Tema II. Funciones de una y varias variables Clase Práctica II.1 Ejercicios de dominio y límite de funciones de varias variables 1.- Hallar el dominio de las siguientes funciones 2:f →

a) 2 2( , ) 4f x y x y= + −

b) 2 2

( , )3 1x yf x yx y+

=+ −

c) 2 2( , ) ln 16f x y x y= − −

d) 2 25( , )

ln 4 3 2x xy yf x y

x y+ −

=− +

e) 2 2

2 2( , )

ln 4x yf x yx y

+=

+ −

2.- Calcular los límites reiterados

a) ( , ) (0,0)

(1 )(1 cos )limx y

senx yy→

+ −

b) ( , ) (0,0)

ln(1 )lim1yx y

xe→

+−

c) 2

( , ) ( 1,1)lim 3

x yy xy y

→ −+ +

3.- Calcular los límites direccionales siguiendo rectas y parábolas

a) 2

2 2( , ) (0,0)lim

x y

x yx y→ +

b) 2

2 4( , ) (0,0)lim

x y

xyx y→ +

4.- Calcular los límites direccionales cambiando a coordenadas polares

a) 2

2 2( , ) (0,0)lim

x y

x yx y→ +

b) ( )

2 2

( , ) (0,0) 2 2lim

1 1x y

x y

x y→

+

+ + −

c) ( ) 2 21

2 2

( , ) (0,0)lim 1 x y

x yx y

−+

→+ +

Clase Práctica II.2 Ejercicios de continuidad de funciones de varias variables Estudiar la continuidad de las siguientes funciones

( )4

22 2

2 ( , ) (0,0)1. ( , )

0 ( , ) (0,0)

xy x yf x y x y

x y

⎧≠⎪

− = +⎨⎪

=⎩

3 3

2 2 ( , ) (0,0)2. ( , )

0 ( , ) (0,0)

x y x yf x y x y

x y

⎧ +≠⎪− = +⎨

⎪ =⎩

2 2

2 2

sen( ) ( , ) (0,0)3. ( , )

2 ( , ) (0,0)

x y x yf x y x y

x y

⎧ +≠⎪− = +⎨

⎪ =⎩

( )2 2

1 ( , ) (0,0)cos4. ( , )

0 ( , ) (0,0)

x yx yf x y

x y

⎧ ≠⎪ +− = ⎨⎪ =⎩

Clase Práctica II.3 Ejercicios de derivadas parciales y diferenciales totales de funciones de varias variables 1.- Hallar las derivadas parciales de a) 2 2z x sen y=

b) 2yz x=

c) 2 2 2x y zu e + +=

d) 2 2 2u x y z= + + e) arctan( )z xy=

f) arctan yzx

=

g) arcsen( )z x y= +

h) 2 2

2 2ln

x y xz

x y x

+ −=

+ +

2.- Hallar las diferenciales totales de, a) 2 2 senz x xy y= + + b) ln( )z xy=

c) 2 2x yz e +=

d) tan(3 ) 6 y zu x y += − +

e) arcsen xuy

=

3.- Hallar '(2,3) '(2,3)x yf f si 2 2( , )f x y x y= +

Clase Práctica II.4 Ejercicios de derivadas parciales (Regla de la cadena) de funciones de varias variables

1.- Hallar dzdx

si 1 , cos cos1

uz u x v xv

+= = =

+

2.- Hallar ,z zx y∂ ∂∂ ∂

si 2 2 ln( )z u v u x seny v x y= + = + = +

3.- Hallar ,z zx y∂ ∂∂ ∂

si 2 3 2u vz e u senx v x y−= = = +

4.- Hallar dydx

si y está definida implícitamente como función de x en,

a) 2 2

2 2 1x ya b

+ =

b) x yy x= 5.- Demostrar que,

a) Si 2 2ln( )z x y= + , entonces 2 2

2 2 0z zx y∂ ∂

+ =∂ ∂

b) Si 2 2 2

1ux y z

=+ +

, entonces 2 2 2

2 2 2 0u u ux y z∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

Clase Práctica II.5 Ejercicios de derivadas direccionales y gradiente de funciones de varias variables 1.- Calcular la derivada direccional de las siguientes funciones en las direcciones dadas.

a) 2( , ) sen2f x y x y= en el punto P( 1,4π ,1) en la dirección 3 4

5 5u i j= −

b) 2( , ) sen2f x y x y= en el punto P( 1,4π ,1) en la dirección 3 4v i j= −

c) 2 2( , ) 3 2f x y x y= − en el punto P( -1,3,-15) en la dirección de P(-1, 3) a Q (1,-2)

2.- Sea 2

2 2: ; ( , ) ( , ) 44yf x y f x y x→ → = − − , hallar

a) La dirección de máximo crecimiento de f en el punto (1,2,2) b) Razón de crecimiento de f en dicho punto.

c) Derivada direccional de f en dicho punto y en la dirección cos sen3 3

u i jπ π= −

3.- La función temperatura en una placa metálica viene dada por:

2

2 2

:( , ) ( , ) 20 4 , cmT

x y T x y x y x y→

→ = − −

a) Partiendo del punto (2,-3) en qué dirección crece la temperatura más rápidamente? b) ¿Cuál es la razón de crecimiento? c) ¿Cuál es el valor de la derivada direccional en (2,-3) según la dirección del gradiente? 4.- Sea el paraboloide 2 22 4z x y= + +

a) Hallar el vector gradiente en el punto (-1,1,7) b) Hallar la ecuación de la recta normal al paraboloide en el punto (-1,1,7) c) Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide en el punto (-1,1,7)

Clase Práctica II.6 Ejercicios de máximos y mínimos de funciones de varias variables Hallar los extremos relativos de 1.- 2 2( , ) 2 2 2 3f x y x xy y x= + + + −

3 32. ( , ) 3f x y x xy y− = − + 3.- 3 2 2 2( , ) 3 3 3 1f x y y yx y x= − − − +

Clase Práctica II.7 Ejercicios de máximos y mínimos condicionados de funciones de varias variables 1.- Una caja rectangular descansa sobre el plano xy con un vértice en el origen. Hallar el volumen máximo de la caja si su vértice opuesto al origen pertenece al plano 6 4 3 24x y z+ + = .

2.- Hallar la distancia mínima de la recta 2 3 1x y+ = − al punto (0,0) 3.- Hallar la distancia mínima del plano 1x y z+ + = al punto (2,1,1) 4.- Hallar el área máxima inscrita en la circunferencia 2 2 4x y+ =