝒋 + 5 𝒌

�̈�(2) = 80.16𝑚

𝑠2

𝑥(2) =128

3𝒊 + 16𝒋 + 14 𝒌

7. Cuando un cohete alcanza una altura de 40m comienza a viajar a lo largo de una trayectoria parabólica (y- 40)2 = 160x (las coordenadas son medidas en metros). Si la componente de la velocidad en la dirección vertical es constante vy =180m/s, determine las magnitudes de la velocidad y la aceleración del cohete cuando este alcanza una altura de 80m.

Datos: �̇�𝑦 = 180 𝑚 𝑠⁄

�̈�𝑦 = 0

Deduciendo la ecuación de posición

𝑥(𝑡) = 180𝑡 + 𝑐1

Si 𝑡 = 0 y 𝑦 = 40 por lo tanto 𝑐1 = 40 Tenemos la siguiente ecuación

𝑥(𝑡) = 180𝑡 + 40

Como y= 80 80 = 180𝑡 + 40

𝑡 = 0.22 𝑠𝑒𝑔 Tardará en llegar 0.22 seg

𝑦 = 80, En la ecuación de la parábola sustituimos

(80 − 40)2 = 160𝑥 𝑥 = 10

De �̇�𝑦 = 180 𝑚 𝑠⁄

�̇�𝑥 =10 𝑚

0.22 𝑠= 45.45 𝑚 𝑠⁄

De �̈�𝑦 = 0

�̈�𝑥 =45.45 𝑚 𝑠⁄

0.22 𝑠= 206.60 𝑚 𝑠2⁄