Tema n 2

TEMA N 10MXIMO COMN DIVISOR Y

MNIMO COMN MULTIPLOMXIMO COMN DIVISOR

De dos o ms expresiones algebraicas, es la expresin de mayor grado posible que est contenida como factor, un nmero entero de veces en dichas expresiones.

Para determinar el Mximo Comn Divisor se factoriza las expresiones y se forma EL PRODUCTO DE LOS FACTORES COMUNES CON SU MENOR EXPONENTE.

MNIMO COMN MULTIPLO

De dos o ms expresiones algebraicas, es la expresin de menor grado posible que contenga un nmero entero de veces como factor a dichas expresiones.

Para determinar el Mnimo Comn Mltiplo se factoriza las expresiones y se forma EL PRODUCTO DE LOS FACTORES COMUNES Y NO COMUNES CON SU MAYOR EXPONENTE.

EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Hallar el Mximo Comn Divisor y el Mnimo Comn Mltiplo de:

A = x5- ax4 - a4x + a5B = x4 - ax3 - a2x2 + a3x

Solucin:

En A:

A = x4(x - a) - a4(x - a)

Extrayendo factor comn y desarrollando x4 - a4:

A = (x - a)(x2 + a2) (x + a)(x - a)

A = (x - a)2(x2 + a2)(x + a)

En B; extrayendo factor comn:

B = x(x3 - ax2 - a2x + a3)

B = x [x2(x - a) - a2(x - a)]

B = x(x - a)(x + a)(x - a)

B = x(x - a)2(x + a)

Mximo Comn Divisor (A, B)

(x - a)2(x + a)

Mnimo Comn Mltiplo (A, B):

x(x - a)2(x + a)(x2 + a2)

2.- Hallar el M.C.D. y el m.c.m. de:

A = x2(x2 + 2y2) + (y2 + z2)(y + z)(y - z)

B = (x2 + y2)(x2 + y2 + 2z2) + z4C = x4 + 2x2z2 + z4 - y4Solucin:

Factorizando separadamente cada expresin:

Expresin A:

A = x4 + 2x2y2 + (y2 + z2)(y2 - z2)

A = (x4 + 2x2y2 + y4) - z4 = (x2 + y2)2 - (z2)2A = (x2 + y2 + z2)(x2 + y2 - z2)

Expresin B:

B = (x2 + y2)2 + 2z2(x2 + y2) + z4B = (x2 + y2 + z2)2Expresin C:

C = (x4 + 2x2z2 + z4) - y4 = (x2 + z2)2 - (y2)2C = (x2 + z2 + y2)(x2 + z2 - y2)

M.C.D. (A, B, C) = x2 + y2 + z2m.c.m.(A, B, C) = (x2 +y2 + z2)2(x2 +y2 - z2)(x2+z2 - y2)