Técnicas 6 Cuantitativas para el análisis de los mercadosTécnicas Cuantitativas para el análisis de los mercados “El que no aplica nuevos remedios debe esperar nuevos males:

TécnicasCuantitativas para el análisis de los mercados

“El que no aplica nuevos remedios debeesperar nuevos males: porque el tiempo es elmáximo innovador”

Francis Bacon.

6.1. INTRODUCCIÓN

En el mundo actual, tan importante como conocer los diferentes mercados y los productosque se negocian en ellos, es entender las diferentes técnicas matemáticas que permiten cono-cer la exposición de una cartera al riesgo, o poder anticipar los rendimientos futuros de unproducto financiero con el objetivo de seleccionar una cartera que optimice la rentabilidad.

El presente capítulo está orientado a dar a conocer alguna de las técnicas matemáti-cas más utilizadas en la actualidad para el estudio de los mercados. En primer lugar, realiza-remos una breve introducción a los números aleatorios, que son de vital importancia en laspredicciones de los mercados y constituyen la base de la simulación de MonteCarlo, una téc-nica ampliamente utilizada en diferentes disciplinas como las ingenierías, la física o la econo-mía. Ciertamente, en los últimos años la simulación de MonteCarlo ha pasado a ser la herra-mienta preferida por los analistas financieros, debido a su eficacia, su potencia de modelizacióny su sencillez.

En el siguiente epígrafe trataremos del Valor en Riesgo, comúnmente conocido comoel VaR. Hoy en día, el VaR se considera una herramienta estandarizada para el cálculo delriesgo. El VaR muestra el valor de la máxima pérdida que se puede obtener, para una pro-babilidad y un índice de confianza dado. Su importancia viene acreditada por la recomen-dación del Comité de Basilea II, en la que especifica que el cálculo del riesgo para adecuarel capital de una entidad financiera se debe realizar mediante técnicas como el Valor enRiesgo.

6

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Por último, y como colofón de esta obra, desarrollaremos tres casos: uno con el índi-ce IBEX 35, otro con una cartera de bonos, y un tercero con bonos de cupón variable, tam-bién llamados FRN (Floating Rate Note). En los tres casos calcularemos el VaR y realizare-mos una simulación para determinar el precio esperado y la rentabilidad esperada.

6.2. LOS NÚMEROS ALEATORIOS

6.2.1. Las variables aleatorias

6.2.1.1. Las variables aleatorias discretas

Una variable ξ se define como aleatoria discreta si puede tomar los valores x1, x2,…, xN,teniendo cada uno de estos valores una probabilidad asignada P1, P2,…, PN. Podemos repre-sentar la variable aleatoria ξ como:

ξ =

donde Pi son las probabilidades de que la variable ξ tome el valor xi.

Estas probabilidades deben cumplir dos reglas:

1. Siempre denen ser positivas: P(x) >0

2. La suma de todas las probabilidades debe ser igual a la unidad:

∑N

j=1P (xj) = 1

Como hemos visto en capítulos anteriores, el cálculo de la esperanza matemática y dela varianza es fundamental para determinar el rendimiento esperado y el riesgo de los pro-ductos financieros. Veamos con un ejemplo el cálculo de la esperanza matemática y de lavarianza de una variable aleatoria.

Definamos a la variable aleatoria X con la siguiente matriz:

X =

La variable x puede tomar los valores 1, 2, 3, 4, 5 y 6, y cada uno de los posibles valo-res que puede adoptar x tiene como probabilidad 1/6. La esperanza matemática se calculacomo la suma ponderada por las probabilidades de los valores posibles; es decir:

E(X)=∑6

j=1 xj × pj = 3,5

)1 2 3 4 5 6

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6(

)χ1 χ2 ... χN

p1 p2 ... pN(

• bolsa, mercados y técnicas de inversión • -270-

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La varianza se calcula como la suma de las diferencias cuadráticas de los valores res-pecto a su media, multiplicado por la probabilidad. Es decir:

σ2 =∑6

j=1 [xi – E(xi)]2 × pj = 2,917

6.2.1.2. Las variables aleatorias continuas

La variable ξ es continua si puede tomar cualquier valor dentro del intervalo (a, b). Toda varia-ble aleatoria continua queda definida si se da el intervalo (a, b) y la función de probabilidad P(x)llamada función de densidad de la probabilidad de la variable aleatoria ξ.

También en este caso se deben cumplir las dos reglas anteriores:

1. Todas las probabilidades deben ser positivas: P(xi) > 0

2.La probabilidad de que la variable aleatoria ξ esté dentro del intervalo (a, b) debe seruno:

P {a < ξ < b} = ∫b'

a p(x)dx = 1

Supongamos un intervalo (a’, b’) dentro del intervalo (a, b). La probabilidad de que lavariable aleatoria ξ esté comprendida dentro del intervalo (a’, b’) se calcula de la siguientemanera:

P {a’ < ξ < b’} = ∫b

a’ p(x)dx

La probabilidad se calcula como la integral de la probabilidad definida en el intervaloestudiado. Esta probabilidad se representa en la Figura 1.

Fig. 1. Probabilidad de que una variable aleatoria x esté dentro del intervalo (a’, b’)

técnicas cuantitativas para el análisis de los mercados -271-

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La esperanza matemática en el caso de las variables aleatorias continuas se resuelvecon la siguiente ecuación:

E (ξ) = ∫b

a x × p(x)dx

6.2.1.3. La variable aleatoria normal

La variable aleatoria normal está definida en el intervalo (-∞ +∞) y tiene como función de den-sidad la siguiente:


P (x) = × e –1

√ 2πσ

(x–a)2

2σ2

donde:

a es un número que hace que la curva se desplace por el eje de abscisas;

σ modifica la forma de la curva

Fig. 2. Representación de dos distribuciones normales, para diferentes valores de σσ. (Fuente: Elaboración propia)

En la Figura 2 se pueden observar dos representaciones de la distribución normal paraa = 0 y valores de sigma de 0,5 y 1. Vemos que, al tomar valores más pequeños, la distri-bución se apuntala tomando una forma más cúrtica que para valores cercanos al uno. Recor-

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demos que el área que encierra P(x) es igual a 1. Por tanto, al disminuir sigma aumenta elmáximo de la curva, pero se hace más estrecha.

La esperanza matemática de la normal es a, mientras que su varianza es el cuadradode sigma. Empíricamente se demuestra que el 99,7% de toda la distribución está dentro delrango formado por la media, más menos tres veces la desviación típica. Esto es lo que seconoce como la regla de las tres sigmas.

Dicho de manera matemática:

∫a+3σ

a–3σP(x)d = 0,997

La conclusión de esta regla es evidente: es casi imposible conseguir un valor ξ quedifiera de su media en más de tres veces la desviación típica.

6.3. LA SIMULACIÓN

6.3.1. Introducción

En 1903 nació en Budapest una de las más brillantes mentes mate-máticas que ha vislumbrado el siglo XX: John Von Neuman. El joven John(Janos en húngaro) destacó en su infancia por ser un niño prodigio, conuna memoria asombrosa que le hacía sobresalir en la escuela por enci-ma de sus compañeros. Ya con cinco años era capaz de realizar men-talmente operaciones con números de más de ocho cifras. De origenaristocrático, estudió en los mejores institutos de Hungría y destacó enmatemáticas, por lo que no fue sorprendente que acabase como profe-sor de matemáticas aplicadas en la Universidad de Berlín, cargo que ejerció desde 1927 hasta1930. En esta fecha viajó como profesor invitado a la Universidad de Pricenton, en los EstadosUnidos y allí decidió fijar su residencia cuando Hitler subió al poder en 1933. También fue en estemomento cuando cambia su nombre, Janos, por la traducción inglesa de John, nombre por elque ha sido conocido posteriormente.

En Pricenton coincide con las mentes más preclaras de las matemáticas del siglo XX,contactando con Albert Einstein y Alan Turing, entre otros. Amigo de la comunicación, los quele conocieron lo describen como una persona afable y brillante, con una mente muy rápida enlos análisis, y siempre dispuesto a colaborar con otros investigadores, aunque su faceta másdestacable es la curiosidad por lo nuevo. Hizo aportaciones a la mecánica cuántica, especial-mente el concepto de anillos de operadores (actualmente conocido como álgebra de Neuman),y es conocido también por su trabajo de iniciación de las matemáticas aplicadas, principal-mente la estadística y el análisis numérico. También destacó en la termodinámica, la teoríade los ordenadores y la cibernética. Inventó el concepto de cerebro electrónico tomando elrelevo de la investigación iniciada por Leibniz, Babbage, Ada Byron y Turing. En esta línea,mejoró el primer ordenador digital del mundo, el ENAC y aportó sus conocimientos para laconstrucción del MANIAC, creando el concepto de programa o software. Pero su fama llega-ría a su apogeo en 1944 cuando publica junto con Oskar Morgenstern la Teoría de Juegos.


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Es en 1940 cuando, junto con Stanislaw Ulam, matemático de origen polaco, descri-be y pone nombre al método de simulación de MonteCarlo, con el fin de resolver ciertos pro-blemas de protección nuclear que eran demasiado costoso para ser resueltos explícitamen-te, o demasiados complejos para ser tratados de forma analítica. El nombre fue elegido porla similitud del proceso que ellos describían con los principios que rigen el casino de Mónaco.John Von Neuman muere víctima del cáncer en 1957, dejando un legado impresionante endiversos campos de la ciencia, como la física y la informática, sin olvidarnos de las aplicacio-nes de sus teorías en ciencias sociales como la Economía.

6.3.2. La generación de números aleatorios

Podemos definir la simulación como una técnica numérica para realizar experimentos. Parallevarla a cabo se debe construir un modelo que ofrezca un resultado en función de unas varia-bles. La ventaja de la simulación reside en que se puede modificar cualquier valor del modeloy observar el comportamiento del resultado ante estos cambios. La simulación es un susti-tuto apropiado para la evaluación matemática de un modelo en muchas situaciones, y aunquetambién involucra suposiciones, éstas son tratables. El uso de la simulación nos permite pro-porcionar una percepción clara a ciertos problemas de toma de decisiones, donde la evalua-ción matemática de un modelo no es posible.

Hay que considerar la simulación como una herramienta de investigación que permiteconocer y analizar el comportamiento de un sistema. La simulación comienza con la cons-trucción de un modelo descriptivo del sistema real objeto de análisis, para luego, durante elproceso de análisis, poder modificarlo para estudiar su comportamiento ante variaciones. Lasimulación es recomendable cuando la realidad representada es muy compleja, tiene varia-bles no lineales, o alguna de éstas son aleatorias.

La simulación de modelos utiliza como herramienta principal los números aleatorios dis-tribuidos generalmente de manera uniforme, que toman valores entre 0 y 1. Desde hace tiempo,los investigadores han ideado formas para generar números aleatorios, como lanzar objetos deun tamaño determinado en un plano dividido horizontalmente con líneas y contar el número deveces que el objeto pisaba una de estas líneas; incluso se construyeron ruletas mecánicas movi-das por motor. El problema de todos estos sistemas mecánicos es la lentitud en la generación delos números y la imposibilidad de repetir una serie grande de números aleatorios.

Sea cual sea el procedimiento elegido para generar números aleatorios, éstos debenenfrentarse a un test para certificar su bondad como número aleatorio. A modo de ejemplo, untest que se puede aplicar en los números aleatorios es contar el número de números cero, uno,dos, tres... hasta nuve que hay en el conjunto de números aleatorios. Si son verdaderamentealeatorios, tiene que existir una tendencia hacia la equidistribución. Es decir, la cantidad denúmeros cero, uno… debe ser aproximadamente la misma. Por ejemplo, supongamos que unatabla de números aleatorios tiene N cifras y que el número de ceros es V0, el número de unoses V1, el número de doses es V2, y así sucesivamente. Se puede definir la suma como:

S = ∑9

i=0 (Vi – 0,1N)2


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La teoría de las probabilidades permite predecir los límites entre los que puede estarcomprendida esta suma, que no puede ser excesivamente grande ni pequeña. Recordemosque si los números son verdaderamente aleatorios, la esperanza matemática de cada Vi debeser de 0,1N.

6.3.2.1. Ejemplo de la bondad de la generación

de números aleatorios

Utilizando una hoja EXCEL hemos generado 500 números aleatorios de nueve cifras cada uno.Por tanto, tendremos 4.500 cifras. Hemos contado cada uno de los guarismos obtenidos yel resultado es el que se describe en la Tabla 1.

Tabla 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

463 471 448 425 458 447 427 464 450 447

El histograma que obtenemos de estos resultados se muestra en la Figura 3:

Fig. 3. Histograma de frecuencias


La suma definida anteriormente da un resultado de:

S = ∑9

i=0 (Vi – 0,1× 4.500)2 = 2.046

La desviación típica, definida como la raíz cuadrada de la varianza, adopta un valor de45,23. Como se puede observar, los diferentes números no tienen una distribución muy uni-

480

470

460

450

440

430

420

410

4001 2 3 4 5 6 7 8 9 0

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forme y, además, no todos están muy cerca de la que debería ser la esperanza matemática,

450. La suma definida tiene un valor muy grande. Esta tabla de números no se puede consi-

derar como una tabla de números verdaderamente aleatorios, pero sí pseudoaleatorios.

6.3.3. Métodos de generación de números aleatorios

6.3.3.1. Métodos aproximados

John Von Neuman sugirió el método del cuadrado medio, usando las operaciones aritméticas

de un ordenador. Su idea fue tomar el cuadrado del número aleatorio y tomar los dígitos ubi-

cados en el medio. Por ejemplo, si tenemos el número 1.264 y lo elevamos al cuadrado, se

obtiene 1.597.696; nuestro número será 9.769, y así sucesivamente. Estos números se con-

sideran pseudoaleatroios o quasi-aleatorios.

Durante el siglo XX los investigadores comenzaron a utilizar ordenadores digitales para

generar números aleatorios. En 1955 RAND Corporation publica una lista de un millón de

números aleatorios construida mediante una ruleta electrónica: un disco giratorio dividido en

10 sectores es parado en seco, y se anota el número que queda en un punto de referencia.

Hoy en día, el analista puede generar números aleatorios de manera sencilla utilizando un

ordenador personal.

6.3.3.2. Generación de números aleatorios

con Microsoft Excel

Se pueden generar números aleatorios con la hoja de cálculo de Microsoft. El usuario puede

obtenerlos de dos maneras: mediante una instrucción o mediante un procedimiento. Si escri-

bimos en cualquier celda de la hoja de cálculo la siguiente instrucción:

= Aleatorio( )

la hoja de cálculo nos devolverá un número aleatorio comprendido entre 0 y 1. Cada vez que

modifiquemos cualquier celda de esa hoja de cálculo, por ejemplo, escribiendo simplemente

en cualquier celda un número, cambiará el número aleatorio que aparece en la celda donde

hemos puesto la instrucción.

Si deseamos generar números aleatorios mediante un procedimiento, deberemos haber

instalado la opción Análisis de datos en el programa de instalación de Microsoft Excel. Si no

lo hubiéramos hecho, podemos poner el CD-ROM del programa en el lector de CD y ejecutar

el programa de instalación añadiendo la opción Análisis de datos. Una vez instalado, cuando

tenemos abierta una hoja de cálculo, hacemos clic en el menú Herramientas y elegimos Aná-lisis de datos.


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Fig. 4. Contenido del menú Herramientas de Microsoft Excel


Al elegir Análisis de datos aparecerán diferentes herramientas que Excel nos ofrecepara analizar conjuntos de datos. De todas estas elegimos Generación de números aleato-rios. Aparece una caja de diálogo como la que se representa en la Figura 5.

Fig. 5. Caja de diálogo para generar números aleatorios en Excel

Siguiendo el manual de ayuda del propio programa podemos saber qué función tienecada uno de los campos que se observan en esta herramienta:

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• En Número de variables introduzca el número de columnas de valores que deseeincluir en la tabla de resultados. Si no introduce ningún número, Microsoft Excel relle-nará todas las columnas del rango de salida que se haya especificado.

• En Cantidad de números aleatorios introduzca el número de puntos de datos que de-see ver. Cada punto de datos aparecerá en una fila de la tabla de resultados. Si nointroduce ningún número, Microsoft Excel rellenará todas las columnas del rango desalida que se haya especificado.

• Haga clic en el método de distribución que desee utilizar para crear los valores alea-torios. Dentro de este campo podemos elegir entre:

– Uniforme: Caracterizado por los límites inferior y superior. Se extraen las variablescon probabilidades iguales de todos los valores del rango. Una aplicación normalutilizará una distribución uniforme en el rango 0...1.

– Normal: Caracterizado por una media y una desviación estándar. Una aplicación nor-mal utilizará una media de 0 y una desviación estándar de 1 para la distribuciónestándar normal.

– Bernoulli: Caracterizado por la probabilidad de éxito (valor p) en un ensayo dado.Las variables aleatorias de Bernoulli tienen el valor 0 ó 1. Por ejemplo, puede tra-zarse una variable aleatoria uniforme en el rango 0...1. Si la variable es menor oigual que la probabilidad de éxito, se asignará el valor 1 a la variable aleatoria deBernoulli; en caso contrario, se le asignará el valor 0.

– Binomial: Caracterizado por una probabilidad de éxito (valor p) durante un númerode pruebas. Por ejemplo, se pueden generar variables aleatorias Bernoulli de núme-ro de pruebas, cuya suma será una variable aleatoria binomial.

– Poisson: Caracterizado por un valor lambda, igual a 1/media. La distribución dePoisson se utiliza con frecuencia para caracterizar el número de incidencias por uni-dad de tiempo; por ejemplo, el ritmo promedio al que llegan los vehículos a una gari-ta de peaje.

– Frecuencia relativa: Caracterizado por un límite inferior y superior, un incremento,un porcentaje de repetición para valores y un ritmo de repetición de la secuencia.

– Discreta: Caracterizado por un valor y el rango de probabilidades asociado. El ran-go debe contener dos columnas donde la columna izquierda deberá contener valo-res y la derecha probabilidades asociadas con el valor de esa fila. Debe tener encuenta que la suma de las probabilidades deberá ser 1.

• En el campo Parámetros introduzca un valor o valores para caracterizar la distribu-ción seleccionada.

• Si quiere escribir un valor a partir del cual se generen los números aleatorios, escrí-balo en el campo llamado Iniciar con. Podrá volver a utilizar este valor para generarlos mismos números aleatorios más adelante.

• En Rango de salida introduzca la referencia correspondiente a la celda superior izquier-da de la tabla de resultados. Microsoft Excel determinará el tamaño del área de resul-


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tados y mostrará un mensaje si la tabla de resultados reemplaza datos ya existen-tes. Alternativamente haga clic en En una hoja nueva para insertar una hoja nueva enel libro actual y pegar los resultados comenzando por la celda A1 de la nueva hoja decálculo. Para asignar un nombre a la nueva hoja de cálculo, escríbalo en el cuadro.También puede hacer clic En un libro nuevo para crear un nuevo libro y pegar los resul-tados en una hoja nueva del libro creado.

Por ejemplo, si deseamos tener cinco grupos de números aleatorios, que cada grupocontenga quince números aleatorios y que éstos estén generados mediante una distribuciónnormal con media 0 y desviación típica 1, podemos escribir los siguientes datos en la caja:

Fig. 6. Generación de una matriz de 15×5 números aleatorios mediante distribución Normal (0, 1)


Si además queremos que estos números aparezcan en la hoja de cálculo, comenzan-do en la celda A1 y terminando en la E15, podemos hacer clic en la alternativa Rango de sali-da y escribir el rango en el campo disponible para ello. Al final, obtendremos los números alea-torios en una forma parecida a la que se refleja en la Figura 7.

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Fig. 7. Resultado de la generación de números aleatorios


6.3.4. La simulación histórica

Esta técnica de simulación analiza la evolución del activo en el pasado y lo proyecta hacia elfuturo, asumiendo que el comportamiento histórico del valor es un estimador del comporta-miento futuro. El analista debe calcular la variación diaria de cada uno de los componentes dela cartera y asumir que esa variación se repetirá en el futuro a partir de la fecha del análisis.

Supongamos un inversor que quiere analizar a 30 de diciembre de 2003 la inversiónde una cartera que invierte el 31% en el índice de la Banca, el 36% en el índice de las com-pañías de Telecomunicaciones y el 34% en el índice de Petróleo y Gas. Cada uno de estos índi-ces marca la evolución de las empresas que cotizan dentro de ese segmento de cotización, yla cartera que se pretende comprar se desglosa en función de los precios en la fecha de lacompra, como se muestra en la Tabla 2.

Tabla 2

Sector Banca Comunicaciones Petróleo y Gas Valor Cartera

Inversión 30,43% 36,10% 33,47% 100%

Cotización (30/12/2003) 948,86 844,12 1043,76 9.354.340,00 €

Cantidad 3.000 4.000 3.000

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Es decir, a los precios que tienen los índices en la fecha de la compra, el inversor com-prará 3.000 valores del índice Banca, 4.000 del índice Comunicaciones y 3.000 de Petróleoy Gas.

Para calcular los rendimientos durante el último año de la cartera se calcula el loga-ritmo neperiano del cociente entre precios correlativos, en una base de datos que contengalos precios históricos de cada uno de los índices.

En la Tabla 3 se muestra este trabajo. En la columna A están reflejados todos los díaslaborables del año 2003, en la columna B el índice de la Banca para cada fecha, en la colum-na C el índice de Comunicaciones para cada fecha, en la columna D el índice de Petróleo deGas para cada fecha y por último, en la columna E el valor de la cartera. El montante de lacartera se calcula con la siguiente expresión:

Cartera = 3.000 × IBanca + 4.000 × IComunicaciones + 3.000 × IPetróleo

Tabla 3


A continuación, se calculan los rendimientos diarios de cada uno de los componentesde la cartera. Para calcular este rendimiento se utiliza la siguiente expresión:

Rendimiento = Ln (Precio de hoy / Precio de ayer)

cap.6 18/1/05 13:56 Página 281

Los resultados se muestran en la Tabla 4.

Tabla 4


La simulación histórica se basa en la proyección de los rendimientos pasados hacia elfuturo, y con ellos se calcula el nuevo precio que será el resultado de la siguiente expresión:

Precio de hoy = eRendimiento × Precio de ayer

La Tabla 5 muestra los resultados.

Con las 249 simulaciones del valor de la cartera se puede calcular el rendimiento espe-rado, la desviación típica y, en definitiva, el comportamiento esperado de la misma.

cap.6 18/1/05 13:56 Página 282

Tabla 5


6.3.5. El método de simulación de MonteCarlo

6.3.5.1. Introducción

El Método de MonteCarlo consiste en realizar una simulación utilizando números aleatoriospara determinar el comportamiento futuro de las variables analizadas. Existen varios méto-dos de MonteCarlo, por lo que más que método, sería más conveniente denominarle técnicade simulación de MonteCarlo.

Le llamaremos MonteCarlo Dirigido cuando los números aleatorios utilizados para simu-lar el comportamiento de una variable se combinen con la función que represente la distribu-ción de frecuencias de las variaciones de la variable. Y MonteCarlo Camino Aleatorio cuandolos números aleatorios se utilicen sin combinarlos con la función de distribución de las fre-cuencias de las variaciones de la variable.

El método MonteCarlo Dirigido se desarrolla con los siguientes pasos:

1. Especificar las variables a estudiar.

2. Estimar la distribución de probabilidad que explica el comportamiento de las variables.

3. Calcular las probabilidades acumuladas de cada una de las variables.

4. Generar un número aleatorio.

5. Vincular el número aleatorio con las variables cuya probabilidad acumulada sea menoro igual al número aleatorio obtenido.

6. Repetir el experimento para obtener el número deseado de valores muestrales.

cap.6 18/1/05 13:56 Página 283

Sin embargo, en el método MonteCarlo Camino Aleatorio se plantea la ecuación devariación de la variable y sobre ella se utiliza el número aleatorio para determinar el tamañode la variación. Un ejemplo es la simulación de los tipos de cambio entre dos monedas, cuyaecuación sería:

Tc1 = Tc0 + [Volatilidad × RND − (Volatilidad / 2)] × 2

donde:

Tc1 y Tc0 son los tipos de cambio en el momento 1 y el momento 0, y RND es un núme-ro aleatorio entre 0 y 1.

Esta ecuación ofrece un camino aleatorio en la evolución de los tipos de cambio. Si eltipo de cambio de referencia entre el dólar y el euro es la paridad y la volatilidad anual es del22%, se puede calcular la evolución simulada del tipo de cambio para los siguientes treintadías, tal y como aparece en la Figura 8.

Fig. 8. Simulación de la evolución del tipo de cambio dólar euro


6.3.6. Análisis de diferentes productos financieros mediante

la simulación de MonteCarlo en Excel

La técnica de MonteCarlo sirve para analizar todo tipo de productos, entre ellos las opcio-nes exóticas y los productos estructurados. La mayoría de las opciones exóticas no pue-den ser valoradas mediante Black Scholes, ya que no se adecuan a los requerimientos exi-gidos por la fórmula y, aunque se han desarrollado ecuaciones paramétricas para su

cap.6 18/1/05 13:56 Página 284

valoración, el método de MonteCarlo es una técnica válida para encontrar el precio deestos productos.

Veamos cómo a través de la simulación de MonteCarlo se puede analizar el precio dediferentes opciones exóticas.

6.3.6.1. Opción americana no estándar

Supongamos que tenemos un Warrant a siete años. El precio de ejercicio es de 30 dólaresentre principio del año tercero y finales del cuarto, 32 dólares en los siguientes dos años, y33 dólares en el año final. El precio actual del subyacente es de 29 euros y el tipo de interéslibre de riesgo, el 3%.

En primer lugar, se calcula el histograma de frecuencias de los rendimientos del sub-yacente, que se muestra en la Tabla 6.

Tabla 6

Rendimientos Relativas Acumuladas

-6,0% 0% 0%

-5,0% 1% 1%

-4,0% 2% 3%

-3,0% 5% 8%

-2,0% 7% 15%

-1,0% 12% 27%

0,0% 28% 55%

1,0% 24% 79%

2,0% 13% 92%

3,0% 5% 97%

4,0% 2% 99%

5,0% 1% 100%

Como podemos observar, el histograma de los rendimientos se aleja mucho de la figu-ra que dibujaría una distribución normal. Con este histograma de frecuencias y MonteCarloDirigido se puede simular el comportamiento del precio del subyacente durante la vida de laopción, y decidir para cada nivel de precio alcanzado, según las características de la opción,si se ejerce o no la misma.


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Fig. 9. Histograma de frecuencias de las variaciones del precio


El modelo de MonteCarlo exige realizar numerosos ciclos de simulación para tener lossuficientes resultados que nos permitan calcular la perfomance del producto. Por ejemplo, enun ciclo cualquiera se pueden haber generado unos números aleatorios que ofrezcan una evo-lución de los precios como la representada en la Tabla 7.

Tabla 7

Año Precio ejercicio Subyacente Beneficio

seis meses - 29 0

un año - 29 0

año y medio - 17,25 0

dos años - 19,58 0

dos años y medio 30 19,58 0

tres años 30 19,58 0

tres años y medio 30 22,22 0

cuatro años 30 22,22 0

cuatro años y medio 32 25,22 0

cinco años 32 32,04 0,04

cinco años y medio 32 36,37 4,37

seis años 32 51,11 19,11

seis años y medio 33 51,11 18,11

siete años 33 37,30 4,30

cap.6 18/1/05 13:56 Página 286

En la primera columna se muestran los diferentes semestres hasta completar los sie-te años. El análisis se podría haber realizado con periodos más pequeños, por ejemplo días,pero buscando la comodidad de la lectura se ha reducido a semestres. Es evidente que si seutilizan periodos más pequeños se consigue un análisis del precio más perfecto. En la segun-da columna aparece el precio de ejercicio tal como está especificado en el contrato. En la ter-cera columna aparece el precio del subyacente calculado como MonteCarlo Dirigido, utilizan-do números aleatorios y usando el histograma de frecuencias. Por ejemplo, si el númeroaleatorio es 0,2345, vemos en el histograma de frecuencias que al considerar este númerocomo si fuese una frecuencia acumulada, le corresponde una variación del −1% diario, querepresenta una variación de :


– 0,01 × = – 0,135√ 3652

Esta variación se aplica al precio del subyacente para obtener el siguiente precio. Sigeneramos 13 números aleatorios podemos determinar, utilizando la técnica de MonteCarlodirigido, el camino aleatorio dirigido del precio del subyacente.

Con esta evolución de los precios se puede analizar el beneficio que obtiene el inver-sor si ejerce la opción. En la última columna se calcula el beneficio en el caso de poder ejer-cerse la opción. Las características de ésta no permitían su ejercicio hasta el tercer año,momento en el cual tendría diferentes precios de ejercicio con el transcurrir del tiempo.Obtenemos, por tanto, diferentes posibles beneficios de la opción en función de si es ejerci-da en ese momento.

Lo que se obtiene son capitales futuros que hay que actualizar. Empleamos la capitali-zación continua para actualizar cada uno de los beneficios futuros, a través de la ecuación:

Valor actual = Beneficio × e-Tiempo × Tipo interés

En la Tabla 8 aparecen las actualizaciones realizadas para este ciclo:

Podemos suponer que cada uno de los valores actuales obtenidos son equiprobables,ya que la probabilidad de aparición está de manera subyacente al utilizar la frecuencia acu-mulada para determinar la variación. Al ser 10 posibles capitales (tantos como beneficios),el valor actual medio será la suma de los valores actuales dividida entre 10. En este caso,3,808 euros. Al realizar 100 simulaciones como ésta, obtenemos que la esperanza mate-mática de los precios simulados es de 11,11 euros, con una desviación típica de 18,77 euros.

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Tabla 8

Año Precio ejercicio Subyacente Beneficio Valor Actual

seis meses no 29 0

un año no 29 0

año y medio no 17,2469472 0

dos años no 19,5768815 0 0

dos años y medio 30 19,5768815 0 0

tres años 30 19,5768815 0 0

tres años y medio 30 22,2215725 0 0

cuatro años 30 22,2215725 0 0

cuatro años y medio 32 25,2235417 0 0

cinco años 32 32,0385673 0,03856733 0,03319521

cinco años y medio 32 36,3667394 4,36673944 3,70253088

seis años 32 51,1053673 19,1053673 15,9581442

seis años y medio 33 51,1053673 18,1053673 14,8977237

siete años 33 37,2974574 4,29745743 3,48345129

SUMA 38,0750453

6.3.6.2. Opciones sobre opciones

Una opción sobre una opción proporciona al propietario el derecho a adquirir una opción (decompra o de venta) en una fecha determinada y con una prima determinada.

Supongamos que el IBEX 35 está a 8.154 puntos y se quiere valorar una opción sobrela opción del IBEX con precio de ejercicio 8.500, prima 100 y vencimiento a 18 días. El pro-pietario tiene derecho a adquirir por 100 euros la opción de compra sobre el IBEX 35 a 8.500puntos. Para calcular el precio de este producto financiero utilizaremos una binomial y la repe-tiremos un número determinado de veces; las volatilidades de cada binomial las simularemosmediante MonteCarlo.

Con los precios históricos del IBEX desde 1990 se obtiene el histograma de la volati-lidad, medida como la desviación típica anualizada de los rendimientos diarios de los últimos30 días. En la Tabla 9 se muestra el histograma de frecuencias de la volatilidad del IBEX 35.

La representación gráfica de este histograma de frecuencias proporciona la volatilidaddel IBEX 35, que se muestra en la Figura 10.


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Tabla 9

σ Observaciones FrecuenciaAcumulada

5% 0 0,0%

10% 6 0,2%

15% 569 20,2%

20% 621 42,0%

25% 867 72,5%

30% 315 83,6%

35% 193 90,4%

40% 137 95,2%

45% 52 97,0%

50% 39 98,4%

55% 14 98,9%

60% 3 99,0%

65% 15 99,5%

70% 14 100,0%

Fig. 10. Frecuencia de la volatilidad del IBEX 35

√ 365


cap.6 18/1/05 13:56 Página 289

La volatilidad del IBEX se centra, principalmente, en el rango del 15% al 25%. Con estadistribución de volatilidad, simulamos el camino aleatorio dirigido seguido por un árbol bino-mial.

En cada simulación generamos un número aleatorio, por ejemplo 0,4452, y utilizandoel histograma de la volatilidad, vemos que corresponde a una volatilidad del 25%. Teniendoen cuenta que hay 18 días desde la fecha de valoración hasta el vencimiento y sabiendo queel IBEX está situado en los 8.154 puntos, calculamos el precio up y el precio down con lassiguientes fórmulas:


Pup = 8.154 × e 0,25 × = 8.619,91√ 18

365

Pdown = 8.154 × e -0,25 × = 7.714,03√ 18

365

Para estos precios, en un entorno libre de riesgo, la probabilidad de llegar al precio upes de 50% y con esta probabilidad se puede calcular el valor de la opción sobre el IBEX conprecio de ejercicio de 8.500 puntos, que resulta ser de 59,80 euros. Con este valor, la opciónsobre la opción con precio de ejercicio de 100 euros no vale nada.

Realizamos esta simulación 1.000 veces, generando 1.000 números aleatorios, y obte-nemos un precio medio, para la opción sobre la opción del IBEX, de 22,26 euros con una des-viación típica de 60,06 euros.

6.3.6.3. Opciones Chooser

Es una opción en la que, en un periodo t, el propietario puede elegir si es call o put. Si es unaChooser simple la decisión se toma en el vencimiento de la opción. Si es compleja se decideen un momento anterior al vencimiento. Una manera de valorar este tipo de opciones es em-pleando árboles binomiales y simulando por MonteCarlo las volatilidades del subyacente.

Analicemos la siguiente estructura:

• Fecha de valoración: 4 de febrero de 2004

• Fecha de determinación call / put: 1 de marzo de 2004

• Fecha de vencimiento 19 de marzo de 2004

• Valor del IBEX 35 en la fecha de valoración: 8.154,40

• Tipo de interés libre de riesgo, anual: 3%

• Precio de ejercicio: 8.200

El esquema del árbol del binomial es el que aparece en la Figura 11.

cap.6 18/1/05 13:56 Página 290

Fig. 11. Árbol binomial para el cálculo de la opción


El histograma de volatilidades anuales del índice, tomando datos desde su inicio a prin-cipios de 1990, se refleja en la Tabla 10. La volatilidad anual se calcula como el producto dela desviación típica de los rendimientos diarios y la raíz cuadrada de 365.

Vol = STDdiario × Raíz (365)

Si generamos un número aleatorio –por ejemplo, 0,245– y se utiliza MonteCarlo, obser-vamos en el histograma de volatilidades que corresponde a una volatilidad anual del 20%. Conesta volatilidad se puede calcular el árbol de precios, teniendo en cuenta que el tiempo hastael momento de la elección es de 26 días, y desde ahí hasta el vencimiento 18 días. Los pre-cios obtenidos, para esta volatilidad, son los siguientes:

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Tabla 10


Fig. 12. Posibles precios

Con el árbol binomial construido se pueden calcular las probabilidades de precio up enun entorno libre de riesgo. Con estos datos la probabilidad desde el momento de decisión has-ta el vencimiento es del 51%, y la probabilidad desde la fecha valor hasta el momento de deci-sión es del 51%.

Prácticamente coincidirán en todos los ciclos con pequeñas diferencias de decimales.Con estos datos ya podemos calcular el precio de una opción Chooser.

Después de 1.000 simulaciones con sus respectivos árboles binomiales obtenemosque el precio medio de esta opción es de 553,57 euros con una desviación típica de 215,84.

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Fig. 13. Árbol binomial final


6.3.6.4. Opciones barrera

Los beneficios para el propietario de esta opción están sujetos a que el valor del subyacentesupere un nivel determinado en el momento T. Suelen ser más baratas que las opciones puras.Pueden existir dos tipos de opciones barrera:

• Opción de barrera de salida. (Knock-out options). La opción deja de existir cuando elsubyacente se iguala a un número Z.

• Opción de barrera de entrada (Knock-in options). La opción comienza a existir cuan-do el subyacente se iguala a un número Z.

La Figura 14 ilustra el comportamiento de este tipo de opciones.

Valoremos la siguiente estructura:

Knock-out Call

P. Ejercicio: 8.300

Barrera: 8.800

Subyacente: 8.000

Vencimiento: Tres meses

En la Tabla 11 se muestra el histograma de los rendimientos diarios. Este histogramaservirá para realizar una simulación de MonteCarlo.

cap.6 18/1/05 13:56 Página 293

Fig. 14. Representación de los beneficios en una opción knock-out, en el caso de call y put


Histograma que podemos representar en la Figura 15. Podemos observar que se ale-ja de una distribución normal y que es evidente la asimetría hacia la derecha de la distribu-ción.

Tabla 11

Variación diaria Observaciones Acumulada

-8% 0 0,00%

-7% 3 0,10%

-6% 1 0,14%

-5% 4 0,28%

-4% 9 0,59%

-3% 30 1,63%

-2% 117 5,70%

-1% 336 17,39%

0% 861 47,34%

1% 967 80,97%

2% 390 94,54%

3% 110 98,37%

4% 34 99,55%

5% 7 99,79%

6% 3 99,90%

7% 3 100,00%

8% 0 100,00%

cap.6 18/1/05 13:56 Página 294

Fig.15. Histograma de frecuencias de los rendimientos


Calculemos mediante números aleatorios la variación a final de cada mes y, con esasvariaciones, simulemos el comportamiento del precio del IBEX 35.

Por ejemplo, si el número aleatorio para enero es 0,9351 se le atribuye, a una varia-ción del 10,95%, por lo que el IBEX cerrará a 8.926,16; si el número aleatorio para febreroes 0,1062, se le atribuye una variación de −5,48% por lo que el IBEX caerá a 8.450,40 pun-tos; y por último si el número aleatorio es de 0,7646, la variación atribuida es del 5,48% yel IBEX volverá al nivel de enero.

RND enero RND febrero RND marzo

0,9351 0,1062 0,7646

10,95% -5,48% 5,48%

8.926,16 8.450,40 8.926,16

Después de 500 simulaciones se obtiene un precio de 45,38, con una desviación están-dar de 124,36. Esta desviación típica tan elevada se debe a la cantidad de ciclos en los quela opción está por encima de la barrera y vence sin valor.

6.3.6.5. Opciones Lookback

Los pagos dependen del máximo o del mínimo del subyacente durante la vida de la opción. Elpago es igual a la cantidad en el que el precio final de la acción excede al precio mínimo alcan-zado por el subyacente durante la vida de la opción. Es decir:

cap.6 18/1/05 13:56 Página 295

Pago = S – min(ST)

Valoremos la siguiente opción

Subyacente: 8.000 puntos

Vencimiento: 10 días

Para valorar este tipo de opciones debemos construir una simulación del camino alea-torio dirigido. Para ello vamos a utilizar el histograma de frecuencias de las variaciones dia-rias del subyacente que reflejamos en la Tabla 12.

Construimos la siguiente estructura que nos permitirá calcular diferentes simulacio-nes, mediante MonteCarlo, para establecer el camino aleatorio de los precios con ellas y cal-cular la diferencia del último precio con el mínimo de toda la serie.

Tabla 12


cap.6 18/1/05 13:56 Página 296

Tabla 13


El lector puede conseguir en el Apéndice de este libro tanto el código que hay que escri-bir en el editor Visual Basic del botón SIMULAR, como las indicaciones para programar la hojade cálculo.

El resultado es que el precio esperado es de 495,14, con una desviación típica de315,44. Estos números quedan reflejados en la Tabla 14.

Tabla 14

6.3.6.6. Opción llamada

Son opciones que al final del vencimiento ofrecen un pago que será el máximo entre la dife-rencia del valor del subyacente en la fecha de vencimiento y el precio de ejercicio, y la dife-rencia entre el valor del subyacente de un determinado momento y el precio de ejercicio, siem-pre que estas diferencias sean positivas. Si son negativas, el pago es cero.

En este caso retomamos el ejemplo anterior y solamente tenemos que realizar unaligera modificación en el código de Visual Basic. Dicha modificación se puede obtener en elApéndice de códigos

6.3.6.7. Opción Asiática

Este tipo de opciones paga la diferencia entre la media del subyacente, durante h perio-dos, menos el precio de ejercicio. La valoración de este tipo de opciones se puede reali-zar mediante la aproximación de Levy o por simulación de MonteCarlo. Para realizar lasimulación retomamos la estructura anterior y modificamos el código como aparece en elApéndice de códigos.

cap.6 18/1/05 13:56 Página 297

6.4. EL VALOR EN RIESGO (VAR)

6.4.1. Introducción

VaR son las siglas de Valor en el Riesgo (Value at Risk) y fue desarrollado por la división RiskMetric de JP Morgan en 1994. El VaR es una manera de medir el riesgo de mercado deun activo o una cartera de activos financieros. De manera resumida el VaR cuantifica la máxi-ma pérdida potencial que una cartera puede tener en función de un nivel de confianza, y paraun determinado horizonte temporal. Dicho de otra manera, al calcular el VaR obtendremos unnúmero que representa la pérdida máxima que se puede tener en la cartera.

Por ejemplo, si el VaR de una cartera está calculado en – 5.000 euros en un día, conun índice de confianza del 95%, no quiere decir que obligatoriamente se pierdan los 5.000euros, sino que, en el caso de entrar en pérdidas, lo máximo que se puede perder de hoy amañana, y con una probabilidad del 95%, son 5.000 euros. De esta forma, se puede ajustarel capital necesario.

Fig. 16. Histograma de frecuencias de las pérdidas y ganancias diarias del IBEX 35 desde 1990 hasta 2002


Otra medida complementaria del VaR es la denominada Pérdida Esperada en la Cola oETL (Expected Tale Looses). Cuando se calcula el VaR para un índice de confianza determina-do, por ejemplo, el 95% se divide la distribución de pérdidas y ganancias en dos conjuntos:uno que contiene el 5% y tiene las pérdidas superiores al VaR, y otro del 95% con las pérdi-das inferiores al VaR y los beneficios. Esto se puede observar en la siguiente Figura 16, dondese ha construido el histograma de frecuencias de las pérdidas y ganancias diarias del IBEX 35desde enero de 1990 hasta finales de 2002. La línea vertical que parte en un nivel de pérdi-

cap.6 18/1/05 13:56 Página 298


das entre los -150 y los -200 euros, es el quinto percentil de la distribución que deja a laizquierda el 5% y a la derecha el 95% de la distribución. Esa línea representa el VaR al 95%,ya que es la máxima pérdida que se puede obtener al 95% de probabilidad. Dicho de otramanera, si las pérdidas y ganancias fuesen un juego de azar y las extracciones se obtuviesende este histograma, hay un 95% de obtener una pérdida o una ganancia del conjunto de laderecha, y la máxima pérdida son -150 euros.

Pero existe un 5% de probabilidad de obtener una pérdida diaria superior a -150 yese riesgo no es desdeñable; un gestor de carteras puede adecuar su capital perfecta-mente a lo que le indique el VaR, ya que puede arruinar la empresa si un día obtiene unapérdida dentro del conjunto situado a la izquierda del percentil que marca el VaR y esapérdida es lo suficientemente grande. Es decir, es preciso tener también alguna medidade esas pérdidas que se quedan en la cola. Esa medida es el promedio de las pérdidasque exceden al VaR por la izquierda durante un periodo de tiempo. A esta media es lo quedenominamos ETL.

6.4.2. Cálculo del VaR

Básicamente el VaR se puede calcular mediante dos metodologías:

1. Metodología paramétrica. Basada en las varianzas y covarianzas de los rendimien-tos de los precios de los activos.

2. Metodología de simulación, que se subdivide en:

a) Simulación histórica. En función de los rendimientos históricos de los precios delos activos.

b) Simulación de MonteCarlo. En función de la simulación de rendimientos median-te números aleatorios.

6.4.2.1. Cálculo del VaR mediante la metodología

paramétrica

Esta metodología es la recomendada para carteras de acciones y de divisas en las que seconoce la distribución estadística de los rendimientos. La ecuación que calcula el VaR para-métrico es la siguiente:

Ecuación 1

VaR = VM × σi × Nσ ×

donde:

VM el valor de mercado del activo.

σi la desviación estándar de los rendimientos de los precios del activo.

Nσ el número de desviaciones estándar que hay dentro del nivel de confianza escogi-do y la distribución estadística elegida (generalmente se utiliza la distribución normal).

√ t

cap.6 18/1/05 13:56 Página 299

En el caso de una cartera de activos, el VaR vendrá dado por la siguiente ecuación:

VaRp = VMC × σp × Nσ ×

donde:

VMC el valor de mercado de la cartera

√ t


σp = ∑N

i=1 ∑N

j=1 Xi · Xj · σij

(0,25 0,30 0,45) × × = 0,02009)0,25

0,30

0,45()0,0004746 0,00022582 0,0001853

0,00022582 0,00104613 0,000346

0,0001853 0,000346 0,00054811(

Veamos un ejemplo:

Supongamos una cartera de acciones con un valor de 10.000 euros y que está com-puesta por un 25% invertido en Acerinox, un 30% en Amadeus y el 45% restante en BBVA.Con los precios históricos de los últimos cuatro años y medio calculamos los rendimientosdiarios, y obtenemos la información que se detalla en la Tabla 15.

Tabla 15

Pesos Rendimiento STD Covarianzas

Acerinox 25% 0,017% 2,179% 0,0004746 0,00022582 0,0001853

Amadeus 30% -0,110% 3,234% 0,00022582 0,00104613 0,000346

BBVA 45% -0,011% 2,341% 0,0001853 0,000346 0,00054811

El riesgo de la cartera medido por su desviación típica es de 2,009% diario. Es decir:

Representa una volatilidad anual del 31,13% si asumimos una media de 240 días decotización al año.

0,02009 × = 0,3113

Para calcular el VaR paramétrico hay que aceptar la hipótesis de que los rendimientosde la cartera se distribuyen mediante una normal, y calcular cuántas desviaciones típicas tie-ne dicha distribución para el índice de confianza indicado.

√ 240

cap.6 18/1/05 13:56 Página 300

En la Figura 17 representamos el histograma de frecuencias de los rendimientos de lacartera y lo comparamos con una distribución normal. Se puede comprobar que la distribu-ción de la cartera es muy similar a la normal, por lo que podemos utilizar la metodología para-métrica.

La Tabla 16 es una tabla de doble entrada. En las columnas se han situado los dife-rentes grados de confianza, y en las filas los diferentes horizontes temporales. En la segun-da fila se ha insertado el cálculo NSTD que indica el número de desviaciones típicas que exis-ten en una distribución normal para el grado de confianza asignado. Por ejemplo, en el 99%de toda la distribución están comprendidas 2,33 desviaciones típicas. En otras palabras, sia la media se le suma y resta 2,33 veces la desviación típica, se obtiene un rango que com-prende el 99% de la distribución.

Fig. 17. Histograma de los rendimientos de la cartera frente a una distribución normal


Tabla 16

G. confianza

días 99% 98% 95% 90%

NSTD 2,33 2,05 1,64 1,28

1 198,94 € 196,93 € 190,90 € 180,85 €

2 281,34 € 278,50 € 269,97 € 255,76 €

5 444,83 € 440,34 € 426,86 € 404,40 €

20 889,67 € 880,68 € 853,72 € 808,79 €

60 1.540,95 € 1.525,39 € 1.478,69 € 1.400,87 €

cap.6 18/1/05 13:56 Página 301


6.4.2.2. Cálculo del VaR mediante simulación histórica

El procedimiento para el cálculo del VaR mediante la simulación histórica es el siguiente:

1. Identificación de las series temporales de las variables que afectan al valor del acti-vo.

2. Cálculo de los rendimientos en cada periodo. Se utiliza para realizar este cálculo lastasas de variación continuas:

Rto = Ln

donde PiX es el valor i–esimo de la serie de la variable x.

3. Generación de los pesos simulados. A los valores actuales se les aplica las n-1 tasasde variación calculadas anteriormente, obteniendo n-1 escenarios.

4. Cálculo de los valores patrimoniales para cada escenario.

5. Cálculo de las pérdidas o ganancias para cada valor patrimonial.

6. Cálculo del percentil del vector de pérdidas y ganancias.

Veamos un ejemplo:

Analicemos una cartera de 10.000 euros invertida íntegramente, a finales de agostode 2004, en un fondo de inversión indiciado al índice AIAF de bonos y obligaciones empresa-riales con vencimiento superior a 2 años. Los datos que recibe el inversor son mensuales yse puede albergar la sospecha de que la distribución de los rendimientos mensuales no secomporta como una normal. Para comprobarlo se construye el diagrama de frecuencias delos rendimientos mensuales del índice AIAF, y se compara con una distribución normal. LaFigura 18 muestra este diagrama de frecuencias.

Nuestras sospechas se confirman, ya que el gráfico de barras se asemeja muy poco ala figura de la distribución normal. Esto condiciona elegir la metodología de cálculo del VaR yobliga a rechazar la metodología paramétrica. Por lo tanto, en este ejemplo emplearemos lasimulación histórica.

En la Tabla 17 se sitúa en la columna B el índice AIAF, y en la C el rendimiento mensualde este índice, calculado a través de la siguiente fórmula:

Rto = Ln(Precio mes actual / Precio mes pasado)

)Pix

P(i–1)x(

cap.6 18/1/05 13:56 Página 302


El último precio, de agosto de 2004, se sitúa al principio de la columna D de la Tabla,columna que se denomina simulación. Esta técnica proyecta el comportamiento pasado del índi-ce hacia el futuro, por lo que los incrementos y decrementos del índice ya están fijados. El pre-cio del siguiente día se calcula teniendo en cuenta el primer rendimiento que hubo en la serie dedatos utilizada, y el segundo precio simulado se calcula con el segundo rendimiento de la seriede datos. La ecuación que utilizamos para calcular los nuevos precios es la siguiente:

Nuevo precio = Precio mes pasado × eRendimiento

Fig. 18. Histograma de frecuencias de los rendimientos mensuales del índice AIAF desde octubre de 1991 hasta noviembre de 2001

Tabla 17

cap.6 18/1/05 13:56 Página 303

Así, por ejemplo, el primer precio simulado se calcula como

4,13 × e0,0168 = 4,20

y el segundo precio

4,20 × e-0,011 = 4,154

y así sucesivamente.

Una vez que se ha simulado la nueva serie de precios del índice AIAF se puede calcular elvalor simulado de la cartera en cada momento. Estos cálculos aparecen en la columna E. Conestos datos podemos calcular la serie simulada de pérdidas y ganancias mensuales, calculandolas diferencias correlativas de los valores de la cartera, que se sitúan en la columna F.

Una vez calculada esta serie se puede calcular el VaR con un índice de confianza del95%, con sólo calcular el quinto percentil de la serie de pérdidas y ganancias. El valor del VaR(95%) es de − 526,20 euros de pérdida. Es decir, que la máxima pérdida que el inversor pue-de tener en un mes comprando esta cartera es de 526,2 euros.

6.4.2.3. Simulación de MonteCarlo

El VaR mediante la simulación de MonteCarlo utiliza números aleatorios para simular las varia-ciones de las variables con las que se calcula el precio de la cartera. Se puede resumir estatécnica en los siguientes pasos:

1. Identificar las variables creadoras de valor de la cartera y tomar una serie históri-ca de precios.

2. Calcular los rendimientos periódicos mediante el logaritmo neperiano del cocientede los precios correlativos.

3. Calcular la frecuencia acumulada de los rendimientos en la serie histórica tomada.

4. Generar tantos números aleatorios como simulaciones se quiera realizar.

5. Cada número aleatorio representa una frecuencia acumulada que está asignada aun rendimiento en concreto.

6. Utilizar ese rendimiento para calcular la variación de los precios.

7. Calcular la serie de pérdidas y ganancias con los precios simulados.

8. Calcular el percentil adecuado que represente el Valor en Riesgo.

Veamos un ejemplo.

El 29 de abril de 2004 un inversor quiere calcular el VaR, a través de la simulación deMonteCarlo, de una cartera que compra 9 futuros mini del S&P 500.

Para esto toma la serie de precios de cierre de este índice desde el 28 de noviembrede 1997, y calcula los rendimientos diarios con el logaritmo neperiano de los precios diarios


cap.6 18/1/05 13:56 Página 304

correlativos. Con la serie de los rendimientos construye el histograma de frecuencias, queresulta ser el que se representa en la Tabla 18.

1.113,89 e0,005 = 1.119,47

Tabla 18

Incremento Frecuencia Acumulada

-7,0% 1 0,06%

-6,5% 0 0,06%

-6,0% 0 0,06%

-5,5% 1 0,12%

-5,0% 1 0,19%

-4,5% 0 0,19%

-4,0% 3 0,37%

-3,5% 5 0,69%

-3,0% 12 1,44%

-2,5% 23 2,87%

-2,0% 43 5,56%

-1,5% 92 11,31%

-1,0% 126 19,18%

-0,5% 210 32,29%

0,0% 281 49,84%

0,5% 262 66,21%

1,0% 234 80,82%

1,5% 145 89,88%

2,0% 74 94,50%

2,5% 43 97,19%

3,0% 16 98,19%

3,5% 12 98,94%

4,0% 9 99,50%

4,5% 2 99,63%

5,0% 3 99,81%

5,5% 2 99,94%

6,0% 1 100,00%


cap.6 18/1/05 13:56 Página 305

El paso siguiente es generar números aleatorios. Se generan 1.601 números aleato-rios para realizar 1.601 días de simulación. Cada número aleatorio representa una frecuen-cia acumulada y, por tanto, un incremento. Por ejemplo, el primer número aleatorio es0,58399483, que representa una frecuencia acumulada de 58,40%. Si localizamos esta fre-cuencia en la tabla de frecuencia acumulada anterior, vemos que corresponde a un incrementodel 0,5%. El precio del S&P 500, que en la fecha del análisis estaba en 1.113,89 puntos, seincrementará en esa cantidad, y el nuevo precio será de 1.119,47 puntos.

Con este procedimiento se calculan todos los precios de los 1.601 días simulados, ya continuación, se calcula el valor de la cartera multiplicando por 9 el S&P 500, obteniendola serie de 1.601 valores de la cartera. Se calculan las pérdidas y ganancias, como la dife-rencia de los diferentes precios correlativos, y el quinto percentil de esta serie de pérdidas yganancias, para derivar el VaR con un índice de confianza del 95%. El VaR resulta ser de −1.313,73 euros. Es decir, la máxima pérdida que se puede tener en la cartera, con una pro-babilidad del 95% y en un día, es de 1.313,73 euros.

La Tabla 19 resume estos cálculos.

Tabla 19


6.4.3. Cálculo de la ETL

Como ya se ha señalado, la ETL son las siglas inglesas que se refieren a la Pérdida Esperadaen Cola (Expected Tale Loss) y representa el promedio de los valores negativos que excedenal VaR por la izquierda.

Su cálculo no está exento de complejidad, pero se puede resumir en los siguientes puntos:

1. Calcular el VaR para una cartera en un periodo determinado.

2. Calcular las pérdidas y ganancias de los últimos n periodos.

3. Extraer las pérdidas que excedan por la izquierda al VaR.

4. Calcular el promedio de esas pérdidas.

Tomamos el primer cuatrimestre del IBEX 35 y calculamos el VaR paramétrico con uníndice de confianza del 95% y una desviación típica de 60 días. Se construye la serie de pér-didas y ganancias diarias como diferencia entre los valores correlativos del índice. Por último,

cap.6 18/1/05 13:56 Página 306

observamos, para cada día, los 60 valores de pérdidas y ganancias inmediatamente poste-riores, y de esta serie de valores extraemos los que tienen un valor inferior al VaR de ese día.El promedio es la ETL.

Lógicamente, y tomando el concepto de VaR, la ETL debe comprender el porcentajecomplementario al índice de confianza. Es decir, si hemos calculado un VaR al 95%, la ETLdebe contener el 5% de los valores de pérdidas y ganancias.

La Figura 19 muestra la representación de la ETL (línea fina), del VaR (línea gruesa),y de las pérdidas y ganancias (+). Observamos que existen algunas pérdidas que se sitúanpor debajo de la línea del VaR. La ETL es el promedio de esas pérdidas y como tal,se situarásiempre por debajo del VaR.

Fig. 19. Representación del VaR y de la ETL para periodos de 60 días del IBEX 35 desde abril de 2003 hasta abril de 2004


Cuando se calcula la ETL para una serie larga se cumplen las características que sehan comentado en este epígrafe. Tomando la serie del IBEX 35 desde enero de 1990 hastaabril de 2004 se obtienen 3.336 valores. Al realizar el VaR paramétrico, al 95% de confian-za y tomando 60 días para el cálculo de la desviación típica, se observa que el 5,17% de laspérdidas y ganancias diarias se sitúan por debajo del nivel del VaR.

La ETL es una mejor medida para la adecuación del riesgo de los gestores ya que, aun-que con el VaR al 95% se consigue que la adecuación responda al 95% de los casos, uno delos casos del 5% restante puede tener tal magnitud de pérdida que arruine la cartera o laempresa. La ETL mitiga en alguna medida este problema al aumentar el capital asignado a laadecuación del riesgo.

cap.6 18/1/05 13:56 Página 307

6.5. ANÁLISIS DE BONOS CON CUPÓN VARIABLE (FRN)

6.5.1. Características principales de un FRN

Los FRN son bonos con cupón variable (Floating Rate Note), lo que supone que los pagos estánreferenciados a un tipo de interés, generalmente el LIBOR o el EURIBOR. La estructura bási-ca de un FRN suele ser un bono emitido a medio o largo plazo con pagos semestrales y undiferencial que se calcula en función del riesgo del emisor.

Por ejemplo, un bono con las siguientes características:

Emisor: Entidad AAA

Amortización: Dentro de 3 años, el 100% del nominal

Cupón: LIBOR seis meses + 0,25% (6MoL + 25 p.b.)

Pagos: Semestrales

Base: Real / 360

Euribor (spot): 2%

Sobre el bastidor de un FRN se le pueden añadir diferentes productos financieros, talescomo Caps o Floors, para obtener estructuras que se adapten a los requerimientos del inver-sor. Un Cap es un producto financiero en el que se establece un tipo de interés de referencia;cuando el interés, Euribor o LIBOR, supera esa referencia, el emisor pagará, al compradordel Cap, la diferencia entre este tipo y la referencia. Un Floor desarrolla el mismo conceptoque el Cap, con la diferencia de que el pago del emisor al poseedor se produce cuando el inte-rés cae por debajo de la referencia.

Para analizar la familia de los FRN vamos a realizar una simulación de MonteCarlo paracalcular el precio para diferentes niveles del tipo de interés a plazo (Forward) y su duraciónmodificada.

Partimos de la hipótesis de que los tipos actuales (Spot) llegarán a los niveles de lostipos Forward en el plazo de éstos. Pero la evidencia empírica nos dice que este camino noes lineal, sino aleatorio. Es decir, si los tipos actuales son del 3% y los tipos a plazo a tresaños del 9%, la evolución de los tipos no será con incrementos del 1% cada año, sino querecorrerá un camino aleatorio hasta llegar al 9%.

En Figura 20 se muestra la evolución simulada a través de MonteCarlo, con un cami-no aleatorio no dirigido, de los tipos de interés a tres años, asumiendo la hipótesis de que lostipos actuales llegarán a ser los tipos a plazo en el futuro.

También se podría lograr la simulación con un camino aleatorio dirigido utilizando el his-tograma de las variaciones mensuales del tipo interbancario, con la que se construye la tablade frecuencias, tal y como se refleja en la Tabla 20.


cap.6 18/1/05 13:56 Página 308

Fig. 20. Evolución simulada de los tipos de interés mediante un camino aleatorio no dirigido


Tabla 20

Los datos para construir esta Tabla se han obtenido de la página web del Banco deEspaña, más concretamente del Boletín Estadístico donde se publican los tipos de interésinterbancario al final de cada mes. La hoja Excel que realiza todos los cálculos se encuentradisponible en el fichero.

En la columna A de la Tabla 21 se muestran los diferentes precios, duraciones y rentabi-lidades para diferentes tipos forward. En la columna B se calcula el VAN del FRN para cada unode esos precios forward; en la columna C se calcula la duración; y, por último, en la columna D secalcula la TIR de cada producto al comparar los flujos de caja con un precio de 100. Un detalleque hay que tener en cuenta es que el cupón se calcula con el nivel de los tipos de interés del perio-do anterior. Es decir, el cupón del periodo 1 se calcula con el Euribor en el momento actual; elcupón del periodo 2 se calcula con el nivel del Euribor en el periodo 1, y así sucesivamente.

cap.6 18/1/05 13:56 Página 309

Se observa que la duración modificada del FRN es prácticamente cero, ya que, antevariaciones de los tipos de interés, el precio del FRN no se modifica, debido a que ambos pre-cios varían en la misma proporción. El precio depende del valor del tipo forward. Así, si lostipos evolucionan y se sitúan entre el 3,5% y el 4%, el FRN cotizará a la par. Estos datos sereflejan en la figura 21, donde el valor está representado en la curva ascendente y la duraciónen la descendente.

Tabla 21


Fig. 21. VAN y duración del FRN

El rendimiento es creciente con el aumento de los tipos forward por encima del 2%, yhasta situarse en torno al 4,5%. La TIR de esta estructura se refleja en la Figura 22.

106

104

102

100

98

96

94

0,06%0,04%0,02%0,00%

-0,02%-0,04%-0,06%-0,08%-0,10%

2,00

%

2,50

%

3,00

%

3,50

%

4,00

%

4,50

%

5,00

%

5,50

%

6,00

%

6,50

%

7,00

%

Valor

Duración

Pre

cio

Du

r. M

od

if.

Forward

cap.6 18/1/05 13:56 Página 310

Fig. 22. TIR en función del forward


6.5.2. Análisis de un Cap FRN

El Cap FRN es un FRN al que se le asocia un Cap, de tal manera que el inversor de este tipode productos tiene un límite en el cobro del cupón. La sociedad que emite un Cap FRN quie-re asegurarse de que no pagará excesivos intereses debido a una posible subida de los tiposde interés. La estructura consiste en que el emisor le vende un FRN al inversor, con la obli-gación de que éste emita un Cap que comprará el emisor, de tal manera que si los tipos deinterés superan el nivel del Cap, el inversor pagará la diferencia al emisor del FRN. De estamanera el inversor limita los intereses recibidos al nivel del Cap.

Supongamos que el FRN es sobre el Euribor con un Cap del 5%. Si el Euribor sube has-ta el 7%, la empresa le paga al inversor esta cantidad, pero como el Euribor ha superado elnivel del Cap, el inversor deberá darle a la empresa la diferencia, es decir, un 2%. El inversorrecibe un 7% y paga un 2%, con lo que cobra un 5%, que es el nivel del Cap.

Como ningún inversor quiere un producto que tenga limitado los beneficios, los emiso-res están obligados a endulzar el producto ofreciendo un diferencial mayor que el que, porejemplo, ofrece un FRN con el mismo vencimiento. De esta manera, el emisor de un Cap FRNes una empresa que está convencida de que los tipos subirán y no quiere arriesgarse a pagarcupones altos, mientras que el inversor del Cap FRN tiene la esperanza de que los tipos subi-rán, pero no sobrepasarán el nivel del Cap.

Es decir, los inversores apuestan por una subida moderada de los tipos de interés,mientras que los emisores apuestan por una subida más drástica.

5,00%

4,00%

3,00%

2,00%

1,00%

0,00%

2,00

%

2,50

%

3,00

%

3,50

%

4,00

%

4,50

%

5,00

%

5,50

%

6,00

%

6,50

%

7,00

%

TIR

cap.6 18/1/05 13:56 Página 311


Emisor: Entidad AAA



Cap: 3,5%

Pagos: Semestrales

Base: Real / 360

Euribor: 2%

El Cap limita el cupón cuando el Euribor supera el 3,5%. En la Tabla 22 se incluyen losdiferentes resultados después de utilizar la simulación por MonteCarlo. En la columna A estánlos tipos a plazo utilizados, y en las siguientes columnas, a modo de benchmark, el precio deun FRN con un diferencial de 25 puntos básicos (columna B), el precio del Cap FRN que esta-mos analizando (columna C), la duración (columna D) y la rentabilidad del Cap (columna E).

Tabla 22


Cuando el interbancario supera el Cap, el cupón toma el valor de éste. Comparandocon el FRN+25 puntos básicos analizado anteriormente, el VAN del Cap FRN se sitúa por enci-ma y aumenta hasta que cruza el umbral del Cap, momento en el que actúa éste y se estan-ca el VAN en torno a valores de 101. La duración pasa de tomar valores cercanos a cero a laduración de un bono de tres años que tenga un cupón del 3,5%, en cuanto el Euribor se sitúapor encima del Cap. Es lógico ya que cuando actúa el Cap, convierte en una estructura conpagos fijos como un bono con cupón de 3,5%.

cap.6 18/1/05 13:56 Página 312

Fig. 23. Precio y Duración de un Cap FRN a tres años


El rendimiento de un Cap FRN es ascendente en función de que suban los tipos de interés.Al llegar al nivel del Cap, el rendimiento se estanca en un nivel sensiblemente inferior al Cap. Estoes debido a que en un entorno de curvas de tipos de interés ascendentes, el primer cupón es infe-rior al pago del Cap. Recordemos que este primer cupón se calcula con el Euribor del momentoactual y, por lógica, será inferior al Cap. Este cupón de menor tamaño reduce la TIR del Cap FRNy nunca podrá llegar a ser superior al tanto por ciento que paga el Cap.

Fig. 24. La TIR de un Cap FRN de tres años

6.5.3. Análisis de un IFRN

Un FRN inverso o más comúnmente llamado IFRN, o Inverse, es una estructura que consigueaumentar los cupones en entornos de tipos de interés descendientes, ó pagar menos cupóncuando suben los tipos de interés. Generalmente este tipo de estructuras llevan un Floor para

2,00

%

2,50

%

3,00

%

3,50

%

4,00

%

4,50

%

5,00

%

5,50

%

6,00

%

6,50

%

7,00

%

2,00

%

2,50

%

3,00

%

3,50

%

4,00

%

4,50

%

5,00

%

5,50

%

6,00

%

6,50

%

7,00

%

4,00%3,50%3,00%2,50%2,00%1,50%1,00%0,50%0,00%

TIR

0,00%

-0.50%

-1,00%

-1,50%

-2,00%

-2,50%

-3,00%

101,5101

100,510099,5

9998,5

98

Valor

DuraciónPre

cio

Du

r. M

od

if.

Forward

cap.6 18/1/05 13:56 Página 313

proteger al inversor y animarle a comprarlo, ya que de otro modo no habría ningún inversordispuesto a comprar un título sin rentabilidad ante una subida drástica de los tipos. Lo máshabitual es que lleve un Floor al 0% para evitar intereses negativos.

El emisor de este tipo de estructuras está apostando a subidas de tipo de interés yemite este producto con la intención de reducir el coste de la deuda. El comprador de los IFRNtiene unas expectativas radicalmente diferentes a los emisores; piensa que los tipos caerány quiere aprovecharse de esta caída consiguiendo mejor rendimiento que el mercado.


Emisor: Entidad AAA


Cupón: 10% - 2 × LIBOR seis meses (10% - 2×6MoL)

Floor: 2%

Pagos: Semestrales

Base: Real / 360

Euribor: 2%

En la Tabla 23 se comparan los valores del FRN con un diferencial de 25 puntos bási-cos, del Cap FRN analizado antes y del IFRN. Como en los casos anteriores, calculamos laduración y la rentabilidad para el producto que nos ocupa.

Este IFRN es superior a las demás estructuras cuando los tipos son bajos. El valoractual del IFRN es superior al FRN y al Cap FRN en un entorno de tipos bajos, ya que la estruc-tura se beneficia de un Floor al 2%, lo que asegura un cobro mínimo de cupón. La duraciónmodificada se reduce, en valor absoluto, con el aumento de los tipos. Esto quiere decir queel producto asume más riesgo en los tipos bajos que en los tipos altos.

En la Figura 25 se recoge la evolución del VAN del IFRN y de su duración modificada.El VAN es descendente con subidas de los tipos, mientras que la duración modificada es esta-ble en un entorno de tipos de interés bajos, ya que en esas circunstancias el IFRN actúa comoun bono de 3 años que paga un cupón del 2%. El gran tamaño de la duración modificada sedebe a que los dos flujos de intereses que tiene la ecuación de la duración en un IFRN (el cupóny el tipo de actualización) se suman, en vez de compensarse como en un FRN. Cuando lostipos aumentan la duración se reduce, al reducirse los cupones.


cap.6 18/1/05 13:56 Página 314

Tabla 23


Fig. 25. Valor actual neto y duración de un IFRN

El rendimiento del IFRN es superior a las dos anteriores estructuras hasta que el Euri-bor llega al nivel del 5%, momento en el que el FRN supera al IFRN. El rendimiento del IFRNtiene una tendencia bajista con la subida de los tipos de interés. El inversor pasa de obteneruna TIR del 6%, si los tipos son bajos, a tener una TIR del 3% si suben. Ver Figura 26.

2,00

%

2,50

%

3,00

%

3,50

%

4,00

%

4,50

%

5,00

%

5,50

%

6,00

%

6,50

%

7,00

%0,00%

-2,00%

-4,00%

-6,00%

-8,00%

-10,00%

1101081061041021009896

Valor

DuraciónPre

cio

Du

r. M

od

if.

Forward

cap.6 18/1/05 13:56 Página 315

Fig. 26. TIR de un IFRN


6.5.4. Análisis de un Collar IFRN

A la combinación de un FRN con un Cap y con un Floor se le denomina Collar FRN y, a veces,pasillo o túnel. El emisor que lo lanza apuesta por subidas de tipos de interés. Para evitar pagarun cupón muy superior al que pagaría con un FRN, decide ofrecerle al inversor un Floor como garantía de que el cupón que se paga nunca bajará de cierto nivel, y le pone un Cappara evitar que él pague por encima de un tipo determinado. El comprador de este tipo de estruc-turas busca la seguridad y está convencido de que los tipos no tienen una tendencia alcista tanclara, sino, todo lo contrario; de moverse, caerán, y por eso, le interesa el Floor.


Emisor: Entidad AAA



Cap: 5%

Floor: 3%

Pagos: Semestrales

Base: Real / 360

Euribor: 2%

En la Tabla 24 se compara el VAN de las tres estructuras anteriores (FRN, Cap FRNe IFRN) con la del Collar FRN.

2,00

%

2,50

%

3,00

%

3,50

%

4,00

%

4,50

%

5,00

%

5,50

%

6,00

%

6,50

%

7,00

%

7,00%

6,00%

5,00%

4,00%

3,00%

2,00%

1,00%

0,00%

TIR

cap.6 18/1/05 13:56 Página 316

Tabla 24


Con tipos bajos, el VAN de esta estructura no supera al VAN del IFRN pero sí a los res-tantes. Cuando el Euribor supera el 5%, es sensiblemente superior a las demás hasta quelos tipos alcanzan niveles altos, momento en el que el FRN+25 supera a los demás.

Fig. 27. El VAN y la duración modificada de un Collar FRN

La duración en valor absoluto decrece en tipos medios desde la duración de un bonoque paga el 3%, vuelve a crecer para tipos altos y se estabiliza en la duración de un bono detres años con cupón 5%. Pasa de comportarse como un bono a comportarse como un FRN,y vuelve, en los tipos altos, a comportarse como un bono. Este comportamiento viene deter-minado por la inclusión del Floor y del Cap en la estructura; cuando no actúan y la estructurase comporta como un FRN, la duración tiende a ser cero. El VAN, sin embargo, es crecienteestabilizándose en los tipos altos. La TIR es creciente con el aumento de los tipos, estabili-zándose en torno al 4% cuando actúa el Cap. Ver Figuras 27 y 28.

2,00

%

2,50

%

3,00

%

3,50

%

4,00

%

4,50

%

5,00

%

5,50

%

6,00

%

6,50

%

7,00

%

0,00%

-0,50%

-1,00%

-1,50%

-2,00%

-2,50%

-3,00%

104

103

102

101

100

99

98

ValorDuración

Pre

cio

Du

r. M

od

if.

Forward

cap.6 18/1/05 13:56 Página 317

Fig. 28. La TIR de un Collar FRN


6.5.5. Comparación de las cuatro estructuras

La Figura 29 muestra una comparación de las cuatro estructuras analizadas, en función desu valor actual (a), rentabilidad (b) y duración modificada (c).

En un entorno de bajos tipos de interés, el IFRN es la mejor estructura en cuanto VANy TIR, y la peor es el FRN. Sin embargo, el IFRN es la que presenta mayor riesgo, como secomprueba comparando el tamaño de su duración modificada respecto al de las demás estruc-turas. El FRN tiene en todo momento una duración modificada de cero.

Cuando los tipos suben, el IFRN sigue siendo la mejor estructura en cuanto a rendi-miento y VAN, aunque se mantiene también como el producto más arriesgado. El Collar FRN,que en entorno de bajos tipos de interés era el segundo con mayor riesgo, pasa a ser el segun-do con menor riesgo.

Por último, en entorno de altos tipos de interés son el Collar y el FRN los que se sitúanmejor. El IFRN ofrece poco rendimiento y mantiene mucho riesgo.

Para clasificar estas estructuras se pueden crear tres tablas de decisión y ordenar losproductos en función de su valor, rentabilidad y duración, asignando una puntuación de 1 a 4según su posición relativa. (4 para el mejor, 1 para el peor).

La Tabla 25 resume esta clasificación en un entorno de tipos bajos. El mejor productoresulta ser el Cap FRN y el IFRN. El peor, el FRN.

2,00

%

2,50

%

3,00

%

3,50

%

4,00

%

4,50

%

5,00

%

5,50

%

6,00

%

6,50

%

7,00

%

4,50%4,00%3,50%3,00%2,50%2,00%1,50%1,00%0,50%0,00%

TIR

cap.6 18/1/05 13:56 Página 318

Fig. 29. Comparación de un FRN, con un Cap FRN, con un IFRN y con un Collar FRN. El gráfico a nos muestra el VAN, la rentabilidad está situado en el b y en el c

presentamos la duración modificada


Tabla 25

Producto Valor TIR Duración Puntos

FRN 4 4 1 6

Cap FRN 2 2 2 9

IFRN 1 1 4 9

Collar FRN 2 2 3 8

La Tabla 26 resume la clasificación en un entorno de tipos medios. El mejor productoes el FRN, y el peor, el Cap FRN.

Tabla 26


FRN 2 2 1 10

Cap FRN 2 2 3 8

IFRN 1 1 4 9

Collar FRN 2 2 2 9

cap.6 18/1/05 13:56 Página 319

Finalmente, en la Tabla 27 se ordenan en un entorno de tipos altos. De nuevo, el FRNes el mejor producto, y el peor, el IFRN.

Tabla 27


FRN 1 1 1 12

Cap FRN 2 2 3 8

IFRN 2 2 4 7

Collar FRN 1 1 2 11

6.6. RESUMEN Y CONCLUSIONES

• Los número aleatorios se utilizan para generar procesos Brownianos que simulan elcomportamiento de los mercados.

• La simulación es una herramienta muy potente a la hora de modelizar el comporta-miento de los mercados y calcular los rendimientos y riesgos de los productos

• La simulación histórica proyecta el comportamiento pasado del valor hacia el futuro.Se basa en el convencimiento de que es igual de defendible ese comportamiento enel futuro que cualquier otro que se pueda establecer al azar.

• La simulación de MonteCarlo utiliza números aleatorios para realizar la proyecciónhacia el futuro. Si utiliza el histograma de frecuencias es un MonteCarlo dirigido; sino, es un MonteCarlo camino aleatorio.

• El Valor en el Riesgo (VaR) es la máxima pérdida que una cartera puede tener en unperiodo determinado para un índice de confianza determinado.

• El VaR se puede calcular mediante ecuaciones paramétricas, simulación histórica opor MonteCarlo.

• El método de simulación de MonteCarlo también se emplea para calcular el rendi-miento y riesgo de los bonos con cupón variable (FRN).


cap.6 18/1/05 13:56 Página 320


APÉNDICE

Opción Lookback

Hacer clic en el editor de Visual Basic y copiar el siguiente código.

Private Sub CommandButton1_Click()

sim = Worksheets(“Hoja6”).Cells(23, 6)

dias = Worksheets(“Hoja6”).Cells(22, 6)

acum = 0

acum2 = 0

For ciclo = 1 To sim

Worksheets(“Hoja6”).Cells(23, 7) = ciclo

Suby = Worksheets(“Hoja6”).Cells(21, 6)

Mini = Suby

For dia = 1 To dias

Worksheets(“Hoja6”).Cells(22, 7) = dia

Randomize (Timer)

aleat = Rnd

Worksheets(“Hoja6”).Cells(24, 6) = aleat

incr = Worksheets(“Hoja6”).Cells(25, 6)

Suby = Suby * (1 + incr)

If Suby < Mini Then

Mini = Suby

End If

Next dia

Bfo = Suby - Mini

acum = acum + Bfo

acum2 = acum2 + (Bfo ^ 2)

Next ciclo

media = acum / sim

desv = ((acum2 / sim) - (media ^ 2)) ^ (0.5)

Worksheets(“Hoja6”).Cells(29, 6) = media

Worksheets(“Hoja6”).Cells(30, 6) = desv

End Sub

cap.6 18/1/05 13:56 Página 321


Opción LlamadaPrivate Sub CommandButton1_Click()sim = Worksheets(“Hoja7”).Cells(23, 6)dias = Worksheets(“Hoja7”).Cells(22, 6)acum = 0acum2 = 0Ejer = Worksheets(“Hoja7”).Cells(20, 6)For ciclo = 1 To simWorksheets(“Hoja7”).Cells(23, 7) = cicloSuby = Worksheets(“Hoja7”).Cells(21, 6)Max = SubyFor dia = 1 To diasWorksheets(“Hoja7”).Cells(22, 7) = diaRandomize (Timer)aleat = RndWorksheets(“Hoja7”).Cells(24, 6) = aleatincr = Worksheets(“Hoja7”).Cells(25, 6)Suby = Suby * (1 + incr)If Suby > Max ThenMax = SubyEnd If

Next diaBfo1 = Max - EjerIf Bfo1 > 0 ThenBfo = Bfo1ElseBfo = 0End If

acum = acum + Bfoacum2 = acum2 + (Bfo ^ 2)Next ciclo

media = acum / simdesv = ((acum2 / sim) - (media ^ 2)) ^ (0.5)Worksheets(“Hoja7”).Cells(29, 6) = mediaWorksheets(“Hoja7”).Cells(30, 6) = desvEnd Sub

cap.6 18/1/05 13:56 Página 322


Opción Asiática

Private Sub CommandButton1_Click()

sim = Worksheets(“Hoja8”).Cells(23, 6)

dias = Worksheets(“Hoja8”).Cells(22, 6)

acum = 0

acum2 = 0

Ejer = Worksheets(“Hoja8”).Cells(20, 6)

For ciclo = 1 To sim

Worksheets(“Hoja8”).Cells(23, 7) = ciclo

Suby = Worksheets(“Hoja8”).Cells(21, 6)

preacum = 0

For dia = 1 To dias

Worksheets(“Hoja8”).Cells(22, 7) = dia

Randomize (Timer)

aleat = Rnd

Worksheets(“Hoja8”).Cells(24, 6) = aleat

incr = Worksheets(“Hoja8”).Cells(25, 6)

Suby = Suby * (1 + incr)

preacum = preacum + Suby

Next dia

med = preacum / dias

If med > Ejer Then

payoff = med - Ejer

Else

payoff = 0

End If

acum = acum + payoff

acum2 = acum2 + (payoff ^ 2)

Next ciclo

media = acum / sim

desv = ((acum2 / sim) - (media ^ 2)) ^ (0.5)

Worksheets(“Hoja8”).Cells(29, 6) = media

Worksheets(“Hoja8”).Cells(30, 6) = desv

End Sub

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EJERCICIOS

EJERCICIO 1

Utilizando el siguiente histograma de frecuencias de una cartera, realice una simulación deMonteCarlo para calcular el VaR al 95% .

Rendimientos Observaciones

-2% 10

-1,5% 50

-1% 80

-0,5% 150

0% 300

0,5% 350

1% 225

1,5% 175

2% 70

2,5% 20

QUIZ

1. Los números aleatorios uniformes se basan en que la probabilidad de acontecimiento decada uno de ellos es:

A. Equiprobable. B. Una función de probabilidad normal.

C. Una función aleatoria. D. Ninguna de las anteriores.

2. Para realizar una simulación por MonteCarlo para el precio del petróleo, y teniendo en cuen-ta que no sabe la distribución de las variaciones, se debería realizar mediante:

A. Desigualdad de Tchebycheff. B. MonteCarlo Dirigido.

C. MonteCarlo paseo aleatorio. D. Ninguna de las anteriores.

3. En el VaR paramétrico, el uso de la variable NSTD está basada en el supuesto de que seutiliza

A. Rendimientos logarítmicos. B. Distribución Normal.

C. Desviación típica diaria. D. Ninguna de las anteriores.

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BIBLIOGRAFIA

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KNOP, R. Finanzas de Diseño. Manual de productos estructurados. Escuela de finanzas aplicadas.Madrid 2000.

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