15/3/2015 Teoría de estructuras

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm 1/16

Quienes somos Contacto: info@demecanica.com

PRINCIPAL FORO ESTRUCTURAS FORO GEOTECNIA Y CIMIENTOS

CÁLCULO Y NORMATIVA GEOTECNIA Y CIMIENTOS TEORÍA DE ESTRUCTURAS PUBLICACIONES TEXTOS

ARTE Y ESTRUCTURAS ESTRUCTUCIONARIO CONTRIBUCIONES CURSOS ENLACES PODCAST BLOG

Aula de Estructuras:Consulta nuestros cursos especializados en estructuras

www.aulaestructuras.es

TEORÍA DE ESTRUCTURAS

El campo de la Teoría de Estructuras es muy amplio y se encuentra en continua evolución. La disciplina así llamada se ocupa de losdistintos métodos de cálculo de estructuras (métodos para celosías, Cross, cálculo matricial, métodos de los elementos finitos, etc.)

Podéis contribuir con dudas o aportaciones al respecto

Tabla de centros de gravedad y momentos de inercia de figuras simplesEl diagrama Parábola Rectángulo del hormigónBreve reseña del MEFEstudio de los modelos de oscilador con un grado de libertadMatrices y estructurasMecánica de la fractura

Tabla de centros de gravedad y momentos de inercia de figuras simples

Aunque no es como tal un tema de la Teoría de las estructuras, aprovechamos para incluir aquí un

pequeño prontuario con los centros de gravedad y los momentos de inercia de algunas figurassimples: rectángulo, círculo, triángulo, semicírculo, trapecio, curva de segundo grado y curva detercer grado:

15/3/2015 Teoría de estructuras

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm 2/16

15/3/2015 Teoría de estructuras

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm 3/16

El diagrama Parábola­Rectángulo del hormigón

Cuando realizamos cálculos de secciones de hormigón sometidas a solicitaciones normales

necesitamos modelizar la respuesta tensional del hormigón. Para ello podemos trabajar con variosdiagramas, eligiendo entre los que nos permiten las diferentes normas de hormigón. La mayoría,como es el caso de la instrucción EHE española, contemplan el diagrama Parábola­Rectángulo yel diagrama simplificado Rectangular. Sin duda, el diagrama que mejor se adapta alcomportamiento de dicho material, tal y como se ha demostrado mediante ensayosexperimentales es el del Parábola Rectángulo, que supone que las tensiones se pueden describiren función de las deformaciones mediante una función que posee un tramo parabólico y otro"rectangular" (constante).

El cálculo manual con dicha ley de comportamiento (extraer fuerzas y momentos resultantes) estedioso por lo que se deja su uso a los programas informáticos de cálculo, en los que el trabajopesado lo realiza el ordenador, o bien se suele remitir al calculista a literatura especializada quetabula los valores de la integral que define la resultante y su momento en función de ciertosparámetros (ver por ejemplo el libro Hormigón Armado de Jiménez Montoya, Garcia Meseguer yMorán Cabré. Ed. Gustavo Gili).

En general, la gran mayoría de nosotros, como alumnos de las asignaturas de estructuras puedeque estemos más acostumbrados a tratar con el diagrama rectangular que consiste en unasimplificación del Parábola­Rectángulo de manera que mediante un simple rectángulo, (figura conla que estamos muy familiarizados y que posee fácil cálculo de su resultante y por tanto de sumomento resultante), consigamos aproximadamente las mismas soluciones.

Incluso si calculábamos estructuras hace no muchos años y tratamos con la antigua norma EH­91, conozcamos el método del momento tope, invención del insigne Eduardo Torroja, que utilizabaun diagrama rectangular algo diferente al de la actual EHE y con el que se resolvían todas lasfórmulas de cálculo a solicitaciones normales en aquella norma.

Nosotros aquí simplemente vamos a deducir la función del diagrama de Tensión­Deformaciónde cálculo de la Parábola­Rectángulo según la instrucción EHE de una forma intuitiva matemáticay geométrica. Esta ley nos servirá para posteriormente plantear las ecuaciones de equilibrio en unasección cualquiera.

Para ello partiremos del siguiente gráfico que podéis encontrar en la norma, en su artículo 39.5 yen la fig. 39.5.a, en el que como se puede observar destacan dos puntos importantes:

15/3/2015 Teoría de estructuras

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm 4/16

­ El correspondiente a la deformación de rotura del hormigón a compresión (εc=0,002).

­ El correspondiente a la deformación de rotura del hormigón a flexión (εc=0,0035).

Como se observa, ambas comparten la misma abcisa, σc=0,85 fcd. El valor corresponde a laresistencia de cálculo del hormigón a compresión (fcd) afectado por un coeficiente que tiene encuenta los efectos de cansancio del hormigón en la resistencia a compresión (0,85).

Diagrama parábola­rectángulo del hormigón

Para hallar el diagrama definimos como positivas las deformaciones de acortamiento, y lastensiones de compresión, y partimos de la base de que el hormigón no es capaz de soportartracciones. Queda:

1. Tramo parabólico: la parábola se define en el intervalo de deformaciones [0 , 0,002),

mediante la expresión genérica de la cónica parábola:a*εc

2 +b*εc + c

debe cumplirse­ f(0)=0, o lo que es lo mismo, la curva pasa por el origen de coordenadas.­ f(0,002)=0,85 fcd, lo que significa que para la deformación del 2 por mil, la tensión resultante

del hormigón es igual a 0,85 fcd. (fcd es la resistencia de cálculo del hormigón a compresión)

­ f’(0,002)= 0, es decir, no existen puntos angulosos en el encuentro entre el tramo recto y elparabólico por lo que la pendiente en el extremo es horizontal.

Mediante estas tres condiciones y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante se llega a laparábola siguiente:

a= ­212500, b= 850, c= 0f(εc)= ­850*fcd*εc (250*εc+1)

2. Tramo rectangular: el tramo rectangular está definido en [0,002 , 0,0035] y se halladirectamente a partir de la condición de que para toda deformación mayor o igual al 2 pormil la tensión del hormigón vale siempre 0,85 fcd.

f(εc)= 0,85*fcd Como sabemos, a medida que el estado de solicitaciones en la sección se va asemejando más

a la compresión simple, el diagrama Parábola­Rectángulo va “perdiendo” parte del diagramaparabólico y “ganando” tramo rectangular. El caso límite de la compresión simple supone unrectángulo con altura 0,85 fcd, donde todas las fibras alcanzan la deformación de 0,002 y por tantola sección es de rotura (ver art. 42.1.3 de la EHE sobre los dominios de deformación).

En el caso opuesto estarían los planos pertenecientes al dominio 2, más cercanos a su límite conel dominio 1 (cerca de la profundidad de la fibra neutra x=0), en los que la fibra más comprimida

15/3/2015 Teoría de estructuras

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm 5/16

del hormigón no ha alcanzado todavía la deformación de 0,002 por lo que nos encontraremosdiagramas que sólo constan del tramo parabólico ya que no llegan a alcanzar el límite de 0.85fcd.

Diagrama sólo rectángulo del hormigón en situación de compresión simple en límite del dominio 5

Diagrama sólo parábola del hormigón en situación cercana al límite del dominio 2

Similares diagramas existen en otros códigos. Como ejemplo, el Eurocódigo 2 "Proyecto deestructuras de hormigón" proporciona una expresión similar:

f(ε)= 1000*α*fcd*εc (250*εc+1), para el tramo parabólico y

f(ε)= α*fcd, para el tramo rectangular,

que sólo se diferencia en que tanto las tensiones como las deformaciones del hormigón sonconsideradas negativas, y en que el factor que tiene en cuenta el cansancio del hormigón (α ) noaparece predeterminado (si bien ser recomienda en la misma norma utilizar el 0,85).

Diagrama Parábola rectángulo propuesto por el Eurocódigo 2, Parte I­I (Art. 4.2.1.3.3)

15/3/2015 Teoría de estructuras

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm 6/16

Breve reseña del MEF (Método de los elementos finitos).Cuando se produce la llegada de los primeros ordenadores en la década de los 50, el cálculo

de estructuras se encontraba en un punto en el que los métodos de cálculo predominantesconsistían en técnicas de relajación (métodos de Cross y Kani) que se realizaban de maneramanual y por tanto resultaban bastante tediosos. El cálculo de una estructura de edificación devarios pisos, por ejemplo, podía llevar varias semanas, lo cual suponía un coste sustancial detiempo en detrimento de la posibilidad de invertir este en la optimización de la estructura.

La llegada de la computadora permitió el resurgimiento del método de los desplazamientos ya

conocidos en siglos anteriores (Navier, Lagrange, Cauchy), pero que eran difíciles de aplicar dadoque al final conducían a la resolución de enormes sistemas de ecuaciones inabordables desde elpunto de vista manual.

Se instaura entonces el cálculo matricial de estructuras. Éste parte de la discretización de laestructura en elementos lineales tipo barra de los que se conoce su rigidez frente a losdesplazamientos de sus nudos. Se plantea entonces un sistema de ecuaciones resultado de aplicarlas ecuaciones de equilibrio a los nudos de la estructura. Este sistema de ecuaciones seesquematiza de la siguiente manera:

P = k . uDonde las incógnitas son los desplazamientos en los nudos (vector u) que se hallan a partir de las

fuerzas en los nudos (vector P) y de la rigidez de las barras (matiz de rigidez k). Conocidos dichosdesplazamientos es posible determinar los esfuerzos en las barras. La solución obtenida es exacta.

Para la resolución de los sistemas de ecuaciones se potencia el estudio de la adaptabilidad delos algoritmos ya conocidos (Gauss, Cholesky, Crout, Gradiente conjugado, etc). El ahorro detiempo es impensable y con ello el uso del método matricial se extiende. Este desarrollo se haceespecialmente notable en estructuras de edificación donde la discretización de los pórticos enbarras, es prácticamente inmediata a partir de las vigas y los pilares.

Sin embargo, y a pesar de desarrollarse modelizaciones de elementos superficiales mediante

barras (losas con emparrillados, elementos curvos mediante aproximaciones de elementos rectos,etc.), se plantean grandes dificultades ante estructuras continuas (superficies y volúmenes) y congeometrías complejas. De ahí que sea precisamente dentro del campo aeroespacial dondecomiencen a desarrollarse las nuevas técnicas del MEF.

El MEF es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales. Para ello trabajadiscretizando la estructura en elementos de forma variada (pueden ser superficies, volúmenes ybarras), que se conectan entre sí mediante “nodos”. La solución ahora es sólo aproximada enfunción de los resultados obtenidos para los nodos. El MEF parte del cálculo matricial en elplanteamiento del equilibrio en los nodos mediante un sistema de ecuaciones resultado de lacontribución de los elementos.

15/3/2015 Teoría de estructuras

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm 7/16

Dada su generalidad el método se amplió a otros campos no estructurales como la conducciónde calor, la mecánica de fluidos, etc. donde compitió con otros métodos numéricos como el delas diferencias finitas que aún siendo más intuitivos, tenían de nuevo dificultades de planteamientopara geometrías complejas.

Con la llegada de los centros de cálculo y los primeros programas comerciales en los años 60, el

MEF a la vez que se populariza en la industria refuerza sus bases teóricas en los centrosuniversitarios.

En los años 70 se produce un gran crecimiento de la bibliografía así como la extensión delmétodo a otros problemas como los no lineales. Se estudian nuevos tipos de tipos de elementos yse sientan las bases matemáticas rigurosas del método, que había aparecido antes como técnicade la ingeniería que como método numérico de la matemática.

Por último, a partir de la década de los 80, con la generalización de los ordenadores personales,

se extiende el uso de los programas comerciales que se especializan en los diversos campos,instaurándose el uso de pre y postprocesadores gráficos que realizan el mallado y larepresentación gráfica de los resultados. Se continua en el estudio de la aplicación del método anuevos modelos de comportamiento (plasticidad, fractura, daño continuo, etc.) y en el análisis delos errores.

En la actualidad dentro del campo estructural el MEF comparte protagonismo con el método

matricial, siendo muchos los programas que mezclan el análisis por ambos métodos debido sobretodo a la mayor necesidad de memoria que requiere el análisis por elementos finitos. Así se hadejado la aplicación del MEF para el análisis de elementos continuos tipo losa o pantalla, mientrasque los pórticos siguen todavía discretizándose en barras y utilizando el método matricial.

Básicamente los pasos a seguir en el análisis de estructuras mediante el método de los

desplazamientos a través del MEF son:1. El continuo se divide, mediante líneas o superficies imaginarias en un número de elementos

finitos. Esta parte del proceso se desarrolla habitualmente mediante algoritmos incorporados aprogramas informáticos de mallado durante la etapa de preproceso.

2. Se supone que los elementos están conectados entre sí mediante un número discreto depuntos o “nodos”, situados en sus contornos. Los desplazamientos de estos nodos serán lasincógnitas fundamentales del problema, tal y como ocurre en el análisis simple de estructuraspor el método matricial.

3. Se toma un conjunto de funciones que definan de manera única el campo dedesplazamientos dentro de cada “elemento finito” en función de los desplazamientos nodalesde dicho elemento.

Por ejemplo el campo de desplazamientos dentro de un elemento lineal de dos nodospodría venir definido por: u = N1 u1 + N2 u2, siendo N1 y N2 los las funciones comentadas(funciones de forma) y u1 y u2 los desplazamientos en el nodo 1 y en el nodo 2.

4. Estas funciones de desplazamientos definirán entonces de manera única el estado de

15/3/2015 Teoría de estructuras

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm 8/16

deformación del elemento en función de los desplazamientos nodales. Estas deformaciones,junto con las propiedades constitutivas del material, definirán a su vez el estado de tensionesen todo el elemento, y por consiguiente en sus contornos.

5. Se determina un sistema de fuerzas concentradas en los nodos, tal que equilibre las tensionesen el contorno y cualesquiera cargas repartidas, resultando así una relación entre fuerzas ydesplazamientos de la forma F = k . u, que como vemos es similar a la del cálculo matricial.

6. La resolución del sistema anterior permite obtener los desplazamientos en los nodos y con ellosdefinir de manera aproximada el campo de desplazamientos en el elemento finito.

7. En la etapa de postproceso se presentan los resultados, generalmente de forma gráfica parasu análisis.

BIBLIOGRAFÍASi bien con vuestro buscador habitual podréis dar con muchos de los recursos sobre este tema que existen en la Web, aquí os

dejo bibliografía variada, creo que todos disponibles actualmente (2004), desde textos muy matemáticos a otros más estructurales

pasando por algunos de nivel básico, ­que clasificaréis simplemente por sus títulos­, para todos aquellos de vosotros que estéis

interesados en saber más sobre el MEF :

En castellano:

­ ZIENCKIEWICZ, O. C. ­ TAYLOR, R. L. El Método de los Elementos Finitos. Ed. McGraw Hill / CIMNE.

­ ZIENCKIEWICZ, O. C. ­ TAYLOR, R. L. El Método de los Elementos Finitos. Formulación básica y problemas lineales ­Volumen 1­ y

Mecánica de sólidos y fluidos. Dinámica y no linealidad ­Volumen 2­. Ed. McGraw Hill / CIMNE. Cuarta Edición 1994.

­ BELTRÁN, FRANCISCO. Teoría General del Método de los Elementos Finitos. Notas de clase / Curso de Doctorado 1998­1999.

Departamento de Mecánica Estructural y Construcciones Industriales. ETS Ingenieros industriales Madrid.

­ VÁZQUEZ, MANUEL ­ LÓPEZ, ELOISA. El Método de los Elementos Finitos aplicado al análisis estructural. Manuel Vázquez y Eloísa

López. Ed. Noela. Madrid 2001.

­ OÑATE, EUGENIO. Cálculo de estructuras por el Método de los Elementos Finitos. Análisis Estático Lineal. Ed. CIMNE. 1995

­ ALARCÓN ÁLVAREZ, E. ­ ÁLVAREZ CABAL, GÓMEZ LERA, Ma. S. Gómez Lera. Ed. Reverté. 1990.

­ ARGÜELLES ÁLVAREZ, RAMÓN. Fundamentos de elasticidad y su programación por elementos finitos. Ed. Bellisco. Madrid 1992.

­ CHANDRUPATLA, THUPATHI R. ­ BELENDUNGU, ASHOK D. Introducción al Elemento finito en Ingeniería. Ed. Prentice Hall. México,

1999.

­ DE LA ROSA OLIVER, EMILIO. Modelos diferenciales y numéricos en la Ingeniería. Métodos de Fourier; de diferencias y elementos

finitos. Ed. Bellisco. Madrid 1999.

­ PEREA, RICARDO. Introducción al Método de los Elementos Finitos. Ed. Sección Publicaciones de la E.T.S. de Ingenieros

Industriales de la Universidad Politécnica de Madrid.

­ FORNONS GARCÍA, JOSÉ MARÍA. El Método de los Elementos Finitos en la ingeniería de estructuras. Ed. Marcombo ­ Universidad

Politécnica Barcelona.

En inglés:

­ RAO, SINGIRESU S. The finite element Method in engineering. Ed. Butterworth­Heinemann. 1999.

­ BRAESS, DIETRICH. Finite elements. Theory, fast solver, and applications in solid mechanics. Ed. Cambridge. 2001. Segunda

Edición.

­ BUCHANAN, GEORGE R. Finite element Analysis. Ed. Mac­Graw Hill. 1995

15/3/2015 Teoría de estructuras

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm 9/16

­ THOMÉE, VITAR. Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems. Ed. Springer. 1997

­ KATTAN, P.I. Matlab guide to Finite Elements, an interactive approach. Ed. Springer. 2003

­ MOAVENI, SAEED. Finite Element Analysis. Theory and Application with ANSYS. Ed. Prentice Hall. 1999

­ HUTTON, DAVID V. Fundamentals of Finite Element Analysis. Mc Graw­Hill

Estudio de los modelos de oscilador con un grado de libertad. Nociones para el cálculo sísmico

Si queremos entender correctamente las normativas sísmicas, y en nuestro caso la normativaNCSE­02, lo correcto será que entendamos los principios básicos del análisis dinámico (teoría deondas y vibraciones). Para ello vamos a dar aquí las primeras nociones acerca de lascaracterísticas de los movimientos básicos: el movimiento armónico simple, el movimientoarmónico simple amortiguado y al final el caso sísmico. Cada uno de ellos se corresponde con unmodelo de oscilador, de cuyo estudio podemos obtener las bases dinámicas del movimiento.

Existen como hemos dicho tres modelos dinámicos sencillos cuyo estudio nos permitirá el análisisdel modelo sísmico, estos son:

1. El oscilador con vibración libre no amortiguada.2. El oscilador con vibración libre amortiguada.3. El caso sísmico. En todos estos casos suponemos que existe sólo una sola partícula concentra toda la masa y

que puede desplazarse exclusivamente en una dirección, por lo que hablamos de un único gradode libertad.

Aclararemos primero el concepto de vibración libre. Por este se entiende frente al de vibraciónforzada, aquella vibración libre en la que no existe una fuerza impulsora periódica que realimentael movimiento. Veamos el ejemplo con un columpio. Si empujáramos una sola vez la sillita setrataría de una vibración libre, de hecho sería una vibración libre amortiguada dado que elrozamiento terminaría por parar el sistema. El caso de la oscilación forzada la tenemos también enel columpio, cuando cada vez que baja el asiento volvemos a empujarlo. Como se habráexperimentado, de esta segunda manera es más fácil conseguir llegar más arriba.

Pasemos a ver las principales características de dichos modelos: 1. El oscilador con vibración libre no amortiguada OVLNAEste es el oscilador más sencillo, queda definido por las siguientes características mecánicas (ver

figura): Masa m: suponemos concentrada la masa en un punto. Rigidez K, en este caso se identifica con la rigidez de la barra que une a la masa con el suelo.

La rigidez produce una fuerza recuperadora del movimiento, que en nuestro casoconsideraremos elástica (fe=Kx). En estructuras de edificación la K se obtendrá a partir de lafunción de la rigidez a cortante de los pilares, generalmente la suma de las rigideces de estos.

15/3/2015 Teoría de estructuras

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm 10/16

Figura 1. Características fundamentales del OVLNA

En este modelo no se explica la causa inicial del movimiento, suponemos que la partícula sufrióun desplazamiento de su posición de equilibrio que le hizo comenzar a vibrar. A falta deamortiguación el oscilador permanecerá continuamente en movimiento.

Si pusiéramos una lamparilla en el punto donde se encuentra la masa m, y enfocáramos almodelo con una pequeña cámara situada en el techo tal que se desplazara uniformemente ensentido perpendicular al movimiento del oscilador veríamos una gráfica parecida a la de la figura2. En el eje de las ordenadas se representa la posición de la partícula que contiene la masarespecto del tiempo x(t).

Figura 2. Movimiento del OVLNA

Este movimiento sinusoidal se conoce como movimiento armónico simple. Existe una relacióndirecta entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular asociado: un movimientocircular uniforme se proyecta como un movimiento armónico simple en su propio plano –ver figura3­. Es por ello que a la hora de definir las magnitudes que definen el movimiento armónico simpleconviene tener en mente la analogía con el movimiento circular.

Figura 3. Relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular

Veamos pues los parámetros que definen el movimiento: La amplitud A donde se alcanza el máximo desplazamiento.

15/3/2015 Teoría de estructuras

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm 11/16

La pulsación o frecuencia circular w, que es una velocidad angular en la analogía del

movimiento circular y tiene por dimensiones rad/s. Se define como: . El periodo T, que podemos definir simplificadamente como el tiempo transcurrido entre dos

máximos sucesivos (esta distancia se denomina longitud de onda l). En el esquema delmovimiento circular se corresponde con el tiempo que se tarda en recorrer una circunferenciacompleta.

La frecuencia cíclica f, que se define a partir del periodo como:

La frecuencia cíclica por el tiempo que dura el movimiento nos sirve para determinar el

número de ondas generadas: N = f · t. El ángulo de fase inicial del movimiento fo, que al igual que antes se deduce por una

relación con el movimiento circular uniforme, aunque también podemos observar su sentidofísico en la figura 2.

Vamos a estudiar el equilibrio del oscilador. Debemos darnos cuenta de que el movimiento del

oscilador posee aceleración que varía con el tiempo a(t), dado que la partícula llega varía suvelocidad a lo largo del mismo (esta es nula cuando se encuentra en su punto de máximodesplazamiento).

Ahora ya estamos en disposición de analizar el equilibrio. Para ello nos serviremos del principiode D’Alembert: “Un sistema dinámico está en equilibrio cuando todas las fuerzas que actúan en elmismo, incluidas las de inercia, cumplen las ecuaciones de equilibrio estático en cada instante detiempo”.

Por tanto debe cumplirse la segunda ley de Newton, siendo las fuerzas existentes la derecuperación de la barra que suponemos elástica y la de inercia debida a la aceleración de lapartícula. Por tanto, queda:

Figura 4. Equilibrio del OVLNA

fi(t) + fe(t) = 0

*El signo (­) de las fuerzas de inercia surge por el hecho de oponerse a la aceleración. Siendo (I) la ecuación que representa al movimiento del OVLNA. Ésta ecuación podría también

ponerse en función de w:

2. El oscilador con vibración libre amortiguada OVLAEl siguiente modelo será el oscilador con amortiguamiento. Un OVLA queda definido por las

características anteriormente tratadas y además por el amortiguamiento que se definehabitualmente según la ley de Kelvin­Voigt, haciéndose proporcional el amortiguamiento a lavelocidad del movimiento (amortiguamiento viscoso), actuando siempre en sentido contrario aéste. El amortiguamiento viene definido por su constante de amortiguamiento c y la fuerza debidaal amortiguamiento por fa=c x’ siendo x’ la derivada de la posición respecto al tiempo, es decir la

15/3/2015 Teoría de estructuras

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm 12/16

velocidad. Este amortiguamiento viene a simular las características reales de la estructura en laque la oscilación termina desapareciendo debido al rozamiento, las fuerzas de fricción internas y lamisma viscosidad del material.

El modelo queda como sigue:

Figura 5. Características fundamentales del modelo de OVLA

Veamos el funcionamiento del OASA. En un instante dado t0 se desplaza a la partícula de suposición de equilibrio, de modo que el sistema comienza a vibrar. La rigidez de la estructura haceque se produzca una fuerza restauradora y lleve a la masa primero a su lugar original y después aun punto a una distancia algo menor que d en sentido contrario al primero como consecuenciadel amortiguamiento. Este mismo proceso se repite hasta que el oscilador vuelve al reposo.

Figura 6. Análisis del movimiento del OVLA respecto al tiempo

Vamos a estudiar el equilibrio del oscilador. Ahora además de las fuerzas que intervenían en elmodelo anterior, aparece la fuerza de amortiguamiento fa = c·x’ que se opone al movimiento.Queda así:

Figura 7. Equilibrio del OVLA

fi(t) + fe(t) + fa(t)= 0 y sustituyendo el valor de las fuerzas:

15/3/2015 Teoría de estructuras

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm 13/16

Siendo (II) la ecuación que representa al movimiento del OVLA. Es importante dicha ecuacióndado que la mayoría de las normativas trabajan con ella a la hora de establecer las característicasdinámicas de sus modelos con varios grados de libertad. Estas ecuaciones no serán más que lageneralización de la del OVLA a varios grados de libertad (por ej­ el modelo de cortante).

2. El oscilador en el caso sísmico.Este modelo cuyo nombre se ha tomado de la referencia del profesor Barbat (r.1), representa

mejor que los anteriores el comportamiento ante el sismo ya que tiene en cuenta el origen de lavibración. Hasta ahora nuestro modelo estaba en movimiento cuando comenzábamos su estudio,no planteándonos como había surgido dicho desplazamiento. Sin embargo, la vibración de lasestructuras surge como respuesta a la acción de las ondas sísmicas, que vamos a traducir en unmovimiento del terreno que posee una aceleración, una velocidad y un desplazamientodependientes del tiempo ­a(t), v(t), s(t)­. Este supuesto es importante ya que ahora el sistema dereferencia elegido (eje X) no es inercial al estar acelerado lo que influirá en el equilibrio.

Figura 8. Modelo del “caso sísmico”

Haremos un breve comentario acerca de los sistemas no inerciales. No debemos temer a lasfuerzas de inercia, estamos muy acostumbrados a ellas, por ejemplo son aquellas que nos hacencaer cuando no vamos bien agarrados en el vagón del metro; si el vagón acelera parece como sinos empujaran hacia la cola del vagón, al contrario si el vagón frena nuestro cuerpo sigue haciadelante “por inercia”. Esta fuerza de la que en principio parece que desconocemos su origen,tiene su causa en la aceleración del movimiento, de hecho ha estado presente hasta ahora, peronula. Esta fuerza es independiente de la que también es de inercia y se ha consideradoanteriormente debida a la aceleración de la partícula de masa. Ahora la aceleración a tener encuenta es la del modelo completo como sólido rígido deslizando sobre el carrito –ver figura 8­.

Planteemos pues el equilibrio, nótese que el diagrama de fuerzas es el mismo que el del modeloanterior, sólo que en las fuerzas de inercia se incluirá un nuevo término que hace referencia a lanueva aceleración:

Queda: fi(t) + fe(t) + fa(t) = 0

y sustituyendo el valor de las fuerzas:

ecuación que define las ecuaciones de movimiento del caso sísmico y con lo que hemos

completado la exposición introductoria que nos habíamos planteado. Es importante comentar que los modelos anteriores pese a su sencillez ­dado que tan sólo

poseen un grado de libertad, este es, el desplazamiento horizontal en la coordenada X­, son uninstrumento muy útil y el punto de partida para entender sistemas más complejos.

15/3/2015 Teoría de estructuras

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm 14/16

Por otro lado con estos modelos ya podríamos analizar la respuesta dinámica de algunasestructuras: aquellas en las que pudiéramos suponer que su masa está concentrada en un punto, yla rigidez del sus pilares frente a dicho desplazamiento puede asimilarse a la rigidez K de dichooscilador –la rigidez de la barra como hemos supuesto en las figuras­, se podrían estudiar con estosmodelos. Un ejemplo de dichas estructuras pueden ser los depósitos, las torres de control, lospórticos de una altura, etc.

Bibliografía:

r.1 Estructuras sometidas a acciones sísmicas. Cálculo por ordenador. Alex H. Barbat y Juan Miquel Canet. Ed. CIMNE

r.2 Monografías de Ingeniería Sísmica. Conceptos de cálculo de estructuras en las normativas de diseño sismorresistente. Alex H.

Barbat y Sergio Oller. Monografía CIMNE IS­24 1998

r.3 Vibraciones y ondas. A. P. French. Publicación del Massachusetts Institute of Tecnology. Ed. Reverté S.A.

r.4 Problemas de vibraciones en estructuras. Recomendaciones y manuales técnicos. Estructuras y edificación (E­8). Autores

varios. Ed. Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos y ACHE.

r.5 Diseño sísmico de edificios. Bazán y Meli. Ed. Limusa

En qué consiste la Mecánica de la Fractura. Inglis y Griffith.

La mecánica de la fractura es un modelo de estudio del comportamiento de los materiales quese situaría junto a la mecánica del medio continuo (más conocida por todos nosotros), o lamecánica del daño continuo.

La diferencia principal entre estos tres modelos de comportamiento está en el estado de‘deterioro’ en que se encuentra la materia en estudio. Mientras que la mecánica del mediocontinuo trata de simular el comportamiento de materiales sanos o perfectos, la mecánica deldaño continuo analiza los materiales cuando estos poseen microfisuras y la mecánica de lafractura cuando se ha formado ya se ha formado una macrofisura.

Dado que todos los materiales contienen defectos será importante conocer la influencia queestos tienen en la resistencia del material. Se impone así un diseño con la filosofía de adoptartolerancias para tales defectos. También es importante el estudio de la mecánica de la fractura enrelación con la fatiga y el crecimiento de las grietas debidas a ésta.

Esta rama de la mecánica no es nueva, sus comienzos se situan en 1913 cuando C. E. Inglis (1) estudió la rotura de placas con agujeros en su interior a las que sometía a estiramientos por susbordes.

Se trataba de analizar las tensiones que aparecían al estirar una placa infinita con un agujeroelíptico en su interior considerablemente menor que el tamaño de la placa. Tras experimentar condistintas placas y agujeros, Inglis se dio cuenta de que en los bordes de estos (punto A de la figura)las tensiones eran mayores de lo esperado y de que no era la forma del agujero lo quecaracterizaba la rotura, sino la longitud de la elipse que era perpendicular a la carga y lamagnitud del radio de curvatura al final del agujero. El más largo de los agujeros (con eje mayorde la elipse más largo) y con el más pequeño radio de curvatura estaba sometido a las tensionesmás altas.

15/3/2015 Teoría de estructuras

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm 15/16

Más tarde, en 1920, A.A. Griffith (2) llevó más allá el trabajo de Inglis. Griffith pensó de nuevosobre el problema de la placa bajo tensión, pero él ‘estiró la elipse’ para convertirla en una grieta.Griffith hizo una serie de experimentos sobre alargamiento hasta la rotura de alambres con y sinfallas, comprobando que en los alambres defectuosos la rotura era más rápida debido a que lastensiones incrementaban su magnitud hasta el triple o cuadruple.

De la misma manera experimentó sobre placas pequeñas de vidrio, estiradas a tracción, conuna grieta en su interior, perpendicular a la carga. Así determinó que las tensiones al final de lagrieta eran muy altas y la grieta debilitaba el vidrio significativamente.

A partir de estas pruebas concluyó que los materiales que están fracturados, no importa lopequeña que sea esa fractura, actúan de manera muy diferente a los que no tienen grietas.

Griffith también introdujo la noción de fuentes y sumideros de energía en la propagación de las

grietas. Dijo que para que una grieta pudiera crecer, era necesario tener suficiente energíapotencial en el sistema para crear la nueva superficie de rotura. En definitiva una fractura seráinestable si la energía de relajación desarrollada por la fractura (al crecer la grieta existe un área asu alrededor que se relaja de las tensiones) es mayor que aquella necesaria para crear una nuevasuperficie de fractura.

La resolución del problema de estabilidad planteado anteriormente en términos de energía,conlleva a la definición de una tensión crítica para la cual una grieta de longitud dada comienzasu proceso crítico de expansión; o bién de otra manera a una longitud de grieta crítica ­longitudcrítica de grieta de Griffith­ para una tensión dada, de manera que si dicha longitud no essuperada, la grieta no continuara su proceso de rotura.

Actualmente la Mecánica de la Fractura es de gran importancia y se utiliza en el diseño ycomprobación de todo tipo de estructuras (presas, barcos, engranajes, etc) especialmentemediante la ayuda de métodos numéricos como la simulación por elementos finitos.

Existen dos planteamientos equivalentes, el energético o global, basado en que la energíaespecífica disponible para la fractura (G) y el tensional o local basado en el factor de intensidadde tensiones (K). Los criterios de rotura se escriben a partir de ellos como:

Donde R es la resistencia específica a la rotura. G y R se miden en J/m2 habitualmente.

En el que KC es la tenacidad de fractura. K y KC se miden en N MPa0,5 habitualmente.

Artículos:­(1) Stress in a plate due to the presence of cracks and sharp corners. Proc. Int. Naval Arquitects, Nº60. 1913. C. E. Inglis­(2) The phenomena of rupture and flaw in solids. Trans. Royal Society of Londosn. A­22 I, 1920

G = R

K = KC

15/3/2015 Teoría de estructuras

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm 16/16

Para saber más:­Mecánica de fractura. José Luis Arana y Javier Jesús González. Servicio Editorial Universidad del País Vasco.­Fractura mecánica. Un enfoque global. Sergio Oller. CIMNE Barcelona­Ediciones UPC.­Fractura de materiales. M.J. Anglada, J. Alcalá, L.M. Llanes, A.M. Mateo, M.N. Salán. Ediciones UPC­Estructuras o por qué las cosas no se caen. J. E. Gordon. Celeste Ediciones.­Introduction to fracture mechanics. S. Suresh­http://simscience.org/cracks/intermediate/history1.html

De Mecánica ­ © 2002 Copyright gestodedios ­ Aviso legal ­ Aula de estructuras ­ Eurocódigos