Texto Para Acompañar El Desarrollo de Física II (2011)

TEXTO PARA ACOMPAÑAR

EL DESARROLLO DE

FÍSICA II

CAMINO, Néstor - SAUNDERS, Gabriel

Departamento de Física - Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco

Sede Esquel

Esquel, Chubut, Patagonia, Argentina.

2011

TEXTO PARA ACOMPAÑAR EL DESARROLLO DE FÍSICA II - CAMINO–SAUNDERS - FI UNPSJB, ESQUEL, 2011.

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AGRADECIMIENTOS El presente Texto fue elaborado siguiendo una secuencia de trabajo que consistió en grabar en audio la totalidad de las clases de las cursadas del ciclo lectivo 2007 (Ing. y CN), y transcribirlas corrigiendo, modificando y ampliando lo que considerábamos necesario para una versión escrita del desarrollo de Física II. Además, solicitamos a nuestros ex alumnos que nos prestaran sus carpetas de cursado, en el estado en que estuvieran, con el fin de cotejar en ellas los desarrollos más actuales de la cursada, y en especial para escanear imágenes, fórmulas, comentarios, etc. Así, todas las imágenes de este Texto son originales hechos por los estudiantes durante las distintas cursadas.

Queremos agradecer de corazón a nuestros alumnos durante estos veintitrés años de trabajo en Física II su disposición, interés y buena voluntad para aprender juntos, todos, la visión que el Electromagnetismo nos da del Universo en el que vivimos, y en especial a los estudiantes que han colaborado con nosotros para generar este Texto, prestándonos sus carpetas de teoría y práctica: Patricia Ríos (Ing., 1998); Ivón Contreras (CN, 1998); Jessica Arre (Ing., 2002); María Laura de Errasti (Ing., 2004); Helga Kirner (Ing., 2004); Daniel Piotrowicz (Ing., 2004); Luis Crnkovic (Ing., 2004); María Clara Ratto (Ing., 2005); Ángel (Ing., 2005); Andrea Álvarez (Ing., 2005); Javier de Leonardis (CN, 2005); Luis Epele (CN, 2005); Mara Sánchez (CN, 2005); Martín Escalona (Ing., 2006); Danilo Hernández Otaño (Ing., 2006); María Luisa Pemberton (CN, 2006); Gabriela Papazian (CN, 2006); Iván Rost (Ing., 2007); Daniela Echevarría (Ing., 2007); Carla Daniela Palavecino (Ing., 2007); Carlos Ríos (Ing., 2007); Marina Caselli (Ing., 2007); Ángela (CN, 2007); Ramiro Gorosito (Ing., 2009). Especial agradecimiento además queremos dar a la Ingeniera Forestal Silvestre SAGARZAZU, quien durante el año 2008 trabajó como Ayudante Alumna en nuestra cátedra, colaborando activamente en la desgrabación de las clases y en la lectura crítica del material para este Texto; su contribución fue muy importante en el proceso para que éste comience a ser una realidad.


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A MODO DE PRÓLOGO Breve historia de la cátedra de Física II de la Sede Esquel Cuando la Sede Esquel de la UNPSJB reinicia sus actividades allá por 1985, Ingeniería con su Ciclo Básico y su Profesorado en Física y Matemática tiene un rol fundamental en la estabilización definitiva de este desafío, no sólo académico sino, como lo fue para muchos de nosotros, de elecciones de vida. Física II se dictó por primera vez en 1986, reuniendo a un conjunto de jóvenes profesionales con muchas ganas, con gran diversidad de orígenes, tanto académicos como geográficos, pero con voluntad para esforzarnos y estudiar para poder brindar a nuestros alumnos lo mejor que teníamos. Desde aquella época hemos vivido muchas situaciones: desde las dudas propias de nuestra inexperiencia y juventud que nadie nos podía solucionar en Esquel, pasando por la falta de libros y recursos en aquellos primeros años de clase en los que cada día íbamos caminando hasta la Escuela Normal transportando cajitas con elementos de laboratorio fabricados por nosotros mismos para dar clase a alumnos que eran mayores que nosotros, hasta las muchas instancias en que los concursos docentes y los estudios que realizáramos en estos largos años nos dieron, si no tranquilidad, al menos una cierta visión de nuestra área de trabajo mucho más profunda y estable. Hoy día, cuando aquellos primeros alumnos son colegas y los chicos de hoy son como nuestros hijos, quizás sea tiempo de intentar escribir algo de lo mucho que hemos pensado, discutido, escrito, e intentado plasmar en nuestras clases, lo que aunque fue mucho e intenso aún nos deja montones de dudas y preguntas abiertas, algunas de las cuales creemos que valen la pena para compartir con quienes nos acompañan en este camino de la docencia universitaria. Sobre nuestra intención al realizar el presente Texto Así las cosas, nos hemos propuesto algunos objetivos para el presente Texto, los cuales, si logramos cumplirlos, de alguna manera nos ayudarán para sentir que tanto tiempo y esfuerzo no fue en vano, y que sirvió al menos para compartir con otros nuestra forma de vivir la tarea realizada.

Ante todo, queremos que este Texto sea utilizado para ACOMPAÑAR el desarrollo cotidiano de Física II; es decir, no es nuestra intención que a partir de la lectura de lo que hemos escrito un estudiante pueda prescindir de las clases durante la cursada ni del estudio de otros libros, quizás más clásicos. La riqueza del diálogo, de la discusión, de lo que pueda ser improvisado durante una clase con un grupo de estudiantes no puede reemplazarse por ningún texto; sin embargo, si esas clases se dieran luego de la lectura del mismo, estamos convencidos de que su riqueza se potenciaría en mucho.

Por estas mismas razones, es nuestra intención que el presente Texto sea DE DISTRIBUCIÓN LIBRE Y GRATUITA, tanto en papel como en su versión electrónica. No fue hecho para ser editado y vendido, compitiendo con otros libros en el mercado, sino con el espíritu de brindar una buena herramienta para que nuestros alumnos puedan construir mejor su aprendizaje.


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REGISTRAR LA HISTORIA de nuestra forma de diseñar el dictado de Física II a través de estos años es un objetivo muy importante para nosotros, ya que si bien cada equipo docente puede elegir de qué manera desarrollar un cierto campo de la Física (aquello de la “libertad de cátedra”) es cierto que cada uno considera, honesta y humildemente, que su forma de dar clase es la que mejor le resulta y por esto mismo vale la pena conservar su particular registro histórico.

En este mismo sentido, nuestro Texto servirá para mostrar DE QUÉ MANERA “VEMOS EL MUNDO”, resultado esto, en especial, de nuestra formación académica, del trabajo con nuestros colegas y amigos en la Facultad, de nuestra elección de vida al elegir Esquel como el lugar donde hemos construido nuestra historia personal y profesional, de lo mucho aprendido en estos años de trabajo en la cátedra, de lo que nuestros alumnos nos han ido transmitiendo, etc.; así, esperamos que quien lea con detenimiento este Texto se acerque no sólo al Electromagnetismo básico sino también a las personas que durante más de veinte años tuvimos a nuestro cargo el desarrollo de Física II en Esquel.

Sobre la relación de Física II con Física I y Termodinámica Básica Algo fundamental para comprender mejor nuestra forma de trabajo en Física II es que la misma no se desarrolló en forma aislada, dentro de una cátedra sin contacto con el resto de las cátedras. En el caso del Departamento de Física de la Sede Esquel, hemos tenido la suerte que desde 1986 formamos, además de un pequeño pero dinámico equipo de trabajo también un grupo humano con gran afecto y respeto. Además, la línea de investigación que hemos construido en estos muchos años tuvo como foco a la Educación en Física y Astronomía, lo que dio un sello de identidad muy fuerte a nuestras cátedras y a nuestro grupo de trabajo en la región. Desde siempre hemos trabajado en forma coordinada tratando de que el paso de nuestros alumnos por las tres cátedras de Física (Física I, Física II y Termodinámica Básica) fuera “suave”, tanto a partir de la coherencia lógica interna de la Física, como a través de la concepción de Educación que hemos sustentado en estos años. A este planteo se agregó en los últimos años el Curso de Nivelación en Física, previo al cursado de Física I, que profundizó nuestra propuesta. En especial, este esfuerzo de articulación (horizontal y vertical) entre nuestras cátedras tuvo un hito en el proceso de investigación que se concretó a través del Proyecto de Investigación denominado “Espacio, Tiempo, Materia, Simetría e Interacciones. Ingredientes Básicos para el Aprendizaje Contemporáneo de la Física” (Facultad de Ingeniería, CIUNPat), dirigido por el Dr. Hugo Hamity y codirigido por el Dr. Juan Manuel Martínez, durante el período 01/04/96 a 31/12/99). Logramos así que en las asignaturas de Física de Ingeniería en Esquel el lenguaje, la estructura conceptual básica, etc., y los tres cuerpos de leyes principales (Principios de la Termodinámica, Leyes de Newton y Leyes de Maxwell) se mantengan interrelacionándose en forma permanente, aunque con distinto énfasis (Movimiento en Física I, Campo en Física II, Equilibrio y Procesos en Termodinámica Básica), sabiendo que las leyes presentadas en una de las asignaturas no dejan de valer en las otras, manteniendo la coherencia interna de la disciplina en todo Primer y Segundo años. Dos ejemplos a este respecto. Las Leyes de Newton presentadas en Física I siguen valiendo para las fuerzas de tipo electromagnéticas. Los tres Principios de la Termodinámica valen siempre, aunque el Primer Principio (de Conservación de la Energía) sea para Física II el más utilizado, y el Principio Cero (equilibrio térmico) no nos afecte debido a que Física II se desarrolla a temperatura constante, y el Segundo Principio (de la Entropía) prácticamente no tenga ninguna aplicación en el desarrollo que haremos del Electromagnetismo Básico.

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Mensaje para nuestros alumnos En tantos años de dictar Física II hemos querido poner en práctica algunos criterios, ya no los propios y quizás obvios del dictado de una asignatura universitaria de Física, sino aquellos más “sutiles”, los que en general nunca se explicitan en los Programas pero que son en ciertos aspectos tan o más importantes. Son pocos, pero para nosotros muy importantes, por lo que, ya cerrando este Prólogo, nos gustaría comentar algunos de esos criterios. Hemos intentado mostrar que tanto en la estructura epistemológica de la Ciencia, como de la Ingeniería y de la Educación, algo esencial es no dar por hecho algunas cosas, sin permitirnos preguntar por los fundamentos que les dieron origen, o bien por la actualidad de su validez, o sobre la posibilidad de modificar y aún eliminar algunos de esos supuestos, que por ancestrales, de costumbre o de autoridad, son asumidos como perennes. De las dudas acerca de aquello que naturalmente damos por hecho, han surgido la mayoría de los desarrollos creativos en Ciencia y Tecnología. Y de permitirnos dudar (duda epistemológica, no duda paranoica) hasta de lo más evidente que nos rodea, podemos revalorizar día tras día lo que hacemos, lo que amamos, lo que buscamos, las elecciones que hemos hecho, etc. Sin embargo, al estilo de cómo improvisa un grupo de músicos, debemos conocer profundamente el área de conocimiento de nuestra especialidad y ser concientes de lo que consideramos dado por hecho, para recién después permitirnos dudar de ello: no podemos improvisar sin dominar nuestro instrumento, tanto como no podemos dudar sin conocer la base teórica y metodológica sobre la cual hemos construido un mundo “dado por hecho”. Todos tenemos una forma de “ver el mundo”, visión que hemos construido a través de lo que hayamos vivido y en el contexto natural y social en el que nos hayamos desarrollado. Sin embargo, a medida que crecemos, tanto en lo personal como en lo social, vamos modificando nuestra forma de ver el mundo, y seguramente dentro de un tiempo tendremos una cosmovisión diferente a la que hoy tenemos (esto vale para cada uno de nosotros, para la sociedad y para la Física). Sin embargo, no es posible vivir (ni individual, ni social, ni profesionalmente) sin tener una visión de mundo: es decir, no es posible ver el mundo al mismo tiempo de dos maneras diferentes o no verlo de manera alguna, como si uno se “preparara para no sufrir” con los cambios que inexorablemente vendrán. Por esto, y ya en lo que respecta a la Ciencia y a la Tecnología, debemos comprender la forma en que hoy nuestra Cultura científica y planetaria ve el mundo, y prepararnos para que otros, en el futuro, a partir de lo que nosotros desarrollemos, construyan una nueva visión, más adecuada a los nuevos tiempos de la Humanidad (del mismo modo que nosotros aprendimos cómo eran las visiones de mundo de siglos atrás, no sólo en Física sino en la Cultura en general, y comprendimos que eran válidas para esa época, aunque no para la nuestra). Los modelos físicos son parte de las estructuras que los seres humanos construimos para ver el mundo. Estos modelos, y todos los modelos idiosincrásicos y culturales que podamos construir, debemos comprender (y vivir de acuerdo con ello) que no son de validez para siempre ni que son externos a las personas y a las sociedades que los construimos. La Física es un buen ejemplo de esto.


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ÍNDICE

AGRADECIMIENTOS……………………………………….………………………………...………………… 003

A MODO DE PRÓLOGO

Breve historia de la cátedra de Física II de la Sede Esquel……………..…………………………...………………… 005

Sobre nuestra intención al realizar el presente Texto………………………………………..……...………………… 005

Sobre la relación de Física II con Física I y Termodinámica Básica…………………………………...……………… 006

Mensaje para nuestros alumnos…………………………………………………………..………...………………… 007

PARTE I

LOS FUNDAMENTOS DESDE LA FÍSICA DE ESTA PROPUESTA DIDÁCTICA

LA ESTRUCTURA CONCEPTUAL DE FÍSICA II………………………...………………...………………… 015

NOCIONES BÁSICAS DE ESPACIO, TIEMPO Y MATERIA….……..…………………...………………… 017

Modelo físico de Espacio……………………………………………………………………...…...………………… 017

Propiedades del Espacio…………………………………………………………………………...………………… 019

El Espacio en el modelo aristotélico y en el modelo newtoniano………………….………………..…………………020

ARISTÓTELES…………………………………………………………………………………...………………… 021

La estructura del Espacio…………………………………………………………………………..………………… 022

Las preguntas que podemos hacer sobre el Espacio………………………...……………………...………………… 022

Modelo físico del Tiempo………………………………………………………………………….………………… 023

Propiedades del Tiempo……………………………………………………………….…………...………………… 023

La estructura del Tiempo…………………………………………...………………………………...……………… 024

Las preguntas que podemos hacer sobre el Tiempo……………………………...………………...………………… 024

Las restricciones modernas al modelo euclídeo newtoniano de Espacio y Tiempo.………………...………………… 025

El vacío y el Espacio-Tiempo……………………………………………………………………...………………… 026

Esquema de síntesis sobre Espacio y Tiempo: el Espacio-Tiempo absoluto de Newton…………………………...… 026

ISAAC NEWTON…...…….……………………………………………………………………...………………… 028

Modelo físico de la Materia………………………………………………………………………...………………… 029

La estructura de la Materia…………………………………………......................................................………………… 029

DEMÓCRITO…..………………………………………………………………………………...………………… 030

Propiedades de la Materia…………………………………………...………………………………...……………… 031

MAX PLANCK….………………………………………………………………………………...………………… 032

El modelo de átomo de Niels Bohr……………………………………………….………………..………………… 033

NIELS BOHR…………………………………...………………………………………………...………………… 036

Espacio-Tiempo-Materia: una descripción para el Universo físico…………………………………………...…..…… 037

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LA FÍSICA COMO CIENCIA NATURAL……………...……………………………………...………………… 038

MODELO FÍSICO Y REALIDAD……………………………………………...……………...………………… 039

Distintos tipos de Modelos………………………………………………………………………...………………… 039

El diálogo entre los modelos y la realidad…………………………………...……………………...………………… 040

EL PAPEL DE LOS CONCEPTOS Y LAS TEORÍAS...……………………………………...………………… 040

Ciencia teórica y ciencia experimental……………………………………………………….……...…………………040

“Los anteojos con los que vemos la realidad”……………………………………………….……...………………… 041

La contrastación de los modelos con la realidad…………………………………….……………...………………… 041

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES……………………………...……………...………………… 042

El problema de las unidades…………………………………………...……………………………………...……… 042

La necesidad de una convención internacional…………………………………………...………………...………… 042

El Sistema Métrico Legal Argentino (SIMELA)……………….…………………………………...………………… 043

Los prefijos utilizados en el Sistema Internacional de Unidades…………….……………………...………………… 044

La forma de simbolizar las unidades…………….……….……….……….………...……………...………………… 044

SISTEMAS DE COORDENADAS...………………………………………………………………...…………… 045

El pasaje de R3, a R2 y a R1 y los Sistemas de Coordenadas asociados…………………….………...………………… 046

EL CONCEPTO DE INTERACCIÓN…………………...…………………………………...………………… 047

DESCRIPCIÓN CUALITATIVA DE LAS INTERACCIONES FUNDAMENTALES…...………………… 049

LOS MODELOS Y SU UTILIZACIÓN POR CONVENIENCIA…………………………...………...……… 050

UN UNIVERSO CON INTERACCIONES…………………………………………………...………………… 051

Las dos propiedades esenciales de la Materia y las interacciones asociadas……………….………...……….………… 052

LAS “VENTAJAS” DE LAS SIMETRÍAS EN FÍSICA………………………………………...………...……… 052


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PARTE II

CAMPOS ELÉCTRICOS GENERADOS POR DISTRIBUCIONES DE CARGA ESTÁTICAS

EL CAMPO ELÉCTRICO: una perturbación del Espacio-Tiempo……………………..…...………………… 055

Un universo restringido……………………………………….………….………………………...………………… 055

La detección de una perturbación eléctrica……………………………...….…….………………...………………… 056

DEFINICIÓN DE CAMPO ELÉCTRICO……………….…………………………………...………………… 058

BREVE HISTORIA DE LA FENOMENOLOGÍA ELECTROSTÁTICA…….………………...………………… 060

La selectividad de las perturbaciones y las interacciones en el Universo…………….………………………...…….… 062

“La ausencia de evidencia no implica la evidencia de ausencia”………….………….……………...………………… 064

El proceso de medición para determinar el campo eléctrico…………………………...…………...………………… 065

Un comentario sobre el modelo de Materia y su comportamiento en el Universo……...…………...………………… 067

El problema de las definiciones operacionales en Ciencias Naturales………….…….……………...………………… 068

El estado de movimiento de la carga eléctrica y los campos que genera……….…….……………...………………… 069

La Teoría de Conjuntos y la definición del Campo Eléctrico……………….…….………………...………………… 070

CHARLES-AUGUSTIN de COULOMB………………………………….…….………………...………………… 071

La búsqueda de las regularidades en Física...…………………………………….……………….....………………… 072

El trabajo de Coulomb…………………………………………...……………………………………………...…… 073

La expresión del campo eléctrico generado por una carga puntual…………….…………………….…………...…… 076

La constante dieléctrica ε…………………………….…………...……………………………………………...…… 076

Universalizando a Coulomb………………………………………...……………………………...…………….…… 077

La interacción de una carga con un campo exterior………………………………………………...………………… 078

Los dos grandes problemas de la Física…………………………………..………………………...………………… 078

EL PRIMER PROBLEMA EN ELECTROSTÁTICA……………………..……..…………...………………… 079

La importancia de las simetrías en la modelización en Física……………..……..………...………...………………… 080

Los distintos tipos de distribuciones de carga eléctrica……………..……..…………...……………………………… 081

Cálculo del campo eléctrico que genera una distribución de carga puntual…………………………………………… 085

La elección de un sistema de referencia y de un sistema de coordenadas……………..……..…………...………….… 086

La representación gráfica del campo electrostático: las líneas de campo……………..……..…………...…………….. 087

Líneas de campo versus líneas de fuerza……………..……..…………...………………………………….………… 091

Cálculo del campo eléctrico generado por una distribución de carga discreta……………..……..…………...……….. 092

Cálculo del campo eléctrico generado por una distribución de carga continua……………..……..…………...……… 095

EL SEGUNDO PROBLEMA EN ELECTROSTÁTICA…………...……..……..…………...……………….… 101

La Ecuación de Lorentz: la solución general al Segundo Problema de la Física...……...……………………………… 102

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LEY DE GAUSS……………………………………………………………………..…………...………………… 103

KARL FRIEDRICH GAUSS……………………………………..….………………..…………...………………… 105

Cálculo del flujo de un campo eléctrico a través de una superficie cerrada…………….…………....………………… 106

Deducción de la Ley de Gauss a partir del campo generado por una carga puntual……………………...…………… 108

Deducción de la Ley de Coulomb a partir de la Ley de Gauss…………..….…………..…………...………………… 112

Consideraciones para la utilización de la Ley de Gauss en algunos casos importantes………….…...………………… 113

Cálculo del campo generado por una distribución plana continua…..….…………..…………...………………..…… 115

Cálculo del campo generado por una distribución esférica…..….…………..…………...……………….…………… 116

Cálculo del campo generado por una distribución cilíndrica continua…..….…………..…………...………………… 117

DIPOLO ELÉCTRICO…………………………………………………………………..……...………………… 118

Cálculo del campo eléctrico que produce un dipolo sobre puntos de su eje……………………………………...…… 119

Cálculo de la interacción de un dipolo eléctrico y un campo electrostático externo…………………………………... 125

¿Por qué no se traslada un dipolo ubicado en un campo uniforme? …………………….…………………….....…… 125

¿Por qué tiende a rotar un dipolo ubicado en un campo uniforme? …………………………………………......…… 126

POTENCIAL ELECTROSTÁTICO…………………………………………………………...………………… 132

Definición del Potencial electrostático V…………………………………………………………...………………… 133

Un proceso cuasi estático para definir el potencial V………………………………..……………...………………… 136

La definición operacional del Potencial de un campo electrostático…………………………………………...………138

Las unidades del Potencial en el Sistema Internacional de Medidas……………………………………...…………… 139

El campo electrostático es conservativo……………………………………………….…………...………………… 139

La elección de un origen de referencia para medir el Potencial……………………………………….…...…...………141

ALESSANDRO VOLTA…………………………..……………..….………………..…………...………………… 142

LA LEY DE FARADAY (en versión incompleta)……………...……………….…………….………...………… 143

CÁLCULO DEL POTENCIAL GENERADO POR DISTINTAS DISTRIBUCIONES DE CARGA……… 144

Potencial de una distribución de carga puntual…………………………………………...……………...…………… 144

Potencial de una distribución de carga discreta…………………………………………...……………...…………… 146

Potencial de una distribución de carga continua ubicada sobre una línea infinita……………………………...……… 147

EQUIVALENCIA DE LAS DESCRIPCIONES

VECTORIAL Y ESCALAR DEL CAMPO ELECTROSTÁTICO………….……………………. 149

Pasaje de la descripción vectorial a la descripción escalar en forma analítica…………………...…...………………… 150

Pasaje de la descripción escalar a la descripción vectorial en forma analítica…………………………………..……… 150

Pasaje entre ambas formas de describir un campo electrostático en forma gráfica………………………….………… 153


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SÍNTESIS DE LAS DESCRIPCIONES

DEL CAMPO ELECTROSTÁTICO Y EL CAMPO GRAVITATORIO……………………...… 155

Analogías gráficas entre el Campo Electrostático, el Campo Gravitatorio

y la estructura de un corte transversal de un árbol………………………………………...…………… 157

LOS DISPOSITIVOS TECNOLÓGICOS

EN LA HISTORIA Y EN LA DIDÁCTICA DE LA FÍSICA BÁSICA……………...…………… 158

LA CAPACIDAD (para embotellar y conservar fluido eléctrico)……………………………...………………… 158

El capacitor como producto tecnológico que sintetiza toda la Electrostática…………..…………...………………… 159

Cálculo de la capacidad de un capacitor plano con vacío entre sus placas…………………………..………………… 161

Principales usos de los capacitores……………………………………………….……….………...…………………163

La energía y los capacitores………………………………………………………………………...………………… 164

La energía: un parámetro de la existencia de campo eléctrico en el Espacio-Tiempo……………………….………… 165

PARTE III

CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN CORRIENTE CONTINUA

CAMPOS MAGNÉTICOS GENERADOS POR DISTRIBUCIONES DE CORRIENTE CONTINUA

EL CAMPO ELÉCTRICO: una perturbación del Espacio-Tiempo……………………..…...………………… 055

Un universo restringido……………………………………….………….………………………...………………… 055

La detección de una perturbación eléctrica……………………………...….…….………………...………………… 056
















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PARTE IV

CAMPOS VARIABLES EN EL TIEMPO

CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN CORRIENTE ALTERNA





















PARTE V

LEYES DE MAXWELL





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PARTE VI

ÓPTICA: EL ESTUDIO DE LA LUZ Y DE SU INTERACCIÓN CON LA MATERIA





















BIBLIOGRAFÍA

LIBROS……………………………………………………………………………………..…...………………… 055

RECURSOS EN LA WEB………………………….……………………………………..…...………………… 055

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PARTE I

LOS FUNDAMENTOS DESDE LA FÍSICA

DE ESTA PROPUESTA DIDÁCTICA


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LA ESTRUCTURA CONCEPTUAL DE FÍSICA II Todos nosotros, sin excepción, en la vida cotidiana (ya no sólo en la vida profesional) accedemos a interpretar el mundo que nos rodea a partir de ciertas visiones de mundo construidas a lo largo de nuestra vida. En particular, uno ve el mundo de manera diferente según haya sido su formación académica, en especial la formación profesional recibida en la Universidad, integrada con lo que cada uno haya vivido (familia, religión, cultura, etc.); la suma de todas las contribuciones será la que nos configure nuestra propia identidad y nuestra propia forma de ver el mundo. La Física será una parte importante de la visión de mundo que los futuros ingenieros están construyendo. La contribución de Física I será dar, principalmente, una visión desde la Mecánica, y la contribución de la Termodinámica Básica será dar, principalmente, una visión propia de la Termodinámica, en ambos casos tanto desde lo conceptual, como desde lo metodológico, así como desde los objetos y procesos posibles de existir y suceder en el Universo. La contribución de Física II a la construcción de esta forma individual, social y profesional de ver el mundo será de tipo electromagnética, ya que partiendo de aquellos cinco conceptos principales (Espacio, Tiempo, Materia, Interacciones, Simetría), pondrá énfasis en el concepto de CAMPO, con distintas variantes (eléctrico, magnético, luz). Estas tres amplias contribuciones de la Física a la construcción de las visiones de mundo de nuestros estudiantes se complementa teniendo en cuenta que todos los desarrollos teóricos de menor nivel jerárquico y las diversas aplicaciones tecnológicas tendrán una cierta articulación con los desarrollos propios que se realizan en el resto de las asignaturas de la carrera, buscando además articularlos con los distintos hechos y procesos en la Historia de la Humanidad. Seguramente, y quizás en forma similar a lo que ocurre en Física II, el resto de las asignaturas que conforman las distintas carreras de la Facultad darán a nuestros estudiantes sus propias visiones del mundo diferentes a la electromagnética (desde la Química, desde la Biología, desde la Tecnología, etc.), ya que pondrán énfasis en áreas conceptuales y en aspectos metodológicos distintos. Es de suponer que uno, en el futuro y si así lo quisiera, como persona y como profesional, podría desandar este camino de construcción conceptual en cada una de las acciones que emprendamos en la vida, concientizando qué conceptos, relaciones, etc., participan en cada una de ellas. Desde nuestros objetivos didácticos para con Física II, trabajaremos esta estructura conceptual a partir de imaginar que tenemos que “construir un universo”. Para esto, entonces, deberemos comprender qué características esenciales tienen cada una de las partes constitutivas más primigenias a partir de nuestra descripción científica actual; es decir, hoy día y de acuerdo con las teorías aceptadas, los componentes esenciales son Espacio, Tiempo y Materia, surgiendo a posteriori las Interacciones y ciertas propiedades como la de Simetrías. Supondremos después que, como esta estructura y sus propiedades son comunes a todo lo que ocurra en este Universo, ya podremos entonces “dar por hecho” que hablamos un mismo lenguaje con colegas, personas, etc., de todas las especialidades y de todas las culturas, y que cualquier cosa que estudiemos (estrellas, móviles, plantas, puentes, fluidos, etc.) tendrá como “telón de fondo” a este esquema básico. Es decir, todos compartimos el mismo Espacio-Tiempo, para recién luego “darlo por hecho”, lo mismo ocurrirá con el modelo de Materia, etc. Comenzaremos entonces a estudiar Física II, iniciando la construcción de nuestro Universo a partir del análisis del Espacio, del Tiempo y de la Materia, teniendo como nuestro “horizonte” a la siguiente estructura conceptual general, lo que nos permitirá “navegar” conceptualmente y ser concientes del proceso de aprendizaje que viviremos semana tras semana.


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Esquema conceptual general de síntesis de Física II (un “navegador” para comprender dónde estamos)

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NOCIONES BÁSICAS DE ESPACIO, TIEMPO Y MATERIA A través de los tiempos, las personas que se dedicaron a estudiar la Naturaleza buscaron comprender cuál es la estructura básica que permitiría una descripción del universo físico lo más sencilla pero al mismo tiempo lo más completa posible. Así, desde los primeros modelos de universo, allá por el siglo V antes de Cristo, hasta nuestros días, los componentes básicos que podríamos decir son comunes a todas estas descripciones son Espacio, Tiempo y Materia. Los distintos modelos físicos de universo difieren entre sí, en general, en cuáles son los modelos particulares de Espacio, Tiempo y Materia que los forman, así como en cuáles son las relaciones entre estos tres conceptos y las distintas propiedades, características y consecuencias surgidas de ellas. Describiremos a continuación cuáles son los modelos físicos de estos tres conceptos que, en nuestros días, satisfacen mejor las necesidades más habituales de la Física y de la Ingeniería en particular, y de las Ciencias Naturales y de la Tecnología en sentido más general. Modelo físico de Espacio El Espacio, no sólo a los fines de describir lo que se percibe cotidianamente sino a los fines de la gran mayoría de los fenómenos que podemos estudiar y de aplicaciones experimentales y tecnológicas que podemos desarrollar, se modeliza utilizando la Geometría Euclidiana.1 Existen en el ámbito de la Matemática y la Lógica muchos otros sistemas geométricos, útiles a la Física en campos que no trataremos, aunque equivalentes a la Geometría Euclidiana.2 La Geometría Euclidiana ha sido la elegida para construir los distintos modelos de Espacio a través de la Historia, desde los antiguos griegos (S. IV a.C.) hasta Newton (S. XVII) y a los fines más prácticos y cotidianos (ciencia, tecnología y sociedad) seguimos manteniendo tal elección, por lo que nos dedicaremos únicamente a considerar la utilización de esta Geometría en el ámbito de la Física. El espacio euclidiano de tres dimensiones se construye a partir de una terna de ejes mutuamente perpendiculares (ortogonales) que se intersecan en un punto en común, denominado el “origen” (o). Cada uno de los tres ejes que constituyen la terna es una recta de números reales (R1). El origen común define para cada eje el punto medio, el cero de la recta real, a partir del cual se determinan las semirrectas positiva y negativa de cada uno.

1 Es interesante notar que un modelo físico necesario para una Ciencia Natural se construye a partir de un desarrollo

propio de una Ciencia Formal: un sistema lógico matemático como lo es una Geometría. Ya entonces desde el inicio de nuestro trabajo podemos darnos cuenta de que la Física, en su esencia, trabaja de algún modo articulando una relación entre los distintos modos de acceder al conocimiento del universo que hemos desarrollado los seres humanos: es una Ciencia Fáctica, específicamente una Ciencia Natural, que requiere de la experimentación para contrastar sus modelos con la realidad física, utilizando para construirlos elementos de las Ciencias Formales (y sus resultados tienen siempre hondas implicaciones para las Ciencias Sociales).

2 Algunas de las denominadas “Geometrías no-Euclidianas”, todas ellas equivalentes lógicamente entre sí, se utilizan

por ejemplo en la Teoría de la Relatividad General.


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Por ser el conjunto de los números reales infinito y continuo, no sólo los ejes sino todo el espacio euclidiano así construido es “continuo”, es decir, no presenta “agujeros”: todo punto de ese espacio de tres dimensiones puede ser indicado sin ningún tipo de dudas (unívocamente) por un conjunto de tres números, uno por cada eje, que lo define absolutamente. Al sistema así definido se lo denomina “sistema cartesiano”, y al espacio euclídeo construido se lo simboliza con R3, representando que es la unión de tres ejes reales en forma ortogonal. En el caso más habitual, los ejes se denominan arbitrariamente con las letras “x”, “y”, “z”, y al conjunto de tres números necesarios para dar la ubicación de un cierto punto P se lo denomina “terna ordenada (x,y,z)”. La ubicación del punto P se indica, entonces, como P(x,y,z). A este sistema cartesiano, con los ejes ya nombrados “x”, “y”, “z”, se lo denomina habitualmente “sistema cartesiano rectangular”. Si bien la denominación de los ejes y la relación entre los mismos se da arbitrariamente, el criterio que utilizaremos se denomina “terna positiva” (mostrada en la figura anterior) y significa que si hacemos rotar el eje “x+” hacia el eje “y+”, el sentido de este giro coincide con el sentido del eje “z+” (el mismo sentido en el que enroscan un sacacorchos, un tornillo o una canilla). Es importante resaltar que este modelo geométrico, el espacio tridimensional euclídeo, tiene existencia únicamente en el ámbito de las Ciencias Formales (la Geometría, unión entre la Matemática y la Lógica) y podría no tener relación alguna con el mundo físico en el que vivimos. Sin embargo, tanto desde lo que percibimos del espacio físico como desde lo que las teorías de la Ciencias Naturales han concebido para modelizar el universo, el modelo euclídeo es el que mejor puede describir la realidad física con la que trabajaremos en las múltiples áreas de la Física y la Ingeniería. De esta manera, y prácticamente por todo el tiempo que resta en el desarrollo de las carreras de Ingeniería que hayan elegido y en su práctica profesional futura, el modelo físico de Espacio será el que corresponde de adoptar un modelo euclídeo tridimensional R3. Por esta razón, cada vez que desde la Física hablemos de “espacio” deberemos comprender que nos estamos refiriendo a un “modelo físico” construido para describir lo que percibimos como “espacio” en la realidad, y que tal modelo coincidirá en sus características esenciales con las propias del “espacio euclídeo”.

R

R

R

x

y

z

o

P(x,y,z)

1

1

1

ESPACIO EUCLÍDEO DE TRES DIMENSIONES

(continuo, homogéneo, isótropo y lineal)R3

21

Propiedades del Espacio Es importante notar que el espacio así definido es infinito e ilimitado, esto es debido a que los tres ejes que lo forman son las rectas de los números reales y por consiguiente no existe un número que “ponga fin” a las mismas, en ninguno de los sentidos positivo y negativo de las mismas. Por otra parte, el espacio euclídeo R3 tiene además las propiedades fundamentales de homogeneidad, isotropía y linealidad, todas ellas derivadas de la forma en que fue construido este espacio: por la superposición ortogonal de rectas reales.

En forma sencilla, podríamos decir que “homogéneo” significa que trasladándonos por este espacio euclídeo no encontraríamos ningún tipo de diferencia entre dos lugares distintos: es decir, la estructura del espacio es idéntica independientemente del lugar donde estemos.

De modo similar, podríamos decir que “isótropo” significa que girando alrededor de un cierto punto del espacio tampoco encontraríamos propiedades distintas: es decir, la estructura del espacio es idéntica independientemente de la dirección en la que estemos trabajando.

Finalmente, podríamos decir que “lineal” significa que cada eje coordenado mantiene sus propiedades originales a pesar de constituir un espacio tridimensional: es decir, cada eje es independiente de los otros dos; por esta razón, a esta propiedad se la llama también “independencia de los ejes” o, para otros fines en los cuales su rango de aplicación será aún más general, “Principio de Superposición”.

Por esta razón, a partir de ahora comprenderemos que tiene sentido hablar de que el “espacio físico” es continuo, homogéneo, isótropo, y lineal. Quizás lo más importante de esta comprensión es que este modelo físico es el mismo que utilizan todas las demás Ciencias Naturales (Química, Astronomía, Biología, etc.), lo que traerá gran cantidad de importantes consecuencias en todo el proceso de construcción de las leyes y teorías que hacen posible la descripción del universo en que vivimos. Asimismo, este mismo modelo físico es también el que utilizan todas aquellas áreas del conocimiento que, como la Ingeniería, generan la Tecnología para el desarrollo de la Sociedad3. Parte de la importancia que resaltamos en el párrafo anterior radica en que una vez que hemos elegido un cierto modelo, en este caso de Espacio (elección hecha por quienes trabajamos en Ciencias Naturales e Ingeniería), a partir de ese momento pensamos y actuamos “como si” el modelo fuera (o al menos representara fielmente) la realidad física, y así utilizamos toda la potencia del modelo extrayendo al máximo las posibilidades del mismo. Aunque nos acostumbremos a pensar y actuar de esa manera, nunca debemos olvidar que en definitiva estamos trabajando con modelos, nada más; buena parte de los grandes cambios que han ocurrido en casi veinticinco siglos de Ciencia han radicado en permitirse imaginar otros modelos para los entes básicos de la naturaleza, es decir, distintos modelos de Espacio, de Tiempo, etc.

3 Es importante notar que este modelo será también el que utilizan, aunque no necesariamente lo expliciten, todas las

Ciencias Sociales y el resto de la Cultura humana (música, escultura, literatura, deporte, etc.), para sus distintos desarrollos.


22

El Espacio en el modelo aristotélico y en el modelo newtoniano Los griegos antiguos modelizaban un Espacio no homogéneo y no isótropo; este modelo está materializado principalmente en la Física, de Aristóteles (384-322 AC). Para ellos el universo estaba formado a partir de cuatro elementos fundamentales: tierra, agua, aire y fuego, organizados de diversas maneras en el espacio sublunar (en el interior de la esfera definida por la Luna) y con los planetas organizados en un conjunto de esferas concéntricas, más un quinto elemento etéreo e incorruptible que se ubicaba una esfera más exterior; en este universo existía un centro y direcciones privilegiadas, aquellas por las cuales cualquier objeto, en un movimiento no forzado por un agente exterior (el movimiento “natural”) se dirigía necesariamente hacia el centro del universo. Cada elemento tenía, además, diferentes “tendencias” a ir naturalmente hacia el centro del universo: el elemento tierra era el que más tendencia natural tenía a dirigirse hacia ese centro universal, el agua tenía una tendencia menor, luego el aire y por último el fuego. La formación de la Tierra de debió a que todos los pequeños cuerpos formados principalmente por el elemento tierra tendieron naturalmente hacia el centro del universo, por lo que de esa aglomeración surgió nuestro planeta; por la misma razón las aguas se ubican sobre la tierra y sobre ellos el aire, y el fuego tiene la natural tendencia a “estar por encima de ellos”, con poca tendencia hacia el centro del universo, por lo cual percibimos que “sube”. Es importante notar que en el modelo aristotélico la Tierra no es el centro del Universo: sólo ocurrió que por estar constituida en su gran mayoría por el elemento tierra, nuestro planeta se formó coincidiendo con el centro del Universo. Aquí radica además la explicación de por qué las cosas que caen (los “graves”) se dirigen siempre hacia el centro de la Tierra: sólo porque siguen su tendencia natural hacia el centro del universo.4 En este modelo, entonces, hay un punto privilegiado en el universo (su centro) y una (muchas) dirección privilegiada (la de la tendencia natural hacia su centro), lo que daría lugar a un universo no homogéneo y no isótropo: no da lo mismo cualquier punto ni cualquier dirección en el espacio. Nuestro modelo es distinto, no existe tal centro del universo y todos los puntos del espacio son equivalentes (Espacio homogéneo) y tampoco hay direcciones privilegiadas (Espacio isótropo). Resaltar estas características del modelo newtoniano que utilizaremos es muy importante ya que con estas condiciones cualquier estudio o investigación producirá conclusiones de validez universal: serán válidas en mi laboratorio, en un laboratorio europeo, en Marte o en una galaxia lejana, independientemente de qué tan lejos esté o en qué dirección, por tener el Espacio estas condiciones de homogeneidad e isotropía.5 Todo lo que hacemos en Ciencia y Tecnología está basado en esta suposición esencial: la isotropía y homogeneidad del Espacio (y del Tiempo).6

4 Asimismo, la concepción de “astronomía geocéntrica” con la que generalmente se asocia al modelo aristotélico es otra

consecuencia de esta tendencia, en particular de los planetas, al movimiento natural hacia el centro del universo. 5 Los distintos tipos de elementos químicos emiten una luz característica, propia del estado (temperatura, etc.) en que

se encuentren en un determinado lugar y momento. Si observamos en algún punto del universo una emisión de luz en particular que es igual a la que, por ejemplo, emite el Hidrógeno a una dada temperatura en nuestro laboratorio terrestre, podemos decir que en ese lejano lugar hay Hidrógeno en las mismas condiciones que en el laboratorio, basándonos en las características de isotropía y homogeneidad del Espacio y del Tiempo. Este ejemplo, real, es lo que ha posibilitado a la Física, a la Química, a la Biología, a la Astronomía en especial, conocer el universo en el que vivimos sólo a partir de la luz que recibimos de los objetos distantes a los cuales nunca podremos llegar para estudiarlos in-situ e in-tempo (la técnica que se utiliza para este tipo de estudios se denomina “Espectroscopía”).

6 En la naturaleza existen materiales no isótropos (anisótropos), para los cuales, por ejemplo, no da lo mismo en qué

dirección se propaga la luz a través de ellos (calcita, azúcar en agua, aceites esenciales, etc.).

23

ARISTÓTELES

Aristóteles nació en Estagira, Macedonia, en 384 AC y murió en Calcis, Eubea, Grecia, en 322 AC. Hacia el año 367 AC, con diecisiete años, se dirige a Atenas con el fin de estudiar en la Academia, siendo uno de los discípulos más brillantes y críticos de Platón (quien fue discípulo de Sócrates). En el año 335 AC Aristóteles funda su propia escuela en Atenas, el Liceo. En sus obras Aristóteles trató temas de anatomía, zoología, botánica, taxonomía, biología, música, poesía, política, ética, metafísica, literatura, lógica, física y astronomía; fue uno de los grandes filósofos de la antigüedad. Aristóteles intentó construir una cosmología que sintetizara en un único cuerpo coherente la explicación del movimiento de los cuerpos, de la naturaleza de los seres vivientes e inanimados (y de sus cambios) y del carácter y movimiento de los astros (en sus obras Física y Del Cielo). Sus ideas sobre física y astronomía perduraron hasta bien entrado el Siglo XVII, cuando luego de Copérnico, Galileo y Newton cobra fuerza una cosmología muy distinta. Aristóteles imaginó un universo pequeño, finito, en el que no existía el vacío, con un centro privilegiado hacia el cual todas las cosas tendían naturalmente a moverse, definiéndose así una dirección absoluta también privilegiada. Este universo estaba compuesto por cincuenta y seis capas esféricas, siendo la más exterior el denominado “primer motor”, cuyo movimiento perpetuo se transmitía a su vez al resto de las esferas interiores. Se definían luego dos grandes regiones. La región “supralunar” (más allá de la esfera de la Luna), llena de un elemento puro denominado “éter” o la “quintaesencia” y en la cual no ocurrían cambios de ningún tipo, más que movimientos eternos y con trayectorias perfectas (circunferencias); los únicos cuerpos que existían allí eran la Luna, el Sol, los

planetas y las estrellas. La región “infralunar” estaba

compuesta por cuatro elementos (tierra, agua, aire y

fuego), y su característica principal era que allí

ocurrían los cambios del mundo que percibimos los

humanos (vida y muerte, degradación, movimiento,

etc.). Los cuatro elementos tenían cierta “tendencia

natural” e inexorable a ir hacia el centro del universo:

el elemento tierra era el que más tendencia tenía,

luego el agua, el aire y por último el fuego; de esta

manera, todos los procesos que ocurrían en esta

región se explicaban por una yuxtaposición de distintas tendencias naturales (no forzadas) hacia

el centro del universo. Nuestro planeta, la Tierra, estando compuesto principalmente por el

elemento tierra, se había conformado en el centro del universo. Esta coincidencia de centros (de

la Tierra y del universo) traía como consecuencia una dinámica geocéntrica (una dirección

arriba-abajo absoluta, órbitas celestes centradas en la Tierra, etc.).


24

La estructura del Espacio Las propiedades descriptas en el apartado anterior permiten definir lo que se denomina la “estructura” del espacio, también denominada la “métrica del espacio”. En forma sencilla, es posible definir la métrica del espacio como la forma matemática que toma la mínima distancia entre dos cualquiera de sus puntos. Una vez hallada esta métrica, la misma es una marca identificatoria del espacio que elegimos para describir el universo, y por eso es tan importante su definición. Definimos la métrica de un espacio euclídeo de tres dimensiones (R3) con la siguiente relación: siendo P y Q dos puntos cualesquiera del espacio, de coordenadas P(xP,yP,zP) y Q(xQ,yQ,zQ). Las preguntas que podemos hacer sobre el Espacio Tanto las propiedades del espacio físico como su métrica nos permiten realizar las siguientes preguntas, esenciales para el trabajo de la Física:

¿Desde dónde podemos medir? Esta pregunta se refiere a si podemos ubicarnos en cualquier punto del espacio para realizar nuestro trabajo (estudiar un fenómeno físico, construir un dispositivo, etc.). Debido a que el espacio es continuo, isótropo y homogéneo, lo que implica que todos los puntos del mismo son equivalentes, la respuesta a esta pregunta es que cualquier lugar del espacio puede ser utilizado para tomarlo como punto de referencia y a partir de allí medir lo que necesitemos. Los lugares del espacio tomados como referencia se denominan habitualmente “hitos” (un mojón en la ruta, un obelisco, etc.).

¿Cuánto mide? Esta pregunta se refiere a si la distancia entre dos puntos del espacio depende de alguna manera de cómo midamos o de dónde nos ubiquemos para medir. Debido a que el espacio tiene una métrica definida y única, lo que implica que la distancia entre dos puntos cualesquiera está dada por la propia estructura del espacio, la respuesta a esta pregunta es que tal distancia no depende ni del proceso de medición ni de la zona del espacio en que nos encontremos trabajando. Es importante aclarar que no debemos confundir la métrica del espacio, su estructura interna, con las unidades de medida que utilicemos para determinar la distancia entre dos puntos. Siendo un poco más claros, dados dos puntos la métrica implica que la distancia entre ellos ya está definida; pero no es lo mismo medirla en metros que medirla en pulgadas o en “codos”; estas son distintas expresiones de la distancia que dependen del Sistema de Unidades y no significa que “la distancia” en sí haya variado.

2QP2

QP2

QPespacio zzyyxxd

o

x

z

y

Q

Qy

z

Q (x ,y ,z )Q Q Q

dP (x ,y ,z )P P P

y P

Px

Qx

Pz

MÉTRICA DEL ESPACIO EUCLÍDEO DE TRES DIMENSIONES

25

Modelo físico del Tiempo De forma similar a como definimos el modelo físico de Espacio, el modelo físico de Tiempo estará también relacionado con la geometría euclidiana. Debido principalmente a que los seres humanos percibimos el tiempo como una especie de “continuo fluir”, desde siempre se ha representado al Tiempo como una línea, ubicando al “presente” en el punto de origen y al pasado y al futuro hacia los dos extremos de la misma.7 Esta imagen del Tiempo, fuertemente relacionada con lo que percibimos o con lo que se denomina el “tiempo psicológico”, no es la más adecuada para la Ciencia ya que, por el mismo hecho de estar condicionada por lo que cada uno siente, no permite compartir con otras personas el estudio de los fenómenos físicos. Es decir, el tiempo psicológico no transcurre para todos por igual, ya sea porque el mismo fenómeno puede producirnos sensaciones diferentes, o bien porque una persona joven concientiza el paso del tiempo de modo diferente a como lo hace una persona mayor. La necesidad de tener un tiempo independiente de la psicología de quienes lo utilizan dio paso a la construcción de un modelo euclidiano de Tiempo, basado en una única recta de los reales (R1). Este tiempo físico, lineal, ha sido materializado a partir de la construcción de los relojes, máquinas no humanas para poner en evidencia al Tiempo. Propiedades del Tiempo Por esta razón, también el Tiempo es continuo y homogéneo, propiedades que comparte entonces con el Espacio.

El Tiempo es “continuo” debido a que no tiene “agujeros”; es decir, no existe desde el modelo físico la posibilidad de que el tiempo no transcurra por un cierto intervalo para luego continuar transcurriendo, y así sucesivamente (lo que obviamente coincide con la sensación psicológica del tiempo como permanente fluir).

Es “homogéneo” ya que trasladándonos por esta recta euclídea no encontraríamos ningún tipo de diferencia entre dos “lugares” (instantes) distintos: es decir, la estructura del tiempo es idéntica independientemente del instante o de la época en donde estemos (en la Prehistoria, hoy, en el siglo XXIII, etc.).

Por esta razón, a partir de ahora comprenderemos que tiene sentido hablar de que el “tiempo físico” es continuo y homogéneo.

7 Sin embargo, esta visión del tiempo lineal es quizás propia de la denominada “cultura occidental”, derivada ésta

principalmente de Grecia. En otras regiones del mundo y en otros tiempos de la Historia, diferentes culturas (evidentemente no dominantes) han construido imágenes del tiempo como “oscilante”, como si fuera un eterno ir y venir aunque no necesariamente en forma repetitiva, con una concepción de pasado, presente y futuro, y de la vida de las personas y del devenir del universo muy diferente a la nuestra.

R1

o- t

PASADO FUTURO

+ t

PRESENTE

TIEMPO EUCLÍDEO DE UNA DIMENSIÓN

(continuo y homogéneo)


26

La estructura del Tiempo Definimos la métrica del Tiempo, un espacio euclídeo de una dimensión (R1) con la siguiente relación: siendo P y Q dos instantes cualesquiera del tiempo, de coordenadas P(tP) y Q(tQ). Es muy importante destacar que, así definida, la métrica del tiempo (y lo mismo vale para la métrica del espacio) es siempre positiva; es decir, no existe el paso del tiempo negativo (como tampoco existe la distancia negativa entre dos puntos del espacio). Las preguntas que podemos hacer sobre el Tiempo Tanto las propiedades del tiempo físico como su métrica nos permiten realizar las siguientes preguntas, esenciales para el trabajo de la Física:

¿Desde dónde podemos medir? Esta pregunta se refiere a si podemos ubicarnos en cualquier punto del tiempo para estudiar la realidad que percibimos. Debido a que el tiempo es continuo y homogéneo, lo que implica que todos los instantes del mismo son equivalentes, la respuesta a esta pregunta es que cualquier lugar del tiempo puede ser utilizado para tomarlo como punto de referencia y a partir de allí medir lo que necesitemos. Esta característica se denomina habitualmente como la “cronología”, es decir, tomar cualquier origen para la medida del tiempo y a partir de ese instante definir una sucesión de hechos, positivo hacia el futuro y negativo hacia el pasado. Los instantes de tiempo tomados como referencia se denominan habitualmente “sucesos” (el nacimiento de Cristo, la fundación de Roma, etc.).

¿Cuánto mide? Esta pregunta se refiere a si el intervalo de tiempo entre dos instantes depende de alguna manera de cómo midamos o de dónde nos ubiquemos para medir. Debido a que el tiempo tiene también una métrica definida y única, lo que implica que la “distancia” entre dos puntos cualesquiera está dada por la propia estructura del tiempo, la respuesta a esta pregunta es que tal distancia no depende ni del proceso de medición ni de la zona del tiempo (pasado o futuro) en que nos encontremos trabajando. Es importante aclarar que no debemos confundir la métrica del tiempo, su estructura interna, con las unidades de medida que utilicemos para determinar el intervalo entre dos sucesos. Siendo un poco más claros, dados dos instantes de tiempo la métrica implica que la distancia temporal entre ellos (el intervalo de tiempo) ya está definida; pero no es lo mismo medirla en horas, minutos y segundos que medirla en pulsaciones o en lunaciones; estas son distintas expresiones del intervalo que dependen del Sistema de Unidades y no significa que “la distancia temporal” en sí haya variado (recuerden que el sistema horario actual tiene poco más de un siglo de vigencia, y que antiguamente había muchos otros sistemas de unidades para la medición del tiempo).

QP2

QPtiempo ttttd

27

Las restricciones modernas al modelo euclídeo newtoniano de Espacio y Tiempo Existen algunas importantes restricciones a la representación del Espacio según R3 y del Tiempo según R1, propios de una concepción newtoniana clásica, restricciones producidas por los desarrollos generados durante la segunda mitad del siglo XX en Termodinámica y en Cosmología. Si el Espacio fuera en la realidad física como lo que representa un espacio tridimensional R3, podríamos considerarlo “infinito”, tal como lo imaginaba Newton, ya que los tres ejes del espacio vectorial son rectas reales que no tienen límites inferior ni superior. Sin embargo, desde que la Teoría del Big Bang es considerada como el modelo que mejor describe el inicio y la evolución del universo físico, debemos ajustar aquella definición clásica definiendo que el Universo tiene un “borde” definido, aunque sea imposible física y matemáticamente indicar cuál es, no pudiéndose encontrar sus límites. Se dice entonces que el Espacio es “finito, pero ilimitado” (y no infinito y obviamente ilimitado como lo era allá por el 1700). Por esta razón, estableceremos que, a los fines de Física II, el modelo de Espacio será euclídeo (por consiguiente isótropo, homogéneo y lineal), pero no infinito, aunque no podamos jamás encontrar sus límites. De acuerdo nuevamente con la Teoría del Big Bang, el Universo comenzó hace unos 15.000 millones de años, cuando el punto esencial estalló y comenzó a producirse la expansión de la cual se fueron generando, al mismo tiempo, el espacio y el tiempo y más tarde la materia. Así, nuestro modelo de Tiempo debe también ajustarse a que la recta de los reales con la cual lo modelizamos no llega hasta el infinito negativo, sino que sólo llega hasta el instante en el cual se produjo la gran explosión, el “instante cero” del eje del Tiempo, antes del cual no existían ni el tiempo, ni el espacio, ni la materia. Sin embargo, es interesante notar que no hay ninguna restricción a que el Tiempo sí transcurra hasta el infinito positivo, al menos por ahora con las explicaciones que nos brindan las teorías actualmente aceptadas. Por otra parte, y a partir de los desarrollos en Termodinámica, los procesos en la Naturaleza, cualesquiera que estos sean, no suceden en cualquier sentido del eje del tiempo; es decir, no da lo mismo que un proceso natural suceda “hacia el futuro” que “hacia el pasado”. La denominada “flecha del tiempo” es una buena imagen que sintetiza que los procesos en la Naturaleza suceden únicamente hacia el futuro. Esto entonces establecería una nueva restricción al modelo newtoniano euclídeo del Tiempo: se pierde la isotropía, ya que hay una dirección privilegiada, la que va desde el presente hacia el futuro, y no la inversa. Esta “anisotropía” del tiempo significa que absolutamente todo en este universo físico evoluciona siempre hacia el futuro, con consecuencias de distinto tipo: los seres vivos envejecen, los cuerpos a mayor temperatura que su entorno se enfrían, etc. Por estas razones, también estableceremos que, a los fines de Física II, el modelo de Tiempo será euclídeo (por consiguiente homogéneo y lineal), pero no isótropo por tener la dirección presente-futuro privilegiada y tampoco infinito hacia el pasado, con un límite, un origen definido hace 15.000 millones de años.


28

El vacío y el Espacio-Tiempo Un concepto fundamental en la Física, y que por su importancia ha provocado gran cantidad de discusiones en la Historia, es el de “vacío”. Definiremos “vacío” como aquella región del Espacio-Tiempo en la que no existe Materia.8 Esta aparentemente sencilla definición es, sin embargo, esencial para muchos de los desarrollos propios de las asignaturas de Física de las Ingenierías. Por esta razón, es muy importante comenzar a imaginar que el universo descripto con los modelos físicos de Espacio y de Tiempo presentados en los apartados anteriores es un “universo vacío”, en el cual no existe materia pero en el que tampoco ocurre nada, ningún proceso físico o de otra clase, lo que lo hace, por lo menos, bastante “aburrido” (y no sólo desde la Ciencia). Esquema de síntesis sobre Espacio y Tiempo: el Espacio-Tiempo absoluto de Newton Para comprender mejor de qué manera la Física utiliza los modelos de Espacio y Tiempo descriptos en los apartados anteriores, es fundamental resaltar que si bien ambos modelos son independientes entre sí, son sin embargo inseparables. Es decir, el modelo de Espacio fue construido y luego utilizado para describir la realidad sin necesidad o condicionamiento alguno con respecto a qué modelo de Tiempo se construiría, y viceversa. Sin embargo, todos los fenómenos en la naturaleza y todos los procesos tecnológicos (y todos los procesos sociales) ocurren, sin excepción, simultáneamente en el Espacio y en el Tiempo, más allá de que por razones de simplicidad, de metodología científica o de practicidad puedan ser analizados en forma separada desde la dimensión espacial o bien desde la dimensión temporal. Considerando entonces en forma integrada a ambos modelos descriptos en un único modelo de Espacio-Tiempo, decimos que éste es el marco de referencia general que utiliza la Ciencia, la Tecnología y la Sociedad actuales (excepción hecha de algunas áreas muy específicas como la Relatividad). Este modelo integrado fue definido hacia 1686 por Isaac Newton y por esa razón se lo denomina habitualmente el espacio-tiempo newtoniano.

8 En lo coloquial, la palabra “nada” se utiliza de muchas maneras; quizás la más habitual es la que la relaciona con el

vacío, significando que en una cierta región “no hay nada”. Hilando fino, y considerando que la palabra “universo” significa “todo”, la palabra “nada” haría referencia a todo aquello “que no es el todo”, es decir, lo que está afuera de este Universo. Pero entonces, la Nada no sería accesible a nuestro conocimiento, ya que por estar afuera de este Universo no podríamos interactuar con lo que supuestamente existiría allí. Es decir, la Nada sería un concepto “metafísico”, cuyo estudio no correspondería a las Ciencias Naturales sino, y exclusivamente, a la Filosofía (o si se quiere a la Religión). Finalmente, cuando imaginemos una región del espacio-tiempo en la cual no existe ni la más mínima porción de materia, deberíamos acostumbrarnos a decir que allí “hay vacío” (paradójicamente) en vez de decir que “no hay nada”.

T I E M P O

Modelo físico deTIEMPO

(R1, continuo, homogéneo)

El

se representaa través de

Modelo físico deESPACIO

(R3, continuo, homogéneo,isótropo, lineal)

se representaa través de

E S P A C I O

El

son PERCEPCIONES humanas

de la REALIDAD física

M O D E L O N E W T O N I A N O D E E S P A C I O - T I E M P O

los intervalos, ¿cuánto?(Cronométrico, unidades)

el orden, ¿cuándo?(Cronológico, sucesos)

los intervalos, ¿cuánto?(unidades)

el orden, ¿dónde?(hitos)

al utilizarlos la Física pregunta por al utilizarlos la Física pregunta por

SISTEMAS DE REFERENCIA

SISTEMAS DE UNIDADES

lo quepermite definir




es INDEPENDIENTE

pero INSEPARABLE del

Esquema de síntesis sobre el Espacio-Tiempo newtoniano.

ISAAC NEWTON

Isaac Newton nació el 4 de enero de 1643, en Woolsthorpe, Inglaterra, y murió el 31 de marzo de 1727 en Londres. A los dieciocho años ingresó en la Universidad de Cambridge, se graduó en el Trinity College y, aunque no tuvo allí un buen desempeño como estudiante, en esos años leyó los libros más importantes de la época, especialmente sobre Geometría, Matemática y Filosofía Natural, y estudió a Galileo, Fermat, Descartes y Huygens, dando la primera generalización del “Teorema del Binomio”. A lo largo de su extensa vida, Newton tuvo múltiples intereses, no sólo en Física, Matemática y Astronomía, sino también en Filosofía, Religión, Alquimia, Política, etc., siendo además un prolífico inventor. Luego de décadas al frente de su cátedra universitaria, en su madurez fue elegido miembro del Parlamento, luego Director de la Casa de la Moneda, en 1703 fue elegido Presidente de la Royal Society, y en 1705 fue nombrado Caballero por la Reina Ana. Newton es uno de los grandes pensadores de la Historia, no sólo por su visión y creatividad, sino también por su poder de síntesis del conocimiento disponible en la época. Quizás sea Newton quien definitivamente hizo posible el cambio de concepción acerca de la naturaleza física del universo y de cómo generar conocimiento científico, cambio iniciado con Copérnico y Galileo, entre otros, reconocido esto por él mismo al utilizar la expresión “si he visto más lejos es porque estuve parado sobre los hombros de gigantes”. Así, es posible considerar que Newton produjo tres pilares fundamentales a la Ciencia, marcando definitivamente “un antes y un después” en la Historia. De analysi, de 1669, aunque recién publicado en 1711, donde da las bases de lo que hoy denominamos el Cálculo (desarrollo simultáneo y complementario con el de Wilhelm Leibniz). Opticks, publicado en 1704, donde sintetiza el conocimiento sobre la luz y los dispositivos ópticos de la época, e inicia el estudio del análisis espectral, da una primera fundamentación sobre la naturaleza corpuscular de la luz y estudia fenómenos ópticos como el de interferencia y difracción, desarrollando además un nuevo tipo de telescopio (reflector newtoniano). Philosophiae Naturales Principia Matemática, de 1687. La síntesis de esta obra magnífica son sus tres leyes de la Mecánica Clásica, y la Ley de Gravitación Universal. Newton sienta aquí las bases para considerar que las leyes con las que se describen los fenómenos sobre la superficie terrestre son las mismas que describen el movimiento de los cielos, rompiendo definitivamente con la separación sub-supra lunar de la cosmovisión aristotélica dominante hasta entonces (camino iniciado por Galileo y continuado por muchos otros como Kepler, Galileo, Descartes, etc.), y brindando una potencia a la ciencia experimental, apoyada en el Cálculo, que nunca antes había tenido. Se inicia entonces un camino de diversificación y profundización en el conocimiento del universo físico, y en el consecuente desarrollo tecnológico posterior, del cual hoy aún somos parte. Una hermosa expresión de Newton es: “No sé cómo puedo ser visto por el mundo, pero en mi opinión, me he comportado como un niño que juega al borde del mar, y que se divierte buscando de vez en cuando una piedra más pulida y una concha más bonita de lo normal, mientras que el gran océano de la verdad se exponía ante mí completamente desconocido.”

31

Modelo físico de la Materia En la historia de la Física ha habido distintos modelos asociados al concepto de Materia; sin embargo, el que quizás haya sido el más importante no sólo por su solidez conceptual sino por su permanencia en el tiempo es el denominado “atomista”. El modelo atomista, iniciado hacia el siglo V a.C. por Demócrito y otros filósofos griegos, describe a la materia como formada por muy pequeñas partículas indivisibles las que, por agregación, pueden formar cuerpos de distinto tamaño y características, desde el aire hasta los planetas. Estas partículas se mueven libremente en el vacío y son indestructibles. Es importante resaltar que a través de los casi veinticinco siglos que nos separan de Demócrito los “átomos”, esas pequeñas partículas que forman la materia, han tenido una gran diversidad de definiciones, muchas veces asociadas éstas al desarrollo de distintos procesos tecnológicos para la detección o la medición de aspectos particulares de la forma en que percibimos la materia. Sin embargo, la concepción atomista perduró hasta nuestros días y en las asignaturas del área de Física de la Facultad será ésta la imagen que utilizaremos para construir el modelo físico de Materia. Así, el modelo físico de Materia que utilizaremos en la Física de la universidad será, simplemente, el de un agregado de partículas, cuyas características particulares dependerán de la manera en que se haya producido tal agregación y la forma en que la misma evolucionará en el tiempo. La estructura de la Materia Es muy importante resaltar que, a medida que avancemos en el estudio de la Física, la acepción del término “partícula” irá modificándose. Por ejemplo, a los fines de una primera imagen, una partícula será una porción muy pequeña de materia, como si fuera una esferita invisible a nuestros ojos pero cuyos efectos pueden percibirse; consideraremos luego que la “partícula” podrá tener una estructura más definida, en la que los átomos son ahora a su vez un agregado de partículas aún más pequeñas (electrones, protones y neutrones); más aún, luego la idea de partículas definidas espacialmente se irá transformando en algo más difuso, casi abandonando la concepción atomista (aunque sin dejar de hablar de átomos) debido a la utilización de la Teoría Cuántica de la Materia. Por esta razón, desde la Física estos distintos modelos de Materia que dan mayor énfasis a unos aspectos por encima de otros se rotulan habitualmente según sea el área de trabajo que les haya dado origen. Por ejemplo, el “modelo mecánico de la materia” es propio de la Mecánica (newtoniana en general), el “modelo termodinámico de la materia” es propio de la Termodinámica, el “modelo electrónico de la materia” es propio del Electromagnetismo, y así sucesivamente. 9

9 Cada una de las demás asignaturas de Ingeniería trabajará a su vez con un modelo distinto de Materia o bien con

aspectos diferentes del mismo modelo, según sea útil a los fines que en cada caso requiera la especialidad: por ejemplo, la Climatología trabajará desde una perspectiva diferente a la que tendrá la Electrónica, tanto como la Edafología hará énfasis en aspectos del modelo distintos a los que serán fundamentales para la Química. Sin embargo, todas estas asignaturas, sean originadas en las Ciencias Naturales o en la Tecnología, utilizarán en general el mismo modelo de Espacio-Tiempo newtoniano.


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DEMÓCRITO

Demócrito nació en Abdera, Tracia, Grecia, hacia el 460 AC y murió hacia el 370 AC. Demócrito de Abdera fue contemporáneo de Sócrates, y según la mayoría de los autores de la Antigüedad es posible que haya vivido más de cien años. Fue un gran viajero, ávido de conocimiento, y, según una leyenda, ya viejo se arrancó los ojos para que la contemplación del mundo externo no le estorbara en sus meditaciones (utilizado esto en el poema “Elogio de la sombra”, de Jorge Luis Borges). Su nombre significa en griego “el elegido del pueblo”. Era una persona desinteresada, modesta, simple y de gran humor. Demócrito escribió una gran cantidad de obras de temas tan variados como ética, física, matemática, geometría, astronomía, técnica y música, y es considerado, junto con su maestro Leucipo, como fundador del “Atomismo”. Para Demócrito, la realidad está compuesta por dos causas (o elementos): lo que es, representado por los átomos homogéneos e indivisibles, y lo que no es, representado por el vacío, elemento éste que permite la pluralidad de partículas diferenciadas y el espacio en el cual éstas se mueven. Para Demócrito, los átomos estuvieron y estarán siempre en movimiento en el vacío y son eternos e indestructibles; su inmutabilidad se explica por su solidez interior, sin vacío alguno, ya que todo proceso de separación se entiende producido por la posibilidad de penetrar, como con un cuchillo, en los espacios vacíos de un cuerpo. Los átomos se distinguen por forma, tamaño, orden y posición. Gracias a la forma que tiene cada átomo es que pueden ensamblarse, aunque nunca fusionarse (siempre subsiste una cantidad mínima de vacío entre ellos que permite su diferenciación), y formar los diferentes objetos y seres y la realidad con toda su diversidad. Los átomos de un cuerpo se separan cuando colisionan con otro conjunto de átomos; los átomos que quedan libres chocan con otros y se ensamblan o siguen desplazándose hasta volver a encontrar otro cuerpo. Cada objeto que surge en el universo y cada suceso que se produce, sería el resultado de colisiones o reacciones entre átomos. Demócrito creía además que el vacío existía no sólo en el mundo en que vivimos, sino también mucho más allá, en los espacios infinitos del Cosmos, con la posibilidad de la existencia de un número infinito de "mundos" todos compuestos de un número infinito de átomos. Demócrito sostenía que la Tierra era esférica, y que originalmente el universo se componía de nada más que de pequeños átomos moviéndose en forma caótica, hasta que fueron chocando unos con otros para formar unidades más grandes, incluyendo a nuestro planeta y a lo que en él existe. En cuanto a la luz, Demócrito sustenta la teoría de la “emisión” según la cual la visión es causada por la proyección de partículas que provienen de los objetos mismos; es decir, es la idea precursora del modelo corpuscular de la luz, sustentado a su vez siglos después por Isaac Newton.

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Propiedades de la Materia En primer lugar, y como consecuencia del modelo atomista, una de las propiedades fundamentales es que la materia es discontinua. Esto significa que la partículas que forman la materia, por más que sean tan pequeñas que sea muy difícil observarlas, no sólo con nuestros ojos sino con los instrumentos más sofisticados que podamos imaginar, aún así tienen identidad propia y por consiguiente puede identificarse dónde “termina” una partícula y dónde “comienza” la otra. ¿Qué hay entre ellas? Sólo Vacío: el Espacio-Tiempo puro.10 Sin embargo, las dos propiedades más fundamentales de la materia son la carga eléctrica y la masa, ambas inherentes a la materia pero independientes entre sí. Trabajaremos sobre la carga eléctrica, sus características y sus efectos sobre el universo durante toda la cursada de Física II (describir y operar con la masa es habitual en Física I). Del mismo modo que con los anteriores conceptos de Espacio y Tiempo, la masa (y obviamente también la carga, lo que no desarrollaremos aquí) como propiedad fundamental de la materia ha tenido múltiples significados, relacionados ambos con la forma en que percibimos que se manifiesta la materia en los múltiples fenómenos de la realidad. Decimos habitualmente que la masa se manifiesta en forma “pasiva” (inerte) o en forma “activa” (generando efectos).

La forma pasiva de la masa está representada por el concepto de Inercia. Podríamos decir entonces que la masa inercial (la masa que tiene inercia) es la respuesta de la materia a las acciones que entes externos (otro pedazo de materia, etc.) realicen sobre ella. Esta forma de manifestarse es pasiva porque sólo aparece si hay una acción “desde fuera” de la porción de materia que es afectada.

La forma activa de la masa está representada por el concepto de Gravedad. Podríamos decir entonces que la masa gravitatoria (la masa que genera gravedad) es la acción de la materia sobre todos las demás cuerpos en el universo, sin importar qué tan lejos estén ubicados ni cómo estén distribuidos (esta acción se da a través de un ente físico denominado “campo gravitatorio”).11

La masa inercial (la forma pasiva de la masa) cobra una importancia fundamental en el estudio del Movimiento, ya que determina la forma en que un cuerpo se moverá bajo la acción de la influencia generada por otros cuerpos externos a él.

10 Sin embargo, veremos durante el desarrollo de Física II que este “vacío puro” que ocupa todo el universo no está tan

vacío sino que existen otros entes físicos, producidos por la propia existencia de la materia, denominados “Campos”, que nos permitirán construir un modelo de universo físico aún más complejo y completo, permitiéndonos así describir y explicar con mayor potencialidad teórica, y con aplicaciones tecnológicas más profundas, lo que percibimos de la realidad.

11 Es importante notar que la forma activa de la masa y la forma pasiva de la masa están mutuamente relacionadas, ya

que si bien toda masa genera gravedad afectando a las demás porciones de materia del universo, por estar ella misma en el universo está a su vez y al mismo tiempo afectada por la gravedad generada por las otras masas. Esta dualidad ha sido motivo de gran cantidad de estudios científicos y se dio en llamar el “Principio de Equivalencia”. Hasta lo que hoy la Física ha desarrollado, se afirma que la masa inercial y la masa gravitatoria de un mismo cuerpo son coincidentes, es decir, la cantidad de ambas masas de naturaleza distinta coinciden y no es posible identificar a una por separado de la otra.


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MAX PLANCK

Max Planck nació el 23 abril de 1858, en Kiel, Alemania y falleció el 4 de octubre de 1947, en Göttingen. Hijo de una familia con gran tradición académica (teólogos, juristas, profesores, etc.), a los dieciséis años obtuvo su graduación en la escuela Maximilian Gymnasium, donde estudió Matemática, Física y Astronomía. Como tenía talento para la música (cantaba, y tocaba el órgano, el piano y el cello) y además disfrutaba con la filología clásica y con las ciencias, tuvo algunas dudas al elegir su carrera. Al consultar a su profesor de física, Philipp von Jolly, éste respondió que en Física lo esencial estaba ya descubierto, y que quedaban pocos huecos por rellenar, concepción que compartían muchos otros físicos de su tiempo; Planck respondió a su profesor que no tenía interés en descubrir nuevos mundos sino en comprender los fundamentos de la Física, y finalmente se decidió por esta materia. Planck ingresó a la Universidad de Munich, donde condujo sus propios experimentos, antes de encaminar sus estudios hacia la física teórica (sin abandonar la música). En 1877/78 estudió en Berlín, donde recibió las enseñanzas del matemático Karl Weierstrass y de los célebres físicos Hermann von Helmholtz y Gustav Kirchhoff. Planck se dedicó inicialmente a la Termodinámica, siendo su tesis de doctorado “Sobre el segundo teorema fundamental de la teoría mecánica del calor”, presentada en 1879 con sólo veintiún años. En 1892 tomó a su cargo la cátedra de Física Teórica en la universidad de Berlín, reemplazando a Kirchhoff; desde 1905 hasta 1909 Planck dirigió la Sociedad Alemana de Física, en 1913 dirigió la Universidad de Berlín, y en 1918 recibió el Premio Nobel de Física por la creación de la Mecánica Cuántica; en 1926, luego de años de docencia universitaria, se retiró siendo reemplazado por Schrödinger. Abocado al estudio de un problema crítico para la Física y la Tecnología de fines del siglo XIX, el denominado “problema del cuerpo negro” (el estudio de las características de la luz emitida por un objeto considerado un emisor/radiador perfecto a una cierta temperatura), y a pesar de que consideraba que el problema era de tipo electromagnético clásico, Planck postula hacia 1900 que la energía no se manifiesta en forma continua sino que se radia en unidades pequeñas, independientes, denominadas “cuantos”. Planck da la ecuación E = h.ν para la energía del cuanto de luz de frecuencia ν, en la cual h es la “constante de Planck” (hoy día una de las constantes fundamentales en la descripción del universo físico). Un año más tarde, elabora la denominada “Ley de radiación de Planck”, que resuelve finalmente el problema de cómo radia un cuerpo negro. Estos desarrollos tan innovadores de Max Planck se convirtieron en las bases de una nueva forma de ver el mundo, en especial sobre cómo se modeliza la materia y los procesos relacionados con ésta. Al principio, Planck consideró que la cuantización era “sólo una afirmación formal…” necesaria para resolver un problema pero en la que él mismo no creía, debido principalmente a su tradición familiar, a sus creencias religiosas y a su formación académica, y pasó sus últimos años trabajando arduamente para reconciliar los cuantos con la visión clásica, aunque sin éxito. Hoy día, tal afirmación, incompatible con la Física Clásica, es considerada como el hito en el cual nace la Física Cuántica y el más grande logro en la carrera de Planck (es Einstein quien finalmente profundiza esta nueva visión del mundo físico asumiendo que los cuantos tienen una entidad física real, y no simplemente un artilugio matemático para dar solución a un problema).

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El modelo de átomo de Niels Bohr En forma equivalente a lo que hemos hecho con R3 y R1 para el Espacio y el Tiempo, debemos concretar a los fines de nuestra asignatura un modelo en particular de “Materia”. Ya definimos que el modelo que utilizaremos es de tipo “atomista”, aunque deberemos definir con mayor precisión cuál de los muchos modelos de átomo será el que mejor nos ayuda a desarrollar los contenidos de Física II, sin perder rigurosidad conceptual y potencialidad explicativa. Así, establecemos que el modelo que utilizaremos será el “átomo de Bohr”, modelo que fue desarrollado por Niels Bohr hacia 1913 y que, en su elaboración primaria, fue creado para describir el átomo de Hidrógeno, aunque rápidamente se fue ajustando para ser aplicado a otros átomos. Si bien es cierto que, casi cien años después de Bohr, podríamos decir que este modelo de átomo es demasiado sencillo, consideraremos que a los efectos de los requerimientos de Física II será suficiente para explicar los fenómenos bajo estudio, posibilitándonos además construir un modelo de Materia más complejo sin alejarnos de la forma “electrónica” de describir la estructura básica del átomo.12 El modelo de átomo de Bohr fue diseñado para describir al átomo de Hidrógeno, constituido por un núcleo formado por un protón de carga eléctrica positiva, alrededor del cual orbita un electrón de carga eléctrica negativa, siendo la fuerza centrípeta necesaria para este movimiento orbital la que se genera en la interacción eléctrica.

De acuerdo con la Mecánica clásica en general, y con la Teoría de la Gravitación Universal en particular, ambas en vigencia plena hacia la época en la que Bohr propone su modelo, las órbitas electrónicas tenían similares características que las órbitas planetarias: eran circulares, planas y fijas en el espacio.

12 Cabe aquí resaltar que en Física II el modelo de Materia más amplio, tanto para las partículas más pequeñas como para

los cuerpos más grandes, se construirá a partir de dos elementos básicos: el átomo de Bohr y la idea de cuerpo rígido que se desarrolló en Física I (cuerpo en el cual la distancia relativa entre las partículas que lo forman permanece constante mientras que transcurra el proceso bajo estudio).

Estudiaremos en especial cómo evoluciona un dipolo eléctrico (dos cargas eléctricas separadas por una cierta distancia fija) en presencia de un campo eléctrico externo, y cómo evoluciona un dipolo magnético (una corriente eléctrica que circula por una circunferencia muy pequeña) en presencia de un campo magnético externo: esto nos permitirá luego generar un “modelo dipolar de Materia” superador del simple modelo que puede construirse sólo a partir del átomo de Bohr, considerando que toda porción de materia está constituida por un conjunto de dipolos eléctricos y magnéticos elementales que interactúan con campos electromagnéticos externos.

Esquema sencillo del átomo de Bohr.

R Bohr = 0,529 Ǻ


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Sin embargo, y de acuerdo con lo que se conocía a partir del Electromagnetismo de Maxwell, también en vigencia plena en la época de Bohr, una carga eléctrica acelerada debía emitir energía en cada período orbital, lo que traería como consecuencia que la trayectoria de la carga “decayera” en una espiral, disminuyendo gradualmente su radio orbital hasta chocar con el núcleo. Pero si así fuera, la materia no sería estable (como nadie dudaba que sí lo era, obviamente), ya que según esta consecuencia de yuxtaponer la Mecánica clásica con el Electromagnetismo todas las órbitas deberían decaer hasta, por consiguiente, desaparecer la estructura atómica, y la materia como tal. Así las cosas, era evidente que “algo andaba mal” en los modelos de explicación que la Física de fines del siglo XIX tenía como válidos; por consiguiente, se intuía que algo debía cambiar, que algún modelo nuevo debía surgir o al menos alguna modificación sustancial a los modelos en vigencia debía producirse, y debía ser en un lapso breve ya que existía en aquel entonces un fuerte malestar entre los científicos que se dedicaban al estudio de la materia y de sus propiedades (radiación, espectroscopia, estructura interna, etc.). Bohr establece hacia 1913 un nuevo modelo de átomo a partir de una serie de “postulados”: un “postulado” es una afirmación de conocimiento que, en general, no se construye a partir de los conocimientos previos considerados válidos, sino que son originados en la creatividad, en la intuición, en el “salto” que los pensadores (científicos, artistas, etc.) hacen al proponer cierta idea o teoría. Las Ciencias Naturales requieren que, luego, las consecuencias que traerá una teoría armada a partir de estos postulados sean contrastadas con la realidad física a través de un proceso experimental; pero en ningún caso se discuten a-priori los postulados, por raros o contra intuitivos o desafiantes que parezcan, sino sólo sus predicciones a-posteriori.13 Los postulados a partir de los cuales Bohr construye su modelo de átomo son los siguientes: 1. Un electrón en un átomo se mueve en una órbita circular alrededor del núcleo bajo la influencia

de la atracción coulombiana eléctrica entre el electrón y el núcleo, de acuerdo con las leyes de la Mecánica clásica.

2. En lugar de la infinidad de órbitas posibles en la

Mecánica clásica, para un electrón sólo es posible moverse en una órbita para la cual el momento

angular L es un múltiplo entero de ħ (h/2, siendo h la Constante de Planck).

3. Un electrón que se mueva en una de esas órbitas

permitidas no irradia energía electromagnética, aunque está siendo acelerado constantemente por las fuerzas atractivas al núcleo. Por ello, su energía total E permanece constante y la órbita no decae.

4. Si un electrón que inicialmente se mueve en una

órbita de energía Ei cambia discontinuamente su movimiento de forma que pasa a otra órbita de energía Ef se emite o absorbe energía electromagnética para compensar el cambio de la energía

total. La frecuencia ν de la radiación se calcula a partir de la expresión: h

EEν if .

13 Muchos dicen que cuanto más arriesgados sean los postulados de una nueva teoría mejor, ya que si no describen

satisfactoriamente la realidad serán descartados rápidamente, pero si lo que predicen satisface lo observado el avance en la construcción de un nuevo modelo será muy grande: así sucedió con Planck y Bohr, con Einstein, y con otros.

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En este modelo, entonces, los electrones orbitan el átomo en niveles discretos y cuantizados de energía, es decir, no todas las órbitas están permitidas, tan sólo un número finito de éstas. Además, los electrones pueden saltar de un nivel electrónico a otro sin pasar por estados intermedios. El salto de un electrón de un nivel cuántico a otro implica la emisión o absorción de un único cuanto de luz (fotón) cuya energía corresponde a la diferencia de energía entre ambas órbitas. Es importante notar que el modelo de átomo de Bohr sería, desde lo epistemológico, un modelo “híbrido”: construido a partir de la concepción de Espacio-Tiempo absolutos de Newton, con la acción de las fuerzas (eléctricas, gravedad, etc.) considerada instantánea, y con una concepción de universo “de continuidad” que permite la existencia de cualquier órbita en la dinámica planetaria, Bohr incorpora los desarrollos de Planck sobre la cuantización de la energía, proponiendo que existen zonas prohibidas en el espacio que rodea al núcleo atómico y restringe los valores de energía posibles cuantizándolos. Este híbrido resolvió la mayoría de los problemas serios que tenía la Física de la Materia hacia el 1900 y abrió la puerta a la construcción de un nuevo modelo de Materia, coherente desde lo epistemológico, lo que hoy día se conoce como la Física Cuántica. Una vez más vemos que se puede utilizar un modelo medianamente simple para estudiar ciertos fenómenos, y que eso no es inadecuado pese a que sepamos que existen modelos superadores, a los que deberemos recurrir si los fenómenos en estudio son más complejos o el modelo en uso no brinda respuestas. 14 Por ejemplo, en el caso de nuestro sistema planetario vemos a la Tierra como una esfera que gira sobre sí misma y alrededor del Sol en órbitas circulares, etc., modelo simple que nos satisface para explicar buena parte de los fenómenos que percibimos, sin embargo, sabemos que para ciertos estudios y/o análisis se debe considerar que la Tierra no es esférica ni homogénea, que sus órbitas no son circulares ni estáticas, etc., utilizando un modelo más complejo que el anterior. Vale resaltar que cuando modelizamos alguna parte de la realidad que percibimos no sólo es importante conocer el modelo en particular que utilizaremos, sino más aún es fundamental conocer sus límites, hasta dónde es válido. Debemos saber que la Materia no “es” el modelo sino que el modelo representa varias de sus características, un rango de la descripción de las distintas características percibidas de los procesos en los que participa la Materia. En síntesis, el modelo de átomo que utilizaremos en Física II, nuestro modelo de Materia, estará constituido por pequeñas partículas esféricas, electrones, protones y neutrones, con propiedades básicas de carga y masa; organizadas en principio en átomos que cumplen con los postulados de Bohr y a lo que después complejizaremos un poco al incorporar el modelo dipolar (eléctrico y magnético).

14 Posteriormente, el modelo de átomo de Bohr comenzó a ser modificado para explicar otros hechos experimentales

más “sutiles”, variándose el tipo de órbita (elipses de distintas excentricidades), incorporando más partículas al núcleo y más electrones en órbitas de mayor tamaño, etc., dando lugar pocos años después a la desaparición de las órbitas y de las partículas como tales y a la aparición de “zonas de densidad”, iniciándose así el camino de la Física Cuántica propiamente dicho. Cabe destacar que a los efectos de Física II, aún sabiendo de la existencia de un modelo cuántico más complejo de materia, con el modelo de átomo de Bohr más simple nos es suficiente.

http://es.wikipedia.org/wiki/Fot%C3%B3n


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NIELS BOHR

Niels Bohr nació en Copenhague, Dinamarca, el 7 de octubre de 1885 y falleció el 18 de noviembre de 1962, en la misma ciudad. En 1903 Bohr ingresó en la Universidad de Copenhague para estudiar Filosofía y Matemática, doctorándose en 1911 con una tesis sobre las propiedades de los metales, haciendo uso de los desarrollos de Planck y de la teoría del electrón. Tras haberse revelado como una firme promesa en el campo de la Física Nuclear, pasó a Inglaterra para ampliar sus conocimientos en el prestigioso Cavendish Laboratory en Cambridge, bajo la tutela de sir Joseph John Thomson (Premio Nobel en 1906 por sus estudios acerca del paso de la electricidad a través de los gases, y descubridor de la partícula que luego se llamaría “electrón”). Bohr pasó luego a la Universidad de Manchester, donde estudió con otro premio Nobel, Ernest Rutherford, sobre radiactividad y modelos del átomo. En 1921 fundó y asumió la dirección del Instituto de Física Teórica de la misma universidad. Uno de los más famosos estudiantes de Bohr fue Werner Heisenberg, que se convirtió en líder del proyecto alemán de la bomba atómica. En 1941 Bohr recibió la visita de Heisenberg en Copenhague, pero no llegó a comprender su postura (Heisenberg y la mayoría de los físicos alemanes estaban a favor de impedir la producción de la bomba atómica para usos militares, aunque deseaban investigar las posibilidades de la tecnología nuclear), y en 1943 Bohr escapó de Alemania hacia Suecia e Inglaterra y finalmente a Estados Unidos (creyendo que la bomba atómica alemana era inminente, trabajó en Los Álamos, en el Proyecto Manhattan, en el equipo que desarrolló la primera bomba nuclear). Bohr consideraba que el conocimiento sobre el átomo debía ser compartido con la comunidad científica internacional, y abogó ante el presidente Franklin D. Roosevelt para que compartiera sus desarrollos con Rusia, lo que obviamente no consiguió. Recién en la década del ‘50, cuando Rusia desarrolló su propia bomba nuclear, fue posible crear la Agencia Internacional sobre Energía Atómica, de acuerdo con los lineamientos originalmente propuestos por Bohr, quien hasta su muerte se dedicó a luchar por los usos pacíficos de la energía nuclear. En 1913 Bohr propone un nuevo modelo atómico, modificando sustancialmente los modelos de Rutherford y Thompson. Su contribución más importante es la cuantización del momento angular y de los niveles energéticos asociados a las órbitas de los electrones en torno al núcleo atómico, utilizando los desarrollos de Planck para postular que cuando un electrón cambia de órbita se absorbe o emite un cuanto de energía en forma de fotón de luz (por esta investigación Bohr recibe en 1922 el Premio Nobel de Física). En 1923 Bohr enunció el Principio de la Correspondencia, y luego de que Heisenberg postulara el Principio de Incerteza en 1925 y de que Louis de Broglie hiciera lo propio con la dualidad onda-partícula, añadió, en 1928, el Principio de Complementariedad, buscando establecer los puntos de contacto entre la Mecánica clásica y la recién nacida Mecánica cuántica: los resultados de ésta deben tender a los de la Mecánica tradicional en aquellos casos en los que los valores de las constantes cuánticas sean despreciables frente a las dimensiones del problema bajo estudio, es decir, a nivel macroscópico. Hasta sus últimos días Bohr continuó trabajando sobre fisión nuclear, sobre el modelo cuántico de la materia aún hoy en vigencia, y sobre las consecuencias filosóficas de esta idea revolucionaria y en especial sobre sus implicaciones para la biología molecular.

Espacio-Tiempo-Materia: una descripción para el Universo físico En el esquema siguiente, presentamos una síntesis de los principales conceptos y relaciones desarrollados hasta aquí, introduciendo además el concepto de “Interacción”.

El Universo está constituido esencialmente por

MATERIAESPACIO

Euclídeo R3

TIEMPO

R1

En un modelo newtoniano son independientes pero inseparables

y

MATERIA

CARGA MASAson

independientes

con sus propiedadesesenciales

CARGA MASA

cuyas propiedadesesenciales son

de la mismanaturaleza, pero con

distinta función(GENERADORAy DE PRUEBA)

sonindependientes

ESQUEMA CONCEPTUAL BÁSICO SOBRE LAS RELACIONES ESPACIO - TIEMPO - MATERIA - INTERACCIONES

Entre dos porciones de MATERIA, con sus propiedades de CARGA y MASA, se dan lasINTERACCIONES, que se producen a través de ciertas "perturbaciones" que afectan al

LA FÍSICA COMO CIENCIA NATURAL En el amplio espectro de las Ciencias, existe una primera clasificación que nos permite comprender a grandes rasgos sus características más esenciales: Ciencias Formales y Ciencias Fácticas.

La Matemática y la Lógica son las únicas Ciencias Formales; en éstas, la validez de sus expresiones (premisas) y estructuras conceptuales queda asegurada si las mismas pueden deducirse a partir de otras expresiones (axiomas) que se aceptan como formalmente válidas. Es importante notar que estas dos ciencias prescinden de los hechos del mundo para decidir acerca de la validez de sus afirmaciones, teniendo como única condición fuerte para ello la consistencia: que no haya contradicciones internas en el sistema lógico-matemático que les da su identidad.

Dentro de lo que se denominan las Ciencias Fácticas existe una gran diversidad de disciplinas científicas; en éstas, además de la consistencia lógica interna de su estructura conceptual, es primordial para determinar la validez de sus afirmaciones la contrastación de las mismas con los hechos (factum) del mundo, ya sea del mundo natural como del propio de las relaciones humanas. Las Ciencias Fácticas engloban a las Ciencias Naturales (Física, Astronomía, Química, Biología, etc.) y a las Ciencias Sociales (Sociología, Psicología, Historia, Economía, etc.). Las Ciencias Naturales y las Ciencias Sociales comparten problemas comunes, tanto de índole cognoscitivo como metodológico. Así, por ejemplo, cuestiones vinculadas con la posibilidad de abstracción (en el sentido de precisar los rasgos de las entidades, individuos o situaciones que se describen), la construcción de modelos, la capacidad generalizadora, la evidencia empírica, el neutralismo ético y la objetividad, constituyen temas centrales de discusión permanente con dificultades muchas veces comunes en ambos tipos de ciencias. Por otra parte, ambas clases de ciencia utilizan como marco lógico propio los desarrollos de las Ciencias Formales: no es posible realizar una actividad científica de tipo natural o social sin que su estructura lógica interna sea adecuada o sin contar con desarrollos de tipo, por ejemplo, estadísticos o de cálculo diferencial. En síntesis, podemos decir que las diferencias entre las Ciencias Naturales y las Ciencias Sociales son “de grado”, y que comparten un conjunto de problemas cuyas soluciones, naturalmente, se intentan desde las perspectivas propias, aunque siempre insertas en un marco sociocultural y de época que les da, en cada caso, “tonalidades” específicas. Aunque compleja, la relación entre ambas clases de ciencia es, en definitiva, lo que aporta riqueza al conocimiento de la realidad en sus diferentes expresiones y es lo que finalmente brinda un marco adecuado a la Ciencia en tanto actividad transformadora de la Sociedad.

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MODELO FÍSICO Y REALIDAD No es posible incluir en este Texto una discusión extensa y profunda sobre la “Realidad” y el papel que la Ciencia tiene en su comprensión, debido en especial a la multiplicidad y complejidad de significados que tal palabra tiene.15 En nuestro caso simplemente consideraremos que la Realidad es algo externo e independiente de nosotros, y que la Ciencia, la Física en particular, se dedica a construir categorías conceptuales y esquemas explicativos para dar cuenta de lo que percibimos al entrar en interacción con esa realidad. Los modelos que podamos construir, en sentido amplio, no pretenden describir “la realidad tal cual es” ni tener “pretensión de verdad”, sino simplemente ser imágenes e instrumentos convenientes para describir y explicar lo que percibimos. Distintos tipos de Modelos Ya en el ámbito específico de las Ciencias Naturales, uno de los aspectos de mayor importancia es el proceso por el cual se generan Modelos y la relación que los mismos tienen con la realidad. En lo que respecta a la Física que desarrollaremos en las asignaturas de esta área en las distintas carreras de Ingeniería, las acepciones de la palabra “Modelo” que utilizaremos habitualmente presentan las siguientes componentes:

Modelos físicos: son construcciones teóricas, representaciones elaboradas por la mente con las cuales tratamos de explicar la realidad física (los hechos del mundo). Estos modelos físicos pueden ser tan complejos como teorías completas (la Teoría de la Gravitación Universal de Newton, la Teoría de la Relatividad General de Einstein, etc.) o bien pueden estar orientados a representar conceptos básicos en la descripción de la Naturaleza (modelo de Espacio, modelo de Tiempo, modelo de Materia, etc.). Estos últimos, a su vez, serán parte de aquellos más generales (por ejemplo, un tipo de modelos de Espacio-Tiempo y de Materia forman parte de la Teoría de la Relatividad, la que describe además sus múltiples relaciones entre sí y con otros entes físicos y las consecuencias de tales relaciones; para la Teoría de la Gravitación Universal de Newton se utiliza otro tipo de modelos físicos de Espacio, Tiempo y Materia; etc.).

Modelos concretos: son construcciones concretas, representaciones materiales que facilitan la comprensión significativa por parte de quien aprende Física y a su vez permiten a quien intenta enseñar la concretización del conocimiento científico presente en todo modelo físico. Estos modelos pueden tomar gran cantidad de formas, desde sencillos esquemas gráficos y maquetas hasta dispositivos (“prototipos”) cuyo funcionamiento sea similar al de un proceso físico bajo estudio. Es importante destacar que especialmente en estos modelos concretos el objetivo básico es el de generar un “diálogo” entre la realidad y el proceso de imaginación y abstracción necesario para el aprendizaje de los conceptos propios de los fenómenos físicos bajo estudio, por lo que tienen siempre como marco de referencia, ineludiblemente, tanto en su diseño como en su utilización, a las anteriores construcciones teóricas o modelos físicos.

15 Sólo para dar algún ejemplo, es posible concebir entes reales que no tengan consistencia material y que además no

sean percibidos directamente por nuestros sentidos, como el “vacío”, o los “campos”.


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El diálogo entre los modelos y la realidad Hilando un poco más fino, el modelo (tanto una teoría como un prototipo) debe ser evaluado en su utilidad para establecerse como herramienta que posibilite la comprensión de ciertos aspectos de la realidad a la que refiere; en este sentido, simplemente estaremos intentando “atrapar” una buena forma de describir lo que sucede en esa realidad y convertir tal descripción en una reflexión científica (o educativa). Así, la razón de ser del modelo no es el reemplazo de una parte de la realidad sino una herramienta para facilitar el “diálogo” con esa realidad, que por ser ésta compleja presenta gran cantidad de obstáculos que hay que diagnosticar y tener en cuenta. El diálogo entre el modelo y la realidad debe tener un carácter “iterativo” (de ida y vuelta permanente); es decir, ambos, modelo y realidad a comprender, deben estar siempre conectados aunque en cada instancia el trabajo con el modelo y su contrastación con la observación del mundo real vayan tomando características cada vez más complejas, siendo cada nueva contrastación un insumo de la posterior y una profundización de la anterior, y no una simple repetición. Desde este punto de vista, el modelo se construye sobre la realidad y no es la realidad. Los modelos de mayor complejidad (las teorías científicas) siempre se refieren a modelos de menor jerarquía conceptual o lógica y no a la realidad física; esto quiere decir que las teorías científicas no tienen como referentes directos a los hechos de la naturaleza, sino más bien a los modelos simplificados de esos hechos. Podríamos decir entonces que una característica propia de los modelos, en todos los casos, es la de ser versiones simplificadas de algunos aspectos de la realidad que podemos percibir. Cabe destacar, finalmente, que en lo que hace al trabajo cotidiano en la Física, una vez establecido un modelo con relativa confiabilidad se lo considera “como si” fuera la realidad (aunque de hecho se sepa que no lo es y que tampoco intenta serlo).

EL PAPEL DE LOS CONCEPTOS Y LAS TEORÍAS (en la observación de los hechos, en el diseño de la investigación experimental y en el desarrollo de prototipos) Ciencia teórica y ciencia experimental Dentro del trabajo científico es posible distinguir además entre la actividad teórica y la actividad experimental. El científico experimental trabaja para acceder a datos que luego utilizará para modificar o contrastar teorías ya existentes, para proponer nuevas teorías o para decidir entre dos modelos teóricos rivales. El experimentador formulará, a partir de los datos obtenidos, generalizaciones empíricas que podrá luego contrastar con nuevas experiencias. Cuando un científico busca una explicación a las leyes empíricas formuladas a partir de los experimentos y busca articularlas entre sí para que no sean tan sólo proposiciones generales aisladas, enunciando leyes de nivel superior, realiza una actividad teórica. Una vez estructurado el conjunto teórico, el investigador teórico podrá deducir nuevas leyes cuyas consecuencias observacionales serán contrastadas por el investigador experimental.

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Existe una continua realimentación entre la actividad teórica y la experimental de una ciencia. El científico teórico se nutre de las leyes empíricas provistas por el experimentador para intentar organizar una red teórica. A su vez, el científico experimental deberá contrastar las consecuencias de las leyes que forman parte de dicha teoría (pudiendo sugerir modificaciones). Todo científico experimental necesita teorías o hipótesis subyacentes que son las que guiarán su observación. “Los anteojos con los que vemos la realidad” De lo expuesto en el apartado anterior, queda claro que no es posible realizar una actividad experimental (y mucho menos teórica) sin que haya influencia de cierta concepción teórica, por embrionaria que ésta pudiera ser. Es decir, no existe la actividad científica, en general, “neutra” o “sin influencias teóricas”. La frase “la observación está cargada de teoría” intenta explicar lo anterior de otro modo. Una actividad observacional o un proceso experimental suceden de un cierto modo debido justamente a que, de alguna manera, lo que el científico está buscando ya tiene cierta entidad, diríamos que “potencialmente ya existe” en el marco de cierta teoría. El científico, teórico o experimental, accede a su actividad científica usando “ciertos anteojos” a través de los cuales (y no otros) puede analizar lo que percibe de la realidad.16 La contrastación de los modelos con la realidad Más allá de la carga teórica que lleven implícitos, los modelos construidos en el marco de las ciencias naturales deben, en todos los casos, ser contrastados17 o ser factibles de contrastarse con los datos empíricos. Por esta razón, el criterio básico para decidir cuándo una teoría (un modelo físico) es una buena representación conceptual de la realidad que estamos queriendo indagar es someter a la misma a un proceso experimental y ponderar (valorar) el resultado de esa contrastación a través de los errores experimentales (en general, a las ciencias naturales del tipo de la Física se las denomina “ciencias experimentales”). El resultado más concreto de un proceso experimental es un conjunto de mediciones, registros cuantitativos acompañados por un conjunto de incertezas, algunas propias del proceso de medición (por más que los científicos se esfuercen por construir aparatos de medición cada vez más precisos) y otras inherentes a la naturaleza. El grado aceptado de las incertezas de un proceso experimental es lo que nos da el ajuste, la “bondad” o los límites de aplicabilidad del modelo construido con respecto a la realidad bajo estudio. En algunas oportunidades, para poder realizar tales procesos se construyen “prototipos” (modelos concretos), es decir, producciones reales que representan (a escala) los objetos o eventos sobre los que se pretende dar explicaciones. Los prototipos llevan entonces implícito en su diseño tanto una teoría como un rango de incertezas, fuera de las cuales el modelo deja de tener validez empírica y deja de cumplir con los objetivos para los cuales fue diseñado.

16 Esto que puede parecer sólo patrimonio de la actividad científica, en realidad nos sucede a todas las personas cuando

intentamos aprehender los hechos de la vida y del mundo. Esta afirmación está sustentada por una infinidad de investigaciones provenientes de disciplinas científicas (sociales) tan diversas como la Epistemología, la Psicología, la Filosofía, la Educación en Ciencias, etc.

17 “Contrastar” significa que una vez propuesta una teoría sus afirmaciones y predicciones deben ser puestas a prueba

con lo que sucede en la realidad a través de la observación y la experimentación.


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SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES El problema de las unidades Decíamos antes que el proceso de medir una magnitud física consiste en encontrar la relación de su valor al de alguna unidad de la magnitud. Sin embargo, es posible tomar arbitrariamente cualquier unidad como referente y de esta manera podrían convivir en una misma actividad científica distintas formas de expresar los resultados de un proceso de medición sobre un mismo objeto o proceso. Esta situación es aún un poco más compleja debido a que hay muchas magnitudes y la combinación de distintas unidades para cada una de las muchas magnitudes haría prácticamente imposible compatibilizar los resultados obtenidos. Cuando se elige por cada magnitud una única unidad, al conjunto de unidades se lo denomina “sistema de unidades”. A lo largo de la Historia han coexistido gran cantidad de sistemas de unidades, debido por ejemplo a situaciones geográficas (Inglaterra como isla desarrolló un sistema distinto al de Europa, y a su vez estos fueron diferentes sistemas de los desarrollados en Oriente). A lo largo del tiempo, cuando las distintas comunidades científicas fueron desarrollándose y dando a conocer sus estudios a otras comunidades distintas de la de origen (esto producido por la expansión de los viajes, del comercio, de la cultura en general), se llegó a la conclusión de que era problemático tener tal cantidad de sistemas de unidades no homologados entre sí, y que eso además dificultaba no sólo la posibilidad de comunicación científica sino que también podría frenar el desarrollo de la Ciencia y la Tecnología. Además, estas dificultades se trasladaban al comercio y a la vida en sociedad, por lo que la necesidad de contar con un único sistema de unidades se hizo urgente. La necesidad de una convención internacional Así fue que en 1875 se reúnen en Paris representantes de diecisiete países y definen lo que hoy denominamos el Sistema Internacional de Unidades. Al paso de los años se le han hecho algunas modificaciones al original SI, pero aún es el sistema de unidades de utilidad científica, tecnológica y social de la actualidad. Los sistemas de unidades están basados, en general, en unas pocas unidades de magnitudes tomadas como fundamentales (el metro para la longitud, por ejemplo), y luego en un conjunto mucho mayor de unidades derivadas, combinaciones de las unidades principales (la hora para el tiempo, por ejemplo), y en algunas unidades más, respetadas sólo por costumbre o tradición cultural (el litro para el volumen, por ejemplo). El Sistema Internacional se define entonces a partir de las siguientes magnitudes fundamentales y de sus unidades correspondientes:

MAGNITUD FUNDAMENTAL

UNIDAD SÍMBOLO

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Intensidad de corriente amperio A

Temperatura absoluta kelvin K

Cantidad de sustancia mol mol

Intensidad luminosa candela cd

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Cada una de las unidades se intenta “materializar” de alguna manera para poder no sólo conservarla al paso del tiempo sino para poder compartirla y homogeneizar así los procesos de medición en las distintas partes del mundo. Así fue como originalmente el metro patrón era una barra de metal guardada en Paris, de la cual se hacían réplicas lo más exactas posibles para llevarlas a los laboratorios de metrología más importantes. Hoy día se tiende a que las unidades patrón se definan a partir de procesos (y no de objetos), claramente definidos, buscando que los mismos puedan ser repetidos en otras partes. Así es que el metro patrón se define en función de una característica de la luz emitida en ciertas circunstancias por el átomo de Cesio 133. Es muy importante destacar que las magnitudes fundamentales elegidas para la definición del Sistema Internacional (así como de los múltiples otros sistemas que existieron) son aquellas que se refieren a los tres componentes básicos del universo, tal como los definimos al inicio de este Capítulo: Espacio, Tiempo y Materia. Notemos que la Materia tiene dos magnitudes fundamentales relacionadas con sus dos propiedades esenciales: la Masa (kg) y la Carga (el Ampère es la unidad de corriente eléctrica, que se define como el flujo de carga eléctrica a través de una cierta superficie por unidad de tiempo). Además, el Kelvin es propio del modelo termodinámico de la Materia, la Intensidad luminosa está relacionada con la capacidad de la Materia para emitir luz en ciertas circunstancias, y el mol es la unidad de sustancia (de Materia al fin). Por último, podemos notar que, por ejemplo, la velocidad no es una magnitud fundamental y por consiguiente la unidad que se utiliza para expresarla está en función de dos unidades que sí son fundamentales: el metro y el segundo. Así, la velocidad se expresa en m/s, pudiéndose expresar en función de múltiplos de esa unidad, como por ejemplo en km/h. El Sistema Métrico Legal Argentino (SIMELA) Luego de realizada la convención internacional en la que se definió el Sistema Internacional, cada país del mundo fue adhiriéndose a la misma a través de leyes nacionales. Argentina se incorporó al Sistema Internacional en 1972 mediante la Ley N°19511, la cual se inicia así:

Artículo 1º- El Sistema Métrico Legal Argentino (SIMELA) estará constituido por las unidades, múltiplos y submúltiplos, prefijos y símbolos del Sistema Internacional de Unidades (SI) tal como ha sido recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas…

La ley establece entre otras cosas la posibilidad de tener patrones nacionales, de estandarizar los instrumentos de medición, de expresar las medidas a los fines legales, profesionales, comerciales y sociales en el SI, etc.


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Los prefijos utilizados en el Sistema Internacional de Unidades Debido a que las cantidades habituales de algunas magnitudes son o muy grandes (distancias en el universo, cargas eléctricas en objetos macroscópicos, corrientes eléctricas en tendidos regionales, frecuencias de ondas electromagnéticas, velocidades de cargas en el espacio, etc.) o muy pequeñas (carga del electrón, tamaño de átomos y moléculas, energías de partículas subatómicas, etc.), fue necesario definir un conjunto de “prefijos”. Los prefijos NO SON UNIDADES, sino sólo una simbolización de potencias de diez con el fin de simplificar la escritura, los cálculos, etc., entre cantidades muy grandes o muy pequeñas de las distintas magnitudes físicas habitualmente utilizadas en la Ciencia y la Tecnología. Los prefijos simbolizan potencias de 10, habitualmente a intervalos de 103, y se escriben delante y junto a cualquiera de las unidades del Sistema Internacional.

Potencia de 10 Prefijo Símbolo

1018 exa E

1015 peta P

1012 tera T

109 giga G

106 mega M

103 kilo k 18

102 hecto h

101 deca da

100 1 ---

10-1 deci d

10-2 centi c

10-3 mili m

10-6 micro

10-9 nano n

10-12 pico p

10-15 femto f

10-18 atto a

Lista de los prefijos más utilizados en Física

La forma de simbolizar las unidades Una vez definidas las unidades, se eligen luego los símbolos que las van a representar a los fines de, principalmente, los procesos de comunicación (científico, tecnológico, cultural, etc.). Es decir, luego de medir una cantidad de una cierta magnitud, es necesario comunicar este resultado expresándolo en forma simbólica, utilizando números para la cantidad y letras para la unidad de la magnitud correspondiente (por ejemplo, “cincuenta metros” se simboliza como “50 m”). Así, las unidades están representadas en forma simbólica por letras: todas estas letras son minúsculas, a excepción de aquellas que simbolizan unidades designadas en honor a científicos. Por ejemplo, el metro se simboliza con la letra m, y el Ampère con la letra A. Cabe destacar que los símbolos para las unidades no son abreviaturas: no llevan punto final, ni tienen plural.

18 El prefijo para 103, el “kilo”, se simboliza con una letra “k” minúscula (y no mayúscula como las de los prefijos de

potencias cúbicas de diez positivas, con el fin de que no se lo confunda con la unidad fundamental para el kelvin, K.

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SISTEMAS DE COORDENADAS (la elección de una descripción matemática sencilla) Luego de haber definido un sistema de referencia, debemos elegir qué tipo de coordenadas geométricas utilizaremos para describir matemáticamente el fenómeno bajo estudio. Existen tres sistemas de coordenadas tridimensionales con los cuales podríamos trabajar: el Sistema Rectangular, el Sistema Cilíndrico, y el Sistema Esférico, tal como se muestran en la figura siguiente.

x

y

z

o

P(x,y,z)

y

z

r

x

x

y

z

o y

z

r

x

x

y

z

o y

z

x

r

P( , ,r)P( , ,z)

Coordenadas Cilíndricas ( , ,z) ( , ,r) Coordenadas Esféricas(x,y,z)Coordenadas Rectangulares

Es muy importante destacar que los tres sistemas de coordenadas son sólo tres formas distintas de expresar la posición de un punto en el espacio R3; es decir, la ubicación espacial de un cierto punto no cambia porque expresemos la misma en coordenadas rectangulares, cilíndricas o esféricas; sólo cambia la expresión matemática de tal posición, y la simplicidad o complejidad de las ecuaciones que describan la situación bajo estudio. De hecho, y como puede apreciarse en la figura anterior, dado un mismo punto P, los tres conjuntos de coordenadas están mutuamente relacionadas y es posible transformar la posición de P expresada en un sistema en el otro (de rectangulares a esféricas, etc.). La elección de uno u otro sistema de coordenadas está guiada en general, además de la búsqueda de un tratamiento matemático lo más simple posible, por la naturaleza física de lo que estemos estudiando. Por ejemplo, si quisiéramos ubicar un punto sobre la superficie exterior de un edificio, lo más conveniente sería utilizar las coordenadas rectangulares tomando como origen de referencia uno de sus extremos inferiores (“la piedra fundamental”); si quisiéramos ubicar un punto sobre una mecha helicoidal, lo más conveniente sería utilizar las coordenadas cilíndricas; y si quisiéramos ubicar un punto sobre la superficie de la Tierra, lo más conveniente sería utilizar las coordenadas esféricas (denominadas habitualmente Latitud, Longitud y Radio).


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El pasaje de R3, a R2 y a R1 y los Sistemas de Coordenadas asociados Hasta aquí hemos trabajado en el espacio de tres dimensiones, el que percibimos cotidianamente. Sin embargo, a los fines del estudio de muchas situaciones físicas y tecnológicas, es habitual “restringir” la tridimensionalidad (R3) del espacio y pasar a trabajar sólo en dos dimensiones (el plano, R2), y también sólo en una dimensión (la línea, R1). Este pasaje dimensional es posible debido a una de las propiedades del espacio físico, la linealidad o dicho de otra manera la independencia entre sus tres dimensiones espaciales. Es decir, podemos quedarnos trabajando en el plano sin que ello traiga como consecuencia algún defecto en nuestra descripción de la realidad tridimensional, y lo mismo si trabajáramos en la línea con respecto al plano o al espacio como un todo. Así, cuando trabajamos en el plano R2 (por ejemplo, cuando definimos los márgenes, los renglones y las marcas de puntuación del cuaderno en el que escribimos) necesitamos transformar también los Sistemas de Coordenadas que definimos en el apartado anterior para el espacio de tres dimensiones. Los Sistemas de Coordenadas que utilizaremos en el plano se denominan Rectangular y Polar, tal como se indican en la siguiente figura.

P(x,y)

o

Coordenadas Rectangulares (x,y)

o

y

x x

y y

x

P( , )

Coordenadas Polares ( , )

Es sencillo ver que las coordenadas rectangulares en el plano derivan de las rectangulares en el espacio; del mismo modo, las coordenadas polares en el plano derivan tanto de las cilíndricas como de las esféricas en el espacio. También en este caso, cuando trabajamos en el plano, la elección de un sistema de coordenadas u otro depende tanto de la simplicidad matemática como de la situación bajo estudio. Por ejemplo, si quisiéramos ubicar un punto sobre un plano de una casa, lo más adecuado sería trabajar con coordenadas rectangulares; del mismo modo, si quisiéramos ubicar un punto sobre un CD, lo más conveniente sería trabajar con coordenadas polares. Y nuevamente en el caso del plano, ambos sistemas de coordenadas son mutuamente transformables entre sí. Finalmente, si trabajáramos en una sola dimensión, R1, es posible un único sistema de coordenadas, sin nombre específico, ya que sólo quedaría la coordenada “x” (o cualquier otro nombre que queramos darle). Por ejemplo, si quisiéramos ubicar un punto sobre un largo cable de electricidad, sólo haría falta una coordenada respecto de un origen arbitrario.

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EL CONCEPTO DE INTERACCIÓN Hemos desarrollado las características más importantes de un modelo físico de universo, constituido por Espacio, Tiempo y Materia: el Espacio-Tiempo newtoniano, cuyas propiedades dan lugar a la posibilidad de elegir sistemas de referencia donde mejor nos convenga, es habitualmente considerado como un “contenedor” (del tamaño del universo) dentro del cual se desarrollan todos los procesos en los que participa la Materia (ya sean tanto los procesos más sencillos y cotidianos como los que suceden a escala astronómica). Las características del Espacio-Tiempo hacen que de alguna manera podamos considerar a la Materia como “contenida” en el universo newtoniano. Es decir, Espacio-Tiempo y Materia son también independientes pero inseparables: no hay ninguna dependencia mutua entre ambos entes, pero no es posible el universo sin la unión de Espacio-Tiempo y Materia.19 Uno de estos procesos, quizás el más sencillo de comprender, es el Movimiento: simplemente el cambio de posición de una porción de materia con respecto a un cierto sistema de referencia espacial en función del tiempo. Ahora bien, existe una enorme cantidad de procesos no tan sencillos como el movimiento, producidos en general debido a la abundancia de materia en el universo, materia que está distribuida en forma no homogénea (electrones y protones viajando por el espacio vacío; planetas y estrellas formado sistemas planetarios; objetos comunes, piedras, personas, y otros seres vivos; gigantescas galaxias; nubes de polvo y gas; etc.), y cada una de las distintas porciones de materia que existen, instante tras instante, afectando a y siendo afectada por todas las demás porciones, sin importar cuán lejos se encuentren. Esta imagen un tanto caótica nos permite imaginar la complejidad de estudiar la variedad de procesos que pudieran existir en el universo y de construir luego un modelo físico que describa lo mejor posible lo que percibimos. De lo anterior queda claro que uno de los factores para comprender la complejidad del universo es lo que denominamos las “interacciones” entre sus distintas partes. ¿Cómo podríamos definir entonces lo que será para nosotros una “interacción”? Simplemente, una interacción es, en sentido amplio, el proceso por el cual una porción de materia afecta a otra y a su vez es afectada por aquella.20 ¿Qué tipo de interacciones existirán en este universo? O dicho de otra manera, ¿qué tipo de influencias pueden ejercerse mutuamente distintas porciones de materia (un electrón con un protón, una molécula con otra molécula, un hombre con la Tierra, el Sol con una planta, etc.)?

19 Esta independencia entre Espacio-Tiempo y Materia (o la cualidad de “contenedor” y “contenido”, respectivamente)

es propia del modelo físico newtoniano de universo. En la Teoría de la Relatividad tal independencia desaparece y comenzamos a pensar en un “Espaciotiempo”, en donde no es posible separar como entes esencialmente diferentes al Espacio del Tiempo, y comenzamos a pensar en la Materia como algo que modifica la estructura de ese Espaciotiempo y éste a su vez modificando los estados de movimiento de la Materia. Así, las características propias ya estudiadas (homogeneidad, isotropía, linealidad, masa activa-pasiva, etc.) deben ser definidas nuevamente, y las descripciones de ciertos fenómenos son diferentes a las construidas a partir de Newton. Esta nueva forma “relativista” de describir el universo sólo será utilizada en procesos físicos en los que la velocidad de los objetos bajo estudio es cercana a la velocidad de la luz o bien en aquellos procesos en los que las energías en juego son muy grandes; debido a que en lo cotidiano y en la ciencia y tecnologías habituales estas dos condiciones no se satisfacen (velocidades y energías muy elevadas) no utilizaremos en la Ingeniería la teoría de la Relatividad y por ello el modelo newtoniano hasta aquí descripto seguirá siendo el modelo físico en vigencia.

20 Nuevamente, recuerden que hemos elegido trabajar en un universo “sencillo”, newtoniano, en el que la interacción

Espaciotiempo-Materia no existe, lo que si así fuera daría una dificultad enorme a nuestro estudio de la Física.


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Una clase fundamental de interacción está asociada a la producción de cambios en los estados de movimiento; lo que habitualmente conocemos por “fuerzas” es una forma de poner en evidencia la intensidad de estas interacciones.21 Con esta palabra de acepciones tan amplias se nombran un conjunto de interacciones propias de la materia tanto a gran escala (astronómica) como a pequeña escala (subatómica), incluyendo además todas las posibles escalas intermedias, en un conjunto de fenómenos tan amplio que prácticamente no queda aspecto del universo por considerar al intentar su estudio. Sin embargo, las interacciones que se manifiestan a través de las fuerzas no son exclusivamente propiedad del modelo newtoniano, sino que ya varios siglos antes de Cristo, tanto como se elaboraron modelos para explicar el Espacio, el Tiempo y la Materia, también existían formas de explicar los efectos más evidentes de estas interacciones: el peso de los cuerpos, la atracción y repulsión entre imanes naturales, la atracción que el ámbar ejercía sobre pequeños trozos de paja, entre muchas otras. Tanto en aquella época como en los siglos siguientes una pregunta fundamental fue cómo podían explicarse a partir de la idea de fuerza las propiedades de la materia. Por ejemplo: qué fuerzas podían explicar la fuerte cohesión de los pequeños átomos para producir materiales tan resistentes y duros como los metales; o cómo explicar que pequeñas partículas de imán natural (similar a un metal) podrían repelerse intensamente; o cómo era posible que el aire, hecho de partículas invisibles fuera difícil de comprimir con los medios que contaban en aquella época; o qué relación había entre la forma en que una piedra era atraída al suelo con la fuerza que mantenía a los planetas en torno al Sol. Ya a fines del siglo XIX y principios del siglo XX, cuando comienzan los estudios que miran “hacia adentro” del núcleo atómico, las preguntas se multiplican: cómo se puede explicar que muchos protones estén unidos dentro del núcleo sin salir repelidos mutuamente, produciendo entonces que la materia fuera poco estable y no como la conocemos; y de qué manera puede explicarse que a su vez los protones y neutrones estén constituidos por otras partículas más pequeñas fuertemente unidas; etc. Los intentos de respuesta a estas múltiples preguntas llevaron a construir un modelo físico del conjunto de interacciones estudiadas hasta hoy por la Ciencia. Este modelo integrador de las interacciones en el universo que percibimos se denomina habitualmente el “modelo de las interacciones fundamentales” (o “Modelo Standard”), y nos permitiría explicar prácticamente la totalidad de fenómenos y procesos del mundo físico actualmente estudiado por la Física.22 Una breve síntesis del mismo se describe en el apartado siguiente.

21 Otra clase muy importante de interacciones es la “interacción termodinámica” y corresponde a un principio general

del modelo de universo: los distintos cuerpos en mutua influencia tienden, luego de cierto tiempo, a estar a la misma temperatura. Esta característica termodinámica del universo (denominado habitualmente el “Principio Cero”) se estudia en la asignatura Termodinámica Básica de 2° año de las ingenierías de nuestra Facultad y no será desarrollada en este Texto.

22 Es importante notar que la búsqueda de principios integradores (unificadores) en las Ciencias Naturales y en la Física

en particular es uno de los motores de la investigación científica desde el mismo inicio de la Humanidad. En este sentido, el modelo de las interacciones fundamentales es aún una guía para la búsqueda de un modelo superador que pueda explicar en forma unificada las cuatro interacciones fundamentales como partes de una interacción básica. Esta buscada (y deseada) teoría unificadora ha sido denominada “teoría del campo unificado” o también “la teoría del todo” y muchos de los más grandes científicos en la Historia (Faraday, Einstein, etc.) han pasado sus últimos años de vida y de investigación tratando de desarrollar tal teoría, aunque sin lograrlo satisfactoriamente.

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DESCRIPCIÓN CUALITATIVA DE LAS INTERACCIONES FUNDAMENTALES El modelo de las interacciones fundamentales propone la existencia de solamente cuatro interacciones de la clase denominada “fuerzas”, siendo cualquier otra fuerza existente una combinación de estas cuatro interacciones básicas:

Interacción gravitatoria: Es la única interacción que se da entre todas las partículas (porciones de materia) del universo sin excepción. Su rango de influencia es, por esto, desde el ámbito subatómico hasta el astronómico; no tiene límites de acción y no es posible de ser “apantallada” o “bloqueada”. Las dos teorías que más han profundizado en esta interacción son la Teoría de la Gravitación Universal (Newton) y la Teoría de la Relatividad General (Einstein). Esta interacción explica fenómenos como por ejemplo: el peso de los cuerpos, el movimiento de los sistemas planetarios, la dinámica general del universo, etc. La interacción gravitatoria será estudiada en parte en Física I.

Interacción electromagnética: Es la interacción que describe principalmente la influencia entre partículas cargadas eléctricamente. Su rango de influencia es también infinito, pero es posible de eliminar, apantallar o bloquear. Su intensidad es de orden mucho mayor que la interacción gravitatoria. La teoría que más ha profundizado en esta interacción es la Teoría del Campo Electromagnético (Maxwell). Esta interacción explica la gran mayoría de fenómenos “cotidianos”, como por ejemplo: la constitución de átomos y moléculas, la estructura de la materia, el magnetismo, las telecomunicaciones, el rozamiento, la interacción de la luz con la materia, la transferencia de energía entre el Sol y la Tierra, etc. La interacción electromagnética será estudiada en profundidad en Física II.

Interacción nuclear fuerte: Es la interacción más intensa de las cuatro, aunque sólo tiene gran importancia en la estructura interna de las partículas (protones y neutrones) que forman los núcleos atómicos, fuera de los cuales prácticamente su intensidad es cero. Esta interacción explica la estabilidad de los núcleos y ciertos procesos nucleares de alta energía.

Interacción nuclear débil: Es la interacción que permite explicar la estructura interna de los núcleos atómicos. Esta interacción explica ciertos procesos como la desintegración de los núcleos atómicos. También su rango de acción es dentro del núcleo, aunque de mucha menor intensidad que la interacción nuclear fuerte, reduciéndose su intensidad fuera del mismo prácticamente a cero. La interacción nuclear débil y la fuerte serán estudiadas en parte en Física III.

El modelo de las interacciones fundamentales, sin embargo, no está en contra de lo presentado en el capítulo anterior con respecto a las relaciones básicas entre Espacio-Tiempo-Materia. Quizás el aspecto más importante que queremos resaltar en esta sencilla síntesis es que tanto como en el modelo newtoniano una porción de materia no acciona sobre otra porción de materia directamente, sino que lo hace a través de un “mediador”, también las cuatro interacciones fundamentales se dan a través de “partículas mediadoras”, aunque describir e intentar estudiar las características especiales de estos mediadores modernos exceda en mucho las posibilidades de este Texto.23

23 Esta síntesis, excesivamente breve, de un modelo tan complejo, aún en desarrollo, tiene por objetivo mostrar que la

visión de la Física que podamos construir durante las asignaturas del Área en cada una de las ingenierías, muestre claramente que el conocimiento científico es un proceso dinámico, nunca definitivo ni cerrado, y que tanto como podemos estudiar la Teoría de Newton, limitada en el tiempo y en su potencialidad descriptiva, podemos también comenzar a estudiar este modelo de interacciones fundamentales aunque sepamos que ni siquiera está terminado de formularse y que hay equipos de científicos en distintas partes del mundo que en este mismo momento están estudiando sus características y posibles consecuencias.


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LOS MODELOS Y SU UTILIZACIÓN POR CONVENIENCIA Lo expuesto en los apartados anteriores nos permite comprender que nuestra forma actual de explicar el universo es bastante diferente a como la Humanidad imaginaba el Espacio, el Tiempo, la Materia y sus relaciones hace 20 o 30 siglos. La realidad (aquello externo a los seres humanos y que no depende físicamente de ellos) es seguramente la misma en aquella época que ahora, sin embargo hoy la pensamos diferente, la imaginamos de otra manera y nos hacemos un modelo explicativo distinto. Si el mundo real no cambió en los últimos siglos, los que cambiamos fuimos nosotros: cambió nuestra manera de ver, pensar y modelar las cosas (cambió nuestra “visión de mundo”). Esto es importante ya que es altamente probable que en algunos años alguien dé clases de Física II diciendo cosas distintas de las que decimos hoy, es muy probable que algo cambie y que la Humanidad tenga en el futuro cercano una manera distinta de ver y explicar las cosas. Como ejemplo, cabe notar que hace poco más de 100 años no existían teorías como la Relatividad, la Cuántica, etc., y sin embargo en las universidades (muchas de las cuales siguen existiendo) se daban clases de Física, con total rigurosidad y seriedad, de muy distinto tenor que las que hoy se brindan. En resumen, en Física no trabajaremos sobre la realidad en sí, sino sobre modelos que los seres humanos hacemos: a la actividad de construir modelos científicos se la llama Ciencia (o Tecnología para otro tipo de modelos y sus aplicaciones). Entonces hay que tener cuidado en recordar que cuando decimos “el espacio es R3”, lo que queremos significar es que el modelo que nos hemos construido para explicar lo que percibimos como espacio tiene las características del espacio euclídeo (tres ejes perpendiculares, etc.). Nuestra modelización para el espacio será R3, euclídeo; y para el tiempo R1 también euclídeo, siendo lo fundamental de la relación entre estos dos entes, Espacio y Tiempo, que son independientes pero inseparables. En este modelo, entonces, esto significa que es posible trabajar en el espacio sin preocuparnos de lo que pasa en el tiempo y viceversa; esto tiene su origen en Newton (espacio y tiempo absolutos), pero no se debe analizar ningún fenómeno sin ser concientes de que si se estudia algo en el espacio hay una contraparte que se puede estudiar en la dimensión temporal, y viceversa. Más aún, durante el desarrollo de los temas de Física II veremos que en las expresiones matemáticas que usamos no interviene, en general, la variable tiempo, pero no porque no exista el tiempo sino porque por más que el tiempo pase lo que estamos estudiando no cambia: a este estado se lo denomina habitualmente “estacionario” (por contraparte del estado de cosas denominado “transitorio”, que ya estudiaremos). Por otra parte, vale recordar que la esencia de lo que un biólogo o un ingeniero van a hacer en el ejercicio de su profesión no requiere ver el mundo desde un punto de vista relativista, pese a que la Ciencia ya dispone de este modelo que podría suponerse superador: a los fines de estas disciplinas, el modelo Newtoniano es más que suficiente y explica muy bien los fenómenos bajo estudio. Uno debe cambiar el modelo según la necesidad del trabajo profesional que va ha desarrollar, eventualmente puede pasar que en nuestra vida profesional para analizar algo en particular se requiera, por ejemplo, de la Física Cuántica, lo que si así fuera nos pondría en la necesidad de estudiar ese modelo para aplicarlo a algún caso especial. Y esto es así para cualquiera de los modelos teóricos propios de las asignaturas que cursarán en el futuro, o de cualquier desarrollo profesional que realicen en su carrera. La realidad quizás sea una y absoluta, pero los modelos con los que intentamos explicarla van cambiando y uno usa el modelo acorde a lo que va a mirar o estudiar.

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UN UNIVERSO CON INTERACCIONES Hemos construido un universo constituido por la trama básica de Espacio-Tiempo, y decimos que nos lo imaginamos vacío. Ésta sería la definición más pura, desde la Física, de vacío: una trama de Espacio-Tiempo sin ningún otro tipo de componente. Este universo lo veríamos oscuro, frío y enorme. ¿Por qué oscuro y frío? Porque la luz y la temperatura son consecuencia de que en alguna parte de ese universo tuvo que haber habido alguna interacción que genere algún tipo de proceso, y al no haber materia no pudo haber ocurrido ningún tipo de proceso físico, químico, biológico, ninguno. Tendríamos que poner un poco de “materia” en este universo, con el fin de que algo pase. Recordemos que en nuestro modelo la materia está compuesta por átomos los que a su vez están compuestos por protones, neutrones y electrones, reunidos cumpliendo ciertos principios o lo que llamamos postulados de Bohr. De estos tres componentes sólo el electrón es una partícula elemental, indivisible: los protones y neutrones pueden ser divididos en partículas más pequeñas, los “quarks” (equivalentes a los electrones en cuanto a su característica de elementales), a partir de procesos de alta energía en los que se “rompen”. Cabe destacar que, en general, en las asignaturas de Física básica trabajaremos “desde afuera” de los núcleos atómicos o con las partículas que forman los átomos aunque sin “romperlas”.24

Entonces las mínimas porciones de materia que desde Física II podremos introducir en ese Espacio-Tiempo son electrones, protones o neutrones, luego si ellos interactúan entre sí podrá haber organizaciones más complejas como son los núcleos, después los átomos (recién entonces tomará sentido hablar de Hidrógeno, Helio, Hierro, Cobre, etc.).

24 Existen otras partículas elementales que no conforman estructuras atómicas, pero que sí participan en los distintos

procesos físicos en el universo (miembros de las familias de fermiones, leptones, bosones, etc.), con los que no trabajaremos a pesar de saber de su existencia e importancia.


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Después estos átomos podrán generar organizaciones aún más complejas como son las moléculas (Agua, Clorofila, etc.), llegando así sucesivamente a lo que entendemos como la organización más compleja de todas, y que se da en condiciones muy particulares, que es la “vida”. En resumen, a medida que se crece en la complejidad de estas organizaciones, mayores son los requisitos a cumplir para su existencia, hasta llegar al quizás requerimiento máximo que es el necesario para la vida. Por ello cualquier modificación en las condiciones ambientales, como puede ser por ejemplo una mayor exposición a rayos ultravioletas, haría peligrar la existencia de vida (de allí la importancia actual de la degradación de la capa de ozono), y de cualquier otra organización de la materia más compleja que simples átomos. Las dos propiedades esenciales de la Materia y las interacciones asociadas La Materia, desde nuestro punto de vista, tendrá dos propiedades esenciales: “masa” y “carga eléctrica”. La carga eléctrica se manifiesta de dos maneras diferentes, indicadas por sus “signos”, positiva y negativa, y la masa sólo de una manera, positiva. Los signos de la carga y la masa están relacionados con la forma en que a través de la Historia se ha modelizado la materia y también con la forma en cómo definimos las interacciones posibles; los signos son completamente convencionales, arbitrarios (no significan una “identidad” física profunda per-se). Con respecto a las “interacciones”, en Física II veremos únicamente dos tipos de fuerzas: las electromagnéticas y las gravitatorias; en las primeras participan porciones de materia, en algún estado de movimiento, con su propiedad de carga eléctrica (pueden ser tanto atractivas como repulsivas), y en las segundas participan porciones de materia con su propiedad de masa (únicamente atractivas). Para ver qué efectos se producen en el Espacio-Tiempo, en ese vacío perfecto, cuando introducimos un pedazo de Materia (si da lo mismo que esté o no, por ejemplo), es fundamental notar que para “detectar” esos posibles efectos tendremos que interactuar, ya que no es posible detectar algo sin participar en una interacción: deberemos hacer algo sobre el resto del mundo físico pero, ineludiblemente, lo demás hará algo sobre nosotros. Esta es la condición sine-qua-non para el conocimiento: la interacción, que afecta a las dos partes indisolublemente, al observador y a lo observado (los “riesgos” del proceso de conocer, en todos los campos: físicos, humanos, etc.).

LAS “VENTAJAS” DE LAS SIMETRÍAS EN FÍSICA En lo que hace a las “simetrías”, éstas son características relevantes para la Física, en cualquiera de sus formas: pueden ser de tipo espaciales, que permiten predecir ciertas cosas que le pasarán al objeto material bajo estudio, o temporales, o de la “forma” de las ecuaciones matemáticas que describen ciertos fenómenos; en todos los casos, el estudio de las “cosas” asimétricas es siempre más complejo que el de aquellas cosas con algún tipo de simetría.25 En nuestro caso trabajaremos con las simetrías espaciales de las distribuciones de materia (carga, masa, corrientes, etc.), lo que traerá consecuencias muy importantes en los efectos eléctricos, magnéticos, lumínicos, tanto en el espacio-tiempo como en la interacción con otras porciones de materia, ayudándonos a intuir los resultados de una situación planteada, simplificando en particular su resolución matemática.

25 En lo biológico también existen algunas simetrías que aparentemente posibilitan la subsistencia de ciertos individuos

frente a otros, uno de los aspectos que participan en el proceso de selección natural. En la Música, en el Arte en general, etc., las simetrías espacial y temporal cumplen funciones similares de sencillez, belleza, etc.

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PARTE II

CAMPOS ELÉCTRICOS GENERADOS POR

DISTRIBUCIONES DE CARGA ESTÁTICAS


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EL CAMPO ELÉCTRICO: una perturbación del Espacio-Tiempo En un universo originalmente vacío, con sólo la trama de Espacio y Tiempo, no sucede nada; ubicar una primera porción de materia generará una perturbación en esa trama espaciotemporal, que denominaremos Campo (eléctrico, magnético, luz, gravitatorio, etc., según sea el caso). Sin embargo, aún debemos detectar ese campo, utilizando una nueva porción de materia para que a través de la interacción con él se haga evidente su existencia. Desarrollaremos a continuación este proceso y el conjunto de consecuencias teóricas y prácticas asociadas, en particular para el Campo Eléctrico. Un universo restringido Supongamos que nuestro Laboratorio de Física es el universo (un universo “restringido” o “acotado”), y que nosotros somos observadores pasivos que no interactuamos con nada del entorno (algo imposible, pero válido para este experimento mental). Es necesario recordar que muchas de las cosas que estudiaremos en Física II requerirán de un gran esfuerzo de imaginación: debemos aprender a imaginar. Aprender a imaginar nos permitirá “cerrar los ojos” y ser capaces de visualizar estructuras espaciales tridimensionales (no sólo las proyecciones en el plano bidimensional del pizarrón), imaginar tanto pequeños como muy grandes espacios, tiempos muy cortos como los que requieren algunos procesos eléctricos o magnéticos o tiempos muy largos como los requeridos para procesos en algunas especialidades de la ingeniería. La capacidad de imaginar es esencial para el trabajo del científico (físico, biólogo, etc.) como también lo es para el trabajo de un ingeniero, de un artista, de un educador, etc., si todos ellos quieren algún día ser creativos y generar algún aporte a la Comunidad. Con el tiempo, gradualmente, ser capaces de imaginar nos irá dando “intuición”, “olfato”, para elegir a través de qué camino intentar resolver las situaciones bajo análisis. Ser capaces de imaginar, entonces, nos posibilitará comenzar a aprender y a comprender cada vez mejor. Volviendo a nuestro universo, que por razones didácticas hemos definido que es el Laboratorio de Física, en el cual somos observadores pasivos, tendremos el Espacio-Tiempo (R3 - R1), con las características de isotropía y homogeneidad, en el cual en principio no ocurre nada. Además, daremos teóricamente por válido el conjunto de ecuaciones que conforman las Leyes de Newton, y con ellas describiremos todo lo que suceda a partir de las interacciones y los cambios en los estados de movimiento de las partículas.


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La detección de una perturbación eléctrica Ubicamos el primer pedazo de materia, una barrita de material sintético, en una cierta posición, y con un “detector” vamos a relevar si algo se ha modificado. Con este detector relevaremos la existencia de alguna variante en las propiedades básicas del Espacio-Tiempo, a partir de la aparición de fuerzas aplicadas sobre el mismo (si quisiera detectar otro tipo de interacciones utilizaría detectores diferentes, como por ejemplo termómetros para modificaciones en la temperatura, etc. El detector que utilizaremos es una pelotita de médula de sauco26 colgada de un hilo de seda, lo ubicaré en distintos lugares en las cercanías del pedazo de materia (la barra) y si no cambia su estado de movimiento, de acuerdo con la primera ley de Newton es que sobre él no actúa una fuerza neta y por ende no existe una aceleración que haga cambiar su estado de movimiento. Cuando colocamos el detector en reposo en distintas posiciones en proximidades de la barra, si no cambia su estado de movimiento, podemos afirmar que, de acuerdo con las Leyes de Newton, el pedazo de materia (la barra) no ha modificado el Espacio-Tiempo, al menos en las características que puede detectar la esferita de sauco, razón por la cual no han aparecido fuerzas sobre la bolita.27

En nuestro universo restringido, el primer cuerpo (la barra) no genera ninguna perturbación, ya que el detector (la bolita de sauco) no modifica su estado de movimiento inicial al ubicarla en distintas posiciones.

Ahora vamos a hacer algo, un “proceso”, que como veremos producirá un cambio en la situación descripta.

26 El Sauco (Sambucus Nigra Linn.) es un árbol caducifolio de la familia de las caprifoliáceas de hasta diez metros de

altura, con tallos erectos de corteza suberosa marrón grisáceo. Tiene hojas opuestas, pinnadas, con hasta nueve folios ovalados y dentados. Sus flores son de color blanco-cremoso, en inflorescencias aplanadas de hasta doce centímetros. Sus frutos son en forma de dupra de color negro en grandes racimos colgantes. El Sauco abunda en Esquel y la zona.

27 En este experimento mental estamos considerando un universo restringido sin ningún tipo de interacción previa a la

situación bajo estudio; sin embargo, en las fotos que mostramos la bolita de sauco está en equilibrio debido a que la tensión del hilo que la sostiene contrarresta la fuerza gravitatoria sobre ella, ha que de lo contrario el detector se movería según la dirección de la gravedad terrestre. El esfuerzo de imaginación de esta experiencia mental es, por consiguiente, suponer que estas fotos representan al universo restringido y vacío que hemos construido, sin tomar en cuenta a la gravedad, la cual no es posible de eliminar, ni bloquear, bajo ninguna circunstancia en la realidad actual.

Tomamos la barra y la frotamos enérgicamente, por ejemplo con nuestro pelo, la ubicamos en su posición original y exploramos con el detector los mismos puntos que habíamos relevado antes. Notamos claramente ahora que la bolita de sauco cambia su estado de movimiento, por lo que es posible concluir que la misma está interactuando con “algo”: han aparecido fuerzas, las cuales no sólo producen el cambio de posición de la bolita sino que, como consecuencia, tensan el hilo que la sostiene en una dirección particular en el espacio según sea el punto relevado. Esto significa que las propiedades de R3 y R1 euclídeas básicas que tenía la región en la que trabajamos se han modificado: se dice entonces que el pedazo de materia (la barra frotada) perturbó las propiedades básicas del Espacio-Tiempo. Hay ahora nuevas propiedades que se suman a las originales, propiedades que se ponen en evidencia, que son detectadas, por otro pedazo de materia (la bolita de sauco) diferente al que generó el cambio. Por esta razón, a la barra frotada se la denomina “generador”, o productor de la perturbación, y a la bolita de sauco se la denomina “detector”, el que interactúa con lo que el generador produjo.

La región que rodea a la barra luego de frotarla con el pelo tiene nuevas propiedades: aparecen fuerzas sobre el detector.

El fenómeno que hemos estudiado es de tipo “eléctrico”, por referirlo a las propiedades que los griegos, varios siglos antes de Cristo, habían notado que adquiría el ámbar28 frotado con una piel de animal: la capacidad de atraer pequeños pedazos de paja o de cuerpos livianos. De aquellas primeras observaciones deriva la denominación de “eléctricos” a todos los materiales que se comportan como el ámbar, y por extensión a cualquier fenómeno eléctrico, a la Electricidad, al electrón, etc.29

DEFINICIÓN DE CAMPO ELÉCTRICO En resumen, al situar una porción de materia (una barra de plástico) sobre la cual hemos realizado una acción particular (frotarla con el pelo) en el Espacio-Tiempo, notamos que sus propiedades originales antes relevadas fueron modificadas, lo que detectamos a través de cómo esta perturbación produce un cambio en el estado de movimiento de otra porción de materia (una bolita de sauco) utilizada como detector. Definimos que a este tipo de perturbación en el Espacio-Tiempo producida por la materia la llamaremos “CAMPO”. En el caso particular que estamos estudiando, la perturbación detectada fue producida por un fenómeno “del tipo eléctrico” asociado a la materia luego de frotarla; por esta razón, esta perturbación será denominada “CAMPO ELÉCTRICO”.

28 El ámbar (del griego “élektron”) es una resina vegetal, en general de coníferas, que luego de decenas de millones de

años se fosilizó. Es una sustancia dura, poco densa y quebradiza, amorfa, que tiene propiedades dieléctricas y ópticas muy interesantes que han hecho que a través de la Historia fuera un material muy utilizado por la Física.

29 Esta diversidad de significados asociados surgió de aquella primera conexión entre una piedra “común” (un pedazo

de Materia, con su propiedad de carga eléctrica) y una perturbación del Espacio-Tiempo, siglos atrás en la Historia. Del mismo modo, la caída de los cuerpos (los “graves”) hacia la Tierra está relacionada con sus características de masa, lo que se dio en llamar “gravedad”. En ciertos lugares (Magnesia en Asia, Sierra Grande en Río Negro) existen piedras que producen otro efecto que se denomina “magnetismo”. Es interesante destacar que de la observación natural de quizás las cosas más cotidianas y simples, como las piedras que hay en el suelo, nacieron las tres grandes clases de efectos: de las piedras de ámbar, la electricidad, de las piedras de magnetita, el magnetismo, y de todas las piedras sin excepción, la gravedad.

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El concepto de “campo” está apoyado en los tres conceptos fundamentales de Espacio, Tiempo y Materia: la carga perturba el Espacio-Tiempo produciendo un campo electromagnético, y la masa perturba el Espacio-Tiempo produciendo el campo gravitatorio.

Esquema que muestra la definición elemental de Campo como una perturbación del Espacio-Tiempo producida por la Materia.

Además, dado un campo, para que se dé algún tipo de Interacción es necesario no sólo su existencia sino que además es necesario que esté presente, en la misma región del espacio-tiempo, otra porción de materia. Es fundamental notar que, si sólo hubiera un pedazo de materia (“generadora”) en el espacio-tiempo, habría en consecuencia un campo (electromagnético y/o gravitatorio), pero no sería posible detectarlo ya que no habría nada que pudiera interactuar con él. Recién con la aparición de una segunda porción de Materia (“de prueba”) son posibles las interacciones y sólo a partir de ellas podríamos decir que detectamos el campo, que lo medimos, que lo podemos conocer. Es importante tener en claro que no es posible que la primera porción de materia detecte lo que ella misma ha generado, es indispensable la interacción con otra porción de materia de la misma característica que la generadora, de la misma “clase”.30 Es decir, una masa puede interactuar (detectar) con un campo gravitatorio, una carga puede interactuar (detectar) con un campo electromagnético; sin embargo, la sola propiedad de carga eléctrica no permite interactuar con un campo gravitatorio, como tampoco la sola propiedad de masa permite detectar un campo electromagnético. Más aún, por ser las propiedades de carga y masa independientes entre sí, los efectos que las mismas generan (campos electromagnéticos y gravitatorios, respectivamente) también son independientes entre sí (y lo mismo ocurre, por extensión, con las interacciones –fuerzas– electromagnéticas y gravitatorias entre sí).

30 Esto es válido para todos los órdenes, en particular, no podemos detectar la gravedad que nuestros mismos cuerpos

producen, sino que detectamos la existencia de la gravedad de la Tierra y concientizamos nuestra masa a partir de la interacción entre nuestro cuerpo y el campo gravitatorio del planeta.


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BREVE HISTORIA DE LA FENOMENOLOGÍA ELECTROSTÁTICA

Para nosotros, que estamos rodeados de materiales artificiales como los plásticos, es muy sencillo encontrar cuerpos “ambáricos”, pero cinco siglos antes de Cristo no había tantos cuerpos artificiales y no todos los materiales que se encontraban tenían estas características tan particulares. Hacia el 600 aC, Thales de Mileto describe los primeros fenómenos electrostáticos. Así, una de la primeras cosas que se hicieron en la historia de lo que luego se llamaría la “Electricidad”, fue clasificar los materiales de acuerdo con esa característica, que en principio era solamente la de atraer cuerpos livianos, como por ejemplo pelo, paja, hilachas, etc. Hacia el 310 aC Teofrasto escribe el primer tratado, clasificando los materiales conocidos en la época. Recién en 1600, William Gilbert, en su obra De Magnete dedicada principalmente al magnetismo terrestre, desarrolla los primeros estudios sistemáticos de la electricidad por frotamiento, analizando las propiedades de materiales como el propio ámbar, el vidrio, el azufre, la goma laca y distintas piedras preciosas. Es Gilbert quien en esta obra comienza a llamar a estos fenómenos y a los materiales estudiados con las palabras derivadas del vocablo griego para el ámbar: “electrón”. De esta primera clasificación de los materiales, surgen los “de tipo eléctrico” (hoy denominados no conductores o aislantes, los dieléctricos en general: seda, vidrio, plásticos, resinas, diamante, etc.) y los “no eléctricos” (hoy denominados conductores: metales, soluciones iónicas, grafito, etc.). Se notó, además, que los materiales aislantes adquirían dos tipos distintos, opuestos, de estados eléctricos, aunque no de manera absoluta (propia del material) sino de manera relativa: es decir, un material se cargaba con uno u otro tipo (signo, en términos actuales) de estado eléctrico (carga, en términos actuales) dependiendo contra qué otro material hubiera sido frotado. La clasificación de esta particularidad de los materiales aislantes y de su forma de adquirir estados eléctricos por frotamiento tomó la forma de la denominada “serie triboeléctrica”, una lista que ordenaba a los distintos compuestos según el estado eléctrico que adquirían al ser frotados con otros materiales. Cuanto más separados estaban dos materiales en la serie, mayor sería el estado eléctrico que adquirirían luego de ser frotados entre sí, y según si estaban antes o después en la lista les correspondía uno u otro tipo de estado eléctrico. Una versión actual de la lista es la siguiente:

aire – vidrio pulido – cabello humano – fibra sintética – piel de conejo – mica – lana – piel de gato – plomo – aluminio – papel – algodón – ebonita – acero – madera – caucho – resina – cobre – níquel – plata – goma – azufre – vidrio sin pulir –

acetato(celuloide) – poliéster – poliuretano – polipropileno – vinilo (PVC) – silicona ―

A partir de estos estudios sobre las propiedades de los materiales frotados unos contra otros, varias décadas después de los trabajos de Gilbert se crearon las primeras máquinas electrostáticas: dispositivos mecánicos para generar carga por frotamiento más rápido y en mayor cantidad que hasta ese momento, con la posibilidad de almacenar la carga obtenida a fin de ser utilizada luego en distintos experimentos. En 1672 Otto von Guericke fabrica una máquina hecha a partir de una gran esfera de azufre, la cual giraba mientras una persona frotaba sus manos contra ella; hacia 1707 la bola de azufre se reemplaza por una de vidrio, con el mismo principio de funcionamiento.

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Von Guericke estudia en particular las pequeñas chispas que saltaban de su máquina, como así también los denominados “efluvios” o “chispas silenciosas” (la ionización del aire) y llama la atención sobre un efecto muy importante: luego de ser atraídas por la bola de azufre, las pequeñas partículas eran fuertemente repelidas. Aparentemente, este fenómeno no había sido mencionado antes, en casi veinte siglos de estudio sobre los fenómenos electrostáticos.31 Hacia 1729, Gray y Wheler observaron que el estado eléctrico producido por una de estas máquinas podía ser conducido a través de un hilo de metal, y no así si utilizaban un hilo de seda, iniciándose así el estudio del área que hoy denominamos “corriente eléctrica”, “circuitos”, etc. La particularidad bien conocida de que los fenómenos eléctricos se manifestaban como dos “estados”, fue modelizado de dos maneras diferentes. Por una parte, en 1733 François de Cisternay du Fay propone dos signos de fluido eléctrico (hoy, carga eléctrica), fundamentado esto en los siguientes hechos experimentales: los objetos frotados contra el ámbar se repelen; también se repelen los objetos frotados contra una barra de vidrio; sin embargo, los objetos frotados con el ámbar atraen los objetos frotados con el vidrio. Du Fay inventó a este fin el sencillo dispositivo que hoy denominamos “péndulo eléctrico”, un detector para los efectos eléctricos. Por la otra, Benjamín Franklin, hacia 1747, propone un modelo “monista”: un único fluido eléctrico, cuyo exceso o defecto explicaba todos los efectos estudiados hasta entonces (modelo que utilizó para explicar el funcionamiento de los condensadores y del “poder de las puntas” y su pararrayos). Finalmente, Symmer en 1759 completa la teoría de los dos fluidos de Du Fay, la cual prevaleció sobre la monista de Franklin, derivando en los actuales signos positivo y negativo de la carga eléctrica. En 1745, en Pomerania, Ewald Jürgen von Kleist y en 1746, en Leyden, Pieter van Musschenbroeck, desarrollaron los primeros dispositivos para almacenar carga electrostática (hoy denominados “capacitores”). Los capacitores (condensadores) permitían producir efectos de mucha mayor intensidad que los de las máquinas electrostáticas con las cuales se los cargaba, por lo que su utilización fue un paso muy importante en las investigaciones de la época (fue en esos años que se diseñaron los primeros instrumentos para cuantificar los estados eléctricos, los “electrómetros”). En 1767 Joseph Priestley publica The History and Present State of Electricity sobre la historia de la electricidad hasta ese momento, obra que sería durante un siglo la más importante de esta especialidad, en la cual presenta sus estudios sobre la conductividad eléctrica del carbón. En 1771 Henry Cavendish introduce lo que hoy denominamos “potencial eléctrico” y “capacidad”, y es posible que se haya adelantado en por lo menos diez años, aunque sin publicar nada, a los trabajos

de Charles-Augustin de Coulomb en 1785 sobre la intensidad de las fuerzas eléctricas (1/r2). Comienza así una nueva etapa en el estudio cuantitativo de la Electricidad.32

31 Cuando decimos que “no se vio” ese efecto de repulsión, significa que no fue tomada la repulsión como objeto de

estudio, ya que es posible que tanto como nosotros vemos este efecto de manera muy fácil, seguramente muchas otras personas también lo habrán percibido así, aunque quizás sin darle la importancia como para convertirlo en objeto de estudio. Quizás el aspecto más llamativo de la secuencia atracción-repulsión es que si bien la atracción es inmediata y notoria, quedando los pedacitos de materia pegados al objeto cargado, luego de un cierto tiempo, a veces no muy breve, esos pedacitos son violentamente repelidos, haciendo aún más evidente la particular naturaleza de los fenómenos eléctricos (por esto “sorprende” que “nadie haya visto” la repulsión mucho antes).

32 Es importante notar que en el presente Texto, tanto como en todo el desarrollo de Física II, nos tomaremos ciertas

“licencias históricas”: no respetaremos la secuencia cronológica de conceptos, lenguaje, etc., tal como ocurrió en la evolución de la Física, sino que utilizaremos conceptos y términos en forma “anacrónica”, fuera del tiempo que les corresponde, con el fin de presentar una propuesta didáctica coherente y significativa, y una estructura conceptual rigurosa. Por ejemplo, los conceptos de “carga eléctrica”, “campo”, “vacío”, etc., son utilizados aquí desde el principio, siendo que su aparición en la Física fue un proceso muy gradual y no simultáneo.


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La selectividad de las perturbaciones y las interacciones en el Universo Profundizando lo desarrollado antes, es posible decir que las dos propiedades de la Materia, carga y masa, son “selectivas”: sólo son afectadas por la clase de campo que pueden generar. Una porción de materia sólo interactúa con los campos electromagnéticos a través de la propiedad de “carga eléctrica” y una porción de materia sólo interactúa con el campo gravitatorio a través de la propiedad de masa, exclusivamente. Cada campo afecta exclusivamente a la materia cuando se manifiesta la propiedad que a su vez genera ese tipo de campo; por consiguiente, el campo gravitatorio no interactúa con la carga eléctrica, y el campo electromagnético no interactúa con la masa. Más aún, es importante notar que por ser estas dos propiedades de la materia independientes, las perturbaciones que producen en el Espacio-Tiempo son a su vez independientes entre sí: el campo electromagnético puede coexistir con el campo gravitatorio sin afectarse mutuamente. Por esta razón, la porción de Materia de prueba sólo va a interactuar con el campo que sea de su clase, o sea, su masa con el campo gravitatorio y su carga con el campo electromagnético, y ambas son interacciones totalmente independientes entre sí. En otros términos, podríamos decir que el campo gravitatorio no es percibido por la carga eléctrica, y que el campo electromagnético no es percibido por la masa. Por otra parte, cabe notar que la denominación “generador” o “de prueba” es totalmente arbitraria y depende de los fines que tengamos al focalizar nuestra atención sobre una porción de Materia a los fines de la perturbación que producirá, o sobre otra porción de Materia a los fines de cómo interactuará con los campos existentes. Todas las porciones de Materia son, al mismo tiempo, generadoras y de prueba, en forma indisoluble aunque siempre en forma selectiva. Esta es una nueva forma de comprender el denominado Principio de Superposición, que nos permite estudiar todos los efectos en forma independiente siendo el efecto total la suma de todos ellos, asignándole su causa a la distribución de materia generadora, por compleja que ésta sea. Este Principio, consecuencia de nuestra forma de modelizar el Espacio, el Tiempo y la Materia, es lo que nos posibilita una gran diversidad de formas de resolver los problemas en el amplio campo de las Ciencias Naturales: la “independencia de los movimientos”, la “separación de variables”, etc., son manifestaciones de este Principio general. En definitiva, esto es lo que en las Leyes de Newton se indica como la sumatoria de todas las fuerzas aplicadas sobre un cuerpo: estas fuerzas pueden ser todas de distinto origen y la existencia de una cualquiera de ellas no modifica o perturba a las otras. Esta “independencia” de las distintas interacciones es lo que ha permitido estudiar fenómenos realmente complejos como los que suceden en la naturaleza.33 El esquema de la página siguiente sintetiza lo antes expuesto.

33 Sin embargo, en el ámbito de lo social no podemos afirmar que tenga validez el Principio de Superposición: las

personas nos comportamos, somos, muy distinto si estamos solos, si estamos con nuestros amigos o familiares, que cuando estamos en una manifestación o en un grupo específico (profesional, deportivo, etc.). Es decir, la “suma” de las distintas formas de pensar y actuar de cada individuo no da como resultado, linealmente, la forma en que “pensará” y actuará un grupo de personas en un contexto de situaciones variadas.

CAMPOELECTROMAGNÉTICO

CAMPOGRAVITATORIOson

independientes

MATERIA

Átomo de Bohr

CARGA MASAson

independientes

MATERIA

Átomo de Bohr

CARGA MASAson

independientes

de la misma naturaleza,pero con distinta función(GENERADORA y DE PRUEBA)

MATERIA

Átomo de Bohrson

independientes

FUERZA DELORENTZ

FUERZAGRAVITATORIA

es afectadapor la

produce la

El Universo está constituido esencialmente por

ESPACIO

Euclídeo R3

TIEMPO

R1

En un modelo newtoniano son independientes pero inseparables

y

cuyas propiedadesesenciales son

con sus propiedadesesenciales

considerado como una PERTURBACIÓN del

al entrar enINTERACCIÓN

con el

al entrar enINTERACCIÓN

con el

produce la

genera

genera

Esquema de síntesis general de la relación entre el Espacio-Tiempo, la Materia, las perturbaciones que ésta genera y las interacciones selectivas.

“La ausencia de evidencia no implica la evidencia de ausencia” Los detectores juegan un papel más que importante, ya que no podríamos poner en evidencia, sin contar con el detector adecuado, la gran cantidad de fenómenos que natural o artificialmente existen a nuestro alrededor. Es fundamental comprender que no contar con el detector adecuado nos imposibilita la detección de un cierto campo, pero que, sin embargo, no es posible concluir que la no detección implica que ese campo no existe; más aún, realmente podría no existir tal campo, pero de todos modos sólo podríamos afirmar algo acerca de nuestra incapacidad de detección. Como ejemplo, Newton, uno de los científicos más brillantes de la Historia, y sus contemporáneos ni se imaginaban la existencia de ondas electromagnéticas, y no es que no existieran en la naturaleza: por ejemplo, el Sol es emisor de ondas electromagnéticas de distintas frecuencias (ultravioletas, infrarrojo, etc.), la Tierra emite ondas de radio, y todos los cuerpos en el Universo emiten algún tipo de onda electromagnética. Otros fenómenos podrían haber sido considerados “magia”, “sobrenaturales”, o directamente no se conocieron, debido únicamente a que no se los había detectado (lo que no significa que no hubieran existido). El problema para esa época, como para tantas otras incluyendo a nuestro presente, era que no existía el “modelo” y tampoco el detector adecuado para estos fenómenos. Recién casi 200 años después, en 1860, Maxwell desarrolla el modelo que predice la existencia de estos fenómenos electromagnéticos, y es entonces cuando podemos decir que se “crean” las ondas electromagnéticas como modelo de explicación de la naturaleza. Esto fue lo que posibilitó Maxwell, y esa capacidad de imaginar algo nuevo es lo que permitió, en este caso, el desarrollo posterior de la tecnología a partir de la cual se construyó, poco más de veinte años después, el detector específico (y un sinnúmero de aplicaciones que aún hoy utilizamos). Debemos resaltar cómo la capacidad de imaginar algo nuevo se puede convertir en el germen de un cambio profundo en el mundo en uno o dos siglos al futuro. Y esto nos retrotrae a una reflexión válida para todos los campos de la vida pero esencial para el quehacer científico: debemos ser lo suficientemente humildes y abiertos como para permitir las necesarias innovaciones y “mutaciones” en el conjunto de conocimientos que consideramos “estable y confiable”, sabiendo que por ser el conocimiento un producto propio de la cultura a la que pertenecemos, tiempo después cuando otra sea la forma de ver el mundo, habrá seguramente un conjunto de conocimientos (teorías, técnicas, etc.) que será dado por válido, descartando quizás lo actual. Como contundente ejemplo, hacia la segunda mitad del siglo XIX buena parte de la comunidad científica consideraba que los principios fundamentales de la Física estaban ya definidos, y que en el futuro sólo se deberían abocar a su aplicación sistemática en otros campos y a aumentar la precisión de las medidas. Este “brote de soberbia”, todo un hito en la Historia de la Ciencia, ocurría cuando, por debajo de la superficie aceptada del conocimiento científico en vigencia, se estaban gestando las ondas electromagnéticas (Maxwell, Hertz), los Rayos X (Roentgen, Curie), la Cuántica (Planck, Bohr), la Relatividad (Lorentz, Einstein), desarrollos que luego, a partir del 1900, cambiarían para siempre la visión que la Humanidad tiene de la Naturaleza, y la forma en que vivimos. Quizás en el futuro mucho de lo inexplicable de hoy día se transforme en algo habitual, con un nuevo modelo o forma de pensar que brinde explicaciones satisfactorias. Por esto, lo fundamental es no restringir la potencialidad del futuro a partir de afirmar hoy que si no detectamos algo es porque no hay nada que detectar (no existe porque no lo podemos detectar). El futuro siempre está abierto, y nuestra función, en particular desde la Universidad, es imaginar el futuro y trabajar en función de lo que podremos algún día desarrollar, aunque hoy no sea evidente su existencia.

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El proceso de medición para determinar el campo eléctrico Como ya fuera expuesto en apartados anteriores, la Física actual establece que hay cuatro grandes interacciones fundamentales, dos interiores al núcleo y dos macroscópicas: la electromagnética y la gravitatoria. En Física II trabajaremos exclusivamente con los campos macroscópicos, y en especial estudiaremos particularmente el campo Electromagnético.34 Sintetizando lo desarrollado antes, recordemos que la trama básica del universo es espacio-tiempo (universo significa “el todo”, y todo lo que existe está contenido en el espacio-tiempo), llamando al Espacio-Tiempo sin Materia el “Vacío”. Los Campos son un ente diferente, no son Materia ni tampoco Espacio-Tiempo, aunque son originados por y dependen de estos.35 Realicemos nuevamente la experiencia de detección de cambios en las propiedades originales de nuestro pequeño universo que es el aula, teniendo en cuenta que para nosotros lo que rige es el marco teórico de las leyes de Newton. Ponemos un pedazo de materia en el espacio y, a menos que una fuerza la obligue, no debería cambiar su estado de movimiento. Tomamos un detector que tiene que ver con el tipo de fenómeno a estudiar, en este caso eléctrico, lo dejamos en una posición y si ésta no cambia significa que no hay fuerzas netas sobre él (podría ocurrir que quizás hubiera una gran cantidad de fuerzas actuando y su suma fuera cero, pero si en distintas posiciones sucede lo mismo decimos que no hay fuerzas). Así, en esta porción de universo sólo están presentes las propiedades euclídeas del Espacio-Tiempo. Luego de frotar la barra con el pelo, si ahora ubicamos el detector en los mismos puntos que antes vemos que algo ha cambiado, que se ejerce sobre la partícula una acción que la obliga a cambiar su estado de movimiento: una fuerza, según Newton. Podemos afirmar que esa fuerza es de origen eléctrico porque surge luego de realizar un proceso de tipo eléctrico sobre la barra.

34 Si bien no es tema del curso estudiar los campos gravitatorios, es interesante analizar en conjunto algunas

características análogas entre los campos electromagnéticos y gravitatorios, teniendo en cuenta que las mismas permiten que su definición matemática y el posterior tratamiento analítico y gráfico sean muy similares.

35 Estrictamente hablando, decir vacío absoluto implicaría no sólo no tener materia sino que tampoco deberían existir

campos en esa región del espacio-tiempo; en nuestro universo real, más allá de un experimento mental, ese vacío sin campos es imposible, en especial debido a la “omnipresencia” de la gravedad.


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q

t)z,y,(x,Ft)z,y,(x,E

q

q

t)z,y,(x,Flimt)z,y,(x,E

q

0q

Deberíamos repetir el proceso descrito una gran cantidad de veces a fin de encontrar, si es que existe, alguna regularidad, y expresar luego esa regularidad en forma analítica: las fórmulas matemáticas serían la síntesis de esas regularidades. Para ello lo primero que hacemos es poner un sistema de referencia (R3), por ejemplo en uno de los vértices del aula, y con el detector iniciaremos un relevamiento del campo que produjo la barra que hemos frotado, midiendo la fuerza36 sobre él en cada posición e instante. Cuando hayamos logrado relevar todos los puntos del aula podremos decir que conocemos el conjunto de interacciones del campo existente en esta región con este detector; por supuesto que si cambiáramos de detector deberíamos realizar un nuevo conjunto de mediciones, ya que las interacciones dependen del detector (y del campo, pero en este caso el mismo no se modifica). Debemos hacer algo para eliminar la dependencia que el conjunto de mediciones tiene con el detector utilizado, ya que de lo contrario distintos observadores equipados con distintos detectores obtendrían distintos resultados de sus respectivos procesos de medición y podrían concluir que están observando distintos campos, siendo que el campo bajo análisis es único. La manera de independizarse del detector es definir otra magnitud que surge de dividir las fuerzas medidas (resultado de la interacción) por la característica eléctrica del detector, este resultado será coincidente para los distintos observadores equipados con diferentes detectores. El cociente a realizar es dividir cada vector fuerza medido por la carga eléctrica utilizada como detector. Este valor es lo que llamaremos el “campo eléctrico” en ese punto.

Definición general (operacional)

de “Campo Eléctrico”

Ésta es una “definición operacional”, operacional porque indica de qué manera debemos proceder para determinar el campo eléctrico en una región del espacio-tiempo. Esta forma de definir el campo eléctrico nos da un conjunto de valores con los cuales describiremos la perturbación que el generador ha producido en el espacio-tiempo, perturbación que denominamos Campo Eléctrico. Es importante tener en cuenta que el detector que utilicemos para relevar el campo eléctrico no debe modificar sustancialmente la perturbación que queremos detectar: el detector es en sí mismo una carga eléctrica que genera su propia perturbación, su propio campo eléctrico. Por esta razón, la carga del detector debe ser lo más pequeña posible, o al menos debemos poder considerarla despreciable con respecto a la carga del generador de la perturbación. El detector debe permitirnos medir, pero debe pasar desapercibido. De acuerdo con lo anterior, podemos mejorar la definición de E expresando en forma matemática que la carga del detector será lo más pequeña posible, casi cero:

36 Seguramente, deberemos contar con un “mini dinamómetro”, muy preciso, para que podamos determinar en cada

punto e instante la dirección, sentido y módulo de la fuerza que obliga al detector a cambiar su estado de movimiento; imaginemos entonces que es esto es posible y que contamos con él.

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Vale aclarar que la fórmula anterior es una forma matemática de expresar que el detector debe ser insignificante; sin embargo, debido a la cuantización de la carga, no es posible obtener un detector más pequeño que la carga de un electrón, lo que se puede expresar como:

q

t)z,y,(x,Flimt)z,y,(x,E

q

eq

37

Un comentario sobre el modelo de Materia y su comportamiento en el Universo La materia en su estado natural es eléctricamente neutra, pero si le hacemos algún proceso (el trabajo mecánico al frotar un cuerpo contra otro) pondremos de manifiesto su característica eléctrica, lo que llamaremos “carga en exceso”; no sucede lo mismo con la masa que al tener un solo signo siempre se manifiesta (es “gravitatoriamente no neutra”), independientemente de si le hacemos o no algo. Esto está de acuerdo con nuestro modelo básico de materia, el átomo de Bohr, eléctricamente neutro con dos cargas iguales y opuestas (en el caso del modelo original de Bohr para el Hidrógeno).38 Si en una región del espacio-tiempo ubicamos un electrón, podremos detectar un campo eléctrico debido a su carga y un campo gravitatorio debido a su masa; si muy cercano a éste agrego un protón vemos que la perturbación “campo eléctrico” desaparece rápidamente a medida que nos alejamos del par electrón-protón, ya que el total de la materia presente es eléctricamente neutra, no así con la perturbación “campo gravitatorio” que será de aproximadamente el doble del que existía cuando había una sola partícula.

37 De la misma manera podríamos relevar el campo gravitatorio existente en el Laboratorio considerando como

“generador” de la perturbación al planeta Tierra. Para ello tomaríamos como detector una pequeña masa y relevaríamos las interacciones en todos los puntos (x,y,z,t) y para eliminar la influencia del detector dividiríamos los resultados por la masa del mismo. Así podemos definir:

m

t)z,y,(x,Flimt)z,y,(x,g

grav

0m

38 A nivel astronómico, imaginemos por ejemplo un planeta y analicemos los campos que éste produce en algún punto

lejano del espacio que lo rodea. La materia que forma el planeta está constituida por átomos, los que están a su vez formados por núcleos con cierta masa (la de los protones y las de los neutrones) y con cierta carga (sólo la + de los protones), y por los muchos electrones que rodean a los núcleos, cada electrón con su masa y su carga (-). Visto el planeta desde el punto en el espacio donde queremos calcular los campos que produce, como la materia está organizada por átomos con igual cantidad de cargas positivas que negativas todo el planeta aparece, a lo lejos, como neutro eléctricamente (es decir, con una carga eléctrica neta igual a cero). Por esta razón, no producirá ningún tipo de campo eléctrico. Sin embargo, y por no existir dos “signos” de masa gravitatoria, cada electrón, cada protón y cada neutrón que forman el planeta contribuirá con sus campos de baja intensidad a que, en definitiva, en el punto del espacio en cuestión el resultado sea, por sumatoria de cada una de esas contribuciones, un gran campo gravitatorio. Así, es posible decir que en el universo, a gran escala, es la gravedad la interacción fundamental, a pesar de que la materia también esté constituida por cargas eléctricas que producen campos eléctricos muy intensos. No existe entonces posibilidad alguna de lograr “masa gravitatoria neutra”, ni en pequeña ni en gran escala, y es por esta razón que no existe lugar en el universo en el que no haya campo gravitatorio y, por consiguiente, ante la presencia de una masa cualquiera (un hombre, una piedra, un cometa, etc.) las fuerzas de origen gravitatorio se harán presentes sin excepción.


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El problema de las definiciones operacionales en Ciencias Naturales En Física, como en las Ciencias Naturales en general, las definiciones operacionales son muy comunes (por ejemplo, cuando definimos que la longitud es aquello que se determina con un metro); este tipo de definiciones sirve para algunas necesidades pero no es muy útil para otras. Las definiciones operacionales sirven en general para dar la primera definición del tema en estudio, en nuestro caso del campo eléctrico: según nuestra definición general, el campo eléctrico tiene que ver con fuerzas de origen eléctrico sobre porciones de materia con carga en exceso usadas como detectores. Por otra parte, este tipo de definiciones es también útil para determinar en qué unidades se medirá la nueva magnitud; en el caso del campo eléctrico, las unidades estarán relacionadas con el cociente entre las unidades de fuerza y las unidades de carga, es decir N/C. El problema se presenta cuando queremos realmente medir un campo eléctrico usando la definición operacional; más que un problema, es una imposibilidad. Con un simple ejemplo veamos los inconvenientes que esto trae. Supongamos que queremos medir el campo eléctrico que genera la barra cilíndrica que utilizamos habitualmente en nuestro pequeño universo del Laboratorio. Deberemos elegir una cierta posición espacial y temporal (x,y,z,t), medir allí la fuerza sobre el detector (disponiendo de un muy pequeñito dinamómetro, u otro dispositivo para medir fuerzas, en módulo, dirección y sentido), dividir esta fuerza por la carga del detector, y recién entonces tendríamos el valor del campo eléctrico asociado a ese punto en particular, y así sucesivamente para todos los puntos de nuestro universo restringido, volcando los datos obtenidos en una tabla como la siguiente:

Datos del relevamiento de Campo Eléctrico en el Laboratorio de Física

Observador: Detector (q):

posición fuerza eléctrica (F) campo eléctrico (E)

x y z t dirección sentido módulo F/q

Veamos cuántos valores deberíamos obtener para considerar relevado el campo eléctrico en este recorte de universo que es nuestro Laboratorio de Física. Si las dimensiones del aula son aproximadamente 7m x 6m x 3m, y queremos tener un valor de E cada 10 cm, tendría que medir en unas 60 x 70 x 30 = 126.000 ternas de posición los valores de fuerza (vectorialmente) y luego obtener esa cantidad de valores de campo eléctrico. Si conformáramos a este fin un equipo de trabajo suficientemente rápido, quizás podríamos tomar una medición cada 10 s, con lo cual relevar el campo eléctrico en el aula nos llevaría unas 350 horas,

lo que equivale aproximadamente a unos 14,6 días (10 s 126000 60 s/m 60 m/h 24 h/d). Más allá de los inconvenientes que esto trae, hay un importante aspecto a tener en cuenta y es que deberíamos suponer que en esos casi 15 días nada ha cambiado durante el proceso que requiere la definición operacional. Es decir, deberíamos relevar los valores de E instante a instante, sin interrupciones (sin cansarnos, ni ir al baño, ni equivocarnos, etc.), valores que tampoco se deberían ver afectados por cambios ambientales (humedad, temperatura, movimiento del aire, etc.) o cualquier otro que modifique mi sistema o el entorno (secuencia de día y noche, etc.).

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Si así y todo esto funcionara perfectamente, estaríamos determinando sólo el conjunto de valores del campo eléctrico para el instante inicial de esos 15 días (aun suponiendo que la configuración de campo no se altera en este período, sería muy improbable que dentro de seis meses todo siguiera estable en el mismo estado). Es decir, hubiéramos obtenido finalmente, luego de tanto esfuerzo, una descripción “gruesa” del campo eléctrico: sus valores en los vértices de cubitos de 10 cm de lado, sólo en el interior del aula, y de una particular distribución de carga (la barrita). Si quisiéramos relevar el campo para fines biológicos, por ejemplo, para conocer qué tipo de influencia tiene este campo sobre una hormiga, la grilla de puntos a relevar debería ser mucho más “fina”, miles de puntos más a relevar espacialmente, días más en lo temporal, y así sucesivamente. Este simple ejemplo nos muestra que la definición operacional no nos sirve para medir campos eléctricos concretos, ya que en el espacio tridimensional abierto, no restringido, de una situación en tiempo real, el proceso de medición sería imposible de llevar adelante de acuerdo con lo que propone este tipo de definición. Nos plantearemos ahora cómo se podrá determinar un campo eléctrico generado por alguna distribución de cargas en el mundo natural, sin pasar por la definición operacional. Habrá que ingeniarse algún método que posibilite, partiendo de las propiedades esenciales del Espacio-Tiempo y de la Materia, poner en evidencia ciertas regularidades que nos permitan hacer algunas simplificaciones, para así obtener en forma analítica el conjunto de valores del campo eléctrico. El estado de movimiento de la carga eléctrica y los campos que genera En el ejemplo anterior, supusimos que la carga generadora se mantuvo fija con respecto al sistema de referencia, sin ninguna alteración, durante todo el proceso imaginario de medición. Es buen momento éste, entonces, para recordar que nos encontramos desarrollando la Electrostática: el estudio de los campos eléctricos generados por cargas estáticas con respecto a un sistema de referencia dado. Más adelante estudiaremos otros campos generados por cargas eléctricas que, en vez de estar en reposo con respecto al sistema de referencia espacio-temporal, se mueven: si lo hacen con velocidad constante, generarán campos magnéticos que no varían en el tiempo (magnetostáticos) y si se mueven con velocidad variable, aceleradas, generarán campos electromagnéticos (luz).

Esquema que muestra los distintos tipos de perturbaciones del Espacio-Tiempo (campos), generadas por cargas eléctricas según sus diferentes estados de movimiento.


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La Teoría de Conjuntos y la definición del Campo Eléctrico Si miramos la tabla de valores del ejemplo anterior podemos afirmar que lo que hemos obtenido es

un conjunto de datos, los cuales describen el campo E

. Los conjuntos se pueden definir de dos maneras: por “extensión” (dando explícitamente cada uno de los elementos que lo forman, nombrándolos, como en nuestra tabla), y por “comprensión” (dando una propiedad o una condición que todos los elementos de ese conjunto satisfacen, sin necesidad de nombrarlos uno por uno).

La definición operacional nos da los valores de E

por extensión, y es por ello que no es practicable en el mundo real, dada la naturaleza “finita no numerable” de las cosas, procesos, etc., del mundo físico, no matemático (en la realidad, si bien no existen infinitos objetos, infinitos valores de algo, etc., de todos modos nunca jamás será posible enumerarlos a todos ellos).39 La otra forma de dar un conjunto es por comprensión, que está relacionada con ciertas condiciones que se deben cumplir, lo que se expresa como {x/x es un elemento que cumple con la propiedad tal….}. Esto hace que la definición por comprensión del campo eléctrico sea propia de cada campo en particular bajo estudio, el cual habrá sido generado por una determinada distribución de carga. No será la misma la definición por comprensión para el campo generado por una barra cargada que para una esfera cargada, sin embargo la definición operacional, la general, es la misma para ambos casos. La definición por comprensión será, entonces, propia y única, para cada generador que exista. Por supuesto que la definición por comprensión a-priori no la conocemos, como sí conocemos la definición operacional, por lo que deberemos buscar una manera que nos permita pasar de la definición por extensión (surgida de la operacional) a la definición por comprensión; sin embargo, lo único de que disponemos para relevar realmente el campo eléctrico es la definición operacional. Aunque resulte paradójico, se trata de buscar una forma de describir el campo eléctrico que no nos obligue a ir a medir punto por punto del espacio y en cada instante de tiempo, pero que sea igualmente rigurosa que si fuéramos a medir en cada posición realmente. Así, deberemos inventarnos una “estrategia” para que, partiendo de la definición operacional y haciendo uso de las propiedades del Espacio, del Tiempo, de la Materia y haciendo uso también del Principio de Superposición, poner en evidencia qué propiedad comparten todos los elementos de este conjunto campo eléctrico particular, y entonces hallar una cierta regularidad que nos permita encontrar una expresión por comprensión del conjunto de valores, lo que habitualmente denominamos una fórmula (considerada ésta como una expresión de síntesis matemática de la regularidad física). Este proceso que estamos buscando, esta “estrategia”, es lo que llamaremos Ley de Coulomb.

39 En Epistemología, en especial de la Física, a esta imposibilidad se la denomina “el problema de la Inducción”, ya que

en los primeros tiempos de la ciencia tal como la conocemos hoy, allá por los siglos XVII, XVIII y XIX, se consideraba que el “método inductivo” (juntar datos y más datos y regularidades de algo bajo estudio) nos daba la “seguridad” de generalizar lo que se fuera concluyendo a todo el universo; el problema radica, justamente, en que por ser éste finito no numerable jamás podremos tener la certeza de que no habrá un caso particular que contradiga nuestras conclusiones y que, por consiguiente, haga falsa aquella generalización.

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CHARLES-AUGUSTIN de COULOMB

Charles Coulomb nació en Angoulême, Francia, en 1736, y falleció el 23 de agosto de 1806 en París. Coulomb fue educado en el Collège Mazarin, donde estudió lengua, literatura, filosofía, matemática, astronomía, química y botánica. En 1757 se unió a la Sociedad de Ciencias de Montpellier, escribiendo sobre matemática y astronomía. Se graduó en 1761 en la École du Génie en Mézieres como ingeniero militar con el grado de primer teniente, y cumplió servicio en distintos frentes durante veinte años en tareas de ingeniería (diseño de fortificaciones, mecánica de suelos, etc.), lo que afectó su salud gravemente. En 1777 Coulomb compartió el Primer Premio de la Academia por su artículo sobre las brújulas magnéticas y en 1781 el Gran Premio por su clásico trabajo “Teoría de las máquinas simples” acerca de la fricción, un estudio fundamental en el que establece que la fuerza de rozamiento es proporcional a la normal a la superficie. Designado asesor de la Academia de Ciencias, presentó en los veinticinco años siguientes numerosos artículos sobre mecánica estructural, ergonomía, ingeniería y proyectos civiles, torsión, tratamiento de aguas, y sus más famosos trabajos sobre electricidad y magnetismo. Luego de la Revolución Francesa de 1789, Coulomb retoma su trabajo hasta el final de su vida como presidente del nuevo Instituto de Francia, comprometiéndose además con la educación pública, siendo su Inspector General y promoviendo la creación de los Liceos. Los mayores aportes de Coulomb al campo de la Física fueron en electrostática y en magnetismo, utilizando en estos desarrollos la balanza de torsión de gran precisión desarrollada por él mismo. Apoyado en la visión newtoniana de fuerzas a distancia y considerando que pequeñas porciones de materia podían ser consideradas espacialmente puntuales (también una consecuencia del trabajo de Newton), y a partir de los estudios de Joseph Priestley, Coulomb establece experimentalmente que la fuerza de atracción/repulsión entre cargas eléctricas es proporcional al valor de las mismas, y a la inversa del cuadrado de la distancia que las separa. Similar tratamiento realizó para estimar la intensidad de los polos magnéticos (desarrollando la primera brújula de suspensión por torsión), y para estudiar las características de las distribuciones de cargas eléctricas en conductores y no conductores, llegando a la conclusión de que no existen no conductores perfectos (ya que pasado cierto límite todo cuerpo conduce la electricidad), y que la densidad de carga en los conductores está relacionada con la curvatura de su superficie (creando el “plano de prueba” electrostático). Coulomb articuló y extendió la teoría newtoniana de las fuerzas a la electricidad y al magnetismo, para lo cual fue fundamental su balanza de torsión (utilizada por Cavendish en 1798 para medir con gran precisión la fuerza gravitatoria entre dos masas). Se llegó así por primera vez a expresar en forma matemática una trascendental regularidad física: la atracción/repulsión entre cargas puntuales (por fuerzas eléctricas, la Ley de Coulomb) tiene idéntica forma matemática que la atracción entre dos masas puntuales (por gravedad, la Ley de Gravitación Universal de Newton).40

40 Esto brindó también una “prueba” favorable para quienes consideraban que las fuerzas newtonianas de acción a

distancia podían explicar los fenómenos eléctricos y magnéticos, en contraposición a quienes estaban a favor de la explicación inspirada en los “vórtices” de Descartes, mediadores microscópicos que llenaban todo el universo, visión que finalmente derivaría en lo que hoy denominamos “campo”, y que tendría su época de “gloria” con Maxwell.


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La búsqueda de las regularidades en Física Dada una distribución de cargas vamos a aplicar la definición operacional, que es la única de que disponemos, a un conjunto reducido del universo, un subconjunto, en el que estamos trabajando. Luego, analizaremos el conjunto de valores obtenido en este proceso buscando ciertas regularidades, y cuando las encontremos podremos expresar el campo de una manera “compacta”, “simbólica” (lo que llamamos habitualmente una “ecuación”).41 Para lograr esto restringiremos el Espacio: trabajando en un pequeño volumen, el Tiempo: durante un intervalo pequeño; y la Materia: con cargas generadoras y de prueba lo más pequeñas posible. Luego, aplicaremos a este conjunto restringido la definición operacional, obtendremos la regularidad buscada y, quitando las restricciones, generalizaremos lo obtenido a todo el Espacio, a todo el Tiempo y para cualquier porción de Materia, es decir: para todo el Universo; una definición por comprensión del campo eléctrico de validez universal.42 En resumen este es el proceso que siempre se ha seguido en las Ciencias Naturales (al menos desde Galileo): se analiza un fenómeno, se lo estudia y se realizan mediciones por mucho tiempo, hasta que en algún momento se encuentran las regularidades que permiten expresar lo que tenemos bajo estudio mediante una “fórmula”.43 Es importante destacar que la regularidad surge luego de un proceso de medición: nunca surge una expresión matemática sin contrastación con la realidad; por esto es necesario medir, sistemáticamente y por largo plazo, para poder tener una gran cantidad de datos a partir de los cuales uno pueda “inventar” la regularidad buscada.44

41 Una vez conocida, determinada, la definición por comprensión de un fenómeno, es bastante improbable que uno

vuelva a la definición por extensión, aunque ésta siempre será útil para definir el fenómeno, para cotejar algunos aspectos puntuales y para establecer las unidades en que se medirá la magnitud que hayamos definido.

42 Todas las Ciencias Naturales tienen lo que podemos denominar como “pretensión de universalidad”. Las

regularidades que estas ciencias van obteniendo, tanto las más generales como las Teorías (Relatividad, Evolución, etc.) como las leyes (de Newton, de la Termodinámica, etc.) se consideran que valen para todo el Universo y para todo Tiempo, sin restricción alguna. Si esta pretensión no existiera, sólo podríamos asegurar lo que se ha medido en concreto en un espacio y tiempo reducido. Y esto vale para lo esencial de las Ciencias Sociales también: los seres humanos somos todos iguales entre nosotros, lo que establece un principio fundamental de no discriminación, el cual lamentablemente no siempre se satisface.

43 Tanto es así, que en muchos casos ha sido necesario hasta inventar parte de las herramientas matemáticas para lograr

expresar esas regularidades, tal como sucedió por ejemplo con el Cálculo desarrollado por Newton al estudiar la Teoría de la Luna.

44 La excepción a esto es cuando alguien postula una propiedad física o una expresión matemática que debería describir

parte del mundo físico. Cuando esto ocurre, el proceso sistemático de medición ocurre a posteriori con el fin de contrastar la recién creada teoría con la realidad, tal como sucedió, por ejemplo, con parte de la Teoría de la Relatividad o con las ondas electromagnéticas previstas por las Leyes de Maxwell.

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El trabajo de Coulomb Charles Augustin de Coulomb, en la segunda mitad del siglo XVIII, resuelve en forma experimental el problema que hemos planteado en el apartado anterior: cómo, a partir de la definición operacional de campo eléctrico, encontrar una formulación simbólica, una ecuación matemática, que describa completamente el campo eléctrico que genera una particular distribución de carga.45 Coulomb trabajó tratando de encontrar una expresión analítica para la interacción entre cargas eléctricas; las interacciones en aquella época tenían como referencia teórica a la concepción newtoniana clásica: la de fuerzas instantáneas a distancia entre las dos partículas. Es decir, no sólo que la idea de campo eléctrico no era propia de Coulomb, sino que para él las fuerzas actuaban entre las cargas y no entre una carga y el mediador que es para nosotros el campo. La experiencia que realiza Coulomb, entonces, fue diseñada pensando en la fuerza que dos cargas eléctricas se ejercen mutuamente, en una cierta región del espacio. En primer lugar, se restringe el universo a un volumen pequeño, el del interior de la “Balanza de torsión de Coulomb”: un pequeño cilindro de unos 50 cm de altura y unos 30 cm de diámetro en su base, cerrado de modo tal que las corrientes de aire, la humedad, etc., perturbaran lo menos posible la experiencia. Coulomb estudia de qué manera dos cargas, lo más pequeñas posible y separadas una cierta distancia, en un volumen restringido de universo, se ejercen mutuamente fuerzas de tipo eléctrico, midiendo indirectamente la intensidad de estas fuerzas a través de la torsión de un hilo. En el extremo inferior del hilo se coloca una barra con dos esferitas, una para ser cargada con una carga q y la segunda servía como contrapeso (de modo de asegurar que la barra fuera siempre perpendicular al hilo). Una barra vertical lleva una tercer esferita, cargada con una carga q’, que se introduce por un agujero en la parte superior del cilindro. Ambas esferitas se cargan por conducción mediante una máquina electrostática, pudiéndose variar tanto la cantidad como el signo de la carga que tendrá cada una. La carga q’ está fija a la barrita que se introduce en forma vertical por el agujero superior, y la carga q puede moverse, rotando en un plano junto con la barrita que cuelga del hilo. Cuando las cargas son de igual signo se repelen y cuando son de signo contrario se atraen, torsionando entonces el hilo que sostiene la barrita horizontal en uno u otro sentido.

45 Recordemos que al trabajar con los contenidos conceptuales de un desarrollo didáctico como el propio de una

cátedra como Física II (y lo mismo vale para muchas otras cátedras), presentamos los descubrimientos, experiencias, desarrollos, etc., “forzando” una secuencia que en general no es respetuosa del devenir histórico. En el caso de Coulomb, él no planteó su trabajo pensando en una estructura de Espacio-Tiempo-Materia, etc., tal como lo haremos nosotros, sino que sus desarrollos experimentales y teóricos fueron realizados con la estructura de pensamiento y modelos físicos de la época, es decir, con su propia visión de mundo y no con la nuestra. La forma de presentar el tema que tenemos hoy, nuestro discurso en particular, responde a cómo vemos el mundo hoy y no necesariamente coincide, ni siquiera en parte, con la forma en que se hablaba, escribía y pensaba hace más de 200 años.


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La experiencia se realiza buscando mantener constante la distancia entre ambas esferitas cargadas; esto se logra girando una perilla graduada unida al hilo, ubicada en el exterior del cilindro. De esta manera, se relaciona el ángulo de torsión del hilo con la fuerza electrostática entre las cargas eléctricas. Recordemos que lo que se busca con esta experiencia es encontrar una regularidad que pueda expresarse mediante una fórmula matemática válida en este subconjunto del universo, para después y a partir de las propiedades del Espacio-Tiempo y de la Materia, proyectarlas y darle validez general. Para esto, fue necesario realizar las siguientes restricciones (consideramos que el Tiempo no se restringe): 1. Del espacio R3 del universo en general, nos quedamos con el sub-espacio R3’ en el volumen del

cilindro (ya que toda región del universo es equivalente a otra, por las propiedades de isotropía y homogeneidad).

2. Luego, dado que la barra que cuelga del hilo y que tiene en sus extremos al contrapeso y a la

esferita que tendrá la carga q, y la esfera que tendrá la carga q’ definen un plano, podemos restringir el sub-espacio R3’ a un plano R2 (todos los planos dentro del sub-espacio serán equivalentes, por las mismas propiedades del Espacio).

3. Finalmente, el diseño de la balanza de torsión es tal que independientemente de qué tanto se

torsione el hilo, siempre se logra que las esferitas sobre las que se ubicarán las cargas q y q’, estarán en una misma línea, buscando con el giro de la perilla que mantengan una distancia constante (todas las líneas dentro del plano serán equivalentes, por las propiedades ya citadas). Así, hemos restringido el espacio tridimensional real a una única dirección R1, sobre la cual analizaremos las regularidades buscadas.

4. Con respecto a la restricción correspondiente a la Materia, se busca que las esferitas que

contienen a las cargas q y q’ sean lo más pequeñas posible (en particular para evitar interferencias “gravitatorias” en las fuerzas a medir), tendiendo entonces a ser lo que llamamos “cargas puntuales” con respecto al volumen de la Balanza.46

Utilizaremos a q como carga “generadora” y a q’ como carga “de prueba” (aunque, como sabemos, esto es arbitrario). La experiencia consiste en introducir distintas cargas q’ y evaluar la interacción mediante la amplitud en la torsión del hilo para mantener la distancia entre ambas cargas constante, generando una tabla con estos datos, luego se varían las q, y así sucesivamente.

46 Esta restricción está basada en que Newton ya había demostrado que cualquier cuerpo, en particular la Tierra, puede

considerarse formado por diminutas porciones de materia, puntuales, sin que por esto pierdan sus propiedades fundamentales; este conglomerado de partículas de masa se utiliza para suponer el mismo principio para un conglomerado de partículas de carga, utilizando que masa y carga, en definitiva, son ambas propiedades esenciales de la Materia.

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Del análisis de las intensidades de estas interacciones surgió la regularidad que indica que la fuerza de interacción es directamente proporcional al producto de las dos cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa:

2r

q'qF

Cuando encontramos una regularidad en algún fenómeno natural, en general se la expresa a través de una relación cualitativa o una proporcionalidad (“…si esto aumenta, aquello disminuye…”, etc.). Sin embargo, para las Ciencias Naturales no es suficiente expresar en forma cualitativa sus resultados (lo que a lo sumo es un buen primer paso) sino que es indispensable cuantificar lo descripto de la naturaleza; es indispensable por esto transformar esa proporcionalidad en una igualdad matemática, para lo cual debe definirse un sistema de unidades en particular. Lo importante es que cuando encontramos tales regularidades físicas, las mismas no dependen del sistema de unidades que utilicemos para expresarlas (de lo contrario, no serían una descripción profunda del universo sino una simple casualidad matemática). Al pasar lo hallado por Coulomb a una relación cuantitativa, la expresión anterior se transformará en una igualdad con la aparición de una constante. La constante tiene varias funciones: en principio, la de homogeneizar las unidades entre ambos miembros de la igualdad; luego, dar ciertas características de la experiencia a partir de la cual se generó la ecuación; por último, y fundamental, la de incorporar ciertas propiedades de la Naturaleza en general, lo que excede a la experiencia particular de la cual surgió la expresión que contiene a la constante. La regularidad encontrada por Coulomb fue trascendental, por dos razones principalmente. En primer lugar, porque era la primera vez que se expresaba en forma cuantitativa y rigurosa la relación de las fuerzas eléctricas entre dos cargas eléctricas, relación que cualitativamente se conocía desde hacía siglos, lo que abrió las puertas a estudios de mayor potencialidad a futuro en el área de la Electricidad y el Magnetismo; en segundo lugar, porque la expresión hallada por Coulomb tenía una forma por completo similar a la encontrada por Newton en su Ley de Gravitación Universal. 47 Es decir, que las dos características fundamentales de la Materia en sus interacciones fundamentales, la masa y la carga eléctrica, tuvieran una estructura matemática idéntica para expresar las regularidades observadas, era un resultado trascendental en cuanto a la fundamentación del modelo de explicación del universo utilizado por la Física.48

47 Henry Cavendish (1731-1810), utilizó una balanza de torsión y un método equivalente para determinar, hacia 1798, la

constante de gravitación universal G de Newton, con resultados tan precisos que fueron superados recién un siglo después. Cavendish realizó en forma independiente y antes que Coulomb la mayoría de sus experimentos, obteniendo resultados equivalentes, aunque sus trabajos se conocieron recién decenas de años después de su muerte.

48 Es muy interesante notar que no hay ninguna teoría general que explique por qué las perturbaciones generadas por la

materia en sus expresiones más sencillas deberían variar con la inversa del cuadrado de la distancia al generador; las teorías existentes han sido construidas a partir de este hecho, pero ninguna explica su razón de ser (si la hubiera) a priori. Quizás algún día podamos comprender si esta regularidad es propia de los seres humanos que hemos construido las teorías para describir lo que vemos, o si la misma podría ser común a otras descripciones del universo, más allá de lo que nosotros percibimos.


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La expresión del campo eléctrico generado por una carga puntual Teniendo en cuenta la definición operacional de campo eléctrico, y dado que en nuestro modelo las interacciones (fuerzas) medidas por Coulomb se interpretan a través del campo, reemplazaremos la expresión anterior:

2r

q'qF

en la definición general

q'

t)z,y,(x,Ft)z,y,(x,E

q

.

Así, llegamos a que el campo eléctrico generado por una carga puntual es: 2r

qE .

Como vemos, la intensidad de la perturbación que produce el generador en una región del espacio-tiempo decae rápidamente, ya que depende de la inversa del cuadrado de la distancia desde la carga al punto de cálculo, por lo que los efectos se notarán más fuertemente en las cercanías del generador y a medida que nos alejamos del mismo los efectos se hacen muy pequeños.49 Para pasar de la relación de proporcionalidad a la expresión cuantitativa de una igualdad matemática, es necesario construir un sistema de unidades e introducir una constante que englobe las características del Espacio-Tiempo y de la Materia.

La forma en la que quedaría la expresión de Coulomb es, entonces: 2r

qkE .

La constante dieléctrica ε En la actualidad, con la utilización del Sistema Internacional, la constante de Coulomb toma la

forma: 04

1k

, siendo 0 (épsilon, sub cero) la “constante dieléctrica”, que tiene en cuenta de

qué manera reacciona la Materia a la influencia de un campo eléctrico externo. Para el caso del vacío, y aproximadamente para el aire, esta constante toma el mínimo valor posible:

2

212

0mN

C108,85

La constante dieléctrica caracteriza a los medios materiales a los fines de cómo interactúan con los campos eléctricos.50

Cada medio material (aire, agua, vidrio, etc.) tiene un valor propio de ε, lo que posibilita entonces

clasificarlos en función del valor de su constante dieléctrica (valores bajos de ε significa que el

material tiene una estructura simple, valores altos significa una organización de materia más

compleja, entendida esta clasificación desde su estructura eléctrica). Así, el ε más bajo corresponde al

vacío, que sería el medio material con menos “materia” que podemos conseguir o imaginar, y luego le sigue con un valor similar o casi igual la constante dieléctrica del aire.

49 Podría darse que, a pesar de que un cierto campo existiera en todo el espacio, la intensidad de su perturbación muy

lejos de la carga generadora fuera tan débil que quizás no podría ser detectada).

50 Más adelante definiremos una constante equivalente, la cual caracterizará a los medios materiales a los fines de cómo

interactúan con los campos magnéticos.

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En la ecuación anterior, la carga q genera una perturbación en el espacio-tiempo que llamamos campo eléctrico: si el espacio esta “lleno” de vacío el campo tiene un cierto valor pero si ese medio material se cambiara por otro (agua, por ejemplo) el valor del campo en esa región cambiaría. Esto, entre otras cosas, se debe a que los distintos medios materiales tienen cargas eléctricas en su estructura interna y éstas interactúan con la perturbación eléctrica cambiando los valores resultantes del campo en su interior. Debe quedar claro que este medio material es en el cual está inmersa la carga generadora, y no la porción de materia que “contiene” o sobre la cual está distribuida la carga generadora; es decir, es el medio material que será perturbado por la influencia de la generadora y no el soporte físico sobre el cual ésta se ubica. En lo que respecta a Física II, a menos que aclaremos lo contrario, trabajaremos estudiando campos eléctricos y sus efectos en un entorno material exclusivamente de vacío. Universalizando a Coulomb Ahora tenemos que universalizar lo que hizo Coulomb, ya que lo que él obtuvo fue en un universo “controlado”, restringiendo las dimensiones desde el espacio tridimensional hasta llegar a analizar exclusivamente las fuerzas en una línea. Para que la ecuación obtenida tenga validez universal, es necesario “desandar el camino” de las restricciones, y volver a interpretar la experiencia en todo el espacio-tiempo y para cualquier porción de materia. Por ser el Espacio isótropo, la línea sobre la cual se obtuvo esa relación podría estar en cualquier dirección dentro del plano que contiene a ambas esferitas cargadas y al contrapeso; por esta razón, la validez de la expresión anterior se extiende a ese plano bidimensional (retornamos así a R2). Asimismo, y también por isotropía del Espacio, este plano podría “pivotear” sobre el punto central del cilindro en cualquier dirección, y la regularidad obtenida también sería válida ahora ya para el volumen tridimensional del interior de la Balanza (retornamos así a R3’, un sub-espacio de R3). Finalmente, y por ser el Espacio homogéneo, el volumen de la Balanza podría estar en cualquier punto del Universo y la regularidad obtenida seguiría siendo válida (así retornamos finalmente a R3) Además, lo realizado por Coulomb tiene validez para cualquier instante de tiempo, por ser éste también isótropo y homogéneo (en un modelo newtoniano clásico). Por consiguiente, y utilizando las propiedades esenciales del Espacio y del Tiempo, es posible afirmar que la expresión del campo eléctrico generado por una carga puntual en el vacío es:

2

0 r

q

4π

1E

La única restricción que esta expresión aún tiene es que sólo vale para porciones de carga que puedan considerarse puntuales con respecto al volumen de espacio en el que estemos trabajando. Por último queda explicitar la naturaleza vectorial de esta expresión, ya que surgió de la experiencia original de medir fuerzas. Para ello, utilizaremos un sistema de coordenadas esférico tridimensional, debido a la simetría de la carga generadora (y a lo ya comentado sobre la isotropía del Espacio).

Finalmente, llegamos a la expresión siguiente: rr

q

4π

1E

2

0

Ley de Coulomb


80

EqF

Gráficamente, el vector Campo

Eléctrico E

se representa aplicado en el punto P (a una distancia r de la carga), el versor aplicado en la carga generadora (origen del sistema de coordenadas), con dirección radial y sentido hacia fuera de la carga, siendo el módulo del vector campo el valor de la expresión anterior, en unidades de N/C. La interacción de una carga con un campo exterior Si ubicamos una carga positiva en el espacio afectado por un campo eléctrico cualquiera, aparecerá sobre ella una cierta fuerza cuya expresión es, a partir de la definición operacional:

Fuerza sobre una carga q en un campo E.

Si q es positiva, el sentido de la fuerza sobre ella será hacia fuera de la carga generadora (habitualmente denominada fuerza de “repulsión”), y si la carga q es negativa, el sentido de la fuerza sobre ella será hacia dentro de la carga generadora (habitualmente denominada fuerza de “atracción”). Es importante resaltar que en la expresión anterior no se especifica qué forma matemática tiene el campo eléctrico con el cual interactúa la carga, sino sólo qué fuerza aparecerá al interactuar con él. La expresión tiene validez general y, por consiguiente, habrá que especificar en cada caso cuál fue la

distribución de cargas que generó el campo E

con el cual está interactuando la carga q, para así conocer su expresión matemática y recién después calcular la fuerza. Los dos grandes problemas de la Física Cuando una ciencia como la Física se aboca a estudiar el universo, es posible identificar dos grandes problemas, los que permiten clasificar prácticamente la totalidad de aspectos del quehacer científico y que además nos brindan la posibilidad de que, desde lo didáctico, comprendamos un poco mejor la estructura interna de esta disciplina (cabe destacar que esto es también común al resto de las demás Ciencias Naturales). Los dos grandes problemas de la Física son: 1) Dadas las distribuciones de Materia (cargas, corrientes, masas, etc.), cómo calcular las

perturbaciones que producen en el Espacio-Tiempo (campos electromagnéticos, campos gravitatorios, luz); y

2) Dado un Campo cualquiera en una cierta región del Espacio-Tiempo (gravitatorio, eléctrico,

magnético, luz), cómo calcular las Interacciones (fuerzas, cambios en los estados de movimiento, variaciones de energía, etc.) que suceden ante la presencia en esa región de una porción de Materia.

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Podríamos decir que los desarrollos más teóricos, de ciencia “básica”, estarían incluidos en el Primer Problema, en el cual el dato a partir del que se parte es la distribución de materia, y que los desarrollos más tecnológicos, de ciencia “aplicada”, estarían incluidos en el Segundo Problema, en el cual el dato es el campo. Sin embargo, en la práctica científica cotidiana y real, ambos problemas están presentes, variando su énfasis según sea la especialidad del caso.

En la experiencia de la Balanza de Coulomb, el problema original fue encontrar una cierta regularidad en las fuerzas que dos cargas se ejercen, lo que en definitiva permitió conocer la perturbación básica que genera una carga puntual. Es decir, partiendo del cálculo de fuerzas (interacciones) llegamos a la determinación de un campo (perturbación) generado por una porción de materia: aunque el énfasis pueda estar puesto en una u otra característica de la experiencia, ambos Problemas de la Física están presentes en esta y en casi todas las situaciones del mundo real. Por esta razón, el esquema propuesto (dos grandes Problemas) para “pensar” la Física, será utilizado durante todo el desarrollo de Física II, aplicado a Electricidad, a Magnetismo, y a Óptica.

EL PRIMER PROBLEMA EN ELECTROSTÁTICA (dada la distribución de carga, calcular los campos que generan) Lo que hasta aquí hemos llamado en forma genérica “carga generadora”, puede tomar distintas formas: desde la simple carga puntual hasta una muy compleja distribución de cargas en una situación real. Para resolver el Primer Problema, entonces, nos referiremos a “distribuciones de carga” como las porciones de materia que generan las perturbaciones en el espacio-tiempo que buscaremos calcular; estas distribuciones de carga serán los datos a partir de los cuales trabajaremos. Dar el dato de una distribución de carga implica, necesariamente, contar con dos características de toda distribución (las cuales no variarán en el tiempo por estar en Electrostática):

cuánta carga (desde un único electrón/protón hasta una gran cantidad); y

cómo está distribuida en el espacio (su geometría espacial).

En Física II sólo trabajaremos con distribuciones cuya geometría es de alta simetría: cargas distribuidas en líneas, cilindros, esferas o planos.51

51 El mismo esquema utilizaremos cuando estudiemos los campos magnéticos producidos por distribuciones de

corriente eléctrica: deberemos dar el dato de cuánta corriente hay perturbando el espacio-tiempo y cuál es su distribución geométrica espacial (y algo similar también haremos con la luz).


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La importancia de las simetrías en la modelización en Física En la geometría de la distribución de carga aparece el concepto de Simetría, uno de los cinco conceptos en base a los cuales hemos organizado Física II. La importancia de las simetrías en la Física y en la Matemática es muy amplia; en nuestro caso sólo trabajaremos con simetrías espaciales. ¿Por qué las simetrías espaciales son importantes? Por dos cuestiones básicamente. Una, porque facilitan mucho la resolución analítica de las situaciones bajo estudio: nosotros vamos a resolver “rigurosamente” integrales y demás, pero “metodológicamente” lo vamos a hacer de una manera muy sencilla, distinta de cómo se resuelven procedimentalmente en Análisis Matemático, aunque sin perder rigor. Es decir, al tener alta simetría espacial hay cosas que “se resuelven solas”, se cancelan ciertas partes, o se pueden “bajar dimensiones”, etc., finalizando el proceso de cálculo en la resolución de integrales simples, numéricamente sencillas (aunque en el fondo, estemos haciendo las mismas integrales que fueron aprendidas en el Análisis). La otra razón por la que es muy importante trabajar con las simetrías espaciales (plana, axial y central), es porque son las tres simetrías más sencillas que permiten hacer modelos de prácticamente todas las situaciones reales bajo estudio.52 Por ejemplo, es muy difícil estudiar cómo se cargó electrostáticamente un pino al frotarse con el aire del viento seco de la Patagonia, y luego cuantificar las interacciones electrostáticas con los insectos, con los granos de polen, etc. Es casi imposible representar fielmente una forma natural, sin modelizarla en forma simplificada, porque además si “acertamos” a copiar un pino, un “individuo” único, luego el otro pino que está a su lado será distinto, y así sucesivamente, sin resolver el problema genérico original. Lo que se hace en Física, entonces, al igual que en el resto de las Ciencias Naturales, es representar al pino con partes geométricas de alta simetría: el tronco con un cilindro, la base de la copa con un plano, y con un conjunto de esferas de distintos radios, entre el ápice y la base, representamos la copa. Consideramos luego que cada una de estas partes tiene una cierta distribución de carga (cilíndrica, plana, esférica), calculamos el campo eléctrico que cada una genera en un cierto punto (por ejemplo, en donde se ubica una abeja que busca polen), las sumamos apelando al Principio de Superposición (debido a la linealidad del modelo de Universo que hemos adoptado) y obtenemos el campo eléctrico total en el punto. ¿Qué tenemos que hacer luego para corroborar que realmente ese valor del campo es acorde con lo que le está produciendo ese pino a la abeja que se acerca? Deberemos ir a la posición espacial para la cual se realizó el cálculo, y medir si realmente lo que estamos percibiendo en cuanto a módulo, dirección, sentido, etc., del campo eléctrico, coincide dentro de los rangos experimentales tolerados con lo que el modelo de cilindro, plano y esferitas predice (esto es contrastar modelo y realidad). Si el error (la diferencia entre lo predicho por el modelo y el resultado de la medición) está dentro de una tolerancia que nos satisface, entonces aceptamos el modelo construido y a partir de ahí se lo puede extrapolar al resto de los pinos (todos los pinos serán un cilindro, un plano y muchas esferas de distintos radios). Si, por el contrario, el error es muy “grosero”, tendremos que ajustar el modelo suponiendo, por ejemplo, que el tronco es cónico y representándolo entonces por tres cilindros de radio decreciente, y así sucesivamente hasta estar “satisfechos”.

52 En la Tecnología, la simetría espacial permite la fabricación en serie de dispositivos a partir de un único diseño. En la

Biología, la simetría espacial pareciera ser un factor fundamental en el proceso de selección natural: una mariposa asimétrica volaría en forma imperfecta y sería fácil presa de sus predadores, no quedando sus genes en las próximas generaciones de la especie. En la atracción sexual entre humanos, pareciera ser que la simetría de las facciones y del cuerpo como un todo es, inconscientemente, un fuerte factor de selección y de sensación de belleza y sex-appeal.

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Cualquier otra figura que podamos imaginar, una persona, un animal, un auto, un planeta, puede ser modelizada por secuencias, tan complejas como se quiera, de planos, cilindros y esferas. En general, es lo que se hace en todas las disciplinas científicas: se toman formas elementales, que se conocen muy bien, y luego se les modifica la carga, se las rota, se les cambia el tamaño, se las traslada, etc., para luego, por el Principio de Superposición, representar y estudiar cualquier otra forma, por sumatorias o integrales, por compleja que sea. En Física II nos vamos a abocar a estudiar muy bien qué campo eléctrico producen estas tres formas de simetría básica: planos, cilindros y esferas (lo mismo haremos para las distribuciones de corriente eléctrica y para las fuentes emisoras de luz y sus respectivas perturbaciones e interacciones). Ahora bien, según sea el caso, una simetría plana elemental podrá utilizarse para representar un plano infinito o un planito de sección circular o rectangular; una recta matemática, para representar una línea única o un cilindro grueso, o para representar un cilindro dentro de otro, macizos o huecos, etc.; y las esferas podrán a su vez ser de radio infinito, o tan grandes como del radio de la Tierra, o tan pequeñas como la esferita que usó Coulomb, y también podrán ser una esfera dentro de otra, macizas o huecas, etc. Es decir, jugar con estas tres formas no implica dejar de trabajar con las tres simetrías espaciales básicas, lo que nos permite estudiar y resolver una variedad muy importante de casos, sin perder la simplicidad matemática tan necesaria en el nivel académico de Física II. 53 Los distintos tipos de distribuciones de carga eléctrica En este momento debemos recordar que en realidad la única distribución de carga de la cual podemos calcular el campo eléctrico que la misma genera es la más simple de todas: la carga puntual, de simetría esférica o central, cuyo campo es expresado por la Ley de Coulomb. No tenemos aún ninguna posibilidad de dar el campo eléctrico de otra distribución de carga que no sea aplicando la definición operacional, que ya sabemos que no es viable en la práctica real. Ahora bien, ¿una carga puntual es únicamente un protón o un electrón, o podrían haber otras cargas posibles de ser consideradas puntuales? ¿Cuándo algo es puntual y cuándo no lo es? ¿Hay algo absoluto que determine que algo es puntual o no? Afortunadamente, no hay ningún criterio absoluto que determine que una distribución de carga sea puntual o no, no hay nada en sí mismo que determine que un objeto o que una distribución de objetos sea puntual o no. Puntual o no puntual es relativo a la dimensión espacial que tenga esa distribución de carga con respecto a la región del espacio en la cual va a generar su efecto. Por ejemplo, si quisiéramos calcular qué perturbación genera la carga que hay sobre la superficie de un automóvil cargado electrostáticamente por haberse frotado contra el aire en el camino a la Universidad, desde la perspectiva de la mano que tocará la manija de la puerta (y que recibirá la “patada”) el auto no podría ser considerado puntual, y deberíamos modelizarlo a partir de varias superficies extensas cargadas, para las cuales aún no conocemos cómo calcular el campo que generan.

53 Cabe notar que, en el sentido más general, los problemas de la realidad podrían ser una compleja yuxtaposición de

distribuciones de carga, en general sin simetría alguna, afectando una cierta región del espacio que por alguna razón nos interesa calcular el campo que generan allí (tanto en su descripción vectorial E como en su descripción escalar V, como ya veremos más adelante). Física II intenta mostrar en forma simple de qué manera deberíamos proceder para tratar problemas del mundo físico, a partir del análisis de situaciones idealizadas las cuales, aunque lejanas de los casos reales, son buenos ejemplos de cómo la Física modeliza y opera sobre la realidad.


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Sin embargo, si quisiéramos calcular el campo que este auto cargado genera en una esquina en el centro de Esquel, a unos 4 km del mismo, el auto podría ser considerado como una carga puntual y calcularíamos entonces el campo que genera aplicando directamente la Ley de Coulomb (aunque seguramente su intensidad en aquel punto sería de muy baja intensidad y difícil de medir). Por esta razón, un primer análisis que deberemos hacer antes de intentar calcular el campo eléctrico que genera una cierta distribución de carga es determinar si la misma puede considerarse puntual o no puntual, definido esto desde la perspectiva espacial que nos da la ubicación en el punto elegido. Si definimos que una distribución de carga es puntual, el cálculo del campo eléctrico que genera en cualquier punto del espacio se realiza aplicando directamente la Ley de Coulomb.

rr

q

4π

1E

2

0

puntual

Ahora bien, si definiéramos que la distribución de carga es no puntual, aún quedan dos posibilidades: que la misma sea discreta o que sea continua. Una distribución de carga discreta consiste en una distribución de porciones de materia ubicadas en zonas del espacio que hacen que no puedan verse concentradas en un punto, pero que sí es posible “fraccionarla” y considerar a cada porción como puntual en sí misma. Por ejemplo, si en el Laboratorio tenemos una carga eléctrica puesta en una esquina, otra en el termo para tomar mate y otra en el matafuegos, y quiero saber qué perturbación, qué campo van a producir en la cartuchera que está en una de las mesas de trabajo, ¿cómo deberíamos proceder para evaluar de qué tenor es la distribución de carga? Ubicados en el punto donde queremos calcular la intensidad del campo eléctrico (en la cartuchera), observamos la distribución de carga y concluimos que la misma “no se puede reducir a un punto”, por consiguiente es no puntual. Pero sí es posible identificar en tres puntos claros del espacio las tres porciones de materia que forman la distribución general, y a cada uno de esos puntos los podemos observar y concluir que cada uno de ellos “sí es puntual”. Una distribución de carga no puntual discreta es aquella que aunque extensa en el espacio sus porciones pueden ser consideradas como puntuales. La forma de calcular el campo eléctrico que una distribución discreta de carga genera en un punto dado del espacio se realiza a partir de considerar las propiedades de linealidad (Principio de Superposición) del Espacio-Tiempo y de la Materia. Es decir, debemos considerar el efecto que cada una de las cargas que forman la distribución discreta produce en el punto en cuestión, calcularlo a través de la Ley de Coulomb, y luego sumar todas estas contribuciones para hallar el campo total en el punto. Esto es equivalente a decir que el efecto total (campo eléctrico) de la carga de la esquina en el punto bajo estudio es independiente del efecto de la carga del termo en el punto y del efecto de la carga del matafuego en el punto.

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Por esta razón podemos analizar los tres campos que generan por separado y luego sumarlos, considerando que la suma de los efectos es igual (por el Principio de Superposición) al efecto total de la suma de las causas (la distribución discreta como un todo, porque no tenemos herramientas para trabajar con las tres cargas al mismo tiempo a priori).

rr

q

4π

1EconEE

2

i

i

0

i

n

1i

idiscreta

Una distribución de carga no puntual continua es, en el ejemplo antes visto, toda la superficie del auto cargado electrostáticamente: no es puntual si estamos cerca (desde la mano que tocará el picaporte), ni tampoco es discreta porque no es posible sectorizar las cargas que están en la superficie en lugares independientes cada uno de ellos considerados puntuales desde la perspectiva de la mano, por lo que entonces definimos que es una distribución de carga continua, y por consiguiente tampoco será posible calcular el campo que genera aplicando la Ley de Coulomb directamente. ¿Qué tenemos que hacer? Nuevamente, apelar a las propiedades de la Materia y al Principio de Superposición. Podemos relacionar que distintas porciones de esa superficie llevan distintas porciones de la carga que está generando el campo. No conocemos la carga total porque está “desparramada” por todo el cuerpo, pero podemos suponer que habrá una cierta densidad superficial de carga (por simplicidad la misma se considerará además uniforme, sin “grumos”, lo que en una situación real puede no ser así). Tomando un diferencial de superficie, éste tendrá un diferencial de carga (proporcionalmente, ya que toda la carga está distribuida en toda la superficie); así, vamos fraccionando la superficie total en diferenciales de superficie que, por la linealidad del modelo de universo que hemos construido, podemos afirmar que tienen un diferencial de carga (cuya suma será la carga total). Podemos entonces imaginar a la superficie como formada por “granulitos”, cada uno de ellos llevará una carga de valor diferencial, posible de ser consideradas puntuales desde el punto en el cual buscamos calcular el campo total. Podremos ahora sí aplicar directamente la Ley de Coulomb a cada diferencial de carga, calculando la contribución diferencial que cada uno genera, y luego sumándolos (por el Principio de Superposición) a través de una integral, hallaremos finalmente el campo total en el punto en cuestión, tal como se indica a continuación:

rr

dq

4π

1EdconEdE

2

i

i

0

iicontinua

Cuando trabajemos con distribuciones de carga discretas y/o continuas será fundamental tratar de hallar alguna simetría espacial, ya que de lo contrario el cálculo de los campos que generan estas distribuciones es muy dificultoso.


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En general, trataremos siempre de presentar problemas en los que la geometría de las distribuciones de carga discretas den figuras simples (triángulos, cuadriláteros, circunferencias, figuras con ejes de simetría, etc.); del mismo modo, buscaremos que las distribuciones continuas sean planos, cilindros o esferas, o combinaciones de éstas.54 Con distribuciones de carga, tanto discretas como continuas, de mayor complejidad debido a que por ejemplo no tengan ninguna simetría espacial, el principio físico es idéntico pero la resolución matemática sería de gran complejidad, lo que excede ampliamente los objetivos de nuestra cátedra.

Esquema que muestra los distintos tipos de distribuciones de carga estáticas.

54 En Física II no vamos a hacer el cálculo del ejemplo del auto, porque tendríamos que conocer la función matemática

de la superficie del auto a la que se le aplica la integral, tal como se procede en Análisis Matemático, lo que sí deben “conocer” los robots que sueldan, pintan, etc., los autos en las fábricas automotrices de última generación.

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Todo está focalizado en la Ley de Coulomb, si la distribución de carga es puntual, si no es puntual, si es discreta, si es continua, etc. La importancia que tiene el trabajo de Coulomb en esta área de la Física es justamente haber dado la herramienta básica para no tener que medir todo lo que queramos encontrar. Naturalmente estamos “condenados” a la dicotomía “Coulomb o definición operacional”; como sabemos que la definición operacional no se puede llevar a la práctica real, entonces la única opción que nos queda es saber usar la Ley de Coulomb en el cálculo de los campos electrostáticos.55 En el caso más general, el valor de la intensidad del campo eléctrico en un punto cualquiera P se podría deber a la yuxtaposición de contribuciones de diverso tipo de distribuciones de carga (puntual, discreta y continua, con o sin simetría espacial); esta situación, más cercana a lo real, también se estudia a través del Principio de Superposición, la validez del cual posibilita el tratamiento de una enorme variedad de situaciones físicas, desde la más sencilla hasta la más compleja.

Esquema que muestra un caso general en el que las distribuciones de carga generadoras son de todos los tipos posibles (puntual, discreta y continua).

55 El mismo esquema se podría utilizar para la gravedad. El trascendental trabajo de Isaac Newton en el siglo XVII fue

su Ley de Gravitación Universal, que establece cuál es el campo gravitatorio que genera una masa puntual, y la extensión de este análisis para toda otra distribución de masa no puntual, tanto discreta como continua. La “coincidencia” de que un siglo después Coulomb estableciera una relación matemáticamente idéntica para la carga fue lo que marcó un hito importante en la historia de la Ciencia y de nuestra forma de modelizar el Universo. Ambas ecuaciones, la Ley de Gravitación y la Ley de Coulomb, dan solución al Primer Problema de la Física (dada la distribución de Materia cómo calcular los Campos que generan) para la gravedad y para la electricidad estática.


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Cálculo del campo eléctrico generado por una distribución de carga puntual

“Dada una partícula de carga q1= +5C, ubicada en un cierto punto del espacio, calculá el campo eléctrico que genera en el punto P de coordenadas (x,y,z)”. Así comienza un ejercicio típico del Primer Problema de la Física en Electrostática. 56 El dato del problema es la distribución de carga eléctrica (cuánta carga y dónde está ubicada). Deberemos entonces analizar qué tipo de distribución es: si puntual, discreta o continua. En este caso, es sencillo darnos cuenta de que esta distribución es puntual (por ser una partícula única), independientemente del punto en el que estemos buscando calcular el campo que genera. Así, la resolución será a través de la aplicación directa de la Ley de Coulomb, tal como se indica en la figura siguiente:

Esquema que muestra el planteo gráfico y analítico para hallar el campo eléctrico producido por una carga puntual.

Vale notar que en la expresión de Coulomb, la carga q lleva su signo; es decir, en el ejemplo anterior, la carga es positiva y el vector campo apunta en la misma dirección (hacia “afuera”) que el versor radial; si la carga fuera negativa, el versor sería el mismo pero el campo resultante apuntaría radialmente desde el punto P hacia la carga q (hacia “adentro”).

56 Es importante recordar que, a menos que explícitamente se aclare lo contrario, Física II trabajará “en vacío”, en un

espacio tridimensional en el que no existirá materia, excepto las distribuciones de carga generadoras o las cargas de prueba que interactúen con los campos. Es decir, no trabajaremos en el volumen interior de un transformador lleno de aceite, ni en el interior del agua de un lago en el que los peces generan y detectan campos eléctricos, etc., medios materiales cuyas características electromagnéticas serán diferentes (y mucho más complejas) que las propias del vacío.

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La elección de un sistema de referencia y de un sistema de coordenadas En todas las situaciones que estudiemos siempre, sin excepción, debe existir un sistema de referencia espacio-temporal el cual dará el contexto para la resolución analítica y gráfica del problema, tal como lo hicimos en el ejercicio imaginario de armar un universo, en el cual previo a todo era necesario contar con la trama básica de espacio y tiempo. A veces se da por hecho el sistema de referencia, tácitamente, porque la hoja sobre la que escribimos es cuadriculada o porque el aula tiene aristas, etc., pero en realidad siempre hay que declarar explícitamente cuál es el sistema de referencia con respecto al cual trabajaremos. Y, con el tiempo y los aprendizajes, deberíamos “sentir” que no podemos hacer nada sin que el sistema esté declarado. Los sistemas de referencia se constituyen, a los fines del cálculo, en sistemas de coordenadas: cartesianas, cilíndricas, esféricas, etc. El sistema de coordenadas se elije en función de la simetría de la distribución de cargas o de la simetría del campo bajo estudio, lo que facilitará enormemente el desarrollo matemático posterior, pudiendo adaptarse a las dimensiones espaciales según sea el caso. Es importante notar que la Ley de Coulomb está escrita en forma vectorial utilizando el versor ř, es decir, dando por hecho que la simetría de una carga puntual es central o esférica y que por consiguiente el sistema de coordenadas será esférico, ubicado sobre la carga generadora de campo. La ecuación matemática que describe el campo eléctrico que generará esa carga puntual está expresada en coordenadas esféricas y no tiene mayor sentido expresarla en cartesianas, ya que su expresión matemática sería mucho más compleja sin ventaja alguna sobre el tratamiento físico de la situación. En esta misma situación, el sistema de referencia está ubicado en la carga generadora; por consiguiente, en ella estará ubicado el origen del sistema de coordenadas esférico que nos permitirá calcular el problema bajo estudio.57 Es fundamental tener en claro que el fenómeno físico bajo estudio es único, pero que el planteo geométrico y analítico puede ser múltiple. Es decir, la elección del sistema de coordenadas nos llevará a un planteo matemático más o menos engorroso, pero el resultado desde lo físico es único. La elección de uno u otro sistema de coordenadas no puede alterar el fenómeno físico. La diferencia entre sistema de referencia y sistema de coordenadas radica en que el primero es dónde nos ubicamos para describir el fenómeno bajo estudio, y desde allí (cualquier punto del espacio es equivalente por la homogeneidad e isotropía del Espacio) podemos utilizar cualquier sistema de coordenadas, fundamentado esto en que el fenómeno es único y la forma matemática que se elija para su resolución no puede alterar la naturaleza física del problema. El camino matemático a través de un sistema de coordenadas que no coincida con la simetría del problema va a ser mucho más engorroso que el camino por un sistema de coordenadas que sí coincida con tal simetría.

57 Idénticos comentarios pueden hacerse con respecto a la Ley de Gravitación Universal en cuanto al estudio de los

campos gravitatorios de masas puntuales.


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La representación gráfica del campo electrostático: las líneas de campo Todos los problemas que vamos a analizar tienen dos formas de resolución, que son complementarias: una forma gráfica y una forma analítica. En la forma gráfica de resolver un problema es esencial satisfacer ciertos criterios básicos de la geometría y de las representaciones gráficas en general: poner un sistema de referencia, hacer el gráfico a escala espacial, dibujar los vectores representados también a escala en sus módulos, los ángulos correctamente dibujados, las sumas de vectores realizadas con la Regla del Paralelogramo, utilizar distintos colores, ser prolijos, dibujar con un tamaño no pequeño, etc. Cuando esto se satisface, la resolución gráfica es una poderosa forma de orientarnos hacia la correcta resolución analítica del problema. Si bien es cierto que estas dos formas de resolución son complementarias y brindan información diferente, la importancia de realizar una rigurosa y “estéticamente” cuidada resolución gráfica es quizás el inicio de un correcto planteo y de una correcta resolución analítica (y no la viceversa), en particular porque un buen planteo gráfico ayuda mucho a imaginar la situación real bajo estudio en el espacio tridimensional, lo cual es muy difícil lograr sólo “mirando fórmulas” analíticas.

Una herramienta fundamental para visualizar e imaginar los campos (y, si quisiéramos, hasta para trabajar cuantitativamente), es un esquema de “líneas de campo”.

Vimos que gráficamente la intensidad de un campo E

en un punto del espacio se representa con un vector; si ahora lo que buscamos es comprender cómo es la imagen del campo en una región amplia del espacio, lo más adecuado sería dibujar estos vectores en muchos puntos contiguos del espacio y buscar las posibles regularidades geométricas, las que nos estarían mostrando las propiedades del campo y de la distribución de carga que lo generó. Así, iríamos dibujando “lugares geométricos” en una representación gráfica en el plano del papel, lo que nos permitiría “ver” el campo gráficamente y no sólo imaginarlo a través del análisis de su expresión analítica o de sus propiedades relevadas experimentalmente.

Esquema de líneas de campo de una carga puntual (imagen principal), con la expresión analítica correspondiente (abajo derecha) y esquema de líneas de un campo cualquiera (arriba derecha).

rr

q

4π

1E

20

puntual

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Cabe destacar que la representación gráfica de un campo eléctrico a partir de un esquema de líneas de campo debe estar en un todo de acuerdo con la expresión analítica, tanto es así que bien podría decirse que un diagrama de líneas de campo sería la gráfica de la expresión analítica; sin embargo, en el desarrollo histórico de la Electrostática, los diagramas de líneas de campo (originalmente llamados de “líneas de fuerza”) surgieron mucho antes ya que los fenómenos eléctricos y sus efectos fueron relevados décadas antes que se llegara a su expresión analítica (lo que fue posible recién a partir de Coulomb).58 Dado que el espacio es continuo y homogéneo (no tiene “agujeritos” ni “grumos”) todo punto del espacio en el cual esté actuando esta perturbación que denominamos campo eléctrico tiene que tener

asignado un valor de E

.59 En este sentido, podemos concluir que una línea de campo será un trazo continuo que, partiendo de una carga positiva y finalizando en una carga negativa, unirá a los distintos puntos del espacio que continuamente compartan esta propiedad de campo eléctrico. Por esta razón, a las líneas de campo se las dibuja asignándoles un sentido: aquel en el cual se movería una carga de prueba positiva dejada en libertad y sólo afectada por el campo eléctrico existente en la región. Es decir, una línea de campo podría imaginarse como la trayectoria que haría una carga positiva en su movimiento natural, no forzado, en el seno de un campo eléctrico. Como no es posible dibujar infinitas líneas de campo en el pizarrón o en la hoja, ya que no tendría sentido pintar completamente de negro el plano de la representación gráfica (ya que no hay ningún punto en este espacio plano que nos representa el universo que no tenga asociado un vector campo60), y por ser los esquemas de líneas de campo una representación gráfica, se establece una convención: sólo se dibujan determinada cantidad de líneas de campo por unidad de carga. Antiguamente, en la época de Faraday, Maxwell, etc., ese cierto número de líneas se estableció en “4π por unidad de carga”. De esta convención gráfica de hace casi dos siglos surge que en la mayoría de las ecuaciones que vamos a trabajar en Física II exista un factor 4π; es entonces algo histórico que nace cuando se dibujaban los campos en forma empírica como medio para realizar mediciones, y mucho antes de que existiera el sistema de unidades que utilizamos hoy. El factor 4π se mantiene en las expresiones actuales por razones de coherencia entre los distintos sistemas de unidades utilizados a través de la Historia. En síntesis, hay que tener en claro entonces que se dibujan algunas líneas, no todas, y a los fines de tener una imagen gráfica de las características del campo bajo estudio, por lo que si en una zona del dibujo no hay una línea ello no significa, a menos que explícitamente se lo indique, que en esa región no existe el campo eléctrico.

58 Lo mismo vale, en forma casi textual, para los diagramas de líneas de campo correspondientes a los campos

magnéticos y gravitatorios. 59 Más adelante vamos a ver que hay formas de bloquear o de apantallar zonas del espacio, de modo que esas zonas del

espacio estén protegidas del campo, y en esa región el campo puede ser cero o diferente del campo que hay en otras regiones. Bloquear significa hacer una especie de “burbuja” y apantallar significa hacer una especie de “sombra” con respecto al campo eléctrico en esas regiones del espacio.

60 A menos que hubieran zonas sin campo, bloqueadas por algún medio como por ejemplo una superficie metálica que

puede, en ciertas circunstancias, aislar el volumen interior de los campos eléctricos que pudieran existir en su exterior.


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Como ya lo expresamos al inicio de este Texto, Física II requiere fundamentalmente un esfuerzo de imaginación. En particular, debemos comenzar a imaginar es que las distribuciones de carga (de materia, en general) que estudiaremos están siempre en R3, y no en el R2 del pizarrón. Las líneas de campo, entonces, son sólo una herramienta gráfica que nos ayuda a imaginar y a representar los campos que estamos estudiando, y como toda herramienta gráfica tienen ciertos criterios convencionales (y muchas limitaciones, las que deberemos suplir, nuevamente, con nuestra capacidad de imaginar más allá de un simple esquema gráfico). Los criterios convencionales para realizar un esquema de líneas de campo son los siguientes: Las líneas de campo son los lugares geométricos, en el espacio tridimensional de la situación

estudiada, que son tangentes punto a punto a los vectores campo eléctrico E

.

No se dibujan todas las líneas posibles, sino sólo algunas, según algún criterio gráfico simple.

Las líneas de campo “nacen” o se originan en las cargas positivas y “mueren” o terminan en las cargas negativas.

No puede haber más de una línea de campo por punto del espacio o, dicho de otra forma, las líneas de campo no se pueden cortar. Por ejemplo, en el caso de una distribución discreta de tres cargas, se dibuja sólo el campo resultante, no los tres campos de las cargas por separado. Dada una distribución de carga cualquiera, no puede haber más de un valor de campo por punto del espacio; si hubieran dos líneas de campo en un punto significaría que en ese punto habrían dos valores de campo, pero entonces no se estaría dibujando el campo resultante.

La densidad de líneas es más grande en aquellas regiones del espacio donde el campo es más intenso, y las líneas están más distendidas o sea, más separadas entre sí, en aquellas regiones del

espacio donde el campo E

es menos intenso. Vale resaltar nuevamente que este criterio expuesto para la representación gráfica de un campo electrostático, es totalmente coherente con la exploración que puede realizarse en la expresión analítica (analicen este criterio comparando la representación gráfica anterior de una carga puntual con su correspondiente expresión dada por la Ley de Coulomb).

En síntesis, la información que nos brinda un diagrama de líneas de campo podría responder, entre otras, a las siguientes preguntas: ¿Dónde están concentradas las cargas negativas y las cargas positivas? ¿Hacia dónde se movería una carga de prueba positiva dejada en reposo en un punto cualquiera del campo? ¿Dónde es el campo más intenso y dónde es menos intenso? ¿Cuál es el vector campo eléctrico de un punto en particular? Asimismo, un diagrama de líneas de campo permite comprender un aspecto esencial derivado de las propiedades de isotropía y homogeneidad del Espacio-Tiempo: la relación entre las simetrías espaciales de las distribuciones de carga y de los campos que las mismas generan. Si la distribución de carga que genera el campo tiene simetría esférica, dado que el espacio es isótropo y homogéneo, es decir, que en cualquier dirección del espacio se conservan las mismas propiedades y que en cualquier posición tiene las mismas propiedades, la simetría del diagrama de líneas de campo va a ser también esférica: si la distribución de carga es esférica el campo que va a generar en todo el universo también va a tener la misma simetría, la de la carga que genera el campo. Si el espacio no fuera isótropo, una carga generadora esférica produciría un campo con unas características en una zona del espacio y con otras en una dirección diferente, lo que se vería claramente en un diagrama de líneas de campo (sin simetría esférica), con las consecuentes diferencias en las interacciones y en los demás efectos que el campo eléctrico produce en su entorno.

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Líneas de campo electrostático dibujadas por James Clerk Maxwell (izquierda) y por estudiantes de Física II (derecha)

Más importante aún es su viceversa, ya que en general se trabaja sobre un cierto campo y no siempre se tiene acceso a la información de cuál fue la distribución de carga que lo generó. Supongamos que no conocemos la distribución de carga que ha generado el campo que estamos estudiando, y que la misma está muy lejos de la zona en la que estamos relevando el campo; por las mismas propiedades antes citadas, podemos estar seguros de que si el diagrama de líneas de campo tiene una cierta simetría espacial, la distribución de carga generadora tendrá esa misma simetría. Si al explorar una región del espacio notamos que, por ejemplo, falta información de un volumen determinado, no podemos “ver” lo que hay allí dentro, pero sí sabemos que a través de la frontera de esa región las líneas de campo tienen una cierta distribución (por ejemplo, líneas cuyo sentido es hacia el exterior de ese volumen ciego, con una densidad uniforme y de simetría axial), podré entonces construir un modelo de la distribución de carga en el interior de ese volumen (será una distribución con forma de cilindro, con la carga eléctrica en exceso de signo positivo, distribuida en forma uniforme ya sea sobre la superficie o en todo el volumen de un cilindro de cualquier radio). Esta característica tan importante de la relación entre la Materia y la perturbación que genera en el Espacio-Tiempo, relación sostenida gracias a las propiedades esenciales de isotropía y homogeneidad, en un Universo modelizado a partir de la validez del Principio de Superposición, se expresa luego a través de la denominada Ley de Gauss, sobre la que trabajaremos más adelante, una de las cuatro leyes fundamentales del Electromagnetismo: las Leyes de Maxwell.


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Líneas de campo versus líneas de fuerza Una aclaración importante que es necesario realizar es la siguiente. En muchos lugares se hace referencia a las “líneas de fuerza” en vez de a las “líneas de campo”, y es fundamental tener en claro que aquel uso es incorrecto, tanto desde la Física como desde la Didáctica.

En la época de Coulomb, el concepto de campo no existía tal como lo utilizamos hoy y se hacía hincapié en los fenómenos “ponderomotrices” (fuerzas que provocan movimiento), siguiendo la concepción de Newton de las fuerzas a distancia. Así, “mapear” una región afectada por los estados eléctricos de alguna distribución de carga consistía en “seguir” punto a punto la dirección de las fuerzas sobre algún detector, por lo que, muy correctamente, al diagrama final se lo denominaba “de líneas de fuerza”. En forma similar se trabajaba con los efectos magnéticos, espolvoreando limaduras de hierro sobre un papel debajo del cual se ubicaban imanes naturales tallados de distintas formas; el diagrama de limaduras también se denominaba “de líneas de fuerza”, aunque propios de la naturaleza magnética del efecto que el imán producía en su entorno.

En aquella época no se conocían los campos magnéticos producidos por corrientes eléctricas (esto comenzó en 1820), ni tampoco los campos eléctricos no conservativos variables en el tiempo (lo que comenzó hacia 1835). Sin embargo, hoy día sí conocemos todo esto, y el concepto de campo (eléctrico, magnético, etc.) es el concepto primordial a trabajar y no el de las fuerzas (efectos ponderomotrices), propios de un primer acercamiento histórico a los fenómenos electromagnéticos.

Retornando a Coulomb, si quisiéramos saber qué fuerza F

va a ser ejercida sobre una carga q

ubicada en una cierta región del espacio en la cual existe un campo eléctrico E

, se la calcula en

forma analítica según la expresión F

= E

.q, y en forma gráfica a partir del diagrama de líneas de

campo, dibujando el vector E

tangente a la línea de campo que pasa por ese punto, con el sentido

que indique la línea, y se dibuja el vector fuerza F

con igual dirección y sentido, y módulo F=E.q.

De esto se desprende que si punto a punto de una línea de campo dibujáramos las fuerzas que se aplicarían a una carga que recorriera esa línea, los vectores fuerza coincidirían con los vectores campo eléctrico, punto a punto, en dirección y sentido aunque no en módulo. Habríamos dibujado la trayectoria libre que una carga de prueba positiva realizaría al interactuar con el campo.

Gráficamente, la envolvente de ambos conjuntos de vectores es igual: la línea de campo coincidiría con una “línea de fuerza”, y no habría distinción alguna en su forma gráfica. Sin embargo, sí habría una gran diferencia en la conceptualización de qué es lo que se representa con uno y otro diagrama. El serio problema en confundir “líneas de campo” con “líneas de fuerza” radica en lo siguiente: a) Se ha transformado un caso particular (electrostático) en un enunciado general.

b) Se hace equivalente la “existencia de un campo” a la “posibilidad de detección de un campo”. Es decir, podría existir un campo eléctrico en una región y no haber nada allí para interactuar con él, pudiéndose entonces dibujar un diagrama de líneas de campo pero no un diagrama de “líneas de fuerza” (no existirían fuerzas al no haber ninguna carga interactuando con el campo).

c) Todo campo puede ser mapeado (no sólo el electrostático), en particular el campo magnético producido por corrientes eléctricas: en este campo no hay posibilidad alguna de dibujar fuerzas asociadas unívocamente a las distintas posiciones en el espacio, ya que las fuerzas magnéticas dependen de la velocidad (vectorialmente) que tenga una cierta carga en movimiento al pasar por un punto dado de la región afectada por el campo (las velocidades pueden ser en módulo y dirección infinitas, por lo que las fuerzas en cada punto no están determinadas a priori jamás).

95

Cálculo del campo eléctrico generado por una distribución de carga discreta61 Se trata ahora de calcular el campo eléctrico generado por una distribución de carga no puntual, discreta: una distribución cuyas distintas partes están ubicadas en puntos definidos del espacio y que, cada una por separado, sí pueden ser tratadas como puntuales. El dato, entonces, es cuánta carga y la geometría de su distribución espacial (si tiene alguna simetría o no, etc.); la pregunta, es sobre el valor del campo eléctrico resultante en un cierto punto. Es necesario en primer lugar elegir un sistema de referencia, con respecto al cual se ubicarán las cargas que forman la distribución bajo estudio, y definir el punto en el cual se desea calcular el campo resultante (es desde este punto que se clasifica a la distribución como no puntual discreta).

Por ser una distribución discreta, podemos calcular los campos que cada carga genera en el punto P aplicando directamente la Ley de Coulomb, y luego, por el Principio de Superposición, realizar su suma, por la Regla del Paralelogramo (gráficamente) o por una suma de vectores (analíticamente).62 Una cuidada resolución gráfica nos orientará en cómo proceder y en visualizar qué resultado deberemos obtener luego al realizar la resolución analítica. Representar los módulos de los vectores campo eléctrico individuales a escala, respetar los ángulos con los tres ejes (o, lo que es equivalente, representar las distintas componentes sobre los ejes a escala), y construir los distintos paralelogramos (o la “poligonal”) en forma rigurosa (con regla, escuadra, transportador, etc.), son los pasos a seguir para asegurarnos una correcta resolución gráfica de la situación bajo estudio. El resultado analítico, entonces, deberá estar de acuerdo con la resolución gráfica así obtenida, por lo que ésta es una guía fundamental para asegurarnos que hemos trabajado bien; la resolución analítica es, siempre, más “engorrosa”, pero sencilla desde lo conceptual, por lo que si se trabaja en forma ordenada, paciente y prolija, se llega sin dificultades a la solución correcta del problema planteado. Una posible secuencia de trabajo, quizás la más sencilla, comienza en calcular el módulo de cada campo particular, aplicando la Ley de Coulomb, para luego calcular sus componentes según los tres ejes coordenados. Por el Principio de Superposición es posible luego sumar escalarmente todas las componentes en x, todas las componentes en y, y todas las componentes en z, obteniéndose entonces las tres componentes del vector campo eléctrico resultante.

61 Hay dos formas de decir las cosas, a veces se dice “calcular el campo en ese punto” y otras veces se dice “calcular el

campo”. En un caso se refiere al cálculo de la expresión del campo eléctrico general, que describe el Primer Problema en Electrostática: es una expresión matemática que vale para todo el espacio (la Ley de Coulomb, por ejemplo); en el otro caso se refiere a la resolución de este Problema en forma particular: dar valores particulares a las variables de la

expresión general (el valor de las cargas y de la distancia al punto P). Para encontrar el valor de E

en un punto es posible asignar valores a la fórmula general, pero en general es más sencillo hacer uso del Principio de Superposición: no es necesario entonces conocer la ecuación general de todo el universo si sólo se trata de calcular el valor del campo en un punto. En el caso de una carga puntual, no hay diferencia entre la expresión general y la particular, pero si la distribución de carga es discreta y tenemos que calcular el campo en un punto, sólo es necesario calcular los valores de campo particulares generados independientemente por cada parte de la distribución y no intentar obtener una expresión general que, seguramente, sería muy compleja. Deberemos aprender a diferenciar qué se pide: si encontrar una expresión cuyas variables no tengan valores, o si sólo calcular la intensidad del campo eléctrico en un punto.

62 Es fundamental cuidar que en el proceso de cálculo no se pierda la naturaleza vectorial del campo eléctrico. Es decir,

si bien en la resolución analítica trabajaremos con las componentes de cada vector en las tres direcciones cartesianas, quedándonos con sumas algebraicas de escalares, el resultado final debe ser nuevamente expresado en forma vectorial, ya sea dando las tres componentes del vector campo eléctrico resultante o, lo que es equivalente, dando su módulo y los tres cosenos directores. Este es uno de los principales errores en la resolución analítica de este tipo de problemas en Física II: sumar los vectores individuales como si fueran escalares y/o no expresar el vector resultante con su correspondiente naturaleza vectorial.


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La siguiente figura muestra un ejemplo genérico resuelto tanto en forma gráfica como analítica, en tres dimensiones (aunque en la mayoría de los casos, por simplicidad, trabajaremos este tipo de situaciones en dos dimensiones).

Esquema para la resolución gráfica y analítica del campo generado por una distribución de carga discreta.

En este ejemplo, la distribución de carga no tiene ninguna simetría espacial, por lo que la resolución analítica no puede simplificarse más allá de lo escrito; la ecuación general del campo eléctrico resultante en todo el espacio sería muy compleja, expresada finalmente en cartesianas. Sin embargo, esto no es lo que se pide en este tipo de ejercicios sino algo mucho más sencillo: sólo se busca calcular el vector campo eléctrico en un único punto del espacio tridimensional, allí donde está P. Cabría aquí una interesante pregunta: ¿cómo sabemos los ángulos que cada vector campo eléctrico forma con los ejes cartesianos, si no conocemos a priori a estos vectores? Es decir, ¿dónde está la información necesaria para conocer estos ángulos (la orientación espacial de cada vector particular), lo que a su vez es necesario para conocer la orientación espacial del vector resultante? ¿No sería una especie de “círculo vicioso” sin solución? Pues bien, dada la isotropía y homogeneidad del espacio (nuevamente), la información requerida la da la configuración geométrica del conjunto de cargas generadoras (la distribución discreta). Los ángulos que forman los vectores campo eléctrico generados por cada una de las porciones de carga puntuales de la distribución discreta, son los mismos que los ángulos que forman los vectores posición de estas cargas, con respecto al sistema de referencia elegido.

97

Podemos confiar en que esto es así (y que se cumplirá siempre) porque los vectores campo están en la misma recta de acción que los versores r

, según la Ley de Coulomb. Es decir, la línea que une

cada carga con el punto P (de longitud r), forma el mismo ángulo con cada uno de los ejes del

sistema, que el que forma el vector campo E

, producido en el punto por la carga, respectivamente. Los ángulos surgen de la geometría de la distribución de carga con respecto al sistema de ejes de referencia elegido, y esa orientación espacial tridimensional se “imprime” en el campo eléctrico resultante, debido esto a que por ser el espacio-tiempo isótropo y homogéneo no hay zonas del mismo que alteren en la perturbación generada (el campo) la geometría original de la distribución de carga que produce la perturbación. Esto refuerza la recomendación hecha párrafos antes con respecto a que si la representación gráfica del problema bajo estudio está bien hecha, a escala, etc., la resolución gráfica orienta a la resolución analítica: el ejercicio termina cuando la parte gráfica y la parte analítica “están de acuerdo”, coinciden, y podemos confiar en que su resolución ha sido correcta.63

63 Es importante recordar aquí que las situaciones que estudiaremos en Física II son “estados estacionarios”, es decir,

configuraciones de campo, distribuciones de carga, de corriente eléctrica y de luz, circuitos eléctricos, etc., en los cuales nada se modifica a pesar de que el tiempo esté transcurriendo. Sin embargo, cabe preguntarse cómo se estableció originalmente la configuración bajo estudio, o mediante qué proceso se pasó de una configuración a otra. Pasar de un universo originalmente vacío a tener la primera configuración de carga eléctrica que lo perturba, o de una distribución discreta a una continua, etc., significa que debieron ocurrir ciertos procesos en los cuales a medida que transcurría el tiempo las propiedades bajo estudio fueron cambiando gradualmente. ¿Cuánto tiempo pasó desde aquel universo vacío hasta que se estableció el campo electrostático que finalmente estudiamos? ¿Cómo fue este proceso? Nadie lo dijo y no lo vamos a estudiar en nuestra Asignatura, pero debemos tener en claro que en la Naturaleza no existe ningún proceso instantáneo: que sin dudas hubo un intervalo de tiempo distinto de cero y que existió algún proceso para pasar de un estado estacionario a otro estado estacionario.

A ese proceso que va de un estado estacionario a otro, ambos estables, se lo denomina un “transitorio”. Los transitorios existen en todo proceso en este universo: en todos los campos (ciencia, arte, deporte, educación, salud, afectos, etc.), en el mundo físico y en el mundo social, en el cuerpo humano y en lo psicológico, etc., en cualquier cosa que se nos pueda ocurrir (desde el estado “estable” de alumnos de secundaria al estado “estable” de ingenieros en ejercicio, puede definirse que la carrera fue el transitorio entre ambos estados). Siempre existe un transitorio, aunque pueda ser más largo o más corto, más tortuoso o más sencillo, más divertido o más aburrido.

Según la Teoría de la Relatividad de Einstein, no existe nada en este universo que pueda viajar más rápido que la velocidad de la luz (partícula, nave espacial, luz, etc.). Así, desde que frotamos una barra aislante con nuestro pelo hasta que el campo que genera llena todo el universo y permanece estable, y recién entonces lo estudiamos, transcurrió un cierto tiempo mientras que la perturbación se propagó, necesariamente más en forma más lenta que la velocidad de la luz. En este ejemplo como en tantos otros, estamos acostumbrados a considerar que, a los fines del quehacer cotidiano, de la vida de los seres humanos, y de la mayoría de las aplicaciones tecnológicas de la Ingeniería, ese proceso puede considerarse prácticamente instantáneo; sin embargo, debemos recordar que el transitorio existió, que es esencial a la naturaleza física del universo, por pequeño e imperceptible que haya sido. En general, la Física (y en especial la Física básica como las de la Ingeniería), la Química, la Biología, etc., se dedican a estudiar los procesos una vez que llegaron a los estados estables, son disciplinas de estados estacionarios. La Física de los transitorios es una gran área de la Física, y es bastante complejo y difícil estudiar los procesos que suceden en los transitorios, en particular porque todas las variables podrían estar variando al mismo tiempo. Uno de los aspectos más interesantes del estudio de los transitorios es comprender qué sucede si intentamos modificar el tiempo propio de los mismos: es decir, si intentamos hacer más largo o más corto el período de tiempo natural que requiere la transición de un estado estacionario a otro. Pareciera ser que la Naturaleza presenta cierta “resistencia” a este cambio forzado, lo que en general se denomina “inercia”. Siempre existirán, en forma natural, los cambios de estado en todos los sistemas imaginables en el universo, pero forzar ese cambio producirá ciertos efectos tanto en el sistema como en el agente exterior que lo intente. Estos efectos son estudiados, en los distintos campos, a través de leyes físicas como las de Newton y de Maxwell, o bien por la Historia, la Economía, la Psicología, etc.


98

Cálculo del campo eléctrico generado por una distribución de carga continua Una distribución de carga eléctrica no puntual continua podría ser, por ejemplo, un cable de televisión cuyo aislante exterior se cargó electrostáticamente al frotarse con el viento en el clima seco de nuestra zona.64 Si lo que buscamos es calcular el campo eléctrico que esta distribución genera en un punto ubicado a una distancia de, por ejemplo, 50 cm, es claro que desde ese punto el cable no es un objeto puntual ni discreto, por lo que lo consideraremos una distribución continua de carga estática. Asimismo, podría considerárselo recto (despreciando que en realidad está “pandeado”, formando una “catenaria”), de largo infinito (ya que sus extremos están muy lejos) y de diámetro despreciable (como si el cable fuera un cilindro de radio casi cero). Aún más, consideraremos que la carga por frotamiento se ha distribuido uniformemente por todo el aislante, despreciando las posibles irregularidades en su fabricación o las muchas “basuritas” que seguramente existen sobre el mismo. Hemos modelizado así al aislante cargado como una distribución de carga electrostática continua, lineal e infinita (algo muy lejano a la realidad bajo estudio, pero útil a los fines de una primera resolución del problema planteado). Calculemos entonces el campo que genera esta distribución de carga lineal, idealmente una única línea matemática, con una cierta carga distribuida uniformemente en toda su longitud, por lo que diremos que existe una “densidad lineal de carga” (la cantidad total de carga, distribuida en la longitud total del cable).

Lo anterior se expresa como: long

qλ , (carga por unidad de longitud).

Debido a que esta distribución de carga no es puntual ni discreta, no es posible calcular el campo que produce directamente aplicando la Ley de Coulomb. Sin embargo, si tomamos un pequeño segmento (un diferencial de longitud, dl), y ya que hemos supuesto que la carga está uniformemente distribuida sobre el cable, podemos considerar que dada diferencial lleva una pequeña cantidad de carga (un diferencial de carga, dq). La carga de cada diferencial se calcula a través de la siguiente relación de proporcionalidad:

dlλdq

Ahora sí es posible considerar al pequeño elemento dl como portando una carga puntual dq, vista siempre desde el punto P donde queremos calcular el campo eléctrico, y entonces podremos aplicar directamente la Ley de Coulomb para calcular el campo que cada una de esas pequeñas porciones de carga generan en el punto en cuestión. Planteamos ante todo un sistema de referencia, y ubicamos la línea de carga sobre uno de los ejes coordenados. La configuración espacial de este problema tendrá simetría axial.

64 El estudio de los efectos que estas distribuciones podrían generar reviste interés en ciertas áreas de la Ingeniería, ya

que el campo generado podría interactuar con partículas de polvo, nieve, etc., atrayéndolas y pegándose luego sobre el aislante, con lo que variaría su peso, tensión, etc., y podría ser motivo de la rotura por corte del cable o de sus soportes. En general, estos problemas siempre se originan en alguna situación real, la cual es modelizada simplificándola y resuelta de la manera más sencilla posible, para dar así solución a lo que quizás en el futuro pueda servir a ingenieros o científicos, quienes podrían adaptar estas soluciones a situaciones más complejas.

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Dada esta simetría (y por la isotropía y homogeneidad del Espacio) podremos estudiar las características del campo generado en zonas acotadas del espacio que rodea a la distribución de carga, simplificándose así el tratamiento matemático del problema, para luego reinterpretar los resultados obtenidos a todo el volumen tridimensional. Estudiaremos entonces el campo en un plano cualquiera que contenga a la línea de carga, y en el semiplano derecho del mismo, para luego “rearmar” el problema original, “ir hacia atrás” con todas las suposiciones y simplificaciones hechas, y lograr finalmente la interpretación del campo en todo el espacio R3 y en todo tiempo R1. De acuerdo con lo anterior, en la figura de la página siguiente (en R2) hemos elegimos un sistema de referencia en el cual el eje Y contiene al cable, y el eje X contiene al punto P (si el cable es infinito no tiene punto medio y no importa dónde corta el eje X). El dato del problema es la densidad de carga lineal continua (cuánta carga y qué geometría, dónde está ubicada), y la pregunta a resolver es qué campo resultante habrá en el punto P generado por toda la distribución lineal continua. El punto P es la posición en donde quiero calcular el campo (donde estaría el granito de polvo afectado por el campo), ubicado a unos 50 cm; desde allí veremos al cable como algo recto y como las puntas están tan lejos con respecto a P, a los fines de este cálculo lo consideramos de longitud infinita. Del mismo modo, el grosor del cable puede considerarse despreciable, o de radio cero.

Debemos considerar además que la densidad lineal de carga long

qλ se mantiene constante y finita

(10 C/m, por ejemplo), ya que si l es infinito también q es infinita pero su cociente no (aún sabiendo que en la realidad no existen cargas infinitas sobre longitudes infinitas). Dado entonces que desde P es posible considerar a cada dq como una carga puntual, aplicamos

directamente la Ley de Coulomb para calcular la contribución diferencial d E

al campo total de esa pequeña carga eléctrica de la distribución generadora.65

rr

dq

4π

1Ed

2

0

Por cada elemento diferencial dq tendremos en P un d E

, y la suma de todos estos, por el Principio de Superposición, nos dará el campo total en el punto (y en forma genérica en todo el universo).66 Así, la forma de sumar elementos diferenciales indistintos es a través de una integral, cuyo rango de variación será desde - ∞ hasta + ∞ (tomando en cuenta las contribuciones al campo de los diferenciales muy lejanos hacia un extremo del cable, tanto como las contribuciones de los

diferenciales muy lejanos hacia el extremo opuesto del mismo); es decir:

EdE

.

65 Recordemos que aunque los diferenciales de carga generen contribuciones diferenciales de campo, estos campos

llenan de todos modos el universo, aunque punto a punto su intensidad sea muy pequeña, diferencial, y seguramente muy difícil de detectar.

66 Es interesante notar que en este proceso no hay forma de identificar a cada diferencial de carga en sí mismo, más allá

de su posición dentro de la línea de carga; del mismo modo, todos los diferenciales de campo son equivalentes, más allá de su intensidad. Es decir, los diferenciales en el Análisis Matemático, tanto como los electrones en la Física, no tienen identidad propia, son todos indistintos y equivalentes.


100

Esquema para la resolución gráfica y analítica del campo producido por una distribución de carga continua lineal.

Al avanzar en el análisis de este ejemplo, comenzamos a comprender la gran importancia de las simetrías espaciales de las distribuciones de carga en cuanto a la sencillez de la resolución matemática del problema. De la figura anterior queda claro que, además de la simetría axial tridimensional y de la simetría bilateral izquierda-derecha con respecto a la línea de carga (al eje Y), también es posible utilizar una simetría bilateral con respecto al eje X, lo que nos permite asumir que todo diferencial de carga ubicado sobre el semieje Y positivo tendrá su contraparte, simétrica, sobre el eje Y negativo. Es posible entonces relevar sólo el eje Y positivo y considerar que todas las distancias, ángulos, etc., para diferenciales ubicados simétricamente respecto al origen, son iguales, y entonces sus contribuciones al campo resultante también lo serán, en módulo (aunque no en dirección y sentido). Por esta razón, si tomamos pares de elementos diferenciales dq simétricamente ubicados con

respecto al eje X, y dividimos cada vector d E

en sus componentes según los dos ejes coordenados, tendremos que, “por simetría”, las componentes según el eje Y serán iguales en módulo y opuestas, cancelándose, y que las componentes según el eje X serán iguales en módulo pero de igual sentido, hacia el semieje X positivo, sumándose. Y lo mismo ocurrirá para todos los pares de cargas

diferenciales, hasta ±. El único diferencial que no tiene su correspondiente par es el que está ubicado en la mitad del cable, en el origen, que es el de mayor módulo y tiene sólo componente en según el eje X positivo.

rr

dq

4π

1Ed

20

101

El campo resultante en el punto P puede expresarse como: jEiEE yx

; sin embargo, por

la consideración de simetría recién presentada, ya sabemos que Ey=0 y entonces el campo resultante estará dirigido sólo según el eje X.67 Conocemos los módulos de cada vector campo diferencial (lo que nos da la Ley de Coulomb), por lo que deberemos calcular cada componente según el eje X, para recién luego sumarlas y obtener el campo total en P (lo que ya fuera resuelto en forma gráfica en la figura anterior).

Así, el módulo del campo resultante Ex será: xx dEEE con α cosEEx

Finalmente, será:

iα cosr

λ.dy

4π

1E

2

0

(A)

Del análisis gráfico ya realizado, por semejanza de triángulos es posible hallar el ángulo dada la geometría de la distribución de carga y la ubicación del punto P. Deberemos resolver entonces una integral simple, pero en la que aparecen tres variables: y, α, r. A medida que vayamos sumando las contribuciones al campo resultante de los diferentes dq las tres variables irán cambiando, pero están mutuamente relacionadas entre sí porque son parte de un mismo triángulo: es decir, no son linealmente independientes. Lo único que no cambia de ese triángulo es x (la distancia del punto P a la línea de carga) y obviamente tampoco cambia el ángulo recto. Por esta razón, deberemos elegir sólo una variable de las tres para utilizarla como variable de integración, expresando a las otras dos en función de ésta y de x. Elegiremos integrar sobre el ángulo α, aunque podría integrarse por cualquiera de las tres variables llegando al mismo resultado, ya que la solución es única y no depende de la variable elegida, aunque el procedimiento podría ser más o menos dificultoso por uno u otro camino. Deberemos entonces expresar dy en función de α, y r en función de α, realizar los reemplazos correspondientes, y finalmente integrar.

Llegamos a que es: αcos

xr

αcos

xr

r

xαcos

2

22

y

dααcos

1xdy)

αtg

1d(xdy

αtg

xy

y

xαtg

2

Reemplazando en la expresión (A), llegamos a:

i

αcos

x

1 cosdα

αcos

1x

4π

1E

2

22

0

67 Recordemos que la consideración por simetría y la posterior simplificación de la suma de las contribuciones al campo

total es posible porque en nuestro modelo el Espacio es isótropo y homogéneo, porque la Materia es modelizada a partir de porciones discontinuas que se agregan para formar un cuerpo mayor, y porque estamos en una descripción “lineal” de los fenómenos físicos; si no fuera así, no estaríamos habilitados per-se a proceder de esta manera tan simplificada.


102

Cancelando todo lo posible, y evaluando los límites de integración, según el planteo gráfico realizado, llegamos a la expresión a integrar:

π/2

π/20

idαα cosx4π

1E

-

Resolviendo la integral llegamos a:

i π/2)sen( π/2)(senx

λ

4π

1E

0

y finalmente es: 0)x(i

x

λ

2π

1E

0

(B)

Esta es la segunda expresión de tipo general que encontramos para el campo eléctrico generado por una distribución de carga (la primera fue la Ley de Coulomb para la distribución de carga puntual). Esta expresión es válida sólo para el semiespacio plano de la derecha (R2+) en la figura anterior, pero no lo es para todo el espacio tridimensional R3. Es necesario entonces encontrar la expresión general para R3 y además visualizar el campo resultante utilizando un diagrama de líneas de campo. Para lograr esto debemos entonces reinterpretar lo hallado analíticamente, “retrocediendo” de las muchas simplificaciones realizadas, en particular de aquellas que tomaban en cuenta la simetría espacial de la distribución de carga. Si evaluamos el campo en puntos que tengan la misma coordenada x pero distintas coordenadas y,

dado que la expresión final hallada no depende de y, el campo E

, en módulo y dirección y sentido no variará. Si evaluamos el campo en puntos más cercanos a la distribución de carga, los valores de x serán menores a los anteriores y consecuentemente el valor del módulo será mayor. Viceversa, si los valores de x son mayores, el módulo final resultante será menor. En ambos casos la dirección y sentido del vector campo resultante no varían. Si evaluamos el campo en un punto Q, de coordenadas (-x,0,0), en el semiplano de la izquierda de la figura anterior, el módulo del campo resultante es igual, pero con signo negativo, ya que por ser la función (B) una función impar, al cambiar x por –x se altera el signo final de la expresión. Es importante notar que el módulo del campo generado por una distribución continua infinita lineal decae mucho más lento que el módulo correspondiente al campo generado por una carga puntual, para un punto a la misma distancia de las distribuciones de carga: en el caso de la carga puntual el campo varía con x-2, y en el caso de la línea de carga el campo varía con x-1. Para comprender esto, podríamos considerar que la distribución lineal tiene en su centro una carga puntual, pero que tiene además las contribuciones de los otros dE producidos por el resto de los diferenciales de carga (por el Principio de Superposición), los cuales aunque sean más pequeños y tendientes a cero, se van sumando para dar un campo resultante que decrece más lento. Para imaginar el esquema final de líneas de campo en tres dimensiones es necesario dibujarlo en dos planos diferentes: en el que contiene a la distribución de carga y en el que es perpendicular a la misma.

103

En un plano que contiene a la distribución de carga (por isotropía del Espacio, cualquiera de los infinitos planos que contienen a la línea de carga son equivalentes), es un conjunto de líneas paralelas igualmente espaciadas. En un plano perpendicular a la distribución (por homogeneidad del Espacio, cualquiera de los infinitos planos perpendiculares a la línea de carga son equivalentes), las líneas de campo están más juntas, más apretadas, cuanto más intenso es el campo, y más separadas, más “distendidas”, cuanto menos intenso es el campo producido por la línea de carga.

Esquema que muestra las líneas de campo de una distribución de carga continua lineal, en un plano que contiene a la distribución (izquierda) y en un plano perpendicular a la misma (derecha).

Es importante notar que sin ambas perspectivas espaciales no es posible imaginar adecuadamente las características del conjunto de líneas de campo, ya que si, por ejemplo, sólo lo viéramos según la perspectiva del plano que contiene a la distribución de carga podríamos suponer que la densidad superficial de líneas de campo es uniforme. Volviendo al problema físico real (el cable de teléfono y un granito de polvo), cualquier partícula que esté ubicada a la misma distancia del cable estará afectada por el mismo valor del campo, por lo que se podrían imaginar zonas cilíndricas concéntricas con el cable de igual valor de módulos de campo. Así, al mirar un cable del tendido telefónico callejero deberíamos poder imaginar “cilindros” concéntricos en el espacio que lo rodea, regiones con simetría axial en las que el campo eléctrico producido por la carga electrostática sobre el aislante del cable perturba el espacio de su entorno.68

68 De hecho, cuando pasamos con un auto debajo de una línea de alta tensión y la radio emite el característico ruido de

interferencia, lo que se pone en evidencia es que hemos pasado por la influencia electromagnética de uno de esos cilindros, ya no tan imaginarios, al interactuar con la “carga de prueba” que es la antena de la radio. Si bien es cierto que el campo producido por una línea de alta tensión no es un campo electrostático, ni la antena es un grano de polvo a corta distancia del cable, a los fines de ir imaginando situaciones reales complejas relacionadas con los problemas que plantearemos más adelante en Física II, éste es un muy buen ejemplo.


104

EL SEGUNDO PROBLEMA EN ELECTROSTÁTICA (dado el campo, calcular las interacciones) El Segundo Problema de la Física consiste en cómo evaluar la interacción de la Materia (de prueba) con los Campos que existen en un cierto entorno espaciotemporal, considerando que estos campos son ya conocidos en su forma final, sin importar cuál fue la distribución original de Materia (generadora) que los produjo. Así, el Segundo Problema se resuelve en la forma aprendida en Física I: cualquier objeto material con sus propiedades de carga y masa, al interactuar con un cierto campo, tendrá aplicadas sobre él ciertas fuerzas, resultado de esa interacción, y como resultado de las mismas, el objeto variará su estado de movimiento. Las Leyes de Newton son entonces el marco teórico más adecuado para comprender estas variaciones en los estados de movimiento de los cuerpos debido a las fuerzas, de cualquier tipo, que instante a instante y punto a punto pudieran estar aplicadas sobre ellos. En el caso más restringido de una carga eléctrica en interacción con un campo eléctrico cualquiera, la interacción da como resultado una fuerza eléctrica cuya expresión general es:

t)z,y,(x,Eq)t,z,y,x(F 69

Es decir, una carga q ubicada en cualquier punto P(x,y,z) del espacio afectado por un campo E

, y en

cierto instante t, tendrá aplicada una fuerza F

, cuya dirección será tangente a la línea de campo que pase por el punto en cuestión, quedando su sentido determinado por el signo de la carga. ¿Qué le pasará a la carga como resultado de esa interacción (fuerza) de tipo eléctrica? Como sabemos desde lo trabajado en Física I y las Leyes de Newton, la misma variará su estado de movimiento según la relación:

amEqF

Para conocer en detalle la dinámica de la carga q en interacción con el campo E

, procederemos tal

como en Física I: a partir de la aceleración (t)a

y, por medio de sucesivas integraciones, llegaremos a

obtener la función velocidad (t)v

y la función posición (t)r

, tomando en cuenta las distintas

condiciones iniciales y de contorno.70 Las funciones aceleración, velocidad y posición, dadas en forma analítica, también podrán ser representadas gráficamente, lo que nos permitiría visualizar (imaginar) mejor el movimiento forzado de una partícula cargada en interacción con un campo eléctrico.

69 En el caso de una masa interactuando con un campo gravitatorio, la interacción da como resultado una fuerza

gravitatoria cuya expresión es: tz,y,x,gmtz,y,x,Fgrav .

70 Retomando el ejemplo de la distribución lineal de carga, si en el punto P en el cual calculamos el campo eléctrico

generado por el cable de teléfono ubicáramos un grano de polvo eléctricamente neutro, el mismo estaría interactuando con el campo y por consiguiente tendría aplicada una cierta fuerza (en este caso, dirigida radialmente hacia el eje de simetría del cable, ya que sería tangente a las líneas del campo del cable). Así, el grano, inicialmente en reposo en el punto P, comenzaría a moverse cada vez más rápido (por estar acelerado) en dirección radial hasta que, a máxima velocidad, chocaría con el aislante quedando “pegado” al cable.

105

La Ecuación de Lorentz: la solución general al Segundo Problema de la Física Hemos trabajado en el apartado anterior con un caso particular (una carga eléctrica afectada por un campo electrostático) para dar una solución parcial al Segundo Problema de la Física (dados los campos, qué interacciones se producen), utilizando el marco teórico de las Leyes de Newton. Sin embargo, y aunque de manera un tanto adelantada en el desarrollo de Física II, podemos presentar ya cuál es la solución general para este importante Problema (no sólo de la Física sino de todas las Ciencias Naturales), válida para todos los campos eléctricos, magnéticos y gravitatorios posibles, afectando en una región del espacio y al mismo tiempo a un cuerpo de propiedades q y m. A esta expresión general se la denomina, habitualmente, la “Ecuación de Lorentz” (generalizada). La Ecuación de Lorentz describe las fuerzas de interacción entre una partícula de carga eléctrica q, en

algún estado de movimiento, con campos E

y B

, a lo que agregamos la fuerza de interacción

gravitatoria con la masa de esa partícula en un campo g

, estudiando el cambio en su estado de

movimiento a través de la Segunda Ley de Newton.71

MATERIA

de la

carga(propiedades

eléctromagnéticas)

masa(propiedadesgravitatorias)

masa(propiedadesinerciales)

ESPACIO-TIEMPO

sonperturbaciones

del

serefieren

al

F total = q . E + q . v x B + m . g = m . a

INTERACCIONES

(Fuerza de Lorentz + Newton)

La Ecuación de Lorentz, generalizada para interacciones gravitatorias.72

71 Este planteo sería aún básico, introductorio, ya que en áreas más especializadas de la Física se estudian otras fuerzas

(no conservativas, de roce, etc.), más complejas.

72 La fuerza que producirá la variación en el estado de movimiento de la partícula es la resultante de todas las fuerzas

actuantes. Sin embargo, y aunque la interacción gravitatoria nunca deja de existir, por ser la diferencia entre los órdenes de magnitud de las fuerzas electromagnéticas y las gravitatorias tan grande, éstas habitualmente se desprecian.

Los granos de polvo que están en el ambiente están afectados por la gravedad terrestre, por eso caen; pero si existe en la zona un campo eléctrico, como el del cable, la comparación entre las fuerzas de interacción con ambos campos es tan abismalmente a favor del eléctrico que el gravitatorio no se toma en cuenta, a pesar de que es el único campo de la Naturaleza que no es posible eliminar ni bloquear bajo ningún concepto, actuando sin excepción en todo el Universo. Por consiguiente, y a menos que expresamente se indique lo contrario, en Física II despreciaremos las fuerzas gravitatorias aplicadas sobre partículas cargadas bajo la influencia de campos eléctricos o magnéticos.


106

LEY DE GAUSS La Ley de Gauss, desde lo cualitativo, está relacionada con algo que ya conocemos: que los diagramas de líneas de campo nos posibilitan imaginar, “leer”, un campo eléctrico, estimar algunas de sus características y acercarnos a comprender qué tipo de distribución de carga lo ha generado. En particular, sabemos que la densidad de líneas de campo en una cierta región del espacio está relacionada con la intensidad del campo en los puntos de esa región, lo que nos acerca a los aspectos más cuantitativos de esta importante ley del Electromagnetismo. Por ejemplo, en el caso de una carga puntual positiva, sus líneas de campo son un conjunto de líneas rectas dirigidas hacia afuera en dirección radial, con una densidad de líneas constante para cada distancia fija a la carga central. Si tomáramos una superficie patrón (el área de la base del borrador de nuestro Laboratorio), podríamos darnos cuenta de que la cantidad de líneas que cortan a esta superficie patrón es mayor en una región cercana a la carga y mucho menor cuanto más lejos de la misma nos ubiquemos. A esta forma de relevar un campo vectorial, evaluando la cantidad de líneas que cortan un área patrón, se la denomina habitualmente como el “flujo” del campo a través de la superficie; si la superficie patrón fuera pequeña, diferencial, el flujo total en una cierta zona del espacio se calcularía sumando los flujos diferenciales (integrando) a través de toda esa región.73

73 Aunque etimológicamente ambas palabras y los conceptos a que refieren están relacionados, no es lo mismo “fluido”

que “flujo”: flujo hace referencia principalmente a la existencia de algún tipo de líquido o de fluido en movimiento, (como sangre, savia, aire, y todo lo que históricamente haya sido modelizado como fluido, desde el alma, pasando por el calórico y hasta la electricidad). Si bien podemos identificar “flujos” cualitativamente en todas partes a nuestro alrededor, el concepto matemático tiene una definición muy particular: está relacionado con una integral de superficie, y permite evaluar la cantidad de líneas de algún campo vectorial que cortan en forma perpendicular a una cierta superficie. Por consiguiente, aunque el “flujo” sea utilizado en muchas áreas de la Física y de la Ingeniería, sus fundamentos deben buscarse en el Cálculo. En el Análisis Matemático se definen dos tipos de entes denominados campos: vectoriales y escalares. Un campo vectorial es una relación entre un conjunto dominio cuyos elementos son vectores y un conjunto codominio cuyos elementos son también vectores; un campo escalar es una relación entre un conjunto dominio cuyos elementos son vectores y un conjunto codominio cuyos elementos son escalares. En el caso del Campo Eléctrico, vectorial, su

dominio es el conjunto de vectores posición ( r

, t) del espacio-tiempo, y su codominio son los vectores intensidad de

campo eléctrico E

; un campo vectorial se visualiza generalmente mediante diagramas de líneas orientadas (en este caso, líneas de campo eléctrico). En el caso de la Temperatura, un campo escalar, su dominio es el conjunto de

vectores posición ( r

, t) del espacio-tiempo, y su codominio está formado por las distintas temperaturas asociadas a los puntos de la región estudiada durante el tiempo que sea; un campo escalar se visualiza generalmente mediante diagramas de curvas de iguales valores (en este ejemplo, isotermas). El concepto de flujo está asociado a los campos vectoriales, ya que es inherente al mismo analizar la relación entre un conjunto de líneas de campo con una cierta superficie, y las líneas de campo están asociadas a su vez a un conjunto de vectores (el codominio del campo vectorial).

Dado entonces un cierto campo vectorial v

(que podría ser E

, B

, g

, o el conjunto de velocidades de las moléculas

de agua en un río), con su correspondiente diagrama de líneas de campo, se puede hablar del “flujo del campo v

con respecto a una superficie S”, relevando cuántas líneas cortan la superficie en forma perpendicular a la misma (siendo S en general una superficie “abierta”, que no particiona el espacio R3). Este relevamiento puede ser hecho en forma gráfica, mucho más impreciso aunque válido desde lo cualitativo, o en forma analítica, a través de la expresión:

sdvΦ

S

s,v

Finalmente, existen también en el Cálculo dos herramientas que permiten relacionar mutuamente, en ciertos casos, un campo escalar y un campo vectorial: el gradiente y la función potencial. Ambos serán tratados en su aplicación para campos electrostáticos más adelante.

107

Sin embargo, la Ley de Gauss es mucho más que una integral de flujo, ya que si bien utiliza este concepto incorpora al mismo algunas restricciones muy importantes.

La Ley de Gauss consiste en evaluar el flujo del campo eléctrico E

en una cierta región del espacio R3, pero a través de una superficie “cerrada”: aquella superficie que delimita en el espacio R3 dos regiones estancas, sin intersección. Es decir, una superficie cerrada define una partición de R3, formada por dos subespacios, uno interior y otro exterior a la superficie. Esta fuerte restricción es lo que permite relacionar las propiedades del campo eléctrico relevado sobre esa superficie con la materia existente en la región del espacio tridimensional interior a la misma. Es decir, lo que suceda con el flujo sobre la superficie cerrada, estará vinculado con la materia, en particular con la carga eléctrica, que exista en el volumen interior a la superficie. La Ley de Gauss entonces es la ley fundamental que relaciona a la Materia, a la carga eléctrica en particular, con el Espacio-Tiempo a través de relevar las características de la perturbación que aquella generó (lo que hemos denominado “campo eléctrico”) sobre una superficie cerrada en R3. La Ley de Gauss es una ley general del Electromagnetismo, es válida siempre y para todas las situaciones físicas posibles de ser analizadas, sean o no electrostáticas.74

Su formulación es la siguiente: S,E

S,E 0

netaqsdE

75

En términos coloquiales, la Ley de Gauss establece que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie gaussiana (cerrada, tridimensional) es directamente proporcional a la carga eléctrica neta (sólo el exceso de carga entre positivas y negativas), ubicada en el interior de esa superficie. La constante de proporcionalidad en esta Ley está dada por la inversa de la constante dieléctrica del medio material en el que se esté trabajando (del vacío, en el caso de Física II, o del agua, aceite, etc., en otro tipo de análisis, quizás más cercano a la Tecnología).

74 Debe recordarse que los conceptos de superficie gaussiana, de flujo, de integral de superficie, etc., son conceptos de

tipo matemático, que no tienen (ni requieren tener) existencia física concreta en el mundo estudiado por la Física. Sin embargo, en las distintas situaciones reales bajo estudio nada impide que una superficie física “real” (la atmósfera terrestre modelizada como una esfera perfecta) se haga coincidir con una superficie esférica “matemática” y que a partir de esa representación se pueda calcular el flujo del campo electromagnético producido por el Sol a través de la atmósfera. Es decir, se “copia” la superficie real con una gaussiana, y se trabaja “como si” lo que evaluamos sobre la gaussiana es lo que sucede sobre la superficie real, aunque sin olvidarnos de que la Ley de Gauss es un ente matemático, utilizado para modelizar convenientemente la realidad física.

75 Dado que la Ley de Gauss es la herramienta fundamental para poner en evidencia la relación entre la Materia y las

perturbaciones en el Espacio-Tiempo que ésta genera, existirán entonces tres leyes de Gauss: la recién presentada,

para el campo eléctrico E

, una para el campo magnético B

y otra para el campo gravitatorio g

. En los tres casos, el

flujo del campo correspondiente a través de la superficie gaussiana relevada estará relacionado con la propiedad de la Materia que consideramos es la responsable de la generación del campo bajo estudio (cargas o masas). Estas tres leyes son las de mayor nivel teórico que permiten comprender la relación entre la Materia y el Espacio-Tiempo a través de los campos macroscópicos existentes (electromagnético y gravitatorio).


108

KARL FRIEDRICH GAUSS

Karl Friedrich Gauss nació en Brunswick, Alemania, el 30 de abril de 1777, y falleció en Göttingen el 23 de febrero de 1855. Nacido en el seno de una familia humilde de campo, Gauss fue un niño prodigio que ya a los tres años le indicó a su padre un error en la forma en la que contaban los animales en su granja. Cuando tenía diez años, un profesor en la escuela dio la tarea de sumar los primeros cien números naturales (seguramente pensando que durante un buen rato sus alumnos estarían ocupados). Pero, para su desazón y sorpresa, rápidamente Gauss dio la solución: 5050. El pequeño genio había operado mentalmente, dándose cuenta de que agrupando el primer número con el último, el segundo con el penúltimo, y así sucesivamente, se formaban 50 pares cuya suma parcial era, en todos los casos, 101; así, multiplicando 50 por 101 se llegaba a la solución (había resuelto una “progresión aritmética”). Apoyado por el Duque de Brunswick, estudio en el Collegium Carolinum y en la Universidad de Göttingen, generando contribuciones relevantes en Astronomía, Física (mecánica, temas de capilaridad, etc.), Matemática, Geometría (desarrolló un método para construir polígonos regulares, problema sin solución desde la época de Euclides), etc. Gauss se doctoró a los veintiún años, siendo el primero en probar rigurosamente el Teorema Fundamental del Álgebra (sobre la forma de las raíces de los polinomios) y en 1801 publicó las Disquisitiones Arithmeticae, trabajo fundamental para la Teoría de Números (muestra cómo expresar cualquier número natural como producto de primos, cómo representar números complejos, etc.). En ese mismo año calcula la órbita del asteroide Ceres, descubierto meses antes por Piazzi, desarrollando una técnica que aún hoy manejamos: el ajuste por Cuadrados Mínimos. Designado en 1809 Director del Observatorio de Göttingen, publicó luego Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium, en la cual perfecciona cómo calcular la órbita de un planeta, profundizando el desarrollo de las ecuaciones diferenciales y de las secciones cónicas. Quizás haya sido Gauss la primera persona en intuir la independencia del postulado de las paralelas en la estructura lógica de la Geometría de Euclides (el Quinto Postulado), y de esta manera anticipó en años el desarrollo de las “geometrías no euclidianas”. En 1823 publica Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae, obra dedicada a la Estadística, en la cual desarrolla la “distribución normal” y su forma gráfica, la “campana de Gauss”, utilizada en una enorme diversidad de campos del conocimiento actual. En su obra Disquisitiones generales circa superficies curva, de 1828, trabaja sobre Geometría Diferencial, y es allí donde desarrolla el concepto de “curvatura gaussiana”, útil para la Geodesia y los trabajos sobre la superficie terrestre. Junto con su amigo Wilhelm Weber, en 1831 inicia un proceso de varios años en los que se dedican a profundizar sobre los conocimientos de la época en electricidad y magnetismo, en particular sobre el concepto de potencial, construyendo en 1833 un primer telégrafo eléctrico. En 1841 publicó tratado sobre Óptica Investigaciones dióptricas, en el que demuestra que un sistema de lentes cualquiera es siempre reducible a una sola lente con las características adecuadas. Continuó trabajando y en su puesto como Director del Observatorio de Göttingen hasta su muerte.

109

Cálculo del flujo de un campo eléctrico a través de una superficie cerrada Comprenderemos mejor la importancia de la Ley de Gauss, su funcionamiento y la metodología para calcular el flujo a que hace referencia la misma, a través del análisis de algunos ejemplos. En primer lugar, es necesario analizar en profundidad la estructura del producto escalar diferencial que constituye el integrando de la expresión matemática general. Se define a este fin, en cada punto de la superficie, un plano diferencial cuya superficie tiene un valor ds y se considera que está orientado espacialmente, dada esta orientación por un vector de módulo unidad perpendicular a la superficie diferencial. El ángulo entre el vector diferencial de superficie y la línea de campo que pasa por el punto central del plano diferencial, es lo que permite analizar si la línea corta o no a la superficie gaussiana. Podemos ver tres formas de que una línea de campo se relacione con uno de estos planos diferenciales: cortándolo en forma perpendicular (0° o 180°), cortándolo con un cierto ángulo (0°<ángulo<90°, o 90°<ángulo<180°,) o siendo tangente al mismo (90°), es decir no cortándolo. Dividiendo al vector campo en dos componentes, una perpendicular y una tangencial, vemos que la tangencial no corta la superficie, y la perpendicular sí, aunque en general su módulo sea menor que el módulo total del campo en ese punto.

Distintas formas en que una línea de campo puede cortar un elemento diferencial de superficie.

La integral de flujo es una herramienta matemática que permite seleccionar las componentes de un cierto campo vectorial (en nuestro caso el campo eléctrico) que en cada punto de una superficie cortan a la misma exclusivamente en forma perpendicular (no interesan las componentes tangenciales a la superficie).76

76 En el proceso de cálculo del flujo del campo eléctrico, no nos interesa puntualmente saber cuántas líneas o cómo son

o con qué ángulo cortan la superficie, o si son tangentes y no cortan la superficie, sino que la herramienta matemática elegida nos brinda la sumatoria total de las distintas componentes que cortan esa superficie en forma perpendicular, dado esto por la existencia del producto escalar en el integrando de la fórmula anterior.

Si el análisis fuera sólo gráfico, sí necesitaríamos identificar cada línea y evaluar su particular forma de cortar la superficie gaussiana, aunque es claro que el análisis gráfico no permite analizar la potencial variedad de ángulos entre líneas y planos de superficie con total completitud, por lo que la resolución gráfica de un problema es, principalmente, orientativa y una ayuda para imaginar, aunque no brinda una resolución acabada. Por esto, la anterior expresión matemática es superadora, más profunda y rigurosa que la exploración gráfica, con posibilidad de cuantificar la relación bajo estudio entre el campo y la superficie.


110

La forma de discriminar qué componente del campo en cada punto corta a la superficie diferencial en forma perpendicular, es a través del producto escalar que aparece en el integrando de la expresión integral para el flujo; se lo denomina “producto escalar diferencial”.

Un elemento diferencial de superficie y su relación espacial con la línea de campo que pasa por el punto central al mismo.

Es decir, el producto escalar diferencial genera que, en cada punto sobre la superficie (gaussiana o no), se seleccione “automáticamente” qué componente de la línea de campo que pasa por allí es perpendicular al plano tangente a la superficie en el punto. Esto se logra proyectando el módulo del campo en el punto sobre la dirección perpendicular al plano diferencial a través del producto entre el

módulo y el coseno del ángulo que forman éste y el vector diferencial sd

:

dsEdsθcos.EθcossdEsdE perp

.

Al sumar luego los resultados de estos productos escalares diferenciales a través de la integral, habremos sumado todas las “componentes” de las líneas que, en el punto central de cada elemento diferencial de superficie, van cortando perpendicularmente esa superficie, multiplicadas cada una por el valor de la superficie del correspondiente plano diferencial. A eso se le llama “flujo del campo eléctrico a través de una superficie”; si ésta es cerrada (una gaussiana), habremos aplicado (calculado) en un caso concreto una de las leyes fundamentales del Electromagnetismo, la Ley de Gauss. La Ley de Gauss nos permite evaluar qué sucede en los puntos de esa superficie cerrada matemática que denominamos “superficie gaussiana” al estar en una región del espacio R3 en la que existe un campo eléctrico. Lo que resulte de ese análisis, el flujo gaussiano, tiene una relación muy importante con la materia que hay dentro de la gaussiana: la carga eléctrica neta (suma algebraica de positivas y negativas) encerrada en ella (en el subespacio interior a la superficie cerrada).

111

Deducción de la Ley de Gauss a partir del campo generado por una carga puntual Tomemos la más sencilla distribución de materia con su propiedad de carga eléctrica, una carga puntual positiva +q 77, y calculemos el flujo del campo eléctrico que ésta produce a través de una superficie cerrada, tanto en forma gráfica como en forma analítica. Una característica importante que tiene la Ley de Gauss, específicamente a los fines del cálculo, es que nos va a permitir resolver en forma sencilla y rápida la parte analítica de muchas situaciones, siempre que seamos lo suficientemente “hábiles” como para elegir una superficie gaussiana cuya simetría esté de acuerdo con la simetría del problema bajo estudio. Como las gaussianas son superficies matemáticas, ideales, hay infinitas, y siempre será posible elegir una que nos convenga.78 Una carga puntual tiene simetría esférica; por esto y por las propiedades del Espacio, podremos dibujar a priori las líneas del campo que genera asumiendo una distribución uniforme, también con simetría esférica, dirigidas esas líneas hacia afuera por ser el signo de la carga generadora positivo. Elegimos una superficie gaussiana de forma esférica, cuyo radio es r (genérico), concéntrica con la carga q, y calcularemos la integral de superficie a través de la esfera sumando todos los productos escalares diferenciales (es decir, el flujo total). Gráficamente debemos tomar la esfera y subdividirla en elementos ds equivalentes entre sí, unitarios y cada uno orientado como le corresponda (los diferenciales de superficie tienen una superficie “tendiente a cero”, por lo que su cantidad tiende a infinito, ya que se trata de cubrir perfectamente la superficie con planitos diferenciales).

El vector sd

es perpendicular a los planitos y de dirección y sentido hacia fuera (hacia la parte convexa), en el caso de una esfera su dirección será radial. Cabe destacar que la dirección y sentido de los planitos diferenciales de superficie está dada únicamente por la geometría de la gaussiana elegida y no tiene ninguna relación con la distribución de carga ni con el campo bajo estudio.

Resolución gráfica de la Ley de Gauss para una carga puntual positiva (izq.) y una esfera espejada (der.), un buen ejemplo para imaginar cómo un conjunto de pequeños planitos puede cubrir una superficie cualquiera.

77 Una carga de “prueba”, por definición, siempre es positiva; una carga “generadora” puede ser tanto positiva como

negativa. 78 Por ejemplo, al estudiar la carga puntual, bien podría elegir una gaussiana que fuera un cilindro y, desde lo

matemático, no habría impedimento alguno, llegando al final al mismo resultado que si la gaussiana hubiera sido una esfera concéntrica con la carga. Lo que hace fundamentalmente distinta a una elección de la otra es la dificultad en el procedimiento analítico para obtener el resultado buscado: en el caso del cilindro sería bastante complejo, en el caso de la esfera veremos que será muy sencillo.


112

Por el Principio de Superposición, podemos considerar que el flujo a través de una superficie cerrada es igual a la suma de los flujos a través de pequeñas superficies abiertas que cubren la superficie total (cada planito es una superficie abierta, pero el empalme entre todos los planitos da una superficie cerrada). Por esto, estamos habilitados a calcular flujos diferenciales a través de pequeñas superficies abiertas, para luego sumarlos, integrando, y considerar que el resultado es el flujo total a través de una superficie cerrada (no diferencial, “macroscópica”). Es decir:

n321 ΦΦΦΦΦ

Ahora vamos a hacer el proceso de armar la integral “a mano”, en vez de usar directamente el algoritmo matemático de la integral (algoritmo que fue diseñado justamente para no tener que hacer “uno a uno” el cálculo que, por razones didácticas, sí haremos a continuación). Tomando un planito cualquiera, hacemos el producto escalar diferencial, lo que implica evaluar la relación entre ambos vectores E y ds en el punto central del planito bajo análisis:

111111111 θcosdsEθcossdEsdEΦ

Esquema que muestra el planteo gráfico y analítico para deducir la expresión final de la Ley de Gauss.

113

Y sucesivamente analizamos el resto de los planitos:



nnnnnnnnn θcosdsEθcossdEsdEΦ

La suma de todos los productos escalares diferenciales sobre la superficie gaussiana será:

nnn333222111

n

1i

ii θcosdsEθcosdsEθcosdsEθcosdsEsdE

(D)

Analizando cada término de esta expresión, buscamos si tienen algo en común: la “gracia” de hacer concéntrica la superficie esférica gaussiana con la carga generadora es que todo tiene una simplicidad geométrica muy fuerte.

En primer lugar, y en concordancia con el planteo gráfico original, notamos que todos los ángulos son iguales, y que su valor es igual a cero. Esto se debe a que por ser las líneas de campo radiales

hacia afuera, están punto a punto en la misma dirección y sentido que los vectores sd

, en todos los puntos sobre la superficie gaussiana (vectorialmente, la dirección y sentido en cada punto va cambiando porque van barriendo la superficie de la esfera, pero de igual modo cambia la línea de campo correspondiente a ese punto).

En síntesis, se cumple que sd//E

, punto a punto, por lo que todos los cosenos de la expresión

anterior valen uno (cos 0°=1) y la misma toma la forma:

)0θθθ(θdsEdsEdsEdsEsdE n321nn332211

n

1i

ii

79

Por ser la geometría de la distribución de carga de tipo esférica (una carga puntual) y por ser la superficie gaussiana elegida una esfera (radio r constante), ubicada en forma concéntrica con la carga puntual, es posible concluir que los módulos de los vectores campo eléctrico en cada punto de la superficie tendrán módulo constante (las líneas están “igualmente apretadas”, su densidad superficial es la misma, constante, a través de todos los planitos diferenciales que cubren la esfera), aunque no así su dirección y sentido (es importante recordar que si se cambia el r, obviamente cambiará el módulo del campo a esa distancia de la carga generadora respecto al r fijo de la gaussiana).

79 Si la gaussiana, aún siendo una esfera, se hubiera ubicado excéntrica con respecto a la carga puntual, las líneas de

campo y los vectores diferenciales de superficie hubieran formado ángulos distintos entre sí en cada punto de la superficie, y la simplificación anterior no hubiera sido posible. Sin embargo, la Ley de Gauss habría sido válida sin ninguna diferencia entre ambos casos.


114

Se podrá escribir por consiguiente:

)EEEE(E)dsdsdsds(EsdE n321n321

n

1i

ii

Sumando ahora los diferenciales de superficie del paréntesis, lo que en definitiva implica calcular la superficie de la esfera gaussiana (una superficie en el espacio R3), llegamos a:

esfera

n

1i

ii SuperficieEsdE

La expresión anterior es aún una sumatoria de elementos discretos. Si hacemos que cada planito sea lo más pequeño posible, por lo que el valor de su superficie tendería a cero, la cantidad de planitos tendería a infinito y la sumatoria se convierte en una integral (gráficamente, cuanto más pequeños sean los planitos mejor cubrirán la superficie cerrada total en el espacio tridimensional). Es decir:

esfera

n

1i

ii sdEsdEnSi

Por consiguiente, sabiendo que el campo que produjo este flujo es generado por la única carga existente en esta situación (una carga puntual cuyo campo es coulombiano), podemos escribir:

2

2

0

2

esfera

r4πr

q

πε4

1r4πEsdE

Finalmente, llegamos a que:

0

neta

esferaε

qsdE

Ley de Gauss

Es importante recordar que la Ley de Coulomb, recién utilizada, es válida sólo para una carga puntual, en el sentido de ser la más pequeña porción de materia con propiedades de carga eléctrica. Su potencialidad está basada en considerar a cualquier cuerpo cargado como formado por incontables porciones de carga, posibles de ser consideradas puntuales, cada una de las cuales genera su propio campo eléctrico de valores muy pequeños (diferenciales) en un cierto punto del espacio, y luego, por el Principio de Superposición, sumar (integrar) esas contribuciones diferenciales y llegar a la expresión del campo que la distribución como un todo genera en el punto en cuestión. Por esta razón, la Ley de Coulomb es una herramienta de cálculo general, muy potente, pero que puede tornar engorrosa una resolución analítica si la geometría de la situación bajo estudio no es sencilla.80

80 Recordemos además que la Ley de Coulomb conserva el espíritu, en su origen empírico, de la “acción a distancia”

propia de una visión newtoniana del universo, y no de una visión de “campo” como la que desarrollamos en Física II.

115

Por su parte, y en el sentido más general, la Ley de Gauss “dice” muchas más cosas que la Ley de Coulomb: que la carga neta encerrada no es necesariamente la que generó el campo, que la integral de flujo relaciona al campo existente en una región del espacio con la carga eléctrica neta encerrada en esa región, etc. Es decir, toma en cuenta tres elementos fundamentales: la Materia (que puede estar adentro, afuera, adentro y afuera de la gaussiana, o directamente no haber materia), un Campo, eléctrico en este caso, y una región limitada del Espacio (y del Tiempo) a partir de la partición que genera en R3 la gaussiana, analizando sus mutuas relaciones.81 Por esta razón, decimos que la Ley de Gauss es una ley de alto nivel en la fundamentación teórica del Electromagnetismo, una de las cuatro Leyes de Maxwell, y es siempre válida, aún para aquellos campos eléctricos no electrostáticos, variables en el tiempo. 82 Sin embargo, la Ley de Gauss es una herramienta de cálculo muy restringida, ya que depende fuertemente de que la situación bajo estudio tenga una alta simetría espacial (esferas, cilindros, planos), a diferencia de la Ley de Coulomb que a este fin es mucho más adecuada, ya que no requiere de ninguna consideración por simetrías u otras. Algunas consideraciones sobre cómo utilizar la Ley de Gauss La Ley de Gauss tiene dos miembros: la integral de superficie, a través de una superficie cerrada, del producto escalar entre el campo eléctrico sobre los puntos de esa superficie y el diferencial de

superficie ( sdE

), y el cociente entre la carga neta encerrada por la gaussiana y la constante

dieléctrica del vacío (0

neta

ε

q). En general, nos referiremos en ambos casos al flujo total del campo

eléctrico a través de la superficie cerrada (S , E

Φ ), aunque dependiendo de la situación bajo estudio

podremos focalizar nuestra atención sobre la integral, o bien sobre la carga neta. En general, cuando se trabaja analíticamente se hace énfasis en la resolución de la integral, y cuando se trabaja gráficamente se hace énfasis en “contar líneas”, evaluando el dibujo hecho utilizando las relaciones de simetría entre la superficie y el campo y relacionándolo con la carga neta encerrada. Es esencial tener en cuenta, a este fin, que una de las características fundamentales de la Ley de Gauss es que la carga que aparece en la expresión no es, necesariamente, la generadora del campo que se releva sobre la superficie gaussiana. Es decir, podemos afirmar que:

81 Cabe resaltar nuevamente que la Ley de Gauss no releva estas relaciones ni en el volumen exterior ni en el volumen

interior definido por la gaussiana, sólo sobre la superficie gaussiana.

82 La Ley de Gauss incorpora la noción de “campo”, ya no de “acción a distancia”, en la nueva visión del universo, que

comienza a construirse a partir de Faraday, Maxwell y otros.


116

Aislar una distribución de carga con alta simetría, considerar que es lo único que existe en el universo, y describir analítica y gráficamente el campo que genera a partir de la Ley de Gauss es un caso particular en que esta ley es válida y útil, pero no es un caso general. En el sentido más general, entonces, la carga neta encerrada y el campo estudiado no están necesariamente relacionados. Por ejemplo, supongamos que en una cierta región del espacio existe un campo E cualquiera, y que tenemos sólo el mapeo de las líneas de campo83, lo cual es orientativo, y queremos evaluar en una región del espacio las características del mismo. Para esto, entonces, ponemos una gaussiana. ¿De qué forma? Como este campo no tiene una simetría particular la gaussiana puede ser de cualquier forma (aunque siempre debe ser una superficie cerrada matemática, que no debe tener necesariamente una contraparte real). Observando la expresión de la Ley de Gauss, identificamos qué datos tenemos y cuál será la incógnita. En este ejemplo el dato es el campo, dado en forma gráfica, es decir: tenemos una parte del lado izquierdo de la expresión, y queremos averiguar el lado derecho, la carga neta encerrada en la gaussiana. No conocemos la expresión matemática de la gaussiana, la tenemos gráficamente pero no analíticamente, y tampoco conocemos la expresión de E aunque sí tenemos el mapeo de sus líneas, por lo que entonces tampoco conocemos el ángulo entre las líneas y los diferenciales de superficie punto a punto, no pudiendo evaluar los cosenos de los productos escalares diferenciales correspondientes. Por consiguiente, no nos será posible “desarmar” la integral. Lo único que podemos hacer es contar líneas, cualitativamente, porque tampoco nos es posible discriminar de qué forma cortan la superficie. Gráficamente podemos contar líneas que cortan la gaussiana, eso es el flujo en su sentido más simple. Si las líneas entran a la gaussiana, cortando con cualquier ángulo pero entrando, significa que los cosenos del producto escalar son de signo negativo, ds y E tienen sentidos opuestos, el flujo será negativo, y por consiguiente la carga neta encerrada tendrá signo negativo. Si, por el contrario, todas las líneas salen de la gaussiana, el flujo será positivo, y sólo podremos afirmar que hay “algo” con exceso de carga positiva adentro de la superficie y nada más (y dado que no contamos con un criterio gráfico que relacione cantidad de líneas con cantidad de carga, tampoco podríamos siquiera estimar cuantitativamente la carga neta encerrada).

83 Históricamente, mucho antes de que se contara con el conjunto integrado de las Ecuaciones de Maxwell, la forma

más rigurosa de conocer un campo electrostático era a partir de la realización de un muy buen mapeo gráfico de líneas de campo. En aquel momento, en los siglos XVIII y XIX, la convención para dibujar los mapas de líneas de campo

establecía que debían salir 4 líneas por unidad de carga electrostática; esa convención es la que dio origen al actual 4 en las ecuaciones del electromagnetismo. Hoy día la contraparte gráfica del análisis de los campos ha quedado en desuso a los fines cuantitativos y se utiliza sólo a los fines de imaginar y orientar el trabajo principalmente didáctico.

117

Es interesante comentar aquellos casos en los que es posible estimar un flujo total nulo. En tales casos, sólo es posible afirmar que la carga neta encerrada es cero, aunque no es posible afirmar nada sobre cuánta materia existe en esa región: podría directamente no existir materia, o bien podría existir materia en estado eléctricamente neutro, con iguales cantidades de carga positiva que de carga negativa. Ambas situaciones ejemplifican claramente que la carga que figura en la expresión de la Ley de Gauss no es la generadora, necesariamente, del campo que está en la integral de la misma.

Dos ejemplos en los que el flujo total a través de una cierta gaussiana es cero. En el caso de arriba, debido a que no existe carga dentro de la superficie,

y en el caso de abajo porque la carga neta encerrada en la gaussiana es cero.

Diagrama de líneas de un campo E, analizado mediante una gaussiana S.

Si las distribuciones de carga que generaron el campo están ubicadas en el el exterior de la gaussiana, el flujo total

a través de la misma será cero.

0ΦS , E


118

0ε

q

El caso de un dipolo eléctrico aislado nos permitirá ejemplificar al mismo tiempo varios de los casos antes tratados, ya que según sea la gaussiana elegida, el flujo total del campo del dipolo a través de la misma será distinto. A través de las gaussianas S1 y S2, los flujos no son nulos, valiendo en ambos casos , respectivamente, debido a que ambas superficies encierran carga neta. A través de las gaussianas S3 y S4, los flujos son nulos, aunque por distintas razones: en el primer caso porque no hay carga neta encerrada, y en el segundo caso porque la gaussiana encierra a l dipolo como un todo, siendo éste una distribución de carga con carga neta igual a cero.

Diagrama de líneas del campo E de un dipolo eléctrico aislado, el cual es explorado mediante distintas superficies gaussianas.

A la luz de este ejemplo, vale entonces recordar que:

Es decir, la Ley de Gauss es “ciega” a la cantidad de carga de cada signo que pudiera existir dentro de la gaussiana, sino que sólo “ve” la carga neta encerrada por la superficie.

q

q

0

1

qΦ

0Φ3

0Φ4

0

2

qΦ

0q0Φ0Φ0q encerradaencerrada

119

Finalmente, un ejemplo que sintetiza los casos analizados en los párrafos anteriores es el de una distribución de carga que contenga materia dentro y fuera de la gaussiana, con lo que entonces el campo relevado sobre los puntos de su superficie sería el resultante de los campos producidos por las contribuciones de ambas cargas, y el flujo total la suma de los respectivos flujos.

Dos distribuciones de carga (una puntual y otra no puntual) generan un cierto campo en una región del espacio. El flujo del campo generado por las cargas

externas a la gaussiana es siempre nulo, mientras que el flujo del campo generado por la carga interna a la gaussiana será proporcional a la misma.

En síntesis, es importante resaltar que la Ley de Gauss es una ley general que relaciona a la Materia con el campo eléctrico existente en una cierta región del Espacio, usando como herramienta a lo que hemos denominado una “gaussiana”. La Ley de Gauss no relaciona cargas con los campos que éstas generan, sino zonas (superficies) en el espacio R3 perturbadas por campos eléctricos, con la materia existente en el volumen interior a esa región, sea o no ésta la generadora del campo. Dada entonces una cierta cantidad de Materia (que puede estar “desparramada” por distintas zonas del Espacio, por todas partes, muy cerca o lejos en el infinito), toda esa materia, sin excepción, es la que está generando el campo existente en la región bajo estudio, relevado en particular sobre la superficie gaussiana (matemática y arbitraria, no necesariamente coincidente con un objeto real). Las cargas que generaron ese campo puede quedar dentro o fuera de la gaussiana, y de esa situación también arbitraria dependerá el valor del flujo total a través de la superficie. Relevar el flujo del campo eléctrico existente en una cierta región del espacio a través de distintas gaussianas, nos permitirá comprender, finalmente, cómo es la relación entre el Espacio, la Materia y el campo asociado. Por esta razón, la Ley de Gauss no sólo vale para campos electrostáticos, en los cuales la distribución de carga generadora del campo bajo estudio queda fija con respecto a un sistema de referencia, sino que vale para todo tipo de campo, incluso para los variables en el tiempo, lo que la hace una Ley fundamental del Electromagnetismo

E total = E ext + E q

0

S q, ES ext, ES total,E

q0ΦΦΦ

S (gaussiana)


120

0

neta

erficiesup

qsdE

Cálculo del campo generado por una distribución esférica Es posible deducir la Ley de Coulomb a partir de la aplicación de la Ley de Gauss a una carga eléctrica puntual aislada q, eligiendo una gaussiana esférica concéntrica con la misma. Este análisis es inverso al realizado en el apartado anterior, en el cual dimos por hecho que el campo eléctrico generado por una carga puntual es conocido y calculamos el flujo de este campo a través de una superficie cerrada (obteniendo una expresión general a partir de un caso particular). En lo que haremos a continuación, daremos por hecho que la Ley de Gauss es conocida, pero que no se conoce el campo que produce una carga puntual, lo que hallaremos como resultado de la aplicación de esta Ley (obteniendo una expresión particular, a partir de una ley general). Retomando la expresión general de esta Ley de Maxwell, , la aplicaremos al caso particular de una carga +q, aislada en el universo. Es importante resaltar que sólo en este caso es posible afirmar que el campo eléctrico cuyo flujo relevaremos sobre la gaussiana fue generado por la carga neta encerrada por esta superficie matemática. En todos los demás casos posibles de ser estudiados, la carga neta encerrada NO es la generadora del campo eléctrico cuyo flujo se estudia en la Ley de Gauss. El dato fundamental a partir del cual partiremos para este cálculo es la distribución de carga: una carga puntual, positiva, cuya simetría, por consiguiente, es esférica o central. Así, y por las propiedades de isotropía y homogeneidad del Espacio, es posible afirmar que la simetría del campo eléctrico (electrostático) generado por esta carga tendrá a su vez la misma simetría: líneas rectas que salen radialmente de la carga, con una distribución uniforme. Ya es posible, entonces, dibujar cómo sería el diagrama de líneas de campo, y, consecuentemente, cuál gaussiana utilizaremos para el cálculo correspondiente: una esfera concéntrica con la carga generadora, de radio genérico r.

Diagrama de líneas del campo eléctrico generado por una carga puntual (simetría esférica). Para su cálculo, a través de la Ley de Gauss, utilizaremos una gaussiana esférica concéntrica con la carga.

121

En este caso la carga neta encerrada por la gaussiana es la única carga que existe en el universo, el dato del problema.

0esfera

qsdE

Por la simetría espacial (central) de la situación bajo estudio, en cada punto de la superficie gaussiana se cumple que las líneas de campo y los vectores diferenciales de superficie son colineales y en el mismo sentido (en este caso, por ser la carga positiva). Es decir, se cumple que en cada uno de los n productos escalares diferenciales de la expresión

anterior ( nnnnn θcosdsEsdE

), el valor del ángulo que forman el vector campo eléctrico y el

diferencial de superficie correspondiente es igual a cero ( 0θn ), con lo que todos los cosenos

valen uno (cos 0°=1). La expresión queda, entonces, como:

0esferaε

qds.E

Además, por ser la gaussiana (una esfera de radio r) concéntrica con las líneas de campo generado por la carga, es posible afirmar que en cada punto de esta superficie habrá igual densidad superficial de líneas de campo (las líneas no estarán más apretadas en una zona de la esfera que en otra, sino que estarán igualmente distribuidas por toda la superficie). Esto nos indica que el módulo del campo eléctrico bajo estudio será constante sobre todos los puntos de la gaussiana, por lo que podremos sacarlo fuera de la integral como factor común:

0esferaε

qds.E

La integral de superficie a través de una superficie esférica de radio r, da como resultado el valor

2r4π , quedando la expresión anterior como:

0

2

ε

qr4πE

Llegamos entonces a que el módulo del campo bajo estudio sobre los puntos de la gaussiana es:

2

0 r

q

πε4

1E

Por último, recuperamos la información de la naturaleza vectorial del campo bajo estudio, la que incorporamos originalmente en el dibujo, llegando a la expresión final del campo eléctrico generado por una carga puntual:

rr

q

4π

1E

2

0

puntual

la cual es la expresión habitual de la Ley de Coulomb.


122

Cálculo del campo generado por una distribución de carga plana continua Aplicaremos la Ley de Gauss para calcular el campo eléctrico que genera una distribución de carga no puntual y no discreta, ubicada sobre una superficie metálica de simetría plana y extensión infinita,

con densidad superficial de carga continua y homogénea . El caso es particularmente importante ya que muchas situaciones de la vida real pueden resolverse utilizando como aproximación este ejemplo: capacitores planos, superficies metálicas extensas cargadas, etc. Dada la simetría de la distribución de carga, elegiremos una gaussiana cilíndrica (podría haber sido un cubo también), cuyo eje es perpendicular al plano cargado y sus tapas tienen una superficie de valor diferencial, de modo tal que una de las tapas queda dentro del metal de la placa cargada, y la otra tapa queda en el espacio vacío que la rodea (ver la figura de abajo). Por el Principio de Superposición, es posible calcular el flujo total a través de la gaussiana calculando los flujos a través de las tres superficies abiertas que forman el cilindro (la tapa de la izquierda, el cilindro abierto y la tapa de la derecha). Es decir, calcularemos:

0

neta

dertapa

derder

cilindro

cilcil

izqtapa

izqizq

cilindroε

qsdEsdEsdEsdE

Cálculo del campo eléctrico generado por una distribución de carga continua, ubicada sobre un plano metálico infinito, mediante la utilización de una gaussiana cilíndrica.

0E

plano metálico infinito,

con densidad superficial

de carga

123

Analizando cada una de las integrales de flujo de la expresión anterior, vemos que es:

0sdEizqtapa

izqizq

, debido a que el campo eléctrico en el interior del metal de la placa es nulo.

0sdEcilindro

cilcil

, debido a que en cada punto del lateral del cilindro gaussiano los vectores campo

eléctrico y diferencial de superficie forman un ángulo de 90°, por lo que su producto escalar es siempre igual a cero.

dertapa

derder

dertapa

derder 0cosdsEsdE

, debido a que en cada punto de la tapa derecha ambos

vectores son paralelos y del mismo sentido.

Así, llegamos a que el flujo total a través de la gaussiana elegida es:0

neta

der

derder

cilindroε

qdsEsdE

.

Dado que el campo eléctrico bajo estudio fue generado por una distribución continua homogénea de simetría plana, podemos afirmar que (por las propiedades del Espacio y del Tiempo ya analizadas) el campo será “uniforme”: un campo cuyas líneas son rectas paralelas igualmente distribuidas, y cuyos valores punto a punto son constantes.

Por esto, la integral anterior queda de la siguiente forma: 0

neta

der

derderε

qdsE .

Finalmente, podemos transformar la expresión anterior de la siguiente manera: 0

der

der

netader

εds

qE

Si bien no conocemos cuál es la carga neta total que hay sobre la placa metálica estudiada, sí

conocemos la densidad de carga superficial que existe sobre la placa ya que es uno de los datos de la situación analizada. Al resolver la integral en el denominador de la expresión anterior, haciendo tender la superficie diferencial de la tapa del cilindro gaussiano al valor total del área de la placa metálica, llegamos a la expresión del valor del campo eléctrico generado por un plano metálico cargado uniformemente:

0

netader

εA

qE

En función de la densidad superficial de carga, llegamos a la expresión final buscada: 0ε

E

La dirección del campo eléctrico generado por una placa metálica cargada uniformemente es perpendicular a su superficie, y el sentido estará determinado por el signo de la densidad de carga.84

84

Este resultado, hallado a partir de un caso particular, tiene validez general: toda vez que haya una discontinuidad exterior-interior entre medios materiales del tipo metal-metal, metal-vacío, con una de las caras metálicas cargada con

densidad superficial , el módulo del campo eléctrico en los puntos de la superficie cargada será igual al cociente entre la densidad de carga y la constante dieléctrica del vacío (y en el interior será nulo); más aún, esto es válido punto a punto, independientemente de la forma macroscópica que tenga la superficie cargada (esferas, cilindros, etc.).


124

Cálculo del campo generado por una distribución de carga cilíndrica continua De modo similar a lo realizado en el apartado anterior, aplicaremos la Ley de Gauss para calcular el campo eléctrico que genera una distribución de carga no puntual y no discreta, ubicada sobre un

cilindro de radio r y longitud infinita, con densidad lineal de carga continua y homogénea . Como antes, este caso es también importante dado que muchas configuraciones de la vida real pueden resolverse utilizando como aproximación este ejemplo: cargas sobre tendidos eléctricos aéreos, pilares y postes cargados electrostáticamente por fricción, fuselajes de aviones, etc. A partir de la simetría de la distribución de carga, podremos dibujar las líneas del campo eléctrico que la misma genera en el espacio que la rodea; las líneas serán rectas radiales, perpendiculares al eje del cilindro de carga, uniformemente distribuidas. Por la misma razón, entonces, elegiremos también aquí una gaussiana cilíndrica, coaxial con la línea de carga (ver la figura de abajo). Por el Principio de Superposición, es posible calcular el flujo total a través de la gaussiana calculando los flujos a través de las tres superficies abiertas que forman el cilindro (la tapa de arriba, el cilindro abierto y la tapa de abajo). Es decir, calcularemos:

0

neta

abtapa

abab

cilindro

cilcil

arrtapa

arrarr

cilindroε

qsdEsdEsdEsdE

Cálculo del campo eléctrico generado por una distribución continua de carga, con simetría cilíndrica, para lo cual utilizamos una gaussiana cilíndrica coaxial con la misma.

125

Analizando cada una de las integrales de flujo de la expresión anterior, vemos que es:

0sdEarrtapa

arrarr

, debido a que en todos los puntos de la tapa se cumple que: arrarr sdE

.

0sdEabtapa

abab

, debido a que en todos los puntos de la tapa se cumple que: abab sdE

.

cilindro

cilcil

cilindro

cilcil 0cosdsEsdE

, debido a que en cada punto del cilindro ambos vectores

son paralelos y del mismo sentido.

Así, llegamos a que el flujo total a través de la gaussiana elegida es:0

neta

der

cilcil

cilindroε

qdsEsdE

.

Por la simetría de la distribución de carga generadora (y por las propiedades del Espacio y del Tiempo ya analizadas), la densidad de líneas de campo que cruzan el cilindro abierto será constante:

es decir, el módulo del campo a una distancia r fija de la línea de carga, cilE , será constante.

Por esto, la integral anterior queda de la siguiente forma: 0

neta

cil

cilcilε

qdsE .

Finalmente, podemos transformar la expresión anterior de la siguiente manera: 0

der

cil

netacil

εds

qE

Si bien no conocemos cuál es la carga neta total que hay sobre la línea de carga infinita, sí

conocemos la densidad de carga lineal ya que es uno de los datos de la situación analizada. Al resolver la integral en el denominador de la expresión anterior, llegamos a la expresión del valor del campo eléctrico generado por una línea de carga continua infinita:

0

netacil

εlr2π

qE

Al hacer tender el largo l del cilindro gaussiano a infinito (para cubrir la totalidad de la distribución de carga lineal), tiende también a infinito la carga encerrada por la gaussiana; sin embargo, la relación entre el valor de la carga y el largo de la distribución se mantiene constante e igual al dato de la

densidad lineal de carga . Finalmente, la expresión del campo generado por la distribución continua lineal de carga es:

rε2π

1E

0

cil


126

Es importante recordar lo que ya expusimos en los anteriores apartados, con respecto a que la resolución de cualquier situación física bajo estudio, ya sea el cálculo de los distintos campos eléctricos generados por distribuciones de carga o bien el cálculo de las interacciones que se producen en el seno de los mismos, deben tener, siempre, una reconsideración sobre las suposiciones, simplificaciones, etc., que hayamos hecho al plantear tal resolución. Dado que en general estudiaremos situaciones con alta simetría espacial (central, axial o plana), y que esto hará que los planteos geométricos y de cálculo serán sencillos, deberemos tener especial cuidado en analizar, a posteriori de la resolución, cual es la “realidad” de la solución hallada para la situación estudiada (rango de validez espacio-temporal, distribución tridimensional, etc.). En el caso recién estudiado, deberemos entonces realizar esquemas (dibujos) para imaginar la configuración del campo hallado en el espacio tridimensional (R3), dado que no habrá, en este caso, restricción alguna en cuanto a limitar la validez de la expresión antes hallada. A este fin, y en casos que no son tan sencillos de imaginar, es importante realizar dibujos desde distintas perspectivas, como se muestra en la figura siguiente:

Diagramas de líneas de campo del campo eléctrico generado por una distribución lineal continua infinita de carga, según un plano que contiene

a la línea de carga (arriba) y según un plano perpendicular a la misma (abajo).

Es importante, finalmente, resaltar que consideraremos que la resolución de la situación bajo estudio será completa y satisfactoria sólo cuando hayamos visualizado el campo (vectorialmente), a través de un completo diagrama de líneas de campo como el que se muestra en la figura anterior, con el complemento de la expresión analítica (antes hallada) que permite calcular la intensidad del mismo en cualquier punto del espacio.

127

DIPOLO ELÉCTRICO Un dipolo eléctrico es una distribución de carga discreta, formada por dos cargas puntuales de igual cantidad pero de distinto signo, separadas por una distancia d, considerada fija (considerando al dipolo como un cuerpo rígido). El dipolo eléctrico es una distribución de carga muy importante porque permite profundizar en el modelo de Materia que estamos construyendo, y prácticamente se aplica a una gran cantidad de casos bajo estudio en la naturaleza y en la tecnología. Algunos ejemplos pueden ser los siguientes:

el agua y otras moléculas pueden considerarse dipolos eléctricos permanentes, lo que les da propiedades fisicoquímicas particulares;

la totalidad de los materiales dieléctricos pueden considerarse como un conjunto de dipolos que son afectados por campos externos orientándose espacialmente (polarizándose);

un átomo clásico puede “deformarse” sin ionizarse al interactuar con un campo exterior y la pérdida de simetría entre sus centros de carga lo convierte en un dipolo eléctrico “inducido”, efecto que desaparece cuando el campo deja de actuar;

un dipolo cuya distancia d pueda variar en el tiempo, es un oscilador elemental que constituye una antena emisora o receptora de ondas electromagnéticas.

Estudiaremos a continuación los dos Problemas de la Física, aplicados al caso del dipolo eléctrico: qué campo genera el dipolo, y cómo es perturbado el estado de movimiento de un dipolo que interactúa con un campo eléctrico exterior.

Esquema de una molécula de agua, en el que se muestra que la configuración espacial de sus centros de cargas positivo y negativo no coincide, por lo que se la modeliza a partir de

un dipolo eléctrico permanente (izquierda). Chorro de agua, formado por moléculas polares, interactuando eléctricamente con una barra de ebonita (derecha).


128

Cálculo del campo eléctrico que produce un dipolo sobre puntos de su eje Aplicando la Ley de Gauss a este caso, es evidente que la carga neta encerrada por una superficie gaussiana que encierre al dipolo será siempre nula, y por consiguiente también será nulo el flujo total a través de esa superficie; por esta razón, será conveniente realizar este cálculo utilizando la Ley de Coulomb. Para desarrollar el estudio vectorialmente es necesario poner un sistema de referencia; el sistema habitualmente se pone en lo que se llama el eje del dipolo: la línea que une las cargas, y el eje perpendicular sobre la mitad del eje que une las cargas.

Esquema que muestra el planteo gráfico para calcular el campo que genera un dipolo eléctrico en un punto ubicado sobre su eje.

Es importante analizar previamente si esta distribución de carga tiene alguna simetría espacial, lo que luego nos servirá para que los desarrollos matemáticos sean más sencillos. 85 Una primera simetría tridimensional es axial, según el eje del dipolo, pudiéndose analizar en los infinitos planos que contienen al eje del dipolo; dado que el Espacio R3 es isótropo, podemos tomar sólo uno de esos planos y los resultados que obtengamos serán válidos para cualquier otro de esos planos. Así, hemos “bajado” el problema bajo estudio de tres dimensiones a dos dimensiones. Ya en el plano R2 de la figura anterior, existen dos simetrías más, ambas bilaterales. Una con respecto al eje del dipolo: el semiplano correspondiente a valores positivos de la coordenada es simétrico al semiplano correspondiente a valores negativos de la misma coordenada. La segunda simetría es con respecto a la línea perpendicular al eje que pasa por el centro del dipolo: el semiplano correspondiente a valores positivos de la coordenada x es simétrico al semiplano correspondiente a valores negativos de la coordenada x. Observando la distribución de carga desde la perspectiva del punto P, es claro que la misma es una distribución no puntual. Sin embargo, es posible dividirla en dos partes, las dos cargas puntuales, y considerarla una distribución discreta.

85 Calcular el campo del dipolo en cualquier punto del espacio tridimensional es un poco más complejo que calcular el

campo en un punto sobre el eje del dipolo, ya que en este caso podemos aprovechar las simetrías antes descriptas, con lo que todos los cálculos a realizar serán muy sencillos. Sin embargo, tanto los aspectos conceptuales como los metodológicos son, en ambos casos, idénticos; vale resaltar nuevamente que sólo buscamos que la matemática en juego sea un poco más sencilla, con el único fin de facilitar la comprensión de la naturaleza física de la situación bajo estudio.

129

Aplicando la Ley de Coulomb a cada carga por separado, calculamos el campo que las mismas producen en el punto P, y luego, por el Principio de Superposición, podemos sumar ambas contribuciones y obtener el valor del campo que el dipolo produce en el mismo punto. Entonces será:

(x,0,0)PconPq,Pq,Pdip, EEE

Esquema que muestra la suma vectorial de los campos generados por cada una de las cargas de un dipolo eléctrico en el punto P.

Ambos vectores campo eléctrico están ubicados en la dirección del eje X, en el sentido positivo el correspondiente a la carga +q y en el sentido negativo el correspondiente a la carga –q. Sus respectivos módulos serán distintos debido a que la distancia desde cada una de las cargas hasta el punto P son diferentes: el módulo del campo generado por la carga positiva será menor al módulo del campo generado por la carga negativa. Por la simetría del problema, además, podemos concluir que el campo resultante no tendrá componentes sobre el eje Y. En definitiva, el módulo del campo eléctrico resultante (el campo del dipolo) en el punto P, será un vector ubicado sobre el eje X, en el sentido negativo de ese eje:

iE Pdip,Pdip, E

Desarrollando la expresión anterior, se llega a que: iE Pq,-Pq,Pdip, EE

siendo su módulo: 2q0

2q0

dip,Pr

(-q)

ε4

1

r

q)(

ε4

1E

Reemplazando los valores de las distancias de cada carga, y desarrollando:

20

20

dip,P

2

dx

q

ε4

1

2

dx

q

ε4

1E

22

0dip,P

2

dx

1

2

dx

1

ε4

qE


130

22

22

0dip,P

2

dx

2

dx

2

dx

2

dx

ε4

qE

2

dx2

4

dx.

2

dx2

4

dx

2

dx2

4

dx

2

dx2

4

dx

ε4

qE

22

22

22

22

0dip,P

4

dx4

8

dx2

2

dx2

8

dx2

16

dx

4

d

2

dx2

4

dxx

2

dx2

4

dx

2

dx2

4

dx

ε4

qE

22

33

342

23

224

22

22

0dip,P

Cancelando términos y agrupando cuando es posible, llegamos a:

16

d

4

dx2x

xd2

ε4

qE

42240

dip,P y finalmente es: iE

22

20

dip,P

4

dx

)dq(

ε2

x

Siempre que se trabaja con una distribución de cargas dipolar, aparece el producto de la carga eléctrica por la distancia de separación entre las cargas que forman el dipolo. Por esta razón, es conveniente definir un nuevo vector denominado “Momento Dipolar Eléctrico”, cuyo módulo será (q.d), aplicado en la carga negativa, con dirección según el eje X y cuyo sentido es desde la carga negativa hacia la carga positiva del dipolo. Vectorialmente, el momento dipolar eléctrico se expresa como:

)(dq ip

.

El momento dipolar eléctrico es un vector que representa cómo es el dipolo eléctrico, tanto a los fines de la generación del campo que producirá en el espacio que lo rodea, como a la forma en que interactuará con un campo exterior a él.

131

El dipolo eléctrico es una distribución de carga con la cual podremos mejorar el modelo de Materia que hemos desarrollado hasta aquí, y como nuestro interés radica en describir a la Materia a nivel macroscópico, más allá del rango de distancias de átomos y moléculas, cobra mucha importancia hacer una aproximación de la expresión recién hallada para valores muy grandes de la distancia entre el centro del dipolo y el punto P. Es decir, nos interesa trabajar en una región del espacio para la que se cumple que x>>d.

En este caso, es posible despreciar 4

d2

frente a 2x en la expresión anterior:

220dip,P

xε2

x pE

La expresión final para el campo eléctrico que genera un dipolo eléctrico en puntos muy lejanos sobre su eje es, entonces:

Campo de un dipolo eléctrico en puntos muy lejanos sobre su eje

En esta aproximación, sólo nos importará el valor de p, independientemente de si ese valor es debido a un par de grandes cargas ubicadas a corta distancia, o a un par de pequeñas cargas ubicadas a gran distancia. Siempre que el valor del momento dipolar sea el mismo, ambos dipolos serán, vistos a grandes distancias, totalmente equivalentes. Si comparamos las tres distribuciones de carga que hemos estudiado, la carga puntual, la distribución continua lineal y el dipolo, podemos notar la diferente dependencia que la intensidad del campo que generan tiene con la distancia a la distribución. Es decir:

3dipolo2puntualq1linealqxxx

1E

1E

1E

Esto, más que una curiosidad, nos da una idea de cómo funciona la Materia en sus aspectos eléctricos, desde las porciones más pequeñas (un electrón, por ejemplo) hasta las más grandes (los planetas, por ejemplo). La mínima porción de materia con propiedades de carga eléctrica sería una carga que, con respecto al entorno espacial bajo estudio, pueda considerarse un punto; la expresión del campo que genera es la dada por la Ley de Coulomb. Este campo decae rápidamente con la inversa del cuadrado de la distancia a la carga. Sin embargo, vista esta distribución de carga desde una gaussiana ubicada muy lejos, casi en el infinito, veríamos que existe carga neta encerrada y que a pesar de lo débil del campo habría algo de flujo neto a través de la superficie. La distribución lineal es continua e infinita, por lo que, a pesar de todo lo lejos que podamos irnos para analizarla, siempre habrá una porción de carga muy cerca del infinito, lo que producirá en definitiva que la intensidad de campo producido por esta línea de carga decaiga lentamente con la inversa de la primera potencia de la distancia a la carga. Desde la gaussiana, veríamos un flujo del mismo signo pero mucho mayor que el correspondiente al de la carga puntual.

30

dip,Pxε2

1 pE


132

Esto podría interpretarse como que la distribución lineal tiene, además de la carga diferencial ubicada sobre el origen de referencia, en la mitad de la línea, y comparable a la carga puntual, la contribución de todos los diferenciales de carga ubicados en los semiejes positivo y negativo de las Y, lo que hace que, punto a punto, este campo sea mayor que el de una carga puntual. Muy por el contrario, el campo generado por un dipolo decae muy rápidamente, ya que depende de la inversa de la tercera potencia de la distancia a su centro. Es decir, a poco que nos alejemos del dipolo, la intensidad del campo que genera es prácticamente nula y, punto a punto, varios órdenes de magnitud menor que las intensidades correspondientes a la carga puntual y lineal anteriores. Visto desde una gaussiana que encierre al dipolo, sin necesidad de que la misma esté ubicada muy lejos, siempre la carga neta encerrada será cero y por consiguiente el flujo neto también será nulo. Es decir, en un punto ubicado no tan lejos del dipolo no se verían líneas de campo cruzar por la región del espacio bajo análisis. Esto último nos permite comprender algunas de las características eléctricas más importantes de la Materia a nivel macroscópico: su estado neutro, y su dureza e impenetrabilidad. 86 Cada átomo que forma una porción de materia puede considerarse, en principio, en estado neutro, y con sus centros de carga coincidentes. Es decir que, desde cualquier punto ubicado a una distancia poco mayor que el radio atómico, la materia se percibe en estado eléctricamente neutro, a pesar de estar formada por gran cantidad de cargas positivas y negativas. Independientemente de la cantidad de materia en juego, ya sea en un simple átomo o en toda una galaxia, desde lejos su estado eléctrico es neutro, y no genera ningún campo eléctrico en el espacio que la rodea. La materia además no es inerte: si someto una porción de materia cualquiera a un campo eléctrico E exterior, sus átomos y moléculas se “deforman”, pierden su simetría espacial, induciéndose dipolos eléctricos, aunque sin perder su estado neutro; esta polarización genera a su vez otro campo eléctrico, denominado “campo eléctrico de polarización” EP. Estos dipolos inducidos tendrán un tamaño aproximadamente cercano al del tamaño original del átomo que se deformó, y el campo eléctrico que los mismos generarán en el espacio que rodea al átomo es de gran intensidad en su inmediata cercanía pero decae rápidamente al alejarnos de él. En todas las aplicaciones de la vida cotidiana, de la tecnología más habitual y en las aplicaciones de la Ingeniería en general, ya no de la Electrónica, es posible considerar que siempre se trabajará en zonas del espacio muy lejanas con respecto al diámetro de un átomo o de una molécula típicos (1 cm de distancia es poco desde lo macroscópico, pero es una distancia enorme comparada con las distancias atómicas). Es decir, siempre la materia aparecerá en lo macroscópico como neutra eléctricamente, aún si fue polarizada. Sólo es posible poner en evidencia la naturaleza eléctrica de la materia si por alguna acción exterior se rompe con ese estado neutro, ionizando los átomos que forman el cuerpo bajo estudio (como por ejemplo, al frotar una barra con el pelo), rompiendo los dipolos, inducidos o no, y entonces sí la materia adquirirá un cierto estado de cargas en exceso, lo que se manifestará macroscópicamente con campos eléctricos, en general intensos. Por lo contrario, si quisiéramos acercarnos demasiado, “entrar” en la materia, introducir otra porción de materia en la estructura material original, nos encontramos con que la dificultad es enorme, lo que da la noción de “dureza” e “impenetrabilidad” de la Materia.

86

Veremos más adelante que un planteo equivalente corresponde a los denominados “dipolos magnéticos”, los que surgidos también de la estructura electromagnética más elemental de la Materia, son los responsables de la “mitad” de su dureza.

133

Esto es debido a que cuando la distancia a un dipolo eléctrico tiende a cero, el campo que éste genera tiende rápidamente a un valor muy alto, y la interacción con la nueva porción de materia que intenta aproximarse (un clavo a una madera, por ejemplo) es de gran intensidad, “resistiéndose” a la nueva configuración de cargas. En la experiencia original de Thompson, parte importante del proceso que llevó finalmente a la creación del Modelo de Átomo de Bohr, esto era lo que producía la dispersión de las partículas beta con las que se bombardeaba la lámina de oro. Por esta razón, cuanto más profundo queramos entrar en la materia, más energía es necesaria para ir en contra de los campos que los distintos dipolos en el interior de los átomos producen, lo que obligó a la creación de nuevos y más potentes aceleradores de partículas. Cuando hablamos de Materia dijimos que en su más profundo interior, entre núcleos y electrones, era donde existía el más perfecto vacío (Espacio-Tiempo sin Materia), lo que suena contradictorio cuando pensamos en la enorme dureza de la Materia. Sin embargo, lo que le da esta dureza es la existencia en ese vacío de campos eléctricos (y magnéticos), los que llenan el volumen interior de átomos y moléculas con una perturbación del Espacio-Tiempo de gran intensidad. En síntesis, cuando a partir de ahora hablemos de Materia, uno debe imaginar un aglomerado de dipolos, ya sea de dipolos inducidos ante la presencia de un campo externo o bien de dipolos permanentes, estructurales molecularmente, como por ejemplo los del agua. Toda la Materia, sin excepción, es perturbada, reacciona, ante la aplicación de campos externos: polarizándose, generando su propio campo de polarización y variando su estado de movimiento, según sea el caso. Cálculo de la interacción de un dipolo eléctrico y un campo electrostático externo De acuerdo con el Segundo Problema de la Física, nos focalizaremos en comprender cómo es la interacción entre una distribución de carga discreta, un dipolo eléctrico, y un campo exterior, tomado como uniforme y dato del problema, ubicado en el vacío. Tomando al dipolo como un cuerpo rígido, nos preocuparemos en este caso de cómo se modifica su estado de movimiento en la interacción con el campo exterior, es decir, estudiaremos entonces las siguientes ecuaciones:

LMPF

dt

dy

dt

d

con ωLVP

IyM , Cantidad de Movimiento y Momento Angular, respectivamente.

En caso de considerar al dipolo como un cuerpo rígido, con su la masa total (M), concentrada en el centro del mismo, y realizando el cálculo del momento de inercia con respecto al eje principal de inercia (su eje de simetría), podemos escribir en forma simplificada lo siguiente:

α

Iym MaF


134

Intuitivamente, es de esperar que el dipolo tienda a orientarse según las líneas del campo exterior, rotando sin trasladarse. Sin embargo, es más difícil imaginar qué hará el dipolo una vez que su eje coincide con las líneas del campo: ¿se queda quieto y alineado?, ¿sigue rotando indefinidamente?, ¿regresa rotando en sentido inverso?, ¿oscila indefinidamente? Las respuestas deberemos encontrarlas a partir del Principio de Conservación de la Energía, lo que haremos más adelante, luego de analizar las ecuaciones de movimiento anteriores. ¿Por qué no se traslada un dipolo ubicado en un campo uniforme?

Planteando la primera de las ecuaciones dinámicas aF

m , encontramos que:

qq FFFdipolo

en donde consideramos que ambas fuerzas están aplicadas sobre el centro de masa del dipolo, por considerarlo un cuerpo rígido de tamaño despreciable.

Se llega entonces a que : 0EEFdipolo

q)(q)(

Cabe destacar que la dirección de las fuerzas está definida por el campo exterior, que por ser uniforme será la misma para ambas, pero el sentido de las mismas está definido por el signo de las cargas del dipolo, de ahí que ambas fuerzas sean iguales en módulo y dirección pero opuestas en sentido.

En síntesis, hemos encontrado que se cumple: 0Fdipolo

Es decir que un dipolo, ubicado en el vacío en un campo exterior uniforme, no se trasladará debido a que la sumatoria de las fuerzas exteriores aplicadas sobre él es nula (dado que lo hemos considerado un cuerpo rígido, tampoco se deformará debido a las tensiones que estas fuerzas le podrían producir). ¿Por qué tiende a rotar un dipolo ubicado en un campo uniforme?

Planteando la segunda de las ecuaciones dinámicas α

IM , y definiendo el momento de giro

como FrM

, siendo r el vector que da la posición desde el eje de giro al punto de aplicación de la fuerza F, encontramos que:

qqq q FrFrMdipolo

en donde consideramos que las fuerzas están aplicadas sobre cada una de las cargas del dipolo, y que la rotación se producirá alrededor de un eje perpendicular al plano que contiene al dipolo y que pasa por su centro (tomaremos sentidos positivos de los momentos a aquellos giros en sentido horario, por lo que el vector momento será un vector perpendicular y entrante a esta página).

135

Se llega entonces a que: θsenEdqθsenEq2

dθsenEq

2

dMdipolo

Si consideramos que q.d es el módulo del vector momento dipolar eléctrico, la expresión anterior puede reescribirse como:

θsenEpMdipolo

Lo que a su vez es el módulo de un producto vectorial entre el momento dipolar eléctrico del dipolo y el campo exterior con el que está interactuando.

Finalmente llegamos a que es: α IEpMdipolo

Es decir, el dipolo tiende a rotar velocidad angular , variable, debido a su aceleración angular distinta de cero, en torno a su posición de equilibrio original, posición que mantiene fija debido a que no se trasladará.

Esquema que muestra el análisis de la dinámica de rotación de un dipolo eléctrico en

interacción con un campo eléctrico uniforme.

Cuando un dipolo, considerado un cuerpo rígido, se ubica en un campo eléctrico uniforme, en una cierta posición y con un cierto ángulo de orientación, y se deja librado a la acción del campo, no variará su posición inicial debido a que la sumatoria de fuerzas aplicadas sobre él es nula y por consiguiente no tendrá aceleración lineal.


136

Sin embargo, por ser las fuerzas aplicadas un par rotacional debido a la separación entre las dos cargas que conforman el dipolo, éste tenderá a rotar con una cierta aceleración angular. Por el Principio de Conservación de la Energía, el dipolo rotará, aumentando su velocidad angular hasta llegar a que el ángulo entre su eje y las líneas del campo es 0°, cuando su velocidad angular será máxima; a partir de ese instante, el dipolo disminuirá su velocidad angular hasta que, cuando el ángulo entre su eje y las líneas del campo sea el mismo que el ángulo original aunque de signo contrario, se detendrá por completo, para iniciar nuevamente el proceso en sentido contrario. En caso de no existir roce, como lo hemos planteado por estar el dipolo en el vacío, esta oscilación

cuya amplitud angular es ± seguirá “por siempre”. Por esta razón, es posible decir que un dipolo ubicado en un campo electrostático uniforme constituye un “oscilador simple”.87 Para estimar la energía potencial en juego en el proceso de orientar a un dipolo eléctrico en el seno de un campo eléctrico uniforme, debemos recurrir a la siguiente expresión del Principio de Conservación de la Energía:

exterior agentedipolo WΔU

Es decir, ubicar a un dipolo eléctrico con un cierto ángulo de orientación en una región del espacio en la que existe un campo eléctrico uniforme requiere que un agente exterior realice un cierto trabajo, lo que luego diremos es la energía potencial electrostática de orientación del dipolo en el campo. Definimos al trabajo realizado en un desplazamiento angular como:

θdM

W

siendo ambos vectores M y d colineales (ambos están sobre el eje de giro, en el mismo sentido). Desarrollando la expresión anterior, llegamos a que es:

θ

0qq 0cosdθM0cosdθMW

En donde hemos tomado los límites de integración como los ángulos extremos de 0° (con el dipolo orientado según las líneas del campo, la posición angular más estable del mismo), definiendo entonces que en esa posición la energía potencial del dipolo es nula (elección totalmente arbitraria,

como corresponde a una energía potencial) y (la posición angular extrema, con el dipolo detenido sin velocidad angular lo que implica que en esa posición la energía cinética de rotación instantánea es nula).

87 De los muchos osciladores simples que podemos definir, nos interesa en particular el que constituye un péndulo

gravitatorio, ya que es posible continuar con la analogía ya presentada entre el campo electrostático y el dipolo eléctrico con el campo gravitatorio y la masa del péndulo.

137

θ

0qq 0sendθθsenF

2

d0sendθθsen.F

2

dW

θ

0dθθsenFdW

θ

0dθθsenFdW

θ

0dθθsenEqdW

θ

0θcosEqdW

θcosEqdW

Sabiendo que q.d es el módulo del momento dipolar eléctrico del dipolo, podemos escribir:

θcosEpW

Y finalmente expresar la energía potencial electrostática del dipolo eléctrico ubicado en un campo electrostático uniforme como:

Ep

-U Edipolo,

Esta cantidad de energía potencial, de no existir roce que la vaya disipando en cada oscilación, se mantendría indefinidamente y es lo que explica el movimiento del dipolo a partir del balance

instantáneo entre la energía potencial y la energía cinética para cada valor del ángulo . ¿Cómo sería el movimiento del dipolo si el campo exterior no fuera uniforme? Si el mismo dipolo fuera ubicado en un campo exterior electrostático pero no uniforme, ocurriría que:

0M0aF α

Iym

No sólo tendería a rotar, tal como fue analizado antes para el caso del campo uniforme, sino que ahora también se desplazaría. Por ser la separación entre las cargas distinta de cero, dado que esta distribución de cargas es un dipolo, la sumatoria de fuerzas no sería cero debido a que la fuerza aplicada sobre la carga positiva tiene diferente módulo, dirección y sentido a la fuerza aplicada sobre la carga negativa. Por consiguiente, habrá una cierta fuerza resultante, posible de ser considerada aplicada en el centro de masa del cuerpo rígido del dipolo, que será la responsable del cambio en el estado de movimiento del dipolo, el cual comenzará a desplazarse con velocidad lineal variable. Asimismo, el dipolo tenderá a rotar pero ya no con aceleración angular constante, como lo era en el caso del campo uniforme, también esto debido a que las fuerzas aplicadas sobre el dipolo no constituyen un par rotacional puro (una fuerza produciría un momento de giro levemente mayor al de la otra fuerza).


138

Puede imaginarse entonces el movimiento del dipolo como un cuerpo rígido cuyo centro de masa comienza a desplazarse a partir de la posición inicial, cada vez con mayor velocidad lineal, y que además comienza a oscilar a partir de la posición angular inicial, cada vez con mayor velocidad angular de oscilación. En definitiva, el dipolo se alejaría hacia la zona de campo más intenso, ganando energía cinética de traslación y variando su energía potencial de orientación a expensas del trabajo realizado por el campo no uniforme.

Esquema que muestra el análisis de la dinámica de rotación de un dipolo eléctrico en interacción con un campo eléctrico no uniforme.

Es importante resaltar, finalmente, que ubicar una distribución de carga, un dipolo por ejemplo, en una región del espacio donde hay un campo implica, necesariamente, que “alguien” tiene que mover esa carga, sola no va a ir debido a que no es el movimiento natural que una distribución de cargas se mueva en contra del sentido de las líneas del campo existente en una cierta región del espacio. Ese “alguien”, denominado con mayor rigurosidad el “agente exterior” (exterior al sistema que definen la distribución de carga y el campo con el que interactuará), será quien brinde la energía inicial para que luego la distribución evolucione dentro del campo. En el ejemplo anterior, el agente exterior realizó cierto trabajo para ubicar y orientar al dipolo en una cierta posición con un cierto ángulo, y luego, ya retirado, esa energía cedida al sistema carga-campo se conservará, de no existir roce, en un balance dinámico e instantáneo entre las energías cinética de rotación y potencial de orientación del dipolo en el campo. Una buena aplicación de este ejemplo es lo que sucede en un horno a microondas. El horno constituye un volumen acotado del espacio, en el cual se puede establecer un campo electromagnético variable, tanto en el espacio como en el tiempo (las microondas). Estas ondas electromagnéticas tienen, como su nombre lo indica, una parte eléctrica y una parte magnética, y nos permitiremos aquí generalizar las conclusiones del ejemplo anterior no sólo para la interacción de un dipolo eléctrico con cualquier campo eléctrico, sino también para la interacción de un dipolo magnético con cualquier campo magnético, como ya veremos más adelante. ¿Cuáles serán los dipolos que entrarán en interacción, dentro del horno, con los campos eléctrico y magnético de las microondas? En particular, serán los dipolos que constituyen las moléculas de agua (moléculas polares) existentes en todos los productos que utilizamos para nuestra alimentación. El agente exterior podría imaginarse como la propia constitución de, por ejemplo, un pollo, que tiene organizadas las distintas moléculas según la estructura de este alimento, y nosotros que ponemos al pollo en el interior del horno.

139

Al entrar en interacción las moléculas de agua del pollo con el campo eléctrico de las microondas, que además no es un campo ni electrostático ni uniforme, los dipolos que ellas constituyen se pondrán a oscilar muy rápidamente en torno a su posición inicial. La frecuencia de oscilación de las microondas utilizadas en este tipo de hornos es de más de dos millones de veces por segundo (2.45 GHz). Este rápido movimiento de oscilación se da en un entorno material muy denso, formado por las demás moléculas de las distintas partes del pollo. La energía de cada dipolo oscilante se va transfiriendo al rozar contra el resto de las moléculas, cediendo esta energía por contacto directo con ellas al pollo como un todo. Es decir, la energía producida por la interacción entre los dipolos y el campo variable exterior se intercambia con las moléculas del pollo, las que a su vez se pondrán en movimiento, aumentando la temperatura promedio global del mismo. Cuando esta temperatura es la adecuada, decimos que la cocción del pollo ha finalizado y está listo para llevarlo a la mesa. Este proceso sucede en períodos de tiempo muy breves y se da en la totalidad del volumen del horno a microondas (a diferencia del horno a gas que funciona por conducción termodinámica, una transferencia de energía de tipo más “mecánica”, que va de afuera hacia adentro, con el riesgo de “arrebatar” la comida, quemada por fuera y cruda por dentro). Todo el volumen del horno a microondas tiene un campo electromagnético en interacción con cada una y con la totalidad de las moléculas polares del agua que forma el pollo, al mismo tiempo, instantáneamente. Si lo que introducimos en el microondas no tiene moléculas polares, sino cargas libres, como es el caso de metales o porcelanas con ribetes metálicos, etc., en vez de generar transferencia de energía por rotación de dipolos lo que se producen son altísimas corrientes eléctricas de conducción lo que implica un serio riesgo, en particular porque pueden romperse los soportes en los que introducimos los alimentos en el horno.


140

POTENCIAL ELECTROSTÁTICO Retomando el Primer Problema de la Física: dada una cierta distribución de carga calcular la perturbación que genera en el Espacio-Tiempo, el campo eléctrico, veremos que es posible también describir este campo ya no en forma vectorial sino en forma escalar. En el desarrollo de los apartados anteriores, la forma de detectar los campos presentes en una cierta región del espacio fue a partir de medir la interacción con una carga de prueba, interacción que tomaba la forma de una fuerza de origen eléctrico; así, definimos el campo eléctrico como el cociente entre esa fuerza y la carga de prueba sobre la cual la misma estaba aplicada. Esta forma de describir el campo y la definición operacional, por consiguiente, tenían una naturaleza vectorial, lo que dio lugar a los desarrollos realizados a partir de la Ley de Coulomb y de la Ley de Gauss. Sin embargo, existe la posibilidad de describir el campo a partir de la interacción con una carga de prueba pero ahora a través de analizar el intercambio de energía requerido para ubicar la carga en las distintas posiciones dentro del campo. Por ser este desarrollo a partir de un escalar como lo es la energía, esta nueva descripción del campo electrostático tendrá naturaleza escalar, y dará origen a lo que se denomina Potencial electrostático, simbolizado por V. Es importante resaltar que no vamos a definir un nuevo ente en la descripción física del Universo, sino que solamente vamos a introducir una descripción diferente, complementaria a la anterior, del mismo ente con el que hemos trabajado hasta aquí: el Campo Electrostático.

Las dos formas en que podemos describir un campo electrostático: la vectorial E y la escalar V. Ambas descripciones son equivalentes, tanto analítica como gráficamente.

En síntesis, dada una distribución de carga eléctrica, la misma generará una perturbación en el Espacio-Tiempo que denominamos Campo Eléctrico (electrostático si no cambia su configuración en el tiempo). Este campo eléctrico podrá ser descripto a partir de dos formas: una vectorial, E, surgida del análisis de las fuerzas aplicadas sobre una carga de prueba, y una escalar, V, surgida del análisis de las energías involucradas al cambiar de posición una carga de prueba. Ambas descripciones son equivalentes y complementarias, ya que brindan información diferente una de la otra sobre la naturaleza y propiedades del campo bajo estudio, como así también posibilitan realizar cálculos y aplicaciones distintas.

141

Por consiguiente, dada la descripción vectorial del campo será posible deducir a partir de ella la descripción escalar, y, viceversa, dada la descripción escalar del campo será posible deducir a partir de ella la descripción vectorial. Esto vale tanto para la formulación analítica como para la representación gráfica de ambas formas de describir el campo electrostático. Esta posibilidad de estudiar un mismo campo a partir de dos descripciones tan diferentes como la escalar y la vectorial, sólo es posible si el campo bajo estudio es electrostático. Todos aquellos campos variables en el tiempo no pueden ser estudiados a partir de una descripción escalar. Los dos Problemas de la Física serán los mismos, aunque tomarán la siguiente forma: dada una cierta distribución de carga, cómo calcular la descripción del Potencial del campo que genera; y dada la descripción escalar de un campo electrostático, el Potencial, cómo calcular la variación de la energía disponible punto a punto al cambiar la ubicación de una carga de prueba en la región en la que existe el campo. Definición del Potencial electrostático V Supongamos que en una cierta región del espacio existe un campo electrostático E, y que una carga puntual se mueve en esa región. Por lo desarrollado hasta aquí, sabemos que sobre la carga estará aplicada una fuerza, producida por la interacción de ella con el campo, fuerza que en general será diferente punto a punto (aunque, punto a punto, esa fuerza no será variable en el tiempo por ser el campo de naturaleza electrostática). Esa fuerza producirá una modificación en el estado de movimiento de la carga, estando la dirección de la aceleración en dirección de la línea de campo local, y el sentido será determinado tanto por el sentido de la línea de campo como por el signo de la carga. Es decir, si una carga es liberada en el seno de un campo eléctrico, su movimiento “natural” (el movimiento resultante de la libre interacción de la carga con el campo) se dará siguiendo la configuración espacial del campo, en uno u otro sentido dependiendo de si la carga es positiva o negativa. Pero si un agente exterior desea cambiar la ubicación de la carga en un sentido que no coincide con el movimiento natural, produciendo un “movimiento forzado”, yendo en contra entonces de las fuerzas de interacción de la carga con el campo, será necesario que el mismo realice un cierto Trabajo, ya que de lo contrario la carga se movería hacia la región ya definida por la configuración natural que forman la carga con el campo. En otros términos, para que una carga eléctrica en interacción con un campo electrostático se mueva según la tendencia natural, no es necesario que actúe ningún agente exterior al sistema carga-campo; por lo contrario, para que la carga se mueva en un sentido anti natural es condición sine-qua-non la acción de un agente externo. Esta acción genera cierta modificación en el estado del sistema sobre el que actuará; en particular, modificará su estado de energía interna.88

88 Esta tendencia al movimiento natural por contraste con el movimiento forzado tendrá una explicación termodinámica

relacionada no sólo con el Primer Principio (de Conservación de la Energía) sino, y especialmente, con el Segundo Principio (de la Entropía).


142

El trabajo que el agente exterior realice para mover la carga en el seno del campo hacia una región diferente a la que iría la carga librada a sí misma producirá entonces una transferencia de energía del agente exterior al sistema formado por la carga y el campo. Esta transferencia de energía satisface lo descripto por el Primer Principio de la Termodinámica:

RQWΔE

En la gran mayoría de los desarrollos que realizaremos en Física II, tendremos en general dos fuertes restricciones (simplificaciones), las que en particular se pondrán en evidencia sobre la forma final que tomará el Primer Principio de la Termodinámica. Estas dos restricciones son las siguientes: 1. No habrá transferencia de energía a través de la luz. Por esta razón, el término

correspondiente a la Radiación en este Principio será R=0. Esta restricción dejará de aplicarse cuando comencemos a trabajar sobre Óptica.

2. Se trabajará a temperatura constante. Por esta razón, no habrá intercambio de energía por Calor, lo que implica que el término correspondiente en el Primer Principio será Q=0. La temperatura constante podría considerarse cualquiera, desde los 3 K del espacio vacío interestelar, a la temperatura ambiente del Laboratorio en el que trabajamos, a la mayor temperatura en el interior de una resistencia metálica y hasta las muy altas temperaturas en un plasma. Esta restricción dejará de aplicarse en muy pocos casos, como por ejemplo en la variación de la resistencia eléctrica en función de la temperatura, en la Ley de Curie para el magnetismo en la materia, y para los efectos de la transferencia de energía por luz.

De acuerdo con las dos restricciones anteriores, el Primer Principio de la Termodinámica, en el contexto del trabajo con campos electrostáticos en Física II, tomará la forma:

WΔE

El trabajo, definido como ldFW

final

inicial

, será aquel que realice el agente exterior contra las fuerzas

existentes en el sistema carga-campo e implicará una transferencia de energía desde el exterior, energía que aumentará por consiguiente el valor de la energía interna de este sistema. Si tiempo después el agente exterior deja de actuar, y la carga se mueve dentro del campo según su movimiento natural, el trabajo lo realiza el campo y la cantidad de energía interna disponible en el sistema carga-campo disminuye, retomando los valores originales anteriores a que el agente exterior actuara, tal como lo indica el Principio de Conservación de la Energía.

La variación de energía del sistema carga-campo (E) tendrá dos partes: la variación de energía

potencial electrostática (EP), y la variación de energía cinética (EC). Nos interesa muy especialmente conocer qué relación existe entre los distintos puntos del espacio R3 y los valores de energía disponibles asociados con esos puntos. Cuando una carga eléctrica en movimiento en el seno de un campo electrostático ocupa esos puntos, será posible entonces asociar el valor de energía de ese punto con la carga en cuestión. Este tipo de asociación entre valores de energía y puntos del espacio es lo que se denomina habitualmente “función potencial”, asociada al “campo vectorial” que constituye un campo electrostático.

143

Sin embargo, en la expresión restringida del Primer Principio de la Termodinámica (de

Conservación) CP ΔEΔEΔE , aparece el término correspondiente a la energía cinética, al cual,

por su naturaleza relativa (depende de una velocidad), no es posible asociar unívocamente a los puntos del espacio: dado un punto del espacio, no es posible definir cuántas velocidades puede tomar un móvil que pase por ese punto, pueden ser infinitas. Por consiguiente la relación posición-energía cinética no es una relación unívoca (la energía cinética no es una función “de punto”), como sí lo es la relación posición-energía potencial.

El agente exterior deberá realizar un cierto trabajo para mover la carga de prueba.

Por esta razón, es necesario eliminar este término a partir de alguna otra “restricción”. Haremos esto a partir de considerar que el movimiento forzado que la carga realizará en el espacio en el que existe el campo bajo estudio, por acción de la fuerza aplicada por el agente exterior, se realiza en un proceso “cuasi estático”. Un proceso cuasi estático para definir el potencial V Un proceso cuasi estático significa que, aunque no sea estrictamente estático sucede “como si lo fuera”: no es estático, pero dinámicamente funciona como si lo fuera. Ubicada la carga en una posición cualquiera dentro del campo, el agente deberá aplicar sobre ella una fuerza exactamente igual y opuesta a la que el campo le aplica con el fin de que la carga esté en reposo. Pero la función del agente exterior es, justamente, lograr que la carga se desplace, lo que requiere que la misma cambie su posición. La única manera de cambiar la posición de esta carga, originalmente en reposo, es que la sumatoria de fuerzas sobre ella no sea nula, para que entonces aparezca una cierta aceleración lo que a su vez producirá una velocidad que produzca un cambio en la posición luego de un cierto intervalo de tiempo. El problema aquí es que entonces, si la velocidad de la carga no es cero, la misma tendría una cierta energía cinética, que es lo que necesitamos que no aparezca en nuestro análisis con el fin de relacionar unívocamente los puntos del espacio con la energía potencial electrostática.


144

Así, el proceso cuasi estático antes citado funcionará de la siguiente manera: punto a punto, la fuerza que el agente exterior aplicará sobre la carga será igual y opuesta a la que el campo aplica sobre la misma, más un diferencial de fuerza, necesario para que haya una aceleración diferencial que produzca a su vez una velocidad diferencial la que será, en definitiva, la causante de que efectivamente la carga cambie de posición; sin embargo, esta velocidad diferencial es tan pequeña y se mantiene en un intervalo de tiempo, también diferencial, tan pequeño, que el aumento posible de

energía cinética es despreciable y no será tomado en cuenta (EC=0).

En síntesis, podemos escribir que:

exterioragenteF

campocampoq FdFFF

le.despreciabvdm2

1dE suponemos ,dtvdld dt,advd ,admFd con

2qcq

El trabajo realizado por el agente exterior será a través de un proceso “cuasi estático”.

Dicho de otra forma, como el vector velocidad es un vector “no localizado”, no está anclado necesariamente a que un punto del espacio deba tener una velocidad fija, por lo que cualquier punto del espacio puede tener cualquier velocidad, infinitas posibilidades tanto en módulo como en la dirección y sentido del vector velocidad. Lo que estamos intentando definir es una propiedad esencial del campo electrostático como perturbación del Espacio, una relación Campo-Espacio unívoca (que asigne valores de esa propiedad del campo a los distintos puntos del espacio). Como la velocidad no está anclada a ninguna propiedad del Espacio unívocamente, una partícula en una posición cualquiera del espacio puede tener por consiguiente cualquier valor de energía cinética EC, no hay ninguna restricción, y por consiguiente esta energía no nos es útil a los fines de definir aquella propiedad esencial, por lo que entonces se la elimina a partir del proceso cuasi estático. Por el contrario, la energía potencial es “fiel” a la relación Campo-Espacio y por esa razón hemos construido la descripción escalar del campo electrostático a partir de ella.

145

ldEqΔE

final

inicial

P

Sin embargo, esto no significa que en las situaciones que analicemos y en la realidad en general los objetos inmersos en un campo electrostático no se muevan con distintas velocidades; muy por el contrario, en general las velocidades de las cargas eléctricas en el interior de los campos son muy altas. La EC es una energía que no da ninguna información sobre en qué zona del Espacio está la partícula, información que sí brinda la EP. Tanto para el estudio de los campos electrostáticos como para los campos gravitatorios, la EC no ayuda y sí lo hace la EP, en ambos casos. Finalmente, el Primer Principio de la Termodinámica (de Conservación), considerando todas las restricciones (simplificaciones) que resultan convenientes para el análisis de los campos electrostáticos en el contexto de Física II, tomará la forma siguiente:

exterioragenteP WΔEΔE

Desarrollando la expresión anterior:

ldFΔEΔE

final

inicial

exterioragenteP

Reemplazando a partir de la consideración hecha con respecto al proceso cuasi estático, llegamos a:

ldFΔE

final

inicial

campoP

Reemplazando a partir de la definición operacional del campo eléctrico, llegamos a:

Variación de la energía potencial en un campo

electrostático

Esta expresión relaciona la variación de energía potencial en un campo electrostático exclusivamente con las posiciones extremas, inicial y final, de la trayectoria que haya realizado una carga eléctrica en el seno de ese campo. Es fundamental comprender que esta expresión, que utiliza una integral de línea a través de la curva en el espacio que es la trayectoria de la carga, no depende de cuál es la trayectoria concreta en el espacio 3D sino sólo, únicamente, de cuáles son las posiciones extremas de ese camino. Por esta razón, la expresión anterior nos permite relacionar unívocamente valores de energía (potencial electrostática) que una carga tiene en los distintos puntos del espacio afectado por un campo electrostático, sin relación alguna con la velocidad que tenga en cada punto esa carga (lo que nos libera de la energía cinética), tal como nos lo habíamos propuesto al inicio de este desarrollo.


146

ldEV-VΔV

final

inicial

inicialfinal

Sin embargo, esta variación de energía potencial es aún función de la carga que se esté moviendo. Es decir, entre dos puntos cualesquiera del espacio, la variación de energía potencial será mayor si la carga que se mueve es mayor, y menor si la carga en movimiento es más pequeña, por lo que entonces todavía no es ésta la herramienta más adecuada para describir al campo en sí mismo, independientemente de si hay cargas moviéndose dentro de él o no. Para lograr esto, se define el Potencial Electrostático V, como la variación de energía potencial

electrostática por unidad de carga: q

ΔEΔV P , lo que finalmente nos lleva a:

Definición general del Potencial electrostático.

La definición operacional del Potencial de un campo electrostático Tal como demostramos que la definición operacional para la descripción vectorial del campo eléctrico, si bien rigurosa, no era viable desde el proceso real que la misma implica, lo mismo puede afirmarse del proceso necesario para dar la descripción escalar del campo electrostático. Este proceso implicaría, en breve, algo así. Tomando una cierta posición en el espacio tridimensional como el extremo de todas las trayectorias que figuran en la expresión anterior, deberíamos movernos por el campo hasta una posición cualquiera, medir el trabajo realizado, dividirlo por la carga de prueba transportada (nosotros somos el agente exterior) y entonces tendríamos el primer valor de (Vfinal 1-Vinicial); luego, y a partir de la misma posición inicial (ya que si no no podríamos comparar los distintos valores obtenidos y así conocer el campo que intentamos describir), deberíamos ir hasta otra posición final, diferente de la anterior, sin importar la trayectoria elegida, calcular el trabajo realizado, dividirlo por la carga de prueba, y lograr otro valor (Vfinal 2-Vinicial). Es importante recordar que el objetivo de este proceso es caracterizar (medir, conocer, etc.) al campo eléctrico y no al trabajo que el agente realiza, el cual depende de la carga transportada. Es decir, la pregunta a responder es “en el seno de qué campo estamos trabajando” y no “qué trabajo realizamos por trasportar qué carga”. Es por esta razón que siempre en estas definiciones operacionales (tanto en la descripción vectorial E como en la descripción escalar V) el resultado primario del proceso (sea medir fuerzas o trabajos) debe luego necesariamente ser dividido por el valor de la carga que haya sido utilizada como “de prueba”, para recién entonces afirmar que el conjunto de datos obtenidos caracteriza al campo y no al proceso operacional. Y así sucesivamente hasta relevar todas las trayectorias posibles entre la posición inicial fijada como origen de referencia de los potenciales y la totalidad de las posiciones finales, el resto de los puntos de R3. Claramente, este procedimiento es impracticable físicamente, aunque sea posible de ser imaginado teóricamente. La solución a esta imposibilidad es, nuevamente, basarnos en el Principio de Superposición y, utilizando una expresión básica para el potencial que genera la porción más pequeña de materia (también llamada Ley de Coulomb, esta vez para los potenciales electrostáticos), calcular en forma teórica, sin necesidad de ir realmente a medir punto por punto, los potenciales que generan las distintas distribuciones de cargas: puntual, discreta y continua.

147

Finalmente, cabe notar que la definición operacional de la descripción vectorial E del campo eléctrico es “de punto” (requiere que la fuerza aplicada sobre la carga de prueba sea medida en cada punto del espacio); por lo contrario, la definición operacional de la descripción escalar V del campo electrostático es “de intervalo” (requiere que haya un desplazamiento cuasi estático, pero desplazamiento al fin, para que haya entonces una cierta transferencia de energía). Nuevamente, se nota en ambas definiciones operacionales la íntima relación entre las descripciones vectorial y escalar de un mismo ente: el campo electrostático. El campo electrostático es conservativo Si en la expresión anterior, que es la definición fundamental del Potencial electrostático, calculamos la integral a través de una trayectoria cerrada (partir del punto a, recorrer una cierta curva en el espacio tridimensional y retornar al mismo punto de partida), como en la expresión integral sólo se explicitan como límites de integración los puntos extremos de la curva de integración y no cuál curva fue la utilizada para unir esos puntos, llegamos a un resultado fundamental:

0ldEΔV cerradacurva

En Análisis Matemático, cuando un campo vectorial cumple con esta condición, decimos que es un “campo conservativo” y que la función escalar relacionada con este campo es su “función potencial”. En nuestro caso, podemos imaginar que si al mover una carga desde la posición inicial hasta la posición final fue el agente exterior quien realizó el trabajo necesario para la transferencia de energía al sistema carga-campo, al regresar desde esta última posición hasta la primera, por cualquier curva de las infinitas posibles de elegir, será el campo quien realice el trabajo necesario para mover la carga de prueba de regreso; ambos trabajos, el del agente exterior de ida y el del campo de regreso, serán iguales y de signo opuesto, por lo que la suma total será cero.

El trabajo total realizado a través de una trayectoria cerrada en un campo electrostático es cero.


148

De aquí que podemos decir, entonces, que el campo electrostático es un campo conservativo del mismo modo que en Física I decíamos que el campo gravitatorio es también un campo conservativo; ambos campos vectoriales, E y g, tienen, por consiguiente, su correspondiente función potencial, V y Vgrav (campos escalares). 89

LA LEY DE FARADAY (en versión incompleta) La expresión anterior constituye un hito en la fundamentación teórica del Electromagnetismo, aunque aún está incompleta ya que escrita de esa manera sólo vale para campos eléctricos conservativos (electrostáticos). A esta tan importante ley se la denomina Ley de Faraday y es la segunda de las cuatro Leyes de Maxwell que vamos conociendo (la primera fue la Ley de Gauss).

Su expresión final, en el contexto de la Electrostática es: 0ldE

Ley de Faraday

En esta forma restringida, la Ley de Faraday puede considerarse como la expresión del Principio de Conservación de la Energía en un campo electrostático.90 La Ley de Faraday escrita de esta manera sólo describe las propiedades de los campos eléctricos producidos por distribuciones de cargas que están en reposo con respecto al sistema de referencia espacio-temporal: los campos electrostáticos. Sin embargo, la realidad física es que las distribuciones de carga en general no están en reposo sino que se mueven; por esta razón, la Ley de Faraday en su versión electrostática no podría describir el resto de fenómenos, la gran mayoría, del universo electromagnético. Así, veremos más adelante que en los casos en que los campos a describir no sean electrostáticos, el cero de la ecuación anterior se reemplaza por un término que describe no sólo aspectos espaciales sino también temporales de los campos eléctrico y magnético; por consiguiente, estos nuevos campos no electrostáticos no serán conservativos y en particular no podremos definir para ellos una función potencial escalar como sí lo hicimos para los campos generados por cargas estáticas. Esa Ley de Faraday ya corregida sí será, entonces, una de las cuatro Leyes de Maxwell, pilares del Electromagnetismo.

89 En el caso de los campos electrostáticos estudiados en Física II, y debido a que trabajaremos siempre en vacío, no

habrá fuerzas disipativas cuyo trabajo haría variar la energía total del sistema bajo estudio, como sí ocurría en Mecánica con las fuerzas de roce y de viscosidad, dependiendo de la trayectoria elegida.

90 La formulación anterior de la Ley de Faraday está adaptada a la escritura actual del Electromagnetismo y no era esa la

usanza a mediados del siglo XVIII y siglo XIX, cuando los conceptos que esta Ley incluye sirvieron para desarrollar la teoría de los circuitos eléctricos a partir de pilas y resistencias, con Volta, Kirchhoff, Ohm, Joule y otros, desarrollos que ya veremos más adelante. La tecnología asociada con esta Ley y con la consecuente aplicación a los circuitos eléctricos en corriente continua fue expandida, tanto teórica como tecnológicamente, recién a partir de 1820 cuando se inicia la etapa electromagnética, propiamente dicha, con los desarrollos de Oërsted, Faraday y otros, abriendo las puertas a la generación de energía eléctrica a gran escala tal como la conocemos y utilizamos hoy.

149

La elección de un origen de referencia para medir el Potencial

Por ser el Potencial una función relativa (que surge de un incremento discreto ), los valores del potencial de los distintos puntos del espacio no estarán unívocamente definidos sino que siempre serán relativos al origen que utilicemos para medir este incremento (es una función “definida a menos de una constante”, como se dice habitualmente). En general, se utilizan tres tipos de orígenes de referencia para medir los potenciales, según sean las aplicaciones bajo estudio:

inicialinicial rparaV0V

El infinito, como el lugar más alejado posible de la zona de trabajo, habitualmente la región donde todos los campos eléctricos generados por distribuciones de cargas no infinitas tienden a una intensidad despreciable. Típicamente, se considera que en el “borde del Universo” el potencial es cero, ya que no sería necesario realizar ningún trabajo para mover una carga en esa región.

Tierrainicialinicial rrparaV0V

El planeta Tierra, debido a que para la mayoría de las aplicaciones tecnológicas la provisión de cargas eléctricas de esta enorme esfera es suficiente para que cualquier conexión con ella implique equilibrar potenciales. Es lo que denominamos habitualmente “descarga a Tierra” y se utiliza en general para los tendidos eléctricos a gran y pequeña escala (líneas de alta tensión, seguridad hogareña, etc.).

Chasisinicialinicial rrparaV0V

Toda estructura metálica en dispositivos de pequeño tamaño. También se habla de esta referencia de potencial nulo como conexión “a masa” y se utiliza en instalaciones eléctricas de pequeña escala, como autos, televisores, circuitos electrónicos, etc.

Es importante notar que habitualmente se trabaja con diferencias de potencial entre dos puntos cualesquiera del espacio, sin que importe si uno de esos puntos tiene asignado un potencial de referencia cero. Esto es debido a que por ser el Potencial una función relativa, no es necesario siempre hacer la diferencia de potencial de un punto con respecto al cero, del otro punto con respecto al cero, y luego la diferencia entre sí, sino que es posible calcular la diferencia de potencial entre los puntos extremos, tomando que la referencia cero, por ser común a ambos, puede considerarse un “factor común” y no ser explicitado. Las unidades del Potencial en el Sistema Internacional de Medidas A partir de las dos expresiones anteriores para el Potencial, la que lo relaciona con la energía y la que lo relaciona con el vector E, es posible definir sus unidades:

(volt)V mC

NlEV y

(volt)V C

J

q

EV P

La unidad para medir el potencial electrostático, el Volt, lleva este nombre en honor al físico italiano Alessandro Volta (1745–1827).

http://es.wikipedia.org/wiki/1745



150

ALESSANDRO VOLTA

Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta, nació en Como, Lombardía, Italia, el 18 de febrero de 1745, y falleció en su casa de Camnago, cerca de Como, el 5 de marzo de 1827. Alessandro Volta fue hijo de una madre noble y de un padre de la alta burguesía. Recibió una educación pública humanista, optando más tarde por una formación universitaria científica. En 1785 es nombrado Profesor de Física de la Escuela Real de Como. En 1786 Volta realiza su primer invento, el electróforo: dos discos metálicos separados por un conductor húmedo, pero unidos con un circuito exterior, con el cual logra producir corriente eléctrica continua, permitiendo transferir electricidad a otros objetos. Se dedicó también a la Química, descubriendo y aislando el gas de Metano. En 1789 es nombrado Profesor Titular de la cátedra de Física Experimental en la Universidad de Pavía, cargo que mantuvo por veinticinco años. Volta era amigo de Luigi Galvani, quien descubrió en 1780 que el contacto entre dos metales diferentes con el músculo de una rana producía electricidad. Sin embargo, Volta consideraba que no era necesaria la participación de los músculos de los animales para producir corriente, lo que le trajo muchos conflictos, con Galvani y con la mayoría de los físicos de la época, quienes creían que la electricidad sólo se producía a través del contacto de dos metales diferentes con la musculatura de los animales. Finalmente, sus resultados fueron reconocidos cuando Volta construye su pila eléctrica. La pila voltaica (“pila a colonna”) consiste de treinta pequeños discos de metal, de cobre y zinc, separados por paños humedecidos con agua salada, en forma alternada, formando una columna. Cuando unía los extremos de la "pila" mediante un hilo conductor, cerrándose el circuito, se obtenía una corriente eléctrica: había inventado la primera batería eléctrica de la Historia. Alessandro Volta comunica su descubrimiento de la pila a la Royal Society londinense el 20 de marzo de 1800. La correspondiente carta fue leída en audiencia el 26 de junio del mismo año, y tras varias reproducciones del invento, efectuadas por los miembros de la Sociedad, se le otorgó a Volta el correspondiente crédito. En el año 1816, en el mes de septiembre, Volta viaja a París aceptando una invitación de Napoleón Bonaparte, para exponer las características de su invento en el Instituto de Francia. El propio Bonaparte recomendó para Volta los máximos honores, y ese mismo año la Academia de las Ciencias del Instituto de Francia le otorga la medalla de oro al mérito científico. El 1 de mayo de 1806, Volta es elegido Caballero de la Corona de Hierro del reino de Lombardía; en 1809 es designado senador de la corte y en 1810 se le otorga el título nobiliario de Conde. El emperador de Austria, por su parte, lo designó director de la facultad de Filosofía de la Universidad de Padua en 1815. Sus trabajos fueron publicados en cinco volúmenes en el año 1816, en Florencia. La pila de Volta despertó un gran entusiasmo entre los científicos de su época y sirvió de impulso para los experimentadores de toda Europa (casi inmediatamente se descubrió que la corriente eléctrica podía descomponer el agua) y sirvió de base para los trabajos químicos de Davy y para el estudio de los fenómenos electromagnéticos que hicieron, entre otros, Ampere y Faraday. La unidad de fuerza electromotriz del Sistema Internacional lleva el nombre de voltio en su honor desde el año 1881.

http://es.wikipedia.org/wiki/18_de_febrero


http://es.wikipedia.org/wiki/5_de_marzo



http://es.wikipedia.org/wiki/Como

http://es.wikipedia.org/wiki/Invento

http://es.wikipedia.org/wiki/Circuito_el%C3%A9ctrico

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Corriente_el%C3%A9ctrica_continua&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%ADmica

http://es.wikipedia.org/wiki/Gas

http://es.wikipedia.org/wiki/Metano

http://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_de_Pav%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_de_Pav%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Luigi_Galvani

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%BAsculo

http://es.wikipedia.org/wiki/Rana

http://es.wikipedia.org/wiki/Pila_el%C3%A9ctrica

http://es.wikipedia.org/wiki/Pila_voltaica

http://es.wikipedia.org/wiki/Royal_Society





http://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%ADs

http://es.wikipedia.org/wiki/Napole%C3%B3n_Bonaparte

http://es.wikipedia.org/wiki/Instituto_de_Francia

http://es.wikipedia.org/wiki/Instituto_de_Francia

http://es.wikipedia.org/wiki/Academia_de_las_Ciencias_Francesa

http://es.wikipedia.org/wiki/1_de_mayo


http://es.wikipedia.org/wiki/Austria

http://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_de_Padua

http://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_de_Padua


http://es.wikipedia.org/wiki/Florencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_electromotriz

http://es.wikipedia.org/wiki/SI

http://es.wikipedia.org/wiki/Voltio

151

CÁLCULO DEL POTENCIAL GENERADO POR DISTINTAS DISTRIBUCIONES DE CARGA Del mismo modo que lo hicimos para el cálculo de la descripción vectorial del campo electrostático, analizando las distintas distribuciones de carga generadoras de la perturbación a estudiar, en el caso del cálculo del potencial estudiaremos las distribuciones puntual, discreta y continua de carga, con la utilización del Principio de Superposición.

Clasificación de las distintas distribuciones de carga a los fines del cálculo del Potencial.

Potencial de una distribución de carga puntual

Partiendo de la definición de Potencial: ldE

final

inicial

inicialfinal V-VΔV

buscaremos ahora la descripción escalar del campo electrostático que genera una carga puntual, a partir de integrar la fórmula que da la descripción vectorial de este campo, tal como lo expresa la Ley de Coulomb.91

rE

2

0 r

q

4π

1

91 En general, podremos referirnos a “la descripción escalar del campo que genera una distribución de carga” como a “el

potencial de una distribución de carga”, del mismo modo que decíamos “el campo eléctrico” significando “la descripción vectorial del campo eléctrico”. A medida que avancemos en Física II deberemos comprender qué significa una expresión o la otra, según el contexto en el que estemos trabajando. Podremos decir, entonces “calcular el campo”, refiriéndonos a “calcular la descripción vectorial del campo electrostático”, y también “calcular el potencial”, refiriéndonos a “calcular la descripción escalar del campo electrostático”. En todos estos casos, no debemos olvidar que el ente campo eléctrico es uno solo, que podemos describir, calcular, interactuar, etc., a partir de dos descripciones complementarias, una vectorial E y otra escalar V.


152

Planteo gráfico para el cálculo del potencial generado por una carga puntual.

Reemplazando la expresión de Coulomb en la definición de Potencial, llegamos a:

rdr

final

inicial

2

0

inicialfinalr

q

ε4π

1V-V

en donde el diferencial de longitud dl, genérico, toma el nombre de dr, debido a utilizar un sistema de coordenadas esférico propio de la simetría de una carga puntual.

El producto escalar rdr

da como resultado dr , debido a que ambos vectores son colineales y de igual sentido. Reemplazando, y sacando fuera del signo integral a las constantes:

final

inicial

2

0

inicialfinalr

dr

ε4π

qV-V

Resolviendo la integral, llegamos a:

final

inicial0

inicialfinalr

1

ε4π

qV-V

inicialfinal0

inicialfinalr

1

r

1

ε4π

qV-V

rEcon

2

0 r

q

4π

1

153

r

q

ε4π

1V

0

q

Si tomamos como referencia para el potencial lo ya expuesto: inicialinicial rparaV0V

llegamos finalmente a que la expresión para el potencial que una carga puntual genera en el espacio es:

Potencial de una carga puntual

(Ley de Coulomb para el Potencial)

En esta expresión damos por hecho que el potencial de referencia está en el infinito, por lo que a partir de ahora ya no se explicitará, a menos que esa referencia cambie, y asumiremos que esta expresión nos da el valor del potencial en un punto cualquiera r, con respecto a un cero ubicado muy lejos, en el infinito. Cabe destacar que, al igual de lo que aclaramos con la Ley de Coulomb para la descripción vectorial del campo eléctrico, la anterior expresión sólo vale para una carga puntual. Es decir, es la expresión particular analítica de la descripción escalar del campo que genera una carga puntual; esta expresión no vale para calcular el potencial de cualquier otra distribución de carga (no existe una fórmula general para el potencial de cualquier distribución, tanto como no existía una fórmula general para el campo de cualquier distribución). Por consiguiente, el procedimiento para describir en forma escalar los campos que generan distribuciones de carga discretas, continuas, etc., será, como antes, a través del Principio de Superposición: como la Materia puede considerarse como un conglomerado de partículas elementales con carga y masa, y como la partícula más elemental de Materia, con su propiedad de carga eléctrica, genera en el espacio un campo electrostático cuya expresión en forma escalar está dada por la Ley de Coulomb para el Potencial, podremos calcular los potenciales de cualesquiera otras distribuciones de carga. Potencial de una distribución de carga discreta Supongamos que una distribución de carga está conformada por tres cargas puntuales, q1, q2 y q3, ubicadas en tres puntos cualesquiera de una región del espacio tridimensional. Esta distribución generará un campo electrostático, y se nos pide calcular el valor del potencial en un punto P cercano a las cargas. Dado que, vista desde el punto P, la distribución de carga no es puntual, pero podemos separarla en tres partes, cada una de ellas que sí pueden ser consideraras como puntuales, diremos que la misma es una distribución discreta de carga.

Planteo gráfico para el cálculo del potencial generado por una distribución de carga discreta.


154

Por esto, y a partir del Principio de Superposición, podemos escribir que el potencial en el punto P será igual a la sumatoria de los potenciales que cada carga por separado produce en el mismo punto:

P,P,P, 321

3

1i

iP VVVVV

Dado que el Potencial es una función escalar, esta suma es directa y lo único que se necesita es evaluar el potencial coulombiano que, en cada caso, se genera en el punto P.

Por esto, será entonces: 3

3

02

2

01

1

0

Pr

q

ε4π

1

r

q

ε4π

1

r

q

ε4π

1V

Esta sencilla expresión, hallada por un camino también muy sencillo (comparado con lo hecho para el cálculo de E), es el potencial resultante en un cierto punto P de la acción conjunta de las tres cargas que generan el campo en la región del espacio bajo estudio. Potencial de una distribución de carga continua ubicada sobre una línea de largo finito Supongamos ahora que una distribución de carga está conformada una línea finita de carga, cuya cantidad total de carga Q está ubicada sobre una varilla de largo total 2L, distribuida uniformemente

por toda su longitud con una densidad lineal de carga =Q/L. Esta distribución generará un campo electrostático en la región tridimensional que la rodea, y se nos pide calcular el valor del potencial en un punto P cercano a la línea de carga. La simetría de la distribución de carga a analizar es cilíndrica. Debido a la isotropía del Espacio, es posible analizar los efectos de esta distribución sobre cualquier plano que contenga a la línea de carga; por esta razón dibujaremos la situación planteada en el plano R2 de esta página. En este plano, ubicaremos un sistema de coordenadas cartesiano, con el eje Y conteniendo a la línea de carga y el eje X perpendicular a ésta y que pasa por el punto P.

Planteo gráfico para el cálculo del potencial generado por una distribución de carga discreta.

L

L

155

Vista desde el punto P, la distribución de carga no es puntual y tampoco discreta, ya que no podemos fraccionarla en unas pocas cargas puntuales, sino que la totalidad de la carga está distribuida en la totalidad de la longitud. Deberemos dividir la longitud de la línea de carga en elementos diferenciales, para lograr que vistos desde P esos elementos puedan ser considerados como pequeñas cargas dq ubicadas espacialmente en pequeñas porciones dl, y así entonces tratarlas como cargas puntuales que generan contribuciones diferenciales al potencial, y poder aplicar, por el Principio de Superposición, una sumatoria de elementos diferenciales (una integral) para llegar a la expresión resultante del potencial en el punto. Será entonces:

carga delínea

PP dVV

La línea de carga tiene, en el plano XY, una simetría bilateral, por lo que analizaremos, por simplicidad, sólo una mitad del plano de esta página. A su vez, el eje X, perpendicular a la distribución lineal de carga, determina además otra simetría espacial, bilateral hacia las Y+ y hacia las Y--. Tomando un diferencial de longitud cualquiera sobre la línea de carga, de longitud dl, podemos considerar que portará una carga diferencial de valor dq; este diferencial de carga, que será puntual desde la perspectiva del punto P, generará en este punto un potencial que tendrá la forma:

r

dq

ε4π

1dV

0

P , con dlλdq

Considerando que el eje Y coincide con la longitud de la línea de carga, denominaremos dy al diferencial de longitud que porta el dq. Integrando la expresión anterior, llegamos a que:

carga delínea 0

Pr

dyλ

ε4π

1V

carga delínea0

Pr

dy

ε4π

λV

Debemos expresar la distancia r en función de la coordenada y, con el fin de poder integrar todas las contribuciones diferenciales al potencial total en el punto P.

A partir de la simetría del problema, tomando 222 yxr , en donde la distancia x desde la línea de

carga al punto P es el dato, y por esto constante a los fines de la integración, tenemos que:

carga delínea 2

1

220

P

xy

dy

ε4π

λV


156

Considerando que los límites de la variable de integración serán y=±L, la expresión a integrar es:

L

L 2

1

220

P

xy

dy

ε4π

λV

Por simetría de la distribución de carga con respecto al eje X, podemos escribir lo siguiente:

L

0 2

1

220

P

xy

dy

ε4π

λ.2V

Resolviendo esta integral, llegamos a:

L

0

2

1

22

0

P xyylnε4π

λ.2V

Dando los valores a esta expresión entre los límites de integración, llegamos a:

xlnxLLlnε4π

λ.2V 2

1

22

0

P

Finalmente, llegamos a la expresión final del potencial generado por una línea continua de carga de largo 2L, finita en su extensión, calculada en un punto P a una distancia x de la misma (habiendo tomado V=0 para x=∞):

x

xLLln

ε2π

λV

2

1

22

0

P

Las equipotenciales que quedan así definidas son superficies cilíndricas concéntricas con la línea de carga, que van variando su distancia a la misma según el valor de x. 92

92 Es muy importante notar que en este ejemplo la línea de carga tiene una longitud finita (2L). Si quisiéramos trabajar

sobre una línea de carga de longitud infinita (como lo hicimos al calcular E, página 98 y subsiguientes), notamos que la expresión anterior tendería a infinito. Este resultado se debe a que si la longitud de la línea de carga tiende a infinito, habrían porciones de carga tan lejos como fuera posible imaginar (allá, bien lejos, en el infinito), pero entonces esto estaría contradiciendo la suposición original de este ejemplo, cual era que el potencial de referencia V=0 se toma, justamente, en el infinito. Es decir, no es posible tomar la referencia cero para el potencial en un lugar donde siempre habrá una porción de carga (porque también estará en el infinito), la cual generará una contribución al potencial total (sería necesario, aún en el infinito, realizar cierto trabajo para mover una carga de prueba). Por esta razón, cuando se estudian distribuciones de carga continuas infinitas no es posible tomar como potencial de referencia cero al infinito. Así, es necesario tomar otro lugar para la referencia del potencial generado por una línea de carga infinita. A este fin, se acostumbra tomar como potencial de referencia cero a una cualquiera de las equipotenciales cilíndricas, a la cual se le da un valor convencional nulo para una cierta distancia x0. La región espacial en la cual tomaremos la referencia del potencial será, entonces, una superficie cilíndrica, coaxial con la línea de carga de longitud infinita, ubicada ni muy cerca ni muy lejos de la misma, sobre la cual valdrá, entonces, V(x0) = 0 V. Es importante recordar, nuevamente, que sólo tienen sentido físico las diferencias de potencial, y no sus valores aislados, por lo que la elección de en qué lugar se toma la referencia cero no tiene mayor importancia.

157

EQUIVALENCIA DE LAS DESCRIPCIONES VECTORIAL Y ESCALAR DEL CAMPO ELECTROSTÁTICO Cuando una distribución de carga eléctrica permanece fija con respecto a un sistema de referencia espacio-temporal, la misma genera un campo de naturaleza conservativa que permite la construcción de dos formas de describirlo, una vectorial y otra escalar; ambas descripciones tienen a su vez dos formas de plantearse, una analítica y otra gráfica. Ambas descripciones entonces, deben ser completamente equivalentes ya que describen un único ente: el campo electrostático que la distribución de cargas bajo estudio ha generado en el entorno.

Esquema que indica la equivalencia entre las dos descripciones del campo electrostático.

Matemáticamente, que dos funciones sean equivalentes implica que es posible deducir una a partir de la otra y viceversa, en todos los casos posibles. En lo que a la Física respecta, y en particular dentro de la Electrostática, esta equivalencia requiere que dada la expresión vectorial E del campo que genera una cierta distribución de carga, deberemos contar con alguna forma de hallar directamente la expresión escalar V de esa misma distribución para todos los puntos del Espacio, y viceversa. ¿Cuáles serán estas formas matemáticas para pasar, tanto analítica como gráficamente, de una descripción a la otra sin ningún tipo de restricciones?


158

ldE

final

inicial

inicialfinal V-VΔV

Pasaje de la descripción vectorial a la descripción escalar en forma analítica Dada la descripción vectorial de un campo electrostático, hallar su descripción en forma escalar, es algo que ya conocemos debido a que es la definición general del Potencial electrostático. Conocida la función E, se realiza la integral punto a punto del producto escalar entre este vector y el diferencial de longitud a través de una curva de integración, elegida a partir de la trayectoria que una carga de prueba realiza en el seno del campo bajo estudio, ya sea en un movimiento forzado producido por un agente exterior al sistema carga-campo, o bien en un movimiento natural producido por el propio campo. Esta equivalencia surgía de analizar las transferencias de energía que se daban a partir de los trabajos que se desarrollaban en las interacciones de un agente con el sistema carga-campo.

Pasaje de la descripción vectorial a la descripción

escalar en un campo electrostático.

Es importante notar que esta ecuación requiere conocer todos los valores del campo E en los puntos que forman la curva de integración; de lo contrario, no es posible realizar la integral y obtener la función potencial buscada. Es decir, tenemos que poder explorar el campo sobre la curva sin ningún tipo de restricción ni “agujeritos” en cuanto a los datos necesarios para realizar la integración posterior. Si se quiere obtener la función potencial para todo el Espacio, deberemos conocer los valores de E para todas las posibles curvas de integración imaginables en el espacio tridimensional para el que buscamos la función potencial. Pasaje de la descripción escalar a la descripción vectorial en forma analítica Para hallar el pasaje de la descripción escalar a la descripción vectorial también utilizaremos la expresión de la definición general del Potencial electrostático (ver más arriba en esta página), aunque operando sobre ella de forma distinta a lo anterior.

Tomando diferenciales en ambos miembros, llegamos a: ldE

dV .

Siendo el vector dl tangente a la curva a través de la cual se desplaza la carga de prueba, y el vector E tangente a la línea de campo que pasa por el punto central del entorno de exploración. Este paso a la forma diferencial constituye un proceso inverso al realizado en el anterior pasaje: diferenciar la expresión general sería como si, físicamente, nos ubicáramos en un punto fijo del espacio y exploráramos los distintos valores del producto escalar diferencial sobre un entorno del punto, a diferencia de lo realizado antes que requería moverse por el espacio entre los extremos de una curva cuya longitud no era diferencial. Representación gráfica del producto escalar diferencial.

159

Desarrollando este producto escalar diferencial, llegamos a que: dl

lE

cosθEdV

En donde hemos indicado que E.cos es el módulo de la componente del vector E en la dirección del desplazamiento (proyección de E sobre l). Podremos escribir, entonces:

dl

dVθcosEEl

Es decir, el módulo de la componente del vector E en la dirección del desplazamiento es igual a la derivada direccional del potencial según una dirección cualquiera. Por esta razón, se podrá escribir:

lE

dl

dVl

Si en vez de explorar la variación del potencial según una dirección cualquiera, lo hiciéramos según cada uno de los tres ejes coordenados, podríamos escribir que:

x

VE

y

VE

x

VE zyx

Cabe notar que en estas tres expresiones hemos reemplazado el símbolo de diferencial total por el de diferencial parcial, debido a que el potencial depende de las tres coordenadas a la vez y no únicamente de l como en la derivada direccional inicial. A partir de que cualquier vector puede ser compuesto a partir de sus tres componentes parciales respecto a los ejes coordenados, podemos entonces expresar el vector E de la siguiente manera:

kjiE

x

V

y

V

x

V

Pasaje de la descripción escalar a la descripción vectorial de un campo electrostático.


160

V-

E

En la expresión anterior aparece lo que denominamos un “operador matemático”: el “gradiente”, que se expresa habitualmente de la forma:

kji

xyx

Finalmente, la expresión que buscábamos para realizar el pasaje de la descripción escalar a la descripción vectorial del campo electrostático es la siguiente:

Pasaje de la descripción escalar a

la descripción vectorial en un campo electrostático.

Es importante notar que esta ecuación requiere conocer todos los valores del potencial V en un entorno R3 centrado en el punto al cual asignaremos el vector E hallado; de lo contrario, si sólo conociéramos el valor del potencial en un punto, no es posible realizar el proceso de derivación implícito en el gradiente y obtener así la función vectorial buscada. En síntesis, hemos encontrado las formas en que podemos corroborar que ambas descripciones de un campo electrostático, la vectorial E y la escalar V, son equivalentes y que es posible partiendo de una llegar a la otra y viceversa.93

Esquema que muestra la equivalencia analítica entre las dos descripciones del campo electrostático.

93 En Análisis Matemático, si un campo vectorial cualquiera satisface las denominadas “condiciones de Schwartz”: que

sus derivadas parciales segundas cruzadas sean iguales xyyx

22

, se dice que el campo vectorial es

“conservativo” y tiene entonces un campo escalar asociado denominado “función potencial”, la cual satisface que el gradiente de esta función potencial da como resultado el campo vectorial original. Todos los campos eléctricos coulombianos (electrostáticos), el campo gravitatorio y todos los campos magnéticos coulombianos (magnetostáticos, producidos por imanes permanentes, naturales o artificiales, no producidos por corrientes eléctricas) cumplen con estas condiciones y son, por consiguientes, conservativos, teniendo todos ellos su correspondiente función potencial.

V

potencial

E

intensidad

son descripciones

equivalentes de un único

CAMPO ELÉCTROSTÁTICO

V

E

ldE

final

inicial

inicialfinal V-VΔV

161

Pasaje entre ambas formas de describir un campo electrostático en forma gráfica

Retomando la expresión de la derivada direccional del potencial: dl

dVθcosEE l , nos

preguntamos de qué manera se podría definir una “línea de campo” a partir de la misma, es decir, ya no utilizando la definición original (la envolvente de los vectores campo punto a punto) sino a través de una relación que involucre al potencial. Dado un punto del espacio, la línea de campo pasa en un único sentido por este punto. Sin embargo, las direcciones a través de las cuales explorar la variación del potencial son infinitas (los posibles E l son infinitos, aunque existe un único módulo total E). Por esto, deberíamos buscar aquella dirección a través de la cual, explorando el entorno espacial centrado en ese punto en particular, pudiéramos encontrar que el potencial varía lo más posible. Es decir, se trata de encontrar el lugar geométrico de los puntos en los que se da la dirección de máxima

variación del potencial (para la cual, punto a punto, sería cos =1, =0° y entonces El ≡ Etotal). Por esta razón, una línea de campo podría definirse, tanto gráfica como analíticamente, como aquella dirección en la cual se da la máxima variación de la función potencial. A esto se le llama habitualmente el “gradiente” de la función potencial. Por lo contrario, ¿qué sucedería si exploráramos la variación del potencial de modo que la componente del campo sobre esa dirección se mantuviera siempre nula (E l=0)? Es decir, debemos buscar el lugar la derivada direccional debería ser nula, cumpliéndose entonces

que cos =0, =90° y entonces El ≡ nulo). Esta dirección se debería mantener, por esta razón, perpendicular a una línea de campo, ya que la componente del vector campo sobre esa dirección no debe existir. Además, es claro que cuando una derivada es nula la función que ha sido derivada es constante, al menos en el entorno del punto en el cual se realizó el proceso de derivación. Así, podemos notar que estas zonas perpendiculares a las líneas de campo, punto a punto, mantienen el valor del potencial constante. Por esta razón, a estas regiones de potencial constante se las denomina “equipotenciales” del campo electrostático. Algo muy importante a notar es que, debido a que las equipotenciales tienen su origen en un proceso de derivadas, estas zonas de potencial constante son, en general, regiones y no simplemente líneas, como lo son las líneas de campo. Las equipotenciales pueden ser curvas, superficies o volúmenes en el espacio tridimensional, cumpliéndose en todas ellas que las líneas de campo que pudieran existir en los puntos de esa región o bien son perpendiculares a las mismas o sino directamente no existen. Hemos encontrado entonces la equivalencia gráfica entre la descripción vectorial (líneas de campo) y la descripción escalar (equipotenciales) del campo electrostático. Como toda representación gráfica, la información que brinda acerca del campo electrostático es muy diferente a la que brinda una formulación analítica. Sin embargo, para los objetivos de una asignatura básica como Física II, esta información es fundamental para el proceso de imaginar los campos en el Espacio-Tiempo y los procesos que en ellos se dan al interactuar con la Materia.


162

Tanto como en los inicios del estudio de la Electrostática dibujar líneas de campo era esencial para cuantificar los fenómenos eléctricos, similar función cumplió dibujar equipotenciales; en ambos casos, las convenciones gráficas utilizadas ya no cumplen ninguna función en la actualidad, más allá de la visualización e imaginación de los campos y sus propiedades escalares y vectoriales. Las equipotenciales se representan gráficamente buscando que el intervalo entre dos equipotenciales sucesivas cualesquiera se mantenga constante, de este modo, lo “apretado” o “distendido” de las equipotenciales dibujadas nos da una idea muy satisfactoria de qué tan intenso o débil es el campo en esa región.

Esta relación puede comprenderse analizando la ecuación Δl

ΔVEl , en la cual hemos pasado de

diferenciales a incrementos finitos, para visualizar en el gráfico la variación del potencial en función de los desplazamientos, aunque en mayor escala espacial. Si definimos el criterio para graficar equipotenciales como: cteΔV , es claro que la visualización gráfica que relaciona la variación espacial del potencial con la intensidad del campo se da a través del intervalo espacial entre dos equipotenciales sucesivas.

Es decir, si el “salto” entre equipotenciales es a incrementos constantes del potencial (V=5 V, por

ejemplo), cuanto más juntas estén las equipotenciales (l pequeño) implicará que la intensidad del

campo en esa región es grande; viceversa, cuanto más separadas estén las equipotenciales (l grande) implicará que la intensidad del campo en esa región es baja. Asimismo, “leer” las equipotenciales nos brinda comprender el sentido de las líneas de campo: las líneas apuntan siempre hacia las zonas de potencial decreciente.

Gráfico que relaciona las líneas de campo con las equipotenciales de un campo electrostático.

Se cumple aquí que V1> V2> V3> V4> V5, manteniéndose constante el V.

163

ANALOGÍA ENTRE LAS DESCRIPCIONES DEL CAMPO ELECTROSTÁTICO Y EL CAMPO GRAVITATORIO Podemos entonces sintetizar las propiedades de los campos electrostáticos y relacionarlos, análogamente, con las propiedades del campo gravitatorio, buscando tener una idea cada vez más profunda y completa de los campos macroscópicos, esenciales en la descripción física actual del Universo. Una porción de Materia en reposo con respecto al sistema de referencia genera, con sus propiedades de carga y masa, dos campos: electrostático y gravitatorio. Ambos campos con conservativos, por lo que es posible describirlos tanto en forma vectorial (E y g) como en forma escalar (V y Vgrav), descripciones que son equivalentes, tanto analítica como gráficamente. Es muy interesante analizar una de las aplicaciones más habituales de la descripción escalar del campo gravitatorio: los mapas topográficos con curvas de nivel. Si consideramos que en una cierta región sobre el planeta Tierra es posible considerar el módulo del vector g como constante (por ejemplo, 9,82 m/s2), actuando en una dirección perpendicular a la superficie de las aguas en libertad, en la expresión del potencial gravitatorio la única variable para imaginar los saltos entre las sucesivas equipotenciales gravitatorias es la variación en la distancia al

centro del planeta h. La figura que sigue muestra esta analogía entre ambos campos conservativos.

Apunte en el que se muestra la síntesis de las descripciones de los campos macroscópicos E y g.


164

El trabajo para llevar una masa (una persona, un volumen de agua para una presa, etc.) desde una equipotencial gravitatoria hasta otra, se leerá (en forma indirecta) a través del intervalo entre las

curvas de nivel (h=500 m, por ejemplo) a partir de las que habitualmente se dibujan las cartas topográficas. La mayor densidad de curvas de nivel se lee como una mayor componente en esa dirección del campo gravitatorio (mayor pendiente) y, viceversa, una menor densidad de curvas de nivel se lee como una planicie, con menor componente en esa dirección del campo gravitatorio.

Incorporar una imagen de una carta El campo gravitatorio realizaría trabajo para mover, según la tendencia natural, los objetos librados a sí mismos, sin intervención de un agente exterior. Un buen ejemplo sería imaginar el movimiento natural de un pequeño volumen de agua: así, los surcos de agua naturales deberían ocurrir en forma perpendicular a las curvas de nivel, así como los bañados deberían ocurrir en aquellas regiones en las que las curvas de nivel están muy poco apretadas. En la página siguiente se dan distintos ejemplos analógicos entre un campo electrostático, un campo gravitatorio y la morfología de un corte transversal de un árbol (¿cuáles serían en este último caso los análogos al vector campo y a las equipotenciales?).

165

Analogías gráficas entre el Campo Electrostático, el Campo Gravitatorio y la estructura de un corte transversal de un árbol

Esquema de líneas y equipotenciales de un campo electrostático (arriba izquierda) producido por dos cargas puntuales positivas con relación 1:4. Tomado de Isnardi-Collo, Electricidad, p. 76.

Torta de un árbol (arriba derecha) en la que se distinguen claramente los radios de conducción y los anillos de crecimiento. Tamaño real: 19 cm en su máxima longitud. Gentileza del Ing. Pedro Guerra.

Ampliación (arriba centro) de la parte central de la torta anterior en la que se pueden identificar, análogamente, los centros generadores (cargas), los radios de conducción (líneas de campo) y los anillos de crecimiento (equipotenciales).

Mapa (abajo izquierda) en el que se pueden identificar, análogamente, los picos montañosos (cargas), los cursos de agua (líneas de campo) y las curvas de nivel (equipotenciales)- Porción de la Carta Topográfica IGM 4372-17, Esquel, Escala 1 : 100.000.

LOS DISPOSITIVOS TECNOLÓGICOS EN LA HISTORIA Y EN LA DIDÁCTICA DE LA FÍSICA BÁSICA Las aplicaciones tecnológicas de los conceptos desarrollados en Física II tienen para nosotros varios objetivos, aunque de distinta naturaleza. En principio, nos interesa ubicar históricamente estos desarrollos con el fin de tomar conciencia de cómo la Ciencia y la Tecnología fueron aportando transformaciones de gran impacto en la vida de las distintas sociedades a través de la Historia. Asimismo, nos interesa mostrar cómo la teoría se materializa en dispositivos que aún hoy existen prácticamente en la totalidad de los objetos tecnológicos que utilizamos cotidianamente. Finalmente, los dispositivos que estudiaremos deben ser considerados como poderosas instancias de síntesis conceptual, de gran importancia tanto para realizar los necesarios “cierres” didácticos, cuanto para ser “organizadores” del posterior estudio de una asignatura básica como Física II. En la primera parte de esta asignatura, la correspondiente a los fundamentos del Electromagnetismo (sin Óptica) trabajaremos sobre tres dispositivos, los que sintetizarán grandes áreas de Física II: los Capacitores (C, resumen la Electrostática), las Resistencias (R, resumen la “Electrodinámica” de Circuitos) y las Bobinas o Inductancias (L, resumen la Magnetostática de corrientes eléctricas); a su vez, los tres dispositivos juntos en un circuito eléctrico (C-R-L) posibilitan el tratamiento de los campos electromagnéticos que denominaremos en sentido amplio como Luz. En la última parte de Física II, dedicada a la Óptica propiamente dicha, veremos otros dispositivos (espejos, lentes, redes, etc.), los que cumplirán la misma función (de síntesis y de aplicación) que la de los recién citados.

LA CAPACIDAD (PARA EMBOTELLAR Y CONSERVAR FLUIDO ELÉCTRICO) Incorporar que el modelo de materia asociado a la electricidad en la época del siglo XVIII era un fluido y de ahí nace la idea de embotellar el fluido eléctrico, y la botella de Leyden. Notar que prácticamente todo fue modelizado como un fluido: el calórico, el alma, la electricidad, el pensamiento, la gravedad, etc. La recurrencia del cociente q/V en la botella de Leyden fundamenta la aparición de la definición operacional, y de que el valor de C es independiente del funcionamiento, sino que sólo depende de la construcción del dispositivo que hoy llamamos capacitor. ESTO TIENE QUE IR AL COMIENZO DEL TEMA DE CAPACITORES Incorporar algo de la historia de Faraday, con las fotos y los dieléctricos.

167

ΔV

qC

C

Símbolo del Capacitor

El capacitor como producto tecnológico que sintetiza toda la Electrostática Cualquier par de cuerpos conductores, separados eléctricamente por un medio no conductor, y cargados con cargas de distinto signo, pueden considerarse como un “capacitor” (también denominado “condensador”). Los dos cuerpos conductores se denominan las “placas” del capacitor, y pueden tener cualquier forma; asimismo la cantidad de carga de cada placa puede ser cualquiera aunque deben ser de distinto signo. Cabe notar que un par de cuerpos conductores cargados electrostáticamente con cargas de distinto signo tendrán, indefectiblemente, una cierta diferencia de potencial entre ellos. Esta definición cualitativa es muy amplia, por lo que la restringiremos un poco para simplificar nuestro trabajo. Así, los capacitores con los que trabajaremos en Física II serán dispositivos cuyas placas serán conductores cuya forma tendrá alta simetría (plana, esférica o cilíndrica), cargadas con igual cantidad de carga aunque de distinto signo, y separadas eléctricamente por un medio dieléctrico el cual, en general, será el vacío o el aire (u otros materiales como resinas, aceites, cerámicas, etc.).94 Vale resaltar que los dos Problemas de la Física se aplicarán también al estudio de los capacitores: qué campo generan en su interior (y en el entorno espacial en general) y qué efectos produce interactuar con un capacitor en funcionamiento. A estos fines, entonces, introduciremos una nueva magnitud, la “capacidad”, a partir de su definición operacional dada por la siguiente relación:

Definición operacional de

Capacidad.

Es muy importante notar que la anterior definición es general, válida para cualquier dispositivo, sencillo o complejo, que podamos imaginar. Sin embargo, dado un capacitor en particular, la definición operacional requiere que el mismo esté en funcionamiento, cargado y con una cierta diferencia de potencial entre placas, ya que de lo contrario no sería posible medir estos valores y luego, de su cociente, hallar el valor concreto de su capacidad. La unidad en la que mediremos la capacidad se define como:

(faradio) FV

C

V

qC

La unidad para medir el potencial electrostático, el Faradio, lleva este nombre en honor al físico inglés Michael Faraday (1791-1867).

94

Esta simplificación no sólo posibilita un tratamiento didáctico más adecuado a nuestros fines, sino que tecnológicamente asegura que la fabricación de estos dispositivos puede ser simple y en serie, un punto esencial dada la importancia que tiene la utilización de los capacitores en una gran diversidad de campos tecnológicos.


168

Aunque parezca paradójico, la magnitud recién definida es independiente de que el capacitor esté en funcionamiento o no. Esto en particular puede comprenderse como algo obvio ya que, por ser un dispositivo tecnológico, es algo que existirá en el Mercado y uno puede ir a comprar un capacitor en un negocio del ramo: es claro que no existe nada tecnológico que se venda funcionando (imaginen casos como el de una lamparita, o el de una manguera, o el de una rueda, o el de un mate, etc.: ninguno de ellos se vende “funcionando”). Es decir, todo dispositivo tecnológico se diseña a partir de los desarrollos teóricos que le dan fundamento, pero se construyen a partir de, esencialmente, dos características: de qué están hechos y cuál es su geometría (lo que permite entonces la elección de los materiales y la fabricación en serie). La capacidad de los capacitores será entonces una magnitud que nos permitirá cuantificar sus distintas propiedades y posibilidades tecnológicas, y que se calculará a partir de la definición operacional, aunque deberá finalmente depender exclusivamente de los materiales y de la geometría con la que está construido el dispositivo. Por esta razón, aunque la definición operacional es única y común para todos los capacitores posibles de ser imaginados, la expresión matemática particular de cada capacitor será propia y diferente a la correspondiente a otro capacitor con distinta geometría y materiales. Se trata entonces de llegar a una expresión para la capacidad C de un capacitor particular, que no incluya ni a la carga de sus placas ni a la diferencia de potencial entre las mismas, aunque para su deducción debamos partir de la definición operacional en la que sí participan la carga y la diferencia de potencial. ¿Será posible hacer esta deducción? Considerando al capacitor como un dispositivo aislado en el universo, y a partir de la definición operacional, podemos asumir que la carga que está sobre las placas es efectivamente la que producirá la diferencia de potencial entre ellas. Así, calcularemos la capacidad de un cierto capacitor sabiendo que en la definición operacional existe un cociente entre la carga y la diferencia de potencial, la cual es función del campo eléctrico producido por la carga; es decir, será un cociente entre la carga y una función de la carga, por lo que buscaremos eliminar la influencia de ésta para poner en evidencia la dependencia de la capacidad con la geometría y el material del capacitor.

169

MICHAEL FARADAY

Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta, nació en


170

Cálculo de la capacidad de un capacitor plano con vacío entre sus placas

Partiendo de la definición general de capacidad: ΔV

qC , deberemos hallar la diferencia de potencial

entre las placas del capacitor, cuya geometría es la de dos planos considerados infinitos, aislados

entre sí por vacío o por aire (de constante dieléctrica 0), que fue cargado con cargas ±q al haber sido conectado previamente a una batería (una vez finalizado el transitorio de carga, con el capacitor totalmente cargado, y si no hubiera pérdidas, la batería se desconecta y el capacitor quedaría en ese estado “para siempre”). Algo importante es notar que los capacitores son dispositivos que siempre, sin excepción, trabajan en estado neutro: sus placas tienen instantáneamente una densidad superficial de carga igual en cantidad y opuesta en signo. Si analizáramos el capacitor con una superficie gaussiana que lo encerrara por completo, la carga neta encerrada sería cero y el flujo neto a través de la gaussiana sería nulo (aún si los efectos de borde no fueran despreciables). A partir de la definición general de potencial, sabemos que la diferencia de potencial entre las dos placas de un capacitor plano es:

ldE

-

-V-VΔV

Esquema que muestra el planteo gráfico y analítico para calcular la capacidad de un capacitor plano.

Por la alta simetría espacial existente en el interior de un capacitor plano, podemos asumir que el campo eléctrico en su interior será un campo uniforme.

171

Por esta razón, punto a punto a lo largo de una curva de integración que coincida con una línea de campo, el producto escalar diferencial que figura en la expresión anterior podrá expresarse como:

180 cosdlEldE

Nótese que la curva de integración es un segmento de recta cuyo inicio es la placa negativa y su final es la placa positiva, lo que implica un sentido contrario al de la línea de campo colineal con la curva de integración, la que va desde la placa positiva hasta la placa negativa; por esta razón es que en el producto escalar aparece el término cos 180°. La diferencia de potencial entre las placas quedará expresada como:

-

- dlEV-VΔV

y, dado el campo uniforme, será: dEV-VΔV -

En la expresión anterior aún nos falta conocer la expresión que relaciona al módulo del vector campo eléctrico con la carga que existe en cada una de las placas del capacitor. Partiendo de la Ley de Gauss,

0

neta

ε

q sdE

y dada la simetría de las placas del capacitor bajo análisis, utilizaremos una superficie gaussiana que consista en un pequeño cilindro, con una de sus tapas ubicada dentro del metal de la placa positiva y la otra de sus tapas ubicada en el medio material entre placas. De esta forma, y por el Principio de Superposición, podemos calcular el flujo total del campo eléctrico existente en el volumen interior del capacitor a través del cilindro, a partir de calcular los flujos a través de las tres superficies abiertas que conforman el cilindro gaussiano (las dos tapas y el lateral):

0

neta

lateralvacíotapatapa

ε

q

sdEsdEsdEsdE

Desarrollando la expresión anterior, llegamos a que:

0

neta

y entre

090 cosserpor 0,Φ

lateral

cos0dsE

tapa vacío

conductorel en 0Eser por 0,Φ

tapa ε

q

tapa

sdE

sdEsdEsdEsdE

Siendo la carga neta encerrada por la gaussiana la carga q sobre una de las placas.


172

dA

εC 0

plano

Finalmente, llegamos a que es:

0tapa

ε

qdsE lo que nos lleva finalmente a:

0tapa

ε

qSE

Si hacemos que la gaussiana envuelva a la totalidad del volumen interno del capacitor (transformándose el cilindro gaussiano en un paralelepípedo recto regular coincidente exactamente con el volumen del capacitor), llegamos a que el módulo del campo eléctrico en el capacitor es:

A

q

ε

1E

0

Reemplazando los dos resultados parciales obtenidos en la definición operacional, llegamos a:

dA

q

ε

1

q

dE

q

ΔV

qC

0

plano

Finalmente, llegamos a que la expresión final de la capacidad de un capacitor plano de vacío (o aire) es:

Capacidad de un capacitor plano con

vacío.

Principales usos de los capacitores Los capacitores, aunque hayan cumplido ya más de dos siglos y medio de existencia como dispositivo tecnológico asociado al estudio de los campos eléctricos, aún hoy siguen siendo utilizados en una gran variedad de campos, compartiendo funciones con dispositivos electrónicos de tecnología cuántica. Desde celulares hasta juegos infantiles, desde satélites artificiales hasta artefactos de iluminación hogareña, y micro capacitores en computadoras hasta enormes capacitores en las redes de interconexión eléctrica zonales, en todos ellos los capacitores cumplen varias funciones para las cuales aún no existe otro dispositivo más satisfactorio. Estas funciones, en síntesis, son las siguientes:

En el caso de los capacitores de simetría plana, permiten obtener en una cierta región del espacio un campo electrostático uniforme (en la región central del capacitor, lejos de los bordes).

Confinar el campo eléctrico en una cierta región del espacio (el volumen interior de los capacitores, a menos de los efectos de borde).

Conservar cierta cantidad de energía potencial eléctrica por un cierto tiempo (a menos de las pérdidas del sistema).

Atenuar los efectos transitorios en la transferencia de energía entre un sistema y otro (por ejemplo, en las conexiones entre circuitos eléctricos de gran escala).

Forman parte esencial de todos los sistemas emisores y receptores de ondas electromagnéticas de baja frecuencia (por ejemplo, radio, microondas, etc.).

173

La energía y los capacitores Nos interesa especialmente analizar qué sucede con la energía y su relación con los capacitores. Es importante recordar que, por razones de simplicidad, utilizaremos en general capacitores planos de vacío, aunque todos los resultados a los que llegaremos son de validez general. Analizaremos el proceso de carga de un capacitor, entendiendo por esto al proceso que un agente externo realizará para aportar, de uno en uno en forma continua, diferenciales de carga positiva y negativa a cada placa hasta que el capacitor llegue a tener las mismas con la máxima carga posible Q (sin que el dieléctrico que las aísla pueda llegar a “romperse” eléctricamente, dejando pasar una chispa por dentro de él). Supongamos un capacitor plano inicialmente descargado, que es conectado a una batería (el agente externo). El primer diferencial que la batería moverá por la región del espacio (el interior de los cables de conexión hasta llegar a las placas), no requerirá de ningún trabajo debido a que no existe campo alguno contra el cual forzar el movimiento. Sin embargo, el próximo diferencial de carga requerirá del agente exterior un cierto diferencial de trabajo, el cual, por el Primer Principio de la Termodinámica, trasferirá una cierta cantidad diferencial de energía, que quedará como energía potencial electrostática propia del volumen interior del capacitor, volumen en el cual se establecerá el campo electrostático (a los fines de este análisis no consideraremos efectos de borde). La energía potencial electrostática total, acumulada desde el inicio del proceso hasta que el capacitor está completamente cargado con una carga total Q, será, entonces:

Q

0

P dqVE

A partir de la definición operacional de capacidad: ΔV

qC , y reemplazando en la ecuación anterior

(dando por hecho que el potencial de referencia es Vo = 0 V, ubicado en la placa negativa), llegamos a:

Q

0

P dqC

qE

Integrando y evaluando el resultado en los extremos indicados, obtenemos:

C

Q

2

1E

2

P


174

20 Eε

2

1u

E

Dado que la energía potencial sí depende del funcionamiento del capacitor, conviene relacionar la expresión anterior con esta variable. Utilizando nuevamente la definición operacional, obtenemos las siguientes expresiones para la energía potencial electrostática asociada al volumen interior de un capacitor plano de vacío cargado:

VQ2

1VC

2

1

C

Q

2

1E 2

2

P

La energía: un parámetro de la existencia de campo eléctrico en el Espacio-Tiempo Reviste sumo interés en Electromagnetismo y Óptica la relación que existe entre la energía electromagnética por unidad de volumen asociada a una cierta región del Espacio-Tiempo en la cual existen campos. Definimos “energía potencial de campo eléctrico por unidad de volumen” a la relación:

vol

Eu P

E

A partir de la primera de las tres relaciones encontradas en el apartado anterior, y tomando como caso particular a un capacitor plano, llegamos a expresar esta energía por unidad de volumen como:

dA

C

Q

2

1

vol

Eu

2

P

E

Reemplazando en ésta las expresiones de C y de E, siempre para un capacitor plano, y multiplicando y dividiendo por la constante dieléctrica del vacío, finalmente llegamos a la expresión:

Energía por unidad de volumen de campo

eléctrico.

Este resultado es de validez general, y de fundamental importancia ya que explicita que en toda región del Espacio-Tiempo en la cual exista un campo eléctrico (electrostático o no), hay asociada una cantidad de energía por unidad de volumen proporcional no sólo a la naturaleza eléctrica del medio material en el que esté actuando el campo, sino al cuadrado del módulo del campo eléctrico. Este término y otro similar propio del campo magnético son los que fundamentan que la luz (un fenómeno de campos eléctrico y magnético indisolublemente asociados) sea el principal agente físico (que realiza transferencias de energía) en el Universo. Un volumen del Espacio por el cual se propaga la luz tiene asociado en cada diferencial de volumen una cierta cantidad de energía, la mitad viaja a través del campo eléctrico y la mitad viaja a través del campo magnético. Esta energía por unidad de volumen que se propaga a la velocidad de la luz se transferirá al interactuar con la materia (una hoja o una célula fotovoltaica iluminadas por la luz).

175

RESOLUCIÓN DE TRES CASOS “EJEMPLARES” 95 Movimiento de una carga en el interior de un campo electrostrático Un protón se lanza desde el extremo de una de las placas de un capacitor plano, de 10cm de lado y separadas por 2cm, con una rapidez de 6,0.106 m/s, formando un ángulo de 45° con una de ellas. El campo eléctrico en esa región vale 2,0.103 N/C dirigido perpendicularmente a las placas en el sentido contrario al que se lanzan las partículas. ¿Chocará con alguna de las placas, y si lo hacen, en qué sitio? (RH2 45 4 – RH2 48 38 – T2 807 ej.12) Capacitor Plano: Es un dispositivo constituido por dos placas conductoras paralelas separadas por una pequeña distancia, que cuando se lo conecta a una batería ésta les transfiere carga eléctrica de distinto signo e igual cantidad a cada placa, estableciéndose en su interior un campo eléctrico E constante. RESOLUCIÓN: Al introducirse una carga “q” dentro de una región con E = cte. la carga interactuará con el campo mediante una fuerza F constante, y si la carga tiene la posibilidad de moverse se acelerará, en acuerdo a la segunda ley de Newton, también con una a = cte generándose un movimiento uniformemente variado. Para nuestro caso volcando en un dibujo los datos del problema y sabiendo que la aceleración tendrá igual dirección y sentido que las líneas de campo podemos anticipar que el protón describirá una trayectoria “parabólica”, siendo posible cualquiera de las indicadas en el dibujo.

Los pasos a seguir para la resolución de la situación serán: Determinar las interacciones presentes y aceleraciones que producen A partir de la expresión vectorial, a(t), de la aceleración obtener las ecuaciones de v(t) y r(t) que describen el movimiento. A las ecuaciones de movimiento se le harán la “preguntas” particulares del problema.

95

La palabra “ejemplar” está utilizada aquí en sentido epistemológico, con un doble significado: como ejemplo concreto, análisis de un caso particular, y como indicador de la forma en que desde nuestra concepción sobre la enseñanza y el aprendizaje de Física II se deben resolver situaciones de este tipo.


176

Interacciones y aceleración Elegimos primero el “sistema de referencia” desde el que vamos a el problema. En nuestro caso el movimiento se desarrollará en un plano por lo que adoptamos el plano (x;y) paralelo al movimiento y el eje “z” paralelo al borde de una de las placas y perpendicular al movimiento.

El vector que describe a E será:

jEiE yˆˆ0

La interacción F entre q y E:

)ˆˆ0( jEiqEqF y

Cómo: m

FaamF

Entonces:

jm

EqijEqi

ma

yy ˆˆ0ˆˆ0

1

Expresando la aceleración cómo una función del tiempo “t”:

jaita yˆ0

co

n cteta

y

ctem

Eqa

yy

Ecuaciones de movimiento El proceso será, mediante integración:

)()()( trtvta

* Función Velocidad:

dttatv ).()(

dtjayitv ˆˆ0)(

177

jCtaiCtv yˆ)(ˆ)( 21

Dónde C1 y C2 son constantes que vinculan esta solución general con nuestro problema en particular. Conocemos la velocidad inicial del protón, esto es en t=0:

jCiCjvivv yxˆˆˆˆ)0( 2100

Siendo por lo tanto: xvC 01 y yvC 02 con

cos00 vv x y

senvv y 00 Con esto:

jvtaivtv yyxˆ)(ˆ

00

* Función Posición:

dttvtr ).()(

dtjvtaivtr yyxˆ)(ˆ)( 00

jCtvtaiCtvtr yyxˆ)

2

1(ˆ)()( 40

2

30

Dónde C3 y C4 son constantes que nuevamente vinculan esta solución general con nuestro caso en particular. Conocemos la posición del protón para un instante, esto es en t=0:

jCiCjyixr yxˆˆˆˆ)0(ˆ 4300

Siendo por lo tanto: 03 xC y 04 yC

Dónde:

00 x e

00 y que es la posición dónde se inicia el movimiento.

Así:

jtvtaitvtr yyxˆ)

2

1(ˆ

0

2

0

El sistema completo de ecuaciones que describen el movimiento es:


178

jaita yˆ0

jvtaivtv yyxˆ)(ˆ

00

jtvtaitvtr yyxˆ)(ˆ

0

2

02

1

De estas conocemos, para nuestro caso, todos sus términos siendo sólo funciones del tiempo “t”. Restricciones: Estas ecuaciones describen el movimiento de la carga “q” en una región con E = cte. Este movimiento uniformemente acelerado solo se produce dentro del capacitor o sea que si bien estas ecuaciones responden a cualquier “t”, sólo son válidas mientras la partícula se encuentre entre las placas.

179

Cálculo del potencial de dos esferas metálicas cargadas aisladas en el vacío


180

Cálculo del potencial de dos esferas metálicas cargadas concéntricas aisladas

181

FIN DE LA ELECTROSTÁTICA


182

183

PARTE III

CIRCUITOS ELÉCTRICOS

EN CORRIENTE CONTINUA

CAMPOS MAGNÉTICOS GENERADOS

POR DISTRIBUCIONES

DE CORRIENTE CONTINUA


184

185

PARTE IV

CAMPOS VARIABLES EN EL TIEMPO

CIRCUITOS ELÉCTRICOS

EN CORRIENTE ALTERNA


186

187

PARTE V

LEYES DE MAXWELL


188

189

PARTE VI

ÓPTICA

El estudio de la Luz y de su interacción con la Materia


190

191

BIBLIOGRAFÍA

LIBROS……………………………………………………………………………………..…...………………… 055

RECURSOS EN LA WEB………………………….……………………………………..…...………………… 055

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Documents

Texto Para Acompañar El Desarrollo de Física II (2011)