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TEMAS DE FÍSICA

por Luis B. López Vázquez Catedrático de Física

Temas de física

© Luis B. López Vázquez

ISBN: 978–84–9948–163–0Depósito legal: A–731–2010

Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: 96 567 61 33C/ Decano, 4 – 03690 San Vicente (Alicante)www.ecu.fme-mail: [email protected]

Printed in SpainImprime: Imprenta Gamma. Telf.: 965 67 19 87C/ Cottolengo, 25 – 03690 San Vicente (Alicante)

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ÍNDICE

A modo de prólogo. .......................................................................................111. La Física como ciencia. .......................................................................112. La Física y la técnica. ......................................................................... 123. Justificación de la elección de temas. ................................................. 12

Tema I: Campos escalares y vectoriales ...................................................... 131. Introducción: magnitudes y unidades ................................................. 132. Campos escalares y vectoriales: representación ................................. 15

2.1. Representación de campos escalares ......................................... 152.2. Representación de campos vectoriales ...................................... 16

3. Gradiente de un escalar ...................................................................... 174. Flujo de un vector. Divergencia ......................................................... 195. Teorema de Gauss o de la divergencia ............................................... 236. Circulación de un vector. Rotacional ................................................. 247. Teorema de Stokes o del rotacional .................................................... 328. Operaciones de segundo orden ........................................................... 33

8.1. Laplaciana de una función escalar ............................................. 338.2. Laplaciana de un vector ............................................................. 34

9. Bibliografía ......................................................................................... 3410. Problemas de examen ....................................................................... 34

Tema II: Movimiento oscilatorio ................................................................. 471. Introducción ....................................................................................... 472. Oscilador lineal armónico .................................................................. 48

2.1. Ecuación de movimiento ........................................................... 482.2. Solución general ........................................................................ 522.3. Representación gráfica ............................................................... 55

3. Energía de un oscilador ...................................................................... 574. Asociación de resortes ........................................................................ 59

4.1. Asociación en serie .................................................................... 604.2. Asociación en paralelo ............................................................... 60

5. Composición de movimientos oscilatorios ........................................ 615.1. Composición de movimientos que se propagan en igual dirección ..61

5.1.a. Movimientos con igual frecuencia y amplitud, y distinto desfase inicial .............................................................................. 61

5.1.b. Movimientos de igual frecuencia, y distinta amplitud y desfase inicial. ............................................................................. 635.1.c. Movimientos de distinta frecuencia, igual amplitud y desfase inicial nulo. ..................................................................... 65

5.2. Composición de movimientos que se propagan en direcciones perpendiculares. ................................................................................ 68

5.2.a. Movimientos de igual frecuencia. ..................................... 685.2.b. Movimientos de distinta frecuencia .................................. 72

6. Movimiento oscilatorio amortiguado. ................................................ 746.1. Amortiguamiento fuerte. ............................................................ 776.2. Amortiguamiento crítico. ........................................................... 796.3. Amortiguamiento débil .............................................................. 82

7. Oscilaciones forzadas. ........................................................................ 858. Resonancia ......................................................................................... 88

8.1. Variación de la amplitud con la frecuencia. ............................... 898.2. Resonancia característica. .......................................................... 908.3. Variación del desfase inicial con la frecuencia. ......................... 91

9. Bibliografía. ........................................................................................ 9210. Problemas de examen ....................................................................... 92

Tema III: Movimiento ondulatorio ............................................................ 1271. Introducción ..................................................................................... 1272. Movimiento ondulatorio de una serie de puntos .............................. 1293. Ecuación diferencial de una onda plana ........................................... 1324. Composición de ondas de igual dirección ........................................ 1375. Composición de ondas de igual frecuencia ...................................... 140

5.1. Interferencias ........................................................................... 1405.2. Ondas estacionarias ................................................................. 143

6. Bibliografía ....................................................................................... 1467. Problemas de examen ....................................................................... 146

Tema IV: Acústica ...................................................................................... 1611. Introducción ..................................................................................... 1612. Velocidad de las ondas transversales en una cuerda......................... 1623. Velocidad de las ondas longitudinales .............................................. 164

3.1. En sólidos ................................................................................ 1643.2. En fluidos ................................................................................ 167

4. Ondas estacionarias de presión ........................................................ 1695. Teoría de Bernouilli de los tubos sonoros ........................................ 171

5.1. Tubos abiertos. ......................................................................... 1735.2. Tubos cerrados. ........................................................................ 174

6. Intensidad y sonoridad ..................................................................... 1757. Efecto Doppler. ................................................................................. 1788. Bibliografía. ...................................................................................... 1809. Problemas de examen. ...................................................................... 180

Tema V: Mecánica de fluidos. .................................................................... 1971. Introducción ..................................................................................... 1972. Concepto de fluido ........................................................................... 1973. Gasto................................................................................................. 1994. Ecuación de continuidad .................................................................. 2005. Introducción a la dinámica de fluidos .............................................. 2036. Ecuaciones de Euler ......................................................................... 2047. Ecuación fundamental de la dinámica. ............................................. 2058. Potencial de fuerzas y velocidades. .................................................. 2079. Ecuación de Bernouilli ..................................................................... 20910. Aplicaciones de la ecuación de Bernouilli ......................................211

10.1. Tubo de Venturi ......................................................................21110.2. Tubo de Pitot. ......................................................................... 21210.3. Teorema de Torricelli. ............................................................ 21310.4. Sifón....................................................................................... 214

11. Bibliografía. .................................................................................... 21512. Problemas de examen ..................................................................... 215

Tema VI: Conducción del calor ................................................................. 2331. Introducción y postulados ................................................................ 233

1.1. Primer postulado ...................................................................... 2341.2. Segundo postulado ................................................................... 2341.3. Tercer postulado ....................................................................... 235

2. Ecuación diferencial de la conducción del calor .............................. 2363. Conducción del calor a través de una pared plana ........................... 237

3.1. Pared simple ............................................................................ 2373.2. Pared compuesta ...................................................................... 239

4. Conducción a través de un tubo cilíndrico ...................................... 2414.1. Tubo cilíndrico simple ............................................................. 2414.2. Tubo cilíndrico compuesto ...................................................... 243

5. Bibliografía ....................................................................................... 2446. Problemas de examen ....................................................................... 244

Tema VII: Termodinámica ......................................................................... 2551. Introducción: trabajo y calor ............................................................ 255

1.1. Trabajo. .................................................................................... 2571.2. Calor......................................................................................... 258

2. Primer principio de la termodinámica. ............................................. 2593. Segundo principio de la termodinámica. .......................................... 261

3.1. Enunciado del segundo principio ............................................ 2613.2. Máquina de Carnot .................................................................. 263

4. Escala termodinámica o Kelvin de temperaturas ............................ 2645. Entropía ............................................................................................ 2666. Coeficientes termodinámicos ........................................................... 2697. Funciones de Gibbs y relaciones de Maxwell. ................................. 271

7.1. Energía interna. ........................................................................ 2727.2. Energía libre de Helmholtz. ..................................................... 2737.3. Entalpía libre de Gibbs ............................................................ 2737.4. Entalpía o calor total. ............................................................... 274

8. Gases ideales .................................................................................... 2758.1. Ecuación de estado .................................................................. 2768.2. Transformaciones en gases perfectos ...................................... 278

8.2.1. Transformación isocora. .................................................. 2788.2.2. Transformación isobara. .................................................. 2798.2.3. Transformación isoterma ................................................ 2798.2.4. Transformación adiabática .............................................. 280

8.3. Ley de Mayer ........................................................................... 2818.4. Entropía de un gas ideal. .......................................................... 2828.5. Ciclo de Carnot de un gas ideal ............................................... 283

9. Bibliografía. ...................................................................................... 28510. Problemas de examen. .................................................................... 285

Tema VIII: Teoría cinética de los gases ..................................................... 3231. Introducción: hipótesis fundamentales. ............................................ 3232. Interpretación cinética de la presión. ................................................ 3243. Interpretación cinética de la temperatura ......................................... 3274. Principio de equipartición de la energía ........................................... 3285. Bibliografía. ...................................................................................... 3326. Problemas de examen. ...................................................................... 332

Tema IX: Óptica. ........................................................................................ 3391. Naturaleza de la luz .......................................................................... 339

1.1. Teoría corpuscular. ................................................................... 3391.2. Teoría ondulatoria. ................................................................... 3401.3. Teoría de la onda material. ....................................................... 341

2. Velocidad de propagación de la luz ................................................. 3423. Óptica geométrica ............................................................................ 3444. Índice de refracción. Ángulo límite. Reflexión total. ....................... 344

4.1. Índice de refracción ................................................................. 3444.2. Ángulo límite. Reflexión total ................................................. 345

5. Principio de Fermat .......................................................................... 3476. Bibliografía. ...................................................................................... 3487. Problemas de examen. ...................................................................... 348

Tema X: Sistemas ópticos centrados. ......................................................... 3571. Introducción: definiciones ................................................................ 3572. Ecuaciones de transformación .......................................................... 3583. Focos: ecuaciones de Newton .......................................................... 3604. Aumento lateral: planos principales ................................................. 3625. Distancias focales: ecuación canónica ............................................. 3636. Aumento angular: puntos nodales y antinodales .............................. 365

6.1. Criterio de signos ..................................................................... 3656.2. Aumento angular ...................................................................... 3666.3. Puntos nodales y antinodales ................................................... 3676.4. Condición de estigmatismo ..................................................... 368

7. Construcción de imágenes ................................................................ 3687.1. Punto situado fuera del eje ....................................................... 3687.2. Punto situado en el eje óptico .................................................. 369

8. Dioptrio esférico: construcción de Weierstrass ................................ 3708.1. Caso general ............................................................................ 3708.2. Elementos cardinales ............................................................... 3718.3. Construcción de Weierstrass .................................................... 372

9. Elementos cardinales de una asociación de sistemas ....................... 3749.1. Determinación gráfica .............................................................. 3749.2. Determinación analítica ........................................................... 3769.3. Aplicación a una asociación de dioptrios esféricos ................. 377

10. Lentes esféricas: elementos cardinales ........................................... 37810.1. Posición de los focos ............................................................. 37810.2. Distancias focales .................................................................. 38010.3. Planos principales .................................................................. 381

11. Tipos de lentes ................................................................................ 381

12. Centro óptico .................................................................................. 38313. Lentes delgadas .............................................................................. 385

13.1. Elementos cardinales ............................................................. 38513.2. Construcción de imágenes ..................................................... 386

14. Bibliografía. .................................................................................... 38815. Problemas de examen. .................................................................... 388

Tema XI: Electrostática. ............................................................................. 4291. Introducción ..................................................................................... 4292. Ley de Coulomb. .............................................................................. 4303. Campo eléctrico. ............................................................................... 4354. Potencial electrostático. .................................................................... 437

4.1. Definición ............................................................................................4374.2. Ejemplo de cálculo del potencial para una distribución continua ...440

5. Teorema de Gauss ............................................................................ 4426. Aplicaciones del teorema de Gauss .................................................. 446

6.1. Estructura del campo electrostático ......................................... 4466.2. Campo y potencial de una esfera conductora .......................... 4496.3. Campo y potencial de una esfera aislante ............................... 4516.4. Campo y potencial de una distribución lineal de carga ....................4536.5. Campo y potencial de una distribución superficial plana de carga ..4546.6. Campo y potencial entre dos láminas cargadas con cargas de signos contrarios ................................................................................. 455

7. Presion electrostática ........................................................................ 4568. Energía electrostática ....................................................................... 457

8.1. Energía de un sistema de cargas puntuales .............................. 4588.2. Energía de una distribución continua de carga ........................ 4598.3. Energía de una esfera conductora ............................................ 461

9. Capacidad: condensadores ............................................................... 4629.1. Capacidad de un condensador esférico .................................... 4649.2. Capacidad de un condensador plano ....................................... 4649.3. Capacidad de un condensador cilíndrico ................................. 4659.4. Asociación de condensadores .................................................. 465

10. Energía de un condensador............................................................. 46710.1. Energía de un condensador plano .......................................... 46710.2. Fuerza entre placas de un condensador plano ....................... 468

11. Bibliografía ..................................................................................... 47112. Problemas de examen ..................................................................... 471

Tema XII: Corriente continua .................................................................... 4951. Introducción ..................................................................................... 4952. Intensidad y densidad de corriente ................................................... 4963. Ley de Ohm ...................................................................................... 4984. Efecto Joule ...................................................................................... 5005. Fuerza electromotriz ......................................................................... 5026. Asociación de resistencias ................................................................ 506

6.1. Asociación en serie .................................................................. 5066.2. Asociación en paralelo ............................................................. 506

7. Lemas de Kirchhoff .......................................................................... 5077.1. Lema de los nudos ................................................................... 5077.2. Lema de las mallas .................................................................. 5087.3. Aplicación práctica .................................................................. 508

8. Método de las corrientes cíclicas de Maxwell ................................. 5109. Aplicaciones de los lemas de Kirchhoff ............................................511

9.1. Amperímetro .............................................................................5119.2. Voltímetro ................................................................................ 5139.3. Puente de Wheatstone .............................................................. 514

10. Asociación de pilas ......................................................................... 51610.1. Asociación en serie ................................................................ 51610.2. Asociación en paralelo ........................................................... 516

11. Bibliografía ..................................................................................... 51712. Problemas de examen ..................................................................... 517

Tema XIII: Campo magnético ................................................................... 5431. Introducción ..................................................................................... 5432. Campo magnético ............................................................................. 5443. Fuerza magnética sobre un conductor .............................................. 5454. Fuerza magnética sobre un circuito .................................................. 5475. Campo magnético de la corriente continua: ley de Biot-Savart ....... 5496. Campo creado por un conductor rectilíneo ...................................... 5527. Campo creado por una espira circular .............................................. 5548. Campo creado por un solenoide ....................................................... 5559. Fuerza entre conductores .................................................................. 55810. Ley circuital de Ampère ................................................................. 56111. Bibliografía ..................................................................................... 56212. Problemas de examen ..................................................................... 563

Tema XIV: Inducción magnética ............................................................... 5791. Ley de inducción de Faraday. ........................................................... 5792. F.e.m. Inducida por movimiento de conductores ............................. 582

2.1. Conductor rectilíneo con velocidad lineal constante. .............. 5822.2. Espira rectangular con velocidad lineal constante. .................. 5832.3. Espira que gira con velocidad angular constante. .................... 585

3. Autoinducción e inducción mutua. ................................................... 5863.1. Autoinducción ............................................................................... 586

3.2. Energía de un campo magnético. ............................................. 5883.3. Coeficiente de autoinducción de un cable coaxial. .................. 5903.4. Inducción mutua ...................................................................... 5913.5. Coeficiente de inducción mutua de dos solenoides ................. 592

4. Bibliografía. ...................................................................................... 5935. Problemas de examen ....................................................................... 594

Tema XV: Corriente alterna ....................................................................... 6071. Introducción ..................................................................................... 6072. Circuito en serie RLC. ...................................................................... 608

2.1. Caso general ............................................................................ 6082.2. Circuito con resistencia óhmica pura. .......................................6112.3. Circuito con autoinducción pura .............................................. 6122.4. Circuito con capacidad pura .................................................... 612

3. Empleo de notación compleja .......................................................... 6133.1. Triángulo de impedancias ........................................................ 6143.2. Asociación de impedancias ...................................................... 616

4. Valores medios de una corriente alterna ........................................... 6175. Valores eficaces de una corriente alterna .......................................... 6176. Disipación de potencia en un circuito de corriente alterna .............. 6197. Resonancia de un circuito serie RLC ............................................... 6218. Curvas de reactancia ......................................................................... 622

8.1. Reactancia capacitativa ............................................................ 6238.2. Reactancia inductiva ................................................................ 6238.3. Reactancia ................................................................................ 6238.4. Impedancia ............................................................................... 623

9. Bibliografía ....................................................................................... 62410. Problemas de examen ..................................................................... 624

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A MODO DE PRÓLOGO

1. LA FÍSICA COMO CIENCIA

El objeto de toda ciencia es conocer, y con tal fin, cada una de ellas agrupa una serie de conocimientos seguros y ciertos, ordenados siguiendo un método. Sin embargo, las ciencias son cambiantes, es decir, evolutivas, por lo que es difícil tratar de establecer una definición de cada una de ellas que exprese claramente el conjunto de conocimientos que agrupa, y por otro lado, si pretendemos definir cada ciencia atendiendo al método que utiliza para adquirir nuevos conocimientos, es indudable que, hoy por hoy, todas ellas aplican, con mayor o menor éxito, la misma metodología. No es pues tarea fácil encontrar una definición correcta de la Física, de ahí que la mayoría de los libros aunque definen alguna parte de ella, por ejemplo, la mecánica, la óptica, etc., suelen evitar definirla.

De todas las definiciones que conozco, es sin duda la de D. Julio Palacios, la que me satisface más. En su libro El lenguaje de la Física y su peculiar filosofía, la define así: La Física se propone descubrir y dar forma matemática a las leyes universales que relacionan entre sí las magnitudes que intervienen en los fenómenos reales. En esta definición, aunque me he permitido sustituir “fenómenos naturales” por “fenómenos reales”, se recoge no solo todo lo que la Física es y lo que puede llegar a ser, sino que en ella se establecen las diferencias con las demás ciencias que por su afinidad con ella, pueden a veces, confundirse.

La Física estudia fenómenos reales, y esa es su principal diferencia con las Matemáticas, y dentro de ellos, las magnitudes que intervienen, entendiendo que una magnitud corresponde a una cualidad o propiedad medible, por lo que si una cualidad no es medible, como por ejemplo la bondad, está fuera de la Física, lo que convierte a ésta en una ciencia totalmente cuantitativa y no descriptiva, como en ocasiones ocurre con la Química. Una vez descubiertas las magnitudes que intervienen en los fenómenos reales, hay que relacionarlas matemáticamente para encontrar leyes universales, es decir, establecer relaciones cuantitativas que se cumplan en todo tiempo y en todo lugar.

Esta es una definición abierta que no excluye “a priori” ningún tipo posible de conocimiento siempre que cumpla las características anteriores, es decir, si alguna vez fuera medible la bondad y apareciese como causa o efecto de un fenómeno real, esta magnitud podría llegar a formar parte de la Física.

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A modo de prólogo

2. LA FÍSICA Y LA TÉCNICA

La técnica tiene como objeto dominar el mundo real. Sin embargo, difícilmente puede dominarse algo si no se conoce, de ahí que la Física sea la Ciencia indispensable para llegar a ser un buen técnico, y aunque el hombre fue antes técnico que científico, solo cuando tuvo el suficiente conocimiento del mundo real consiguió un espectacular avance técnico. Está claro que en los últimos cien años la técnica ha avanzado más que en los quinientos mil años anteriores y ello solo es explicable debido al conocimiento científico. Hoy por hoy es impensable que la técnica sea solo experimental, y no esté basada en el conocimiento del mundo real que la ciencia aporta.

3. JUSTIFICACIÓN DE LA ELECCIÓN DE TEMAS

En la elección de los temas se ha tenido en cuenta que en la Ingeniería Civil, la Mecánica es una asignatura que en los planes de estudio comparte curso con la Física por lo que para evitar repeticiones, se han elegido temas de Mecánica que solo afectan a movimientos oscilatorios y ondulatorios.

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TEMA I: CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES

1. INTRODUCCIÓN: MAGNITUDES Y UNIDADES

Se entiende por magnitud, cualquier cualidad o propiedad medible. Para poder medir es necesario fijar una unidad de medida o patrón con la que se compare la magnitud que se desea medir para conocer cuántas veces ésta contiene a aquella. Según esto, habría que definir tantas unidades como magnitudes físicas. Sin embargo, esto no es así pues basta con definir un número limitado de unidades para que automáticamente queden definidas todas ellas. Por ejemplo, si definimos la unidad de longitud como L, la unidad de superficie quedará totalmente definida como L2, y la de superficie como L3. Las magnitudes cuya unidad es necesario definir reciben el nombre de magnitudes fundamentales mientras que el resto se llaman magnitudes derivadas. La expresión de una magnitud derivada en función de las magnitudes fundamentales recibe el nombre de ecuación de dimensiones de esa magnitud y es demostrable que cualquier magnitud derivada puede expresarse como producto de magnitudes fundamentales elevadas a un exponente pudiendo ser éste positivo o negativo y entero o fraccionario, es decir:

M = Aα Bβ Cγ...

Desde un punto de vista teórico, basta con definir dos únicas unidades, la unidad de masa y la unidad de tiempo, para que el resto queden totalmente definidas. Para poder suprimir una magnitud fundamental y su unidad correspondiente, basta con introducir una constante como es el caso de la definición de metro que se puede expresar como: L(m) =c(m/s) T(s), siendo c la velocidad de propagación de la luz en el vacío. Tradicionalmente se toman como magnitudes fundamentales la longitud (L), la masa (M) y el tiempo (T), aunque nosotros tomaremos además para expresar la ecuación de dimensiones de cualquier magnitud la temperatura (θ) y la carga eléctrica (Q).

Un sistema de unidades corresponde al conjunto de unidades que se obtiene al definir las unidades correspondientes a las magnitudes fundamentales. Los sistemas teóricos de unidades que se utilizan toman tres magnitudes fundamentales, y son los siguientes:

Sistema Giorgi (MKS): la longitud (metro), la masa (kilogramo) y tiempo (segundo).

Sistema Cegesimal: la longitud (centímetro), la masa (gramo) y el tiempo (segundo).

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Campos escalares y vectoriales

Sistema Técnico o Terrestre: la longitud (metro), la fuerza (kilopondio o kilo fuerza) y el tiempo (segundo). Se llama terrestre puesto que se define la unidad de fuerza como la fuerza con que la Tierra atrae a un kilogramo masa.

Con objeto de facilitar la diseminación de unidades patrón y para que estas sean fácilmente materializables en cualquier laboratorio, se definió el Sistema Internacional o sistema SI único, que además en nuestro país tiene carácter legal. En este sistema se definen siete unidades patrón o de referencia y dos unidades suplementarias. Las unidades fundamentales definidas son: metro (longitud), kilogramo (masa), tiempo (segundo), amperio (intensidad de corriente eléctrica), grado Kelvin (temperatura), mol (cantidad de sustancia), candela (intensidad luminosa). Las unidades suplementarias que corresponden a magnitudes adimensionales son: radián (ángulo plano), estereorradián (ángulo sólido). Definir dos magnitudes kilogramo y mol que sirven esencialmente para medir lo mismo se debe únicamente al hecho de que las reacciones químicas solo son ajustables en moles.

En cuanto a su naturaleza, las magnitudes físicas pueden clasificarse en: magnitudes escalares y magnitudes vectoriales.

Magnitudes escalares son aquellas que quedan totalmente definidas cuando se expresa la cantidad y unidad en que se ha medido (t, W, etc.).

Magnitudes vectoriales son aquellas en que para su total definición es necesario representarlas por vectores ( v, F,

etc.). Un vector es un segmento de recta en el que se indica un sentido. La longitud del segmento corresponde al módulo (cantidad y unidad), la recta a que pertenece corresponde a la dirección, el punto inicial del segmento recibe el nombre de punto de aplicación y sobre el punto final se indica, mediante una flecha, el sentido. Sin embargo, no todas las magnitudes físicas necesitan todos y cada uno de los datos reseñados para su correcta definición, por lo que se puede establecer una clasificación de las magnitudes vectoriales en función del tipo de vector requerido para su representación:

- Vector ligado es aquel en el que son precisos todos los datos reseñados, es decir, punto de aplicación, sentido, dirección y módulo, por ejemplo, el desplazamiento, la velocidad, etc.

- Vector deslizante, que es aquel en el que el punto de aplicación puede ser cualquiera de su recta de dirección como por ejemplo, la fuerza.

- Vector libre, que es aquel en que como recta de dirección vale cualquier recta paralela a la dada como por ejemplo, la velocidad angular.

Esta diversidad de magnitudes físicas nos obliga a dar reglas estrictas para poder operar con ellas. Así la simple suma de magnitudes vectoriales será realizable solo cuando se trate de vectores libres, vectores deslizantes

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Temas de Física

situados sobre rectas que se cruzan, o vectores ligados concurrentes (con el mismo punto de aplicación), o bien, cuando al multiplicar dos magnitudes vectoriales, el resultado de esta multiplicación corresponda a una magnitud escalar (producto escalar), las reglas para efectuar este producto son distintas de las que corresponden a cuando el resultado del producto es una magnitud vectorial (producto vectorial).

2. CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES: REPRESENTACIÓN

Se entiende por campo de un magnitud, aquella región del espacio donde dicha magnitud está definida y tiene un valor. Si la magnitud definida es una magnitud escalar, el campo corresponderá a un campo escalar, si la magnitud es vectorial, el campo será vectorial. El valor de la magnitud en cada punto del campo dependerá de las coordenadas del punto y del tiempo. En el espacio tridimensional, y utilizando un sistema cartesiano de referencia, las coordenadas del punto serán x, y, z, por lo que: U = f(x,y,z,t), ó, v = f ’(x,y,z,t).

Si dichas funciones no dependen del tiempo (t), se dice que el campo es estacionario. Las funciones son entonces unívocas, es decir, a cada punto del campo le corresponde un único valor de la magnitud. El considerar que el campo de una magnitud es estacionario es siempre posible si pensamos que, realmente, podemos decir: en el instante t.

2.1. Representación de campos escalares

Dado un campo escalar estacio-nario, en un espacio tridimensional, definido mediante un sistema carte-siano de referencia (U = f(x,y,z)), su representación es muy sencilla, pues consiste en unir todos los puntos con igual valor de la magnitud. Dado que la función es unívoca y continua, dicha representación corresponderá a superficies envolventes que no tienen ningún punto común. Cada una de estas superficies recibe el nombre de superficie equiescalar. Si dicha representación se realiza en el plano (U = f(x,y)), la unión de los puntos de igual valor de la magnitud corresponderá a una serie de líneas llamadas isolíneas, que serán líneas cerradas que no se cortan. En función de la magnitud concreta de que se

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trate, reciben nombres particulares, así cuando es la temperatura, se llamarán isotermas, isobaras, si es la presión, etc. Por lo general, suelen representarse valores discretos de la magnitud, es decir, variaciones de valores de cinco en cinco, de diez en diez, etc.

2.2. Representación de campos vectoriales

Un campo vectorial, aunque sea estacionario ( v =f(x,y,z)), tiene una representación más compleja, dado que el valor representativo de la magnitud en cada punto es un vector. Para representar un campo vectorial se acude a trazar líneas de campo, que son líneas para las que el vector representativo de la magnitud en cada punto es siempre tangente a ellas. Para trazar la línea de campo que pasa por el punto P, se traza un segmento infinitesimal que tenga la dirección de v , obteniéndose el punto P’, a partir de este punto, se traza un nuevo segmento infinitesimal en la dirección de v′ , y así sucesivamente, de tal forma que como hemos dicho, el vector representativo de la magnitud en cada punto es siempre tangente a la línea de campo. Esto nos da la dirección y el sentido del vector, el módulo del vector en cada punto será función de la densidad de las líneas de campo representadas, de tal forma que hay que fijar por convenio dicho módulo en función del número de líneas de campo que atraviesen una superficie unidad que contenga al punto en cuestión y normal a la línea de campo que pasa por él. Así por ejemplo, fijada una superficie de 1 cm2, por cada línea que atraviese dicha superficie, si el campo representado es el campo de las velocidades, le podemos hacer que corresponda un módulo de 5 m/s.

Dado que la representación de campos escalares es más simple que la la de campos vectoriales, y las operaciones con magnitudes escalares son también más simples que con magnitudes vectoriales, se definen una serie de funciones que nos permiten asociar a un determinado campo, otro de igual o distinto tipo. Estas funciones corresponden al gradiente, la divergencia y el rotacional.

17

Temas de Física

3. GRADIENTE DE UN ESCALAR

Se entiende por gradiente de un escalar, una aplicación vectorial sobre un campo escalar, de tal forma que a cada punto P de un campo escalar en el que la magnitud vale U, le hace corresponder un vector aplicado en P ( grad U

), cuya proyección sobre cualquier dirección es igual a la derivada de U en el punto P, siguiendo esa dirección. Dado que la proyección de un vector sobre otro corresponde a su producto escalar, esta definición puede expresarse por:

grad U dr = dU ⋅

, siendo dr

, un vector sobre una dirección cualquiera.

Realmente, esta definición nos dice poco sobre lo que el gradiente es y significa, pues lo único que podemos deducir de ella es que el gradiente es independiente del sistema de coordenadas que se utilice.

Consideremos un campo escalar estacionario U=f(x,y,z), en un espacio tridimensional con un sistema cartesiano de referencia, siendo f, una función unívoca, continua y derivable, su derivada será:

U U UdU = dx + dy + dz x y z

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

Si el vector dr

tiene como componentes (dx,dy,dz), el vector grad U

, corresponderá entonces al vector:

U U Ugrad U = i + j + k x y z

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

U U Ugrad U dr = dx + dy + dz = dU x y z

∂ ∂ ∂⋅

∂ ∂ ∂

Consideremos un punto P, perteneciente a una superficie equiescalar, U = constante, y el vector dr

, como suma de dos vectores, uno situado sobre la superficie equiescalar ( dt

), y otro normal a ella ( dn

). Por la propiedad distributiva respecto a la suma, tendremos:

18


grad U dr = grad U ( dt + dn ) = grad U dt + grad U dn = dU ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

El producto: 0grad U dt = | grad U | | dt | cos = α⋅

, puesto que la derivada de U según la dirección dt, al pertenecer a la superficie U = cte, dU = 0, por lo que el ángulo que forma el vector gradiente con la superficie equiescalar, ha de ser de π/2, es decir, el gradiente es un vector normal a la superficie equiescalar a la que P pertenece.

Por otro lado, en el producto:

grad U dn = | grad U | | dn | cos = dU β⋅

Dado: ß = 0, obtendremos:

dU| grad U | = | dn |

Es decir, el módulo del vector gradiente corresponde a la va-riación de la magnitud U, en la dirección normal a la superficie equiescalar a la que el punto P pertenece.

El gradiente es, pues, una aplicación por la que a cada punto P de un campo escalar U, se le hace corresponder un vector aplicado en P, cuyo módulo da la variación de la magnitud U en la dirección normal a la superficie equiescalar a la que P pertenece, y su sentido corresponde al de los valores crecientes de la magnitud U.

Si definimos un operador vectorial (“nabla”), por:

= i + j + k x y z

∂ ∂ ∂∇

∂ ∂ ∂

, entonces: grad U = U ∇

Si hemos dicho que operar con magnitudes escalares es más fácil que operar con magnitudes vectoriales, el definir una aplicación que lo que

19

Temas de Física

realmente hace es, dado un campo escalar, construir sobre él, punto a punto, un campo vectorial, parece que es complicar las cosas. Sin embargo, tenemos que tener en cuenta que la mayor utilidad del gradiente es que si en un campo vectorial v = f(x,y,z), al efectuar el producto escalar del vector representativo de la magnitud ( v ), por un elemento de línea ( dr

), obtenemos una diferencial exacta ( v dr⋅

= dU), podemos afirmar que el campo vectorial v , deriva de un campo escalar U, que llamaremos potencial escalar de ese campo vectorial, de tal forma que: v = grad U

. Es decir, el gradiente es algo que nos permite estudiar determinados campos vectoriales a partir del estudio de campos escalares (potenciales), asociados a ellos.

4. FLUJO DE UN VECTOR. DIVERGENCIA

Toda superficie elemental puede representarse por un vector ( ds

), cuyo módulo corresponde al valor de la superficie, y es normal a ella.

Dada una superficie ( ds

), en un campo vectorial ( v ), se llama flujo elemental del vector a través de la superficie, al producto escalar del vector, por el vector representativo de la superficie.

d = v ds = | v | | ds | cos φ α⋅

0d > φ , si α < π/2, entonces se dice que el vector sale de la superficie.

0d < φ , si α > π/2, entonces se dice que el vector entra en la superficie.

El flujo total será: = v dsφ ∫ ∫ ⋅

Cuando calculamos el flujo total a través de una superficie cerrada, estamos calculando el exceso de magnitud que sale respecto a la que entra.

Dado un campo vectorial ( v ), se entiende por divergencia de v , una aplicación escalar que a cada punto P del campo, en el que el valor de la magnitud es v , le hace corresponder un escalar ligado a dicho punto,

20


cuyo valor es la derivada del flujo del vector v , calculado a través de una superficie elemental cerrada que contenga a P.

0lim sv ds

div v = τ τD →

⋅∫ ∫D

Aunque matemáticamente no sea del todo correcto, podemos decir que la divergencia corresponde al flujo puntual del vector. La divergencia es una aplicación escalar sobre un campo vectorial, por la que al vector representativo de la magnitud en cada punto, se le asocia un escalar cuyo valor corresponde al flujo puntual del vector, de tal forma que sobre un campo vectorial dado, construye un campo escalar. Los valores posibles de la divergencia serán:

0div v > , esto querrá decir que sale más magnitud de la que entra, o lo que es lo mismo, que en dicho punto nacen líneas de campo. Todos los puntos en los que esto ocurre se llaman “manantiales” o “fuentes”.

0div v < , esto querrá decir que entra más magnitud de la que sale, o lo que es lo mismo, que en dicho punto mueren líneas de campo. Todos estos puntos se llaman “sumideros”.

0div v = , esto quiere decir que llega tanta magnitud como la que sale, o lo que es lo mismo, que a dicho punto, llegan tantas líneas de campo como las que salen de él. Si esto ocurre en todos los puntos del campo, se dice entonces que dicho campo vectorial es solenoidal, siendo entonces sus líneas de campo, líneas cerradas.

La divergencia es una aplicación que nos da una idea clara de las características del campo. Si sus líneas de campo son cerradas o abiertas, y en este segundo caso, en qué puntos nacen, y en cuáles mueren.

Por la definición que hemos dado de divergencia, parece que efectuar su cálculo es bastante complejo, sin embargo, veremos que no es así.

Supongamos un punto P, dentro de un campo vectorial, en el que v tiene como compo-nentes (vx, vy, vz), y tomando el punto P como origen de coor-denadas, construyamos un sis-tema cartesiano de referencia. Consideremos un paralelepípe-do elemental de lados dx, dy, dz, construido con tres de sus caras

21

Temas de Física

sobre los planos principales. Por la definición que hemos dado, la divergencia de v en P corresponderá al flujo de calculado a través de cada una de las super-ficies del paralelepípedo elemental, dividido por el volumen total del mismo.

Para efectuar el cálculo del flujo, empezaremos por calcularlo a través de las dos caras normales al eje x.

La superficie l tiene como vector representativo 1ds

(‑dydz, 0, 0), luego el

flujo de v a través de la superficie será: 1 xd v dydzφ = − .

El vector representativo de la superficie 2ds

, tendrá como componentes (dydz, 0, 0), por lo que el flujo de v

a través de esta superficie, corresponderá al producto de la componente x de v , ya que el producto de sus otras dos componentes será nulo. La componente x de v sobre dicha superficie valdrá:

xx

vv dxx

∂+

∂

es decir, lo que vale sobre la superficie 1ds

, más lo que varía su valor al desplazarnos a lo largo del eje x una distancia dx. Esta forma de representar el valor de una magnitud en un punto, en función de su valor conocido en otro punto muy próximo a él, es algo que haremos con frecuencia. El flujo a través de la superficie 2ds

, será entonces:

2x

xvd v dx dydzx

φ ∂= + ∂

Si tomamos las dos caras del paralelepípedo normales al eje y, los vectores representativos de dichas superficies serán: 3ds

(0, ‑dxdz, 0); 4ds

(0, dxdz, 0)La componente y de v sobre cada superficie será:

vy sobre 3ds

vy +yv dy

y∂∂

sobre 4ds

Luego el flujo de v a través de dichas superficies será:

22


3 4; yy y

vd v dxdz d v dy dxdz

yφ φ

∂ = − = + ∂

Si consideramos las dos caras del paralelepípedo normales al eje z, los vectores representativos de dichas superficies serán:

5ds

(0, 0, ‑dxdy); y, 6ds

(0, 0, dxdy).La componente z de v sobre cada una de las superficies, que es la única

cuyo producto no es nulo, será:

vz, sobre 5ds

; z

zvv dzz

∂ + ∂ , sobre 6ds

.

El flujo de v a través de dichas superficies será:

5 6; zz z

vd v dxdy d v + dz dxdyz

φ φ ∂ = − = ∂

El flujo total corresponderá a la suma de los flujos a través de cada una de las seis caras, y la divergencia de v será dicho flujo, dividido por el volumen total del paralelepípedo, que es:

τD =dxdydz

yx zx x y y z z

vv vv +v + dx dydz + v +v + dy dxdz + v +v + dz dydx x y z

div v dxdydz

∂ ∂ ∂ − − − ∂ ∂ ∂ =

yx zvv vdiv v = + + = v x y z

∂∂ ∂∇ ⋅

∂ ∂ ∂

23

Temas de Física

Luego la divergencia de un vector corresponde al producto escalar del operador “nabla” por el vector.

5. TEOREMA DE GAUSS O DE LA DIVERGENCIA

El teorema de Gauss o de la divergencia dice que el flujo de un vector calculado sobre una superficie cerrada es igual a la divergencia del vector calculada sobre el volumen total que dicha superficie encierra.

s

v ds = div v d τ

τ⋅∫∫ ∫∫∫

Aunque dicho teorema podría deducirse directamente de la propia definición de divergencia, vamos a tratar de demostrar que se cumple esa igualdad, acudiendo simple-mente a cuestiones de concepto. Consideremos una superficie cerra-da s que contiene un volumen. Di-vidamos este volumen en volúme-nes elementales iτD , tan pequeños como queramos, estando cada uno de ellos limitado por una superficie isD . El flujo de v calculado a través de s podrá expresarse como suma de los flujos a través de cada una de las super-

ficies elementales isD , dado que toda superficie será común a dos elementos de volumen contiguos, anulándose por lo tanto la suma de sus flujos, al ser iguales pero de signo opuesto, salvo para las superficies que correspondan a la superficie límite que determina el volumen .τ

1

n

iis

v ds v s=

⋅ = ⋅D∑∫∫

Si dividimos y multiplicamos cada uno de estos sumandos, por el valor del volumen iτD , nos quedará:

24


1

ni

ii i

v s ττ=

⋅DD

D ∑

En donde lo encerrado entre paréntesis, corresponde a la divergencia de v

calculada sobre cada elemento de superficie.

( )1

n

ii i

div v τ=

D∑

Teniendo en cuenta que el concepto de integral corresponde a la suma continua de elementos infinitesimales, nos quedará:

div v d τ

τ⋅∫∫∫ , que era lo que pretendíamos demostrar.

6. CIRCULACIÓN DE UN VECTOR. ROTACIONAL

Se entiende por circulación de un vector a lo largo de una línea, al producto escalar del vector por el vector representativo de dicha línea:

dC = v dl = | v | | dl | cos α⋅

Si queremos calcular la circulación total entre dos puntos:

B

A

C = v dl ⋅∫

Un ejemplo de circulación es el trabajo, pudiendo definirse como la circulación de la fuerza. Como toda integral definida, la circulación goza de la propiedad de que al invertir su sentido, su valor absoluto permanece invariable pero cambia de signo:

B A

A B

v dl = ‑ v dl ⋅ ⋅∫ ∫

25

Temas de Física

Si v deriva de un escalar ( v = grad U

), la circulación del vector solo depende del valor del potencial escalar U en el punto final e inicial, y no de la línea o camino seguido entre ambos:

B B B

A A A

C = v dl grad U dl dU = U(B) ‑ U(A)⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫

Luego la circulación, en este caso, corresponde a la diferencia de potencial entre ambos puntos.

Dado un campo vectorial ( v ), se denomina rotacional de v ( rot v

), a una aplicación vectorial que en cada punto P del campo, al vector ( v ), le hace corresponder otro vector ( rot v

), tal que, definida una superficie que contenga a P, la dirección de dicho vector es normal a la superficie, su módulo corresponde a la circulación de v a lo largo de la línea que limita dicha superficie, y su sentido corresponde al del avance de un tornillo que se gire en el sentido en el que la circulación se calcula.

0limnS

v dl v = rot sD →

⋅

D∫

Aunque esta definición parece com-pleja, no lo es tanto. Consideremos un punto P en el que el valor representativo de la magnitud es v . Consideremos una línea cerrada ( dl

), que contenga a P y que delimita una superficie sD . Por definición, el vector rot v

será un vector normal a dicha superficie cuyo sentido depende del sentido en el que se calcule la circulación a lo largo de la línea ( dl

), y cuyo módulo corresponderá a la circulación del vector v

en el punto P.

26


Al igual que en el caso de la divergencia, el cálculo del rotacional puede realizarse de forma simple.

Consideremos un punto P de un campo vectorial tridimensional, en el que el valor representativo de la magnitud es v , de componentes. Tomemos el punto P como origen de un sistema cartesiano de referencia, y sobre cada uno de los planos XY, YZ, ZX, definimos una superficie elemental. Si calculamos la circulación de v a lo largo del perímetro de cada una de estas superficies, y dividimos por el valor de la superficie, obtendremos cada una de las tres componentes del vector rotacional ( rot v

).

Para calcular la componente x del vector rotacional ( xrot v ), tendremos que definir un rectángulo elemental sobre el plano YZ. A continuación calcularemos la circulación de v a lo largo de cada uno de sus lados siguiendo el sentido contrario al giro de las agujas de un reloj, para obtener el sentido positivo de la componente xrot v :

- Lado 1PP (0, dy, 0). La circulación corresponderá al producto escalar de

v por el lado 1PP :

yv dy

- Lado 1 2PP (0, 0, dz). La circulación corresponderá al producto escalar de

v por el lado 1 2PP , es decir, a la componente z de v por dz, pues los otros dos productos son nulos. Sin embargo, aunque desconocemos el valor de dicha componente sobre P1, su valor será lo que vale en P ( zv ), más lo que varía este valor cuando nos trasladamos una distancia dy a lo largo del eje y, es decir:

27

Temas de Física

zz

v v + dy y

∂ ∂

La circulación de v a lo largo del lado 1 2PP , será:

zz

v v + dy dzy

∂ ∂

- Lado 2 3P P (0, ‑dy, 0). La circulación de v a lo largo de dicha línea corresponderá entonces al producto escalar de la componente y de v , pues los otros productos serán nulos. Igual que en el caso anterior, desconocemos el valor que tiene la componente y de v en el punto P3. Este valor será el valor que tenía dicha componente en el punto P (vy), más lo que ha variado este valor al desplazarnos a lo largo del eje z, una distancia dz, es decir:

yy

v v + dz z

∂ ∂

Luego la circulación de v a lo largo de 3P P , será:

yy

v‑ v + dz dyz

∂ ∂

- Lado 3P P (0,0,-dz). La circulación de v a lo largo de dicha línea será entonces el producto de la componente z de v por dz, pues los otros productos

serán nulos. Por otro lado, dado que la línea 3P P , contiene al punto P, la componente z de v será vz, luego la circulación será: z‑v dz

La circulación total de v a lo largo del rectángulo PP1P2P3, será entonces:

28


y yz zy z y z

v vv vv dy + v + dy dz ‑ v + dz dy ‑ v dz = ‑ dydz y z y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Si dividimos por la superficie de dicho rectángulo (dydz), obtendremos la componente x del vector rotacional:

yzx

vv v = ‑ rot y z∂∂

∂ ∂

Para calcular las otras dos componentes del rotacional, habrá que seguir un procedimiento análogo.

- yrot v : Se define un rectángulo elemental normal al eje y. Se calcula la circulación de v a lo largo de cada lado del rectángulo para obtener la circulación total, y se divide por la superficie del rectángulo.

- Lado 3PP (0, 0, dz). Circulación de v a lo largo de dicho lado: zv dz .

- Lado 3 4P P (dx, 0, 0). Componente x de v en dicho lado:

xx

vv + dzz

∂∂

Circulación de v a lo largo de dicho lado: xx

v v + dz dxz

∂ ∂

- Lado 4 5P P (0,0,-dz).

Componente z de v sobre dicho lado:

zz

vv + dxx

∂∂

Circulación de v a lo largo de dicho lado:

29

Temas de Física

zz

v‑ v + dx dzx

∂ ∂

- Lado 5P P (‑dx, 0, 0). Componente x de v : vx

Circulación de v a lo largo de dicho lado: ‑ vxdx

Circulación total de v a lo largo del rectángulo PP3P4P5:

x z x zz x z x

v v v vv dz + v + dz dx ‑ v + dx dz ‑ v dx = ‑ dxdz z x z x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Componente y del vector rotacional: x zy

v vrot v = ‑ z x

∂ ∂∂ ∂

- zrot v : Se define un rectángulo elemental normal al eje z. Se calcula la circulación de v a lo largo de cada lado del rectángulo para obtener la circulación total, y se divide por la superficie del rectángulo.

- Lado 5PP (dx, 0, 0).

Circulación de v a lo largo de dicho lado: vxdx

- Lado 6 5P P (0, dy, 0).

Componente y de v : y

yv v + dx x

∂ ∂

Circulación de v a lo largo de dicho lado:

yy

v v + dx dyx

∂ ∂

30


- Lado 6 1P P (‑dx, 0, 0).

Componente x de v sobre dicho lado:

xx

v v + dy y

∂ ∂

Circulación de v a lo largo de 6 1P P :

xx

v v + dy dxy

∂− ∂

- Lado 1PP (0, ‑dy, 0).

Circulación de v a lo largo de 1PP : y‑ dyv

Circulación total de v a lo largo del rectángulo PP5P6P1:

y yx xx y x y

v vv vv dx + v + dx dy v + dy dx v dy = ‑ dxdy x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ − − ∂ ∂ ∂ ∂

Componente z del vector rotacional: y xz

v vrot v = ‑ x y

∂ ∂∂ ∂

Luego el vector será:

y yz x z xv vv v v vrot v = ‑ i + ‑ j + ‑ k y z z x x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Que puede escribirse:

31

Temas de Física

x y z

i j k

rot v = v = x y z

v v v

∂ ∂ ∂∇ ×

∂ ∂ ∂

Si calculamos el rotacional en todos los puntos de un campo vectorial v

, y obtenemos: 0rot v =

. Se dice entonces que dicho campo es irrotacional, y es demostrable que el campo vectorial v deriva de un campo escalar U, siendo: v = grad U

El rotacional es pues una aplicación que asocia un campo vectorial a otro campo vectorial, y que, en general, se pretende que ese campo sea más simple. Consideremos por ejemplo, un disco de radio r que gira en torno a un eje con velocidad angular ω

. Cada punto del disco tendrá una velocidad lineal, que será: v = rω ×

Apliquemos el operador rotacional, al campo de las velocidades lineales:

rot v = v = rω∇ × ∇ × ×

El doble producto vectorial cumple, aunque no vamos a demostrarlo, que:

( ) ( )a b c = a c b a b c × × ⋅ − ⋅

En nuestro caso, siendo:

x y z ( i + j + k), r ( xi + yj + zk ), i + j + k x y z

ω ω ω ω ∂ ∂ ∂

∇ ∂ ∂ ∂

Resulta:

rot v = ( r)ω∇× ×

= x y zx y z+ + + + r x y z x y z

ω ω ω ω ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

32


rot v

=3 x x x y zx y z y z i j k + j + k x x x y z

ω ω ω ω ω ω ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

=3 2=ω ω ω−

Esta misma expresión la hubiéramos obtenido aplicando la definición:

20

2lim 2 2l

s

v dlrv vrot v = = = =

s r rπ ω

πD →

⋅

D

∫

Así pues, aplicando el operador rotacional, el campo de las velocidades lineales se sustituye por el de las velocidades angulares, y como consecuencia, las ecuaciones del movimiento circular son idénticas a las ecuaciones del movimiento rectilíneo sin más que sustituir magnitudes lineales por magnitudes angulares.

7. TEOREMA DE STOKES O DEL ROTACIONAL

El teorema de Stokes o del rotacional dice que la circulación de un vector a lo largo de una línea cerrada es igual al flujo del rotacional de dicho vector calculado sobre una superficie que tiene esa línea como borde.

l s

v dl = rot v ds⋅ ⋅∫ ∫∫

Aunque dicho teorema puede dedu-cirse de la definición de rotacional, va-mos a tratar de demostrarlo.

Consideremos una línea cerrada l, y tomando como borde esa línea, construi-mos una superficie S.

Dividamos la superficie S en super-ficies elementales iSD , tan pequeñas como queramos, estando limitada cada una de ellas por una línea li. La circula-ción de v a lo largo de la línea l podrá expresarse como suma de las circula-ciones de v calculadas sobre cada elemento li, dado que la circulación sobre cada línea que tenga un elemento contiguo se anulará, pues es recorrida en un

33

Temas de Física

sentido en el elemento 1, mientras que en el elemento contiguo 2, es recorrida en sentido contrario. Por tal motivo, solo intervendrán en el cálculo de la cir-culación las líneas que no tengan ningún elemento contiguo, es decir, la línea que corresponde al borde.

1

n

ii=l

v dl = ( v dl ) ⋅ ⋅∑∫

Si dividimos y multiplicamos cada sumando, por el valor de la superficie infinitesimal,

1

ni

ii= i

v dl ss

⋅D

D ∑

Lo encerrado entre paréntesis corresponde a rot v

, por lo que nos quedará:

1( )

n

i ii

rot v s=

⋅ D∑

Teniendo en cuenta que el concepto de integral corresponde a la suma continua de elementos infinitesimales, nos queda:

s

rot v ds⋅∫∫

Que es lo que queríamos demostrar.

8. OPERACIONES DE SEGUNDO ORDEN

8.1. Laplaciana de una función escalar

Se llama Laplaciana de una función escalar a un operador de segundo orden definido por:

34


2 2 2

2 2 2

U U UU = div grad U = U = + + x y z

∂ ∂ ∂D ∇ ⋅∇

∂ ∂ ∂

8.2. Laplaciana de un vector

Se llama Laplaciana de un vector a otro vector definido como:

v = grad ( div v ) ‑ rot ( rot v ) D

2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2y y yx x x z z zv v vv v v v v v v = + + i + + + j + + + k

x y z x y z x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

D ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

9. BIBLIOGRAFÍA

- Feynman, R.P., Leighton, R.B.,y Sands, M.: FÍSICA. Ed. Fondo Educativo Interamericano. San Juan de Puerto Rico, 1963.

- Wills, A.P.: VECTOR ANALYSIS WITH AN INTRODUCTION TO TENSOR ANALYSIS. Ed. Dover Publications Inc. New York, 1958.

10. PROBLEMAS DE EXAMEN

10.1. Hallar las constantes a, b, y c, para que la superficie U = ax2 + by2 + cz2, sea perpendicular a la superficie V = x2 + y2 ‑ 4z, en el punto (2, 2, 2). Calcular un vector unitario en dirección normal a la primera de las superficies.

a) 2 2 2 4 4 4grad U = ax i + by j + cz k = a i + b j + c k

2 2 4 4 4 4grad V = x i + y j ‑ k = i + j ‑ k

16 16 16grad U grad V = a + b ‑ c = 0 ⋅

De donde:

0 1 2a + b ‑ c = ; a = b = ; c =

b) 4 4 4grad U = i + j + k

35

Temas de Física

2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 4 84 4 8 4 4 8 4 4 8

grad Ur = = i + j + k | grad U | + + + + + +

4 4 896 96 96

r = i + j + k

10.2. A partir del punto (-1, 3, 2), ¿hacia qué dirección aumenta más rápidamente la función ( )2 2 2F = x y + z xy + z+ − ? ¿Y la función 2 2 2 12G = x + y xz − − ?

a) ( 2 ( ) ) ( 2 ( ) ) ( 2 2 )grad F = x+ y y i + x+ y x j + z + k − −

Sustituyendo para el punto dado:

(2 ( 1 3) 3) (2 ( 1 3) 1) (2 2 2) 5 6grad F = + i + ‑ + + j + + z = i + j + k − − ⋅

b) ( 2 2 ) 2 2grad G = x z i + y j x k − −

Sustituyendo para el punto dado:

(2 ( 1) 2 2) 2 (3) 2 ( 1) 6 6 2grad G = i + j ‑ k = i + j + k − − ⋅ − −

10.3. Dadas las superficies 2 22 2 7 0U = x + y xz =− − ,

23 4 0V = x xy+ z =− − hallar el ángulo que forman en el punto (-1, 2, -1).

U U Ugrad U = i + j + k x y z

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

(2 2 ) 4 2 8 2grad U = x z i + y j x k = j + k − −

(6 ) 8grad V = x ‑ y i x j + k = i + j + k − −

grad U grad Vcos = | grad U | | grad V |

α ⋅

36


8 2 10 0 1492764 4 64 1 1 4488

+ cos = = = , +

α+ + ; 1, 42 81º 20 ' = rad = α

10.4. Demostrar que cualquiera que sean los valores de a y b, las familias de hipérbolas equiláteras: x2 ‑ y2 = a, xy = b, se cortan en ángulos rectos.

2 2grad U = x i y j ; grad V = y i + x j −

2 2 2 2

2 2 024 4

grad U grad V xy yxcos = = = = | grad U | | grad V | x + y + y + x

πα α⋅ −⇒

10.5 Calcular: grad φ

, siendo 2 2 2,nr r x y zφ = = + +

.

r r rgrad = i + j + k r x r y r zφ φ φφ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1n r x r y r z = n r ; = ; = ; = r x r y r z rφ −∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

1 1 1 2 2( )n n n n nx y zgrad = n r i + n r j + n r k = n r xi + yj + zk = n r r r r r

φ − − − − −

10.6. Hallar el módulo y dirección (cosenos directores) del gradiente de la función escalar:

2 2 2U x y z= + + , en el punto (2, -2, 1)

; 2 2 2 4 4 2U U Ugrad U i j k grad U x i y j z k i j kx y z

∂ ∂ ∂= + + = + + = − +

∂ ∂ ∂

2 2 24 4 2 36 6grad U = + + = =

37

Temas de Física

4 2 2 1; ;6 3 3 3

cos cos cosα β γ= = = − =

10.7. Hallar el gradiente de la función escalar: U = 2x‑ xy+2 y2‑ yz + z2, en el punto (1,1,1), y los puntos estacionarios de dicho campo si los tuviese.

a)( ) ( ) ( ); 2 4 2 2U U Ugrad U i j k grad U y i x y z j y z k i j k

x y z∂ ∂ ∂

= + + = − + − + − + − + = + +∂ ∂ ∂

b) 2 0 ; 4 0 ; 2 0U U Uy x y z z yx y z

∂ ∂ ∂= − = = − + − = = − =

∂ ∂ ∂

Resolviendo el sistema: 2 0 ; 4 0 ; 2 0 ;y x y z y z− = − + − = − + =

Se obtiene: ( )7 ; 2 ; 1; : 7, 2,1x y z Luego el punto es P= = = : P (7,2,1,)

10.8. Sea el vector 2 2 2a x y i + y z j + xz k =

. Calcular la divergencia de dicho vector en los vértices del cuadrado situado en el plano XY con centro en el origen de coordenadas y 2 m de lado, perpendiculares a los ejes x e y, indicando cuál de ellos es manantial, y cuál sumidero.

2 2 2div a = xy + yz + xz

En el punto (1, -1, 0) 2div a =

. Manantial.En el punto (-1, 1, 0) 2div a = − . Sumidero.En el punto (-1, -1, 0) 2div a =

. Manantial.En el punto (1, -1, 0) 2div a = −

. Sumidero.

10.9. Dados los vectores 2 2 2 , 2 2 2 2a = x i + y j + k b = z i + x j + k.y

Calcular: a) div a , y div b.

b) div a b,×

en el punto (1, 1, 1).

a) 2 2 4 0div a = + = ; div b =

38


b) 3 2 2

2

2 2 2 (4 4 ) (4 4 ) (4 4 )2 2 2

i j ka b = x y = y x i + z xy j + x yz k

z x y× − − −

En el punto (1, 1, 1): 4 8 4 16div [ a b ] = xy ‑ y = × − − −

10.10. Si la función escalar: 3 2 42 x y zφ = . a) Probar que: div grad = φ φD

. b) Calcular: div grad φ

en el punto (1, 1, - 1).

a) 2 2 4 3 4 3 36 4 8grad = i + j + k = x y z i + x y z j + x yz kx y zφ φ φφ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

2 4 3 4 3 2 212 4 24div grad = xy z + x z + x y zφ

22 2 4 2 4

26 12 = x y z ; = x y zx xφ φ∂ ∂

∂ ∂

23 4 3 4

24 4 = x yz ; = x zy yφ φ∂ ∂

∂ ∂

23 2 3 3 2 2

28 24 = x y z ; = x y zz zφ φ∂ ∂

∂ ∂

2 2 22 4 3 4 3 2 2

2 2 2 12 4 24 = + + = xy z + x z + x y z div grad x y zφ φ φφ φ∂ ∂ ∂D =

∂ ∂ ∂

b) 2 4 3 4 3 2 212 4 24 12 4 24 40div grad = xy z + x z + x y z φ = + + =

10.11. Sea el vector ( 3 ) ( 4 ) ( 3 )u = x yz i + y + xz j + x az k.− −

Calcular

el valor de a, para que dicho vector sea solenoidal. Siendo el vector v = xyz j

, decir si el vector u v×

, es solenoidal. Calcular div a b ×

, en el punto (1, -1, 1).

39

Temas de Física

a) ( 3 ) ( 4 ) (3 ) 1 1 0x ‑ yz y+ xz x ‑ azdiv u = + + = + a =

x y z∂ ∂ ∂

−∂ ∂ ∂

Luego, a = 2

b) 3 4 3 2 (3 2 ) ( 3 )0 0

i j ku v = x yz y+ xz x z = xyz x z i + xyz x ‑ yz k

xyz× − − − −

2 2 2 2( ) (2 2 ) 3 ( 3 ) 3 6 6 2div u v = ‑ yz x z xyz + xy x yz z = xyz xy z + yz + x y xy× − − − − − −

Luego no es solenoidal.

c) ( ) 6 6 2 1 3div u v × = − − − = −

10.12. Hallar el flujo de 3 2 5a = x i y j + z k−

, a través de una esfera de radio 2 y centro en el origen de coordenadas.

22 3

0

4(3 2 5)4 6 2 64 200,963

= a ds = div a d = + r dr = = = φ τ π π π∫ ∫ ⋅ ∫ ∫ ∫ −∫

10.13. Calcular div a, y grad div a

, si 2a r i + yrj + zrk=

, siendo 2 2 2 2r = x + y + z .

a) yx zaa adiv a = + + x y z

∂∂ ∂∂ ∂ ∂

2 2xa x = r = x x r

∂∂ ;

2ya y y = r + y = r +

y r r∂∂

;

2za z z = r + z = r +

z r r∂∂

2 2 2

2 2 2 3y + z xdiv a = x+ r + , o tambien, x+ r r r

−

o también

2 2 2

2 2 2 3y + z xdiv a = x+ r + , o tambien, x+ r r r

−

40


b) div a div a div agrad div a = i + j + k

x y z∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

2 2

22 2div a x y + z x = + x r r r

∂−

∂

2 2

2

2 ( )2

yyr y + zdiv a y r = + = y r r

−∂∂

2 2

3

4y y( + )y z ‑ r r

2 22 2

2 3

2 ( ) 4 ( )2

zzr y + zdiv a z z z y zr = + = z r r r r

−∂ +−

∂

10.14. Si 2 ,a r i + yrj + zrk=

en donde r, es: 2 2 2 2r x y z = + + . Calcular:

a) div a . b) grad div a

.

2 22 2

) 2 2 2 2 3( ) r (yr) (zr) x y z +y xr za div a + + r +r + y +r + z x+ r + x+ r r x y z r r r r r

∂ ∂ ∂ ∂= = = = − ∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2

2 2 2

3 2 3 32 x x x y y z zx x xb) grad div a i + + + j + + k + r r r r r r r r r r

= −

23 2

3 3 3

3 32 x y x y z zx xgrad div a i + + + j + + k + r r r r r r

=

10. 15. Si los vectores: , 2 2 3u i j k v i j k= + − = − +

, determinan una

superficie, calcular el flujo del vector 4r i j k= + +

, a través de ella.

Dado que el vector representativo de una superficie corresponde al producto vectorial de los lados que la forman:

41

Temas de Física

1 1 1 5 42 2 3

i j kS u v i j k= × = − = − −

−

( ) ( )1 1 1 5 4 4 20r Sθ = ⋅ = ⋅ + ⋅ − + ⋅ − = −

10.16. Sea el vector 2 2 2a = x y i + y z j + xz k

. Calcular: a) rot a

. b) rot rot a

. c) Demostrar que: 2( )rot rot a = a a∇ ∇ ⋅ − ∇

.

a) 2 2 2

2 2 2

i j k

rot a = = y i z j x k x y z

x r y r z r

∂ ∂ ∂− − −

∂ ∂ ∂

b)

2 2 2

2 2 2

i j k

rot rot a = = z i + x j + y k x y z

y z x

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

− − −

c) 2( ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 2 ) a a = xy + yz + xz y i + z j + x k ∇ ∇ ⋅ − ∇ ∇ −

2( ) (2 2 ) (2 2 ) (2 2 ) (2 2 2 ) 2 2 2a a = y+ z i + x+ z j + y+ x k yi + zj + xk = zi + xj + yk∇ ∇ ⋅ − ∇ −

Luego: ( ) 2a a rotrota∇ ∇ ⋅ − ∇ =

10.17. Sea a = xr i + yr j + zr k

, siendo 2 2 2 2r x + y + z= . Demostrar que dicho vector es irrotacional.

; ;r x r y r z = = = x r y r z r

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

42


0

i j ky z z x x yrot a = = z y i + x z j + y x k =

x y z r r r r r rxr yr zr

∂ ∂ ∂ − − − ∂ ∂ ∂

10.18. Siendo 23 y= x e sen zφ , calcular: rot grad φ

.

2 26 3 3y y ygrad = x e sen z i + x e sen z j + x e cos z k φ

2 26 3 3y y y

i j k

rot grad = x y z

xe senz x e senz x e cosz

φ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

2 2(3 3 ) (6 6 (6 6 )y y y y y yrot grad = x e cosz ‑ x e cosz i + xe cosz ‑ xe cosz)j ‑ xe senz ‑ xe senz k = 0 φ

10.19. Siendo 3 2( )v x i ‑ x + y + z j + x z k =

. Calcular: rot grad div v

en el punto (1, 1, 1).

3 2( ) ( ) ( ) 3 1 2x x+ y+ z xzdiv v = + + = x + + xz x y z

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ) (6 2 ) 2div v div v div vgrad div v = i + j + k = x+ z i + x k x y z

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

0 (2 2) 0 0

6 2 0 2

i j k rot grad div v = = i + ‑ j + k = x y z

x z x

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+

Luego ( grad div v

), es un vector irrotacional.

43

Temas de Física

10.20. Si a = (r) v φ

, en donde (r)φ es una función de r, siendo 2 2 2r = x + y + z , y v = x i + y j + z k

, probar que a es irrotacional.

i j k (r)z (r)y (r)x (r)z (r)y (r)xrot a = = i ‑ + j ‑ +k ‑ x y z y z z x x y

(r)x (r)y (r)z

φ φ φ φ φ φ

φ φ φ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

r r r r r rrot a = i z (r) ‑ y (r) + j x (r) ‑ z (r) + k y (r) ‑ x (r) y z z x x y

φ φ φ φ φ φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ) 0y z z x x yrot a = i z (r) y (r) + j x (r) z (r) + k y (r) x (r) = r r r r r r

φ φ φ φ φ φ′ ′ ′ ′ ′ ′− − −

10.21. Si 2 22 3v xz i yz j xz k= − +

, calcular ( )v rot v∇ ⋅

, en el punto (1, 1, 1).

( )2

2 2

4 3

2 3

i j k

rot v yi xz z jx y zxz yz xz

∂ ∂ ∂= = + −

∂ ∂ ∂

−

( )2 2 2 32 4 3 2 3v rot v xyz xz z yz xyz yz⋅ = − − = − +

( ) ( ) ( )2 2 3 22 2 3 4 9v rot v yz i xz z j xyz yz k∇ ⋅ = − + − + + − +

En el punto (1, 1, 1): ( ) 2 5v rot v i j k∇ ⋅ = − + +

10. 22. Demostrar si el campo vectorial: ( ) ( ) ( )v y z i x z j x y k= + + + + +

, admite un campo escalar U, y calcularlo.

44


a)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0x y x z y z x y x z y z

rot v = i j k y z z x x y

∂ + ∂ + ∂ + ∂ + ∂ + ∂ + − + − + − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Luego admite un potencial U, porque es irrotacional.

b)( ) ( , ); ( , ) ; ( , ) ( )U U f y zv grad U y z U y z x f y z x z x f y z zy g z

x y y∂ ∂ ∂

= = + ⇒ = + + = + = + ⇒ = +∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( ); 0g z g zUU xy yz zx g z x y g z cte

z z z∂ ∂∂

= + + + = + + ⇒ = ⇒ =∂ ∂ ∂

Luego la solución es:U xy yz zx cte= + + +

O bien: ( ) ( ) 1xU v U y z dx y z x Cx

∂= ⇒ = + = + +

∂ ∫ ;

( ) ( ) 2yU v U x z dy x z y Cy

∂= ⇒ = + = + +

∂ ∫

( ) ( ) 3zU v U x y dz x y z Cz

∂= ⇒ = + = + +

∂ ∫ ;

Sumando y eliminando términos iguales: U xy yz zx C= + + +

10. 23. Si entendemos que el trabajo de una fuerza es su circulación, calcular el trabajo realizado por la fuerza

23 2F xy i y j= −

, al circular a lo largo del trapecio de la figura. Todas las distancias están en metros.

En la recta OA, x = y, y por tanto dx =dy:

( )11,1 1,1 1 3

2 20

0,0 0,0 0 0

13 23 3

A xW F ds xy dx y dy x dx Jδ

= ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ = =

∫ ∫ ∫

45

Temas de Física

En la recta AB, y = 1, y por tanto dy = 0

( )22,1 2 2

2

1,1 1 1

3 93 2 32 2

BA

xW xy dx y dy x dx Jδ

= ⋅ − ⋅ = ⋅ = =

∫ ∫

En la recta BC, x = 2, y por tanto dx = 0

( )02,0 0 3

2 2

2,1 1 1

3 23 2 23 3

CB

yW xy dx y dy y dy Jδ

= ⋅ − ⋅ = − ⋅ = − =

∫ ∫

En la recta CO, y = 0, y por tanto F = 0, 0 0cWδ =

1 9 2 1103 2 3 2

W Jδ = + + + =

47

TEMA II: MOVIMIENTO OSCILATORIO

1. INTRODUCCIÓN

Al plantearnos el estudio del movimiento de un sistema, lo primero que tenemos que tener en cuenta es el número de grados de libertad que tiene, pues este número corresponde al número de relaciones linealmente independientes que tenemos que encontrar, para poder resolver el problema de conocer, para cada instante concreto, cuál es la posición que cada elemento del sistema ocupa, y qué velocidad y aceleración tiene. Un sistema completo, e integrable, es decir, con solución, se dice que es un sistema holónomo, y la mayor parte de los sistemas lo son. Un sólido enteramente libre es un sistema holónomo con seis grados de libertad, mientras que una esfera que gira y se traslada simultáneamente sobre un plano fijo, a pesar de tener solo tres grados de libertad, no lo es.

Vamos a empezar el estudio del movimiento, por el sistema más simple, que es aquel con un solo grado de libertad, y consecuentemente, nos basta establecer una relación, y si ésta es integrable, obtener la solución buscada. Esta condición la cumple el movimiento rectilíneo uniforme o uniformemente acelerado, pero también el movimiento oscilatorio.

En ocasiones se toman como sinónimos los términos oscilación, vibración y ondulación u onda, aunque realmente no lo son. Una oscilación corresponde a un movimiento de vaivén hacia uno y otro lado de una posición de equilibrio central, movimiento idéntico para todos los elementos que constituyen el sistema. Una vibración es también un movimiento de vaivén respecto a una posición de equilibrio central pero en la que las características del movimiento de cada elemento o parte pueden ser distintas. Un péndulo oscila, una cuerda de guitarra vibra. La propagación de una oscilación o una vibración a través de un medio constituye lo que se llama onda, es decir, onda u ondulación es una perturbación periódica, sea ésta la que sea, que se propaga a través de un medio.

Una oscilación puede ser libre, cuando solo intervienen fuerzas internas, o forzada, cuando es una fuerza externa la que obliga a oscilar al sistema. Cuando se estudia el movimiento oscilatorio, puede tenerse en cuenta la existencia de la fuerza de rozamiento, inherente a todo movimiento, con lo que entonces hablaremos de movimiento oscilatorio amortiguado, o por el contrario, puede estudiarse el movimiento oscilatorio de forma ideal, sin tener en cuenta el rozamiento, refiriéndonos entonces al movimiento oscilatorio

48

Movimiento oscilatorio

sin amortiguamiento. Estudiaremos cada uno de estos casos separadamente, empezando por el más simple, que corresponde al movimiento oscilatorio libre sin amortiguamiento.

2. OSCILADOR LINEAL ARMÓNICO

2.1. Ecuación de movimiento

Recibe el nombre de oscilador, una masa unida a un resorte elástico. El oscilador se dice que es lineal, cuando la fuerza que el resorte ejerce es función lineal de la posición que la masa ocupa, es decir: F = f(x). En cualquier otro caso se dice que el oscilador es no lineal o alineal.

Supongamos que mediante la acción de una fuerza, separamos la masa de la posición de equilibrio inicial, llevándola a la posición x, es decir, producimos un alargamiento del resorte. Si como hemos dicho, el resorte es totalmente elástico, se verificará la ley de Hooke, que dice simplemente que la deformación es proporcional a la causa que la produce. El decir que una magnitud es proporcional a otra, significa que se puede establecer una igualdad entre ambas magnitudes sin más que multiplicar una de ellas por un coeficiente de proporcionalidad. En nuestro caso, la causa corresponde a la fuerza aplicada, y la deformación, al alargamiento que ha sufrido el resorte que coincidirá con la posición que la masa ocupa, es decir:

F = k x

El coeficiente de proporcionalidad entre fuerza aplicada y alargamiento producido, y que corresponde a una característica elástica del resorte, se denomina constante recuperadora, y su valor es:

Fk = x

En el Sistema Internacional (SI), se mide en: N/m

Su ecuación de dimensiones es: 2[F][k] = = M TL

−

La constante recuperadora es una característica elástica del resorte, cuyo valor corresponde a la fuerza que hay que aplicar para producir un alargamiento unidad, y que pudiéramos llamar rigidez del resorte. Según su magnitud, los

49

Temas de Física

resortes se podrán clasificar en “duros”, si el valor de la fuerza a aplicar y consecuentemente, el valor de esta constante, es muy elevado, o “blandos” o “flojos”, cuando su valor es muy pequeño, es decir, cuando una fuerza de muy pequeño valor produce un gran alargamiento.

Si cesa la acción de la fuerza, el resorte, al ser elástico, produce una fuerza igual y de sentido contrario a la que ha producido su deformación:

F = ‑ k x

La acción de esta fuerza elástica hace que la masa vuelva a la posición de equilibrio, pero cuando llega a este punto, lo hace con una aceleración, por lo que su fuerza de inercia comprime el resorte hasta que la aceleración se anula. En este instante, el resorte está comprimido, por lo se generará en él una fuerza elástica que tratará de llevar de nuevo la masa a la posición de equilibrio, reanudándose de nuevo todo el proceso. En ausencia de rozamiento, la compresión que sufre el resorte tendrá idéntico valor que su alargamiento, por lo que el movimiento de la masa corresponde a un movimiento de vaivén a uno y otro lado de una posición de equilibrio central, es decir, un movimiento oscilatorio, movimiento que se repite cada cierto tiempo, que denominaremos período de oscilación (T), llamándose frecuencia (f), al número de oscilaciones por unidad de tiempo.

Si tenemos en cuenta el segundo principio de Newton, e igualamos la fuerza elástica del resorte, que es la fuerza productora del movimiento, con la fuerza de inercia, obtendremos:

2

2

xd‑ k x m a m mxdt

= = =

Ordenando términos, nos queda:

0m x + k x =

50


Que constituye la ecuación diferencial del movimiento oscilatorio. Esta ecuación diferencial es la que tenemos que integrar si queremos encontrar la ecuación del movimiento oscilatorio, es decir, la función que relaciona la posición, llamada en este caso particular, elongación, y el tiempo, corresponde a una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, tipo de ecuaciones diferenciales cuya integración es fácil, y cuyo método general de integración estudiaremos.

Si dividimos la expresión anterior por la masa, obtenemos:

2 0kx x = x x = m

ω+ +

k = m

ω Recibe el nombre de pulsación del movimiento oscilatorio.

Dimensionalmente, esta magnitud corresponde a:

[ ] [ ]1/ 2 1/ 2 11

1/ 2 1/ 2

k M T = T M M

ω−

−= =

En el Sistema Internacional (SI), se mide en radianes/s. La pulsación, también llamada frecuencia angular, está relacionada con la

frecuencia y el período del movimiento oscilatorio, a través de la expresión:

22 f Tπω π= =

Volviendo a la ecuación de partida, si multiplicamos por: dxx = = v dt

, obtendremos:

0x m x x k x + =

Esta expresión la podemos escribir en la forma:

51

Temas de Física

2 2 02 2

d m k x x dt

+ =

De donde se deduce que:

2 2

2 2m k x x cte + =

Para calcular el valor de la constante de integración que aparece en esta expresión, es necesario conocer una relación entre la posición y el valor de la velocidad en esa posición, cosa que es fácil dado que cuando la masa está separada la máxima distancia de la posición de equilibrio, es decir, cuando la elongación es máxima, llamándose entonces amplitud, la velocidad se hace cero, puesto que se invierte el sentido del movimiento, es decir:

Para: 0x = A x = ⇒

Sustituyendo estos valores en la expresión anterior obtenemos como valor de la constante de integración:

2

2kcte A=

Entonces, la expresión anterior queda:

2 2 2

2 2 2m k k x x A + =

De esta expresión, podemos despejar el valor de la velocidad, y expresar ésta, en función de la posición o elongación, obteniendo:

( )2 2 2 2 2 2 2;k k dxx A x x A x A x = m m dt

ω= − = ± − = ± −

Expresión de la que separando variables, podemos, por integración, obtener la ecuación de movimiento buscada:

52


2 2

dx dt = A x

ω ±

−∫ ∫

Si elegimos el signo negativo, la integral de la expresión anterior será:

x t ‑ arc cos A

ω δ =

Expresión que puede escribirse en la forma:

x = A cos ( t ‑ ) ω δ

Si elegimos el signo positivo, obtendremos:

x t ‑ arc sen A

ω δ =

Que puede escribirse:

x A sen ( t ‑ ) ω δ=

La obtención de dos soluciones distintas se debe a que la constante de integración depende de las condiciones iniciales, es decir, de la posición que ocupa la masa en el instante inicial. De todas formas, esta segunda solución puede considerarse un caso particular de la primera, dado que:

( ) ( ) ( )2 2 2

x A cos t A cos t cos sen t sen A sen ( t ‑ ) π π πω δ ω δ ω δ ω δ = − − = − + − =

2.2. Solución general

La ecuación diferencial de partida, lineal con coeficientes constantes, tiene un método general de integración, consistente en efectuar un cambio de variable, de tal forma que se obtiene una ecuación algébrica llamada ecuación característica, cuyas raíces hay que calcular. El cambio de variable es:

tx eλ=

53

Temas de Física

Sus derivadas son:

2t tx e ; x eλ λλ λ= =

Sustituyendo en la ecuación diferencial de partida, obtenemos:

2 2 0t t tm e k e ( m k ) e λ λ λλ λ+ = + =

Esta expresión se ha de cumplir para cualquier valor del tiempo, y para que esto sea así, se ha de verificar que:

2 0m k λ + =

Esta expresión recibe el nombre de ecuación característica de la ecuación diferencial, y como vemos, es una ecuación algébrica cuyas raíces son:

1k ‑ ‑ i m

λ ω ω= = = ±

Luego las raíces de la ecuación característica son dos raíces complejas:

* *1 1 1

i t = i ; x A e ωλ ω =

* *2 2 2

i t ‑ i ; x A e ωλ ω −= =

La solución general corresponderá a la parte real de la función compleja:

* * *1 2

i t i tx A e A eω ω−= +

Si consideramos el plano complejo, el plano cuyo sistema de referencia está constituido por un eje de abscisas en el que figuran los números reales, mientras que en el eje de ordenadas figuran los números imaginarios, de tal forma que cada punto del plano pueda quedar representado por un versor, elemento similar al vector de posición de un punto en el espacio afín, y que como él, admite múltiples formas de representación. Dentro de ellas, vamos a considerar preferentemente las siguientes:

54


- Suma de una parte real y otra imaginaria: a b i±

- En función del módulo del versor, y de su argumento, que corresponde al ángulo que forma con el eje real: A ( cos i sen )δ δ±

- Mediante las fórmulas de transformación de Euler, cuya relación con la notación anterior es:

iA e = A ( cos + i sen )δ δ δ

iA e = A ( cos ‑ i sen )δ δ δ−

Esta posibilidad de utilización del plano complejo condujo a Gauss a considerar que un movimiento os-cilatorio armónico podía conside-rarse como la proyección sobre el eje real, de un movimiento circular uniforme realizado sobre el plano complejo.

Volviendo a la solución de la ecuación, para obtener la parte real de la función, vamos a considerar que las constantes de integración que en ella figuran pueden escribirse como producto de una parte real, idéntica para ambas, y una parte imaginaria que corresponde a dos complejos conjugados, de tal forma que:

*1 2

iAA = e δ−

*2 2

iAA = e δ

La función solución quedará entonces en la forma:

( )* ( ) ( )( )2 2

i i t i i t i t i tA Ax = e e e e = e eδ ω δ ω ω δ ω δ− − − − −+ +

55

Temas de Física

Aplicando las fórmulas de transformación de Euler, obtendremos como parte real de la función:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2Ax = cos t i sen t cos t i sen t = A cos t ‑ ω δ ω δ ω δ ω δ ω δ− + − + − − −

Que corresponde a la solución general buscada.

2.3. Representación gráfica

La ecuación de movimiento de un oscilador lineal armónico corresponde a la expresión:

( )x A cos t ‑ ω δ=

En la que: A, corresponde a la amplitud, y t ‑ω δ, a la fase, y dentro de ella, ω es la pulsación o frecuencia angular, y δ es el desfase inicial.

Para la velocidad y la aceleración, obtendremos:

( )dxx = = A sen t dt

ω ω δ− −

22

2 ( )xdx = A cos t dt

ω ω δ= − −

Si queremos representar gráficamente la posición, la velocidad y la aceleración de la masa del oscilador para cada instante, dado que co-rresponden a funciones si-nusoidales periódicas, los máximos y mínimos se repe-tirán cada período de tiempo.

Para la posición:

Máximos: ( ) 1Mx = A ; cos t ω δ− = , de donde:

56


2 22M M MTt t k ; t kT

Tπ δω δ δ π

π− = − = = +

Mínimos: ( ) 1mx A ; cos t ‑ = ω δ= − −

2 (2 1) (2 1)2 2m m mT Tt ‑ t = k ; t k

Tπ δω δ δ π

π= − + = + +

Ceros: 0 ( ) 0ox ; cos t ω δ= − =

2 (2 1)2o ot t k

Tπ πω δ δ− = − = +

(2 1)4 2oT Tt k δ

π= + +

Para la velocidad:

Máximos: ( ) 1Mx = A ; sen t ω ω δ− = − , de donde:

2 3 32 4 2M M M

T Tt = t = ; t = + Tπ π δω δ δ

π− −

Mínimos: ( ) 1mx = ‑ A ; sen t ‑ ω ω δ =

22 4 2m m m

T Tt ‑ t ; t + Tπ π δω δ δ

π= − = =

Ceros: 0 ) 0ox ; sen ( t ω δ= − =

22 2o o o

kT Tt t = k ; t = Tπ δω δ δ π

π− = − +

Para la aceleración:

57

Temas de Física

Máximos: 2 ( ) 1Mx A ; cos t = ω ω δ= − − , de donde:

2 (2 1)M Mt ‑ = t = k Tπω δ δ π− +

(2 1)2 2MT Tt = k + + δ

π

Mínimos: 2 ( ) 1mx = A ; cos t ‑ = ω ω δ−

2 22m m mTt ‑ = t = k ; t = kT +

Tπ δω δ δ π

π−

Ceros: 0 ( ) 0ox = ; cos t ‑ = ω δ

2 (2 1) (2 1)2 4 2o o o

T Tt ‑ = t = k + ; t k + + Tπ π δω δ δ

π− =

3. ENERGÍA DE UN OSCILADOR

Al efectuar la primera integración de la ecuación que nos describía el movimiento de un oscilador lineal armónico, obteníamos:

2 2 2

2 2 2m k kx x A+ =

El primer término que figura en esta expresión:

2 2

2 2cm mE = x = v

Corresponde a la energía cinética de la masa m, desplazándose con una velocidad v, luego si la expresión ha de ser homogénea, los otros dos términos corresponderán también a energías. Si tenemos en cuenta que otro tipo de energía mecánica corresponde a la llamada energía potencial, o energía debida a la posición, podemos calcular su valor, teniendo en cuenta que la

58


masa está sometida a la acción de la fuerza que el resorte ejerce sobre ella, por lo que el trabajo que hay que realizar para separarla de su posición de equilibrio corresponde al valor de su energía potencial, y será:

2

2pkE = Fdx = kx dx = x ∫ ∫

El valor máximo que puede alcanzar esta energía potencial es:

2 2

2 2p Max Maxk kE = x = A

Este valor corresponde, igualmente, al valor máximo de la energía cinética:

( )22 2 2

2 2 2 2c Max Maxm m m k kE = x = A = A = A

mω

Esto nos indica que la expresión inicial corresponde a la de la energía total del oscilador lineal armónico, cuyo valor para cada posición x será la suma de su energía cinética más su energía potencial. Si representamos la variación del valor de ambas energías en función de su posición, obtendremos una parábola que pasa por el origen de coordenadas, siendo simétrica respecto a las posiciones negativas y positivas.

Un concepto importante de un movimiento oscilatorio lo consti-tuye su intensidad, entendiendo que se llama intensidad de un mo-vimiento oscilatorio armónico a la energía cinética media en un pe-ríodo, es decir:

2 22 21 1 ( )

2 2

T T

0 0

m AI = m x dt = t dt senT Tω ω∫ ∫

59

Temas de Física

Efectuando el cambio de variable obtenido, teniendo en cuenta la expresión trigonométrica del coseno del ángulo doble:

2 2 22 1 2cos t = cos t sen t sen t ω ω ω ω− = −

Obtenemos para el valor de la intensidad:

2 2 1 22 2

T

0

m A ‑ cos tI = dt T

ω ω∫

2 2 2 222 2 4 4

T

0

m A t sen t m AI = = T

ω ω ωω

−

Teniendo en cuenta la relación de la pulsación con la frecuencia, la intensidad puede escribirse como:

2 2 2 2 22 2 24

4 4m A m f AI = = = m f A ω π π

Es decir, la intensidad de un movimiento oscilatorio es directamente proporcional al cuadrado de su amplitud y al de su frecuencia.

4. ASOCIACIÓN DE RESORTES

Si un oscilador está formado por una masa unida a más de un resorte, siempre que el nú-mero de resortes sea un número finito, podre-mos utilizar todas las expresiones anteriormen-te obtenidas, si calculamos la constante recupe-radora equivalente de la asociación de que se trate. Dado que solo existen dos tipos posibles de asociación, en serie y en paralelo, vamos a calcular la constante equivalente de dos resor-tes, en ambos tipos de asociación, teniendo en cuenta que si la asociación es mixta con más de dos resortes, será necesario aplicar la expresión que en cada caso corresponda, serie o paralelo, a cada par de resortes, hasta hacer intervenir a todos ellos.

60


4.1. Asociación en serie

Una asociación en serie consiste en la unión de cada resorte a continuación del anterior, de tal forma que se aplica la fuerza sobre el último resorte asociado, la deformación sufrida por el conjunto es la suma de las deformaciones parciales que sufre cada resorte asociado, es decir, si consideramos una asociación en serie de dos resortes, tenemos:

1 2totalx x x= +

Dado que: Fx = k

−

sustituyendo en la expresión anterior, obtendremos:

1 21 2

totalE

F F Fx x x k k k

= − = + = − −

De donde:

1 2

1 1 1

E

= + k k k

El inverso de la constante recuperadora equivalente de una asociación en serie de resortes es la suma de los inversos de las constantes recuperadoras de los resortes asociados.

4.2. Asociación en paralelo

Una asociación en paralelo corresponde a la unión de los extremos de cada resorte asociado a un punto común, de tal forma que la deformación que sufre cada resorte es la misma e igual a la deformación total, mientras que la fuerza que produce dicha deformación es distinta para cada resorte, siendo la fuerza total aplicada, la suma de cada fuerza individual, es decir:

1 2 1 2total EF ‑ k x F + F k x k x = = = − −

61

Temas de Física

De donde: 1 2Ek = k + k

La constante recuperadora equivalente de una asociación en paralelo de resortes es la suma de las constantes recuperadoras de los resortes asociados.

5. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS OSCILATORIOS

Para poder calcular cuál es la ecuación del movimiento que describe un punto o masa sobre la que simultáneamente inciden dos o más movimientos oscilatorios, tenemos que aplicar el principio de superposición, que dice que el movimiento resultante sobre un punto de dos o más movimientos concurrentes es la suma de cada uno de ellos, considerando que actúan independientemente.

Por comodidad a la hora de efectuar los cálculos correspondientes, utilizaremos notación compleja, de tal forma que representaremos cada movimiento concurrente por un versor con su módulo y argumento, obteniendo el movimiento real resultante por la proyección sobre el eje real, de la suma de los versores representativos de cada movimiento, teniendo en cuenta que la suma de versores se efectúa de forma idéntica a la suma de vectores.

5.1. Composición de movimientos que se propagan en igual dirección

5.1.a. Movimientos con igual frecuencia y amplitud, y distinto desfase inicial

El decir que dos movimientos oscilatorios tienen igual frecuencia significa que tienen también igual su pulsación y su período, es decir:

1 2 1 2 1 2f = f = = T = Tω ω ω⇒ ⇒

Si la amplitud es la misma:

1 2A = A

Tomamos como desfases ini-ciales:

1 20 0 = ; δ δ ≠

62


Las ecuaciones de ambos movimientos escritas en forma compleja serán:

( )2* *1 1 2 1

i ti tx = A e ; x = A e ω δω −

El movimiento resultante se obtendrá, aplicando el principio de superpo-sición, sumando la ecuación de ambos movimientos:

( )( ) ( )2 2* * *1 2 1 1 1i t ii t i tx = x + x = A e e = A e e ω δ δω ω− −+ +

Esta ecuación corresponde a la ecuación de un movimiento oscilatorio de igual frecuencia que la de los movimientos concurrentes, cuya amplitud es la parte real del número encerrado entre paréntesis, y cuyo desfase inicial tendremos que calcular a través de su tangente, que corresponderá a la parte imaginaria del versor, dividida por su parte real.

La parte real de la amplitud se obtiene calculando el módulo del versor, es decir, multiplicando por su complejo conjugado y extrayendo la raíz cuadrada del número así obtenido, es decir:

( )( ) ( )2 2 2 22 2 2 01 11 1 1i i i iA = A e e = A e e e δ δ δ δ− −+ + + + +

Aplicando las fórmulas de transformación de Euler, obtendremos:

( ) ( )2

2 2 21 1 22 2 2 1A = A cos = A cosδ δ+ +

Si utilizamos la expresión trigonométrica del coseno del ángulo doble, podremos obtener más cómodamente la raíz de la expresión anterior, por lo que teniendo en cuenta:

2 2 22 2 2 22 2 2 1

2 2 2 2cos = cos = cos sen = cos δ δ δ δδ − −

Obtendremos:

2 2 2 2 21 12 2 2

2 2A = A cos ; A = A cos δ δ

63

Temas de Física

El ángulo correspondiente al desfase inicial del movimiento resultante se obtiene a través de su tangente, dividiendo la parte imaginaria por la parte real de la función, pudiendo expresarse en función de sus componentes, obteniendo:

*1 2 2

1 1 2 2

( )( ) 1

x A sen sen tg = = = x A + A cos + cos

δ δδδ δ

ℑℜ

El movimiento resultante es pues un movimiento oscilatorio de igual fre-cuencia que los movimientos concurrentes, cuya ecuación es:

( )x = A cos t ‑ ω δ

5.1.b. Movimientos de igual frecuencia, y distinta amplitud y desfase inicial

Si dos movimientos oscilatorios tienen igual frecuencia, significa que tienen también igual su pulsación y período, es decir:

1 2 1 2 1 2f f = = T = Tω ω ω= ⇒ ⇒

Sus amplitudes serán: 1 2A A≠

Sus desfases iniciales: 1 2 0 δ δ≠ ≠

Las ecuaciones de ambos movi-mientos, escritas en forma com-pleja, serán:

1 2( ) ( )* *1 1 2 2

i t i tx A e ; x A e ω δ ω δ− −= =

El movimiento resultante se obtendrá aplicando el principio de superposi-ción, sumando la ecuación de ambos movimientos:

2)1 1 2(( )* * *1 2 1 2 1 2( )i ti t i i i tx x x [A e A e ] A e A e e ω δω δ δ δ ω−− −= + = + = +

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Esta ecuación corresponde a la ecuación de un movimiento oscilatorio de igual frecuencia que la de los movimientos concurrentes, cuya amplitud es la parte real del número encerrado entre paréntesis, y cuyo desfase inicial tendremos que calcular a través de su tangente, que corresponderá a la parte imaginaria del versor, dividida por su parte real.

La parte real de la amplitud se obtiene calculando el módulo del versor, es decir, multiplicando por su complejo conjugado, y extrayendo la raíz cuadrada del número así obtenido, es decir:

1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )2 2 21 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )i i i i i iA A e A e A e A e A + A + A A e e δ δ δ δ δ δ δ δ− − − − −= + + = +

Aplicando las fórmulas de transformación de Euler, obtendremos:

2 2 21 2 1 2 1 22 ( )A = A + A + A A cos δ δ−

El valor máximo que puede tomar la amplitud será: 1 2MaxA = A + A , y se producirá cuando ambos movimientos están en fase: 1 2 = 0 δ δ−

El valor mínimo de la amplitud será: 1 2minA = A A− ,y se producirá cuando el desfase entre ambos sea: 1 2 = δ δ π−

El ángulo correspondiente al desfase inicial del movimiento resultante se obtiene a través de su tangente, dividiendo la parte imaginaria por la parte real, que en función de sus componentes, nos da:

*1 1 2 2

*1 1 2 2

( )( )

x A sen + A sen tg = = x A cos + A cos

δ δδδ δ

ℑℜ

El movimiento resultante es pues un movimiento oscilatorio de igual frecuencia que la de los movimientos concurrentes, cuya ecuación es:

x = A cos ( t ) ω δ−

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