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Facultad de Química, UNAM Tarea, Física II

0.2. El campo eléctrico

1 La magnitud del campo eléctrico como función de la distancia entre una carga puntual y puntos

distintos de la posición de la carga se describe por

E(r)=1

4π0

q

r2

o bien, en un sistema de coordenadas rectangulares

E( x)=1

4π0

q

x2.

Nótese que no se ha mencionado pero la carga puntual se ha situado en el origen del sistema de

coordenadas.

Si la carga puntual estuviese en un punto x0 = 0, entonces la expresión sería

E( x. x0)=1

4π0

q

( x− x0)2

y cualquiera de las tres expresiones se puede usar para determinar la magnitud del campo en cual-

quier sitio, excepto en la posición de la carga.

Suponga que en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares se encuentra una carga

puntual q = 1nC.

(a) Calcule la magnitud del campo eléctrico en las posiciones siguientes:

x= (−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5) cm,

es decir, calcule E (−5 cm), E(−4 cm),... E (4 cm), E(5 cm).

Marcelo F. Lugo L 2 Tareas

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0.3. La ley de Gauss

1. En la figura 1 aparecen varias superficies con geometría bien definida. Trace vectores perpen-

diculares a dichas superficies.

Figura 1

2. La superficie cuadrada que se muestra en la figura 2, mide 3.2 mm por lado. Se encuentra

inmersa en un campo eléctrico uniforme E = 1800 N/C. El campo eléctrico forma un ángulo de

65° con la normal que apunta como se muestra en la figura. Calcule el flujo a través de esta

superficie. Repita el ejercicio cuando el ángulo sea de 20°, 30°, 40° y 90°.

Figura 2

3. Un cubo con aristas de longitud a =1.4 m, está orientado como se muestra en la figura 3, dentro

de un campo eléctrico dado por (a) 6 î N/C, (b) −2 ̂j N/C y (c) (−3 î + 4 k̂) N/C. (d) Calcule el flujo

total a través de cada una de las caras del cubo en cada caso.

Para resolver este ejercicio hay que tomar en cuenta lo siguiente: el cubo tiene seis caras planas,

cada una dirigida en una dirección específica y única, por lo que el producto escalar E ·d A está

bien definido en cada punto de cada cara del cubo.

x

y

z

a

Figura 3

4. El flujo neto a través de cada una de las caras de un dado tiene una magnitud, en unidades de

103 N/C, igual al número N de marcas en la cara plana (de 1 a 6). El flujo apunta hacia adentro

del cubo en las caras en las que N es impar y apunta hacia afuera en las caras en las que N es


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par. (a) ¿Cuál es la carga neta encerrada dentro del dado? (b) ¿Cuál es la carga neta cuando se

invierte el sentido del flujo en cada cara?

5. Experimentalmente se ha encontrado que en cierta región de la atmósfera terrestre, el campo

eléctrico está dirigido verticalmente hacia abajo. A una altitud de 300 m el campo es de 58 N/C

y a una altitud de 200 m es de 110 N/C. Encuentre la carga neta contenida en un cubo conarista de 100 m localizado a una altitud entre 200 y 300 m. Omita el efecto de la curvatura de

la Tierra.

6. Una placa de metal de 8.0 cm cada lado, porta una carga total de 6.0 µC. (a) Usando la aproxi-

mación de la placa infinita, calcule el campo eléctrico a 0.50 mm encima de la superficie de la

placa y cerca de su centro. (b) Estime el campo a una distancia de 30 m.

7. Una línea infinita de carga produce un campo eléctrico de 4.52×104 N/C a una distancia de

1.96 m. Calcule la densidad lineal de carga.

8. Una pequeña esfera de masa m=1.12 mg, porta una carga q=19.7 nC. Dentro del campo gra-vitacional de la Tierra, cuelga de un hilo de seda que forma un ángulo θ=27° con una hoja

grande, no conductora y uniformemente cargada, como en la figura 4. Calcule la densidad de

carga uniforme, σ sobre la hoja.

m, q

q

s

Figura 4

9. Dos cilindros largos y coaxiales tienen radios de 3.22 y 6.18 cm. La densidad de carga superficial

en el cilindro interno es de 24.7 µC/m2 y la del externo es −18.0 µC/m2. Encuentre el campo

eléctrico en (a) r =4.10 cm y (b) r=8.20 cm.

10. Una superficie plana y grande, no conductora, porta una densidad de carga superficial uniforme

σ. En el centro de la superficie se ha hecho una perforación circular de radio R, como se muestra

en la figura 5. Ignore los efectos de borde y calcule el campo eléctrico en el putno P, a una

distancia z del centro del agujero y a lo largo de su eje.

R

P

z

Figura 5


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0.4. La energía eléctrica y el potencial eléctrico

1. En el modelo de quark de las partículas elementales, un protón se compone de tres quark: dos

quark “arriba”, cada uno con una carga +23

e y un quark “abajo”, con una carga −13

e . Supóngase

que los tres quarks equidistan entre sí. Suponga que la distancia es 1.32×10−15 m y calcule a)

la energía potencial de la interacción entre los dos quarks “arriba” y b) la energía eléctrica

potencial total del sistema.

2. Obtenga una expresión del trabajo requerido por un agente externo para colocar juntas las

cuatro cargas como se indica en la figura 6. Los lados del cuadrado tienen una longitud a.

a

+q-q

+q -q

Figura 6

3. Una década antes de que Einstein publicara su teoría de la relatividad, J. J. Thomson propuso

que el electrón podría estar constituido por pequeñas partes y que su masa provenía de la inter-acción eléctrica de ellas. Más aún, sostuvo que la energía es igual a me2. Haga una estimación

aproximada de la masa de los electrones en la siguiente forma: suponga que el electrón se com-

pone de tres partes idénticas reunidas del infinito y colocadas en los vértices de un triángulo

equilátero cuyos lados son iguales al radio clásico del electrón, 2.82×10−15 m. a) Determine

la energía eléctrica potencial de este arreglo, b) Divida entre c2 y compare su resultado con

la masa aceptada del electrón (9.11×10−31 kg). El resultado mejora si se suponen más partes

(Prob. 2). Hoy se piensa que el electrón es una partícula simple e indivisible.

4. Las cargas mostradas en la figura 7 están fijas en el espacio. Calcule el valor de la distancia x,

de modo que la energía potencial eléctrica del sistema sea cero.

14.6 cm x

25.5 nC 17.2 nC -19.2 nC

Figura 7

5. La figura ?? contiene una representación idealizada de un núcleo de 238U (Z = 92) a punto

de experimentar una fisión. Calcule a) la fuerza de repulsión que opera en cada fragmento y

b) la energía potencial eléctrica mutua de los dos fragmentos. Suponga que tienen el mismo

tamaño y carga, que son esféricos y que apenas si se tocan. El radio del núcleo inicialmente

esférico 238 U es 8.0 fm. Suponga que el material que sale de los núcleos presenta una densidad

constante.

6. Dos superficies conductoras paralelas y planas de espaciado d=1.0 cm tienen una diferencia

de potencial ∆ V de 10.3 kV. Se proyecta un electrón de una placa hacia la segunda. ¿Cuál es

la velocidad inicial del electrón si se detiene exactamente en la superficie de esta última? No

tenga en cuenta los efectos relativistas.

7. En un relámpago típico, la diferencia de potencial entre los puntos de descarga es de unos

1.0×109 V y la carga transferida es de 30 C aproximadamente, a) ¿Cuánta energía se libera?

b) Si toda la que se libera pudiera usarse para acelerar un automóvil de 1200 kg a partir

del reposo, ¿cuál sería su velocidad final? c) Si pudiera usarse para derretir hielo, ¿cuánto se

derritiría a 0°C?


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8. La diferencia de potencial entre cargas puntuales durante una tormenta es 1.23 ×109 V. ¿De

qué magnitud es el cambio en la energía potencial eléctrica de un electrón que se desplaza

entre ellos? Exprese su respuesta en a) joules y b) en volts.

9. Mantenemos una partícula de carga q en posición fija en el punto P y una segunda de masa m,

que tiene la misma carga, la mantenemos en reposo a una distancia r1 de P. Esta última se

libera entonces y se aleja de la primera. Determine su velocidad en el instante en que se halla

a una distancia r 2 de P. Suponga que q = 3.1 µC, m = 18 mg, r 1 = 0.90 mm y r 2 = 2.5 mm.

10. Proyectamos un electrón con una velocidad inicial de 3.44 ×105 m/s hacia un protón esen-

cialmente en reposo. Si al principio éste está muy lejos del protón, ¿a qué distancia de él su

velocidad será instantáneamente el doble de su valor original?

11. Calcule a) el potencial eléctrico creado por el núcleo de un átomo de hidrógeno en la distancia

promedio del electrón circulante (r = 5.29 ×10−11 m); b) la energía potencial eléctrica del átomo

cuando el electrón está en este radio; c) la energía cinética del electrón, suponiendo que describe

una órbita circular de este radio centrado en el núcleo, d) ¿Cuánta energía se necesita para

ionizar el átomo de hidrógeno? Exprese todas las energías en electrón-volts y suponga que V =0en el infinito.

12. En el rectángulo de la figura 28-31, los lados tienen las longitudes de 5.0 cm y 15 cm, q 1 =−5.0

µC y q 2 =+2.0 µC. a) ¿Cuáles son los potenciales eléctricos en los vértices B y A? (Suponga que

V =0 en el infinito.) b) ¿Cuánto trabajo externo se requiere para mover una tercera carga q3 =

+30 fiC de 5 a A a lo largo de una diagonal del rectángulo? c) En este proceso, ¿se convierte el

trabajo externo en energía electrostática potencial o a la inversa? Explique su respuesta.

13. Dos grandes placas conductoras paralelas están separadas por una distancia de 12.0 cm y

transportan cargas iguales pero opuestas en sus superficies frontales. Un electrón colocado en

la mitad entre ellas experimenta una fuerza de 3.90 ×10−15 N. a) Calcule el campo eléctrico en

la posición del electrón, b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas?

14. Una hoja infinita tiene una densidad de carga σ= 0.12 µC/m2. ¿Qué distancia hay entre las

superficies equipotenciales cuyos potenciales difieren en 48 V?

15. Un contador Geiger tiene un cilindro metálico de 2.10 cm de diámetro a lo largo de cuyo eje se

extiende un alambre de 1.34×10−4 cm de diámetro. Si entre ellos se aplican 1855 V, determi-

ne el campo eléctrico en la superficie de a) el alambre y b) el cilindro. (Sugerencia: utilice el

resultado del Prob. 10, Cap. 27.)

16. En el experimento de la gota de aceite de Millikan (Sec. 26-6), un campo eléctrico 1.92 ×105

N/C es mantenido en equilibrio entre dos placas separadas por 1.50 cm. Obtenga la diferencia

de potencial entre ellas.

17. Un núcleo de oro contiene una carga positiva igual a la de 79 protones y tiene un radio de 7.0 fm

(Prob. res. (28-7). Una partícula alfa (constituida por dos protones y dos neutrones) tiene una

energía cinética K en puntos lejanos del núcleo y se dirige directamente a él. La partícula alfa

apenas si toca la superficie del núcleo donde se invierte la dirección de su velocidad. á) Calcule

K . b) Tenía una energía de 5.0 MeV la segunda partícula alfa que Rutherford y sus colegas

usaron en su experimento y que condujo al descubrimiento del concepto del núcleo atómico.

¿Qué conclusión obtiene usted de eso?


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18. Calcule la velocidad de escape de un electrón en la superficie de una esfera uniformemente

cargada, de radio 1.22 cm y con una carga total 1.76 ×10−15 C. Prescinda de las fuerzas gravi-

tacionales.

19. Una carga puntual tiene q = +1.16 µC. Considere el punto A, que está a 2.06 m de distancia y

el punto B que se halla a 1.17 m de distancia en una dirección diametralmente opuesta, como

se ve en la figura 28-32a. a) Calcule la diferencia de potencial V A −V B. b) Repita el ejercicio si

los puntos A y B están situados de igual manera que en la figura 28-32b.

20. Gran parte del material presente en los anillos de Saturno (Fig. 28-33) son diminutos granos de

polvo, cuyo radio es del orden de 1.0 µm. Los granos se encuentran en una región que contiene

un gas ionizado diluido; recogen el exceso de electrones. Si el potencial eléctrico en la superficie

de uno de ellos es −400 V (en relación con V =0 en el infinito), ¿cuántos electrones en exceso ha

recogido?

21. Al pasar una nave espacial por el gas ionizado y diluido de la ionosfera de la Tierra, su potencial

suele cambiar en −1.0 V antes que complete una revolución. Suponga que la nave es una esfera

de radio 10 m, estime la carga que recoge.

22. Suponga que la carga negativa en una moneda de centavo de cobre se lleva muy lejos de la

Tierra –quizá a una galaxia distante– y que se distribuye uniformemente la carga positiva en

la superficie terrestre. ¿Cuánto cambiará el potencial eléctrico en ella? (Prob. 25-1).

23. Un campo eléctrico de 100 V/m aproximadamente se observa a menudo cerca de la Tierra. Si

este campo fuera igual en toda la superficie, ¿cuál sería el potencial eléctrico de un punto en

ella? Suponga que V =0 en el infinito.

24. La molécula de amoníaco NH3 tiene un momento permanente de dipolo eléctrico de 1.47 D,

donde D es la unidad debye con un valor de 3.34 ×10−30 C·m. Calcule el potencial eléctrico

generado por una molécula en un punto a 52.0 nm de distancia a lo largo del eje del dipolo.

Suponga que V =0 en el infinito.

25. a) En la figura 28-34 obtenga una expresión para V A −V B. b) ¿Se reduce el resultado a la

respuesta expresada cuando d=0? ¿cuando a=0? ¿cuando q=0?

26. En la figura 28-35, localice los puntos, si los hay, a) donde V =0 y b) donde E=0. Considere sólo

puntos en el eje y suponga que V =0 en el infinito.

27. Dos cargas q=+ 2.13 µC están fijas en el espacio y separadas por una distancia d=1.96 cm, como

se aprecia en la figura 28-36. a) ¿Cuál es el potencial eléctrico en el punto C? Suponga que V =0

en el infinito, b) Se trae una tercera carga Q=+1.91 µC lentamente desde el infinito hasta C.

¿Cuánto trabajo se debe realizar? c) ¿Cuál es la energía potencial U de la configuración cuando

interviene la tercera carga?

28. ¿A qué distancia en el eje de un disco uniformemente cargado de radio R es el potencial eléctrico

igual a la mitad de su valor en la superficie del disco en el centro?

29. Una carga eléctrica de −9.12 nC se distribuye uniformemente alrededor de un anillo de 1.48

m de radio, el cual se encuentra en el plano yz con su centro en el origen. Una partícula que

transporta una carga de −5.93 pC se halla en el eje x con x=3.07 m. Calcule el trabajo efectuado

por un agente externo al mover la carga puntual hacia el origen.


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30. Suponga que el potencial eléctrico varía en el eje x como se indica en la gráfica de la figura

28-37. De los intervalos mostrados en ella (no tenga en cuenta el comportamiento en los puntos

finales de los intervalos), determine aquellos en que E x tiene a) su máximo valor absoluto y b)

su mínimo valor, c) Grafique E x en función de x.

31. Dos grandes placas metálicas paralelas están separadas por una distancia de 1.48 cm y tienen

cargas iguales pero opuestas en sus superficies frontales. La placa negativa está aterrizada y

se supone que su potencial es cero. Si el potencial a la mitad entre las placas es + 5.52 V, ¿cuál

es el campo eléctrico en esta región?

32. A partir de la ecuación 28-30 obtenga una expresión para E en los puntos axiales de un anillo

con carga uniforme.

33. Calcule el gradiente radial de potencial, ∂V / ∂r, en la superficie de un núcleo de oro (Prob. res.

28-7).

34. El ejercicio 39 del capítulo 26 se refiere al cálculo que Rutherford hizo del campo eléctrico a

una distancia r del centro de un átomo. También obtuvo el potencial eléctrico como

V = Z e

4π0

1

r −

3

2 R +

r2

2 R3

.

a) Demuestre en qué forma la expresión del campo eléctrico dada en el ejercicio 39 del capítulo

26 se deduce de esta expresión de V . b) ¿Por qué esta expresión no se convierte en cero a medida

que r →∞?

35. El potencial eléctrico V en el espacio situado entre las placas de un tubo al vacío, ahora obso-

leto, está dado por V =(1530 V/m2) x2, donde x es la distancia de una de las placas. Calcule la

magnitud y la dirección del campo eléctrico cuando x=1.28 cm.

36. Dos cargas lineales son paralelas al eje z. Una, la de carga por unidad de longitud +λ, está a

una distancia a a la derecha del eje. La otra, la de carga por unidad de longitud de carga −λ

se halla a una distancia a hacia la izquierda del eje (las líneas y el eje z se encuentran en el

mismo plano). Dibuje algunas de las superficies equipotenciales.

37. Al pasar de A a B en una línea de campo eléctrico, éste realiza 3.94 ×10−19 J de trabajo para

mover a un electrón dentro del campo descrito gráficamente en la figura 28-38. ¿Cuáles son las

diferencias de potencial eléctrico a) V B−V A, b) V C −V A y c) V C −V B?

38. Considere una carga puntual con q = 1.5 ×10−8 C. á) ¿Cuál es el radio de una superficie equipo-

tencial que tiene un potencial de 30 V? Suponga que V = 0 en el infinito, tí) ¿Están espaciadas

uniformemente las superficies cuyo potencial difiere en una cantidad constante (digamos 1.0

V)?

39. En la figura 28-39 dibuje cualitativamente a) las líneas del campo eléctrico y b) las intersec-

ciones de las superficies equipotenciales con el plano de la figura. (Sugerencia: considere el

comportamiento cercano a las cargas puntuales y a gran distancia del par de cargas.)

40. Tres grandes líneas paralelas de carga presentan las densidades lineales relativas que apare-

cen en la figura 28-40. Dibuje algunas líneas del campo eléctrico y las intersecciones de algunas

superficies equipotenciales con el plano de esta figura.


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41. Un cascarón esférico delgado conductor de 20 cm de radio externo tiene una carga de +3.0 µC.

Dibuje a) la magnitud del campo eléctrico E y b) el potencial V en función de la distancia r

respecto al centro del cascarón. (Haga V =0 en el infinito.)

42. Considere dos esferas conductoras muy separadas, 1 y 2; la segunda con una distancia dos

veces mayor que el diámetro de la primera. La esfera más pequeña lleva inicialmente unacarga positiva q y la más grande no tiene carga inicialmente. En seguida, las conectamos con

un alambre largo y delgado, a) ¿Cómo se relacionan los potenciales finales V 1, y V 2 de las

esferas? b) Calcule las cargas finales q1 y q 2 en las esferas a partir de q.

43. a) Si la Tierra tuviera una carga neta equivalente a un electrón/m2 del área superficial (supo-

sición muy artificial), ¿cual sería el potencial de la Tierra? (Haga V =0 en el infinito, b) ¿Cuál

sería el campo eléctrico generado por la Tierra afuera de su superficie?

44. Una carga de 15 nC puede ser generada mediante simple frotamiento. ¿A qué potencial (en

relación con V =0 en el infinito) elevará una esfera conductora aislada de 16 cm de radio?

45. Determine a) la carga y b) la densidad de carga en la superficie de una esfera conductora de

15.2 cm de radio, cuyo potencial es 215 V. Suponga que V =0 en el infinito.

46. El objeto metálico de la figura 28-41 es una figura de revolución alrededor del eje horizontal. Si

lleva carga negativa, dibuje unas cuantas equipotenciales y líneas del campo eléctrico. Utilice

el razonamiento físico en vez del análisis matemático.

47. Dos esferas conductoras, una de 5.88 cm y la otra de 12.2 cm de radio, tienen cada una carga

de 28.6 nC y están muy separadas. Si después las conectamos mediante un alambre, calcule a)la carga final en ellas y b) el potencial de cada una, suponiendo que V =0 en el infinito.

48. Una esfera metálica cargada de 16.2 cm de radio tiene una carga neta de 31.5 nC. a) Determine

el potencial eléctrico en la superficie de la esfera si V =0 en el infinito, b) ¿A qué distancia de la

superficie de la esfera el potencial disminuyó 550 V?

49. a) ¿Cuánta carga se requiere para aumentar una esfera metálica aislada de l.0 m de radio a

un potencial de 1.0 MV? Suponga que V =0 en el infinito. Repita el ejercicio con una esfera de

1.0 cm de radio, b) ¿Por qué utilizar una gran esfera en un acelerador electrostático cuando

el mismo potencial puede conseguirse usando una carga más pequeña y una esfera pequeña?

(Sugerencia: calcule las densidades de las cargas.)

50. Supóngase que tiene un valor de 3.41 MV la diferencia de potencial entre la capa interna de

alto potencial de un acelerador de Van de Graaff y el punto donde las cargas se esparcen hacia

el cinturón en movimiento. Si el cinturón transfiere carga al cascarón con una velocidad de 2.83

mC/s, ¿qué potencia mínima hay que suministrar para impulsarlo?


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0.4.1. Ejercicios adicionales

1. Se tienen dos cargas puntuales q 1 = 1.0 µC y q 2 = 2.0 µC, localizadas en (5.0, 0.0) cm y en (7.0,

0.0) cm, respectivamente. (a) Calcule la energía potencial eléctrica del sistema. (b) Calcule la

energía potencial eléctrica cuando q2 tenga los valores siguientes: (2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6,

2.7, 2.8, 2.9, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0, 9.0) µC.

2. Se tienen dos cargas puntuales q1 = 1.0 µC y q2 = 2.0 µC, localizadas en (5, 0) cm y en (7, 0)

cm, respectivamente. (a) Trace ∆U ( x) (la diferencia de energía potencial) como función de x,

cuando cambia la posición, x, de la carga q2, donde x =(0.9, 1.2, 1.5, 1.8, ..., 8.1, 8.4, 8.7, 9.0)

cm. (b) Cambie el signo de q2 y proceda como en el inciso anterior.

3. Calcule la energía potencial eléctrica de los sistemas siguientes: (a) q1 =1.0 µC, q2 = −2.0 µC

y q3 = 3.0 µC, localizadas en (1.0, 0.0) cm, (2.0, 0.0) cm y (3.0, 0.0) cm, respectivamente. (b)

q1 =1.0 µC, q 2 =−2.0 µC, q3 =3.0 µC y q4 =−4.0 µC, localizadas en (1.0, 0.0) cm, (2.0, 0.0) cm,

(3.0, 0.0) cm y (4.0, 0.0) cm, respectivamente. (c) q 1 =1.0 µC, q 2−=2.0 µC, q 3 =3.0 µC, q 4 =−4.0

µC y q5 =5.0 µC, localizadas en (1.0, 0.0) cm, (2.0, 0.0) cm, (3.0, 0.0) cm, (4.0, 0.0) cm y (5.0,

0.0) cm, respectivamente. (d) q 1 =1.0 µC, q 2 =−2.0 µC, q 3 =3.0 µC, q4 =−4.0 µC, q5 =5.0 µC y

q6 =−6.0 µC, localizadas en (1.0, 0.0) cm, (2.0, 0.0) cm, (3.0, 0.0) cm, (4.0, 0.0) cm, (5.0, 0.0) cm

y (6.0, 0.0) cm, respectivamente.

4. Calcule la energía potencial eléctrica de un sistema de tres cargas puntuales: q1 =1.0 µC,

q2 =−2.0 µC y q 3 =3.0 µC, localizadas en (1.0, 0.0) cm, (2.0, 1.0) cm y (3.0, 0.0) cm inicialmente.

Calcule la enregía potencial eléctrica del sistema si la posición de q2 cambia a (2.0, 2.0) cm, (2.0,

3.0) cm, (2.0, 4.0) cm, (2.0, 5.0) cm, (2.0, 6.0 cm), (2.0, 7.0) cm y (2.0, 8.0) cm.


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