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FÍSICA Y QUÍMICA 1º BACH___________________________________________ IES EL PARADOR
Referencia bibliográfica: Fís y Quím 1º de Bachillerato (Jaime Carrascosa y otros)
1
TEMA1
CINEMÁTICA
EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS
La importancia que tiene el estudio del movimiento de los cuerpos radica en que los
orígenes de la Física pueden situarse en las investigaciones que algunos científicos
como Galileo y Newton realizaron en este campo en el siglo XVII. De esta manera,
asociado al estudio del movimiento de los cuerpos se encuentra el desarrollo de unos
procedimientos que dieron lugar a lo que hoy llamamos metodología científica.
Basados en esta metodología se desarrollan desde hace 300 años los trabajos de
investigación que han supuesto un desarrollo sin precedentes para la humanidad. Ya en
4º de ESO empezásteis a estudiar el movimiento con cierta precisión haciendo uso del
lenguaje matemático. Este curso profundizaremos un poco más en este estudio.
Son muchas las situaciones concretas en las que puede tener interés estudiar el
movimiento de un cuerpo: prácticas deportivas (carreras de atletismo, tiro con arco,
paracaidismo, voleibol, etc.), medios de transporte (movimiento de trenes, aviones,
coches, etc.), puesta en órbita de satélites artificiales, movimiento de planetas,
desplazamiento de un huracán, lanzamiento de proyectiles, etc.
En este primer tema estudiaremos CINEMÁTICA, es decir, que nos ocuparemos de
describir algunos movimientos de interés. Y para ello disponemos de una serie de
magnitudes cinemáticas que nos permiten realizar tal descripción: posición, velocidad,
aceleración, tiempo, distancia recorrida, etc. Conviene recordar que no existe una
descripción absoluta de ningún movimiento, sino que depende del observador que lo
describa. Es por ello por lo que necesitamos siempre elegir un sistema de referencia
determinado en base al cual vayamos a describir el movimiento en cuestión. Además,
consideraremos los cuerpos como puntos materiales en los que toda su masa reside en
un solo punto, lo que supone una simplificación necesaria para poder abordar sin
demasiadas complicaciones el estudio del movimiento de los cuerpos. Así, en el futuro
se podrán abordar problemas más reales y complejos al suponer los cuerpos como
cuerpos extensos.
Comenzaremos estudiando el movimiento de cuerpos que lo hacen sobre una trayectoria
conocida de antemano, abordando con un poco más de profundidad situaciones ya
estudiadas en el curso pasado. Seguidamente abordaremos el estudio del movimiento de
cuerpos que lo hacen sobre una trayectoria que no conocemos de antemano, para lo cuál
tendremos que introducir nuevas herramientas.
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DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS
CUANDO LA TRAYECTORIA SE CONOCE DE ANTEMANO
Existen movimientos cuya trayectoria conocemos de antemano con total precisión: el
movimiento curvilíneo de un tren por las vías, el movimiento curvilíneo de un coche por
la carretera, el movimiento rectilíneo de caída libre de una piedra, el movimiento
circular de un planeta en torno al Sol, etc. Describir este tipo de movimientos es más
sencillo que describir aquellos cuya trayectoria no conocemos de antemano (y de los
que nos ocuparemos más tarde). Las herramientas necesarias para describir los
movimientos son: las magnitudes cinemáticas, las ecuaciones del movimiento y las
gráficas del movimiento.
Las magnitudes cinemáticas útiles para describir los movimientos cuya trayectoria se
conoce de antemano, y con las que trabajasteis ya el curso pasado, son: posición,
desplazamiento, distancia recorrida, tiempo, intervalo de tiempo, velocidad y rapidez,
aceleración sobre la trayectoria. No hay que olvidar que no existe una única descripción
de un movimiento, pues todo depende del observador; así pues, es necesario establecer
previamente un origen de referencia y un criterio de signos.
Actividad inicial
Dejamos caer una bola desde lo alto de un tobogán de 20 m de longitud y observamos
que impacta con el agua al cabo de los 10 segundos con una rapidez de 15 m/s:
a) Escoge un sistema de referencia y un criterio de signos apropiado
b) ¿Cuál es la posición inicial de la bola? ¿Y su posición final?
c) ¿Cuál ha sido su desplazamiento? ¿Qué distancia ha recorrido?
d) ¿Qué intervalo de tiempo ha transcurrido?
e) ¿Cuál ha sido su velocidad media? ¿Y su rapidez media?
f) ¿Cuál ha sido su velocidad en el instante inicial? ¿Y en el final?
g) ¿Qué velocidad llevará al cabo de los 2,5 segundos?
h) ¿Cuál ha sido su aceleración media sobre la trayectoria?
i) ¿Llevará la misma aceleración en todo momento?
Además de las magnitudes cinemáticas, resultan muy útiles las ecuaciones del
movimiento para poder predecir dónde estará y lo rápidamente que se moverá un cuerpo
en un cierto instante. Estas ecuaciones permiten conocer cómo dependen la posición y la
velocidad de la variable tiempo. El curso pasado utilizasteis dichas ecuaciones para dos
movimientos muy particulares: el m.u. y el m.u.a. Pero no sólo las ecuaciones del
movimiento son una herramienta útil para su estudio, sino también las gráficas del
movimiento: e-t y v-t.
Signo de la aceleración
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Cuestión 1
Una moto y un coche se mueven por una carretera con velocidad constante. La gráfica
posición-tiempo de cada uno de esos movimientos uniformes (mu) son las que aparecen
en las figuras. Dibuja debajo de cada una de ellas las gráficas v-t y a-t
correspondientes.
Cuestión 2
Dos cuerpos se desplazan sobre una trayectoria cualquiera con aceleración constante.
Las gráficas v-t de cada uno de esos movimientos uniformemente acelerados (mua) son
las que aparecen en las figuras. Dibuja encima de cada una de ellas la gráfica e-t y
debajo la gráfica a-t correspondientes. Imagina para ello que parten, en ambos casos,
desde el origen de referencia. ¿Qué movimientos reales pueden representar estos dos
ejemplos?
MOVIMIENTO
UNIFORMEMENTE ACELERADO
2
0 0
1
2e e v t at 0v v at
MOVIMIENTO
UNIFORME
0e e vt
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Cuestión 3
Una moto que circula a 72 km/h por una carretera curvilínea pasa en un instante dado
por delante de una señal que indica “gasolinera a 1500 m”. En ese mismo instante, un
coche que circula con una velocidad constante de 108 km/h y en sentido contrario a la
moto, le faltan 60 m para llegar a la gasolinera. Se pide:
a) Después de escribir las ecuaciones del movimiento para ambos móviles, representa
en una sola gráfica e-t el movimiento de la moto y del coche entre t=0s y t=40s.
b) Determina a qué distancia de la señal se cruzan ambos vehículos.
(Rdo. Se cruzan a 624 m de la señal)
Cuestión 4
Analiza detalladamente la siguiente gráfica dando
toda la información que seas capaz de extraer de
la misma. A continuación, construye las gráficas
v-t y a-t a partir de los datos suministrados.
Cuestión 5
Un coche que va a 108 km/h frena con una aceleración constante hasta conseguir
reducir su rapidez a la mitad en 5 s para luego continuar con esa rapidez durante 5 s
más. Tomando como origen de espacios y de tiempos la posición y el instante en que
comenzó a frenar, se pide:
a) Sin realizar ningún cálculo, dibujad una posible trayectoria señalando en ella la
posición del coche mediante cruces a intervalos de 1 s desde t=0 hasta t=10 s.
b) Escribid las ecuaciones "v" y de "e" en función del tiempo, mientras frena
c) Escribid las ecuaciones de v y de e en función del tiempo después de la frenada
d) Representad v-t y e-t desde t=0 hasta t=10 s
e) Calculad la distancia total recorrida por el coche a los 10 segundos
(Rdo. e) 187'5 m)
Cuestión 6
En las dos gráficas siguientes se
representa el movimiento de dos
móviles que en el instante inicial
t=0, se encontraban en la
posición e=0 m. Interpretad
cada uno de los movimientos
representados y, a continuación,
proceded a construir las gráficas
e-t y a-t de cada uno de ellos.
Cuestión 7
Un objeto se mueve de forma que su posición sobre la trayectoria viene dada por la
expresión: e = 25 + 40t -5t2 m. Se pide:
a) Extraed toda la información posible sobre el movimiento: tipo de movimiento,
valores de la rapidez y de la posición en el instante inicial (v0 y e0), la aceleración
sobre la trayectoria atg, el sentido en que se mueve y la ecuación de su rapidez en
función del tiempo v(t).
b) Calculad dónde estará y con qué rapidez se moverá en el instante t=5s. ¿Qué
distancia total habrá recorrido el móvil en esos 5 segundos?
(Rdo. e5=100 m; v5=10 m/s; d=85 m)
e(m)
t(s)
10
2 8 12
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Cuestión 8
Un tren de alta velocidad circula a 90 km/h cuando acelera de forma constante hasta
que transcurridos 15 segundos alcanza los 306 km/h. Tomando como origen de
espacios y tiempos el punto y el instante en que comenzó a acelerar, se pide:
a) Escribe las ecuaciones del movimiento. ¿Dónde se encontrará en el instante t=5 s?
b) Construye e interpreta las gráficas v-t y e-t
c) Sobre un dibujo de la trayectoria marca las posiciones del tren a intervalos de 3 s
d) Compara el desplazamiento en el primer segundo con el desplazamiento en el último
segundo.
(Rdo. a) 175 m; d) 27 m y 83 m respectivamente)
Problema 1
Una moto va a 100 km/h por la ciudad cuando su conductor frena (con aceleración
constante) para no atropellar a una persona que se encontraba a 25 m de distancia,
parando en 4 s. Determina la distancia recorrida durante la frenada e indica si
consiguió parar a tiempo de evitar el accidente.
(Rdo. 0
2
fv td ; No para a tiempo porque recorre 55,6 m)
Problema 2
Un cierto tipo de avión necesita alcanzar una velocidad mínima de 288 km/h para
comenzar a elevarse. Dicho avión tiene unos motores capaces de proporcionarle una
aceleración máxima de 5 m/s2. ¿Cuál será la longitud mínima que deberá tener la
pista?
(Rdo.
2
,640
2
f mín
mín
máx
vL m
a )
EL MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE
Cuando un cuerpo se mueve libremente en
dirección vertical (sube o baja sometido sólo a
la acción de la gravedad) podemos comprobar
experimentalmente que, siempre que se
encuentre a alturas no muy grandes, el
movimiento es uniformemente acelerado y
que el valor de la aceleración sobre la
trayectoria vale 9’8 m/s2 y es común para
todos los cuerpos, sea cual sea su masa. De
acuerdo con ello, siempre que el rozamiento
con el aire sea o se pueda considerar
despreciable, todos los cuerpos que se dejen
caer desde la misma altura llegarán al suelo
en el mismo tiempo.
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Al tratarse de una trayectoria rectilínea podemos considerarla conocida de antemano,
por lo que podemos describir el movimiento con las magnitudes e, v y a. Debemos
escoger un punto de la trayectoria como origen de referencia y un criterio de signos. La
aceleración de la gravedad se simboliza mediante la letra g, con lo que las ecuaciones de
este tipo de movimiento serán:
2
0 0
1
2e e v t gt 0v v gt
Problema 3
Se lanza un cuerpo hacia arriba con una rapidez de 50 m/s. ¿Qué altura alcanzará?
(Rdo. 2
0 1252
vh m
g )
Problema 4
Se deja caer un cuerpo desde una altura de 15 m. Calcula en km/h con qué velocidad
llegará al suelo suponiendo despreciable el rozamiento con el aire.
(Rdo. 2 61,7fv gh km h )
Problema 5
Desde un globo que está ascendiendo a 5 m/s se suelta un saco de lastre en el instante
en que se encuentra a 100 m de altura. Despreciando el rozamiento con el aire,
calculad con qué rapidez chocará el saco contra el suelo y expresad el resultado en
km/h.
(Rdo. 2
0 02 160, 4 /fv v gh km h )
Problema 6
Desde la boca de un pozo de 20 m de profundidad, se lanza verticalmente y hacia
arriba una piedra con rapidez de 10 m/s. Determinad con qué rapidez chocará contra
el fondo.
(Rdo.2
0 2 22, 2 /fv v gh m s , donde h es la profundidad del pozo)
Problema 7
Desde el suelo se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil con una cierta rapidez
inicial v0, comprobándose que éste tarda 4 s en alcanzar la altura máxima. Se pide:
a) Valor de dicha altura máxima.
b) ¿A qué altura máxima habría llegado y cuánto tiempo habría tardado si se hubiera
lanzado con el doble de rapidez inicial?
(Rdo. a)
2
78, 42
fgth m . b) Hubiese llegado a 313,6 m de altura en 8 s)
El signo de la aceleración será positivo o negativo
dependiendo del criterio de signos escogido en cada caso.
Así pues, ¡¡habrá que estar muy atento a eso!!
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Problema 8
Desde lo alto de una torre de 62’5 m se deja caer una piedra. Se pide:
a) Determinad las ecuaciones del movimiento y a partir de ellas construid las gráficas
v-t y e-t desde que se deja caer la piedra hasta el instante en que choca contra el suelo.
b) Sobre las dos gráficas anteriores, indicad (sin calcular) el instante en el que alcanza
la mitad de la torre, así como la velocidad que llevará en ese instante. Calculad luego
el valor de dicha velocidad a partir de las ecuaciones del movimiento.
(Rdo. b) /2 24,75 /hv gh m s )
Aunque conozcamos la trayectoria de
antemano, es importante destacar el
carácter vectorial que tienen la
velocidad y la aceleración. La
velocidad la podemos representar
como un vector cuya dirección es
siempre tangente a la trayectoria en
cada punto, su sentido indica el sentido
del movimiento, y su módulo
representa la rapidez con la que se
mueve el objeto. Por tanto, cuando
cambia la velocidad de un cuerpo
puede ser porque cambie su módulo (rapidez), porque cambie su dirección o porque
cambien los dos a la vez. Consecuentemente, si la aceleración indica el ritmo al que
cambia la velocidad, ésta presenta dos componentes muy útiles: la aceleración
tangencial (atg), que representa el ritmo al que cambia el módulo de la velocidad (su
rapidez), y que es un vector siempre tangente a la trayectoria; y la
aceleración normal (an), que representa el ritmo al que cambia la
dirección del movimiento, y que es un vector siempre normal a la
trayectoria (perpendicular a la tangente).
EL MOVIMIENTO CIRCULAR Y
UNIFORME
Entre los diferentes tipos de
movimiento en los que la trayectoria se
conoce de antemano, en la naturaleza
es particularmente importante el
movimiento circular uniforme. Éste es
el caso, al menos de forma aproximada,
del movimiento de los planetas en
torno al Sol, o el de la Luna en torno a
la Tierra, o el de los electrones en torno
al núcleo de los átomos, etc.
Con la presentación de diapositivas que
pondrá el profesor te enterarás mejor
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Cuando hablamos de un movimiento circular estamos suponiendo que conocemos la
trayectoria de antemano, así que podemos describir el movimiento sobre la trayectoria
sin más que fijar un origen de referencia sobre esa trayectoria y un criterio de signos.
Bastaría luego con conocer los valores de la posición e sobre la trayectoria en cada
instante de tiempo.
El caso particular que nos ocupa, el del movimiento
circular uniforme (mcu), se caracteriza por tener una
rapidez constante. En este caso, la ecuación del
movimiento correspondiente resulta ser 0e e v t .
Además, existen otras dos características muy
importantes de un movimiento circular uniforme que
son, en definitiva, las que lo determinan con mayor
simplicidad: por un lado, el radio r de la circunferencia
que describe el móvil y, por otro, el tiempo que tarda en
dar una vuelta completa, es decir, el período T.
La expresión para la velocidad de un mcu cuyo radio sea r y cuyo período sea T puede
expresarse como:
2e rv
t T
2 r
vT
Cuestión 9
El movimiento que describe cada planeta alrededor del Sol es un movimiento plano
que, como muy buena aproximación, lo podemos considerar como un mcu.
a) A partir de los datos de la tabla siguiente trata de completar el resto de la tabla.
b) Compara luego los resultados entre unos planetas y otros y trata de sacar alguna
conclusión.
Planeta Distancia media al Sol
(106 km)
Período
(años)
Velocidad
(km/h) (km/s)
Mercurio 57,9 0,24
Venus 108,2 0,62
Tierra 149,6 1,00 107.229 29,8
Marte 227,9 1,88
Júpiter 778,3 11,86
Saturno 1.429,4 29,42
Urano 2.875,0 83,75
Neptuno 4.504,4 163,72
v
r
v
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Cuestión 10
El movimiento que describe la Luna alrededor de La Tierra es un movimiento que,
como muy buena aproximación, lo podemos considerar también como un mcu.
a) A partir de los datos de la tabla siguiente trata de completar el resto de la tabla. b) Si la Luna está mucho más cerca de la Tierra de lo que está Mercurio del Sol, ¿por qué crees
que no se mueve con mayor rapidez que éste?
Satélite Distancia media a la
Tierra (106 km)
Período
(días)
Velocidad
(km/h) (km/s)
Luna 0,4 28
Cuestión 11
Nuestra estrella, el Sol, pertenece a la Vía Láctea,
galaxia con forma de espiral formada por billones
más de estrellas. A partir de los datos que aparecen
en la imagen, determina el tiempo que tarda el Sol
en dar una vuelta completa en torno al centro de la
galaxia arrastrando consigo a todo el sistema solar.
(La distancia del sistema solar al centro de la
galaxia es de 26.100 años-luz) (Rdo. T=205 millones de años)
Cuestión 12
En el modelo atómico de Rutherford, el movimiento que describe
un electrón alrededor del núcleo de un átomo puede considerarse
también como un mcu. En el caso del átomo de hidrógeno, el
electrón gira en torno al protón a una distancia de 0,5 A
(1A=1010 m) y con una velocidad de unos 2.250 km/s.
Determina el período de su movimiento. ¿Sabrías calcular el
número de vueltas que da en 1 segundo?
Para movimientos periódicos (como es el mcu) cuyo período sea muy pequeño la misma
posición se repite muy frecuentemente. En estos casos conviene introducir una nueva
magnitud que llamamos, precisamente, frecuencia f del movimiento. Si el período
representa el tiempo que se tarda en dar una vuelta, la frecuencia representa lo contrario,
es decir, el número de vueltas que se producen en cada segundo, y su unidad es el
hertzio (1Hz=1s-1). Por tanto:
1f
T
Cuestión 13
Determina en Hz la frecuencia de Mercurio, La Tierra y Neptuno a partir de los datos
de la tabla de la cuestión 9. ¿Cuál de las dos magnitudes, T ó f, te parece más
apropiada para caracterizar el movimiento circular de los planetas? ¿Y para
caracterizar el movimiento circular de los electrones?
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Hasta ahora hemos hablado del movimiento circular que
describen algunos cuerpos en torno a un punto central en el
que se sitúa otro cuerpo diferente: un planeta en torno al
Sol, la Luna en torno a la Tierra, un electrón en torno a un
núcleo, etc. Pero imaginemos ahora el movimiento circular
que describen los diferentes puntos de un cuerpo que gira en
torno a un eje que lo atraviesa. Por ejemplo, el movimiento
circular que describe cada uno de los puntos de un CD, o el
movimiento circular que cada uno de nosotros describimos
diariamente en torno al eje de rotación de la Tierra, o el
movimiento circular que describe cada estrella de una
galaxia espiral en torno al eje de rotación de la galaxia, etc.
En estos casos, un punto que esté más alejado del
eje de giro se mueve con mayor velocidad que otro
situado más cerca, pues el primero recorrerá un
arco de circunferencia de mayor longitud en el
mismo intervalo de tiempo. Sin embargo, todos los
puntos barren el mismo ángulo en el mismo
intervalo de tiempo, razón por la cual resulta
cómodo introducir magnitudes relacionadas con el
ángulo barrido, pues así el movimiento de todos los
puntos podrá ser descrito con una única ecuación
que considere ángulos en vez de distancias. Pero no
debes de preocuparte por tener que asimilar más
conceptos, ya que todo ello va encaminado a
facilitar enormemente la descripción de estos
movimientos que tan importantes resultan en la naturaleza.
Magnitudes angulares útiles para describir el mcu
En el estudio del movimiento circular, la posición del
móvil se expresa mediante la posición angular , es
decir, mediante el ángulo formado por un radio que se
toma como origen de ángulos y el radio que señala la
posición del móvil en el instante considerado. Además,
se establece también un criterio de signos para ángulos
positivos y negativos. En cuanto al cambio de posición
ocurrido en un determinado intervalo, se expresa como
el desplazamiento angular . El ritmo al que cambia la
posición angular con el tiempo se expresa mediante la
velocidad angular , definida como:
0
0
( )
( )
f
ft t t
De ahí, se deduce fácilmente que para cualquier instante de tiempo t:
0 t
ROTACIÓN DE LA TIERRA
r
R
0
f=0
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11
ev
t
t
La siguiente tabla resume las magnitudes que se utilizan para describir el movimiento
circular uniforme, y en ella se puede apreciar claramente la correspondencia existente
entre las magnitudes angulares y las lineales:
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Radio r Período T Frecuencia f
Magnitudes lineales
Velocidad v=cte
Desplazamiento e
Posición e=e0+v·t
Magnitudes angulares
Velocidad angular =cte
Desplazamiento angular
Posición angular =0+·t
Relación entre las magnitudes lineales y las angulares
Tanto la posición angular como el desplazamiento angular podrían medirse en grados,
pero es más conveniente hacerlo en radianes porque así es muy sencillo relacionar las
magnitudes lineales (e, v) con las angulares (, ).
Un radián es la unidad internacional que se utiliza para expresar
la medida de un ángulo, y corresponde al ángulo tal que la
longitud del arco que abarca mide lo mismo que el radio que lo
describe (ver figura de la derecha).
Para averiguar entonces cuántos
radianes miden cualquier ángulo
como el de la figura de la izquierda tendríamos que saber
cuántas veces contiene la longitud del arco e al radio r.
Es decir: e
r
Cuestión 14
a) Determina a cuántos radianes equivalen los siguientes
ángulos expresados en grados: 360º, 180º, 90º, 60º, 45º.
b) ¿A cuántos grados equivale un radián?
A partir de aquí, es fácil determinar las expresiones que nos permiten relacionar las
magnitudes lineales con las angulares:
e r e r
v rt t
v r
Por otro lado, la expresión que nos permite relacionar la velocidad angular con el
período T o con la frecuencia f vendrá dada por:
22 f
t T
2
2 fT
Se puede ver fácilmente que si el desplazamiento angular lo expresamos en radianes, la
velocidad angular se expresará en rad/seg.
e
r
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Finalmente, cabe destacar que si en un mcu la rapidez no cambia, no habrá entonces
aceleración tangencial (atg=0). Sin embargo, la dirección del vector velocidad sí que
cambia, y lo hace siempre al mismo ritmo. Por tanto, existirá una aceleración normal
cuyo valor será constante y que será mayor cuanto más rápido se mueva el cuerpo y
cuanto más cerrada sea la curvatura, es decir, cuanto menor sea el radio de la
circunferencia. Se puede demostrar (y no lo vamos a hacer en este año), que para todo
mcu la aceleración normal toma la siguiente expresión (que nos va a acompañar ya el
resto del curso):
2
n
va
r
Cuestión 15
a) Hallar la frecuencia del movimiento, la velocidad
angular y la velocidad lineal de un punto del Ecuador
terrestre sabiendo que el radio de la Tierra es
aproximadamente de 6.380 km.
b) Repite el ejercicio anterior, pero ahora para un punto
situado en el Trópico de Cáncer.
c) Repite el ejercicio anterior, pero ahora para un punto
situado en el Polo Norte.
d) Calcula, en cada uno de los tres casos anteriores, el
desplazamiento lineal y el desplazamiento angular (en
radianes y en grados) sufrido en el intervalo de una
hora.
Cuestión 16
a) Hallar la frecuencia del movimiento, la velocidad angular y la velocidad lineal con
la que se desplazan los habitantes de Almería arrastrados por el movimiento de
rotación de la Tierra. Busca en internet los datos que necesites.
b) Completa la siguiente tabla con todos los resultados de la cuestión anterior y del
apartado a) de esta cuestión. ¿Por qué crees que se introducen las magnitudes
angulares para el estudio del movimiento circular?
Lugar Latitud (ºN) T (h) (rad/s) v (km/h) (rad) en 1 h
e (km) en 1 h
Ecuador
T. Cáncer
Polo Norte
Almería
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Cuestión 17
La Luna siempre ofrece la misma cara a la Tierra
debido a que su período de rotación se ha igualado
a su período de traslación (27,3 días). Determina la
velocidad angular (en rad/s) con la que gira
cualquier punto situado sobre la superficie de la
Luna. ¿Cómo será la velocidad angular de otro
punto situado en el interior del satélite terrestre,
mayor o menor que la anterior?
Cuestión 18
Suponiendo que la Luna gira alrededor de la Tierra con MCU de 384.000 km de radio
y sabiendo que emplea 27’3 días en dar una vuelta completa en torno a nosotros, se
pide:
a) Rapidez angular de la Luna en rad/s y rapidez lineal en km/h
b) Distancia en km que recorre la Luna cada semana. Representa esa distancia en un dibujo. c) Desplazamiento angular (en radianes y en grados) descrito por la Luna en una semana.
Representa también ese desplazamiento angular en el dibujo d) Aceleración normal de la Luna en m/s2. Explica por qué sale un valor tan bajo.
e) ¿Cuánto valdrá la aceleración tangencial de la Luna en su movimiento alrededor de la
Tierra? Explica tu respuesta
Cuestión 19
Suponiendo que la Tierra gira alrededor del Sol
con MCU de 150.000.000 km de radio, se pide:
a) Rapidez angular de la Tierra en rad/s y
rapidez lineal en km/h
b) Distancia en km que recorre la Tierra cada mes.
Representa esa distancia en un dibujo. c) Desplazamiento angular (en radianes y en
grados) descrito por la Tierra en un mes.
Representa también ese desplazamiento angular en el dibujo d) Aceleración normal de la Tierra en m/s2. Trata de explicar por qué sale un valor
tan bajo.
e) ¿Cuánto valdrá la aceleración tangencial de la Tierra en su movimiento alrededor del Sol?
Explica tu respuesta
Cuestión 20
Otra unidad que se utiliza mucho para expresar la velocidad
angular es la de revoluciones por minuto (rpm). Una lavadora, por
ejemplo, puede centrifugar a 500 rpm, mientras
que un taladro puede girar a unas 2.500 rpm.
Explica el significado de esos datos técnicos y
determina a continuación la frecuencia de
trabajo (en Hz) y la velocidad angular (en
rad/s) de las dos máquinas anteriores.
Rotación de la Luna
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DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS
CUANDO LA TRAYECTORIA NO SE CONOCE DE ANTEMANO
Cuando la trayectoria no se conoce de antemano con exactitud no podemos describir el
movimiento a partir de la posición e que ocupa el móvil con respecto a un origen de
referencia y medida sobre la trayectoria. Es por ello que necesitamos introducir otras
magnitudes cinemáticas relacionadas con la posición y que sean útiles a la hora de
describir el movimiento. El único movimiento que nos vamos a encontrar de estas
características a lo largo de este curso de Física y Química es el movimiento parabólico
que describe un objeto lanzado no verticalmente en las cercanías de la superficie
terrestre. Si te fijas en las siguientes imágenes puedes comprobar que todos ellos
transcurren en un solo plano, es decir, que son movimientos en dos dimensiones.
Cuando despreciamos el rozamiento con el aire, de manera que sólo haya movimiento
bajo la influencia de la gravedad terrestre, sabemos que la trayectoria de todos estos
cuerpos tiene forma de parábola, pero no exactamente qué parábola (por eso no
conocemos con exactitud la trayectoria de antemano).
Si hacemos un estudio detallado del
movimiento de la bala de la figura de la
derecha podemos observar que la
distancia que recorre en cada segundo
en la dirección horizontal es siempre la
misma, por lo que se trata de un
movimiento uniforme. Sin embargo, en
la dirección vertical cada segundo que
pasa recorre más distancia, tratándose
de un movimiento uniformemente
acelerado exactamente igual que el de
caída libre. Como ya sabemos analizar
cada uno de ellos, cabe esperar que sea
más sencillo abordar dos problemas simples por separado (un mu en la horizontal y un
mua en la vertical) que no un sólo problema más complejo. Esa es la clave para abordar
el estudio de los movimientos cuya trayectoria no conocemos de antemano (siempre y
cuando sepamos analizar el movimiento en cada dirección por separado).
¡ Es el momento de visualizar unos vídeos
que ponen de manifiesto esta independencia !
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Referencia bibliográfica: Fís y Quím 1º de Bachillerato (Jaime Carrascosa y otros)
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Así pues, escogiendo un origen de referencia adecuado en común para las dos
direcciones y estableciendo el criterio de signos apropiado para cada dirección podemos
escribir las ecuaciones del movimiento para cada una de ellas por separado:
Las tres ecuaciones recuadradas son las herramientas de las que dispondremos para
resolver cualquier problema relacionado con el movimiento parabólico. Si te das cuenta,
en la caída libre disponíamos sólo de dos ecuaciones (una para la posición y otra para la
velocidad). Así pues, no es más complicado resolver este tipo de problemas. Tan sólo
hay que saber escribir bien las ecuaciones para cada caso e identificar los datos
apropiados.
Una forma muy habitual de expresar las magnitudes cinemáticas (posición, velocidad y
aceleración) en estos casos es haciendo uso del lenguaje vectorial, pero tampoco es
imprescindible. Se trata de expresar las componentes de cada magnitud como pares
ordenados, de la misma manera que se hace con los vectores:
Vector de posición
2
0 0 0 0
1( , ) ( , )
2x yr x y x v t y v t gt
Vector velocidad
0( , ) ( , )x y x yv v v v v gt
Vector aceleración
( , ) (0, )x ya a a g
Sólo hay una magnitud que relaciona ambos movimientos: se trata del tiempo.
Consideramos siempre el mismo instante inicial t0=0 para ambos movimientos, de
forma que el tiempo transcurrido en una dirección debe de ser el mismo que el
transcurrido en la otra.
@ En el siguiente enlace puedes visualizar muy bien con una animación el
movimiento parabólico y la evolución de las magnitudes cinemáticas que lo
gobiernan. También puedes encontrar el enlace en mi blog.
http://www.walter-fendt.de/ph14s/projectile_s.htm
Dirección horizontal
Eje x
mu
0xa
0x xv v cte
0 0xx x v t
Dirección vertical
Eje y
mua
ya g cte
0y yv v gt
2
0 0
1
2yy y v t gt
x
y
x
y
a
v
r
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En los casos en los que no conocemos la trayectoria de antemano no tiene sentido
trabajar con las componentes intrínsecas de la aceleración (atg y an) ya que, al no
conocer la trayectoria, no sabemos en cada momento cuál es la componente tangencial
ni cuál la normal. Es por ello que solemos trabajar con las componentes cartesianas x e
y. Sin embargo, eso no quita para que podamos, al menos, realizar un análisis
cualitativo del movimiento parabólico a partir de las componentes intrínsecas de la
aceleración.
Cuestión 21
Con ayuda del siguiente dibujo, dibuja las
componentes intrínsecas de la aceleración en cada
uno de los tres instantes representados y responde a
las siguientes cuestiones:
a) Justifica por qué es curvilínea la trayectoria en
cada instante.
b) Justifica por qué en unos instantes la curva de la
trayectoria es más cerrada y en otros más abierta.
c) Justifica por qué al subir el movimiento es cada vez
más lento y al bajar es cada vez más rápido.
d) El movimiento parabólico no es un mua en contra
de lo que mucha gente cree. Explica por qué no lo es.
EL TIRO HORIZONTAL
Un caso particular del movimiento parabólico es el tiro horizontal, que se presenta en
situaciones en las que el cuerpo es lanzado inicialmente en la dirección horizontal desde
una altura h y con una rapidez inicial v0. (Datos: v0, h, g)
En todos estos casos, eligiendo adecuadamente el origen de referencia para que la
componente x de la posición inicial sea nula, las ecuaciones del movimiento que nos
quedan son:
0x v t
21
2y h gt
yv gt
0
0
0 0
0
0
0
x
y
x
y h
v v
v
Condiciones
iniciales
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En este caso existen dos características importantes de este tipo de movimiento que
conviene saber calcular:
- Por un lado hay que saber encontrar la ecuación de la trayectoria, que no es más
que una función que exprese cómo depende la posición y en función de la posición
x. Es decir, se trata de encontrar la función y=f(x)
- Por otro lado hay que saber calcular también el alcance A del tiro horizontal, que no
es más que el valor de x cuando se alcanza el suelo (y=0).
Problema 9
A partir de las ecuaciones del movimiento del tiro horizontal, demuestra
que el alcance viene dado por la expresión:
Problema 10
a) A partir de las ecuaciones del movimiento del tiro horizontal,
demuestra que la forma de la trayectoria viene dada por la función:
b) Para el caso de un objeto lanzado horizontalmente desde 100 m de
altura con una rapidez inicial de 80´5 km/h, y tomando g=10 m/s2, construye una tabla
y la correspondiente gráfica y(x) para demostrar la forma parabólica de la trayectoria.
Problema 11
Desde lo alto de una torre de 50 m se lanza horizontalmente un proyectil con una
rapidez inicial de 160 m/s. a) Calcula a qué distancia “A” de la base de la torre
impactará contra el suelo (alcance). b) Calcula la rapidez con la que chocará contra el
suelo. c) Si al mismo tiempo que se lanza ese proyectil se deja caer desde el mismo
punto otro de doble masa ¿Cuál de los dos llegará antes al suelo?
(Rdo. a) A=506 m, v=163 m/s; Con rozamiento despreciable, ambos tardan 3,16 s)
Problema 12
Un avión de carga vuela siguiendo el curso de
un río. Justo en el momento en que se
encuentra sobre la vertical de un puente,
pierde uno de los fardos que transporta.
Sabiendo que el río en esa zona discurre en
línea recta y que el avión volaba a 1000 m de
altura con una rapidez de 800 km/h,
determina a qué distancia del puente habría
que buscar dicho fardo. (Desprecia el
rozamiento con el aire).
(Rdo. A=3.174’6 m)
Problema 13
Una pelota rueda sobre una mesa horizontal a 1’5 m de altura del suelo, cayendo por el
borde de la misma. Si choca con el suelo a una distancia de 1’8 m, medidos
horizontalmente desde el borde de la mesa. ¿Cuál es la rapidez con la que salió de la
mesa?
(Rdo. v=3’27 m/s)
2
2
02
gy h x
v
0
2hA v
g
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EL TIRO OBLICUO
Otro caso particular del movimiento parabólico es el tiro oblicuo, que se presenta en
situaciones en las que el cuerpo es lanzado inicialmente desde el suelo con un ángulo de
inclinación sobre la horizontal y con una rapidez inicial v0. (Datos: v0, , g)
En todos estos casos, eligiendo adecuadamente el origen de referencia para que las
componentes x e y de la posición inicial sean nulas, las ecuaciones del movimiento que
nos quedan son:
Las dos características importantes
de este tipo de movimiento que
conviene saber calcular son:
- Por un lado hay que saber
encontrar la altura máxima
hmax, que no es más que el valor
de y cuando la componente
vertical de la velocidad se anula,
es decir, cuando vy=0.
- Por otro lado hay que saber
calcular también el alcance A
del tiro horizontal, que no es
más que el valor de x cuando el
cuerpo alcanza el suelo, es
decir, cuando y=0.
Problema 14
a) A partir de las ecuaciones del movimiento del tiro oblicuo,
demuestra que el alcance viene dado por la expresión:
b) Determina para qué ángulo de lanzamiento es máximo el alcance.
Problema 15
A partir de las ecuaciones del movimiento del tiro oblicuo,
demuestra que la altura máxima viene dada por la expresión:
Condiciones
iniciales
0
0
0 0
0 0
0
0
cosx
y
x
y
v v
v v sen
0 cosx v t
2
0
1
2y v sen t gt
0yv v sen gt
2
0 2v senA
g
2 2
0max
2
v senh
g
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Problema 16
Mario es saltador de longitud. Inicia un
salto con una rapidez de 32 km/h y un
ángulo con la horizontal de 38º.
Despreciando el rozamiento con el aire:
a) Determina la marca conseguida.
b) ¿Cómo podría mejorar al máximo su
marca si es incapaz de correr más rápido?
¿Cuál sería esa nueva marca?
Problema 17
Se lanza un proyectil con una rapidez inicial de 720
km/h y con una elevación de 45º sobre la horizontal
para que el alcance sea máximo. El punto de
lanzamiento se encuentra sobre un acantilado de
150 m de altura sobre el nivel del mar. Determina
la altura máxima que alcanza el proyectil sobre el
nivel del mar y razona cómo afectará el rozamiento
con el aire al valor de esa altura máxima.
Sol: max 1170,4h m
Problema 18
Laurita es gimnasta. Si se mueve en línea recta con
rapidez constante de 21 km/h y lanza verticalmente una
pelota con una rapidez inicial de 40 km/h. Determina la
altura que se elevará la pelota y la distancia del punto
de lanzamiento a la que Laurita recogerá la pelota.
Sol: a)
2
0
max 6,32
yvh m
g ; b)
0 0213,23
x yv vd m
g
Problema 19
Un intrépido motorista pretende saltar una fila de
camiones dispuestos a lo largo de 45 m. La rampa
de despegue es de 20º y aterriza en otra rampa
similar de la misma altura. Si en el momento del
despegue su velocímetro marcaba 90 km/h, ¿cuál
es el futuro inmediato de nuestro abnegado héroe:
la gloria o el hospital? Demuéstralo.
Sol: HOSPITAL !!
Existe el caso más general de tiro parabólico que incluye los dos estudiados aquí, que es
cuando el lanzamiento se realiza desde una determinada altura sobre el suelo y con un
determinado ángulo de inclinación. El tratamiento que se hace es similar al del tiro
oblicuo, pero aparece la dificultad matemática añadida de un término independiente en
la ecuación para la componente vertical de la posición inicial. Esto conlleva la
resolución de ecuaciones de segundo grado que hace más engorroso el tratamiento. Este
curso no vamos a tratar este tipo de problemas. De todos modos, esa situación se
simplifica al tiro oblicuo estudiado si colocamos adecuadamente el eje horizontal para
que y0 se anule, tal y como se puede comprobar en el siguiente problema.
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Problema 20 (*)
¿Con qué velocidad inicial
(módulo v0 y dirección ) tendrá
que lanzar la pelota el jugador
de básquet de la figura para que
pueda entrar en la canasta y
hacer un triple? La distancia
entre la vertical de la bola y
vertical de la canasta es de 6’25
m. La bola sale desde 1’6 m de
altura y la canasta está a 3 m
sobre el suelo. ¿Existe realmente
una única opción?
Rdo.:
2
0 2( ) cos
f
f f
g xv
x tag y
f
f
ytag
x 12'63ºtag
(Por ejemplo, si =45º v0=8’88 m/s)
¡Fin!
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21
Si, para terminar, quieres practicar más problemas relacionados con el tiro oblicuo puedes realizar los siguientes ejercicios algo
más complicados y así reforzar lo aprendido.
¡¡ Puedes llegar a subir hasta 0,5 punto la nota de este tema !!
1. Un arquero, realizando el máximo esfuerzo, es capaz de impulsar
una flecha con una rapidez inicial de 300 km/h. Si el ángulo de
disparo es de 30º, la flecha da justo en el blanco.
a) Indica razonadamente si, con los datos de la figura, la flecha
pasará por encima del obstáculo. Realiza los cálculos necesarios.
b) En caso negativo, indica si habrá alguna forma de conseguir que
la flecha llegue al blanco. Realiza los cálculos necesarios.
2. Un cazador apunta
directamente a un mono
situado en la rama de un árbol:
a) ¿Alcanzará la bala al mono?
Imagina al mono como un
objeto puntual.
b) Si en el mismo instante del
disparo el mono se asusta y
se deja caer, ¿se salvará el
primate? Realiza los cálculos necesarios.
(Sol: a) Nunca lo alcanzará porque... b) No se salvará porque…)
306,84m
150 m