UNIVERSIDAD DE PAMPLONAFACULTAD DE INGENIERIAS Y ARQUITECTURA

TELEMÁTICA IV: TELEMETRÍA Y CONTROLTALLER

Nombre: __________________________________________________________

Código: __________________

Instrucciones. Los ejercicios deberán estar resueltos de forma matemática obteniendo el modelo respectivo, la función de transferencia que represente ese modelo, el análisis computacional utilizando Scilab y la simulación por diagramas de bloque utilizando Xcos.

1. Obtenga las ecuaciones diferenciales del sistema de la figura, en términos de las concentraciones q1(t), q2(t) y q3(t). Las concentraciones y las velocidades se expresan, respectivamente, en Kg/l y en l/min.

El

sistema es una mezcla de sustancias de diferentes concentraciones, el sistema consta de tres tanque que interactuan entre si.

Donde q1(t) , q2(t) y q3(t) representan las diferentes concentraciones de una mezcla, en un momento, se puede decir que la velocidad de cambio de concentracion dq(t)/dt se describe en la siguiente ecuacion:

dqdt

=R1−R2

Donde R1= representa la razon de entrada de la sustancia.R2= representa la razon de salida de la sustancia.

La razon de entrada R1 es el producto de la concentracion de la sustancia por la velocidad de entrada de la misma, mientras que R2 es el producto de la concentracion de la sustancia por la velocidad con la que sale la misma.

En el ejericio se tiene, tres tanques, con diferentes concentraciones Q1(t) q2(t) y q3(t) con diferentes razones de entrada y salida, y con una entrada inicial, que será tomada como U para el sistema.

Para el primer tanquedq1dt

=R1−R2

R1=( q2100 )∗2+E ( kgmin )

R1=( q250 )+E kgmin

R1=(0.02∗q2 ( t ) )+E( kgmin )

R2=( q1100 )∗6 kgmin

R2=3∗q150

kgmin

R2=(0.06∗q1(t ))∗( kgmin )

dq1dt

=0.02∗q2 ( t )−0.06∗q1 ( t )+E

Para el segundo tanque.

dq2dt

=R1−R2

R1=6∗q1 ( t )100

+1∗q3 (t )100 ( kg

min )

R1=(0.06∗q1 ( t ) )+0.01∗q3 ( t )( kgmin )

R2=( 2∗q2 (t )100

+5∗q2 (t )100 ) kg

min

R2=0.07∗q2 (t ) kgmin

dq2dt

=0.06∗q1 ( t )−0.07∗q2 ( t )+0.01∗q 3(t)

Para el tercer tanque.

dq3dt

=R1−R2

R1=5∗q2 (t )100 ( kg

min )

R1=(0.05∗q 2 (t ) )∗( kgmin )

R2=1∗q3 ( t )100

+4∗q3 ( t )100

kgmin

R2=(0.05∗q3 (t ))∗( kgmin )

dq3dt

=0.05∗q2 ( t )−0.05∗q3 ( t )

ANALISIS EN LA FRECUENCIA.

Aplicando la transformada de Laplace se obtiene, para cada variacion de la concentracion se obtiene.

PARA EL PRIMER TANQUE.

L {dq1dt }=l {0.02∗q2 ( t )−0.06∗q1 (t )+E }

sQ1 ( s)=0.02∗(Q 2 (s ) ) –0.06∗(Q 1 (s ) )+ Es

Q 1 ( s )∗[s+0.06 ]=0.02∗Q 2 (s )+Es

Q 1 ( s )=0.02∗Q 2 (s )

(s+0.06 )+

Es∗1

(s+0.06 )

PARA EL SEGUNDO TANQUE.

Aplicamos la transformada de laplace para el modelo del segundo tanque

l {dq2dt }=l {0.06∗q1 (t )−0.07∗q2 (t )+0.01∗q3 (t ) }

sQ2 ( s)=0.01∗Q 3(s) –0.07∗Q 2(s)+0.06∗Q 1 ( s)

Q 2 (s )∗[s+0.07 ]=0.01∗Q 3 (s )+0.06∗Q 1(s )

Q 2 (s )=0.01∗Q 3 (s )s+0.07

+0.06∗Q 1 ( s )

s+0.07

PARA EL TERCER TANQUE.

Se aplica transformada de Laplace para el modelo del tercer tanque.

l {dq3dt }=l {0.05∗q2 ( t )−0.05∗q3 (t ) }

sQ3 ( s )=0.05∗Q2 (s) – 0.05∗Q 3 (s )

Q 3 (s )∗[ s+0.05 ]=0.05∗Q 2 (s )

Q 3 (s )=0.05∗Q 2 (s )( s+0.05 )

Las ecuaciones anteriores, en s, se pueden representar en forma matricial de la siguiente manera.

F1=(s+0.06 )∗Q1 ( s) –0.02∗Q 2 ( s )+4U

F2=−0.06∗Q1 ( s)+( s+0.07 )∗Q 2 (s )– 0.01∗Q3 ( s)

F3=−0.05∗Q2 ( s)+( s+0.05 )∗Q 3 (s )

[F1F2F3]=[s+0.06 −0.02 0−0.06 s+0.07 −0.010 −0.05 s+0.05]*[Q1Q2

Q3 ] + [400 ]∗UDonde U es la entrada, con una magnitud de 4 lts/min

La matriz A es.

[s+0.06 −0.02 0−0.06 s+0.07 −0.010 −0.05 s+0.05]

La matriz B es

[400 ]SIMULINK

Las ecuaciones diferenciales y las funciones de transferencia ser pueden representar por medio de bloques en simulink.

La respuesta del sistema, cuando tiene una entrada de U=4l/min es a siguiente, se observa que las concentraciones en cada tanque convergen en un un tiempo.

Su diagrama de bloques con funciones de transferencia es la siguiente.

2. Sea el sistema térmico mostrado en la figura, consistente en una cámara de calentamiento con capacitancia térmica C (Kcal/°C) y resistencia térmica R (°C seg/Kcal), en la cual entra un cierto fluido a temperatura θi (°C) y abandona el recipiente con temperatura θ0 (°C); la cámara es calentada por una resistencia eléctrica que provee energía calorífica Th (Kcal/seg); de ahí, obtenga la ecuación diferencial que gobierna al sistema y sus valores finales si Th = 25 Kcal/seg.

Parámetros del sistema: qin = 10 °C, R = 3 °C/Kcal, C = 15 Kcal/°C, Th = 25 Kcal/seg.

Para la representación en Xcos considere la energía calorífica que aporta la resistencia Th = 0 y Th = 25 Kcal/seg; este último valor tiene un retardo de 10 segundos.

Un sistema térmico se encuentra definido por el siguiente modelado matemático

qin=qh+qp(Kcal )

Se deben tener en cuenta estas variables.

R=Th−TAqp

Se dice que T=Th−TA

Por lo tanto

R= Tqp

El modelado para el sistema térmico anterior es.

qin+ThR

=CdTdt

+ TR

Qin= es la temperatura del flujo de entradaC = es la capacitancia calórica.T =es la diferencia de temperatura Th-TAR =es la resistencia térmicaTh =es energía calorífica que aporta la resistencia eléctrica.

Ahora se despeja dTdt

para obtener la ecuación diferencial que representa el proceso

dTdt

=qinC

–T

R∗C+ ThR∗C

ANALISIS EN FRECUENCIA

Ahora se lleva la ecuación diferencial a frecuencia.

l {dTdt }=l {qinC –T

R∗C+ ThR∗C }

S∗T ( s)=qin∗1C

–T (s )R∗C

+Th∗( 1RC )

T ( s )∗(s+ 1RC )=qin∗1

C+Th∗( 1RC )

T ( s )= qin∗1

C∗(s+ 1RC )

+Th( 1

RC∗(s+ 1RC ) )

T ( s )=Qin∗ 1

C

C∗(s+ 1RC )

+Th∗( 1RC )s+ 1

RC

Los valores Qin y Th, son entradas del sistema, en forma de escalón, por eso su transformada de

Laplace es de la forma 1s

Se le dan los valores de la capacitancia y la resistencia térmica

C=15, R=3;

T ( s )=

10s

∗ 115

(s+ 145 )+

25s

∗( 145 )s+ 145

Simplificando

T ( s )=

10s

∗0.066

(s+0.022 )+

Ths

∗(0.022 )

s+0.022

Se requiere analizar ahora dos situaciones, la primera cuando la energía calorífica aportada por la resistencia es de Th=0; y el otro caso cuando la energía calorífica aportada por la resistencia es de 25Kcal/seg, recordar que este tiene un retardo de 10s.

CASO #1 Th=0;

Cuando Th=0;

Se puede reducir T(s) como

T ( s )=

10s

∗0.066

(s+0.022 )

Su representacion en diagrama de bloques en simulink es la siguiente.

Ecuacion diferenciales.

La salida del sistema, cuando Th=0; tiende a una temperatura de 30°C

En funciones de transferencia

La respuesta del sistema es la siguiente.

CASO#2 Th=25;

Ahora se analiza el sistema cuando la energía calorífica de la resistencia es de 25Kcal/seg

T ( s )=

10s

∗0.066

(s+0.022 )+

25s

∗(0.022 )

s+0.022

En este caso, notar que el Th agregado fue de 25Kcal/seg, se colocan en fraccionarios para no perder precisión, en la respuesta.

En este caso la salida del sistema es.

Se puede apreciar, al comienzo, la variación de la respuesta al agregarle el Th=25, la temperatura del sistema llega los 55°C

3. Obtenga el conjunto de ecuaciones diferenciales que definen al sistema hidráulico no interactuante mostrado en la figura, así como una expresión en el dominio s para cada salida H1(s) y H2(s).Para la simulación en Xcos obtenga las gráficas de los niveles h1(t) y h2(t), además de cuantificas los valores finales h1(∞ y h2(∞). Para ello, considere los siguientes datos:A1 = 50m2, A2 = 65m2, R1= 0.4m2 / seg, R2 = 0.6m2 / seg, U1= 50m3 / seg,

U2(t) = 0 - 65 m3

El sistema, son dos tanques, uno dependiente de otro, expuestos a la atmosfera, por lo tanto, un tanque se puede modelar a partir de la conservacion de la masa.

dVdt

=qin – qout

Donde dV/dt = es la variacion de volumen en el tiempoqin = es el caudal de entrada ( l/min)qout= es el caudal del salida (l(min)

por lo general este caudal de salida, depende de la valvula, en hidraulica, tiene que ver la resistencia hidraulica.

Para resolver la ecuacion diferencial, se supone que los tanques tienen area uniforme a lo largo de la altura, por lo tanto se puede escribir.

Adhdt

=qin – qout

A( dhdt )=qin−acq√2gh

Donde A= es el area del tanque.a=es el area del orificio de la salida del tubo.Cq√2gh = es la velocidad real.

Se define la constante de la valvula como:

Kv= Cqa√ 2 ppPor lo tanto la ecuacion diferencial anterior se puede escribir como.

A( dhdt )=qin−Kv √h

Ahora se requiere expresar la ecuacion diferencial en termino de s (frecuencia), por lo tanto se aplica la transformada de laplace, pero la transformada de laplace solo sirve para funciones lineales, es uno de los requisitos para aplicar la transformada de laplace. Y el termino Kv√hEs una componente no lineal, por lo tanto es necesario linealizarlo, por medio de la linealizacion aproximado por Taylor.La cual dice.

G=kv √h

G=G (ho)+ ∂G∂h

∨h=ho∗(h−ho)

G=G (ho )+(12 )∗kv

√h∗(h−ho )

G=G (ho )+(12 )∗kv

√ho∗(h−ho )

G=G (ho )+ h1−hoRh

Donde Rh es la resistencia hidraulica, debido a la valvula, y esta es:

Rh=2∗√hK

Ahora G(ho)=0; H=h-h0

G= HRh

Ya se tiene la componente linealizada, ahora se retoma a la ecuacion principal.

A( dhdt )=qin− HRh

La anterior ecuacion es el modelado de un tanque, linealizado.

Ahora para el primer tanque

A1( dh1dt )=U 1− H 1Rh1

Ahora, se aplica transformada de laplace.

L {( dh1dt )}=l {U 1A 1−

H 1A1∗Rh1 }

S∗H 1 ( s)=U 1 (s )A1

–H 1 (s )

A1∗Rh1

H 1 ( s )∗(s+ 1A1∗Rh1 )=U 1 ( s)

A1

H 1(s )=

U 1 (s )A 1

s+1

A1∗R h1

De acuerdo a los valores de los parametros dados.

Rh1=0.4 m2

sA1=50m2

H 1 ( s )=0.02∗U 1 (s )

s+120

SIMULINK

Los siguientes diagrama de bloques representan las ecuaciones diferenciales y la funcion de transferencia del primer tanque.

Su diagrama de bloques en simulink

Su diagrama de bloques en simulink, en funcion de transferencia es:

Para el segundo tanque.

Para el modelado del tanque dos, se tiene que.

A2( dh2dt )=Q1+U 2−k √h2

Donde

q1= h1Rh1

U2 es la entrada del tanque 2.

k √h2 es la contaste de la valvula.

Ahora se aplica la linealizacion, igual que el anterior, por lo tanto se sabe que

k √h2= h2Rh2

Ahora reemplazando en la ecuacion diferencial principal se tiene.

A2∗dh2dt

+ h2Rh2

=U 2+ h1Rh1

Ahora para hacerlo en diagrama de bloques en simulink, se despeja dh2dt

( dh2dt )=U 2A 2

+ h1Rh1∗A2

− h2Rh2∗A2

Reemplazando los valores conocidos se tiene.

U 2=65 ;A2=65m2

A1=50m2

Rh1=0.4m2

s

Rh2=0.6m2

s

dh2dt

=6565

+ h126

−h239

Ahora aplicamos la transformada de laplace, para expresarlo en termino de s.

L {A 2∗dh2dt

+ h2Rh2 }=l{U 2+ h1

Rh1 }A2∗s∗H 2 (s )+ H 2 (s )

Rh2=U 2 ( s )+ H 1 ( s )

Rh1

H 2 (s )∗(A 2∗s+ 1Rh2 )=U 2 (s )+ H 1 (s )

Rh1

H 2 (s )= U 2 ( s )

A2∗s+1

Rh2

+H 1 ( s)

Rh1∗(A2∗s+ 1Rh2 )

Conociendo los valores de

Rh1=0.4 m2

s

Rh2=0.6 m2

s

A1=50m2

A2=65m2

U 1=50 m3

s

U 2=65 m3

s

H 2 (s )= U 2 (s )

65∗s+10.6

+H 1 ( s )

(26∗s+ 23 )

SIMULINK

El diagrama de bloques en simulink es el siguiente, en el dominio del tiempo.

En el dominio de la frecuencia, es.

La salida del sistema, que indica la altura que alcanza estabilidad los tanques es la siguiente.

Se puede representar las funciones de transferencia en forma matricial de la siguiente forma.

A=[s+ 120 0

−10.4

50∗s+10.6

]B=[50 /5065 ]’