Tema6.EntornoMediaVarianza

Anlisis Financiero Dinmico I

2012

Profesor: Enrique Reina Gmez 1

PARTE III. Teora de Carteras

Tema 6. Entorno Media-Varianza.

6.1. Introduccin.

Introduciremos el supuesto de que los inversores slo consideran el rendimiento esperado y la

varianza de dichos rendimientos a la hora de evaluar inversiones alternativas. Asocindose el

riesgo de la inversin con la varianza del rendimiento de la misma. Este supuesto es

consistente con el supuesto de que los rendimientos de los activos siguen una distribucin

normal.

La optimizacin de carteras en el entorno media-varianza o entorno Markowitz, donde los

inversores logran el mximo rendimiento esperado para un nivel de riesgo dado, se ha

convertido en una de las herramientas con ms aplicaciones en las decisiones financieras.

El rendimiento esperado de cualquier activo puede replicarse mediante una cartera que

combina exclusivamente dos subcarteras:

El activo seguro: que permite prestar o endeudarse al tipo de inters libre de riesgo.

La cartera de mercado: que incorpora todos los activos existentes en el universo de

inversin en proporcin a su valor de mercado.

La cartera rplica se construir de forma que tenga el mismo riesgo que el activo que desea

valorar.

La posibilidad de los inversores de formar carteras, introduce el concepto de diversificacin del

riesgo. Este concepto refleja la capacidad de los individuos de eliminar parte del riesgo (riesgo

idiosincrtico) de sus inversiones combinando los activos disponibles. La parte del riesgo no

diversificable (riesgo sistemtico), est asociada al riesgo global del mercado.

6.2. Rendimiento esperado.

La tasa porcentual de rendimiento del activo j entre el periodo t-1 y t, viene dada por la

expresin:

=

Siendo , el precio del activo j en el momento t.


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Empleando la modelizacin mediante estados de la naturaleza, el rendimiento esperado del

activo j durante un periodo (omitimos los subndices t, dado que supondremos nicamente un

periodo) puede expresarse como:

=

Siendo S, el nmero de posibles estados de la naturaleza; la probabilidad de ocurrencia del estado s y el rendimiento del activo j en estado s.

Ejemplo 6.1. Supongamos tres estados de la naturaleza y tres activos inciertos:

La ponderacin que el activo j tiene en la cartera total, , viene dada por la proporcin del valor invertido en el activo j en el valor total de la cartera:

= = ! "

Siendo n$la cantidad (nmero de instrumentos) del activo j, y N el nmero de activos que componen la cartera.

Ntese que la suma de las ponderaciones es 1 (100%):

" = 1

Lo que no implica necesariamente que las ponderaciones de todos los activos sean positivas.

Imaginemos una cartera con pesos: = 0.75,+ = 0.5,, = 0.25. Indica que el 125% del total de la cartera se ha invertido en los dos primeros activos, cuya compra se ha financiado

parcialmente con la venta al descubierto del 25% en el activo 3. Particularmente la venta al

descubierto del activo seguro, puede interpretarse como recibir un prstamo al tipo libre de

riesgo.


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El rendimiento de una cartera c, compuesta por N activos, es la media ponderada de los

rendimientos de los activos componentes:

. ="

El rendimiento esperado de la cartera c ser:

(.) = 1" 2 =" ()

Ejemplo 6.2. Empleando los datos del ejemplo anterior y suponiendo unas ponderaciones

de = 0.5, + = 0.25,, = 0.25, el rendimiento esperado de la cartera ser:

Una forma de estimar el rendimiento esperado de un activo, es emplear una serie histrica de

datos para calcular el rendimiento medio y emplearlo como estimador.

Ejemplo 6.3. Estimacin de rendimientos esperados a partir de rendimientos histricos:


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Una cartera que permitiera replicar cualquier activo incierto mediante una determinada

proporcin, 3 , en la denominada cartera de mercado, y el resto , (1 3) , en el activo libre de riesgo tendra un rendimiento esperado de:

(.) = 33 + (1 3)5

Ejemplo 6.4. Empleando los datos del ejemplo anterior y asumiendo que el rendimiento

de RV es representativo de la cartera de mercado (p.e. Ibex35) y que el rendimiento de RF

es representativo del activo libre de riesgo (p.e. Letra del tesoro). La rentabilidad

esperada, estimada de la cartera rplica sera:

(.) = 319%+ (1 3)4% = 4%+ 15%3

A la luz de los resultados obtenidos, cuanto mayor sea 3 , mayor es el rendimiento esperado de la cartera. Es posible que 3 fuese incluso mayor que 1, para lo que sera necesario que (1 3) fuese menor que 0 (pidiendo prestado al tipo libre de riesgo). Si no existiese restriccin en el endeudamiento, sera posible obtener una rentabilidad esperada tan alta como

se desease.

Esto no parece posible en el mundo real, adems queda un concepto por definir que haga la

modelizacin ms realista, este concepto es el riesgo, que se representar por la variabilidad de

los rendimientos.

6.3. Varianza del rendimiento esperado.

La varianza del rendimiento de un activo, mide la dispersin de los retornos respecto de su

media, representa la variabilidad que experimentan sus precios. Su expresin:

9+ = [ ()]+ =[ ()]+

La varianza no est expresada en las mismas unidades que los retornos (ya que se elevan las

diferencias al cuadrado para evitar que diferencias positivas y negativas se compensen). Existe,

sin embargo una medida con significado similar y expresado en las mismas unidades: la

desviacin tpica, que no es ms que la raz cuadrada de la varianza. El conocidsimo concepto

de volatilidad est asociado a esta medida.


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Ejemplo 6.5. Empleando los datos del ejemplo 6.1calcularemos la varianza y desviacin

tpica de los tres activos.

Como en el caso del retorno esperado, es posible realizar estimaciones de la varianza

empleando series histricas y calculando su varianza.

Ejemplo 6.6. Empleando los datos del ejemplo 6.3 calcularemos la varianza y desviacin

tpica de los ndices de RV y RF.

Tras analizar los componentes de RV y RF, parece que la RV tiene un rendimiento esperado y un

riesgo (variabilidad, volatilidad) tambin mayor. Existe un concepto llamado prima de riesgo

que mide el grado de aversin al riesgo que soporta el mercado burstil al reflejar el diferencial

que en promedio los inversores exigen sobre el tipo libre de riesgo (hemos supuesto que el

componente de RF es la letra del tesoro, que aproxima el activo seguro). La expresin de la

prima de riesgo:

= (3) 5


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Ejemplo 6.7. Empleando los datos del ejemplo 6.3 calcularemos la prima de riesgo del

mercado burstil frente al activo sin riesgo.

Al inicio del captulo se ha destacado la importancia de la posibilidad de los inversores de

construir carteras, por los efectos de la diversificacin. Por simplicidad supondremos carteras

formadas por dos activos inciertos:

El rendimiento esperado viene dado por:

(.) = () + +(+) = () + (1 )(+)

La varianza es:

9.+ = ?@ + ++ [() + +(+)]A@+

= ?@[ ()] + +[+ (+)]A@+ = @?+[ ()]+ + ++[+ (+)]+ @ + 2+[ ()][+ (+)]A = +9+ + ++9++ + 2+B@?[CD B(CD)][CE B(CE)]@A 9.+ = +9+ +++9++ + 2+9+

Como puede observarse, la varianza de una cartera no es, en general, la media ponderada de

las varianzas de de los rendimientos de los activos que la componen. La razn es la existencia de

la covarianza entre los rendimientos.

9+ es la Covarianza entre los rendimientos de los dos activos. La covarianza es una medida de cmo los rendimientos de ambos activos tienden a moverse (variar) conjuntamente. A

diferencia de la varianza, la covarianza puede ser negativa, cuando los rendimientos de ambos

activos tiendan a moverse en direcciones opuestas.


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Resulta conveniente normalizar la covarianza. Dividindola entre el producto de desviaciones

tpicas se obtiene el denominado coeficiente de correlacin (1 G 1). As la covarianza puede expresarse en trminos de este coeficiente como:

9+ = G+99+

Usando el coeficiente de correlacin la varianza de la cartera queda como:

9.+ = +9+ + ++9++ + 2+G+99+

Si las ponderaciones de los dos activos de la cartera son positivas, la varianza de la cartera ser

ms pequea cuanto menor sea la correlacin entre los rendimientos de los activos que

componen la cartera.

Ejemplo 6.8. Empleando los datos del ejemplo 6.1 calcularemos las covarianzas entre los

activos individuales y los coeficientes de correlacin.

Como en el caso del retorno esperado y de la varianza, es posible realizar estimaciones de las

correlaciones empleando series histricas.

Ejemplo 6.9. Tomando los datos de una cierta matriz de correlaciones muestrales

(coeficiente de correlacin de los rendimientos de varios activos) pasaremos a construir

dos carteras combinando dos activos en cada una:

o La matriz de correlaciones:


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o Supongamos que la volatilidad anualizada de los activos A, B, C es de25%, 20% y 40%

respectivamente.

o La Cartera 1 est formada por 40% en A y 60% en B:

9+ = (40%)+(25%)+ + (60%)+(20%)+ + 2(40%)(60%)(85%)(25%)(20%) = 4.48% 9 = 21.17%

o La Cartera 2 est formada por 60% en B y 40% en C.

9++ = (60%)+(20%)+ + (40%)+(40%)+ + 2(60%)(40%)(10%)(20%)(40%) = 4.07% 9+ = 20.18%

Cuando combinamos el activo B con el activo C resulta una cartera menos arriesgada que al

combinarlo con el activo A. Pese a que el activo C es el ms arriesgado (el que mayor

volatilidad tiene) el efecto diversificador (por su menor correlacin con B) compensa este

sobre-riesgo.

6.4. Combinaciones de dos activos inciertos.

El rendimiento esperado de una cartera formada por dos activos inciertos, es una

combinacin lineal de los rendimientos esperados de los activos componentes, las

ponderaciones pueden ser negativas, pero la suma debe ser 1:

(.) = () + +(+) = () + (1 )(+)

La varianza de una cartera formada por dos activos inciertos, viene dada por:

9.+ = +9+ +++9++ + 2+9+As la volatilidad (desviacin estndar):

9. = [+9+ + (1 )+9++ + 2(1 )9+] +J 9. = [+9+ + (1 )+9++ + 2(1 )G+99+] +J


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Teniendo en consideracin las expresiones anteriores para el rendimiento esperado y la

volatilidad de una cartera formada por dos activos inciertos, analizaremos tres posibles casos

en funcin de la correlacin entre los activos componentes:

i) Correlacin perfecta positiva, G+ = +1:

El rendimiento esperado:

(.) = () + +(+) = () + (1 )(+)

La volatilidad:

9. = [+9+ + (1 )+9++ + 2(1 )99+] +J 9. = ?[9 + (1 )9+]+A +J 9. = 9 + (1 )9+

En este caso, tanto el rendimiento esperado como la volatilidad de la cartera son

combinaciones lineales de los rendimientos esperados y de las volatilidades de los activos

componentes. Todas las posibles combinaciones de media-volatilidad de la cartera, estn

situadas en una recta:

Ejemplo 6.10. Calculemos las posibles combinaciones media-volatilidad de una

cartera formada por dos activos suponiendo G+ = +1 y los rendimientos esperados y volatilidades que aparecen en la siguiente tabla:

9. = 10%+ (1 )5% = 5%+ 5% => = 9. 5%5% (.) = 15%+ (1 )10% = 10%+ 5% => 10% + 5%9. 5%5% = 5%+9.


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Como puede observarse el rendimiento esperado es representado como la

ecuacin de una lnea recta en funcin de la varianza de la cartera.

(.) = 5% +9.

Cabra preguntarse cul es la cartera que minimice la varianza de la cartera. Para ello

derivaramos la expresin de la varianza de la cartera e igualamos a cero:

9.+ = +9+ + (1 )+9++ + 2(1 )G+99+ 9.+ = 29+ 29++ + 29++ + 2G+99+ 4G+99+ = 0 (29+ + 29++ 4G+99+) = 29++ 2G+99+

= 9++ G+99+9+ + 9++ 2G+99+

Ejemplo 6.11. Partiendo de los datos de la siguiente tabla, calculemos las

ponderaciones que minimizan la varianza de la cartera:

= 9++ G+99+9+ + 9++ 2G+99+ = (3%)+ 10% 3%(3%)+ + (10%)+ 10% 3% = 0.4286

9. = 10%+ (1 )3% = 0.4286 10%+ 1.4286 3% = 0


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ii) Correlacin perfecta negativa, G+ = 1:


(.) = () + +(+) = () + (1 )(+)

La volatilidad:

9. = [+9+ + (1 )+9++ 2(1 )99+] +J 9. = ?[9 (1 )9+]+A +J ,= ?[9 + (1 )9+]+A +J 9. = 9 (1 )9+,= 9 + (1 )9+En este caso, G+ = 1, tambin existe una ponderacin que minimiza la varianza:

= 9++ G+99+9+ + 9++ 2G+99+ = 9++ + 99+9+ + 9++ + 299+ = 9+(9 + 9+)(99+)+ = 9+9 + 9+ Todas las posibles combinaciones de media-volatilidad de la cartera, estn situadas en

una recta que tiene dos tramos perfectamente diferenciados en funcin de . Para determinar ambos tramos evaluamos las dos expresiones obtenidas para la volatilidad de

forma que la volatilidad sea mayor que cero:

a. Para el primer tramo miramos la primera expresin: 9. = 9 (1 )9+: 9. = 9 (1 )9+ 0 9+9 + 9+

b. Para el segundo tramo: 9. = 9 + (1 )9+ : 9. = 9 + (1 )9+ > 0 < 9+9 + 9+


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En este caso,G+ = 1, no son necesarias ventas al descubierto para obtener una cartera con riesgo nulo. Por ejemplo una opcin Put comprada tiene un coeficiente de

correlacin con su activo subyacente igual a -1

Ejemplo 6.12. Supongamos los valores de la siguiente tabla y G+ = 1:

La ponderacin que minimiza la varianza:

= 9+9+9+ = 4%10%+ 4% = 28.57%


(.) = () + (1 )(+)

El rendimiento esperado de mnima varianza:

(.) = 16%+ (1 )10% = 10%+ 6% = 10%+ 6% 28.57% = 11.71%

La volatilidad:

9. = Q 9 (1 )9+9 + (1 )9+ @ 9. = Q 10% (1 )4%10%+ (1 )4%@La volatilidad usando la ponderacin de mnima varianza:

9. = Q 28.57% 10% (1 28.57%)4% = 028.57% 10% + (1 28.57%)4% = 0@


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Las ecuaciones que relacionan el rendimiento esperado y la volatilidad:

9. = R 10% (1 )4% => = 9. + 4%14%10%+ (1 )4% => = 9. + 4%14%@

(.) = 10%+ 6% => R (.) = 10%+ 6%9. + 4%14% = 11.71%+ (3 7J )9.(.) = 10%+ 6%9. + 4%14% = 11.71% (3 7J )9.@

Las posibilidades de diversificacin en este caso son mximas ya que combinando

ambos activos puede eliminarse completamente el riesgo de la cartera.

A continuacin se muestran algunas posibles combinaciones rendimiento-volatilidad,

donde pueden observarse las ventajas de la diversificacin. Hasta alcanzar la cartera

de mnima varianza (parte de pendiente negativa), podemos aumentar el retorno

esperado reduciendo la volatilidad, pero a partir del nivel de la ponderacin que

elimina completamente el riesgo, cada aumento de retorno esperado va

acompaado por un aumento del riesgo:


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iii) Correlacin, 1 > G+ > +1 : Es el caso general. Cuando no evaluamos ventas al descubierto, sabemos que cuando G+ = 1, la volatilidad de la cartera es la media ponderada de las volatilidades de los activos componentes. En cambio, cuando G+ < 1, la volatilidad de la cartera es menor que la media ponderada de las volatilidades de los activos componentes ( y menor cuanto

menor sea la correlacin).


(.) = () + (1 )(+)

La volatilidad:

9. = [+9+ + (1 )+9++ 2(1 )G+99+] +J

Ejemplo 6.13. Veamos algunas combinaciones de rendimiento-volatilidad suponiendo

los valores de la siguiente tabla y G+ = 0.5:


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6.5. Combinaciones de un activo incierto y uno seguro.

Este caso es un caso particular de cartera formada por dos activos en el que uno de ellos es el

activo seguro. Las particularidades de esta cartera son:

Los inversores pueden prestar y pedir prestado al tipo libre de riesgo.

La varianza del activo seguro, 9++ , y su covarianza con el activo arriesgado, 9+ , son cero.

El rendimiento esperado de la cartera:

(.) = () + (1 )5

La volatilidad de la cartera (suponiendo que no habr venta en corto del activo incierto):

9. = 9 (1 )9+ = 9En este caso, la volatilidad de la cartera es la media ponderada de las volatilidades de los

activos componentes: 9 y 0: Para cualquier ponderacin 0 < < 1, la cartera tendr una volatilidad inferior a

la del activo arriesgado.

Para cualquier ponderacin > 1, (posicin apalancada) la cartera tendr una volatilidad superior a la del activo arriesgado.

El conjunto de oportunidades de inversin:

9. = 9 => = 9.9 (.) = () + (1 )5 => 9.9 () + (1 9.9 )5 (.) = () + (1 9.9 )5 (.) = 5 + 9.9 [() 5]


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Ejemplo 6.14. Veamos algunas combinaciones de rendimiento-volatilidad suponiendo

los valores de la siguiente tabla:

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