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Tema 2.
Cinemática 2.1 Posición y movimiento
2.2 Velocidad
2.3 Aceleración
2.4 Movimiento rectilíneo uniforme
2.5 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
2.6 Movimiento circular
2.7 Movimientos compuestos
La cinemática es la parte de la física que estudia el movimiento sin tratar sobre las causas
que lo originan. El origen de la palabra está en la palabra griega: kinetikos. En este tema se
estudiará el movimiento de objetos y, para ello, se definirán en primer lugar una serie de
términos relativos a la determinación de la posición de un objeto y a las variaciones que ésta
experimenta. Inmediatamente después se pasará a estudiar diversos movimientos sencillos
para acabar analizando movimientos que se componen a partir de otros más sencillos.
2.1. Posición y movimiento
2.1.1 Conceptos básicos del movimiento
Punto material
Es un objeto ideal sin dimensiones pero con masa. La forma del objeto no se tiene en cuenta al
estudiar su movimiento. También se le denomina móvil, masa u objeto.
Sistema de referencia
Es el lugar desde el cual se mide la posición de los objetos. Se asocia al origen de los ejes
cartesianos, 0, (0,0) o (0, 0, 0) en una, dos o tres dimensiones respectivamente.
Movimiento
Cambio de posición de un objeto respecto de un sistema de referencia. Es muy importante
tener en cuenta que, para determinar si algo se mueve, primero hay que determinar respecto a
qué se mueve. En nuestra vida cotidiana asumimos que el suelo está en reposo, incluso si
viajamos en avión tren o barco. No existe ningún lugar que podamos afirmar que esté en
reposo absoluto.
Tema 2: Cinemática
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Relatividad del movimiento
Dependencia del movimiento respecto del sistema de referencia elegido. Un viajero de avión
está en movimiento cuando el avión vuela porque se asume que el sistema de referencia está
en tierra, pero respecto al pasajero que está a su lado el viajero está en reposo.
Los sistemas de referencia se pueden clasificar de dos modos:
1. Sistemas de referencia absolutos y relativos; los primeros serían aquellos que
estuvieran en reposo absoluto, lo cual es imposible, por lo que todos los sistemas
de referencia son relativos.
2. Sistemas de referencia inerciales y no inerciales; un sistema de referencia inercial
no está acelerado mientras que el no inercial es aquel que posee aceleración.
Para describir el movimiento de un objeto respecto de un sistema de referencia se definen:
1. El vector de posición ( r
) es el vector que tiene su origen en el sistema de referencia y su
extremo el en objeto.
2. El vector desplazamiento ( orrr
) en un intervalo de tiempo, es la diferencia entre el
vector de posición en el instante final menos el vector de posición en el instante inicial.
3. La trayectoria es la unión de los puntos por los que ha pasado el móvil
4. La distancia recorrida (s) es la longitud medida sobre la trayectoria de los puntos por los
que ha pasado el móvil.
2.1.2 Ecuaciones del movimiento
La descripción matemática del movimiento de un objeto se expresa mediante el vector de
posición, que cambia a medida que transcurre el tiempo y recibe el nombre de ecuación
vectorial del movimiento. En un sistema tridimensional general el vector de posición es de la
forma;
Figura 2.1. Movimiento respecto de un sistema de referencia
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13
ktzjtyitxtr ˆˆˆ
donde x(t), y(t) y z(t) representan funciones que dependen del tiempo. Si se igualan de las
coordenadas cartesianas con las funciones que las representan se obtienen las ecuaciones
paramétricas;
tzz
tyy
txx
Si en las ecuaciones paramétricas se elimina el tiempo y se dejan en función de ‘x’, ‘y’ y ‘z’ se
obtiene la ecuación de la trayectoria.
Ejemplos:
1)
Ecuación vectorial del movimiento j2ti4ttr 2ˆˆ
Ecuaciones paramétricas
22ty
4tx
Ecuación de la trayectoria 24x2y4xt
2)
Ecuación vectorial del movimiento k4tj13t5
ti42ttr 2 ˆˆˆ
Ecuaciones paramétricas
4tz
13t5
ty
42tx 2
Ecuación de la trayectoria
14
z3
20
zy
44
z2x
4
zt
2
Tema 2: Cinemática
14
2.2. Velocidad
2.2.1 Definición de velocidad
Se ha definido el movimiento como el cambio de posición de un objeto respecto de un sistema
de referencia. La velocidad es la magnitud que permite determinar si esos cambios se
producen rápida o lentamente. Para ello se van a definir cuatro magnitudes: la velocidad media,
la velocidad instantánea (o simplemente velocidad), la celeridad media, y la celeridad (o
rapidez). Todas ellas tienen como unidad el m/s.
Velocidad media
Se define como el cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo en que se
ha producido dicho desplazamiento. Es una magnitud vectorial.
12
12m
tt
rr
Δt
rΔV
Velocidad instantánea
La velocidad media se refiere a un movimiento que ha transcurrido en un intervalo de tiempo,
pero generalmente se quiere conocer cuál es la velocidad en un instante determinado. Para
ello se puede hacer el intervalo de tiempo cada vez más pequeño hasta llegar al límite cuando
t0. El cálculo de este límite equivale a calcular una derivada. Por la tanto, se define la
velocidad instantánea o simplemente velocidad como la derivada del vector de posición
respecto del tiempo. El vector velocidad es en todo momento tangente a la trayectoria. La
velocidad es una magnitud vectorial.
dt
trd
Δt
rΔlimv
0Δt
Figura 2.2 Vector de posición, vector desplazamiento, velocidad media y velocidad instantánea
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15
Celeridad media
Es el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado para ello. Es una magnitud
escalar.
Δt
ΔsCm
Se emplea cuando no interesa saber la dirección ni el sentido del movimiento sino simplemente
lo rápido que se ha viajado en un trayecto.
Celeridad
Es el módulo de la velocidad en un instante de tiempo concreto. La celeridad es una magnitud
escalar.
vc
2.2.2 Componentes cartesianas de la velocidad
Se ha visto que la velocidad es una magnitud vectorial, por lo que se puede expresar en
componentes cartesianas como:
kvjvivv zyxˆˆˆ
por otro lado la velocidad se ha definido como la derivada del vector de posición:
kdt
tdzj
dt
tdyi
dt
tdx
ktzjtyitxdt
d
dt
trdv
ˆˆˆ
ˆˆˆ
igualando las expresiones anteriores se obtiene:
dt
tdzv
dt
tdyv
dt
tdxv zyx
es decir, cada componente de la velocidad es la derivada con respecto del tiempo de la
correspondiente componente del vector de posición.
2.3. Aceleración
2.3.1 Definición de aceleración
De la misma manera que la velocidad es una magnitud que indica la rapidez con que cambia la
posición, la aceleración en general indica cómo de rápido varía la velocidad. La aceleración es
una magnitud vectorial que se mide en m/s2.
Tema 2: Cinemática
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Un tren de alta velocidad puede alcanzar los 300 km/h (83m/s) mientras que un ciclomotor
puede llegar como máximo a 60Km/h (17m/s). El tren es cinco veces más rápido que el
ciclomotor. Sin embargo, el tren necesita 6 minutos (360 segundos) para alcanzar su velocidad
máxima mientras que el ciclomotor tarda 7 segundos en alcanzar la suya.
Las aceleraciones de ambos vehículos son:
2
tren 0.23m/s360
83a
2moto 2.43m/s
7
17a
Como se puede apreciar la moto tiene mucha mayor aceleración a pesar de tener mucha
menor velocidad.
Aceleración media
Es el cociente entre la variación de la velocidad y el tiempo que tarda en producirse ese
cambio.
Δt
vΔam
Aceleración instantánea
Indica cómo es el cambio en la velocidad en un instante concreto. Para calcularla se hace
tender ’t’ a cero en la expresión de la aceleración media y se calcula el límite resultante. Al
igual que ocurría con la velocidad ese límite es una derivada temporal. Así pues se define la
aceleración como la derivada del vector velocidad respecto al tiempo o la segunda derivada
del vector de posición respecto al tiempo.
2
2
0Δt dt
trd
dt
tvd
Δt
vΔlima
2.3.2 Componentes cartesianas de la aceleración
La aceleración es una magnitud vectorial que se puede expresar en componentes cartesianas:
kajaiaa zyxˆˆˆ
y de la misma manera que se hizo antes:
k
dt
tzdj
dt
tydi
dt
txd
kdt
tdvj
dt
tdvi
dt
tdva
2
2
2
2
2
2
zyx
2
2z
z2
2y
y2
2x
xdt
tzd
dt
tdva
dt
tyd
dt
tdva
dt
txd
dt
tdva
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Cada componente de la aceleración es la primera derivada de la componente correspondiente
de la velocidad o la segunda derivada de la correspondiente componente de la velocidad.
2.3.2 Componentes intrínsecas de la aceleración
Hemos visto que la aceleración de un movimiento representa los cambios en la velocidad.
También hemos visto que la velocidad es un vector y por lo tanto tiene módulo, dirección y
sentido. Las componentes intrínsecas de la aceleración están referidas a unos ejes situados
sobre el móvil y cuya orientación varía según la trayectoria. Su utilidad de diferenciar los
cambios en el módulo e la velocidad de los cambios en su dirección.
El sistema de referencia que se emplea está formado por dos ejes perpendiculares entre sí,
uno de ellos siempre en la dirección del movimiento y otro perpendicular.
- la componente tangente a la trayectoria, es la componente tangencial de la
aceleración Ta
. Ésta produce cambios en el módulo de la velocidad, y su sentido
puede ser el del movimiento (el móvil aumenta el módulo de su velocidad) o contrario
al movimiento (el móvil disminuye el módulo de su velocidad). El módulo de esta
componente se calcula derivando el módulo de la velocidad:
dt
dv(t)aT
- otro perpendicular a la trayectoria y dirigido al centro de curvatura de la trayectoria,
que contiene la componente normal de la aceleración Na
. Esta componente es la que
produce cambios en la dirección de la velocidad y siempre es positiva. En los
movimientos circulares se denominar aceleración centrípeta. Se puede calcular
mediante la expresión:
R
(t)va
2
N
donde R representa el radio de giro de la curva que se describe.
Na
Na
Ta
Ta
Na
Ta
Ta
Figura 2.3 Componentes tangencial y normal de la aceleración
Tema 2: Cinemática
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2.4. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
Todas las expresiones y definiciones anteriores tienen una validez general, sin embargo, no es
fácil representar movimientos, velocidades y aceleraciones. En este y los siguientes apartados
se van a estudiar movimientos sencillos. Empezaremos por los movimientos rectilíneos.
2.4.1 Ecuaciones en el MRU
Se define el movimiento rectilíneo uniforme MRU como aquel en el que:
a) la trayectoria es una línea recta;
b) la velocidad es constante.
Como la trayectoria es una línea recta el movimiento es unidimensional, es decir, sólo se
necesita una coordenada para especificar posiciones y velocidades y no se emplean vectores.
Como la velocidad es constante, la aceleración es cero. Estos movimientos se representan en
la mayoría de los casos sobre el eje x y se establece que las velocidades dirigidas hacia la
derecha son positivas y las dirigidas hacia la izquierda son negativas.
Como la velocidad es constante se puede expresar como la velocidad media:
00
0
0
ttvxx
tt
xxv
Δt
Δxv
con lo que la ecuación vectorial del movimiento, es decir, la que proporciona la posición de los
objetos queda:
x = x0 + v (t –t0)
donde;
- x representa la posición en el instante (t),
- t representa al tiempo y es variable,
- x0 es la posición en el instante inicial (t0) y por lo tanto es constante,
- v es la velocidad también constante,
- t0 es el instante inicial, que generalmente vale 0 y también es constante.
Figura 2.4 Criterio de signos en posición (a) y velocidad (b)
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Ejemplos
1) x = 5 + 7 (t – 2)
es un MRU que comienza en t0=2s, en ese instante el móvil se encontraba a
5m a la derecha de la posición de equilibrio (x0=5m) y se mueve hacia la
derecha con una velocidad v=7m/s.
2) x = – 3t + 10
es un MRU que comienza en t0=0s, inicialmente está a 10m a la derecha de la
posición de equilibrio (x0=10m) y el punto material se mueve recorriendo 3m
cada segundo hacia la izquierda (v=–3m/s).
2.4.2. Gráficas en el MRU
Los MRU se pueden visualizar gráficamente
representando posición frente a tiempo (x-t). El
tiempo ‘t’ es la variable independiente y la
posición ‘x’ es la variable dependiente. La figura
2.5 representa un MRU típico en el que se han
destacado los parámetros más importantes del
movimiento. En esta figura el móvil parte de una
posición inicial negativa (x0), su velocidad es
positiva (se mueve hacia valores de x
crecientes) y pasa por el origen (x=0) en el
punto de corte con el eje t.
Todas las gráficas x-t de los MRU son siempre líneas rectas en las que se cumple que:
a) La pendiente de la recta representa la velocidad, una recta creciente significa que la
velocidad es positiva, y decreciente negativa. Cuanto mayor sea la inclinación de la
recta mayor será la velocidad.
b) La posición inicial está representada en el punto que la recta corta coincide con t0.
Si la coincidencia se produce por encima del eje t la posición inicial es positiva y es
negativa si el corte es bajo el eje.
c) El punto de corte con el eje t, si existe, representa el paso del móvil por el origen.
En la figura 2.6 se puede apreciar como la velocidad es negativa en (a) y positiva en (b), (c) y
(d). Las velocidades mayores corresponden a (a) y (d) porque las rectas tienen más pendiente.
Las posiciones iniciales son positiva en (a), negativas en (b) y (d) y nula en (c), es decir parte
del origen. En (e) el instante inicial es t0>0 y en (f) el móvil no llega a pasar por el origen.
Figura 2.5 Gráfica x-t en un MRU típico
Tema 2: Cinemática
20
b)
x
t
e)
x
t
a)
x
t
d)
x
t
c)
x
t
f)
x
t
Figura 2.6 Graficas x-t en varios MRU
2.5. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)
2.5.1 Ecuaciones en el MRUA
El MRUA se caracteriza porque:
a) la trayectoria es una línea recta;
b) la aceleración es constante.
Como en el caso anterior la trayectoria es una línea recta, por lo que la descripción del
movimiento es unidimensional y no se emplearán vectores. La aceleración es constante, por lo
que la velocidad aumentará o disminuirá de modo uniforme. El criterio de signos es igual al
caso anterior; las posiciones a la izquierda de la posición de equilibrio son negativas y a la
derecha son positivas, y las velocidades y aceleraciones hacia la izquierda son negativas y
hacia la derecha positivas. Es muy importante tener muy presente que una aceleración
negativa no significa que sea de frenado. Las aceleraciones son de frenado cuando tienen
sentido contrario a la velocidad independientemente de los signos de cada una de ellas.
En estos movimientos la aceleración es constante por lo que ésta se puede igualar a la
aceleración instantánea:
0
0
tt
vva
Δt
Δva
00 t-tavv
00 ttavv
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donde:
- v es la velocidad en un instante determinado,
- v0 es la velocidad en el instante inicial (t0) y es una constante,
- a es la aceleración que por definición es constante,
- t es el tiempo en un instante determinado,
- t0 es el instante inicial que generalmente vale 0 y también es constante.
La posición se puede calcular mediante la expresión:
20000 tta2
1ttvxx
donde:
- x representa la posición en un instante determinado,
- x0 es la posición en un instante inicial,
- el resto de magnitudes ya se han explicado.
Existe otra ecuación muy práctica que se deriva de las anteriores. Despejando (t – t0) en la
ecuación de la velocidad, sustituyendo en la de la posición y operando se obtiene:
v2 = v0
2 + 2ax
Ejemplos:
1) x = – 4 +5t + 4t2 v = 5 + 8t
es un MRUA que comienza en t=0, la posición inicial es x0=–4m, la velocidad
en ese instante vale v0= 5m/s y la aceleración vale a=8m/s2.
2) x = 10 – (t – 3)2 v = – 2(t – 3)
este MRUA comienza en t0=3s, partiendo del reposo (v0=0) desde x0=10m y
tiene una aceleración de a=–2m/s2.
2.5.2. Gráficas en el MRUA
En el MRUA existen dos tipos de gráficas para representar el movimiento, las gráficas
posición-tiempo y las de velocidad-tiempo. Las primeras son de tipo parabólico debido a que la
posición depende de t al cuadrado, en cambio las velocidad depende del tiempo linealmente y
por lo tanto son líneas rectas.
Tema 2: Cinemática
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La figura 2.7 muestra una gráfica MRUA típica, en la que se resaltan los puntos más
importantes. El movimiento se inicia en la posición (a), quedando representada la posición
inicial en el corte de la curva con el eje vertical (que representa la posición). La velocidad inicial
es negativa (f) ya que, inicialmente, el móvil se va aproximando al origen de coordenadas. En
(b) el móvil pasa por el origen por primera vez y continua avanzando hacia la izquierda hasta
que se detiene en (c). En ese punto su velocidad es nula (e) y comienza a desplazarse hacia la
derecha pasando de nuevo por el origen (d) y alejándose indefinidamente hacia la derecha. La
velocidad disminuye en módulo inicialmente, se anula y después aumenta de forma indefinida.
De lo anterior se deduce que la aceleración es positiva.
En la figura 2. 8 se representan gráficas de posición y velocidad de diversos MRUA. Los
movimientos con aceleración positiva se representan con la parábola abierta hacia arriba, y los
negativos hacia abajo. El vértice de la gráfica representa un cambio de sentido en el
movimiento y por lo tanto el instante en que la velocidad se anula. Dependiendo de los
parámetros del movimiento, la parábola puede cortar el eje de tiempos dos, una o ninguna vez,
representando los pasos por el origen. Cuánto más cerrada sea la parábola mayor es la
aceleración. La gráfica de velocidad siempre es una línea recta que puede cortar el eje de
tiempos dependiendo de si la velocidad se invierte o no. Cuánto mayor es la aceleración más
pendiente tiene la recta que representa la velocidad.
Figura 2.7. Posición y velocidad en un MRUA
f
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2.5.3. Caída libre
Un caso frecuente de MRUA es el movimiento vertical en la superficie terrestre. Todos los
objetos en la superficie de la Tierra están sometidos a una aceleración llamada g de valor:
g = –9.8m/s2
Figura 2.8 Gráficas x-t y v-t en diversos MRUA
Tema 2: Cinemática
24
El signo negativo indica que la aceleración está siempre dirigida hacia abajo. Las ecuaciones
del MRUA adaptadas a este caso se convierten en:
posición 200 gt
2
1tvyy
velocidad gtvv 0
y combinando las dos anteriores se obtiene:
Δy2gvv 20
2
En las anteriores ecuaciones ya se ha puesto el signo negativo de la aceleración de la
gravedad indicando que va hacia abajo, por lo que g se sustituye directamente por 9.8m/s2.
Además se ha sustituido la variable de posición ‘x’ por la variable ‘y’ para representar mejor que
estos movimientos ocurren en la vertical
2.6. Movimiento circular
El movimiento circular se caracteriza porque la trayectoria es una circunferencia. Dependiendo
de si el móvil tarda siempre el mismo tiempo en completar una circunferencia o no, el
movimiento es circular uniforme (MCU) o circular uniformemente acelerado (MCUA)
respectivamente. Para determinar la posición en estos movimientos se emplea el ángulo
barrido (), expresado en radianes.
Otra característica de éstos movimientos es que todos son acelerados independientemente de
que el módulo de la velocidad varíe o se mantenga constante. Esto se debe a que la dirección
de la velocidad cambia continuamente.
2.6.1 Movimiento circular uniforme (MCU)
Se caracteriza porque la trayectoria es una circunferencia y el módulo de la velocidad es
constante. Se define la velocidad angular como el ángulo barrido por unidad de tiempo
Δt
Δθω
Las unidades de la velocidad angular son los radianes por
segundo (rad/s). A veces es conveniente expresar la
velocidades angulares en r.p.m. (revoluciones por minuto). El
factor de conversión entre rpm y rad/s es:
rad/s60
2π1rpm
Si de la expresión de la velocidad angular se despeja el ángulo
se obtiene la expresión que permite calcular la posición
angular en cualquier instante:
00 ttωθθ
Figura 2.9 Movimiento circular
R
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25
La relación entre ángulo barrido y distancia recorrida es:
Rθs
por lo que la distancia recorrida en estos movimientos se puede calcular como:
00 ttωRss
comparando con la expresión conocida de la posición en los movimientos uniformes se deduce
la relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular:
Rωv
En el MCU se definen:
- El periodo (T) es el tiempo en dar una vuelta completa. Se mide en segundos (s).
- La frecuencia (f) es el número de vueltas que se dan en un segundo. Se mide en
hercios (Hz).
La relación entre ambas magnitudes es.
T
1f
La velocidad angular se relaciona con el periodo y la frecuencia mediante las expresiones:
f 2πT
2πω
Se ha dicho que él movimiento circular es acelerado porque cambia el sentido de la velocidad.
La aceleración correspondiente al movimiento circular se llama aceleración centrípeta y se
puede calcular como:
RωR
va 2
2
c
Esta aceleración siempre está dirigida hacia el centro de la circunferencia, se mide en m/s2 y se
corresponde con la componente normal de la aceleración que se vio en apartados anteriores.
2.6.2 Movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)
El MCUA se caracteriza porque la trayectoria es circular y la velocidad varía uniformemente con
el tiempo. Para estos movimientos se define la aceleración angular () como el cociente entre
la variación de la velocidad angular y el tiempo necesario para ello.
Δt
Δωα
Las unidades de a son los radianes por segundo al cuadrado rad/s2. Despejando se obtiene:
00 ttαωω
Tema 2: Cinemática
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el ángulo barrido se obtiene de:
20000 ttα2
1ttωθθ
la relación entre la aceleración y la aceleración angular es:
Rαa
Análogamente al MRUA existe una fórmula derivada de la expresión de y .
Δθ2αωω 20
2
En estos movimientos se tienen las dos componentes intrínsecas de la aceleración:
- la aceleración tangencial:
aT = · R
- la aceleración normal o centrípeta que varía con el tiempo:
R
(t)vaa
2
CN
ésta última varía con el tiempo, ya que el módulo de la velocidad cambia debido a la aT.
2.6.3 Descripción de movimientos en función de las componentes intrínsecas de la
aceleración
movimiento rectilíneo uniforme (MRU): es aquel cuya
trayectoria es una línea recta y la velocidad es constante.
aT=0 | v
| constante
aN=0 mov. rectilíneo
movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA):
es aquel cuya trayectoria es una línea recta y tiene
aceleración constante.
aT= cte | a
| constante
aN=0 mov. rectilíneo
movimiento circular uniforme (MCU): la trayectoria es una
circunferencia de radio 'R' y el módulo de la velocidad es
constante. En este caso a la aceleración es centrípeta
aT=0 | v
| constante
cteR
va
2
n
| v
| y R ctes.
movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA): la
trayectoria es una circunferencia de radio 'R' y el módulo
de la velocidad aumenta uniformemente con el tiempo.
aT=cte | a
t| constante
R
(t)v(t)a
2
n
)t(v
variable
movimientos curvilíneos: son aquellos en los que la
trayectoria es una curva cualquiera y las aceleraciones
cambiarán con el tiempo en general.
aT y aN variables
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2.7. Movimientos compuestos
2.7.1 Principio de superposición
En muchas ocasiones el movimiento de los puntos materiales se describe como combinación
de dos o más movimientos simples. Éstos movimientos son independientes entre sí,
cumpliéndose siempre el principio de superposición aplicado al movimiento que dice:
“Cuando dos o más movimientos afectan a un punto material, el resultado final es
el mismo tanto si lo hacen de manera simultánea o sucesiva.”
Esto significa que si un punto material se mueve afectado por dos velocidades simultáneas ‘v1’
y ‘v2’ durante un intervalo de tiempo ‘t’, acabará en la misma posición si primero se mueve solo
con ‘v1’ durante el intervalo de tiempo ‘t’ y después lo hace con ‘v2’ de nuevo el mismo intervalo
de tiempo. Los siguientes ejemplos ilustran dos casos sencillos de movimiento combinado.
Ejemplo 1. Movimiento compuesto por dos MRU
En la figura 2.10, una barca que cruza un río con una velocidad vb, también se ve afectada por
la velocidad de la corriente vc, de tal manera que la velocidad total de la barca es la suma
vectorial de las velocidades que le afectan.
La velocidad total de la barca es:
ivjvv cbtotalˆˆ
lo que significa que, en un intervalo de tiempo, la barca recorre una distancia en el eje ‘y’
debida exclusivamente al motor y simultáneamente otra distancia en el eje ‘x’ debido
exclusivamente a la velocidad del río sin que un movimiento influya de ninguna manera sobre
el otro al estar aplicadas ambas velocidades sobre ejes diferentes. Esto significa que la barca
tarda el mismo tiempo en cruzar el río con y sin corriente, el único efecto de la corriente
consiste producir un movimiento horizontal más o menos acentuado.
Figura 2.10. Ejemplo de movimiento combinado
Tema 2: Cinemática
28
Dado que los movimientos que afectan a la barca son MRU las ecuaciones paramétricas que
resultan son:
tvy
tvx
b
c
el tiempo para cruzar el río se determina de la segunda ecuación, puesto que cualquier
movimiento en el eje ‘x’ no afecta al movimiento en el eje ‘y’:
bcruzar
v
At
y la desviación producida se determina a partir de la segunda ecuación y el tiempo invertido en
cruzar:
cruzarccruzar tvtxD
y el ángulo de desviación se calcula mediante la tangente:
b
c
v
vα tg
Ejemplo 2. Movimiento compuesto por tres MRU
Un barco en mitad del océano se ve afectado por tres velocidades: la del motor (vm=10m/s), la
de la corriente (vc=5m/s) y la del viento (vv=3m/s).
Figura 2.11. Movimiento compuesto
La velocidad total del barco es la suma de las tres velocidades. Para poder calcularla hay que
expresar cada una de las velocidades en función de sus componentes en los ejes x e y.
j 5i 8'66j 30ºsen10i 30ºcos10vmˆˆˆˆ
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j 4'56i 4'70j 20º-sen5i 20º-cos5vcˆˆˆˆ
iv v 3
j '44i 10'36j4'56-5i34'708'66i 3j 4'56i 4'70j 5i 8'66vvvv vcmtotalˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 0
Luego la velocidad total del barco es:
j i 10'36v totalˆ'ˆ 440
Figura 2.12. Velocidad total del barco.
Ejemplo 3. Corrección de trayectoria.
Supongamos que una barca pretende cruzar el río con corriente sin desviarse. Para
conseguirlo el movimiento de la barca que es el que controla el timonel debe corregir la
desviación que supone la corriente. La velocidad del motor ( mv
) se aplica con un determinado
ángulo de corrección (c).
Las velocidades que afectan a la barca quedan:
j αcosvi αsenvv cmcmmˆˆ
ivv ccˆ
Figura 2.13 Corrección de la trayectoria de un móvil afectado por dos velocidades
Tema 2: Cinemática
30
y la velocidad total es:
j αcosvi αsenvv cmcmtotalˆˆ cv
Como lo que se quiere es mantener la barca en movimiento solo en el eje ‘y’ y que no haya
movimiento en el eje ‘x’ se tiene que anular la componente del eje ‘x’.
vc – vm sen(c) =0
m
c1c
m
cc
v
vsenα
v
vαsen
Calculado el ángulo de corrección la velocidad total de la barca queda sólo en el eje ‘y’:
j αcosvv cmtotalˆ
2.7.2 Tiro oblicuo
Un caso muy frecuente de movimiento combinado es el del tiro oblicuo también llamado tiro
parabólico. Cuando se lanza un proyectil éste se ve afectado por dos movimientos, por un lado
el movimiento de avance en el eje ‘x’ originado por el impulso inicial. A lo largo del eje ‘x’ no se
producen variaciones en la velocidad y por lo tanto el movimiento es uniforme, MRU. En el eje
‘y’ el movimiento se ve afectado por la aceleración de la gravedad, por lo que se tiene un
MRUA. De las condiciones iniciales se conocen dos parámetros; la velocidad y el ángulo de
lanzamiento, e interesa calcular el alcance, la altura máxima alcanzada, el tiempo de vuelo y la
ecuación de la trayectoria. La siguiente descripción parte de un caso general; velocidad inicial
v0 y ángulo .
En primer lugar se descompone la velocidad en las dos componentes de cada eje:
senαvv
cosαvv
00y
00x
la velocidad en cada eje viene determinada por las ecuaciones:
Figura 2.14. Tiro oblicuo
Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato
31
gt-senαvgt-vv
cosαvvv
00yy
00xx
La posición del proyectil es:
20
00x
gt2
1-tsenαvy
tcosαvtvx
Ahora se van a calcular las características de este movimiento a partir de las ecuaciones
obtenidas anteriormente.
Altura máxima
El proyectil alcanza su altura máxima en el instante que termina de ascender y comienza a
descender, es decir cuanto su velocidad vertical se anula, luego la condición es:
g
senαvt
0gtsenαv
0v
0max
0
y
La altura máxima se obtiene sustituyendo este tiempo en la ecuación de posición vertical
2g
αsenvh
g
senαvg
2
1
g
senαvsenαvtyh
220
max
2
000maxmax
Tiempo de vuelo
Es el tiempo que transcurre desde que se lanza el proyectil hasta que alcanza el suelo. En ese
instante la altura del mismo vale cero, por lo que:
g
senα2vt
0t
Soluciones
gt2
1tsenαv0
0
20
La primera solución representa el lanzamiento, momento en el que el proyectil estaba en el
suelo, la segunda representa el instante en el que el proyectil vuelve a alcanzar el suelo.
Tema 2: Cinemática
32
g
senα2vt 0v
Alcance
El alcance es la distancia recorrida sobre la horizontal. El movimiento en la horizontal es un
MRU durante un intervalo de tiempo ‘tv’, por lo que el alcance se calcula sustituyendo el tiempo
de vuelo en la ecuación de la posición horizontal:
g
cosαsenα2vA
g
senα2vcosαvA
txA
20
00
v
Ecuación de la trayectoria
Las ecuaciones de la posición del proyectil son las ecuaciones paramétricas, por lo que si se
despeja en tiempo de la primera y se sustituye en la segunda se obtiene:
2
220
2
000
0
xαcos2v
gtgαxy
cosαv
xg
2
1
cosαv
xsenαvy
cosαv
xt
La ecuación obtenida corresponde a un parábola, lo que indica que, en general, cualquier
objeto lanzado en las proximidades de la superficie terrestre describirá un movimiento
parabólico.
Si el lanzamiento se hubiera realizado desde una altura inicial las ecuaciones iniciales son las
mismas añadiendo el término (y0) en la ecuación de la posición vertical. Si el lanzamiento se
realiza apuntando hacia abajo sólo hay que introducir en la calculadora un ángulo negativo
para calcular las funciones trigonométricas.
Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato
33
Ejercicios
POSICIÓN Y MOVIMIENTO
1. Razona si el conductor de un coche que viaja a 100km/h se equivoca o no al pensar lo
siguiente: “Esos árboles se mueven hacia mi”
2. ¿Qué dos condiciones se tienen que dar para que la distancia recorrida sea igual al módulo
del vector desplazamiento?
3. Razona si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: Si el vector desplazamiento de un
móvil es pequeño significa que el móvil ha recorrido poca distancia.
4. La ecuación vectorial del movimiento de un móvil es: k4)(9tj3i3t)(4r 2 ˆˆˆ
(S.I.)
a) Calcular el vector de posición y la distancia al origen de coordenadas en los instantes
't = 0s' y 't = 5s'.
b) Calcular la ecuación de la trayectoria
5. Un móvil se mueve según las ecuaciones paramétricas:
x(t) = t24t
y(t) = 5t + 4
z(t) = t3 4t
2
a) calcular la ecuación vectorial del movimiento
b) calcular el vector desplazamiento entre los instantes 't=2s' y 't=10s'
6. Calcular y representar la trayectoria del móvil cuyo vector de posición es:
a) j5)(2ti2)(3t(t)r ˆˆ
b) 16)9t (3t,(t)r 2
7. Un móvil tiene como ecuaciones paramétricas y = 6 – t2, x = 3t – 5. Determina la ecuación
vectorial del movimiento y la ecuación de la trayectoria.
VELOCIDAD
8. ¿Por qué la velocidad media no es un buen referente para hacernos una idea del
movimiento de un vehículo?
9. ¿Cuál de los cuatro tipos de velocidad es al que nos referimos cotidianamente como
“velocidad media”?
10. Un vehículo parte de Granada y llega a Motril manteniendo en el indicador de velocidad
siempre 85km/h. ¿Por qué la velocidad del móvil no ha sido constante?
11. ¿Cuál es la velocidad media de un ciclista en un velódromo de 300m que tarda 12s en dar
una vuelta completa?¿Cuál es su celeridad media?
12. El vector de posición de un móvil es j5ti1t2tr
.
a) Calcula a qué distancia del origen estaba en t=5s.
b) Calcula a qué distancia estaba del punto de partida en t=5s.
c) Representa ambas situaciones. ¿Qué vector se usa en cada caso?
Tema 2: Cinemática
34
13. Representa la trayectoria del móvil del ejercicio anterior calculando su posición segundo a
segundo.
14. Un móvil se mueve según las ecuaciones paramétricas:
x(t) = t2+1
y(t) = t + 3
z(t) = 2t2 5
a) Calcula la ecuación vectorial del movimiento.
b) Calcula el vector desplazamiento entre los instantes t=2s y t=10s.
c) Calcula la velocidad media en el intervalo anterior.
d) Calcula la velocidad.
e) Calcula la celeridad.
f) Calcula la celeridad a los 6s.
g) ¿A qué distancia se encuentra del origen a los 3s?
h) ¿A qué distancia se encuentra del punto de partida a los 3s?
15. Contesta verdadero o falso y razona la respuesta:
a) Si la velocidad media es nula el punto material ha estado en reposo.
b) Si la celeridad media es nula el punto material ha estado en reposo.
16. Un vehículo sale a las 9:30h de una ciudad situada en la posición (4,15) según las
coordenadas que le da un plano graduado en kilómetros. En ese momento el cuenta
kilómetros marca 12.562. A las 13:00 se encuentra en otra ciudad situada en la posición
(2,1), marcando el cuenta kilómetros 12.683.
a) Calcula el desplazamiento del móvil.
b) Calcula la velocidad media y la celeridad media.
c) ¿Qué magnitud ha ido indicando el velocímetro del vehículo durante todo el recorrido?
ACELERACIÓN
17. Dada la siguiente ecuación del movimiento:
j6t)(4ti2t(t)r 2 ˆˆ
a) Calcula la velocidad y la aceleración.
b) Calcula la velocidad y la aceleración en el instante “t=5s”.
c) Calcula la velocidad media y la aceleración media entre t=10s y t=15s.
d) Calcula la ecuación de la trayectoria.
18. Un móvil se mueve según las ecuaciones paramétricas:
x(t) = t2 5t + 8
y(t) = 2t + 6
z(t) = t 3t2
a) calcula la aceleración.
b) calcula la aceleración a los 10s.
c) calcula la aceleración media entre los instantes 3s y 5s.
Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato
35
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
19. Un vehículo se encuentra en la posición x= –6m en el instante inicial y tiene una velocidad
v= 3m/s. Calcula:
a) La ecuación del movimiento.
b) La posición a los 10 segundos.
c) El desplazamiento entre los 3 y 8 segundos.
d) Calcula la derivada de la posición. ¿Era de esperar el resultado?
20. Un punto material se desplaza con un MRU recorriendo 5 metros cada segundo hacia la
izquierda. A los 10 segundos de iniciarse el movimiento se encontraba a 12m a la izquierda
del origen. Calcula la posición inicial, la ecuación vectorial del movimiento el y instante en el
que pasa por el origen.
21. Representa gráficamente la posición en función del tiempo de los siguientes MRU
a) v>0, x0<0
b) v<0, x0=0
c) v=0, x0>0
22. Dos vehículos se desplazan en línea recta respectivamente con velocidades constantes de
v1=12m/s y v2= 8m/s, siendo sus posiciones iniciales x01=–20m y x02=5m. Calcula cuánto
tarda el más rápido en alcanzar al más lento, en que posición lo hace y cuánta distancia
han recorrido cada uno de ellos. Representa gráficamente la posición en función del tiempo
de ambos móviles.
23. Describe detalladamente el comportamiento de los dos móviles representados en la gráfica
siguiente.
24. Dos móviles parten el uno hacia el otro de dos ciudades separadas 100Km con velocidades
de 20Km/h y 30Km/h. Calcula cuánto tardan en encontrarse, en que punto lo hacen y la
distancia recorrida por cada uno de ellos. Calcula también en que instante llegarán cada
uno a la ciudad de partida del otro.
25. En un túnel se controla la velocidad por tramo, es decir, se detecta cuánto tarda un vehículo
en cruzarlo y así se determina si el vehículo ha viajado por encima de la velocidad indicada.
El túnel mide 1200m y la velocidad está limitada a 60Km/h. Un conductor ha recorrido 700m
a 80Km/h. ¿A qué velocidad (en Km/h) debe viajar durante el resto del túnel para no ser
sancionado?
Tema 2: Cinemática
36
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
26. En el siguiente movimiento:
x(t) = 5t2 – 8t + 3
a) calcular la posición inicial, la velocidad inicial y la aceleración
b) ¿Cómo es la trayectoria? ¿Por qué?
27. Un móvil sigue una trayectoria rectilínea; en el instante inicial se encuentra 10m a la
derecha del origen y en ese instante se mueve de derecha a izquierda siendo el módulo de
la velocidad 15m/s. Si experimenta una aceleración constante dirigida de izquierda a
derecha de valor 3m/s2:
a) indica el tipo de movimiento que tiene, haz un esquema y escribe las ecuaciones que
determinan la posición y velocidad del móvil;
b) calcula la posición del móvil a los 20 segundos y el desplazamiento que ha
experimentado desde el instante inicial.
28. Un móvil A parte desde el reposo del origen con una aceleración de 5m/s2. En ese mismo
instante otro móvil B se encuentra 500m a la derecha de A moviéndose hacia el primero a
velocidad constante de 72Km/h.
a) Escribe las ecuaciones del movimiento de cada uno de ellos.
b) Determina el tiempo en encontrarse y la posición en la que lo hacen.
c) Calcula la distancia que cada uno ha recorrido y la velocidad de ambos móviles en el
momento de encontrarse.
29. La siguiente ecuación representa la posición de un móvil en función del tiempo:
x = 5t – 3t2 +10
a) Razona qué tipo de movimiento posee el móvil.
b) Calcula la posición y velocidad iniciales y la aceleración.
c) Determina posición y velocidad a los 5s.
30. Dos objetos separados 2000m se mueven el uno hacia el otro siendo los módulos de las
velocidades v1=80m/s y v2=5m/s y las aceleraciones a1=0m/s2 y a2=1m/s
2 en el mismo
sentido que la velocidad.
a) Representa en un esquema la situación y escribe las ecuaciones que describen la
velocidad y posición de los dos móviles.
b) Calcula cuánto tardan en encontrarse y en qué posición lo hacen.
31. Describe detalladamente el movimiento representado en la siguiente gráfica.
32. La siguiente gráfica representa la velocidad de un punto material a lo largo del tiempo.
t
x
1 2 3 4 5 6 7 8
Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato
37
Suponiendo la trayectoria rectilínea y la posición inicial en el origen:
a) Razona cómo es el movimiento en cada tramo.
b) Calcula la aceleración y las ecuaciones de velocidad y posición en cada tramo.
c) Calcula la distancia recorrida en cada tramo y la total.
d) Representa la gráfica x-t correspondiente.
33. Se lanza hacia arriba un objeto con velocidad inicial de 45m/s. Calcula cuánto tarda en
subir, la altura que alcanzará, cuánto tardará caer y la velocidad a los 3s y cuando llegue al
suelo.
34. Desde un helicóptero que está en reposo se deja caer un paquete desde 50m de altura.
Calcula la velocidad con que llega al suelo y el tiempo en caer. ¿Si el helicóptero estuviera
subiendo a velocidad constante, cómo se modificarían los resultados? Realiza los cálculos
para una velocidad de subida de 10m/s.
35. Si se deja caer una piedra en un pozo y el se oye el golpe a los 4s ¿Qué profundidad tiene
el pozo? dato: vsonido= 340m/s.
36.
37. Un coche pasa a 180Km/h junto a una moto de policía inicialmente en reposo que tarda 3
segundos en arrancar con una aceleración de 2m/s2. Calcula cuánto tiempo tardará la moto
en alcanzar al coche, en que posición lo hace y la velocidad de ambos vehículos en ese
instante.
38. Un conductor viaja a 90Km/h cuando ve que el semáforo se pone en rojo. El tiempo de
reacción (desde que lo ve hasta que pisa el freno) es de 0.5s y la aceleración de frenado es
-8m/s2.
a) ¿Cuanta distancia recorre hasta que consigue detener el vehículo?
b) El alcohol hace que los tiempos de reacción aumenten. ¿Cuánta distancia recorrerá el
vehículo si el tiempo de reacción aumenta a 2s?
c) El suelo mojado disminuye la capacidad de frenado del vehículo. ¿Qué distancia se
requiere en las condiciones de b) si la aceleración de frenado es -3m/s2?
39. Dos móviles parten el uno hacia el otro con velocidades iniciales de 30m/s y separación
inicial de 300m. Averigua cuando se encuentran en las siguientes situaciones:
a) aizq= –1m/s2, adcha= 1m/s
2.
b) aizq= –4m/s2, adcha= 4m/s
2
c) Comenta las situaciones anteriores y calcula el valor de las aceleraciones para que
sólo se encuentren una vez.
Tema 2: Cinemática
38
40. Si el techo de un pabellón de deportes está a 25m de altura calcular la velocidad mínima
con que hay que lanzar un balón para que toque el techo y el tiempo en llegar hasta allí en
ese caso. Calcular con qué velocidad y cuanto tiempo tardará en llegar al techo si se lanza
al doble de velocidad de la mínima.
41. Se deja caer una piedra desde 100m de altura y simultáneamente se lanza desde el suelo y
hacia arriba otra piedra con velocidad inicial 50m/s. Determina el instante en que se cruzan,
la posición y la velocidad de cada una de ellas.
42. Repite el ejercicio anterior si la piedra del suelo se lanza 2s después de soltar la de arriba.
43. Se lanza un objeto hacia arriba con velocidad inicial de 100m/s. Cinco segundos después
se lanza otro objeto con la misma velocidad. Calcula cuánto tardan en encontrarse, la altura
a la que lo hacen y la velocidad de cada uno.
MOVIMIENTO CIRCULAR
44. Calcula la velocidad angular en unidades del sistema internacional de la Tierra en su
movimiento de rotación y traslación. Expresa ambos movimientos en rpm.
45. Un disco gira tardando 0.2 segundos en dar una vuelta. Calcula la velocidad angular y el
ángulo barrido en una milésima de segundo. Si se aplica una aceleración de frenado de
0.5rad/s2 calcula cuánto tardará en detenerse y cuántas vueltas habrá dado antes de
hacerlo.
46. Una atracción de feria que inicialmente da una vuelta cada 4 segundos tarda 20 segundos
en detenerse. Calcula la aceleración angular necesaria y el ángulo barrido durante el
proceso de detenerse.
47. Un ciclista viaja a 25km/h con una bicicleta cuyas ruedas tienen un diámetro de 88cm.
Calcula el periodo, la frecuencia y la velocidad angular de la rueda. Si el ciclista frena y se
detiene en una distancia de 100m calcula las vueltas que da la rueda hasta detenerse.
48. El motor de un coche gira a 3000rpm. Calcula la velocidad en unidades del sistema
internacional y la frecuencia de giro.
49. Una rueda que gira con una frecuencia de 6Hz recibe una aceleración de 30rad/s2 durante
diez vueltas. Determina la nueva frecuencia de giro.
50. Una rueda que parte del reposo experimenta una aceleración angular de valor 10rad/s2.
Calcula cuánto tarda en dar cada una de las 5 primeras vueltas y explica el resultado.
51. Un disco de 70cm de diámetro que inicialmente gira a 30rpm recibe una aceleración de
2rad/s2. Calcula las aceleraciones tangencial y normal de una partícula situada en su
perímetro al principio y a los 10 segundos.
MOVIMIENTOS COMPUESTOS
52. Un barquero quiere atravesar un río de 400m de anchura. Si se dirige directamente al
embarcadero de la orilla opuesta con una velocidad de 5m/s y acaba 200m río abajo, ¿cuál
es la velocidad del agua del río?
Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato
39
53. Un avión se dirige hacia un aeropuerto que se encuentra al norte de su posición actual. Si
su velocidad es de 720Km/h y sopla un viento de este a oeste de velocidad 250Km/h
representa las velocidades que afectan al avión, calcula la velocidad total del avión y el
módulo de esta.
54. Un barco viaja a 8.9 nudos hacia el norte mientras que la corriente tiene una velocidad de
1.8 nudos hacia el Este. Determina la velocidad del barco y el ángulo de desviación
respecto de su trayectoria original. Calcula el ángulo de desviación que debería aplicar el
timonel para mantener el rumbo norte.
55. Una barca cruza un río de 150 m de anchura siendo desviado por la corriente 70 m. Si el
tiempo para cruzar es 30s calcula la velocidad de la corriente y la que proporciona el motor.
Calcula la velocidad de la barca y su módulo. Calcula el ángulo que debe desviar el timonel
para cruzar el río justo enfrente del punto de partida. ¿Cuánto tarda ahora la barca en
cruzar el río?
56. Un barco se debe dirigir directamente hacia el Norte gracias al impulso de sus motores que
le permiten desplazarse a 15m/s, sin embargo se encuentra en una corriente de velocidad
6m/s que forma un ángulo de 30º con el sentido Este y un viento de 5m/s que lo empuja
directamente hacia el Oeste. Calcula y dibuja el ángulo de corrección que tiene que aplicar
el timonel.
57. Un niño quiere cruzar un río de 50m nadando con una velocidad de 0.5m/s. Si la velocidad
de la corriente vale 3m/s. ¿Cuánto se desviará río abajo el niño de su punto de destino? ¿Si
la corriente es el doble ¿se cansará más el niño al cruzar el río?
58. Un móvil inicialmente en reposo en el centro del origen de coordenadas experimenta dos
aceleraciones, una de valor i4a1
y otra de valor j6a2
. Determina la posición y
velocidad del móvil en los instantes 2, 4, 6 y 10s. Representa la trayectoria seguida por el
móvil.
59. Se dispara un proyectil con una celeridad inicial de 100m/s y un ángulo de 30º desde el
suelo. Calcular tiempo de vuelo, alcance, altura máxima, ecuación de la trayectoria y
velocidad en el instante del impacto.
60. Se dispara un proyectil con una velocidad de 60m/s y un ángulo de 45º desde una trinchera
a 20m sobre el suelo. Calcular tiempo de vuelo, alcance, altura máxima, ecuación de la
trayectoria y velocidad en el punto de impacto. Esboza la trayectoria.
61. Se lanza un balón horizontalmente desde una ventana que está a 30m de altura con una
velocidad inicial de 20m/s. Simultáneamente se deja caer otro balón idéntico desde la
misma ventana.
a) Calcula el alcance del primer balón.
b) ¿Cuál llegará antes al suelo?
c) Calcula la velocidad de cada uno en el instante que llegan al suelo.
62. Desde una muralla que está a 60m del suelo se dispara un proyectil con un ángulo de 20º.
¿cuál debe ser la velocidad inicial para alcanzar una colina que está a 500m de distancia y
20m de altura?
Tema 2: Cinemática
40
63. Por un agujero en una cuba cilíndrica sale vino a una velocidad de 2m/s. Si el chorro llega a
80cm de la base de la misma ¿a qué altura del suelo está el agujero?
64. Se lanza un proyectil con una determinada velocidad y un ángulo de 45º.
a) Calcula la velocidad necesaria para que el alcance sean 500m.
b) Calcula la altura máxima y la ecuación de la trayectoria.
