Teorema electrosttico de Gauss

Teorema electrosttico de Gauss

Pertenece a una de las leyes ms importantes del electromagnetismo, para hacer su deduccin es

necesario aclarar dos conceptos:

1.- ngulo slido.

Un ngulo plano se mide en radianes, medida adoptada en el sistema internacional donde el

radian es la unidad de medida, se dice que un ngulo tiene un radian de magnitud cuando la

longitud del arco de un ngulo central es igual a la magnitud del radio de la circunferencia.

Nosotros no nos miramos en ngulos planos, nos miramos en ngulos solidos porque en nuestra

visin abarcamos una regin del espacio tridimensional, supongamos una esfera y nuestra visin

parte del centro de la esfera abarcando una porcin de la misma, como si del centro de la esfera

nuestra visin fuera como la interseccin de un cono que sale del centro de la esfera y se

intersecta con el casquete de la esfera.

La abertura de las generatrices del cono para ver la superficie de la esfera es el ngulo slido y generalmente se le representa como . La unidad con que se mide el ngulo solido se llama estereorradin (Sr). El ngulo es un estereorradin si la superficie de casquete es igual a

Sea el ngulo solido entre las directrices del cono regular que se muestra y la altura del cono en la que encontramos la superficie entonces:

Quedando as demostrado que el estereorradin es adimensional. Supongamos ahora la superficie elptica que se muestra, y sea un vector unitario, perpendicular a la superficie y que parte de la interseccin del eje con la superficie , tendremos que:

Ntese que

Por lo tanto

El concepto anterior nos sirve para evaluar el ngulo slido para el caso en que tengamos una

superficie macroscpica donde es tan solo un elemento infinitsimo, para evaluar todo el

ngulo solido de dicha superficie se debe integrar de la siguiente manera:

Problema 1.- Con qu ngulo solido se ver toda una esfera desde su centro?

Anlisis: como el vector unitario es perpendicular a la superficie, en un pequeo diferencial del

cascaron de la esfera ser entonces colineal con la lnea de centro que va al pequeo diferencial

de superficie por lo tanto vale cero. Retomando nuestras ecuaciones tendremos entonces:

Si por definicion tenemos que y considerando que el ngulo slido que nos permita ver

todo el cascaron de la esfera esta relacionado con toda su superficie.

Por regla de tres tendremos:

Problema 2.- Con qu ngulo solido se vera un lado de un cubo desde su centro?

Si imaginamos una esfera cuyo centro coincide con el centro del cubo apreciaremos que el ngulo slido que buscamos es la sexta parte del angulo solido con que se observa todo el cascaron de la esfera, por lo tanto:

Entonces:

Al ngulo solido se le considera positivo si desde el punto de observacin se observa la parte

interna de la superficie, ser negativo si lo que se ve es la parte externa.

2.- Flujo de un vector, es un concepto muy importante en el anlisis vectorial. En la dinmica de

fluidos encontramos este concepto en lo que es el caudal de los fluidos, el caudal de un lquido

considerndolo incompresible y sin turbulencias se define como molculas que se desplazan sobre

lneas de corriente paralelas, sin que dichas molculas se salten de una lnea de corriente a otra, si

consideramos que todas las molculas se desplazan a una misma velocidad.

Cunto caudal de lquido pasara por la seccin transversal en el intervalo de tiempo

Tenemos que es el rea transversal, la distancia entre y esta dada por as que

tenemos:

El caudal de lquido estar dado como:

Proponiendo ahora, con el mismo flujo, una superficie con pendiente diferente a la de , tal

como se muestra en la figura.

Sea un vector unitario perpendicular a la superficie tenemos que es el ngulo existente

entre el vector velocidad y el vector .

Por lo tanto; el vector superficie estar dado por:

Por lo que

Para calcular el volumen, como en el caso anterior, existe un plano igualmente inclinado en un

tiempo cero, de tal manera que se forma un paraleleppedo oblicuo. Sabemos que ser igual al

volumen calculado anteriormente.

Por lo tanto el caudal del lquido a travs de la superficie estar dado por:

Observamos que es la magnitud del vector velocidad y es la magnitud del vector superficie,

por lo tanto tenemos que nos representa un producto punto que puede representarse

como:

Por lo tanto el caudal del lquido a travs de la superficie estar dado por:

Podemos manejar, matemticamente, que:

Si la superficie es pequea, podemos considerar la velocidad como constante y al lquido lo

podemos considerar sin turbulencia,

Qu pasa si la superficie es una gran superficie?, Cmo encontramos el caudal a travs de

una gran superficie?

Pues se debe integrar pero considerando que ya no es constante, es constante en el elemento

infinitesimal, el caudal se obtiene como:

Si la superficie es cerrada como en el caso de un lago su caudal estar dado por:

Concepto de flujo

Si en el caso anterior ignoramos a las particulas y solo consideramos los vectores de velocidad de

cada una de ellas, tenemos entonces el campo de velocidades. Si en lugar del campo de

velocidades se tratara de un campo electrico de manera analoga podriamos representar el

fenomeno de la siguiente manera:

Donde:

Es el diferencial de flujo del vector de intensidad del campo electrico

TEOREMA ELECTROSTATICO DE GAUSS

Actualmente sabemos que alrededor de un cuerpo cargado elctricamente se genera un campo

electrosttico, encontrar la relacin entre las cargas y el campo que generan fue contribucin del

prncipe de las matemticas Johann Karl Friedrich Gauss (Alemn: 1777 1855). El teorema

electrosttico de Gauss es fundamental en el campo de la electrosttica y del electromagnetismo

y es ampliamente utilizado para evaluar campos de cuerpos cargados.

Deduccin del teorema

Sea una carga puntual en el espacio, y una superficie infinitesimal en la que evaluaremos el flujo del vector intensidad del campo elctrico creado por la carga , si incorporamos un vector unitario perpendicular a la superficie entonces

podemos hablar del vector superficie como

El ngulo entre el vector superficie y el vector campo elctrico lo llamaremos . Sabemos ya que el diferencial de flujo es:

Resolviendo el producto punto tendremos entonces que:

Recordando que:

| | | |

Recordando que:

Entonces:

En su forma integral, para encontrar el flujo completo en una superficie S cuyo ngulo solido de observacin es , tendramos

Si la superficie S es cerrada y envuelve a toda la carga tendremos:

Cabe aclarar que las superficies en este analisis son hipoteticas, fisicamente nos representan

superficies imaginarias para el analisis del caso.

Calculo del flujo de n cargas puntuales a traves de una superficie cerrada. Como ya se analizo

anteriormente, sobre la superficie infinitesimal tendriamos, de acuerdo al principio de la

superposicion, que:

Resolviendo

Por lo tanto el flujo total de todo el sistema de cargas sera dado por:

Si la superficie S es cerrada desde cada carga veremos a la superficie con el mismo angulo solido.

Problema 1

(complemento de la Ley de Gauss)

Una carga puntual se encuentra fuera de una superficie cerrada S, calcular el flujo del campo

elctrico de esta carga a travs de la superficie.

Solucin

Recordando que el flujo a travs de una superficie est dado por:

Es decir:

Considerando que estamos trabajando con una superficie Gaussiana veremos solo una porcin de

superficie delimitada por las lneas tangentes a la misma. Tomamos pues que la superficie S es un

elemento geomtrico de superficie cercano a la carga, lo que nos delimitan dichas lneas es el

ngulo solido requerido.

El flujo constara entonces de; el flujo a travs de la superficie que se logra ver ms el flujo a travs

de la superficie que no se logra ver denotndolo como:

Para ambas superficies tiene el mismo valor absoluto pero es negativo en la superficie

porque desde donde esta la carga observamos la parte externa de esta superficie, como de la

superficie se ve la parte interna de la misma entonces el valor de es positivo.

Del anlisis anterior tenemos que:

| |

Por lo tanto la expresin

Nos arroja que :

Podemos tener la siguiente conclusiones:

1. El flujo del campo de una carga puntual que se encuentra fuera de una superficie cerrada

es nulo.

2. El flujo del campo de un conjunto de cargas que se encuentran fuera de una superficie

cerrada es nulo.