Un grupo G es un conjunto equipado con una operación tal que: 1. a,b∈G ⇒ ab∈G 2. a(bc)= (ab)c para todas a,b,c∈G. Esta propiedad se llama asociatividad. 3. Existe un elemento 1∈G tal que a1= 1a = a para toda a∈G. 4. Para toda a∈G existe b∈G tal que ab = ba = 1.

Proposición 1. Si H GΦ ≠ ⊆ , entonces las siguientes condiciones son equivalentes: a) H < G b) HH⊆ H y 1H − H⊆ c) 1HH H− ⊆ .

Demostración. a)⇒b) y b) ⇒ c) son claras. Veamos que c) ⇒ a). Como existe h∈H, se tiene que 1 = h 1h− ∈ H y que por tanto 1 11a H a a H− −∈ ⇒ = ⋅ ∈ . Finalmente a, b∈H 1 1( ) .ab a b H− −⇒ = ∈ ■ Teorema 2(Lagrange). Si G es un grupo finito y H <G, entonces H G . Demostración. Toda clase lateral derecha xH de H tiene H elementos. Si

1 2xh yh xH yH= ∈ ∩ con 1 2, ,h h H entonces∈ 1 12 1y x h h H− −= ∈ , por lo que

1( ) .yH y y x H xH−= = Se ve pues, que las clases laterales distintas son disjuntas. Si hay n de ellas, se tiene n H = G .■ El índice de H en G, escrito [G: H] es el número de clases laterales de H en G.

Cuando G es finito, [G: H] =GH

.

Si { }i i IH

∈ es una colección de subgrupos de G, es claro que ( ii I

H∈∩ ) < G. Si ahora

A⊆G. Entonces A H

H G⊆<∩ H es un subgrupo de G, escrito A y llamado el subgrupo

generado por A. Se dice que un grupo G es cíclico cuando existe a∈G tal que G = a . Obviamente,

nZ es cíclico y de orden n. También es obvio que todo grupo cíclico es Abeliano. Corolario 3. Si G es un grupo finito de orden n, entonces na = 1 para toda a∈G

Demostración. Sea H = a < G. Se ve que a = { }2 11, , ,..., ma a a − , donde m es el

mínimo entero positivo tal que ma =1 . Es claro que m/n.■ Se define el orden de a∈G como el orden de a , escrito a . Definimos la función ϕ de Euler así: ϕ : N → N, ϕ (1) = 1, ϕ (n) = número de enteros positivos menores que n y primos relativos con n, para n > 1. Es inmediato que si p es primo, entonces ϕ ( mp ) = mp - 1mp − . Corolario 4 (Euler). Si n es un entero positivo y a es otro, primo con respecto a n, entonces ( ) 1(mod )na nϕ ≡ . Demostración. Los números primos con respecto n, modulo n, forman un grupo multiplicativo de orden ϕ (n). Como a pertenece a este grupo, se tiene que

( ) 1(mod )na nϕ ≡ .■ Corolario 5 (Fermat). Si p es un numero primo, entonces pa a≡ (mod p) para todo entero a. Demostración. Como ( )pϕ = p-1, se tiene que 1 1pa − ≡ (mod p) siempre que a≠ kp, k∈N. En todo caso, pa a≡ (mod p).■ Proposición 6 (Principio de inclusión y exclusión).

1 ...ni i i i i j i jA A A A= ≠∪ = ∑ −∑ ∩ +

Como aplicación de este principio, supongamos que 1p , … , mp son los distintos números primos que dividen a un numero dado n, entonces

( )n nϕ = - 1

np

- … - m

np

+ 1 2

np p

+ … + 1m m

np p−

- … = n 1

1(1 ).m

iip=

−∏

En particular, si (a,b) = 1 , entonces es claro que ( ) ( ) ( ).ab a bϕ ϕ ϕ= Para concluir esta incursión en Teoría de Números veamos también que: Corolario 7. Si a > 1, n ≥ 1 son enteros, entonces n│ ( 1).naϕ −

Demostración. Sea G el grupo multiplicativo de los enteros (mod na -1) primos con respecto a na -1. Entonces│G│= ( 1).naϕ − Es claro que a∈G y que │a│ = n, por lo que n│ ( 1).naϕ − ■ Lema 8. Si H y K son subgrupos de G, entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

a) HK < G. b) HK ⊆ KH. c) HK = KH.

Demostración. c) ⇒ b) es claro. Veamos que b) ⇒ a): (HK) (HK) 1− = HKK 1− H 1− ⊆ HKH 1− = HK 1− H 1− ; pero HK ⊆KH ⇒K 1− H 1− ⊆H 1− K 1− , por lo que HK 1− H 1− ⊆HH 1− K 1− ⊆HK 1− = HK. La conclusión es que (HK)(HK) 1− ⊆HK, por lo que HK < G. Finalmente vemos que a) ⇒ c): HK = (HK) 1− = K 1− H 1− = KH.■ Corolario 9. Si G es un grupo Abeliano y H, K < G, entonces HK < G.

Lema 10. Sean H, K subgrupos finitos de G. Entonces │HK│= H K

H K∩

Demostración. Esto es claro en vista de la siguiente observación: h1 k1 = h 2 k 2 ⇔ h 1

2− h1 = k 2 k 1

1− ∈H∩K para toda h i ∈H, k i ∈K.■

Corolario 11. Si H y K son subgrupos de un grupo finito G y son tales que │H│,│K│> G , entonces │H∩K│>1. En dirección complementaria tenemos el siguiente resultado: Proposición 12. (Poincaré). Si H y K son subgrupos de índice finito en G, entonces H∩K también tiene índice finito en G. Demostración. Si x∈G es arbitrario, entonces es claro que ( ) ( ) ( )x x xH K H K∩ = ∩ . Se ve que hay un numero finito de posibilidades solamente para clases laterales de H∩K.■

SUBGRUPOS NORMALES Se dice que un subgrupo N de G es normal cuando xNx 1− ⊆N para toda x∈G. Esto es claramente equivalente a pedir que xNx 1− = N para toda x∈G. Proposición 13. Si N es un subgrupo de G, entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

a) N es normal, escrito N G. b) Toda clase lateral izquierda de N es una clase lateral derecha de N (o

recíprocamente). Mas precisamente, Nx = xN para toda x∈G. c) El producto de dos clases laterales izquierdas (derechas) de N es una clase

lateral izquierda (derecha) de N.

Demostración. a) ⇒ b): Se tiene xNx 1− = N para toda x∈G, por tanto xN = Nx. b) ⇒ c): N(aN)b = N(Na)b = Nab para toda a,b∈G. d) ⇒ a): para toda x∈G, NxNx 1− es una clase lateral izquierda de N que

contiene a 1 por tanto NxNx 1− = N por tanto xNx 1− ⊆N.■

Teorema 14. Si N G, entonces el conjunto de clases laterales izquierdas G/N es un grupo. Demostración. Esto es consecuencia de que (Na) (Nb) = Nab para toda a, b∈G y de que (Na) 1− = Na 1− ante esta multiplicación de bloques, que es claramente asociativa con identidad N.■ Se dice que un grupo G es simple cuando sus únicos subgrupos normales son { }1 y G. Si a, b∈G, escribimos (a,b) = aba 1− b 1− , el conmutador de los elementos a y b. Proposición 15. Si N G, entonces G/N es Abeliano ⇔ G′ ⊆ N Demostración. Nab = Nba ⇔ Naba 1− b 1− = N ⇔ aba 1− b 1− ∈ N.■ Por otro lado, tenemos Proposición 16. Sea H < G tal que G′ ⊆ H, entonces H G. Demostración. Dados h∈H y a ∈G arbitrarios, aha 1− h 1− ∈ G′ ⊆ H por consiguiente aha 1− ∈ H.■

Proposición 17. Si N, M G son tales que N∩M = , entonces nm = mn para toda m∈M y n∈N. Demostración. mnm 1− n 1− ∈ M∩N por tanto (m,n) =1.■ MORFISMOS Y TEOREMAS FUNDAMENTALES DE ISOMORFISMO Un Homomorfismo o simplemente Morfismo de grupos, es una función f: G→H, donde G y H son grupos tal que f(ab) = f(a)f(b) para toda a, b∈G. Como ejemplo tenemos que la función det: GL n ( ) → *, el determinante, es un Morfismo, donde * es el grupo multiplicativo de los elementos distintos de cero de . Aquí, se puede remplazar a por cualquier otro campo. El núcleo de un Morfismo f: G → H, es por definición { x ∈G│f(x) = 1}. Se escribe ker f. Si G y H son isomorfos, se escribe G≅ H. Las siguientes observaciones son obvias:

1. Si f: G →H es un Morfismo, entonces f(1) = 1, f(x) 1− = f(x 1− ) para toda x∈G.

2. Im f < H. 3. Ker f G. 4. Si f(a) = b, entonces f 1− (b) = Ka, donde K = ker f. 5. El morfismo f es un isomorfismo ⇔ f es sobre y ker f ={1}.

Teorema 18. Sea f: G→H un morfismo sobre con núcleo k, entonces K G y G/K≅ H

Demostración. Sea ϕ : G/K→H la función definida por ϕ (Ka) = f(a). Es fácil ver que ϕ esta bien definida y que es un isomorfismo. ■ Observamos que si nos dan un subgrupo normal K de un grupo G, entonces existe un grupo H y un morfismo sobre f: G→H con núcleo K. Esto es una consecuencia inmediata del teorema 18. Teorema 19. Sean H y K subgrupos de un grupo de G con K normal, entonces (H∩K) H y H/(H∩K) ≅ HK/K.

Demostración. Sea f: G→G/K el morfismo natural y sea g la restricción de f a H. Observamos que la Im g = HK/K y que ker g = H∩K. La conclusión es ahora consecuencia del teorema anterior. ■

Teorema 20. Sean K⊆H⊆G tres grupos con K y H normales en G. Entonces

(H/K) (G/K) y (G/K)/(H/K) ≅ G/H. Demostración. Sea ϕ : G/K→G/H la función dada por ϕ (Ka) = Ha para toda

a∈G. Es fácil verificar que ϕ está bien definida y queϕ es un morfismo sobre con núcleo H/K. Para concluir se aplica otra vez el teorema 18.■ Teorema 21. Sean G un grupo, K un subgrupo normal y f: G→G/K el morfismo natural. La acción de f en subconjuntos de G da aϕ una biyección entre los subgrupos de G que contienen a K y los subgrupos de G/K. Esta biyección preserva inclusiones y normalidad. Además, si K⊆A < B < G y A′ = f(A), B′ = f(B), entonces

[ B:A] = [ B′:A′] y A B ⇔ A′ B′ , en cuyo caso B/A ≅ B′/A′. Demostración. Si H < G es tal que K⊆H, es claro que (H) < G/K, por lo que se puede definir ϕ : {subgrupos de G que contienen a K}→ { subgrupos de G/K} así: ϕ (H) = f(H); también es claro que ϕ preserva inclusiones y que es sobre: T < G/K ⇒ f 1− (T) < G y K⊆ f 1− (T); y como f es sobre, f(f 1− (T)) = T. Veamos que ϕ es una función inyectiva: Sean H1 , H 2 < G tales que K⊆H1 , H 2 y H1 /K = H 2 /K. Si a∈H1 , entonces existe b∈H 2 con Ka = Kb por tanto ab 1− ∈K⊆H 2 y entonces a∈H 2 .Esto demuestra que H1 ⊆H 2 . La otra inclusión se obtiene de manera análoga. También es claro que si K⊆A⊆B y A B, entonces A′ B′ , recíprocamente. Además, B′/A′ = (B/K)/(A/K)≅ B/A. Conjugación y Automorfismos Un endomorfismo es un morfismo f: G→G de un grupo en sí mismo. Un automorfismo de G es un isomorfismo de G en G. El conjunto de los automorfismos de un grupo G forma un grupo ante composición de funciones de funciones, este grupo se escribe Aut G. Si G es un grupo y a∈ G, sea i a : G→G la función dada por i a (x) = axa 1− . Como i a (xy) = i a (x)i a (y) y también i a (x 1− ) = i a (x) 1− , se ve que i a ∈Aut G. Se define Int G = {i a │a ∈G} el conjunto de los automorfismos internos de G. La función i a se llama conjugación con a. Como (i a i b )(x) = (ab)x(ab) 1− = i ab (x) es cierto para toda x∈G, se ve que i a i b = i ab . Similarmente, i 1a− = i 1

a− . Así, Int G < Aut G.

Proposición 22. Int G Aut G. Demostración. Sean a∈Aut G, x∈G arbitrarios, entonces (a i x a 1− )(g) = a

(xa 1− (g)x 1− ) = a(x)ga(x) 1− vale para toda g ∈ G , por lo que se ve que a i x a 1− = i, que demuestra la proposición. ■

Se dice que a, b son conjugados en G cuando existe x∈G tal que b= xax 1− .

Evidemente, conjugación es una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia se llaman clases de conjugación.

Se dice que un subgrupo H de G es característico cuando f(H)⊆H para toda

f∈Aut G. Obviamente esto implica H G. Si N G, entonces N es una unión de clases de conjugación de G. Si G es un grupo y A⊆G, se definen el centralizador de A en G, escrito Z G (A), como{x∈G│xa = ax para toda a∈A} y el normalizador de A en G, escrito N G (A), como {x∈G│xA = Ax}. Claramente Z(A), N(A) < G y Z(A) N(A) para todo subconjunto A de G. El grupo Z (G) se llama el centro de G y se escribe Z. Es claro que Z es un subgrupo característico de G.

Teorema 23. G/Z ≅ Int G. Demostración. Sea f: G → Int G la función dada por f(a) = i a . Es claro que f

es un morfismo sobre y que ker f = Z. ■

ACCIONES DE GRUPOS Se dice que un grupo G actúa en un conjunto X cuando se tiene un morfismo f: G →S x . Esto es equivalente a decir que existe una función ϕ : G x X → X, donde escribimos ϕ (g, x) = g • x y requerimos que se satisfagan las siguientes condiciones: (gh) • (x) = g • ( h • x) para toda g, h ∈G, x∈X.. l • x = x para toda x∈ X g • X = X para toda g ∈G. En estas condiciones se definen los siguientes conceptos: Para cada elemento x∈X, el estabilizador de x es G x = {g∈G│g • x = x}, que es claramente un subgrupo de G. La órbita de x es G • x = {g •x │g∈G }. Se dice que un a acción es transitiva cuando el numero de órbitas es 1, es decir, cuando existe x∈X tal que G • x = X. Se dice que x es un punto fijo cuando G x = G. El conjunto de los puntos fijos de X se escribe X G .

Teorema 24. Si G actúa en X, entonces X es la unión disjunta de las órbitas. Existe una biyección entre los elementos de la órbita de x y las clases laterales de G x en G. En particular, │G • x│= [ G: G x ]. Demostración. La condición “x, y pertenecen a una órbita” define una relación de equivalencia, por lo que la primera afirmación es clara. Definimos ϕ : G/G x →G • x así: ϕ (aG x ) = a • x. Claramente ϕ es una función sobre, ϕ ( aG x ) = ϕ (bG x ) ⇒ a • x = b • x ⇒ b 1− a ∈ G x ⇒ bG x = b(b 1− a) G x = a G x , por lo que ϕ es una biyección. La tercera conclusión es inmediata.■ En el caso de conjugación, denotando por C(x) la clase de x, se ve que

[ ]( ) : ( )C x G Z x= y que también vale la llamada ecuación de clase para grupos finitos G:

( ) ( )C a

GG

Z a=∑

donde la suma se toma sobre las distintas clases de conjugación de G. Teorema 25. Si el orden de un grupo G es p n con p primo y n ≥ 1, entonces Z ≠ {1}.

Demostración. En la ecuación de clase, ( ) ( )C a

GG Z

Z a= +∑ , donde la suma

se toma sobre las clases de conjugación de elementos no centrales, ahí p│( )G

Z a

siempre, por tanto p│ Z y Z > 1. ■ Corolario 26. Si G = 2p con p primo, entonces G es abeliano. Demostración. Z = p ó 2p . Es suficiente ver que Z ≠ p. Supongamos que

Z p= y que a∉Z, entonces Z⊂ Z(a) < G por tanto Z(a) = G y a∈Z. Contradicción. ■

El siguiente teorema debido a cayley garantiza que para todo grupo G siempre existen un conjunto X y una acción f : G → S x con la propiedad de que f es inyectiva.

Teorema 27. (Cayley) Todo grupo G es isomorfo a un grupo de permutaciones

Demostración. Definimos una función f :G→S G como sigue: f(a) = f a es multiplicación izquierda por a, es decir, f a (x) = ax para toda x∈G. Entonces toda f a ∈S G y ( ) ( ) ( )a b abf f x a bx abx f x= = = para toda x∈G garantiza que f a f b = f ab por lo que f es un morfismo cuyo núcleo {a∈G│ax = x para toda x∈G} es {1}. La conclusión es que G≅ Im f.■ Observamos que no se concluye que f sea sobre, ni que G sea isomorfo a un grupo simétrico; nada mas que G es isomorfo a un subgrupo de un grupo simétrico. Teorema 28. Sean G un grupo, H un subgrupo y A = G/H el conjunto de las clases laterales derechas de H en G. Entonces existe una acción f: G → S A cuyo núcleo es el máximo subgrupo normal de G contenido en H. Demostración. Se define f: G→S A como en el teorema anterior: f(a) = f a es la función de A en A dada por gH agH para toda g∈G. Claramente f es un morfismo. Sea K = ker f. Como k∈K ⇒ kH = H, se ve que k∈H y que K⊆H. Ya sabemos que K G. Sea N G tal que N⊂H, entonces n∈G ⇒ g 1− n g∈N⊂H para toda g∈G; así g 1− ng H = H, es decir, ngH = gH para toda n∈N, g∈G. Se concluye que N⊆K. ■ Corolario 29. Si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G distinto de G tal que G ¦ [G:H]!, entonces H contiene un subgrupo normal no trivial de G. En particular, G no es simple. Demostración. Sea f: G→S A como en el teorema anterior, con núcleo K. Sabemos que K G y que K⊆H. Si K ={1} , entonces f es inyectivo y G =

ImG │[G:H]!, que es una contradicción. ■

Teorema 30 (Cauchy-Frobenius). Si p es un número primo y p │ G ,

entonces el numero de soluciones en G de la ecuación x p = 1 es un múltiplo de p. En particular, existe almenos un elemento de G de orden p.

Demostración. Sea A = {( 1,..., px x )│x i ∈G, 1... px x =1}. Entonces A = 1pG − ,

pues 1 1,..., px x − pueden ser arbitrarios y x p = ( 1 1,..., px x − ) 1− , por tanto p│ A . A se divide en clases de equivalencia así: ( 1,..., px x ) ~ ( 2 1,..., ,px x x ) ~ … ~ ( 1 1, ,...,p px x x − ). Se afirma que cada clase equivalencia tiene p elementos, a menos que x1 = … = x p , en cuyo caso la clase de equivalencia tiene un elemento. Esto es claro, pues x1 = x1 j+ = x1 2 j+ = … para alguna j entre 1 y p-1 implica 1x = x 2 = … = x p ,

porque en Z /PZ, {1, 1+j, 1+2j, … }= Z /PZ . Así se obtiene que el número de elementos x∈G tales que x p = 1 es un múltiplo de p. Como x = 1 es uno de ellos, existe al menos otro, es decir, un elemento de orden p.■ El grupo simétrico Ya sabemos que para todo conjunto X, las biyecciones de X en X forman el grupo llamado simétrico S X . Cuando X es finito, con n elementos, escribimos S n y pensamos que X = {1,2,…,n}.

Es fácil demostrar que nS n= !

Si σ ∈S n , entonces σ actúa naturalmente en {1,2,…,n} y descompone a este conjunto en órbitas (disjuntas) que son también las órbitas de σ , por lo que una notación eficiente para las permutaciones consiste en escribir una tras otra las órbitas de σ como (1, σ (1), σ 2 (1),…). Así por ejemplo σ ∈ S 3 tal que σ (1) = 3 , σ (2) = 1 y σ (3) = 2 se escribe como σ = (132). Cada órbita así escrita se llama ciclo y por ejemplo, se dice que (132 ) es un 3-ciclo. Los puntos fijos no se escriben.

Consideremos otro ejemplo, τ ∈S 4 tal que τ (1) = 3, τ (2) = 4, τ (3) = 1 y

τ (4) = 2 se escribe como τ = (13)(24) = (31)(42) = (24)(31), etc. Proposición 31 Toda permutación se puede escribir como un producto de ciclos

disjuntos: sus órbitas. Es conveniente decir explícitamente que si σ ,τ ∈S n , entonces σ τ es aquel elemento de S n que resulta al aplicar primeroτ y σ , lo que comúnmente se escribe como σ τ .

Consideremos [ ]1,..., nx x , el conjunto de polinomios en n variables con coeficientes en . El grupo S n actúa ahí de manera natural al decretar que σ (a) = a para toda a∈ , σ (x i ) = x ( )iσ para toda i y que σ (f + g) = σ (f) + σ (g), σ (fg) =

σ (f)σ (g) para toda f , g ∈ [ ]1,..., nx x , todo esto para toda σ ∈ S n .

El polinomio f = ( )i j i jx x<Π − tiene la propiedad especial de σ (f) =± f, por lo que si

n≥ 2 la órbita de f tiene 2 elementos {± f}, ya que (12)(f) = -f. Sea A n el estabilizador de f ,entonces A n S n por ser de índice 2. El grupo A n se llama alternante, sus elementos se llaman permutaciones pares. Proposición 32. Las clases de conjugación de S n son los conjuntos de elementos de S n con la misma descomposición cíclica. El número de clases de conjugación de S n es p(n) = número de particiones de n, es decir, el número de maneras en que n se puede escribir como n = n i + … + n m con cada n i un entero positivo. Demostración.Todo es consecuencia de la observación de que si x = (12…a) … es la descomposición en ciclos disjuntos de x, entonces para toda σ ∈ S n se tiene que σ xσ 1− = (σ (1) σ (2)…σ (a))… .■ Las transposiciones son los conjugadas de (12). Proposición 33. Toda permutación es un producto de transposiciones, es decir, las transposiciones generan S n , o mejor aún, las transposiciones de la forma (1a) con a arbitrario generan S n . Demostración. Es suficiente observar las identidades (12 … m) = (1m) … (13)(12) y (ab) = (1b)(1a)(1b). ■ Proposición 34. Si n ≥ 3, entonces el conjunto de los 3-ciclos genera a A n . Demostración. Sabemos que todo 3-ciclo es par y que toda permutación par se puede escribir como un producto par de transposiciones. La demostración se termina al

observar que (123) = (13)(12) y que (ab) (cd) = (ab)(bc)(bc)(cd) = (bca)(cdb) si a, b, c y d son todos distintos. ■

El número de transposiciones en S n es ! ( 1)( 2)!2 2

n n nn

−=

− ; el número de

r-ciclos en S n es !( )!

nn r r−

; y el número de productos de k transposiciones

disjuntas en S n es !2 !( 2 )!k

nk n k−

.

Proposición 35. Si n ≥ 3, entonces el centro de S n es trivial. En particular Int S n ≅ S n si n≥ 3. Demostración. Si σ ∈ S n tiene un ciclo de longitud ≥ 3, entonces podemos escribir σ = (123…)… ∈ Z, porque σ no conmuta con (12). Aquí y adelante, es permisible reemplazar a σ por un conjugado suyo. Si σ no tiene ciclos de longitud ≥ 3 y σ = 1, entonces σ = (12)… no está en el centro porque no conmuta con (13). Se concluye que el centro es trivial. ■

Proposición 36. Si n≥ 4, entonces el centro de A n es trivial y también Int (A n )≅ A n .

Demostración. Dada 1 = σ ∈ A n , o bien σ = (123…)…, que no conmuta con

(12)(34); o bien σ = (12)(34)…, que no conmuta con (123).■ Lema 37. Sea x ∈ A n , entonces Z

nS (x) nA⊆ ⇔ la descomposición cíclica de x : ( 1,..., nz z ) satisface z 2 = z 4 1 3... 0; , ,... 1.z z= = ≤

Demostración. ⇒ : x conmuta con cada uno de sus ciclos, por lo que son pares,

es decir, de longitud impar. Si hay 2 ciclos de la misma longitud (impar) i, entonces x conmuta con el producto (impar) de i transposiciones que conjuga uno de esos ciclos en el otro. Contradicción.⇐ : Recíprocamente, si x es como en el enunciado y a∈Z(x), entonces a necesariamente conmuta con cada ciclo y de x, y esto implica que a actúa como potencia de y en los elementos que y mueve. Así a es par. ■

Teorema 38. Una clase de conjugación par de x en ∈ S n es una clase de conjugación de A n o bien es la unión de dos clases de conjugación de A n con el mismo número de elementos. Esto último sucede exactamente cuando Z

nS (x) nA⊆ . Demostración. El orden de la clase de conjugación de x en A n es

[ ][ ]

[ ] [ ]

: ( ) , ( ) .: ( ( )) 1: ( ) : ( ) , ( )

2

n n

n nn n n

S Z x cuando Z x AA A Z x

A Z x S Z x cuando Z x A

⎧ ⊆⎪∩ = ⎨

= ⊆⎪⎩

Corolario 39. Si n≥ 5, entonces la clase de conjugación {(abc)} de S n es

también una clase de conjugación de A n . Observemos que si n≥ 5, entonces el único subgrupo normal ≠ {1}de A n que

contiene un 3-ciclo es A n , pues {1}≠ N A con (abc)∈ N ⇒N contiene a toda la clase de conjugación de (abc) en A n que consiste de todos los 3-ciclos por tanto N = A n .

Teorema 40. Si n≥ 5, entonces A n es simple. Demostración. Sean {1}≠ N A n y 1≠ a ∈N. Como A n no tiene centro,

existe un 3-ciclo b que no conmuta con a. Entonces el elemento c = (aba 1− )b 1− ≠ 1, que está en N, es un producto de dos 3-ciclos. Se concluye que N intersecta de manera no trivial a un subgrupo H de A n isomorfo con A 6 (pues c mueve cuando más a 6 puntos ), entonces (N∩H) H por tanto N ∩H = H por tanto N contiene un 3-ciclo por tanto N = A n . ■

Teorema 41. Si n≠ 6, entonces Aut (S n ) = int (S n ). Si además, n≥ 3, entonces

Aut(S n ) ≅ S n . Demostración. Lo único que requiere demostración es la primera parte. Si a∈

Aut (S n ), entonces a envía clases de conjugación a clases de conjugación y preserva el orden de los elementos. Se concluye que a envía el conjunto de las transposiciones al conjunto de productos de k transposiciones disjuntas para cierto k.

Como el número de transposiciones es ( 1)2

n n − y el de los productos de k

transposiciones disjuntos es !2 !( 2 )!k

nk n k−

, es fácil ver que estos números son distintos

excepto cuando k = 1 ó bien n = 6 y k = 3. Así, como n ≠ 6, a envía transposiciones a transposiciones. Escribamos a( 1r )

= (a r b r ). Si r ≠ 2, entonces (1r)(12) = (12r), que tiene orden 3, por lo que a(12r) = (a r b r )(a 2 b 2 ) también debe ser de orden 3, lo que implica que (a r b r ) y ( a 2 b 2 ) tienen una letra en común, es decir, a 2 = a r ó bien b 2 = b r . Esto mismo puede hacerse al remplazar r por s ≠ 1,2,r. Consideremos la posibilidad de que a 2 = a r y b 2 = b s . Entonces a(12r) = (a 2 b r )( a 2 b 2 ) = (a 2 b 2 b r ), mientras que a(12s) = (a s b 2 ) (a 2 b 2 ) = (b 2 a 2 a s ), por lo que a((12s)(12r)) = (b 2 a 2 a s )(a 2 b 2 b r ) = (b 2 b r a s ), un elemento de orden 3, hecho que contradice al orden 2 de (12s)(12r) = (1s)(2r).

Se ve pues que ó bien siempre se tiene a 2 = a r ó bien siempre b 2 = b r por lo que a(1r) = (a 2 b r ) puede suponerse, sin perdida de generalidad, como válido para todo

r ≠ 1. Esto demuestra que a = i σ donde σ = 2

1 ... ...... ...r

ra b⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

. ■

PRODUCTOS DIRECTOS Si G1 , …, G n son grupos, definimos el producto directo G1 × … × G n como el conjunto {(g1 ,…, g n )│g i ∈G i } con multiplicación (g1 ,…, g n )(g’1 , …, g’ n ) = (g1 g’1 , …, g n g’ n ). Se verifica inmediatamente que esto es un grupo.

Proposición 43. Si G es un grupo Abeliano y f : H→G, g : K→G son morfismos, entonces existe un morfismo único ϕ : H × K → G tal que ϕ (h,1) = f(h) para toda h∈H y ϕ (i,k) = g(k) para toda k∈K. Demostración. Es fácil verificar que ϕ (h, k) = f(h)g(k) es un morfismo, necesariamente único porque H y K generan a H×K.■

Teorema 44. Sean H y K subgrupos normales de un grupo G tales que HK = G y H∩K = {1}. Entonces G≅ H × K.

Demostración. Definimos f: H×K → G así: f(h,k) = hk; f es un

homomorfismo porque los elementos de H conmutan con los de K (Prop. 17), f es sobre por hipótesis, ker f = {(h,k)│hk = 1,h∈H , k∈K } por tanto (h,k)∈ ker f⇒h = k 1− ∈ H∩K = {1} por tanto f es un isomorfismo.■

Teorema 45 Si G = G1 ×G 2 , H G1 y K G 2 , entonces ( H×K ) G y

G/(H×K) ≅ (G1 /H) × (G 2 /K ). Demostración. Sean f :G1 →d G1 / H y g: G 2 → G 2 /K naturales y

ϕ :G→ (G1 /H) × (G 2 ) dado por ϕ (a,b) = (f(a), g(b)). Se ve que ϕ es un morfismo sobre con núcleo H×K.■

Observamos en particular que (G1 × G 2 ) / G1 ≅ G 2 .

SOLVABILIDAD Y NILPOTENCIA Dado un grupo G, definimos G = D 0 G = L 0 G y DG = L 1 G = (G,G) como el subgrupo de G generado por todos los conmutadores (a,b) con a, b∈G. Este es el grupo derivado de G, un subgrupo característico de G. Inductivamente definimos ahora D 1i+ G = ( D i G, D i G ), L 1i+ G = (G, L i G) para i≥ 1. En general, si A, B < G, entonces ( A, B ) = ( , ) : ,a b a A b B∈ ∈ . Es claro

que todo D n G y todo L n G son subgrupos característicos de G y que D n G⊆L n G para toda n.

G⊇DG⊇D 2 G⊇ … es la seria derivada de G y G⊇L1 G⊇L 2 G⊇ … es la serie central descendente de G. Se dice que G es soluble cuando existe n tal que D n G ={1} y que G es nilpotente cuando existe n con L n G = {1} Observemos que se tienen las implicaciones G Abeliano ⇒ G nilpotente ⇒G nilpotente ⇒ G soluble. Es claro que todos los grupos D n G / D 1n+ G son Abelianos y que todos los grupos L n / L 1n+ son subgrupos centrales de G/L 1n+ .

Proposición 46. Todo subgrupo y toda imagen homomorfa de un grupo soluble (nilpotente) G es soluble (nilpotente).

Demostración. Si H < G, es claro que D n H ⊆D n G y que L n H ⊆L n G por

tanto H es soluble (nilpotente) si G lo es. Similarmente, la otra afirmación es consecuencia de que si f: G →H es un

morfismo sobre, entonces f(D n G) = D n H y f(L n G ) = L n H .■ Proposición 47. S i N G es tal que N y G/N son solubles, entonces G es

soluble. Demostración. Como G/N es soluble, D k G⊆N para alguna k; pero N es

soluble por tanto existe con D k+ G = {1}.■ Corolario 48. Un producto directo de grupos solubles es soluble Proposición 49. Si G es un grupo tal que G/Z es nilpotente, entonces G es

nilpotente.

Demostración. Como G/Z es nilpotente, existe n tal que L n G⊆Z por tanto

L 1n+ G = {1}.■ Proposición 50. Todo producto directo de grupos nilpotentes es nilpotente. Proposición 51. a) Si G es soluble, entonces G contiene un subgrupo normal

abeliano≠ {1}. b) Si G es nilpotente, entonces Z≠ {1}. Demostración. a) Si D n G = {1}; pero D 1n− G ≠ {1}, entonces D 1n− G es normal

y Abeliano. b) Si L n G = {1}; pero L 1n− G≠ {1}, entonces L 1n− G⊆Z ■ Proposición 52. Si n≥ 5, entonces S n no es soluble. Demostración. S n soluble ⇒ A n soluble ⇒DA n ≠

A n , A n simple ⇒ DA n =

{1} ⇒ A n Abeliano. Contradicción. ■ Proposición 53. Si G = P n con P primo, entonces G es nilpotente. Demostración. Por inducción en n observando que n = 0, 1 son casos triviales.

Como Z ≠ {1}, G GZ < por tanto G Z es nilpotente y G también es nilpotente. ■

Proposición 54. Si G es un grupo nilpotente y H un subgrupo de G con H≠ G, entonces N G (H) ≠ H. Demostración. Distinguimos 2 casos: Z ⊆ H y Z⊆H. Si Z ⊆ H, entonces HZ < G tal que HZ ≠ H y HZ ⊆ N(H). Si Z⊆H, entonces H Z ≠ G Z y por inducción en i con L i G = {1},

N( H Z )≠ H Z , por tanto N(H) ≠ H. ■

La serie central ascendente de G es la sucesión Z 0 (G) = {1} ⊆ Z1 (G) ⊆… definida como sigue: Z1 (G) = Z(G), el centro de G, inductivamente se define

Z 1i+ (G) como la imagen inversa en G del centro de ( )iG Z G . Es fácil ver inductivamente, que todo Z i (G) es un subgrupo característico de G. Teorema 55. G es nilpotente ⇔ Z k (G) = G para alguna k. Además, si n es

mínimo entero tal que L n = {1}, entonces n es también el mínimo entero tal que Z n = G ( y recíprocamente).

Demostración. (⇒ : ) Suponemos que L n = {1}. Se afirma que L n r− ⊆Z r ,

Para toda r. Esto se verá por inducción en r, siendo claro para r = 0. Entonces suponemos que L n i− ⊆Z i . Sabemos que L ( 1)n i− + /L ( / )n i n iZ G L− −⊆ ; pero G/Z i es imagen homomorfa de G/L n i− , por tanto L ( 1)n i− + Z i /Z i ⊆Z(G/Z i ) por tanto L ( 1)n i− + Z i ⊆Z 1i+ por tanto L ( 1)n i− + ⊆Z 1i+ , que demuestra la afirmación. En particular, se tiene que G = L 0 ⊆Z n . (⇐ :) Recíprocamente, supongamos que Z s = G. Se afirma ahora que L r ⊆ Z s r− para toda r. También L 0 = G = Z s , por lo que inductivamente podemos suponer que L i ⊆Z s i− . Como L 1i+ =(G, L i ), se tiene que L 1i+ ⊆ (G, Z s i− ). Por otro lado, Z s i− /Z ( 1)s i− + ⊆ Z(G/Z ( 1)s i− + ) por tanto ( ) ( )1, .s i s iG Z Z− − +⊆ Por tanto ( )1 ;s i s iL Z− − +⊆ y la

afirmación queda establecida. En particular { }0 1sL Z⊆ = por tanto s n≥ y n es el mínimo entero con nZ G= .

GENERADORES Y RELACIONES Sean X un conjunto no vació F un grupo. Se dice que F es el grupo libre en X cuando existe una función inyectiva :i X F→ tal que para toda función f: X→G, donde G es un grupo, existe un morfismo único de grupos g: F→G tal que el diagrama f i gG X F G←⎯⎯ ⎯⎯→ ⎯⎯→ es conmutativo. Para todo conjunto no vació X, siempre existe un grupo libre F en X que es necesariamente único, pues si F’ es otro, entonces existen funciones inyectivas i: X→F, i’: X→F’ y morfismos únicos ϕ : F→F’ y ψ : F’→F tales que el diagrama 'i iF X F Fψ

ϕ⎯⎯→←⎯⎯ ⎯⎯→ ←⎯⎯

es conmutativo, es decir, tales que ' 'i i y i iϕ ψ= = ; Pero entonces ψ ϕ es un morfismo de grupos que hace conmutativo al diagrama i iF X F Fψ ϕ←⎯⎯ ⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ Esto implica que ψ ϕ es la identidad en F’, por lo que ϕ : F→F’ es un isomorfismo. A continuación se da una idea de cómo construir F: Se forma un alfabeto cuyas letras son los elementos X más cortos de la forma 1a− para las distintas a∈X, junto con el símbolo 1. F es el conjunto de las palabras con un número finito de letras en nuestro alfabeto, donde la palabra vacía se declara igual a 1 y donde se permiten las cancelaciones de toda letra 1 y de todas las parejas a 1a− y 1a− a. Se define una multiplicación de palabras así: el producto a por β es la palabra a β resultado de escribir β a continuación de a. El conjunto con esta operación resulta ser un grupo libre en X. Tal vez el lector quiera verificar la asociatividad si tiene inclinación por ello. Proposición 64. Todo grupo es un cociente de un grupo libre. Demostración. Si G es un grupo y S⊆G es tal que G = S , entonces la inclusión j: S→G se puede extender de manera única a un morfismo suprayectivo de grupos f: F→G, donde F es libre en S. ■ En las condiciones de la proposición, sea R = ker f. Entonces G .F R≅ Se dice que S es sistema de generadores de G y que R es un sistema de relaciones de G.

De esta manera, un grupo cualquiera G puede ser descrito dando un sistema de generadores S de G y otro sistema de generadores S’ de R. Se dice que esta información es una presentación de G. Por ejemplo un grupo cíclico de orden p admite un generador a y un sistema de relaciones generadas por a p , esto se escribe así: : 1p

pZ a a= = . Un grupo cualquiera puede admitir mas de una presentación; por ejemplo, Z : 1pq

pq a a= = = 1 1, : 1, 1, 1p qa b a b aba b− −= = = cuando p, q son números primos

tales que p<q y p ↑ (q-1), como se vio anteriormente.

Observemos que el grupo libre en un generador es precisamente el grupo aditivo .

Si F es el grupo libre en X y R = 1 1 : ,aba b F a b F− − ∈ ∈ , entonces G = F/R es

un grupo abeliano. Se dice que G es el grupo libre Abeliano en X. Es fácil ver que existe una función inyectiva i: X→G tal que para toda función f: X→H, donde H es un grupo Abeliano, existe un morfismo único de grupos g: G→H tal que el diagrama

f i gH X G H←⎯⎯ ⎯⎯→ ⎯⎯→

Es conmutativo; y que ésta es una caracterización del grupo libre Abeliano en X. También es inmediato que el grupo libre Abeliano en X es un producto directo de copias de sobre el conjunto índice X. En la siguiente sección continuaremos el estudio de los grupos libres Abelianos en X para el caso en que X es un conjunto finito. GRUPOS ABELIANOS FINITAMENTE GENERADOS En esta sección estudiaremos primero la estructura y clasificación de los grupos Abelianos finitos, a continuación veremos como se extienden esos resultados al caso de los grupos Abelianos finitamente generados. Todos los grupos que aquí aparecen se suponen Abelianos. También adoptamos la notación aditiva, de manera que la identidad es 0, etc. Si A es un grupo Abeliano finito y p es número primo, pA denota al p-subgrupo de Sylow de A. Así es claro que pA es único y normal (también es característico), y que

pA ≠ (0) ⇔ p | A . El subgrupo pA consiste de los elementos de A cuyo orden es una potencia de p.

Teorema 65. Si A es un grupo Abeliano finito y 1,..., rp p son los distintos primos que dividen a su orden, entonces 1 ...p prA A A= × × . Demostración. Sabemos que piA A para toda i. Si los grupos 1,...,p prA A forman producto directo, entonces 1 ...p prA A× × será un subgrupo de A, del mismo orden que A, por tanto igual con A. Lo que nos queda por verificares que

1 2 1 2 3(0), ( ) (0)p p p p pA A A A A= × =∩ ∩ , etc. Esto es consecuencia de que m.c.d. { 1 2,p p } = 1, etc. ■ El teorema precedente es bastante débil para describir la estructura de los grupos abelianos finitos, pues caracteriza a los grupos nilpotentes finitos. El siguiente resultado, en cambio, nos dará mucha mayor información; pero primero veamos cuáles son los términos y los conceptos que se necesitan. Un grupo G es finitamente generado cuando admite un conjunto finito como sistema de generadores. En el caso de un grupo Abeliano finitamente generado A, es claro que A es finito⇔ todos los elementos de un sistema de generadores de A son de orden finito. Un grupo Abeliano A es el producto directo de sus subgrupos cíclicos

1i iA a con i m= ≤ ≤ , cuando se satisfacen las siguientes condiciones: 1) Para todo a∈A existen in ∈ tales que a = 1 1 ... m mn a n a+ + . 2) 1 1 ... m mn a n a+ + = 0 con in ∈ ⇒ 0i in a = para toda i. Lo anterior no es una definición nueva, es una observación que necesitamos; Y es consecuencia directa de las definiciones vistas antes. Lema 66. Si G = ,..., rg g es un grupo Abeliano y 1,..., rc c ∈ son tales que m.c.d. { ,..., rc c } = 1, entonces existen 1,..., rh h G∈ tales que 1 1 ... r rh C g c g= + + y G = 1,..., rh h . Demostración. La demostración procede por inducción en n = 1 .,..., rc c+ El caso n = 1 es claro. Suponemos pues que n >1, entonces es inmediato que al menos 2 de los números ic son positivos. Escribimos 1 2 0c c≥ > , de manera que

m.c.d.{ }1| 2 2 3, , ,..., rc c c c c =1 y que ( )1 2 2 3 1 2¨ ... ...r rc c c c c c c c− + + + + < + + + . Como

G = 1 1 2 3, , ,..., rg g g g g+ , la hipótesis inductiva garantiza que existen 1,..., rh h G∈

tales que 1,..., rG h h= , donde

( ) ( )1 1 2 2 2 3 3 1 2 2... ...r r r rh c c g c g g c g c g c g c g c g= − + + + + + = + + + . ■ Teorema 67. Sea Aun grupo Abeliano que admite un sistema de generadores con r elementos. Entonces A es un producto directo de r grupos cíclicos. Demostración Sea 1 ,..., rg g un sistema de generadores de A tal que

( )1 ,..., rg g sea mínimo entre todos los sistemas de generadores de A con r elementos

ante el orden lexicográfico. Se afirma que A = 1 ... rg g× × . Para ver esto, supongamos que existen 1 ,..., ra a en teros tales que 1 ... r ra g a g+ + = 0 sin que todo

i ia g = 0. También digamos que 0 i ia g≤ < para toda i. Sea s el mínimo índice i tal que

ia ≠ 0; y sea d = m.c.d. { 1,..., ra a }. Escribiendo i ia db= para toda i, se tiene que m.c.d.

{ }1 ,..., rb b = 1, por lo que el lema garantiza la existencia de un sistema de generadores de

1, ,...,s s rg g g+ así: 1, ,...,s s rh h h+ con ...s s s r rh b g b g= + + . De esta manera, sdh = 0 y

1 1,..., , ,...,s s rG g g h h−= con la contradicción .s s sh d a g≤ ≤ ≤ ■ En el teorema anterior se puede suponer que A > 1 y que el sistema de generadores tiene un número mínimo de elementos, de manera que los factores directos obtenidos sean todos no triviales. Los siguientes teoremas completan la discusión de la estructura y clasificación de los grupos Abelianos finitos. Ahí usaremos la siguiente notación: Si n es un entero, entonces p(n) es el número de particiones de n, es decir, el número de maneras en que n se puede escribir como suma de enteros positivos. Por ejemplo: p(6) = 11, porque 6 = 5+1 =4+2 = 4+1+1 = 3+3 = 3+2+1 =3+1+1+1 = 2+2+2 = 2+2+1+1 = 2+1+1+1+1 = 1+1+1+1+1+1. Teorema 68. Todo grupo Abeliano finito A es un producto directo de grupos cíclicos de ordenes potencias de primos. Los órdenes de los factores directos son únicos.

Si A = 1 ...1n nrp pr con 1 ,..., rp p primos distintos, entonces el número de grupos

Abelianos no isomorfos de orden A es p ( 1n ) … ( rn ).

Demostración. El teorema 65 dice que A es el producto directo de sus subgrupos de Sylow. Aplicamos el teorema 67 a cada uno de estos subgrupos para obtener la primera afirmación. Para ver la segunda afirmación, es suficiente hacerlo en el caso en que A = np con p primo. Como la última afirmación es consecuencia directa de la segunda, es suficiente terminar de ver que los órdenes de los factores directos de A son únicos, suponiendo nA p= .

Si Z kp es un grupo cíclico de orden kp , y f: Z kp

→ Z kp es el morfismo

de grupos dado por f(a) = pa para toda a∈ Z kp, vemos que f( Z kp

) 1Z kp≅ − ; y en

particular que el orden de Z kp se divide entre p al aplicarle f. Más generalmente, si G

es un grupo Abeliano finito de orden una potencia de p y f: G →G se define como

antes, entonces f es un morfismo de grupos y ( )f G = s

Gp

, donde s es el número de

factores cíclicos de G. Como ni f(A) ni su orden dependen de la descomposición de A, se ve dos descomposiciones cualesquiera de A tienen el mismo número de factores. Lo mismo puede decirse de f(A), f 2 (A), etc. Además, cada factor de f i (A) es de orden p veces el orden de un factor correspondiente de f 1i+ (A). Con esta información es claro que se puede reconstruir la descomposición de A; y en particular, que ésta es la única. ■ Veamos un ejemplo: A 4 2p pZ Z≅ × , con p un número primo. Orden A = 4 2p pZ Z× p 6

f(A) = 3p pZ Z× 4p

f 2 (A) = 2pZ 2p

f 3 (A) = Z p P

f 4 (A) = {1} 1

Como 3 ( )f A = p, es claro que f 3 (A) = Z p . Como 2

3

( )( )

f Af A

= p, se ve que

f 2 (A) es cíclico de orden 2p . De que 2( ) ( )f A f A = 2p , concluimos que f(A) tiene

dos factores directos, cuyos ordenes son 3p y p. Finalmente, ( )A f A = 2p nos

indica que A tiene 2 factores directos cíclicos de órdenes 4p y 2p respectivamente. Así, A = 4 2p pZ Z× . Los órdenes de los factores directos de A del teorema anterior se llaman divisores elementales de A. Hay otra versión del resultado anterior que nos disponemos a ver. Primero observemos que si A = a y B = b son grupos cíclicos de ordenes m y n respectivamente y m.c.d. {m,n} = 1, entonces A×B también es cíclico, generado por (a,b), pues (a,b) l = 1 1 | |l la b m l y n l⇒ = = ⇒ de manera que mn| l . Teorema 69. Si A es un grupo Abeliano finito, entonces A 1 ... rA A≅ × × con cada A i cíclico de orden m i y donde 1 2| | ... | .rm m m Los números 1,..., rm m son únicos. Demostración. El teorema 68 dice que A es un producto directo de grupos cíclicos de órdenes potencias de primos. Para cada primo p tal que p | A , hay al menos un factor directo pB de A de orden una máxima potencia de p. El producto directo de los distintos pB al variar p, es un grupo cíclico B cuyo orden es el m.c.d. de los divisores elementales de A. Además, A es un producto directo de B y de los restantes grupos cíclicos de ordenes potencias de primos cuyo m.c.d. divide a B . Por inducción en A se obtiene una descomposición de A como en el enunciado. Veamos ahora la unicidad de los órdenes. Si A ≅ 1 ... sC C× × con cada C i cíclico de orden n i y 1 2| | ... | sn n n , entonces cada C i es el producto directo de sus subgrupos de Sylow, y estos son cíclicos. Esto nos pone en la situación del teorema 68, de donde se concluye que los ordenes de estos subgrupos de Sylow son únicos. Ahora, sn es el m.c.m. de estos órdenes, 1sn − es el m.c.m. de aquellos órdenes que queden al eliminar exactamente una potencia máxima de p para cada primo p que divida a |A|, etc. ■

Los órdenes de los factores directos de A de este ultimo teorema se llaman factores invariantes de A.

Corolario 70. Sea G un grupo Abeliano finito tal que toda ecuación dx = 0 con 0 < d ∈ tiene cuando mas d soluciones. Entonces G es cíclico.

Demostración. Como G≅ 1 ... rG G× × con cada iG cíclico de orden in y con

1n | 2n | … | rn , se ve que todo elemento de G es solución de la ecuación 0rn x = . Se sigue que | G| rn≤ , por lo que G rG≅ es cíclico. ■

Corolario 71.El grupo multiplicativo de todo campo finito es cíclico.

Demostración. Si K es un campo con un número finito de elementos y G = K* es el grupo multiplicativo de los elementos distintos de cero de K, entonces toda ecuación dX = 1 tiene cuando mas d soluciones. Verificándose las hipótesis del teorema anterior, se ve que G es cíclico.■ Supongamos ahora que A es un grupo Abeliano finitamente generado. Decimos que a∈ A es de torsión cuando a tiene orden finito. Definimos tor A = {a∈ A | a es de torsión}, la torsión de A. Como a,b de orden finito⇒ a + b y – a tienen orden finito, se ve que tor A es un subgrupo (característico) de A. Se dice que G es de torsión cuando G = tor G; y que es libre de torsión cuando toro = (0). En la sección anterior vimos que un grupo libre Abeliano G es un producto directo de copias de . El número de factores en esa expresión es el rango de G. Es urgente ver que el rango está bien definido. Escribiendo n en lugar del producto directo de n copias de , tenemos el siguiente resultado que demuestra la consistencia de la definición de rango. Teorema 72. Si n m≅ con m y n ∈ , entonces m = n.

Demostración. Suponiendo n m≅ , se tiene que / 2 / 2n n m m≅ . Como | / 2n n | 2n= y | / 2m m | 2m= , se ve que 2 2n m= , por lo que n = m. ■

Teorema 73. Sea G un grupo Abeliano finitamente generado. Entonces G es el producto directo de toro y de un grupo abeliano libre, cuyo rango es constante. Demostración. Si G = tor G B× con B libre Abeliano, entonces G/ tor G B≅ es libre Abeliano; y el teorema anterior dice que su rango está bien definido. Ahora es suficiente ver que tal descomposición existe. Aplicando el teorema 67 sabemos que 1 ... sG a a≅ × × .Digamos que 1,..., ma a tienen orden infinito mientras que 1,...,m sa a+ son de orden finito. Escribiendo

B = 1 1... ...m m sa a y C a a+× × = × × , vemos que G B C≅ × , que B es libre (de rango m) y que C es de torsión. Es inmediato que C⊆ toro. Se afirma que C = tor G.

Supongamos que 1 1 ... s sa n a n a= + + ∈ tor G, entonces existe 0 < n∈ tal que 1 1 ... 0s snn a nn a+ + = ; pero entonces 1 ... 0mnn nn= = = , por lo que

1 ... 0mn n= = = y a∈C. ■ Corolario 74. Sea G un grupo Abeliano finitamente generado, entonces G es libre ⇔ es libre de torsión. Claramente, este corolario es inmediato. Observemos que si G es Abeliano finitamente generado, entonces tor G también lo es, por lo que tor G es finito. Así, la estructura de tor G está dada por el teorema 68 o por el teorema 69. Esto dice que el teorema 73 completa la descripción de la estructura y clasificación de los grupos Abelianos finitamente generados. Problemas

1. Sean G un grupo y H un subgrupo. Construir una biyección del conjunto de clases laterales izquierdas de H en G al de las clases laterales derechas.

2. Demostrar que un morfismo ϕ de grupos es un isomorfismo si y solo si ϕ es biyecctivo.

3. Sea Z el centro de G. Demostrar que G/Z cíclico ⇒ G = Z, es decir, que G es Abeliano.

4. Sea G un grupo finito tal que 3 | |G| y (ab) 3 = 3 3a b para toda a, b ∈G.

Demostrar que G es Abeliano.

5. Demostrar que el grupo de cuaternios H y el grupo diédrico 4D no son isomorfos.

6. Sea G un grupo sin centro. Demostrar que ( )AutG ÏntG = {1}.

7. Sea G un grupo finito tal que existe f Aut G∈ 2 1con f = y ( ) 1f x x x= ⇒ = Demostrar que G es Abeliano

8. Demostrar que todo subgrupo de un grupo cíclico G es cíclico. Si |G| = n y m | n, entonces existe un único H < G con |H| = m. Describir los automorfismos de G.

9. Sea G un grupo con exactamente un elemento a de orden 2. Demostrar que a es central.

10. Encontrar grupos H ,K K G tales que H no sea normal en G.

11. Sean G un grupo finito y H < G. Demostrar que H es normal ⇔ todas las clases laterales dobles HaH tienen el mismo número de elementos.

12. Sea G un grupo, a∈G. Definimos , :L Ra a G G→ así: ( )La x = ax, ( )Ra x = xa para toda x∈G. También definimos { : }L LG a a G= ∈ y

{ : }R RG a a G= ∈ . Demostrar que LG Aut Gi es un subgrupo de Gs que contiene a RG . Este grupo se escribe Hol G. Demostrar que |Hol G| = | G| |Aut G| cuando G es finito, que Hol 3 3S≅ y que Hol 4 4D≅ .

13. Si H y K son subgrupos de G, demostrar que el número de conjugados de H con elementos de K es [ ]: ( )GK N H K∩ .

14. Sean G un grupo infinito H < G con [G:H] finito = 1.Demostrar que G contiene un subgrupo normal propio de índice infinito.

15. Sean 1 2G G G= × y H G tal que 1 2{1}H G H G= =∩ ∩ . Demostrar que H es Abeliano.

16. Sea G un grupo que contiene un elemento de orden finito n > 1, y tal que G tiene exactamente dos clases de conjugación. Demostrar que G = 2.

17. Construir un morfismo inyecctivo 2: n nf S A +→ .

18. Sean G un grupo finito y H un subgrupo de G de índice 2. Demostrar que el

número de conjugados de x H∈ en H es n ó bien 2n , si n es el número de

conjugados de x en G.

19. Sean G un grupo finito y A un conjunto finito. Suponiendo que G actúa en

A, demostrar que el número de órbitas de esta acción es 1 ( )g G

F gG ∈∑ , donde

F(g) es el número de puntos fijos de g.

20. Sea G un grupo de orden 2n con n > 1 impar. Demostrar que G no es simple.

21. Sea G un grupo finito tal que existe un f∈ Aut G con la propiedad de que G es Abeliano.

22. Demostrar que ( ) ( )1̈, 2 , 12... nn S= .

23. Sean G un grupo finito y H un subgrupo propio. Demostrar que 1

a GaHa G−

∈≠∪ .

24. Sean G un grupo finito y N G tal que [ ], :N n G N m= = satisfacen m.c.d. {m,n}= 1. Demostrar que N es un subgrupo característico de G.

25. Sean K un campo arbitrario y G = G nL (K) el grupo multiplicativo de las matrices n n× invertibles con coeficientes en K. Denotamos por B =

{ }: 0ij ija G a cuando i j⎡ ⎤ ∈ = >⎣ ⎦ y { }: 1ij ijU a B a para toda i⎡ ⎤= ∈ =⎣ ⎦ .

Demostrar que U B G< , que U = (B,B), que U es nilpotente y que B es soluble.

26. Sean H G y P un p-subgrupo de Sylow de H. Demostrar que G = N (P) H.

27. Sean N G y P un p-subgrupo de Sylow de G. Demostrar que N∩ P es un p-subgrupo de Sylow de N.

28. Si p > q son números primos, demostrar que todo subgrupo de orden np q es soluble.

29. Sean G un grupo finito, P un subgrupo de Sylow y a, b dos elementos del centro de P tales que existe x ∈ G con b = xa 1x− . Demostrar que existe y∈N (P) tal que b = ya 1y− .

30. Sean p < q < r números primos y G un grupo de orden pqr a) Demostrar que un q-subgrupo o un r-subgrupo de Sylow es normal; Pero que en todo caso, G contiene un subgrupo normal H de orden qr. b) Demostrar que un r-subgrupo de Sylow de H es característico y que un r-subgrupo de Sylow de G es normal. c) Si q | (r-1), entonces un q-subgrupo de Sylow de G también es normal. 31. Demostrar que un grupo finito es nilpotente ⇔ todo subgrupo de Sylow es Normal. 32. Encontrar series de composición de S n para toda n.

33. Demostrar que el grupo diédrico D n admite la siguiente presentación:

2 1 1, : 1, 1,ns t s t tst s−= = = . 34. Dar un presentación de 4S . 35. Describir Hom ( ,n mp p

Z Z ), si p es un número primo.

36. Sea A un grupo Abeliano finito de orden n y m un entero positivo tal que m|n. Demostrar que A contiene un subgrupo de orden m. 37. Investigar si los grupos 8 6 10 15 4 8Z Z Z y Z Z Z× × × × son isomorfos. 38. Sea A un grupo Abeliano tal que existe n ∈ con nA = (0). Sea m∈ tal que m.c.d. {m, n} = 1. Demostrar que para toda a ∈ A existe b ∈ A con a = mb. 39. Sean A y B grupos Abelianos tales que mA = nB = (0) para ciertos enteros Positivos m,n con m.c.d. {m,n} =1. Describir Hom(A, B). 40. Encontrar los factores invariantes de m nZ Z× , si n y m son enteros positivos. 41. Sean G un grupo Abeliano y H, K subgrupos de G de órdenes a y b respectivamente. Demostrar que G contiene un subgrupo de orden igual al m.c.d. {a, b}. 42. Demostrar la proposición 50. 43. Se tienen las implicaciones siguientes para todo grupo G: G cíclico ⇒ G Abeliano ⇒ G nilpotente ⇒ G soluble. Encontrar Un contraejemplo para cada una de las implicaciones recíprocas.

44. Sea H < nS tal que H contiene una transposición y un (n-1)-ciclo. Demostrar que si H es transitivo, entonces H = nS . 45. Un grupo G actúa transitivamente en un conjunto no vacío X. Demostrar que los estabilizadores de los distintos puntos de X son conjugados. Sea Tran (x, y) = {g ∈ G | g i x = y}. Demostrar que Tran(x, y) es una clase lateral de xG . 46. Sea G el grupo diédrico de orden 8. Demostrar que Aut G ≅ G.