Tema II, Sistema de Particulas

Grupo I secc: 09 MATRICULAS : BB‐8755, AD‐6247, BF‐9375, CB‐2308, CA‐8792, CB‐0233, CI‐6080

MECÁNICA DEL SISTEMA DE PARTÍCULAS Empecemos recordando la mecánica de una partícula, para después extenderla a un sistema de muchas partículas. Recordamos la Cinemática (descripción del movimiento). Primero posicionamos la partícula (que suponemos puntual) en un Sistema de Referencia:

Llamaremos al vector de posición: . A partir de él definiremos los vectores velocidad y aceleración que miden la variación temporal de la posición y la velocidad, respectivamente:

(Repasad el álgebra vectorial).


A partir de la aceleración se pueden calcular velocidades y trayectorias (posiciones en función del tiempo), aunque hay que conocer velocidad y posición en algún instante de

tiempo (en cierto serán datos).


Pero la mecánica no se conforma con describir el movimiento, se busca su relación con las causas que lo producen: las Fuerzas. Toda la mecánica se desarrolla a partir de las: LEYES DE NEWTON 1) LEY DE LA INERCIA: Si sobre una partícula no actúan fuerzas, si estaba en reposo continúa en reposo y si estaba moviéndose con una velocidad v r , continúa haciéndolo con la misma velocidad. 2) Si sobre una partícula actúan fuerzas, siendo F su resultante ( F �∑Fi r r ), la partícula experimenta una aceleración dada por:

3) LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN: Si una partícula 1 hace una fuerza 21 F r sobre la partícula 2, ésta hace sobre la primera una fuerza 12 F r que tiene el mismo módulo, la misma dirección y sentido opuesto: Hemos introducido una magnitud fundamental para la dinámica, la MASA, que deberíamos llamar masa inerte, ya que mide la oposición de los cuerpos a cambios en su estado de reposo o movimiento y que no hay que confundir con el peso. Para la dinámica resulta interesante introducir una nueva magnitud, EL MOMENTO LINEAL O CANTIDAD DE MOVIMIENTO, que nos permite expresar la segunda ley de Newton de una forma equivalente:


Análogamente la primera ley de Newton nos dirá que si sobre una partícula no actúan fuerzas, su momento lineal es una constante del movimiento, es decir se conserva. Éste es el teorema de conservación del momento lineal para una partícula:

SISTEMA DE MUCHAS PARTÍCULAS Para describir un sistema de N partículas necesitamos N Ecuaciones de Newton:

Para cada partícula i (i=1,…,N) tenemos que sumar las fuerzas que realizan sobre ella las otras N-1 partículas y además las fuerzas exteriores que actúan sobre ella. Veremos que su dinámica resulta simplificada si estudiamos el sistema de una forma global. Vamos a plantearlo para un sistema de dos partículas, pero resulta válido para sistemas de N partículas en general. Definimos el momento lineal total del sistema:

En ausencia de fuerzas exteriores, se conserva el momento lineal total, ya que las fuerzas interiores cumplen el principio de acción y reacción.

TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL APLICADO A UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. No se conservan los momentos lineales de las partículas individuales más que cuando todas las fuerzas sobre cada partícula son cero, pero el momento lineal total se conserva siempre que no haya fuerzas exteriores.


Asimismo se generaliza la segunda ley de Newton a un sistema de partículas:

Y esta descripción del sistema de partículas como un todo lleva a la definición del CENTRO DE MASAS del sistema: un punto imaginario, cuyo movimiento se describe como si tuviera concentrada en él toda la masa del sistema (M ��∑mi) y estuviera sometido únicamente a la acción de las fuerzas exteriores. Este Centro de masas se calcula:


De este modo se puede describir el movimiento global del sistema como si se tratara de una única partícula, caracterizada por el momento total del sistema, sometida a la acción de las

fuerzas exteriores, de masa M y cuya posición la describe No es una descripción completa del movimiento, ya que las partículas del sistema se moverán respecto al CDM (a causa de las fuerzas interiores). (Ejemplo del saltador de trampolín: el CDM describe una parábola ya que sobre él actúa la fuerza de la gravedad, las partes del cuerpo giran respecto al CDM de forma complicada a causa de las fuerzas interiores).


Por todo esto descompondremos cualquier movimiento como el movimiento del Centro de Masas + el movimiento relativo al Centro de Masas. Para describir este último suele ser conveniente definir un sistema de referencia cuyo origen coincide con la posición del centro de masas y que se mueve con él; las magnitudes medidas en este sistema de referencia las etiquetaremos con un asterisco: *. Recordad cómo pasar de un sistema de referencia a otro


mediante las TRANSFORMACIONES DE GALILEO entre sistemas de referencia inerciales (i.e. que se mueven con velocidad relativa constante entre ellos).

El efecto, para las velocidades, es el mismo que se nota al lanzar una pelota a 25 m/s desde el interior de un vehículo; no observa lo mismo quien está dentro del vehículo que quien está parado a un lado de la carretera. En este caso V es la velocidad del coche.


Comprobad que si se calcula el momento lineal total de un sistema de partículas en el sistema centro de masas resulta: P*=0. CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS En primer lugar, el TRABAJO que realiza una fuerza se obtiene mediante la integral del producto escalar de la fuerza por un desplazamiento infinitesimal a lo largo de la trayectoria descrita por la partícula: Como consecuencia de esta definición sólo realizan trabajo las componentes de la fuerza tangentes a la trayectoria. Las fuerzas pueden hacer trabajo positivo y negativo, pensad en el significado de dicho signo. En general, para calcular el trabajo, hay que conocer la fuerza (puede cambiar a lo largo de la trayectoria) y la trayectoria seguida. Hay un caso particular,


el de las FUERZAS CONSERVATIVAS, que cumplen que el trabajo no depende del camino seguido, solamente depende de los puntos inicial y final de la trayectoria. Otra forma equivalente de definirlas, es que el trabajo realizado por la fuerza para, saliendo de un punto determinado, volver al mismo punto es idénticamente nulo.

De una forma general, se puede demostrar que:

Recordad que en términos de las coordenadas intrínsecas (normal y tangencial): la fuerza se expresa como:

Así que si definimos una nueva magnitud, LA ENERGÍA CINÉTICA, como:


Se cumplirá que el trabajo realizado por una fuerza es igual a la variación de energía cinética. Volved a pensar en el significado del signo del trabajo. Cuando pasamos a un sistema de partículas, todas estas nuevas magnitudes se extienden de una forma natural. Así por ejemplo, la energía cinética de un sistema de partículas no es más que la suma de las energías cinéticas de todas las partículas del sistema.

Suele ser conveniente expresarla en función de la energía cinética del Centro de Masas y la relativa al CDM, que resulta de sustituir la velocidad en el sistema de referencia de partida por la velocidad en el sistema centro de masas más la velocidad relativa entre los dos sistemas (ver la transformación de velocidades entre sistemas de referencia inerciales):

Para las fuerzas conservativas se puede definir otra forma de energía: la ENERGÍA POTENCIAL. Se define en cada punto del espacio, de tal forma que se cumpla:

Como en la definición sólo importan las diferencias de energías potenciales, realmente podremos elegir el origen de energía potencial con libertad. Calcularemos la función energía potencial mediante:


Eligiendo el camino como nos interese dado que al ser la fuerza conservativa el resultado no depende del mismo. Esta definición de la energía potencial nos permite:

Por lo que si definimos una nueva magnitud, LA ENERGÍA MECÁNICA, Em=Ec+U, habremos llegado al TEOREMA DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA: la energía mecánica se conserva si todas las fuerzas que actúan sobre la partícula/sistema son conservativas. En dicho caso las energías cinéticas y potenciales son intercambiables y la energía puede expresarse en forma de una u otra a lo largo del movimiento. No hay que olvidar que la energía total se conserva siempre (la energía ni se crea ni se destruye, solamente se transforma). La energía mecánica no coincide con la energía total, hay otras formas de energía: química, luminosa, sonora, térmica, etc. En un caso general, con fuerzas conservativas y no conservativas, el trabajo seguiría siendo igual a la variación en la energía cinética que produce, sin embargo, sólo las fuerzas conservativas tendrían asociada energía potencial y cumplirían que:

Si partiendo de la energía potencial queremos calcular la fuerza, tenemos que recurrir a un tipo especial de derivada: el GRADIENTE. (Revisad sus propiedades).

En una dimensión, se traduce simplemente en:


y tiene un significado claro cuando se representa gráficamente la curva de energía potencial. La fuerza da la pendiente de la recta tangente a la curva de energía potencial en cada punto cambiada de signo. Así, si buscamos las POSICIONES DE EQUILIBRIO estaremos buscando cuándo se hace cero la fuerza y por lo tanto cuándo es horizontal la tangente a la curva, o lo que es lo mismo, cuando vale cero su primera derivada. Esta condición la cumplen máximos, mínimos y puntos de inflexión de la energía potencial que corresponden a situaciones de equilibrio inestable, estable y neutro.

ROTACIÓN A continuación vamos a intentar describir el movimiento de rotación, un caso particular al que aplicaremos la mecánica general que ya hemos desarrollado. Cuando hacemos girar un sólido rígido (no cambian las distancias entre cualesquiera de las partículas que lo componen) en torno a un eje fijo, es fácil notar que dos puntos A y B no giran con la misma velocidad (no recorren la misma distancia en el mismo tiempo), sin embargo sí que recorren el mismo ángulo en el mismo tiempo. Resulta conveniente, por lo tanto, describir la rotación en términos de la VELOCIDAD ANGULAR, ω y el ángulo recorrido dθ.


Como se puede girar respecto a muchos ejes de rotación diferentes, se le asocia a la velocidad angular una dirección y sentido (ver dibujo): perpendicular al plano en el que gira el objeto y estando el sentido determinado por hacia donde apunta el pulgar cuando los dedos de la mano derecha giran como el objeto. El eje de rotación podría ir cambiando a lo largo del movimiento, así que tenemos que estudiar en general el vector velocidad angular. Toda la dinámica podemos repetirla ahora expresando las distintas magnitudes ya definidas en términos de los desplazamientos angulares y la velocidad angular. En este proceso vamos a ir definiendo nuevas magnitudes. Por ejemplo, para que haya rotación tiene que haber fuerzas, pero fuerzas algo especiales, no basta con que sean no nulas. Tienen que cumplir otros requisitos. Tienen que dar lugar a momentos de las fuerzas no nulos. El momento de la fuerza, M o τ, es un vector que se define como:

Y sólo se produce rotación si el momento es no nulo. Buscando una relación equivalente a la segunda ley de Newton, llegamos a que debería existir una cantidad equivalente al momento lineal, cuyas variaciones en el tiempo las produzca el momento de la fuerza, i.e.


Lo llamamos el MOMENTO ANGULAR, L. Podéis comprobar que la forma de definirlo para que se cumpla la relación anterior es:

Para todas las relaciones de la dinámica de traslación, tendremos una análoga en rotación: W=τdθ, α=dω/dt, etc… Si pasamos a un sistema de partículas (que cumpla la condición del sólido rígido) e intentamos calcular en función del ángulo girado el momento angular total de dicho sistema de partículas:


Vemos que resulta sencillo expresarlo en términos de la velocidad angular (basta con pasar las coordenadas cartesianas a coordenadas polares) y una nueva magnitud que desempeña un papel equivalente a la masa en la traslación: el MOMENTO DE INERCIA, I.

Mide la oposición a los cambios en el estado de rotación, y aunque depende de la masa, lógicamente, resulta importante la distribución de la misma respecto al eje de giro elegido. Es, pues, una propiedad de cada sistema de partículas, pero depende del eje de rotación que se elija.

Si hacemos algo análogo con la energía cinética, llegamos a que:


Y se generalizan análogamente los teoremas de conservación. Si las fuerzas no realizan momento, se conserva el momento angular total del sistema de partículas, lo que a su vez implica que si I aumenta, ��disminuye y viceversa (pensad en el ejemplo de las piruetas de una patinadora sobre hielo; se puede considerar que el patín desliza sobre el hielo sin rozar apenas). Si nos replanteamos en el sistema de partículas la diferencia que hay entre las fuerzas interiores y las exteriores en lo que a la rotación se refiere, podemos comprobar que las fuerzas interiores no producen momento neto y por lo tanto no son capaces de cambiar el estado de rotación de los objetos: harán falta fuerzas exteriores para conseguirlo.


Otro punto importante a considerar, es que la definición tanto del momento angular como del momento de la fuerza son dependientes del origen del sistema de referencia que

elijamos, dado que en ellas aparece el vector de posición, . Veámoslo. Si calculamos el momento angular de una masa m que gira en torno al punto O (como se indica en la figura) resulta un vector momento angular paralelo a la velocidad angular:


Si lo calculamos respecto al punto O’, sin embargo, el nuevo momento angular ya no es paralelo al eje Z ni a la velocidad angular (indicando que el momento de inercia no puede ser un simple número), como se muestra en la figura. En este caso se aprecia claramente que el momento angular depende del punto respecto al cual lo calculemos.


Si hacemos los mismos cálculos para la situación en que dos masas, situadas a distancia constante entre ellas, giran respecto al eje Z (ver figura), observaremos que en este caso el momento angular calculado respecto a O es el mismo que el calculado respecto a O’, y resulta paralelo al eje Z y por lo tanto a la velocidad angular. Comprobad este resultado.

Dicho resultado es importante, existen ejes de rotación privilegiados que llamaremos EJES PRINCIPALES DE ROTACIÓN. Para estos ejes se cumple que al girar respecto a ellos el momento angular siempre es paralelo a la velocidad angular. Están asociados a la simetría de la distribución de masas con respecto al eje de rotación, existente en este caso pero no en el anteriormente considerado. Si calculamos el momento angular de un sistema de partículas se puede comprobar que es la suma del momento angular asociado al movimiento del centro de masas y el momento angular relativo al CDM:


Comprobad dicho resultado. Un ejemplo claro para verlo es en el de la rotación de la Tierra. La Tierra rota alrededor del Sol y simultáneamente, en torno a su eje, de tal forma que el momento angular de la Tierra proviene de ambas rotaciones. Resulta usualmente mucho más sencillo describir el movimiento de la Tierra como resultado de superponer por un lado la rotación en torno al Sol, que se puede describir simplemente como rotación del CDM que, tendrá asociado un

momento angular que podemos llamar , y por otro lado la rotación respecto a su

eje (en la cual el CDM no se mueve) y que estaría descrita por .

Todo lo que hemos ido viendo hasta el momento lo vamos a aplicar a resolver un problema particular que será muy útil: la dinámica de los sistemas de partículas con dos partículas. EL PROBLEMA DE DOS CUERPOS Demuestra que la dinámica de un sistema de dos cuerpos de masas m1 y m2 sometidos a la acción de fuerzas exteriores e interiores es la misma que la de una única masa bajo las condiciones que vamos a enunciar a continuación.


Bajo la acción de fuerzas exteriores sustituimos el sistema por su centro de masas, que se comporta como lo haría una partícula de masa M=m1+m2. Bajo la acción de las fuerzas interiores, sólo nos interesa el movimiento relativo al CDM, y el

sistema se comporta como una masa, , LA MASA REDUCIDA, situada a una distancia del

centro de masas igual a y sometida a la acción de una de las fuerzas interiores,

, por ejemplo. Esta equivalencia podemos describirla a través de las siguientes expresiones:



Un tipo especial de movimiento en el que podemos aplicar lo visto hasta ahora de la dinámica es en el producido por FUERZAS CENTRALES: aquellas cuya dirección siempre apunta hacia un mismo punto, el centro de la fuerza. Con respecto a dicho punto las fuerzas centrales nunca realizan momento:

=0 ya que y son paralelos y por lo tanto es nulo su producto vectorial. Como consecuencia el momento angular es constante (en módulo, dirección y sentido) y por lo tanto el movimiento bajo fuerzas centrales tiene lugar en un plano (el perpendicular al momento angular). Un ejemplo de potencial asociado a una fuerza central es el de Lennard-Jones, entre átomos neutros:

La posición de equilibrio en ausencia de rotación se obtiene directamente buscando el mínimo del potencial (donde la fuerza vale cero). Si lo representamos gráficamente:

En presencia de rotación el problema es ligeramente diferente. Ya no puede haber equilibrio dado que para rotar alguna fuerza tiene que actuar como centrípeta. Esta fuerza la tiene que proporcionar el potencial de interacción, así que la


molécula tendrá en rotación una distancia interatómica diferente a la correspondiente a ausencia de rotación (rmin), en concreto la distancia interatómica corresponderá a r > rmin dado que la fuerza debe ser atractiva (tratad de entender el sentido de la fuerza que corresponde a valores de r menores y mayores de rmin). Para obtener la nueva posición de equilibrio basta con minimizar el POTENCIAL EFECTIVO:

que se construye añadiéndole al potencial de interacción un término llamado centrífugo que refleja la rotación del sistema (energía cinética de rotación) y que permite trabajar con una única variable (r) en un problema que en realidad tiene movimiento en un plano (r,�). Minimizar el potencial efectivo equivale a buscar la situación en la que el potencial de interacción es capaz de hacer la fuerza centrípeta adecuada para el momento angular asociado. En la siguiente gráfica se puede ver cómo al crecer el momento angular la posición de “equilibrio” se va desplazando. A momentos angulares suficientemente grandes puede romperse la molécula al no ser capaz el potencial de interacción de proporcionar una fuerza centrípeta suficiente (el potencial efectivo pasa a tener en lugar de mínimos máximos).


Recordad que para una molécula diatómica m sería la masa reducida del sistema. Otro ámbito de aplicación de todo lo que hemos visto es el de las colisiones. COLISIONES Los objetos se aproximan e interaccionan muy fuertemente pero durante un tiempo muy breve. Se podrá suponer que las interacciones exteriores al sistema, en caso de existir, son mucho menores que las interiores y se despreciarán. Por ello, podemos aplicar que un sistema de partículas en ausencia de fuerzas exteriores cumple: - Se conserva el momento lineal total del sistema (i.e. el centro de masas se mueve con momento lineal constante). - Se conserva el momento angular total del sistema. Con respecto a la energía mecánica, la cuestión no está tan clara, ya que depende su conservación de que TODAS las fuerzas que intervienen sean conservativas. Según la situación enfrentada se distinguirán distintos tipos de colisiones: ELÁSTICAS: se conserva la energía mecánica (fundamentalmente, cinética). INELÁSTICAS: no se conserva. Es el caso más general. Dentro de estas colisiones inelásticas tenemos que distinguir un caso particular: las PERFECTAMENTE INELÁSTICAS, en las que se pierde la máxima energía cinética que se puede perder: toda la relativa al centro de masas. Observad la siguiente colisión y comprobad la conservación del momento lineal. Si quisierais aprovechar también la conservación de la energía cinética tendríais que estar seguros de que se trata de una colisión elástica.

Observad en la figura que se puede describir la misma colisión en un sistema de referencia en reposo respecto a nuestro laboratorio y en el sistema del centro de masas. Suele ser muy útil este último para estudiar las colisiones.


EJEMPLOS: Una colisión elástica en el sistema CDM


Una colisión perfectamente inelástica


BIBLIOGRAFIA.

-http://www.hiru.com/es/fisika/fisika_00500.html

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/con_mlineal/dinamica/dinamica.htm

http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/3/Usrn/fisica/sistemas.htm

-http://www.revistaciencias.com/publicaciones/EEVkVuAZZpcfYCQwVE.php

http://www.unizar.es/lfnae/sarsa/fisica/tema1.pdf

-http://www.biopsychology.org/apuntes/mecanica/mecanica1.htm (esta creo que es la mejor)


PRESENTACION

MARIEL ALVAREZ-----------------------------------------------BB-8755

CARLOS AYBAR-------------------------------------------------AD-6247

ALBERT BATISTA-----------------------------------------------BF-9375

EMMANUEL BRETON-------------------------------------------CB-2308

JENNIFFER CASTRO--------------------------------------------CA-8792

SOLANYER DEL ORBE------------------------------------------CI-6080

ANGELINES DONASTORG SOSA-------------------------------CB-0233

DINAMICA DE LOS SISTEMA DE PARTICULAS

Objetivos

1º El estudiante debe saber distinguir entre sistema y exterior al sistema, las fuerzas de interacción entre las partículas del sistema y las fuerzas que el exterior ejerce sobre cada una de las partículas del sistema.

2º Comprender el concepto de centro de masa como punto geométrico, y formular la ecuación que describe el movimiento del centro de masas de un sistema de partículas.

3º Aplicar los principios de conservación del momento lineal y hacer el balance energético de un sistema aislado de dos o más partículas interactuantes.

Introducción

El concepto de centro de masa es muy importante, por lo que es conveniente, ilustrar con ejemplos que pongan de manifiesto que el movimiento del centro de masas de un sistema de partículas solamente depende de las fuerzas exteriores al sistema, mientras que el movimiento de una partícula del sistema obedece a las fuerza exterior y de interacción mutua con el resto de las partículas del sistema.

El papel del centro de masas se puede examinar en otros contextos instructivos, por ejemplo, en el sistema aislado formado por la Tierra y la Luna describiendo órbitas circulares en torno al centro de masas común. Se presenta la oportunidad de combinar la dinámica del movimiento circular con la tercera ley de Newton. Además, nos permite constatar que las interacciones tienen lugar en ambas direcciones, y no sólo del cuerpo masivo al más ligero.

Existen otros ejemplos que permiten diferenciar el movimiento del centro de masas y el de cada una de las partículas, como el de una bala lanzada por un cañón que explota y se divide en dos trozos iguales cuando se encuentra a la máxima altura, y uno de los trozos cae verticalmente al suelo. Se pide dibujar la trayectoria del centro de masas y la trayectoria de cada uno de los trozos.

Desarrollo

Dinámica de los sistemas de partículas

Cinemática, trata la descripción de los movimientos

Dinámica

Cinética, liga los movimientos con las fuerzas que los produce y/o modifican.

C/Rígido, si entre dos partículas cualquiera, la distancia es fija (constante).

Sistema de Partículas

C/Deformable, si entre cualquiera dos partículas la separación es variable.

Movimiento del centro de masa de un sistema general de partículas

El centro de masa

El Sistema de Referencia del Centro de Masa (sistema-C) es especialmente útil para describir las colisiones comparadas con el Sistema de Referencia del Laboratorio (sistema-L) tal como veremos en próximas páginas.

Es la posición geométrica de un cuerpo rígido en la cual se puede considerar concentrada toda su masa; corresponde a la posición promedio de todas las partículas de masa que forman el cuerpo rígido. El centro de masa de cualquier objeto simétrico homogéneo, se ubica sobre un eje de simetría.

En forma más sencilla podemos decir que el centro de masa es el punto en el cual se puede considerar concentrada toda la masa de un objeto o un sistema.

Cuando se estudia el movimiento de un cuerpo rígido se puede considerar la fuerza neta aplicada en el centro de masa y analizar el movimiento de este último como si fuera una partícula. Cuando la fuerza es el peso, entonces se considera aplicado en el centro de gravedad. Para casi todos los cuerpos cerca de la superficie terrestre, el centro de masa es equivalente al centro de gravedad, ya que la gravedad es casi constante, es decir, si la gravedad es constante en toda la masa, el centro de gravedad coincide con el centro de masa.

Si el objeto está en rotación, el centro de masa se mueve como si fuera una partícula. Algunas veces el centro de masa se describe como si estuviera en el punto de equilibrio de un objeto sólido. Por ejemplo, si usted equilibra un metro sobre su dedo, el centro de masa de la varilla de madera está localizado directamente sobre su dedo y toda la masa parece estar concentrada allí.

Movimiento del Centro de Masas

En la figura, tenemos dos partículas de masas m1 y m2, como m1 es mayor que m2, la posición del centro de masas del sistema de dos partículas estará cerca de la masa mayor.

En general, la posición rcm del centro de masa de un sistema de N partículas es

La velocidad del centro de masas vcm se obtiene derivando con respecto del tiempo

En el numerador figura el momento lineal total y en el denominador la masa total del sistema de partículas.

De la dinámica de un sistema de partículas tenemos que

El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema bajo la acción de la fuerza externa aplicada al sistema.

En un sistema aislado Fext=0 el centro de masas se mueve con velocidad constante vcm=constante.

El Sistema de Referencia del Centro de Masas

Para un sistema de dos partículas

La velocidad de la partícula 1 respecto del centro de masas es

La velocidad de la partícula 2 respecto del centro de masas es

En el sistema-C, las dos partículas se mueven en direcciones opuestas.

La segunda ley de Newton se aplica a un sistema cuando se usa el centro de masa

Donde:

F= Es la fuerza externa neta

M= Es la masa total del sistema o la suma de las masas de las partículas del sistema, y es la aceleración del centro de masa.

La ecuación dice que el centro de masa de un sistema de partículas se mueve como si toda la masa del sistema estuviera concentrada allí, y recibiera la acción de la resultante de todas las fuerzas externas.

Asimismo, si la fuerza externa neta que actúa sobre un sistema de partículas es cero, la cantidad de movimiento lineal total del centro de masa se conserva (permanece constante) dado que como para una partícula.

Esto significa que el centro de masa se mueve con una velocidad constante o permanece en reposo. Aunque se pueda visualizar con más facilidad el centro de masa de un objeto sólido, el concepto del centro de masa se aplica a cualquier sistema de partículas u objetos, aunque esté en estado gaseoso.

Para un sistema de n partículas dispuestas en una dimensión, a lo largo del eje x, la posición del centro de masa está dado por:

Esto es, XCM es la coordenada de x del centro de masa de un sistema de partículas. En una notación corta:

En donde S i indica la suma de los productos mixi para i partículas (i=1,2,3,…,n).

Si S mixi = 0, entonces XCM = 0, y el centro de masa del sistema unidimensional está localizado en el origen.

Otras coordenadas del centro de masas para el sistema de partículas se definen en forma similar. Para una distribución tridimensional de masas, la posición del centro de masas es

º

Sistemas reales posibles

1) La línea de acción de la fuerza externa resultante, pasa por el CDM; el Movimiento del sistema de partículas será una traslación rectilínea (si la dirección de la fuerza resultante es fija o curvilínea si la dirección de la fuerza resultante varía).

2) La línea de acción del sistema de partículas es una combinación de traslación y rotación o movimiento general.

3) Si la resultante del sistema de fuerzas externas es un par de momento:

Momento de una fuerza

¿Cómo hacemos para hacer girar un objeto? Observamos que al aplicar una fuerza sobre un cuerpo inicialmente en reposo, este se traslada sin girar sobre si mismo, si la dirección de la fuerza que aplicamos pasa por el centro de masa del mismo. Este experimento, puede realizarse apoyando diversos cuerpos sobre una mesa de aire (para minimizar la fuerza de rozamiento) y aplicando fuerzas en diferentes lugares y analizando la dirección que debe tener la fuerza, para que el objeto no gire. Si aplicamos a diferentes cuerpos que están apoyados sobre una superficie horizontal sin rozamiento, e inicialmente en reposo respecto a un sistema referencial inercial, una fuerza horizontal cuya dirección pase por el centro de masa, como se muestra en la figura, los cuerpos se trasladarán sin girar de manera que cada punto del mismo describirá un movimiento rectilíneo acelerado.

En cambio, si la fuerza que aplicamos, su dirección no pasa por el centro de masas, y ésta es la fuerza neta (única fuerza que actúa), el cuerpo rotará y se

trasladará, efectuando lo que llamamos una rototraslación, hasta que la dirección de la fuerza neta pase por el centro de masa del sistema

En la figura hemos representado diferentes cuerpos, sobre los que actúa una fuerza constante cuya dirección inicialmente no pasa por el centro de masa, por lo que los cuerpos rotan en el sentido de las flechas curvas mientras el centro de masa se traslada en línea recta. Recordando que el centro de masa, es un punto del espacio en el que se puede considerar concentrada toda la masa del sistema, este punto se moverá, de acuerdo a la definición de fuerza neta, con un movimiento acelerado donde la aceleración es:

La aceleración del centro de masa tiene igual dirección y sentido que la fuerza neta aplicada.

Si deseamos que el cuerpo, que inicialmente consideramos en reposo, rote sin que su centro de masa se acelere, la fuerza neta debe ser nula. Esto lo logramos añadiendo una segunda fuerza que por ejemplo actúe directamente sobre el centro de masa y sea opuesta a la fuerza F previamente aplicada como mostramos en la siguiente figura.

El cuerpo rotará cambiando su velocidad angular sin cambiar su velocidad del centro de masa debido a que la fuerza neta es cero.

Veamos con más detalles sobre cada situación:

A) Una sola fuerza sobre un objeto dinámicamente aislado. Si el objeto se encuentra dinámicamente aislado, de acuerdo con la definición de

fuerza neta, obtendremos una aceleración del centro de masa del sistema, con el mismo sentido y dirección que la fuerza neta, cuyo módulo vale

El movimiento mientras se mantenga constante la fuerza, será de traslación o rototraslación (dependiendo si la dirección de la fuerza pasa o no por el centro de masa), y el centro de masa se moverá en la dirección de la fuerza con una aceleración constante a.

B) Dos fuerzas paralelas separadas una cierta distancia

Si sobre el objeto se encuentra dinámicamente aislado y se le aplican dos fuerzas paralelas opuestas separadas una cierta distancia, de acuerdo con la definición de fuerza neta, como la fuerza neta es cero, también será nula la aceleración de su centro de masa y por lo tanto no variará su movimiento de traslación. Sin embargo podemos observar que el cuerpo gira cambiando su velocidad angular. Precisamente, ambas fuerzas constituyen lo que se llama un par de fuerzas.

En la vida real este par de fuerzas no es siempre fácil de visualizar pues en general una de las fuerzas que forman el par la constituye la reacción de algún vínculo o apoyo del objeto en otro.

¿Por qué una puerta gira?

Cuando tratamos de cerrar una puerta ver figura 3, lo que hacemos es aplicar una fuerza F sobre la misma empujándola en la dirección y sentido necesario para cerrarla. La puerta se encuentra sujeta por medio de bisagras al marco, y precisamente en el eje determinado por las bisagras es que se produce F' que conforma con F el par que provoca la rotación. La fuerza F' es la suma de las fuerzas que actúan en cada una de las bisagras y que evitan que la puerta se traslade, dando lugar así a la rotación (F + F' =0).

Par de fuerzas

El par de fuerzas en consecuencia tiene la particularidad de provocar la rotación de los cuerpos sin que estos se trasladen y esta característica es representada por medio de una magnitud vectorial llamada momento del par (o torque) que representamos con la letra, M cuyo valor depende exclusivamente del módulo de la fuerza del par y la distancia de separación entre las rectas de acción de dichas fuerzas

Se define el momento de una fuerza respecto a un punto, como el producto vectorial o externo de los vectores r (posición del punto de aplicación de la fuerza) y F (la fuerza aplicada).

El momento de un par, es la suma de los momentos que ejerce cada fuerza respecto a un punto elegido arbitrariamente. En la figura 4, hemos representado a un par de fuerzas aplicadas sobre un rígido. Calcularemos el momento del par respecto al punto A. Observamos que el vector posición del punto de aplicación de la fuerza F es r, mientras el vector posición de la fuerza F' es un vector nulo. Por lo

tanto aplicando la operación correspondiente al producto vectorial o externo de vectores tendremos que el módulo de M respecto al punto A se calcula como:

Siendo la expresión:

Por lo que escribimos:

Siendo d, la distancia (medida en forma perpendicular) entre las fuerzas que no depende del punto elegido para el cálculo de los momentos. Observando el plano definido por los vectores fuerza, y aplicando la regla de la mano derecha o del tornillo, podremos definir el vector correspondiente al producto vectorial M en la figura 5. El vector momento del par, se ubicará en un eje perpendicular al plano definido por los vectores F y r. Cuanto mayor es el momento del par de fuerza, mayor es la aceleración angular.

En el sistema S.I. el momento se mide en N.m. En el ejemplo de la figura 3, se observa como se ejerce una única fuerza de nuestra parte, para provocar el movimiento de la puerta, dado que la otra es la reacción del

apoyo, de allí que se hable muchas veces del momento de la fuerza realizado respecto al punto de rotación o eje de rotación según sea el caso.. Es decir que el momento de un par de fuerzas se calcula como el producto vectorial del vector distancia del punto o eje de giro al origen del vector fuerza y el vector fuerza aplicado. La fuerza F' se encuentra aplicada sobre el eje de rotación por lo que no produce momento por ser para ese vector el valor de r = 0 pues pasa por el punto o eje de giro.

Momento nulo Existen algunas direcciones especiales de la fuerza respecto al punto de rotación que no provocan momento, tal el caso de las fuerzas cuya dirección coincide con la dirección de r o cuando las direcciones de la fuerza y del eje de giro coinciden.

Cálculo del momento de fuerza respecto a un eje de giro

En general los cuerpos rígidos giran respecto a un eje y debemos entonces determinar sobre cual punto de dicho eje calculamos el momento de la fuerza que provoca dicha rotación, dado que para cada punto tendremos un momento de fuerza diferente. Sin embargo demostraremos que cualquiera sea el punto del eje elegido para realizar el cálculo, la componente del momento de fuerza en la dirección del eje, el mismo. Por comodidad conviene entonces elegir un punto que esté ubicado de tal manera que el vector posición sea perpendicular al eje y pase por el punto de aplicación de la fuerza sobre el rígido, este punto es el más próximo a la fuerza desde el eje. Por lo tanto en la figura de la izquierda observamos el diagrama donde se muestra la fuerza aplicada sobre el rígido, el vector posición formando un ángulo de 90º con el eje de rotación, y el momento de rotación.

Siendo el ángulo formado entre el vector posición y el vector fuerza.

El equilibrio mecánico es una situación estacionaria en la que se cumplen una de estas dos condiciones:

(1) Un sistema está en equilibrio mecánico cuando la suma de fuerzas y momentos, sobre cada partícula del sistema es cero. (2) Un sistema está en equilibrio mecánico si su posición en el espacio de configuración es un punto en el que el gradiente de energía potencial es cero.

La alternativa (2) de definición equilibrio que es más general y útil (especialmente en mecánica de medios continuos).

Como consecuencia de las leyes de la mecánica, una partícula en equilibrio no sufre aceleración lineal ni de rotación, pero puede estar moviéndose a velocidad uniforme

o rotar a velocidad angular uniforme. Esto es ampliable a un sólido rígido. Las ecuaciones necesarias y suficientes de equilibrio mecánico son:

• Una partícula o un sólido rígido está en equilibrio de traslación cuando: la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es cero.

• Un sólido rígido está en equilibrio de rotación, si la suma de momentos sobre el cuerpo es cero.

Traslación

Como el cuerpo no tiene movimiento rotacional a=0

entonces , la fuerza resultante pasa por el centro de masa y

se debe cumplir que .

Movimiento plano general

La ecuación [3-13] también se cumple en movimiento plano general en dos casos:

1. Si se toman momentos con respecto a un punto que no tenga aceleración pero que se puede estar moviendo.

2. Cuando se toman momentos con respecto a un punto cuya aceleración esta dirigida hacia el centro de masa. Veamos:

Si el punto O no tiene aceleración, [Fig. 3-22], al tomar momentos con respecto a

O se tiene

Figura 3-22

Si el punto O tiene aceleración dirigida hacia C, [Fig. 3-23], la aceleración de C es

Figura 3-23

Tomando momentos con respecto a O se tiene:

Rotación Centroidal

Se llama rotación centroidal a la rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo que pasa por su centro de masa y es perpendicular al plano de movimiento.

Ejercicios Resueltos

1) Una placa circular uniforme de 6kg de masa se une a dos eslabones AC y BD de la misma longitud. Si se sabe que la placa se suelta desde el reposo en al posición indicada, en la cual las líneas que unen G con A y B son, respectivamente, horizontal y vertical, determine a) la aceleración de la placa, b) la tensión en cada eslabón.

Solución

Realizamos el Diagrama de Cuerpo Libre

a) la aceleración de la placa

Determinamos la aceleración de la placa, como datos tenemos:

0 =75º

b) la tensión en cada eslabón.

2) Demuestre que el sistema de las fuerzas efectivas de una placa rígida en movimiento plano se reduce a un solo vector, y exprese la distancia desde el centro de masa G de la placa a la línea de acción de este vector en términos del radio de giro centroidal K de la placa, la magnitud a de la aceleración G, y la aceleración angular .

Solución

La distancia perpendicular d desde G hasta la línea de acción ma es expresada mediante:

Simplificando se obtiene:

3) Para una placa rígida en traslación, muestre que el sistema de las fuerzas efectivas consiste en vectores ( mi )a fijos a la diversas partículas de la placa, donde a es la aceleración del centro de masa G de la placa. Además, que al calcular su suma y la suma de sus momentos alrededor de G, las fuerzas efectivas se reducen a un solo vector ma fijo en G.

Solución

Ya que la placa rígida es en traslación, cada partícula tiene la misma aceleración G, es decir, a. Las fuerzas efectivas consisten en

La suma de los vectores es:

De donde:

La suma de los momentos con respecto a G es:

Pero

Se hace cero porque G es el centro de masa. De ello se desprende que la mano derecha miembro de la ecuación (1) sea igual a cero. El momento con respecto a G de ma debe ser también cero, esto significa que la línea de acción pasa a través de G y puede asociarse con la misma. 4) n gabinete de 50lb está montado sobre ruedas que le permiten moverse

con libertad sobre el piso. Si se aplica una fuerza de 25lb en la

forma indicada, determine a) la aceleración del gabinete, b) el intervalo de valores de h para el cual no se volcará el gabinete.

Solución

DCL

a) Determinamos la aceleración del gabinete:

b) Haciendo cero tanto a A como a B, obtenemos:

El gabinete no se volcará para:

Bibliografía

1) Mecánica Vectorial para Ingenieros, Dinámica Autor: Ferdinand P. Beer; Russell Johnston, JR; Williams E. Clausen

2) Manual de Mecánica Racional II Autor: Manuel Segura

3) Ingeniería Mecánica Dinámica Ressell C. Hibbeller

Fuente de Internet

García A. Rozamiento en Física General. Revista Española de Física, V-6, nº 3, 1992, pp. 44-48.

Se describen modelos microscópicos para explicar mejor las fuerzas de rozamiento, por deslizamiento y de rodadura.

Oliva J. M., Ponts A. Fuerza de inercia y enseñanza de la Física. Revista Española de Física, V-10, nº 3, 1996, pp. 38-43.

Stinner A. The story of force: from Aristotle to Einstein. Physics Education, V-12, nº 2, March 1994, pp. 77-86.

Cuenta la evolución del concepto de fuerza desde Aristóteles hasta Einstein.

http://es.wikipedia.org/wiki/Din%C3%A1mica_del_punto_material

CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTICULAS RESPECTO A UN PUNTO

En mecánica newtoniana, la CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR se define

como la cantidad fundamental que posee un cuerpo en virtud de su rotación, y que es

esencial para la descripción de su movimiento.

Esta magnitud es análoga al momento lineal y fue el propio Newton quien introdujo

el concepto de momento lineal (aunque él lo llamaba cantidad de movimiento lineal)

con el fin de disponer de una expresión que combinara las magnitudes características de

una partícula material en movimiento: su masa (toda partícula material tiene masa) y su

velocidad (magnitud que caracteriza el movimiento). La Cantidad de movimiento lineal o

Momento lineal es el producto de la masa de un cuerpo en movimiento y de

su velocidad lineal.

Por su parte la CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR de una masa puntual, es igual al producto vectorial del vector de posición (brazo), del objeto en relación a la recta

considerada como eje de rotación, por la cantidad de movimiento . Frecuentemente se lo

designa con el símbolo .

La CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR es una expresión vectorial, lo que significa

que tiene módulo, dirección y sentido.

- El módulo del vector :

- Dirección del vector :

Perpendicular al plano definido por y

- Sentido del vector :

Según la regla de la mano derecha.

Para explicar el concepto previamente establecido desarrollamos la siguiente

representación grafica.

Donde:

Vector de posición de la partícula.

Velocidad instantánea de la partícula.

Cantidad de Movimiento Lineal de la partícula.

La CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR para un sistema de n partículas será:

Derivando esta expresión con respecto al tiempo:

Debido a que:

Obtenemos la expresión siguiente:

Donde:

Ya que sus vectores son colineales.

Fuerza efectiva sobre la iesima partícula.

Llegando a la conclusión que para un sistema de n partículas la cantidad de

movimiento angular respecto a un punto “O”.

Donde es el momento resultante respecto al punto “O”

ANEXOS O EXTRAS

En general, el vector momento angular no tiene la dirección del eje de rotación, es decir, el vector momento angular no coincide con su proyección Lz a lo largo del eje de rotación. Cuando coinciden se dice que el eje de rotación es un eje principal de inercia.

Para estos ejes podemos relacionar el momento angular y la velocidad angular, dos vectores que tienen la misma dirección, la del eje de rotación

El momento de inercia no es una cantidad característica como puede ser la masa o el volumen, sino que su valor depende de la posición del eje de rotación. El momento de inercia es mínimo cuando el eje de rotación pasa por el centro de masas.

Principio de conservación del momento angular

dL/dt = d(r x mv)/dt = dr/dt x mv + r x d(mv)/dt = = v x mv + r x m a = 0 + r x F = M

El momento de las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido hace cambiar el momento angular con el tiempo

El principio de conservación del momento angular afirma que si el momento de las fuerzas exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores sean cero), el momento angular total se conserva, es decir, permanece constante.

Respecto a un mismo sistema de referencia esto no es posible, ya que las dos partículas ocuparán dos posiciones distintas.

Únicamente pueden ser iguales sus vectores de posición, tomando, para cada partícula, sistemas de referencias distintos, que hagan posible dicha igualdad.

Las partículas de la cuestión anterior, ¿podrían tener el mismo momento angular y no estar situadas en el mismo punto?

Según se vió en el problema anterior, dos partículas con la misma cantidad de movimiento no pueden tener el mismo momento angular, a no ser que se encuentren en el mismo punto con respecto a un mismo sistema de referencia, lo cual es imposible.

Por tanto, únicamente pueden tener el mismo momento angular si sus vectores de posición son iguales, tomando, para cada partícula, un sistema de referencia distinto.

El momento angular permanece constante en módulo, dirección y sentido.

* Yoel Perez T.---------BH-3726 * Jorge L. Saint--------CB-9017 * Paula Ramirez--------CB-4145 * Julio Cesar Rodriguez---CG-2379 * Carlos A. Ramirez ------BF-9013 * Yuri Rodriguez ---------BC-0183 * Jose Miguel Yuli-------CB-3495 * Ricardo Trinidad--------AE-8837 * Polanco Aleman-----87-9412 * Diana Baez--------CC-1390 * Yomaira Ramirez------- * Erlin Rosario-----CH-8048 * Randy Sanchez----CB-2447 ECUACIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES PARA EL ANALISIS

DEL MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTICULAS.

Ecuación ( A ): Responde a requerimientos del movimiento de traslación. ( Segunda Ley de Newton para la Traslación ) Principio Fundamental de la Dinámica de Traslación: El cambio de movimiento (cantidad de movimiento) es proporcional a la fuerza motriz que se le ha impreso, y sigue en la dirección de la línea recta en que se le imprimió la fuerza. O lo que es lo mismo, la fuerza que actúa sobre un cuerpo es igual a la derivada ,respecto al tiempo, de su momento lineal. Aquí introducimos una nueva magnitud, la cantidad de movimiento, definida como p=masa·velocidad. Actualmente también se la conoce como momento lineal. Al ser la masa una magnitud escalar y la velocidad una magnitud vectorial, el momento lineal ha de ser necesariamente vectorial de dirección y sentido las del vector velocidad. Su ecuación de dimensiones será: [p] = [m·v] = [m· s/t] = M·L·T-

1 y por lo tanto sus unidades Kg·m/s2. Si se modifica la velocidad de un cuerpo (modelado como una partícula) por la acción de una fuerza externa (ya sea en cualquiera de sus características vectoriales: valor, dirección y/o sentido), se modifica, en consecuencia, su momento lineal. Esta variación no es inmediata, sino que lleva instantes diferenciales de tiempo. Así pues podemos relacionar la variación de momento lineal con el tiempo y la fuerza de la siguiente forma: F= δP/δt

Como P=m·v, F= δP/δt = δmv/δt y, teniendo en cuenta que a=δv/δt (como se estudia en cinemática), esto equivale a: F = m·a

que es la otra forma de formular la Segunda Ley de Newton y la expresión propiamente conocida como Ecuación Fundamental de la Dinámica de Traslación. De esta forma podemos reescribir el principio como: Si sobre un cuerpo actúa una fuerza, o varias (cuya resultante no sea nula), adquiere una aceleración con valor directamente proporcional al de la fuerza aplicada e inversamente proporcional a la masa del cuerpo. Es decir: a = F/m. Esta nueva expresión nos permite obtener la ecuación dimensional de la fuerza: [F] = M·L·T-2 y definimos su unidad como el Newton (N). También podemos hacer un estudio más exhaustivo de la masa. Ahora la masa viene definida como la relación constante que existe entre el valor de la fuerza aplicada a un cuerpo y la aceleración que adquiere con ella: m=F/a. Tenemos un concepto de masa dinámico y lo que conocemos como “cantidad de materia que posee un cuerpo” pasa a llamarse “masa en reposo” (m0). Newton suponía que la masa, al asociarla a la cantidad de materia, era una propiedad constante de los cuerpos pero recientes investigaciones demuestran que es una propiedad variable que relaciona la masa (m) con la velocidad de la partícula (v) y la velocidad de la luz en el vacío (c).

En el mundo que conocemos, esta definición no se usa, pues no manejamos velocidades tan grandes como para que sea necesario tomarla en consideración. Los sistemas en los que esta ley no se verifica se llaman no inerciales. Ecuación ( B ): Responde requerimientos del movimiento rotación. ( Segunda Ley de Newton para la rotación o Ecuación de Euler ) Las ecuaciones de Euler-Lagrange son las condiciones bajo las cuales cierto tipo de problema variacional alcanza un extremo. Aparecen sobre todo en el contexto de la mecánica clásica en relación con el principio de mínima acción aunque también aparecen en teoría clásica de campos (electromagnetismo, Teoría general de la relatividad). Ecuación de la dinámica de rotación Consideremos un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F21. Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol ( y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes.

Para cada unas de las partículas se cumple que la variación del momento angular con el tiempo es igual al momento de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada.

Sumando miembro a miembro, aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial, y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton, F12=-F21, tenemos que

Como los vectores r1-r2 y F12 son paralelos su producto vectorial es cero. Por lo que nos queda

La derivada del momento angular total del sistema de partículas con respecto del tiempo es igual al momento de las fuerzas exteriores que actúan sobre las partículas del sistema. Consideremos ahora que el sistema de partículas es un sólido rígido que está girando alrededor de un eje principal de inercia, entonces el momento angular L=I·�, la ecuación anterior la escribimos

( A ) SISTEMA FUERZA EXTERNAS ( B ) SISTEMA FUERZA EFECTIVAS ( C) RESULTANTE FUERZA EXTERNAS O SISTEMA FUERZA PAR EQQ EN EL C.D.M ( D) RESULTANTE SISTEMA FUERZAS EFECTIVAS La relación de equivalencia entre los sistemas de fuerzas extremas y efectivas se llama Principio de D’ alembert. El mismo puede asumirse como el DCL de ecuaciones básicas ( A ) Y ( B ). El principio de d'Alembert, enunciado por Jean d'Alembert en su obra maestra Tratado de dinámica de 1743, establece que la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo y las denominadas fuerzas de inercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio. A este equilibrio se le denomina equilibrio dinámico. El principio de d'Alembert establece que para todas las fuerzas de un sistema:

Donde la suma se extiende sobre todas las partículas del sistema, siendo:

, momento de la partícula i-ésima. , fuerza sobre la partícula i-ésima. cualquier campo vectorial de desplazamientos virtuales sobre el conjunto de

partículas que sea compatible con los enlaces y restricciones de movimiento existentes. El principio de d'Alembert es realmente una generalización de la segunda ley de Newton en una forma aplicable a sistemas con ligaduras. Por otra parte el principio equivale a las ecuaciones de Euler-Lagrange. Lagrange usó este principio bajo el nombre de principio de velocidades generalizadas, para encontrar sus ecuaciones, en la memoria sobre las libraciones de la Luna de 1764, abandonando desde entonces el principio de acción y basando todo su trabajo en el principio de

D'Alembert durante el resto de su vida y de manera especial en su Mécanique Analytique. Tal cambio de actitud pudo estar influido por dos razones:1 En primer lugar, el principio de acción estacionaria está ligado a la existencia de una función potencial, cuya existencia no requiere en el principio de d'Alembert. En segundo lugar, el principio de acción se presta a interpretaciones filosóficas y teleológicas que no le gustaban a Lagrange. Finalmente debe señalarse que el principio de d'Alembert es peculiarmente útil en la mecánica de sólidos donde puede usarse para plantear las ecuaciones de movimiento y cálculo de reacciones usando un campo de desplazamientos virtuales que sea diferenciable. En ese caso el cálculo mediante el principio de D'Alembert, que también se llama en ese contexto principio de los trabajos virtuales es ventajoso sobre el enfoque más simple de la mecánica newtoniana.

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Tema II, Sistema de Particulas