Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.personales.upv.es/jpadin/tema2adap.pdf · Tema 2. Teoría del Campo Gravífico. 5 resolver la contribución de cada elemento de masa, siendo la

Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.

1


2

2.1. ATRACCIÓN Y POTENCIAL.

Un cuerpo rotando solidario a la Tierra se ve sometido a la fuerza gravitatoria de la

Tierra y la del resto de los cuerpos celestes, y a una aceleración centrifuga provocada

por el mismo movimiento de rotación de la Tierra. El resultado de ambas fuerzas se

conoce como fuerza de la gravedad. En los siguientes capítulos realizaremos una

justificación del cálculo de cada una de ellas.

2.1.1. Gravitacion, Potencial Gravitacional.

De acuerdo con la ley de gravitación de Newton, dos puntos de masa m1 y m2,

separados por una distancia l, se atraen uno a otro con una fuerza F.

)1.2(2

21

ll

mmG

lF

Siendo G1 la constante gravitacional y l la distancia entre los puntos de masa y m1 y

m2 . Se observa en (2.7) que F y l presentan sentidos contrarios.

Si ahora consideramos que m1 es igual a la unidad y m2 se halla sobre P’ podemos

reescribir la ecuación (2.1) en la ecuación (2.2).

)2.2(2

2

ll

mG

lF

En esta el punto P experimenta una aceleración gravitacional debido al elemento de

masa atrayente situado en P’, la fuerza según hemos visto tendría el sentido de P hacia

P’, la distancia l se puede representar en el sistema cartesiano como

1 G es la cte. gravitacional, tiene un valor de 6.67259

-11 m

3kg

-1s

-2. F viene en ms

-2

fig. 2.7

Fig. 2.1

r’

x

y

z

l

P’(x’,y’,z’)

r P(x,y,z)

F


3

222 )'()'()'(

)3.2(

'

'

'

,;

zzyyxxl

z

y

x

z

y

x

l

r'rr'rl

La fuerza de la gravedad F se puede resolver en sus diferentes componentes, Fx, Fy y

Fz:

F= (Fx,Fy,Fz) (2.4)

)7.2()'(

)6.2()'(

)5.2()'(

2

2

2

l

zz

l

mGF

l

yy

l

mGF

l

xx

l

mGF

z

y

X

Si consideramos que la masa P’ se halla

en el origen del sistema de referencia según

la figura 2.8 las fórmulas (2.5), (2.6) y (2.7)

se pueden simplificar convirtiéndose en las

ecuaciones (2.8), (2.9) y (2.10).

Siendo α ,β y γ los ángulos que forma r con los diferentes ejes del sistema cartesiano.

La composición cuadrática de las tres componentes de la fuerza nos da el módulo del

valor de la fuerza gravitatoria.

)10.2(cos

)9.2(cos

)8.2(cos

2

2

2

l

Gm

l

x

l

mGF

l

Gm

l

y

l

mGF

l

Gm

l

x

l

mGF

z

y

x

Como la suma cuadrática de los cosenos directores (es un vector ortonormalizado) de

un vector es 1, se puede resolver finalmente que el módulo de la fuerza gravitatoria (que

es un valor escalar) se corresponde con la ecuación (2.11).

x

y

z

r=l

P(x,y,z)

Fx Fy

Fz

fig. 2.8

4

)11.2(coscoscos 222

2

2

222

l

mGFFFF zyx

Siendo esta la expresión más conocida de la ley de la Gravitación Universal de

Newton.

)12.2(2l

mGF

2.1.2 Función Potencial Gravitatoria.

Seguidamente introducimos el concepto de función potencial gravitatoria, siendo esta

una función escalar (V es función de la posición del punto P)

)13.2(l

mGV

las componentes Fx, Fy y Fz de la fuerza gravitatoria F se obtienen derivando V

respecto la dirección considerada, esto es así debido a que V es un campo conservativo

(la circulación en una curva cerrada es 0) (mirar Física general, Burbano 1984)

)14.2(,,z

VF

y

VF

x

VF zyx

esto puede verificarse fácilmente derivando (2.13), para el caso de la componente Fx

obtenemos

)15.2(´`11

1

322 l

xxGm

l

xx

lGm

x

l

lGm

x

lGm

x

V

Esta última propiedad se puede escribir formalmente como

)16.2(),,(F VgradFFF zyx

es decir, el vector fuerza es el vector gradiente de la función escalar V.

Es una ventaja importante el hecho de poder remplazar las tres componentes de F por

la función V ya que es mucho más sencillo manejar la función V que las tres

componentes de F.

En el caso de que tengamos una distribución de masas puntual repartida en el

espacio, y quisiésemos resolver la influencia generada por esta distribución basta con


5

resolver la contribución de cada elemento de masa, siendo la suma de todas las

contribuciones el campo gravitatorio de la distribución de masas (2.17)

n

i i

i

n

n

n

n

l

mG

l

Gm

l

Gm

l

Gm

l

GmV

11

1

2

2

1

1 )17.2(...

Esto no es así cuando tratamos con distribuciones de masa grandes o un cuerpo

sólido, estas distribuciones no se puede considerar puntuales y si además estas no tienen

una forma regular como se plantea en el estudio de la atracción gravitatoria de la Tierra,

el cálculo de la aceleración y del potencial se vuelve más complejo. Para estos casos

conviene abordar el problema calculando la suma de las contribuciones de los elementos

diferenciales que componen la masa considerada fig.2.9.

Para ello ahora consideramos que los puntos materiales están distribuidos

continuamente sobre un volumen v con densidad

)18.2(dv

dm

Donde dv es un elemento de volumen y dm un elemento de masa. Entonces la suma

(2.17) se transforma en la integral

Donde l es la distancia entre el elemento de masa dm y el punto que sufre la

atracción P.

Para resolver el potencial del punto P hay que calcular la contribución al potencial

que ejerce cada elemento dm, lo cual se puede escribir como la expresión (2.21).

dy’

dz’

(x’,y’,z’)

P(x,y,z)

d

x

Fig. 2.9

dx’

vv

dvl

Gl

dmGV )19.2(

6

)21.2(''')'()'()'(

)',','(),,(

222dzdydx

zzyyxx

zyxGzyxV

v

En esta se considera la triple integral extendida sobre v, ya que hay que considerar el

potencial de toda la masa que se halla en el volumen v. El elemento de volumen

considerado será

)20.2(''' dzdydxdv

Para el caso de una distribución de masas las componentes de la fuerza gravitatoria

se puede resolver según la expresión (2.16), que para el caso de la componente Fx es

)22.2('''

1

)',','(

''')',','(

v

v

x dzdydxx

lzyxG

x

l

dzdydxzyx

Gx

VF

En la cual sustituyendo finalmente obtenemos

)23.2('

3dv

l

xxGFx

2.1.3 Propiedades de la Función Potencial aplicados a la Geodesia

Física.

Si observamos las ecuaciones (2.13),(2.17) y (2.19), vemos que la única diferencia

entre ellas, es considerar; la existencia de una masa puntual en (2.13), una distribución

de masas en (2.17) o un cuerpo sólido (2.19). De estas ecuaciones podremos extraer

importantes conclusiones.

v

dvl

GV )19.2(

)13.2(l

mGV

n

i i

i

n

n

n

n

l

mG

l

Gm

l

Gm

l

Gm

l

GmV

11

1

2

2

1

1 )17.2(...

El valor de V cuando l tiende a infinito.

l

aV )19.2(0lim

El potencial V y las primeras derivadas son continuas en todo el espacio.

Veamos con un análisis de las derivadas que esta última se cumple,

2/1222),,()(

zyx

mG

l

mGzyxflfV


7

Definida la función f pasamos a resolver la primera derivada respecto de x

22/1

2)'(

2)'(

2)'(

)'(2.

2/12

)'(2

)'(2

)'(.2

12/12

)'(2

)'(2

)'(.0

'

zzyyxx

xxzzyyxxzzyyxx

Gmx

ff

)24.2(2/3

2)'(

2)'(

2)'(

)'(

zzyyxx

xxmG

La función f’ será continua siempre que x≠x, y≠y’, z≠z’. Sucediendo lo mismo para

componentes x e y.

)26.2(

)'()'()'(

)'('

)25.2()'()'()'(

)'('

2/3222

2/3222

zzyyxx

zzmG

z

ff

zzyyxx

yymG

y

ff

En el caso que supongamos que la masa se halla concentrada en el origen del sistema

de referencia (2.24) pasa a

)27.2(

)()()(

)(2/3222 zyx

xmG

x

V

Resolvamos el valor de la segunda derivada de la función potencial V

)28.2(5

2)'(3

2

2/52)'(

2)'(

2)'(

2)'(3

2)'(

2)'(

2)'(

2/62)'(

2)'(

2)'(

1.2

)'(32/22

)'(2

)'(2

)'(2/12)'(

2)'(

2)'(

2/62)'(

2)'(

2)'(

)'(22/12

)'(2

)'(2

)'(2/3)'(2/32

)'(2

)'(2

)'(1

2

2

l

xxlGm

zzyyxx

xxzzyyxxGm

zzyyxx

xxzzyyxxzzyyxxGm

zzyyxx

xxzzyyxxxxzzyyxxGm

x

xF

x

V

8

Las derivadas segundas respecto de y y z.

)30.2()'(3

)29.2()'(3

5

22

2

2

5

22

2

2

l

zzlGm

z

F

z

V

l

yylGm

y

F

y

V zy

Si multiplicamos V.l entonces cuando l tiende a infinito V es igual a Gm

l

amGVl )30.2(..lim

En cada punto exterior a las masas atrayentes, el potencial satisface la ecuación

de Laplace.

)31.2(02

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

VV

El símbolo Δ, llamado operador laplaciano, tiene la forma

2

2

2

2

2

2

zyx

Fuera de los cuerpos atrayentes el potencial cumple la ecuación (2.31), lo cual se

puede demostrar fácilmente.

)31.2(05

23

23

)(

5

2)'(

2)'(

2)'(3

23

5

2)'(3

22)'(3

22)'(3

2

5

2)'(3

2

5

2)'(3

2

5

2)'(3

2

2

2

2

2

2

2

al

llGm

l

zzyyxxlGm

l

zzlyylxxlGm

l

zzlGm

l

yylGm

l

xxlGm

z

V

y

V

x

VV

En verdad la ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales, a partir de la

ecuación de Laplace y estableciendo valores o condiciones iniciales para la función V

podemos resolver la función V para una distribución de masas no conocida, esto último

resulta muy útil en el caso de querer resolver el potencial de la Tierra, ya que resolverlo

a través de (2.21) resulta complicado en extremo ya que no se conoce la densidad de

cada elemento diferencial, con lo cual se opta a través de unas condiciones de contorno

y (2.31) resolver V, problema que abordaremos parcialmente en un próximo capítulo.

En cálculo aquellas funciones que son solución de la ecuación de Laplace se llaman

funciones armónicas, las funciones armónicas son funciones analíticas, que son

continuas y tiene derivadas de cualquier orden. Con lo cual por propia definición las

ecuaciones (2.28), (2.29) y (2.30) son funciones continuas.


9

En los puntos donde la densidad cambia discontinuamente, alguna derivada

segunda tiene una discontinuidad, o lo que es lo mismo el potencial de los

puntos que se hallan en el interior de un sólido cumplen la ecuación de

Poisson. )32.2(4 GV

El Teorema de Stokes establece que una función V armónica en el exterior

de una superficie S queda determinada de forma única por sus valores sobre

S. En general, no obstante, hay infinitas distribuciones de masas que tienen la

función armónica dada V como potencial exterior.

El teorema de Stokes recoge los teoremas de Gauss y Green (mirar Heiskanen et al

1985), considerando estos se refleja que a través de los valores de la gravedad obtenidos

sobre la superficie equipotencial considerada (en nuestro caso el geoide) podemos

resolver el potencial gravitatorio terrestre.

Dicho esto y atendiendo a lo establecido en el teorema de Stokes es imposible

determinar de forma única las masas generadoras a partir de los valores de la gravedad,

este problema se conoce como problema inverso de la teoría del potencial.

Como ejemplo y particularización del Teorema de Stokes pongamos el potencial

exterior de una esfera homogénea (2.12) siendo m la masa de la esfera y l la distancia

desde su centro. El potencial de las diversas esferas homogéneas concéntricas de la

misma masa total m, es exactamente el mismo para un punto exterior

independientemente de su tamaño generan el mismo potencial. El potencial es el mismo

que si la masa estuviera concentrada en su centro, porque el potencial de un punto

material viene dado por esta fórmula.

V

ρ

1 ρ

2 ρ

3

Fig. 2.4

10

Para resolver la forma de la Tierra que vendría dado por l, conocido el potencial V y

la masa M tendríamos que haber obtenido el potencial sobre la superficie de la Tierra

Vs. Lo que realmente nos interesa es que V, nuestra solución, sea única a partir de unos

determinados valores sobre la superficie generados por una distribución de masas

determinada. Una demostración sencilla de esto se puede encontrar en (Heiskanen et al.

1985, pg.17).

El teorema de Stokes, por tanto, establece que existe solo una función armónica V

que toma sobre la superficie unos valores de contornos determinados, siempre que tal

función exista. La afirmación de que para valores de contorno arbitrariamente tomados

sobre S siempre existe una función armónica V que toma sobre S los valores de

contorno dados, se llama principio de Dirichlet.

El problema de determinar la función armónica V a partir de sus valores de contorno

sobre S se conoce como problema de Dirichlet o primer problema de contorno de la

teoría del potencial, este teorema es el que justifica la existencia de la geodesia física,

ya que podemos llegar a determinar el potencial de la tierra a partir de valores dados

sobre la superficie de la misma, y, por tanto, susceptibles de medición.

2.2 La fuerza Centrifuga y su Potencial.

Como ya hemos mencionado en el primer capítulo del tema, la fuerza de la gravedad

que influyen sobre los objetos que se encuentran sobre la superficie de la tierra no es

debida únicamente a la fuerza gravitatoria provocada por la masa de la tierra. Si no que

la gravedad tiene una componente de la fuerza debido a la rotación de la Tierra que

realiza respecto el eje conformado por los polos. Si le asignamos a la Tierra una

velocidad de rotación constante alrededor del eje que en un principio consideraremos

fijo, se puede establecer que el valor de la aceleración centrífuga es

)33.2(p2z

Siendo ω la velocidad angular de rotación de la Tierra, ω= 2π /86164.10s =7.292115

E-05 rad s-1

esta es conocida con gran precisión por astronomía.


11

El parámetro p es la distancia desde el punto considerado al eje de rotación, si

hacemos coincidir el eje z de nuestro sistema de referencia con el eje de rotación de la

Tierra entonces p toma el valor

)34.2(p;

0

22 yxpy

x

p

Ahora introduzcamos el potencial centrifugo de z,

)35.2(gradz

Siendo la expresión del potencial centrífugo )36.2(2

)( 22

pp

Si realizamos la diferencial al cuadrado respecto de x e y, y aplicamos el operador

Laplaciano obtendríamos

)37.2(2 2

En virtud de lo cual finalmente se resuelve que Φ no es armónica.

En el caso de que calculásemos el Potencial Centrífugo en el Ecuador donde este es

máximo obtendríamos un valor de Φ=1.1 E-05 m2 s

-2 y una aceleración centrífuga es z =

0.03 m s-2

(0.3 % de la gravitacional) y en los polos Φ=0 m2 s

-2 y z= 0 m s

-2.

2.3 Campo gravífico y Potencial del campo gravífico.

La aceleración de la gravedad o gravedad g es el resultado de la composición de la

aceleración gravitacional F y de la aceleración centrífuga z:

x

y

z

P

Fig.2.5

12

)38.2(zFg

La dirección de g se conoce como la dirección de la línea de la plomada, la magnitud

g=│g│es llamada intensidad de la gravedad o aceleración de la gravedad aunque por lo

general se suele utilizar el término de gravedad de forma más general.

En la figura 2.6 vemos una representación de la composición cuadrática de las dos

aceleraciones F y z cuyo resultado es la aceleración de la gravedad g.

Finalmente podemos resolver la función potencial de la gravedad, que será igual a la

suma de los potenciales de las componentes de la gravedad, para ello acudimos a las

ecuaciones (2.36) y (2.19).

)39.2(2

)( 22

pdvl

GVrWW

Para resolver el valor de la aceleración de la gravedad aplicamos el gradiente a la

función potencial

)40.2(g Wgrad

El potencial de la gravedad W y sus primeras derivadas presentan valores finitos y

continuos, esto es así por las propiedades de las funciones V y Φ, solo en el caso de que

r o l tienda a infinito entonces gradW presentaría discontinuidades , pero esta

particularidad en principio no tiene mayor interés.

Las segundas derivadas de la función potencial son las que presentan

discontinuidades, ya que la función potencial de la gravedad hereda las discontinuidades

x

y

z

P z

F g

Fig. 2.6


13

de la función potencial gravitatoria, al igual que en esta las discontinuidades aparecen

con las variaciones abruptas de la densidad. La variación más acusada de la densidad

nos la encontramos en el cambio entre la atmósfera y la corteza superior, en la cual se

pasa de un valor de densidad 0.0013 g cm-3

a 2.7 g cm-3

.

De (2.32) y (2.37) obtenemos la ecuación diferencial generalizada de Poisson

cumpliéndose esta en el interior de las masas.

En el espacio exterior (a partir de ahora consideraremos despreciable la densidad del

aire), el potencial de la gravedad cumple la ecuación diferencial generalizada de

Laplace.

2.4. Campo gravífico de una Tierra Esférica.

En este capítulo vamos a resolver la forma geométrica que presentaría un campo

potencial en el caso que fuese generado por una Tierra completamente esférica. En un

primer paso resolvemos el valor de la atracción gravitatoria para un punto P que se halla

sobre la superficie de esta Tierra teórica.

2r

mGF

Como posteriormente vamos a sumar las aceleraciones de cada contribución

(gravitatoria y centrifuga), tenemos que descomponer las aceleraciones en unas

direcciones determinadas comunes a ambas fuerzas para poderlas sumar. En este caso

x

y

z

θ

λ

Fig.2.

10

)41.2(24 2 GW

)42.2(2 2W

14

en vez de elegir una descomposición respecto de los 3 ejes cartesianos, optamos por una

descomposición respecto a las coordenadas esféricas (r,θ,λ). Esta descomposición solo

presenta la componente del radio (r) que es la dirección en la que actúa la fuerza de la

gravedad.

)43.2(0,0,,,2

r

GMFFFr

Siendo M la masa de la Tierra, r la distancia del centro al punto P.

)44.2(0,cos,),,( 222

2

senrsenrzzz

pz

r

Donde ω es la velocidad angular de rotación de la tierra y r es el radio de la Tierra.

Finalmente para resolver el valor de la aceleración de la gravedad realizamos la suma

componente a componente de cada una de las contribuciones (gravitatoria y centrífuga).

)45.2(0,cos,),,( 222

2

senrsenr

r

GMgggr

Como ya hemos visto estas componentes pueden deducirse a través de las funciones

potenciales de cada aceleración, el potencial gravitatorio de V y el de la fuerza

centrífuga Φ. La suma de estos dos potenciales nos da el potencial de la gravedad U (no

confundir con W que sería el potencial real de la Tierra).

)46.2()(2

1 222 senrr

GMVU

Podríamos resolver el valor de la aceleración a través del gradiente del potencial U.

Para el caso de las coordenadas esféricas nos encontramos que la aplicación del

gradiente no es tan inmediata, ya que los elementos diferenciales que consideramos

x

y

z

z

z

r

z

θ

Fig.2.11


15

tienen diferentes unidades, con lo cual hay que realizar ciertas consideraciones para

homogeneizarlos.

Para resolver elementos diferenciales homogéneos, se divide la diferencial respecto

de θ por r y la diferencial respecto de λ por r.senθ.(fig.2.12)(2.47)

)47.2(1

,1

,),,(

U

senr

U

rr

Ugggr

En vez de utilizar en las ecuaciones el argumento colatitud θ, lo sustituimos por

)48.2(cos2

2

2

a

rm

r

a

a

GMU

Siendo a equivalente a r ya que es el radio de la Tierra esférica y m es

)49.2(2322

GM

a

a

GM

am

En el segundo término de (2.49) se aprecia claramente que m es el cociente entre las

fuerzas centrifuga y gravitacional sobre la tierra esférica en el ecuador, el cual lo

utilizaremos más hacía adelante para resolver la forma real de la Tierra.

Si resolvemos g a través del gradiente de su función potencial U llegamos a la misma

solución resuelta en (2.45).

Calculemos en un primer lugar la componente de g respecto r.

z

d

θ

d

r d

λ

Fig.2.12

16

)51.2(cos

)50.2(cos

2

2

2

2

2

22

a

mr

r

a

a

GMg

ra

m

r

a

a

GM

r

Ug

r

r

Para el caso de la componente g respecto de θ

)53.2(0)52.2(cos2

gysena

rm

a

GMg

Ahora veamos la forma que tiene o genera el potencial que hemos calculado a partir

de una Tierra esférica, U en (2.47). Este análisis se puede realizar fijando un valor del

potencial U y resolviendo a diferentes latitudes como ha variado la distancia de esa

superficie equipotencial ( todos los puntos de la superficie tienen el mismo valor de U)

al origen del SR, en el caso de que fuese constante no encontraríamos que dicha

superficie equipotencial sería una esfera (fig.2.13), como el que aparece en la figura y se

deduciría finalmente que la forma de la tierra es una esfera ya que la superficie de los

mares se ciñe a la forma de una superficie equipotencial

Sin embargo el caso del potencial generado por una Tierra esférica no coincide con

el caso arriba planteado. En un primer lugar establezcamos el valor de la superficie

equipotencial, en este caso adoptamos el valor del potencial en el Polo φ=90º, el cual

aplicándolo a (2.48) se obtiene

)54.2(0a

GMU

Si este valor lo establecemos como constante en (2.48) y despejamos el valor de r

obtenemos que

)55.2(cos2

1 2

mar

Donde observamos que r conforme varíe la latitud ira variando también su valor, la

ecuación (2.55) coincide con el valor del radio vector de una elipse lo cual establece que

el potencial generado por la Tierra es el de un elipsoide de revolución de achatamiento

m/2.


17

Si establecemos unos valores aproximados de los parámetros que configuran las

ecuaciones (2.50) y (2.51) podemos resolver los valores de la gravedad a diferentes

latitudes.

a=6371 km; G= 6.67259 E-11 m3 kg s

-2; M=5.976 E24 kg; ω=2π/24 h= 7.2722E-5

rad s-1

obteniéndose los valores de:

φ gr gθ

0º 9.7903

40

0

45º 9.8071

86

0.0168

46

90º 9.8240

33

0

En estos valores se observa que la componente en la dirección del radio es mucho

mayor que la componente de la colatitud y para este caso en concreto se puede

considerar prácticamente despreciable. Por lo que se refiere a la componente radial

vemos que el valor en los polos es mayor que en el Ecuador que en este caso se explica

por la existencia de la fuerza centrífuga que es mayor en el Ecuador lo cual hace que el

valor de la gravedad disminuya ya que esta se opone a la gravitatoria.

Si comparamos los valores reales de la gravedad medidos sobre la superficie, con los

teóricos que hemos obtenido:

r=ct

e

U=cte= Forma que adoptaría la

superficie del mar

Fig.2.13

18

Real (m s-2

) Teórico (ms-

2)

Polo 9.83221 9.824033

Ecuador 9.78049 9.790340

En este cuadro podemos apreciar como el valor de la gravedad real en el ecuador es

menor que el teórico, ocurriendo lo contrario para el caso de los polos donde es mayor

el real que el teórico, estas diferencias se explica si la figura real de la tierra respecto la

teórica presentara un radio ecuatorial mayor que el teórico (ya que cuanto más nos

alejamos del centro de masas menor valor de la gravedad se obtiene) y en el caso de los

polos la distancia real sea menor que la establecida en el teórico (si nos acercamos

aumenta el valor de la gravedad).

En este cuadro podemos apreciar como el valor de la gravedad real en el ecuador es

menor que el teórico, ocurriendo lo contrario para el caso de los polos donde es mayor

el real que el teórico, estas diferencias se explica si la figura real de la tierra respecto la

teórica presentara un radio ecuatorial mayor que el teórico (ya que cuanto más nos

alejamos del centro de masas menor valor de la gravedad se obtiene) y en el caso de los

polos la distancia real sea menor que la establecida en el teórico (si nos acercamos

aumenta el valor de la gravedad).

2.5. Potencial de la Gravedad.

En el capítulo anterior hemos considerado que la masa de la Tierra se encontraban

distribuida en el interior de una esfera, y hemos calculado los radios por latitudes de esa

W real de la

Tierra

U teórico para una Tierra Esférica

Fig.2.14


19

superficie equipotencial, obteniéndose como resultado una figura de la Tierra elipsoidal.

Los primeros en realizar estas consideraciones sobre la forma de la Tierra fueron

Newton y Huyghens, los cuales predijeron que la actuación combinada de la fuerza

gravitacional y centrífuga sobre una masa liquida tenía como resultado una figura

achatada por los polos.

Se realizaron mediciones entre diferentes puntos de la superficie Terrestre, para

resolver en función de la diferencia de latitudes y la distancia entre los puntos el radio

Terrestre. Paradójicamente las primeras mediciones que se realizaron indicaban, que el

achatamiento de la Tierra era ecuatorial (Fresnel; Paris-Amiens 1525, Picard y Cassini;

Hasta Perpignan 1672). Finalmente en el s.XVII se opta por realizar dos expediciones

que resolviesen la incertidumbre, una a los Polos (Laponia) dirigida por Maupertius y

Clairaut y otra al Ecuador dirigida por Bouguer y La Condomine (Peru) para resolver el

valor del radio en cada sitio. Finalmente en estas expediciónes se confirmo la forma

predicha por Newton y Huyghens, la figura de la Tierra era achatada por los polos

siendo el aplanamiento observado de 1/266.

Sin embargo en este capítulo no vamos a realizar ninguna consideración a priori

sobre la figura de la Tierra (en 2.4 partíamos de una Tierra esférica con masa M). Ahora

se pretende obtener una ecuación polinómica para el potencial U de forma general, que

aplicando un valor a los coeficientes del polinomio resolvamos el valor del potencial

independientemente de la disposición de las masas que presente la Tierra.

Si la Tierra tiene una masa M y su potencial gravitatorio es V, el Potencial de la

gravedad U está formado por la suma de este potencial y el de la fuerza centrífuga Φ

)55.2(2

1 222 senrVVU

Tierra achatada

por los Polos

Tierra achatada

por el Ecuador

Fig.2.15

20

En primer lugar vamos a resolver una ecuación general para V, ya que conocemos

que V cumple la ecuación de Laplace 0V

En el caso que nuestro sistema de coordenadas vengan expresado en coordenadas

esféricas adquiere una nueva expresión diferente a (2.31) y (2.31a), por los mismos

motivos que hemos visto en el capítulo 2.4 en la fórmula (2.47), esta expresión es la

(2.56)

)56.2(011

2

2

2

Vsen

senrr

r

Vr

rV

En este caso hemos considerando que el potencial V tiene simetría con respecto al

eje de rotación de la Tierra (la gravedad en el modelo que estamos planteando no varía

con la longitud), con lo cual V sería función únicamente de r y θ, y se establece la

ecuación (2.56) en derivadas parciales.

Como ya hemos mencionado al principio del capítulo lo que estamos buscando es

una ecuación general para V independientemente de la distribución de masas que tenga,

la ecuación (2.56) constituye una importante información, una forma de resolver está

ecuación en Cálculo es a través del método de separación de variables, según este

método, V adoptara una solución del tipo

)57.2(coscos, 1 nnnn

nn QBPArrV

donde V vendrá dada por una combinación lineal de los términos que se hallan

dentro del paréntesis

r es la distancia desde el origen del SR al punto considerado,Pn(cosθ), Qn(cosθ) son

los Polinomios de Legendre de Primera y Segunda clase los cuales son perfectamente

conocidos y n es el orden del Polinomio.

)58.2(1cos32/1

cos

1

2

2

1

0

P

P

P

An y Bn son los coeficientes de un Polinomio los cuales son función de cómo se halla

distribuida la masa en la Tierra.

El siguiente paso es resolver que combinación lineal de 2.57 es la que configura la

función V que estamos buscando. Para ello acudimos a las propiedades del potencial

que hemos visto en el capítulo 2.2.2.1, la primera establece que limr→∞ V =0, esta

condición establece que las potencias de r a utilizar sean las negativas ya que en el caso

de utilizar las potencias positivas entonces limr→∞ V = ∞.


21

Los polinomios de segunda clase también son eliminados, por no estar acotados para

los valores extremos del cos θ. Por lo tanto se resuelve que V tendrá la forma de la

ecuación (2.59).

)59.2())(cos)(( 1 nn

n PArV

Finalmente se puede expresar V como serie en la forma:

)60.2(cos),(0

1

n

n

n

n Pr

aArV

En esta se introduce a, el radio ecuatorial de la Tierra a efectos de normalización, de

esta forma hemos resuelto la ecuación general del potencial V. El siguiente paso es

resolver el valor de los coeficientes para poder resolver los valores de V, para ello de

nuevo vamos a utilizar las propiedades del potencial.

Resolvemos en un primer lugar el valor de A0, para ello utilizamos la condición

(2.31a)

....cos.cos),(.

...coscos),(

1

2

100

1

2

100

rPr

aArP

r

aArVr

Pr

aAP

r

aArV

Si ahora aplicamos la condición de límite

r

PaArPr

aArP

r

aArVr )62.2(cos....cos.cos),(.lim 001

2

100

Igualando a (2.31a)

)63.2(0

0

a

GMA

GMaA

Ahora definimos una nueva constante a efectos de simplificación

GM

AaJyJ n

n 10

Reescribimos (2.60) con Jn

)64.2(coscoscos),(0

1

0

1

0

1

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n Pr

aJ

a

GMP

r

a

GM

aA

a

GMP

r

aArV

Separando el primer sumando, la ecuación queda en la forma:

22

)65.2(cos

1

1

n

n

n

n Pr

aJ

r

a

a

GMV

Finalmente la expresión 2.65 resuelve la ecuación general del potencial gravitatorio

de la Tierra, con un desarrollo en polinomios de Legendre de primera clase, con

coeficientes Jn. De esta forma, el potencial de la gravedad es:

)66.2(2

cos 2

21

sena

rmP

r

aJ

r

a

a

GMU n

n

n

2.6. Interpretación Física de los coeficientes del desarrollo de aproximación de

primer orden.

En este capítulo vamos a resolver la ecuación del potencial no a través de la ecuación

de Laplace como hemos hecho en el anterior, la cual nos ha proporcionado una ecuación

general para V, lo haremos a través de la fórmula (2.17), y sustituiremos algún

parámetro por uno equivalente, el objeto de estas operaciones es resolver o darle

significado físico a los coeficientes del polinomio de Legendre.

Para ello consideramos la tierra formada por una masa M, contenida dentro de un

volumen V, situando el centro de coordenadas en su centro de masa. El potencial V en

un punto fuera de la Tierra vendrá dado por la integral sobre la masa total del potencial

creado por cada diferencial dM. En el problema suponemos simetría respecto a λ

)67.2(),( M

l

GdMrV

x

y

z

l

r

P’(x’,y’,z’)

P(x,y,z)

ψ

r’senψ

r’.cos

ψ

r

’

Fig.2.16


23

Siendo l la distancia del punto P a cada dM, por el teorema del coseno l se sustituye

por la ecuación (2.67a).

)67.2(cos'2'222 arrrrl

Siendo r la distancia al origen de P, r’ la distancia al origen de dM y ψ el ángulo

entre ambas direcciones.

Ahora sustituyendo el valor de l en (2.67) obtenemos una nueva ecuación para el

potencial

)68.2(

cos'

2'

12

1

2

2

M

r

r

r

rr

dMGV

Como resulta que

021

2

2

)69.2()(cos'

cos'

2'

1

1

n

n

n

Pr

r

r

r

r

r

Sustituyendo los tres primeros términos del desarrollo en polinomios de Legendre

(2.58) en la ecuación (2.68) obtenemos la ecuación (2.70).

M MM

dMr

r

r

GdM

r

r

r

GdM

r

GrV )70.2(1cos3

'

2cos'

),( 2

2

Vamos a recordar ciertos

definiciones físicas que nos van ser

útiles en adelante. Un concepto o

definición física importante es la de

momento de inercia I respecto de un

eje, esta se define como el sumatorio,

de las masas por la distancia al

cuadrado al eje

)71.2(2irimI

Se define el centro de masas como

las coordenadas donde se encuentra el

centro de gravedad de un cuerpo.

)72.2(M

dmzgz

M

dmygy

M

dmxgx

Analicemos cada uno de los términos de la ecuación (2.70).

r

Fig. 2.17

24

El primer término es el potencial de toda la masa concentrada en el origen (GM/r). El

segundo termino representa las coordenadas del centro de masas de la tierra, siendo s

.cosψ una coordenada medida sobre el eje r, y r una ponderación, como el centro de

masas lo hemos establecido en el origen del SR , finalmente se resuelve que el término

es igual a 0. El tercer término puede descomponerse en la forma:

)73.2('2

3'

1)1(3'

21cos3

'

2

22

3

2

3

2

2

2

2

MM

MM

dMsenrr

GdMr

r

G

dMsenr

r

r

GdM

r

r

r

G

Operando sobre el primer término

)74.2(2

)''()''()''(2

)''()''()''(2

1'

3

222222

3

222222

3

2

3

MM

MM

CBAr

GdMxyzxzy

r

G

dMxyzxzyr

GdMr

r

G

Siendo el segundo término el momento de inercia I alrededor del eje OP, finalmente

podemos reescribir el potencial V

)75.2(32 3

ICBAr

G

r

GMV

Atendamos ahora a ciertos aspectos físicos importantes que nos ayudaran a

establecer más conclusiones a partir de (2.75). El hecho de encontrarnos un movimiento

de rotación de la Tierra “homogéneo “ alrededor del Polo es debido a que los momentos

de Inercia respecto al eje X e Y son iguales, si esto no fuese así nos encontraríamos con

una rotación no homogénea. En virtud de esto se puede resolver que A=B.

Considerando que podemos expresar el momento de inercia I en función en función

de los momentos de inercia A, B y C utilizando la relación

)76.2(222 CnBmAlI

Siendo (l,m,n) los cosenos directores del eje OP.

222 )( CnmlAI

Como

senn cos

y

2222 cos1 nml

resulta.


25

)78.2()13)((

3332

3)1(323cos32

)cos(323

2

22

2222

22

senAC

CsenCAsenAA

CsenCsenAACsenCAA

CsenACAICBA

Sustituyendo el último término de (2.78) en (2.76) obtenemos una nueva expresión

del potencial la ecuación (2.79) en función de los momentos de inercia respecto a los

ejes X y Z.

)79.2()13(2

1 2

3 senAC

r

G

r

GMV

Esta ecuación constituye el potencial gravitatorio de la Tierra, en aproximación hasta

términos en r-3

, en función de la Masa total M y los momentos de Inercia C respecto al

eje de rotación, y a un eje ecuatorial.

Se da las circunstancias que el desarrollo en r debe ser único, quiere decir esto que

los coeficientes que multiplican las potencias de r deben coincidir, por tanto si

igualamos la ecuación (2.79) con el potencial U obtenido a través de la resolución de la

Ecuación de Laplace (2.66) obtenemos

)80.2(0221Ma

ACJyJ

Donde el coeficiente J2 se conoce como factor de forma dinámica de la Tierra, siendo

este una de las constantes fundamentales en Geodesia y Astronomía. Si en (2.79)

añadimos el potencial debido a la Fuerza Centrifuga, obtenemos para el Potencial de la

gravedad:

)81.2(cos2

113

2

1 2222

3 rsenAC

r

G

r

GMU

La ecuación (2.81) se conoce como fórmula de Mac Cullagh, expresa el Potencial de

la gravedad en función de la Masa y momentos de inercia de la Tierra y constituye una

aproximación de Primer Orden. Un análisis de la fórmula nos revelaría que coincide con

el potencial generado por una elipsoide de revolución, cuyos momentos de inercia son

A y C. En el caso que A=C el Potencial sería el generado por una Tierra esférica.

Sacando factor común GM/a y sustituyendo J2

)82.2(cos2

132

2

2

2

3

2

a

rmsen

r

aJ

r

a

a

GMU

26

Esta ecuación expresa exactamente lo mismo que (2.81) pero en función de m (2.49)

y de J2.

2.7. Forma de la Tierra.

Llegado a este punto disponemos de una Fórmula del Potencial de la gravedad más

aproximada para la Tierra que la que hemos obtenido en el capítulo 2.4 con la ecuación

del potencial para una Tierra esférica (2.46). En el cual ya resolvimos que la forma de la

Tierra iba a ser la generada por el Potencial de la Tierra. Es por ello que ahora vamos a

realizar la misma operación que realizamos en el Capítulo 2.4. En este caso

establecemos un nivel base para el valor del Potencial U0, siendo este valor el valor del

potencial que coincide con el nivel medio de los mares. Una vez hemos fijado el valor

base del potencial, procedemos a resolver r al igual que hicimos en (2.55). En el caso

que se nos plantea ahora r quedara en función φ y de U0 por que al igual que en el

capítulo (2.4) hemos considerado que la variación de U respecto de λ es despreciable, en

este caso el despejar r es más complicado y daremos directamente su resolución final.

)83.2(cos2

132

1 2

3

2

2

2

0

a

rmsen

r

aJ

U

GMr

Resolviendo una nueva aproximación establecemos que r=a en (2.63)

)84.2(22

3

2

1

21 2

22

0

sen

mJm

J

U

GMr

Si establecemos el valor de U0 para el ecuador (φ=0) y (r=a) en (2.82) se resuelve

U=cte= Forma que adoptaría la superficie del mar

r

Fig. 2.18


27

)85.2(22

1 20

mJ

a

GMUU e

Que sustituido en (2.84)

)86.2(22

31 2

2

sen

mJar

Donde se han despreciado los términos de segundo orden de J2 y m.

Intentemos establecer una analogía entre la figura generada por el potencial de la

Tierra y un elipsoide de revolución de semiejes a y c.

Se define el aplanamiento del elipsoide como

)87.2()(

a

ca

Y el radio vector de dicho elipsoide en aproximación de primer orden.

)88.2()1( 2senar

Si comparamos (2.86) con (2.88) podemos resolver que la superficie equipotencial

generada por una aproximación de primer orden es la de un elipsoide, estableciéndose

que los parámetros de este son

)89.2(22

32

mJ

Ahora vamos a definir una constante que establezca una relación entre los momentos

de inercia, esta la vamos a establecer con el mismo criterio con que se define el

aplanamiento terrestre,

)90.2(C

ACH

El cual se conoce como elipticidad dinámica, ahora podemos reescribir J2 (2.80)

)91.2(22Ma

HCJ

Pudiéndose sustituirse finalmente esta valor en (2.89)

a c

r

Fig. 2.19

28

)92.2(3

1

3

2

)92.2(3

1

3

2

2

2

amMa

HC

Ma

HCm

De esta forma hemos establecido la relación existente entre parámetros físicos y

parámetros geométricos del elipsoide con todas estas ecuaciones. Desde luego esto era

de esperar al igualar el aplanamiento (α) del elipsoide con los coeficientes de campo en

(2.89), lo cual ha posibilitado finalmente el establecer la relación (2.92) y (2.92a) que

relaciona el aplanamiento con el resto de parámetros física de la Tierra m, H, C, a y M,

aquí se ve de una forma evidente que la forma de la Tierra es función de cómo se halle

distribuida la masa respecto los ejes (H y C), por supuesto de la Masa total de la Tierra,

y de la relación existente entre la fuerza gravitatoria y centrífuga.

En cualquier caso hemos resuelto que la forma de la Tierra en primera instancia es la

de un elipsoide de revolución. Quiere decir esto que podemos resolver una

aproximación al potencial de la gravedad resolviendo el generado por un elipsoide con

semiejes a y c.

Lo cierto es que la superficie generada por un elipsoide de revolución y la superficie

equipotencial real de la Tierra no son mayores de 100 m. En el caso de utilizar una

superficie esférica nos encontraríamos con diferencias de hasta 15 Km, lo cual pone de

manifiesto que una superficie idónea de trabajo a efectos de medición sobre la Tierra es

la constituida por un elipsoide de revolución.

El buen ajuste que presenta el elipsoide queda patente en los valores de los

coeficientes Jn, que para J2 es del orden de 10-3

y para n>2 del orden de 10-6

lo cual

quiere decir que las desviaciones respecto la figura del elipsoide son muy pequeñas.

2.8 Modelos del campo de la gravedad

Los modelos del campo de la gravedad representan diferentes aproximaciones del

campo real de la gravedad del cual a lo largo de este tema hemos resuelto diferentes

aproximaciones estableciendo ciertas condiciones a priori, en cualquier caso hemos

visto como para llegar a ecuaciones relativamente simples hemos tenido que ir

despreciando ciertos aspectos (p.e. hemos considerado que la gravedad no tenia

variaciones con la longitud), lo cual repercute en las fórmulas en unos valores del

potencial y aceleración menos precisos. Esto implica que nos encontramos con modelos

del campo de la gravedad con diferentes precisiones.


29

2.8.1. Modelos estándares

Los modelos estándares de la gravedad deben proporcionar un cálculo sencillo de los

valores de la gravedad para puntos de la superficie a través de sus coordenadas, esta

característica permite una definición sencilla del campo de la gravedad. Este facilidad

de cálculo es viable cuando el cuerpo sobre el cual estamos calculando la gravedad y

que además la genera tiene una descripción geométrica regular. Esta figura regular debe

presentar un campo de la gravedad lo suficientemente próxima de tal forma que las

desviaciones entre la gravedad teórica del modelo estándar y la gravedad real de la

Tierra pueda ser considerada como desviaciones lineales para poder realizar cálculos de

forma sencilla.

Otro aspecto importante es que el modelo estándar tenga una distribución de la

densidad coherente con el de la Tierra, esta característica posibilita un estudio de las

desviaciones entre los valores reales y estándar de la gravedad y por que se producen.

El modelo estándar utilizado ampliamente es el elipsoide de nivel, del cual veremos

una descripción más amplia en el capítulo 3.2

2.8.2 Modelos óptimos.

Los modelos óptimos del campo de la gravedad son aquellos modelos que calculan

la gravedad de un punto sobre la superficie, dando un valor de la gravedad para dicho

punto muy cercano al valor real de la gravedad. Estos modelos se construyen a partir de

valores de gravedad observados. En este caso la superficie de nivel que representa el

campo de la gravedad no es regular, no presenta una definición geométrica sencilla, lo

cual es lógico ya que el campo de la gravedad no presenta una definición geométrica

sencilla.

Usualmente para la representación de estas superficies de nivel más complejas se

acude a la resolución de la ecuación de Laplace pero en este caso la solución viene

dada por un polinomio especial el cual tiene en cuenta que la gravedad tiene variaciones

también en longitud. Este polinomio es conocido como la expansión en armónicos

esféricos del potencial V (2.97). La superficie generado por este polinomio se conoce

como esferoide de nivel de grado l.

)97.2()(cossencos1)(2 0

,,,

l

l

m

mlmlml

l

PmSmCr

a

r

GMrV

30

Cl,m Sl,m son coeficientes y Pl,m(cosθ) son las funciones asociadas de Legendre donde

l y m son el grado y orden de la función respectivamente. Las funciones asociadas de

Legendre describen el comportamiento de V en la superficie de una esfera unidad, esta

función establece una compartimentación de la Tierra, quedando esta con valores

positivos y negativos. Cuanto mayor sea el grado (l) mayor será la compartimentación y

una mayor aproximación al campo de la gravedad obtendremos.

Otra representación de un modelo óptimo sería el que hemos resuelto en el capítulo

2.5 y cuya ecuación final viene dada por (2.66), este modelo presenta la peculiaridad de

que no sufre variaciones de campo a lo largo de los paralelos, lo cual implica ciertas

deficiencias en el modelo ya que esto no es real.

En la figura 2.21 observamos una representación plana exagerada de los dos modelos

óptimos propuestos aunque, sin embargo estas aproximaciones planas también suelen

ser utilizadas de una forma funcional .

La superficie de nivel generada por un modelo armónico esférico (con un grado l),

suele ser la representación matemática más aproximada que podemos realizar del geoide

(figura de la Tierra). La definición de este modelo requiere el conocimiento de un

extenso número de parámetros (Cl,m Sl,m) los cuales se obtienen a través de los datos de

la gravedad obtenidos sobre la Tierra, la superficie de nivel que presenta este polinomio

(representación de 2.97) es muy compleja por la adaptación que tiene que el polinomio

a un campo natural, y se conocen como superficies de alto orden. Estos modelos son

muy útiles en los campos de la geociencia, oceanografía y navegación.

Pasamos a dar una interpretación o una visión físico-matemática de los armónicos

esféricos de superficie. La solución al potencial viene dado por los armónicos esféricos

sólidos (2.98).

)98.2(,

,

1

n

n

n

n

n

n

r

YV

YrV

Siendo las funciones Yn(, ) conocidas como armónicos esféricos de superficie,

esta función es la homologa a la que hemos resuelto en (2.60), en esta caso aparece la

coordenada longitud debido a que el modelo que está bajo consideración presenta

variaciones de V en la dirección de los paralelos. Siendo Yn(, )

)99.2(coscoscos,0

senmPbmPaY nmnm

n

m

nmnmn

En el caso m=0 los armónicos de superficie:


31

cos

sennm

mP t

m

Se transforman en los polinomios de Legendre con cost con n ceros en el

intervalo de definición 0 que no dependen de la longitud y que dividen a la

esfera unidad en bandas que son alternativamente positivas y negativas, que son los

llamados armónicos zonales (figura 1.9).

En el caso de que 0<m<n las funciones asociadas de Legendre representan n-m ceros

(ecuación 1.25) en el intervalo de definición 0 , mientras que mcos y msen

tienen 2m ceros en el intervalo de definición 20 , de esta manera los armónicos

de superficie dividen a la esfera en cuadros donde la función es negativa o positiva igual

que un tablero de ajedrez (figura 1.4), estos armónicos se llaman teserales (figura 1.9).

Figura 2.20: Ilustración de diversos armónicos de superficie: a) Zonal R5,0 b) Teseral

S6,3 c) Sectorial R4,4.

b a

c

32

Por último para el caso m=n, desaparece la dependencia de la latitud (ecuación 1.26)

con lo que los armónicos de superficie dividen a la esfera unidad en 2m sectores,

positivos y negativos alternativamente, estos armónicos se llaman sectoriales (figura

2.20).

En definitiva, una función armónica cualquiera sobre la superficie de una esfera

puede ser representada por la ecuación (2.99):

mPbmPaY nmnm

n

m

nmnmn sencoscoscos,

0

Que no es más que una suma infinita de patrones o modelos zonales, sectoriales y

teserales, cada uno de los cuales está multiplicado por su correspondiente coeficiente

anm o bnm (o peso).

La solución de los llamados armónicos esféricos sólidos representa la misma idea

pero llevada al campo tridimensional.

La pregunta que nos queda por resolver es ¿a qué frecuencia o longitud de onda

corresponde cada uno de los términos de la serie (2.99)?

Para resolverla no hay más que repasar los ceros que genera la función, por ejemplo,

si llegamos a un desarrollo n=m=6 estaremos representando desde los armónicos

zonales correspondientes a los polinomios de Legendre para m=0 y n=6 con n ceros en

el intervalo 0 hasta llegar a los armónicos sectoriales para n=m que presentan

2m ceros sobre toda la esfera 20 , pasando, entre medio por todas las

combinaciones necesarias de armónicos teserales para llegar de unos a otros, pero la

respuesta inicial queda ya contestada: si, como límite, para valores de n igual a m se

llega al caso de armónicos sectoriales que dividen a la esfera en 2m ceros, la mínima

longitud de onda representable será de dos veces el espacio que hay entre un cero y otro

cero, por lo tanto se divide a la esfera en ondas cuya longitud de onda es:

100.2360

máximon


33

Que corresponderá a una resolución (distancia entre ceros) de:

101.22

360180

nnres

máximo

Así pues la resolución mediante armónicos esféricos representa el acercamiento a la

función mediante una descomposición espectral del campo gravitatorio en longitudes de

onda de 360/n desde n=0 hasta n=máx. y cuya suma de ondas de patrones de la forma

1.22 será la mejor aproximación a la función buscada.

Estos desarrollos se hacen llegar, lógicamente, hasta un mismo grado y orden de

manera que el nmáx. coincida con el mmáx. y toda esta visión quede perfectamente

definida.

A un desarrollo de este tipo se le conoce con el nombre de desarrollo o modelo

global ya que representará las largas longitudes de onda del campo gravitatorio hasta

donde llegue ese máximo del desarrollo armónico esférico; actualmente estos

desarrollos llegan hasta n=m=360, lo que supone más de 130.000 coeficientes anm y

bnm, lo que supone tener información del campo gravitatorio hasta longitudes de onda de

un grado y una resolución en superficie de 30 minutos.

La forma usual para montar el polinomio es la que sigue a partir de (2.99) se pasa a

un polinomio donde se segrega el orden 0 (2.102)

)102.2(cos,0 1

00

n

n

m

nmnmnmnn PmsenBmAPCf

Quedando finalmente configurados los armónicos de superficie según (2.103)

)103.2(22coscos

cos

,

22222222212121212020

111111111010

0000

senPBPAsenPBPAPC

PBPAPC

PCf

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