Tema 6 Maxima

Ejercicios del tema 6En este documento encontrara como se puede emplear el programaMaxima pararesolver o apoyar algunos pasos de la resolucion de varios de los ejercicios deltema. Debe tener en cuenta que:

• En esencia se utilizan los comandos que aparecen en la bibliografı basicade la asignatura. Pero aparecen algunos mas que pueden resultarle intere-santes para resolver ejercicios y apoyar sus calculos actuales y futuros.

• En muchas ocasiones existe mas de una forma de llegar al mismo resultado,es decir, se pueden utilizar distintos comandos o los comandos en ordendiferente.

• Le animamos a experimentar con el programa. Tiene los comandos escritosy solamente debe ejecutarlos para comprobar la salida. Pero ¿que ocurresi cambia los datos? ¿Obtiene lo que esperaba?

• La forma ideal de trabajar con este documento es.

– Primero leer el enunciado del ejercicio y tratar de resolverlo sin ayudade Maxima.

– Si encontramos dificultades en las que creemos que Maxima nos puedeayudar o queremos verificar el resultado, intentar utilizar el programapara realizar esas tareas.

– Finalmente recurrir a la informacion de este documento para compro-brar la solucion y ver que sugerencias de resolucion o apoyo aparecen.

1 Ejercicio 231

Con Maxima podemos calcular las derivadas parciales de f, el gradiente (conjacobian; el nombre se debe a que el gradiente es un caso particular que noestudiamos, que es la matriz matriz jacobiana). Si utilizamos define, podemoscalcular directamente el valor del gradiente en (0,0):

(%i1) f(x,y):=cos(y)-y*x^2;

define(parcial1f(x,y),diff(f(x,y),x,1));

define(parcial2f(x,y),diff(f(x,y),y,1));

jacobian([f(x,y)],[x,y]);

define(gradf(x,y),jacobian([f(x,y)],[x,y]));

gradf(0,0);

(%o1) f (x, y) := cos (y)− y x2

(%o2) parcial1f (x, y) := −2 x y

1

(%o3) parcial2f (x, y) := −sin (y)− x2

(%o4)(

−2 x y −sin (y)− x2)

(%o5) gradf (x, y) :=(

−2 x y −sin (y)− x2)

(%o6)(

0 0)

Tambien se puede hacer con gradef y se pueden mostrar con printprops (pruebea ejecutar la siguiente celda sin esta ultima sentencia:

(%i7) f(x,y):=cos(y)-y*x^2;

gradef(f(x,y),parcial1f(x,y),parcial2f(x,y));

printprops ([f],gradef);

(%o7) f (x, y) := cos (y)− y x2

(%o8) f (x, y)d

d xf (x, y) = (−2) x y

d

d yf (x, y) = (−1) x2 + (−1) sin (y)

(%o9) done

Ası tenemos la ecuacion del plano tangente, que asignamos con define (¡comodeberıamos haber esperado!).

(%i10) define(pltan(x,y),f(0,0)+parcial1f(0,0)*(x-0)

+parcial2f(0,0)*(y-0));

(%o10) pltan (x, y) := 1

Con Maxima podemos representar f(x,y)=cos(y)-y*x^2 y su plano tangente en(0,0):

(%i11) load(draw)$

draw3d(key= "f", color=blue, explicit(f(x,y),x,-1,1,y,-1,1),

color= red, key="Df(1,0)",

explicit(pltan(x,y),x,-1,1,y,-1,1), surface_hide= true);

(%o12) [gr3d (explicit, explicit)]

Para dibujar las graficas de las funciones f y pltan(x,y) introducimos en Maximael siguiente comando que deducimos del dado en el enunciado.

>> draw3d(key= ”f”, color=blue, explicit(f(x,y),x,-1,1,y,-1,1), color=red,

key=”Df(0,0)”, explicit(pltan(x,y),x,-1,1,y,-1,1), surface hide= true);

Observara en azul la grafica de f y en rojo el plano definido por la grafica depltan(x,y). Girando las graficas con el raton observamos que son tangentes.

2

2 Ejercicio 232

Representamos la funcion y su plano tangente, como en el ejemplo anterior:

(%i15) kill(all);

f(x,y):=x^2+y^3+exp(x+y);




define(gradf(x,y),jacobian([f(x,y)],[x,y]));

gradf(1,-1);

(%o0) done

(%o1) f (x, y) := x2 + y3 + exp (x+ y)

(%o2) parcial1f (x, y) := ey+x + 2 x

(%o3) parcial2f (x, y) := ey+x + 3 y2

(%o4)(

ey+x + 2 x ey+x + 3 y2)

(%o5) gradf (x, y) :=(

ey+x + 2 x ey+x + 3 y2)

(%o6)(

3 4)

Ası tenemos la ecuacion del plano tangente, que asignamos de nuevo con definey simplificamos con factor:

(%i7) define(pltan(x,y),f(1,-1)+parcial1f(1,-1)*(x-1)

+parcial2f(1,-1)*(y+1));

factor(%);

(%o7) pltan (x, y) := 4 (y + 1) + 3 (x− 1) + 1

(%o8) pltan (x, y) := 4 y + 3 x+ 2

Con Maxima podemos representar f(x,y)=x^2+y^3+exp(x+y) y su plano tan-gente:

(%i9) load(draw)$

draw3d(key= "f", color=blue, explicit(f(x,y),x,-1,1,y,-1,1),

color= red, key="Df(1,-1)",

explicit(pltan(x,y),x,-1,1,y,-1,1), surface_hide= true);

(%o10) [gr3d (explicit, explicit)]

3 Ejercicio 234

La diferencial de una funcion es una aplicacion lineal y se puede determinara partir del gradiente si las derivadas parciales son continuas. En Maxima se

3

calcula con la sentencia jacobian, como hemos visto.

(%i11) kill(all);

f(x,y):=x*exp(y)+y*(cos(x*y))^2;


(%o0) done

(%o1) f (x, y) := x exp (y) + y cos (x y)2

(%o2)(

ey − 2 y2 cos (x y) sin (x y) −2 x y cos (x y) sin (x y) + cos (x y)2+ x ey

)

4 Ejercicio 235

Calculamos las derivadas parciales como un lımite, a partir de la definicion:

(%i3) kill(all);

f(x,y):=(x^2+y^2)*sin((x^2+y^2)^(-1));

limit((f(h,0)-0)/h,h,0);

limit((f(0,h)-0)/h,h,0);

(%o0) done

(%o1) f (x, y) :=(

x2 + y2)

sin(

(

x2 + y2)

−1)

(%o2) 0

(%o3) 0

Maxima no calcula lımites de dos variables, pero sı puede ayudarnos para cal-cular el lımite en coordenadas polares:

(%i4) limit(2*r*cos(t)*(sin(r^(-2))-(r^(-2))*cos(r^(-2))), r, 0);

(%o4) und

Es indeterminado, por lo que sabemos que no tiene lımite.

5 Ejercicio 236

Vamos a determinar las derivadas parciales en (0,0) como en el ejercicio anterior:

(%i5) kill(all);

f(x,y):=(x*abs(y));

limit((f(h,0)-0)/h,h,0);

limit((f(0,h)-0)/h,h,0);

(%o0) done

4

(%o1) f (x, y) := x |y|(%o2) 0

(%o3) 0

Tambien calculamos el lımite en coordenadas polares:

(%i4) limit(r*cos(t)*abs(sin(t)), r, 0);

(%o4) 0

Como es 0, la funcion es diferenciable.

6 Ejercicio 237

Vamos a obtener las derivadas parciales y la diferencial, aunque no se ha hechoen el libro:

(%i5) kill(all);

f(x,y):=(4*x^3)/(x^2+y^2);




(%o0) done

(%o1) f (x, y) :=4 x3

x2 + y2

(%o2) parcial1f (x, y) :=12 x2

y2 + x2− 8 x4

(y2 + x2)2

(%o3) parcial2f (x, y) := − 8 x3 y

(y2 + x2)2

(%o4)(

12x2

y2+x2 − 8 x4

(y2+x2)2− 8x3 y

(y2+x2)2

)

La continuidad en (0,0), aunque es sencilla, la estudiamos con el lımite en coor-denadas polares:

(%i5) limit(4*cos(t)*(sin(t))^2, r, 0);

(%o5) 4 cos (t) sin (t)2

Ahora utilizamos la definicion de derivada parcial para obtenerlas en (0,0):

(%i6) limit((f(h,0)-0)/h,h,0);

limit((f(0,h)-0)/h,h,0);

(%o6) 4

5

(%o7) 0

Finalmente, estudiamos al diferenciabilidad en este punto con el lımite en coor-denadas polares:

(%i8) limit(4*r*(cos(t))^3, r, 0);

(%o8) 0

7 Ejercicio 239

En este ejercicio, hay calculos en los que Maxima nos resulta de gran utilidad.Uno de ellos es el calculo del lımite con el que se estudia la continuidad:

(%i9) kill(all);

F(r):=(r^2)/log(1-r^2);

limit(F(r),r,0);

(%o0) done

(%o1) F (r) :=r2

log (1− r2)

(%o2) − 1

Tambien nos ayuda con el calculo de las derivadas parciales en (0,0):

(%i3) f(x,y):=(x^2+y^2)/(log(1-x^2-y^2));

define(l1(h),(f(h,0)+1)/h);

define(l2(h),(f(0,h)+1)/h);

limit(l1(h),h,0);

limit(l2(h),h,0);

(%o3) f (x, y) :=x2 + y2

log (1− x2 − y2)

(%o4) l1 (h) :=

h2

log(1−h2) + 1

h

(%o5) l2 (h) :=

h2

log(1−h2) + 1

h

(%o6) 0

(%o7) 0

6

8 Ejercicio 241

Primero vamos a definir la funcion g con Maxima y a calcular las derivadasparciales si (x,y) es distinto de (0,0):

(%i8) kill(all);

f(x,y):=x^2-x*y+y^2;

g(x,y):=if x=0 and y=0 then 0

else (f(x,y)+x*y)/sqrt(x^2+y^2);

diff(g(x,y),x,1);

diff(g(x,y),y,1);

(%o0) done

(%o1) f (x, y) := x2 − x y + y2

(%o2) g (x, y) := ifx = 0andy = 0then0elsef (x, y) + x y√

x2 + y2

(%o3)x

√

y2 + x2

(%o4)y

√

y2 + x2

Si intentamos calcular las derivadas parciales en (0,0) llegamos a un resultadoque Maxima no puede resolver:

(%i5) define(parcial1g(x,y),diff(g(x,y),x,1));

define(parcial2g(x,y),diff(g(x,y),y,1));

limit((g(h,0)-0)/h,h,0);

(%o5) parcial1g (x, y) :=x

√

y2 + x2

(%o6) parcial2g (x, y) :=y

√

y2 + x2

(%o7) und

Observamos que el ultimo lımite nos da indefinido, porque no existe.

9 Ejercicio 242

Vamos a derivar F respecto a t. Primero definimos x, y, f:

7

(%i8) kill(all);

x:exp(2*t);

y:1/t;

f:x*(1-y^2)-y;

(%o0) done

(%o1) e2 t

(%o2)1

t

(%o3)

(

1− 1

t2

)

e2 t − 1

t

Luego derivamos respecto a t:

(%i4) diff(f,t,1);

(%o4) 2

(

1− 1

t2

)

e2 t +2 e2 t

t3+

1

t2

10 Ejercicio 243

Aplicamos la regla de la cadena a las funciones de este ejercicio:

(%i5) kill(all);

f:x^2+cos(y);

y:exp(-x);

diff(f,x);

(%o0) done

(%o1) cos (y) + x2

(%o2) e−x

(%o3) 2 x

11 Ejercicio 245

Vamos a calcular con maxima el valor de la diferencial de f(g,h). Primerolimpiamos la memoria con kill(all). Luego asignamos a g,h sus expresiones,luego a f y finalmente, pedimos que determine el gradiente de f:

8

(%i4) kill(all);

g(u,v):=u+u*v;

h(u,v):=tan(u);

f(x,y):=x-y^2;

jacobian([f(g(u,v),h(u,v))],[u,v]);

(%o0) done

(%o1) g (u, v) := u+ u v

(%o2) h (u, v) := tan (u)

(%o3) f (x, y) := x− y2

(%o4)(

v − 2 sec (u)2tan (u) + 1 u

)

Ahora asignamos el gradiente a una funcion y detemrinamos su valor en (0,0):

(%i5) define(gradiente(u,v),jacobian([f(g(u,v),h(u,v))],[u,v]));

gradiente(0,0);

(%o5) gradiente (u, v) :=(

v − 2 sec (u)2tan (u) + 1 u

)

(%o6)(

1 0)

12 Ejercicio 246

Primero definimos las funciones y calculamos su gradiente:

(%i7) kill(all);

g(u,v):=u*v;

h(u,v):=sin(u);

k(u,v):=exp(u);

f(x,y,z):=3*x+y+z^2;

jacobian([f(g(u,v),h(u,v),k(u,v))],[u,v]);

(%o0) done

(%o1) g (u, v) := u v

(%o2) h (u, v) := sin (u)

(%o3) k (u, v) := exp (u)

(%o4) f (x, y, z) := 3 x+ y + z2

(%o5)(

3 v + cos (u) + 2 e2u 3 u)

Como tenemos el gradiente, le asignamos una funcion, que llamamos gradiente,y la evaluamos en (1,0):

9

(%i6) define(gradiente(u,v),jacobian([f(g(u,v),h(u,v),k(u,v))],

[u,v]));

gradiente(1,0);

(%o6) gradiente (u, v) :=(

3 v + cos (u) + 2 e2u 3 u)

(%o7)(

cos (1) + 2 e2 3)

13 Ejercicio 249

Vamos a comprobar que la funcion cumple las condiciones del teorema de lafuncion implıcita. Comenzamos reiniciando Maxima con kill(all) y luego defi-nimos la ecuacion y comprobamos que en (1,1) se verifica:

(%i8) kill(all);

ec:x^4+x^2*y^3-y^2-1;

ec,x=1,y=1;

(%o0) done

(%o1) x2 y3 − y2 + x4 − 1

(%o2) 0

A continuacion, comprobamos que no se anula la derivada con respecto a x enese punto:

(%i3) diff(ec,x);

%,x=1,y=1;

(%o3) 2 x y3 + 4 x3

(%o4) 6

Ya sabemos que podemos poner que x depende de y:

(%i5) depends(x,y);

(%o5) [x (y)]

Ahora vamos a encontrar g’(1). Derivamos implıcitamente y despejamos

dx/dy=g’(1).

Llamamos solucion a este valor:

10

(%i6) diff(ec,y);

solve(%,diff(x,y));

soluc:solve(%,diff(x,y));

(%o6) 2 x

(

d

d yx

)

y3 + 3 x2 y2 − 2 y + 4 x3

(

d

d yx

)

(%o7) [d

d yx = − 3 x2 y2 − 2 y

2 x y3 + 4 x3]

(%o8) [d

d yx = − 3 x2 y2 − 2 y

2 x y3 + 4 x3]

Para hacer referencia a esta solucion utilizamos al sentencia rhs: En este caso,como solo hay una solucion, bastarıa con utilizar la sentencia

(%i9) rhs(part(soluc,1));

(%o9) − 3 x2 y2 − 2 y

2 x y3 + 4 x3

Podemos definir esta funcion y evaluarla en x=1,y=1 y obtenemos

(%i10) define(dxdy(x,y),rhs(part(soluc,1)));

dxdy(1,1);

(%o10) dxdy (x, y) := − 3 x2 y2 − 2 y

2 x y3 + 4 x3

(%o11) − 1

6

14 Ejercicio 250

Hacemos como en el ejercicio anterior:

(%i18) kill(all);

ec:3*x*y-x^3+cos(%pi*y)-1;

ec,x=1,y=1;

diff(ec,y);

%,x=1,y=1;

(%o0) done

(%o1) cos (π y) + 3 x y − x3 − 1

(%o2) 0

(%o3) 3 x− π sin (π y)

11

(%o4) 3

Y comprobamos que se puede despejar y en funcion de x. Sin embargo, no sepuede asegurar que ocurra al reves, porque la derivada de la ecuacion respectode x es 0:

(%i5) diff(ec,x);

%,x=1,y=1;

(%o5) 3 y − 3 x2

(%o6) 0

15 Ejercicio 252

Observamos que la pendiente de la recta tangente a la curva de nivel es el opuestode la primera componente del gradiente entre la segunda. Por eso calculamos elgradiente y particularizamos en el punto (0,1):

(%i7) kill(all);

F(x,y):=y*exp(x)-x^2-1;

jacobian([F(x,y)],[x,y]);

%,x=0,y=1;

(%o0) done

(%o1) F (x, y) := y exp (x)− x2 − 1

(%o2)(

ex y − 2 x ex)

(%o3)(

1 1)

El gradiente es una matriz y por eso, para calcular el opuesto de la primeracomponente del gradiente entre la segunda hacemos:

(%i4) -col(jacobian([F(x,y)],[x,y]),1)/col(jacobian([F(x,y)],

[x,y]),2);

%,x=0,y=1;

(%o4)(

e−x (2 x− ex y))

(%o5)(

−1)

Tambien podıamos haber hecho:

(%i6) j:jacobian([F(x,y)],[x,y]);

-j[1,1]/j[1,2];

%,x=0,y=1;

(%o6)(

ex y − 2 x ex)

12

(%o7) e−x (2 x− ex y)

(%o8) − 1

Porque j[1,1] es la primera componente de j y j[1,2] es la segunda. Finalmente,calculamos su valor en x=0,y=1:

(%i9) %,x=0,y=1;

(%o9) − 1

16 Ejercicio 253

Procedemos como habitualmente, y ası encontramos el valor de a:

(%i10) kill(all);

ec:1-exp(x^7+y^2-x*z-1);

ec,x=1,y=0,z=a;

solve(%,a);

(%o0) done

(%o1) 1− e−x z+y2+x7−1

(%o2) 1− e−a

(%o3) [a = 0]

Ahora comprobamos que se cumple la otra hipotesis del teorema de la funcionimplıcita:

(%i4) diff(ec,z);

%,x=1,y=0,z=0;

(%o4) x e−x z+y2+x7−1

(%o5) 1

Ya sabemos que z depende de x e y:

(%i6) depends(z,[x,y]);

(%o6) [z (x, y)]

Ahora derivamos la ecuacion respecto a x e y y particularizamos en x=1,y=0:

13

(%i7) ec1:diff(ec,x);

ec2:diff(ec,y);

soluc1:solve(ec1,diff(z,x));

rhs(part(soluc1,1));

define(dzdx(x,y,z),rhs(part(soluc1,1)));

dzdx(1,0,0);

soluc2:solve(ec2,diff(z,y));

rhs(part(soluc2,1));

define(dzdy(x,y,z),rhs(part(soluc2,1)));

dzdy(1,0,0);

(%o7) − e−x z+y2+x7−1

(

−x

(

d

d xz

)

− z + 7 x6

)

(%o8) − e−x z+y2+x7−1

(

2 y − x

(

d

d yz

))

(%o9) [d

d xz = −z − 7 x6

x]

(%o10) − z − 7 x6

x

(%o11) dzdx (x, y, z) := −z − 7 x6

x

(%o12) 7

(%o13) [d

d yz =

2 y

x]

(%o14)2 y

x

(%o15) dzdy (x, y, z) :=2 y

x

(%o16) 0

17 Ejercicio 257

Repetimos los mismos pasos que en el ejercicio anterior:

(%i17) kill(all);

f(x,y):=x^3+y^3+x*y;

gradiente:jacobian([f(x,y)],[x,y]);

puntoscriticos:algsys([gradiente[1,1],gradiente[1,2]],[x,y]);

(%o0) done

14

(%o1) f (x, y) := x3 + y3 + x y

(%o2)(

y + 3 x2 3 y2 + x)

(%o3) [[x = −1

3, y = −1

3], [x = −

√3 i− 1

6, y =

√3 i+ 1

6], [x =

√3 i+ 1

6, y =

−√3 i− 1

6], [x = 0, y = 0]]

18 Ejercicio 258

No deberıa sorprendernos que los primeros pasos sean definir la funcion y cal-cular su gradiente:

(%i4) kill(all);

f(x,y):=x*y*(x^2+y^2);


(%o0) done

(%o1) f (x, y) := x y(

x2 + y2)

(%o2)(

y(

y2 + x2)

+ 2 x2 y x(

y2 + x2)

+ 2 x y2)

Determinamos los puntos crıticos resolviendo el sistema resultante de igualarlas derivadas parciales a 0:

(%i3) puntoscriticos:algsys([gradiente[1,1],gradiente[1,2]],[x,y]);

(%o3) [[x = 0, y = 0]]

19 Ejercicio 259

Calculamos el gradiente de f y lo evaluamos en los puntos dados:

(%i4) kill(all);

f(x,y):=x^3+y^2-x*y;


gradiente,x=0,y=0;

gradiente,x=1,y=-1;

gradiente,x=1/6,y=1/12;

(%o0) done

(%o1) f (x, y) := x3 + y2 + (−x) y

(%o2)(

3 x2 − y 2 y − x)

15

(%o3)(

0 0)

(%o4)(

4 −3)

(%o5)(

0 0)

Observamos que los posibles extremos se alcanzan en el primer y tercer pun-tos. Ahora obtenemos la matriz hessiana, la evaluamos en los puntos dados ycalculamos su determinante:

(%i6) mh:hessian(f(x,y),[x,y]);

mh,x=0,y=0;

determinant(%);

mh,x=1/6,y=1/12;

determinant(%);

(%o6)

(

6 x −1−1 2

)

(%o7)

(

0 −1−1 2

)

(%o8) − 1

(%o9)

(

1 −1−1 2

)

(%o10) 1

Los resultados coinciden con los del libro.

20 Ejercicio 260

Procedemos como anteriormente:

(%i11) kill(all);

f(x,y):=y+x^2*y^2-x^2+y^2;



(%o0) done

(%o1) f (x, y) := y + x2 y2 − x2 + y2

(%o2)(

2 x y2 − 2 x 2 x2 y + 2 y + 1)

(%o3) [[x = 0, y = −1

2], [x = −

√3 i√2, y = 1], [x =

√3 i√2, y = 1], [x = − i√

2, y =

−1], [x =i√2, y = −1]]

16

Obtenemos, como en el libro, un unico punto crıtico. Estudiamos la matrizhessiana en este punto:

(%i4) mh:hessian(f(x,y),[x,y]);

mh,x=0,y=-1/2;

determinant(%);

(%o4)

(

2 y2 − 2 4 x y4 x y 2 x2 + 2

)

(%o5)

(

− 32 00 2

)

(%o6) − 3


21 Ejercicio 261

Repetimos el procedimiento seguido:

(%i7) kill(all);

f(x,y):=x^2*(sin(y))^2;


%,x=0,y=0;

mh:hessian(f(x,y),[x,y]);

mh,x=0,y=0;

determinant(%);

(%o0) done

(%o1) f (x, y) := x2 sin (y)2

(%o2)(

2 x sin (y)2

2 x2 cos (y) sin (y))

(%o3)(

0 0)

(%o4)

(

2 sin (y)2

4 x cos (y) sin (y)

4 x cos (y) sin (y) 2 x2 cos (y)2 − 2 x2 sin (y)

2

)

(%o5)

(

0 00 0

)

(%o6) 0


17

22 Ejercicio 262

Repetimos el mismo procedimiento que en ejercicios anteriores:

(%i7) kill(all);

f(x,y):=15.1*x-4*x^2+4*x*y-25.5+21*y-10*y^2;




(%o0) done

(%o1) f (x, y) := 15.1 x− 4 x2 + 4 x y − 25.5 + 21 y + (−10) y2

(%o2)(

4 y − 8 x+ 15.1 −20 y + 4 x+ 21)

(%o3) [[x =193

72, y =

571

360]]

(%o4)

(

−8 44 −20

)

Ahora obtenemos la matriz hessiana y su determinante en el punto crıtico:

(%i5) mh,x=193/72,y=571/360;

determinant(mh);

(%o5)

(

−8 44 −20

)

(%o6) 144


23 Ejercicio 263

Definimos f y determinamos donde tiene puntos crıticos:

(%i7) kill(all);

f(x,y):=3*x^2+3*y^2-10*x+26-6*y;




(%o0) done

(%o1) f (x, y) := 3 x2 + 3 y2 + (−10) x+ 26 + (−6) y

(%o2)(

6 x− 10 6 y − 6)

18

(%o3) [[x =5

3, y = 1]]

(%o4)

(

6 00 6

)

Coincide con los resultados del libro.

24 Ejercicio 265

Es un problema de extremos condicionados. Definimos la funcion f, la condiciong y la funcion auxiliar de Lagrange F:

(%i5) kill(all);

f(x,y):=x^2-y^2;

g(x,y):=x+y;

F(x,y,a):=f(x,y)+a*g(x,y);

(%o0) done

(%o1) f (x, y) := x2 − y2

(%o2) g (x, y) := x+ y

(%o3) F (x, y, a) := f (x, y) + a g (x, y)

Definimos el gradiente y resolvemos el sistema que resulta de igualarlo a 0. Lospuntos crıticos se almacenan en una lista, llamada puntoscriticos:

(%i4) gradiente:jacobian([F(x,y,a)],[x,y,a]);

puntoscriticos:algsys([gradiente[1,1],gradiente[1,2],

gradiente[1,3]],[x,y,a]);

(%o4)(

2 x+ a a− 2 y y + x)

(%o5) [[x = %r1, y = −%r1, a = −2%r1]]

Coinciden con los del libro. Comprobamos que (1,-1) es un punto crıtico.

(%i6) gradiente,x=1,y=-1,a=-2;

(%o6)(

0 0 0)

25 Ejercicio 266

Hacemos como en el ejercicio anterior:

19

(%i7) kill(all);

f(r,h):=2*%pi*r^2+2*%pi*r*h;

g(r,h):=%pi*r^2*h-300;

F(r,h,a):=f(r,h)+a*g(r,h);

gradiente:jacobian([F(r,h,a)],[r,h,a]);


gradiente[1,3]],[r,h,a]);

(%o0) done

(%o1) f (r, h) := 2 π r2 + 2 π r h

(%o2) g (r, h) := π r2 h− 300

(%o3) F (r, h, a) := f (r, h) + a g (r, h)

(%o4)(

2 π a h r + 4 π r + 2 π h π a r2 + 2 π r π h r2 − 300)

(%o5) [[r =2

1

3 31

3 52

3

π1

3

, h =2

4

3 31

3 52

3

π1

3

, a = −41

3 π1

3

751

3

], [r = − 4 31

3 52

3

22

3

√3π

1

3 i+ 22

3 π1

3

, h =

− 8 31

3 52

3

22

3

√3π

1

3 i+ 22

3 π1

3

, a =

√3 4

1

3 π1

3 i+ 41

3 π1

3

2 751

3

], [r =4 3

1

3 52

3

22

3

√3 π

1

3 i− 22

3 π1

3

, h =

8 31

3 52

3

22

3

√3π

1

3 i− 22

3 π1

3

, a = −√3 4

1

3 π1

3 i− 41

3 π1

3

2 751

3

]]

La unica solucion real es la primera y coincide con la del libro.

26 Ejercicio 267

Determinamos los posibles extremos como en el ejercicio anterior:

(%i6) kill(all);

f(x,y):=x-y;

g(x,y):=x^2+y^2-1;


gradiente:jacobian([F(x,y,a)],[x,y,a]);



(%o0) done

(%o1) f (x, y) := x− y

(%o2) g (x, y) := x2 + y2 − 1

(%o3) F (x, y, a) := f (x, y) + a g (x, y)

(%o4)(

2 a x+ 1 2 a y − 1 y2 + x2 − 1)

20

(%o5) [[x = − 1√2, y =

1√2, a =

1√2], [x =

1√2, y = − 1√

2, a = − 1√

2]]

Ahora evaluamos f en estos puntos:

(%i6) ev(f(x,y),puntoscriticos[1]);

ev(f(x,y),puntoscriticos[2]);

(%o6) −√2

(%o7)√2

Y podemos afirmar que el mınimo se alcanza en el primer punto y el maximoen el segundo.

27 Ejercicio 269

Definimos la temperatura y determinamos donde se pueden alcanzar los ex-tremos relativos en el interior del disco:

(%i8) kill(all);

T(x,y):=exp(x^2)+exp(y^2);

gradiente:jacobian([T(x,y)],[x,y]);

puntoscriticos:algsys([gradiente[1,1],

gradiente[1,2]],[x,y]);

(%o0) done

(%o1) T (x, y) := exp(

x2)

+ exp(

y2)

(%o2)(

2 x ex2

2 y ey2

)

(%o3) [[x = 0, y = 0]]

Ahora estudiamos la frontera del disco con los multiplicadores de Lagrange.Como no son ecuaciones algebraicas, utilizamos la sentencia solve:

(%i4) g(x,y):=x^2+y^2-4;

F(x,y,a):=T(x,y)+a*g(x,y);


puntoscriticos:solve([gradiente[1,1],gradiente[1,2],


(%o4) g (x, y) := x2 + y2 − 4

(%o5) F (x, y, a) := T (x, y) + a g (x, y)

(%o6)(

2 x ex2

+ 2 a x 2 y ey2

+ 2 a y y2 + x2 − 4)

21

(%o7) [[x = −2, y = 0, a = −e4], [x = 2, y = 0, a = −e4], [x = 0, y = 2, a =−e4], [x = 0, y = −2, a = −e4]]

Observe que faltan posibles puntos crıticos, que sı han sido detectados en elejercicio. De hecho, si evaluamos gradiente en estos puntos el resultado es elesperado:

(%i8) ev(gradiente,[x=sqrt(2),y=sqrt(2),a=-exp(2)]);

(%o8)(

0 0 0)

Finalmente, evaluamos T en los 5 puntos detectados:

(%i9) ev(T(x,y),[x=0,y=0]);

ev(T(x,y),puntoscriticos[1]);




(%o9) 2

(%o10) e4 + 1

(%o11) e4 + 1

(%o12) e4 + 1

(%o13) e4 + 1

Y en los que hemos obtenido en el libro adicionalmente:

(%i14) ev(T(x,y),[x=sqrt(2),y=sqrt(2)]);

ev(T(x,y),[x=-sqrt(2),y=sqrt(2)]);

ev(T(x,y),[x=sqrt(2),y=-sqrt(2)]);

ev(T(x,y),[x=-sqrt(2),y=-sqrt(2)]);

(%o14) 2 e2

(%o15) 2 e2

(%o16) 2 e2

(%o17) 2 e2

28 Ejercicio 270

Procedemos como en ejercicios anteriores:

22

(%i18) kill(all);

f(x,y):=x^2+y;

g(x,y):=2*x-y;





(%o0) done

(%o1) f (x, y) := x2 + y

(%o2) g (x, y) := 2 x− y

(%o3) F (x, y, a) := f (x, y) + a g (x, y)

(%o4)(

2 x+ 2 a 1− a 2 x− y)

(%o5) [[x = −1, y = −2, a = 1]]

29 Ejercicio 271

Estudiamos los extremos de la funcion de una variable:

(%i6) kill(all);

h(x):=300-x+3*sqrt(x^2+100^2);

diff(h(x),x);

define(d1h(x),diff(h(x),x));

solve(d1h(x),x);

%^2;

puntoscriticos:solve(%);

(%o0) done

(%o1) h (x) := 300− x+ 3√

x2 + 1002

(%o2)3 x√

x2 + 10000− 1

(%o3) d1h (x) :=3 x√

x2 + 10000− 1

(%o4) [x =

√x2 + 10000

3]

(%o5) [x2 =x2 + 10000

9]

(%o6) [x = −25√2, x = 25

√2]

23

Observe que para que Maxima nos resuelva la ecuacion, hemos tenido que re-currir a elevarla al cuadrado. Como se dice en el libro, la unica posible soluciones al segunda.

Ahora calculamos la derivada segunda y la evaluamos en el punto crıtico:

(%i7) diff(h(x),x,2);

ev(h(x),puntoscriticos[2]);

float(%);

(%o7)3√

x2 + 10000− 3 x2

(x2 + 10000)3

2

(%o8) 25 27

2 + 300

(%o9) 582.8427124746193

Ademas evaluamos h en x=0,x=300:

(%i10) ev(h(x),x=0);

float(%);

ev(h(x),x=300);

float(%);

(%o10) 600

(%o11) 600.0

(%o12) 3 105

2

(%o13) 948.6832980505141

Estos resultados confirman la resolucion del libro.

30 Ejercicio 272

Procedemos como en ejercicios anteriores:

(%i14) kill(all);

f(x,y,z):=x+y+z;

g(x,y,z):=x^2+2*y^2+3*z^2-1;

F(x,y,z,a):=f(x,y,z)+a*g(x,y,z);

gradiente:jacobian([F(x,y,z,a)],[x,y,z,a]);


gradiente[1,3],gradiente[1,4]],[x,y,z,a]);

(%o0) done

(%o1) f (x, y, z) := x+ y + z

24

(%o2) g (x, y, z) := x2 + 2 y2 + 3 z2 − 1

(%o3) F (x, y, z, a) := f (x, y, z) + a g (x, y, z)

(%o4)(

2 a x+ 1 4 a y + 1 6 a z + 1 3 z2 + 2 y2 + x2 − 1)

(%o5) [[x =

√2√3√

11, y =

√3√

2√11

, z =

√2√

3√11

, a = −√11

2√6], [x = −

√2√3√

11, y =

−√3√

2√11

, z = −√2√

3√11

, a =

√11

2√6]]

Tiene 2 soluciones. Evaluamos f en estos dos puntos:

(%i6) ev(f(x,y,z),puntoscriticos[1]);

ev(f(x,y,z),puntoscriticos[2]);

(%o6)

√2√3√

11+

√3√

2√11

+

√2√

3√11

(%o7) −√2√3√

11−

√3√

2√11

−√2√

3√11

Coincide con el resultado del libro.

31 Ejercicio 273

Hacemos, como en otros ejercicios:

(%i8) kill(all);

f(x,y,z):=x^2+y^2+z^2;

g(x,y,z):=x*y+4-z;

F(x,y,z,t):=f(x,y,z)+t*g(x,y,z);

gradiente:jacobian([F(x,y,z,t)],[x,y,z,t]);


gradiente[1,3],gradiente[1,4]],[x,y,z,t]);

(%o0) done

(%o1) f (x, y, z) := x2 + y2 + z2

(%o2) g (x, y, z) := x y + 4− z

(%o3) F (x, y, z, t) := f (x, y, z) + t g (x, y, z)

(%o4)(

t y + 2 x 2 y + t x 2 z − t −z + x y + 4)

(%o5) [[x =√3, y = −

√3, z = 1, t = 2], [x = −

√3, y =

√3, z = 1, t = 2], [x =

−√5 i, y = −

√5 i, z = −1, t = −2], [x =

√5 i, y =

√5 i, z = −1, t = −2], [x =

0, y = 0, z = 4, t = 8]]

25

Evaluamos f en las soluciones reales:

(%i6) ev(f(x,y,z),puntoscriticos[1]);



(%o6) 7

(%o7) 7

(%o8) 16


32 Ejercicio 274

Primero determinamos los puntos crıticos:

(%i9) kill(all);

f(x,y):=x^2-x*y+y^2;



(%o0) done

(%o1) f (x, y) := x2 − x y + y2

(%o2)(

2 x− y 2 y − x)

(%o3) [[x = 0, y = 0]]

El unico extremos posible se alcanza en (0,0). Estudiamos ahora los extremosen los lados de los segmentos:

(%i4) pcrit:[solve(diff(f(1,y),y),[y]),solve(diff(f(-1,y),y),[y]),

solve(diff(f(x,1),x),[x]),solve(diff(f(x,-1),x),[x])];

(%o4) [[y =1

2], [y = −1

2], [x =

1

2], [x = −1

2]]

Estos valores dan lugar a los puntos (1,1/2),(-1,-1/2),(1/2,1),(-1/2,-1). Evalua-mos f en todos los extremos posibles (los anteriores mas los cuatro vertices):

26

(%i5) f(0,0);

f(1,1/2);

f(-1,-1/2);

f(1/2,1);

f(-1/2,-1);

f(1,1);

f(1,-1);

f(-1,1);

f(-1,-1);

(%o5) 0

(%o6)3

4

(%o7)3

4

(%o8)3

4

(%o9)3

4

(%o10) 1

(%o11) 3

(%o12) 3

(%o13) 1


27

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