Fsica Trabajo

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TEMA IVECTORES

1.- DEFINICIONUn vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). 2.- ELEMENTOS DE UN VECTORa) Direccin de un vector: La direcccon del vector es la direccin de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.b) Sentido de un vector: El sentido del vectores el que va desde el origen A al extremo B.c) Mdulo de un vector: El mdulo del vectores la longitud del segmento AB, se representa por .El mdulo de un vector es un nmero siempre positivo o cero.2.1. Mdulo de un vector a partir de sus componentes:

2.2. Mdulo a partir de las coordenadas de los puntos:

3.- COORDENADAS DE UN VECTOR: Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

Las coordenadas del vectorson las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

4.- CLASES DE VECTORES4.1.- Vectores equipolentes:Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual mdulo, direccin y sentido.

4.2.- Vectores libres:El conjunto de todos los vectores equipolentes entre s se llama vector libre. Cada vector fijo es un representante del vector libre.

4.3.- Vectores fijos:Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo mdulo, direccin, sentido y origen.

4.4.- Vectores ligados:Los vectores ligados son vectores equipolentes que actan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo mdulo, direccin, sentido y se encuentran en la misma recta.

4.5.- Vectores opuestos:Los vectores opuestos tienen el mismo mdulo, direccin, y distinto sentido.

4.6.- Vectores unitarios:Los vectores untario tienen de mdulo, la unidad.Para obtener un vector unitario, de la misma direccin y sentido que el vector dado se divide ste por su mdulo.

4.7.- Vectores concurrentes:Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.

4.8.- Vectores de posicin:El vectorque une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posicin del punto P.

4.9.- Vectores linealmente dependientes:Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinacin lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinacin lineal.

4.10.- Vectores linealmente independientes:Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinacin lineal de los otros.

a1 = a2 = = an = 04.11.- Vectores ortogonales:Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.

4.12.- Vectores ortonormales:Dos vectores son ortonormales si:1. Su producto escalar es cero. 2. Los dos vectores son unitarios.

5.- OPERACIONES CON VECTORES5.1.- Suma de vectoresPara sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.Suma de vectores sobre un mismo puntoLa suma de vectores est bien definida si ambos vectores pertenecen al mismo espacio vectorial, en fsica para que dos vectores puedan ser sumados deben estar aplicados en el mismo punto. La composicin de fuerzas sobre un slido rgido cuando los puntos de aplicacin no coinciden lleva a la nocin de momento de fuerza dados dos fuerzas con puntos de aplicacin se definen la fuerza resultante como el par:[citarequerida]

Donde es la suma generalizada a vectores aplicados en diferentes puntos. El punto de aplicacin es el punto de interseccin de las rectas de accin de las fuerzas. Las componentes del vector de fuerza resultante es de hecho la suma de componentes ordinarias de vectores:

El momento resultante es el momento de fuerza del conjunto de fuerzas respecto al punto calculado para la fuerza resultante.a) Mtodo del paralelogramoEste mtodo permite solamente sumar vectores de dos en dos. Consiste en disponer grficamente los dos vectores de manera que los orgenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando as un paralelogramo (ver grfico). El vector resultado de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen comn de ambos vectores.b) Mtodo del tringulo o mtodo poligonalConsiste en disponer grficamente un vector a continuacin de otro, ordenadamente: el origen de cada uno de los vectores coincidir con el extremo del siguiente. El vector resultante es aquel cuyo origen coincide con el del primer vector y termina en el extremo del ltimo.

5.1.1.- Mtodo analtico para la suma y diferencia de vectoresDados dos vectores libres,

El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma

y ordenando las componentes,

Con la notacin matricial sera

Conocidos los mdulos de dos vectores dados, y , as como el ngulo que forman entre s, el mdulo de es:

5.2.- Producto de vectores5.2.1.- Producto de un vector por un escalarEl producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo mdulo es el producto del escalar por el mdulo del vector, cuya direccin es igual a la del vector, y cuyo sentido es contrario a este si el escalar es negativo.Partiendo de la representacin grfica del vector, sobre la misma lnea de su direccin tomamos tantas veces el mdulo de vector como indica el escalar.Sean un escalar y un vector, el producto de por se representa y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar; esto es,

Con la notacin matricial sera

Mdulo de un vectorUn vector no solo nos da una direccin y un sentido, sino tambin una magnitud, a esa magnitud se le denomina mdulo.Grficamente: es la distancia que existe entre su origen y su extremo, y se representa por:

Coordenadas cartesianas: En muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes sobre tres direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que forman un sistema cartesiano tridimensional.Si tomamos tres vectores unitarios, i sobre OX, j sobre OY y k sobre OZ, entonces podemos encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que:

y aplicando el teorema de Pitgoras nos encontramos con que el mdulo de a es:

ACTIVIDAD EVALUATIVA 1SABERNombre : .Fecha../ ./.Resuelva los siguientes ejercicios

1. Encuentrala suma de los siguientes vectores: por el mtodo analtico y grficoa. u = (5, -3), v= (4, 2)b.u= (1, 7), v= (2, -2)c.u= (-11, -6), v= (13, 9)

2. Encuentra la magnitud del vector resultante de la suma de los vectores anteriores.3.

3.- Representa la suma de vectores en el plano cartesiano.

ACTIVIDAD EVALUATIVA 2SABERNombre : .Fecha../ ./.Resuelva los siguientes ejercicios1). Dados los vectores de la figura, efecte grficamente las siguientes operaciones:

2). Dados los vectores de la figura: Halle la resultante geomtricamente. Halle las componentes de cada vector. El ngulo que forma el vector resultante con el eje Y.

ACTIVIDAD EVALUATIVA 3SABERNombre : .Fecha../ ./.Resuelva los siguientes ejercicios1). Un mvil se desplaza 100 m hacia el Este, 300 m hacia el Sur, 150 m en la direccin S 60 O, y 200 m en la direccin N 30 O.a) Represente el camino seguido por el mvil.b) Halle el vector desplazamiento.

2). Encuentre el ngulo entre dos vectores de 10 y 15 unidades de longitud sabiendo que su resultante tiene 20 unidades de longitud.

ACTIVIDAD EVALUATIVA 4SABERNombre : .Fecha../ ./.Resuelva los siguientes ejercicios1). Encuentre el ngulo entre dos vectores de 8 y 10 unidades de longitud, cuando su resultante forma un ngulo de 50 con el vector mayor.

2). De la grafica siguiente determine la resultante R. Considere un cuadrado de lado l = 2 m.

ACTIVIDAD EVALUATIVA 5SABERNombre : .Fecha../ ./.Resuelva los siguientes ejercicios1). Determine el ngulo que forman los vectores A = 3 i + 10 j + 11 k y B = 11 i + 2 j + 10 k. Adems, identifique en la figura a los vectores.

2. Calcule la suma (resultante) de los vectores de la figura adjunta.

ACTIVIDAD EVALUATIVA 6SABERNombre : .Fecha../ ./.Resuelva los siguientes ejercicios1). Dados los vectores

a) Halle

b) Halle el ngulo entre el primer y segundo vector.

2). Determine el valor de P:

TEMA IICINEMATICA1.- DEFINICIONLa cinemtica (del griego, kineo, movimiento) es la rama de la fsica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo originan (las fuerzas) y se limita, esencialmente, al estudio de la trayectoria en funcin del tiempo. La aceleracin es el ritmo con el que cambia la velocidad. La velocidad y la aceleracin son las dos principales magnitudes que describen cmo cambia la posicin en funcin del tiempo.Los elementos bsicos de la cinemtica son el espacio, el tiempo y un mvil.2.- FUNDAMENTO DE LA CINEMTICA CLSICALa cinemtica trata del estudio del movimiento de los cuerpos en general y, en particular, el caso simplificado del movimiento de un punto material, ms no estudia por qu se mueven los cuerpos. Para sistemas de muchas partculas, por ejemplo los fluidos, las leyes de movimiento se estudian en la mecnica de fluidos.El movimiento trazado por una partcula lo mide un observador respecto a un sistema de referencia. Desde el punto de vista matemtico, la cinemtica expresa cmo varan las coordenadas de posicin de la partcula (o partculas) en funcin del tiempo. La funcin matemtica que describe la trayectoria recorrida por el cuerpo (o partcula) depende de la velocidad (la rapidez con la que cambia de posicin un mvil) y de la aceleracin (variacin de la velocidad respecto del tiempo).El movimiento de una partcula (o cuerpo rgido) se puede describir segn los valores de velocidad y aceleracin, que son magnitudes vectoriales: Si la aceleracin es nula, da lugar a un movimiento rectilneo uniforme y la velocidad permanece constante a lo largo del tiempo. Si la aceleracin es constante con igual direccin que la velocidad, da lugar al movimiento rectilneo uniformemente acelerado y la velocidad variar a lo largo del tiempo. Si la aceleracin es constante con direccin perpendicular a la velocidad, da lugar al movimiento circular uniforme, donde el mdulo de la velocidad es constante, cambiando su direccin con el tiempo. Cuando la aceleracin es constante y est en el mismo plano que la velocidad y la trayectoria, tiene lugar el movimiento parablico, donde la componente de la velocidad en la direccin de la aceleracin se comporta como un movimiento rectilneo uniformemente acelerado, y la componente perpendicular se comporta como un movimiento rectilneo uniforme, y se genera una trayectoria parablica al componer ambas. Cuando la aceleracin es constante pero no est en el mismo plano que la velocidad y la trayectoria, se observa el efecto de Coriolis.[citarequerida] En el movimiento armnico simple se tiene un movimiento peridico de vaivn, como el del pndulo, en el cual un cuerpo oscila a un lado y a otro desde la posicin de equilibrio en una direccin determinada y en intervalos iguales de tiempo. La aceleracin y la velocidad son funciones, en este caso, sinusoidales del tiempo.Al considerar el movimiento de traslacin de un cuerpo extenso, en el caso de ser rgido, conociendo como se mueve una de las partculas, se deduce como se mueven las dems. As, basta describir el movimiento de una partcula puntual, como por ejemplo el centro de masa del cuerpo, para especificar el movimiento de todo el cuerpo. En la descripcin del movimiento de rotacin hay que considerar el eje de rotacin respecto del cual rota el cuerpo y la distribucin de partculas respecto al eje de giro. El estudio del movimiento de rotacin de un slido rgido suele incluirse en la temtica de la mecnica del slido rgido, por ser ms complicado. Un movimiento interesante es el de una peonza, que al girar puede tener un movimiento de precesin y de nutacin.Cuando un cuerpo posee varios movimientos simultneamente, como por ejemplo uno de traslacin y otro de rotacin, se puede estudiar cada uno por separado en el sistema de referencia que sea apropiado para cada uno, y luego, superponer los movimientos.3.- MOVIMIENTO RECTILNEO

Movimiento rectilneo, si sigue una lnea recta.

Los movimientos rectilneos, que siguen una lnea recta, son los movimientos ms sencillos. Movimientos ms complicados pueden ser estudiados como la composicin de movimientos rectilneos elementales. Tal es el caso, por ejemplo, de los movimientos de proyectiles.El movimiento rectilneo puede expresarse o presentarse comoMovimiento rectilneo uniforme, o comoMovimiento rectilneo uniformemente acelerado. Este ltimo puede, a su vez, presentarse como de cada libre o de subida vertical.3.1.- MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEEl movimiento rectilneo uniforme (MRU) fue definido, por primera vez, por Galileo en los siguientes trminos: "Por movimiento igual o uniforme entiendo aqul en el que los espacios recorridos por un mvil en tiempos iguales, tmense como se tomen, resultan iguales entre s", o, dicho de otro modo, es un movimiento de velocidad v constante.El MRU se caracteriza por:a) Movimiento que se realiza en una sola direccin en el eje horizontal.b) Velocidad constante; implica magnitud, sentido y direccin inalterables.c) La magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez. Este movimiento no presenta aceleracin (aceleracin = 0).

Rapidez fantstica.

3.1.1.- CONCEPTO DE RAPIDEZ Y DE VELOCIDADMuy fciles de confundir, son usados a menudo como equivalentes para referirse a uno u otro.Pero la rapidez (r) representa un valor numrico, una magnitud; por ejemplo, 30 km/h.En cambio la velocidad representa un vector que incluye un valor numrico (30 Km/h) y que adems posee un sentido y una direccin.Cuando hablemos de rapidez habr dos elementos muy importantes que considerar: la distancia (d) y el tiempo (t), ntimamente relacionados.As:Si dos mviles demoran el mismo tiempo en recorrer distancias distintas, tiene mayor rapidez aquel que recorre la mayor de ellas.Si dos mviles recorren la misma distancia en tiempos distintos, tiene mayor rapidez aquel que lo hace en menor tiempo.Significado fsico de la rapidezLa rapidez se calcula o se expresa en relacin a la distancia recorrida en cierta unidad de tiempo y su frmula general es la siguiente:

Donde v = rapidez; d = distancia o desplazamiento; t = tiempo

Usamos V para representar la rapidez, la cual es igual al cociente entre la distancia (d) recorrida y el tiempo (t) empleado para hacerlo.Como corolario, la distancia estar dada por la frmula:

Segn esta, la distancia recorrida por un mvil se obtiene de multiplicar su rapidez por el tiempo empleado.A su vez, si se quiere calcular el tiempo empleado en recorrer cierta distancia usamos

El tiempo est dado por el cociente entre la distancia recorrida y la rapidez con que se hace.

En este ejemplo, el mvil recorre 8 metros cada 2 segundos y se mantiene constante.

EJERCICIO 1Un automvil se desplaza con una rapidez de 30 m por segundo, con movimiento rectilneo uniforme. Calcule la distancia que recorrer en 12 segundos.Analicemos los datos que nos dan:

Apliquemos la frmula conocida: y reemplacemos con los datos conocidos:

Qu hicimos? Para calcular la distancia (d), valor desconocido, multiplicamos la rapidez (v) por el tiempo (t), simplificamos la unidad segundos y nos queda el resultado final en metros recorridos en 12 segundos: 360 metros EJERCICIO 2

El automvil de la figura se desplaza con movimiento rectilneo uniforme cunto demorar en recorrer 258 kilmetros si se mueve con una rapidez de 86 kilmetros por hora?Analicemos los datos que nos dan:

Apliquemos la frmula conocida para calcular el tiempo: y reemplacemos con los datos que tenemos:

Qu hicimos? Para calcular el tiempo (t), valor desconocido, dividimos la distancia (d) por la rapidez (v), simplificamos la unidad kilmetros y nos queda el resultado final en horas: 3 horas para recorrer 258 km con una rapidez de 86 km a la hora.EJERCICIO 3Con qu rapidez se desplaza un mvil que recorre 774 metros en 59 segundos?Analicemos los datos conocidos:

Aplicamos la frmula conocida para calcular la rapidez:

Qu hicimos? Para calcular la rapidez (v), valor desconocido, dividimos la distancia (d) por el tiempo (t), y nos queda el resultado final: la rapidez del mvil para recorrer 774 metros en 59 segundos: 13,11 metros por segundo.EJERCICIO 4

Los dos automviles de la figura parten desde un mismo punto, con movimiento rectilneo uniforme. El (mvil A) se desplaza hacia el norte a 90 km por hora, y el (mvil B), hacia el sur a 80 km por hora. Calcular la distancia que los separa al cabo de 2 horas.Veamos los datos que tenemos:Para el mvil A:

Para el mvil B:

Calculamos la distancia que recorre el mvil A:

Calculamos la distancia que recorre el mvil B:

Sumamos ambas distancias y nos da 340 km como la distancia que separa a ambos automviles luego de 2 horas de marcha.EJERCICIO 5

El corredor de la figura trota de un extremo a otro de la pista en lnea recta 300 m en 2,5 min., luego se devuelve y trota 100 m hacia el punto de partida en otro minuto.Preguntas: Cul es la rapidez promedio del atleta al recorrer ambas distancias? Cul es la rapidez media del atleta al recorrer los 400 metros?Veamos los datos que tenemos:Para el primer tramo:

Calculamos su rapidez:

Para el segundo tramo:Calculamos su rapidez:

Rapidez promedio:

La rapidez promedio del atleta fue de 110 metros por minuto.Veamos ahora cul fue la velocidad media (vm) para recorrer los 400 metros:

La rapidez media del atleta fue de 114,29 metros por minuto.3.1.2.- REPRESENTACION GRAFICA DEL MRUEn este movimiento la velocidad permanece constante y no hay una variacin de la aceleracin (a) en el transcurso del tiempo. Esto corresponde al movimiento de un objeto lanzado en el espacio fuera de toda interaccin, o al movimiento de un objeto que se desliza sin friccin. Siendo la velocidad v constante, la posicin variar linealmente respecto del tiempo, segn la ecuacin:

Donde es la posicin inicial del mvil respecto al centro de coordenadas, es decir para .3.2.- MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE ACELERADOFigura 2. Variacin en el tiempo de la posicin, la velocidad y la aceleracin en un movimiento rectilneo uniformemente acelerado.En ste movimiento la aceleracin es constante, por lo que la velocidad de mvil vara linealmente y la posicin cuadrticamente con tiempo. Las ecuaciones que rigen este movimiento son las siguientes:

Donde es la posicin inicial del mvil, es la posicin final y su velocidad inicial, aquella que tiene para .Obsrvese que si la aceleracin fuese nula, las ecuaciones anteriores corresponderan a las de un movimiento rectilneo uniforme, es decir, con velocidad constante.Dos casos especficos de MRUA son la cada libre y el tiro vertical. La cada libre es el movimiento de un objeto que cae en direccin al centro de la Tierra con una aceleracin equivalente a la aceleracin de la gravedad (que en el caso del planeta Tierra al nivel del mar es de aproximadamente 9,8 m/s2). El tiro vertical, en cambio, corresponde al de un objeto arrojado en la direccin opuesta al centro de la tierra, ganando altura. En este caso la aceleracin de la gravedad, provoca que el objeto vaya perdiendo velocidad, en lugar de ganarla, hasta llegar al estado de reposo; seguidamente, y a partir de all, comienza un movimiento de cada libre con velocidad inicial nula.3.3.- MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLEUna masa colgada de un muelle se mueve con un movimiento armnico simple.Es un movimiento peridico de vaivn, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de una posicin de equilibrio en una direccin determinada y en intervalos iguales de tiempo. Matemticamente, la trayectoria recorrida se expresa en funcin del tiempo usando funciones trigonomtricas, que son peridicas. As por ejemplo, la ecuacin de posicin respecto del tiempo, para el caso de movimiento en una dimensin es:

la que corresponde a una funcin sinusoidal de frecuencia, de amplitud A y fase de inicial .Los movimientos del pndulo, de una masa unida a un muelle o la vibracin de los tomos en las redes cristalinas son de estas caractersticas.La aceleracin que experimenta el cuerpo es proporcional al desplazamiento del objeto y de direccin contraria, desde el punto de equilibrio. Matemticamente:

Donde es una constante positiva y e refiere a la elongacin (desplazamiento del cuerpo desde la posicin de equilibrio).

Figura 3. Variacin de la posicin respecto del tiempo para el movimiento oscilatorio armnico.La solucin a esa ecuacin diferencial lleva a funciones trigonomtricas de la forma anterior. Lgicamente, un movimiento peridico oscilatorio real se ralentiza en el tiempo (por friccin mayormente), por lo que la expresin de la aceleracin es ms complicada, necesitando agregar nuevos trminos relacionados con la friccin. Una buena aproximacin a la realidad es el estudio del movimiento oscilatorio amortiguado.3.4.- MOVIMIENTO PARABLICOFigura 4. Esquema de la trayectoria del movimiento balstico.

Objeto disparado con un ngulo inicial desde un punto que sigue una trayectoria parablica.El movimiento parablico se puede analizar como la composicin de dos movimientos rectilneos distintos: uno horizontal (segn el eje x) de velocidad constante y otro vertical (segn eje y) uniformemente acelerado, con la aceleracin gravitatoria; la composicin de ambos da como resultado una trayectoria parablica.Claramente, la componente horizontal de la velocidad permanece invariable, pero la componente vertical y el ngulo cambian en el transcurso del movimiento.En la figura 4 se observa que el vector velocidad inicial forma un ngulo inicial respecto al eje x; y, como se dijo, para el anlisis se descompone en los dos tipos de movimiento mencionados; bajo este anlisis, las componentes segn x e y de la velocidad inicial sern:

El desplazamiento horizontal est dado por la ley del movimiento uniforme, por tanto sus ecuaciones sern (si se considera ):

En tanto que el movimiento segn el eje ser rectilneo uniformemente acelerado, siendo sus ecuaciones:

Si se reemplaza y opera para eliminar el tiempo, con las ecuaciones que dan las posiciones e , se obtiene la ecuacin de la trayectoria en el plano xy:

que tiene la forma general

y representa una parbola en el plano y(x). En la figura 4 se muestra esta representacin, pero en ella se ha considerado (no as en la animacin respectiva). En esa figura tambin se observa que la altura mxima en la trayectoria parablica se producir en H, cuando la componente vertical de la velocidad sea nula (mximo de la parbola); y que el alcance horizontal ocurrir cuando el cuerpo retorne al suelo, en (donde la parbola corta al eje ).3.5.- MOVIMIENTO CIRCULAREl movimiento circular en la prctica es un tipo muy comn de movimiento: Lo experimentan, por ejemplo, las partculas de un disco que gira sobre su eje, las de una noria, las de las agujas de un reloj, las de las paletas de un ventilador, etc. Para el caso de un disco en rotacin alrededor de un eje fijo, cualquiera de sus puntos describe trayectorias circulares, realizando un cierto nmero de vueltas durante determinado intervalo de tiempo. Para la descripcin de este movimiento resulta conveniente referirse ngulos recorridos; ya que estos ltimos son idnticos para todos los puntos del disco (referido a un mismo centro). La longitud del arco recorrido por un punto del disco depende de su posicin y es igual al producto del ngulo recorrido por su distancia al eje o centro de giro. La velocidad angular () se define como el desplazamiento angular respecto del tiempo, y se representa mediante un vector perpendicular al plano de rotacin; su direccin se determina aplicando la "regla de la mano derecha" o del sacacorchos. La aceleracin angular () resulta ser variacin de velocidad angular respecto del tiempo, y se representa por un vector anlogo al de la velocidad angular, pero puede o no tener la misma direccin (segn acelere o retarde).La velocidad (v) de una partcula es una magnitud vectorial cuyo mdulo expresa la longitud del arco recorrido (espacio) por unidad de tiempo tiempo; dicho mdulo tambin se denomina rapidez o celeridad. Se representa mediante un vector cuya direccin es tangente a la trayectoria circular y coincide con el del movimiento.La aceleracin (a) de una partcula es una magnitud vectorial que indica la rapidez con que cambia la velocidad respecto del tiempo; esto es, el cambio del vector velocidad por unidad de tiempo. La aceleracin tiene generalmente dos componentes: la aceleracin tangencial a la trayectoria y la aceleracin normal a sta. La aceleracin tangencial es la que causa la variacin del mdulo de la velocidad (celeridad) respecto del tiempo, mientras que la aceleracin normal es la responsable del cambio de direccin de la velocidad. Los mdulos de ambas componentes de la aceleracin dependen de la distancia a la que se encuentre la partcula respecto del eje de giro.3.5.1.- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEFigura 5. Direccin de magnitudes fsicas en una trayectoria circular de radio 1.Se caracteriza por tener una velocidad variable o estructural constante por lo que la aceleracin angular es nula. La velocidad lineal de la partcula no vara en mdulo, pero s en direccin. La aceleracin tangencial es nula; pero existe aceleracin centrpeta (la aceleracin normal), que es causante del cambio de direccin.Matemticamente, la velocidad angular se expresa como:

Donde es la velocidad angular (constante), es la variacin del ngulo barrido por la partcula y es la variacin del tiempo.El ngulo recorrido en un intervalo de tiempo es:

3.5.2.- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADOEn este movimiento, la velocidad angular vara linealmente respecto del tiempo, por estar sometido el mvil a una aceleracin angular constante. Las ecuaciones de movimiento son anlogas a las del rectilneo uniformemente acelerado, pero usando ngulos en vez de distancias:

Siendo la aceleracin angular constante.

CINEMTICA RELATIVISTAMovimiento relativista bajo fuerza constante: aceleracin (azul), velocidad (verde) y desplazamiento (rojo).En la relatividad, lo que es absoluto es la velocidad de la luz en el vaco, no el espacio o el tiempo. Todo observador en un sistema de referencia inercial, no importa su velocidad relativa, va a medir la misma velocidad para la luz que otro observador en otro sistema. Esto no es posible desde el punto de vista clsico. Las transformaciones de movimiento entre dos sistemas de referencia deben tener en cuenta este hecho, de lo que surgieron las transformaciones de Lorentz. En ellas se ve que las dimensiones espaciales y el tiempo estn relacionadas, por lo que en relatividad es normal hablar del espacio-tiempo y de un espacio cuatridimensional.Hay muchas evidencias experimentales de los efectos relativistas. Por ejemplo, el tiempo medido en un laboratorio para la desintegracin de una partcula que ha sido generada con una velocidad prxima a la de la luz es superior al de desintegracin medido cuando la partcula se genera en reposo respecto al laboratorio. Esto se explica por la dilatacin temporal relativista que ocurre en el primer caso.La Cinemtica es un caso especial de geometra diferencial de curvas, en el que todas las curvas se parametrizan de la misma forma: con el tiempo. Para el caso relativista, el tiempo coordenado es una medida relativa para cada observador, por tanto se requiere el uso de algn tipo de medida invariante como el intervalo relativista o equivalentemente para partculas con masa el tiempo propio. La relacin entre el tiempo coordenado de un observador y el tiempo propio viene dado por el factor de Lorentz.3

PROBLEMAS DE CINEMTICA

1.-Un mvil describe un movimiento rectilneo. En la figura, se representa su velocidad en funcin del tiempo. Sabiendo que en el instante t=0, parte del origen x=0. Dibuja una grfica de la aceleracin en funcin del tiempo Calcula el desplazamiento total del mvil, hasta el instante t = 8 s. Escribe la expresin de la posicin x del mvil en funcin del tiempo t, en los tramos AB y BC.

2) Un ascensor de 3 m de altura sube con una aceleracin de 1 m/s2. Cuando se encuentra a una cierta altura se desprende la lmpara del techo. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo del ascensor. Tomar g=9.8 m/s2.3) En qu caso un cuerpo tiene aceleracin centrpeta y no tangencial? y en qu caso tiene aceleracin tangencial y no centrpeta? Razona la respuesta y pon un ejemplo de cada caso.4) Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota adems es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con aceleracin de 2 m/s2. Calcular: La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto. La altura mxima El valor de las componentes tangencial y normal de la aceleracin cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.Tmese g=10 m/s2. 5) Nos encontramos en la antigua Suiza, donde Guillermo Tell va a intentar ensartar con una flecha una manzana dispuesta en la cabeza de su hijo a cierta distancia d del punto de disparo (la manzana est 5 m por debajo del punto de lanzamiento de la flecha). La flecha sale con una velocidad inicial de 50 m/s haciendo una inclinacin de 30 con la horizontal y el viento produce una aceleracin horizontal opuesta a su velocidad de 2 m/s2.

Calcular la distancia horizontal d a la que deber estar el hijo para que pueda ensartar la manzana. Hllese la altura mxima que alcanza la flecha medida desde el punto de lanzamiento. (g=9.8 m/s2)

6) Un cuerpo baja deslizando por el plano inclinado de 30 alcanzando al final del mismo una velocidad de 10 m/s. A continuacin, cae siendo arrastrado por un viento en contra que causa la aceleracin horizontal indicada en la figura. Cunto vale el alcance xmax? Con qu velocidad llega a ese punto?

7) Una partcula se mueve en el plano XY de acuerdo con la ley ax=0, ay=4cos(2t) m/s2. En el instante t=0, el mvil se encontraba en x=0, y=-1 m, y tena la velocidad vx=2, vy=0 m/s. Hallar las expresiones de r(t) y v(t). Dibujar y calcular las componentes tangencial y normal de la aceleracin en el instante t=/6 s.8) Un mvil se mueve en el plano XY con las siguientes aceleraciones: ax=2, ay=10 m/s2. Si en el instante inicial parte del origen con velocidad inicial vx=0 y vy=20 m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleracin, y el radio de curvatura en el instante t=2 s.9) El vector velocidad del movimiento de una partcula viene dado por v=(3t-2)i+(6t2-5)j m/s. Si la posicin del mvil en el instante t=1 s es r=3i-2j m. Calcular El vector posicin del mvil en cualquier instante. El vector aceleracin. Las componentes tangencial y normal de la aceleracin en el instante t=2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleracin y las componentes tangencial y normal en dicho instante.

10) Un bloque de 0.5 kg de masa de radio comienza a descender por una pendiente inclinada 30 respecto de la horizontal hasta el vrtice O en el que deja de tener contacto con el plano. Determinar la velocidad del bloque en dicha posicin. Hallar el punto de impacto de la esfera en el plano inclinado 45, situado 2 m por debajo de O, tal como se indica en la figura. Hallar el tiempo de vuelo T del bloque (desde que abandona el plano inclinado hasta el punto de impacto). Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleracin en el instante T/2.

El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano inclinado es 0.2.

11) Disparamos un proyectil desde el origen y ste describe una trayectoria parablica como la de la figura. Despreciamos la resistencia del aire. Dibuja en las posiciones A, B, C, D y E el vector velocidad, el vector aceleracin y las componentes normal y tangencial de la aceleracin. (No se trata de dar el valor numrico de ninguna de las variables, slo la direccin y el sentido de las mismas)Qu efecto producen an y at sobre la velocidad

12) Un patinador desciende por una pista helada, alcanzando al finalizar la pista una velocidad de 45 m/s. En una competicin de salto, debera alcanzar 90 m a lo largo de una pista inclinada 60 respecto de la horizontal. Cul ser el ngulo (o los ngulos) que debe formar su vector velocidad inicial con la horizontal?. Cunto tiempo tarda en aterrizar? Calcular y dibujar las componentes tangencial y normal de la aceleracin en el instante t/2. Siendo t el tiempo de vuelo. Tomar g=10 m/s2

13) Una botella se deja caer desde el reposo en la posicin x=20 m e y=30 m. Al mismo tiempo se lanza desde el origen una piedra con una velocidad de 15 m/s. Determinar el ngulo con el que tenemos que lanzar la piedra para que rompa la botella, calcular la altura a la que ha ocurrido el choque. Dibujar en la misma grfica la trayectoria de la piedra y de la botella. (Tomar g=9.8 m/s2).14) Se dispara un proyectil desde lo alto de una colina de 300 m de altura, haciendo un ngulo de 30 por debajo de la horizontal. Determinar la velocidad de disparo para que el proyectil impacte sobre un blanco situado a una distancia horizontal de 119 m, medida a partir de la base de la colina. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleracin cuando el proyectil se encuentra a 200 m de altura.15) Un can est situado sobre la cima de una colina de 500 m de altura y dispara un proyectil con una velocidad de 60 m/s, haciendo un ngulo de 30 por debajo de la horizontal. Calcular el alcance medido desde la base de la colina. Las componentes tangencial y normal de la aceleracin 3 s despus de efectuado el disparo. Dibujar un esquema en los que se especifique los vectores velocidad, aceleracin y sus componentes tangencial y normal en ese instante. (Tmese g=10 m/s2)

16) Un patinador comienza a descender por una pendiente inclinada 30 respecto de la horizontal. Calcular el valor mnimo de la distancia x al final de la pendiente de la que tiene que partir para que pueda salvar un foso de 5m de anchura. El coeficiente de rozamiento entre el patinador y la pista es =0.2

17) Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota adems es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con aceleracin de 2 m/s2, (tmese g=10 m/s2). Calcular: La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto. La altura mxima Las componentes tangencial y normal de la aceleracin en el instante t=3 s.

18) Se lanza un objeto desde una altura de 300 m haciendo un ngulo de 30 por debajo de la horizontal. Al mismo tiempo se lanzaverticalmenteotroobjetoconvelocidaddesconocidav0desdeelsuelo a una distancia de 100 m. Determinar, la velocidadv0, elinstante y la posicin de encuentro de ambosobjetos. Dibujar la trayectoria de ambos objetos hasta que se encuentran. Calcular las componentes tangencial y normal del primer objeto en el instante de encuentro. Tmese g=9.8 m/s2

TEMA IIIDINAMICA

1.- DEFINICIONEs parte de la mecnica que estudia los movimientos acelerados de los cuerpos, considerando el anlisis de las fuerzas.

EJEMPLOS

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TEMA VFUERZA DE ROSAMIENTO O FRICCION

DEFINICION:

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TEMA VIDINAMICA DE LA ROTACION

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TEMA VIITRABAJO POTENCIA Y ENERGIA

23 Ing. Richard Oa Martnez