FACULTADDE INGENIERIAUNIVERSIDADDELA REPUBLICAINSTITUTODE INGENIERIAELECTRICAMDFMAProyecto de Fin de CarreraMANTENIMIENTOY DIAGN OSTICODE FALLAS ENMAQUINAS ASINCRONASCarlos Fabio N u nez ValladaresPablo Ra ul Toscano MurellDiego Guillermo Vidarte MesonesMontevideo, Uruguay26 de diciembre de 2011Tutor: Ing. Mauricio RieraResumenEn este trabajo se presenta un estudio sobre fallas en motores de inducci on, su diagn osti-co y monitoreo, a n de realizar mantenimiento predictivo de los mismos. Se realiza ini-cialmenteunrepasoporlasfallastpicasylosprocedimientosdemantenimientoapli-cados,estableciendo cu ales la incidencia estadsticade cada tipode falla en el total.Seclasica las fallas seg un su origen (el ectrico o mec anico) y se analizan con m as detalle tresfallas: cortocircuitosentre espiras del estator, barras del rotor rotas y excentricidades delrotor. Se implementaron modelos en Matlab de los tres tipos de fallas y se presentan losresultados de las simulaciones realizadas con los mismos. Se calcula exhaustivamente unmodelo din amico para el motor de inducci on con excentricidad est atica y se verican losresultadospresentadosenlabibliografa. Seestudianlosdistintosm etodosdemedidapara diagnosticar fallas, y se implementa un sistema simple para hacer medidas median-te el m etodo MCSA (Motor Current Signature Analysis - an alisis de corriente estat orica).Por ultimo se presentan medidas realizadas sobre dos motores a n de introducir los con-ceptos estudiados sobre an alisis de fallas mediante MCSA.Indice general1. Introducci on 11.1. La m aquina asncrona como elemento de los procesos productivos . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Fallas en m aquinas de inducci on y m etodos de detecci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. T ecnicas de Mantenimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. Fallas de origen el ectrico 72.1. Falla de aislaci on de estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.1. Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2. Modelo te orico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.3. An alisis secuencia positiva e negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.4. Simulaciones en el caso de fallas de aislaci on del estator . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2. Fallas rot oricas, barras del rotor rotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.1. Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.2. Modelo Te orico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.3. Simulaciones en el caso de barras rotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433. Fallas de origen mec anico 453.1. Excentricidades del rotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.1. Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.2. Excentricidad est atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.3. Excentricidad din amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.4. Excentricidad mixta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.1.5. Simulaciones de motor exc entrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.1.6. Diagn ostico de excentricidad en un motor y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2. Falla en Rodamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80IIIMantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 03.2.1. Frecuencias caractersticas de vibraci on asociadas a los elementos de un rodamiento. 823.3. Problema de alineaci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824. Medidas aplicadas al diagn ostico de fallas y resultados experimentales 854.1. Problemas en la aplicaci on industrial de los m etodos de detecci on. . . . . . . . . . . . . . . . 854.1.1. Solapamiento. Efecto de Solapamiento o aliasing.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.1.2. Ruidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.1.3. Sobre muestreo (Oversampling) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.1.4. Adici on de ruido (Dithering) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.1.5. Superposici on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.1.6. Efecto de dispersi on (Leakage) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.1.7. Ventanas (Windows). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.1.8. Resoluci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.1.9. Adici on de ceros a la se nal (Zero-Padding) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.2. Equipo de medida utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3. Medidas realizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975. Conclusiones generales 1075.1. Falla de aislaci on de estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.2. Barras del rotor rotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.3. Excentricidades del rotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.4. Medidas y banco de prueba de fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.5. Gesti on del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.6. Puntos pendientes para desarrollo a futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.7. Conclusiones nales del proyecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111A. Modelo del motor de inducci on con excentricidad est atica 113A.1. Conceptos preliminares y notaci on utilizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113A.2. Permeancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114A.2.1. Sistema solidario al estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114A.2.2. Sistema solidario al rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115A.3. Fuerza magnetomotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116A.3.1. Sistema solidario al estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116A.3.2. Sistema solidario al rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123A.4. C alculo de inductancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126A.4.1. Autoinductancias del estator: LAA, LBB, LCC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126P ag. IVMantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 0A.4.2. Inductancias mutuas estator-estator: Lij con i, j =A, B, C; i =j . . . . . . . . . . . . . . 129A.4.3. Autoinductancias rotor: Laa, Lbb, Lcc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134A.4.4. Inductancias mutuas rotor-rotor: Lij con i, j = a, b, c; i =j . . . . . . . . . . . . . . . . . 135A.4.5. Inductancias mutuas estator-rotor: Lijcon i, j =A, B, C, a, b, c; i =j . . . . . . . . . . . 136A.5. Matrices de inductancias del motor con excentricidad est atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140A.5.1. Inductancias estator-estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140A.5.2. Inductancias rotor-rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140A.5.3. Inductancias estator-rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141B. M etodo de Runge-Kutta de 2 Orden 143C. Transformaci on qd0 145P ag. VMantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 0P ag. VICaptulo 1Introducci onEn este captulo introductorio se realiza un sobrevuelo de las fallas en motores de inducci on a nivel industrial. Enla secci on 1.1 se analiza la participaci on del motor de inducci on como elemento trascendente en el ambito industrial.En la secci on 1.2 se realiza un breve resumen de las fallas a nivel estadstico y se plantean las t ecnicas de detecci on delas mismas aplicadas en la actualidad. Finalmente en la secci on 1.3 se realiza un repaso de conceptos elementales demantenimiento a nivel industrial.1.1. La m aquina asncrona como elemento de los procesos productivosDe los diferentes tipos de motores disponibles en la actualidad (motores de inducci on, de imanes perma-nentes, de corriente contnua, etc) el motor de inducci on es ampliamente el m as utilizado. Generalmente,m as del 60 % del consumo el ectrico de los pases industrializados es debido a este tipo de motor.El motor de inducci on ha sido considerado una m aquina robusta con muy pocos problemas asociados.Inicialmente los fabricantes y usuarios de m aquinas el ectricas implementaban unicamente algunas protec-ciones contra sobrecorrientes, sobretensiones, fugas a tierra, etc.En la actualidad las tareas que debe realizar el motor son m as complejas, muchas veces se hace traba-jaralmotorallmitedelacapacidaddesusmateriales.Estohacequelaprobabilidaddefallaaumente.Recientementelosmotoresasncronoshanidoincorporandoequiposdeelectr onicadepotencia,(yaseaparasualimentaci onoparasucontroldevelocidad), estosintroducenalteracionesenlatensi onquelellega al motor comodv/dtelevadas que pueden producir da nos prematuros en el motor.Es por esto queel mantenimiento preventivo de los motores de inducci on es uno de los aspectos en los cuales actualmentela industria centra sus esfuerzos. Varios m etodos ecaces para analizar los motores hacen posible detectarfallas en su estado de funcionamiento posibilitando la implantaci on de un programa de mantenimiento co-rrectivo en la industria y de esta manera hacer que el tiempo que el motor est a parado, y por tanto la cadenade producci on, sea el menor posible. Esto redunda en una reducci on de costos para la industria implicada.El mantenimiento predictivo es la t ecnica por la cual midiendo variables caractersticas del motor comola corriente estat orica o las vibraciones de la m aquina en conjunto, se es capaz de predecir el estado de suscomponentes principales.De esta forma, si se conoce la evoluci on hist orica de las variables del motor y su estado actual, se pue-den predecir fallas prematuras. Las variables el ectricas se pueden medir con el motor en funcionamiento yaprovechar las paradas que se planican en los procesos de producci on para realizar las tareas de repara-ci on.1Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 11.2. Fallas en m aquinas de inducci on y m etodos de detecci onLaexperienciaacumuladaalolargodelosa nosenlaoperaci onymantenimientodemotoresdein-ducci on ha permitido clasicar estadsticamente las fallas. En [6] se clasican las fallas seg un la parte de lam aquina donde se originan: fallas en el estator, en el rotor, fallas vinculados a los rodamientos y otros. Enla gura 1.1 se presenta una representaci on gr aca de la distribuci on de las fallas.Figura 1.1: Distribuci on estadstica de las fallas en motores de inducci on a nivel industrial.Las fallas comprendidas en cada categora son los siguientes:Fallas en el estator:Casi un 40 % de las fallas reportadas en motores de inducci on pertenecen a este grupo.El estator de los motores de inducci on se compone de bobinas de cobre aisladas dentro de ranuras enel hierro del estator. Las fallas a nivel de estator se dan habitualmente por da no en la aislaci on entredosespirascontiguasenunafase.Lascorrientesinducidasatrav esdelasespirascortocircuitadasgeneran calor excesivo quetiende a agravar la falla (degradando a un m as la aislaci on). Se inicia unproceso realimentado cre andose un crculo vicioso: calor, degradaci on del aislante, m as corriente, m ascalor, etc. que termina derivando en una falla de aislaci on a tierra.Eldesbalanceenloscamposmagn eticosproducidocomoconsecuenciadelafallageneraasuvezvibraciones y puede conducir a una falla de rodamientos.Fallas en el rotor:Las fallas originadas en el rotor tienen una incidencia minoritaria (un 10 % del total).Elmecanismom as com unde fallas aniveldel rotor es atrav es dequiebredelas barras delajauladonde estas se unen a los anillos de cortocircuitado.Estetipodefallasgeneracomponentesdefrecuenciadeldobledeldeslizamientoalrededordelafundamental ( fe(1 2s)).Fallas de rodamientos:La mayora de las m aquinas el ectricas utilizan rodamientos y estos se vuelven una de las causas m ascomunes de averas. Los rodamientos consisten en dos anillos conc entricos, con un conjunto de bolaso rodillos que permiten el giro libre de una supercie respecto a la otra.Fallas en la pista interior, exterior, o en los elementos giratorios producen patrones unicos de frecuen-cia medibles mediante el an alisis de vibraciones de la m aquina. Estas frecuencias propias de la fallade rodamientos son funci on de la geometra del mismo y de la velocidad de rotaci on.Las fallas de rodamientos tambi en pueden conducir a excentricidad.P ag. 2Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 1Otras fallas:Dentro de este grupo est a la excentricidad del rotor, la cual se produce cuando el mismo no est a cen-trado con el estator, dando lugar a un entrehierro no uniforme. Este tipo de falla se produce o bien porda nos en los rodamientos y elementos vinculados a los mismos, o bien por defectos en la fabricaci on.La variaci on en el entrehierro afecta la distribuci onde campo en el mismoy se produce una fuerzamagn etica neta en la direcci on en la que se encuentra el entrehierro mnimo. Esta fuerza no balanceadapuede producir vibraciones en la m aquina.A los efectos de monitorear las fallas anteriormentecitadas se puede utilizar una serie de se nales me-dibles en el motor. Como se expresa en [6], el motor de inducci on es una m aquina altamente sim etrica y lapresencia de cualquier falla tiende a afectar esta simetra.Unavezquenosetieneunam aquinasim etrica,cambianlasinteraccionesentreestatoryrotor(porme-dio del campo magn etico del entrehierro), resultando en cambios en las corrientes de estator, voltajes, ujomagn etico y vibraciones.Por tanto estas se nales pueden ser utilizadas en el an alisis online de fallas.Corriente de estator:Normalmente medida de forma no invasiva utilizando celdas de efecto Hall. Contiene componentesde frecuencia que se pueden asociar a una serie de fallas distintas: asimetras mec anicas y magn eticas,barras rotas y cortocircuitos entre espiras del estator. La mayor parte del trabajo publicado reciente-mentesebasaenelan alisisdelacondici ondelmotorenbasealestudiodelacorrienteestat orica(MCSA - Motor Current Signature Analysis) , particularmente utilizando an alisis de frecuencia.Voltajes en el estator:Puede ser medido con seguridad mediante el uso de una punta de medida diferencial de voltaje o contransformadores.Seutilizaparacalcularlapotenciayparinstant aneoseimpedanciadesecuencianegativa.Flujo magn etico axial:Las fugas de ujo magn etico axial pueden ser medidas en el motor de inducci on mediante una bobinacircular colocada conc entrica con el eje, en el extremo del eje no conectado a la carga mec anica. Estabobina produce una tensi on proporcional a la tasa de variaci on del ujo axial de fuga.Estase nalcontienemuchosdeloscomponentesdefrecuencia tambi enpresentes enlacorrientees-tat orica.Esunavariableespecialmente utilparadeterminar lavelocidadyaqueposeeunacompo-nente de frecuencia muy importante a la frecuencia de deslizamiento.Vibraciones:El monitoreo de vibraciones es uno de los m as antiguos m etodos de seguimiento de condici on de losmotores y es ampliamente utilizado para detectar problemas mec anicos como fallas de rodamientosy desbalances mec anicos.Usualmente se utiliza un transductor piezoel ectrico que entrega una se nal de voltaje proporcional ala aceleraci on. Integrando esta se nal se puede obtener la posici on o velocidad.Ennuestrotrabajoseutiliz ounaclasicaci ondefallas diferentealapresentada enestecaptulo(cla-sicaci onseg unel lugardeorigendelafalla, estator, rotor, rodamientos, etc.). Seclasicaronlasfallasanalizadas seg un su naturaleza, as se deni o dos grandes grupos: fallas de tipo el ectrico (Captulo 2) y detipo mec anico (Captulo 3). Dentro de las fallas de origen el ectrico se estudiaron la falla de aislaci on en elestator (secci on 2.1) y las barras rotas en el rotor (secci on 2.2). Las fallas de origen mec anico estudiadas com-prenden: excentricidad del rotor (secci on 3.1), rodamientos (secci on 3.2), problemas de alineaci on (secci on3.3).P ag. 3Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 11.3. T ecnicas de MantenimientoHist oricamente la primer t ecnica de mantenimiento en motores el ectricos fue el funcionamiento hastafallar, tambi enconocidocomomantenimientocorrectivo, endondelam aquinafuncionabahastaqueunafalla interrumpael servicio.Los tiemposde inactividad noprogramados, loscostosde reparaci on ygastosdetiempoextrahacenaestapolticademantenimientounapolticacostosa.Sinembargoexistenalgunas situaciones que ameritan este tipo de mantenimiento, un ejemplo es una planta donde donde hayungrann umerodem aquinassimilares,demodoquelam aquinada nadapuedesersustituidaporotraenuntiemporelativamentecortodemodoquenoexistanp erdidasdeproducci onimportantes. Dichasm aquinasdebenserdevalornomuyelevadoyaseaensureparaci on oensureemplazo. Engeneral,elmantenimiento correctivo es utilizado en las peque nas y medianas empresas.Si bien las m aquinas el ectricas se consideraban como elementos de muy bajo ndice de averas, la ten-dencia de dise nar m aquinas de bajo costo utilizando materiales que trabajen cercanos a sus lmites de resis-tencia mec anica y electromagn etica as como la creciente necesidad de generar sistemas de producci on m asseguros y ecientes gener o que se hiciera popular la t ecnica conocida como mantenimiento preventivo.A diferencia del mantenimiento correctivo en este tipo de mantenimiento la sustituci on de las piezas opartes del sistema que pudieran causar averas se realiza con una cierta periodicidad, determinada median-te criterios estadsticos al llevar registro del historial de cada m aquina. Ya que la aparici on de fallas es detipo probabilstico, mediante esta t ecnica no se aprovecha al m aximo el potencial de las piezas utilizadas.Las actividades que comprende el mantenimiento preventivo son las siguientes:Limpieza y revisiones peri odicas.Conservaci on de equipos y protecci on contra los agentes ambientales.Control de la lubricaci on.Reparaci on y recambio de los puntos del sistema identicados como puntos d ebiles.Reparaci on y recambios planicados.La principal ventaja de este m etodo de mantenimiento frente al funcionamiento hasta fallar es que sereducen las paradas imprevistas ya que se tiene cierto conocimiento del estado general de la planta. Si biense tiene una idea de la proporci on de las fallas en relaci on al tiempo de vida util del motor, en general lasparadas planicadas que se realizan con la t ecnica de mantenimiento preventivo no son ecientes, ya queno se conoce con precisi on el momento optimo de parada. De modo que si se interrumpe el funcionamien-tonormaldeunsistemaysealterasuvida utildeformainnecesaria,sureservadeusoser atotalmentedesaprovechada, adem as de producir una acumulaci on in util de actividades preventivas que aumentan elgasto y reducen la disponibilidad. Por otra parte puede suceder el caso contrario y que la parada programa-da se retrase m as all a de la vida util del elemento m as comprometido del sistema provocando una paradano prevista.El siguiente paso en la tecnologa de mantenimiento fue la llegada del mantenimiento predictivo, el cualpuede ser denido como:el seguimientoorganizado con medici onperi odica o continuade variables deestado del sistemaysu comparaci on conpatrones preestablecidos, para ladeterminaci on del instanteenque se debe producir la intervenci on de mantenimiento.El mantenimiento predictivo contempla la principal desventaja del mantenimiento preventivo, ya quese puede determinar el momento optimo para realizar el cambio de piezas. Por otra parte al utilizarse t ecni-cas no invasivas, se tiene un conocimiento m as preciso del estado general de la planta sin la necesidad deinterrumpir el funcionamiento normal de la misma. El mantenimiento predictivo se implementa principal-menteen grandes empresas, ya que esterequiere deimportantes inversionesiniciales,as comopersonalP ag. 4Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 1altamente calicado en mantenimiento, ya que estos deben ser capaces tanto de poder utilizar equipos dealto nivel tecnol ogico como de conocer el funcionamiento de las m aquinas y de los procesos en que ellas sedesempe nan.La disciplina m as utilizada dentro de las t ecnicas de mantenimiento predictivo es el an alisis peri odicode vibraciones. En maquinaria crtica dentro de un proceso de producci on se llega a instalar un monitor devibraci on continuo, donde se instala una alarma que se activa cuando el nivel de vibraciones sobrepasa unvalor umbral.Tambi en sesueleutilizar equipamientoquepermitallevar unseguimientodel espectro decorriente y del equilibrio de fases. En la gura 1.2 vemos un ejemplo de este tipo de instrumento, el mismoes el probador din amico Emax fabricado por la empresa PdMA.Figura 1.2: Probador din amico fabricado por PdMA lnea Emax.Equipos como este proporcionan informaci on sobre la calidad de la potencia que el motor toma a trav esdedatoscomoelfactordecrestayladistorsi onarm onica,adem as gracanenpantallalascorrientesdefase, la tensi on de alimentaci on en cada una de ellas y llevan un historial de estos datos de modo de podercontrastarlos.Durante nuestro trabajo indicaremos la utilidad de estas mediciones para detectar determinados tiposde fallas que se presentan en la pr actica.P ag. 5Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 1P ag. 6Captulo 2Fallas de origen el ectricoEn este captulo se analizan fallas de origen el ectrico en el motor de inducci on. En la secci on 2.1 se estudia la falladeaislaci onenelestator(cortocircuitosentreespiras)yen2.2laroturadebarrasdelrotor.Sepresentanmodelosdin amicos para simulaci on num erica de ambos tipos de fallas.2.1. Falla de aislaci on de estator2.1.1. Introducci onUna de las principales causas de falla en los motores de inducci on est a relacionada con los da nos en elestator debido al deterioro en el aislamiento entre las bobinas.Como se indica en [5], la degradaci on en el sistema de aislamiento est a motivado por esfuerzos de tipomec anico, el ectrico, t ermico y de entorno ambiental. A continuaci on se detallan cada uno de ellos:Mec anicos:Seproducen cuando durantetransitorioscomocortocircuitos oarranques lacorrienteestat oricatomavalores elevados donde se producen esfuerzos electrodin amicos. Las fuerzas generadas sumadas a una ma-la jaci on del estator es una de las principales causas de degradaci on.El ectricos:Se deben principalmente a sobretensiones producidas por perturbaciones en la red, descargas atmosf eri-cas las cuales producen un frente escarpado, maniobras con interruptores, switcheo en los circuitos de po-tencia, descarga de capacitores y los efectos de dispositivos de estado s olido tales como los variadores defrecuencia.Dentrodelasprincipalescausasdefallasel ectricasseencuentraladegradaci oncausadaporsuras, separaci on del conductor del aislante, vacos, envejecimiento o contaminaci on.T ermicos:El incremento en la temperatura de los devanados se debe a m ultiples factores dentro de los cuales seencuentralaformaci ondepuntoscalientesenelaislamientodebido adesbalances enlacargadel motoroaconexionesrealizadasconpinzasinadecuadasquenoejercenlasucientepresi onenlosterminales7Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2generando alta resistencia en los contactos. El aumento de p erdidas o una mala refrigeraci on tambi en pro-voca que la temperatura de los devanados y del aislante se incremente, si la misma supera la temperaturam axima para su clase de aislaci on se produce un envejecimiento prematuro del aislante disminuyendo suscualidades mec anicas, diel ectricas y por ende su vida util.De entorno ambiental:En m aquinas en contacto con su medio circundante la presencia de humedad, polvo con partculas con-ductoras, acidoolapresenciadeotrotipodeobjetospuededarlugaraqueelmaterialaislanteseveada nado.Elaislamientoenlosmotoresel ectricosest aformadopormaterialesdiel ectricosloscualessifuesenideales se polarizaran instant aneamente y no tendran cargas libres capaces de moverse en presencia de uncampo el ectrico cualquiera.Por defecto al no existir este tipo de aislantes (salvo por el vaco) los materiales utilizados en la industriase alejan de la situaci on ideal en las siguientes caractersticas:Losmaterialesposeenunarigidezdiel ectricaapartirdelacualelmaterialseperforaysevuelveconductor, dicha rigidez diel ectrica est a dada por el m aximo gradiente de potencial que el material escapaz de soportar.Alexistircargas libres,cuandoseaplicaunadiferenciadetensi onentredosextremosdelmaterialcircula por el mismo una corriente el ectrica Ir.Los materiales se caracterizan por su constante diel ectrica relativa rla que determina su capacidadde carga y da lugar a la circulaci on de una corriente capacitiva disipativa Icdado que la polarizaci onno es instant anea.Dadas estas dos ultimas caractersticas sepuede modelar un material diel ectrico expuesto aunadife-rencia de tensi on mediante el modelo que aparece en la gura 2.1.IrIcVIVIFigura 2.1: Modelo de un material aislante sujeto a una tensi on V.El valor del par ametro da una idea de cuanto se aleja el material de la situaci on ideal. En realidad envez de hablar del par ametro se habla de su tangente, de esta forma si tang fuese nula el material sera unaislante perfecto.A partir de este an alisis surge el m etodo de ensayo llamado Tangente Delta el cual es util para conocerla evoluci on de las caractersticas diel ectricas del material y su evoluci on entre ensayos.P ag. 8Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2Ensayo de Tangente Delta:EsteensayoserealizautilizandoelpuentedeSchering. Pararealizar dichoensayoseconectalafaseaensayarenlaramainc ognitadel puenteysecortocircuitanyponenatierralasotrasdosfases, esteprocedimiento se realiza para cada una de las fases. La forma de realizar la conexi on se muestra en la gura2.2, donde el condensador C1y la resistencia R2son variables de modo que permiten equilibrar el puente.Esta conguraci on tambi en permite medir la capacidad del aislamiento.Para realizar el ensayo se parte tpicamente de valores del 20 % de la tensi on nominal de la m aquina yse va incrementando de a 20 % hasta llegar a la tensi on nominal.R2+-Fuente de tensin50 HzDetector deceroR1 C1C2variableFigura 2.2: Medida de tangente delta con puente de Schering sobre una de las fases de un motor.Si bien los cambios en el incremento de tangente delta pueden deberse a distintos tipos de deterioro ypor ende la realizaci on unicamente de este ensayo no permite realizar conclusiones a priori, si puede ser unbuen indicador de deterioro si se observa un incremento en los valores de tangente delta tras la realizaci onrutinaria de ensayos. El tiempo que se aconseja para la realizaci on rutinaria de ensayos es cada dos a nos.Ensayo de Descargas Parciales:La norma IEEE 1434-2000 describe cuatro m etodos de ensayo que se realizan con la m aquina fuera deservicio y un ensayo que se realiza con la m aquina en funcionamiento.1. Ensayo con m aquina fuera de servicio en el estator completo.2. Ensayo con sensor de efecto corona para localizaci on.3. Ensayo con sensor ultras onico para localizaci on.4. Visualizaci on a oscuras o con sensor ultravioleta para localizaci on.5. Ensayo con m aquina en servicio.Lageneraci ondeunadescargaparcialprovocaunpulsodecorrientequealcirculaporelbobinadoproduce un pulso de tensi on en los bornes del bobinado. Estos pulsos son de frecuencias del orden de losMHz. Por tanto podran ser detectados por dispositivos sensibles a las altas frecuencias.La magnitud del pulso depende principalmente de tres factores:1. El tama no del defecto. En general cuanto mayor sea la magnitud del pulso de tensi on mayor ser a eldefecto.2. La capacidad del bobinado. Si la capacidad es alta, la impedancia a tierra a altas frecuencias ser a baja.La mayor parte del pulso de corriente se deriva a tierra llegando muy atenuado al borne de salida.P ag. 9Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 23. La inductancia entre el origen de la descarga y el equipo de medida. El pulso se atenuar a a lo largo delbobinado. Generalmente cuanto mayor es el recorrido menor ser a la magnitud del pulso detectado.Debidoa ladependencia de estosfactores, losensayosno permitendar un orden de magnitudcarac-teristicapara denirlas fallas, loquegeneralmentesehacees utilizar esteensayopara comparar cu al esla fase con mayor amplitud de descargas y como consecuencia la de mayor deterioro. Tambi en se puedencomparar m aquinas similares entre si. Finalmente, se pueden comparar resultados en una misma m aquinaa lo largo del tiempo.Ensayo de Resistencia de Aislamiento:La medida de la resistencia de ailamiento se basa en aplicar tensi on continua al circuito formado por elconductor, el aislante y el hierro. De esta forma, al circular corriente por dicho circuito se dene la resistenciade aislamiento como:Rais=EILa resistenciaRaisse puede medir o bien utilizando un voltimetro para medir la tensi on aplicada y unampermetrodealtasensibilidadparamedirlacorrienteoutilizandounmeg ohmetroqueproporcionadirectamente la medida.Una tendencia descendente en el valor de la resistencia de aislamiento en sucesivos ensayos puede serindicativa de la degradaci on del diel ectrico, sin embargo la medida exclusivamente de Rais ha demostradoser poco conable dado que no se puede tener una tendencia a lo largo de la vida util de la m aquina. Estose debe a que la resistencia de aislaci on es fuertemente dependiente de la temperatura. Un aumento de 10grados Celsius en la temperatura puede reducir entre 5 y 10 veces el valor de Rais.Ensayo de Indice de Polarizaci on (IP):Sedesarroll oparahacerlainterpretaci onm asindependientedelatemperatura. ElIPeslarelaci onentrelaresistenciadeaislaci onenmedidaenunintervalode10minutosyen unintervalo de1minuto.Se asume que las dos medidas se realizan a la misma temperatura, de este modo el factor de correcci on detemperatura es pr acticamente el mismo y se cancela al hacer el cociente.Seg un [5] los valores de diagn ostico utilizados seg un el ndice de polarizaci on son los siguientes:IP ( %) Estado del aislanteIP 1,2 Aislaci on muy debil con corrientes de fuga elevadaspor hidrataci on produnda o fuerte contaminaci on supercial1,2 IP 2,5 Aislamiento h umedo o contaminado2,5 IP 4 Aislamiento seco y limpioIP 4 Aislaci on con buena sequedad y sin contaminaci onEn general, los ensayos de resistencia de aislaci on e IP son medios excelentes para determinar la exis-tencia decontaminaci ono humedad. Por supuesto quetambi en son utiles para ladetecci on defallas im-portantes donde se han producido suras o cortes en la aislaci on.Esteensayo debe ser complementado con otros ensayos de aislaci on, a continuaci onse mencionan al-gunos de los mismos.Ensayo de capacidadLa capacidadde los devanados frente a la carcaza del motor nos brinda informaci on acerca de la constan-te diel ectrica del aislamiento y a partir de su valor del grado de contaminaci on, suciedad y envejecimiento.P ag.10Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2Ensayo de sobretensi onProporciona informaci on acerca de la rigidez diel ectrica del aislante, este ensayo se realiza en base a laideadequesiel material poseealg unpuntod ebilel mismoseperforar a portantolatensi onalaqueseensaya es tal que un aislante en buenas condiciones pasa el ensayo satisfactoriamente.P ag.11Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 22.1.2. Modelo te oricoPara realizar nuestro estudio nos basamos en el modelo presentado en [8], dicho modelo se muestra enlagura2.3,dondesemodelaal estator porun circuito decuatro bobinas.Seasumequeelcortocircuitoocurreentreunpuntoespeccodeunadelasfasesyelneutro(elquesesuponeaislado).Elprop ositode este planteamiento es poder expresar las ecuaciones el ectricas del motor como la suma de los t erminosasociados al mismo en condiciones normales de funcionamiento, m as los t erminos debidos a la falla.De esta forma es necesario denir dos par ametros para poder caracterizar la falta:: Cocienteentreeln umerodeespirascortocircuitadasyeltotaldeespirasenlafaseencuesti on,0 1.Rf: Resistencia de la falta.+VcsVbsVasRf Vas2-+Vas1-nFigura 2.3: Modelo de cortocircuito en una fase del estator.A continuaci on se plantear a la cada de tensi on en cada uno de los cuatro bobinados del estator :vas1 = [Rs.(1 )].ias +das1dt(2.1)vas2 = .Rs.(iasif ) +das2dt=Rf.if(2.2)vbs=Rs.ibs +dbsdt(2.3)vcs=Rs.ics +dcsdt(2.4)Donde:ias, ibs, ics: Corrientes entrantes por los bornes del estator.P ag.12Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2if: Corriente (de falta) que circula por Rfhacia el neutro.Rs: Resistencia por fase del estator.as1, as2, bs, cs: Flujos enlazados por los cuatro bobinados del estator.Estas ecuaciones se pueden plantear en forma vectorial:vabcs = [vas1, vas2, vbs, vcs]Tiabcs= [ias, iasif, ibs, ics]Tabcs= [as1, as2, bs, cs]T= [Lss].iabcs + [Lsr].iabcr(2.5)[Lss]: Matriz de inductancias del estator.[Lsr]: Matriz de inductancias mutuas entre estator y rotor.iabcr: Vector de corrientes rot oricas.Adicionalmente hay que considerar las ecuaciones asociadas al rotor:0 = [Rr].iabcr +dabcrdtabcr= [ar, br, cr]T= [Lrs].iabcs + [Lrr].iabcr(2.6)Donde:abcr: Vector de ujos enlazados por los bobinados del rotor.[Rr]: Matriz de resistencia de fases del rotor.[Lrr]: Matriz de inductancias del rotor.La matriz de resistencia de fases del estator resulta:[Rs] =____(1 )Rs0 0 00 .Rs0 00 0 Rs00 0 0 Rs____Dadoquelasinductanciasdependendelproductodeln umerodevueltasdelasfasesinvolucradas, lasmatrices que aparecen en este modelo incorporan el t ermino (1 ) o en las componentes de las matricesde inductancias que involucren al devanado as1 o as2.A continuaci on se muestra la matriz de inductancias del estator. El primer t ermino de [Lss] correspondea la matriz de ujo de fugas mientras que el segundo corresponde a las inductancias mutuas entre fases delestator.P ag.13Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2[Lss] =Lls____(1 ) 0 0 00 0 00 0 1 00 0 0 1____+ Lms_____________(1 )2(1 ) 1 21 2(1 ) 2221 221 121 22121_____________Si trabajaramos con un motor sano la matriz [Lss] sera:[Lss] =Lls__1 0 00 1 00 0 1__+ Lms_________1 1212121 1212121_________Considerando que estamos trabajando en t erminos fsicos con cuatro devanados as1, as2, bs, cs pode-mos deducir la matriz debida a la falta encontrando similitudes con la matriz sana.Las primeras dos las del primer t ermino matricial se deben a que no toda la corriente estat orica circulaporeldevanadodelafasea, sinoquesetieneadem asuncaminodefaltaqueprovocaunabifurcaci onen la corriente alterando las fugas en dicho devanado. Asumiendo que el ujo se reparte linealmente porlos devanados y tomando en cuenta que la inductancia depende proporcionalmente del n umero de vueltasdelosbobinadosencuesti onseasignaelvalor(1 ).Llsalprimer t erminodelaprimeralay.Llsalsegundo t ermino de la segunda la. Las ultimas dos las no cambian respecto a la matriz que representa ala m aquina sana.Analizandolamatrizcorrespondientealasinductanciasm utuasentrefasesdelestatorenelestadodefalla,apartirdelamatrizcorrespondientealam aquinasanayrecordandoqueenr egimenlineallainductancia m utua entre dos devanados depende del producto del n umero de vueltas de cada devanadovemos que:Dadoquelosdevanadosas1yas2est ante oricamenteubicadoscolinealesenelespacio, perotienendistinton umerodevueltas,lasm utuasentreellosylosrestantesbobinadosdelam aquinadeberanseriguales a menos del n umero de vueltas.Por ejemplo, la inductancia m utua entre el devanado as1 y el devanado bs es Lms.(1 )2. Este t erminoes an alogoal correspondientealainductanciam utuaentre lafaseas y lafasebs enun motorsano peromultiplicado por el factor 1 (cociente entre los n umeros de vueltas de los devanados as1 y as). Aplicandoel mismo razonamiento para la inductancia m utua entre el devanado as2 y el devanado bs se llega a que esta es Lms.2.La m utua entre los dos tramos del bobinado de la fase a depende del producto de los n umeros de vueltasde los mismos, al estar ubicados en el mismo lugar, el c alculo es an alogo que para la autoinductacia.La matriz de inductancias del rotor se dene de forma an aloga al estator pero en este caso la mismas nosufren cambios respecto al caso sano.P ag.14Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2[Lrr] =_________Llr + LmsLms2Lms2Lms2Llr + LmsLms2Lms2Lms2Llr + Lms_________[Lsr] corresponde a la matriz de inductancias mutuas entre el estator y el rotor.Est a matriz se obtiene siguiendo el mismo razonamiento que se realiz o para [Lss]. Es decir, si la inductanciam utua entre lafase a del estator y la fase a del rotor en el motor sano esLms.cos(r)considerando quelafase a del estator tieneNsn umero de vueltas. En el motor con falla la inductacia m utua entre los as1 y a2respecto de la fase a del rotor es Lms(1 )cos(r) y Lms.cos(r) respectivamente. Donde el devanado as1tiene (1 )Ns n umero de vueltas y el devanado as2 tiene .Ns n umero de vueltas.Como en las dos ultimas las de la matriz no intervienen t erminos asociados ni a as1, ni a as2 estas lasno se ven alteradas respecto a las las correspondientes al caso sano.[Lsr] =Lms________(1 )cos(r) (1 )cos(r +23) (1 )cos(r23)cos(r) cos(r +23) cos(r23)cos(r23) cos(r) cos(r +23)cos(r +23) cos(r23) cos(r)________[Lrs] = [Lsr]TComoyafuecomentadoanteriormente, apartirdelmodeloplanteadosebuscallegaraunconjuntodeecuacionesdondeaparecenplanteadaslasecuacionesel ectricasdelmotorsanoyadicionalmentelospar ametros asociados a la falta. Sumando las ecuaciones 2.1 y 2.2 se obtiene la tensi on sobre la fase a dadoque vas= vas1 + vas2.Se repetir a el planteo anterior, ahora utilizando la tensi on fase neutro de la fase a (en lugar de vas1 y vas2)y la corriente entrante a cada una de las fases. Se denen los nuevos vectores:vabcs = [vas, vbs, vcs]T(2.7)iabcs= [ias, ibs, ics]T(2.8)vabcs= [[Rs.(1 )].ias +das1dt+.Rs.(iasif ) +das2dt, Rs.ibs +dbsdt, Rs.ics +dcsdt]T(2.9)P ag.15Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2Es conveniente agrupar los t erminos correspondientes al motor sano y expresar por separado los t ermi-nos debidos a la falta.vabcs =__Rs0 00 Rs00 0 Rs____iasibsics__+__das1 + das2dtdbsdtdcsdt__+__.Rs00__if(2.10)vabcs = [Rs].iabcs +dabcsdt+ A..if(2.11)Donde se deni oA = [Rs, 0, 0]T. La primer componente de A es Rs, dado que las ecuaciones 2.3 y 2.4 no se ven afectadas por la corrientede falta las otras dos componentes del vector son nulas.0 = [Rr].iabcr +dabcrdt(2.12)Denimos:abcs= [(as1 +as2), bs, cs]T(2.13)Apartirde2.5secalculanas1, as2, bs, cs. Resultaconvenienteagruparloselementosdeabcsseparando en t erminos debido al motor sano y un t ermino asociado a la corriente de falta. El resultado deeste agrupamiento es:abcs = [Lss].iabcs + [Lsr].iabcr + B..if(2.14)Donde se denieron:[Lss]=_________Lls + LmsLms2Lms2Lms2Lls + LmsLms2Lms2Lms2Lls + Lms_________[Lsr]=Lms_________cos(r) cos(r +23) cos(r23)cos(r23) cos(r) cos(r +23)cos(r +23) cos(r23) cos(r)_________P ag.16Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2B = [(Lls + Lms),Lms2,Lms2]TDonde el vector B incluye el efecto de la corriente de falta en abcs.Es conveniente expresar los ujos del rotor utilizando el mismo tipo de agrupamiento que el utilizadopara losujosdel estator. A partir de laecuaci on 2.6 secalculanar, br, cr.Reagrupando t erminos demanera an aloga al caso del estator se llega a:abcr= [ar, br, cr]T= [Lrs].iabcs + [Lrr].iabcr + C..if(2.15)Donde[Lrs]= [Lsr]TC = Lms[cos(r), cos(r +23), cos(r23)]TAl igual que los par ametros A y B, C representa el efecto de la corriente de falta en las componentes deujo del rotor.En resumen, se replantearon las ecuaciones de tensiones y ujos estat oricos y rot oricos agrupando lost erminosquemodelan al motorsanoy sesepararon explicitamente lost erminosdebido ala corrientedefalta.C alculo de diferencia de tensi on entre neutro de fuente de alimentaci on y neutro del estatorSi conectamos una fuente equilibrada trif asica directamente a las fases del estator encontramos un in-conveniente que no haba sido analizado hasta ahora, las tensiones de neutro de la fuente y del estator noson las mismas.VTn+-+-+-VSnVRnVnV0RSRSRfiasibsicsifias if-RS(1-Iju)IjuRSFigura 2.4: Estator con una fase en falta alimentado mediante una fuente trif asica equilibrada.P ag.17Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2A continuaci on se replantean las ecuaciones de cada de tensi on para el estator y se deduce la diferenciaentre las tensiones de neutro.Dado que vabcs = vn + vRnSnTnv0, la ecuaci on 2.11 tiene ahora la siguiente forma:vn__111__+ vRnSnTn = [Rs].iabcs +dabcsdt+ A..if+ v0__111__Donde:vn: Tensi on de neutro de la fuente de alimentaci on.vRnSnTn: Fuente trif asica de alimentaci on.v0: Tensi on de neutro del estator.Expresamos la ecuaci on anterior de forma escalar:vn + vRn=Rs.ias.Rs.if+d(as1 +as2)dt+ v0(2.16)vn + vSn=Rs.ibs +dbsdt+ v0(2.17)vn + vTn=Rs.ics +dcsdt+ v0(2.18)Sumando las ecuaciones 2.16, 2.17, 2.18 resulta:3(vnv0) +((((((((vRn + vSn + vTn=Rs.(((((((ias + ibs + ibs) .Rs.if+d(as1 +as2 +bs +cs)dt(2.19)Comoseveenlaecuaci on2.19,lasumadelastensionesseanula,estosedebeaquedichosvaloresde tensi oncorresponden a los de una fuente equilibrada trif asica. De igual modo se anula la suma de lascorrientes de fase que entrega la fuente de alimentaci on, el motivo es que como ya se ha dicho se est a supo-niendo que el neutro del estator est a aislado.El ultimo t ermino de la ecuaci on 2.19 corresponde a la suma de ujos en el estator, dichos t erminos enun motor sano se anularan. Sin embargo en este caso prevalece un t ermino asociado a la falta y a la matrizde ujos de fuga, el resultado lo mostramos a continuaci on.SillamamossFugasalvectordelujodefugasasociadoalestator,vemosquealmismolopodemosexpresar como:__as1Fugasas2FugasbsFugascsFugas__=Lls__(1 ) 0 0 00 0 00 0 1 00 0 0 1____iasiasifibsics__(2.20)P ag.18Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2y sumando los t erminos del mismo llegamos a que:as1Fugas +as2Fugas +bsFugas +csFugas = .Lls.if(2.21)Por tanto si sustituimos la ecuaci on 2.21 en la 2.19 y despejamos vnv0 se llega a que:vnv0= 3._Rs.if+ Llsdifdt_(2.22)P ag.19Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2Transformaci on al sistema de referencia qd0Hasta ahora se ha analizado el funcionamiento del motor trabajando en variables abc. A continuaci ona partir de los resultados desarrollados, se realizar a la transformaci on al marco de referencia estacionarioqd0 (m etodo desarrollado en ap endice C.1).Recordemos que una funci onfabcsituada en el sistema de referencia abc se transforma al sistema qd0mediante la siguiente ecuaci on:__fqfdf0__ =Tqd()__fafbfc__(2.23)Donde:Tqd() =23_________cos() cos( 23) cos( +23)sen() sen( 23) sen( +23)121212_________(2.24)Esta matriz es invertible, por lo que tambi en se cumple:__fafbfc__ = T1qd()__fqfdf0__(2.25)Transformada del vector de tensi on del estator:vabcs= [Rs].isabc +dabcsdt+.if__Rs00__(2.26)Trabajaremosconelesquemapresentadoenlagura2.4, porloquelaecuaci onanteriorseexpresacomo:vRnSnTn = [Rs].iabcs +dabcsdt+ .if__Rs00__+ (v0vn)__111__(2.27)Premultiplicando el vector en variables abc por la matriz Tqd():vqd0s= Tqd().vRnSnTns =Tqd().[Rs].iabcs + Tqd.()dabcsdt+ Tqd()..if__Rs00__+ Tqd().(v0vn)__111__(2.28)P ag.20Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2La componente del ujo en el estator en coordenadas abc la expresamos como:abcs =T1qd()qd0s(2.29)De modo que la ecuaci on 2.28 se expresa de la siguiente manera:vqd0s = [Rs].iqd0s + Tqd().d(T1qd()qd0s)dt+ Tqd()..if__Rs00__+ Tqd().(v0vn)__111__(2.30)Los ultimos tres t erminos de la ecuaci on anterior pueden ser expresados de la siguiente forma:1.Tqd()d(T1qd()qd0s)dt= __0 1 01 0 00 0 0__qd0s +dqd0sdt(2.31)2.Tqd().Rs__100__ = 23.Rs.__cos()sen()12__ (2.32)3.Tqd()__111__ =__001__(2.33)A partir de los resultados anteriores se llega a la siguiente expresi on para la tensi on en el estator:vqd0s = [Rs].iqd0s + __0 1 01 0 00 0 0__qd0s +dqd0sdt23.Rs.if__cos()sen()12__ + (v0vn)__001__(2.34)Donde:(v0vn) = 3_Rs.if+ Llsdifdt_Apartirdeestepuntoseconsideraunmarcodereferenciaestacionario(=0). Deestaecuaci onobtenemos las siguientes expresiones escalares:vqs=Rs.iqs +dqsdt23.rs.ifvds=Rs.ids +ddsdtP ag.21Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2v0s=Rs.i0s +d0sdt23.Rs.if 3 LlsdifdtDonde en las ecuaciones anteriores se consider o por simplicidad = 0.A continuaci on expresaremos el ujo del estator en coordenadas qd0.De la ecuaci on 2.14 recordamos la expresi on para el ujo del estator en coordenadas abc:abcs = [Lss].iabcs + [Lsr].iabcr + .if.__(Lls + Lms)Lms2Lms2__An alogamente al c alculo de la tensi on del estator, si multiplicamos a ambos lados de la ecuaci on anteriorpor Tqd() obtenemos:qd0s = Tqd().[Lss].T1qd().iqd0s + Tqd().[Lsr].T1qd().iqd0r + .if.Tqd()__(Lls + Lms)Lms2Lms2__qd0s =_____Lls +32Lms0 00 Lls +32Lms00 0 Lls_____.iqd0s +_____32Lms0 0032Lms00 0 0_____.iqd0r +.if.Tqd()__(Lls + Lms)Lms2Lms2__Descomponemos el ultimo t ermino de la ecuaci on anterior:Tqd()__(Lls + Lms)Lms2Lms2__= Tqd()___________(Lls +32Lms)00__+__Lms2Lms2Lms2___________y aplicamos los resultados de las ecuaciones que aparecen en 2.32 y 2.33.Tqd()__(Lls +32Lms)00__= 23(Lls +32Lms)__cos()sen()12__P ag.22Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2Tqd()Lms2__111__ =Lms2__001__qd0s =_____Lls +32Lms0 00 Lls +32Lms00 0 Lls_____.iqd0s +_____32Lms0 0032Lms00 0 0_____.iqd0r +.if.___23Lls + Lms___cos()sin()12__+Lms2__001____qs= (Lls +32Lms).iqs +32Lms.iqr23cos().(Lls +32Lms).ifds= (Lls +32Lms).ids +32Lms.idr23sen().(Lls +32Lms).if0s=Lls.i0s13.Lls..ifTransformada del vector de tensi on del rotor:__000__ = [Rr].iabcr +dabcrdtTrasformando a coordenadas qd0__000__ = [Rr].iqd0r + ( r)__0 1 01 0 00 0 0__qd0r +dqd0rdtResultandolassiguientestresecuacionesescalares(nuevamentesuponiendoreferencialestacionariopara los ejes qd, = 0):0 =Rr.iqr +dqrdtr.dr0 =Rr.idr +ddrdt+ r.qr0 =Rr.i0r +d0rdtDadoquehemossupuestoquetrabajamos conneutro aislado sedesprende deestasuposici onquelacomponentehomopolardelacorrientedel estatorydel rotoresnula(i0s=i0r=0), portantoias=P ag.23Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2iqs + i0s=iqsyd0rdt=0. De modo que tambi en llegamos a una expresi on paradas2dten funci on de iqsyde if(ver ecuaci on 2.2):das2dt= .Rs.iqs + (.Rs + Rf ).ifPor ultimo calculamos el ujo en coordenadas dq0 en el rotor:abcr= [Lrs].iabcs + [Lrr].iabcr.if.Lms__cos(r)cos(r +23)cos(r23)__qd0r=Tqd( r).[Lrs]T1qd( r).iqd0s+Tqd( r).[Lrr].T1qd( r).iqd0r.if.Tqd( r).Lms__cos(r)cos(r +23)cos(r23)__Desarrollando los t erminos de la ecuaci on anterior:Tqd( r).[Lrs].T1qd( r) =_____32Lms0 0032Lms00 0 0_____Tqd( r).[Lrr]T1qd( r) =_____Llr +32Lms0 00 Llr +32Lms00 0 Llr_____Tqd( r)__cos(r)cos(r +23)cos(r23)__=23_________cos( r) cos( r23) cos( r +23)sen( r) sen( r23) sen( r +23)121212___________cos(r)cos(r +23)cos(r23)__Tqd( r)__cos(r)cos(r +23)cos(r23)__=__100__P ag.24Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2qd0r=_____32Lms0 0032Lms00 0 0_____.iqd0s +_____Llr +32Lms0 00 Llr +32Lms00 0 Llr_____.iqd0r.if.Lms__100__(2.35)qr=32Lms.iqs + (Llr +32Lms).iqr Lms..ifdr=32Lms.ids + (Llr +32Lms).idr0r=Llr.i0rEl t ermino as2lo calculamos evaluando la ecuaci on 2.5 y sustituyendo los t erminos correspondientesal rotor en coordenadas abc por el correspondiente en coordenadas qd0:as2 = (Lls +32Lms)ias +32..Lms.iqr(Lls + .Lms)ifas2 = (Lls +32Lms)(iqs +

ios) +32..Lms.iqr(Lls + .Lms)ifas2 = .Lls(iqsif ) +.32Lms(iqs + iqr23.if )Apartirdelan alisisanteriorresumimoslasecuacionesapartirdelasque, adicionandolaecuaci ondel parenelejedelam aquina,sepueden obtenerlosvalores delas corrientesestat oricas yrot oricasencoordenadas qd0. Se ha considerado el referencial estacionario en el angulo = 0, por tanto tambi en = 0.1.dqsdt= vqs Rs.iqs +23.Rs.if(2.36)2.ddsdt= vdsRs.ids(2.37)3.d0sdt= v0s +23.Rs.if+3 Llsdifdt4.dqrdt= Rr.iqr +r.dr(2.38)5.ddrdt= Rr.idrr.qr(2.39)P ag.25Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 26.das2dt= .Rs.iqs + (.Rs + Rf ).if(2.40)7.qs= (Lls +32Lms).iqs +32Lms.iqr23cos().(Lls +32Lms).if(2.41)8.ds= (Lls +32Lms).ids +32Lms.idr23sen().(Lls +32Lms).if(2.42)9.qr=32Lms.iqs + (Llr +32Lms).iqr Lms..if(2.43)10.dr=32Lms.ids + (Llr +32Lms).idr(2.44)11.as2 = .Lls(iqsif ) +.32Lms(iqs + iqr23.if ) (2.45)2.1.3. An alisis secuencia positiva e negativaSe deducir a a continuaci on los valores de las componentes de secuencia positiva y negativa en funci onde las componentes q y d de un sistema trif asico. Este razonamiento est a presentado en [13]. En la gura 2.5se observan los fasores de secuencia positiva y negativa, representados en el plano q-d.osp sn o- -wnwn-dqIsnIspFigura 2.5: Representaci on en el plano qd de las componentes de secuencia positiva y negativa.Expresando los fasores en notaci on polar se tiene:Isp=Isp.ej(n.t+sp)Isn=Isn.ej(n.t+sn)Isp=Isp.[cos(n.t +sp) + j.sin(n.t +sp)]Isn=Isn.[cos(n.t +sn) j.sin(n.t +sn)]P ag.26Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2La suma de los fasores resulta:I = Isp +Isn=Isp.cos(n.t +sp) + Isn.cos(n.t +sn) + j.[Isp.sin(n.t + sp) Isn.sin(n.t + sn)]Separando componentes real e imaginaria (proyecciones sobre los ejes q y d respectivamente) se obtiene:iq=Isp.cos(n.t + sp) + Isn.cos(n.t +sn)id=Isp.sin(n.t + sp) Isn.sin(n.t + sn)dadas las relaciones trigonom etricas siguientes,cos(.t ) = cos(.t)cos() sin(.t)sin()sin(.t ) = sin(.t)cos() cos(.t)sin()Se puede reescribir iqe idcomo:iq=Isp[cos(n.t)cos(sp) sin(n.t)sin(sp)] + Isn[cos(n.t)cos(sn) sin(n.t)sin(sn)]id= Isp[sin(n.t)cos(sp) + sin(n.t)cos(sn)] + Isn[sin(n.t)cos(sn) + cos(n.t)sin(sn)]Es conveniente reagrupar los t erminos en funci on de los factores que dependen del tiempo:iq= [Ispcos(sp) + Isncos(sn)]cos(n.t) [Ispsin(sp) + Isnsin(sn)]sin(n.t)id= [Ispsin(sp) + Isnsin(sn)]cos(n.t) + [Ispcos(sp) + Isncos(sn)]sin(n.t)Se denen iqa, iqb, ida, ida como:iqa=Isp.cos(sp) + Isn.cos(sn)iqb= Isp.sin(sp) Isn.sin(sn)ida= Isp.sin(sp) + Isn.sin(sn)idb= Isp.cos(sp) + Isn.cos(sn)Estos par ametros son n umeros reales que dependen de los m odulos de las componentes de secuenciapositiva y negativa. Dadas estas deniciones iq e idse expresan de la siguiente manera:iq= iqa.cos(n.t) + iqb.sin(n.t)id= ida.cos(n.t) + idb.sin(n.t)Hastaestepuntosehallegadoadeterminarlascomponentesiqeidcomocombinaci onlinealdet ermi-nos cos(n.t) y sin(n.t). Resulta util expresar iqe idde esta forma ya que teniendo sus expresiones en eltiempo sepueden despejar los par ametros iqa,iqb, ida, idbqueajusten los datos y a partir de estos obtenerlas componentes de secuencia positiva y negativa. Despejando a partir de las deniciones anteriores:P ag.27Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2iqaidb= 2.Isp.cos(sp) Ispcos(sp) =iqaidb2iqa + idb= 2.Isn.cos(sn) Ispcos(sn) =iqa + idb2idaiqb= 2.Isp.sin(sp) Ispsin(sp) = ida + iqb2idaiqb= 2.Isn.sin(sn) Isnsin(sn) =idaiqb2Porloque, utilizandolarelaci ontrigonom etrica: cos()2+ sin()2=1sepuedendespejarlosm odulosde las componentes de secuencia positiva y negativa del sistema trif asico analizado.I2sp=_iqaidb2_2+_ida + iqb2_2I2sn =_iqa + idb2_2+_ida + iqb2_2P ag.28Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 22.1.4. Simulaciones en el caso de fallas de aislaci on del estatorDescripci on del modelo implementadoSeimplement ounmodelodin amicoenMatlabparasimularel motorconespiras delestator cortocir-cuitadas. El modelo resuelve las ecuaciones presentadas en la secci on 2.1.2 (ecuaciones 2.36 a 2.45) m as lasegunda cardinal en el rotor:drdt= (1/J)((3/2)Lm. p.(iqs.idrids.iqr) Tr)donder: velocidad del rotor.J :momento de inercia del rotor.Lm=32Lms.p: pares de polos.Tr: par resistente.Comoresultado delasimulaci onseobtienenlosvalores decorrienteestat orica,par, velocidaddero-taci on, componentesdesecuenciapositivaynegativadelacorrientesestat oricasyrepresentaci onpolar(param etrica con el tiempo) de las componentes q y d de las mismas.El modelo tiene como par ametros de entrada el porcentaje de espiras cortocircuitadas y la resistencia defalta (resistencia en el cortocircuito).Simulaci on del motor sanoSecomienzasimulandounmotorsano (sinespiras cortocircuitadas) para tener comoreferencia antesdesimularcasosdefalla.Losvalores delospar ametros utilizadospararealizar lassimulacionessonlossiguientes:Par ametro ValorU 230Vf 50Hzp 1J 0,025Kgm2Cr5N.mLls140mHyLlr140mHyLm135,00mHyRest0,89Rrot0,76La corriente de fase tiene la forma mostrada en la gura 2.6, y en la gura 2.7 se observa un detalle dela misma.P ag.29Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 26040200204060 X: 1.522Y: 7.449Tiempo(s)Corriente(A)Corriente(A) fase A(fase en falta)Figura 2.6: Corriente estat orica fase A.1.3 1.32 1.34 1.36 1.38 1.41086420246810Tiempo(s)Corriente(A) Corriente(A) fase A(fase en falta)Figura 2.7: Detalle corriente estat orica fase A.La curva de par se muestra en la gura 2.8 y la velocidad de rotaci on en la gura 2.9.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 210505101520253035Tiempo(s)Par motor N.m Par MotorFigura 2.8: Par motor.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2500050010001500200025003000 X: 1.256Y: 2922Tiempo(s)Velocidad(RPM)Velocidad(RPM)Figura 2.9: Velocidad de rotaci on.Simulaci on del motor con falla de aislaci onSe simul o el motor aumentando progresivamente el porcentaje de espiras cortocircuitadas de una de lasfases del estator y se midi o la amplitud de las componentes de secuencia positiva y negativa de la corrienteestat orica obteniendo los siguientes resultados:P ag.30Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2 ( %) isp (dB) isn (dB)1 15 -45.325 14.9 -15.750 14.8 -7.775 14.7 -1.790 14.9 1.8Estosresultadosmuestranquelacomponentedesecuencianegativaaumentasumagnitudmientrasque la componentepositiva se mantienepr acticamente constante a medida que aumenta el porcentaje deespiras cortocircuitadas (gura 2.10). La resistencia de falta se mantuvo en todos los casos en Rf= 0,1m.0 10 20 30 40 50 60 70 80 90504030201001020Porcentaje de espiras cortocircuitadasAmplitud de la secuencia positiva y negativa (dB) IspIsnFigura2.10:Amplituddelassecuenciaspositivaynegativadelacorrienteenfunci ondelporcentajedeespiras cortocircuitadas.Enlagura2.11seobservalacorrientequeentraenlafaseAdelestator,faseconel25 %deespirascortocircuitadas. El valor de la amplitud de dicha corriente es aproximadamente 7,45Amientras que el valordeestacorrienteenelmotorsanoespr acticamenteelmismo.Demodoqueelcortocircuitonoaumentasignicativamente la corriente que toma el motor, esto se debe a que en el modelo utilizado se asume queel cortocircuito es fase-neutro, con el neutro aislado y se asume que toda la corriente de falta recircula porla fase cortocircuitada.P ag.31Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 26040200204060 X: 1.402Y: 7.455Tiempo(s)Corriente(A)Corriente(A) fase A(fase en falta)Figura 2.11: Simulaci on falla aislaci on. Corriente estat orica fase A, = 0,25.En la gura 2.12, donde se ha gracado el espectro de la corriente que entra a la fase Adel motor cuandoel 25 % de la espiras est an cortocircuitadas, se observa que la falla no introduce arm onicos.250 200 150 100 50 0 50 100 150 200 25080706050403020100FFT(Y(t))Frecuencia(Hz)|FFT(Y(t))| (dB)Figura 2.12: Simulaci on falla aislaci on. Espectro corriente estat orica fase A, = 0,25.P ag.32Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2Larepresentaci on polar delas componentesq-d(param etrica con eltiempo)del sistemadecorrientespara un motorsano y para un motorcon el 25 % de las espiras cortocircuitadas semuestra en las guras2.13 y 2.14. En el caso del motor sano la representaci on es una circunferencia, esto se debe a que las compo-nentes q y d son sinusoides que tienen el mismo m odulo y est an desfasadas 90o. A medida que aumenta laseveridad de la falla los m odulos de las componentes q y d dejan de ser iguales, de manera que el vector decorrientes en el plano q-d toma la forma de una elipse.2468302106024090270120300150330180 0 (Iqs,Ids)Figura 2.13: Motor sano.2468302106024090270120300150330180 0 (Iqs,Ids)Figura 2.14: Motor con 25 % de espiras cortocircuitadas.Evidentemente la observaci on de las componentes q y d de la corriente estat orica permite percibir queexisten anomalas en el funcionamiento normal de la m aquina. Sin embargo las causas de la aparici on de es-tas anomalas no son exclusivas del cortocircuito entre espiras. El desequilibrio de la fuente de alimentaci ontambi en genera desbalances de este tipo.En lagura2.15 seobserva el espectro de las secuencias positivaynegativa delacorrienteestat oricaparaelcasoenquetrabajamosconelmotorsanopero alimentandoelmismoconunafuentedetensi ondesequilibrada (desequilibrio menor al 5 % de la tensi on nominal). El valor en decibeles de la componentepositiva de corriente es aproximadamente 15dB y el valor de la componente negativa es levemente superiora 13dB. Observando la gura 2.10 vemos que dichos valores en la magnitudes ispe isn son similares a losque se presentan en una falta en la que el porcentaje de espiras cortocircuitadas se encuentra entre el 20 %y el 30 %.Finalmente en la gura 2.16 se observa la representaci on polar de las componentes q-d para el caso defuente desequilibrada.P ag.33Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 20 50 100 150 200 250807060504030201001020 X: 50.05Y: 13.02FFT(Y(t))Frecuencia(Hz)|FFT(Y(t))| (dB)Secuencia PositivaSecuencia NegativaFigura 2.15: Espectro de las secuencias positiva e negativa en un motor alimentado con una fuente desequi-librada.2468302106024090270120300150330180 0 (Iqs,Ids)Figura 2.16: Representaci on en plano q-d de corrientes estat oricas, fuente desequilibrada.2.1.5. ConclusionesSe estudi o la falla de aislaci on del estator en base al modelo presentado en [8].A partir de las simulaciones se desprende que una asimetra en el motor genera componentes de secuenciapositiva y negativa, con las cuales se pueden detectar fallas como el cortocircuito entre espiras. Sin embargose observ o que un desequilibrio en las tensiones de alimentaci on de la m aquina genera secuencias positivasynegativasenlacorrientedemagnitudessimilaresaladeuncortocircuito, porloque, si sepretendeutilizarlascomponentesdesecuenciacomomediodediagn osticodeunafalladeaislaci onseconsideraconveniente el seguimiento de las tensiones de alimentaci on al motor, de forma de que estas no induzcanfalsos diagn osticos.P ag.34Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 22.2. Fallas rot oricas, barras del rotor rotas2.2.1. Introducci onLos rotores de los motores de inducci on est an constituidos por un conjunto de barras unidas en ambosextremospordosanillos(alosquetpicamenteselesllamaEnd-Ring), denominadosanillosdecor-tocircuito.Elconjuntoformadoporlasbarrasylosanillosdecortocircuitosedenominajaula.Eln ucleomagn etico del rotor est a constituido por una serie de chapas magn eticas, aisladas y apiladas, que ocupanel espacio comprendido entre las barras.La tecnologa con que se construyen las jaulas de estos motores depende del tama no de los mismos, paramotores de tama no considerable consiste en construir tanto las barras como los anillos de cortocircuito encobre, lasbarras deben estar encastradas enlasranuras del n ucleomagn eticoysoldadas alosanillosdecortocircuito. Otra opci on es construir las jaulas en aluminio, en este caso las barras y los anillos se fundendentro del paquete magn etico del rotor, esta tecnologa se emplea en motores de mediano y peque no porte.Lasasimetrasenlajaularot oricadeunmotordeinducci onsuelenestarrelacionadasconaltastem-peraturasalcanzadasenelrotoryconlaselevadasfuerzascentrfugasquesoportantantobarrascomoanillos, especialmente durante los r egimenes de funcionamiento transitorio. Los problemas pueden iniciar-se durante la construcci on de la m aquina debido a una fundici on defectuosa en los rotores de aluminio oaunionesdefectuosas enelcasodeanillosdecortocircuitosoldadosoensamblados.Deestaformaapa-recenjuntasdealtaresistenciael ectricaoporosidadesenlafundici onqueproducenpuntosdeelevadatemperatura dentro de la jaula.El sitio m as susceptible para que se provoquen las suras es la uni on entre barras y el anillo de corto-circuitoyaque,adem as,endichazonaesdondesuelenacumularselasmayorestensionesmec anicasdela estructura. En el proceso de evoluci on de la avera hay que tener en cuenta quelas barras rot oricas so-portanel procesodefrenado y aceleraci on delmotor,porloquesilam aquinasufrecambiosbruscosensu velocidad de giro, originados por su ciclo de trabajo o por el tipo de m aquina accionada, el fallo puededesarrollarse r apidamente como consecuencia de la fatiga de los materiales.Adem as, debido a los regmenes t ermicos transitorios el motor puede sufrir movimientos diferencialesdentro del paquete magn eticorot orico, lo queconducehabitualmente a latensi ony agrietamiento de losanillos.Laaparici ondeunagrietaenunabarrageneraunprocesodegenerativoendichabarrayasuvezocasionaquelasbarras contiguasseveanafectadas.Elprocesodegenerativosedebeaquealagrietarselabarradisminuyeel areaefectivaporelquepuedecircularcorriente, loqueocasionaqueaumentelatemperatura de dicha zona provocando el desgaste del material. Una vez quela barra o la uni onentre labarrayelanilloserompe, lacorrientecircular aporlasbarrascontiguasdemodoqueestassoportar anmayores solicitaciones t ermicas y mec anicas, con lo cual se inicia el proceso de aparici on de nuevas grietas.Actualmente en la fabricaci on de grandes motores de inducci on es com un encajar fuertemente las barrasdentrodelasranurasdelpaquetemagn etico, sinutilizarning unmaterialaislanteentrelasbarrasylosbordes de las chapas.El tama no reducido de las holguras residuales produce una uni on muy eciente entre barras y chapasdandolugararesistenciasdecontactomuybajas.Porestemotivoesposiblelacirculaci ondecorrientesentre las barras rot oricas y las chapas del n ucleo en direcci on perpendicular a las primeras. Este nuevo ujodecorrienteestar a distribuidoa lolargo del rotor,circulando transversalmenteatrav es de laschapas dematerial magn etico entre las diferentes barras de la jaula.Enmotoresdepeque notama nooconrotoresdealuminiofundidolascorrientesinterlaminaressondespreciables, mientrasqueenmotoresdegrantama nolasmismasdeben sermodeladas dadoqueanteuna asimetra la distribuci on de corriente no ser a la misma dentro del n ucleo magn etico, ya que existe unP ag.35Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2nuevocaminoparasurecirculaci on.Deestemodo, losefectosquesepuedandetectardesdeelexteriorcuando se inicie la avera no ser an los mismos que si la jaula estuviera perfectamente aislada, y por lo tanto,el protocolo de diagn ostico empleado deber a tenerlo en cuenta.Cuandoporalg unmotivoaparecenasimetrasenel rotor, estasinducencorrientesenel estatordefrecuenciafred(1 2ks), a estas frecuencias se le llaman bandas laterales ya que se separan de la frecuenciade alimentaci on 2sk fred [3].Benbouzidenuntrabajopresentadoenel a no2000[7]aproxim olaamplituddelacomponentedefrecuencia correspondiente af =fred(1 2s f ) por:IbrIs=sin()2p(2 )(2.46)donde se calcula como: =2RbR(2.47)Rb: N umero de barras sanas.R: N umero de barras rotas.Si se toman medidas de la corriente estat orica y se realiza un an alisis espectral, se puede identicar elgradodedefectoenelrotormidiendoladiferenciaenamplitudentrelacomponentefundamentalylosarm onicos debido a las bandas laterales.Nivel de deteriorof1fp(dB)fpf1( %) Estado del rotor1 > 60 < 0,10 Excelente2 54 60 0,10 0,20 Bueno3 48 54 0,20 0,40 Moderado4 42 48 0,40 0,79 Fisuras en las barras o uniones de alta resistencia5 36 42 0,79 1,58 Una o dos barras suradas o rotas6 < 36 > 3,16 Varias barras suradas o rotasPara cada nivel de deterioro las acciones recomendadas a tomar son las siguientes [12]:Nivel de deterioro Acci on recomendada1 Ninguna2 Ninguna3 Iniciar seguimiento de datos4 Aumentar la frecuencia de los ensayos5 Realizar an alisis de vibraciones para conrmar6 Reparar o reemplazarP ag.36Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 22.2.2. Modelo Te oricoAcontinuaci onsepresentan las ecuaciones para modelar unmotordejaula,cuyorotor est aformadopor N barras unidas en sus extremos por dos anillos de cortocircuito. Este modelo es presentado en [11]. Seasume que: el entrehierro es uniforme, se est a trabajando fuera de la saturaci on y adem as se considerar a quela jaula se encuentra perfectamente aislada del circuito magn etico, por lo que es imposible la circulaci on decorrientes interlaminares.Seg un se expresa en [11] las ecuaciones para modelar el motor de inducci on bajo estas hip otesis son lassiguientes:Ecuaciones para el estator[Vs] = [Rs][Is] +ddt[s] (2.48)donde[s] = [Lss][Is] + [Lsr][Ir] (2.49)[Is] = [Ias, Ibs, Ics]T(2.50)[Ir] = [Ir1, Ir2, ..., Irn, Ie]T(2.51)[Vs] = [Vas, Vbs, Vcs]T(2.52)[Rs] s olo posee elementos en la diagonal y los mismos representan la resistencia del bobinado de cadafase.[Lss] es una matriz de sim etrica de 3x3 donde la diagonal est a formada por la inductancia propia de lafase respectiva y las otras componentes por las inductancias mutuas del estator. [Lsr] por su parte est a for-mada por las inductancias mutuas entrecada fase del estator ycada barra del rotor,la mismaseexpresacomo:[Lsr] =Lls__Lsra1Lsra2... LsranLsraeLsrb1Lsrb2... LsrbnLsrbeLsrc1Lsrc2... LsrcnLsrce__(2.53)dondeLsraj=Lsrcos(r + (j 1)) (2.54)Lsrbj=Lsrcos(r + (j 1) 2/3) (2.55)Lsrcj=Lsrcos(r + (j 1) + 2/3) (2.56)P ag.37Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2donde j = 1...Nr y =p2Nrcon p en numeros de POLOS, mientras que los t erminos que corresponden ala ultima columna son Lsrae=Lsrbe=Lsrce= 0 ya que se supone en este caso que no existe(o es despreciablerespecto a los otros t erminos) mutua entre los anillos del rotor y los devanados estat oricos.Ecuaciones para el rotorElrotordejaulaesmodeladoporNrbarras(vergura2.17). Adem asdelasecuacionesquesurgenporlospropioscircuitoselementalessedebeagregarunaecuaci ondebidoalhechoquenoestamosenuna situaci on equilibrada, esta ecuaci on es la denominada ecuaci on de End-Ring o ecuaci on del anillo.De esta manera el rotor de la m aquina es caracterizado porNr + 1 ecuaciones. Para realizar la simulaci ondin amica a estasNr + 1 ecuaciones debemos agregar las 3 debidas al estator, la ecuaci on del par y debidoal software utilizado, una variable de estado m as ya que la segunda cardinal es una ecuaci on de segundoorden.EnresumentenemosunmodeloconNr + 1 + 3 + 2ecuaciones.Porejemploenelcasosimulado(solo sano, es decir sin asimetra en el rotor), tendramos 11 variables de estado en el modelo.Figura 2.17: Circuito equivalente del rotor de jaula, donde se muestran las corrientes por los anillos.[Vr] = [Rr][Ir] +ddt[r] (2.57)donde[Vr] = [Vr1, Vr2, ..., Vrn, Vre] (2.58)y[r] = [Lrs][Is] + [Lrr][Ir] (2.59)En la gura 2.18 las corrientes ibke ibk+1 representan la corriente por las barras k y k +1 respectivamente.Malla k:2_ReNr+LeNrddt_ik +_Rb + Lbddt_(ikik+1) +_Rb + Lbddt_(ikik1) _ReNr+LeNrddt_ie= 0 (2.60)P ag.38Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2ibkibk+1RbLbRbLbRe/NrRe/NrLe/NrLe/Nrik ik-1ik+1Figura 2.18: Circuito de la k- esima malla - Modelo rotor polif asico.Reordenando t erminos:2_ReNr+ Rb_ikRb(ik+1 + ik1) + 2_Lb +LeNr_ dikdt Lb_dik+1dt+dik1dt_ReNrieLeNrdiedt= 0 (2.61)Voltaje de End-Ring_ReNr+LeNrddt_(i1 + i2 . . . + iNr1) + Re.ie + Le.diedt= 0 (2.62)La matriz de resistencias del rotor se ve en la ecuaci on 2.63, dondeRbrepresenta la resistencia de cadabarra y Re la resistencia total del anillo.[Rr] =__2(Rb +ReNr) Rb0 ... 0 RbReNrRb2(Rb +ReNr) Rb... 0 0 ReNr......... .................. .........0 0 0 ... 2(Rb +ReNr) RbReNrRb0 0 ... Rb2(Rb +ReNr) ReNrReNrReNrReNr... ReNrReNrRe__(2.63)De forma an aloga a la ecuaci on 2.63 en la ecuaci on 2.64Lbrepresenta la inductancia de cada barra,LelainductanciatotaldelanilloyLmn=2pLN2r g(1 + Ks)eslainductanciamutuaentrelasbarras myn(conm distinto de n), donde es el paso polar,L el largo del rotor, Ksel coef. de saturaci on. En el caso de quem = n es la autoinductancia del loop del rotor, Lnn=2(Nr1)pLN2r g(1 + Ks).P ag.39Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2[Lrr] =__L11 +2(Lb +LeNr) L12 LbL13... L1(n1)L1nLbLeNrL21 LbL22 +2(Lb +LeNr) L23 Lb... L2(n1)L2(n1)LeNr......... .................. .........L(n1)1L(n1)1L(n1)1... L(n1)(n1) +2(Lb +LeNr) L(n1)n + LbLeNrLn1LbLn2Ln2... Ln(n1)LbLnn +2(Lb +LeNr) LeNrLeNrLeNrLeNr... LeNrLeNrLe__(2.64)2.2.3. Simulaciones en el caso de barras rotasConel incremento del usode losmotoresasncronos en las aplicaciones industriales sehafavorecidoel desarrollo de nuevas t ecnicas de mantenimiento predictivo junto con el desarrollo de nuevos programasde simulaci on. El dise no de nuevos modelos puede contrastar con la tecnologa presente surgiendo nuevasnecesidades tecnol ogicas y nuevos desarrollos as como mejoras en la existente tecnologa de software, enestecasoeldise nodenuevosmodelosparasimularlam aquinafrenteadiferentescondicionesdefalla.Hoyenda,losmodelosm asfrecuentementeusados, losmasvers atilesyprecisosest anbasadosenlosm etodos de elementos nitos (Finit Element Method o FEM), aunque para el presente trabajo se trabaj o conun modelo que resuelve un sistema de ecuaciones diferenciales.Las ecuaciones que se simulan en el programa implementado son: 2.48, 2.49, 2.57, 2.59.Los valores de los par ametros utilizados para realizar las simulaciones son los siguientes:Par ametro ValorU 380Vf 50Hzp 1J 5,4x103Kgm2Cr3,5N.mLls0,035mHyLlr0,035mHyLms378,0mHyLmr0,873mHyRest10,0Rrot155Nr5 barrasA continuaci on se muestran los resultados en el caso de la m aquina de inducci on equilibrada, con rotorpolif asico.P ag.40Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 22.51 2.52 2.53 2.54 2.55 2.56 2.571.510.500.511.5Tiempo(s)Corriente(A) Corriente estatorica linea "U"Corriente estatorica linea "V"Corriente estatorica linea "W"Figura 2.19: Corrientes estat oricas - Modelo rotor polif asicoP ag.41Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2Aunque el objetivo del modelo es obtener resultados con la m aquina en el caso de estado de falla (rotorasim etrico) en este proyecto solo se lograron obtener resultados con la m aquina operando en condicionesnormales, ya que al imponer la asimetra del motor, esta tiene como resultado un costo operacional altsimo.Detodasmaneraselhechodesimularelcasosanoyobtenerresultadosfavorablesenlascorrientesrot oricasydem asvariablesdeestadodelsistema, dealgunamaneraterminavalidandoelmodelo. Lassiguientes guras son b asicamente el sumario de los resultados obtenidos.2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.815010050050100150Tiempo(s)Corriente(A) Corriente rotorica barra "1"Corriente rotorica barra "2"Corriente rotorica barra "3"Corriente rotorica barra "4"Corriente rotorica barra "5"Figura 2.20: Corrientes rot oricas - Modelo rotor polif asico0 1 2 3 4 5 643210123456x 1010Tiempo(s)Corriente por los anillos del rotor(A)Figura 2.21: Corriente de End-RingP ag.42Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 20 1 2 3 4 5 6500050010001500200025003000Tiempo(s)Velocidad(RPM) Velocidad(RPM)Figura 2.22: Velocidad - Modelo rotor polif asico2.2.4. ConclusionesSe estudi o el fen omeno de la rotura de barras en el rotor. Se trabaj o con el modelo presentado por [11] yse implement o un programa en Matlab para realizar simulaciones con el mismo.Los resultados para el caso del motor sano fueron satisfactorios, obteni endose valores razonables de lasvariables en juego.Lamentablemente no se logr o poder simular casos de falla, ya que la cantidad de variables de estado nece-sarias para implementar el modelo superan la capacidad de procesamiento disponible por los integrantesdel grupo en el momento de realizar este trabajo.Dadoquenosepudosimularcasosdefalla,noseprofundiz o m asenelestudiote oricodeestafallani tampoco serealizaron medidas sobre un motorreal tal comoestaba previsto en el planteo original delproyecto.P ag.43Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 2P ag.44Captulo 3Fallas de origen mec anicoEn este captulo se analizan fallas de origen mec anico que pueden darse en un motor de inducci on. En la secci on3.1 se realiza un estudio exhaustivo de la excentricidad del rotor y en las secciones siguientes se realiza una revisi onde otras fallas: problemas de rodamientos (secci on 3.2) y de alineaci on (secci on 3.3).3.1. Excentricidades del rotor3.1.1. Introducci onLasexcentricidadesenelmotordeinducci onseencuentranentrelasfallasdeorigenmec anicom asfrecuentes,sobretodoporqueotrasfallasterminangenerandoexcentricidadcomounaconsecuencia.Enla secci on 3.1.1 sedescribir an brevemente las formas en las quepuede presentarse la excentricidad en unmotor, enlassecciones3.1.2,3.1.3y3.1.4sededucir aunmodelodelmotorquepermitetenerencuentaestosfen omenosalosefectos de poder simularesta falla. Finalmenteenlasecci on 3.1.5 semostrar an losresultados obtenidos de este tipos de fallas mediante simulaci on num erica.Los problemas de excentricidad se clasican en dos tipos b asicos:Excentricidad est aticaElejederotaci ondel rotorcoincideconelcentrogeom etricodelrotorpero noconeldelestator(vergura 3.1).Debidoaestehechosegeneraunadistorsi onenelentrehierro delam aquinaencontr andoseelvalormnimo del entrehierro en una posici on ja (con respecto a un observador jo en el estator). Las principalescausas de este tipo de excentricidad son la incorrecta colocaci on de los rodamientos durante el proceso defabricaci on, la naturaleza oval del estator y el desgaste de los rodamientos entre otras.45Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 3+Centro geomtricoy de rotacin delrotor+Centro geomtricodel estatorFigura 3.1: Esquema excentricidad est aticaExcentricidad din amicaEn este caso el rotor gira alrededor de un eje ubicado en el centro geom etrico del estator pero que no escoincidente con el centro geom etrico del rotor (ver gura 3.2). De forma contraria al caso de excentricidadest atica el punto donde el entrehierro es mnimo ya no permanece jo en el espacio sino que gira solidarioal rotor.Dentro de las principales causas de la excentricidad din amica se encuentra el funcionamiento a velocidadescrticas, la aparici on de fuerzas radiales desbalanceadas, mala colocaci on de rodamientos y exi on del ejeentre otros.+Centro geomtricodel rotor+Centro geomtricodel estator y centro de rotacin del rotorFigura 3.2: Esquema excentricidad din amicaSibienlaexcentricidadest aticaydin amicasedenenporseparado escom unqueestosdostiposdefallas aparezcan combinados (excentricidad mixta).En el caso deexcentricidad est atica lafrecuencia principal de vibraci on es 2 fred,sin embargo tambi enaparecen vibraciones a50 y 200 Hzcomoconsecuenciadeladeformaci on en el tama no del entrehierro acausa del desgaste de los rodamientos.Para el caso de excentricidad din amica las frecuencias caractersticas suelen ser bandas laterales alrede-dor de la frecuencia de giro a distancia en frecuencia s. fred.La forma de detectar las fallas por excentricidad es midiendo la corriente estat orica y mediante un an ali-sis espectral identicando las frecuencias caractersticas de este tipo de fallas, las cuales se pueden calcularmediante la siguiente expresi on [2]:f =fred_1 k_1 sp__(3.1)donde:f : componentes de frecuencia en la corriente estat orica debido a excentricidad mixta en el entrehierro.P ag.46Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 3fred: frecuencia de la red.s: deslizamiento.p: n umero de pares de polos.k: factor entero.Tal como se expresa en [2]: En presencia de una excentricidad mixta, bandas laterales de baja frecuencia apa-recen en el espectro de la corriente estat orica, a las frecuencias dadas por 3.1. Las componentes de falla caractersticascorrespondenalcasoconk=1.Laexistenciadeestosarm onicos sedebealainteracci on entreambostipos deex-centricidad. Te oricamente, solo cuando excentricidad est atica y din amica coexisten, los arm onicos dados por 3.1 debenaparecer. Dado que siempre existe un nivel residual de excentricidad est atica o din amica, 3.1 es usualmente utilizadapara detectar excentricidades del rotor.Enbasealoanterior, enestetrabajoseutilizar aelmodelodeexcentricidadmixtaysebuscar anlasfrecuenciaspredichasen3.1. Secomienzaelestudioplanteandolosmodelosdeexcentricidadest aticaydin amica por separado para comprender de mejor forma los mismos, para luego pasar a presentar el mo-delo de excentricidad mixta, que ser a el utilizado en las simulaciones.3.1.2. Excentricidad est aticaSe comienza el estudio del comportamiento del motor de inducci on exc entrico para el caso de excentri-cidad puramente est atica, por ser conceptualmente el m as sencillo. En el Ap endice A se desarrollan todoslos c alculos que permiten llegar a las matrices de inductancias de la m aquina en esta condici on.Como se puede ver en dicha secci on, se dene s=g0como una medida del grado de excentricidad est aticadel rotor (siendo el desplazamiento del eje geom etrico del rotor respecto al del estator y g0el ancho me-dio del EH). Claramente se puede notar que la excentricidad est atica modelada con este par ametro quedadenida dentro del siguiente rango m aximo te orico: Ancho del EH mnimo Situaci on0 g0sin excentricidad est atica (ejes coinciden, EH uniforme)g00 lmite m aximo te orico de excentricidad est atica (rotor roza el estator)Sin embargo el modelo calculado asume valores de smenores a 0,4 dado una aproximaci on utilizada(ver secci on A.2). Esto representa un desplazamiento radial m aximo del eje de: = 0,4.g0.Apartir delos c alculosdetallados en el Ap endice A seconcluyequelas matrices de inductancias delmotor con excentricidad puramente est atica son:[Lss]est=Lls__1 0 00 1 00 0 1__+ Ls_________1 1212121 1212121_________P ag.47Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 3Ls2s2___________cos().cos() cos().cos_ 23_cos().cos_ +23_cos_ 23_.cos() cos_ 23_.cos_ 23_cos_ 23_.cos_ +23_cos_ +23_.cos() cos_ +23_.cos_ 23_cos_ +23_.cos_ +23____________[Lrr]est=Llr__1 0 00 1 00 0 1__+ Lr_________1 1212121 1212121_________Lr2s2___________cos( r).cos( r) cos( r).cos_ r23_cos( r).cos_ r +23_cos_ r23_.cos( r) cos_ r23_.cos_ r23_cos_ r23_.cos_ r +23_cos_ r +23_.cos( r) cos_ r +23_.cos_ r23_cos_ r23_.cos_ r23____________[Lsr]est =Lsr___________cos(r) cos_r +23_cos_r23_cos_r23_cos(r) cos_r +23_cos_r +23_cos_r23_cos(r)___________Lsr2s2___________cos( r).cos() cos_ r23_.cos() cos_ r +23_.cos()cos ( r) .cos_ 23_cos_ r23_.cos_ 23_cos_ r +23_.cos_ 23_cos ( r) .cos_ +23_cos_ r23_.cos_ +23_cos_ r +23_.cos_ +23____________Donde se dene:Ls=N2s4.r.L. p0.Lr=N2r4.r.L. p0.P ag.48Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 3Lsr=Ns.Nr4.r.L. p0.Lls: reactancia de fugas del estatorLlr: reactancia de fugas del rotor3.1.3. Excentricidad din amicaSi el rotor gira en torno a un eje que coincide con el centro geom etrico del estator, pero no del rotor, setiene excentricidad din amica. En este caso el EH mnimo girar a alrededor del estator solidario al rotor.Sedenepor analogacons,dcomofactor deexcentricidaddin amica:cocienteentreladistanciaentreel centrogeom etricodelrotor yeldel estatorconelEH medio.Paradvalen lasmismascondicionesdevariaci on queen elcaso est atico(hastaun40 % para mantenerlavalidez delaaproximaci on linealdelapermeancia).Se puede deducir la forma que toman las matrices de inductancias para la m aquina con excentricidaddin amica razonando en base al caso de la excentricidad est atica. Este an alisis se basa en notar que el unicoelementoqueintroduceasimetraenlam aquinaeselEHnouniforme. Enestemodelosimplicadodem aquinadeinducci on, seconsideranbobinadosdistribuidossinusoidalmenteyseparadosentres120otanto en el estator como en el rotor. Esta suposici onhace que ambos bobinados trif asicos sean intercam-biables, o sea, estator y rotor son bobinados id enticos (a menos del n umero de vueltas por fase).Las matrices de inductancias de la m aquina con excentricidad est atica se forman como la suma de una ma-triz propia de la m aquina sana m as otra debido a la excentricidad, es claro que para el caso de la excentri-cidad din amica las matrices correspondientes a la m aquina sana ser an las mismas ya que sin excentricidadest atica o din amica la m aquina es la misma.En el caso de la m aquina con excentricidad est atica, el estator ve un EH no uniforme pero jo, es decir,que el EHmnimo est a ubicado en un angulo jo (en este estudio llamado ), si se mide desde un referencialsolidario al estator.Desde el punto de vista del rotor la situaci on cambia: se ve un EH no uniforme pero variable en el tiempo(estando en un referencial solidario al rotor, al girar el mismo se ve un EH que gira en el sentido opuesto).En base al an alisis anterior, se explica la forma que tienen las matrices de inductancias para el caso deexcentricidad est atica:Inductancias propias y mutuas del estator son distintas de una fase a otra (por la asimetra del EH)pero son constantes en el tiempo.Inductancias propias y mutuas del rotor son distintas de una fase a otra (nuevamente por la asimetradel EH visto) pero adem as dependen de la posici on del rotor y por lo tanto del tiempo.Inductancias mutuas estator-rotor son dependientes de la posici on del rotor (y por lo tanto del tiem-po) a un en una m aquina sana, porque las posiciones relativas de los bobinados varan al girar el rotoryporlotantotambi enlohacenlasmutuasentreellos.Enelcasodelam aquinaconexcentricidadest atica se suma a esto que el EH que atraviesa el ujomutuo entre un bobinado del estator y rotordepende de la posici on relativa de los mismos y en relaci on con el EH mnimo, con lo que claramentese observa que es funci on de la posici on del rotor (y por ende del tiempo). Esta matriz tendr a induc-tancias variables en el tiempo.Haciendo un razonamiento an alogo se pueden deducir las matrices para el caso din amico. Con excen-tricidad din amica, se tiene un EH no uniforme pero que viaja con el rotor, al girar este. Se puede ver queen el caso de excentricidad din amica es el rotor el que ve un EH no uniforme pero jo en el tiempo.P ag.49Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 3Por otra parte un observador jo en el estator vera pasar un EH no uniforme a una velocidad de rotaci onigual a la del rotor. Estas ultimas armaciones unidas al hecho que los bobinados son esencialmente iguales(en base a la hip otesis hecha anteriormente sobre la similitud de los bobinados trif asicos estat oricos y rot ori-cos) permiten deducir intuitivamente que las inductancias propias y mutuas del rotor en el caso din amicovan a ser del mismo tipo que las del estator en el caso est atico. La unica diferencia entre un grupo y otro deinductancias ser a el angulo en el que se da el EH mnimo (para la exc. est atica era , medido desde el esta-tor, para la din amica se denir a un desde el referencial rot orico), en ambos casos el hecho fundamentales que se trata de un angulo constante (desde el sistema solidario al bobinado trif asico correspondiente).De modo similar a como se deduce la matriz de inductancias rotor-rotor, se puede ver que las inductan-cias propias y mutuas del estator en el caso de excentricidad din amica tendr an una forma similar a las delrotor para el caso est atico (EH variable en el tiempo). Hay que considerar sin embargo una diferencia fun-damental entre las dos situaciones, derivada de un problema de movimiento relativo: para el caso est aticodesde el rotor se vegirar el EH nouniformeen sentido contrario al giro del rotor,en el caso din amico elestator ve girar el EH no uniforme en el sentido de giro del rotor.Este problema se resuelve de manera muy simple observando cu al es el angulo de referencia utilizado.Para el caso de excentricidad est atica, el EH mnimo est a ubicado en el angulo (medido desde el estator)y en r medido desde el rotor (ver secci on A.2.2 por detalles sobre la denici on de los angulos). Aqu sepuedeverclaramenteloindicadoanteriormente, algirarelrotor(raumenta)elEHmnimogiraensentido opuesto. Si se observa con cuidado las matrices [Lss]est y [Lrr]est se tiene que son iguales a menos deesta diferencia en los angulos.Para el caso de excentricidad din amica se dene un angulo constante en el marco de referencia rot oricoque indica la posici on del EH mnimo, por lo tanto se tiene que desde el estator el EH mnimo est a ubicadoen + r(notar que al girar el rotor raumenta por lo que se ve girar el EH en el mismo sentido que girael rotor). Haciendo entonces una analoga con el caso de excentricidad est atica, la matriz [Lss]din ser a iguala [Lrr]din cambiando en esta ultima por +r.En la tabla siguiente se resumen las deducciones anteriores.Excentricidad EH mnimo (desde el estator) EH mnimo (desde el rotor)Est atica (jo) r(gira en sentido opuesto al rotor)Din amica + r(gira en sentido igual al rotor) (jo)Para deducir la matriz[Lsr]dinsiguiendoenlamismalneaderazonamiento sebuscar a unasimilitudcon dicha matriz en el caso de excentricidad est atica. Observando esta ultima se aprecia que tiene factorescoseno en los que aparece r(EH mnimo visto desde el rotor) y el resto de los factores s olo incluyen (EH mnimo visto desde el estator). Claramente si pasamos al caso de excentricidad din amica los papelesde los bobinados se invierten, pero la situaci on es la misma: un bobinado gira respecto al otro y el EH nouniforme gira solidario a uno de los dos bobinados. Se puede ver entonces que en este caso, se deber a re-emplazar r por (EH mnimo visto desde el rotor) y por + r(EH mnimo visto desde el estator).En base a todo el an alisis anterior, las matrices de inductancias del motor para el caso de excentricidaddin amica resultan:P ag.50Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 3[Lss]din =Lls__1 0 00 1 00 0 1__+ Ls_________1 1212121 1212121_________2d2Ls___________cos(r + )cos(r + ) cos_r + 23_cos(r + ) cos_r + +23_cos(r + )cos(r + )cos_r + 23_cos_r + 23_cos_r + 23_cos_r + +23_cos_r + 23_cos(r + )cos_r + +23_cos_r + 23_cos_r + +23_cos_r + +23_cos_r + +23____________[Lsr]din =Lsr___________cos(r) cos_r +23_cos_r23_cos_r23_cos(r) cos_r +23_cos_r +23_cos_r23_cos(r)___________2d2Lsr___________cos(r + )cos() cos(r + )cos_ 23_cos(r + )cos_ +23_cos_r + 23_cos() cos_r + 23_cos_ 23_cos_r + 23_cos_ +23_cos_r + +23_cos() cos_r + +23_cos_ 23_cos_r + +23_cos_ +23____________P ag.51Mantenimiento y Diagn ostico de Fallas en M aquinas Asncronas Captulo 3[Lrr]din =Llr__1 0 00 1 00 0 1__+ Lr_________1 1212121 1212121_________2d2Lr___________cos()cos() cos_ 23_cos() cos_ +23_cos()cos()cos_ 23_cos_ 23_cos_ 23_cos_ +23_cos_ 23_cos()cos_ +23_cos_ 23_cos_ +23_cos_ +23_cos_ +23____________Donde se dene:Ls=N2s4.r.L. p0.Lr=N2r4.r.L. p0.Lsr=Ns.Nr4.r.L. p0.Lls: reactancia de fugas del estatorLlr: reactancia de fugas del rotor3.1.4. Excentricidad mixtaEn un motor es mucho m as probable encontrar excentricidad mixta, o sea que exista un grado de excen-tricidad est atica y din amica a la vez. Esto sucede habitualmente ya que existe un nivel base de excentricidadest atica en todo motor dado por la precisi on en la fabricaci on de las piezas del mismo. Cuando se produceunaexcentricidaddin amicaporalgunaraz on,setienenambostiposdeexcentricidadcoexistiendoenelmotor.Enel trabajo presentado en2007 por Wu [2],sepresentan lasmatrices deinductancias del motorconexcentricidadsoloest atica,solodin amicaymixta. Losresultadosparalasexcentricidadesporseparadocoinciden exactamente a los calculados y deducidos en estetrabajo. Deesta formase consideran v alidos,comprendidos y comprobados los resultados de Wu, por lo que se utilizan las matrices presentadas por esteautor para el caso de excentricidad mixta, dado que implican c alculos m as complejos que quedan fuera delalcance de