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TEORA DE JUEGOS

EMILIO CERDUniversidad Complutense de Madrid

JOAQUN PREZJOS LUIS JIMENO

Universidad de Alcal de Henares

Madrid Mxico Santaf de Bogot Buenos Aires Caracas Lima MontevideoSan Juan San Jos Santiago Sao Paulo White Plains

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Datos de catalogacin bibliogrfica

CERD TENA, E.; PREZ NAVARRO, J.;JIMENO PASTOR, J. L.

TEORA DE JUEGOS

PEARSON EDUCACIN, S.A., Madrid, 2004

Materia: Juegos, teora de los (Investigacin operativa) 519.8

Formato 170# 240 Pginas: 528

Todos los derechos reservados.Queda prohibida, salvo excepcin prevista en la Ley, cualquier forma de reproduccin,distribucin, comunicacin pblica y transformacin de esta obra sin contar con autorizacinde los titulares de propiedad intelectual. La infraccin de los derechos mencionadospuede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (arts. 270 y sgts. Cdigo Penal).

DERECHOS RESERVADOS5 2004 por PEARSON EDUCACIN, S.A.Ribera del Loira, 2828042 MADRID (Espaa)TEORA DE JUEGOS

PREZ NAVARRO, J.; JIMENO PASTOR, J. L.; CERD TENA, E.ISBN: 84-205-3726-8Depsito legal: M.

PEARSON PRENTICE HALL es un sello editorial autorizado de PEARSON EDUCACIN, S.A.Equipo editorial:

Editor: David Fayerman AragnTcnico editorial: Ana Isabel Garca Borro

Equipo de produccin:Director: Jos Antonio ClaresTcnico: Jos Antonio Hernn

Diseo de cubierta: Equipo de diseo de Pearson Educacin, S.A.Composicin: Copibook, S.L.Impreso por: Top Printer Plus S.L.L.

IMPRESO EN ESPAA - PRINTED IN SPAINEste libro ha sido impreso con papel y tintas ecolgicos

ISBN: 978-84-832-2799-2

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Contenido

Prlogo ................................................................................................................. ix

Captulo 1. Formas de representacin de un juego .................................... 1

1.1. Introduccin ................................................................................... 11.2. Funciones de utilidad. Utilidad ordinal ........................................ 61.3. Utilidad de Von Neumann-Morgenstern. Actitudes ante el riesgo . . 121.4. Juegos en forma extensiva ............................................................ 261.5. Juegos en forma estratgica .......................................................... 361.6. Juegos cooperativos ...................................................................... 48Ejercicios propuestos .............................................................................. 56

Captulo 2. Juegos estticos con informacin completa (I) ........................ 61

2.1. Introduccin ................................................................................... 612.2. Soluciones de un juego mediante argumentos de dominacin .... 682.3. Aplicacin: el mecanismo de Clark-Groves para la asignacin de

un bien pblico .............................................................................. 822.4. Soluciones de un juego mediante argumentos de equilibrio. El

equilibrio de Nash ......................................................................... 892.5. Aplicaciones: el oligopolio de Cournot ........................................ 1062.6. Aplicaciones: el oligopolio de Bertrand ....................................... 1192.7. Aplicaciones: el problema de los bienes comunales ................... 131Ejercicios propuestos .............................................................................. 137

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Captulo 3. Juegos estticos con informacin completa (II) ...................... 145

3.1. Estrategias mixtas. Clculo del equilibrio y teorema de exis-tencia .............................................................................................. 145

3.2. Juegos bipersonales de suma cero ................................................ 1773.3. Estrategias racionalizables ............................................................ 1883.4. Refinamientos del equilibrio de Nash para juegos en forma

normal ........................................................................................ 198Ejercicios propuestos .............................................................................. 211

Captulo 4. Juegos dinmicos con informacin completa ........................... 219

4.1. Introduccin ................................................................................... 2194.2. Equilibrio de Nash perfecto en subjuegos ................................... 2324.3. Juegos dinmicos con informacin completa y perfecta. Induc-

cin hacia atrs .............................................................................. 2424.4. Juegos dinmicos con informacin completa pero imperfecta. In-

duccin hacia atrs generalizada .................................................. 2504.5. Aplicaciones. El duopolio de Stackelberg ................................... 2594.6. Aplicaciones. El modelo de Leontief ........................................... 266Ejercicios propuestos .............................................................................. 268

Captulo 5. Juegos estticos con informacin incompleta .......................... 275

5.1. Introduccin ................................................................................... 2755.2. Juegos bayesianos estticos. Equilibrio bayesiano de Nash ........ 2895.3. Aplicaciones: duopolio de Cournot con informacin incompleta . . 3105.4. Aplicaciones: subastas .................................................................. 316Ejercicios propuestos .............................................................................. 335

Captulo 6. Juegos dinmicos con informacin incompleta ....................... 343

6.1. Introduccin ................................................................................... 3436.2. El equilibrio bayesiano perfecto ................................................... 3526.3. El equilibrio secuencial y el equilibrio perfecto de mano temblo-

rosa ................................................................................................ 3716.4. Juegos de sealizacin .................................................................. 3796.5. Aplicaciones: el modelo de Spence de sealizacin en el merca-

do laboral ....................................................................................... 386Ejercicios propuestos .............................................................................. 400

Captulo 7. Juegos repetidos ........................................................................... 405

7.1. Introduccin ................................................................................... 4067.2. Juegos repetidos en un nmero finito de etapas .......................... 4167.3. Juegos repetidos en un nmero infinito de etapas ....................... 424

vi Contenido

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7.4. Aplicaciones: colusin en el modelo de Cournot repetido infini-tamente .......................................................................................... 432

Ejercicios propuestos .............................................................................. 444

Captulo 8. Juegos cooperativos ..................................................................... 451

8.1. Introduccin ................................................................................... 4518.2. Ejemplos de juegos cooperativos ................................................. 4548.3. El conjunto de imputaciones ........................................................ 4618.4. El core ........................................................................................... 4668.5. El nucleolus ................................................................................... 4768.6. El valor de Shapley ....................................................................... 489Ejercicios propuestos .............................................................................. 502

Bibliografa .......................................................................................................... 505

ndice analtico ................................................................................................... 509

Contenido vii

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Prlogo

Este libro es el resultado de la experiencia docente en Teora de Juegos de los autores enlos ltimos aos. Procede de las clases impartidas desde el curso 1996-97 por JoaqunPrez y Jos Luis Jimeno en la licenciatura y el doctorado en Economa de la Universi-dad de Alcal, y por Emilio Cerd en la licenciatura y el doctorado en Anlisis Eco-nmico de la Universidad Complutense de Madrid, y en el doctorado en EconomaIndustrial de la Universidad de Castilla-La Mancha.

Hablando en trminos generales e intuitivos, podramos decir que la Teora de Juegosestudia situaciones de conflicto y cooperacin a las que denominamos juegos, en las queinteractan individuos racionales, analizando los comportamientos y resultados que sonde esperar, bien mediante decisiones individuales (caso de los juegos no cooperativos),bien mediante acuerdos entre los participantes (caso de los juegos cooperativos).

La Teora de Juegos ha aportado instrumentos de anlisis (entre ellos el equilibrio deNash) que han resultado eficaces y enriquecedores en el estudio de muchas situacionesde tipo econmico (en el estudio, por ejemplo, de los mercados oligopolsticos, de laslicitaciones pblicas o de la regulacin de mercados), y tambin de muchas situacionesde tipo social, poltico y legal. Ello se ha reflejado en los programas de estudios de eco-noma y de las ciencias sociales en general.

En los ltimos veinte aos la Teora de Juegos ha experimentado una expansin sig-nificativa en tres importantes aspectos. En lo que se refiere a la investigacin acadmicano han cesado de aumentar las publicaciones especializadas en las que se estudia o aplicala Teora de Juegos, tanto revistas como libros. En el aspecto docente, puede decirse queha aumentado sensiblemente su influencia en los currcula de algunas licenciaturas yprogramas de doctorado, especialmente en los de Economa (tanto a travs de asignatu-ras clsicas de corte microeconmico y macroeconmico, como de asignaturas especfi-cas dedicadas al estudio de la Teora de Juegos o a materias relacionadas con lainformacin asimtrica, economa pblica, etc.). Por ltimo, en el aspecto de divulgaciny presencia pblica puede decirse que el conocimiento de la Teora de Juegos ha crecido

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fuertemente a partir de la concesin en 1994 del Premio Nbel de Economa a tres de susprimeros y ms importantes creadores (John Forbes Nash, Reinhard Selten y John C.Harsanyi), y especialmente tras la publicacin de una interesante biografa de Nash quefue llevada exitosamente al cine en el ao 2001.

Este libro tiene tres objetivos principales. El primero es servir de curso de introduc-cin a la Teora de Juegos para los alumnos de la licenciatura en Economa. El segundoes servir de apoyo para los alumnos de doctorado en Economa, sea en la consolidacinde algunos conceptos bsicos, sea en la introduccin a algunos conceptos avanzados. Yel tercero es servir de referencia a alumnos y profesionales de otras especialidades quetengan inters por los razonamientos subyacentes en la toma de decisiones estratgicas.

Describamos brevemente el contenido del libro, cuyo desarrollo se estructura a partirde la bsqueda de los conceptos de solucin de un juego apropiados a las caractersticasparticulares que definen dicho juego.

El Captulo 1 tiene un carcter introductorio. En l se presentan las formas extensiva,estratgica y coalicional de representacin de un juego, haciendo especial hincapi en loselementos y reglas que cada representacin impone. As mismo, se hace un repaso ex-haustivo de aquellos conceptos de la teora de la utilidad imprescindibles para una com-prensin clara de las ganancias asociadas a los resultados de un juego.

Los Captulos 2 y 3 presentan los juegos estticos con informacin completa. En elCaptulo 2, tras una exposicin detallada y progresiva de los conceptos de solucin basa-dos en la idea de dominacin, se define y estudia el equilibrio de Nash en estrategiaspuras, y se presentan algunas de sus aplicaciones clsicas, entre ellas el oligopolio deCournot y el duopolio de Bertrand. El Captulo 3 completa el estudio de los juegos est-ticos con informacin completa mediante el tratamiento de las estrategias mixtas y de losjuegos de suma cero y abordando dos temas de carcter ms avanzado, como son lasestrategias racionalizables y los refinamientos del equilibrio de Nash para juegos en for-ma normal.

El Captulo 4 presenta los juegos dinmicos manteniendo un contexto de informacincompleta. Se presta especial atencin a la distincin entre informacin perfecta e imper-fecta y se refina el concepto de equilibrio de Nash mediante el criterio de la perfeccinen subjuegos, que permite descartar aquellos equilibrios no crebles (no consistentes conel desarrollo del juego), junto a algoritmos que permiten su clculo, la induccin haciaatrs e induccin hacia atrs generalizada. La principal aplicacin del captulo es el duo-polio de Stackelberg.

El Captulo 5 presenta de nuevo los juegos estticos pero ahora en un contexto deinformacin incompleta. Tras una introduccin a la teora de la decisin bayesiana, sedefine el equilibrio bayesiano, como concepto de equilibrio bsico en presencia de infor-macin asimtrica. Se analiza de nuevo el modelo de duopolio de Cournot bajo supues-tos de informacin asimtrica en los costes de las empresas y se presenta con detalle laaplicacin de este concepto de equilibrio a las subastas.

En el Captulo 6 se presentan los juegos dinmicos con informacin incompleta. Setrata del contexto ms general y a l corresponden los conceptos de equilibrio ms fuer-tes. Se define y estudia como principal concepto de equilibrio el equilibrio bayesianoperfecto en subjuegos. Se concluye con tres secciones de carcter avanzado, en las quese definen los refinamientos del equilibrio de Nash para juegos en forma extensiva, seintroducen los juegos de sealizacin y se estudia el modelo de sealizacin de Spence.

x Prlogo

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El Captulo 7 presenta los juegos repetidos. En l se aborda con detenimiento, en uncontexto de informacin completa, la interaccin repetida de un mismo juego, tanto en elcaso de un nmero finito como de un nmero infinito de etapas, y se intenta dar respues-ta a la cuestin: bajo qu condiciones puede sustentarse como equilibrio (equilibrio deNash o equilibrio de Nash perfecto en subjuegos) en un juego repetido un comporta-miento cooperador? La cuestin anterior se analiza especialmente en los casos del dile-ma del prisionero repetido y del oligopolio de Cournot repetido.

Por ltimo, el Captulo 8 concluye el libro presentando una introduccin detallada alos juegos cooperativos. Se estudia un primer concepto de solucin, el Core, y algunas desus propiedades. A continuacin se estudia el Nucleolus, un refinamiento del Core. Fi-nalmente se estudia un concepto con importantes aplicaciones a la justicia distributiva, elvalor de Shapley.

En cuanto a la eleccin de los contenidos y al estilo expositivo, se han intentadoalcanzar algunos equilibrios que nos parecen bsicos.

El primer equilibrio se refiere a la bsqueda de una proporcin razonable entre teo-ra, ejemplos y aplicaciones. Se han tratado con detalle algunas aplicaciones convencio-nales de la Teora de Juegos a la economa, pero se ha hecho tambin hincapi en lacomprensin y manejo de los conceptos a travs de ejemplos sencillos, posibilitando elestudio de nuevas aplicaciones a la economa y a otras disciplinas.Otro equilibrio importante tiene que ver con que se d un nfasis mayor o menor a laexposicin formal o a la exposicin intuitiva de los conceptos. En este aspecto, el librose sita en un punto intermedio entre los libros que motivan e ilustran con muchos ejem-plos pero no entran en formalizacin matemtica y los que son puramente matemticos.La idea que nos ha guiado es: motivar, ilustrar con muchos ejemplos y aplicaciones (so-bre todo de Economa), pero cuando se llega a un concepto definirlo formalmente entrminos matemticos, y cuando se llega a un resultado formularlo y demostrarlo en tr-minos matemticos, explicando claramente lo que se va haciendo.

Con respecto a la presentacin ms o menos detallada de los conceptos e ideas, he-mos preferido en general, basndonos en nuestra experiencia docente, una elaboracinminuciosa y progresiva de los conceptos, con ayuda de bateras de ejemplos, aun a riesgode resultar reiterativos en alguna ocasin.

Aunque nadie sabe como el profesor de un determinado curso las posibilidades y lasnecesidades de sus alumnos, y en consecuencia el mejor modo de utilizar un libro detexto, s puede merecer la pena comentar las dificultades de este texto y los requisitos deformacin que en consecuencia son necesarios para estudiarlo.

Para comprender sin dificultades los distintos conceptos y tcnicas que se presentanen este libro son necesarios un conocimiento bsico de la teora de la optimizacin y dela teora de la probabilidad. En efecto, la capacidad de identificar y calcular ptimos esbsica, ya que el concepto ms importante y ms utilizado del libro, el equilibrio deNash, exige por definicin un comportamiento optimizador en todos los jugadores. Porotra parte, el manejo de probabilidades condicionadas es bsico para la comprensin yuso del equilibrio bayesiano, y el manejo de distribuciones de probabilidad continuas ydiscretas es necesario en cualquier aplicacin de dicho concepto, en particular en lassubastas. Tambin es inevitablemente necesaria para un aprovechamiento satisfactoriodel libro, como es natural, una cierta madurez matemtica para comprender razonamien-tos matemticos tanto en forma intuitiva como formal. En nuestra opinin, la formacin

Prlogo xi

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Formas derepresentacin

de un juego

En este primer captulo nos centraremos en las distintas formas de representacin de unjuego, imprescindibles para la comprensin del resto de los captulos del libro. Se co-mienza por explicar qu situaciones caen en el mbito de la teora de juegos, se comentabrevemente cundo surge la disciplina que nos ocupa y se introduce una primera clasifi-cacin de los juegos, as como la terminologa bsica. En el segundo apartado se tratanlas preferencias y se estudia el concepto de funcin de utilidad ordinal correspondiente auna relacin de preferencia. En el tercer apartado se estudia la utilidad esperada de VonNeumann-Morgenstern, que nos va a permitir comparar loteras o distribuciones de pro-babilidad definidas sobre resultados posibles, y se estudian las distintas actitudes ante elriesgo. Posteriormente, en los tres siguientes apartados se estudian tres formas diferentesde representacin de juegos: extensiva, estratgica y coalicional, respectivamente.

1.1. INTRODUCCIN

En el lenguaje ordinario, la palabra juego hace referencia a divertimento y tambin aactividad en que los participantes, sometidos a reglas que hay que cumplir, intentan ga-nar, pero pueden perder. Son muy conocidos los llamados juegos de mesa como el pkery el ajedrez, los juegos deportivos como el ftbol o tenis, o ms recientemente, los jue-gos de computador. Suelen tener varios jugadores, pero a veces basta con uno (por ejem-plo, el solitario y muchos juegos de computador).

En estos juegos, cada jugador intenta conseguir el mejor resultado posible (maximi-zar su utilidad), pero teniendo en cuenta que el resultado del juego no depende slo desus acciones, sino tambin de las acciones de los otros jugadores. Es esta caractersticade los juegos tomar las decisiones que ms convengan para ganar, teniendo quecumplir las reglas del juego, y sabiendo que los dems jugadores tambin influyen

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en los resultados con sus decisiones la que ms valor tiene para su estudio sistemti-co, ya que muchas situaciones de inters para la economa y para otras ciencias (comobiologa, sociologa o ciencia poltica), y que nada tienen que ver con los juegos arribamencionados, comparten con ellos esa caracterstica. La teora de juegos se ocupa delanlisis riguroso y sistemtico de esas situaciones. As pues, la teora de juegos podrallamarse teora de la decisin interactiva, que es diferente de la teora de la decisinindividual.

Aunque la teora de juegos no se interesa especialmente por los juegos corrientes, slos usa como ejemplos aclaratorios y toma de ellos gran parte de su terminologa.

El campo de estudio de la teora de juegos es muy general. No es preciso que hayaentretenimiento, pero s interaccin. Aunque las aplicaciones mejor estudiadas de la teo-ra de juegos suponen que los jugadores son agentes (personas, empresas, gobier-nos, etc.) racionales (su capacidad de razonamiento y de clculo para identificar las ac-ciones y estrategias que les conducen a resultados ms deseables, es infinita), en otroscasos los jugadores no necesitan ser personas ni grupos de personas (pueden incluso serprogramas de computador o minsculos seres vivos), y tampoco necesitan ser racionales.

En economa se estudian a menudo situaciones de decisin individual, en las que elagente intenta maximizar su utilidad, sin importar lo que hagan otros. Por ejemplo:

a) Eleccin de cantidades de cada bien a comprar por parte de un consumidor. Sesuponen dados los precios de los bienes, as como la renta del consumidor.

b) Eleccin de cantidades de un bien a producir por parte de una empresa precio-aceptante. Se suponen dados los precios del bien y de los factores de producciny conocida la funcin de produccin.

c) Eleccin del precio de un bien por un monopolista. Se suponen dados los preciosde los factores de produccin y la curva de demanda de dicho bien y conocida lafuncin de produccin.

Sin embargo, hay muchas otras situaciones en que la utilidad del resultado final nodepende slo de la accin del agente, sino tambin de las acciones de otros agentes.Ejemplos:

a) Eleccin por la empresa A de la cantidad a producir de un bien o del precio dedicho bien, si tambin lo produce la empresa B, y ninguna ms (duopolio). Losresultados finales para la empresa A dependen no slo de sus propias decisio-nes, sino tambin de las decisiones de la empresa B.

b) Eleccin por una empresa de automviles de un nivel de gasto en publicidad.Las consecuencias finales de dicho gasto dependen del gasto realizado en publi-cidad por las empresas competidoras.

c) Eleccin por un coleccionista de su puja (cantidad de dinero que ofrece) en lasubasta de un cuadro. Los resultados (consigue o no que le adjudiquen el cuadrosubastado) dependen tambin de la puja de los otros participantes.

Incluso ocurre a menudo que el planteamiento segn el cual no importa lo que haganotros agentes, es una simplificacin de la realidad. Por ejemplo, la utilidad final de ladecisin del monopolista de producir q unidades, depende tambin de los precios de losbienes sustitutivos, y esos precios son el resultado de acciones de otros agentes.

2 Teora de juegos

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Muy breve historia de la Teora de Juegos

Suele considerarse que el nacimiento de la teora de juegos como disciplina ocurre en1944 con la publicacin de Game Theory and Economic Behaviour de Von Neumann yMorgenstern, aunque hay trabajos anteriores como los de los matemticos Zermelo(1913), Borel (1921) y del propio Von Neumann (1928), en los que ya se anticipabaparte de las bases de la Teora de Juegos. Tambin son de destacar los trabajos pionerosde economistas como Cournot (1838) y Edgeworth (1881). Von Neumann y Morgensternestablecen las bases de lo que actualmente se conoce como Teora de Juegos clsica,proporcionando una solucin para juegos de suma cero (aquellos en los que los jugado-res se encuentran en conflicto absoluto) y estableciendo los fundamentos para el anlisisde juegos con ms de dos jugadores. En este sentido, crean una teora unificada y siste-mtica que incluye como casos particulares las aportaciones anteriores, y que hace facti-ble su desarrollo posterior. Ya en los aos cincuenta, Nash aporta algunos de losconceptos ms importantes (equilibrio de Nash y solucin de negociacin de Nash) parauna gama ms amplia de juegos (no slo para aquellos que modelizan el conflicto puro),y en los aos setenta investigadores como Selten (en los juegos dinmicos) y Harsanyi(en los juegos con informacin incompleta) desarrollan los conceptos que permitirn laaplicacin fructfera de la teora de juegos a la economa y otras disciplinas. En aosrecientes, la teora de juegos ha recibido un gran respaldo acadmico, al recibir el PremioNobel de Economa algunos de sus pioneros y practicantes (en 1994 Nash, Selten y Har-sanyi, y en 1996 Vickrey y Mirlees).

El lector interesado en la historia del nacimiento y primeros aos de la teora dejuegos puede consultar el artculo de Rives (1975) y el libro de Poundstone (1992). Asi-mismo aparece mucha informacin interesante en los libros de McRae (1992) y Nasar(1998) que son biografas de Von Neumann y Nash, respectivamente.

Aunque todava persisten algunas polmicas sobre los fundamentos, la relevancia yla metodologa de esta disciplina, sus mtodos y conceptos se aplican con xito a otroscampos aparte de la economa, como la biologa (no es preciso que los jugadores seanhumanos!), la sociologa y la ciencia poltica.

Tipos de juegos

Cabe distinguir dos tipos bsicos de juegos, o dicho de otro modo, dos enfoques bsicosen el anlisis de un juego, cooperativos y no cooperativos. En el enfoque cooperativo seanalizan las posibilidades de que algunos o todos los jugadores lleguen a un acuerdosobre qu decisiones va a tomar cada uno, mientras que en el enfoque no cooperativo seanaliza qu decisiones tomara cada jugador en ausencia de acuerdo previo.

Entre los juegos no cooperativos cabe hacer dos distinciones bsicas, juegos estticoso dinmicos, y juegos con o sin informacin completa.

En los juegos estticos los jugadores toman sus decisiones simultneamente (o dichode manera ms precisa, cada jugador decide sin saber qu han decidido los otros), mien-tras que en los dinmicos puede darse el caso de que un jugador conozca ya las decisio-nes de otro antes de decidir.

En los juegos con informacin completa, todos los jugadores conocen las consecuencias,para s mismos y para los dems, del conjunto de decisiones tomadas, mientras que en losjuegos con informacin incompleta, algn jugador desconoce alguna de esas consecuencias.

Formas de representacin de un juego 3

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Terminologa bsica

Aunque posteriormente se presentar y se explicar con ms detalle cada uno de lostrminos, a continuacin damos una primera definicin de la terminologa bsica que seutiliza habitualmente en Teora de Juegos.

Jugadores

Son los participantes en el juego que toman decisiones con el fin de maximizar su utili-dad. Son dos o ms.

Acciones de cada jugador

Son las decisiones que puede tomar cada jugador en cada momento en que le toque ju-gar. El conjunto de acciones de un jugador en cada momento del juego puede ser finito oinfinito.

Resultados del juego

Son los distintos modos en que puede concluir un juego. Cada resultado lleva aparejadasunas consecuencias para cada jugador.

Pagos

Cada jugador recibe un pago al acabar el juego, que depende de cul haya sido el resulta-do del juego. El significado de dicho pago es la utilidad que cada jugador atribuye adicho resultado, es decir, la valoracin que para el jugador tienen las consecuencias dealcanzar un determinado resultado en el juego.

Estrategias. Perfiles de estrategias

Una estrategia de un jugador es un plan completo de acciones con las que ste podraproponerse participar en dicho juego. Un perfil de estrategias es un conjunto de estrate-gias, una por cada jugador.

Forma estratgica y forma extensiva

Son formas de describir un juego. Ambas especifican los jugadores, las acciones y lospagos. La forma estratgica (o forma normal) organiza la descripcin en forma rectangu-lar, centrando su nfasis en las estrategias de los jugadores (como si stos fueran capacesde tomar todas sus decisiones de una vez), mientras que la forma extensiva lo hace enforma de rbol, resaltando la secuencia del juego, es decir, la manera en que se desarro-llan o podran desarrollarse las acciones de los jugadores para alcanzar los posibles resul-tados del juego. En el Apartado 1.4 se presenta ms detalladamente la forma extensiva yen el Apartado 1.5 la forma estratgica.

A continuacin se presentan dos juegos muy sencillos que ilustran los trminos intro-ducidos.

4 Teora de juegos

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Ejemplo 1.1

a) Juego 1 (juego de pares o nones). Dos individuos, a los que denominaremosJugador 1 (J1) y Jugador 2 (J2), eligen de manera simultnea entre pares (P) o nones(N). Si los dos eligen lo mismo J2 tiene que pagar a J1 la cantidad de 5 euros. Si losdos eligen cosas distintas es J1 el que tiene que pagar 5 euros a J2. Por tanto, cada unoha de tomar una decisin sin conocer la tomada por el otro, pero sabiendo que sonambas decisiones consideradas conjuntamente las que afectan al bienestar de cada unode ellos. Toda la informacin relevante la podemos resumir en la siguiente tabla:

Jugador 2

P N

P 5, .5 .5, 5Jugador 1

N .5, 5 5, .5

b) Juego 2. Dos jugadores toman sus decisiones de un modo secuencial. En pri-mer lugar el Jugador 1 elige entre I, C y D. Si elige I se termina el juego y se alcanzanunos pagos de 2 y 0 (donde el primer nmero indica la ganancia del Jugador 1 y elsegundo la del Jugador 2). Si elige C, entonces el Jugador 2 tiene la oportunidad deelegir entre i (alcanzndose unas ganancias de 4 y 7) o d (con ganancias de 1y 2). Finalmente, en caso de que el Jugador 1 elija D, le toca el turno al Jugador 2 quepuede elegir de nuevo entre las alternativas i y d pero alcanzndose en este caso unasganancias para los jugadores de 5 y 4 con i, o de 1 y 3 con d. El siguiente rbol dejuego nos recoge toda la informacin relevante:

I

Jugador 1

2 Jugador 2 Jugador 2

0

C D

i d i d

4 1 5 1

7 2 4 3

En el juego de pares o nones est expresado en forma estratgica:El conjunto de los jugadores es J% {1, 2}El conjunto de las acciones de J1 es A1% {P, N}, y de J2 es A2% {P, N}.El conjunto de las estrategias de J1 es S1% {P, N}, y el de J2 es S2% {P, N}.Hay cuatro perfiles de estrategias que son (P, P), (P, N), (N, P) y (N, N), cada uno

de los cuales lleva a uno de los resultados del juego.

Formas de representacin de un juego 5

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Los pagos que reciben J1 y J2 para cada perfil de estrategias son:

u1(P, P)% 5; u2(P, P)%.5

u1(P, N)%.5; u2(P, N)% 5

u1(N, P)%.5; u2(N, P)% 5

u1(N, N)% 5; u2(N, N)%.5

En el juego 2 (est expresado en forma extensiva):El conjunto de los jugadores es J% {1, 2}.El conjunto de las acciones de J1 es A1% {I, C, D}, y de J2 es A2% {i, d}.El conjunto de las estrategias de J1 es S1% {I, C, D}, y el de J2 es S2% {i-i, i-d,

d-i, d-d}.El significado de las estrategias de J2, por ejemplo d-i, es el siguiente:

Jugar d si J1 juega C y jugar i si J1 juega D.Hay 12 perfiles de estrategias, cada uno de los cuales conduce a un resultado del

juego.Los pagos de J1 y de J2 son:

u1(I, i-i) % u1(I, i-d)% u1(I, d-i)% u1(I, d-d)% 2

u1(C, i-i) % u1(C, i-d)% 4

u1(C, d-i)% u1(C, d-d)% 1

u1(D, i-i) % u1(D, d-i)% 5

u1(D, i-d)% u1(D, d-d)% 1

u2(I, i-i) % u2(I, i-d)% u2(I, d-i)% u2(I, d-d)% 0

u2(C, i-i) % u2(C, i-d)% 7

u2(C, d-i)% u2(C, d-d)% 2

u2(D, i-i) % u2(D, d-i)% 4

u2(D, i-d)% u2(D, d-d)% 3

1.2. FUNCIONES DE UTILIDAD. UTILIDAD ORDINAL

Sea X un conjunto de alternativas posibles, mutuamente excluyentes, entre las que debeelegir un agente (que puede ser un individuo, una familia, una empresa, un equipo debaloncesto...).

En X suponemos definida una relacin binaria V, llamada relacin de preferencia, demanera que, para x, y X, xVy quiere decir que la alternativa x es preferida o indiferen-te a la alternativa y.

A partir de la relacin de preferencia V se definen otras dos relaciones, de la si-guiente forma:

6 Teora de juegos

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1. La relacin de preferencia estricta, :

x y x V y, pero no y V x

que se lee x es preferido a y.2. La relacin de indiferencia, V:

x V y x V y, y tambin y V x

que se lee x es indiferente a y.

Se supone que la relacin de preferencia V es racional, en el sentido que recoge la si-guiente definicin.

Definicin 1.1

La relacin de preferencia V es racional si verifica las dos propiedades siguientes:

Completitud: O x, y X, se tiene que xV y o y V x (o ambas).Transitividad: O x, y, z X, si x V y e y V z, entonces, x V z.

La propiedad de completitud significa que, dadas dos alternativas cualesquiera x e y,son comparables entre s, en el sentido que es preferida x, es preferida y o son indife-rentes.

A menudo puede ser conveniente (para simplificar expresiones y argumentaciones)asignar a cada alternativa en X un nmero, de manera que nmeros ms altos indiquenalternativas ms deseadas. En ese caso la funcin U que asigna nmeros a alternativas(funcin de utilidad del agente sobre X) puede ser cualquiera que respete las prefe-rencias del agente. Se dice que dicha funcin U es compatible con dichas preferencias, oque es una representacin de stas.

Definicin 1.2

Una funcin U : X r R es una funcin de utilidad que representa la relacin depreferencia V, si para todo x, y X, x V y U(x) nU(y).

Tambin se dice en este caso que U mide las utilidades (que dicho agente atribuye alas alternativas de X) en una escala ordinal.

Es fcil observar que si U es una funcin de utilidad de un agente, tambin lo serV% f (U), siendo la funcin f : R r R estrictamente creciente.

Veamos algunos ejemplos de preferencias y utilidades ordinales.

Ejemplo 1.2

Sea X% {A, B, C}, donde A, B y C significan, respectivamente, Semana gratis enBenidorm en agosto, Renault Clio Turbodiesel y 9.000 euros. Supongamos quenuestro agente prefiere estrictamente C a B y B a A.

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Son funciones de utilidad ordinal compatibles con las preferencias expresadas lassiguientes: U tal que U(A)% 2, U(B)% 7, U(C)% 8, y todas las funciones V% f (U)con f estrictamente creciente, como U . 5, U! 1, 3U, U3, eU, (U. 2)/6, etc. (a laltima podramos llamarla normalizada, porque asigna utilidad 0 a la opcin menospreferida y utilidad 1 a la ms preferida).

Ejemplo 1.3

Sea X% {(x, y) R2 : x n 0, y n 0}, en donde x e y representan cantidades respectivasde dos bienes A y B. Se trata, por tanto, de un conjunto de consumo para dos bienes.

En X se define la siguiente relacin de preferencia:

(x, y) V (x, y) xy n xy

Las siguientes funciones de utilidad son compatibles con las preferencias definidas,

U(x, y)% xy, V(x, y)% axy! b, siendo ab 0, W(x, y)% 3(2xy.7)

Obsrvese que las curvas de indiferencia no se modifican al cambiar la escala deutilidad, ya que slo dependen de las preferencias subyacentes. Por ello, bastara con lainformacin que suministra la utilidad ordinal para resolver el problema de eleccinptima de un vector (a, b) de cantidades de A y B, por parte de un consumidor quedispone para ello de un presupuesto fijo.

Ejemplo 1.4

Sea X%R, a interpretar como posibles resultados, para un agente, que son premios ocastigos en dinero.

Definimos en X la siguiente relacin de preferencia. Para x, y X,

x V y x n y

Son funciones de utilidad compatibles con la relacin de preferencia definida lassiguientes:

U(x)% x, V(x)% ax! b, siendo ab 0, W(x)% (x! 7)5, etc.

En definitiva, todas las funciones son crecientes.

Condiciones de existencia y de unicidad de una funcin de utilidad

Veamos en primer lugar una proposicin que nos da condiciones necesarias que debecumplir una relacin de preferencia para que pueda ser representada por una funcin deutilidad.

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Proposicin 1.1

Una condicin necesaria para que una relacin de preferencia V pueda ser representa-da por una funcin de utilidad es que sea racional.

Demostracin:

Veamos que si existe una funcin de utilidad que representa las preferencias V, en-tonces V debe cumplir las propiedades de completitud y transitividad. En efecto:

Completitud. Sea la funcin de utilidad U compatible con la relacin V. Paracada x, y X, se tiene que U(x) y U(y) R. Por tanto, se tiene que cumplir queU(x) nU(y) (lo que implica que x V y), o bien que U(y) nU(x) (lo que implicaque y V x), por lo que la relacin de preferencia cumple la propiedad de completitud.

Transitividad. Sean x, y, z X. Supongamos que x V y, y V z. Veamos que enton-ces x V z. En efecto:

x V y U(x) nU(y)

y V z U(y) nU(z)

Como el orden en los nmeros reales verifica la propiedad transitiva se tiene queU(x) nU(z), por lo que x V z.

Cabe preguntarse si ser cierto el recproco, es decir, si toda relacin de preferenciaracional puede ser representada por una funcin de utilidad. La respuesta, en general, esno, como veremos posteriormente con un contraejemplo. Sin embargo, si el conjunto Xes finito s se cumple que toda relacin de preferencia racional puede ser representadapor una funcin de utilidad, como recoge el siguiente teorema.

Teorema 1.1 (Teorema de existencia y unicidad de la utilidad ordinal)

Sea X finito. Si las preferencias de un agente sobre X son racionales (completas ytransitivas), existe una funcin U de X en R compatible con tales preferencias, esdecir, tal que U(x) nU(y) x V y. Adems, si V es una funcin de utilidad com-patible con V, se tiene que V% f (U), siendo f una funcin estrictamente creciente.

Demostracin:

Demostraremos el teorema en dos etapas. En primer lugar supondremos que nuncahay indiferencia entre dos elementos distintos de X. Posteriormente extenderemos elrazonamiento al caso general.

1. El conjunto X est formado por n elementos. Suponemos que entre dos ele-mentos distintos cualesquiera de X siempre hay preferencia estricta hacia uno de ellos.Ordenamos los elementos de X de la siguiente forma:

X% {x1, x2, ..., xn}, de manera que:

xn xn.1 x2 x1

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Definimos la funcin de utilidad U(xi)% i, para i% 1, 2, ..., n. Se trata de unafuncin de utilidad compatible con la relacin de preferencia pues

xi xj i b j U(xi) bU(xj)

Supongamos ahora que V es cualquier funcin de utilidad compatible con la rela-cin de preferencia. Tiene que cumplirse que

O xi xj , xi xj V(xi) bV(xj)

Pero xi xj ocurre si y slo si ib j. Por tanto, se tiene que

V(xi) bV(xj) i b j

Para cada x X podemos expresar V(x)% f [U(x)], en donde f : {1, 2, ..., n} r R,siendo f (i)%V(xi). f es estrictamente creciente, ya que

i b j f (i)%V(xi) bV(xj)% f (j), Oi, j {1, 2, ..., n}, i j

2. Extendamos el razonamiento anterior al caso general.Entre los n elementos de X, tomemos un representante de cada clase de elementos

indiferentes entre s.Sean x1, x2, ..., xk X, tales que xk xk.1 x1, de manera que para cada

x X, existe xi con i {1, 2, ..., k}, verificando que x V xi .Definimos U(x)%U(xi)% i. U es una funcin de utilidad compatible con la rela-

cin V. En efecto: O x, y X, sea x V y, entonces x V xi, y V xj, con xi V xj, porlo que

U(x)% i n j%U(y)

Por otra parte, sea V cualquier otra funcin de utilidad compatible con V. Debeser

V(x)%V(xi) n V(xj)%V(y)

Si x V y, entonces V(x)%V(xi)%V(xj)%V(y)

Si x y, entonces V(x)%V(xi) b V(xj)%V(y)

Para x X, sea x V xi, podemos poner V(x)%V(xi)% f [U(xi)]% f (i).f es una funcin f : {1, 2, ..., k} r R estrictamente creciente, ya que

i b j xi xj V(xi) bV(xj) f (i) b f ( j)

Veamos a continuacin un contraejemplo con el cual se demuestra que, en general, elrecproco de la Proposicin 1.1 no se cumple.

Sea X% {(x1, x2) R2 : x1 n 0, x2 n 0}. Se puede interpretar X como el conjunto de

consumo de dos bienes para un agente econmico. Vemos que el conjunto X no es finito,por lo que no es aplicable el Teorema 1.1.

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En X definimos la relacin de preferencia lexicogrfica, de la siguiente forma:

(x1, x2)V(y1, y2) x1 b y1 o x1% y1 y x2 n y2

El nombre de esta relacin de preferencia procede de la manera en que se ordenan laspalabras en un diccionario. En este caso el bien 1 de consumo tiene la prioridad ms altaen la determinacin del orden de preferencia, tal como ocurre con la primera letra de unapalabra en el orden en que aparece en un diccionario. Cuando la cantidad del bien 1 enlas dos cestas de bienes coincide, entonces es la cantidad del segundo bien la que deter-mina el orden de preferencia del consumidor.

Es fcil comprobar que la relacin de preferencia lexicogrfica verifica las propieda-des de completitud y transitividad, por lo que es una relacin racional.

Proposicin 1.2

Sea X% {(x1, x2) R2 : x1 n 0, x2 n 0}.

La relacin de preferencia lexicogrfica en X no es representable mediante ningu-na funcin de utilidad.

Demostracin:

Demostramos la proposicin por reduccin al absurdo. Supongamos que existeU : X rR, funcin de utilidad compatible con la relacin de preferencia lexicogrfica.

Para cada x1 n 0, se tiene que (x1, 2) b (x1, 1) U(x1, 2) bU(x1, 1). ComoU(x1, 2) y U(x1, 1) son nmeros reales, existe un nmero racional r(x1) tal que

U(x1, 2) b r(x1) b U(x1, 1)

Sea x1 con x1 b x1. Se verifica que r(x1) b r(x1), ya que

r(x1) b U(x1, 1) bU(x1, 2) b r(x1)

Por tanto tenemos definida una funcin

r : R r Qx r r(x)

en donde Q es el conjunto de los nmeros racionales. Dicha funcin es inyectiva, yaque x1 x1 r(x1) r(x1). Pero esto nos lleva a contradiccin ya que el conjun-to de los nmeros reales (que es el dominio de la funcin) es un conjunto infinito nonumerable, mientras que el conjunto de los racionales (que es el conjunto final de lafuncin r) es infinito numerable, lo cual es matemticamente imposible para una fun-cin inyectiva.

A continuacin veremos en qu condiciones se puede asegurar la existencia de unafuncin de utilidad compatible con una relacin de preferencia en conjuntos de consumode un nmero dado (finito) de bienes.

Sea X% {(x1, x2, ..., xn) Rn : xi n 0, para cada i% 1, 2, ..., n}.

Sea V una relacin de preferencia en X.

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Definicin 1.3

La relacin de preferencia V definida en el conjunto X se dice que es continua si semantiene en el paso a lmite. Es decir, si verifica que para toda sucesin de pares{(xn, yn)}=n%1 que cumple x

n V yn, se tiene que

x% limnr

xn V limnr

yn% y

Veamos que la relacin de preferencia lexicogrfica definida anteriormente no verifi-ca la propiedad de continuidad. En efecto:

Consideremos las siguientes sucesiones de cestas de dos bienes: xn% (1/n, 0) eyn% (0, 1).

Para cada n se tiene que xn yn. Sin embargo, limnr

yn% (0, 1) (0, 0)% limnr

xn

El siguiente teorema, que no vamos a demostrar, da condiciones suficientes que ase-guran la existencia de una funcin de utilidad compatible con una relacin de preferenciadefinida en un conjunto de consumo. La demostracin del teorema se encuentra en Mas-Colell, Whinston y Green (1995).

Teorema 1.2

Sea X {(x1, x2, ..., xn) Rn : xi n 0, para cada i% 1, 2, ..., n} un conjunto de consu-

mo. Sea V una relacin de preferencia en X racional y continua. Entonces existe unafuncin de utilidad continua U(x1, x2, ..., xn) que representa a la relacin de preferen-cia V.

Proposiciones con significado sobre una funcin de utilidad ordinal

Concluyamos esta seccin insistiendo en que slo tienen significado aquellas proposicio-nes acerca de una funcin de utilidad U cuya verdad o falsedad no se altera al sustituir Upor una transformacin estrictamente creciente de U.

Veamos algunos ejemplos:

A produce mayor (o menor, o igual) utilidad que B tiene sentido. B produce 5 veces ms utilidad que A no tiene sentido. La diferencia de utilidad entre B y C es el doble que la que hay entre A y C no

tiene sentido.

1.3. UTILIDAD DE VON NEUMANN-MORGENSTERN.ACTITUDES ANTE EL RIESGO

Si bien para algunas aplicaciones es suficiente con disponer de una informacin ordinalde las utilidades de un agente, en general dicha informacin es insuficiente. Por ejemplo,supongamos que en el Ejemplo 1.2 nos preguntan si el agente prefiere la alternativa B ouna nueva opcin consistente en lanzar una moneda equilibrada y dar la alternativa A si

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sale cara y la C si sale cruz. La informacin ordinal disponible no nos permite respondera esa pregunta. Es preciso, por tanto, definir un tipo de escala de utilidad en la quepreguntas como la anterior puedan responderse con naturalidad. En esta seccin definire-mos la escala de utilidades de Von Neumann-Morgenstern, que es la ms sencilla deentre las que permiten definir las preferencias de un agente, no slo entre opciones puras(ciertas o seguras) sino tambin entre loteras o distribuciones de probabilidad definidassobre dichas opciones puras.

Loteras

Supongamos que un agente debe elegir una entre varias alternativas, siendo conocidas demanera objetiva las probabilidades asociadas a las alternativas. En estas condiciones, enteora de la decisin se dice que estamos en un contexto de eleccin en ambiente deriesgo.

Sea X% {x1, x2, ..., xn} un conjunto de alternativas en un ambiente de riesgo. Supo-nemos, por tanto, que dicho conjunto es finito (este supuesto lo hacemos para evitar laexcesiva complicacin del desarrollo posterior).

Definicin 1.4

Una lotera simple en X es una distribucin de probabilidad en X. Es decir, se dice queL es una lotera simple en X, si

L%E(p1, p2, ..., pn) Rn: pi n 0, para cada i% 1, 2, ..., n, yn

;i%1

pi% 1Fen donde pi es la probabilidad de que ocurra la alternativa xi, para cada i% 1, 2, ..., n.

Ejemplo 1.5

Sea X% {A, B, C} como en el Ejemplo 1.2.La lotera simple L1% (1/2, 1/4, 1/4) es la opcin consistente en obtener A con

probabilidad 1/2, B con probabilidad 1/4 y C con probabilidad 1/4.La lotera L2% (0, 1, 0) es la opcin consistente en obtener B con seguridad.

Ejemplo 1.6 (Una apuesta cualquiera en la ruleta de un casino)

Un cliente apuesta 6 euros al nmero 7. En ese caso el cliente paga 6 euros y obtienedel casino la lotera siguiente: premio de 216 euros si sale el 7 (probabilidad% 1/37),y premio nulo si no sale el 7 (probabilidad% 36/37). Dicho de otra manera, en estecaso

X% {Premio de 216 euros, Premio nulo}

El casino le ofrece la lotera L% (1/37, 36/37).

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Si las alternativas que constituyen el conjunto X son valores numricos, a partir delos valores posibles y sus respectivas probabilidades que asigna una lotera, se puedecalcular el valor esperado, tal como se define a continuacin.

Definicin 1.5

Si X% {x1, x2, ..., xn} es un conjunto de valores numricos, llamamos valor esperadode la lotera L% (p1, p2, ..., pn) al valor numrico E(L)% x1p1! x2p2!! xnpn.

En una lotera simple, los resultados que se pueden obtener son ciertos (los elementosdel conjunto X). En una forma ms general de lotera, llamada lotera compuesta, losresultados que se pueden obtener son loteras simples, tal como se define a continuacin.

Definicin 1.6

Sea X% {x1, x2, ..., xn}. Dadas m loteras simples sobre X, Lj% (pj1, p

j2, ..., p

jn), para

j% 1, 2, ..., m, y dada una distribucin de probabilidad (j1, j2, ..., jm), con jj n 0,

para cada j%1, 2, ..., m, ym

;j%1

jj%1, la lotera compuesta (L1, L2, ..., Lm; j1, j2, ..., jm)

consiste en obtener la lotera simple Lj con probabilidad jj, para j% 1, 2, ..., m.

Dada la lotera compuesta (L1, L2, ..., Lm; j1, j2, ..., jm), se puede calcular la loterasimple sobre X, L% (p1, p2, ..., pn) que genera la misma distribucin ltima sobre losresultados de X, de la siguiente forma:

pi% j1p1i ! j2p

2i !! jmpmi , para i% 1, 2, ..., n

En lo que sigue se supone que el decisor se fija exclusivamente en la distribucinltima de probabilidades sobre los resultados que constituyen el conjunto X, de maneraque dos loteras compuestas distintas que dan lugar a una misma lotera simple sobre Xson equivalentes.

Podemos denotar L del siguiente modo:

L% j1L1! j2L2!! jmLm

Ejemplo 1.7

Sean el conjunto X y las loteras simples L1 y L2 definidos en el Ejemplo 1.5.Consideremos la lotera compuesta (L1, L2; 3/4, 1/4).Por tanto, en este caso se tiene que:

j1% 3/4, j2% 1/4

p11% 1/2, p12% 1/4, p

13% 1/4

p21% 0, p22% 1, p

23% 0

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La lotera compuesta considerada produce finalmente sobre X los mismos resulta-dos que la lotera simple

L% j1L1! j2L2% 3/4(1/2, 1/4, 1/4)! 1/4(0, 1, 0)% (6/16, 7/16, 3/16)

Obsrvese que se llega a la misma lotera simple L, a partir de la lotera compuesta(L3, L4; 1/2, 1/2), siendo L3% (2/8, 7/8, 1/8), L4% (4/8, 0, 2/8) ya que 1/2(2/8, 7/8,1/8)! 1/2(4/8, 0, 2/8)% (6/16, 7/16, 3/16)%L.

Relacin de preferencia sobre el conjunto de las loteras simples en X

Sea el conjunto X% {x1, x2, ..., xn}.Sea

LX%E(p1, p2, ..., pn) Rn: pi n 0, para cada i% 1, 2, ..., n, yn

;i%1

pi% 1Fel conjunto de todas las loteras simples sobre el conjunto de alternativas X.

Se supone que el decisor tiene una relacin de preferencia V sobre LX, que cumplelas propiedades de completitud y transitividad. Por tanto, suponemos que la relacin depreferencia V es racional. A continuacin se definen otras propiedades a considerar en larelacin de preferencia V sobre LX.

Definicin 1.7

La relacin de preferencia V definida en LX se dice que es continua si para todo L, L,L LX, los conjuntos

{j [0, 1]: (L, L; j, 1 . j V L)} y {j [0, 1]: LV (L, L; j, 1. j)}

son cerrados.

La propiedad de continuidad significa que pequeos cambios en las probabilidadesno producen cambios en el orden entre dos loteras.

Definicin 1.8

La relacin de preferencia V definida en LX verifica el axioma de independencia siOL, L, L LX, O j (0, 1) se tiene que

LV L (L, L; j, 1 . j) V (L, L; j, 1. j)

Funcin de utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern

A continuacin se define el concepto de funcin de utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern. Posteriormente se enuncian y demuestran dos proposiciones en las que sepresentan importantes propiedades de dichas funciones de utilidad y finalmente se enun-cia el teorema de la utilidad esperada.

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Definicin 1.9

Se dice que la funcin de utilidad U: LX r R es una funcin de utilidad esperada deVon Neumann-Morgenstern (VN-M) si existen n nmeros u1, u2, ..., un, asociadosrespectivamente a x1, x2, ..., xn, tales que para cada lotera L% (p1, p2, ..., pn) LX severifica que

U(L)% u1p1! u2p2!! unpn

La siguiente proposicin da una condicin necesaria y suficiente para que una fun-cin con dominio en LX que toma valores en R sea una funcin de utilidad esperada deVon Neumann-Morgenstern.

Proposicin 1.3

Una funcin de utilidad U: LX r R es una funcin de utilidad esperada de Von Neu-

mann-Morgenstern OL1, L2, ..., Lm LX, Oj1, j2, ..., jm [0, 1], conm

;j%1

jj% 1, se

verifica que

UAm

;j%1

jjLjB%m

;j%1

jjU(Lj)

Demostracin:

Probemos cada una de las dos implicaciones.) Sean

L1% (p11, p

12, ..., p

1n), L2% (p

21, p

22, ..., p

2n), ...,

Lm% (pm1 , p

m2 , ..., p

mn ) LX y j1, j2, ..., jm [0, 1], con

m

;j%1

jj% 1

Consideramos la lotera compuesta (L1, L2, ..., Lm; j1, j2, ..., jm), que es equiva-lente a la lotera simple L% (p1, p2, ..., pn), en donde para cada i% 1, 2, ..., n espi% j1p

1i ! j2p

2i !! jmpmi . Por tanto,

L%m

;j%1

jjLj

) Sea L% (p1, p2, ..., pn) LX. Podemos poner:

L% p1(1, 0, ..., 0)! p2(0, 1, ..., 0)!! pn(0, 0, ..., 1)% p1L1! p2L2!! pnLn

Por tanto,

U(L)%UAn

;i%1

piLiB%

n

;i%1

piU(Li)%

n

;i%1

piui

en donde ui%U(Li), por lo que U es una funcin de utilidad esperada de Von Neu-

mann-Morgenstern.

16 Teora de juegos

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A partir de la demostracin de la proposicin anterior vemos que, para cada i%1, 2, ..., nes ui%U(L

i), pero Li es la lotera que asigna probabilidad uno a la alternativa xi y proba-bilidad cero a las dems alternativas, es decir la lotera Li es la opcin consistente enobtener xi con seguridad.

Se puede definir la siguiente funcin

u : X r Rxi r u(xi)

de manera que u(xi)% ui%U(Li).

Por tanto, si U es una funcin de utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern, setiene una funcin u que se puede interpretar como la funcin que asigna a cada alternati-va del conjunto inicial X su utilidad verificndose que:

O L% (p1, p2, ..., pn) LX es U(L)%n

;i%1

piu(xi)

En la siguiente proposicin vemos que una funcin de utilidad esperada de Von Neu-mann-Morgenstern, correspondiente a una relacin de preferencia, es nica, salvo unatransformacin afn positiva.

Proposicin 1.4

Sea U: LX r R una funcin de utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern co-rrespondiente a la relacin de preferencia V sobre LX.

V: LX r R es otra funcin de utilidad esperada Von Neumann-Morgenstern corres-pondiente a V. Existen a, b R, con ab0, tales que V(L)%aU(L)!b, para cada L LX.

Demostracin:

) Sean U y V funciones de utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern defini-das en Lx, correspondientes a V.

Veamos que, entonces, existen a, b R, con ab 0, tales que

V(L)% aU(L)! b, para cada L LX

Por ser U funcin lineal, es continua. El conjunto LX es cerrado y acotado. Por elteorema de Weierstrass, existen max

L LX

U(L) y minL L

X

U(L), por lo que existen L1 , L LX,

tales queL1 V LV L, O L LX

Si L VL1 , entonces cualquier funcin de utilidad es constante, por lo que V(L)% k,U(L)% k, O L LX, y por tanto se cumple la implicacin para a% 1, b% k . k.

Supongamos que L1 L. Sea L LX. Vemos que podemos encontrar aL [0, 1], talque LV aLL1 ! (1 . aL)L. En efecto, tendr que ser U(L)% aLU(L1 )! (1 . aL)U(L),por lo que basta despejar aL, obtenindose que

aL%U(L). U(L)U(L1 ) . U(L)

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Tiene que cumplirse que

V(L)%V(aLL1 ! (1 . aL)L)% aLV(L1 )! (1 . aL)V(L)% aL[V(L1 ) . V(L)]!V(L)

Sustituyendo aL por el valor que hemos obtenido anteriormente, queda

V(L)%U(L).U(L)U(L1 ) .U(L)

[V(L1 ) .V(L)]!V(L)

Efectuando operaciones, queda

V(L)%V(L1 ) .V(L)U(L1 ) .U(L)

U(L).U(L)[V(L1 ) .V(L)]

U(L1 ) .U(L)!V(L)

por lo que se cumple la implicacin, siendo

a%V(L1 ) .V(L)U(L1 ) .U(L)

b 0

b%V(L) .U(L)[V(L1 ) .V(L)]

U(L1 ) .U(L)

) Supongamos ahora que exiten a, b R, con ab 0, tales que V(L)% aU(L)! b,para cada L LX, siendo U una funcin de utilidad esperada de Von Neumann-Mor-genstern correspondiente a V. Veamos que V es otra funcin de utilidad esperada deVon Neumann-Morgenstern.

Sean

L1, L2, ..., Lm LX, j1, j2, ..., jm [0, 1], conm

;j%1

jj% 1

Se tiene que

V Am

;j%1

jjLjB% aUAm

;j%1

jjLjB!m

;j%1

jjb% aCm

;j%1

jjU(Lj)D! b%

%m

;j%1

jj[aU(Lj)! b]%m

;j%1

jjV(Lj)

lo que demuestra, utilizando la Proposicin 1.3 que V es una funcin de utilidad espe-rada de Von Neumann-Morgenstern. Adems, por ser U una representacin de V secumple que

L V L U(L)nU(L) aU(L)! b n aU(L)! b V(L) n V(L)

A continuacin se enuncia el teorema de existencia de la utilidad esperada de VonNeumann-Morgenstern. La demostracin del teorema se puede consultar en Mas-Colell,Whiston y Green (1995).

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Teorema 1.3 Teorema de la utilidad esperada

Supongamos que la relacin de preferencia V sobre LX es racional, continua y verifi-ca el axioma de independencia. Entonces V admite una representacin en forma deutilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern.

Es decir, existen n valores reales u(x1), u(x2), ..., u(xn) tales que

OL, L LX, L% (p1, p2, ..., pn)V L% (p1, p2, ..., pn) n

;i%1

piu(xi) nn

;i%1

piu(xi)

Extensin al caso en que X%R

Cuando las alternativas o resultados son cantidades monetarias puede ser interesante re-presentar dichas cantidades por la variable continua x R. Cabe entonces considerarloteras representadas por funciones de densidad o por funciones de distribucin.

As, sea una lotera en R caracterizada por una funcin de densidad f. Sea LX elconjunto de todas las funciones de densidad en R. Una funcin de utilidad esperada de

Von Neumann-Morgenstern en LX verifica que, para f LX, U( f )% I!

.u(x) f (x) dx,

siendo u: R r R tal que u(x) es la utilidad de la cantidad monetaria segura x, por lo quese supone que la funcin u es creciente y continua.

Si la lotera en R se caracteriza por una funcin de distribucin F, puede representartanto distribuciones de probabilidad discretas como continuas en R. LX ser el conjuntode todas las funciones de distribucin en R. Entonces una funcin de utilidad esperada de

Von Neumann-Morgenstern se caracteriza porque U(F)% I!

.u(x) dF(x).

En cualquiera de las representaciones, se cumple tambin el teorema de la utilidadesperada siempre que se cumplan las hiptesis del Teorema 1.3.

En lo que sigue, y mientras no anunciemos explcitamente otra cosa, supondremosque las preferencias de los agentes cumplen las condiciones del Teorema 1.3 y que, enconsecuencia, las utilidades de las distintas loteras son utilidades esperadas de Von Neu-mann-Morgenstern.

Ejemplo 1.8

Sea X% [0, ]. Consideremos tres agentes cuyas funciones de utilidad sobre cantida-des no negativas de dinero son u1(x)% 4 x, u2(x)% 3x, u3(x)% x2. Para x1% 1,x2% 16 [0, ], se considera la lotera L% (4/5, 1/5). Vamos a calcular el valor espe-rado de L y comparar la utilidad esperada con la utilidad del valor esperado.

El valor esperado es

E(L)%4

5# 1!

1

5# 16%

20

5% 4

Formas de representacin de un juego 19

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Para el primer agente se tiene que la utilidad esperada de Von Neumann-Morgensternes igual a:

U1(L)%4

5u1(1)!

1

5u1(16)%

4

5(4 1)!

1

5(4 16)%

32

5% 6,4

Para este primer agente, la utilidad del valor esperado es

u1[E(L)]% u1(4)% 4 4% 8

por lo que este agente prefiere el valor esperado antes que la lotera L.Para el segundo agente, la utilidad esperada y la utilidad del valor esperado son

U2(L)%4

5u2(1)!

1

5u2(16)%

4

5(3)!

1

5(48)% 12

u2[E(L)]% 3# 4% 12

por lo que al segundo agente le da igual el valor esperado que la lotera L.Para el tercer agente se tiene que

U3(L)%4

5u3(1)!

1

5u3(16)%

4

5(12)!

1

5(162)% 52

u3[E(L)]% u3(4)% 42% 16

por lo que este agente prefiere la lotera L antes que el valor esperado.

Caractersticas de los agentes ante el riesgo

Vamos a clasificar las funciones de utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern delos distintos agentes, cuando el conjunto de resultados o alternativas es X%R, que inter-pretamos como cantidades de dinero.

Suposicin bsica inicial

Sea X%R. Suponemos que la funcin de utilidad u de un agente cualquiera es estricta-mente creciente (prefiere una renta mayor a una renta menor).

Si u es diferenciable, la suposicin anterior significa que u(x) b 0, para todo x R.

Definicin 1.10

Sea X%R. Decimos que un agente es averso al riesgo en el intervalo [a, b] si elvalor esperado de cualquier lotera en [a, b] es al menos tan preferido como dichalotera. Si la lotera es al menos tan preferida como su valor esperado, decimos que espropenso al riesgo o amante del riesgo. Y si es indiferente entre ambas opciones,decimos que es neutral al riesgo.

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Teorema 1.4

Se considera un agente con funcin de utilidad u: [a, b] r R estrictamente creciente ydos veces diferenciable. El agente es:

Averso al riesgo en [a, b] si y slo si u(x) m 0, para todo x de [a, b], es decir, siu es cncava en [a, b].Propenso al riesgo en [a, b] si y slo si u(x) n 0, para todo x de [a, b], es decir,si u es convexa en [a, b].Neutral al riesgo en [a, b] si y slo si u(x)% 0, para todo x de [a, b], es decir,si u es lineal en [a, b].

Demostracin:

Sean x1, x2, ..., xn [a, b] cualesquiera y L% (p1, p2, ..., pn) una lotera cualquieraen {x1, x2, ..., xn} [a, b]. Sea E(L)% p1x1! p2x2!! pnxn el valor esperado de

L y sea U(L)%n

;i%1

piu(xi) la utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern. En

virtud de la definicin de concavidad, u es cncava en [a, b] si y slo siu(p1x1! p2x2!! pnxn) (que es precisamente la utilidad del valor esperado) esmayor o igual que p1u(x1)! p2u(x2)!! pnu(xn) (que es precisamente la utilidadesperada de la lotera L). Si u es dos veces diferenciable, un conocido teorema delclculo diferencial asegura que la funcin u es cncava en [a, b] si y slo siu(x)m 0, para todo x de [a, b]. Por tanto, u(x) m 0 para todo x de [a, b] si y slosi para el agente el valor esperado de cualquier lotera es al menos tan preferido comola lotera, es decir es averso al riesgo en [a, b].

Anlogamente, u(x)n 0 para todo x de [a, b] si y slo si el agente es propenso alriesgo en [a, b].

Por otra parte, la funcin u es cncava y convexa (es decir, afn o lineal) en [a, b]si y slo si u(x)% 0 para todo x de [a, b], y adems la funcin u cncava y convexaen [a, b] si y slo si u(p1x1! p2x2!! pnxn), que es la utilidad del valor esperadode L, es igual a p1u(x1)! p2u(x2)!! pnu(xn), que es la utilidad esperada de L.Por tanto, u(x)% 0 para todo x de [a, b] si y slo si el agente es indiferente entre elvalor esperado de cualquier lotera L y dicha lotera. En conclusin, u(x)% 0 paratodo x de [a, b] si y slo si el agente es neutral al riesgo en [a, b].

Observacin 1.1:

1. La funcin de utilidad de un agente neutral al riesgo es lineal.2. La funcin de utilidad de un agente averso (propenso) al riesgo es cncava (con-

vexa).

Ejemplo 1.9

Sea X% [0, ]. Consideremos los tres agentes del Ejemplo 1.8, cuyas funciones deutilidad son

u1(x)% 4 x, u2(x)% 3x, u3(x)% x2

Formas de representacin de un juego 21

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En el Ejemplo 1.8 hemos visto las caractersticas de cada uno de los agentes frenteal riesgo para una lotera dada. Veamos que se confirman para cualquier lotera.

El primer agente prefera el valor esperado antes que la lotera.

u1(x)%2

x u1(x)%.

1

x3a 0 en [0, ]. Es averso al riesgo en [0, ]

Al segundo agente le daba igual el valor esperado que la lotera.

u2(x)% 3 u2(x)% 0 en [0, ]. Es neutral al riesgo en [0, ]

El tercer agente prefera la lotera antes que el valor esperado.

u3(x)% 2x u3(x)% 2 b 0 en [0, ]. Es propenso al riesgo en [0, ]

Prima de riesgo

En trminos intuitivos, es la cantidad que un agente averso al riesgo est dispuesto apagar para librarse del riesgo.

Definicin 1.11

Dado un agente con funcin de utilidad del dinero u(x), y dada una lotera L sobre unconjunto de resultados {x1, x2, ..., xn} R, con valor esperado x0,

a) Llamamos equivalente cierto de L a la cantidad de dinero z0 tal queu(z0)%U(L).

b) Llamamos prima de riesgo de L a la cantidad o% x0 . z0 (valor esperadomenos equivalente cierto).

Visualizacin grfica (Figura 1.1):

Utilidad

Numerariox

u x( )

a h z a a b

Figura 1.1 Equivalente cierto y prima de riesgo.

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L es la lotera (1/2, 1/2) con premios a! h y a . h.

E(L)% (a! h)/2! (a . h)/2% a es el valor esperado.

La utilidad esperada de L es U(L)%1

2u(a! h)!

1

2u(a . h)% u(z).

z es el equivalente cierto de L, y a . z es la prima de riesgo de L.

Ejemplo 1.10

Sea X% [0, ]. Consideremos los tres agentes del Ejemplo 1.8, cuyas funciones deutilidad son u1(x)% 4 x, u2(x)% 3x, u3(x)% x2 y la lotera L% (4/5, 1/5) para x1% 1,x2% 16.

Calculemos sus equivalentes ciertos y sus primas de riesgo.

Para el primer agente que es averso al riesgo tenemos que U1(L)% 6,4.Su equivalente cierto ser el valor z tal que u1(z)%U1(L)% 6,4. Pero

u1(z)% 4 z 4 z% 6,4 z%A6,4

4 B2

% 2,56

que es el equivalente cierto de L.La prima de riesgo de L es o%E(L) . z% 4. 2,56% 1,44.

Para el segundo agente, que es neutral al riesgo, tenemos que U2(L)% 12.Su equivalente cierto ser el valor z tal que u2(z)%U2(L)% 12. Pero

u2(z)% 3z% 12 z% 4, que es el equivalente cierto de L.La prima de riesgo de L para el segundo agente es o%E(L) . z% 4 . 4% 0.Para el tercer agente, que prefiere la lotera antes que el valor esperado, tenemos

que U3(L)% 52.Su equivalente cierto ser el valor z tal que u3(z)%U3(L)% 52. Pero

u3(z)% z2% 52 z%52% 7,2

que es el equivalente cierto.La prima de riesgo de L para el tercer agente es

o%E(L) . z% 4 . 7,2%.3,2a 0

Observacin 1.2:

1. El equivalente cierto de L para un agente neutral al riesgo es igual al valor esperado.El equivalente cierto de L para un agente averso (propenso) al riesgo es menor oigual (mayor o igual) que el valor esperado.

2. La prima de riesgo de L para un agente neutral al riesgo es nula.La prima de riesgo de L para un agente averso (propenso) al riesgo es mayor o iguala cero (menor o igual a cero).

3. No es casualidad que los pagos que un cliente realiza por una pliza de seguros (deautomvil, de incendios, etc.) se llamen primas.

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Medidas de Arrow-Pratt de aversin al riesgo

Las anteriores definiciones han permitido clasificar a los agentes de manera cualitativaen tres categoras referentes a sus preferencias con relacin al riesgo. Las definicionessiguientes intentan cuantificar las ideas anteriores, de modo que sea posible comparar laaversin o propensin al riesgo de dos agentes cualesquiera. La idea intuitiva es que lacurvatura de la funcin de utilidad de un agente, medida por su derivada segunda, nosinforma del grado de aversin al riesgo de dicho agente.

Definicin 1.12

Sea u una funcin de utilidad del dinero correspondiente a un agente. Se supone que ues dos veces diferenciable en [a, b].

a) El coeficiente de Arrow-Pratt de aversin absoluta al riesgo en x de dichoagente es

ja(x)%.u(x)u(x)

b) El coeficiente de aversin relativa al riesgo en x de dicho agente es

jr(x)%.xu(x)u(x)

Proposicin 1.5

Sea u una funcin de utilidad del dinero dos veces diferenciable en [a, b], correspon-diente a un agente.

a) Dicho agente tiene un coeficiente de Arrow-Pratt de aversin absoluta nula siy slo si u(x)% c! dx. En ese caso es neutral al riesgo.

b) Dicho agente tiene un coeficiente de Arrow-Pratt de aversin absoluta cons-tante a positiva si y slo si u(x)%.ce.ax! d, siendo c b 0, donde a b 0.

c) Dicho agente tiene un coeficiente de Arrow-Pratt de aversin absoluta cons-tante a negativa si y slo si u(x)% ce.ax! d, siendo c b 0, donde a a 0.

Demostracin:

a) ja(x)%.u(x)u(x)

% 0 u(x)% 0 u(x)% d u(x)% dx! c

b) Veamos cada una de las dos implicaciones.

) Sea ja(x)%.u(x)u(x)

% a b 0. Definimos y(x)% u(x), por lo que se tiene que

.y(x)y(x)

% a, o lo que es lo mismody

dx%.ay. Resolvemos dicha ecuacin diferencial

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por variables separables, obteniendo que y(x)%Ce.ax, en donde C es una constantepositiva. Por tanto,

du

dx%Ce.ax u(x)%.

C

ae.ax! d%.ce.ax! d, siendo c b 0

) Se supone que u(x)%.ce.ax! d, siendo c b 0, donde a b 0.Entonces u(x)% cae.ax u(x)%.ca2e.ax.

Por tanto, ja(x)%.u(x)u(x)

% a b 0.

c) Se demuestra de manera anloga a b).

Algunos comentarios sobre las distintas escalas de medida

La escala en que se mide la utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern es cardinalintervalo (como la de temperatura en grados centgrados). Si la transformamos medianteuna aplicacin afn positiva, la funcin de utilidad esperada resultante es equivalentea la primera (como la escala Fahrenheit es equivalente a la centgrada, con correspon-dencia 0 oC a 32 oF y 100 oC a 212 oF, que se consigue mediante la transformacinF(xo)% 1,8xo! 32).

Tiene sentido decir la utilidad de A es mayor que la de B y tambin la diferenciade utilidad entre B y C es cinco veces mayor que entre A y C, pero no lo tiene decir lautilidad de A es doble que la de B o la utilidad de A es 5 unidades mayor que la de B.

El tipo de escala aplicable para representar una magnitud depende de las caractersti-cas fsicas y lgicas de dicha magnitud. La lista siguiente menciona las escalas ms im-portantes, seguidas de algn ejemplo de magnitud al que se apliquen:

Escala Ordinal

Dureza (A tiene igual o mayor dureza que B si y slo si U(A) n U(B)).No tiene sentido decir A tiene doble dureza que B. No se ha encontrado, que sepa-

mos, la manera de medir la dureza de los materiales con una escala ms rica o elaboradaque la ordinal.

Escala Cardinal-Intervalo

Temperatura (A tiene igual o mayor temperatura que B si y slo si U(A) n U(B)).No tiene sentido decir A tiene doble temperatura que B, pero s decir que la dife-

rencia de temperatura entre A y B es doble que entre C y D.

Escala Cardinal-Ratio

Peso o saldo, sin especificar la unidad de medida (A tiene igual o mayor peso o saldoque B si y slo si U(A) nU(B)).

No tiene sentido decir a tiene un peso tres unidades mayor que b, pero s decir que atiene un peso doble que b.

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Escala Cardinal Absoluta

Saldo en euros (A tiene igual o mayor saldo en euros que B si y slo si U(A) n U(B)).Tienen sentido todas las sentencias anteriores.

1.4. JUEGOS EN FORMA EXTENSIVA

Para introducir la forma extensiva de representacin de un juego nos servimos del si-guiente juego sencillo.

Ejemplo 1.11

Pedro subasta un billete de 50 euros entre Carlos y Blanca con las siguientes reglas: sejuega por turnos. Aqul a quien le toca jugar puede pasar, o pujar con 20 euros ms queel anterior (suponiendo que los tiene). Empieza Blanca (pasando o pujando con 20euros). Si un jugador decide pasar, ya no puede pujar en una jugada posterior. Gana elltimo en pujar, que se lleva el billete. Si ninguno ha pujado se llevan 25 euros cadauno. Ambos jugadores deben pagar su ltima puja. Aparte de las reglas es de conoci-miento comn que cada jugador tiene slo 60 euros.

Sean: Blanca, la jugadora 1, Carlos, el jugador 2. Podemos representar la situacindescrita en el ejemplo anterior mediante rbol representado en la Figura 1.2.

Jugadora 1

Jugadora 1

Jugador 2

Jugador 2P

P

P

P

20

40

60

20

25, 25

0, 30

30, 0

20, 10

10, 40

Figura 1.2 Subasta de un billete de 50 euros.

El rbol anterior tiene un punto inicial o raz, desde el que se empieza el juego, eneste caso la eleccin de Blanca (jugadora 1) entre pasar (P) o pujar con 20 euros (20).Ello da lugar a dos ramas, una para cada posible eleccin de Blanca.

La primera rama, a la que se accede si Blanca elige P, a la vez se divide en dosramas, desde el nodo que corresponde a la eleccin de Carlos entre pasar (P) o pujarcon 20 euros (20). Si Carlos decide pasar (P), se termina el juego y cada jugador recibe25 euros, mientras que si decide pujar con 20 euros, el juego termina, llevndose Carloslos 50 euros y teniendo que pagar su puja, por lo que obtiene un beneficio de 30 euros,sin que Blanca tenga que pagar ni recibir nada (situacin que se recoge en el nodo quelleva asociados los valores 0, 30).

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La segunda rama, a la que se accede si Blanca puja con 20 euros, a su vez se divideen dos ramas, desde el nodo que corresponde a la eleccin de Carlos entre pasar (P) opujar con 40 euros (40), 20 euros ms que la puja de Blanca. Si el jugador 2 elige P, seacaba el juego, recibiendo Blanca los 50 euros, pero teniendo que pagar los 20 de supuja, sin que Carlos reciba ni pague nada. Si Carlos puja con 40 euros llega el turno denuevo a Blanca que debe elegir entre pasar (y se acaba el juego, con pagos .20, 10respectivamente, ya que Blanca debe pagar los 20 euros de su ltima puja y Carlos los40 euros de su ltima puja, recibiendo ste los 50 euros) o pujar con 60, recibiendoBlanca los 50 euros y debiendo pagar 60 euros y Carlos 40, correspondientes a su lti-ma puja, con lo que tambin se acaba el juego pues ningn jugador tiene ms de 60euros para seguir pujando.

Los elementos que definen el rbol del juego son:

Los jugadores, que en este caso son la jugadora 1 (Blanca) y el jugador 2 (Carlos).Un conjunto de nodos, los cuales corresponden a situaciones de eleccin de algunode los jugadores o de final del juego.Un conjunto de acciones, que son las que enlazan un nodo con otro, y que corres-ponden a elecciones de los jugadores.Unos vectores de pagos, cada uno de los cuales est asociado a un nodo de final dejuego y que tiene dos componentes, la primera de las cuales recoge el pago (o lautilidad) que recibe o que obtiene el jugador 1, y la segunda de las cuales recoge elpago (o la utilidad) que recibe o que obtiene el jugador 2 si el juego termina en esenodo.

El ejemplo anterior es un juego con movimientos sucesivos de los jugadores. Veamos acontinuacin un ejemplo con movimientos simultneos, en el que habr que introducirun nuevo concepto para poder representar el juego por medio de un diagrama.

Ejemplo 1.12 El juego de las monedas

Los jugadores (1 y 2) depositan de manera simultnea sendas monedas de un euro so-bre una mesa. Si resultan dos caras o dos cruces, el jugador 1 recoge los dos euros,mientras que si hay una cara y una cruz, el jugador 2 se lleva los dos euros.

La representacin en forma extensiva de este juego se recoge en la Figura 1.3.

Jugador 1

Jugador 2

Jugador 2

C

C

CX

X

X

1, 1

1, 1

1, 1

1, 1

Figura 1.3 El juego de las monedas.

Formas de representacin de un juego 27

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En la representacin se observa que los dos nodos correspondientes a una decisindel jugador 2 estn unidos mediante un segmento de recta con trazo discontinuo. Sedice que estos dos nodos forman un conjunto de informacin para el jugador 2, puestoque dicho jugador no sabe en cul de los nodos de dicho conjunto se encuentra.

El juego anterior tambin se puede representar de la siguiente forma equivalente(Figura 1.4), en donde la nica diferencia es que se representa al jugador 2 en la razdel juego y al jugador 1 en el conjunto de informacin formado por dos nodos

Jugador 2

Jugador 1

Jugador 1

C

C

CX

X

X

1, 1

1, 1

1, 1

1, 1

Figura 1.4 El juego de las monedas.

En general, un conjunto de informacin es un conjunto de nodos de decisin para elmismo jugador. Cuando a un jugador le toca jugar desde un conjunto de informacin eljugador no sabe en cul de los nodos pertenecientes a dicho conjunto se encuentra.

Las condiciones que deben cumplir varios nodos para pertenecer al mismo conjuntode informacin son las siguientes:

Los conjuntos de informacin del jugador i J contienen slo nodos de decisindel jugador i.Cada nodo de decisin del jugador i est contenido en uno y slo uno de los con-juntos de informacin de ese jugador.Las mismas acciones deben estar disponibles para un jugador en cada uno de losnodos de un conjunto de informacin. De no ser as, dicho jugador tendra unapista sobre el nodo en que se encuentra, a partir de las acciones que estn disponi-bles en ese nodo.

Veamos a continuacin otro ejemplo en el cual uno de los movimientos lo realiza lanaturaleza (o el azar).

Ejemplo 1.13

Se tiene una baraja espaola de cartas, donde las cartas estn mezcladas aleatoriamente.Cada uno de los dos jugadores, Blanca y Carlos, deposita un billete de 5 euros en lamesa. A continuacin, Blanca toma una carta de la baraja y comprueba cul es. Nadiems ve la carta. Entonces Blanca puede apostar, poniendo 5 euros ms en la mesa, oretirarse. Si se retira, el dinero que hay en la mesa es para Blanca si la carta escogida esun oro o una copa, siendo para Carlos si la carta en cuestin es una espada o un basto.

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Si ha optado por apostar, Carlos puede recoger la apuesta, poniendo 5 euros ms en labanca, o pasar. En el primer caso se lleva todo Blanca si la carta escogida es un oro ouna copa, o todo Carlos si se trata de una espada o un basto. Si Carlos pasa se lo llevatodo Blanca, cualquiera que sea la carta escogida.

Sean: Blanca, la jugadora 1, Carlos el jugador 2.La representacin de este juego en forma extensiva aparece en la Figura 1.5.

Jugador 0

Jugadora 1

Jugador 2

Jugador 2

Jugadora 1

O-C

A

A

RA

RA

P

P

E-B

R

R

10, 10

10, 105, 5

5, 5

5, 5

5, 5

1/2

1/2

Figura 1.5 Juego de cartas.

Cuando hay un movimiento que lo realiza la naturaleza, se representa como si lorealizara el jugador 0. Vemos en el diagrama que la raz del juego, en este caso, corres-ponde a una intervencin del azar (jugador 0), que determina si la carta que toma lajugadora 1 es de alguno de los palos que la favorecen, oros o copas (O-C) o de los queno la favorecen, es decir, espadas o bastos (E-B). La probabilidad de que sea de cada unade las formas (favorable o desfavorable a Blanca) es igual a 1/2, tal como aparece en eldiagrama.

Por tanto, cuando en un juego hay algn movimiento realizado por el azar o por lanaturaleza, se introduce el jugador 0 y se especifica la probabilidad de cada una de lasramas que surgen del nodo correspondiente al jugador 0.

Elementos de un juego

A continuacin se definen los elementos que caracterizan a un juego en forma extensiva.

1. Sea el conjunto de jugadores: J% {0, 1, 2, ..., n}.Si no hay movimientos de azar o de la naturaleza, entonces J% {1, 2, ..., n}.

2. Sea X el conjunto de nodos. Un nodo representa una posible situacin del juego.Entre los nodos hay uno de ellos que es la raz del juego, punto de comienzo deljuego. Dicho nodo se representa por o (referente al origen).

A continuacin se define la siguiente funcin:

p : X r Xx r p(x)

Formas de representacin de un juego 29

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en donde p(O)%O, y para x O, p(x) es el nodo inmediatamente predecesor dex. Sea p2(x)% p(p(x)), p3(x)%p(p(p(x))), y as sucesivamente, por lo que ite-rando p(x) se obtienen todos los nodos predecesores de x.

Sea s(x)% p.1(x), el conjunto de nodos que siguen inmediatamente a x.Un nodo es terminal si no le sigue ningn otro nodo, siendo un nodo de deci-

sin si le sigue algn otro nodo. Se definen los siguientes conjuntos:

T(X)% {x X: s(x)%}

el conjunto de nodos terminales del juego.D(X)% {x X: s(x) }%X .T(X), el conjunto de nodos de decisin del

juego.3. Sea A el conjunto de todas las posibles acciones.

Se define la funcin:

a : X . {O} r Ax r a(x)

que hace corresponder a cada nodo distinto del origen aquella accin a(x) quelleva desde el nodo inmediato predecesor p(x) al nodo x.

Se verifica que si x, x s(x), siendo x x, entonces a(x) a(x). Esdecir, acciones que parten del mismo nodo y conducen a nodos distintos, debenser distintas.

Para cualquier nodo de decisin x D(X), representamos el conjunto de ac-ciones disponibles a partir de x por:

A(x)% {a A: Px s(x) con a% a(x)}

4. Para cada jugador i sea Xi el conjunto de nodos de decisin en los que el jugadori tiene que elegir una accin. En un nodo particular de decisin slo mueve unode los jugadores. Se tiene que

Zi J

Xi%D(X)

O i, j J, con i j, se verifica que Xi Xj%

Vemos, por tanto, que la familia {Xi}i J constituye una particin, por jugado-res, del conjunto de nodos de decisin D(X).

5. Una familia de conjuntos de informacin H, y una funcin

h : X r Hx r h(x)

que asigna a cada nodo x un conjunto de informacin h(x) al que pertenece. Losconjuntos de informacin forman una particin de D(X).

Como hemos visto anteriormente, todos los nodos de decisin que pertene-cen a un mismo conjunto de informacin tienen las mismas acciones disponibles,es decir:

A(x)%A(x), si h(x)% h(x)

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Sea h% h(x), un conjunto de informacin perteneciente a H. Por tanto, pode-mos representar por A(h) el conjunto de acciones disponibles en el conjunto deinformacin h.

A(h)% {a A: a A(x) para x h}

Sea Hi el conjunto de todos los conjuntos de informacin del jugador i.Sea H el conjunto que contiene a todos los conjuntos de informacin conteni-

dos en los Hi, para i J. Es decir,

H%Zi J

Hi

6. Una funcin

o : H0#A r [0, 1](h, a) r o(h, a)

que asigna probabilidades a acciones en conjuntos de informacin donde el mo-vimiento corresponde a la naturaleza o al azar.

Se tiene que verificar que:

o(h, a)% 0, si a A(h) y ;a A(h)

o(h, a)% 1, Oh H0

7. Una funcin de pagos

r : T(X) r Rn

x r r(x)% (r1(x), ..., rn(x))

en donde ri(x) indica el pago o utilidad que recibe el jugador i si se ha alcanzadoel nodo terminal x.

Por tanto, recogiendo todos los elementos anteriores podemos dar la siguiente definicin.

Definicin 1.13

Un juego en forma extensiva A viene especificado por los siguientes elementos:

A% {J, (X, p), (A, a), {Xi}i J, {Hi}i J, (A(h))h H, o, r}

Como ilustracin de cada uno de los elementos definidos, consideremos de nuevo elEjemplo 1.13, pero considerando ahora el diagrama de la Figura 1.6, que se correspondeexactamente con el diagrama de la Figura 1.5, pero utilizando otra notacin. Para estejuego (con este diagrama) vamos a ir calculando cada uno de los elementos que aparecenen la Definicin 1.13.

Formas de representacin de un juego 31

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Jugador 0

Jugadora 1

Jugadora 1

Jugador 2

Jugador 2

ao

c

e

g

g

h

h

b

x1

x3

x7

x8

x9

x6

x10

x4

x5

x2

d

f

10, 10

10, 105, 5

5, 5

5, 5

5, 5

1/2

1/2

Figura 1.6 Juego de cartas.

En este caso se tiene que:

1. J% {0, 1, 2}. Es el conjunto de los jugadores, entre los que se encuentra el juga-dor nmero 0 que corresponde al azar.

2. X% {O, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10} es el conjunto de nodos. Asociadaa este conjunto se define la funcin p, que hace corresponder a cada nododistinto del origen su nodo inmediatamente predecesor, y al origen el propio origen. Portanto, en este caso se tiene:

p(O) %O

p(x1)% p(x2)%O

p(x3)% p(x4)% x1

p(x5)% p(x6)% x2

p(x7)% p(x8)% x3

p(x9)% p(x10)% x5

3. A% {a, b, c, d, e, f, g, h} es el conjunto de acciones. Asociada a este conjuntoest la siguiente funcin a que hace corresponder a cada nodo distinto del origen la ac-cin que conduce a dicho nodo. Por tanto, en este caso:

a(x1)% a

a(x2)% b

a(x3)% c

a(x4)% d

a(x5)% e

a(x6)% f

a(x7)% g

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a(x8)% h

a(x9)% g

a(x10)% h

4. El conjunto de nodos de decisin del azar (jugador nmero cero) es X0% {O}.El conjunto de nodos de decisin del jugador nmero 1 es X1% {x1, x2}.El conjunto de nodos de decisin del jugador nmero 2 es X2% {x3, x5}.5. El conjunto de todos los conjuntos de informacin para el jugador 0, 1 y 2 es,

respectivamente:

H0% {{O}}

H1% {{x1}, {x2}}

H2% {{x3, x5}}

Sea H% {{O}, {x1}, {x2}, {x3, x5}}.A continuacin se define el conjunto de acciones disponibles en cada uno de los

conjuntos de informacin del juego.

A({O})% {a, b}

A({x1})% {c, d}

A({x2})% {e, f }

A({x3, x5})% {g, h}

6. La siguiente funcin asigna probabilidades a cada una de las acciones de azar:

o({O}, a)%1

2

o({O}, b)%1

2

7. Definimos ahora la funcin de pagos, que hace corresponder un vector bidimen-sional a cada uno de los nodos terminales.

r(x4)% (5, .5)

r(x6)% (.5, 5)

r(x7)% (10, .10)

r(x8)% (5, .5)

r(x9)% (.10, 10)

r(x10)% (5, .5)

Formas de representacin de un juego 33

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Ejemplo 1.14

Identificar cada uno de los elementos considerados en la Definicin 1.13 para el juegorepresentado en la Figura 1.7.

Jugador 1

Jugador 2

Jugador 2

Jugador 3

a

o

e

i

i

i

i

i

h

h

h

h

h

b

g

c

x1

x3

x7

x8

x9

x6

x10

x11

x12

x13

x14

x15

x16

x17

x4

x5

x2

d

f

1, 4, 3

1, 3, 2

1, 5, 2

1, 0, 2

2, 1, 2

3, 1, 1

1, 1, 3

2, 1, 1

2, 1, 1

2, 4, 1

Figura 1.7 Juego del Ejemplo 1.14.

En este caso se tiene que:

1. J% {0, 1, 2} es el conjunto de los jugadores. En este caso hay tres jugadores yno hay ningn movimiento que corresponda al azar (por lo que no hay jugador nmerocero).

2. X% {O, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15,x16, x17} es el conjunto de nodos. La funcin p viene definida de la siguiente forma:

p(O) %O

p(x1) %p(x2)%p(x5)%O

p(x3) %p(x4)% x1

p(x6) %p(x7)% x2

p(x8) %p(x9)% x3

p(x10)%p(x11)% x4

p(x12)%p(x13)% x5

p(x14)%p(x15)% x6

p(x16)%p(x17)% x7

34 Teora de juegos

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3. El conjunto de acciones es A% {a, b, c, d, e, f, g, h, i}. La funcin a vienedefinida de la siguiente forma:

a(x1)% a

a(x2)% c

a(x3)% d

a(x4)% e

a(x5)% b

a(x6)% f

a(x7)% g

a(x8)% h

a(x9)% i

a(x10)% h

a(x11)% i

a(x12)% h

a(x13)% i

a(x14)% h

a(x15)% i

a(x16)% h

a(x17)% i

4. El conjunto de nodos de decisin del jugador nmero i, para i% 1, 2, 3 es:

X1% {O}

X2% {x1, x2}

X3% {x3, x4, x5, x6, x7}

5. El conjunto de todos los conjuntos de informacin para el jugador nmero 1, 2y 3 es:

H1% {{O}}

H2% {{x1}, {x2}}

H3% {{x3, x4, x5, x6, x7}}

Por tanto,

H% {{O}, {x1}, {x2}, {x3, x4, x5, x6, x7}}

Formas de representacin de un juego 35

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A continuacin se define el conjunto de acciones disponibles en cada uno de losconjuntos de informacin del juego.

A({O})% {a, b, c}

A({x1})% {d, e}

A({x2})% { f, g}

A({x3, x4, x5, x6, x7})% {h, i}

6. En este caso no tiene sentido definir la funcin o porque no existen movimien-tos de azar (es decir, no hay jugador nmero cero).

7. A cada nodo terminal le hacemos corresponder ahora un vector de pagos, endonde la primera componente consiste en el pago que va a recibir el jugador nmero 1,la segunda componente el pago que va a recibir el jugador nmero 2 y la tercera com-ponente el pago que va a recibir el jugador nmero 3. Por tanto,

r(x8)% (1, 4, 3)

r(x9)% (2, 1, .1)

r(x10)%