Teor´ıa de Circuitos II. Notas de Clase – An˜o 2010 · An´asis de Estabilidad con Diagrama de Bode ... las Ecuaciones de Estado y los Diagramas de Bloques. ... La Figura 1.1

Teorıa de Circuitos II.

Notas de Clase – Ano 2010

Ernesto Kofman

Hernan Haimovich

Gustavo Migoni

Mario Bortolotto

Departamento de Control

Facultad de Ciencias Exactas, Ingenierıa y Agrimensura

Universidad Nacional de Rosario

Indice general

1. Elementos de Analisis de Sistemas Lineales 11.1. Modelos Matematicos de Sistemas en Tiempo Continuo y Discreto . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Modelos de Tiempo Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Modelos de Tiempo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3. Interconversion de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.4. Creacion e Interconversion de Modelos con Matlab/Simulink . . . . . . . . . . . . 171.1.5. Sistemas de Parametros Distribuidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2. Herramientas de Analisis de Modelos Externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.1. Estabilidad Externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.2. Criterios de Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.3. Analisis de la Respuesta Temporal en Tiempo Continuo . . . . . . . . . . . . . . . 271.2.4. Analisis de la Respuesta Temporal en Tiempo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.3. Herramientas de Analisis de Modelos Internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.3.1. Solucion de las Ecuaciones de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.3.2. Estabilidad Interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.3.3. Diagonalizacion y Forma Canonica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.3.4. Retratos de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.3.5. Vinculacion entre Modelos Internos y Externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1.4. Herramientas de Discretizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.4.1. Aproximaciones Numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.4.2. Equivalente Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.5. Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2. Analisis de Sistemas Lineales Realimentados 872.1. Esquemas y Modelos de Sistemas Realimentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.1.1. Realimentacion en Modelos Externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.1.2. Realimentacion en Modelos Internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.2. Analisis de Sistemas Realimentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.2.1. Efectos de la Realimentacion sobre la Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.2.2. Efectos de la Realimentacion sobre la Ganancia Estatica . . . . . . . . . . . . . . . 932.2.3. Efectos de la Realimentacion sobre el Ancho de Banda . . . . . . . . . . . . . . . . 952.2.4. Rechazo de Perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.2.5. Efectos de la Realimentacion sobre los Transitorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.2.6. Efectos de la Realimentacion en Tiempo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.3. Lugar Geometrico de las Raıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.3.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.3.2. Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.3.3. Variacion de parametros generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.3.4. Sistemas en tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.3.5. Resumen del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.3.6. Lugar de las raıces con Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.3.7. Polos dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

i

INDICE GENERAL ii

2.3.8. Angulos y centroide de asıntotas∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142.4. Analisis en Frecuencia de Sistemas Realimentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2.4.1. Principio del Argumento y Criterio de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162.4.2. Estabilidad Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.4.3. Analisis de Estabilidad con Diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.4.4. Analisis en Tiempo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126


3. Filtros Analogicos 1333.1. Introduccion y Conceptos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.1.1. Caracterizacion: FT, Amplitud, Fase, Atenuacion y Retardo de Grupo . . . . . . . 1343.1.2. Filtros Selectores de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.1.3. Transmision sin Distorsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3.2. Filtros Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.2.1. Respuesta en Frecuencia de los Filtros Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.2.2. Respuesta al Escalon de un Filtro Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.3. Filtros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.3.1. Respuesta en Frecuencia de los Filtros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.3.2. Plantillas de Filtros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.3.3. Especificaciones de Frecuencia Complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.4. Diseno de la Funcion Transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.4.1. Procedimiento Basico de Diseno para Pasabajos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.4.2. Polos de Perdida y Ceros de Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1503.4.3. Otros Tipos de Filtros: Transposicion de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

3.5. Aproximaciones Clasicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1583.5.1. Filtros de Butterworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1583.5.2. Filtros de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1613.5.3. Otras Aproximaciones Clasicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3.6. Implementacion de Filtros Pasivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1663.6.1. Estructura del Filtro Pasivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1663.6.2. Filtros LC Escalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1673.6.3. Implementacion de Filtros Pasivos Clasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1713.6.4. Ajustes de Parametros y Transposiciones de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . 173


4. Filtros Digitales 1814.1. Principios Basicos del Filtrado Digital de Senales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4.1.1. Representacion de los Filtros Digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.1.2. Muestreo de Senales Analogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1824.1.3. Filtros Digitales Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1824.1.4. Tipos de Filtros Digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

4.2. Diseno de Filtros de Respuesta al Impulso Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854.2.1. Filtros FIR Simetricos y Antisimetricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854.2.2. Respuesta al Impulso de los Filtros Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1864.2.3. Diseno con Ventanas de Filtros de Fase Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

4.3. Diseno de Filtros de Respuesta al Impulso Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1924.3.1. Regla Trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1924.3.2. Diseno por Transformacion Bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194


INDICE GENERAL iii

A. Algunas Tablas Utiles 203A.1. Coeficientes de Butterworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203A.2. Coeficientes de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

A.2.1. Tabla para αmax = 3 dB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203A.2.2. Tabla para αmax = 2 dB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204A.2.3. Tabla para αmax = 1 dB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204A.2.4. Tabla para αmax = 0.5 dB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Capıtulo 1

Elementos de Analisis de SistemasLineales

En este capıtulo veremos en primer lugar diferentes alternativas para representar modelos de sistemasde tiempo continuo y discreto. Luego, estudiaremos distintas herramientas de analisis que nos permitirandeterminar propiedades cualitativas (como la estabilidad) y cuantitativas de la evolucion temporal dedichos sistemas. Finalmente, presentaremos algoritmos y herramientas de software que permiten resolveralgunos de los problemas estudiados en el capıtulo.

1.1. Modelos Matematicos de Sistemas en Tiempo Continuo y

Discreto

Los Sistemas Dinamicos se caracterizan por la presencia de magnitudes que varıan con el tiempo.La evolucion de estas mangnitudes, representadas mediante variables, depende no solo por la accioninstantanea de componentes externos (entradas), sino tambien de las condiciones iniciales de algunas delas variables.

Un Modelo Matematico es la expresion mediante ecuaciones de las relaciones entre las distintas mag-nitudes al que se arriba generalmente tras realizar diversas hipotesis simplificatorias.

Si bien los modelos matematicos pueden clasificarse de muchas formas, una division fundamentaldepende de la manera en que las variables evolucionan en el tiempo. Cuando las variables evolucionancontinuamente con el tiempo se habla de modelos de tiempo continuo, o de sistemas continuos. Cuandola evolucion se da solo en ciertos instantes de tiempo predeterminados se habla de modelos de tiempodiscreto o sistemas de tiempo discreto.

1.1.1. Modelos de Tiempo Continuo

Hay diversas maneras de describir modelos de tiempo continuo. Veremos a continuacion cuatro al-ternativas: la Ecuacion Diferencial Ordinaria, la Funcion Transferencia, las Ecuaciones de Estado y losDiagramas de Bloques.

Ecuacion Diferencial Ordinaria

La Figura 1.1 muestra el esquema de un circuito RLC serie. En este circuito hay dos almacenadores deenergıa: el capacitor y el inductor. Por lo tanto, lo que ocurra con las corrientes y tensiones del circuitodependera no solo de la evolucion de la tension en la fuente sino tambien de las condiciones iniciales endichos almacenadores. El hecho de necesitar dos condiciones iniciales (que podrıan ser la tension en elcapacitor y la corriente en el inductor) implica que estamos ante un sistema de segundo orden.

Del conocimiento de las leyes de cada componente y de la ley de Kirchoff de mallas podemos escribirel siguiente conjunto de ecuaciones que vincula las distintas senales del sistema:

1

CAPITULO 1. ELEMENTOS DE ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES 2

Figura 1.1: Circuito RLC Serie

uR(t) = R i(t)

dq

dt(t) = i(t)

q(t) = C uC(t)

dφ

dt(t) = uL(t)

φ(t) = L i(t)

uL(t) + uR(t) + uC(t) = v(t)

(1.1)

En estas ecuaciones encontramos tres parametros (R, L y C), una variable de entrada v(t) y seisvariables dependientes (i(t), φ(t), uR(t), uC(t), q(t) y uL(t)). Si estamos interesados, por ejemplo, enobservar la tension del capacitor uC(t), diremos entonces que dicha variable dependiente es ademas unavariable de salida.

Si bien en el conjunto de ecuaciones (1.1) estan todas las relaciones que se necesitan para describir ladinamica del circuito, dicho conjunto no constituye verdaderamente un modelo ya que las ecuaciones noestan ordenadas adecuadamente.

Operando sobre las ecuaciones anteriores, y reemplazando todo en funcion de uC(t) llegamos a lasiguiente Ecuacion Diferencial Ordinaria (EDO):

L Cd2uCdt2

(t) +R CduCdt

(t) + uC(t) = v(t)

Para simplificar la notacion, escribiremos a partir de aquı uC en lugar de duC

dt . De esta manera, laEDO quedara

L C uC(t) +R C uC(t) + uC(t) = v(t) (1.2)

La Ecuacion Diferencial Ordinaria constituye un modelo externo o modelo entrada/salida, ya quesolo describe las ecuaciones que vinculan las entradas y salidas del sistema. En dicho modelo no hay enprincipio ninguna informacion sobre el resto de las variables dependientes.

La Ec.(1.2) es una EDO de segundo orden, ya que la variable de salida aparece derivada dos veces.Si en lugar de interesarnos la tension del capacitor uC(t), tomamos como salida la tension en la

resistencia uR(t), obtenemos la siguiente EDO:

L

RuR(t) + uR(t) +

1

R CuR(t) = v(t) (1.3)

Esta nueva EDO es tambien de segundo orden. Muchas veces el orden de la EDO no cambiara altomar distintas salidas; sin embargo, veremos mas adelante que en ciertos casos esto no se cumplira.

Una particularidad de la EDO (1.3) es que en la misma aparece la derivada de la entrada.Multiplicando ambos lados de la Ec.(1.3) por R C, obtenemos:

L C uR(t) + R C uR(t) + uR(t) = R C v(t) (1.4)

En esta ultima ecuacion queda en evidencia que no solo el orden es el mismo, sino que tambien loscoeficientes del lado izquierdo son los mismos que los de la Ec.(1.2). El hecho que coincidan los coeficientes


al tomar distintas salidas tampoco es casual. Como veremos tambien mas adelante, es una caracterısticaque se cumplira casi siempre.

En un caso general, las Ecuaciones Diferenciales Lineales y Estacionarias tendran la siguiente forma:

an y(n)(t) + · · ·+ a1 y(t) + a0y(t) = bm u(m)(t) + · · ·+ b1 u(t) + b0 u(t) (1.5)

donde y(t) es la variable de salida, u(t) es la variable de entrada, y los ai y bj son parametros constantes.El entero n es el orden de la EDO (el numero maximo de veces que aparece derivada la salida).

Funcion Transferencia

El objetivo de trabajar con modelos tales como el de la Ec.(1.2) es generalmente el de obtener carac-terısticas cuantitativas o cualitativas del comportamiento del sistema representado. Si conocieramos porejemplo la trayectoria de la entrada v(t), podrıamos resolver la EDO (1.2) y calcular la evolucion de latension en el capacitor uC(t).

Una herramienta que simplifica notablemente el trabajo con EDOs lineales es la Transformada deLaplace, ya que en el dominio transformado las derivadas se convierten en operaciones algebraicas. Deesta manera, las ecuaciones diferenciales se transforman en ecuaciones algebraicas donde la evolucion dela salida puede despejarse de manera sencilla.

Por ejemplo, suponiendo condiciones iniciales nulas para uC(t) y para uC(t) y aplicando la transfor-mada de Laplace, la Ec.(1.2) queda:

L C s2 UC(s) +R C s UC(s) + UC(s) = V (s)

donde UC(s) es la transformada de uC(t) y V (s) es la transformada de v(t).De esta ultima ecuacion podemos despejar una expresion (en el dominio transformado) para la tension

en el capacitor en funcion de la tension de entrada:

UC(s) =1

L C s2 +R C s+ 1V (s) = G1(s) V (s) (1.6)

En esta ultima expresion, definimos

G1(s) ,UC(s)

V (s)=

1

L C s2 +R C s+ 1V (s) (1.7)

que es la denominada Funcion Transferencia (FT) del sistema.La FT, al igual que la EDO, constituye un modelo externo o modelo entrada/salida del sistema ya

que solo vincula entradas y salidas.La Ec.(1.7) constituye una Funcion Transferencia de segundo orden ya que el denominador de la

misma es un polinomio en s de orden 2.Si tomamos ahora como salida la tension en la resistencia, aplicando la transofrmada de Laplace a la

Ec.(1.4) y suponiendo condiciones iniciales nulas, tenemos:

UR(s) =R C s

L C s2 +R C s+ 1V (s) , G2(s) V (s) (1.8)

Como vemos, la nueva Funcion Transferencia G2(s) es tambien de orden 2 y tiene el mismo polinomiodenominador que la G1(s). Estas coincidencias obedecen a las mismas causas que las coincidencias en-contradas entre las EDOs (1.1) y (1.4).

Para el caso general lineal y estacionario de la EDO de la Ec.(1.5), suponiendo condiciones inicialesnulas, aplicando la transformada de Laplace y despejando, la Funcion Transferencia queda:

G(s) =bm sm + · · ·+ b1 s+ b0an sn + · · ·+ a1 s+ a0

(1.9)

Esta es una Funcion Transferencia Racional1, ya que se trata del cociente de dos polinomios en s. Eneste caso el orden de la FT es n (maxima potencia de s en el denominador).

1Aquı no consideramos la presencia de retardos. En tal caso, aparecen terminos de la forma e−τs y la FT deja de serracional.


Se define tambien el grado relativo r , n−m y la Funcion Transferencia se denomina propia si r ≥ 0,estrictamente propia si r > 0 e impropia si r < 0.

En sistemas con multiples entradas y/o salidas, se utiliza una Matriz Transferencia, en la que elelemento i, j de la matriz es la Funcion Transferencia entre la j–esima entrada y la i–esima salida. Porejemplo, en el modelo del circuito si consideramos como salidas las variables uC(t) y uR(t), tendremos lasiguiente Matriz Transferencia:

Gc(s) =

[

G1(s)G2(s)

]

y la expresion para las salidas sera la siguiente:

[

UC(s)UR(s)

]

, Yc(s) = Gc(s) V (s)

En general, dado un sistema de m entradas y p salidas, la matriz transferencia toma la forma:

G(s) =

G1,1(s) · · · G1,m(s)...

. . ....

Gp,1(s) · · · Gp,m(s)

donde cada la componente Gi,j se define como

Gi,j ,Yi(s)

Uj(s)

y de donde resultaY(s) = G(s) ·U(s)

con

Y(s) =

Y1(s)...

Yp(s)

; U(s) =

U1(s)...

Um(s)

Ecuaciones de Estado

Los modelos externos tales como las EDOs y la FT tienen como principal ventaja que son relativamentesencillos de analizar. Sin embargo, en dichos modelos se pierde toda informacion sobre la evolucion delas variables dependientes que no son salidas y sobre la eventual presencia de condiciones iniciales en lasmismas.

Consideremos por ejemplo el circuito de la Fig.1.2. Este circuito es similar al RLC serie de la Fig.1.1excepto que cuenta con una rama RC adicional en paralelo con la fuente. La presencia de un almacenadoradicional (C2) hace que este nuevo circuito constituya un sistema de tercer orden.

Figura 1.2: Circuito RLC Serie con una rama en paralelo

Si escribimos la EDO para este nuevo circuito tomando como salida la tension en el capacitor C,encontraremos nuevamente la Ec.(1.2) mientras que la FT sera la de la Ec.(1.7). Esto se debe a que lanueva rama constituida por los elementos C2 y R2 no influye de ninguna manera sobre el resto del circuitoy por lo tanto la dinamica de la tension en el capacitor C sera la misma que antes.


En consecuencia, ni la EDO ni la FT contienen informacion alguna sobre lo que ocurre en el capacitorR2 y en la resistencia C2. Mas aun, como analizamos antes el circuito es un sistema de tercer orden perolos modelos mencionados son solo de segundo orden.

Hay otro tipo de modelos que, si bien pueden requerir algunas herramientas mas avanzadas de analisis,preservan la informacion relativa a las condiciones iniciales y a las variables relevantes del sistema.

Para introducir el primero de estos tipos de modelos volveremos a las ecuaciones originales del circuitoRLC original dadas en la Ec.(1.1) y despejaremos las expresiones de las derivadas de la corriente i(t) yla tension uC(t) en funcion de dichas variables y de la entrada v(t):

duCdt

(t) =1

Ci(t)

di

dt(t) = − 1

LuC(t)−

R

Li(t) +

1

Lv(t)

(1.10)

Este modelo, compuesto por dos ecuaciones diferenciales de primer orden, se denomina sistema de Ecua-ciones de Estado (EE). El modelo consta de dos variables de estado i(t) y uC(t) y una variable de entradav(t). El orden es el numero de variables de estado, en este caso dos.

Los sistemas de ecuaciones de estados son modelos internos que no dependen en principio de quevariables dependientes elijamos como salida.

El conocimiento de todas las variables de estado y de entrada en un instante cualquiera permitecalcular en dicho instante cualquier otra variable dependiente. Por ejemplo, si nos interesa calcular latension en la resistencia uR(t) podemos hacerlo con la ecuacion

uR(t) = R i(t) (1.11)

que en este caso depende solo de una de las variables de estado.La Ecuacion (1.11) se denomina Ecuacion de Salida (ES) y en la misma, la tension en la resistencia

uR(t) se llama Variable de Salida.Si ademas de la tension en la resistencia, nos interesa tomar como salida la tension en la inductancia

podemos agregar una nueva ecuacion de salida:

uL(t) = v(t) − uC(t)−R i(t) (1.12)

Si en cambio buscamos las EE del circuito de la Fig.1.2, obtenemos las siguientes.

duCdt

(t) =1

Ci(t)

di

dt(t) = − 1

LuC(t)−

R

Li(t) +

1

Lv(t)

duC2

dt(t) = − 1

R2 C2uC2

+1

R2 C2v(t)

(1.13)

A diferencia de lo que ocurrıa con la EDO y con la FT, en este modelo sı aparece la informacion sobre loque ocurre en la nueva rama del circuito y se preserva el orden del sistema.

En el caso lineal y estacionario, los sistemas de ecuaciones de estado/ecuaciones de salida se suelenescribir de manera matricial. Por ejemplos, las Ecs.(1.10), (1.11) y (1.12) pueden reunirse de la siguienteforma:

[

duC

dt (t)didt (t)

]

=

[

0 1C

− 1L −R

L

] [

uC(t)i(t)

]

+

[

01L

]

v(t) (1.14)

[

uR(t)uL(t)

]

=

[

0 R−1 −R

] [

uC(t)i(t)

]

+

[

01

]

v(t) (1.15)

En general, las ecuaciones de estado de un sistema lineal y estacionario de orden n con m entradas yp salidas se escribiran como sigue:


x(t) = A x(t) +B u(t)

y(t) = C x(t) +D u(t)(1.16)

donde

x(t) ,

x1...xn

; u(t) ,

u1...um

; y(t) ,

y1...yp

son los vectores de estado, entrada y salida respectivamente. Ademas

A ,

a1,1 . . . a1,n...

. . ....

an,1 . . . an,n

; B ,

b1,1 . . . a1,m...

. . ....

bn,1 . . . bn,m

(1.17)

C ,

c1,1 . . . c1,n...

. . ....

cp,1 . . . cp,n

; D ,

d1,1 . . . d1,m...

. . ....

dp,1 . . . dp,m

(1.18)

se denominan matrices de evolucion, entrada, salida y transferencia directa respectivamente.Volviendo al ejemplo del circuito, en el mismo elegimos como variables de estado la tension en el

capacitor y la corriente en la bobina. Esta eleccion fue en realidad arbitraria y podrıamos haber tomadoen su lugar cualquier juego de variables que resulte de distintas combinaciones lineales de i y de uC .

Por ejemplo, tomando como variables de estado la tension en la resistencia uR(t) y la carga en el

capacitor q(t) = uC(t)C , resultan las siguientes ecuaciones de estado

q(t) =1

RuR(t)

uR(t) = − R

L Cq(t)− R

LuR(t) +

R

Lv(t)

(1.19)

y las siguientes ecuaciones de salida:

uR(t) = uR(t)

uL(t) = − 1

Cq(t)− uR(t) + v(t)

(1.20)

Las Ecs.(1.14)–(1.15) representan exactamente el mismo sistema que las Ecs.(1.19)–(1.20). La unicadiferencia es que realizamos un cambio de variables.

Mas adelante formalizaremos y veremos como aprovechar esta posibilidad de expresar los sistemas deecuaciones de estado en diferentes variables.

Diagramas de Bloques

Las ecuaciones diferenciales, funciones y matrices transferencia y los sistemas de ecuaciones de estadopermiten representar los modelos (externos o internos segun el caso) mediante expresiones matematicas.

Una herramienta muy utilizada que permite representar graficamente las expresiones matematicasmencionadas la constituyen los Diagramas de Bloques (DB). En los DBs las variables se representanmediante flechas y las operaciones matematicas mediante distintos bloques.

Retomando el ejemplo del circuito, partiendo nuevamente de las expresiones originales de la Ec.(1.1),podemos construir el DB de la Figura 1.3.

Los bloques que conforman este DB pueden discriminarse en dos grandes categorıas: estaticos ydinamicos.

Los bloques estaticos realizan operaciones estaticas donde el valor instantaneo de la salida dependeunicamente del valor instantaneo de las entradas del bloque. Entre ellos encontramos al bloque sumador


Figura 1.3: Diagrama de Bloques del Circuito RLC Serie

y a los bloques ganancia (denominamos ası a los bloques que multiplican una senal por una constante).En sistemas lineales y estacionarios, solo podremos encontrar estos dos tipos de bloques estaticos ya quelas sumas y productos por constantes son las unicas operaciones estaticas lineales.

Por otro lado, los bloques dinamicos calculan operaciones dinamicas en las cuales el valor de la salidano depende solo del valor instantaneo de las entradas sino tambien de la historia del valor de las entradasy eventualmente de las condiciones iniciales. Dentro de esta categorıa encontramos aquı a los integradores.

Existen muchas formas de construir el DB a partir de un sistema de ecuaciones. Una alternativa alDiagrama de Bloques de la Fig.1.3 la constituye el DB de la Fig.1.4.

Figura 1.4: Diagrama de Bloques del Circuito RLC Serie utilizando derivadores

En este caso, se utilizaron bloques derivadores en lugar de integradores. Los derivadores son tambienbloques dinamicos pero en general buscaremos evitar su uso por razones que veremos mas adelante en elcurso.

Volviendo al Diagrama de Bloques de la Fig.1.3, en el mismo aparece la entrada v(t), las seis variablesdependientes del modelo, y dos de ellas (uC(t) y uR(t)) estan indicadas como salidas. La presencia detodas las variables dependientes hace que este DB sea un modelo interno mas detallado aun que el de lasEcuaciones de Estado.

Sin embargo, podemos construir tambien DBs con menos detalle para el mismo modelo utilizandobloques que realicen operaciones mas complejas o incluso reemplazando todo el sistema por un unicobloque.

Por ejemplo, el DB de la Figura 1.5 concentra directamente la FT en un unico bloque.

Figura 1.5: Diagrama de Bloques del Circuito RLC Serie en el Dominio de Laplace

1.1.2. Modelos de Tiempo Discreto

Como veremos a continuacion, hay varias maneras de describir modelos de tiempo discreto. Pre-sentaremos entonces las Ecuaciones en Diferencias, la Funcion Transferencia Discreta, las Ecuaciones de


Estado Discretas y los Diagramas de Bloques Discretos y veremos que son analogas a sus contrapartescontinuas.

Ecuaciones en Diferencias

Consideremos un sistema que recibe muestras de una senal a una frecuencia de 44.1 kHz y los procesa,produciendo una salida a la misma frecuencia. Denominaremos T = 1/44100 al perıodo de muestreo.

Supongamos que el procesamiento lo hace con la siguiente logica: la salida en el k–esimo instante demuestreo es el valor de la entrada en dicho instante multiplicada por 3, menos 1.6 por el valor de la salidaen el instante anterior, menos 0.7 por el valor de la salida dos instantes antes. Esto es:

y(k T ) = 3 u(kT )− 1.6 y((k − 1) T )− 0.7 y((k − 2) T ) (1.21)

Esta ultima expresion se denomina Ecuacion en Diferencias (ED). Analogamente a la Ecuacion Diferen-cial Ordinaria, la variable y(k T ) se denomina salida y la variable u(k T ) es la entrada.

Generalmente, para ahorrar notacion, el argumento k T se reemplaza por k o directamente por elsubındice k en la correspondiente variable. Ademas, al igual que en las EDOs, la Ecuacion en Diferenciasse suele ordenar de manera que las salidas esten en el lado izquierdo y las entradas en el lado derecho.

Con estas consideraciones, la Ec.(1.21) queda:

yk + 1.6 yk−1 + 0.7 yk−2 = 3 uk (1.22)

Esta ED es de segundo orden (porque hay que recordar dos valores anteriores de la salida), lineal yestacionaria.

En general, las ED lineales y estacionarias tomaran la forma:

αη yk + · · ·+ α0 yk−η = βℓ uk + · · ·+ β0 uk−ℓ (1.23)

El orden de la ED sera el maximo valor entre η y ℓ.

Funcion Transferencia Discreta

En los modelos de tiempo continuo, el uso de la Transformada de Laplace permitıa transformar lasecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas, lo que simplificaba de gran manera su manipulacion.Aplicando dicha transformada, podıamos reducir una EDO a una Funcion Transferencia.

En los modelos de tiempo discreto, es la Transformada Z la que cumple este rol.Aplicando entonces la Transformada Z a la Ec.(1.22) obtenemos:

Y (z) + 1.6 z−1 Y (z) + 0.7 z−2 Y (z) = 3 U(z)

de donde podemos despejar

Y (z) =3 z2

z2 + 1.6 z + 0.7U(z) , G(z) U(z) (1.24)

donde G(z) se denomina Funcion Transferencia Discreta (FTD).Para el caso general con una entrada y una salida, la FTD toma la forma:

G(z) =bm zm + · · ·+ b1 z + b0an zn + · · ·+ a1 z + a0

(1.25)

donde en general se cumplira que n ≥ m ya que de otra forma el sistema no serıa causal, es decir, lasalida dependerıa de valores futuros de la entrada.

Al igual que en el caso continuo, en presencia de multiples entradas y/o salidas se obtiene una Matrizde Transferencia Discreta formada por funciones transferencias discretas entre cada entrada y cada salida.


Ecuaciones de Estado Discretas

Los modelos brindados por la ED y por la FTD solo relacionan entradas y salidas, es decir, sonmodelos externos. Como en las EDOs y las FTs continuas, estos modelos tienen limitaciones respecto ala presencia de condiciones iniciales y a la presencia eventual de dinamica que no se refleja en la relacionentrada–salida.

Al igual que en el caso continuo, en los sistemas de tiempo discreto pueden plantearse tambien modelosinternos.

Si tomamos la Ec.(1.22) y definimos x1(k) , y(k − 2) y x2(k) , y(k − 1) podemos reescribir2

x1(k + 1) = x2(k)

x2(k + 1) = −0.7 x1(k)− 1.6 x2(k) + 3 u(k)(1.26)

lo que se denomina Ecuacion de Estados Discreta (EED). Al igual que en sus analogas continuas, lasvariables x1(k) y x2(k) se denominan variables de estado y u(k) se denomina variable de entrada. Elorden de la EED es igual al numero de variables de estado (dos en este caso).

Tambien aquı pueden definirse Ecuaciones de Salida para calcular las variables de salida. En este caso,la Ecuacion de Salida sera:

y(k) = −0.7 x1(k)− 1.6 x2(k) + 3 u(k) (1.27)

En los casos lineales y estacionarios como este, la EED y la ES pueden tambien escribir de maneramatricial:

[

x1(k + 1)x2(k + 1)

]

=

[

0 1−0.7 −1.6

] [

x1(k)x2(k)

]

+

[

03

]

u(k) (1.28)

y(k) =[

−0.7 −1.6]

[

x1(k)x2(k)

]

+ 3 u(k) (1.29)

En general, las ecuaciones de estado de un sistema lineal y estacionario de orden n con m entradas yp salidas se escribiran como sigue:

x(k + 1) = A x(k) + B u(k)

y(k) = C x(k) +D u(k)(1.30)

donde

x(k) ,

x1...xn

; u(k) ,

u1...um

; y(k) ,

y1...yp

son los vectores de estado, entrada y salida respectivamente. Ademas, las matrices A, B, C y D tienenidenticas definiciones que en el caso continuo, dadas por las Ecs.(1.17) y (1.18).

Diagramas de Bloques Discretos

Los Diagramas de Bloques son una manera grafica de representar las ecuaciones que vinculan lassenales de los modelos matematicos. Como ya vimos, hay dos categorıas de operaciones que puedenrealizarse: las estaticas, que vinculan los valores instantaneos de las senales, y las dinamicas, dondeaparecen dependencias de valores pasados.

Independientemente de la naturaleza continua o discreta del modelo, las unicas operaciones estaticaslineales son las sumas y las multiplicaciones por constantes. Por este motivo, en los Diagramas de BloquesDiscretos encontraremos los mismos bloques estaticos que en los continuos, esto es, sumadores y ganancias.

Por el contrario, no encontraremos aquı integradores ni derivadores, ya que dichas operaciones sonsolo pertinentes a las senales continuas. En su lugar, encontraremos un bloque de retardo discreto querealizara la operacion y(k) = u(k − 1). Este bloque suele representarse mediante el sımbolo z−1, ya elmismo denota el operador retardo unitario en el dominio de la transformada Z.

Con estas consideraciones, el DB del filtro de la Ec.(1.22) sera el que se muestra en la Figura 1.6.

2Para evitar subındices de subındices, en las Ecuaciones de Estado Discretas se suele notar y(k) en lugar de yk.


Figura 1.6: Diagrama de Bloques del Filtro Discreto

1.1.3. Interconversion de Modelos

Como vimos con el ejemplo del circuito RLC, un mismo sistema continuo puede representarse alter-nativamente mediante la EDO, la FT, las Ecuaciones de Estado o un Diagrama de Bloques.

Si aun no tenemos un modelo pero conocemos las ecuaciones que vinculan las distintas variables, lomas sencillo sera construir un Diagrama de Bloques. El DB es una herramienta muy util para construirnuevos modelos a partir de ecuaciones y/o de a partir de modelos mas simples. Sin embargo, es muydifıcil establecer a priori propiedades de estabilidad o determinar la forma de la respuesta temporal delsistema a partir del DB.

La Funcion Transferencia en cambio, no es facil de obtener a partir de conocer las distintas ecuaciones.Sin embargo, la simple inspeccion del polinomio denominador permite deducir muchas propiedades deestabilidad y de la respuesta temporal y frecuencial. El mismo comentario vale para la EDO, ya que dehecho ambos modelos son muy similares.

Las Ecuaciones de Estado por su parte no son tampoco triviales de obtener. Sin embargo, puedendeducirse facilmente de las mismas las propiedades de estabilidad y de la respuesta temporal, teniendo encuenta de manera muy simple la presencia de condiciones iniciales. De hecho, esta es la representacion quepermite simular los sistemas. A diferencia de la FT, no son obvias en esta representacion las caracterısticasde la respuesta en frecuencia.

Para el caso de los sistemas de tiempo discreto, valen tambien los mismos comentarios.En definitiva, la conveniencia de utilizar uno u otro tipo de modelo dependera de lo que pretendamos

hacer y por este motivo es muy util poder convertir modelos entre las distintas representaciones.Veremos a continuacion las distintas alternativas.

EDO → FT / ED → FTD

El procedimiento para pasar de la EDO a la FT es elemental y consiste en aplicar la Transformadade Laplace a la EDO y despejar la expresion de la salida sobre la entrada en el dominio transformado.

Por ejemplo, dada le EDO

y(t) + a1 y(t) + a0 y(t) = b1 u(t) + b0 u(t)

aplicando la Transformada de Laplace (y suponiendo condiciones iniciales nulas), obtenemos:

s2 Y (s) + a1 s Y (s) + a0 Y (s) = b1 s U(s) + b0 U(s)

de donde, agrupando y despejando llegamos a la siguiente expresion:

G(s) =Y (s)

U(s)=

b1 s+ b0s2 + a1 s+ a0

El caso discreto es totalmente analogo. Por ejemplo, dada la ED generica3:

an yk + · · ·+ a0 yk−n = bn uk + · · ·+ b0 uk−n

3Para simplificar el procedimiento pusimos todos los coeficientes que multiplican entradas y salidas. Algunos de ellospodrıan ser nulos.


aplicando la transformada Z obtenemos

an Y (z) + · · ·+ a0 z−n Y (z) = bn U(z) + · · ·+ b0 z

−n U(z)

multiplicando ambos miembros por zn, agrupando y despejando, llegamos a

G(z) =Y (z)

U(z)=

bn zn + · · ·+ b1 z + b0

an zn + · · ·+ a1 z + a0

FT→EDO / FTD→ED

El procedimiento para obtener la EDO a partir de la Funcion Transferencia consiste simplemente enrealizar el camino inverso al caso EDO→FT. Lo mismo vale para el caso discreto.

EE/ES→FT / EED/ES→FTD

La obtencion de la Funcion Transferencia a partir de las Ecuaciones de Estado requiere un poco masde trabajo algebraico que los casos anteriores. De todas maneras, el procedimiento se reduce a aplicar laTransformada de Laplace a las EE/ES y despejar la expresion Y (s)/U(s) eliminando de las ecuacioneslas transformadas de los estados.

Consideremos por ejemplo el sistema de EE/ES siguiente:

x1(t) = x2(t)

x2(t) = x3(t)

x3(t) = −a0 x1(t)− a1 x2(t)− a2 x3(t) + u(t)

y(t) = b0 x1(t) + b1 x2(t)

(1.31)

Aplicando la Transformada de Laplace obtenemos:

s X1(s) = X2(s)

s X2(s) = X3(s)

s X3(s) = −a0 X1(s)− a1 X2(s)− a2 X3(s) + U(s)

Y (s) = b0 X1(s) + b1 X2(s)

(1.32)

De las dos primeras ecuaciones podemos despejar

X3(s) = s2 X1(s)

y reemplazando X2(s) y X3(s) en funcion de X1(s) en la tercer ecuacion, resulta:

s3 X1(s) = −a0 X1(s)− a1 s X2(s)− a2 s2X1(s) + U(s)

de donde,

X1(s) =1

s3 + a2 s2 + a1 s+ a0U(s)

Finalmente, usando esta ultima expresion en la ultima ecuacion del sistema (1.32), y teniendo en cuentaque Y (s) = b0 X1(s) + b1 s X1(s) tenemos

G(s) =Y (s)

U(s)=

b0 + b1 s

s3 + a2 s2 + a1 s+ a0(1.33)

En este caso, puede observarse que los coeficientes del denominador de la FT se corresponden con losde x3 en la Ec.(1.31). Ademas, los coeficientes del numerador se corresponden con los de la Ecuacion deSalida.

Estas coincidencias no son casuales, sino que se deben a que las EE/ES (1.31) estan dadas en laforma canonica de controlabilidad. Si las EE/ES no hubieran estado dado en esta forma, no existirıa estacorrepondencia.


El pasaje de las EE/ES a la FT puede resolverse de forma generica. Dado el sistema de EE/ES

x(t) = A x(t) +B u(t)

y(t) = C x(t) +D u(t)

si aplicamos la Transformada de Laplace al mismo, obtenemos:

s X(s) = A X(s) +B U(s)

Y(s) = C X(s) +D U(s)

de la primera ecuacion se puede despejar:

(s I −A) X(s) = B U(s) ⇒ X(s) = (s I −A)−1 B U(s)

y luegoY (s) = (C (s I − A)−1 B +D) U(s)

de dondeG(s) = C (s I −A)−1 B +D (1.34)

Si el sistema tiene una entrada y una salida (u(t) e y(t) son escalares), la ecuacion anterior brinda unaexpresion para la Funcion Transferencia. Si hay multiples entradas y/o salidas, la ecuacion nos da laexpresion de la Matriz Transferencia.

El caso discreto es muy similar. Por ejemplo, consideremos el sistemas de EED/ES de tercer orden:

x1(k + 1) = −a2 x1(k) + x2(k) + b2 u(k)

x2(k + 1) = −a1 x1(k) + x3(k) + b1 u(k)

x3(k + 1) = −a0 x1(k) + b0 u(k)

y(k) = x1(k)

(1.35)

Aplicando la Transformada Z obtenemos

z X1(z) = −a2 X1(z) +X2(z) + b2 U(z)

z X2(z) = −a1 X1(z) +X3(z) + b1 U(z)

z X3(z) = −a0 X1(z) + b0 U(z)

y(k) = x1(k)

(1.36)

Multiplicando ambos miembros de la segunda ecuacion por z y reemplazando con la tercera ecuacionobtenemos

z2 X2(z) = −a1 z X1(z) + z X3(z) + b1 z U(z) =

= −a1 z X1(z)− a0 X1(z) + b0 U(z) + b1 z U(z)

Multiplicando ahora la primer ecuacion del sistema (1.36) por z2 y reemplazando con la ultima expresion,tenemos:

z3 X1(z) = −a2 z2 X1(z) + z2 X2(z) + b2 z2 U(z)

= −a2 z2 X1(z)− a1 z X1(z)− a0 X1(z) + b0 U(z) + b1 z U(z)+

+ b2 z2 U(z)

de donde,Y (z)

U(z)=X1(z)

U(z)=

b2 z2 + b1 z + b0

a2 z2 + a1 z + a0(1.37)


De manera similar a lo que ocurrio antes, la coincidencia entre los coeficientes de la FTD y los quemultiplican a x1(k) y a u(k) en las EED/ES originales se deben a que el sistema (1.35) esta dado en laForma Canonica de Observabilidad.

De forma analoga al caso continuo, las Ecuaciones de Estado Discretas pueden convertirse generica-mente en Funciones Transferencia Discretas. Dado el sistema:

x(k + 1) = A x(k) + B u(k)

y(k) = C x(k) +D u(k)

aplicando la Transformada Z y procediendo analogamente al caso continuo, se obtiene la Funcion (oMatriz) Transferencia Discreta:

G(z) = C (z I −A)−1 B +D (1.38)

EE/ES → EDO / EED/ES → ED

Dado que el pasaje de la FT a la EDO es trivial, podemos obtener la EDO de las EE/ES convirtiendoestas ultimas en una Funcion Transferencia y luego haciendo FT → EDO. El mismo comentario vale parael caso discreto.

FT → EE/ES / FTD → EED/ES

Dada una Funcion Transferencia, existen en realidad infinitos modelos de Ecuaciones de Estado ySalida que muestran tal comportamiento externo. Esto ya lo habıamos mencionado en el ejemplo intro-ductorio del circuito RLC, donde tenıamos distintas opciones para elegir las variables de estado.

Entre la infinidad de posibilidades para obtener modelos de EE/ES a partir de la FT, hay dos de ellasque son muy atractivas por su simplicidad. Estas alternativas son las que conducen a las EE/ES en lasformas canonicas de controlabilidad y observabilidad que mencionamos antes.

De hecho, vimos que si partıamos de un sistema de EE/ES como el de la Ec.(1.31) (forma canonicade controlabilidad), obtenıamos la FT de la Ec.(1.33).

Podemos aprovechar esto para seguir el camino inverso: dada una FT generica, todo lo que debemoshacer es escribir las EE/ES en dicha forma canonica.

Dada entonces la FT generica4

G(s) =βn s

n + · · ·+ β1 s+ β0αn sn + · · ·+ α1 s+ α0

comenzaremos por reescribir la misma de manera que aparezca como la suma de una FT estrictamentepropia y una constante; dividiendo ademas denominador y numerador por αn. De esta manera arribamosa la FT normalizada:

G(s) =bn−1 s

n−1 + · · ·+ b1 s+ b0sn + an−1 sn−1 + · · ·+ a1 s+ a0

+ d (1.39)

Luego, las EE resultan:

x(t) =

0 1 0 0 · · · 00 0 1 0 · · · 0...

.... . .

. . .. . .

...0 0 0 0 · · · 1

−a0 −a1 −a2 −a3 · · · −an−1

x(t) +

00...01

u(t) (1.40)

y la ES queda:y(t) =

[

b0 b1 · · · bn−1

]

x(t) + d u(t) (1.41)

Para el caso discreto, el procedimiento es identico.

4Aunque el numerador parezca tener el mismo orden que el denominador, algunos coeficientes del primero podrıan sernulos.


En ambos casos (continuo y discreto) puede alternativamente utilizarse la forma canonica de observ-abilidad. Por ejemplo, para el caso discreto, partiendo de la FTD normalizada:

G(z) =bn−1 z

n−1 + · · ·+ b1 z + b0zn + an−1 zn−1 + · · ·+ a1 z + a0

+ d (1.42)

se obtienen las EED:

x(k + 1) =

−a0 1 0 0 · · · 0−a1 0 1 0 · · · 0...

.... . .

. . .. . .

...−an−2 0 0 0 · · · 1−an−1 0 0 0 · · · 0

x(t) +

bn−1

bn−2

...b1b0

u(k) (1.43)

y la Ecuacion de Salida:y(k) =

[

1 0 · · · 0]

x(k) + d u(k) (1.44)

EDO → EE/ES / ED → EED/ES

Para obtener las EE/ES desde la EDO puede aprovecharse que el pasaje de la EDO a la FT es trivial,y luego realizar FT → EE/ES. Para el caso discreto vale la misma idea.

DB → FT / DB → FTD

La conversion desde el Diagrama de Bloques hacia la Funcion Transferencia requiere tambien ciertamanipulacion algebraica. El procedimiento consiste basicamente en convertir al dominio de Laplace elDB y luego leer las ecuaciones y reemplazar todo en funcion de la entrada.

Por ejemplo, retomando el DB del circuito RLC de la Figura 1.3 de la pagina 7, el primer pasoconsistira en llevar dicho Diagrama de Bloques al dominio de Laplace. Para esto, reemplazaremos lassenales y convertiremos los integradores en bloques ganancia con el valor 1/s. El DB resultante se muestraen la Fig.1.7

Figura 1.7: Diagrama de Bloques del Circuito RLC Serie en el Dominio Transformado

A partir de este DB podemos leer facilmente:

UC(s) =1

C sI(s)

y ademas,

I(s) =1

L s(V (s)− UC(s)−R I(s)) =

1

L s(V (s)− 1

C sI(s)−R I(s))

de donde podemos despejar

I(s) =C s

L C s2 +R C s+ 1V (s)

y finalmente,

UC(s) =1

L C s2 +R C s+ 1V (s) = G(s) V (s)


que coincide con la FT que habıamos obtenido en la Ec.(1.7).El caso discreto es completamente analogo y lo que debemos hacer es reemplazar las senales por las

correspondientes al dominio de la Transformada Z y los retardos unitarios por ganancias de valor z−1.Con estas consideraciones, el DB del ejemplo del filtro discreto de la Fig.1.6 en la pagina 1.6 se

convierte en el Diagrama de Bloques de la Figura 1.8.

Figura 1.8: Diagrama de Bloques del Filtro Discreto en el Dominio Transformado

En este DB podemos leer entonces:

Y (z) = 3 U(z)− 1.61

zY (z)− 0.7

1

z2Y (z)

de donde, multiplicando ambos miembros por z2 y despejando obtenemos

Y (z) =3 z2

z2 + 1.6 z + 0.7U(z) = G(z) U(z)

que coincide con la expresion de la FTD que obtuvimos en la Ec.(1.24).

DB → EE/ES / DB → EED/ES

Como ya sabemos, las Ecuaciones de Estado pueden plantearse eligiendo distintos juegos de variablesde estado. Por esto, en principio, hay multiples formas de obtener las EE/ES a partir de un DB.

Sin embargo, se eligen generalmente como variables de estado las salidas de los integradores. De estaforma, sus derivadas quedan a la entrada de dichos bloques y las expresiones de las mismas pueden leersedirectamente del DB.

Retomando entonces el DB del circuito RLC de la Figura 1.3 en la pagina 7, redibujaremos el mismode manera que queden explicitadas las derivadas de los estados. Dicho DB se puede ver en la Fig.1.9.

Figura 1.9: Diagrama de Bloques del Circuito RLC Serie

Del mismo podemos entonces leer las siguientes ecuaciones, expresando las derivadas de los estados


en funcion de las variables de estado y de las entradas:

q(t) =1

Lφ(t)

φ(t) = v(t)− 1

Cq(t)− R

Lφ(t)

Estas EE se pueden completar con las ES, tambien leıdas desde el DB:

uC(t) =1

Cq(t)

uR(t) =R

Lφ(t)

El caso discreto es completamente analogo. Aquı tomamos como variables de estado las salidas de losretardos. Para el caso del ejemplo del DB del filtro de la Fig.1.6 en la pagina 10 podemos redibujar elDiagrama de Bloques como muestra la Fig.1.10.

Figura 1.10: Diagrama de Bloques del Filtro Discreto

En el mismo explicitamos las variables de estado adelantadas a la entrada de los retardos. Luego,podemos leer las ecuaciones para x1(k + 1) y x2(k + 1) directamente del DB. En este caso,

x1(k + 1) = x2(k)

x2(k + 1) = 3 u(k)− 0.7 x1(k)− 1.6 x2(k)

Del DB tambien podemos leer facilmente la ecuacion de salida:

y(k) = 3 u(k)− 0.7 x1(k)− 1.6 x2(k)

EE/ES → DB / EED/ES → DB

Dado un sistema de Ecuaciones de Estado y Salida, podemos construir un DB facilmente siguiendoel camino inverso al caso DB → EE/ES.

Para esto, anadimos un integrador que calcule cada variable de estado y luego construimos con blo-ques ganancias y sumadores la expresion de las derivadas de las mismas. Finalmente, utilizando nuevasganancias y sumadores podemos tambien construir al expresion de la o las salidas.

Por ejemplo, dado el sistema

x1(t) = x2(t)

x2(t) = x3(t)

x3(t) = −a0 x1(t)− a1 x2(t)− a2 x3(t) + u(t)

y(t) = b0 x1(t) + b1 x2(t)

la Fig.1.11 muestra el resultado de aplicar este procedimiento.En el caso discreto se puede construir el DB siguiendo un procedimiento identico, utilizando retardos

en lugar de integradores.


Figura 1.11: Diagrama de Bloques de un Sistema en Forma Canonica de Controlabilidad

FT → DB / FTD → DB

Dada una Funcion Transferencia, el DB equivalente en el dominio transformado puede construirsedirectamente utilizando un unico bloque que contenga dicha FT.

Si, en cambio, se quiere un DB en el dominio temporal explicitando los integradores, conviene comenzarhaciendo EDO → EE/ES (utilizando la forma canonica de controlabilidad o la de observabilidad) y luegorealizar el procedimiento EE/ES → DB.

Las mismas observaciones aplican al caso discreto.

EDO → DB / ED → DB

Recordande que el procedimiento EDO → FT es trivial, conviene pasar por la FT y luego seguir elprocedimiento descripto en el punto anterior.

1.1.4. Creacion e Interconversion de Modelos con Matlab/Simulink

El Control Toolbox de Matlab permite crear y manipular modelos en la forma de Funcion Transferenciay Ecuaciones de Estado y Salida. Ademas, Simulink permite editar Diagramas de Bloques.

Estos modelos tambien pueden convertirse entre las distintas alternativas.Supongamos en primer lugar que queremos crear un modelo cuya FT es

G(s) =s+ 4

s2 + s+ 4

El comando ’tf’ permite construir la FT a partir de los polinomios numerador y denominador. A contin-uacion reproducimos la ventana de dialogo correspondiente.

>> num=[1 4];

>> den=[1 1 4];

>> sis1=tf(num,den)

Transfer function:

s + 4

-----------

s^2 + s + 4

Si queremos en tanto crear el modelo en ecuanciones de estado y salida como el del circuito RLC serie

[

duC

dt (t)didt (t)

]

=

[

0 1C

− 1L −R

L

] [

uC(t)i(t)

]

+

[

01L

]

v(t)

[

uR(t)uL(t)

]

=

[

0 R−1 −R

] [

uC(t)i(t)

]

+

[

01

]

v(t)

con los valores R = 10, L = 1, C = 1, utilizamos el comando ’ss’ con las matrices correspondientesobteniendo la siguiente secuencia de dialogo:


>> R=10;L=1;C=1;

>> A=[0 1/C;-1/L -R/L];

>> B=[0;1/L];

>> C=[0 R;-1 -R];

>> D=[0;1];

>> sis2=ss(A,B,C,D)

a =

x1 x2

x1 0 1

x2 -1 -10

b =

u1

x1 0

x2 1

c =

x1 x2

y1 0 10

y2 -1 -10

d =

u1

y1 0

y2 1

Continuous-time model.

Los comandos ’tf’ y ’ss’ pueden usarse tambien para convertir modelos de FT a EE/ES y viceversa.Por ejemplo, si queremos la FT de este ultimo sistema hacemos:

> sis2ft=tf(sis2)

Transfer function from input to output...

10 s - 1.776e-015

#1: -----------------

s^2 + 10 s + 1

s^2

#2: --------------

s^2 + 10 s + 1

Notar que en el caso de la primer funcion transferencia hubo un pequeno error numerico que produjola aparicion de un termino extra.

Por otro lado, partiendo de la funcion transferencia

G(s) =s+ 4

s2 + s+ 4

podemos obtener la representacion en EE/ES:

>> sis1eees=ss(sis1)

a =

x1 x2


x1 -1 -2

x2 2 0

b =

u1

x1 2

x2 0

c =

x1 x2

y1 0.5 1

d =

u1

y1 0


Notar que aquı no obtuvimos una representacion canonica.Simulink, en tanto, permite editar Diagramas de Bloques, tal como se muestra en la Fig.1.12

Figura 1.12: Diagrama de Bloques de un Sistema en Simulink

El comando linmod permite obtener las matrices A, B, C y D a partir del modelo de Simulink desdedonde se puede construir el modelo de EE/ES. La siguiente secuencia reproduce este procedimiento:

>> [A1,B1,C1,D1]=linmod(’linear1’)

A1 =

0 1

-3 -1

B1 =

0

1


C1 =

1 0

D1 =

0

>> sis3=ss(A,B,C,D)

a =

x1 x2

x1 0 1

x2 -1 -10

b =

u1

x1 0

x2 1

c =

x1 x2

y1 0 10

y2 -1 -10

d =

u1

y1 0

y2 1


En el caso de los sistemas de tiempo discreto, los comandos son identicos, solo que se debe agregarun parametro mas a ’ss’ y ’tf’ que indique el perıodo de muestreo (utilizando −1 si se quiere trabajarcon un perıodo generico). Por ejemplo,

>> sis4=ss(A,B,C,D,-1)

a =

x1 x2

x1 0 1

x2 -1 -10

b =

u1

x1 0

x2 1

c =

x1 x2

y1 0 10

y2 -1 -10

d =

u1


y1 0

y2 1

Sampling time: unspecified

Discrete-time model.

>> sis5=tf(sis4)

Transfer function from input to output...

10 z - 1.776e-015

#1: -----------------

z^2 + 10 z + 1

z^2

#2: --------------

z^2 + 10 z + 1

Sampling time: unspecified

En el caso de los Diagramas de Bloque de Simulink, el comando ’linmod’ se reemplaza por ’dlinmod’especificando ademas el perıodo de muestreo.

1.1.5. Sistemas de Parametros Distribuidos

Los modelos que analizamos hasta aquı se construyeron asumiendo que las variables dependen unica-mente del tiempo. Por ejemplo, en el circuito RLC que utilizamos, realizamos todo el analisis manteniendola suposicion que la corriente en un determinado instante de tiempo a lo largo de los elementos y de loscables es la misma.

Esta hipotesis en muchos casos no es valida. Si la longitud de los cables es muy larga y/o el circuitoopera a frecuencias altas, no puede ignorarse la presencia de capacidades parasitas y por lo tanto lacorriente no sera la misma a lo largo del circuito. En definitiva, la corriente dependera tanto del tiempocomo de la coordenada espacial.

Algo similar ocurre cuando analizamos la temperatura de una habitacion. Si bien podrıamos mediruna temperatura media (que variara con el tiempo), en muchos casos sera importante tener en cuentaque la temperatura sera mayor cerca del techo o cerca de una estufa. En tal caso, habra dependencia deltiempo y tambien de las distintas coordenadas espaciales.

Cuando ignoramos la dependencia espacial de las variables, obtenemos modelos de parametros con-centrados que se representan mediante Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Si tenemos en cuenta encambio esta dependencia, se obtienen modelos de parametros distribuidos que se representaran medianteEcuaciones en Derivadas Parciales (EDP).

En el contexto de los sistemas dinamicos, las variables de las EDP son funciones del tiempo y de unao mas coordenadas espaciales.

Un ejemplo muy simple de EDP lo constituye la Ecuacion del Calor en una dimension, que puedemodelar, entre otras cosas, la evolucion de la temperatura a lo largo de un alambre aislado:

∂u

∂t(t, x) = α

∂2u

∂x2(t, x) (1.45)

La variable de esta EDP es u que depende tanto del tiempo como del espacio. La solucion de la Ec.(1.45)dependera tanto de la condicion inicial

u(t = 0, x) = u0(x) (1.46)

como de las condiciones de borde, que pueden estar dadas como los valores en los extremos u(t, x = 0),u(t, x = L) o bien como las derivadas respecto del tiempo o del espacio en los extremos.


Otra EDP muy utilizada es la Ecuacion de Ondas, cuya version unidimensional es la que sigue:

∂2u

∂t2(t, x) = c2

∂2u

∂x2(t, x) (1.47)

Por el momento no ahondaremos mas en las EDPs. En el ultimo capıtulo del curso volveremos sobreel tema para estudiar la teorıa de las Lıneas de Transmision.

1.2. Herramientas de Analisis de Modelos Externos

Cuando presentamos las distintas alternativas para representar sistemas, hicimos una distincion impor-tante entre los modelos externos e internos. Los primeros se caracterizaban por representar exclusivamentelas relaciones entre las entradas y salidas. Entre ellos encontramos a la EDO y la FT en el caso continuoy la ED y la FTD en el caso discreto.

Estudiaremos entonces a continuacion las distintas caracterısticas cualitativas y cuantitativas delcomportamiento de estos modelos.

Dada la equivalencia entre la EDO y la FT y entre la ED y la FTD, trabajaremos exclusivamentesobre las Funciones Transferencias Continuas y Discretas.

1.2.1. Estabilidad Externa

Caso Continuo

Consideremos un sistema lineal y estacionario caracterizado por su FT:

G(s) =bm sm + · · ·+ b1 s+ b0an sn + · · ·+ a1s+ a0

Supongamos ademas que el sistema es estrictamente propio (es decir, n > m) y que no hay polos repetidos.El cociente de polinomios que define la FT puede descomponerse en fracciones simples como sigue:

G(s) =c1

s− p1+ · · ·+ cn

s− pn

donde los pi son las raıces del polinomio denominador, es decir, los polos de la FT y ci son constantes(reales o complejas, segun lo sea el polo pi).

De esta manera, la respuesta al impulso g(t) = L−1G(s) resulta

g(t) = c1 ep1 t + · · ·+ cn e

pn t (1.48)

para t ≥ 0Si aplicamos al sistema una entrada u(t) generica, asumiendo condiciones iniciales nulas, la salida

resultara

y(t) = g(t) ∗ u(t) =∫ t

0

g(τ) u(t− τ)dτ (1.49)

donde el operador ’∗’ denota el producto de convolucion.Si la funcion g(t) es absolutamente integrable, entonces es trivial demostrar que la integral del lado

derecho converge para toda funcion u(t) acotada y por lo tanto y(t) resulta acotada.Por otro lado, si la funcion g(t) no es absolutamente integrable, entonces es tambien trivial encontrar

una funcion u(t) acotada para la cual la integral no converge y luego y(t) resulta no acotada.Cuando todos los polos de la FT tienen parte real negativa, observando la Ec.(1.48) puede deducirse

facilmente que g(t) sera absolutamente integrable. En cambio, si uno o mas polos no cumplieran estacondicion, puede verse que g(t) no sera absolutamente integrable.

Por lo tanto, si todos los polos tienen parte real negativa, resulta que si u(t) es acotada para todo t,entonces la respuesta y(t) es acotada para todo t. Por otro lado, si algun polo no tiene parte real negativa,entonces puede siempre encontrarse una entrada acotada u(t) para la cual la salida y(t) es no acotada.

Cuando un sistema es tal que garantiza que la respuesta a toda entrada acotada es tambien acotada,se dice que dicho sistema es Externamente Estable o BIBO Estable (BIBO: Bounded Input– BoundedOutput). De lo analizado en el parrafo anterior, concluimos lo siguiente:


Un sistema lineal y estacionario es Externamente Estable si y solo si todos los polosde la FT tienen parte real negativa.

Un enunciado equivalente al anterior es el que sigue:

Un sistema lineal y estacionario es Externamente Estable si y solo si su respuestaal impulso g(t) es absolutamente integrable (y por lo tanto tiende a cero cuandot→ ∞).

En definitiva, ya sea analizando los polos de la FT o conociendo la forma temporal de la respues-ta al impulso podremos determinar facilmente si un sistema continuo lineal y estacionario es o no esexternamente estable.

En este analisis, supusimos inicialmente que la FT no tenıa polos multiples. En caso que los hubiera,en la respuesta al impulso dada por la Ec.(1.48) apareceran terminos de la forma tj · epi t asumiendo queel polo pi tiene multiplicidad mayor que j. Estos terminos son tambien absolutamente integrables si ysolo si Re(pi) < 0. Por lo tanto, las conclusiones anteriores siguen siendo validas.

En el caso de un sistema propio (grado relativo 0), las conclusiones son tambien validas, ya que dichosistema se puede pensar como la suma de una ganancia y un sistema estrictamente propio.

Caso Discreto

Consideremos ahora un sistema discreto, lineal y estacionario caracterizado por su FTD:

G(z) =bm zm + · · ·+ b1 z + b0an zn + · · ·+ a1z + a0

Como antes, supondremos que el sistema es estrictamente propio y que no hay polos multiples. Aplicandoentonces fracciones simples, llegamos a

G(z) =c1

z − p1+ · · ·+ cn

z − pn

Luego, la respuesta al impulso discreto de este sistema esta dado por:

g(k) = c1 pk−11 + · · ·+ cn p

k−1n (1.50)

Si aplicamos al sistema una entrada u(k) generica, asumiendo condiciones iniciales nulas, la salida resul-tara

y(k) = g(k) ∗ u(k) =k∑

j=0

g(j) u(k − j) (1.51)

Si la secuencia g(k) es absolutamente sumable5, entonces es trivial demostrar que la suma del lado derechoconverge para toda secuencia u(k) acotada y por lo tanto y(k) resulta acotada.

Por otro lado, si la secuencia g(k) no es absolutamente sumable, entonces es tambien trivial encontraruna secuencia u(k) acotada para la cual la suma no converge y luego y(k) resulta no acotada.

Cuando todos los polos de la FTD tienen valor absoluto6 menor que 1, observando la Ec.(1.50) puedededucirse facilmente que g(k) sera absolutamente sumable. En cambio, si uno o mas polos no cumplieranesta condicion, puede verse que g(k) no sera absolutamente sumable.

Por lo tanto, si todos los polos tienen valor absoluto menor a 1, resulta que si u(k) es acotada paratodo k, entonces la respuesta y(k) es acotada para todo k. Por otro lado, si algun polo no cumple estacondicion, entonces puede siempre encontrarse una entrada acotada u(k) para la cual la salida y(k) es noacotada.

En definitiva, utilizando en este caso la misma definicion de estabilidad externa que en el caso continuo,concluimos que:

5Decimos que una secuencia g(k) es absolutamente sumable si∑k

0|g(k)| converge con k → ∞.

6Para los numeros complejos definimos el valor absoluto como el modulo.


Un sistema discreto lineal y estacionario es Externamente Estable si y solo si todoslos polos de la FTD tienen valor absoluto menor que 1.

Un enunciado equivalente al anterior es el que sigue:

Un sistema discreto lineal y estacionario es Externamente Estable si y solo si surespuesta al impulso g(k) es absolutamente sumable (y por lo tanto tiende a cerocuando k → ∞).

Al igual que en el caso continuo, la eventual presencia de polos multiples no afecta estas conclusiones.De manera similar, lo analizado vale tambien cuando la FTD es solo propia.

1.2.2. Criterios de Estabilidad

Como vimos en el punto anterior, tanto en el caso continuo como en el discreto la Estabilidad Externade un sistema se puede determinar directamente verificando la posicion de los polos de la FT o la FTD.

Ahora veremos algunas tecnicas que permiten establecer si un polinomio tiene o no raıces con partereal positiva o bien si un polinomio tiene o no raıces con valor absoluto mayor que uno. Estos criteriospermiten entonces, analizando el polinomio denominador de la FT, determinar si la FT o la FTD sonestables sin necesidad de calcular realmente los polos.

En principio puede parecer que esto hoy en dia carece de sentido, ya que utilizando programas comoMatlab puede determinarse numericamente la posicion de los polos.

Sin embargo, muchas veces es necesario determinar para que rango de valores de ciertos parametrosla FT resulta estable, por lo que aquı la solucion numerica no es util y debemos recurrir necesariamentea estos criterios analıticos.

Criterio de Routh

En el caso continuo, vimos que la condicion suficiente y necesaria para la estabilidad externa es quelas raıces del polinomio del denominador de la FT tengan todas parte real negativa. Cuando un polinomiocumple con esta condicion, se dice que el mismo es un polinomio Hurwitz. La herramienta mas utilizadapara determinar si un polinomio es Hurwitz o no es el Criterio de Routh.

De todas formas, en muchos casos puede determinarse si un polinomio tiene raıces con parte real nonegativa sin necesidad de apelar a dicho criterio.

Si un polinomio tiene cambios de signos en sus coeficientes o esta incompleto (es decir, tiene algunoscoeficientes nulos), puede verse facilmente que dicho polinomio tendra al menos una raız con parte realno negativa y por lo tanto no sera Hurwitz.

Por otro lado, un polinomio completo de grado uno o dos sin cambios de signos en los coeficientes,sera Hurwitz.

Por esto, el criterio de Routh es necesario solo en polinomios completos de grado mayor que dos sincambios de signo en sus coeficientes.

El criterio de Routh se basa en la construccion de una tabla (denominada Tabla de Routh) dondese ordenan los coeficientes del polinomio a analizar y se completa con terminos resultantes de realizaralgunas operaciones sobre los coeficientes.

Para explicar el procedimiento, construiremos la Tabla de Routh correspondiente a un polinomiogenerico de sexto orden:

p(s) = a6 s6 + a5 s

5 + a4 s4 + a3 s

3 + a2 s2 + a1 s+ a0

La Tabla de Routh se comienza construyendo de manera que en las dos primeras filas queden alternadoslos coeficientes del polinomio, como se muestra en la Tabla 1.1.

A la izquierda de la tabla, colocamos una columna con las constantes ki que van calculando como elcociente de los elementos de la primer columna segun la regla ki = bi+1,1/bi,1.

A partir de la tercera fila, los elementos de la tabla se calculan segun la regla

bi,j = bi+2,j+1 − ki+1 bi+1,j+1


s6 b6,1 = a6 b6,2 = a4 b6,3 = a2 b6,4 = a0

k5 =b6,1b5,1

s5 b5,1 = a5 b5,2 = a3 b5,3 = a1

k4 =b5,1b4,1

s4 b4,1 b4,2 b4,3

k3 =b4,1b3,1

s3 b3,1 b3,2

k2 =b3,1b2,1

s2 b2,1 b2,2

k1 =b2,1b1,1

s1 b1,1

s0 b0,1

Tabla 1.1: Tabla de Routh para un polinomio generico de orden 6.

Por ejemplo, el primer elemento de la tercera fila se calculara segun b4,1 = b6,2 − k5 b5,2.Finalmente, el polinomio resulta Hurwitz si y solo si todos los elementos de la Tabla de Routh son

positivos7.Vemos entonces un ejemplo de construccion de la Tabla de Routh. Consideremos el polinomio:

p1(s) = 2 s4 + s3 + 5 s2 + 3 s+ 4 (1.52)

Este polinomio es completo y sin cambios de signo. Como el grado es mayor que dos, debemos utilizar elcriterio de Routh para determinar si es Hurwitz.

La Tabla 1.2 muestra la construccion de la tabla de Routh para este ejemplo.

s4 2 5 4

k3 = 21 = 2 s3 1 3

· · · s2 −1 4

Tabla 1.2: Tabla de Routh para el polinomio de la Ec.(1.52).

Tras ordenar los coeficientes en las dos primeras filas, calculamos k3 = b4,1/b3,1 = 2/1 = 2. Luegocalculamos los elementos de la tercer fila: b2,1 = b4,2 − k3 b3,2 = −1 y b2,2 = b4,3 − k3 b3,3 = 4. Dado queb2,1 es negativo, concluimos que el polinomio no es Hurwitz y no es necesario realizar mas calculos.

Consideremos ahora el polinomio de tercer grado:

p2(s) = s3 + 4 s2 + 5 s+ 2 (1.53)

La Tabla de Routh 1.3 permite concluir que se trata de un polinomio Hurwitz.

s3 1 5

k2 = 14 s2 4 2

k1 = 89 s1 5− 2

4s0 2

Tabla 1.3: Tabla de Routh para el polinomio de la Ec.(1.53).

Transformacion Bilineal

Como vimos anteriormente, la condicion para que un modelo de tiempo discreto sea externamenteestable es que todos los polos de la FTD tengan valor absoluto menor que 1. Al igual que en el casocontinuo, es importante poder verificar analıticamente si se cumple o no esta condicion.

7Se puede demostrar que todos los elementos de la Tabla de Routh son positivos si y solo si todos los elementos de laprimer columna lo son, por lo tanto alcanza con verificar lo que ocurre en la primer columna.


Una manera muy simple de verificar si un polinomio tiene todas sus raıces con modulo menor que 1es utilizando un cambio de variables z = R(r), de manera tal que la condicion |z| < 1 sea equivalente apedir que en la nueva variable se cumpla Re(r) < 0. De esta forma, podra utilizarse el criterio de Routhen la nueva variable r.

Hay en realidad muchas posibilidades para realizar el cambio de variables mencionado. Una de ellas,muy utilizada, es la Transformacion Bilineal :

z =1 + r

1− r(1.54)

Notemos que:

|z| < 1 ⇐⇒|z|2 < 1 ⇐⇒

|1 + r|2|1− r|2 < 1 ⇐⇒

(1 + Re(r))2 + Im(r)2

(1− Re(r))2 + Im(r)2< 1 ⇐⇒

(1 + Re(r))2 + Im(r)2 < (1 − Re(r))2 + Im(r)2 ⇐⇒(1 + Re(r))2 < (1 − Re(r))2 ⇐⇒

Re(r) < 0

Por lo tanto, dado un polinomio en z podemos aplicar la transformacion bilineal dada por la Ec.(1.54) yluego aplicar el Criterio de Routh al polinomio resultante en r.

Consideremos por ejemplo el polinomio:

p3(z) = 10 z2 − 3 z − 4 (1.55)

realizando el cambio de variables de la Ec.(1.54) obtenemos

p3(r) = 10(1 + r)2

(1 − r)2− 3

(1 + r)

(1− r)− 4

multiplicando ambos miembros por (1− r)2 queda

p3(r) (1− r)2 = 10 (1 + r)2 − 3 (1 + r) (1− r) − 4 (1− r)2

y finalmentep3(r) (1− r)2 = 9 r2 + 28 r + 3

Este polinomio es de segundo orden, completo y sin cambios de signo. Por lo tanto, es un polinomioHurwitz. En consecuencia, el polinomio p3(z) de la Ec.(1.55) tiene todas sus raıces con valor absolutomenor que 1.

Criterio de Jury

La transformacion bilineal seguida del criterio de Routh es una de las alternativas para determinar siun polinomio tiene todas sus raıces en el interior del cırculo unitario.

Hay tambien un camino directo llamado Criterio de Jury, basado en la construccion de una Tablasimilar a la de Routh.

Dado un polinomio generico en z,

p(z) = an zn + an−1 z

n−1 + · · ·+ a1 z + a0 (1.56)

donde an > 0 (si esto no se cumple, multiplicamos todo el polinomio por −1), se construye una Tablacomo la 1.4 (denominada Tabla de Jury).


an an−1 · · · a1 a0a0 a1 · · · an−1 an ka = a0/anbn−1 bn−2 · · · b0b0 b1 · · · bn−1 kb = b0/bn−1

cn−2 cn−3 · · ·c0 c1 · · · kc = c0/cn−2

......

......

Tabla 1.4: Tabla de Jury para el polinomio generico de la Ec.(1.56)

La tabla se construye de manera que la primera fila contiene los coeficientes del polinomio ordenadosde manera decreciente y la segunda fila con los mismos coeficientes ordenados de manera inversa. Ademas,se calcula el coeficiente ka = a0/an.

Luego, cada elemento de la tercera fila se calcula a partir de los dos elementos por encima segun laregla:

bn−1 = an − ka a0; bn−2 = an−1 − ka a1; · · · ; b0 = a1 − ka an−1

La cuarta fila se arma invirtiendo el orden de la tercera y se calcula el coeficiente kb = b0/bn−1.Los elementos de la quinta fila se calculan a partir de los de la tercera y de la cuarta de la misma

forma que calculamos los elementos de la tercera fila:

cn−2 = bn−1 − kb b0; cn−3 = bn−2 − kb b1; · · · ; c0 = b1 − kb bn−2

y se sigue de la misma forma.El Criterio de Jury establece que todas las raıces del polinomio de la Ec.(1.56) estan dentro del

cırculo unitario si y solo si los coeficientes que encabezan las filas impares (an, bn−1, cn−2, etc.) son todospositivos.

Consideremos por ejemplo el polinomio:

p(z) = 10 z3 + 8 z2 + z + 2 (1.57)

La Tabla de Jury 1.5 muestra que todas las raıces tienen valor absoluto menor que 1, ya que los coeficientesque encabezan las filas impares son 10, 9.6, 9.5625 y 2.38 (todos positivos).

10 8 1 22 1 8 10 ka = 2/10 = 0.29.6 7.8 −0.6−0.6 7.8 9.6 kb = −0.6/9.6 = −0.06259.5625 8.28758.2875 9.5625 kc = 8.2875/9.5625 = 0.86672.38

Tabla 1.5: Tabla de Jury para el polinomio de la Ec.(1.57)

1.2.3. Analisis de la Respuesta Temporal en Tiempo Continuo

En cursos anteriores, aprendimos que dado un sistema con FT G(s) y dada una entrada u(t) generica,podıamos calcular la respuesta temporal directamente segun:

y(t) = L−1G(s) U(s)

donde U(s) es la transformada de Laplace de u(t). Desde aquı y a lo largo de todo el curso consideraremosque las senales son nulas para t < 0, por lo que no aclararemos que la validez de las expresiones es parat ≥ 0.


Si bien este procedimiento define directamente la respuesta temporal, su uso es muchas veces engor-roso desde el punto de vista algebraico y conduce a expresiones matematicas complicadas y difıciles deinterpretar.

Aquı entonces veremos un enfoque mas cualitativo para analizar la respuesta temporal de sistemaslineales y estacionarios basado en la caracterizacion de la respuesta al escalon.

Como sabemos, la respuesta a un impulso unitario δ(t) de un sistema lineal y estacionario puedecalcularse como la antitransformada de la Funcion Transferencia g(t) = L−1G(s). Dado que g(t) carac-teriza completamente el comportamiento del sistema, puede usarse g(t) como modelo en lugar de la FT(si bien es preferible la utilizar la FT ya que su expresion es mucho mas simple).

La respuesta al impulso tiene ademas un problema: cuando la FT es propia pero no es estrictamentepropia, g(t) contiene un impulso al comienzo lo que complica aun mas su representacion. Cabe tam-bien mencionar que los impulsos no son funciones fısicamente realizables, y por lo tanto g(t) carece detotalmente de interpretacion.

Una funcion de entrada que es mucho mas util y que no tiene estos problemas es el escalon unitario µ(t)y a continuacion analizaremos y caracterizaremos la respuesta al escalon de distintos tipos de sistemaslineales y estacionarios.

Respuesta al Escalon de Sistemas Primer Orden

Para analizar los casos de primer orden, comenzaremos escribiendo una funcion transferencia propiagenerica:

G(s) =b1 s+ b0s+ a0

(1.58)

donde a0 > 0 (analizaremos casos estables).Dado que hay un unico polo con valor −a0, la respuesta al escalon unitario tendra la forma:

h(t) = L−1G(s)s

= hf + (hi − hf ) e−a0 t

donde hi es el valor inicial de la respuesta y hf es el valor final.La Figura 1.13 muestra esta respuesta al escalon para cierto juego de parametros. En dicha respuesta

se ve que hi = −1, hf = 1 y ademas resulta que el polo esta en −a0 = −1, ya que en la grafica se observaque la constante de tiempo es 1/a0 = 1.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

t

h(t)

Figura 1.13: Respuesta al Escalon Unitario del Sistema de Primer Orden de la Ec.(1.58)


Dada una FT como la de la Ec.(1.58), una manera sencilla de determinar las constantes hi y hf esutilizando el Teorema del Valor Final y el Teorema del Valor Inicial:

lımt→∞

h(t) = lıms→0

s H(s) = lıms→0

G(s) =b0a0

(1.59)

de donde hf = b0/a0; yh(0+) = lım

s→∞s H(s) = lım

s→∞G(s) = b1 (1.60)

de donde hi = b1.Notar que pudimos obtener la respuesta temporal completa sin necesidad de antitransformar.La Funcion Transferencia de la Ec.(1.58) se denomina Proporcional Derivativo con Retardo de Orden

1 y se denota PDT1. Esto se debe a que el numerador tiene un termino Proporcional (b0), un terminoderivativo (b1 s) y el denominador tiene orden 1.

El PDT1 es la forma mas completa de los sistemas de primer orden. Sin embargo, muchas vecesencontraremos que alguno de los terminos del numerador sera nulo.

Un caso muy comun es el Proporcional con Retardo de Orden 1, o PT1:

G(s) =b0

s+ a0(1.61)

En este caso, aplicando los Teoremas del valor final e incial como en las Ecs.(1.59)–(1.60) concluimos quehi = 0 y que hf = b0/a0.

La Figura 1.14 muestra la respuesta al escalon de este sistema para cierto juego de parametros.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

t

h(t)

Figura 1.14: Respuesta al Escalon Unitario del PT1 de la Ec.(1.61)

En el caso de la respuesta de la Fig.(1.14) podemos ver que los parametros eran a0 = 0.5 ya que laconstante de tiempo es 1/a0 = 2 y que hf = b0/a0 = 6, de donde b0 = 3.

El ultimo caso de primer orden es el Derivativo con Retardo de Orden 1 o DT1:

G(s) =b1 s

s+ a0(1.62)

Aquı, aplicando los Teoremas de valor final e inicial como en las Ecs.(1.59)–(1.60) concluimos que hi = b1y que hf = 0.


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

t

h(t)

Figura 1.15: Respuesta al Escalon Unitario del DT1 de la Ec.(1.62)

La Figura 1.15 muestra la respuesta de un DT1 para ciertos parametros. En este caso, puede versefacilmente que la constante de tiempo es 1/a0 = 0.5 de donde a0 = 2 y que b1 = hi = 2.

Un modelo equivalente a la FT lo brinda la configuracion de polos y ceros que resulta de factorizarel numerador y el denominador. Desde este punto de vista, el PDT1, el PT1 y el DT1 tienen todos ununico polo real negativo y difieren en la configuracion de los ceros. El PDT1 tiene un cero real (positivoo negativo), el PT1 no tiene ceros y el DT1 tiene un cero en el origen.

La Fig.1.16 ilustra los Diagramas de Polos y Ceros para los tres casos vistos. En el caso del PDT1pusimos el cero en el semiplano derecho (es decir, el cero es real positivo). Cuando un sistema tiene ceroscon parte real positiva se dice que es No Mınima Fase.

Im(s) Im(s)Im(s)

Re(s) Re(s)Re(s)

PDT1 PT1 DT1

Figura 1.16: Diagramas de Polos y Ceros para el PDT1, PT1 y DT1.

Notar que el unico caso en que se dio la condicion hi = 0 fue en el PT1. En sistemas de orden mayor,esto ocurrira siempre que el grado relativo de la FT sea mayor que cero, ya que en ese caso el grado deldenominador sera mayor al del numerador por lo que hi = lıms→∞G(s) = 0.

Por otro lado, el unico caso en que se dio la condicion hf = 0 fue el DT1. En sistemas de orden mayor,esto ocurrira cada vez que no haya termino proporcional (b0) en el numerador de la FT, ya que en esecaso hf = lıms→0G(s) = 0. Esta condicion es equivalente a la presencia de un cero en el origen.


Respuesta al Escalon de Sistemas de Segundo Orden

Consideremos ahora un sistema generico de segundo orden con FT:

G(s) =b2 s

2 + b1 s+ b0s2 + a1 s+ a0

(1.63)

Suponiendo que a1 > 0 y a0 > 0 (para garantizar estabilidad externa), la respuesta temporal ten-dra caracterısticas cualitativamente distintas segun las raıces del polinomio denominador sean reales ocomplejas conjugadas. En el primer caso se habla de respuesta sobreamortiguada (o crıtica cuando lasraıces coinciden) y en el segundo caso hablamos de respuesta subamortiguada.

Cuando las raıces son reales podemos aplicar fracciones simples y reescribir la FT como la suma de dosFunciones Transferencia de primer orden. Por lo tanto, la respuesta temporal del sistema podra analizarsecomo la suma de las respuestas de dos sistemas de primer orden, aplicando lo que vimos en el puntoanterior.

Resta entonces analizar el caso subamortiguado. Aquı, conviene reescribir la Ec.(1.63) como sigue:

G(s) =b2 s

2 + b1 s+ b0s2 + 2 ξ ωn s+ ω2

n

(1.64)

donde ωn y ξ se denominan frecuencia natural y coeficiente de amortiguamiento respectivamente. En elcaso subamortiguado, siempre se cumplira que 0 < ξ < 1.

Las raıces del denominador de la FT de la Ec.(1.64) seran:

s1,2 = −σ ± j ωa = −ξ ωn ± j ωn

√

1− ξ2 (1.65)

donde σ = ξ ωn es la inversa de la constante de tiempo y ωa = ωn

√

1− ξ2 se denomina frecuenciaamortiguada.

La respuesta al escalon entonces se puede calcular segun:

h(t) = L−1G(s)s

= k1 e−σ t sin(wa t+ φ1) + hf (1.66)

para ciertas constantes hf , k1 y φ1 que dependeran de los coeficientes de la FT.La FT generica de la Ec.(1.64) se denomina PDD2T2, ya que el numerador tiene termino proporcional

(b0), derivativo (b1), segunda derivada (b2) y tiene un retardo de segundo orden (el denominador es deorden 2). La Figura 1.17 muestra la respuesta de este sistema con ciertos parametros particulares a unescalon unitario.

Para deducir la forma de la respuesta h(t) a partir de los parametros o a la inversa, encontrar losparametros conociendo h(t), podemos aprovechar los teoremas de valor inicial y valor final por un lado yademas tener en cuenta la forma de las oscilaciones.

Las oscilaciones amortiguadas que se ven en la Fig.1.17, tienen una frecuencia angular que, de acuerdoa la Ec.(1.66), debe coincidir con la parte imaginaria de los polos; es decir, la frecuencia amortiguada ωa.Teniendo en cuenta esto, el perıodo de las oscilaciones debera ser

Ta =2 π

ωa

que en el caso de la respuesta de la Fig.1.17 sera de aproximadamente 3.3 seg.Por otro lado, entre un semiperıodo y el siguiente la respuesta se amortigua siempre una fraccion

constante. Notar que:

h(t+Ta2)− hf = k1 e

−σ (t+Ta2

) sin(ωa t+ ωaTa2

+ φ1)

= k1 e−σ t e−σ Ta

2 sin(ωa t+ π + φ1)

= −k1 e−σ t sin(ωa t+ φ1) e−σ Ta

2

= (hf − h(t)) e−σ Ta2


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

t

h(t)

Figura 1.17: Respuesta al Escalon Unitario del PDD2T2 de la Ec.(1.63)

Es decir, entre un semiperıodo y el siguiente la oscilacion se amortigua siempre una fraccion igual a

e−σ Ta2 .

Recordando la definicion de Ta, ωa y σ y reemplazando todo en funcion de los parametros originalesresulta que:

h(t+ Ta

2 )− hf

h(t)− hf= e−σ Ta

2 = e−π ξ√1−ξ2 (1.67)

que depende exclusivamente del parametros ξ.Por ejemplo, en la grafica de la Figura 1.17 puede observarse que el primer maximo esta desplazado

1 del valor final (la trayectoria comienza en un maximo ya que la derivada inicial es nula), y el primermınimo esta desplazado aproximadamente 0.37 del valor final. Por lo tanto,

e−π ξ√1−ξ2 ≈ 0.37

de donde puede despejarse que ξ ≈ 0.3.Utilizando este valor, y recordando que Ta ≈ 3.3, podemos tambien despejar

ωa =2 π

Ta≈ 1.9

de dondeωn =

ωa√

1− ξ2≈ 2

Es decir, el denominador de la funcion transferencia correspondiente a la respuesta al escalon de la Fig.1.17es s2 + 2 · 0.3 · 2 s+ 22 = s2 + 1.2 s+ 4.

Al igual que en el caso de primer orden, el denominador de la FT determina la posicion de los polosy por lo tanto la forma de las oscilaciones. Por otro lado, el numerador determina el valor final de larespuesta, el valor inicial y la derivada inicial.

Si aplicamos el Teorema del Valor Final a la FT de la Ec.(1.64) resulta

lımt→∞

h(t) = lıms→0

s H(s) = lıms→0

G(s) =b0ω2n

(1.68)


Para el caso de la respuesta de la Fig.1.17, dado que el valor final es 1 concluimos que b0 = ω2n = 4.

Podemos tambien aplicar el Teorema del Valor Inicial:

h(0+) = lıms→∞

s H(s) = lıms→∞

G(s) = b2 (1.69)

En el caso de la respuesta que estamos analizando, dado que el valor inicial es 2, concluimos que b2 = 2.Por ultimo, en este caso podemos aplicar tambien el Teorema del Valor Inicial a la derivada de la

respuesta:h(0+) = lım

s→∞s [s H(s)− h(0+)] = lım

s→∞s [G(s)− h(0+)] (1.70)

Recordando que h(0+) = b2, tenemos

h(0+) = lıms→∞

s [G(s) − b2] =b1 − b2 2 ξ ωn

b2

Para el caso de la Fig.1.17 teniendo en cuenta que h(0+) = 0 resulta b1 = b2 2 ξ ωn = 2.4.En definitiva, la FT de la Figura 1.17 era:

G(s) =2 s2 + 2.4 s+ 4

s2 + 1.2 s+ 4

Este sistema, como dijimos antes, es un PDD2T2 y consituye el caso mas general de segundo ordensubamortiguado. Muchas veces algunos de los terminos del numerador son nulos, pero en todos los casoslas respuestas preservan las mismas caracterısticas cualitativas (oscilaciones amortiguadas) si bien difierenen sus formas iniciales y finales.

Uno de los casos mas simples es el Proporcional con Retardo de Orden 2 (PT2), cuya FT tiene laforma:

G(s) =b0

s2 + 2 ξ ωn s+ ω2n

(1.71)

Como dijimos antes, ξ y ωn determinaran completamente la forma de las oscilaciones. Pero si aplicamosahora los teoremas de valor final y valor inicial resulta:

lımt→∞

h(t) = lıms→0

s H(s) = lıms→0

G(s) =b0ω2n

(1.72)

que coincide con el caso del PDD2T2.

h(0+) = lıms→∞


G(s) = 0

Este resultado sobre el valor inicial no debe sorprendernos ya que el PT2 tiene grado relativo mayor quecero (el grado relativo es 2 de hecho), y finalmente,

h(0+) = lıms→∞

s [G(s)− h(0+)] = lıms→∞

s G(s) = 0

Es decir, la respuesta del PT2 comienza con valor y derivada cero. La Figura 1.18 muestra la respuestaal escalon de este sistema para ciertos parametros particulares.

El hecho que la derivada inicial sea nula en el PT2 implica que la respuesta parte desde un mınimocomo puede observarse en la Fig.1.18. Luego, el primer maximo ocurre exactamente en t = Ta/2 (a lamitad del perıodo). Dicho instante se denomina Tiempo de Pico (tp):

tp =Ta2

=π

ωa=

π

ωn

√

1− ξ2(1.73)

En el PT2, este primer maximo se denomina sobrevalor y su amplitud puede calcularse a partir de laEc.(1.67) segun:

SV =hmax − hf

hf= e−σ Ta

2 = e−π ξ√1−ξ2 (1.74)


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

t

h(t)

Figura 1.18: Respuesta al Escalon Unitario del PT2 de la Ec.(1.71)

La Ecuacion (1.72) (que calcula el valor final) junto con las Ecs.(1.73)–(1.74) caracterizan completamentela forma de la respuesta del PT2 y permiten de manera simple obtener los parametros a partir de conocerla grafica de la respuesta y viceversa.

Desde el punto de vista cualitativo, puede verse facilmente que el sobrevalor aumentara para valoresmenores del amortiguamiento ξ. La Fig.1.19 muestra la respuesta del PT2 para distintos valores de ξ conωn constante (ωn = 2 en todos los casos).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

t

h(t)

Figura 1.19: Respuesta al Escalon Unitario del PT2 para ωn = 2 con ξ = 0.7, ξ = 0.4, ξ = 0.2 y ξ = 0.1. Elmayor sobrevalor corresponde a ξ = 0.1.

Por otro lado, si mantenemos el valor de de ξ constante y variamos ωn veremos que el tiempo de picocrecera al disminuir ωn ya que esto implica un aumento del perıodo amortiguado Ta. La Fig.1.20 muestra


la respuesta del PT2 para distintos valores de ωn con ξ constante (ξ = 0.3 en todos los casos).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

t

h(t)

Figura 1.20: Respuesta al Escalon Unitario del PT2 para ξ = 0.3 con ωn = 1, ωn = 2 y ωn = 4. La respuestamas rapida corresponde a ωn = 4.

Un ultimo parametro que es importante, tanto en el PT2 como en los otros sistemas, es el Tiempode Respuesta al 3% o al 5% (tr5%, tr3%), definido como el instante de tiempo en el cual la respuestase amortigua hasta el 3 o el 5% de su valor. Este tiempo puede calcularse como el tiempo en el que laexponencial e−σ t toma el valor 0.03 o 0.05. Por esto, tenemos,

tr5% ≈ 3

σ=

3

ξ ωn; tr3% ≈ 5

σ=

5

ξ ωn(1.75)

El tr mide de cierta forma cuanto demoran en extinguirse las oscilaciones.Ademas del PT2, otro caso relativamente sencillo que encontraremos habitualmente es el Derivativo

con Retardo de Orden 2 (DT2):

G(s) =b1 s

s2 + 2 ξ ωn s+ ω2n

(1.76)

Aplicando nuevamente los teoremas de valor final e inicial a este sistema, tenemos:

lımt→∞

h(t) = lıms→0

s H(s) = lıms→0

G(s) = 0

que no es sorpresa ya que no hay parte proporcional. Por otro lado,

h(0+) = lıms→∞


G(s) = 0

Este resultado sobre el valor inicial no es tampoco sorpresivo ya que el grado relativo es mayor que cero(el grado relativo es 1 ahora), y finalmente,

h(0+) = lıms→∞

s [G(s) − h(0+)] = lıms→∞

s G(s) = b1

por lo que la respuesta del DT2 comenzara siempre desde cero, pero con derivada no nula.La Fig.1.21 muestra la respuesta al escalon de un DT2. Puede verse en este caso que el amortiguamiento

del sistema es menor que el del PT2. De hecho, el valor de ξ utilizado en el DT2 fue la mitad del ξ delPT2.


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t

h(t)

Figura 1.21: Respuesta al Escalon Unitario del DT2 de la Ec.(1.76)

Ademas del PT2, DT2 y PDD2T2 analizados aquı, dentro de los sistemas de segundo orden subamor-tiguados encontramos al PDT2, PD2T2, DD2T2 y el D2T2, todos con caracterısticas similares.

El valor final quedara determinado en todos los casos por la presencia o no de parte proporcional. Elvalor inicial en tanto, dependera del grado relativo. La derivada inicial sera nula en el PT2, y no nula enlos demas, excepto para cierto juego de parametros muy particulares en un PDD2T2 como el que producela respuesta de la Fig.1.17.

La diferencia entre todos estos tipos de sistemas radica escencialmente en la ubicacion de los ceros.La Fig.1.22 muestra las posibles ubicaciones de polos y ceros en los mismos. En estos diagramas de polosy ceros mostramos exclusivamente casos Mınima Fase, ya que ubicamos todos los ceros en el semiplanoizquierdo.

PT2 PDT2 DT2

DD2T2 PDD2T2 PD2T2

Im(s)

Im(s) Im(s)Im(s)

Im(s) Im(s)Im(s)

Re(s)

Re(s) Re(s)Re(s)

Re(s) Re(s)Re(s)

D2T2

Figura 1.22: Diagramas de Polos y Ceros en Sistemas de Segundo Orden Subamortiguados.

Hasta aquı analizamos casos subamortiguados y vimos que los casos sobreamortiguados pueden


analizarse superponiendo la respuesta de dos sistemas de primer orden. El caso crıtico en tanto, siendo ellımite entre ambos (ξ = 1), no reviste mayores diferencias. Esto completa todos los sistemas de segundoorden externamente estables.

Hay dos casos intestables que sı revisten cierto interes, que son los casos crıticos. En presencia de un parde polos imaginarios puros (ξ = 0) la respuesta al escalon sera una sinusoidal no amortiguada. Este casopuede analizarse de manera identica al caso subamortiguado, teniendo en cuenta solo que el coeficiente deamortiguamiento ξ es nulo (por lo que coincidiran la frecuencia amortiguada con la frecuencia natural).

El caso restante es cuando hay un polo real negativo y otro nulo, lo que se corresponde a un FT dela forma:

G(s) =b2 s

2 + b1 s+ b0s2 + a1 s

=b2 s+ b1s+ a1

+b0s

s+ a1

Como vemos, el primer termino es un PDT1 y el segundo, cuya expresion es:

G1(s) =b0s

s+ a1(1.77)

se denomina Integrador con Retardo de Orden 1 o IT1. La respuesta al escalon de este sistema puedeverse facilmente que es la integral de la respuesta al escalon de un PT1, que tomara la forma:

h1(t) =b0a1

[t− 1

a1(1− e−a1 t)] (1.78)

La Figura 1.23 muestra la evolucion temporal de un IT1 para cierto juego de parametros.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

t

h(t)

Figura 1.23: Respuesta al Escalon Unitario del IT1 de la Ec.(1.77)

Analizando la Ec.(1.78) vemos que la asıntota es:

ha(t) =b0a1

[t− 1

a1]

de donde concluimos que la pendiente de la asıntota es b0/a1 y que la misma comienza retardada 1/a1.De estas consideraciones, la respuesta de la Fig.1.23 se corresponde a los parametros a1 = 0.5 y b0 = 3.


Sistemas de Orden Mayor y Polos Dominantes

Hasta aquı analizamos sistemas de primer y segundo orden. Como bien sabemos, dada una funciontransferencia de orden mayor sin polos multiples, podemos aplicar fracciones simples y descomponerla enla suma de varias funciones transferencias de orden 1 (para los polos reales) y 2 (para los polos complejosconjugados).

De esta manera, podemos obtener la respuesta temporal de sistemas de orden alto sumando lasrespuestas de sistemas de primer y segundo orden.

Muchas veces, sin embargo, el efecto de algunas de las respuestas individuales en la respuesta total espracticamente despreciable lo que simplifica muchısimo el trabajo.

Consideremos por ejemplo el sistema de tercer orden con FT:

G(s) =10 s+ 10

(s2 + s+ 1) (s+ 10)(1.79)

La Figura 1.24 muestra la respuesta al escalon de este sistema. A simple vista, dicha respuesta parece desegundo orden.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

t

h(t)

Figura 1.24: Respuesta al Escalon Unitario del Sistema de Tercer Orden de la Ec.(1.79)

Lo que ocurre en este caso tiene que ver con la posicion de los polos de la FT. Hay un par de poloscomplejos conjugados ubicados en s1,2 = −0.5± j

√0.75 y el restante polo real es s3 = −10.

Los polos complejos conjugados en este caso se corresponden a un tiempo de respuesta al 3% tr =5/0.5 = 10 (que es lo que se aprecia en la grafica). En cambio, el polo real corresponde a un tiempo derespuesta de tr = 5/10 = 0.5, por lo que luego de t = 0.5 su efecto desaparece.

Podemos pensar a este sistema como la cascada de un sistema de primer orden (con polo en −10) yotro de segundo orden con polos complejos conjugados en s1,2 = −0.5± j

√0.75, es decir,

G(s) =10

s+ 10

s+ 1

s2 + s+ 1= G1(s) G2(s) (1.80)

Teniendo en cuenta que G1(s) es mucho mas rapido que G2(s), podemos despreciar su dinamica y aprox-imar esta FT como G1(s) ≈ 1. Luego, podemos escribir:

G(s) ≈ 1 G2(s) =s+ 1

s2 + s+ 1(1.81)


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

t

h(t)

Figura 1.25: Respuesta al Escalon Unitario del Sistema de Tercer Orden de la Ec.(1.79) y su Aproximacion dela Ec.(1.81). La trayectoria aproximada sale con derivada no nula.

La Figura 1.25 muestra superpuestas las respuestas al escalon del sistema original y del sistema aproxi-mado.

Como puede observarse, ambas respuestas son bastante similares y si no se requiere trabajar con unagran precision, es perfectamente aceptable utilizar la FT aproximada.

Una mejor aproximacion puede lograrse si en lugar de descomponerse la FT en la cascada de dossistemas, se descompone como la suma haciendo fracciones simples:

G(s) =9091 s+

10091

s2 + s+ 1−

9091

s+ 10= G3(s)−G4(s)

donde si nuevamente despreciamos la dinamica rapida y aproximamos

G4(s) =9091

s+ 10≈ 9

91

resulta

G(s) ≈9091 s+

10091

s2 + s+ 1− 9

91=

− 991 s

2 + 9191 s+ 1

s2 + s+ 1(1.82)

La Fig.1.26 compara la respuesta de esta aproximacion con la respuesta del sistema de tercer orden. Puedeapreciarse que, una vez transcurrido el tiempo de respuesta del subsistema rapido, el error desaparece.

Si bien la aproximacion que surge de aplicar fracciones simples es mejor (al menos desde el punto devista de la respuesta al escalon), el procedimiento es mucho mas complejo. Normalmente se utiliza la otraaproximacion que consiste simplemente en descartar los polos rapidos.

En casos como el que analizamos, se dice que los polos lentos juegan el rol de polos dominantes, yaque los mismos determinan casi completamente la respuesta del sistema.

Desde el punto de vista practico, en general se pueden considerar despreciables todos los polos quesean al menos entre 5 y 10 veces mas rapidos que los polos dominantes, es decir, que tengan el modulode su parte real al menos entre 5 y 10 veces mayor que el de dichos polos.

Por ejemplo, si un sistema tiene los siguientes polos: s1 = −0.1, s2 = −0.3, s3,4 = −3 ± j, s5 = −5,s6 = −6, los polos dominantes seran s1 y s2 y podremos despreciar en principio los demas polos.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

t

h(t)

Figura 1.26: Respuesta al Escalon Unitario del Sistema de Tercer Orden de la Ec.(1.79) y su Aproximacion dela Ec.(1.82). La trayectoria aproximada sale desde un valor negativo.

1.2.4. Analisis de la Respuesta Temporal en Tiempo Discreto

Analogo al caso continuo, dado un sistema discreto lineal y estacionario con FTD G(z), podemoscalcular la respuesta a una entrada generica u(k) segun:

y(k) = Z−1G(z) U(z)

donde U(z) es la transformada Z de u(k).Este procedimiento nos permite obtener la expresion temporal de la salida y(k), pero al igual que en

el caso continuo, suele ser bastante engorroso desde el punto de vista algebraico.Por este motivo, presentaremos aquı algunas herramientas para realizar un analisis mas cualitativo

de la respuesta temporal de los sistemas discretos.Como en el caso continuo, estudiaremos principalmente las caracterısticas de la respuesta al escalon,

centrandonos escencialmente en los sistemas estables.

Respuesta al Escalon de un Sistema Discreto de Primer Orden

Consideremos un sistema discreto lineal y estacionario generico de primer orden, caracterizado por laFTD:

G(z) =b1 z + b0z + a0

(1.83)

Como vimos anteriormente, este sistema sera externamente estable si |a0| < 1. En cualquier caso, larespuesta al escalon unitario µ(k) tomara la forma (con a0 6= 0):

h(k) = hf + (hi − hf ) (−a0)k (1.84)

para ciertas constantes hi y hf que dependeran de los coeficientes de la FTD. Para el caso a0 = 0 lasolucion sera:

h(k) = hf + (hi − hf ) δ(k) (1.85)

Considerando solo los casos estables, tendremos un transitorio que partira de hi y tendera a hf con unadinamica dictada por el modo (−a0)k.


Este modo sera cualitativamente distinto segun el signo del polo. Si el polo es positivo (−a0 > 0 osea, a0 < 0), la respuesta no tendra oscilaciones, mientras que en el caso contrario sı oscilara.

Cuando a = 0 la respuesta llegara al valor final tras solo un paso. De hecho, en este caso la FTD dela Ec.(1.83) puede pensarse como la suma de una ganancia b1 y un retardo b0/z.

Por otro lado, cuando |a| sea cercano a 1, la respuesta tendera lentamente al valor final, mientras quecuando sea cercano a 0 la respuesta convergera rapidamente.

En definitiva, al igual que en el caso continuo, el denominador determinara completamente la formaen que la respuesta tiende al valor final.

La Figura 1.27 muestra las respuestas al escalon para distintos valores del coeficiente a (tomando entodos los casos b0 = 1 + a0 y b1 = 0).

0 5 10 15 20 25 300.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 5 10 15 20 25 300.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 5 10 15 20 25 300.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 5 10 15 20 25 300.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0 5 10 15 20 25 300.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0 5 10 15 20 25 300.0

0.5

1.0

1.5

a0 = −0.9 a0 = −0.5 a0 = −0.1

a0 = 0.1a0 = 0.9 a0 = 0.5

kk k

kkk

y(k)

y(k)

y(k)

y(k)

y(k)

y(k)

Figura 1.27: Respuesta al Escalon Unitario de la FTD de la Ec.(1.83) para Distintos Valores de a.

De manera analoga al caso continuo, pueden usarse los teoremas del valor inicial y del valor final paraestablecer la relacion entre los coeficientes del numerador de la FT y los valores iniciales y finales de larespuesta.

Dada la FTD de la Ec.(1.83), podemos calcular los valores iniciales y finales de la respuesta al escaloncomo sigue:

h(0) = lımz→∞

G(z)z

z − 1= lım

z→∞G(z) = b1 (1.86)

y ademas,

lımk→∞

h(k) = lımz→1

(1 − z−1)G(z)z

z − 1= G(1) =

b1 + b01 + a0

(1.87)

Tomando en cuenta todas estas consideraciones, podemos relacionar facilmente los parametros de la FTDcon los de la respuesta al escalon.

Por ejemplo, la Fig.1.28 muestra la respuesta al escalon de un sistema discreto de primer orden.


−5 0 5 10 15 20

−2

−1

0

1

2

3

4

k

y(k)

Figura 1.28: Respuesta al Escalon Unitario del Sistema de la Ec.(1.83).

Como vemos, el primer valor esta distanciado 4 unidades del valor final, el siguiente esta a 2 unidadesdel valor final y ası sucesivamente. Ademas, los signos estan alternados. Evidentemente hay un polo enz = −0.5, de donde a0 = 0.5.

Por otro lado, el valor inicial es −2. Teniendo en cuenta la Ec.(1.86) (Teorema del Valor Inicial),resulta b1 = −2.

De manera similar, el valor final es 2. Por lo tanto, de la Ec.(1.87) podemos deducir inmediatamenteque b0 = (1 + a0) 2− b1 = 3. En conclusion, la FTD que produce dicha respuesta al escalon es:

G(z) =−2 z + 3

z + 0.5

Respuesta al Escalon de un Sistema Discreto de Segundo Orden

El caso discreto de segundo orden tendra la forma generica:

G(z) =b2 z

2 + b1 z + b0z2 + a1 z + a0

(1.88)

Al igual que en el caso continuo, en presencia de polos reales, podemos aplicar fracciones simples y analizarla respuesta como la superposicion de dos respuestas de primer orden.

Por lo tanto, nos concentraremos en estudiar la respuesta de sistemas de segundo orden con poloscomplejos conjugados. Ademas, nos enfocaremos solamente en los casos estables.

En presencia de polos complejos conjugados, es conveniente reescribir el denominador como sigue:

G(z) =b2 z

2 + b1 z + b0z2 − 2 a cos(ω0) z + a2

(1.89)

donde en los casos estables podremos tomar −1 < a < 1 y 0 < ω0 ≤ π/2. De esta forma, las raıces deldenominador seran

z1,2 = a e±j ω0

Es decir, |a| es el modulo de los polo y ±ω0 el angulo cuando a > 0; o bien π ±ω0 cuando a < 0. Debidoa esta expresion en los polos, la respuesta al escalon tendra la forma:

h(k) = hf + c1 ak sin(ω0 k + φ0)


para ciertas constantes hf , c1 y φ0.La forma de la respuesta es una sinusoidal muestrada, modulada por la exponencial ak.Al igual que en el caso de primer orden, cuando el modulo del polo (a) sea mas cercano a 1, la

exponencial decaera mas lentamente. Ademas, si a < 0 los valores tendran su signo alternado.Para valores pequenos de ω0, cada semiperıodo de la sinusoidal contendra aproximadamente π/ω0

muestras. Cuando ω0 sea mayor, por encima de π/4 por ejemplo, encontraremos alrededor de 3 o 4muestras por semiperıodo.

El ultimo factor a tener en cuenta es cuanto decrece la amplitud de la sinusoidal entre un semiperıodoy el siguiente. Teniendo en cuenta que entre un semiperıodo y el siguiente habra alrededor de π/omega0muestras, la amplitud de la exponencial decaera aproximadamente aπ/ω0 , por lo tanto,

|h(k +K/2)− hf ||h(k)− hf |

≈ aπω0 (1.90)

donde K es el perıodo expresado en muestras.La Figura 1.29 muestra la respuesta al escalon unitario de la FTD de la Ec.(1.89) para distintos valores

de ω0, manteniendo el modulo de los polos constante.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90100−10

−5

0

5

10

15

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90100−10

−5

0

5

10

15

20

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90100−5

0

5

10

15

20

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90100−100

−50

0

50

100

150

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90100−60

−40

−20

0

20

40

60

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90100−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

w0 = 0.1, a = 0.95 w0 = 0.2, a = 0.95 w0 = 0.5, a = 0.95

w0 = 0.1, a = −0.95 w0 = 0.2, a = −0.95 w0 = 0.5, a = −0.95

kkk

kkk

y(k)

y(k)

y(k)

y(k)

y(k)

y(k)

Figura 1.29: Respuesta al Escalon Unitario de la FTD de la Ec.(1.89) para Distintos Valores de ω0 con |a = 0.95|.

Como en el caso de primer orden y en los casos continuos, vemos que los coeficientes del denominadorson los que determinan la forma cualitativa de la respuesta, ya que son los que determinan la ubicacionde los polos.

Los coeficientes del numerador, en tanto, se manifiestan tanto en el valor inicial como en el valor finaly la relacion con la respuesta temporal puede deducirse utilizando los teoremas de valor inicial y valorfinal.

Consideremos por ejemplo la respuesta al escalon de la Fig.1.30.


−10 0 10 20 30 40 500

2

4

6

8

10

12

14

16

18

k

y(k)

Figura 1.30: Respuesta al Escalon Unitario del Sistema de la Ec.(1.89).

En dicha respuesta, podemos observar que las muestras tienen signos alternados respecto al valorfinal, lo que dice que a < 0. Ademas, hay un primer maximo en k = 6, el siguiente alrededor de k = 19 yluego uno en k = 31. Por lo tanto el numero de muestras por perıodo es alrededor de K = 25. Luego,

K = 25 ≈ 2 π

ω0⇒ ω0 ≈ 0.25

Por otro lado, el primer maximo esta alejado 17 − 10 = 7 del valor final. El siguiente esta alrededor de12− 10 = 2 del valor final. Luego, teniendo en cuenta que la distancia en muestras es 19− 6 = 13, entreambos la exponencial se amortiguo en un factor |a|13, de donde

|a|13 ≈ 2

7⇒ |a| ≈ 0.9

Por lo tanto, a ≈= −0.9 y ω0 ≈ 0.25, lo que completa el denominador.Para deducir la forma del denominador, utilizamos el Teorema del Valor Inicial (TVI) en primer lugar:

h(k = 0) = lımz→∞

G(z) = b2 = 5

Podemos aplicar el TVI nuevamente a la respuesta retardada para deducir b1:

h(k = 1) = lımz→∞

z [G(z)−h(0)]+h(0) = lımz→∞

z [b2 z

2 + b1 z + b0z2 − 2 a cos(ω0) z + a2

−b2]+b2 = b1+2 b2 a cos(ω0)+b2

de donde,b1 =≈ 11.3− 5 a cos(ω0)− 5 = 15

Finalmente, utilizando el Teorema del Valor Final, obtenemos,

lımk→∞

h(k) = G(1) =b2 + b1 + b0

1− 2 a cos(ω0) + a2= 10

de donde,b0 = 10 (1− 2 a cos(ω0) + a2)− b2 − b1 ≈ 15.5

En conclusion, la FTD era:

G(z) =5 z2 + 15 z + 15.5

z2 + 2 · 0.9 cos(0.25) z + 0.92=

5 z2 + 15 z + 15.5

z2 + 1.74 z + 0.81


Sistemas de Orden Mayor y Polos Dominantes

Al igual que en el caso continuo, los sistemas de orden mayor que dos pueden descomponerse ensistemas de orden 1 y 2. Ademas, en muchos casos las dinamicas rapidas tambien pueden despreciarse.

Los polos dominantes aquı tambien seran los polos lentos, es decir, los que esten mas cerca de lacircunferencia unitaria.

Por ejemplo, la FTD de tercer orden:

G(z) =z2 + 1.19 z + 1

(z2 + 2 · 0.8 cos(0.25) z + 0.82) (z − 0.95)(1.91)

tiene polos en:z1,2 = 0.8 e±j 0.25; z3 = 0.95

Los polos conjugados llegan al 3% de su valor cuando:

0.8k = 0.03 ⇒ k log 0.8 = log 0.03 ⇒ k ≈ 15

mientras que el polo real llega al 3% de su valor con:

0.95k = 0.03 ⇒ k log 0.95 = log 0.03 ⇒ k ≈ 68

Por lo tanto la dinamica de los polos complejos conjugadas es log(0.95)/ log(0.8) = 4.35 veces mas rapidaque la del polo real y podemos considerarla casi despreciable. La Fig.1.31 muestra la respuesta al escalondel sistema de tercer orden, donde puede corroborarse este hecho. Salvo por los primeros instantes, larespuesta se asemeja a la de un sistema de primer orden.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

k

y(k)

Figura 1.31: Respuesta al Escalon Unitario de la FTD de la Ec.(1.91).

Por lo tanto, en el caso discreto podemos proceder de igual manera que en los sistemas continuos, ydespreciar las dinamicas rapidas.

Desde el punto de vista practico, normalmente consideraremos despreciables los polos que sean desdealrededor de 5 veces mas rapidos que los dominantes. Es importante tener en cuenta que la velocidad delpolo no la determina directamente |a|, sino su logaritmo.


1.3. Herramientas de Analisis de Modelos Internos

Recordando nuevamente la division inicial que realizamos entre modelos externos e internos, en estaseccion abordaremos el estudio de las principales las propiedades de los ultimos.

Cuando nos referimos a modelos internos hablamos casi exclusivamente de sistemas de Ecuaciones deEstado y Salida. Por lo tanto, al hablar de Analisis de Modelos Internos estaremos hablando generalmentede lo que se conoce como Analisis en el Espacio de Estados.

1.3.1. Solucion de las Ecuaciones de Estados

Para analizar las distintas propiedades de los modelos internos, vamos a comenzar por deducir lasolucion de las Ecuaciones de Estado tanto continuas como discretas. A diferencia de los modelos externos,ahora sı consideraremos la presencia de condiciones iniciales.

Caso Continuo

Consideremos un sistema de EE dado en su forma matricial:

x(t) = A x(t) +B u(t)

y supongamos que la condicion inicial esta dada por

x(0) = x0

Para calcular la solucion x(t) del sistema, podemos recurrir a la Transformada de Laplace:

s X(s)− x0 = A X(s) +B U(s)

de donde,

(s I −A)X(s) = x0 +B U(s) ⇒ X(s) = (s I −A)−1 x0 + (s I −A)−1 B U(s)

y finalmente, antitransformando resulta

x(t) = Φ(t) x0 +

∫ t

0

Φ(τ) B u(t− τ) dτ (1.92)

dondeΦ(t) , L−1(s I −A)−1 (1.93)

Como puede verse, la solucion de las EE dada por la Ec.(1.92) tiene dos terminos. Uno debido a lascondiciones iniciales x0 y otro debido a las entradas u(t). El primer termino se denomina respuesta librey el segundo respuesta forzada.

La matriz Φ(t) es la que caracteriza la solucion, y se denomina Matriz de Transicion del sistema.Teniendo en cuenta la analogıa de la Ec.(1.93) con la expresion de la transformada de una funcionexponencial, se define la exponencial matricial :

eA t , Φ(t) = L−1(s I −A)−1 (1.94)

que en el caso que A sea escalar coincide con la exponencial normal.La matriz de transicion Φ(t) = eA t tiene varias propiedades que coinciden con las de la exponencial

escalar:

Φ(0) = eA 0 = I

Φ(t1 + t2) = eA (t1+t2) = eA t1 eA t2 = Φ(t1) Φ(t2)

Φ(−t) = e−A t = (eA t)−1 = Φ(t)−1


Los elementos de la matriz de transicion Φ(t) tienen una forma bastante particular, como veremos acontinuacion. Recordando que

eA T = L−1(s I −A)−1 = L−1adjT (s I −A)

det(s I −A)

resulta que cada elemento de la matriz Φ(t) tiene por transformada un cociente de polinomios. Esto es,

Φi,j(t) = L−1 Ni,j(s)

det(s I −A)

Estos polinomios tienen polos cuando det(s I −A) = 0, es decir cuando s coincide con una autovalor dela matriz A.

Recordemos que los autovalores de una matriz A son las soluciones de la ecuacion:

det(λ I −A) = 0

Por lo tanto, llamando λ1, λ2, · · · , λn a los n autovalores de la matriz A, cada componente de la matrizde transicion podra escribirse como:

Φi,j(t) = c1 eλ1 t + · · ·+ cn e

λn t

para ciertas constantes c1, c2, etc8.

Si consideramos entonces la respuesta libre de un sistema lineal y estacionario, haciendo u = 0 en laEc.(1.92), tendremos

x(t) = Φ(t) x0 =

α1,1 eλ1 t + · · ·+ α1,n e

λn t

...αn,1 e

λ1 t + · · ·+ αn,n eλn t

para ciertas constantes αi,j que dependeran de la condicion inicial x0 y de la matriz A.

Caso Discreto

La solucion de las EED es analogo al caso continuo. Dada la EED matricial:

x(k + 1) = A x(k) +B u(k)

con condicion inicialx(0) = x0

podemos calcular la solucion x(k) utilizando la Transformada Z:

z (X(z)− x0) = A X(z) +B U(z)

de donde,

(z I −A)X(z) = z x0 +B U(z) ⇒ X(z) = z (z I −A)−1 x0 + z (z I −A)−1 z−1B U(z)

y finalmente, antitransformando resulta

x(k) = Φ(k) x0 +

k−1∑

ℓ=0

Φ(ℓ) B u(k − ℓ− 1) (1.95)

dondeΦ(k) , Z−1z (z I −A)−1 = Ak (1.96)

8Estamos asumiendo que no hay autovalores repetidos. Si los hubiera, apareceran modos del tipo t eλj t.


Al igual que en el caso continuo, la solucion dada por la Ec.(1.95) tiene dos componentes. La primera esla respuesta libre y la segunda es la respuesta forzada.

La matriz Φ(k) = Ak se denomina matriz de transicion discreta y tiene propiedades similares a sucontraparte continua:

Φ(0) = A0 = I

Φ(k1 + k2) = Ak1+k2 = Ak1 Ak2 = Φ(k1) Φ(k2)

Φ(−k) = A−k = (A−1)k = Φ−1(k)

Procediendo de manera analoga al caso continuo, si los autovalores de la matriz A son λ1, · · · , λn,resulta que las componentes de la matriz de transicion tienen la forma:

Φi,j(k) = c1 λk0 + · · ·+ cn λ

kn

para ciertas constantes c1, · · · , cn. Luego, la solucion libre sera de la forma:

x(k) = Φ(k) x0 =

α1,1 λk1 + · · ·+ α1,n λ

kn

...αn,1 λ

k1 + · · ·+ αn,n λ

kn

para ciertas constantes αi,j que dependeran de la condicion inicial x0 y de la matriz A.

1.3.2. Estabilidad Interna

Los modelos internos se utilizan a menudo para representar sistemas no lineales. Como en estossistemas puede haber multiples puntos de equilibrio, la estabilidad interna se define en relacion a dichospuntos.

En otras palabras, normalmente no se habla de la estabilidad interna de un sistema, sino de laestabilidad de los puntos de equilibrio de dicho sistema.

Si bien en los sistemas lineales y estacionarios suele haber un unico punto de equilibrio, es preferiblerespetar el vocabulario y las definiciones del caso general.

A continuacion entonces formalizaremos los conceptos de puntos de equilibrios y su estabilidad, enlos casos continuos y discretos.

Estabilidad Interna en Sistemas Continuos

Supongamos que tenemos un sistema lineal y estacionario con una entrada constante u(t) = u:

x(t) = A x(t) +B u(t) = A x(t) +B u

Si la matriz A es invertible (o sea, no tiene autovalores nulos), podemos determinar el valor de x(t) = xpara el cual se anula la derivada del estado:

0 = A x+B u ⇒ x = −A−1 B u

Puede verse facilmente que si la condicion inicial es x0 = x, la solucion x(t) permanecera en dicho valorpara todo t. Por este motivo, el punto x(t) se denomina punto de equilibrio del sistema.

En un sistema lineal y estacionario, cuando la matriz A es invertible, dado un valor de entrada u esevidente que existe un unico punto de equilibrio x. Mas aun, si la entrada es nula, el unico punto deequilibrio es el origen.

En caso que la matriz A no sea invertible, hay dos posibilidades: o hay infinitos puntos de equilibrioo no hay ningun punto de equilibrio.

Ahora bien, si el estado inicial no coincide con el punto de equilibrio, ¿como podemos determinar sila solucion se acerca al equilibrio o no?.

La respuesta a esta pregunta la brinda la definicion de Estabilidad Interna.


A diferencia de la estabilidad externa, en los modelos internos existen tres casos de estabilidad: unpunto de equilibrio puede ser estable, inestable o asintoticamente estable.

Diremos que un punto de equilibrio es estable cuando la solucion no se aleja indefinidamente delmismo9. Diremos ademas que un punto de equilibrio es inestable cuando no es estable. Por ultimo,diremos que un punto de equilibrio es asintoticamente estable cuando ademas de ser estable, la soluciontiende asintoticamente al mismo.

Una propiedad fundamental de los sistemas lineales y estacionarios es que la estabilidad interna sepuede analizar en el origen. Si la entrada fuera no nula, siempre es posible hacer un cambio de variablesmuy simple definiendo x(t) , x(t) +A−1 B u y quedara un sistema identico en x con entradas nulas.

Por lo tanto, podemos analizar directamente la estabilidad del origen del sistema

x(t) = A x(t)

y concluir sobre cualquier punto de equilibrio que resulte de aplicar entradas no nulas.Como vimos anteriormente, la solucion de la ecuacion libre tiene la forma

x(t) = Φ(t) x0 =

α1,1 eλ1 t + · · ·+ α1,n e

λn t

...αn,1 e

λ1 t + · · ·+ αn,n eλn t

siendo λi los autovalores de la matriz A. De aquı, es evidente que:

El punto de equilibrio de un sistema lineal y estacionario es asintoticamente establesi y solo si todos los autovalores de la matriz A tienen parte real negativa.

En este caso hablamos de un unico punto de equilibrio ya que la condicion establece que no hay autovaloresnulos y por lo tanto A es invertible.

Ademas, es claro que,

Si uno o mas autovalores de la matriz A de un sistema lineal y estacionario tienenparte real positiva, sus puntos de equilibrio seran inestables.

Por otro lado, cuando los autovalores tengan parte real nula, no se aproximaran al equilibrio y tampocose alejaran mucho, salvo que se trate de autovalores multiples, ya que en ese caso apareceran terminosno amortiguados multiplicados por t, t2, etc. Luego,

Si un sistema lineal y estacionario tiene todos sus autovalores con parte real menoro igual que cero y no tiene autovalores con parte real nula repetidos, entonces suspuntos de equilibrio seran estables

.Como vemos, la posicion de los autovalores de la matriz A en un modelo de EE juega un rol casi equiv-

alente al de la posicion de los polos de la funcion transferencia. Mas adelante veremos esta coincidenciaen mas detalle.

Estabilidad Interna en Sistemas Discretos

El caso discreto es completamente analogo al caso continuo.Aquı, dada una entrada constante u(k) = u, podemos determinar el punto de equilibrio como sigue:

x(k + 1) = A x(k) +B u = x(k) = x

de donde,(I −A) x = B u

9En el caso no lineal es necesaria una definicion mas precisa.


y asumuendo que la matriz I −A es invertible, resulta,

x = (I −A)−1 B u

Al igual que en el caso continuo, si la matriz I − A es invertible hay un unico punto de equilibrio quecoincide con el origen cuando la entrada u es nula. En caso que la entrada no sea nula, puede hacerse uncambio de variables y analizar un sistema identico con entrada nula.

Haciendo un analisis analogo al del caso continuo, puede concluirse lo siguiente:

El punto de equilibrio de un sistema discreto lineal y estacionario es asintoticamenteestable si y solo si todos los autovalores de la matriz A tienen modulo menor que 1.

En este caso hablamos de un unico punto de equilibrio ya que la condicion establece que los autovalorestienen modulo menor que 1, lo que implica que I −A es invertible.

Ademas, resulta que,

Si uno o mas autovalores de un sistema discreto lineal y estacionario tienen modulomayor que 1, sus puntos de equilibrio seran inestables.

Por otro lado, cuando los autovalores tengan modulo 1, no se aproximaran al equilibrio y tampoco sealejaran mucho, salvo que se trate de autovalores multiples, ya que en ese caso apareceran terminos noamortiguados multiplicados por k, k2, etc. Luego,

Si un sistema lineal y estacionario tiene todos sus autovalores con modulo menor oigual que 1 y no tiene autovalores con modulo 1 repetidos, entonces sus puntos deequilibrio seran estables

.Como en el caso continuo, la posicion de los autovalores de las EED juega casi el mismo rol que la

posicion de los autovalores de la FTD. Ya analizaremos oportunamente esta coincidencia.

1.3.3. Diagonalizacion y Forma Canonica de Jordan

Cuando presentamos la Ecuaciones de Estado en el ejemplo introductorio, mostramos que habıamuchas formas de elegir las variables de estado (infinitas formas en realidad).

Dependiendo entonces de la eleccion que hagamos para las variables de estado, la matriz de evolucionA cambiara. Vimos ademas dos maneras de elegir las variables de estado que nos llevaban a las formascanonicas de controlabilidad y de observabilidad, donde la matriz A resultaba con una estructura bastantesimple.

Ahora veremos otra forma canonica, denominada Forma Canonica de Jordan, donde la matriz Atomara una forma diagonal (o cuasi–diagonal cuando haya autovalores repetidos).

Caso Continuo

Consideremos el siguiente sistema (libre) de Ecuaciones de Estado:

w1(t) = λ1 w1(t)

w2(t) = λ2 w2(t)

......

wn(t) = λn wn(t)

(1.97)

con forma matricial:

w(t) =

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λn

w(t) = Λ w(t)


Notar que al ser Λ una matriz diagonal, las componentes de la diagonal principal son los autovalores dela matriz.

Como vemos, se trata de un sistema de n ecuaciones desacopladas de primer orden, que puede resol-verse de manera trivial:

w1(t) = eλ1 t w1(0)

w2(t) = eλ2 t w2(0)

......

wn(t) = eλn t wn(0)

La solucion tambien puede expresarse en forma matricial:

w(t) =

eλ1 0 · · · 00 eλ2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · eλn

w(0) = eΛ t w(0) (1.98)

El sistema de la Ec.(1.97) esta expresado en la Forma Canonica o Forma Normal de Jordan, y comovemos, debido a esto es muy simple encontrar la solucion.

Dado que generalmente los sistemas de EE/ES no vienen dados ası, es natural preguntarse si es posiblehacer un cambio de variables que nos lleve a esta forma canonica.

Como veremos a continuacion, si no hay autovalores repetidos, siempre sera posible llevar un sistemaa la forma diagonal. En presencia de autovalores multiples, en tanto, se podra aun llevar el sistema a laforma canonica de Jordan, pero ahora la matriz Λ tendra algunos elementos con valor 1 sobre la diagonalprincipal.

Dado un sistema (libre) lineal y estacionario,

x(t) = A x(t) (1.99)

proponemos el cambio de variablesx(t) = V w(t) (1.100)

donde V es una matriz invertible de dimension n× n.Usando la Ec.(1.100) en la Ecuacion (1.99), resulta

V w(t) = A V w(t)

de donde,w(t) = V −1 A V w(t) = Λ w(t)

Es decir, para que el cambio de variables nos lleve a la forma diagonal debera ser:

Λ = V −1 A V (1.101)

Si la matriz A tiene todos sus autovalores distintos, y tomamos V como una matriz de autovectores deA, la Ec.(1.101) nos dara como resultado una matriz diagonal Λ.

Recordemos que si λi es un autovalor de A, un vector Vi no nulo que satisface

(λi I −A) V = 0

es un autovector asociado al autovalor λi. Calculados los n autovectores correspondientes a los n auto-valores de A, la matriz de autovectores es:

V =[

V1 V2 · · · Vn]

Este cambio de variables se denomina diagonalizacion o desacoplamiento, y sera posible realizarlo cadavez que la matriz A tenga los n autovalores distintos, ya que en dicho caso encontraremos n autovectoreslinealmente independientes y la matriz V sera no singular.


La diagonalizacion nos brinda una herramienta alternativa para calcular la matriz de transicion. Dehecho, la matriz de transicion en las coordenadas diagonales toma la forma trivial dada por la Ec.(1.98)(es una matriz diagonal).

Luego, reemplazando con el cambio de variables de la Ec.(1.100), resulta

x(t) = V w(t) = V eΛ t w(0)

Despejando de la Ec.(1.100), resulta w(0) = V −1 x(0), y luego,

x(t) = V eΛ t V −1 x(0)

de donde, es evidente que la matriz de transicion en las coordenadas originales resulta

eA t = V eΛ t V −1 = V

eλ1 0 · · · 00 eλ2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · eλn

V −1 (1.102)

Por lo tanto, calculando las matrices de autovalores y autovectores de A podemos calcular eA t de manerasimple, sin necesidad de usar la Transformada de Laplace.

En el caso en que el sistema tenga entradas, el cambio de variables es el mismo. Dado el sistema

x(t) = A x(t) +B u(t)

reemplazando con el cambio de variables de la Ec.(1.100), resulta

V w(t) = A V w(t) +B u(t)

y finalmente,w(t) = V −1 A V w(t) + V −1 B u(t) = Λ w(t) +Bz u(t)

Por ultimo, cuando haya autovalores repetidos, no sera posible encontrar n autovalores linealmenteindependientes y no se podra llevar el sistema a su forma diagonal. En tal caso, la matriz canonica deJordan es diagonal en bloques, donde cada bloque tiene la forma:

Ji =

λi 1 0 · · · 00 λi 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 0 · · · λi

y la dimension del bloque Ji es igual al numero de veces que aparece repetido el autovalor λi.

Caso Discreto

La forma canonica de Jordan en el caso discreto es identica a la del caso continuo y resulta de realizarel mismo cambio de variables.

Dado un sistema libre de EED,x(k + 1) = A x(k)

realizando el cambio de variables de la Ec.(1.100) siendo V la matriz de autovectores, obtenemos

z(k + 1) = Λ z(k)

de donde cada componente del vector de estado en las coordenadas modales tendra solucion

zi(k) = λki zi(0)

de donde,z(k) = Λk z(0)


Volviendo a las coordenadas originales, la solucion libre puede expresarse como:

x(k) = V Λk V −1 x(0) = Ak x(0)

de donde la matriz de transicion discreta resulta

Ak = V Λk V −1

lo que nos brinda una formula alternativa para calcular la potencia k–esima de una matriz.El resto de las propiedades de la forma canonica de Jordan son identicas al caso continuo por lo que

no ahondaremos en las mismas.

1.3.4. Retratos de Fase

Vimos anteriormente que la respuesta al escalon caracteriza el comportamiento de un modelo externocon una entrada y una salida.

En el caso de los modelos internos de orden mayor que uno, las trayectorias de los mismos involucran laevolucion de mas de una variable de estado desde condiciones iniciales arbitrarias. Por lo tanto, tendrıamosque dibujar multiples trayectorias de respuesta temporal (para cada estado y para distintas condicionesiniciales) para caracterizar el comportamiento.

Como esto no es practico, la herramienta habitual de caracterizacion de las trayectorias en el casocontinuo consiste en un dibujo de la evolucion de las mismas en el espacio de estados. Esto, por supuesto,es posible unicamente en sistemas de orden 2 o 3 (haciendo una proyeccion en el plano en este ultimocaso).

En el caso de los sistemas de segundo orden, las graficas mencionadas se denominan Retratos de Fase(RF). Los RF de los sistemas de segundo orden son graficas de la solucion en el plano x1–x2 con el tiempocomo variable parametrica.

La forma cualitativa de los RF estara determinada por la posicion de los autovalores de la matriz deevolucion A, por lo que a continuacion analizaremos las distintas posibilidades.

Dos Autovalores Reales Negativos Distintos – Nodo Estable

Consideremos el siguiente sistema libre de segundo orden:

w1(t) = λ1 w1(t)

w2(t) = λ2 w2(t)(1.103)

y supongamos que λ2 < λ1 < 0.Como podemos ver, estamos en un caso desacoplado, con dos autovalores reales distintos y negativos.

La solucion de esta ecuacion es trivial:

w1(t) = eλ1 t w1(0)

w2(t) = eλ2 t w2(0)

y teniendo en cuenta que λ2 < λ1, el segundo autovalor estara mas a la izquierda y su evolucion sera masrapida. La Fig.1.32 muestra la evolucion para ciertas condiciones iniciales y ciertos valores de λ1 y λ2.

Si graficamos entonces una trayectoria en funcion de la otra, veremos que las mismas se acercaran masrapidamente al eje x1 ya que x2 tiende mas rapido a cero. Esto ademas ocurrira para cualquier condicioninicial.

La Fig.1.33 muestra las trayectorias en el plano w1–w2. La forma de este Retrato de Fases se denominaNodo Estable. Dado que el Sistema de la Ec.(1.103) esta desacoplado, se dice que dicho Retrato de Fasesesta en el Plano Modal.

Una particularidad de este Retrato de Fases es que los ejes del mismo coinciden con trayectorias. Sicolocamos una condicion inicial en uno de los ejes, la trayectoria correspondiente seguira el eje hastaalcanzar el origen.


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

x1(t)

t

t

x2(t)

Figura 1.32: Evolucion de las Variables de Estado de la Ec.(1.103).

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

w1

w2

Figura 1.33: Retrato de Fases Modal de la Ec.(1.103). Nodo Estable (Plano Modal)

Evidentemente es muy sencillo obtener el Retrato de Fases de un Sistema desacoplado con el de laEc.(1.103).

Veamos ahora que ocurre con un caso no diagonal. Consideremos por ejemplo el sistema:

x1 = −4 x1 − x2

x2 = −2 x1 − 5 x2(1.104)

La matriz de evolucion A de este sistema tiene autovalores λ1 = −3, λ2 = −6. Como A no es diagonal,podemos hacer un cambio de variables y diagonalizarla. Para esto, calculamos los autovectores:

(λ1 I −A)

[

V1,1V2,1

]

=

([

−3 00 −3

]

−[

−4 −1−2 −5

]) [

V1,1V2,1

]

=

[

00

]


es decir,[

1 12 2

] [

V1,1V2,1

]

=

[

00

]

Como ocurre siempre, el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones ya que hay infinitos autovectoreslinealmente dependientes.

Eligiendo entonces arbitrariamente V1,1 = 1, resulta V2,1 = −1, por lo que el primer autovector es:

V1 =

[

1−1

]

Naturalmente, multiplicando V1 por cualquier constante, obtenemos tambien un autovector.Para el segundo autovector procedemos de manera analoga:

(λ2 I −A)

[

V1,2V2,2

]

=

([

−6 00 −6

]

−[

−4 −1−2 −5

]) [

V1,2V2,2

]

=

[

00

]

de donde resulta,[

−2 12 −1

] [

V1,2V2,2

]

=

[

00

]

Nuevamente (como debe ocurrir siempre), hay infinitas soluciones. Tomando entonces V2,1 = 1, resultaV2,2 = 2, por lo que el segundo autovector es:

V2 =

[

12

]

Por lo tanto, realizando el cambio de variables x = V w, obtendremos un sistema en su forma diagonal:

w1 = −3 w1

w2 = −6 w2

del cual sabemos que el RF se corresponde al de la Fig.1.33.Resta entonces determinar como el cambio de variables afecta dicha grafica. Para eso veremos en

primer lugar que ocurre con los ejes del RF modal.El eje w1 se transformara en una recta, segun:

x1 = V

[

10

]

= V1

es decir, coincidira con el primer autovector. No hace falta aclarar que el eje w2 coincidira con el segundoautovector.

Por lo tanto, los ejes del plano modal se transforman en los autovectores del plano original. Luego, elRF tomara la forma que se muestra en la Fig.1.34.

Notar que en la direccion de los autovectores las trayectorias son rectas. De hecho, puede verificarseque si la condicion inicial coincide con la direccion del autovector V1 las soluciones tienen la formax1(t) = eλ1 t x1(0) y x2(t) = eλ1 t x2(0). Algo analogo ocurre sobre la direccion del autovector V2. Poreste motivo, se dice que los autovectores definen direcciones invariantes.

Sintetizando, una vez que calculamos los autovalores y resultan reales negativos y distintos, sabemosque es un nodo estable y que su retrato de fases en el plano modal es el de la Fig.1.33. Luego, para dibujarel RF en el plano original simplemente calculamos los autovectores V1 y V2 quienes nos indican como setransforman los ejes del plano modal. A partir de los mismos es sencillo graficar el RF completo.


−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0−3

−2

−1

0

1

2

3

x1

x2

Figura 1.34: Retrato de Fases de la Ec.(1.104). Nodo Estable (Plano Original)


Dos Autovalores Reales Positivos Distintos – Nodo Inestable

En este caso, en las coordenadas modales tendremos las mismas ecuaciones que antes, es decir, laEc.(1.103), solo que ahora sera λ2 > λ1 > 0.

Temporalmente la evolucion de las variables w1(t) y w2(t) seran exponenciales crecientes y el corre-spondiente Retrato de Fases sera como el que muestra la Fig.1.35. Dicho Retrato de Fases se denominaNodo Inestable.

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

w1

w2

Figura 1.35: Retrato de Fases Modal con λ2 > λ1 > 0. Nodo Inestable (Plano Modal)

En el caso no diagonal, se puede proceder como antes, calculando los autovectores y recordando quelos ejes del plano modal se transformaran en los autovectores en el plano original. En tal caso, resulta unRF como el de la Fig.1.36.

−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0−3

−2

−1

0

1

2

3

x1

x2

Figura 1.36: Retrato de Fases con λ2 > λ1 > 0. Nodo Inestable (Plano Original)


Dos Autovalores Reales, uno Positivo y otro Negativo – Ensilladura

En este caso, en las coordenadas modales tendremos las mismas ecuaciones que antes, es decir, laEc.(1.103), solo que ahora sera λ2 > 0 > λ1.

Temporalmente la evolucion de las variables w1(t) y w2(t) seran exponenciales decrecientes y crecientesrespectivamente y el correspondiente Retrato de Fases sera como el que muestra la Fig.1.37. Dicho Retratode Fases se denomina Ensilladura.

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−3

−2

−1

0

1

2

3

w1

w2

Figura 1.37: Retrato de Fases Modal con λ2 > 0 > λ1. Ensilladura (Plano Modal)

En el caso no diagonal, se puede proceder como antes, calculando los autovectores y recordando quelos ejes del plano modal se transformaran en los autovectores en el plano original. En tal caso, resulta unRF como el de la Fig.1.38.

−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0−3

−2

−1

0

1

2

3

x1

x2

Figura 1.38: Retrato de Fases con λ2 > 0 > λ1. Ensilladura (Plano Original)


Dos Autovalores Reales, uno Negativo otro Nulo – Nodo Estable Degenerado

En este caso tendremos λ1 < λ2 = 0.Temporalmente la evolucion de las variables w1(t) y w2(t) sera una exponencial decreciente y una

constante, respectivamente, por lo que el Retrato de Fases sera como el que muestra la Fig.1.39. DichoRetrato de Fases se denomina Nodo Estable Degenerado. En este caso el eje w2 tiene infinitos puntos deequilibrio.

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

w1

w2

Figura 1.39: Retrato de Fases Modal con λ1 < λ2 = 0. Nodo Estable Degenerado (Plano Modal)

En el caso no diagonal, se puede proceder como antes, calculando los autovectores y recordando quelos ejes del plano modal se transformaran en los autovectores en el plano original. En tal caso, resulta unRF como el de la Fig.1.40, donde en la direccion del autovector correspondiente a w2 hay infinitos puntosde equilibrio.

−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0−3

−2

−1

0

1

2

3

x1

x2

Figura 1.40: Retrato de Fases con λ1 < λ2 = 0. Nodo Estable Degenerado (Plano Original)


Dos Autovalores Reales, uno Positivo otro Nulo – Nodo Inestable Degenerado

En este caso tendremos λ1 > λ2 = 0.Temporalmente la evolucion de las variables w1(t) y w2(t) sera una exponencial creciente y una

constante, respectivamente, por lo que el Retrato de Fases sera como el que muestra la Fig.1.41. DichoRetrato de Fases se denomina Nodo Inestable Degenerado. Al igual que en el caso estable, el eje w2 tieneinfinitos puntos de equilibrio.

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

w1

w2

Figura 1.41: Retrato de Fases Modal con λ1 > λ2 = 0. Nodo Inestable Degenerado (Plano Modal)

En el caso no diagonal, se puede proceder como antes, calculando los autovectores y recordando quelos ejes del plano modal se transformaran en los autovectores en el plano original. En tal caso, resulta unRF como el de la Fig.1.42, donde en la direccion del autovector correspondiente a w2 hay infinitos puntosde equilibrio.

−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0−3

−2

−1

0

1

2

3

x1

x2

Figura 1.42: Retrato de Fases con λ1 > λ2 = 0. Nodo Inestable Degenerado (Plano Original)


Dos Autovalores Reales Negativos Iguales, Caso Diagonal – Estrella Estable

Habıamos mencionados que cuando la matriz A tiene autovalores iguales no puede diagonalizarse.Esto es cierto salvo que la matriz ya sea diagonal (o diagonal en bloques y los autovalores repetidos estenen bloques distintos).

Veamos entonces el caso en que λ1 = λ2 < 0. Como estamos asumiendo que la matriz ya es diagonal,el plano modal y el original coinciden.

Temporalmente la evolucion de las variables x1(t) y x2(t) seran exponenciales decrecientes con elmismo exponente, y por lo tanto las trayectorias x1 vs. x2 describiran rectas. El correspondiente Retratode Fases sera como el que muestra la Fig.1.43. Dicho Retrato de Fases se denomina Estrella Estable. Enel mismo pueden observarse infinitas direcciones invariantes.

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x1

x2

Figura 1.43: Retrato de Fases con λ1 = λ2 < 0. Estrella Estable (Plano Modal y Original)

Dos Autovalores Reales Positivos Iguales, Caso Diagonal – Estrella Inestable

Este caso es identico al anterior, solo que con exponenciales crecientes. El correspondiente Retrato deFases sera como el que muestra la Fig.1.44 y se denomina Estrella Inestable.

Dos Autovalores Reales Negativos, Caso no Diagonal – Jordan Estable

En este caso tendremos λ1 = λ2 < 0, pero como las ecuaciones no estan dadas en forma diagonal, nopodremos diagonalizarla ya que no sera posible encontrar dos autovectores linealmente independientes.Sin embargo, como veremos luego, sı sera posible llevar las EE a la forma:

w1(t) = λ1 w1(t) + w2(t)

w2(t) = λ1 w2(t)(1.105)

La solucion de estas ecuaciones tendra la forma:

w1(t) = eλ1 t w1(0) + t eλ1 t w2(0)

w2(t) = eλ1 t w2(0)(1.106)

y las trayectorias w1 vs.w2 se veran como muestra el RF modal de la Fig.1.45Cuando las EE no tengan la forma de la Ec.(1.105), podremos llevarlas a dicha forma calculando un

autovector y un vector principal.Consideremos por ejemplo el sistema


−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x1

x2

Figura 1.44: Retrato de Fases con λ1 = λ2 > 0. Estrella Inestable (Plano Modal y Original)

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

w1

w2

Figura 1.45: Retrato de Fases Modal con λ1 = λ2 < 0. Jordan Estable (Plano Modal)

x1 = −5 x1 + x2

x2 = −x1 − 7 x2(1.107)

Si calculamos los autovalores resulta λ1 = λ2 = −6, por lo que sabemos que se trata de un JordanEstable, con el RF Modal de la Fig:1.45.

Para calcular el autovector, hacemos,

(λ1 I −A) V1 = 0

de donde resulta, eligiendo V1,1 = 1,

V1 =

[

1−1

]


Por lo tanto, el eje horizontal del plano modal se transformara en la direccion [1,−1] del plano original.Esto quiere decir que el RF en el plano original sera como el que se muestra en la Fig.1.46

−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0−3

−2

−1

0

1

2

3

x1

x2

Figura 1.46: Retrato de Fases con λ1 = λ2 < 0. Jordan Estable (Plano Original)

Si nos interesa completal la matriz de transformacion V , debemos calcular el vector principal: Paraesto resolvemos

(λ1 I −A) V2 = −V1es decir,

−V2,1 − V2,2 = −1

V2,1 + V2,2 = 1

Por lo que si elegimos V2,1 = 1 resulta V2,2 = 0, es decir, el vector principal es

V2 =

[

10

]

Puede verificarse que

V −1 A V =

[

1 1−1 0

]−1 [

−5 1−1 −7

] [

1 1−1 0

]

=

[

−6 10 −6

]

Dos Autovalores Reales Positivos, Caso no Diagonal – Jordan Inestable

Cuando ambos autovalores son positivos iguales y no estamos en la forma diagonal, podemos procederde manera analoga al caso de Jordan Estable pero ahora obtendremos trayectorias que se alejan del origen.La Fig.1.47 muestra el RF en el plano modal, mientras que la Fig.1.48 grafica las mismas en el planooriginal, suponiendo que encontramos el mismo autovector del caso anterior.


−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

w1

w2

Figura 1.47: Retrato de Fases Modal con λ1 = λ2 > 0. Jordan Inestable (Plano Modal)

−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0−3

−2

−1

0

1

2

3

x1

x2

Figura 1.48: Retrato de Fases con λ1 = λ2 > 0. Jordan Inestable (Plano Original)


Dos Autovalores Nulos, Caso no Diagonal – Jordan Degenerado

Si los dos autovalores son nulos y el caso no esta desacoplado, analizando la Ec.(1.106) se llega a laconclusion que w2 permanece constante y que w1 crece o decrece constantemente segun el signo de w2.Ademas, cuando w2(0) = 0 el sistema estara en equilibrio independientemente de w1.

La Fig.1.49 ilustra este caso en el plano modal.

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

w1

w2

Figura 1.49: Retrato de Fases Modal con λ1 = λ2 = 0. Jordan Degenerado (Plano Modal)

Si las ecuaciones no estan dadas en la forma modal, se puede pasar a esta forma calculando elautovector y el vector principal como en los otros casos de Jordan. El RF en el plano original sera como elde la Fig.1.50, donde puede observarse que en la direccion del autovector hay infinitos puntos de equilibrio.

−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

w1

w2

Figura 1.50: Retrato de Fases con λ1 = λ2 = 0. Jordan Degenerado (Plano Original)


Autovalores Complejos Conjugados con Parte Real Negativa – Foco Estable

Cuando los autovalores son complejos, la forma diagonal no es muy util ya que las variables w1 y w2

seran complejas y no podremos graficar su evolucion.Sin embargo, en dichos casos podremos siempre hacer una transformacion que nos lleve a la forma:

w1 = σ w1 + ωa w2

w2 = −ωa w1 + σ w2

(1.108)

donde σ = Reλ1,2 y ωa = Imλ1.Para analizar la forma de las trayectorias de la Ec.(1.108), podemos hacer un nuevo cambio de variables

llevando a coordenadas polares:

w1 = r cos(θ)

w2 = r sin(θ)

En las nuevas variables, las EE quedan:

r = σ r

θ = ωa

En esta ultima ecuacion, dado que σ < 0 queda claro que el r (el modulo del vector [w1, w2]T ) decrece

exponencialmente y el angulo gira a velocidad constante. Evidentemente las trayectorias son espiralesdecreciente.

La Fig.1.51 grafica entonces las trayectorias en el plano modal. Este RF se denomina Foco Estable.

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

w1

w2

Figura 1.51: Retrato de Fases Modal con Reλ1,2 < 0. Foco Estable (Plano Modal)

Cuando las ecuaciones no vienen dada en la forma modal de la Ec.(1.108), puede pasarse a dichaforma utilizando la transformacion x = U w, con

U = [ReV1, ImV1]

donde V1 es uno de los autovectores. De esta forma, los ejes del plano modal se transforman en lasdirecciones dictadas por la parte real e imaginaria de los autovectores.

La Fig.1.52 muestra una evolucion en el plano original.


−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5−3

−2

−1

0

1

2

3

x1

x2

Figura 1.52: Retrato de Fases con Reλ1,2 < 0. Foco Estable (Plano Original)

Autovalores Complejos Conjugados con Parte Real Positiva – Foco Inestable

Cuando Reλ1,2 > 0, podemos proceder de manera identica al caso del Foco Estable. Como ahoraσ = Reλ1,2 > 0, las espirales en el plano modal seran crecientes.

La Fig.1.53 muestra las trayectorias en el plano modal y la Fig.1.54 muestra trayectorias en el planooriginal para cierta matriz A.

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

w1

w2

Figura 1.53: Retrato de Fases Modal con Reλ1,2 > 0. Foco Inestable (Plano Modal)

Autovalores Complejos Conjugados con Parte Real Nula – Centros

Cuando los autovalores tienen parte real nula, podemos repetir el analisis anterior considerando ahoraσ = Reλ1,2 = 0, por lo que en el plano modal el sistema describira circunferencias.

La Fig.1.55 muestra las trayectorias en el plano modal y la Fig.1.56 muestra trayectorias en el planooriginal para cierta matriz A con autovalores imaginarios puros.


−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5−3

−2

−1

0

1

2

3

x1

x2

Figura 1.54: Retrato de Fases con Reλ1,2 > 0. Foco Inestable (Plano Original)

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

w1

w2

Figura 1.55: Retrato de Fases Modal con Reλ1,2 = 0. Centros (Plano Modal)

Retratos de Fases con Entradas Constantes

Cuando analizamos los distintos casos, supusimos que las entradas eran nulas. Veremos que en presen-cia de entradas constantes obtendremos las mismas evoluciones pero las trayectorias, en lugar de dirigirseal origen, se dirigiran hacia el nuevo punto de equilibrio (al menos en ausencia de autovalores nulos).

De hecho, dado el sistemax(t) = A x+B u(t) (1.109)

Si aplicamos al mismo una entrada constante u(t) = u, el nuevo punto de equilibrio sera, (asumiendoque no hay autovalores nulos por lo que A es invertible):

x = −A−1 B u

Si hacemos un cambio de variables definiendo:

x(t) = x(t) − x = x(t) +A−1 B u


−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5−3

−2

−1

0

1

2

3

x1

x2

Figura 1.56: Retrato de Fases con Reλ1,2 = 0. Centros (Plano Original)

reemplazando en la Ec.(1.109), queda,

˙x(t) = A x+B (u(t)− u)

Por lo tanto, cuando u(t) = u las trayectorias de x(t) seran las del sistema libre.Dado que x(t) y x(t) solo difieren en que la segunda esta medida desde el punto de equilibrio de la

primera, la conclusion es que las trayectorias de x(t) son identicas, pero en torno al punto de equilibrio.Por lo tanto, cuando aplicamos una entrada constante a un sistema lineal y estacionario, las trayec-

torias son las del sistema libre trasladadas al nuevo punto de equilibrio.

1.3.5. Vinculacion entre Modelos Internos y Externos

Como vimos al principio de este capıtulo, un mismo sistema podıa representarse mediante modelosexternos e internos. De hecho, estudiamos como interconvertir distintos tipos de modelos.

Dados entonces dos modelos, uno interno y otro externo, de un mismo sistema; ambos deberıanmostrar identicas evoluciones en sus salidas para identicas entradas. Por lo tanto, es esperable que ambosmodelos evolucionen con identicos modos y compartan las propiedades de estabilidad.

A continuacion entonces estudiaremos formalmente estas caracterısticas.

Caso Continuo

Para comenzar, recordemos que dado un modelo de EE/ES,

x(t) = A x(t) +B u(t)

y(t) = C x(t) +D u(t)

asumiendo que hay solo una entrada y una salida (sistema SISO), habıamos deducido que la FT corre-spondiente era10

G(s) = C (s I −A)−1 B +D

Desarrollando la expresion de la inversa de una matriz, tendremos que

G(s) = CadjT (s I −A)

det(s I −A)B +D (1.110)

10En el caso de multiples entradas y/o salidas, la expresion se corresponde a la de la Matriz de Transferencia.


Como podemos ver, el primer termino de G(s) es un cociente de dos polinomios. El numerador tendra gra-do menor o igual que n − 1 ya que los elementos de la matriz adjunta traspuesta son determinantes desubmatrices de dimension (n−1)×(n−1). El denominador, en tanto, tendra grado n. El segundo termino(D) sera un escalar, ya que estamos suponiendo que hay una entrada y una salida.

Podemos ademas reescribir la Ec.(1.110) distribuyendo el denominador:

G(s) =C adjT (s I −A) B +D det(s I −A)

det(s I −A)

Si el polinomio numerador y denominador son coprimos, entonces no habra cancelaciones y los polos dela FT seran las soluciones de

det(s I −A) = 0

es decir, los autovalores de la matriz A.Si hubiera cancelaciones, los polos de la FT seran solo un subconjunto de los autovalores.Podemos entonces extraer las siguientes conclusiones sobre las relaciones entre las EE/ES y la FT:

Los polos de la FT seran los autovalores de la matriz A, o bien un subconjunto de ellos.

El orden de la FT sera igual o menor que el orden de las EE.

El grado relativo de la FT sera cero si y solo si D 6= 0.

Si el punto de equilibrio de la EE es asintoticamente estable, entonces la FT sera BIBO estable.

Si la FT es BIBO estable y tiene el mismo orden que las EE, entonces las EE seran asintoticamenteestables.

Los ultimos dos puntos sintetizan el siguiente concepto:

Estabilidad Interna Asintotica implica Estabilidad Externa. Lo contrario a veces novale.

Caso Discreto

En el caso discreto podemos proceder de manera analoga. Dado un sistema lineal y estacionario,

x(k + 1) = A x(k) + B u(k)

y(k) = C x(k) +D u(k)

resulta la FTD (para el caso SISO):

G(z) = C (z I −A)−1 B +D

De donde,

G(z) = CadjT (z I −A)

det(z I −A)B +D

y

G(z) =C adjT (z I −A) B +D det(z I −A)

det(z I −A)

de donde se pueden extraer exactamente las mismas conclusiones que en el caso continuo.


1.4. Herramientas de Discretizacion

Generalmente, los sistemas reales con los que nos interesa trabajar (circuitos, sistemas mecanicos,electromecanicos, etc.) tienen modelos continuos. Dado que en muchos casos nos interesara predecirsu comportamiento temporal, necesitaremos resolver las ecuaciones diferenciales involucradas en dichosmodelos.

Aunque a lo largo de este capıtulo vimos distintos metodos para analizar cualitativamente la formade las soluciones, y en cursos anteriores aprendimos a resolver exactamente dichas ecuaciones, estosprocedimientos suelen ser tediosos y muy poco practicos cuando los sistemas tienen orden alto o biencuando las entradas siguen trayectorias complicadas. Mas aun, ninguno de los metodos estudiados puedenutilizarse en sistemas no lineales, ya que en dicho caso las ecuaciones carecen en general de solucionanalıtica.

Por el contrario, encontrar la solucion temporal de un modelo discreto es trivial, ya que el mismomodelo nos da la formula para calcular el siguiente valor de las trayectorias.

Otro problema de mucho interes en la ingenierıa tiene que ver con implementar sistemas reales quecumplan con las leyes de un modelo dado. Estos sistemas pueden servir para modificar la dinamica deun sistema existente (controladores) o para modificar las caracterısticas espectrales de ciertas senales(filtros).

Nuevamente, dada una ley continua es muy difıcil, cuando no imposible, disenar un sistema fısico quela cumpla. Por el contrario, dada una ley discreta es trivial disenar un sistema digital real que la satisfaga.

Por estos motivos, es fundamental contar con herramientas de discretizacion, que nos permitan tratarproblemas continuos en el dominio discreto.

Veremos entonces dos enfoques: El primero nos permitira aproximar ecuaciones diferenciales porecuaciones en diferencias, y nos servira para realizar simulaciones tanto de sistemas lineales como desistemas no lineales. El segundo, en tanto, nos brindara una aproximacion discreta exacta de un sistemalineal y estacionario continuo con sus entradas muestreadas y sera util mas adelante para disenar yanalizar sistemas de control.

1.4.1. Aproximaciones Numericas

Cuando presentamos las Ecuaciones de Estado, vimos unicamente el caso lineal y estacionario. En elcaso general, las EE toman la forma:

x(t) = f(x(t),u(t), t)

donde f(·) es una funcion arbitraria en general no lineal. Si estamos interesados en calcular una solucionnumerica de esta ecuacion, deberemos conocer la condicion inicial

x(t0) = x0 (1.111)

y la trayectoria completa de la entrada u(t). Si esta trayectoria es conocida entonces, no tiene muchosentido escribirla como una variable u(t) y conviene reemplazarla por su expresion definiendo

f(x, t) , f(x(t),u(t), t)

Por este motivo, cuando se trabaja con metodos de integracion numerica de ecuaciones diferenciales, lasEE se suelen escribir como:

x(t) = f(x(t), t) (1.112)

Dada entonces una EE como la Ec.(1.112) con la condicion inicial de la Ec.(1.111), el objetivo de losmetodos de aproximacion numerica es obtener una solucion aproximada de x(t).

En general esta aproximacion sera equivalente a transformar las ecuaciones diferenciales originales enun sistema de ecuaciones en diferencias.


Metodo de Forward Euler

Si tomamos la Ec.(1.112) y aproximamos la derivada por el cociente incremental con un intervalo detiempo h, resulta

x(t) ≈ x(t+ h)− x(t)

h≈ f(x(t), t) (1.113)

de donde,x(t+ h) ≈ x(t) + h f(x(t), t)

Dividiendo entonces el eje del tiempo en intervalos de h unidades de tiempo, es decir, haciendot1 = t0 + h, t2 = t1 + h, etc., podemos reescribir la ecuacion anterior:

x(tk+1) = x(tk) + h f(x(tk), tk) (1.114)

que como vemos, define una Ecuacion en Diferencias. Esta ecuacion define el Metodo de Forward Euler yes el mas simple de los metodos de integracion numerica. El parametro del metodo es el paso de integracionh > 0.

Muchas veces para ahorrar notacion, el metodo se escribe directamente como

xk+1 = xk + h f(xk, tk) (1.115)

Al utilizar este metodo para resolver la Ec.(1.112) estamos cometiendo un error en cada paso, ya que,suponiendo exacto el valor de x(tk), la solucion exacta en x(tk+1) resulta, usando Taylor,

x(tk+1) = x(tk) + hdx

dt(tk) +

h2

2!

d2x

dt2(tk) + · · ·

= x(tk) + h f(x(tk), tk) +h2

2!

d2x

dt2(tk) + · · ·

Luego, en la formula de la Ec.(1.114) estamos ignorando o truncando todos los terminos a partir de h2.Por este motivo, el metodo de Euler se dice que es de primer orden, ya que solo aproxima la solucion

exacta hasta el termino de h1 en la expansion de Taylor.Debido a los terminos restantes ocurre un error que se denomina error local por truncamiento y que

generalmente crece a medida que el paso de integracion es mayor.Hablamos de error local ademas porque solo tenemos en cuenta que ocurre de un paso al siguiente. A

nivel global, podrıa ocurrir que el error tienda a acumularse o por el contrario, que tienda a desaparecercon los pasos. Esto ultimo esta ıntimamente ligado a conceptos de estabilidad numerica.

Si aplicamos el metodo de Euler a un sistema lineal y estacionario,

x(t) = A x(t) +B u(t)

resulta,xk+1 = xk + h (A xk +B uk) = (I + h A) xk + h B uk

Es decir, la ecuacion en diferencias resultante tiene matriz de evolucion

Ad = (I + h A)

Los autovalores λd de Ad seran las soluciones de

det(λd I −Ad) = det(λd I − I − h A) = 0

Si el determinante de una matriz es nulo, tambien lo es el determinante del producto por h−1, por lo que,

det(h−1 (λd − 1) I −A) = 0

de donde resulta que los autovalores de Ad y los de A se relacionan segun:

h−1 (λd − 1) = λ


de donde,λd = λ h+ 1 (1.116)

Es decir, los autovalores de la matriz del sistema discreto aproximado pueden calcularse directamente enfuncion de los autovalores del sistema continuo original.

Si aproximamos la solucion de un sistema estable, sera deseable que la aproximacion resulte tambienestable. Para esto, debera cumplirse para todos los autovalores de A que

|λ h+ 1| < 1 (1.117)

lo que solo ocurrira para valores pequenos de h. Esta condicion de estabilidad del metodo debera cumplirsesiempre y es fundamental a la hora de elegir el paso de integracion.

Si los autovalores de A son todos reales negativos, la condicion de la Ec.(1.117) implica que h < 2/|λ|,por lo que el paso de integracion debera ser menor que el doble de la constante de tiempo mas rapida.

La presencia de autovalores muy rapidos junto con autovalores lentos (polos dominantes), es motivode problemas, ya que nos obligaran a utilizar un paso de integracion muy pequeno pese a que estosautovalores rapidos tienen un efecto casi despreciable en la solucion.

Los sistemas en los que conviven autovalores lentos y rapidos se denominan stiff o rıgidos, y no puedenen general resolverse con metodos como el de Forward Euler debido a las limitaciones de estabilidad.

Metodo de Backward Euler

Una alternativa al metodo de Forward Euler dado por la Ec.(1.114) lo brinda el siguiente metodo,denominado Backward Euler :

x(tk+1) = x(tk) + h f(x(tk+1), tk+1) (1.118)

que para ahorrar notacion tambien se escribe como,

xk+1 = xk + h f(xk+1, tk+1) (1.119)

Este metodo tiene la peculiaridad de ser implıcito, ya que la formula de xk+1 depende xk+1 y por lo tantopara calcular este valor debemos resolver una ecuacion no lineal.

Debido a esta caracterıstica implıcita, el metodo es mas complicado que el de Forward Euler. Sinembargo, si repetimos el analisis de estabilidad para sistemas lineales, llegamos a que

Ad = (I − h A)−1

y luego resulta que si los autovalores de A tienen parte real negativa, los de Ad siempre tienen modulomenor que 1. Por lo tanto, siempre que simulemos un sistema estable con Backward Euler obtendremosuna solucion aproximada estable.

Esta caracterıstica lo hace particularmente apto para los sistemas stiff, ya que podremos usar valoresde h grandes aun en presencia de autovalores rapidos.

Metodos de Orden Superior

Los metodos de Forward y Backward Euler son dos metodos de primer orden muy simples. Existegran cantidad de metodos de orden mayor, tanto implıcitos como explıcitos.

Uno de los metodos mas utilizados es el de Runge Kutta de cuarto orden, que sigue la formula:

xk+1 = xk +h

6(k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4)

donde

k1 = f(xk, tk)

k2 = f(xk + hk1

2, tk +

h

2)

k3 = f(xk + hk2

2, tk +

h

2)

k4 = f(xk + h k3, tk + h)


Este metodo es explıcito y al ser de cuarto orden permite obtener un error pequeno utilizando pasosrelativamente grandes.

En cuanto a la estabilidad, al ser un metodo explıcito como Forward Euler, tiene problemas similaresy en presencia de autovalores rapidos obliga a utilizar pasos pequenos.

1.4.2. Equivalente Discreto

Muchas veces los sistemas continuos interactuan con mecanismos digitales que les proveen entradas yque leen sus salidas. Debido a las caracterısticas discretas de dichos mecanismos, las senales de entradason actualizadas a tasa constante y las senales de salida son leıdas con la misma frecuencia.

Por lo tanto, vistos desde una perspectiva entrada/salida, el sistema continuo se comportara como unsistema discreto y el mecanismo digital podra tratarlo como tal.

La pregunta que surge entonces es, si conocemos la dinamica del sistema continuo en cuestion, ¿comosera la dinamica del sistema discreto equivalente que se ve desde el mecanismo digital?. Veremos entoncescomo podemos formalizar este problema.

Supongamos que tenemos un sistema continuo lineal y estacionario,

x(t) = A x(t) +B u(t)

y(t) = C x(t) +D u(t)

en el cual las entradas cambian solo en los instantes tk = k T , donde T es el perıodo de muestreo, estoes,

u(t) = u(k T ); ∀t ∈ [k T, k T + T )

Suponiendo conocido el valor del estado x en el instante tk, de la solucion de la Ecuacion de Estado apartir de dicha condicion inicial sabemos que es,

x(tk+1) = eA T x(tk) +

∫ T

0

eA τ B u(tk+1 − τ) dτ

y recordando que u permanece constante en el intervalo de integracion, resulta,

x(tk+1) = eA T x(tk) +

∫ T

0

eA τ dτ B u(tk)

= eA T x(tk) +A−1 (eA T − I) B u(tk)

donde en el ultimo paso asumimos que A era invertible y utilizamos la propiedad que indica que la matrizde transicion satisface la EE.

Luego, la matriz de evolucion del sistema discreto equivalente es

Ad = eA T

y la matriz de entrada queda,Bd = A−1 (eA T − I) B

Para completar las ecuaciones de salida, puede verse facilmente que Cd = C y que Dd = D.


1.5. Problemas Propuestos

[P1.1] Modelos Matematicos de Sistemas Lineales ContinuosObtenga las Ecuaciones de Estado y Salida (EE/ES) y el DB asociado a las EE/ES de los siguientes

sistemas. Trate de aprovechar lo que conoce sobre las formas canonicas.

a.d3y

dt3+ 5 · d

2y

dt2+ 10 · y = 7 u(t) (P1.1a)

b.

G(s) =b1s+ b0

a3s3 + a2s2 + a1s+ a0(P1.1b)

[P1.2] Modelos Matematicos de Sistemas Lineales DiscretosObtenga las Ecuaciones de Estado Discretas y Salida (EED/ES) y el DB asociado de los siguientes

sistemas:

a.α3yk + α2yk−1 + α1yk−2 + α0yk−3 = β2uk + β0uk−2 (P1.2a)

b.

G(z) =b0 + b1z

−1 + b2z−2

1 + a1z−1 + a2z−2 + a3z−3(P1.2b)

[P1.3] Diagramas de Bloques CompuestosPara cada una de los siguientes sistemas, obtener un DB que lo represente como el acoplamiento de

sub-sistemas de primer orden:

a.

G(s) =k1

1 + sT1+

k21 + sT2

(P1.3a)

b.

G(z) = K · (z − z1) · (z − z2)

(z − p1) · (z − p2) · (z − p3)(P1.3b)

[P1.4] Analisis de Estabilidad Externa Establecer para que rango de valores del parametro α cadauno de los siguientes sistemas resulta BIBO estable.

a. El sistema continuo:

G(s) =b1 s+ b0

s2 + (2− α) s+ α2(P1.4a)

b. El sistema discreto:

G(z) =1

z − 0.5+

1

z − α(P1.4b)

[P1.5] Estabilidad Externa en Sistemas RealimentadosEstablecer los valores y/o el rango de los parametros Kp y KI que garanticen la estabilidad externa

de cada uno de los siguientes sistemas realimentados:


Figura 1.57: Sistema Continuo Controlado

a. El sistema dado por la FT

G(s) =G1(s) ·G2(s)

1−G1(s) ·G2(s)(P1.5a)

donde,

G1(s) = Kp +KI

sy G2(s) =

1

(s+ 1)(P1.5b)

b. El DB de la Fig.1.57

c. El DB de la Fig.1.58

Figura 1.58: Sistema Discreto Controlado

[P1.6] Respuesta Temporal. Parametrizacion de la FT.Las Figuras 1.59, 1.60, 1.61 y 1.62 muestran la respuesta al escalon unitario de distintos sistemas

lineales y estacionarios. Para cada uno de ellos,

a. Dibujar un diagrama cualitativo de polos y ceros.

b. Proponer una FT con parametros genericos.

c. Calcular los valores numericos de dichos parametros.

d. Escribir un sistema de EE/ES.


0 1 2 3 4 5 6 7

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

Tiempo [seg]

y(t

)

Figura 1.59: Respuesta al escalon unitario de un sistema de 1er orden. FT: G1(s).

0 1 2 3 4 5 6

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

Tiempo [seg]

y(t

)

Figura 1.60: Respuesta al escalon unitario de un sistema de 2do orden. FT: G2(s).


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

Tiempo [seg]

y(t)

Figura 1.61: Respuesta al escalon unitario de un sistema de 2do orden. FT: G3(s).

0 1 2 3 4 5 6

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

Tiempo [seg]

y(t

)

Figura 1.62: Respuesta a un escalon unitario de un sistema de 2do orden. FT: G1(s).


[P1.7] Respuesta Temporal. Parametrizacion de la FTD.Las Figuras 1.63, 1.64, 1.65 y 1.66 muestran la respuesta al escalon unitario de distintos sistemas

lineales y estacionarios de tiempo discreto. Para cada uno de ellos,

a. Dibujar un diagrama cualitativo de polos y ceros.

b. Proponer una FTD con parametros genericos.

c. Calcular los valores numericos de dichos parametros.

d. Escribir un sistema de EED/ES.

0 5 10 15 20 25 30

0

1

2

3

4

5

6

Tiempo [seg]

y1(t

) [s

eg]

Figura 1.63: Respuesta al escalon unitario de un sistema de 1er orden. FT: G1(z).

0 5 10 15 20 25 30

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Tiempo [seg]

y1

(t)

[se

g]

Figura 1.64: Respuesta al escalon unitario de un sistema de 1er orden. FT: G2(z).


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Tiempo [seg]

y(t

)

Figura 1.65: Respuesta al escalon unitario de un sistema de 2do orden. FT: G3(z).

0 3 6 9 12

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tiempo [seg]

y(t

)

Figura 1.66: Respuesta al escalon unitario de un sistema de 2do orden. FT: G4(z).

[P1.8] Respuesta Temporal: Polos DominantesDado el diagrama en bloques de la Figura 1.67:

Figura 1.67: Diagrama en bloques de un sistema de 3er orden

a. Obtener la Funcion Transferencia.


b. Calcular los polos de la FT. Reconocer la eventual presencia de uno o mas polos dominantes.

c. Dibujar cualitativamente la respuesta al escalon unitario. Indicar sobre la grafica los valores carac-terısticos de la misma (h(0+), h(∞), tr(3%), etc.).

d. Simular el sistema y comparar la respuesta temporal con lo analizado en el punto anterior.

[P1.9] Respuesta Temporal: Polos DominantesDado el DB de la Figura 1.68,

Figura 1.68: Diagrama en bloques de un sistema de 3er orden

a. Obtener las EE/ES y a partir de las mismas la FT del sistema.

b. Para cada conjunto de parametros calcular los polos de la FT. Reconocer la eventual presencia de unoo mas polos dominantes.

i. a0 = −100, a1 = −30, a2 = −12, b0 = 1, c0 = 20 y c1 = 0

ii. a0 = −20, a1 = −32, a2 = −13, b0 = 1, c0 = 50 y c1 = 5

c. En cada caso, dibujar cualitativamente la respuesta al escalon unitario. Indicar sobre la grafica losvalores caracterısticos de la misma (h(0+), h(∞), tr(3%), etc.).

[P1.10] Respuesta Temporal Discreta - Polos DominantesDado el DB de la Figura 1.69,

Figura 1.69: Diagrama en bloques de un sistema de 2do orden

a. Obtener la FTD del sistema.

b. Para cada conjunto de parametros calcular los polos de la FTD. Reconocer la eventual presencia deuno o mas polos dominantes.


i. a0 = 0.49, a1 = 0, b0 = 0, b1 = 1 y b2 = 0.7

ii. a0 = −0.833, a1 = 1.83, b0 = 0, b1 = 0 y b2 = 1

iii. a0 = −0.9, a1 = 1.7, b0 = 0, b1 = 0 y b2 = 2

c. En cada caso, dibujar cualitativamente la respuesta al escalon unitario. Indicar sobre la grafica losvalores caracterısticos de la misma (h(0), h(∞), tr(3%), etc.).

[P1.11] Retratos de FaseDadas las siguientes matrices de evolucion,

A1 =

[

−2 00 1

]

A2 =

[

0 −11 0

]

A3 =

[

−5 13 −3

]

A4 =

[

0 1−2 −2

]

A5 =;

[

0 12 −1

]

A6 =;

[

2 −11 2

]

para cada caso,

a. Dibujar los Retratos de Fase en el plano modal, indicando su tipo.

b. Dibujar los Retratos de Fase en el plano original.

c. Indicar la eventual presencia de direcciones invariantes.

d. Analizar la estabilidad interna del origen.

[P1.12] Retratos de Fase Para cada uno de los retratos de fase que se muestran en la Fig.1.70

Clasifıquelo (nodo estable, foco estable, etc.)

Indique la estabilidad del punto de equilibrio (estable, asintoticamente estable, inestable).

Dibuje en el plano complejo la posicion de los autovalores de la matriz de evolucion A.

Cuando sea posible, determine la direccion de los autovectores de A.

[P1.13] Trayectorias en el Espacio de Estados.

a. Dada la siguiente matriz de evolucion,[

−4 6−12 −31

]

dibuje el RF correspondiente en el plano original.

b. Suponiendo que una trayectoria parte desde cierta condicion inicial, determine si la evolucion puedeconsiderarse extinta transcurrido 1 segundo.

c. Aprovechando lo visto en los puntos anteriores, dibuje en el espacio de estados la trayectoria completaa partir de t = 0 del siguiente sistema dinamico:

[

x1x2

]

=

[

−4 6−12 −31

]

·[

x1x2

]

+

[

01

]

u

con condiciones iniciales x1(0) = 1 y x2(0) = −4 y entrada u(t) = 5 µ(t− 1).


−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0−3

−2

−1

0

1

2

3

x1

x2

Sistema 1

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5−3

−2

−1

0

1

2

3

x1

x2

Sistema 3

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5−3

−2

−1

0

1

2

3

x1

x2

Sistema 5

−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0−3

−2

−1

0

1

2

3

x1

x2

Sistema 2

−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0−3

−2

−1

0

1

2

3

x1

x2

Sistema 4

−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0−3

−2

−1

0

1

2

3

x1

x2

Sistema 6

Figura 1.70: Retratos de Fase de Sistemas de Segundo Orden.

[P1.14] Trayectorias en el Espacio de Estados. Estructura VariableLa Figura 1.71 esquematiza una mesa retractil que se utiliza para transportar una carga con masa

mc.El siguiente sistema de EE modela el sistema, tanto con la mesa cargada como descargada:

x1(t) = x2(t)

x2(t) = − k

mx1(t)−

b

mx2(t) +

1

mF (t)

donde las variables x1(t) y x2(t) representan la posicion y la velocidad de la mesa y F (t) es la fuerzaaplicada. Los parametros son k = 1 (constante del resorte), b = 1 (coeficiente de friccion) y m que


Figura 1.71: Esquema de la Mesa Retractil

representa la masa total de la mesa y la carga (m = mm +mc), o bien la masa de la mesa sola cuandono hay carga (m = mm). La masa de la mesa es mm = 0.1 y la masa de la carga es mc = 0.9.

Se pide lo siguiente

a. Graficar los retratos de fase del sistema para las dos condiciones, la mesa cargada y luego la mesadescargada.

b. Graficar en el Espacio de Estados la trayectoria que resulta de la siguiente secuencia de operacion:Desde la posicion de reposo y con la mesa cargada se aplica una fuerza F = 1 durante 10 segundos.Transcurridos los 10 segundos se retira la carga y se deja de aplicar la fuerza, de manera que la mesavuelva a la posicion de reposo.

c. Graficar la evolucion temporal de la posicion de la mesa para t ≥ 10.

[P1.15] Matriz de Transicion Continua Un sistema lineal y estacionario tiene la siguiente matrizde transicion:

eA t =

[

e−t e−t − e−3 t

0 e−3 t

]

a. Determine los autovalores de la matriz de evolucion A.

b. Calcule y grafique en el espacio de estados las trayectorias x(t) a partir de las siguientes condicionesiniciales:

i. x1(0) = 1, x2(0) = 1.

ii. x1(0) = 1, x2(0) = 0.

iii. x1(0) = −1, x2(0) = 1.

c. En funcion de lo calculado en el punto anterior, determine la direccion de los autovectores de la matrizde evolucion A.

d. Esboce el retrato de fases del sistema.

e. Utilizando los autovalores y autovectores calculados, obtenga la matriz A.

f. Una propiedad de la matriz de transicion Φ(t) = eA t es que la misma verifica la ecuacion de estados,esto es,

Φ(t) = A Φ(t)

por lo que, para t = 0 resulta,Φ(0) = A Φ(0) = A I = A

Calcule entonces la matriz A utilizando esta ultima expresion y compare el resultado con el del puntoanterior.


[P1.16] Matriz de Transicion Discreta Un sistema discreto lineal y estacionario tiene la siguientematriz de evolucion:

A =

[

0.8 −0.150 0.5

]

a. Determinar los autovalores y los correspondientes autovectores.

b. En funcion de lo calculado en el punto anterior, calcular la matriz de transicion.

c. Suponiendo que x1(0) = 10 y x2(0) = 8, calcular el valor del estado para k = 10.

d. Sabiendo que x1(4) = x2(4) = 1, determinar el valor inicial del estado.

[P1.17] Vinculacion de Modelo Interno y Externo. Caso Continuo Un sistema lineal y esta-cionario tiene la siguiente representacion en EE/ES:

x(t) = A x(t) +B u(t)

y(t) = C x(t) +D u(t)(P1.17a)

Se sabe que dicho sistema tiene una entrada y dos salidas. Ademas, partiendo de condiciones inicialesnulas, cuando se aplica un escalon unitario en la entrada, en las salidas se obtienen las respuestas que semuestran en la Fig.1.72

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t

y 1(t)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

t

y 2(t)

Figura 1.72: Respuesta al Escalon de un Sistema Lineal y Estacionario con dos Salidas

a. Analizar la estabilidad externa de las Funciones Transferencia G1(s) = Y1(s)/U(s) y G2(s) =Y2(s)/U(s).

b. Determinar cualitativamente la posicion de los polos de dichas FTs.

c. En funcion de lo anterior, determinar cual es el orden mınimo que puede tener el sistema de laEc.(P1.17a).

Nota: Asumir de aquı en adelante que el orden de dicho sistema es el calculado en este ultimo punto.

d. Determinar la dimension de los vectores x(t), y(t) y u(t); y de las matrices A, B, C y D del sistemade la Ec.(P1.17a).


e. Indicar cualitativamente la posicion de los autovalores de la matriz A y compararlos con los polos delas FTs.

f. Analizar la estabilidad interna del sistema.

g. Calcular numericamente el valor de D.

[P1.18] Vinculacion de Modelo Interno y Externo. Caso Discreto Un sistema discreto lineal yestacionario con una entrada y una salida tiene el siguiente modelo de EED/ES:

x(k + 1) =

[

−0.9 10 0.9

]

x(k) +B u(k)

y(k) = C x(k) + u(k)

(P1.18a)

donde B y C no son conocidos.

a. Calcular los autovalores de la matriz de evolucion A.

b. Proponer dos posibles FTs Y (s)/U(s) que tengan distintos polos y graficar las correspondientes re-spuestas al escalon unitario discreto.

c. Decidir si existen valores de B y C para los cuales el sistema es externamente inestable.

Capıtulo 2

Analisis de Sistemas LinealesRealimentados

La realimentacion es una tecnica en la cual una o mas senales medidas de un sistema son utilizadaspara calcular una o mas senales de entrada del mismo sistema.

El uso de la realimentacion juega un rol crucial tanto en el diseno de sistemas de control como en eldiseno de amplificadores, fuentes, filtros, y todo tipo de dispositivos.

En este capıtulo analizaremos los principales fundamentos matematicos de la realimentacion en sis-temas lineales. Siguiendo con la lınea del capıtulo anterior, estudiaremos tanto sistemas continuos comodiscretos a partir de modelos externos e internos.

2.1. Esquemas y Modelos de Sistemas Realimentados

Antes de comenzar a analizar las propiedades de los sistemas realimentados, veremos algunas posiblesestructuras de realimentacion.

Comenzaremos con los modelos externos y a continuacion extenderemos las ideas a los modelos inter-nos, donde veremos ademas que ocurre cuando es posible tener acceso a medir los estados del sistema.

2.1.1. Realimentacion en Modelos Externos

Sistemas Continuos

La Figura 2.1 muestra un Diagrama de Bloques compuesto por dos subsistemas y un sumador.

Figura 2.1: Esquema de Realimentacion Unitaria con Compesador

El subsistema con FT G(s) se denomina, en aplicaciones de control, Planta. El otro subsistema, conFT C(s), se denomina Controlador o Compensador. La planta es generalmente un sistema existente delque se quiere obtener cierto comportamiento y el controlador o compensador es un dispositivo que sedisena para lograr que la planta efectivamente se comporta como uno quiere.

En el sistema vemos que la salida de la planta y(t) se compara con la entrada de referencia r(t)calculandose el error e(t) como la diferencia entre ambas senales. Luego, el compensador o controladorcalcula la entrada de la planta u(t) en funcion de el error e(t).

87

CAPITULO 2. ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES REALIMENTADOS 88

Este es un esquema de realimentacion unitaria, ya que la salida de la planta se compara con lareferencia sin pasar por ninguna ganancia. Esta estructura es muy utilizada cuando queremos que lasalida siga a la referencia r(t)

El conjunto Compensador–Planta cuando abrimos el lazo de realimentacion tendra una FT GLA =C(s) G(s). Dicho sistema se denomina Sistema a Lazo Abierto. Al cerrar el lazo, de acuerdo a la Fig.2.1,tendremos un sistema a Lazo Cerrado, cuya FT resultara,

GLC(s) =C(s) G(s)

1 + C(s) G(s)=

GLA(s)

1 +GLA(s)(2.1)

Si expresamos la FT de lazo abierto GLA(s) como cociente de polinomios:

GLA(s) =N(s)

D(s)

la FT a lazo cerrado queda,

GLC(s) =N(s)

D(s) +N(s)(2.2)

donde puede observarse que el denominador a lazo cerrado es la suma del numerador y denominador alazo abierto.

Otra estructura que a veces encontraremos es la de la Fig.2.2, en la cual tambien tenemos reali-mentacion unitaria, pero aparece ademas una ganancia en la referencia.

Figura 2.2: Esquema de Realimentacion Unitaria con Ganacia Directa.

Este nuevo esquema tiene FT

GLC(s) = KC(s) G(s)

1 + C(s) G(s)= K

N(s)

N(s) +D(s)

y se utiliza a menudo cuando se quiere que la salida siga a la referencia amplificada.Un efecto muy similar puede lograrse con una realimentacion no unitaria como la de la Figura 2.3,

ya que en la misma la referencia se compara con la salida amplificada. De esta manera, bajo ciertascondiciones, la salida amplificada seguira a la referencia.

Figura 2.3: Esquema de Realimentacion No Unitaria con Compesador.

En este caso, la FT de lazo abierto es GLA(s) = K C(s) G(s) = N(s)/D(s) y la FT queda en lazocerrado queda


GLC(s) =C(s) G(s)

K + C(s) G(s)=

1

K

N(s)

N(s) +D(s)

Finalmente, hay sistemas en los que el compensador se encuentra en el lazo de realimentacion, comomuestra la Fig.2.4.

Figura 2.4: Esquema con el Compensador en la Realimentacion.

Notar que en este ultimo esquema el Sistema a Lazo Abierto GLA(s) es identico al de la realimentacionunitaria de la Fig.2.1. Por lo tanto, ambos esquemas tendran la misma dinamica, aunque con las salidastomadas en distintos lugares.

La FT en lazo cerrado sera:

GLC(s) =G(s)

1 + C(s) G(s)=

1

C(s)

N(s)

N(s) +D(s)=DC(s) NG(s)

N(s) +D(s)

donde NG(s) es el numerador de G(s) y DC(s) es el denominador de C(s).Es importante destacar que en todos los casos el denominador de GLC(s) es la suma del numerador

y el denominador de la GLA(s).

Caso Discreto

En el caso discreto, los posibles esquemas de realimentacion son los mismos y pueden analizarse demanera identica. Para esto, basta reemplazar s por z en todas las expresiones.

2.1.2. Realimentacion en Modelos Internos

Caso General

La Figura 2.5 muestra un esquema de realimentacion analogo a la realimentacion unitaria de la Fig.2.1,pero considerando ahora los modelos en Ecuaciones de Estados.

Figura 2.5: Esquema de Realimentacion Unitaria con compensador en EE/ES

En este caso, estamos considerando que tanto las entradas como las salidas de los distintos subsistemaspueden ser vectores.

La posibilidad de tratar con sistemas multi-entrada y/o multi-salida es una ventaja adicional detrabajar con modelos internos. En el caso de los modelos externos si bien es posible tratar con sistemasde este tipo (ya sabemos que existen las matrices de transferencia), es mas complicado.


Para obtener las EE/ES del sistema a lazo cerrado, definiremos el vector de estados amplicado como:

x(t) =

[

xp(t)xc(t)

]

mientras que los vectores de entrada y salida seran r(t) e yp(t), respectivamente.Notar entonces que:

xp = Ap xp +Bp u = Ap xp +Bp (Cc xc +Dc e) = Ap xp +Bp (Cc xc +Dc r−Dc Cp xp)

de donde, finalmente,

xp(t) = (Ap − Bp Dc Cp) xp(t) +Bp Cc xc(t) +Bp Dc r(t) (2.3)

Por otro lado,xc = Ac xc +Bc e = Ac xc +Bc (r− Cp xp)

de donde,xc(t) = Ac xc(t)−Bc Cp xp(t) +Bc r(t) (2.4)

Ademas,yp(t) = Cp xp(t)

Teniendo en cuenta esta ultima ecuacion y las Ecs.(2.3)–(2.4), obtenemos el siguiente sistema de Ecua-ciones de estado a lazo cerrado:

x(t) = A x(t) +B r(t) =

[

Ap −Bp Dc Cp Bp Cc

−Bc Cp Ac

] [

xp(t)xc(t)

]

+

[

Bp Dc

Bc

]

r(t) (2.5)

mientras que las ecuaciones de salida son,

y(t) = yp(t) = C x(t) =[

Cp 0]

[

xp(t)xc(t)

]

(2.6)

Realimentacion Estatica de Salida en la Forma de Controlabilidad

El esquema general de realimentacion nos permite deducir las expresiones de las matrices de evolucion,entrada y salida a lazo cerrado.

Aunque esto permitira eventualmente disenar las matrices del controlador de manera de obtener uncomportamiento deseado, es bastante difıcil trabajar sobre el caso general.

En muchos casos el controlador es estatico, es decir, es simplemente una ganancia (eventualmentemultivariable). En este caso, el controlador no agrega estados al sistema a lazo cerrado.

La Figura 2.6 muestra un esquema de realimentacion estatica de salida.

Figura 2.6: Esquema de Realimentacion Estatica de Salida en EE/ES

En un esquema con el de la Fig.2.6 donde la planta tiene una entrada y una salida, al escribir lasEE/ES de la planta en la forma canonica de controlabilidad, puede verse facilmente que las EE/ES enlazo cerrado conservaran dicha forma canonica.


Esto es, si las ecuaciones de la planta a lazo abierto son,

x1(t) = x2(t)

x2(t) = x3(t)

...

xn(t) = −a0 x1(t)− a1 x2(t)− · · · − an−1 xn(t) + u(t)

y(t) = c0 x1(t) + c1 x2(t) + · · ·+ cn−1 xn(t)

a lazo cerrado, teniendo en cuenta que u(t) = r(t) −K y(t), queda,

x1(t) = x2(t)

x2(t) = x3(t)

...

xn(t) = −a0 x1(t)− a1 x2(t)− · · · − an−1 xn(t) + r(t) −K (c0 x1(t) + c1 x2(t) + · · ·+ cn−1 xn(t))

y(t) = c0 x1(t) + c1 x2(t) + · · ·+ cn−1 xn(t)

es decir,

x1(t) = x2(t)

x2(t) = x3(t)

...

xn(t) = −(a0 +K c0) x1(t)− (a1 +K c1)x2(t)− · · · − (an−1 +K cn−1) xn(t) + r(t)

y(t) = c0 x1(t) + c1 x2(t) + · · ·+ cn−1 xn(t)

De donde es evidente que la realimentacion K afecta a los coeficientes de la ecuacion caracterıstica.Ademas, es claro que tenemos un unico parametro que podemos elegir (K) por lo que es bastante

restringida la manera en que podemos modificar los coeficientes.Si en lugar de tener un modelo de EE/ES tuvieramos un modelo externo (FT), hubieramos llegado

naturalmente a las mismas conclusiones. Es decir, al realimentar con una ganancia estatica como la de laFig.2.6, se modificaran los coeficientes del denominador de igual manera que se modificaron los coeficientesde la ultima fila de la matriz A.

Realimentacion Estatica de Estados en la Forma de Controlabilidad

En ciertas aplicaciones es posible medir directamente los estados1.Teniendo entonces acceso a los estados, los mismos se pueden utilizar para calcular la realimentacion.

La Figura 2.7 muestra un esquema de realimentacion de estados.En este caso, aun siendo u(t) escalar, K es un vector que multiplica al estado. Al igual que antes,

si las EE/ES a lazo abierto estan dadas en forma de controlabilidad, esta forma se preserva en el lazocerrado.

Si la planta tiene la forma:

x1(t) = x2(t)

x2(t) = x3(t)

...

xn(t) = −a0 x1(t)− a1 x2(t)− · · · − an−1 xn(t) + u(t)

1En muchos casos, cuando no se pueden medir los estados, se pueden generar estimaciones de sus valores medianteobservadores de estados.


Figura 2.7: Esquema de Realimentacion Estatica de Estados en EE/ES

(no nos importa la salida, ya que estamos midiendo directamente el estado), recordando que

u(t) = r(t)−K x(t) = K1 x1 +K2 x2 + · · ·+Kn xn

el sistema a lazo cerrado resulta,

x1(t) = x2(t)

x2(t) = x3(t)

...

xn(t) = −(a0 +K1) x1(t)− (a1 +K2)x2(t)− · · · − (an−1 +Kn) xn(t) + r(t)

donde queda claro que eligiendo adecuadamente la realimentacionK = [K1,K2, · · · ,Kn] podemos obtenercualquier juego de coeficientes y por lo tanto, cualquier dinamica a lazo cerrado.

Esta capacidad de determinar completamente la dinamica en lazo cerrado es una de las principalesventajas de la realimentacion de estados, que a su vez solo puede plantearse con modelos internos.

Realimentacion en Realizaciones no Canonicas

Cuando el sistema a lazo abierto no esta dado en forma canonica, se puede arribar a conclusionessimilares.

En el caso de la realimentacion de salidas, ya que externamente el sistema se comporta igual inde-pendientemente de la eleccion de las variables de estado, no hay diferencias.

En el caso de la realimentacion de estados, en cambio, los coeficientes de la ecuacion caracterıstica semodificaran de forma distinta. Sin embargo, puede realizarse un cambio de variables y pasar a la formade controlabilidad donde el calculo de la realimentacion K que produce la dinamica deseada es trivial.

Caso Discreto

Dado que tanto los esquemas de realimentacion como las formas canonicas son identicas, los modelosy las conclusiones son completamente analogos.

2.2. Analisis de Sistemas Realimentados

En esta seccion analizaremos los principales efectos que produce la realimentacion en sistemas linealesy estacionarios.

Centraremos el analisis principalmente en los modelos externos. Las conclusiones que saquemos seranaplicables directamente a los modelos internos en caso que utilicemos realimentacion de salida.

El analisis de las propiedades de los sistemas con realimentacion de estados no lo abarcaremos aquı. Sinembargo, como vimos en la seccion anterior, en tal caso tendremos la posibilidad de elegir directamentela dinamica de lazo cerrado.

Ademas, trabajaremos inicialmente con sistemas continuos y dejaremos para el final del capıtulo laextension del analisis a los sistemas discretos.


2.2.1. Efectos de la Realimentacion sobre la Estabilidad

Consideremos el siguiente sistema a lazo abierto:

G(s) =s+ b0

s2 + 2 s− 1

El sistema es evidentemente inestable (cambio de signo en el denominador).Supongamos ahora que lo realimentamos con un esquema como el de la Fig.2.8 utilizando un com-

pensador estatico C(s) = K.

Figura 2.8: Esquema de Realimentacion con Compensador Estatico

La FT a lazo abierto queda entonces:

GLA(s) =K (s+ b0)

s2 + 2 s− 1=N(s)

D(s)

La funcion transferencia en lazo cerrado sera:

GLC(s) =GLA(s)

1 +GLA(s)=

N(s)

D(s) +N(s)

es decir,

GLC(s) =K (s+ b0)

s2 + 2 s− 1 +K (s+ b0)=

K (s+ b0)

s2 + (2 +K) s+K b0 − 1

En esta ultima expresion, queda claro que si tomamos K > 1/b0 tendremos un sistema estable a lazocerrado. Esto por supuesto asumiendo que b0 es positivo.

Si en cambio fuera b0 < 0, tendrıamos que tomar K < −1/b0. Ademas, deberıa ser K > −2 ya quede otra forma cambiarıa el signo que multiplica a s en el denominador. En el caso que b0 > −1/2 noencontraremos ningun valor de K para el cual el sistema a lazo cerrado resulte estable.

Podemos concluir en este caso lo siguiente:

La realimentacion puede permitirnos estabilizar un sistema inestable.

Las condiciones de estabilidad en lazo cerrado dependen tanto de los polos como de los ceros a lazoabierto.

La presencia de ceros con parte real positiva (sistemas no mınima fase) complica la estabilizacion.

En este caso vimos que con el parametro b0 en el rango (−0.5, 0) no se puede estabilizar el sistemaa lazo cerrado con ningun valor de K. Sin embargo, podemos utilizar expresiones mas generales para elcompensador C(s) agregando polos y ceros y efectivamente estabilizar dicho sistema.

2.2.2. Efectos de la Realimentacion sobre la Ganancia Estatica

Consideremos ahora la planta a lazo abierto con FT

G(s) =b1 s+ b0

a2 s2 + a1 s+ 1

En este caso, asumiendo que todos los parametros son positivos, el sistema a lazo abierto es estable ytiene ganancia estatica h(∞) = G(0) = b0.


Supongamos que utilizamos nuevamente el esquema de realimentacion de la Fig.2.8. La FT a lazoabierto sera entonces

GLA(s) =K (b1 s+ b0)

a2 s2 + a1 s+ 1=N(s)

D(s)

y a lazo cerrado tendremos

GLC(s) =N(s)

D(s) +N(s)=

K (s+ b0)

a2 s2 + (a1 +K) s+ 1 +K b0

de donde la ganancia estatica en lazo cerrado sera:

hLC(∞) = GLC(0) =K b0

K b0 + 1

Si se cumple que K b0 >> 1, resulta que GLC(0) ≈ 1. Es decir, el sistema tiende a tener una gananciaestatica unitaria.

De esta manera, para valores grandes de K la salida y(t) tiende al valor de la entrada u(t) al menoscuando esta ultima es constante. Notar que esto ocurre casi independientemente de la ganancia estaticade la planta a lazo abierto. Esta caracterıstica permite entre otras cosas realizar seguimiento de senalesde referencia en aplicaciones de control.

Si queremos obtener una ganancia no unitaria mediante realimentacion, en tanto, podemos utilizarlos esquemas equivalentes de la Fig.2.9, donde puede verse facilmente (comparando con la Fig. 2.8) queahora la ganancia estatica tendera a K1 cuando K b0 >> 1.

Figura 2.9: Esquemas Equivalentes de Realimentacion.

En todos los casos, cuando los valores de K son grandes, la ganancia estatica de lazo cerrado tiende ahacerse independiente de la ganancia estatica de lazo abierto. Esta caracterıstica tiene una importanciamuy grande y es uno de los principales motivos del uso de realimentacion en el diseno de amplificadores.

Por ultimo, consideremos ahora que el compensador consiste en un integrador puro, como muestra laFig.2.10.

En este caso, la FT en lazo abierto es

GLA(s) =b1 s+ b0

s (a2 s2 + a1 s+ 1)=N(s)

D(s)

por lo que la FT a lazo cerrado queda,

GLC(s) =N(s)

N(s) +D(s)=

b1 s+ b0a2 s3 + a1 s2 + (1 + b1) s+ b0


Figura 2.10: Esquema de Realimentacion con Compensador Integral

de donde h(∞) = G(0) = 1 independientemente de la ganancia estatica a lazo abierto.Es decir, la presencia de un integrador puro en el lazo implica que la ganancia estatica sea unitaria

(para el caso de realimentacion unitaria). Si en el camino de realimentacion tuvieramos una ganancia1/K1, entonces obtendrıamos una ganancia estatica de K1 a lazo cerrado.

El integrador entonces elimina el error de seguimiento de una senal constante (denominado errorestatico en aplicaciones de control). Por este motivo, es muy comun encontrar controladores que utilizanacciones integrales.

A veces, el integrador puro lo provee la misma planta. Si consideramos por ejemplo el modelo de unmotor de corriente continua y tomamos como entrada la tension de armadura y como salida la posicion,la planta a lazo abierto tendra la forma:

G(s) =b0

(s2 + a1 s+ a0) s

y luego utilizando una realimentacion como la de la Fig.2.8 obtenemos una ganancia a lazo cerradounitaria (independiente de los parametros del motor y de el parametro K).

De este analisis podemos extraer las siguientes conclusiones respecto de la ganancia estatica en sistemasrealimentados:

La realimentacion permite independizar en gran medida la ganancia estatica de los parametros dela planta.

La presencia de integradores puros en la realimentacion permite obtener una ganancia estaticatotalmente independiente de los parametros de la planta en lazo abierto.

2.2.3. Efectos de la Realimentacion sobre el Ancho de Banda

Consideremos ahora el Diagrama de Bloques de la Fig.2.11.

Figura 2.11: Planta con Realimentacion Estatica

Este esquema es muy utilizado en el diseno de amplificadores. Aquı G(s) es un amplificador a lazoabierto que suele tener gran ganacia y poco ancho de banda.

Supongamos que la FT de la planta es:

G(s) =b0sa0 + 1

Como puede verse, la ganancia estatica de la planta a lazo abierto es b0 y el ancho de banda es a0.


El sistema a lazo abierto tiene FT:

GLA(s) =K b0sa0 + 1

=N(s)

D(s)

mientras que a lazo cerrado tendremos,

GLC(s) =1

K

N(s)

D(s) +N(s)=

b0

1 +K b0 +sa0

=

b01 +K b0

1 + sa0 (1 +K b0)

de donde la ganancia estatica a lazo cerrado es

GLC(0) =b0

1 +K b0

y el ancho de banda resultaaLC = a0 (1 +K b0)

Evidentemente, con el esquema de la Fig.2.11, la realimentacion permite aumentar el ancho de bandacon el precio de disminuir la ganancia estatica en el mismo factor.

Esta caracterıstica es tambien clave para el diseno de amplificadores.

2.2.4. Rechazo de Perturbaciones

Se denominan perturbaciones a las senales de entrada que afectan a los sistemas que no se pueden con-trolar a voluntad. Las perturbaciones modelan la presencia de ruido, la incertidumbre en los parametros,las no idealidades de los componentes, etc.

Las perturbaciones generalmente producen efectos no deseados sobre las salidas tanto en los sistemasde control como en los amplificadores, filtros y en casi todos los dispositivos de interes.

Si bien pueden modelarse de distintas formas, es muy comun representar a las perturbaciones comosenales que se suman a la entrada de la planta, como muestra la Figura 2.12.

Figura 2.12: Sistema Realimentado con Perturbacion Aditiva.

En este caso, podemos ver que hay dos entradas. La senal r(t) que es la que queremos ver reflejadaen la salida y la senal p(t) (perturbacion) que produce un efecto indeseado.

Tendremos entonces dos funciones de transferencia a lazo cerrado. Desde la entrada r(t) ya vimos queera:

GLC(s) =Y (s)

R(s)=

K G(s)

1 +K G(s)

Por otro lado, desde la perturbacion p(t) la FT es:

Gpert(s) =Y (s)

P (s)=

G(s)

1 +K G(s)

Comparando ambas expresiones, vemos que la respuesta a la perturbacion es identica a la de la entrada,pero sin el factor K en el numerador.


Si K es grande, la entrada r(t) tendera a tener una ganancia estatica unitaria, mientras que laperturbacion tendera a tener una ganancia estatica nula.

En sıntesis, la realimentacion puede ayudar a rechazar senales indeseadas como el ruido, y puedetambien atenuar los efectos de la incertidumbre de parametros, de las no idealidades de los componentes,etc.

2.2.5. Efectos de la Realimentacion sobre los Transitorios

Cuando analizamos los efectos de la realimentacion sobre la estabilidad vimos como la posicion delos polos de la funcion transferencia a lazo cerrado se modificaba en dependencia tanto de los poloscomo de los ceros a lazo abierto. De hecho, el denominador a lazo cerrado era la suma del numerador ydenominador a lazo abierto.

Dado que las principales caracterısticas de la respuesta transitoria de un sistema dependen principal-mente de la posicion de los polos, es evidente entonces que la realimentacion podra establecer cambioscualitativos en la respuesta transitoria.

De todas formas, teniendo en cuenta que la posicion de los polos a lazo cerrado dependera de larealimentacion en sı, ası como de los ceros y de los polos a lazo abierto, no es trivial sacar conclusionesgenerales sobre como la realimentacion modifica los transitorios.

En la seccion siguiente veremos una metodologıa, denominada Lugar de las Raıces, que permite evaluarcualitativamente como la variacion de un parametro de la realimentacion modifica la ubicacion de lospolos de un sistema a lazo cerrado.

2.2.6. Efectos de la Realimentacion en Tiempo Discreto

Dado que las expresiones del sistema a lazo cerrado son identicas en tiempo discreto y continuo(reemplazando s por z naturalmente), las conclusiones respecto de los efectos de la realimentacion sobrela estabilidad, ganancia a lazo abierto y transitorios son muy similares.

Respecto a la estabilidad, podemos decir lo siguiente:

La realimentacion puede estabilizar sistemas discretos inestables.

La estabilidad en lazo cerrado depende tanto de la ubicacion de los polos como de los ceros en lazoabierto.

A diferencia de los sistemas continuos, los ceros que dificultan la estabilizacion no son los que tienenparte real positiva sino los que tienen modulo mayor que 1.

En cuanto a la ganancia estatica, valen las observaciones:

La realimentacion permite independizar en gran medida la ganancia estatica de los parametros dela planta.

La presencia de integradores discretos en la realimentacion permite obtener una ganancia estaticatotalmente independiente de los parametros de la planta en lazo abierto.

Con respecto a este ultimo punto, hay que tener en cuenta que un integrador discreto tiene FTD

CI(z) =1

z − 1

Finalmente, respecto a los transitorios, valen tambien las observaciones del caso continuo. Aquı tam-bien existe una tecnica para estudiar la modificacion de la posicion de los polos de la FTD.


2.3. Lugar Geometrico de las Raıces

Como sabemos, las propiedades de una relacion entrada-salida de un sistema realimentado, descriptapor una funcion transferencia (FT), dependen en gran medida de la ubicacion de los polos de dichaFT. En muchas ocasiones, se desea conocer las posibles ubicaciones de los polos a medida que se varıanparametros del lazo, como por ejemplo cierta ganancia del controlador. En 1948, Walter R. Evans diseno el“metodo del lugar geometrico de las raıces”, que consiste en un conjunto de reglas sencillas para dibujar,de manera aproximada, las posiciones de todos los polos —las raıces del polinomio denominador— de laFT de lazo cerrado a medida que se varıa un parametro del lazo desde 0 a ∞. El grafico obtenido recibeel nombre de “lugar de las raıces” porque muestra precisamente donde se ubicaran dichas raıces para losdistintos valores del parametro.

En esta seccion veremos reglas practicas para dibujar a mano el lugar de las raıces, ası como las in-strucciones especıficas para hacerlo con Matlab. Si bien es indiscutible la utilidad del software especıficocomo Matlab para realizar estos graficos y, mas generalmente, para analizar y disenar sistemas realimen-tados, es muy util tambien comprender los fundamentos de los metodos utilizados. Es por esta ultimarazon que nos dedicaremos a aprender el metodo del lugar geometrico de las raıces con cierto detalle.

2.3.1. Motivacion

Comenzamos motivando nuestro analisis con un ejemplo sencillo.

Ejemplo 2.1. Se desea estabilizar el siguiente sistema inestable, dado por su FT

G(s) =1

s− 1, (2.7)

mediante un control proporcional de gananacia K > 0. Un esquema del sistema realimentado se muestraen la Figura 2.13. Se desea saber no solo si es posible estabilizar el sistema de este modo y para que valores

K G(s)R(s) Y (s)U(s)

Figura 2.13: Esquema del sistema realimentado.

de K se logra, sino tambien todas las posibles ubicaciones de polos que se pueden lograr en el sistemarealimentado.

Solucion. En general, para analizar si es posible estabilizar el sistema podrıamos aplicar el criterio deRouth-Hurwitz sobre la FT de lazo cerrado. Como se desea, ademas, conocer todas las posibles ubicacionesde polos que se pueden lograr, calculamos la FT de lazo cerrado:

GLC(s) =Y (s)

R(s)=

K

s− 1

1 +K

s− 1

=K

s+ (K − 1), (2.8)

y vemos inmediatamente que su polo es p = 1−K. Por lo tanto, para valores de K muy proximos a 0 elpolo p estara muy proximo a 1, para K = 1 el polo estara en 0 y para K > 1 el polo sera real negativo.Por lo tanto, para tener estabilidad se debe cumplir que K > 1. Todo esto puede mostrarse facilmente enel grafico de la Figura 2.14. El grafico de la Figura 2.14 es el lugar de las raıces correspondiente al sistemarealimentado, para valores de K > 0. Este grafico muestra que paraK = 0 el polo de lazo cerrado coincidecon el de G(s) (indicado con ‘x’ en la figura) y que para valores crecientes del parametro K el polo delazo cerrado se mueve hacia la izquierda, sobre el eje real (indicado por la flecha sobre la trayectoria delpolo en el lugar de las raıces).


Re

Im C

K = 0

K = 1

s = 1

K > 1

Figura 2.14: Lugar de las raıces del sistema de Figura 2.13 para K > 0.

El sistema del Ejemplo 2.1 pudo calcularse analıticamente por completo debido a que2 GLC(s) es deprimer orden, cuya ecuacion caracterıstica resulta muy facil de resolver. Para sistemas de orden mayor,los calculos analıticos exactos resultan mas complicados, cuando no imposibles, debido a que se debenobtener raıces de polinomios de grado alto. A pesar de esto y de haber vivido en una epoca donde noexistıan computadoras con el poder de computo actual, Evans pudo encontrar una forma ingenieril deresolver el problema en casos generales.

2.3.2. Fundamentos

Consideremos un sistema realimentado como el de Figura 2.13, donde G(s) es, en principio, una FTracional arbitraria. Nuestro objetivo es dibujar, analogamente a lo que hicimos en el Ejemplo 2.1, lasposiciones de los polos de GLC(s) para todos los valores del parametro K desde 0 a ∞. Posteriormente,nos intersara tambien analizar esto mismo pero para valores de K desde 0 a −∞.

GLC(s) esta dada por:

GLC(s) =Y (s)

R(s)=

KG(s)

1 +KG(s), (2.9)

de modo que sus polos resultan de resolver la ecuacion siguiente:

1 +KG(s) = 0, o equivalentemente KG(s) = −1. (2.10)

Como G(s) es una FT racional, puede escribirse como cociente de polinomios:

G(s) =N(s)

D(s), (2.11)

donde N(s) es su numerador y D(s) su denominador. Reemplazando (2.11) en (2.10) y multiplicando porD(s) obtenemos la ecuacion equivalente

D(s) +KN(s) = 0. (2.12)

Puntos extremos del lugar de las raıces

En el caso lımite K = 0, vemos que (2.12) se reduce a D(s) = 0, de donde concluimos que

Para K = 0, los polos de GLC(s) coinciden con los polos de G(s).

Para K 6= 0, dividiendo (2.12) por K obtenemos

N(s) +1

KD(s) = 0. (2.13)

En los casos lımite K → ∞ o K → −∞, vemos que (2.13) se reduce a N(s) = 0, de donde concluimosque

2De ahora en mas, GLC(s) siempre representara la FT de lazo cerrado.


Para |K| → ∞, los polos de GLC(s) coinciden con los ceros de G(s).

De este breve analisis surge que

El lugar de las raıces para K variando desde 0 a ∞, o desde 0 a −∞,“comienza” en los polos de G(s) y “termina” en sus ceros.

Ahora bien, ¿que sucede cuando el numero de polos no coincide con el numero de ceros de G(s), comosucedio en el Ejemplo 2.1? Como podemos observar en la Figura 2.14, algunos polos pueden “tender ainfinito”. Si llamamos n al grado del polinomio denominador D(s) y m al del numerador N(s), de modoque

G(s) =N(s)

D(s)= bm

sm + . . .+ b1s+ b0sn + an−1sn−1 + . . .+ a1s+ a0

, (2.14)

con bm 6= 0, diremos que G(s) tiene n−m ceros en infinito si n > m, o m− n polos en infinito si m > n.En general, trataremos con casos donde n > m. Si m = n entonces G(s) no tiene polos ni ceros en infinito.De esta manera, podemos decir que el lugar de las raıces siempre comienza en los polos de G(s) y terminaen sus ceros.

Ejemplo 2.2. Consideremos el sistema realimentado de Figura 2.13 con

G(s) =N(s)

D(s)=

s+ 1

s2 + 3s=

s+ 1

(s+ 3)s. (2.15)

Se desea dibujar el lugar de las raıces para K ≥ 0.

Solucion. Los polos de G(s) son s = 0 y s = −3, y su cero es s = −1. Como n = 2 > m = 1, decimosque G(s) posee n−m = 1 cero en infinito. Sabemos que el lugar de las raıces va a comenzar en los poloss = 0 y s = −3, y va a terminar en los ceros, de los cuales uno es s = −1 y el otro es infinito. Escribiendo(2.12) para este sistema

(s2 + 3s) +K(s+ 1) = s2 + (3 +K)s+K = 0 (2.16)

observamos que al tratarse de un polinomio de segundo grado podemos obtener sus raıces facilmente:

s1 =−(3 +K) +

√

(3 +K)2 − 4K

2, (2.17)

s2 =−(3 +K)−

√

(3 +K)2 − 4K

2. (2.18)

Como (3+K)2 − 4K = 9+2K +K2 es no negativo para todo valor de K no negativo, s1 y s2 son realespara todo K ≥ 0. El lugar de las raıces de este sistema se muestra en la Figura 2.15. Observar que losceros de G(s) se marcan en el grafico con ‘o’.

Re

Im C

K = 0

K → ∞

Figura 2.15: Lugar de las raıces del sistema del Ejemplo 2.2.

Ejemplo 2.3. Consideremos nuevamente el sistema realimentado de Figura 2.13, esta vez con

G(s) =1

s2 + 3s=

1

(s+ 3)s, (2.19)

para el cual deseamos dibujar el lugar de las raıces para K ≥ 0.


Solucion. Este caso es muy similar al del Ejemplo 2.2, con la diferencia que G(s) tiene sus dos cerosen infinito. La ecuacion (2.12) para este caso resulta

s2 + 3s+K = 0, (2.20)

de donde

s1 =−3 +

√9− 4K

2, (2.21)

s2 =−3−

√9− 4K

2. (2.22)

Si 0 ≤ K ≤ 9/4, s1 y s2 seran reales. Si K > 9/4, tendremos

s1 = −1.5 + j

√4K − 9

2, (2.23)

s2 = −1.5− j

√4K − 9

2, (2.24)

y por lo tanto s1 y s2 seran complejos conjugados con parte real -1.5 (independientemente del valor deK, siempre y cuando K > 9/4) y parte imaginaria dependiente de K. El correspondiente lugar de lasraıces se muestra en la Figura 2.16. Observar que las raıces que tienden a infinito cuando K → ∞ lohacen siguiendo un camino distinto al del Ejemplo 2.2.

Re

Im C

K = 0K = 9/4

K → ∞

K → ∞


Condiciones generales

Expresemos KG(s) en forma polar como

KG(s) = |KG(s)|ej∠KG(s), (2.25)

donde |KG(s)| es el modulo de KG(s) y ∠KG(s) es su angulo. Reemplazando (2.25) en (2.10) y recor-dando que −1 = ej(2k−1)π para cualquier k entero, obtenemos

|KG(s)| = 1, (2.26)

∠KG(s) = (2k − 1)π, para algun k entero. (2.27)

La ecuacion (2.26) recibe el nombre de condicion de modulo y la (2.27), el de condicion de angulo. SiK > 0, dichas condiciones se reducen a

K|G(s)| = 1, (2.28)

∠G(s) ∼ π, (2.29)


y si K < 0, a

K|G(s)| = −1, (2.30)

∠G(s) ∼ 0, (2.31)

donde hemos escrito ‘∼’ para indicar que el angulo es ‘equivalente a’, ya que angulos que difieren enmultiplos enteros de 2π son equivalentes. Podemos observar que (2.29) y (2.31) no involucran al parametroK. En funcion de lo derivado hasta aquı, sabemos que cualquier valor de la variable compleja s quecorresponda a un polo de GLC(s) para algun valor de K > 0 debe satisfacer la condicion de angulo(2.29).

Ejemplo 2.4. Verifiquemos la condicion de angulo en el Ejemplo 2.1. Sabemos que todos los s = σ reales,con σ < 1 pueden ser polos de GLC(s) para algun valor de K > 0. Tenemos que

∠G(s) = ∠1

s− 1= −∠(s− 1) = −∠(σ − 1) = −π, (2.32)

donde hemos usado el hecho de que el angulo de un numero real negativo es igual a π. Vemos por lo tantoque se satisface la condicion de angulo, como era de esperarse. Si elegimos ahora un valor de s = −3, porejemplo, como polo de GLC(s), podemos obtener, utilizando la condicion de modulo (2.28), el valor deK para el cual se logra dicho polo:

K = 1/|G(s)| = |s− 1| = | − 3− 1| = 4. (2.33)

El Ejemplo 2.4 muestra no solo que la condicion de angulo se verifica sino tambien que, dado un polode GLC(s), la condicion de modulo nos permite encontrar el valor del parametro K para el que se obtienedicho polo.

Obtenemos entonces los lineamientos generales del metodo del lugar de las raıces:

Analizar, de alguna manera, los valores de la variable s que satisfacen la condicion de angulo, y

dado un valor de s que satisface la condicion de angulo, el valor del parametro K que logra quedicho valor de s corresponda a un polo de GLC(s) se deriva de la condicion de modulo.

A continuacion, nos concentraremos en el primero de estos ıtems.

Raıces reales

¿Existira alguna forma simple de evaluar que parte o partes del eje real pertenecen al lugar de lasraıces? En el Ejemplo 2.1, la parte del eje real que pertenece al lugar de las raıces es la correspondienteal intervalo (−∞, 1] (ver Figura 2.14), en el Ejemplo 2.2 es la correspondiente a (−∞,−3] y [−1, 0] (verFigura 2.15), y en el Ejemplo 2.3 la correspondiente a [−3, 0] (ver Figura 2.16). A continuacion veremosque existe una forma muy sencilla de evaluar esto.

Factoricemos numerador y denominador de G(s) de la siguiente forma

G(s) =N(s)

D(s)= bm

sm + . . .+ b1s+ b0sn + an−1sn−1 + . . .+ a1s+ a0

= bm(s− z1) · · · (s− zm)

(s− p1) · · · (s− pn), (2.34)

de modo que z1, . . . , zm son los ceros (finitos) de G(s) y p1, . . . , pn son sus polos. De aquı en mas,analizaremos el caso en que bm > 0. El caso en que bm < 0 puede analizarse tomando |bm| y evaluandoel lugar de las raıces para K < 0. Aplicando la condicion de angulo, obtenemos:

∠G(s) = ∠bm + ∠(s− z1) + . . .+ ∠(s− zm)− ∠(s− p1)− . . .− ∠(s− pn) = (2k − 1)π, (2.35)

donde ∠bm = 0 para bm > 0. Para evaluar (2.35) debemos evaluar los angulos de los factores s − z os − p. Para evaluar que parte del eje real pertenece al lugar de las raıces debemos encontrar los valoresreales de s que satisfacen (2.35).


Si z es real, tenemos entonces que s − z es real, de modo que su angulo sera 0 si s − z > 0 o π sis− z < 0. Concluımos lo siguiente:

s ∈ R, z ∈ R ⇒ ∠(s− z) =

0 si s esta a la derecha de z,

π si s esta a la izquierda de z.(2.36)

El caso en que z es complejo es mas sencillo aun, ya que, como su complejo conjugado z tambien debeaparecer, tenemos que

s ∈ R ⇒ ∠(s− z) = −∠(s− z), (2.37)

de modo que en la suma (2.35) estos terminos se cancelan.Combinando lo analizado hasta aquı y concluido en (2.36) y (2.37), podemos delinear la siguiente

regla sencilla.

Para K ≥ 0 y bm > 0, la parte del eje real que pertenece al lugar de lasraıces es la que esta a la izquierda de un numero impar de singularidadesde G(s). Las singularidades dobles cuentan doble, las triples triple, etc.

Con “singularidades” nos referimos a polos y ceros colectivamente. Podemos verificar facilmente que estose cumple en los Ejemplos 2.1, 2.2 y 2.3. Analogamente, podemos analizar el caso K < 0 y concluir que

Para K < 0 y bm > 0, la parte del eje real que pertenece al lugar de lasraıces es la que esta a la izquierda de un numero par de singularidades deG(s). Las singularidades dobles cuentan doble, las triples triple, etc.

En esta ultima regla debemos tener en cuenta que el 0 debe contarse como un numero par, de modo quepara K < 0 y bm > 0, los puntos del eje real que no tienen ninguna singularidad de G(s) a su derechapertenecen al lugar de las raıces.

Con lo analizado hasta aquı, podemos ahora dibujar los lugares de las raıces de sistemas mas compli-cados, como el del ejemplo siguiente.

Ejemplo 2.5. Se desea dibujar el lugar de las raıces para K ≥ 0 y para K < 0 del sistema de Figura 2.13con

G(s) =(s+ 1)(s+ 3)

s(s+ 2)(s+ 4). (2.38)

Como numerador y denominador de G(s) ya se dan factorizados, vemos inmediatamente que sus cerosson −1 y −3 y sus polos son 0, −2 y −4. Analizando la parte del eje real que debe pertenecer al lugar delas raıces, obtenemos directamente los graficos de la Figura 2.17.

Im

−1−2−3−4

Re

C

(a) K ≥ 0

Re

Im C

−1−2−3−4

(b) K < 0



Asıntotas

Las raıces que “tienden a infinito” lo hacen siguiendo ciertos caminos especıficos, como vimos en losejemplos anteriores. Se puede calcular de manera sencilla cuales son estos caminos o, mas precisamente,cuales son los caminos a los que asintoticamente tienden las raıces. Daremos aquı directamente la forma decalcular estos caminos. La derivacion de estos resultados se incluye a modo informativo en la Seccion 2.3.8.

Primero, un lugar de las raıces tendra tantas asıntotas como singularidades en infinito tenga. Enlos Ejemplos 2.1 y 2.2, G(s) tenıa un solo cero en infinito, de modo que hay una sola asıntota. En elEjemplo 2.3 hay dos.

Segundo, el angulo φa que forman las asıntotas con el eje real esta dado por

φa =2k − 1

n−mπ, k = 1, . . . , n−m, (2.39)

para K ≥ 0 y bm > 0. De este modo, si n −m = 1 hay una sola asıntota con angulo π (Ejemplos 2.1y 2.2) y si n−m = 2 hay dos asıntotas con angulos π/2 y 3π/2 (Ejemplo 2.3). Para K < 0 y bm > 0, losangulos son

φi =2k

n−mπ, k = 1, . . . , n−m. (2.40)

De este modo, si n −m = 1 hay una sola asıntota con angulo 2π o, equivalentemente, 0 (Ejemplo 2.5para K < 0). Notar que en el caso K < 0 (y bm > 0) de existir al menos una asıntota siempre unade ellas tendra angulo 0 (2π). Cuando K = −|K| < 0, el signo ‘−’ en el lazo de realimentacion en laFigura 2.13 se cancela con el de K = −|K|, resultando en un lazo de “realimentacion positiva”. El hechode que siempre una asıntota tiene angulo 0 indica que en estos casos de realimentacion positiva, el sistemasiempre sera inestable para valores grandes de |K|.

Tercero, el punto desde donde parten las asıntotas, llamado centroide, esta dado por

σa =p1 + . . .+ pn − z1 − . . .− zm

n−m=

n∑

r=1

pr −m∑

ℓ=1

zℓ

n−m, (2.41)

donde pr son los polos de G(s) y zℓ sus ceros (finitos). Notar que el centroide es siempre un numero real,ya que polos o ceros complejos conjugados cancelan sus partes imaginarias en (2.41). En el Ejemplo 2.1tenemos σa = 1 y en el Ejemplo 2.3, σa = −1.5.

Ejemplo 2.6. Consideremos nuevamente el sistema de Figura 2.13, para K ≥ 0 y con

G(s) =1

s(s+ 3)(s+ 6). (2.42)

Inmediatamente identificamos sus polos p1 = 0, p2 = −3 y p3 = −6. Como G(s) no tiene ceros finitos,tiene 3 ceros en infinito, de modo que habra 3 asıntotas. La parte del eje real que pertenece al lugar delas raıces es [−3, 0] y (−∞,−6]. Evaluando (2.39), sabemos que las asıntotas tendran angulos φa1 = π/3,φa2 = π y φa3 = 5π/3 (equivalente a −π/3). El centroide de las asıntotas es

σa =0 + (−3) + (−6)

3= −3.

El lugar de las raıces correspondiente se muestra en la Figura 2.18. Se deja como ejercicio evaluar el lugarde las raıces para K < 0.

Angulos de salida y llegada

La condicion de angulo nos brinda una manera facil de determinar que angulo formara el camino deuna raız que parte de un polo o llega a un cero. Por ejemplo, el lugar de las raıces para K ≥ 0 del lazode Figura 2.13 con

G(s) =s2 + 4s+ 5

s3 + 5s2 + 6s(2.43)


Re

Im

C

K → ∞

K → ∞

K → ∞

−3−6

π/3


Im

−2

Re

C

−3ζ1

ψ3

ψ2 ψ1

θ 1

Figura 2.19: Determinacion del angulo de llegada.

se muestra en la Figura 2.19. El angulo con que el camino llega al cero −2+ j de G(s) es el que se indicacon θ. Para determinar θ, expresamos la condicion de angulo para este sistema, similarmente a lo que sehizo en (2.35):

∠(s− (−2 + j)) + ∠(s− (−2− j))− ∠s− ∠(s+ 2)− ∠(s+ 3) = π, (2.44)

la que reescribimos como sigue:

∠(s− (−2 + j)) = π + ∠s+ ∠(s+ 2) + ∠(s+ 3)− ∠(s− (−2− j)). (2.45)

El angulo θ es el angulo ∠(s− (−2+ j)) cuando s se aproxima a −2+ j siguiendo el camino del lugar delas raıces que llega al punto −2 + j. Por lo tanto, cuando s → −2 + j (siguiendo el camino dado por ellugar de las raıces), el lado izquierdo de (2.45) tendera a θ y, ademas,

∠s→ ∠(−2 + j) = 5π/6 = ψ1,

∠(s+ 2) → ∠j = π/2 = ψ2,

∠(s+ 3) → ∠(1 + j) = π/4 = ψ3

y∠(s− (−2− j)) → ∠(2j) = π/2 = ζ1.

Reemplazando todo esto en (2.45) resulta

θ = π + ψ1 + ψ2 + ψ3 − ζ1 = π + 5π/6 + π/4 ∼ π/12. (2.46)

Notar que ψ1, ψ2 y ψ3 son los angulos que forman cada uno de los polos de G(s) con la singularidadsobre la cual se quiere determinar el angulo de salida o llegada. Asimismo, ζ1 es el angulo que forma elotro cero de G(s) con dicha singularidad. Concluimos que:


Para K ≥ 0 y bm > 0, el angulo θ que el lugar de las raıces forma llegandoa un cero de G(s) resulta de calcular

θ = π +∑

r

ψr −∑

ℓ

ζℓ,

donde ψr y ζℓ son los angulos que forman cada uno de los polos y los otrosceros, respectivamente, de G(s) con el cero considerado.

Siguiendo identico razonamiento para el caso K < 0, resulta

Para K < 0 y bm > 0, el angulo θ que el lugar de las raıces forma llegandoa un cero de G(s) resulta de calcular

θ =∑

r

ψr −∑

ℓ

ζℓ,

donde ψr y ζℓ son los angulos que forman cada uno de los polos y los otrosceros, respectivamente, de G(s) con el cero considerado.

Adicionalmente, para calcular el angulo de salida desde un polo de G(s), tendremos

Para K ≥ 0 y bm > 0, el angulo θ que el lugar de las raıces forma saliendode un polo de G(s) resulta de calcular

θ = π −∑

r

ψr +∑

ℓ

ζℓ,

donde ψr y ζℓ son los angulos que forman cada uno de los otros polos ylos ceros, respectivamente, de G(s) con el polo considerado.

Y para K < 0,

Para K < 0 y bm > 0, el angulo θ que el lugar de las raıces forma saliendode un polo de G(s) resulta de calcular

θ = −∑

r

ψr +∑

ℓ

ζℓ,

donde ψr y ζℓ son los angulos que forman cada uno de los otros polos ylos ceros, respectivamente, de G(s) con el polo considerado.

Puntos de cruce y de quiebre

Los lugares de las raıces de las Figuras 2.18 y 2.19 presentan ciertas caracterısticas interesantes. En laFigura 2.18, para valores positivos no muy grandes de K, el sistema realimentado es estable, mientras quepara valores grandes de K se vuelve inestable, ya que dos de sus polos cruzan el eje imaginario hacia elsemiplano real positivo. Llamaremos puntos de cruce a estos puntos donde el lugar de las raıces cruza eleje imaginario. Otra caracterıstica de interes, que se observa en las Figuras 2.18 y 2.19, es que cuando dospolos reales se juntan en un polo doble, el lugar de las raıces se separa del eje real a partir de ese punto.Esto tambien sucede en el Ejemplo 2.3. Ası como dos polos reales pasan a ser complejos conjugados luegode juntarse en un polo doble, tambien puede pasar que dos polos complejos conjugados pasen a ser realesdistintos. Llamamos puntos de quiebre a los puntos donde varios polos se juntan en un polo real multiple.

Para determinar los valores de s que corresponden a un punto de cruce, se puede reemplazar s = jωen la condicion de angulo y encontrar los correspondientes valores reales de ω. Para demostrar que noexisten puntos de cruce, un metodo que puede resultar menos laborioso es aplicar directamente el criteriode Routh-Hurwitz al denominador de GLC(s), es decir, al lado izquierdo de la ecuacion (2.12). El siguienteejemplo ilustra como calcular los puntos de cruce.


Ejemplo 2.7. Tomemos el sistema del Ejemplo 2.6. La ecuacion (2.12) en este caso resulta

s(s+ 3)(s+ 6) +K = 0 = s3 + 9s2 + 18s+K. (2.47)

Reemplazando s = jω y operando, obtenemos

(−9ω2 +K) + j(−ω3 + 18ω) = 0, (2.48)

de donde, simultaneamente debe cumplirse

K = 9ω2, (2.49)

0 = ω(−ω2 + 18). (2.50)

De (2.50), se sigue que ω = 0 o ω = ±√18. El valor ω = 0 corresponde, segun (2.49), al valor K = 0. Por

lo tanto, los puntos de cruce buscados ocurren en s = ±j√18 para K = 9 · 18 = 162.

Aplicando el criterio de Routh-Hurwitz a (2.47) podemos encontrar los valores de K para los puntosde cruce. Para esto, construimos la Tabla 2.1. Para estar al lımite de la estabilidad (es decir, cuando

s3 1 18s2 9 Ks1 18−K/9 0s0 K

Tabla 2.1: Tabla de Routh para (2.47).

hay polos sobre el eje imaginario), algun coeficiente de la primera columna de la tabla debe anularse.El coeficiente de la fila correspondiente a s1 se anula para K = 9 · 18 = 162. El de la fila s0 cuandoK = 0.

La determinacion de los puntos de quiebre requiere un poco mas de calculo. Definiendo P (s) =D(s) +KN(s) tenemos

P (s) = D(s) +KN(s) =

n∏

r=1

(s− ρr), (2.51)

donde ρr son los polos de la FT de lazo cerrado,GLC(s), que dependeran del valor que adopte el parametroK. En caso de que ρ1 sea un polo con multiplicidad q, tendremos

P (s) = (s− ρ1)q

n∏

r=q+1

(s− ρr). (2.52)

Si derivamos con respecto a s,

dP (s)

ds= q(s− ρ1)

q−1n∏

r=q+1

(s− ρr) + (s− ρ1)q d

ds

(

n∏

r=q+1

(s− ρr)

)

(2.53)

Evaluando (2.53) en s = ρ1 vemos que, si q > 1,

dP (s)

ds

∣

∣

∣

∣

s=ρ1

= 0. (2.54)

Por lo tanto, los puntos de quiebre del lugar de las raıces son los valores de s que satisfacen (2.54). Unode los problemas que surgen al tratar de usar la ecuacion (2.54) para determinar los puntos de quiebrees que dicha ecuacion involucra al parametro K. Recordando (2.51) y operando tenemos

dP (s)

ds=dD(s)

ds+K

dN(s)

ds. (2.55)


Despejando K de (2.51) y reemplazando en (2.55) llegamos a

dP (s)

ds=dD(s)

ds− D(s)

N(s)

dN(s)

ds. (2.56)

Finalmente, combinamos (2.54) con (2.56) y multiplicamos por N(s) para obtener que los puntos dequiebre deben satisfacer

N(s)dD(s)

ds−D(s)

dN(s)

ds= 0. (2.57)

Resolver la ecuacion (2.57) consiste en encontrar las raıces de un polinomio de grado n +m− 1, lo queen general no es tarea facil. Sin embargo, como solo nos interesan los valores reales de s que satisfacen(2.57), de la evaluacion de la parte del eje real que pertenece al lugar de las raıces ya tenemos una ideade en que rango de valores estaran los puntos de quiebre buscados.

2.3.3. Variacion de parametros generales

Lo desarrollado hasta aquı se basa en el sistema realimentado de la Figura 2.13, donde K es elparametro que se puede variar. El metodo del lugar de las raıces puede aplicarse tambien para evaluarla posicion de los polos de lazo cerrado cuando el parametro que se desea variar aparece involucrado deotras formas, como muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.8. El sistema de Figura 2.20 involucra una planta, representada por la FT Gp(s), cuya salidase mide a traves un sensor, representado por la FT Gs(s), y donde el error entre la salida medida y ladeseada es procesado por el controlador de FT Gc(s) que genera la entrada a la planta. Para eliminarposibles errores de estado estacionario en el sistema realimentado, el disenador eligio un controlador deltipo proporcional-integral (PI). Las FTs mencionadas son

Gp(s) =s+ 2

s2 + 4s+ 13, Gs(s) =

10

s+ 10, Gc(s) = KP +

KI

s. (2.58)

Se desea evaluar los polos de la FT de lazo cerrado en las siguientes condiciones:

a) Dejando KI = 1 fijo, cuando Kp se varıa desde 0 a ∞, y

b) Dejando KP = 1 fijo, cuando KI se varıa desde 0 a ∞.

Gs(s)

Gc(s) Gp(s)R(s) Y (s)U(s)

Figura 2.20: Sistema realimentado con compensadores en cascada y reaccion.

Solucion. Hallamos la FT de lazo cerrado

GLC(s) =Y (s)

R(s)=

Gc(s)Gp(s)

1 +Gc(s)Gp(s)Gs(s)=

(KP s+KI)(s+ 2)(s+ 10)

s(s2 + 4s+ 13)(s+ 10) + (KP s+KI)(s+ 2)10, (2.59)

y su denominador, DLC(s),

DLC(s) = s(s2 + 4s+ 13)(s+ 10) + (KP s+KI)(s+ 2)10

= s4 + 14s3 + (53 + 10KP )s2 + (130 + 10KI + 20KP )s+ 20KI

= [s4 + 14s3 + 53s2 + (130 + 10KI)s+ 20KI] +KP (10s2 + 20s) (2.60)

= [s4 + 14s3 + (53 + 10KP )s2 + (130 + 20KP )s] +KI(10s+ 20) (2.61)


a) Cuando KI = 1, vemos que (2.60) queda en la forma D(s) +KN(s), con

D(s) = s4 + 14s3 + 53s2 + 140s+ 20, N(s) = 10s2 + 20s, (2.62)

y para K = KP . Los polos de la FT de lazo cerrado corresponderan a la ecuacion3 D(s) +KN(s) = 0,que es la ecuacion (2.12) en la que se basa todo nuestro analisis anterior. De este modo, el lugar de las

raıces para KP variando desde 0 a ∞ resultara de aplicar el analisis anterior a la FT ficticia G(s) = N(s)D(s) ,

con N(s) y D(s) dados por (2.62).b) Cuando KP = 1, es ahora (2.61) la que nos da la forma D(s) +KN(s) con K = KI y

D(s) = s4 + 14s3 + 63s2 + 150s, N(s) = 10s+ 20. (2.63)

Nuevamente, el lugar de las raıces se analizara sobre la FT ficticia G(s) = N(s)D(s) con N(s) y D(s) dados

por (2.63).

2.3.4. Sistemas en tiempo discreto

Consideremos ahora un lazo de realimentacion analogo al de la Figura 2.13 pero en tiempo discreto,para el que quisieramos dibujar su lugar de las raıces. Como su ecuacion caracterıstica resultara de laforma

1 +KG(z) = 0, (2.64)

donde la unica diferencia formal es que la variable compleja es ahora z en lugar de s, vale casi todolo analizado hasta aquı. La unica diferencia esta en los puntos de cruce, ya que ahora no nos interesanlos puntos en que las raıces cruzan el eje imaginario sino los puntos en que las raıces cruzan el cırculounitario. Para encontrar los puntos de cruce para un lazo en tiempo discreto, basta reemplazar z = ejω

en la condicion de angulo y encontrar los valores reales de ω que la satisfacen. Tambien se puede aplicarel criterio de Jury, analogamente a como se puede aplicar el de Routh-Hurwitz en el caso continuo.

2.3.5. Resumen del metodo

En esta seccion resumimos el metodo del lugar geometrico de las raıces en una serie de pasos sencillos.

Paso 1: Escribir la ecuacion caracterıstica en la forma

1 +K ′G′(s) = 0, (2.65)

donde K ′ es el parametro que se puede variar y G′(s) = N(s)/D(s) es una FT racional, o en laforma equivalente

D(s) +K ′N(s) = 0, (2.66)

donde D(s) y N(s) son polinomios. Si el lazo de realimentacion no viene dado como en laFigura 2.13, escribir su ecuacion caracterıstica y llevarla a la forma (2.65) o (2.66).

Paso 2: Factorizar los polinomios N(s) y D(s) y obtener los polos y ceros de G′(s):

G′(s) =N(s)

D(s)= b′m

(s− z1) · · · (s− zm)

(s− p1) · · · (s− pn). (2.67)

Paso 3: Si b′m > 0, definir K = K ′ y G(s) = G′(s).

Si b′m < 0, definir K = −K ′ y G(s) = −G′(s), de modo que G(s) tenga ahora bm > 0. En estecaso, si se desea analizar el lugar de las raıces paraK ′ desde 0 a ∞ se debera proseguir analizandopara K desde 0 a −∞ y por lo tanto realizar los pasos siguientes para K < 0. Lo opuesto vale sise desea para K ′ desde 0 a −∞.

3salvo que haya cancelacion con alguna raız del numerador en (2.59).


Paso 4: Ubicar los polos y ceros (finitos) de G(s) en el plano complejo. Identificar los polos con ‘x’ y losceros con ‘o’. Recordar que

El lugar de las raıces para K variando desde 0 a ∞, o desde 0 a −∞,“comienza” en los polos de G(s) y “termina” en sus ceros.

Paso 5: Identificar la parte del eje real que pertenece al lugar de las raıces:

Para K ≥ 0, la parte del eje real que pertenece al lugar de las raıces esla que esta a la izquierda de un numero impar de singularidades de G(s).Para K < 0, la parte del eje real que pertenece al lugar de las raıces es laque esta a la izquierda de un numero par de singularidades de G(s). Lassingularidades dobles cuentan doble, las triples triple, etc.

Paso 6: Como las raıces buscadas son raıces de un polinomio con coeficientes reales, si existe una raızcompleja su conjugada tambien debe ser raız. Por lo tanto:

El lugar de las raıces debe ser simetrico con respecto al eje real.

Paso 7: Usualmente, el numero de polos, n, sera mayor que el numero de ceros, m. Por lo tanto, G(s)tendra n−m ceros en infinito y el lugar de las raıces tendra n−m ramas que tienden a infinitoacercandose a asıntotas que forman angulos

φa =2k − 1

n−mπ, k = 1, . . . , n−m, (2.68)

con el eje real si K ≥ 0. Para K < 0, los angulos son

φi =2k

n−mπ, k = 1, . . . , n−m. (2.69)

Estas asıntotas parten del centroide dado por

σa =p1 + . . .+ pn − z1 − . . .− zm

n−m=

n∑

r=1

pr −m∑

ℓ=1

zℓ

n−m. (2.70)

En (2.70), deben sumarse las singularidades multiples tantas veces como su multiplicidad.

Paso 8: Determinar los angulos con que el lugar de las raıces sale o llega a las singularidades de G(s).

ParaK ≥ 0, el angulo θ que el lugar de las raıces forma saliendo o llegandoa una singularidad de G(s) resulta de calcular

θ = π ±∑

r

ψr ∓∑

ℓ

ζℓ,

donde ψr y ζℓ son los angulos que forman cada uno de los otros polosy ceros, respectivamente, de G(s) con la singularidad considerada. Si seevalua el angulo de llegada a un cero, los ψr deben sumarse y ζℓ restarse.En caso contrario, los signos son los opuestos. Para K < 0, la ecuacionpara θ cambia por

θ = ±∑

r

ψr ∓∑

ℓ

ζℓ.


Paso 9: Determinar los puntos en los cuales el lugar de las raıces cruza el eje imaginario (puntos de cruce),si existen. Para esto se puede reemplazar s = jω en la condicion de angulo (2.29) y resolver paraencontrar ω real, o bien aplicar el criterio de Routh-Hurwitz a (2.66).

Si se trata de un sistema en tiempo discreto, en lugar de la variable s tendremos z, y los puntos decruce se determinan reempazando z = ejω en la condicion de angulo y resolviendo para encontrarω real, o bien aplicando el criterio de Jury.

Paso 10: Si es necesario mas detalle, determinar los puntos en los cuales raıces reales se juntan en una raızmultiple y se transforman en complejas conjugadas o vice versa (puntos de quiebre). Para esto,se deben encontrar los valores reales de s que satisfacen

N(s)dD(s)

ds−D(s)

dN(s)

ds= 0. (2.71)

Paso 11: Con toda la informacion obtenida, esbozar el lugar geometrico de las raıces sobre el plano com-plejo.

2.3.6. Lugar de las raıces con Matlab

En Matlab, podemos graficar facilmente los lugares de las raıces mediante la funcion rlocus.

Ejemplo 2.9. Se desea dibujar con Matlab el lugar de las raıces para K ≥ 0 del sistema de Figura 2.13con

G(s) =s+ 2

s2(s2 + 20s+ 116). (2.72)

Para esto, debemos primero definir nuestro sistema, de la siguiente forma:

>> num=[1 2]; % coeficientes del polinomio numerador

>> den=[1 20 116 0 0]; % coeficientes del polinomio denominador

>> G=tf(num,den);

Si ahora escribimos G, Matlab indica:

>> G

Transfer function:

s + 2

---------------------

s^4 + 20 s^3 + 116 s^2

Para graficar el lugar de las raıces, ejecutamos:

>> rlocus(G)

y Matlab genera el grafico de Figura 2.21. Para saber que valor de K generara una cierta configuracionde polos de lazo cerrado, ejecutamos:

>> [K,polos]=rlocfind(G)

Matlab nos pide que seleccionemos un punto sobre la grafica del lugar de las raıces. Presionando con elmouse sobre un punto del lugar de las raıces, Matlab informa:

selected_point =

-1.3388 + 3.9130i

K =

437.9638


polos =

-13.4288

-1.3911 + 3.9089i

-1.3911 - 3.9089i

-3.7891

y muestra la configuracion de polos correspondiente como se muestra en la Figura 2.22. Notar que comose selecciono un punto que no pertenecıa exactamente al lugar de las raıces, Matlab selecciono el puntomas cercano que pudo encontrar que sı pertenece al lugar de las raıces.

−30 −20 −10 0 10 20−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Figura 2.21: Lugar de las raıces generado con Matlab para el Ejemplo 2.9.

−30 −20 −10 0 10 20−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Figura 2.22: Lugar de las raıces generado con Matlab para el Ejemplo 2.9, con polos seleccionados medianterlocfind.


La funcion rlocus puede tambien ejecutarse con argumentos del lado izquierdo, como por ejemplo:

>> [r,K]=rlocus(sys);

Se recomienda leer la ayuda de esta funcion para aprender mas sobre sus posibilidades.Finalmente, otras instrucciones que pueden ser muy utiles son grid y rltool. Se recomienda observar

el funcionamiento de grid en las figuras generadas con rlocus. Por otro lado, rltool brinda un entornopara diseno de lazos de realimentacion mediante el lugar de las raıces.

2.3.7. Polos dominantes

Cuando tenemos un sistema de orden alto, es muy util encontrar la manera de simplificarlo. En elCapıtulo 1 repasamos la forma de reconocer la presencia de polos dominantes y de simplificar la FT delsistema para que contenga solo los polos dominantes. Ahora quisieramos responder lo siguiente: cuandola FT G(s) que se incluye en el lazo de la Figura 2.13 contiene solo los polos dominantes del sistema, esdecir que se han despreciado polos rapidos del sistema, ¿que sucede con el lugar de las raıces resultante,en comparacion con el lugar de las raıces que corresponde al sistema original sin simplificar? El ejemplosiguiente da una idea de que es lo que sucede.

Ejemplo 2.10. Se desea obtener el lugar de las raıces para K ≥ 0 del sistema de Figura 2.13 donde

G(s) =416(s+ 2)

(s2 + 40s+ 416)(s+ 0.01)2. (2.73)

Definiendo la FT G(s) en Matlab y ejecutando rlocus, obtenemos el grafico de la Figura 2.23a. Los polos

−30 −20 −10 0 10−20

−10

0

10

20

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(a) Sistema original

−30 −20 −10 0 10−20

−10

0

10

20

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(b) Sistema simplificado


de G(s) son p1,2 = −20± j4, p3,4 = −0.01 y su cero es z1 = −2. Por lo tanto, vemos que el polo doble en−0.01 es dominante frente al par de polos complejos conjugados. Podemos simplificar entonces G(s) a

G(s) =s+ 2

(s+ 0.01)2. (2.74)

Si reemplazamos G(s) por G(s) y evaluamos nuevamente el lugar de las raıces, obtenemos el grafico dela Figura 2.23b. Para evaluar mejor las similaridades y diferencias, superponemos ambos lugares de lasraıces, como se muestra en la Figura 2.24. Podemos ver que para valores pequenos del parametro K,el sistema original realimentado va a tener un par de polos dominantes y que ademas, la posicion deestos polos dominantes es aproximadamente la misma que se obtiene analizando el lugar de las raıcesdel sistema simplificado. Sin embargo, para valores grandes del parametro, los lugares de las raıces nocoinciden en absoluto. De hecho, el sistema original se inestabiliza a partir de cierto valor de K, mientrasque el sistema simplificado es estable para todo K > 0.


−30 −20 −10 0 10−20

−10

0

10

20

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Figura 2.24: Superposicion de los lugares de las raıces de la Figura 2.23.

La conclusion que obtenemos del Ejemplo 2.10 es que es valido analizar el lugar de las raıces corre-spondiente al sistema simplificado, siempre y cuando el valor del parametro no sea demasiado grande.Hasta donde puede crecer el parametro y/o cuan aproximado va a ser el resultado dependera de cadasistema en particular. Lo que deseamos con este analisis es resaltar el resultado cualitativo.

2.3.8. Angulos y centroide de asıntotas∗

Esta seccion se incluye unicamente a modo informativo. A continuacion mostraremos como se derivanlas ecuaciones (2.39) y (2.41), que indican los angulos que las asıntotas forman con el eje real y el puntodonde las mismas se intersecan, llamado centroide.

Recordemos que los polos de GLC(s) estan dados por (2.10), donde G(s) se escribe como en (2.11)siendo N(s) su polinomio numerador, de grado m, y D(s) su denominador, de grado n. Desarrollaremosaquı el caso n > m y para K ≥ 0.

Comenzamos por el caso simple dado por

G(s) =1

sn. (2.75)

En este caso, G(s) tiene n ceros en infinito, de modo que habra n asıntotas. El lugar de las raıcescorresponde a resolver

sn +K = 0, (2.76)

de donde inmediatamente observamos que los valores de s que pertenecen al lugar de las raıces son losque corresponden a las raıces n-esimas del numero no positivo −K, es decir

s =n√Kej(2k−1)π/n, k = 1, . . . , n. (2.77)

Se ve facilmente que en este caso el lugar de las raıces coincide con las asıntotas, que son semirrectas queparten de s = 0 (por lo tanto el centroide es σa = 0) con angulos (2k − 1)π/n para k = 1, . . . , n.

Si ahora en lugar de (2.75) tenemos

G(s) =1

(s− c)n, (2.78)

donde c es real, el lugar de las raıces corresponde a resolver

(s− c)n +K = 0. (2.79)

Aquı vemos que s pertenecera al lugar de las raıces dado por (2.79) si y solo si s − c pertenece al dadopor (2.76). De modo que solo es cuestion de desplazar nuestros ejes para concluir que, nuevamente, ellugar de las raıces coincide con las asıntotas, que son semirrectas que en este caso parten del centroideσa = c con angulos identicos al caso anterior, es decir, (2k − 1)π/n para k = 1, . . . , n.


Nos ocupamos ahora del caso mas general donde

G(s) =N(s)

D(s)(2.80)

y el lugar de las raıces corresponde a resolver

D(s) +KN(s) = 0. (2.81)

Escribamos G(s) como en (2.34), con

N(s) = bm(sm + bm−1sm−1 + . . .+ b0), D(s) = sn + an−1s

n−1 + . . .+ a0. (2.82)

Notar que si bm > 0, las asıntotas van a ser las mismas que si consideramos bm = 1, ya que en (2.81)aparece bm multiplicando a K, y por lo tanto solo es cuestion de definir K = Kbm y evaluar el lugar delas raıces del nuevo sistema con bm = 1. Por lo tanto, a partir de ahora consideramos bm = 1. Dividiendoel polinomio D(s) por N(s), podemos escribir

D(s) = α(s)N(s) + ρ(s), (2.83)

donde α(s) es el polinomio cociente, cuyo grado es n−m, y ρ(s) es el resto, cuyo grado es menor que m.Reemplazando (2.83) en (2.81) y operando, obtenemos

α(s) +K = − ρ(s)

N(s). (2.84)

Como queremos evaluar como tienden las soluciones de esta ecuacion hacia infinito, estamos interesadosen la situacion donde |s| es muy grande. Cuando esto ultimo sucede, (2.84) se reduce a

α(s) +K = 0, o equivalentemente 1 +K1

α(s)= 0, (2.85)

debido a que el grado de ρ(s) es menor que el grado de N(s). Por lo tanto, concluimos que para evaluarlo que ocurre cuando |s| es muy grande, debemos analizar la ecuacion (2.85), que tiene la misma formaque (2.81) pero donde N(s) es reemplazado por 1 y D(s) por α(s). Definamos

G(s) =1

α(s). (2.86)

Como el grado de α(s) es n−m, vemos que G(s) tiene n−m ceros en infinito y por lo tanto el lugar delas raıces para (2.85) tiene n−m asıntotas, lo que es coherente con lo que ya sabıamos (las asıntotas dellugar de las raıces dado por (2.85) deben coincidir con las del dado por (2.81), o de lo contrario nuestroanalisis serıa inutil). Teniendo en cuenta que α(s) es el cociente de D(s) y N(s), con estos ultimos dadospor (2.82) con bm = 1, podemos calcular algunos coeficientes de α(s):

α(s) = sn−m + (an−1 − bm−1)sn−m−1 + . . . (2.87)

Para valores grandes de |s|, queremos aproximar G(s) por una FT de la forma (2.78) con n reemplazadopor n−m. Equivalentemente, queremos aproximar α(s) por un polinomio de su mismo grado, α(s), quetenga la siguiente forma:

α(s) = (s− c)n−m =(

sn−m − (n−m)csn−m−1 + . . .)

(2.88)

Por lo tanto, deseamos encontrar el valor del coeficiente c para que α(s) aproxime a α(s) lo mas posible

para valores grandes de |s|. Inmediatamente vemos que si elegimos c = bm−1−an−1

n−m , los dos coeficientes deα(s) que corresponden a las potencias mas altas de s coinciden con sus correspondientes coeficientes enα(s). Podemos escribir entonces:

G(s) ≈ 1

(s− c)n−m, para |s| grande, con (2.89)

c =bm−1 − an−1

n−m. (2.90)


Finalmente, recordando (2.34), podemos ver que

an−1 = −n∑

r=1

pr y bm−1 = −m∑

ℓ=1

zℓ, (2.91)

donde pr y zℓ son los polos y ceros de G(s). Repitiendo el analisis anterior, concluimos que el lugar delas raıces buscado tiene n−m asıntotas que forman angulos

φa =2k − 1

n−mπ, k = 1, . . . , n−m, (2.92)

con el eje real, y se intersecan en el centroide

σa = c =

n∑

r=1

pr −m∑

ℓ=1

zℓ

n−m. (2.93)

2.4. Analisis en Frecuencia de Sistemas Realimentados

En el capıtulo anterior vimos distintos metodos para determinar si un sistema era estable, tales comoel criterio de Routh para el caso continuo y el de Jury para el caso discreto.

Naturalmente, dichos criterios pueden aplicarse directamente a un sistema realimentado. Para esto,bastara calcular la Funcion de Transferencia de lazo cerrado y aplicar el criterio de estabilidad correspon-diente.

Sin embargo, como vimos cuando estudiamos el Lugar de las Raıces, en muchas ocasiones es muy utilpredecir si un sistema resultara estable o no en funcion de la Funcion de Transferencia de lazo abierto.

A continuacion entonces presentaremos una metodologıa, basada analisis frecuencial, que nos permi-tira determinar si un sistema realimentado sera estable analizando directamente la FT de lazo abierto.Dicha metodologıa, nos permitira ademas definir medidas de estabilidad relativa que resultan fundamen-tales a la hora de implementar sistemas realimentados en la practica.

2.4.1. Principio del Argumento y Criterio de Nyquist

El criterio de estabilidad de Nyquist es una herramienta que permite establecer si un sistema real-imentado es estable o no a partir de analizar el comportamiento de la Funcion Transferencia de lazoabierto sobre el eje imaginario.

Dicho criterio se basa en un teorema del analisis complejo denominado Principio del Argumento

Principio del Argumento

Supongamos que F (s) : C → C es una funcion racional (cociente de polinomios) de variable compleja.Supongamos ademas que Cs es una curva simple cerrada en el plano C, como la que muestra la Figura 2.25,que encierra un cierto numero de polos y ceros de la funcion F (s).

Sea entonces CF la curva que describe F (s) en el plano complejo cuando s recorre la curva Cs, comomuestra la Figura 2.26

Si llamamos Z al numero de ceros y P al numero de polos encerrados por la curva Cs, puede de-mostrarse que la curva CF encierra al origen Z − P veces cuando se recorre en el mismo sentido queCs.

Si tomamos por ejemplo las curvas de las Figs.2.25 y 2.26 vemos que la curva Cs encierra cuatro polosy un cero. Por lo tanto Z − P = −3 y la curva CF debe encerrar 3 veces al origen recorriendolo en elsentido contrario al de Cs.


−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Figura 2.25: Curva cerrada descripta por la variable s en el plano complejo.

−6 −4 −2 0 2 4 6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Figura 2.26: Curva descripta por la funcion F (s) en el plano complejo.

Criterio de Estabilidad de Nyquist

Cuando tenıamos un sistema con realimentacion unitaria, la funcion de transferencia a lazo cerradoresultaba:

GLC =GLA(s)

1 +GLA(s)=GLA(s)

F (s)

Por lo tanto, la condicion de estabilidad a lazo cerrado puede traducirse como la ausencia de ceros en elsemiplano derecho en la funcion F (s) = 1 +GLA(s).


Una forma de determinar si la funcion F (s) tiene ceros en el semiplano derecho es encerrar dichosemiplano con una curva cerrada y aplicar el Principio del Argumento. Dado que los polos de F (s) sonlos mismos que los de GLA(s) (conocidos), sabiendo cuantos polos tiene GLA(s) en el semiplano derechoy observando cuantas vueltas da la curva de F (s) en torno al origen podemos deducir cuantos ceros tieneF (s) en el semiplano derecho.

Si el numero de vueltas que da la curva de F (s) en torno al origen es distinto al numero de poloscon parte real positiva en lazo abierto, entonces es claro que F (s) tiene ceros con parte real positiva. Enconsecuencia, el sistema a lazo cerrado sera inestable. Caso contrario, cuando el numero de vueltas dela curva de F (s) en torno al origen sea igual al numero de polos de GLA(s), el sistema a lazo cerradosera estable.

Esta es la idea en la que se basa el Criterio de Estabilidad de Nyquist.En realidad, teniendo en cuenta que F (s) = 1 +GLA(s), todo el analisis previo lo podemos realizar

graficando la curva de GLA(s) y mirando cuantas vueltas da en torno al punto −1.Ahora, bien, ¿como podemos construir una curva cerrada que contenga a todo el semiplano derecho

del plano complejo?.La Figura 2.27 muestra una opcion, que es la que finalmente utilizaremos. En la misma podemos ver

que si hacemos tender el radio R del semicırculo a infinito, la curva cerrada abarcara todo el semiplanocomplejo.

Im(s)

Re(s)

R

Figura 2.27: Curva cerrada en el semiplano derecho del plano complejo.

Al evaluar la funcion GLA(s) sobre la curva de la Fig.2.27, lo estaremos haciendo en realidad solo paralos valores de s sobre el eje imaginario y en el infinito. En el infinito, asumiendo que la FT a lazo abiertoes propia obtendremos el valor real GLA(∞) = lıms→∞GLA(s). Por otro lado, sobre el eje imaginariotendremos los valores generalmente complejos GLA(j ω).

En otras palabras, podemos determinar la estabilidad a lazo cerrado simplemente analizando la curvaque describe GLA(jω) sobre el plano complejo.

Consideremos por ejemplo el sistema a lazo abierto con FT:

GLA(s) =1

s2 + 3 s+ 2=

1

(s+ 1) (s+ 2)(2.94)


Podemos calcular entonces algunos valores para GLA( ω):

GLA(j 0) = 0.5; GLA(j 0.1) = 0.497 e−j 0.15; GLA(j 0.2) = 0.487 e−j 0.29; GLA(j 0.5) = 0.434 e−j 0.7

GLA(j 1) = 0.316 e−j 1.25; GLA(j 5) = 0.036 e−j 2.56; GLA(j 100) = 0.001 e−j 3.11

Ademas, podemos ver facilmente que GLA(∞) = 0.Como la funcion GLA(s) tiene coeficientes reales, resulta GLA(j ω) = GLA(−j ω), por lo que la curva

que describe GLA(s) sera simetrica respecto al eje real.Con todas estas consideraciones, la grafica correspondiente tendra la forma que se muestra en la

Fig.2.28. Dicha grafica se denomina Diagrama de Nyquist.

−0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

ω = 0

ω = 0.1

ω = 0.2

ω = 0.5ω = 1

ω = ∞ Re(GLA)

Im(GLA)

Figura 2.28: Diagrama de Nyquist de la FT de la Ec.(2.94).

Como podemos observar, la curva no encierra nunca al punto -1, por lo tanto F (s) = GLA(s) + 1tiene igual numero de polos y ceros con parte real positiva. Mas aun, como GLA(s) no tiene polos conparte real positiva, resulta que F (s) no tiene polos con parte real positiva y por lo tanto no tiene ceroscon parte real positiva. Luego, el sistema a lazo cerrado sera estable.

Sintetizando lo analizado hasta aquı, el criterio de estabilidad de Nyquist tiene el siguiente enunciadogeneral:

El sistema a lazo cerrado es estable si y solo si el diagrama de Nyquist del sistemaa lazo abierto no cruza por el punto crıtico −1 + j 0 y el numero de vueltas queda alrededor de dicho punto en el sentido contrario a las agujas del reloj es igual alnumero de polos de lazo abierto en el semiplano derecho.

Notar que cuando el diagrama de Nyquist pasa por el punto −1, esto quiere decir que para algun valorsobre el eje imaginario tenemos GLA(j ω1) = −1 y por lo tanto 1+GLA(j ω− 1) = 0, lo que implica quela FT de lazo cerrado tendra polos sobre el eje imaginario y no habra estabilidad externa.

Consideremos ahora el sistema de lazo abierto con FT:

GLA(s) =s+ 1

s2 + s− 2=

s+ 1

(s+ 2) (s− 1)(2.95)

Procediendo como antes, podemos graficar el Diagrama de Nyquist que muestra la Fig.2.29.


−1000

−0.704

−0.149

−0.085

−0.037

0.048

0.096

0.160.299

−0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Re(GLA)

Im(G

LA)


En este diagrama notamos que no hay vueltas en torno al punto crıtico. Sin embargo, GLA(s) tieneun polo real positivo y de acuerdo al criterio de Nyquist la FT a lazo cerrado sera inestable.

Si en este caso aumentamos la ganancia del lazo abierto transformando la FT de la Ec.2.95 en

GLA(s) = Ks+ 1

s2 + s− 2= K

s+ 1

(s+ 2) (s− 1)

obtendremos exactamente el mismo diagrama de Nyquist pero amplificado por el factorK. CuandoK > 2puede verse facilmente que la curva encierra una vez al punto crıtico −1 en sentido contrario a las agujasdel reloj. Dado que la FT a lazo abierto tiene un polo en el semiplano derecho, el criterio de Nyquist diceque el lazo cerrado sera estable.

Consideremos ahora la FT de lazo abierto:

GLA(s) =1− 8 s

s (s+ 2) (s+ 3)(2.96)

Si intentamos obtener un diagrama de Nyquist para esta FT tendremos un problema ya que en s = 0 hayun polo y el valor de GLA tiende a infinito. Lo mismo ocurrira cada vez que la FT a lazo abierto tengapolos sobre el eje imaginario.

Lo que se hace en este caso es esquivar el polo como muestra la Fig.2.30, mediante una pequena curva.A lo largo de esta curva cercana al origen, podemos aproximar la FT de la Ec.(2.96) segun:

GLA(s) =1− 8 s

s (s+ 2) (s+ 3)≈ 1− 0 s

s (0 + 2 (0 + 3)=

1

6 s

Por lo tanto, si tomamos un radio de 0.02, por ejemplo, para la curva pequena, tendremos

GLA(s) ≈1

0.02 · 6 ej ω≈ 8.3 e−j ω

con −π ≤ ω ≤ π.La Figura 2.31 muestra el diagrama de Nyquist correspondiente.Como podemos ver, en este caso la FT de lazo cerrado sera inestable ya que el diagrama de Nyquist

da dos vueltas sobre el punto crıtico y a lazo abierto no hay polos con parte real positiva.


Im(s)

Re(s)

Figura 2.30: Curva en el semiplano derecho del plano complejo que evita un polo en el eje imaginario.

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

GLA(0.02)

GLA(j0.02)

GLA(j1.5)

GLA(−j0.02)

GLA(−j1.5)

Re(GLA)

Im(G

LA)


2.4.2. Estabilidad Relativa

Consideremos el sistema a lazo abierto con FT:

GLA(s) =40

(s+ 1) (s+ 2) (s+ 3)(2.97)


La Figura 2.32 muestra el diagrama de Nyquist correspondiente, de donde puede deducirse que el sistemaa lazo cerrado sera estable ya que el lazo abierto no tiene polos con parte real positiva y el diagrama deNyquist no encierra al punto crıtico.

−1000

−0.211

−0.147 −0.075

−0.045

−0.019

0.008

0.035

0.064

0.0960.133

0.189

0.285

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Re(GLA)

Im(G

LA)


El detalle de lo que ocurre cerca del punto crıtico y del origen para los valores de ω positivos se puedever en la Fig.2.33.

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

Re(GLA)

Im(G

LA)

Figura 2.33: Diagrama de Nyquist de la FT de la Ec.(2.97) (detalle).

En realidad, puede notarse que la curva pasa no muy lejos del punto crıtico. De hecho, si el numeradorde la FT fuera el doble, el lazo cerrado serıa inestable.


En un caso como este, podemos decir informalmente que el sistema a lazo cerrado sera mas establecuando la curva de Nyquist pase mas lejos del punto crıtico.

Si bien esta puede parecer una conclusion particular para un sistema con la forma del de la Ec.(2.97),la misma es en realidad bastante mas amplia.

Por un lado, la validez del analisis esta restringido a que no haya polos con parte real positiva en lazoabierto. Sin embargo, esto es lo mas comun: la mayor parte de los sistemas son estables y los realimentamospara mejorar su desempeno.

Por otro lado, en el detalle de la Fig.2.33 vemos que la curva de Nyquist con valores positivos ycrecientes de ω cruza el eje real y se aproxima al origen. Esto tambien es muy comun. Al trabajar consistemas estrictamente propios es claro que cuando ω tienda a infinito el modulo de GLA tendera a cero.

De estas conclusiones, surge la idea de analizar la distancia de la curva de Nyquist al punto crıtico yutilizar la misma como una medida de la estabilidad del lazo cerrado. Estas medidas, denominadasmargende ganancia y margen de fase juegan un rol fundamental en la robustez de los disenos de realimentacion.

Margen de Ganancia

El margen de ganancia mide la distancia desde la curva de Nyquist para ω > 0 hasta el punto crıticoen el punto donde dicha curva cruza el eje real negativo, como muestra la Figura 2.34.

−1

Im(GLA)

Re(GLA)ωp

Margen de

Ganancia

Figura 2.34: Margen de Ganancia en el Diagrama de Nyquist.

La frecuencia a la cual el diagrama de Nyquist cruza el eje real negativo, es decir, el punto dondeGLA(j ω tiene fase −π, se denomina frecuencia de cruce de fase. En la Figura 2.34 dicha frecuenciaesta indicada como ωp.

Cuando GLA(ωp) > −1 tendremos margen de ganancia positivo y, en general, esto indicara que elsistema a lazo cerrado sera estable. Por otro lado, cuando GLA(ωp) < −1 el margen de fase sera negativoy, en general, el sistema a lazo cerrado resultara inestable.

Por supuesto, esto no es valido en presencia de polos con parte real negativa en el lazo abierto. Ademas,en casos de orden alto con muchos polos y ceros la curva de Nyquist podrıa dar mas de una vuelta entorno al origen, y terminar encerrando al punto crıtico en una segunda o tercera vuelta. Por lo tanto, auncalculando un margen de ganancia positivo tendrıamos un sistema inestable. Sin embargo, en la mayorıade los casos practicos, la magnitud de GLA(j ω) seguira decreciendo tras atravesar el eje real negativo.

Formalmente, el margen de ganancia se define en terminos logarıtmicos (luego veremos el motivo):

MG , 20 log | − 1| − 20 log |GLA(j ωp)| = −20 log |GLA(j ωp)| (2.98)


El margen de ganancia expresa una medida de cuanto se puede aumentar la ganancia en lazo abiertosin que se inestabilice el sistema a lazo cerrado.

Por otro lado, un margen de ganancia holgado nos permitira garantizar estabilidad en el lazo cerradoaun cuando tengamos cierta incertidumbre en los parametros del sistema. En otras palabras, el margende ganancia es una medida de la robustez de un sistema realimentado.

Esta ultima caracterıstica es fundamental en cualquier aplicacion practica, ya que siempre tendremosincertidumbre parametrica y como sabemos, es crucial garantizar la estabilidad en todos los casos.

Margen de Fase

Otra medida importante del margen de estabilidad de un sistema es el Margen de Fase, que mide elangulo al cual la curva de Nyquist ingresa al cırculo de radio unitario en torno al origen.

Dicho angulo, como muestra la Figura 2.35, se mide respecto al eje real negativo. En la figura esta in-dicada tambien la frecuencia ωg a la cual la curva de GLA cruza el cırculo. Esto es, |GLA(j ωg)| = 1. Estafrecuencia ωg se denomina frecuencia de cruce de ganancia.

−1

Im(GLA)

Re(GLA)

ωgMargen deFase

Figura 2.35: Margen de Fase en el Diagrama de Nyquist.

El margen de fase se define como:

MΦ = π − |∠GLA(j ωg)| (2.99)

Al igual que el margen de ganancia, generalmente se cumplira que un margen de fase positivo indicara es-tabilidad en lazo cerrado mientras que un margen de fase negativo indicara inestabilidad del lazo.

El margen de fase es una medida de cuanto puede retrasarse la fase a lazo abierto sin provocarinestabilidad. Esta medida es muy importante para tener en cuenta elementos que introducen algun tipode retardo.

Al igual que el margen de ganancia, el margen de fase establece una estimacion de la robustez de unsistema realimentado.

2.4.3. Analisis de Estabilidad con Diagrama de Bode

El Diagrama de Nyquist no es mas que una grafica parametrica de GLA(j ω) en el plano complejo.Recordando que en los Diagramas de Bode graficabamos la amplitud y fase de una Funcion Transferencia,los Diagramas de Bode de amplitud y fase de GLA contendran toda la informacion del Diagrama deNyquist correspondiente y viceversa.


Si bien es practicamente imposible visualizar en el Bode cuantas veces la curva de GLA(j ω) encierraal punto crıtico, es muy sencillo determinar el margen de ganancia y el margen de fase.

−1 0−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

db

−1 0−220

−200

−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

Magnitud

Fase

grad

os

ωp

MΦ

ωg

MG

Figura 2.36: Margen de Ganancia y Fase en el Diagrama de Bode.

La Figura 2.36 muestra ambos margenes en el Diagrama de Bode correspondiente a la FT de lazoabierto de la Ec.(2.97).

Las frecuencias de cruce de fase ωp es la frecuencia en la cual el Diagrama de Bode de fase cruza −π.Teniendo en cuenta que MG = −20 GLA(j ωp), el margen de ganancia se puede leer directamente delDiagrama de Bode de amplitud.

Si el Diagrama de Bode de fase nunca llega a −π, entonces el margen de ganancia sera infinito.De manera similar, la frecuencia de cruce de ganancia ωg es la frecuencia a la cual el Diagrama de

Bode de amplitud cruza por 0 decibeles. Recordando que MΦ = π − |∠GLA(j ωg)|, el margen de fase sepuede determinar directamente del Diagrama de Bode de fase, a partir de la distancia a −π de la fase enωg.

Es importante tener en cuenta que en presencia de polos con parte real positiva en el lazo abierto losmargenes de fase y ganancia no reflejaran la estabilidad. Ademas, incluso sin que haya polos inestables alazo abierto, el hecho que los margenes ganancia y fase sean positivos no garantiza siempre estabilidad alazo cerrado (recordemos que el Diagrama de Nyquist podrıa encerrar al punto crıtico en una segunda otercera vuelta en torno al origen).

De todas maneras, para la mayor parte de los casos practicos, la determinacion de estos margenes deestabilidad desde el Diagrama de Bode es una herramienta practica muy util en el analisis y diseno desistemas realimentados.


2.4.4. Analisis en Tiempo Discreto

El criterio de estabilidad de Nyquist se basa en el principio del argumento, que a su vez vincula elnumero de polos y ceros de una funcion encerrados por una curva con el numero de veces que encierra alorigen el mapeo que hace dicha funcion de esta curva cerrada.

En todo el analisis realizado, nunca tuvimos en cuenta la naturaleza continua de los sistemas repre-sentados por las FTs, excepto cuando elegimos la curva cerrada de manera que abarque todo el semiplanoderecho del plano complejo. De esta manera, podıamos determinar la presencia o no de polos inestablesa lazo cerrado.

En el caso discreto las expresiones de las FTD a lazo abierto y a lazo cerrado son identicas (reem-plazando s por z). La unica diferencia es que la condicion de estabilidad esta dada por la ausencia depolos fuera del cırculo unitario.

Por lo tanto, podemos repetir el procedimiento del caso continuo, pero ahora en lugar de encerrar alsemiplano derecho con una curva, deberıamos encerrar al exterior del cırculo unitario.

Como esto no es posible, lo que se hace es un simple cambio de variables. A continuacion entoncesdesarrollaremos la idea.

Criterio de Nyquist en Tiempo Discreto

Basicamente, queremos determinar el numero de ceros de la funcion F (z) = 1 + GLA(z) que estanfuera del cırculo unitario, ya que esto nos dara el numero de polos de

GLC(z) =GLA(z)

1 +GLA(z)

Como no podemos encerrar la region de interes con una curva cerrada, definimos la funcion:

F (z) , F (1

z)

Esta claro entonces que si F (z) tiene un cero en zc, F (z) tendra un cero en z−1c y viceversa. Por lo tanto,

el numero de ceros de F (z) fuera del cırculo unitario sera igual al numero de ceros de F (z) dentro delcırculo unitario4. De manera analoga, el numero de polos de F (z) fuera del cırculo unitario sera igual alnumero de polos de F (z) dentro del cırculo unitario

Luego, podemos determinar la estabilidad de la FT a lazo cerrado GLC(z) analizando la presencia deceros de F (z) en el interior del cırculo unitario. Para esto, deberemos evaluar F (z) en la circunferenciaunitaria, y analizar cuantas veces la curva correspondiente encierra al origen.

Sobre la circunferencia unitaria tenemos z = ejω . Luego,

F (ejω) = F (1

ejω) = F (e−j ω) = 1 +GLA(e

−jω)

Por lo tanto, no es verdaderamente necesario hacer el cambio de variables, ya que evaluar una funcion en1/z sobre la circunferencia unitaria es equivalente a evaluarla en z pero girando en sentido contrario.

Esto quiere decir que si evaluamos la funcion GLA(z) sobre el cırculo unitario como muestra la Fig.2.37,recorriendo la curva en el sentido contrario a las agujas del reloj, podemos extraer exactamente las mismasconclusiones que en el caso continuo. Recordemos que recorrer el cırculo unitario en sentido antihorarioequivale a evaluar en ejω variando ω de 0 a 2 π.

Por ejemplo, si tenemos la FTD a lazo abierto:

GLA(z) =0.5

z2 − 0.6 z + 0.05=

0.5

(z − 0.5) (z − 0.1)(2.100)

evaluando la misma en z = ejω con ω variando desde 0 a 2 π, obtenemos la curva de la Figura 2.38.Como vemos en dicha figura, la curva de Nyquist no encierra nunca al punto crıtico. Esto quiere decir

que la funcion F (z) = 1 + GLA(z) tendra igual numero de polos y de ceros fuera del cırculo unitario.

4Esto vale siempre que GLA(z) sea estrictamente propia


Im(z)

Re(z)

1−1

j

−j

Figura 2.37: Curva cerrada en el cırculo unitario del plano complejo.

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Re(GLA(z))

Im(G

LA(z))

Figura 2.38: Diagrama de Nyquist del sistema discreto de la Ec.(2.100).

Dado que la FTD a lazo abierto no tiene polos fuera del cırculo unitario, resulta que F (z) no tendra cerosfuera del cırculo y entonces la FTD de lazo cerrado sera estable.

Podemos sintetizar entonces el criterio de Nyquist de tiempo discreto como sigue:


El sistema discreto a lazo cerrado es estable si y solo si el diagrama de Nyquistdiscreto del sistema a lazo abierto no cruza por el punto crıtico −1+ j 0 y el numerode vueltas que da alrededor de dicho punto en el sentido contrario a las agujas delreloj es igual al numero de polos de lazo abierto que quedan fuera del cırculo unitario.

Consideremos entonces, como ultimo ejemplo, el sistema discreto a lazo abierto con FTD:

GLA(z) =0.89 z + 0.01

z3 − 0.4 z2 − 0.96 z= 1.12

z + 0.0112

(z + 0.8)(z − 1.2)z(2.101)

Como vemos, a lazo abierto hay un polo inestable zp = 1.2.La Figura 2.39 muestra el Diagrama de Nyquist discreto correspondiente. Como se observa, la curva

encierra una vez el punto crıtico en sentido antihorario. Dado que a lazo abierto hay un polo inestable,resulta que la FTD a lazo cerrado sera estable.

−3 −2 −1 0 1 2 3−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Re(GLA(z))

Im(G

LA(z))

Figura 2.39: Diagrama de Nyquist del sistema discreto de la Ec.(2.101).



[P2.1] Lugar de las Raıces Continuo. En el sistema realimentado de la Figura 2.40, el parametroK puede variarse a voluntad del disenador.

Figura 2.40: Sistema con control proporcional

Si

G(s) =s+ 2

(s+ 1)2

dibuje el lugar de las raıces (LR) en los siguientes casos:

a- K ≥ 0

b- K < 0

en todo los casos indique claramente:

donde empieza el LR (polos correspondientes a K = 0).

donde termina el LR (polos correspondientes a |K| → ∞)

si hay asıntotas, indicar cuantas, sus angulos y centroide.

en caso de haber puntos de cruce, calcular los mismos ası como tambien el valor del parametro parael cual se obtienen.

siempre que pueda (sin calcular) indique si existen puntos de quiebre y el lugar aproximado dondeocurren.

Saque conclusiones relativas a la estabilizacion/desestabilizacion del sistema.

[P2.2] Lugar de las Raıces Discreto Repetir el analisis realizado en el problema 1 para el sistemadiscreto de la Figura 2.41, donde

G(z) =(z + 0.5)(z − 0.5)

(z + 2)(z − 3)

Figura 2.41: Control proporcional de un sistema discreto.

[P2.3] Lugar de las Raıces Continuo II. Repita el analisis del problema 1 con G(s) = −G(s)

[P2.4] Lugar de las Raıces Discreto II. Repita el analisis del problema 2 con G(z) = −G(z)


[P2.5] Estabilizacion de Sistemas Mınima Fase. Un sistema de mınima fase es uno en el cual todoslos ceros poseen parte real negativa (caso continuo) o modulo menor a 1 (caso discreto).

Existe una propiedad que indica que un sistema inestable y mınima fase a lazo abierto con igualnumero de polos que de ceros siempre puede estabilizarse mediante control proporcional. Justifique esteresultado mediante lo que sabe acerca del metodo del LR.

[P2.6] Lugar de las Raıces Continuo III. Dada la siguiente funcion transferencia correspondientea un sistema continuo

G(s) =(s+ 1)(s2 + 4s+ 20)

s2(s+ 2)(s2 + 8s+ 20)

a- Determine, tratando de evitar calculos innecesarios, si se puede estabilizar el mismo mediante uncontrol proporcional.

b- Dibuje el LR para K ≥ 0.

c- Calcule angulo de salida y llegada a las singularidades que no sean reales.

[P2.7] Lugar de las Raıces Continuo IV. La Figura 2.42 representa el esquema de control de unaplanta modelada mediante la FT G(s). En este esquema, la FT H(s) modela la dinamica del actuador(caracterizado mediante un sistema de primer orden) y un control proporcional.

Figura 2.42: Esquema de control de la planta

G(s) =2600

s · (s2 + 100 · s+ 2600)H(s) = K

25

s+ 25

Dibuje el lugar de las raıces para K > 0 indicando y calculando asıntotas, centroide y puntos dequiebre.

En caso de haber puntos de cruce (Interseccion con el eje imaginario) calcular los mismos y losvalores del parametro K en los cuales ocurren.

[P2.8] Lugar de las Raıces Continuo V. De los tres trazados del lugar de las raıces representadosen la Figura 2.43, verificar si alguno de ellos es incorrecto.

Ademas, suponiendo que se trata de un sistema continuo, indique si alguno de ellos puede ser inestablepara algun valor de K.

Justifique sus respuestas.

[P2.9] Lugar de las Raıces Continuo VI La Figura 2.44 representa un control proporcional de unsistema de tercer orden con un filtro en el lazo de realimentacion.

1. Dibujar el lugar de las raıces para K > 0 indicando, si corresponde, la cantidad de asıntotas, angulode las mismas y centroide.

2. Indique y justifique si se puede inestabilizar el sistema para algun valor de K > 0.

3. Localice los polos a lazo cerrado cuando K es igual a 2.


−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1−15

−10

−5

0

5

10

15

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Figura 2.43: Lugar de las Raıces.

Figura 2.44: Sistema de control con compensador en el lazo de realimentacion.

4. Para los casos en que el lazo resulte estable, y sin calcular la FT a lazo cerrado, determine elvalor final al que tiende la salida del sistema realimentado suponiendo que la entrada es un escalonunitario.

[P2.10] Lugar de las Raıces y Respuesta Temporal. Dado el sistema de la Figura 2.45, del cual serepresenta el lugar de las raıces, ¿que ocurre con el sobrevalor de la respuesta del sistema realimentadoM(s) a medida que se disminuye la ganancia K a partir del valor senalado en la figura?

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Figura 2.45: Lugar de las raıces y esquema del sistema.

[P2.11] Criterio de Nyquist Se quiere estudiar la estabilidad en lazo cerrado del sistema de laFigura 2.46.

Para esto,

1. Obtenga la FT de lazo abierto GLA(s) y dibuje el diagrama de Nyquist correspondiente, suponiendoK = 1.

2. En virtud del diagrama de Nyquist obtenido, determine el rango de valores de K para los que elsistema a lazo cerrado resulta estable.


Figura 2.46: Esquema con control proporcional y compensador en la realimentacion.

3. Verifique los resultado utilizando el criterio de Routh.

[P2.12] Diagramas de Bode y NyquistLa funcion transferencia en lazo abierto de un SLE es

GLA(s) =100( s

10 + 1)

s(s+ 1)( s100 + 1)

(P2.12a)

a. Hacer un diagrama de Bode de amplitud y fase.

b. Trazar el Diagrama de Nyquist correspondiente.

c. Indicar si el sistema en lazo cerrado con retroalimentacion unitaria es estable.

[P2.13] Estabilidad Relativa Con el fin de mejora determinadas caracterısticas de la respuesta de unsistema cuya FT a lazo abierto es

G(s) =(s+ 10)

s(s+ 1)(s2 + 5s+ 25)

se implementa un control proporcional como el de la figura 2.40. De esta manera, la FT de lazo abiertoes GLA(s) = K G(s). Se pide entonces:

Dibujar el diagrama de Bode de la FT GLA(s) para K = 1.

Obtener los margenes de fase y de ganancia para K = 1 y K = 50.

¿Es estable el sistema para ambos valores de K? Justifique.

[P2.14] Estabilidad Relativa IISe esta estudiando la estabilidad de tres sistemas distintos, los cuales se encuentran en lazos de

realimentacion unitaria. Las FT de lazo abierto son:

A)GLA(s) =K

(1 + Ts)2(1 + 0.1Ts)

B)GLA(s) =K

(1 + Ts)3

C)GLA(s) =K

(1 + Ts)(1 + Ts)(1 + 10Ts)

1- Suponiendo K = 1, determine cual de los sistemas presenta mejor estabilidad relativa. Justifique.

2- Para el sistema elegido. ¿Cual es el valor de ganancia K para obtener margen de fase de π/6?

Capıtulo 3

Filtros Analogicos

En el contexto del procesamiento de senales, se denominan filtros a los dispositivos que eliminan totalo parcialmente ciertas caracterısticas indeseadas de las senales de entrada. En la mayor parte de los casos,los filtros se encargan de eliminar o atenuar determinados rangos de frecuencias para suprimir ruido ysenales de interferencia preservando las componentes frecuenciales que contienen la parte util de la senal.

A grandes rasgos, los filtros pueden dividirse entre analogicos y digitales. Los primeros, generalmenteimplementados mediante circuitos electronicos, actuan sobre senales continuas mientras que los segundos,implementados mediante dispositivos digitales, modifican las caracterısticas de senales discretas.

Los filtros cumplen un rol fundamental en todas las implementaciones practicas de sistemas elec-tronicos, ya que los dispositivos del mundo real siempre introducen ruido y distintas perturbaciones cuyoefecto debe necesariamente atenuarse.

En este capıtulo estudiaremos los filtros analogicos desde la perspectiva de la teorıa de sistemas,trabajando exclusivamente sobre modelos de filtros lineales y estacionarios. Daremos ademas una pequenaintroduccion a la implementacion de filtros pasivos.

3.1. Introduccion y Conceptos Basicos

La Figura 3.1 muestra un circuito RC. En el mismo, la entrada es una fuente ideal de tension convoltaje u(t) y tomaremos como salida la tension en el capacitor.

Figura 3.1: Circuito RC

Tomando parametros R = C = 1, la funcion de transferencia del sistema queda:

G(s) =UC(s)

U(s)=

1

s+ 1

Supongamos ahora que la tension de entrada u(t) tiene la siguiente expresion:

u(t) = sen(0.1 t) + sen(t) + sen(10 t)

¿Cual sera entonces la tension de salida?.Para esto podemos aprovechar lo que sabemos de la respuesta en frecuencia de los sistemas lineales y

estacionarios, y estudiar el problema mediante superposicion.

133

CAPITULO 3. FILTROS ANALOGICOS 134

La respuesta en frecuencia del sistema esta caracterizada por la funcion

G(j ω) =1

1 + j ω=

1√1 + ω2ej φ

=1√

1 + ω2e−j φ

dondeφ = arctan(ω)

Por lo tanto, la salida del sistema tendra la forma

uC(t) =1√1.01

sen(0.1 t− arctan(0.1)) +1√2

sen(t− arctan(1)) +1√101

sen(10 t− arctan(10))

Puede verse facilmente que la primer componente, correspondiente a la frecuencia de 0.1 rad/s, nosufre casi atenuacion ni defasaje. La segunda componente, correspondiente a la frecuencia de 1 rad/s seatenua en aproximadamente un 30% y se defasa en 45 grados. Finalmente, la componente de 10 rad/sse atenua en aproximadamente un 90% y se defasa en mas de 84 grados.

Evidentemente, el circuito RC mostrado atenua mucho las componentes de alta frecuencia y modificamuy poco las de baja frecuencia. Como veremos mas adelante, este comportamiento se corresponde al deun filtro pasabajos.

Si tomamos en cambio como salida la tension de la resistencia, la expresion sera:

uR(t) =

(

1− 1√1.01

)

sen(0.1 t− arctan(0.1)) +

(

1− 1√2

)

sen(t− arctan(1))+

+

(

1− 1√101

)

sen(10 t− arctan(10))

y el comportamiento respecto de la atenuacion sera el opuesto al caso anterior. Ahora las componentesde baja frecuencia se ven muy atenuadas, mientras que las de alta frecuencia pasan casi sin atenuacion.Esta caracterıstica veremos luego que corresponde a un filtro pasaaltos.

En cualquier, el circuito de la Figura3.1 puede utilizarse para implementar un filtro elemental. Eneste caso, se trata de un filtro pasivo, ya que cuenta unicamente con componenetes pasivos (resistores,capacitores e inductores). Los filtros analogicos se implementan a menudo con dispositivos amplificadores(generalmente amplificadores operacionales) y en ese caso se habla de filtros activos. Una tercera alter-nativa dentro de los filtros analogicos la constituyen las implementaciones con capacidades conmutadas.

3.1.1. Caracterizacion: FT, Amplitud, Fase, Atenuacion y Retardo de Grupo

Dado que lo que mas interesa de los filtros es su comportamiento entrada/salida, lo mas logico y naturales utilizar representaciones de modelo externo. Teniendo en cuenta ademas que lo mas trascendente engeneral es la respuesta en frecuencia, la Funcion Transferencia sera en general la herramienta mas utilizadapara expresar los modelos de los filtros.

Mientras que en la literatura sobre control generalmente se utiliza G(s) para designar la funciontransferencia, en la literatura sobre procesamiento de senales (y por lo tanto en lo referente a filtros), seutiliza normalmente H(s) para expresar la FT.

Dado entonces un filtro con funcion transferencia

H(s) =Y (s)

U(s)

nos interesara generalmente estudiar lo que ocurre con la magnitud y la fase a las distintas frecuencias. Porlo tanto, nos interesara evaluar la amplitud A(ω) , |H(jω)| y la fase θ(ω) , ∠H(jω). En consecuencia,el Diagrama de Bode del filtro sera una representacion grafica fundamental.

En muchas aplicaciones, en lugar de la amplitud de la FT A(ω) se utiliza la Atenuacion, α(ω),definida como la inversa de la amplitud y generalmente expresada en decibeles. Esto es, α(ω) =−20 log10(|H(jω)|).


Supongamos ahora que tenemos un filtro de primer orden con constante de tiempo T , cuya FT es

H(s) =1

1 + T s

La amplitud de la respuesta en frecuencia sera entonces

A(ω) = |H(jω)| = 1√1 + T 2ω2

mientras que la fase seraθ(ω) = ∠H(jω) = − arctan(T ω)

Como en todos los sistemas lineales y estacionarios, la FT H(s) es una funcion racional de s (cociente depolinomios). Sin embargo, su amplitud y fase no son funciones racionales de ω, lo que dificulta el estudioanalıtico.

Por este motivo, en muchos casos se utiliza el cuadrado del modulo |H(jω)|2, que es siempre unafuncion racional de ω. En el caso del ejemplo, tenemos

|H(jω)|2 =1

1 + T 2ω2

Por otro lado se define el Retardo de Grupo,

τg(ω) , − dθ

dω(ω) (3.1)

que puede probarse que siempre resulta una funcion racional.Para el caso del ejemplo, el Retardo de Grupo (RG) toma la expresion:

τg(ω) =T

1 + ω2 T 2

La fase de la FT a una frecuencia ω0 puede recuperarse de la expresion del RG segun:

θ(ω0) = −∫ ω0

0

τg(ω)dω

El retraso de fase de la salida, expresado en tiempo, sera entonces

τ = −φ(jω0)

ω0=

1

ω0

∫ ω0

0

τg(ω)dω

es decir, el retraso temporal de la salida respecto de la entrada a una frecuencia dada es el promedio deτg(ω). Por este motivo, τg se denomina Retardo de Grupo. Cuando τg es constante en todas las frecuencias,el RG mide directamente el retardo de la salida.

El retardo de grupo es una caracterıstica importante en muchas aplicaciones, como por ejemplo enlos filtros de audio.

En el caso del ejemplo del filtro de primer orden, la expresion del RG nos dice que para frecuenciasbajas (ω << 1/T ), el retardo es aproximadamente igual a la constante de tiempo T . Esto es, si la entradaes una senal de baja frecuencia, la salida estara retardada aproximadamente T segundos.

3.1.2. Filtros Selectores de Frecuencia

Como mencionamos anteriormente, la mayor parte de los filtros se disenan para eliminar o atenuardeterminados rangos de frecuencia. Estos filtros, denominados selectores de frecuencia, permiten el paso delas componentes cuyas frecuencias pertenecen a las llamadas bandas de paso y bloquean las componentescon frecuencias dentro de las bandas de corte.

Existen cuatro tipo de filtros selectores de frecuencia: pasa bajos, pasa altos, pasa banda y rechazabanda. Existen tambien filtros que permiten el paso de multiples bandas, pero su implementacion esgeneralmente digital.

La Figura 3.2 muestra la magnitud ideal A(ω) = |H(jω)| de los cuatro tipos de filtro.Las respuestas en frecuencias mostradas corresponden a filtros ideales, ya que rechazan completamente

las bandas de corte y no atenuan en absoluto las bandas de paso. Como veremos mas adelante, en lapractica sera imposible construir filtros con estas caracterısticas.


Figura 3.2: Amplitud de la Respuesta en Frecuencia Ideal de los Distintos Tipos de Filtros

3.1.3. Transmision sin Distorsion

Decimos que una senal, o una parte de ella, se transmite sin distorsion a traves de un sistema cuandola forma de onda de la salida es identica a la de la entrada.

Idealmente, cuando una senal de entrada este enteramente contenida en la banda de paso de un filtro,deberıamos esperar que la senal de salida sea identica a la de entrada excepto por algun eventual retrasotemporal y por algun factor de amplificacion.

Esto es, llamando u(t) e y(t) a la entrada y salida del filtro, respectivamente, tendrıa que verificarse

y(t) = K u(t− τ) (3.2)

donde τ es un retardo constante e independiente de la frecuencia (al menos dentro de la banda de paso)y K es la ganancia (tambien constante) del filtro.

Aplicando la transformada de Laplace a la Ec.(3.2), resulta,

Y (s) = K e−τ sU(s) (3.3)

que deberıa verificarse al menos en el rango de frecuencias correspondiente a las bandas de paso. Por lotanto, la respuesta en frecuencia en dichas bandas tendra amplitud:

A(ω) = |K e−τ jω | = K (3.4)

y faseθ(ω) = −τ ω (3.5)

Es decir, para que no haya distorsion la amplitud de la respuesta en frecuencia debe ser constante (lo cuales casi obvio) y la fase debe disminuir con una pendiente constante. Derivando respecto a ω la expresionde la Ec.(3.5) obtenemos el retardo de grupo:

τg(ω) = − dθ

dω(ω) = τ

Esto es, para que no haya distorsion el retardo de grupo debe ser constante en el rango de frecuenciascorrespondientes a la banda de paso.

Si bien en la practica sera imposible lograr una respuesta en frecuencia ideal ya sea en amplitud o enfase, en general buscaremos aproximarnos a estas condiciones tanto como podamos.


3.2. Filtros Ideales

Llamaremos filtros ideales a los selectores de frecuencia que eliminan completamente las componentesespectrales correspondientes a las bandas de corte y que transmiten sin distorsion las componentes confrecuencias comprendidas en las bandas de paso.

3.2.1. Respuesta en Frecuencia de los Filtros Ideales

Pasabajos

Los filtros pasabajos (PB) idealmente bloquean totalmente las componentes cuya frecuencia es may-or que la llamada frecuencia de corte ωc, y permiten el paso sin atenuacion de las componentes confrecuencias menores que ωc.

Teniendo en cuenta ademas que no debe haber distorsion, la fase en la banda de paso debe disminuircon una pendiente constante, partiendo de θ(0) = 0 de acuerdo a la Ec.(3.5). En la banda de corte, entanto, la fase es irrelevante ya que la amplitud es nula.

La Figura 3.3 muestra la respuesta en frecuencia de un pasabajos ideal. Dicho filtro introducira unretardo igual a la pendiente de la fase θ(ω).

Figura 3.3: Respuesta en Frecuencia de un Pasabajos Ideal

Pasaaltos

Los filtros pasaaltos (PA) idealmente bloquean totalmente las componentes cuya frecuencia es menorque la frecuencia de corte ωc, y permiten el paso sin atenuacion de las componentes con frecuenciasmayores que ωc.

Respecto a la fase, para que no haya distorsion, deben satisfacer tambien la Ec.(3.5). Por lo tanto, larespuesta en frecuencia debera tener la forma de la grafica que se muestra en la Figura 3.4.

Pasabanda

Los filtros pasabanda (PBn) permiten el paso de las componentes comprendidas entre las frecuenciasω1 y ω2, denominadas frecuencia inferior de corte y frecuencia superior de corte respectivamente. Lasrestantes componentes son bloqueadas totalmente.

Al igual que en los casos anteriores, la fase dentro de la banda de paso debe satisfacer la Ec.(3.5). Enconsecuencia, la respuesta en frecuencia debera tener la forma de la mostrada en la Fig.3.5.


Figura 3.4: Respuesta en Frecuencia de un Pasaaltos Ideal

Figura 3.5: Respuesta en Frecuencia de un Pasabanda Ideal

Rechazabanda

Los filtros rechazabanda (RBn) bloquean completamente las componentes comprendidas entre lasfrecuencias inferior y superior de corte ω1 y ω2. Las componentes restantes, en tanto, pasan sin distorsion.

Como en los casos anteriores, la fase dentro de las bandas de paso debe satisfacer la Ec.(3.5) por loque la respuesta en frecuencia debera tener la forma de la mostrada en la Fig.3.6.

3.2.2. Respuesta al Escalon de un Filtro Ideal

Supongamos que tenemos un filtro ideal, con una respuesta en frecuencia como la mostrada en algunade las Figs.3.3–3.6. Veremos a continuacion como determinar la respuesta al escalon unitario.

La primera dificultad para determinar la respuesta es que no conocemos completamente la funciontransferencia H(s) del filtro, sino solo sus valores en el eje imaginario H(jω).

Conociendo la respuesta en frecuencia H(jω) podemos determinar la respuesta en regimen a cualquiersenal senoidal. Por lo tanto, dada una senal periodica arbitraria, podemos descomponerla en serie de


Figura 3.6: Respuesta en Frecuencia de un Rechazabanda Ideal

Fourier y obtener su respuesta en regimen permanente.Particularmente, aplicando este procedimiento podemos obtener la respuesta a una onda cuadrada

arbitraria. Luego, si tomamos una onda cuadrada de una frecuencia muy baja, la respuesta se aproximara ala respuesta al escalon. Mas aun, cuando la frecuencia de la onda cuadrada tienda a cero, la respuestaobtenida tendera a la respuesta al escalon.

Consideremos entonces que la entrada al filtro u(t) es una onda cuadrada de amplitud unitaria yfrecuencia ωs. Su expresion en serie de Fourier es la siguiente:

u(t) =1

2+

2

π

∞∑

k=1

sen((2k − 1) ωs t)

2k − 1

Para un filtro con respuesta en frecuencia generica H(jω) con |H(jω)| = A(ω) y ∠H(jω) = θ(ω), lasalida tendra la expresion,

y(t) =1

2A(0) +

2

π

∞∑

k=1

A((2k − 1) ωs) sen((2k − 1) ωs t+ θ((2k − 1) ωs))

2k − 1

Definiendo ωk , (2k − 1)ωs, podemos reescribir esta ultima expresion como

y(t) =1

2A(0) +

2

π

∞∑

k=1

A(ωk) sen(ωk t+ θ(ωk))

2k − 1

Luego, multiplicando y dividiendo dentro del sumador por ωs, resulta

y(t) =1

2A(0) +

2

π

∞∑

k=1


ωkωs

Definiendo ahora ∆ω , ωk+1 − ωk, resulta ∆ω = 2ωs, y luego, la salida puede escribirse como

y(t) =1

2A(0) +

1

π

∞∑

k=1


ωk∆ω

Como dijimos antes, la respuesta al escalon puede obtenerse cuando la frecuencia ωs de la onda cuadradatiende a cero. Esto es equivalente a pedir que ∆ω tienda a cero, y por lo tanto la salida sera:

y(t) = lım∆ω→0

[

1

2A(0) +

1

π

∞∑

k=1


ωk∆ω

]


es decir

y(t) =1

2A(0) +

1

π

∫ ∞

0

A(ω) sen(ω t+ θ(ω))

ωdω (3.6)

Respuesta de un Filtro Pasabajos

Para el caso de un filtro pasabajos ideal, entonces, tendremos

A(ω) =

1 si ω ≤ ωc

0 en otro caso

y θ(ω) = −τ ω. Por lo tanto, reemplazando estas expresiones en la Ec.(3.6) resulta,

y(t) =1

2+

1

π

∫ ωc

0

sen(ω t− τ ω)

ωdω =

1

2+

1

π

∫ ωc

0

sen(ω (t− τ))

ωdω

Definiendo x , ω (t− τ), y cambiando variables dentro de la integral, obtenemos,

y(t) =1

2+

1

π

∫ ωc(t−τ)

0

sen(x)

xdx =

1

2+

Si(ωc(t− τ))

π

donde la funcion Si(·) se denomina Seno Integral y su grafica se muestra en la Fig.3.7.

−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

Si(x)

Figura 3.7: Funcion Seno Integral Si(x).

Por lo tanto, la respuesta al escalon del filtro pasabajos ideal sera como la que muestra la Figura 3.8.Es ese caso, la curva se grafico para una frecuencia de corte ωc = 1 y un retardo de grupo τ = 20.

Esta respuesta tiene la particularidad de ser no causal, ya que y(t) es distinta de cero para instantes detiempo t menores que cero. Ningun sistema real puede tener esta respuesta al escalon, lo que demuestraque los filtros pasabajos ideales son irrealizables en la practica.

Cuando el retardo de grupo τ aumenta mucho, la respuesta para valores negativos de t es casi despre-ciable y entonces sera factible obtener buenas aproximaciones de esta caracterıstica ideal. Sin embargo,estas aproximaciones tendran el incoveniente de introducir un retardo muy grande lo que en generaltornara impractico al filtro.


−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

t

y(t)

Figura 3.8: Respuesta al Escalon de un Pasabajos Ideal, con ωc = 1 y τ = 20.

Otros Filtros Ideales

Si se repite el analisis para el caso del filtro pasaaltos, veremos que la respuesta al escalon sera tam-bien no causal, y valdran las mismas consideraciones que en el caso del filtro pasabajos. Las mismasconclusiones valdran tambien para los casos pasabanda y rechazabanda.

En definitiva, los filtros ideales son fısicamente irrealizables. En la seccion siguiente estudiaremosentonces los filtros reales.

3.3. Filtros Reales

Los filtros reales se implementan en general con un numero finito de componentes y en consecuencia,las FTs correspondientes son funciones racionales de s.

Por este motivo, la amplitud de la respuesta en frecuencia nunca tendra valores constantes en la bandade paso, ni sera nula en la banda de corte ni tendra variaciones abruptas entre dichas bandas como las quemuestran las caracterısticas de los filtros ideales. Por su parte, la fase tampoco podra tener una pendienteconstante para evitar la distorsion.

Veremos entonces algunas respuestas en frecuencia tıpicas de los filtros reales y luego estudiaremoscomo especificar las caracterısticas deseadas de los mismos.

3.3.1. Respuesta en Frecuencia de los Filtros Reales

Figura 3.9: Circuito RLC que Implementa un Filtro Pasivo Pasabanda


La Figura 3.9 muestra un circuito RLC cuya Funcion Transferencia para los parametros R = L =C = 1 es

H(s) =s

s2 + s+ 1(3.7)

La amplitud de la respuesta en frecuencia sera por lo tanto

A(ω) = |H(jω)| = ω√

ω + (1 − ω2)2

y puede verse facilmente en esta expresion que A(0) = A(∞) = 0 y que ademas A(1) = 1. Es evidenteque el filtro implementado mediante este circuito tendra caracterısticas de Pasabanda. La Figura 3.10muestra la amplitud de la respuesta en frecuencia, donde se corrobora este hecho.

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

ω2ω1ω

A(ω

)

Figura 3.10: Amplitud de la Respuesta en Frecuencia del Filtro PBn de la Ec.(3.7)

Como puede observarse en esta grafica, la banda de paso tiene una frecuencia central a la que A(ω)es maximo (en este caso corresponde a ω = 1). Hay ademas dos frecuencias, denominadas ω1 y ω2

en las cuales la amplitud decae 3 decibeles respecto del valor maximo. Estas frecuencias se denominanfrecuencias de corte.

La fase θ(ω) = ∠H(jω) tendra la expresion

θ(ω) =π

2− arctan

(

ω2

1− ω2

)

y su grafica puede verse en la la Figura 3.11. Finamlente, la Figura 3.12 muestra el retardo de grupoτg(ω) = −dθ(ω)/dω.

Supongamos ahora que ponemos como entrada de este filtro la senal:

u(t) = sen(0.1 t) + sen(t) + sen(10 t)

Como vemos, esta senal tiene tres componentes frecuenciales, una de ellas a la frecuencia central (dentrode la banda de paso) y las otras dos en las bandas de corte. En un filtro ideal, la salida contendrıa unasenoidal pura con frecuencia angular 1. Aquı, en cambio, tendremos,

y(t) = A(0.1) sen(0.1 t+ θ(0.1)) +A(1) sen(t+ θ(1)) +A(10) sen(10 t+ θ(10))


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

ω

θ(ω)

Figura 3.11: Fase de la Respuesta en Frecuencia del Filtro PBn de la Ec.(3.7)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

ω

τ g(ω

)

Figura 3.12: Retardo de Grupo del Filtro PBn de la Ec.(3.7)

La Figura 3.13 muestra las senales de entrada y salida mencionadas. Puede observarse un filtradoimportante en las senales indeseadas, aunque la remocion de las mismas no es total.

La respuesta en frecuencia de este filtro real, caracterizada por la amplitud y fase de las Figs.3.10–3.11,puede pensarse como una aproximacion (no muy buena, por cierto) de la respuesta en frecuencia ideal deun pasabanda mostrada anteriormente en la Fig.3.5. Pese a la gran discrepancia entre la caracterısticaideal y la aproximada, el filtrado observado en la Fig.3.13 puede ser mas que aceptable en muchasaplicaciones.

Mas adelante veremos como realizar otras aproximaciones que pueden ser mucho mejores que la


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−3

−2

−1

0

1

2

3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

u(t)

t

t

y(t)

Figura 3.13: Entrada y Salida en el Filtro PBn de la Ec.(3.7)

analizada en este caso.Por ultimo, cabe aclarar que aunque en este ejemplo analizamos un caso muy particular de un de-

terminado filtro pasabandas real, los fenomenos que ocurriran en los otros tipos de filtros reales seransimilares.

3.3.2. Plantillas de Filtros Reales

Dependiendo del problema en cuestion, en algunos casos sera necesario aproximarnos mucho a lascaracterısticas de un filtro ideal mientras que en otros alcanzara con una aproximacion sencilla.

¿Como especificar entonces que tanto debemos aproximarnos a las caracterısticas ideales al disenarun filtro?

Para esto, la herramienta mas habitual de especificacion de filtros reales son las denominadas plantillas.La Figura 3.14 muestra una plantilla tıpica de amplitud para un filtro pasabajos. Cualquier filtro cuya

amplitud de la respuesta en frecuencia A(ω) = |H(jω)| este contenida exclusivamente en la zona blancade la plantilla, sera aceptable como solucion al problema de diseno.

Normalmente las plantillas se especifican en decibeles, como se muestra en la Figura 3.15.Ademas, en la mayor parte de la literatura y en las tablas y abacos sobre diseno de filtros, en lugar

de especificar la amplitud A(ω) = |H(jω)|, se especifica la atenuacion α(ω) = 1/A(ω) expresada endecibeles. Notar que α(ω)dB= −A(ω)dB. La Figura 3.16 muestra una plantilla de atenuacion tıpica.

Como puede observarse en cualquiera de las figuras, al proponer una plantilla se dejan en evidencialas no idealidades admisibles para el filtro a disenar.

Por un lado, no se define una frecuencia de corte rigurosa, sino que se estable una banda de transicion.La banda de transicion, en el caso de un filtro pasabajos, queda definida entre las frecuencias de paso(ωp) y de atenuacion (ωa). Una banda de transicion estrecha (ωp cercano a ωa) implicara en general eluso de filtros de orden alto con el consecuente incremento de costos, incertidumbre parametrica, etc. ,mientras que una banda de transicion holgada no permitira eliminar componentes cercanas al extremode la banda de paso.

Por otro lado, en la banda de paso se admite una cierta atenuacion menor que el parametro αmax. Demanera similar, en la banda de corte se admite que la atenuacion no sea total, sino que es suficiente conque sea mayor que el parametro αmax.


Figura 3.14: Plantilla de Amplitud de un Filtro Pasabajos

Figura 3.15: Plantilla de Amplitud en Decibeles de un Filtro Pasabajos

Figura 3.16: Plantilla de Atenuacion en Decibeles de un Filtro Pasabajos

El valor de todos estos parametros que definen el ancho de la banda de transicion, la maxima aten-uacion permitida en la banda de paso y la mınima atenuacion admitida en la banda de corte dependerande la aplicacion en cuestion y determinaran la calidad del filtro.

Dependiendo tambien de la aplicacion, se suele ademas especificar una plantilla para el retardo degrupo τg(ω). Esta plantilla muchas veces establece el rango de variacion maxima que se admite para elretardo de grupo dentro de la banda de paso, ya que esta variacion sera una medida de la distorsion.

Las plantillas de los restantes tipos de filtros (PA, PBn, RBn) siguen los mismos criterios. Por ejemplo,


la Figura 3.17 muestra una plantilla de atenuacion tıpica de un filtro pasabanda. En dicha plantilla hay,naturalmente, dos bandas de transicion entre la banda de paso y las dos bandas de corte.

Figura 3.17: Plantilla de Atenuacion en Decibeles de un Filtro Pasabanda

3.3.3. Especificaciones de Frecuencia Complementarias

Como mencionamos antes, el ancho de la banda de transicion define un aspecto importante relacionadocon la calidad y complejidad del filtro resultante.

Una medida que se utiliza normalmente para cuantificar este ancho es la selectividad, que se definepara los distintos tipos de filtros segun las expresiones que se resumen en la Tabla 3.1.

Tipo de Filtro Selectividad

Pasabajos k =ωpωa

Pasaaltos k = ωaωp

Pasabanda k =ωp2 − ωp1ωa1 − ωa2

Rechazabanda k = ωa2 − ωa1ωp1 − ωp2

Tabla 3.1: Selectividad de los Distintos Tipos de Filtros

La selectividad k es un valor que resulta siempre menor que 1. Cuando k se acerca a 1, el filtro resultamas selectivo y generalmente mas complejo.

Otro parametro importante, pero que aplica solo a los filtros pasabanda y rechazabanda es la denom-inada frecuencia central. La frecuencia central se calcula como la media logarıtmica o geometrica de losextremos de la banda de paso (pasabanda) o de corte (rechazabanda), esto es,

ωc =√ωp1 ωp2

para el caso del pasabanda yωc =

√ωa1 ωa2

para el rechazabanda.


Otro parametro importante de los filtros pasabanda es el denominado ancho de banda relativo, definidocomo el ancho de la banda de paso dividido la frecuencia central.

B =ωp2 − ωp1

ω0

Este parametro es importante muchas veces ya que no es lo mismo un ancho de banda de 100Hz en tornoa una frecuencia central de 200Hz que en torno a una frecuencia de 1MHz.

3.4. Diseno de la Funcion Transferencia

Dada una plantilla que especifica la region que debe contener a la funcion de atenuacion α(ω), elproblema es entonces encontrar una FT simple H(s) cuya atenuacion se corresponda con la plantilla.

Veremos entonces como plantear el problema para el caso de un filtro pasabajos y luego estudiaremosmetodos para convertir estos en filtros de otro tipo.

3.4.1. Procedimiento Basico de Diseno para Pasabajos

Supongamos que tenemos una plantilla de atenuacion como la de la Fig.3.16.Dado que la atenuacion (en escala lineal) |H(jω)|−1 no es una funcion racional, en la etapa de diseno

se prefiere trabajar con el cuadrado de la atenuacion, esto es,

|H(jω)|−2 =1

H(jω) H(−jω)

que siempre resultara racional en jω y sera por lo tanto mas sencillo para realizar calculos.Una primer observacion es que |H(jω)|−1 (y por lo tanto el cuadrado de la misma) debe tener un

valor cercano a 1 (es decir, 0dB) en la banda de paso. Es mas sencillo aproximar funciones en torno a 0que en torno a 1, por lo que se define la funcion caracterıstica K(jω) de modo que satisfaga:

|K(jω)|2 = |H(jω)|−2 − 1 (3.8)

o equivalentemente,

K(jω) K(−jω) = 1

H(jω) H(−jω) − 1

que puede extenderse analıticamente a

K(s) K(−s) = 1

H(s) H(−s) − 1

de donde,

H(s) H(−s) = 1

K(s) K(−s) + 1(3.9)

que es la denominada Ecuacion de Feldtkeller.La idea es entonces transformar la plantilla de atenuacion en una plantilla para la funcion caracterısti-

ca K(jω). Luego, deberemos encontrar una funcion caracterıstica K(jω) que satisfaga dicha plantilla.Finalmente, utilizando la Ec.(3.4.1) obtendremos la FT H(s).

Notar que si H(s) H(−s) tiene un polo en s0, tambien tendra un polo en −s0. Por lo tanto, uno de losdos polos tendra parte real positiva. Lo que haremos entonces es asignar a H(s) los polos con parte realnegativa y a H(−s) los polos con parte real positiva. Esto nos permitira garantizar siempre la estabilidaddel filtro.


Figura 3.18: Plantilla de Atenuacion de un Filtro Pasabajos

Plantilla de la Funcion Caracterıstica

Supongamos que queremos disenar un filtro pasabajos cuya funcion de atenuacion se corresponda ala plantilla de la Fig.3.18.

Como vemos, en la banda de paso admitimos una atenuacion maxima de 1dB, esto es, |H(jω)|−1 <101/20 y por lo tanto

|H(jω)|−2 < 101/10

y teniendo en cuenta la Ec.(3.8),

|K(jω)|2 = |H(jω)|−2 − 1 < 101/10 − 1

de donde,

|K(jω)| <√

101/10 − 1 = 0.509 = Kmax

Por otro lado, en la banda de corte la atenuacion debe ser como mınimo de 10dB, o sea, |H(jω)|−1 >1010/20 = 101/2 y por lo tanto,

|H(jω)|−2 > 10

y luego,|K(jω)|2 = |H(jω)|−2 − 1 > 9

de donde,|K(jω)| > 3 = Kmin

En consecuencia, la plantilla que debe verificar la funcion caracterıstica |K(jω)| es la que se muestraen la Figura 3.19

Figura 3.19: Plantilla de la Funcion Caracterıstica de un Filtro Pasabajos


Obtencion de la Funcion Caracterıstica

Para obtener la funcion caracterıstica que verifica la plantilla, lo que haremos es proponer una expre-sion dejando algunos parametros que podamos modificar.

Por ejemplo, podemos proponer:K(s) = c sn

donde los parametros c y n los calcularemos luego.El modulo de la funcion caracterıstica en el eje imaginario es entonces,

|K(jω)| = c ωn

Esta funcion es creciente, y particularmente en el extremo de la banda de paso vale

|K(jωp)| = c

ya que ωp = 1. Por lo tanto, deberemos elegir

c < Kmax = 0.509

por lo que tomaremos c = 0.5 (para simplificar los calculos). Habitualmente se toma c = Kmax.En el extremo de la banda de corte debe valer,

|K(jωa)| = 0.5 ωna = 0.5 · 2n < Kmin = 3

de donde podemos despejar2n < 6 ⇒ n > log2(6) = 2.58

Como n debe ser entero, tomaremos n = 3. En definitiva, tenemos la Funcion Caracterıstica

K(s) = 0.5 s3 =s3

2(3.10)

que verificara la plantilla de la Fig.3.19.

Obtencion de la Funcion Transferencia

Utilizando la Ec., tenemos

H(s) H(−s) = 1

K(s) K(−s) + 1=

1

−s6

4 + 1=

4

−s6 + 4

los polos del producto H(s) H(−s) son entonces las 6 raıces sextas de 4. De estas raıces, 3 estaran en elsemiplano izquierdo y 3 en el derecho. La Figura 3.20 muestra la ubicacion de los 6 polos.

Elegiremos entonces para H(s) las 3 raıces con parte real negativa de manera de obtener una FTestable. Estas raıces seran:

p1 = − 3√2; p2,3 =

3√2 e±j2π/3

Por lo tanto, la FT H(s) quedara

H(s) =2

(s+ 3√2) (s2 + 3

√2 s+ 3

√4)

(3.11)

La Figura 3.21 muestra nuevamente la plantilla de atenuacion original y la funcion de atenuacion delfiltro disenado, lo que corrobora que el diseno fue correcto.


−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Re(s)

Im(s)

Figura 3.20: Raıces de la Ecuacion −s6 + 4 = 0

Figura 3.21: Plantilla y Funcion de Atenuacion del Filtro Pasabajos de la Ec.(3.11)

3.4.2. Polos de Perdida y Ceros de Reflexion

Cuando disenamos el filtro del ejemplo anterior, obtuvimos la funcion caracterıstica K(s) = 0.5 s3,que contiene un cero triple en el origen y ningun polo finito.

Cuando K(jω) es nula, resulta |H(jω)| = 1 y por lo tanto la atenuacion α(ω) vale 0dB. Esto quieredecir que si K(s) tiene un cero en jω0, entonces a la frecuencia ω0 no habra atenuacion. En el caso delejemplo, esto solo ocurre en s = 0.

Dado que la ausencia de atenuacion es algo deseable dentro de la banda de paso, muchas veces seagregan ceros a la funcionK(s) sobre el eje imaginario para mejorar la respuesta. Estos ceros se denominanceros de reflexion.

Por ejemplo, si volvemos al ejemplo del filtro podemos reemplazar la funcion caracterıstica por

K(s) = 2 s3 + 1.5 s

que tiene ceros de reflexion en ±j√3/2, y que cumple con la plantilla de la Fig.3.19. Luego, procediendo

como antes se llega a la FT:

H(s) =0.5

s3 + s2 + 1.25 s+ 0.5(3.12)

cuya funcion de atenuacion es la que se muestra en la Fig.3.22. Como puede verse, el filtro tiene muchomayor selectividad que la disenada originalmente. Notar ademas que los ceros de reflexion a la frecuenciade ω =

√3/2 se traducen en atenuacion nula a dicha frecuencia.


Figura 3.22: Plantilla y Funcion de Atenuacion del Filtro Pasabajos de la Ec.(3.12)

Por otro lado, cuando K(jω) tiende a infinito, resulta |H(jω)| = 0 y por lo tanto la atenuacion tiendea infinito. Esto quiere decir que si K(s) tiene un polo en jω0, entonces a la frecuencia ω0 la atenuacionsera total. En el caso del ejemplo, esto solo ocurre con ω → ∞.

Dado que la atenuacion infinita es una caracterıstica deseable dentro de la banda de corte, se suelentambien agregar polos a la funcion K(s) sobre el eje imaginario. Estos polos, denominados polos deperdida, tienen ademas la propiedad de producir una pendiente abrupta en la curva de atenuacion, porlo que si se colocan cerca del extremo de la banda de corte, permiten alcanzar una selectividad muy alta.

Por ejemplo, si se agregan polos a la funcion caracterıstica original del ejemplo en ω0 = 2.1, estaqueda:

K(s) = 1.7s3

s2 + 4.41

donde el factor 1.7 fue agregado para cumplir con la plantilla. La atenuacion resultante de la FT entoncesqueda como la mostrada en la Fig.3.23.

Figura 3.23: Plantilla y Funcion de Atenuacion del Filtro Pasabajos con polos de perdida

Normalizacion de los Parametros

Si observamos la plantilla de la funcion caracterıstica de la Fig.3.19, vemos en ella 4 parametros:Kmax, Kmin, ωp y ωa.

El primero de ellos se suele notar como ε y se denomina ancho de ripple, ya que es el ripple que seadmite para la respuesta en frecuencia dentro de la banda de paso.


El parametro ωp que define la banda de paso se normaliza, haciendo un cambio de variables s = s/ωp,de manera que en la frecuencia normalizada vale ωp = 1.

Ademas, recordando que la selectividad se definıa como k = ωp/ωs, con las frecuencias normalizadassera ωs = 1/k.

Teniendo en cuenta estas consideraciones, las plantillas de la funcion caracterıstica tendran la formaque se muestra en la Fig.3.24.

Figura 3.24: Plantilla de la Funcion Caracterıstica Normalizada de un Filtro Pasabajos

Como ya mencionamos, las especificaciones de los filtros normalmente se expresan en terminos de laatenuacion en decibeles α(ω). Por lo tanto, los parametros ε y Kmin se deberan determinar desde losparametros αmax y αmin respectivamente.

Recordando que |K(jω)|2 = |H(jω)|−2−1, y que α(ω) = −20 log10(|H(jω)|), evaluando para ω = ωp,resulta

ε2 = 10αmax10 − 1 (3.13)

de donde, puede tambien obtenerse,

αmax = 10 log10(ε2 + 1)

De manera similar, evaluando para ωa se obtiene que,

K2min = 10

αmin10 − 1 (3.14)

y luego,αmin = 10 log10(K

2min + 1)

Veamos entonces un ejemplo. Supongamos que queremos disenar un filtro con los siguientes paramet-ros:

αmax = 1dB; αmax = 20dB; k =2

3; ωp = 1000

El filtro ademas tendra ceros de reflexion en ω = 1000 ·√0.75 y polos de perdida en ω = 1000 ·

√3.

Para comenzar, normalizaremos la frecuencia y consideraremos que ωp = 1.De la Ec.(3.20) calculamos el ancho de ripple segun

ε =

√

10αmax10 − 1 =

√

10110 − 1 = 0.509

y de la Ec.(3.14), tenemos

Kmin =

√

10αmin10 − 1 = 9.95

Ademas, la frecuencia de atenuacion normalizada sera ωa = 1/k = 1.5. Con esto completamos la especi-ficacion de la plantilla que tendra una forma similar a la de la Fig.3.24


Teniendo en cuenta la posicion de los ceros de reflexion y polos de perdida, la expresion de la funcioncaracterıstica sera:

K(s) = ε csn (s2 + 0.75)

s2 + 3

donde c y n los determinaremos de manera de cumplir con las especificaciones de ε y Kmin.En la frecuencia de paso normalizada, sera

|K(jωp)| = |K(j1)| = ε c|0.75− 1|3− 1

= ε c0.25

2

Esta expresion la igualaremos a ε, ya que es el valor que queremos obtener para K(jωp)|, y luego,

c =2

0.25= 8

Falta entonces determinar n. Evaluando entonces la funcion caracterıstica en la frecuencia de atenuacionnormalizada, tenemos

|K(jωa)| = |K(j1.5)| = ε c 1.5n|0.75− 1.52|3− 1.52

= ε c 1.5n1.5

0.75= ε 16 1.5n

Esta expresion debera ser mayor o igual a Kmin, de donde,

1.5n ≥ Kmin

ε 16= 1.22

Esta desigualdad se cumple para n = 1, por lo tanto alcanza con elegir este valor de n.En definitiva, la funcion caracterıstica sera:

K(s) = ε 8s (s2 + 0.75)

s2 + 3

La presencia de polos de perdida y ceros de reflexion hace que la funcion caracterıstica no sea monotona.Por lo tanto, es posible que aunque tanto en ωp como en ωa se verifiquen las condiciones de diseno, hayavalores de frecuencia donde esto no ocurra. De todas maneras, se puede verificar que para esta funcioncaracterıstica se cumpliran las condiciones impuestas.

Para obtener la FT utilizaremos Matlab:

>> c=8;

>> eps=sqrt(10^(1/10)-1);

>> NK=poly([0 -i*sqrt(0.75) i*sqrt(0.75)])*c*eps;

>> DK=poly([-i*sqrt(3) i*sqrt(3)]);

>> K=tf(NK,DK)

Transfer function:

4.071 s^3 + 3.053 s

-------------------

s^2 + 3

con lo que creamos la funcion caracterıstica K(s). Luego, tenemos que calcular

H(s) H(−s) = 1

1 +K(s) K(−s)

y obtener sus ceros y polos, para lo cual,

>> H2=1/(1-K*K)

Transfer function:


-s^4 - 6 s^2 - 9

-------------------------------------

16.57 s^6 + 23.86 s^4 + 3.321 s^2 - 9

>> [N2,D2]=tfdata(H2,’v’)

N2 =

0 0 1.0000 0 6.0000 0 9.0000

D2 =

-16.5712 0 -23.8568 0 -3.3213 0 9.0000

>> z2=roots(N2)

z2 =

-0.0000 + 1.7321i

-0.0000 - 1.7321i

0.0000 + 1.7321i

0.0000 - 1.7321i

>> p2=roots(D2)

p2 =

0.2243 + 1.0056i

0.2243 - 1.0056i

-0.2243 + 1.0056i

-0.2243 - 1.0056i

-0.6943

0.6943

A continuacion entonces construimos H(s) de manera que tenga solo los polos con parte real negativa yun par de ceros conjugados de H(s) H(−s).

>> p=p2(3:5)

p =

-0.2243 + 1.0056i

-0.2243 - 1.0056i

-0.6943

>> z=z2(1:2)

z =

-0.0000 + 1.7321i

-0.0000 - 1.7321i

A partir de los polos y ceros, obtenemos entonces la FT del filtro:

>> H1=zpk(z,p,1)


Zero/pole/gain:

(s^2 + 3)

----------------------------------

(s+0.6943) (s^2 + 0.4486s + 1.061)

pero la ganancia estatica no es la correcta, por lo que corregimos segun:

>> H=H1*abs(p(1))*abs(p(2))*abs(p(3))/abs(z(1))/abs(z(2))

Zero/pole/gain:

0.24565 (s^2 + 3)

----------------------------------

(s+0.6943) (s^2 + 0.4486s + 1.061)

lo que nos da la expresion de la FT en terminos de la frecuencia normalizada.La Figura 3.25 muestra la atenuacion del filtro disenado, graficada con Matlab.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

5

10

15

20

25

30

w/wp

alph

a(dB

)

Figura 3.25: Atenuacion del Filtro Disenado

Nos resta entonces expresar la FT en terminos de la frecuencia original, situando la frecuencia de pasoωp en 1000.

Para esto, simplemente escribimos,

H(s) = H(s/1000) = 0.2456510−6s2 + 3

(10−3 s+ 0.6943) (10−6 s2 + 10−3 0.4486 s+ 1.061)

esto es,

H(s) = 245.65s2 + 3× 106

(s+ 694.3)(s2 + 448.6 s+ 1.061× 106)

3.4.3. Otros Tipos de Filtros: Transposicion de Frecuencia

De los cuatro tipos de filtro presentados, el mas sencillo para trabajar en la etapa de diseno es elpasabajos. Como vimos antes, especificando la atenuacion maxima y mınima, la frecuencia de paso y laselectividad es bastante sencillo encontrar una FT que verifique dichas condiciones.


Para los otros tres tipos de filtros, el procedimiento habitual es disenar un pasabajos y realizar unatransformacion de frecuencias que lo convierta en el tipo de filtro deseado.

Esta transformacion de frecuencias sera tal que se preserve la selectividad, de manera que se puedadisenar el pasabajos con los mismos parametros de especificacion del filtro original.

De Pasabajos a Pasaaltos

Supongamos que queremos disenar un filtro pasaaltos con frecuencia de paso ωp, selectividad k yatenuacion mınima y maxima αmın y αmax respectivamente. Para ello, comenzaremos normalizando lafrecuencia dividiendo por ωp.

Recordando que en el pasaaltos se definıa la selectividad k = ωa/ωp, la frecuencia de atenuacion ωa

normalizada sera directamente la selectividad k.Ahora entonces, la banda de paso estara por encima de 1 y la banda de corte estara por debajo de k.

La Fig.3.26 muestra la plantilla correspondiente.

Figura 3.26: Plantilla de Atenuacion de un Filtro Pasaaltos con Frecuencia Normalizada

Buscamos entonces la FT normalizada H(s), que definiremos directamente como

H(s) = HPB(1

s)

donde HPB sera la FT de un pasabajos que disenaremos.La atenuacion del pasaaltos verificara

α(ω) = αPB(1

ω)

Disenaremos entonces HPB(s) de manera que tenga frecuencia de paso ωp = 1, selectivadad k yatenuacion mınima y maxima αmın y αmax respectivamente. Este pasabajos cumplira entonces con laplantilla que muestra la Fig.3.27.

Si disenamos el pasabajos de esta forma, tendremos

αPB(ω) ≤ αmax para ω < 1

Por lo tanto,

α(1

ω) = αPB(ω) ≤ αmax para ω < 1

lo que quiere decir queα(ω) ≤ αmax para ω > 1

por lo que se verifica la condicion sobre la banda de paso del pasaaltos.Ademas, valdra

αPB(ω) ≥ αmın para ω >1

k


Figura 3.27: Plantilla de Atenuacion de un Filtro Pasabajos con Frecuencia Normalizada

Por lo tanto,

α(1

ω) = αPB(ω) ≥ αmın para ω >

1

k

lo que quiere decir queα(ω) ≥ αmın para ω < k

por lo que se verifica la condicion sobre la banda de corte del pasaaltos.En conclusion, podemos disenar el pasabajos para que cumpla con las especificaciones del pasaaltos

y luego hacer el cambio de variables s→ 1/s.

De Pasabajos a Pasabanda

Supongamos ahora que queremos disenar un filtro pasabanda con frecuencia central ω0, selectividadk, ancho de banda relativo B y atenuacion mınima y maxima αmın y αmax respectivamente. La plantillacorrespondiente es la que se muestra en la Fig.3.28.

Figura 3.28: Plantilla de Atenuacion de un Filtro Pasabanda

El procedimiento sera similar al del pasaaltos. Para ello, disenamos un filtro pasabajos con selectividadk, atenuacion mınima y maxima αmın y αmax respectivamente y ωp = 1. Luego, definimos,

H(s) = HPB

(

1

B(s

ω0+ω0

s)

)

(3.15)

Puede verificarse que mediante esta transformacion, el filtro pasabanda H(s) preservara los parametrosde selectividad, atenuacion maxima y mınima disenados en el pasabajos.


De Pasabajos a Rechazabanda

El procedimiento es identico al anterior, reemplazando la Ec.(3.15) por

H(s) = HPB

(

Bsω0

+ ω0s

)

(3.16)

3.5. Aproximaciones Clasicas

En la seccion anterior vimos un procedimiento basico para disenar filtros, partiendo de definir unafuncion caracterıstica K(s) y luego calculando algunos de sus parametros de manera de cumplir conla plantilla de especificacion. Una vez obtenida entonces K(s), utilizando la Ecuacion de Feldtkellerpodıamos obtener la FT del filtro.

En este procedimiento, no dijimos en ningun momento como habıa que elegir la funcion caracterısticaK(s). Veremos ahora distintas alternativas para disenar K(s) que son la base del diseno de los filtrosclasicos mas utilizados.

En todos los casos, trabajaremos con frecuencias normalizadas. Esto es, para el caso del pasabajosestaremos considerando ωp = 1.

3.5.1. Filtros de Butterworth

Los filtros de Butterworth, o de maxima respuesta plana se obtienen desde la funcion caracterıstica:

K(s) = sn

Por lo tanto, la FT H(s) se calculara de la Ecuacion de Feldtkeller,

H(s) H(−s) = 1

1 +K(s) K(−s) =1

1 + sn (−s)n

tomando los polos con parte real negativa.

Polos del Filtro de Butterworth

Cuando n sea impar, los polos de H(s) H(−s) seran las soluciones de

s2n = 1

de donde, los polos tendran la expresionsk = ej k π

n (3.17)

para k = 0, 1, · · · , 2n− 1.Cuando n sea par, en cambio, los polos de H(s) H(−s) seran las soluciones de

s2n = −1

de donde, los polos tendran la expresion

sk = ej (k πn+ π

2n) (3.18)

para k = 0, 1, · · · , 2n− 1.En ambos casos, los polos de H(s) H(−s) estaran ubicados sobre la circunferencia unitaria de manera

simetrica respecto a ambos ejes y angularmente equiespaciada.Como ya mencionamos, H(s) contendra unicamente los n polos con parte real negativa.


Determinacion del Orden del Filtro

Recordando que habıamos definido

ε = |K(jωp)| = |K(j1)|cuando ε se distinto que 1, es decir cuando αmax 6= 3dB, tendremos que corregir la funcion caracterısticahaciendo un simple cambio de escala s→ s n

√ε, con lo que la funcion caracterıstica sera

K(s) = εsn

En la frecuencia de atenuacion ωa = 1/k, el modulo de la funcion caracterıstica debera ser mayor o igualque Kmın. Por lo tanto,

εωna = ε

(

1

k

)n

≥ Kmın ⇒(

1

k

)n

≥ Kmın

ε

de donde,n log(1/k) ≥ log(Kmın/ε)

y luego,

n ≥ log(Kmın/ε)

log(1/k)

Dado que las plantillas estan normalmente especificadas en terminos de atenuacion αmın y αmax, y recor-dando que

α(ω) = 20 log10(√

1 + |K(jω)|2) = 10 log10(1 + |K(jω)|2)resulta

|K(jω)| =√

10α(ω)/10 − 1

Por lo tanto,

n ≥ log(√10αmın/10 − 1/

√10αmax/10 − 1)

log(1/k)

y finalmente

n ≥ log((100.1αmın − 1)/(100.1αmax − 1))

2 log(1/k)(3.19)

La Figura 3.29 muestra la atenuacion de los filtros de Butterworth de distintos ordenes.

Diseno de Filtros de Butterworth

En base al analisis hecho anteriormente, es muy sencillo disenar un filtro de Butterworth. La Ec.(3.19)brinda directamente el orden del filtro; y luego los polos de la FT quedan determinados por las Ecs.(3.17)o (3.18), segun sea n impar o par.

Eventualmente, cuando tengamos αmax 6= 3dB, deberemos hacer un cambio de frecuencia s→ s n√ε.

Ademas, salvo que ωp = 1 deberemos hacer un segundo cambio de frecuencia para ajustarnos a lafrecuencia de paso original.

Supongamos por ejemplo que queremos disenar un filtro pasabajos con frecuencia de paso ωp = 100,selectividad k = 0.5 y con αmax = 2dB y αmın = 20dB.

De la Ec.(3.19) determinamos que

n ≥ log((100.1 20 − 1)/(100.1 2 − 1))

2 log(2)= 3.7

por lo que el orden debera ser 4.Los polos de la forma normalizada del filtro de Butterworth de orden 4 son las raıces con parte real

negativa de la Ec. s2n = −1, ya que n es par. Estos polos estan dados por la Ec.(3.18).Los coeficientes correspondientes del denominador pueden calcularse haciendo

D(s) = (s− p1) (s− p2) (s− p3) (s− p4)

De todas formas, los coeficientes de los filtros de Butterworth pueden tomarse de distintas tablas outilizando Matlab:


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00

5

10

15

20

25

30

35

40

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

3 dB

ω/ωp

α(ω

)dB

Figura 3.29: Atenuacion de los Filtros de Butterworth de Orden 1 a 4

>> [N,D]=butter(4,1,’s’)

N =

0 0 0 0 1.0000

D =

1.0000 2.6131 3.4142 2.6131 1.0000

El comando ’butter’ tiene 3 argumentos: el primero indica el orden, el segundo la frecuencia de corte y eltercero es para expresar que el filtro es analogico.

En definitiva, el filtro normalizado sera

H(s) =1

s4 + 2.6131 s3 + 3.4142 s2 + 2.6131 s+ 1

Para que este filtro tenga αmax = 2dB tenemos que hacer el cambio de frecuencia s → s n√ε que

mencionamos antes, para lo cual calculamos primero

ε =√

10αmax/10 − 1 = 0.765

Ademas, para que la frecuencia de paso este en ωp = 100, deberemos hacer s→ s/100.Haciendo ambos cambios de frecuencia en un unico paso, la FT del filtro sera

H(s) = H(s

1004√0.765

)

Operando sobre la FT normalizada entonces, se obtiene la FT:

H(s) =1.307 · 108

s4 + 279.43 s3 + 3.904 · 104 s2 + 3.195 · 106s+ 1.307 · 108que completa el diseno.

En resumen, el diseno consiste en:


1. Determinar el orden del filtro usando la formula

n ≥ log((100.1αmın − 1)/(100.1αmax − 1))

2 log(1/k)

2. Obtener los polos de la FT, teniendo en cuenta que estos son las raıces con parte real negativa de laEc.s(2n) = ±1. A partir de estos polos, obtener los coeficientes del denominador. Alternativamente,los coeficientes pueden sacarse de una tabla.

3. Determinar el ancho de ripple de la funcion caracterıstica K(s) con la formula

ε =

√

10αmax10 − 1 (3.20)

4. Realizar el cambio de escala de frecuencia s→ s n√ε/ωp.

Utilizando Matlab, una vez determinado el orden del filtro y el valor de ε, el diseno se puede hacer enun paso:

>> eps=sqrt(10^(0.1*2)-1)

eps =

0.7648

>> [N,D]=butter(4,100/eps^(1/4),’s’)

N =

1.0e+08 *

0 0 0 0 1.3076

D =

1.0e+08 *

0.0000 0.0000 0.0004 0.0320 1.3076

3.5.2. Filtros de Chebyshev

Los filtros de Chebyshev, denominados tambien equi–ripple, se basan en el uso de los polinomios deChebyshev en la funcion caracterıstica.

Un polinomio de Chebyshev de orden n, tiene la expresion:

Tn(ω) =

cos(n arc cos(ω)) si |ω| < 1

cosh(n arc cosh(ω)) si |ω| > 1(3.21)

y puede verificarse que resulta en las siguientes formulas:

T1(ω) = ω

T2(ω) = 2 ω2 − 1

T3(ω) = 4 ω3 − 3 ω

T4(ω) = 8 ω4 − 8 ω2 + 1

T5(ω) = 16 ω5 − 20 ω3 + 5 ω

T6(ω) = 32 ω6 − 48 ω4 + 18 ω2 − 1

T7(ω) = 64 ω7 − 112 ω5 + 56 ω3 − 7 ω

(3.22)


Un polinomio de Chebyshev de orden n tiene n−1 maximos y mınimos que valen 1 y −1 respectivamente.Todos los maximos y mınimos ocurren para ω ∈ (−1, 1). Ademas,

Tn(1) = Tn(−1) = 1

La Fig.3.30 muestra a modo de ejemplo la grafica del polinomio de Chebyshev de orden 5.

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

ω

T5(ω

)

Figura 3.30: Polinomio de Chebyshev de Orden 5

La caracterıstica de estos polinomios es que en el rango 0 ≤ ω ≤ 1 mantienen un valor acotado yluego tienen una pendiente muy abrupta, lo que los hace muy atractivos para utilizarlos como funcioncaracterıstica.

Hay dos tipos de Filtros de Chebyshev. El filtro tipo 1 utiliza como funcion caracterıstica el polinomiode manera que la banda de paso coincida con la zona donde el polinomio esta acotado entre 1 y -1.

El filtro tipo 2, en cambio, utiliza como funcion caracterıstica la inversa de dicho polinomio de maneraque la zona donde el polinomio esta acotado coincida con la banda de atenuacion.

El mas usado es el filtro tipo 1, y es el que utilizaremos aquı.

Funcion Caracterıstica del Filtro de Chebyshev Tipo 1

Si queremos que la funcion caracterısticaK(s) tenga un comportamiento en el eje imaginario jω comoel de un polinomio de Chebyshev Tn(ω), y que ademas este acotada por ε en la banda de paso (paraω < 1), podemos definir

K(s) = ε Tn(s/j) = ε Tn(−js) (3.23)

de esta manera,K(jω) = ε Tn(jω/j) = ε Tn(ω)

Polos de la Funcion Transferencia

Procediendo de manera similar a los demas filtros, la FT quedara definida por la ecuacion

H(s) H(−s) = 1

1 + ǫ2T 2n(−js)


y los polos de H(s) seran las raıces con parte real negativa de

1 + ǫ2T 2n(−js) = 0

esto es, las soluciones con parte real negativa de

Tn(−js) = ± jε

Estas soluciones se pueden calcular a partir de la Ec.(3.21), segun

p±m = ± sinh

(

1

narc sinh(1/ε)

)

sin(θm) + j cosh

(

1

narc sinh(1/ε)

)

cos(θm) (3.24)

con

θm =π

2

2m− 1

n

para m = 1, · · · , n.

Orden del Filtro

El mınimo orden del filtro que cumplira con una selectividad k y atenuaciones maximas y mınimasαmax y αmın se puede determinar de manera similar a la de Butterworth. Para esto, teniendo en cuentaque

|K(jωp)| = |K(j1)| = ε

y|K(jωa)| = |K(j1/k)| = ε|Tn(1/k)| ≥ Kmın

todo lo que necesitamos es que el orden sea tal que se cumpla que

Tn(1/k) ≥Kmın

ε

Teniendo en cuenta la Ec.(3.21), esto equivale a

cosh(n arc cosh(1/k)) ≥ Kmın

ε

de donde,

n arc cosh(1/k) ≥ arc cosh(Kmın

ε)

y luego,

n ≥ arc cosh(Kmın/ε)

arc cosh(1/k)

Teniendo en cuenta que las plantillas estan dadas en general en terminos de atenuacion, esta ultimaformula puede reescribirse como

n ≥ arc cosh(√

100.1 αmın − 1/√100.1 αmax − 1

)

arc cosh(1/k)(3.25)

La Fig.3.31 muestra la atenuacion de los filtros de Chebyshev de orden 1 a 4, para ε = 1. Notar que laatenuacion lograda fuera de la banda de paso es mucho mejor que las correspondientes de Butterworth.

Es claro que al agrandar el orden, el pasaje entre las bandas de corte y atenuacion se hace cadavez mas marcado. Por ejemplo, para un orden n = 7 y tomando ε = 1 se obtiene la caracterıstica deatenuacion de la Fig.3.32.


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00

10

20

30

40

50

60

n = 4

n = 3

n = 2

n = 1

3 dB

ω/ωp

α(ω

)dB

Figura 3.31: Atenuacion de los Filtros de Chebyshev de Orden 1 a 4, para ε = 1.

0.0 0.5 1.0 1.50

10

20

30

40

50

60

ω/ωp

α(ω

)dB

Figura 3.32: Atenuacion del Filtro de Chebyshev de Orden 7 para ε = 1.

Diseno de Filtros de Chebyshev

El procedimiento para el diseno sera similar a los anteriores. Partiendo de la especificacion, se puededeterminar el orden a partir de la Ec.(3.25). Luego, a partir de αmax se calcula ε, con lo que quedandeterminados los polos de la FT siguiendo la Ec.(3.24).

Finalmente, habra que ajustar la FT a la frecuencia de paso con el cambio de variables s→ s/ωp.Por ejemplo, supongamos que queremos implementar un filtro de Chebyshev que cumpla con las

especificaciones del ejemplo de Butterworth: ωp = 100, k = 0.5, αmax = 2dB y αmın = 20dB.


De la Ec.(3.25), resulta,

n ≥ arc cosh(√

100.1·20 − 1/√100.1·2 − 1

)

arc cosh(1/0.5)= 2.473

de donde, el orden debera ser 3.Calculamos entonces

ε =√

100.1·2 − 1 = 0.7648

y los polos de H(s) H(−s) estaran dados, segun la Ec.(3.24), por

p±m = ± sinh

(

1

3arc sinh(1/ε)

)

sin(θm) + j cosh

(

1

3arc sinh(1/ε)

)

cos(θm)

con

θm =π

2

2m− 1

3

para m = 1, 2, 3.Esto da las soluciones:

p±1 = ±0.1845+ j 0.9231; p±2 = ±0.3689; p±3 = ±0.1845− j 0.9231

Por lo tanto, los polos de la FT seran:

p1,2,3 = −0.1845± j 0.9231; −0.3689

La FT correspondiente, en frecuencia normalizada, queda entonces,

H(s) =0.3269

s3 + 0.7378 s2 + 1.0222 s+ 0.3269

Finalmente hacemos el cambio de frecuencia s→ s/100 para tener ωp = 100:

H(s) = H(s/100) =0.3269

10−6 s3 + 0.7378 · 10−4s2 + 1.0222 · 102 + 0.3269

lo que completa el diseno del filtro.Una vez calculado el orden, el diseno puede hacerse directamente utilizando Matlab. Para este caso,

>> [N,D]=cheby1(3,2,1,’s’)

N =

0 0 0 0.3269

D =

1.0000 0.7378 1.0222 0.3269

La funcion ’cheby1’ tiene como argumentos el orden del filtro, la atenuacion maxima en decibeles αmax

y la frecuencia de corte. Notar que los coeficientes coinciden exactamente con los calculados para H(s)con la frecuencai normalizada.

Podrıamos haber obtenido directamente el diseno final haciendo:

>> [N,D]=cheby1(3,2,100,’s’)

N =


1.0e+05 *

0 0 0 3.2689

D =

1.0e+05 *

0.0000 0.0007 0.1022 3.2689

3.5.3. Otras Aproximaciones Clasicas

Ademas de los filtros de Butterworth y Chebyshev, hay otras aproximaciones clasicas que se basan enprincipios similares.

Los mas populares son los filtros elıpticos (o filtros de Cauer) y los filtros de Bessel.Los filtros elıpticos utilizan como funcion caracterıstica una funcion racional elıptica, por lo que tiene

ceros de reflexion y polos de perdida. Estos fitros logran una pendiente muy abrupta entre la banda depaso y de transicion con el costo de provocar transitorios muy oscilantes.

Los filtros de Bessel, por su parte, se basan en el uso de polinomios de Bessel y, al igual que en But-terworth y Chebyshev, no tienen polos de perdida. Estos filtros logran un retardo de grupo maximamenteplano sobre la banda de paso, lo que minimiza la distorsion sobre dicha banda. El costo que se paga poresta propiedad, sin embargo, es que la banda de transicion sea muy grande y no se puede obtener unabuena selectividad sin utilizar ordenes excesivamente elevados.

3.6. Implementacion de Filtros Pasivos

Los filtros pasivos fueron las primeras implementaciones circuitales de los filtros reales. Consistenbasicamente de resistores, inductores y capacitores.

Si bien su uso se ha ido reemplazado por filtros activos y filtros digitales, en muchas aplicaciones sonla unica alternativa posible, particularmente cuando se requiere trabajar en altas frecuencia.

En esta seccion entonces estudiaremos como disenar un circuito RLC pasivo que implemente unafuncion transferencia arbitraria. La implementacion pasiva, de todas formas, limitara algunos aspectosdel filtro ya que por ejemplo la ganancia estatica debera ser siempre menor que 1.

Si bien existen diversas estrategias y topologıas, nos concentraremos en la implementacion de filtroscon estructura de escalera LC.

3.6.1. Estructura del Filtro Pasivo

Consideremos el circuito de la Fig.3.33. El mismo consta de una resistencia en la entrada R1 y una enla salida R2. Ademas, hay un elemento que disenaremos que en principio sera desconocido. A la derechade la resistencia R1, se ve una impedancia Zi, debida al elemento incognita y a la resistencia R2

Figura 3.33: Estructura de un Filtro Pasivo


Supongamos que queremos que dicho circuito implemente un filtro con FT H(s), es decir, que larelacion entre la entrada y la salida en el dominio transformado responda a

V2(s)

V1(s)= H(s)

Surgen entonces los siguientes interrogantes:

1. ¿Cual debera ser la impedancia Zi(jω) vista a la derecha de R1?

2. Una vez obtenida la impedancia, ¿como podemos implementar un circuito con elementos R, L y Cque tenga dicha impedancia?

Una primer limitacion que encontraremos es que, al tratarse de elementos pasivos, no podremos obtenercualquier relacion V2(s)/V1(s), ya que encontraremos limitaciones en la ganancia, principalmente impuestapor los elementos R1 y R2. Por lo tanto, buscaremos disenar un circuito que cumpla con

H(s) = cV2(s)

V1(s)

donde c sera una constante que determinaremos luego.Trabajaremos por el momento exclusivamente con filtros pasabajos. Luego veremos como transformar

los disenos pasabajos en otros tipos de filtros.

3.6.2. Filtros LC Escalera

Una de las formas mas utilizadas y mas eficientes para implementar filtros consiste en disenar el ele-mento incognita como una red escalera LC, esto es, compuesto unicamente por capacitores e inductancias,como muestra la Fig.3.34.

Figura 3.34: Filtro Pasivo Pasabajos con Escalera LC

Determinacion de la Impedancia del Filtro

Si llamamos Zi(jω) = Ri(jω) + jXi(jω) a la impedancia vista desde la derecha de la resistencia R1,podemos calcular la corriente por R1 segun,

I1(jω) =V1(jω)

R1 + Zi(jω)

La potencia que se entrega a la impedancia Zi(jω), en tanto, se puede calcular como

Pi(jω) = |I1|2 Ri(jω) =|V1(jω)|2

|R1 + Zi(jω)|2Ri(jω)

mientras que la potencia que consume la resistencia R2 es,

P2(jω) =|V2|2R2


Dado que la red escalera no consume potencia, la potencia entregada al filtro es consumida en la resistenciaR2. Por lo tanto, debe ser Pi(jω) = P2(jω) y luego,

|V1(jω)|2|R1 + Zi(jω)|2

Ri(jω) =|V2(jω)|2

R2

de donde,|V2(jω)|2|V1(jω)|2

=R2 Ri(jω)

|R1 + Zi(jω)|2(3.26)

Recordando que habıamos definido H(s) = c V2(s)/V1(s), resulta,

|H(jω)|2 = c2R2 Ri(jω)

(R1 +Ri(jω))2 +Xi(jω)2

Esta ultima expresion tiene su maximo cuando Xi(jω) = 0 y Ri(jω) = R1. Este maximo valec2 R2/(4 R1), por lo tanto,

|H(jω)|2 ≤ c2R2

4 R1

Por lo tanto, nos convendra elegir c de manera que este maximo sea 1. Es decir, tendremos

c = 2

√

R1

R2

y luego, reemplazando en la Ec.(3.26) sera

|H(jω)|2 =4 Ri(jω) R1

|R1 + Zi(jω)|2

Esta ultima expresion puede reescribirse como

|H(jω)|2 =|R1 + Zi(jω)|2 − |R1 − Zi(jω)|2

|R1 + Zi(jω)|2= 1− |R1 − Zi(jω)|2

|R1 + Zi(jω)|2(3.27)

definiendo la funcion de reflexion ρ(s) segun

ρ(s) , ±R1 − Zi(s)

R1 + Zi(s)(3.28)

la Ec.(3.27) puede reescribirse segun:

|H(jω)|2 = 1− ρ(jω)ρ(−jω)

Por lo tanto, dado H(s) podemos calcular ρ(s) de la siguiente ecuacion:

ρ(s)ρ(−s) = 1−H(s) H(−s) (3.29)

y posteriormente, de la Ec.(3.28), podemos despejar

Zi(s) = R11− ρ(s)

1 + ρ(s)(3.30)

o bien,

Zi(s) = R11 + ρ(s)

1− ρ(s)(3.31)

Notar ademas que de la Eq.(3.27) podemos deducir la ganancia estatica de la FT H(s). Notar que

|H(0)|2 = 1− |R1 − Zi(0)|2|R1 + Zi(0)|2

= 1− (R1 −R2)2

(R1 +R2)2


que sera 1 solamente cuando R1 = R2. Es decir, no podemos tomar inicialmente una FT arbitraria, sinoque deberemos tener en cuenta que

|H(0)| =√

1− (R1 −R2)2

(R1 +R2)2(3.32)

En sıntesis, para encontrar la impedancia Zi(jω) a partir de una FT H(s) tenemos que

1. Corregir la ganancia estatica para que se cumpla la Ec.(3.32).

2. Calcular la funcion de reflexion de la Ec.(3.29) (habra dos soluciones).

3. Determinar la impedancia Zi(s) usando las Ecs.(3.30) o (3.31).

En todo momento convendra trabajar con frecuencias normalizadas. Luego veremos como transformarlos parametros del circuito resultante.

Por ejemplo, supongamos que queremos implementar un filtro con FT

H(s) =1

s2 +√2 s+ 1

(3.33)

Supongamos ademas que R1 = R2 = 1. Luego, dado que la ganancia estatica es 1 y que R1 = R2, no hayque corregir la FT.

De la Ec.(3.29) tenemos

ρ(s) ρ(−s) = 1−H(s) H(−s) = s4

s4 + 1

calculando los polos de este ultimo polinomio, se puede factorizar como

ρ(s) ρ(−s) = s2 s2

(s2 +√2 s+ 1) (s2 −

√2 s+ 1)

de donde tomamos

ρ(s) =s2

(s2 +√2 s+ 1)

Finalmente, usando la Ec.(3.30), obtenemos

Zi(s) = R11− ρ(s)

1 + ρ(s)=

√2 s+ 1

2 s2 +√2 s+ 1

(3.34)

Es decir, la impedancia formada por el paralelo de la escalera LC y la resistencia R2 estara dada por laexpresion anterior.

Podrıamos tambien haber utilizado la Ec.(3.31), obteniendo

Zi(s) = R11 + ρ(s)

1− ρ(s)=

2 s2 +√2 s+ 1√

2 s+ 1

que nos da la impedancia complementaria, y que tambien sintetiza el filtro deseado.

Sıntesis del Filtro como Escalera LC

Vamos a intentar ahora proponer un circuito LC que, con la resistencia R2 al final, tenga una impedan-cia Zi(s) como las que resultan del procedimiento desarrollado en el punto anterior.


Para esto, observemos que la impedancia vista a la derecha de la resistencia R1 en el circuito de laFig.3.34 puede escribirse como:

Zi(jω) =1

C1 jω +1

L2 jω +1

C3 jω +· · ·

Ln−1 jω +1

Cn jω +1

R2

o directamente, en variable s,

Zi(s) =1

C1 s+1

L2 s+1

C3 s+· · ·

Ln−1 s+1

Cn s+1

R2

(3.35)

Esta red LC comienza con un capacitor C1 y termina con otro capacitor Cn. Podrıa tambien comenzary/o finalizar con una inductancia. En tal caso, se arribara a una expresion muy similar.

Esta forma de escribir la impedancia Zi(s) se denomina fraccion continua y es muy sencillo llevaruna expresion cualquiera Z(s) a esta forma. Para eso bastara con dividir recursivamente numerador ydenominador.

Por ejemplo, para la impedancia calculada en el ultimo ejemplo tenıamos

Zi(s) =

√2 s+ 1

2 s2 +√2 s+ 1

esta expresion se puede llevar a la forma de la Ec.(3.35) haciendo

Zi(s) =1

2 s2 +√2 s+ 1√

2 s+ 1

=1

√2 s+

1√2 s+ 1

donde en el paso intermedio dividimos los polinomios y calculamos el resto.Comparando esta ultima expresion con la Ec.(3.35) concluimos que la impedancia corresponde a una

red LC con C1 =√2, L2 =

√2 y R2 = 1 (esto ultimo se tenıa que verificar, ya que disenamos el filtro

suponiendo que R2 = 1).En conclusion, el filtro sera el de la Fig.3.35 con los parametros R1 = R2 = 1, C1 = L2 =

√2.

Figura 3.35: Filtro Pasabajos LC Escalera de la Ec.(3.33). Parametros: R1 = R2 = 1, C1 = L2 =√2.


Tomemos ahora como ejemplo el filtro de Chebyshev de tercer orden que disenamos anteriormente:

H(s) =0.3269

s3 + 0.7378 s2 + 1.0222 s+ 0.3269

y supongamos que lo implementaremos con R1 = R2 = 1.Calculamos entonces la impedancia siguiendo el procedimiento que vimos antes:

ρ(s) ρ(−s) = 1−H(s) H(−s) = s6 + 1.5 s4 + 0.5625 s2

s6 + 1.5 s4 + 0.5625 s2 − 0.1069

cuyas polos y ceros son:p1,··· ,6 = ±0.1845± j0.9231; ±0.3689

z1,··· ,6 = 0 ; 0 ± j0.866,±j0.866Tomando los polos con parte real negativa y tres de los seis ceros, queda

ρ(s) =s3 + 0.75 s

s3 + 0.7378 s2 + 1.022 s+ 0.3269

Luego, calculamos la impedancia segun

Zi(s) = R11− ρ(s)

1 + ρ(s)=

2.257 s2 + 0.8327 s+ 1

6.118 s3 + 2.257 s2 + 5.421 s+ 1(3.36)

Finalmente, realizamos la expansion en fracciones continuas:

Zi(s) =1

6.118 s3 + 2.257 s2 + 5.421 s+ 1

2.257 s2 + 0.8327 s+ 1

=1

2.7107 s+2.7107 s+ 1

2.257 s2 + 0.8327 s+ 1

y repitiendo el proceso,

Zi(s) =1

2.7107 s+1

2.257 s2 + 0.8327 s+ 1

2.7107 s+ 1

=1

2.7107 s+1

0.8372 s+1

2.7107 s+ 1

Por lo tanto, el filtro constara de dos capacitores y un inductor de valores C1 = C3 = 2.7107 y L2 = 0.8327.Todos estos valores de capacidades e inductancias, por supuesto, corresponden a las frecuencias nor-

malizadas. Luego veremos como dimensionarlos para frecuencias de paso arbitrarias.

3.6.3. Implementacion de Filtros Pasivos Clasicos

Si bien el procedimiento que presentamos puede utilizarse para implementar distintos tipos de filtros,entre ellos Butterworth y Chebyshev, en estos casos el procedimiento puede simplificarse considerable-mente.

Recordemos que para determinar la impedancia Zi(s) calculabamos previamente la funcion de re-flexion, que cumplıa,

ρ(s) ρ(−s) = 1−H(s) H(−s) (3.37)

y de esta expresion extraıamos los polos con parte real negativa y los ceros correspondientes.En la etapa previa del diseno, utilizabamos como base la funcion caracterıstica K(s), desde la cual

determinabamos H(s) segun

H(s) H(−s) = 1

1 +K(s) K(−s)


Utilizando esta ultima expresion, podemos reescribir la Ecuacion 3.37 como

ρ(s) ρ(−s) = 1− 1

1 +K(s) K(−s) =K(s) K(−s)

1 +K(s) K(−s)

Si la funcion caracterıstica no tiene polos de perdida, entonces el numerador de ρ(s) lo podemos tomardirectamente como K(s). Ademas, si tomamos los polos con parte real negativa del denominador de laexpresion anterior, estaremos formando directamente el denominador de H(s).

En conclusion, si

H(s) =N(s)

D(s)=

1

D(s)

entonces podemos tomar

ρ(s) =K(s)

D(s)

Importante: En esta expresion estamos asumiendo que el numerador N(s) es 1.Por lo tanto, podemos calcular la impedancia como

Zi(s) = R11− ρ(s)

1 + ρ(s)= R1

D(s)−K(s)

D(s) +K(s)(3.38)

Implementacion de Butterworth

En el caso de Butterworth, tenemos la funcion caracterıstica

K(s) = sn

por lo tanto, de la Ec.(3.38) podemos calcular

Zi = R1D(s)− sn

D(s) + sn(3.39)

Notar que esta es exactamente la expresion que obtuvimos para el filtro que sintetizamos con la Ec.(3.34).Vale aclarar de todas formas que este analisis es valido solo cuando disenamos con R1 = R2. De hecho,

el valor que obtendremos para R2 con este procedimiento conicidira con el de R1.Cuando las resistencias son distintas entre sı, recordemos que hay que corregir H(s) multiplicando

por un factor, y el resultado ya no es el mismo.

Implementacion de Chebyshev

En el caso de Chebyshev, tenemos la funcion caracterıstica

K(s) = ε Tn(−js)

que es compleja, pero resulta

K(s) K(−s) = ε2 Tn(−js) Tn(js) = (−1)nε2|Tn|2(s) = ε2|Tn|(s) |Tn|(−s)

donde |Tn| denota el polinomio que se obtiene tomando el valor absoluto de los coeficientes de Tn.Por lo tanto, podemos considerar que

K(s) = ε|Tn|(s)

y luego resulta

Zi = R1D(s)− ε|Tn|(s)D(s) + ε|Tn|(s)

(3.40)

Para que esta formula sea correcta, la FT N(s)/D(s) tiene que ser tal que N(s) = 1.


Con este procedimiento, cuando el orden n sea impar obtendremos R2 = R1. Cuando el orden seapar, sin embargo, tendremos una relacion diferente entre R2 y R1. Esto se debe a que para n par no secumple que H(0) = 1 (hay atenuacion para jω = 0). Por lo tanto, esto equivale a que exista diferenciaentre R1 y R2.

Por ejemplo, si tomamos el filtro de Chebyshev

H(s) =0.3269

s3 + 0.7378 s2 + 1.0222 s+ 0.3269

primero lo normalizamos para tener N(s) = 1:

H(s) =1

3.059 s3 + 2.257 s2 + 3.127 s+ 1

Este filtro surgıa de utilizar ε = 0.765 (correpondiente a αmax = 2dB). Ademas,

T3(ω) = 4 ω3 − 3 ω

de donde,|T3|(s) = 4 s3 + 3 s

Aplicando entonces la Ec.(3.40), y suponiendo R1 = 1, resulta

Zi(s) =D(s)− ε|Tn|(s)D(s) + ε|Tn|(s)

=3.059 s3 + 2.257 s2 + 3.127 s+ 1− 0.765 (4 s3 + 3 s)

3.059 s3 + 2.257 s2 + 3.127 s+ 1 + 0.765 (4 s3 + 3 s)

por lo tanto,

Zi(s) =2.257 s2 + 0.8327 s+ 1

6.118 s3 + 2.257 s2 + 5.421 s+ 1

que coincide con lo que calculamos en la Ec.(3.36).

3.6.4. Ajustes de Parametros y Transposiciones de Frecuencia

En los distintos ejemplos de implementacion que vimos, trabajamos siempre con filtros pasabajos confrecuencia de paso normalizada ωp = 1, y asumiendo que las resistencias R1 y R2 eran de 1 Ohm.

Siempre convendra trabajar de esta manera, y luego ajustar los parametros para modificar la frecuenciade paso, las caracterısticas del filtro y los valores de las resistencia de entrada y salida. A continuacionentonces veremos como realizar estos ajustes.

Ajuste a la Frecuencia de Paso

En los ejemplos que vimos hasta aquı, implementamos siempre filtros de frecuencia normalizada,tomando en todos los casos ωp = 1.

Para volver a una frecuencia de paso generica ωp, deberemos tener en cuenta que

H(s) = H(s/ωp)

y por lo tanto, en la impedancia resultante deberemos hacer

Zi(s) = Zi(s/ωp)

Si hacemos este cambio de variables en la expansion en fracciones simples de la Ec.(3.35), vemos que estoes equivalente a dividir cada componente L y C por la frecuencia ωp.


Cambio en los Valores de Resistencia

En muchos casos es conveniente trabajar asumiendo que R1 = R2 = 1 aunque luego usemos otro valorpara ambas resistencias. De hecho, en muchas tablas se especifican los valores de L y C asumiendo estascondiciones de normalizacion.

Si se disena de esta manera, y luego se utiliza un valor generico de R1 = R2, se puede obtener unaimpedancia equivalente haciendo

Lj = R2 Lj

y

Ck =Ck

R2

para todas las inductancias y capacitores del circuito.Esto tambien se puede deducir de la Ec.(3.35) multiplicando y dividiendo la expansion por R2.

Transposiciones de Frecuencia

La manera mas simple de implementar circuitos pasivos pasaaltos, pasabanda o rechazabanda essiguiendo la idea del diseno de los mismos. Esto es, implementando primero un pasabajos y luego reem-plazando sus elementos de manera que se realicen las transposiciones de frecuencia requeridas.

De Pasabajos a Pasaaltos

Recordemos que cuando tenemos un pasabajos con frecuencia de paso ωp = 1, selectividad k yatenuacion maxima y mınima αmax y αmın; el cambio de variables s → 1/s convierte el filtro en unpasaaltos con identicos parametros.

Una vez implementado el circuito pasabajos, este cambio puede realizarse convirtiendo la impedanciaZi(s) → Zi(1/s). Esta conversion, a su vez, puede llevarse a cabo convirtiendo cada elemento. Para loscapacitores del circuito original, sera,

ZCk(s) =

1

Ck s→ s

Ck

que se corresponde a una inductancia con parametro

Lk =1

Ck

Es decir, los capacitores se transforman en inductancias con parametro L = 1/C.De manera analoga, para las inductancias del circuito original tendremos,

ZLj(s) = Lj s→

Lj

s

que se corresponde a un capacitor con parametro

Cj =1

Lj

Es decir, las inductancias se transforman en capacitores con parametro C = 1/L.La Figura 3.36 muestra la transformacion sobre una red LC arbitraria.Una vez realizada esta transformacion, se deberan dividir los capacitores e inductancias por la fre-

cuencia de paso ωp del pasaaltos.


Figura 3.36: Transformacion de Pasabajos a Pasaaltos de un Filtro Pasivo Escalera LC

De Pasabajos a Pasabanda

Vimos anteriormente que cuando tenemos un pasabajos con frecuencia de paso ωp = 1, selectividad ky atenuacion maxima y mınima αmax y αmın; el cambio de variables

s→ 1

B(s

ω0+ω0

s)

convierte al filtro en un pasabandas, con frecuencia central ω0, ancho de banda relativo B, selectividad ky atenuacion maxima y mınima αmax y αmın.

Procediendo como antes, este cambio de variables se puede hacer directamente sobre los componentesdel filtro pasabajos. Para los capacitores del circuito original, sera,

ZCk(s) =

1

Ck s→ 1

Ck

B(s

ω0+ω0

s)

=1

Ck s

B ω0+CK ω0

B s

Esto se corresponde al paralelo entre un capacitor con parametro

Cm =Ck

B ω0

y un inductor con parametro

Lm =B

Ck ω0

Para los inductores del cirucito original, en tanto, tendremos

ZLj(s) = Lj s→

Lj

B(s

ω0+ω0

s) = (

Lj s

B ω0+Lj ω0

B s)

Esto se corresponde a la serie entre un inductor con parametro

Lm =Lj

B ω0

y un capacitor con parametro

Cm =B

Lj ω0

La Figura 3.37 muestra la transformacion de PB a PBn sobre una red LC arbitraria.


Figura 3.37: Transformacion de Pasabajos a Pasabanda de un Filtro Pasivo Escalera LC

De Pasabajos a Rechazabanda

Cuando tenemos un pasabajos con frecuencia de paso ωp = 1, selectividad k y atenuacion maxima ymınima αmax y αmın; el cambio de variables

s→ B

s

ω0+ω0

s

convierte al filtro en un rechazabandas, con frecuencia central ω0, ancho de banda relativo B, selectividadk y atenuacion maxima y mınima αmax y αmın.

Procediendo como antes, esta transformacion convierte la impedancia de los capacitores en

ZCk(s) =

1

Ck s→ 1

Ck B

(

s

ω0+ω0

s

)

=s

Ck B ω0+

ω0

Ck B s

Esto se corresponde a la serie entre una inductancia con parametro

Lm =1

Ck B ω0

y un capacitor con parametro

Cm =Ck B

ω0

Por otro lado, la transformacion aplicada a una inductancia la convierte en:

ZLj(s) = Lj s→

Lj B

s

ω0+ω0

s

=1

s

Lj B ω0+

ω0

Lj B s

que se corresponde al paralelo entre un capacitor con parametro

Cm =1

Lj B ω0


y una inductancia con parametro

Lm =Lj B

ω0

La Figura 3.37 muestra la transformacion de PB a RBn sobre una red LC arbitraria.

Figura 3.38: Transformacion de Pasabajos a Rechazabanda de un Filtro Pasivo Escalera LC



[P3.1] Diseno de un Filtro PasabajosSobre una lınea se encuentran montadas simultaneamente una senal de audio (comprendida entre los

20Hz y 20kHz) y senales de monitoreo de alarmas en las frecuencias superiores. Con el objetivo de poderrecuperar estas ultimas, se pretende disenar un filtro Butterworth pasaaltos que cumpla con las siguientesespecificaciones de diseno.

Maxima atenuacion en la banda de paso (αmax): 1.5dB

Mınima atenuacion en la banda de corte (αmin): 10dB

Selectividad (k): 0.6

Frecuencia de paso (ωp): 22KHz

Se pide:

1. Dibujar la plantilla de atenuacion y la correspondiente a la funcion caracterıstica del filtro confrecuencia normalizada.

2. Calcular el mınimo orden que debera tener el filtro para poder cumplir con las especificaciones.

3. Obtener la funcion transferencia normalizada H(s) y dejar planteada la expresion de la FT H(s).

4. Dibujar el diagrama de Bode.

5. Proponer un esquema circuital (con todos sus componentes calculados) que implemente el filtro,considerando R1 = R2 = 100Ω.

[P3.2] Diseno de un Filtro RechazabandaUna senal tiene una componente de ruido en torno a 1kHz que se desea eliminar. Dado que la senal

tienen componentes utiles por debajo y por encima de esta frecuencia, se pretende atenuar dicha compo-nente implementando un filtro Chebyshev rechazabanda.

Se pide entonces, repetir todos los puntos pedidos en el Problema P4.3, pero cumpliendo en este casocon las siguientes especificaciones:

Frecuencia central (ω0): 1kHz.

Ancho de banda relativo (B): 0.1

Selectividad (k): 0.7

Maxima atenuacion en la banda de paso (αmax): 1dB

Mınima atenuacion en la banda de rechazo (αmin): 10dB

[P3.3] Sıntesis de una Onda Senoidal Una forma de obtener un senal senoidal de frecuencia fsconsiste en generar una onda cuadrada u(t) a dicha frecuencia y atenuar los armonicos superiores.

Recordemos que la representacion en serie de Fourier de una onda cuadrada de frecuencia fs que oscilaentre 1 y -1 es la siguiente:

u(t) =4

π

∞∑

k=1

sin ((2k − 1)2πfst)

2k − 1

Proponemos entonces disenar un filtro pasabajos de Butterworth que atenue como maximo 1dB lafrecuencia fundamental fs y como mınimo 20 dB los restantes armonicos (notar que en la expresion dela serie de Fourier solo aparecen los armonicos impares).

Para esto se pide:


1. Dibujar la plantilla de atenuacion del filtro a disenar.

2. Calcular la selectividad.

3. Obtener el mınimo orden del filtro.

4. Calcular la FT normalizada.

5. Proponer un esquema circuital que implemente el filtro.

[P3.4] Sıntesis de una Onda Senoidal IIRespecto al problema P3.3, que senal se obtendrıa si en lugar de usar un filtro PB, se utilizara un

pasabanda con las siguientes especificaciones

ω0 = 2π3fs

B = 2πfsc

αmax = 1

αmin = 20

k = 0.4

Obtenga la plantilla del filtro PBn que cumpla con las especificaciones y analice los siguientes puntos

1. ¿Cuanto espera que se atenue como mınimo el primer armonico?

2. ¿Cuanto espera que se atenue como maximo el tercer armonico?

3. ¿Cuanto espera que se atenue como mınimo el quinto armonico?

Construya un filtro Chebyshev que cumpla con las especificaciones dadas del PBn (FT Normalizada yesquema circuital con R1 = R2 = 50Ω).

[P3.5] Diseno de un Filtro para Subwoofer Se desea disenar un filtro pasabajos de segundo ordentipo Butterworth para colocarlo entre la salida de un amplificador de potencia cuya impedancia de salidaes de 8Ω y un subwoofer de impedancia 8Ω. Dada las caracterısticas de respuesta en frecuencia delsubwoofer, se pretende obtener una frecuencia de paso ωp = 2 π 150. Ademas, se pretende que la maximaatenuacion en la banda de paso sea αmax = 2dB

1. Escribir la funcion transferencia normalizada del filtro pedido.

2. Obtener la funcion transferencia del filtro.

3. Si se considera una banda de transicion de 150Hz de ancho, calcular la selectividad y la mınimaatenuacion en la banda de corte.

4. Dibujar la plantilla de atenuacion del filtro.

5. Realizar el esquema circuital del filtro calculando todos sus componentes (tener en cuenta los valoresde R1 y R2 proporcionados).

[P3.6] Diseno de un Filtro para Subwoofer IIRepetir el problema P3.5 pero disenando en este caso un filtro tipo Chebyshev.

[P3.7] Filtro de ChebyshevDeterminar el mınimo valor que debe tener ωp para que una aproximacion de Chebyshev de orden 4

cumpla la plantilla de la figura 3.39.


Figura 3.39: Plantilla de atenuacion

Capıtulo 4

Filtros Digitales

En gran partes de las aplicaciones modernas que requieren filtrar senales, el diseno y la implementacionde los filtros se realiza en el dominio digital.

Los filtros digitales tienen varias ventajas sobre los analogicos:

No sufren problemas de dispersion parametrica.

Pueden implementarse de manera muy simple filtros de orden muy alto y de mucha complejidad,alcanzando gran selectividad.

Pueden trabajar a frecuencias arbitrariamente bajas.

Excepto por la cuantizacion en la conversion A/D y D/A, no tienen componentes que agreguenruido.

Sin embargo, los filtros digitales muestran tambien algunas desventajas:

No pueden trabajar a frecuencias muy altas, ya que esto requerirıa muestrar con una tasa imposiblede alcanzar en la practica.

En casos simples, tienen un costo mas elevado que los analogicos.

Generalmente introducen retardos que pueden llegar a ser apreciables en algunas aplicaciones.

Veremos a continuacion los principios de los filtros digitales y su diseno.

4.1. Principios Basicos del Filtrado Digital de Senales

4.1.1. Representacion de los Filtros Digitales

Teniendo en cuenta que trabajaremos con sistemas lineales y estacionarios de tiempo discreto, y queanalizaremos unicamente sus caracterısticas entrada/salida; utilizaremos como modelo de los filtros suFuncion Transferencia Discreta.

Siguiendo con la notacion de los filtros analogicos, utilizaremos H(z) para denotar la FTD del filtro,y definiremos:

A(ω) = |H(ejω)|como la amplitud de la respuesta en frecuencia y

θ(ω) = ∠H(ejω)

como la fase correspondiente.Notar que A(ω) y θ(ω) son la amplitud y fase de la transformada de Fourier de la respuesta al impulso

del filtro.Tambien utilizaremos eventualmente la amplitud de la respuesta en frecuencia en decibeles:

α(ω) = 20 log10(A(ω))

181

CAPITULO 4. FILTROS DIGITALES 182

4.1.2. Muestreo de Senales Analogicas

En la mayor parte de las aplicaciones, las senales digitales de entrada a los filtros provendran delmuestreo de una senal analogica. La Figura 4.1 muestra un esquema tıpico del filtrado digital de unasenal analogica.

Figura 4.1: Esquema de Filtrado Digital de una Senal Analogica

Dado que las caracterısticas de respuesta en frecuencia que pediremos para el filtro con FT H(z)deberan tener relacion con el contenido espectral de la senal analogica u(t), es importante tener encuenta la relacion entre los espectros de u(t) y de us(k) = u(k Ts), donde Ts es el perıodo de muestreo.

La Fig.4.2 muestra el espectro de una senal analogica u(t) y de la senal muestreada correspondienteus(k). El espectro de la senal muestreada siempre sera periodico con perıodo 2π.

Figura 4.2: Espectro de una senal analogica y su version muestreada.

En este caso, puede verse que la senal analogica no tiene componentes con frecuencias por encima deω = π/Ts. De esta manera, no se produce aliasing y el espectro de la senal muestreada se correspondecon el de la continua.

Para que esta condicion se cumpla, en general deberemos agregar un filtro pasabajos, denominadofiltro antialias, antes de muestrear la senal que remueva el contenido espectral que este por encima de lamitad de la frecuencia de muestreo.

Esto filtro antialias, obviamente, debera ser analogico.Es importante tener en cuenta que una frecuencia de ω radianes por segundo del espectro analogico

se traduce en una frecuencia de Ts ω en el espectro digital.

4.1.3. Filtros Digitales Ideales

La Figura 4.3 muestra la amplitud de la respuesta en frecuencia de los distintos tipos de filtrosdigitales.

Consideremos entonces un filtro digital pasabajos ideal, cuya respuesta en frecuencia es tal que

H(ejω) =

1 si 0 ≤ ω ≤ ωc

0 si ωc < ω < π


Figura 4.3: Respuesta en Frecuencia de los Filtros Ideales.

Puede verse facilmente, a traves de la transformada inversa de Fourier de tiempo discreto, que la respuestaal impulso de dicho filtro sera:

h(k) =ωc

πsinc(ωc k)

La Fig.4.4 muestra esta respuesta al impulso para ωc = π/4. Como puede observarse, el sistemaresulta no causal, lo que demuestra que al igual que en el caso analogico, los filtros digitales ideales noson fısicamente realizables.

Como veremos mas adelante, podremos retrasar esta respuesta en el tiempo hasta que h(k) sea de-spreciable para k < 0 y utilizar un filtro causal que replique el comportamiento para k ≥ 0. Esto, sibien implicara utilizar un orden muy alto para el filtro, no implicara un problema de implementacion yaque en el dominio digital no tenemos grandes limitaciones al respecto. Como contrapartida, dicho filtroimpondra un retardo importante.

4.1.4. Tipos de Filtros Digitales

Los filtros digitales se pueden dividir en dos grandes categorıas, de acuerdo a la forma de su respuestaal impulso.


−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50−0.10

−0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

k

hPB(k)

Figura 4.4: Respuesta al Impulso de un Filtro Pasabajos Ideal

Por un lado, encontramos los filtros de Respuesta al Impulso Finita, o filtros FIR (por finite impulseresponse). Por otro lado, estan los filtros de Respuesta al Impulso Infinita o filtros IIR (por infiniteimpulse response).

Los filtros FIR responden siempre a una Ecuacion en Diferencias de la forma:

y(k) = b0 u(k) + b1 u(k − 1) + · · ·+ bn u(k − n) (4.1)

puede verse facilmente que cuando la entrada u(k) es un impulso discreto, resulta y(k) = 0 para todok > n.

Aplicando la transformada Z a la Ecuacion 4.1, resulta

Y (z) = (b0 + b1z−1 + · · ·+ bn z

−n) U(z)

de donde, la FTD del filtro resulta

H(z) =Y (z)

U(z)= b0 + b1z

−1 + · · ·+ bn z−n =

b0zn + b1z

n−1 + · · ·+ bnzn

Por otro lado, los filtros IIR responden a una ED generica

y(k) = b0 u(k) + b1 u(k − 1) + · · ·+ bn u(k − n)− a1 y(k − 1)− · · · − an y(k − n) (4.2)

donde al menos alguno de los ai es no nulo. Es decir, en los filtros IIR la salida en el instante actualdepende explıcitamente de la salida en instantes anteriores.

Procediendo como antes, resulta la FTD,

H(z) =Y (z)

U(z)=b0z

n + b1zn−1 + · · ·+ bn

zn + a1zn−1 + · · ·+ an

Los filtros FIR, como veremos, pueden ofrecer una respuesta lineal en la fase. Por otro lado, los filtrosIIR muestran mejor selectividad.

Normalmente, los filtros FIR se disenan directamente en el dominio discreto mientras los filtros IIRsuelen implementarse como aproximaciones a filtros analogicos previamente disenados.


4.2. Diseno de Filtros de Respuesta al Impulso Finita

Hay varias formas de disenar filtros FIR. Las mas utilizadas son el diseno con ventanas y el disenopor muestreo en frecuencia.

En el primer caso, se busca la respuesta al impulso del filtro ideal y luego se la retarda y se eliminanlas muestras para k < 0 multiplicando para esto la respuesta ideal por una ventana.

En el segundo caso, se eligen valores muestreados de la respuesta en frecuencia H(ejω) para ω =0,∆ω, 2 ∆ω, · · · , π, y luego se busca la FTD que responde a dichos requisitos.

En este curso abarcaremos solamente el diseno con ventanas.Como mencionamos antes, los filtros FIR tienen la ventaja de poder ofrecer una fase lineal en la

banda de paso. Por lo tanto, en ambas formas de diseno se comienza planteando que la FTD resultantecumplira con esta propiedad.

4.2.1. Filtros FIR Simetricos y Antisimetricos

Cuando planteamos la FTD de un filtro FIR, habıamos llegado a la forma

H(z) =Y (z)

U(z)= b0 + b1z

−1 + · · ·+ bn z−n =

b0zn + b1z

n−1 + · · ·+ bnzn

Recordando la definicion de la transformada Z, puede verse facilmente que los coeficientes bk no son sinola respuesta al impulso en el instante k, es decir, bk = h(k).

La pregunta es entonces, ¿que condicion tenemos que imponer a la respuesta al impulso h(k) paraque la fase de H(ejω) resulte lineal?.

Reescribamos para esto

H(ejω) = h(0) + h(1)e−jω + h(2)e−j2ω + · · ·+ h(n− 1)e−j(n−1)ω + h(n)e−jnω

podemos multiplicar ambos miembros por ejωn/2, de donde

H(ejω)ejωn/2 = h(0)ejωn/2 + h(1)e−jω+jωn/2 + h(2)e−j2ω+jωn/2 + · · ·+ · · ·+ h(n− 1)e−j(n−1)ω+jωn/2 + h(n)e−jnω+jωn/2

Operando, resulta,

H(ejω)ejωn/2 = h(0)ejωn/2 + h(1)e−jω+jωn/2 + h(2)e−j2ω+jωn/2 + · · ·+ · · ·+ h(n− 1)ejω−jωn/2 + h(n)e−jωn/2

(4.3)

donde puede verse que el termino que multiplica a h(0) es el conjugado del que multiplica a h(n). Tambien,el que multiplica a h(1) es el conjugado del que multiplica a h(n− 1) y ası sucesivamente.

Por lo tanto, si tomamos h(n) = h(0), h(n − 1) = h(1), etc., tendremos que el lado derecho de laEc.(4.3) sera un numero real B(ω).

Luego, la respuesta en frecuencia sera

H(ejω) = B(ω) e−jωn/2

que es lineal en la frecuencia, al menos mientras B(ω) no cambie de signo. Las relaciones

h(n) = h(0); h(n− 1) = h(1); h(n− 2) = h(2) (4.4)

se denominan condiciones de simetrıa. Los filtros FIR que cumplan con las mismas se denominaran enconsecuencia Filtros Simetricos y tendran una fase lineal con la frecuencia en la banda de paso.

Si tomamos en cambio h(n) = −h(0), h(n − 1) = −h(1), etc., tendremos que el lado derecho de laEc.(4.3) sera un numero imaginario puro jB(ω).

Luego, la respuesta en frecuencia sera

H(ejω) = jB(ω) e−jωn/2 = B(ω) e−j(ωn/2+π/2)


que tambien es lineal en la frecuencia. Las relaciones

h(n) = −h(0); h(n− 1) = −h(1); h(n− 2) = −h(2) (4.5)

se denominan condiciones de antisimetrıa. Los filtros FIR que las verifiquen se denominaran FiltrosAntisimetricos y tambien tendran fase lineal con la frecuencia en la banda de paso.

En este ultimo caso, cuando n sea par la condicion de antisimetrıa impone que h(n/2) = −h(n/2) dedonde h(n/2) = 0.

En general, la eleccion de un filtro simetrico o asimetrico dependra del tipo de filtro. Para los filtrospasabajos, por ejemplo, debera elegirse un filtro simetrico ya que en uno asimetrico resultara H(ej0) =H(1) = 0.

4.2.2. Respuesta al Impulso de los Filtros Ideales

Como ya anticipamos, una manera de disenar filtros FIR es aproximando la respuesta al impulso deun filtro ideal de manera que resulte causal. Para esto, se multiplica dicha respuesta por una senal deduracion finita denominada ventana y se retrasa dicho producto para que la senal resulte causal.

Comenzaremos entonces analizando la respuesta de los filtros ideales, y luego presentaremos las dis-tintas ventanas.

La respuesta al impulso de los filtros ideales se puede calcular a partir de la inversa de la transformadade Fourier de tiempo discreto de la respuesta en frecuencia, esto es,

h(k) =

∫ π

−π

H(ejω)ejωkdω

Filtro Pasabajos

Para el caso del pasabajos, recordando que HPB(ejω) = 1 para −ωc ≤ ω ≤ ωc, resulta,

hPB(k) =ωc

πsinc(ωc k) (4.6)

Filtro Pasaaltos

Para un pasaaltos ideal, podemos calcular su respuesta en frecuencia como HPA(ejω) = 1−HPB(e

jω).Por lo tanto, la respuesta al impulso es

hPA(k) = δ(k)− ωc

πsinc(ωc k) (4.7)

Filtro Pasabanda

La respuesta en frecuencia de un pasabanda ideal, en tanto, se puede pensar como la diferencia entrelas respuestas en frecuencia de dos pasabajos. Por lo tanto,

hPBn(k) =ωc2

πsinc(ωc2 k)−

ωc1

πsinc(ωc1 k) (4.8)

con ωc2 > ωc1 .

Filtro Rechazabanda

La respuesta en frecuencia de un rechazabanda ideal puede pensarse como HRBn = 1 − HPBn, dedonde,

hRBn(k) = δ(k)− ωc2

πsinc(ωc2 k) +

ωc1

πsinc(ωc1 k) (4.9)

La Figura 4.5 muestra respuestas al impulso de filtros ideales de los cuatro tipos. Los parametros dedichos filtros son ωc = ωc2 = π/4 y ωc1 = π/6.


−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50−0.10

−0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Pasabajos

hPB(k)

Pasaaltos

hPA(k)

Pasabanda

hPBn(k)

Rechazabanda

kk

kk

hRBn(k)

Figura 4.5: Respuestas al Impulso de Filtros Ideales

4.2.3. Diseno con Ventanas de Filtros de Fase Lineal

Como mencionamos antes, la idea basica del diseno con ventanas es tomar la respuesta al impulsode un filtro ideal y multiplicarla por una funcion de duracion finita, para luego retrasar el resultado demanera de tener una respuesta caulsa al impulso.

Teniendo en cuenta que la respuesta al impulso de los filtros ideales es simetrica, podemos lograr lacondicion de simetrıa de la Ec.(4.4) multiplicando dichas respuestas por ventanas w(k) que cumplan

w(k) = w(−k); para k = 0, 1, · · · , n/2w(k) = w(−k) = 0; para k > n/2

(4.10)

donde n es un numero par. Luego, para que la respuesta al impulso del filtro resulte causal deberemosretrasar la senal resultante en n/2.

Supongamos entonces que la respuesta al impulso del filtro ideal es hFI(k). Definiendo entonces

h(k) = hFI(k − n/2) w(k − n/2) (4.11)

puede verse que la respuesta al impulso del nuevo filtro h(k) cumple la condicion de simetrıa de la Ec.(4.4).La FTD del filtro resultante podra escribirse como

H(z) =Y (z)

U(z)= h(0) + h(1)z−1 + · · ·+ h(n) z−n =

h(0)zn + h(1)zn−1 + · · ·+ h(n)

zn(4.12)

y su respuesta en frecuencia podra calcularse directamente desde H(ejω) o bien como la convolucion dela respuesta en frecuencia del filtro ideal con la respuesta en frecuencia de la ventana w(k).


Notar que si el orden del filtro es n, la respuesta al impulso h(k) tendra n+ 1 componentes no nulos.Por lo tanto, se dice que la longitud del filtro es n+ 1.

El diseno por ventanas entonces se resume a

Calcular la respuesta al impulso hFI(k) del filtro ideal, con alguna de las Ecs.(4.6)–(4.9), segun setrate de PB, PA, PBn o RBn.

Definir el orden n (par) del filtro y una ventana w(k) simetrica que cumpla con la Ec.(4.10).

Calcular la respuesta al impulso h(k) como el producto retrasado de hFI y de w, segun la Ec.(4.11).

Determinar la FTD segun la Ec.(4.12).

Veremos entonces las distintas maneras de definir las ventanas w(k) y el efecto que tienen sobre el filtroresultante.

Ventana Rectangular

La ventana mas simple consiste en tomar

w(k) =

1 si |k| ≤ n/2

0 en otro caso(4.13)

Esta ventana se denomina ventana rectangular. La Figura 4.6 muestra la obtencion de la respuesta alimpulso del filtro resultante para ωc = π/4 y n = 40, esto es, tomando una ventana entre −20 y 20.

−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50−0.10

−0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 500.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50−0.10

−0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50−0.10

−0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Pasabajos Ideal

hPB(k)

Ventana Rectangular

w(k)

Producto de hPB(k) y w(k)

w(k)·h

PB(k)

Filtro FIR Resultante

kk

kk

h(k)

Figura 4.6: Obtencion de la Respuesta al Impulso de un Filtro FIR Pasabajos con Ventana Rectangular


−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

ω

|H(e

jω)|

Figura 4.7: Amplitud de la Respuesta en Frecuencia de un Filtro FIR con Ventana Rectangular para ωc = π/4y n = 40

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

−0

ω

∠H(e

jω)

Figura 4.8: Fase de la Respuesta en Frecuencia de un Filtro FIR con ventana rectangular para ωc = π/4 yn = 40

La Figura 4.7 muestra la amplitud de la respuesta en frecuencia del filtro correspondiente, mientrasque la Fig.4.8 muestra la fase. En esta ultima figura puede apreciarse claramente la linealidad de la faseen la banda de paso.

La amplitud de la respuesta en frecuencia muestra oscilaciones tanto en la banda de paso como en lade corte. Estas oscilaciones se deben naturalmente al uso de la ventana.

Una manera de entender las mismas, es recordar que la respuesta en frecuencia del filtro FIR puede


calcularse como la convolucion de las respuestas en frecuencia del filtro ideal y de la ventana rectangular.Esta ultima, para el caso n = 40, puede verse en la Fig.4.9.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40

5

10

15

20

25

30

35

40

45

ω

|W(e

jω)|

Figura 4.9: Amplitud de la Respuesta en Frecuencia de una Ventana Rectangular con n = 40

Para que la respuesta en frecuencia del filtro FIR se aproxime a la ideal, la respuesta de la ventanadebera aproximarse a un impulso. Sin embargo, la grafica de la Figura 4.9 contiene varios lobulos alcostado de la frecuencia central, los que distorsionan el resultado de la convolucion.

Naturalmente, tomando ordenes mas altos, la respuesta en frecuencia se aproximara mas a la ideal. Porejemplo, para n = 100, manteniendo la frecuencia de corte ωc = π/4, resulta la respuesta en frecuenciade la Fig.(4.10). Sin embargo, esta mejora se paga con mayor uso de memoria, mayor costo de calculos ycon mayor retardo en el filtro digital.

Ventana Triangular

El uso de una ventana triangular mejora la respuesta en frecuencia que se obtiene utilizando la ventanarectangular.

La ventana triangular se puede definir como:

w(k) =

1− 2|k|n+1 si |k| ≤ n/2

0 en otro caso

La Fig.4.11 muestra la respuesta en frecuencia de un filtro FIR disenado con esta ventana triangulartomando n = 40. Puede observarse la mejora de dicha respuesta respuesto de la que se obtiene con laventana rectangular.

Ventana de Von Hann

Una ventana que mejora las anteriores es la ventana de Von Hann, cuya definicion es:

w(k) =

cos2(kπ/n) si |k| ≤ n/2

0 en otro caso

La Fig.4.12 muestra la respuesta en frecuencia de un filtro FIR disenado con una ventana de Von Hann,tomando n = 40. Puede observarse la mejora de dicha respuesta respuesto de la que se obtiene con lasventanas rectangular y triangular.


−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

ω

|H(e

jω)|

Figura 4.10: Amplitud de la Respuesta en Frecuencia de un Filtro FIR con Ventana Rectangular para ωc = π/4y n = 100

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

ω

|H(e

jω)|

Figura 4.11: Amplitud de la Respuesta en Frecuencia de un Filtro FIR Pasabajos con Ventana Triangular paraωc = π/4 y n = 40

Ventana de Hamming

Finalmente, una ventana que mejora las caracterısticas anteriores es la de Hamming, cuya definiciones:


−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

ω

|H(e

jω)|

Figura 4.12: Amplitud de la Respuesta en Frecuencia de un Filtro FIR Pasabajos con Ventana de Von Hannpara ωc = π/4 y n = 40

w(k) =

0.54 + 0.46 cos(2kπ/n) si |k| ≤ n/2

0 en otro caso

La Fig.4.13 muestra la respuesta en frecuencia de un filtro FIR disenado con una ventana de Hamming,tomando n = 40. Puede observarse la mejora de dicha respuesta respuesto de la que se obtiene con todaslas otras ventanas.

Si bien la ventana de Hamming mejora varios aspectos de la respuesta en frecuencia, la transicionentre las bandas de corte y de paso es menos abrupta para un mismo orden.

Otras Ventanas

Ademas de las ventanas vistas, existen otras, cada una con distintas caracterısticas, ventajas y desven-tajas. Entre ellas podemos mencionar las de Blackman, Kaiser, Lanczos, Tukey entre otras.

4.3. Diseno de Filtros de Respuesta al Impulso Infinita

Los filtros IIR se disenan generalmente como aproximacion de filtros analogicos.Si bien hay distintos metodos para discretizar un filtro analogico, la manera mas eficiente y simple

de hacerlo es mediante el uso de la transfomacion bilineal, ya que la misma preserva la estabilidadindependientemente de la frecuencia de muestreo que se utiliza.

Dicha transformacion es el resultado de aplicar un metodo de integracion numerica denominado ReglaTrapezoidal.

4.3.1. Regla Trapezoidal

Cuando querıamos simular un sistema continuo, dado por las Ecuaciones de Estado

x(t) = f(x(t), t) (4.14)


−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

ω

|H(e

jω)|

Figura 4.13: Amplitud de la Respuesta en Frecuencia de un Filtro FIR Pasabajos con Ventana de Hammingpara ωc = π/4 y n = 40

habıamos visto que podıamos aproximar dichas ecuaciones por Ecuaciones de Estado Discretas utilizandodistintos metodos numericos. Entre ellos encontrabamos el metodo de Forward Euler

xk+1 = xk + h f(xk, tk)

y el de Backward Eulerxk+1 = xk + h f(xk+1, tk+1)

Por lo tanto, si queremos aproximar un filtro analogico con cierta FT a la que correspondera un sistemade EE/ES dado, podrıamos pensar en estos metodos como alternativas para obtener la discretizaciondeseada.

Desafortunadamente, el metodo de Forward Euler suele dar resultados inestables cuando se utiliza unpaso no muy pequeno. Esto trae como consecuencia que si discretizamos un filtro en base a este metodo,el filtro digital resultante sera inestable a menos que utilicemos un perıodo de muestreo muy pequeno.

El metodo de Backward Euler, por el contrario, tiende a estabilizar de mas los sistemas. Como con-secuencia, los modos subamortiguados del sistema continuo aparecen sobreamortiguados en el discreto,a menos que se utilice un paso muy pequeno. Dado que en los filtros es crucial preservar la respuesta enfrecuencia, esta sobre estabilizacion es tambien un efecto indeseado.

Hay un metodo, denominado regla trapezoidal, que preserva las caracterısticas de estabilidad de maneramucho mas conveniente, ya que mapea el semiplano izquierdo del plano s en el interior del cırculo unitariodel plano z. Dicho metodo se corresponde a la formula

xk+1 = xk +h

2[f(xk, tk) + f(xk+1, tk+1)]

y es un algoritmo implıcito de segundo orden.Si consideramos un sistema lineal y estacionario (como lo son los filtros), tenemos las EE:

x(t) = A x(t) +B u(t) (4.15)

aplicando la regla trapezoidal, tenemos las EED:

x(k + 1) = x(k) +h

2(A x(k) +B u(k) +A x(k + 1) +B u(k + 1))


y tomando la transformada Z de esta ultima expresion, resulta,

z X(z) = X(z) +h

2(A X(z) +B U(z) + A z X(z) +B z U(z))

de donde,

(z − 1) X(z) =h

2(z + 1) (A X(z) +B U(z))

y finalmente,2 (z − 1)

h (z + 1)X(z) = A X(z) +B U(z) (4.16)

Por otro lado, si transformamos a Laplace la Ec.(4.15), obtenemos,

s X(s) = A X(s) +B U(s) (4.17)

Comparando las Ecs.(4.16) y (4.17) vemos que la discretizacion con la regla trapezoidal equivale a reem-plazar

s→ 2 (z − 1)

h (z + 1)(4.18)

en la relacion entre X y U en los dominios respectivos.Esta transformacion se denomina transformada bilineal, y la inversa de la misma con 2/h = 1 es la

que utilizamos en la estrategia para estudiar estabilidad que presentamos como alternativa al criterio deJury.

La transformacion de la Ec.(4.18) puede verse facilmente que mapea el eje imaginario del planocomplejo s en la circunferencia unitaria del plano complejo z. Ademas mapea el semiplano izquierdo delplano s se mapea en el interior de la circunferencia unitaria del plano z y el semiplano derecho en elexterior. Esto ademas ocurre para cualquier valor de h.

En definitiva, la transformacion bilineal preserva la estabilidad de la discretizacion.

4.3.2. Diseno por Transformacion Bilineal

La idea basica del diseno por Transformacion Bilineal consiste en utilizar una FT continua, general-mente normalizada, y obtener la FTD del filtro digital aplicando la transformada bilineal.

Para conseguir que la respuesta en frecuencia del filtro analogico y el digital coincidan en ciertafrecuencia de ajuste, la transformacion se hace con una constante generica:

s→ cz − 1

z + 1(4.19)

De esta manera, si la FT continua es HC(s), la FTD del filtro discreto sera

HD(z) = HC(cz − 1

z + 1)

y la respuesta en frecuencia del filtro discreto resultara

HD(ejω) = HC(cejω − 1

ejω + 1)

Idealmente, desearıamos que esta ultima respuesta en frecuencia coincida con la del filtro analogicoHC(jω) (con el cambio de escala impuesto por la frecuencia de muestreo). Sin embargo, esto no sera posiblepara todos los valores de frecuencia.

Tomaremos entonces una frecuencia de ajuste ω0 en la que ambas respuestas coincidiran, esto es,pediremos que

HC(jω0) = HD(ejω0Ts) = HC(cejω0Ts − 1

ejω0Ts + 1)


o sea, pedimos en definitiva que

jω0 = cejω0Ts − 1

ejω0Ts + 1

multiplicando y dividiendo el segundo termino por e−jω0Ts/2 resulta,

jω0 = cejω0Ts/2 − e−jω0Ts/2

ejω0Ts/2 + e−jω0Ts/2

de donde,

jω0 = c2j sen(ω0 Ts/2)

2 cos(ω0 Ts/2)

y finalmente,ω0 = c tan(ω0 Ts/2)

Por lo tanto, debemos tomar

c =ω0

tan(ω0 Ts/2)(4.20)

Supongamos por ejemplo que queremos implementar un filtro digital correspondiente a un filtroanalogico de Butterworth de segundo orden, con frecuencia de paso ωp = 10, muestreando con un perıodoTs = 0.1. Buscaremos que las respuestas en frecuencia ajusten para la frecuencia de paso.

La FT del filtro normalizado es

H(s) =1

s2 +√2 s+ 1

El cambio de variables s→ s/ωp permite obtener la FT del filtro.

H(s) = H(s/10) =1

(s/10)2 +√2 (s/10) + 1

Dado que queremos que las respuestas ajusten a la frecuencia ωp = 10, de la Ec.(4.20) resulta

c =10

tan(10 · 0.1/2) =10

0.546

por lo tanto, la FTD del filtro digital sera

HD(z) = H(cz − 1

z + 1) = H(

c

10

z − 1

z + 1) = H(1.83

z − 1

z + 1)

es decir,

HD(z) =1

(1.83 z−1z+1 )

2 +√2 (1.83 z−1

z+1 ) + 1

multiplicando y dividiendo por (z + 1)2, resulta,

HD(z) =z2 + 2 z + 1

6.94 z2 − 4.7 z + 1.76=

0.1441 z2 + 0.2882 z + 0.1441

z2 − 0.6775 z + 0.2539

La Figura 4.14 muestra la amplitud de la respuesta en frecuencia continua y discreta. En dicha graficapuede apreciarse como ambas respuestas coinciden para ωp = 10. Puede notarse tambien que ambasrespuestas coinciden bastante bien en la banda de paso.

La Figura 4.15 muestra las graficas de atenuacion correspondiente, que evidencian aun mas las coin-cidencias en la banda de paso.

Utilizando Matlab, podemos hacer el diseno directamente del filtro digital:


−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 400.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Discreto

Continuo

ω

|HD(e

jωTs)|;

|HC(jω)|

Figura 4.14: Amplitud de la Respuesta en Frecuencia de un Filtro Pasabajos Analogico y su Aproximacion IIRpor Transformacion Bilineal

0 5 10 15 20 25 30−10

0

10

20

30

40

50

60

Continuo

Discreto

ω

αC(ω

);αD(ωTs)(dB)

Figura 4.15: Atenuacion del Filtro Pasabajos Analogico y su Aproximacion IIR por Transformacion Bilineal

>> [N,D]=butter(2,1/pi,’low’)

N =

0.1441 0.2882 0.1441


D =

1.0000 -0.6775 0.2539

El comando ’butter’ como vemos tiene tres argumentos. El primero indica el orden del filtro, en estecaso 2. El segundo indica la frecuencia de paso expresada como fraccion de la mitad de la frecuencia demuestreo. La frecuencia de muestreo es 2π/Ts, por lo tanto, debemos poner ωp/(π/Ts) que en nuestrocaso es 1/π. Finalmente, el tercer parametro indica que se trata de un pasabajos.

Puede observarse la coincidencia de los polinomios numerador y denominados que brinda Matlab conlos que obtuvimos. Esto se debe a que Matlab utiliza la transformacion bilineal para disenar los filtrosdigitales.

Este ejemplo, al tratarse de un filtro de orden bajo, tiene muy poca selectividad. Normalmente losfiltros digitales utilizan ordenes altos, ya que aumentar el orden de un filtro digital solo implica aumentarla memoria y el numero de calculos en el procesador.

Si utilizamos un filtro de Butterworth de orden 10 y repetimos todo el proceso del diseno, resulta unfiltro cuya respuesta en frecuencia es la que se muestra en la Fig.4.16.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

ω

|H(e

jω)|

Figura 4.16: Amplitud de la Respuesta en Frecuencia de un Filtro Pasabajos IIR de Butterworth de Orden 10

La respuesta en frecuencia de este filtro es comparable en cuanto a selectividad con la de los filtrosFIR de orden 41 que vimos antes. Como ya anticipamos, los filtros IIR tienen mejor selectividad que losFIR, pero carecen de una respuesta en fase lineal.

Como sabemos, el filtro de Butterworth tiene poca selectividad. Un filtro de Chebyshev de orden 10,disenado con los mismos parametros y tomando αmax = 0.1dB, al ser discretizado con la transformadabilineal tiene una respuesta en frecuencia como la que muestra la Fig.4.17.


−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

ω

|H(e

jω)|

Figura 4.17: Amplitud de la Respuesta en Frecuencia de un Filtro Pasabajos IIR de Chebyshev de Orden 10con αmax = 0.1dB.



[P4.1] Relacion entre Frecuencias Continua y DiscretaSe diseno un filtro digital pasabajos utilizando como prototipo un filtro continuo pasabajos con fre-

cuencia de paso ωp = 2π1000rad/s. Especifique cual es la frecuencia de paso del filtro digital si el disenose hizo en base al metodo de la transformacion bilineal con periodo de muestreo Ts = 0.2 · 10−3seg.

[P4.2] Diseno de un filtro RBn mediante la transformacion bilinealLas lıneas de distribucion electrica suelen inducir en muchos dispositivos senales de perturbacion de

50 Hz. Para atenuar las mismas, en ocasiones es necesario utilizar filtros. Se pretende disenar entoncesun filtro Chebyshev Rechazabanda que cumpla con las siguientes especificaciones:

selectividad (k): 0.5

Maxima atenuacion en la banda de paso(αmax): 1dB

Mınima atenuacion en la banda de rechazo(αmin): 20dB

Frecuencia central(ω0): 2π50

Ancho de banda relativo (B): 0.2

Se pide:

1. Calcular las frecuencias de paso y de atenuacion.

2. Dibujar la plantilla de atenuacion.

3. Calcular el orden del filtro y escribir la FT normalizada del PB.

4. Realizar los cambios de variables que correspondan para obtener la FT del filtro RBn (no hace faltadesarrollar la expresion).

5. Proponer un esquema circuital (con todos sus componentes calculados) que implemente el filtro,considerando R1 = R2 = 100Ω.

6. Obtener la FTD del filtro digital resultante de utilizar la transformacion bilineal con una frecuenciade muestreo fs = 1 KHz.

[P4.3] Diseno de un Filtro FIR PasaaltosCon el objetivo de recuperar cierta senal de datos inmersa en ruidos de baja frecuencia, se propone

disenar un filtro FIR Pasaaltos de orden n = 6 (es decir, de longitud n+ 1 = 7) con frecuencia de corteωc = 1.2 utilizando una ventana rectangular. En tal sentido:

1. Calcular la FT H(z) del filtro.

2. Calcular la ganancia estatica del filtro digital.

3. Considerando un perıodo de muestreo Ts = 10mseg, indicar cual es la frecuencia de corte en eldominio continuo.

[P4.4] Diseno de un filtro PA mediante la transformacion bilinealEn una dada senal se desean eliminar las componentes de frecuencia inferiores a 50 Hz. Para esto,

se pretende disenar un filtro digital pasaaltos. Como criterio de diseno, se propone calcular un filtroButterworth que cumpla con las siguientes especificaciones:

Frecuencia de paso (ωp)=2π50 rad/seg.

Selectividad k = 0.4.


Maxima atenuacion en la banda de paso (αmax): 1dB

Mınima atenuacion en la banda de rechazo (αmin): 10dB

Se pide:

1. Escribir la FT normalizada del filtro PB.

2. Realizar los cambios de variables que correspondan para obtener la FT del filtro PA (No hace faltadesarrollar la expresion)

3. Proponer un esquema circuital (con todos sus componentes calculados) que implemente el filtro,considerando R1 = R2 = 100.

4. Obtener la FTD del filtro digital resultante de utilizar la transformacion bilineal con un perıodo demuestreo Ts = 2 mseg.

[P4.5] Diseno de filtros FIR utilizando ventanasSe quiere disenar un filtro FIR pasabajos de orden 4 con frecuencia de corte ωc = 0.5 usando una

ventana de Hamming. Para esto:

1. Calcular la respuesta al impulso hi(k) del filtro ideal.

2. Calcular la ventana w(k) sugerida, y obtener la respuesta al impulso hr(k) del filtro a implementar.

3. Calcular la amplitud de la respuesta en frecuencia del filtro para las frecuencias ω = 0, ω = 0.5,ω = 1 y ω = π.

4. ¿Que puede decirse sobre la selectividad de este filtro?.

5. Escribir la ecuacion en diferencias que permite implementar el filtro.

[P4.6] Filtrado de una senal de electrocardiografoLos sistemas para la adquisicion, procesamiento y visualizacion de la senal cardıaca, pueden dividirse

en las siguientes etapas: adquisicion y procesamiento de la senal basadas en diferentes tecnicas de pream-plificacion, amplificacion, filtrado analogo y digital. La Figura 4.18 muestra un esquema de estas etapas.

Figura 4.18: Esquema de Procesamiento de Senales de un Electrocardiografo

La etapa indicada como Amplificacion y Filtrado utiliza un filtro pasabandas, cuyas frecuencias depaso estandar son ωa1

= 0.02Hz y ωa2 = 100Hz.Se buscara disenar un filtro Butterworth que cumpla con las especificaciones mencionadas, y adi-

cionalmente tenga:

Maxima atenuacion en la banda de paso: αmax = 2

Minima atenuacion en las bandas de rechazo: αmin = 20


Selectividad: k = 0.5

Se pide entonces:

1. Calcular la frecuencia central ω0 y el ancho de banda relativo B del filtro. Ademas, determinar lasfrecuencias de atenuacion ωa1,2

.

2. Determinar el orden del filtro.

3. Escribir la FT del PB normalizado.

4. Realizar los cambios de variables que correspondan para obtener la FT del filtro PBn (no hace faltadesarrollar la expresion).

5. Proponer un esquema circuital (con todos sus componentes calculados) que implemente el filtro,considerando R1 = R2 = 100. ¿Que puede decirse de los valores resultantes de capacidades einductancias?.

6. Obtener la implementacion digital del filtro a traves de la transformacion bilineal usando un perıodode muestreo de Ts = 2 mseg.

Bibliografıa

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[10] S. Winder. Analog and Digital Filter Design. Elsevier, Woburn, Massachusetts, 2nd edition, 2002.

202

Apendice A

Algunas Tablas Utiles

A.1. Coeficientes de Butterworth

La siguiente tabla resume los coeficientes del denominador de un filtro pasabajos de Butterworthnormalizado, con FT

H(s) =1

an sn + an−1 sn−1 + · · ·+ a1 s+ a0

n a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a91 1.0000 1.00002 1.0000 1.4142 1.00003 1.0000 2.0000 2.0000 1.00004 1.0000 2.6131 3.4142 2.6131 1.00005 1.0000 3.2361 5.2361 5.2361 3.2361 1.00006 1.0000 3.8637 7.4641 9.1416 7.4641 3.8637 1.00007 1.0000 4.4940 10.098 14.592 14.592 10.098 4.4940 1.00008 1.0000 5.1258 13.137 21.846 25.688 21.846 13.137 5.1258 1.00009 1.0000 5.7588 16.582 31.163 41.986 41.986 31.163 16.582 5.7588 1.0000

A.2. Coeficientes de Chebyshev

Las siguientes tablas resumen los coeficientes del denominador de un filtro pasabajos de Chebyshevnormalizado, con FT

H(s) =1

an sn + an−1 sn−1 + · · ·+ a1 s+ a0

A.2.1. Tabla para αmax = 3 dB

n a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a91 1.0000 0.997632 1.4125 1.2867 1.99533 1.0000 3.7046 2.3833 3.99054 1.4125 3.2305 9.3308 4.6416 7.98105 1.0000 6.5120 8.7622 22.587 9.1702 15.9626 1.4125 5.2174 22.318 22.047 53.085 18.219 31.9247 1.0000 9.3316 19.156 67.158 53.086 122.05 36.293 63.8488 1.4125 7.2125 40.960 60.260 187.29 124.11 275.92 72.397 127.709 1.0000 12.154 33.556 149.02 173.39 496.45 284.08 615.53 144.54 255.39

203

APENDICE A. ALGUNAS TABLAS UTILES 204


n a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a91 1.0000 0.764782 1.2589 1.2295 1.52963 1.0000 3.1270 2.2571 3.05914 1.2589 3.1619 7.6875 4.3820 6.11835 1.0000 5.6208 8.4858 18.349 8.6446 12.2376 1.2589 5.1460 18.880 21.219 42.726 17.161 24.4737 1.0000 8.1312 18.729 56.024 50.882 97.582 34.169 48.9468 1.2589 7.1400 35.114 58.561 154.63 118.62 219.50 68.139 97.8929 1.0000 10.646 32.979 126.18 167.76 406.60 270.92 487.76 136.01 195.78


n a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a91 1.0000 0.508852 1.1220 1.1172 1.01773 1.0000 2.5206 2.0117 2.03544 1.1220 3.0230 5.9186 3.8787 4.07085 1.0000 4.7265 7.9331 13.750 7.6272 8.14166 1.1220 5.0002 15.295 19.575 31.440 15.115 16.2837 1.0000 6.9585 17.866 44.210 46.530 70.867 30.063 32.5668 1.1220 6.9916 29.168 55.156 119.64 107.80 157.82 59.910 65.1329 1.0000 9.1973 31.809 102.43 156.53 309.79 245.09 347.93 119.52 130.26

A.2.4. Tabla para αmax = 0.5 dB

n a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a91 1.0000 0.349312 1.0593 0.99597 0.698623 1.0000 2.1446 1.7506 1.39724 1.0593 2.8656 4.7978 3.3461 2.79455 1.0000 4.2058 7.3192 10.828 6.5530 5.58906 1.0593 4.8330 13.099 17.770 24.277 12.957 11.1787 1.0000 6.3060 16.893 36.840 41.792 53.937 25.737 22.3568 1.0593 6.8205 25.645 51.356 97.651 96.095 118.79 51.243 44.7129 1.0000 8.4165 30.477 87.959 144.10 248.73 217.24 259.57 102.17 89.424

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Teor´ıa de Circuitos II. Notas de Clase – An˜o 2010 · An´asis de Estabilidad con Diagrama de Bode ... las Ecuaciones de Estado y los Diagramas de Bloques. ... La Figura 1.1