Todo Antenas Muy Bien Explicado Util

10.ANTENAS

Constantino Prez Vega Dpto. de Ingeniera de Comunicaciones

Universidad de Cantabria

319

Captulo 10

Antenas Introduccin Las antenas constituyen una parte fundamental de los sistemas radioelctricos de comunicaciones. Desde la antena constituida por un simple alambre hasta los com-plejos sistemas radiadores utilizados en las comunicaciones espaciales, las antenas actan como emisores o receptores de ondas electromagnticas que transportan informacin de ndole diversa requerida en mltiples aplicaciones de la vida coti-diana. El enfoque que se pretende dar aqu es, en cierta medida prctico, sin sacri-ficar la teora necesaria, pero dejando a veces de lado desarrollos algebraicos que no se consideran fundamentales para la comprensin de los fenmenos fsicos o que, por su extensin, hacen imprctica su inclusin en el texto. 10.1 El papel de la Antena en los Sistemas Radioelctricos de Comunicaciones En la poca actual, las antenas son elementos omnipresentes en la vida cotidiana, para transmitir y recibir seales de radiodifusin sonora y televisin, bien sea de sistemas radioelctricos terrestres, de satlite, microondas o cable. En telefona mvil, sistemas de apertura y cierre de puertas o de identificacin en almacenes y carreteras y an en los ratones y teclados inalmbricos de las computadoras. Son, por consecuencia, indispensables en mltiples aplicaciones de nuestra vida diaria. Las antenas son elementos radiadores o interceptores de energa electromagntica y, por radiacin, se entiende aqu el proceso mediante el cual la energa generada en un circuito elctrico es transferida a una antena y emitida por sta en forma de ondas electromagnticas hacia el espacio. El circuito generador suele ser la etapa de amplificacin final de un transmisor y el medio de acoplamiento entre ste y la antena, una lnea de transmisin o una gua de onda. La antena puede entonces considerarse como un dispositivo que permite la transicin de una onda guiada en una lnea de transmisin a una onda no guiada o radiada al espacio. La onda guiada por una lnea de transmisin es, en general, plana, en tanto que la onda radiada tiene propiedades de onda esfrica. Las antenas son elementos pasivos cuyas caractersticas pueden considerarse bidi-reccionales, es decir, que permiten tambin la transicin de una onda no guiada que se propaga en el espacio, a una onda guiada en una lnea de transmisin conectada

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a un receptor. Cuando la antena es utilizada para radiar ondas electromagnticas al espacio, cumple el papel de antena emisora o transmisora y cuando se emplea para interceptar o capturar ondas que se propagan en el espacio y convertirlas en energa til, aprovechable por un receptor, cumple la funcin de antena receptora. En am-bos casos se trata de un proceso de transferencia de energa entre diversos puntos: de un transmisor al espacio, o de ste a un receptor. La transferencia de energa debe realizarse con la mayor eficiencia posible, de modo que debe buscarse el aco-plamiento ptimo entre las impedancias de los diversos elementos del sistema. De no ser as, una parte importante de la energa recibida o transmitida sern reflejadas en la lnea de transmisin dando lugar a ondas estacionarias que no contribuyen a la energa til y que, adems, son causa de distorsiones en la seal transportada por la onda electromagntica y de prdidas por calentamiento en los diversos compo-nentes del sistema lnea-antena. De manera similar al caso de las lneas de transmisin, las antenas pueden conside-rarse como elementos de circuito con parmetros distribuidos, ya que sus dimen-siones en general, son comparables a la longitud de onda de la energa de radiofre-cuencia que manejan. Por esta razn, en el anlisis de las antenas debe emplearse la Teora del Campo Electromagntico y slo, bajo condiciones singulares en un re-ducido nmero de situaciones, resulta vlido aplicar la Teora de Circuitos Elctri-cos. En su forma ms simple una antena puede estar constituida por un alambre conduc-tor o por una combinacin de stos, que pueden ser alambres, varillas, tubos, pla-cas, etc., de dimensiones adecuadas. La energa radiada por una antena cuando es alimentada por una corriente de alta frecuencia, depende de la geometra del con-ductor y de la magnitud de la corriente aplicada. Manteniendo constantes las di-mensiones de la antena, las intensidades de campo elctrico y magntico radiados son directamente proporcionales a la magnitud de la corriente aplicada a la antena. Para que una antena sea eficiente, es decir, para que radie la mayor parte de la energa que se le suministre, o que transmita al receptor la mayor parte de la ener-ga que capture, sus dimensiones deben ser del orden de una longitud de onda. Lo habitual en la prctica las dimensiones de la antenas se sitan entre alrededor de 1/8 y alrededor de una . Si sus dimensiones son mucho menores su eficiencia se reduce considerablemente, pero esto en algunas aplicaciones como los controles de cierre y apertura de puertas de casas o vehculos o teclados y ratones de computa-doras, no es de mucha importancia porque se manejan potencias muy pequeas y las distancias entre los transmisores y receptores por lo general son muy pequeas. En otras aplicaciones, como los sistemas de comunicaciones en las bandas de on-das kilomtricas (30-300 KHz) y miriamtricas (3 a 30 KHz), tambin se utilizan antenas mucho menores de una longitud de onda. En estos sistemas, la baja efi-

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ciencia de la antena se compensa con la muy alta potencia de los transmisores, superior por lo general a 100 Kw. 10.2Antenaisotrpica Se define como antena isotrpica1 a un punto emisor de ondas electromagnticas que radia uniformemente en todas direcciones, de manera que la energa se distri-buye uniformemente en forma esfrica en el espacio. La antena isotrpica es un radiador ideal que no existe en la prctica, pero cuyo concepto es de gran utilidad para analizar el comportamiento de antenas reales, cuyas caractersticas suelen expresarse en relacin a la antena isotrpica como antena patrn. Aqu utilizare-mos como antena de referencia o patrn a la antena isotrpica. En la prctica suele utilizarse, adems de la antena isotrpica al dipolo de media longitud de onda. No hay que olvidar que la antena isotrpica es, en realidad un concepto y no una ante-na real, en tanto que un dipolo es una antena real, muy fcil de construir y la ms utilizada sobre todo para mediciones. Al consultar las especificaciones de antenas reales es indispensable saber en referencia a qu antena estn dadas, si a un dipolo de /2 o una antena isotrpica. En realidad, la utilizacin de uno u otro patrn es slo cuestin de gusto o de hbito y, segn se mencion antes, aqu usaremos la isotrpica como referencia. 10.3.Densidaddeflujodepotencia Supngase una antena isotrpica colocada en el punto O de la figura 10.1, alimen-tada con una potencia de W0 watts y radindola al espacio en todas direcciones, en forma de ondas electromagnticas.

Fig. 10.1. Radiador isotrpico. Puesto que la radiacin es uniforme en todas direcciones, a una distancia r0 de la antena toda la potencia radiada, W0 estar contenida en una esfera de radio r0, de

1 Otras designaciones son: radiador isotrpico, fuente isotrpica o elemento isotrpico.

r0

O

P

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modo que puede hablarse una densidad de flujo de potencia, como la potencia que atraviesa una unidad de rea de esa esfera hipottica. As, la densidad de flujo de potencia, a una distancia r0 de la antena est dada por:

(10.1) S0, la densidad de flujo de potencia, es la magnitud del vector de Poynting en el punto P. W0 es la potencia radiada por la antena isotrpica y r0, la distancia de sta al punto P. En las condiciones anteriores se dice que la radiacin es omnidireccional o no-direccional, puesto que el flujo de potencia es uniforme en todas direcciones. Aho-ra bien, si por algn medio que no se analizar de momento, en lugar de radiar la energa uniformemente a todo el espacio se logra concentrar toda la energa slo en una cierta regin, de manera semejante a lo que ocurre con una linterna de mano a la que en la parte posterior de la lmpara se coloca un reflector de modo que la luz slo se emita hacia adelante y prcticamente no se ilumine nada hacia atrs del reflector, es claro que la densidad de potencia luminosa ser mayor en la direccin de mxima radiacin, es decir, frente al reflector y menor o an nula, en otras di-recciones. El mismo procedimiento, aplicado a un radiador istrpico, dar como resultado que se tenga mayor energa radiada en una direccin determinada, sin necesidad de aumentar la potencia suministrada al radiador. 10.4Directividad De acuerdo al razonamiento anterior, supngase que es posible concentrar toda la energa radiada por la antena isotrpica en un ngulo slido , como se muestra en la figura 10.2

Fig. 10.2. Volumen en el que se concentra la

potencia radiada por la antena. La potencia total contenida en el volumen esfrico de la figura 1 es la misma que la contenida en el volumen ocupado por el slido de revolucin de la figura 2, es de-cir, W0. El punto O desde el que se radia la energa electromagntica es el mismo

200 2

0

watt/m4WS

r=

r0 PVolumen en el que se concentra la potencia radiada

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en ambos casos, sin embargo el radiador de la figura 2 ya no es isotrpico puesto que no radia energa uniformemente en todas direcciones, sino nicamente dentro del ngulo slido . Supngase ahora que el punto P en el que se mide la densidad de flujo de potencia tambin es el mismo en ambos casos, es decir, la distancia del radiador al punto P sigue siendo r0. Es claro que en estas condiciones la densidad de flujo de potencia en P ser mayor que si la fuente fuera isotrpica. Si a esta nue-va densidad de flujo de potencia, correspondiente ahora a un radiador isotrpico ideal que ahora estar alimentado por una potencia equivalente W1 se le designa como S1, se tiene que:

(10.2) en que ahora, W1 es la potencia radiada por la antena no isotrpica de la figura 2. Conviene aqu hacer una aclaracin importante. W1 es la potencia radiada por la antena no isotrpica, pero la potencia de alimentacin a esta antena es la misma que a la antena isotrpica, es decir, W0. Sin embargo, debido a que la antena no isotrpica es capaz de concentrar la energa en una porcin del espacio confinada al ngulo slido , radia ms energa en esa zona que la que radiara una antena iso-trpica alimentada con la misma potencia. Para que la antena isotrpica produjera, en el punto P, una densidad de flujo de potencia igual a S1, tendra que radiar una potencia W1 en lugar de W0. Por esta razn W1 se designa como potencia isotrpi-ca radiada equivalente o efectiva (PIRE o EIRP2) y se relaciona con W0 mediante la siguiente expresin:

1 0W DW= (10.3) en que D es una constante adimensional designada como directividad, que expresa la capacidad de una antena para concentrar la energa electromagntica en una re-gin del espacio. W0, segn se mencion antes, es la potencia radiada por una ante-na isotrpica y es igual a la potencia suministrada a sta. De acuerdo a esto, la den-sidad de flujo de potencia en el punto P puede ahora expresarse como:

0S D S= (10.4) La directividad de la antena isotrpica es igual a la unidad, como se infiere de (4) y, en general, para antenas reales D es mayor que 1, si bien tambin puede ocurrir que en algunas aplicaciones la directividad sea menor que 1. Basndose en el razonamiento anterior podra pensarse que una antena cuya direc-tividad sea mayor que la unidad acta como un amplificador de potencia. Sin em-bargo, al estar la antena constituida slo por elementos pasivos no es capaz de pro-ducir ms potencia que la que le suministra la lnea de transmisin. Ahora bien, 2 Effective (o Equivalent) Isotropic Radiated Power.

11 2

04WS

r=

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como la antena es capaz de concentrar la energa en ciertas regiones del espacio habr, en algunos puntos de dichas regiones, un aumento neto de la densidad de flujo de potencia respecto a la que producira una antena que radiara por igual en todas direcciones. La directividad, expresa de manera cuantitativa, esa capacidad de concentracin de la energa en regiones relativamente reducidas del espacio y es una propiedad que, adecuadamente aprovechada, permite lograr importantes eco-nomas en la potencia de los transmisores. Conviene enfatizar que, por otra parte, una antena con directividad mayor que 1 si bien radia ms potencia que una antena isotrpica en determinadas zonas, radia menos que sta en amplias zonas del espa-cio. Las zonas de inters constituyen lo que se designa como rea de cobertura. Partiendo de (10.4) puede definirse la directividad como:

(10.5) Donde S es la densidad de flujo de potencia debido a la antena no isotrpica en un punto dado del espacio y S0 es la densidad de flujo de potencia que producira una antena isotrpica, alimentada con la misma potencia, en el mismo punto. Puesto que la densidad de flujo de potencia producido por la antena no isotrpica variar segn la direccin respecto a la antena, la directividad es funcin de esta posicin y, en trminos generales en coordenadas polares tendr la forma:

(10.6) La mxima directividad se tendr en la direccin o direcciones de mxima radia-cin y est dada por:

(10.7) Ahora bien, puesto que la densidad de flujo de potencia es la magnitud del vector de Poynting, dado por el producto vectorial de los campos elctrico y magntico como S = 1/2EH puede expresarse tambin en trminos de la intensidad de campo elctrico (o magntico) que, para la antena no isotrpica puede escribirse como3:

(10.8)

donde |E(,)| es el valor pico de la intensidad de campo elctrico a una distancia r, en la direccin (,) y Z0 es la impedancia de onda o impedancia caracterstica del medio en que se propaga la onda que est dada por:

3 Esta expresin corresponde al valor efectivo del vector de Poynting, asumiendo que las variaciones de los cam-

pos elctrico y magntico son senoidales.

0

SDS

=

0

( , )( , ) SDS =

maxmax

0

SDS

=

2

0

( , )( , )

2E

SZ =

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325

(10.9)

y, para el espacio libre o el aire, Z0 = 120 377 . Substituyendo (10.7) y (10.8) en (10.6) se tiene:

(10.10) y, para el espacio libre o el aire:

(10.11) La directividad mxima estar dada por:

(10.12) En general, es comn que cuando se especifica un valor numrico para la directivi-dad, ste corresponde al de la directividad mxima. La directividad como funcin de la posicin respecto a la antena suele representarse mediante diagramas o patro-nes de radiacin. Conocidas la directividad de una antena y su potencia de alimen-tacin, es posible calcular la magnitud de la intensidad del campo elctrico4 a una distancia dada, r, mediante la expresin:

(10.13) Si ahora se define E(,) de forma tal que:

(10.14) Donde Emax es la intensidad de campo elctrico en la direccin de mxima radia-cin y f(,) es la funcin que describe la forma en que el campo radiado por la antena se distribuye en el espacio y define al patrn o diagrama de radiacin del campo5, en trminos de la intensidad de campo relativa, es decir, referida a Emax. Elevando ambos miembros de (10.14) al cuadrado se tiene:

4 Aunque aqu se hace referencia principalmente a la intensidad de campo elctrico, debe tenerse en

cuenta que puede hablarse de la misma forma de la intensidad de campo magntico y puede seguirse el mismo razonamiento para obtener las expresiones correspondientes.

5 Por lo general, el patrn de radiacin del campo se refiere al campo elctrico. Es poco habitual hablar del patrn de radiacin del campo magntico.

=0Z

22

0 0

2 ( , )( , )

r ED

Z W =

2 2

0

( ,( , )

60E r

DW

=

=2 2max

max060

E rDW

060 ( , )( , )W D

Er

=

max( , ) ( , )E E f =

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326

(10.15)

Y se define ahora:

(10.16) como patrn o diagrama de radiacin de potencia. 10.5.Ganancia La definicin de directividad en la seccin anterior n0 tiene en cuenta la eficiencia de la antena y la supone como un radiador perfecto de energa electromagntica si se trata de una antena emisora o como un absorbedor perfecto en el caso de una antena receptora. En otras palabras, la definicin de directividad supone a la antena como sin prdidas. En realidad las antenas se construyen con materiales que son conductores imperfectos, igual que los aisladores que se utilizan en ellas, por lo que una parte de la potencia suministrada a la antena se perder en sta, bien sea por calentamiento a causa de la resistencia de los conductores o por fugas en los dielctricos, dando como resultado una reduccin en la potencia neta y, por conse-cuencia, en la eficiencia de la antena6. Tomando en cuenta este hecho, es necesario modificar el concepto de directividad de modo que se tenga en cuanta la eficiencia de la antena. Se define entonces la ganancia directiva o simplemente ganancia de una antena como:

( , ) ( , )G D = (10.17) Donde es el factor de eficiencia de la antena, cuyo valor est comprendido entre cero y uno. De acuerdo a esto, la ganancia en la direccin de mxima radiacin ser:

max maxG D= (10.18) y es la que suele encontrarse en las especificaciones de antenas reales junto con el diagrama de radiacin correspondiente. Quiz resulte ms claro el concepto de ganancia si se define de la forma siguiente:

(10.19)

donde G = G(,) es, al igual que la directividad, funcin de la direccin respecto a la antena. 6 En la eficiencia de las antenas intervienen tambin efectos de dispersin, particularmente difraccin en los bordes

de los reflectores utilizados por ejemplo, en antenas parablicas.

2 22max( , ) ( , )E E f =

2( , ) ( , )F f =

( , )Potencia efectiva radiada por la antena en direccion

Potencia suministrada en los terminales de la antenaG

=

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La definicin anterior de ganancia incluye los efectos de todas las prdidas debidas a las imperfecciones de los conductores y dielctricos con que est construida la antena. Conviene notar que en (10.19), la potencia suministrada o de entrada a la antena no es la potencia de salida del transmisor, de modo que en la ganancia as definida no intervienen, ni los desacoplamientos de impedancia ni la atenuacin de la lnea de transmisin. Por otra parte, la definicin anterior es fcilmente com-prensible si se considera a la antena como emisora. Cuando la antena acta como receptora el concepto de ganancia es igualmente vlido, aunque el comportamiento fsico se explica mejor en trminos del rea o abertura efectiva. Tambin es impor-tante enfatizar que los valores numricos de la directividad o ganancia que se en-cuentran en la prctica corresponden, por lo general, a las direcciones de mxima radiacin, ya que no debe olvidarse que la directividad y la ganancia son funciones de la direccin respecto a la antena y slo pueden expresarse completamente me-diante una funcin analtica o bien mediante un diagrama tridimensional que mues-tre la distribucin espacial de la intensidad de campo o la potencia y no nicamente mediante una cifra. 10.6 Diagrama de radiacin El diagrama, o patrn de radiacin es la expresin, bien sea analtica o grfica de la variacin de la potencia, la intensidad de campo elctrico7 o la ganancia, respecto a la posicin de la antena. Cuando la expresin del diagrama de radiacin se hace grficamente, es frecuente utilizar coordenadas polares para representar la distribu-cin del campo en los planos horizontal y vertical. En algunas aplicaciones en que son necesarias representaciones ms precisas mediante ampliaciones de escala de ciertas porciones del diagrama, se prefiere el uso de coordenadas rectangulares, lo mismo que al calcular las grficas mediante computadora. La funcin G(,) es, de hecho, la expresin analtica del diagrama de radiacin que, en forma normalizada se expresa como:

(10.20)

donde Gmax es el valor de la ganancia en la direccin de mxima radiacin, con lo que el valor mximo de F(,) es 1 y es congruente con la definicin previa (10.16). F(,) y G(,) son funciones tridimensionales en coordenadas esfricas, evaluadas a una distancia constante de la antena. En la figura 10.3 se ilustra la for-ma un diagrama de radiacin tridimensional. Esta forma resulta ms difcil de in- 7 Aunque puede tambin hablarse de diagrama de radiacin del campo magntico, en la prctica es poco frecuente.

max

( , )( , ) GFG =

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terpretar que si el diagrama se realiza para los planos horizontal y vertical, es decir, = 90 y = 90 respectivamente, (25) puede escribirse para cada caso como:

(10.21) para el diagrama horizontal y, para el vertical:

(10.22) Gmax() y Gmax() son, respectivamente, los valores mximos de la ganancia en las direcciones y .

Fig. 10.3. Diagrama de radiacin tridimensional.

En la figura 10.4 se ilustra el diagrama de radiacin para un corte en el plano verti-cal. En el plano horizontal, para = 90 el diagrama de radiacin es un crculo. En los crculos concntricos de la figura se indica el nivel relativo de potencia, en dB, respecto a la direccin de mxima radiacin (90 y 270).

0

max

(90 , )( )( )

GFG

=

0

max

( ,90 )( )( )

GFG =

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329

Fig. 10.4. Diagrama de radiacin en el plano vertical.

10.7Directividadyreadelhaz Una forma alternativa de definir la directividad es partiendo del principio de que una antena isotrpica radia en forma esfrica, lo que equivale a un ngulo slido de 4 rad2, en tanto que una antena de directividad D radia en un ngulo slido , menor de 4 rad2, de modo que la directividad puede expresarse tambin como:

(10.23) El ngulo slido subtendido por el diagrama de radiacin de la antena no-isotrpica es, de hecho, el rea de la seccin transversal del haz radiado, expresada dicha rea en unidades angulares, es decir, rad2 o en grados al cuadrado. El rea transversal queda as expresada como:

(10.24) En la prctica, no siempre puede expresarse F(,) en forma analtica y, por conse-cuencia no puede evaluarse la integral anterior. Sin embargo, puede conocerse gr-ficamente el diagrama de radiacin en los planos horizontal y vertical a partir de mediciones de la intensidad de campo elctrico o de la potencia. En estas condicio-nes, es posible estimar la directividad con el siguiente procedimiento. Supngase un diagrama de radiacin como el de la figura 10.5, constituido por un slido de revolucin alrededor del eje y. En el plano vertical, este patrn puede reemplazarse de manera aproximada por el sector OCD mostrado en la figura 4(a) y limitado por el ngulo plano y lo mismo puede hacerse en el plano horizontal. As, el diagrama resultante, en el espacio, tendr forma de cua como se muestra en la figura 4(b), en la que y son los ngulos de abertura del haz a media po-tencia y estn definidos por los puntos A y B sobre el diagrama de radiacin real, en los que la potencia es la mitad de la emitida en la direccin de mxima radiacin o bien, la intensidad de campo elctrico es 1/ 2 de la intensidad de campo en la direccin de mxima radiacin. La aproximacin utilizada en la figura 4(b) resulta-r mejor cuanto mayor sea la directividad de la antena. El error puede ser hasta de 35% en antenas de poca directividad, hecho que debe tenerse en cuenta al aplicar el mtodo.

Angulo solido subtendido por una esfera

Angulo solido subtendido por el patron de la antena no isotropicaD =

2

0( , )senB F d d

=

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330

Fig. 10.5. Anchura del haz. De la figura 10.5(b), el rea transversal del haz estar dada, aproximada-mente, por:

B (10.25) Ahora bien, de (10.23) se deduce que:

(10.26)

con lo que, substituyendo queda:

(10.27) donde y son, segn se mencion, los ngulos de abertura del haz a media po-tencia en los planos vertical y horizontal, respectivamente, expresados en radianes. Si y se expresan en grados, la ecuacin anterior puede escribirse como:

(10.28) ya que 4 rad2 = 4 (57.3)2 = 41253 grados2. 10.8Areaequivalentedeunaantena En las secciones anteriores, la antena fue tratada principalmente como emisora de ondas electromagnticas, an cuando los conceptos de directividad y ganancia son igualmente vlidos si la antena se utiliza como receptora. Sin embargo, al analizar la antena en esta aplicacin, conviene asociarle una cierta rea en que es vlido suponer que se intercepta el campo electromagntico para extraer de l la energa transportada por la onda. De acuerdo a esto, si se piensa que la antena tiene asocia-da un rea equivalente A, la potencia incidente sobre una superficie de esa rea, perpendicular a la direccin de propagacin y colocada a una distancia r de la fuen-te ser:

(10.29) Donde Pr es la potencia disponible en las terminales de la antena receptora, S la densidad de flujo de potencia, PRAD la potencia isotrpica equivalente radiada por la

y

(b)

z

0

A

B

(a)

C

D

4DB=

4D

41253o oD

24RAD

r e ePP SA A

r= =

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331

antena transmisora y Ae el rea efectiva en que se captura la energa til. En reali-dad, el rea o abertura equivalente de la antena incluye tres conceptos: el de rea efectiva, definida antes, el rea de dispersin, que tiene que ver con la parte de la energa incidente que es rerradiada por la antena y el rea de prdidas, asociada con las prdidas por efecto Joule debidas a la resistencia de la propia antena. El rea equivalente es la suma de las tres anteriores, si bien aqu nos limitaremos ni-camente a la primera. De (10.29) puede definirse el rea efectiva como:

(10.30) Si a la superficie interceptora, de rea equivalente Ae se le puede asociar una impe-dancia ZA y se supone, adems, que es posible localizar en esa superficie dos ter-minales hipotticas en las que se puede extraer la potencia incidente, se tendr tambin en dichos terminales un voltaje de valor:

(10.31) Cuando la antena se usa como receptora, cumple la funcin de interceptar las ondas electromagnticas de la misma forma que la superficie A descrita antes. El proble-ma consiste ahora en establecer una relacin entre el rea de intercepcin y los parmetros de la antena. Para ello es conveniente hacer algunas consideraciones de carcter cualitativo. La antena receptora puede considerarse como un generador que alimenta a la lnea de transmisin que la conecta al receptor. La potencia que suministra este genera-dor es la potencia que transporta la onda electromagntica incidente en la antena, como se muestra en la figura 10.6.

Fig. 10.6. Si las impedancias de la antena, lnea de transmisin y entrada del receptor son tales que el acoplamiento entre ellas es perfecto y si, adems, no hay prdidas en la antena ni en la lnea de transmisin, la onda que incide sobre la antena viajar por la lnea hasta la carga representada por el receptor y su potencia ser absorbida totalmente por ste.

re

PAS

=

r r AV P Z=

Receptor (carga)

Antena

Linea

10.ANTENAS



332

Si el acoplamiento no es perfecto entre alguno de los elementos, habr ondas refle-jadas y, por consecuencia, slo una parte de la energa de la onda incidente ser entregada a la carga. Las ondas reflejadas viajarn de regreso hacia la antena y se producir una situacin de reflexin mltiple entre la antena y la carga, es decir, en la lnea de transmisin se tendrn dos ondas, una viajando hacia la carga y otra de regreso hacia la antena, cuyas amplitudes estarn determinadas por el coeficiente de reflexin que resulta del desacoplamiento de las impedancias. La onda reflejada hacia la antena ser radiada nuevamente por sta hacia el espa-cio. A esta onda rerradiada se le designa como onda dispersa y su energa procede de la onda original incidente sobre la antena por lo que, desde el punto de vista del receptor, representa energa perdida. Adems de la energa perdida en la onda dis-persa, otra parte de la energa incidente se disipa por efecto Joule, en forma de ca-lor en la propia antena, la lnea y la carga. De acuerdo a este razonamiento, el rea equivalente de una antena puede conside-rarse formado por dos partes: un rea de absorcin, asociada con la porcin de energa incidente absorbida por el sistema, ya sea como energa til a la entrada del receptor o disipada en forma de calor en los diferentes componentes del sistema y un rea de dispersin, asociada con la energa rerradiada por la antena. Para identificar otros aspectos del comportamiento de la antena, el rea de absor-cin suele, a su vez, dividirse en cuatro partes designadas como rea efectiva, rea de prdidas, rea colectora y rea fsica. 10.8.1AreaEfectiva El rea o abertura efectiva de una antena es aqulla asociada con la potencia til suministrada a la lnea de transmisin en condiciones de acoplamiento de impedan-cias. Para definirla, se considera a la antena conectada a una impedancia de carga ZL como se muestra en la figura 10.7(a), en cuyo caso la antena acta como un generador de impedancia interna ZA y el sistema puede representarse mediante el circuito equivalente de figura 6(b). El voltaje del generador sera el voltaje en los terminales de la antena, en circuito abierto.

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333

(a) (b)

Fig. 10.7. Circuito equivalente de la antena. En general, las impedancias ZA y ZL son complejas, es decir, contienen partes resis-tivas y reactivas, de modo que:

(10.32)

(10.33) A su vez, la resistencia de la antena RA tiene dos componentes: una, causante de las prdidas por calentamiento, designada como resistencia de prdidas, RP y otra, asociada con el proceso de radiacin de la energa electromagntica, designada como resistencia de radiacin, RR. Es en esta ltima en la que se considera que se absorbe la potencia cuando la antena se usa como receptora y la responsable de la radiacin cuando la antena es transmisora. La resistencia de radiacin es una pro-piedad de la antena y no una resistencia convencional que pueda ser medida con un hmetro. De acuerdo a esto:

A P RR R R= + (10.34) Si ahora se analiza el circuito de la figura 1.6(b) se tiene que la corriente es:

(10.35) Con lo que, efectuando las substituciones correspondientes se tiene:

(10.36) La potencia entregada a la carga ser:

(10.37)

Y, substituyendo (10.36):

Antena

ZL

ZaZL

Va

I

A A AZ R jX= +L L LZ R jX= +

A

A L

VIZ Z

= +

( )A

R P L A L

VIR R R j X X

= + + + +

2L LP I R=

10.ANTENAS



334

(10.38) Se puede ahora definir un rea efectiva como la relacin entre la potencia entrega-da a la impedancia de carga y la densidad de flujo de potencia de la onda incidente:

(10.39) Que es la misma ecuacin (10.30). Si la antena se supone ideal, no habr prdidas por calentamiento y RP = 0 y si, adems, las impedancias estn acopladas:

(10.40) Donde ZL* es el complejo conjugado de ZL, entonces RA = RR = RL y XA = -XL. En estas condiciones se tendr la mxima transferencia de potencia entre la antena y la carga, por lo que el rea efectiva asociada ser mxima, Aem y de las ecuaciones anteriores se tiene que:

(10.41) Adems, intuitivamente se infiere que el rea efectiva debe estar relacionada con la ganancia de la antena. As, esta relacin se define como e isoA A G= en que G es la ganancia y Aiso, el rea efectiva de la antena isotrpica, dada por8:

(10.42) En resumen, el rea efectiva es la relacin entre la potencia disponible en las ter-minales de la antena y la densidad de flujo de potencia (potencia por unidad de rea) de la onda incidente con la polarizacin adecuada. Esto implica que la defi-nicin de rea efectiva tiene sentido si la antena transmisora y la receptora tienen la misma polarizacin. 10.8.2 Relacinentrereaefectivaylongitudefectiva Supngase ahora que la antena est formada por un conductor recto, delgado, de longitud Le. El voltaje inducido por la onda ser:

(10.43) donde E es la intensidad de campo elctrico de la onda. Por otra parte, la intensidad de campo y la densidad de flujo de potencia estn relacionadas por:

8 Para una demostracin de estas relaciones vanse por ejemplo: E.C. Jordan y K.G. Balmain, Electromagnetic

Waves and Radiating Systems, 2nd Ed. Prentice Hall, Inc. 1968. C.A. Balanis. Antenna Theory: Analysis and Design, 2nd. Ed. John Wiley & Sons, Inc. 1982, J.D. Kraus. Antennas. 2nd Ed. McGraw-Hill, Inc. 1988.

2

2 2( ) ( )A L

LR P L A L

V RPR R R X X

= + + + +

2mLePAS

=

A LZ Z=

=2

4isoA

A eV EL=

2

4A

emr

VASR

=

10.ANTENAS



335

(10.44)

Substituyendo (10.43) y (10.44) en (10.41) se tiene que:

(10.45) que, para el espacio libre o el aire se reduce a:

(10.46) Le recibe le nombre de longitud efectiva y se relaciona con el rea efectiva mxima en la forma anterior. Cuando hay desacoplamiento de impedancias o prdidas resistivas (RP > 0), el rea efectiva es menor que el rea efectiva mxima. La relacin entre esas dos reas se designa como efectividad de la antena y no debe confundirse con la eficiencia defi-nida mediante (10.17). En esta ltima se incluyen otros efectos como dispersin, prdidas por fugas en dielctricos, etc. 10.9Resistenciaderadiacin En la seccin 10.8, al analizar el circuito equivalente de la antena, usada como receptora, se trat a la resistencia de radiacin como una componente de la parte real de la impedancia de la antena. Al tratar el concepto de rea o abertura efectiva, se vio que sta depende de la resistencia de radiacin, a la que puede considerarse como la resistencia en que se absorbe la potencia de la onda incidente para ser uti-lizada como potencia til a la entrada del receptor. La resistencia de radiacin es una propiedad de la antena que no puede medirse en forma simple como si se trata-ra de una resistencia convencional. Si se considera la antena como transmisora, el concepto de resistencia de radiacin es igualmente vlido. En este caso, puede uti-lizarse el circuito equivalente de la figura 10.8(b), que corresponde al sistema de la figura 10.8(a). En este circuito, VG es el voltaje de alimentacin a la antena y ZG es la impedancia del generador equivalente, que corresponde a la impedancia en los terminales de la lnea de transmisin en el punto de conexin a la antena. ZA, la impedancia de la antena es ahora la impedancia de carga y est dada por:

A A AZ R jX= + (10.47)

2

0

ESZ

=

20

4e

emR

Z LAR

=

230 eem

R

LAR=

10.ANTENAS



336

(a) (b)

Fig. 10.8. Antena transmisora y su circuito equivalente. R-A est compuesta por la resistencia de radiacin, RR y la resistencia de prdidas, RP. Recurdese que RR es una propiedad de la antena y no una resistencia fsica convencional. Por el contrario, la resistencia de prdidas, que representa las prdi-das por efecto pelicular, resistencia hmica y fugas en los dielctricos, depende de los materiales con que est construida la antena y del tipo de montaje de sta. La potencia disipada en esta resistencia es potencia perdida en forma de calor. RA es la parte real de la impedancia de la antena, ZA, definida como:

(10.48) donde VA() e IA() son, respectivamente, el voltaje y la corriente en los terminales de la antena, en el dominio de la frecuencia. En el circuito equivalente de la figura 10.7(b) y, omitiendo la notacin que indica la dependencia de la frecuencia, se tiene que:

(10.49) Ahora bien, la potencia real suministrada a la antena, o potencia de entrada, est dada por:

(10.50)

y, como RA = RR + RP,

(10.51)

o bien:

(10.52)

Donde PR es la potencia radiada por la antena y PP la potencia disipada en la propia antena.

ZG

VG Transmisor

Antena

Va

Ia

Za

Lnea

( )( )

AA

A

VZI

=

GA

G A

VIZ Z

= +

2A A AP I R=

2 ( )A A R PP I R R= +

A R PP P P= +

10.ANTENAS



337

Puesto que la resistencia de radiacin depende, entre otras cosas, de la geometra de la antena, es necesario desarrollar, para cada antena particular, las expresiones correspondientes para la impedancia. El procedimiento analtico con frecuencia resulta complicado y, a veces, es ms conveniente buscar aproximaciones de tipo prctico. 10.10Impedancia Al referirse a la impedancia de la antena suele entenderse por tal a la que puede medirse en sus terminales, es decir, en el punto de alimentacin o de conexin a la lnea de transmisin. Es importante conocer con precisin la impedancia si se desea transferir la mxima potencia del amplificador de salida del transmisor a la antena, o bien extraer de sta la mxima potencia de una onda incidente cuando se usa como receptora. Excepto para las antenas ms simples, el procedimiento analtico para calcular la impedancia suele resultar sumamente complejo y laborioso y, en la prctica, los valores de impedancia obtenidos analticamente para antenas relativamente sim-ples, se utilizan como referencia en el diseo. En la prctica, el valor deseado de impedancia se obtiene mediante un procedimiento de prueba y error, midiendo la impedancia y ajustando las dimensiones de la antena hasta obtener el valor ms cercano posible al deseado. En realidad, la impedancia del punto de alimentacin, an de las antenas ms sim-ples, vara considerablemente con la presencia de otros objetos conductores cerca-nos y se dice, en tal caso que la antena se acopla con dichos objetos. De acuerdo a las ideas anteriores, conviene distinguir la impedancia en los termina-les de la antena cuando sta se halla aislada en el espacio, es decir suficientemente alejada de cualquier objeto como para que sus efectos no sean apreciables, de la impedancia de la antena cuando est en la cercana de objetos conductores o de otras antenas de forma que sus caractersticas se ven modificadas. En el primer caso, la impedancia se designa como impedancia propia y puede expresarse como:

(10.53) donde V1 e I1 son, respectivamente, el voltaje y la corriente en los terminales de la antena, expresados ambos en el dominio de la frecuencia. Si hay cerca otras antenas, la energa radiada o rerradiada por ellas, inducir co-rrientes en las dems, cuya magnitud y fase dependern de las impedancias mutuas

= 1111

VZI

10.ANTENAS



338

entre ellas. El trmino impedancia mutua tiene aqu el mismo sentido que el utili-zado en la teora de circuitos con acoplamiento inductivo. Como consecuencia de lo anterior, la impedancia en los terminales de una antena tendr, en general, un valor diferente al que ofrecera si la antena estuviera aislada en el espacio. La im-pedancia en estas condiciones se designa como impedancia del punto de alimenta-cin, impedancia de terminal o impedancia de base. Este ltimo trmino es ms utilizado en monopolos verticales, consistentes en un conductor vertical, que acta como radiador, colocado sobre un plano conductor, por ejemplo la tierra. Puesto que las antenas son elementos lineales y pasivos en los que es aplicable el principio de reciprocidad, las impedancias mutuas son bilaterales, es decir, la rela-cin entre causa y efecto es la misma independientemente de la antena que se use como fuente. Esta propiedad puede expresarse mediante la relacin:

=jk kjZ Z (10.54) Donde, la impedancia mutua se define como:

(10.55) en que Vj es el voltaje inducido en los terminales de la antena j por la corriente que circula en la antena k. Aplicando el principio de superposicin a un sistema de n antenas, los voltajes y corrientes en los terminales de cada una de ellas estarn dados por:

(10.56) Donde:

Z11, Z22,......Znn, son las impedancias propias de las respectivas antenas,

Z12, Z21, etc., son las impedancias mutuas, V1, V2, ......Vn, son los voltajes en los terminales de cada antena y, I1, I2, ...... In, son las corrientes en los terminales de cada antena. Se define la impedancia en el punto de alimentacin o impedancia de terminal de una antena, como la relacin entre el voltaje y la corriente en sus terminales, en presencia de las dems antenas del sistema, es decir:

= jjkk

VZ

I

= + + + += + + + +

= + + + +

""""

""""

1 11 1 12 2 13 3 1

2 21 1 22 2 23 3 2

1 1 2 2 3 3

n n

n n

n n n n nn n

V Z I Z I Z I Z IV Z I Z I Z I Z I

V Z I Z I Z I Z I

10.ANTENAS



339

(10.57)

Con lo que, de (10.56) se tiene ahora la siguiente expresin para las impedancias de terminal:

(10.58) Como puede verse de las relaciones anteriores, la impedancia de terminal o de pun-to de alimentacin de una antena, en la cercana de otras antenas, depende, no slo de su impedancia propia, sino de las impedancias mutuas entre sta y las dems antenas y de la relacin entre la corriente de alimentacin de cada antena del siste-ma y la corriente de alimentacin de la antena cuya impedancia de terminal se cal-cula. Es interesante analizar, cualitativamente, qu ocurrira en un sistema de n antenas en que solamente una de ellas, digamos la 1, fuese alimentada y las dems no. Se-gn las ecuaciones anteriores, parecera que I2, I3, ... , In valdran cero y la impe-dancia de terminal sera, en estas condiciones, igual a la impedancia propia de la antena 1. Este razonamiento es errneo, ya que el campo radiado inducir corrien-tes en todas las dems antenas del sistema y, por consecuencia, cada una de ellas radiar, a su vez, energa electromagntica que se inducir sobre la propia antena 1, modificando el voltaje y la corriente en sus terminales y, por tanto, su impedancia. Las antenas no alimentadas en el sistema actan como parsitas, ya que su energa de alimentacin proviene de la nica antena excitada en el sistema, en este caso la antena 1. Lo anterior es igualmente cierto an cuando los terminales de cada ante-na, excepto la primera, estn en corto circuito. Esta propiedad es aprovechada en antenas como la Yagi, o bien en antenas con reflector en que las corrientes induci-das sobre ste se comportan de manera semejante a una antena "imagen" ficticia. Las impedancias mutuas dependen tambin de la geometra del sistema, es decir, de las dimensiones y caractersticas geomtricas de cada radiador, as como de su distribucin en el espacio. El procedimiento analtico de clculo de las impedancias mutuas y de terminal en estas condiciones, reviste tambin gran complejidad.

= =1 21 21 2

, , etc.V VZ ZI I

= + + + +

= + + + +

= + + + +

""

""""

""

321 11 12 13 1

1 1 1

312 21 22 23 2

2 2 2

31 21 2 3

nn

nn

n n n n nnn n n

I IIZ Z Z Z ZI I I

I IIZ Z Z Z ZI I I

II IZ Z Z Z ZI I I

10.ANTENAS



340

Segn se mencion, en las condiciones descritas antes, se dice que la antena se acopla con otras antenas. Sin embargo esta situacin se da no slo cuando una an-tena est cerca de otras; tambin se da cuando la antena tiene en su cercana objetos conductores o dielctricos imperfectos de cualquier forma y tamao y no puede considerarse aislada en el espacio. Es el caso de antenas que funcionan sobre el techo de un vehculo, en la cercana de paredes, muebles o cualesquiera otros obje-tos, incluido el cuerpo humano. Intentar el anlisis riguroso de estas situaciones es tarea menos que imposible y es necesario, en la prctica, recurrir con mucha fre-cuencia a procedimientos empricos. En la prctica suele considerarse que si la distancia entre la antena y cualquier objeto del entorno de sta, incluida la propia tierra, es del orden de 20, los efectos de acoplamiento son despreciables y la ante-na puede suponerse la antena como aislada. 10.11Anchodebanda En amplificadores u otros circuitos, el ancho de banda se define como la banda de frecuencias comprendida entre los puntos de la curva de respuesta en frecuencia en que la amplitud de la seal de salida decae a 0.707 de su valor en la banda de paso o bien, en que la potencia de la seal se reduce a la mitad. Estos puntos se conocen como puntos de media potencia o de -3dB. En el caso de las antenas, el concepto de ancho de banda no se aplica estrictamente de acuerdo a la definicin anterior y no tiene una definicin nica, ya que segn la aplicacin particular, en la definicin pueden influir diversos factores tales como el cambio en la forma del diagrama de radiacin, variacin en las caractersticas de polarizacin, desacoplamiento de im-pedancias, aumento en el nivel de los lbulos secundarios, reduccin de la ganan-cia, etc. En la prctica, la forma ms comn de medir el ancho de banda de una antena suele ser en trminos de la relacin de onda estacionaria (ROE), parmetro que permite definir la magnitud del desacoplamiento de impedancias y, por tanto, la eficiencia en la transferencia de potencia entre la lnea de transmisin y la antena. En tales condiciones, se define el ancho de banda de la antena como el rango de frecuencias en que el valor de la relacin de onda estacionaria no excede un cierto valor mxi-mo predeterminado. Este valor de ROE no es nico y depende de las aplicaciones especficas. As, en algunos sistemas de transmisin, se requiere que el valor de la ROE no exceda, por ejemplo, de 1.1, en tanto que en otros casos pueden tolerarse valores superiores. Puesto que la ROE da tambin una medida de la potencia refle-jada hacia el generador, criterio que sirve para establecer el valor mximo de la ROE, es la mxima potencia reflejada que puede tolerarse en cada aplicacin.

10.ANTENAS



341

No toda la potencia suministrada por la lnea de transmisin se radia en forma de ondas electromagnticas. Una parte se disipa en forma de calor o por corrientes de fuga en la propia antena, otra parte se refleja y vuelve a ser conducida por la lnea hasta el transmisor. Es deseable que estas dos partes de la potencia suministrada sean lo menor posible, la primera con una construccin cuidadosa de la antena y, la segunda, con un buen acoplamiento entre la lnea y la antena. Asumiendo que la potencia perdida por calentamiento fugas es despreciable, suposicin vlida en la mayor parte de los casos, puede definirse un coeficiente de transmisin de potencia como la relacin entre la potencia radiada y la suministrada, que puede expresarse en trminos de la relacin de onda estacionaria como:

(10.59) Los valores de ROE pueden estar entre 1 e infinito. El valor de 1 corresponde a una condicin de acoplamiento ideal en que no se refleja ninguna potencia. En estas condiciones el coeficiente de transmisin de potencia tambin vale 1. Cuando ROE = toda la potencia incidente se refleja de nuevo hacia el generador y el coeficien-te de transmisin de potencia es cero. De acuerdo a esto, puede definirse tambin un coeficiente de reflexin de potencia como:

1w w = (10.60) En aplicaciones profesionales, un criterio adecuado es que la ROE debe ser tal que la mxima potencia reflejada no exceda el 1% de la incidente en toda la banda de inters. Esto corresponde a un valor de ROE de 1.22, si bien es frecuente en mu-chos casos tener valores de ROE de 1.5 y an hasta de 2. Una antena puede ser resonante en ms de una banda de frecuencias, de modo que los valores mximos de la ROE pueden ser relativamente bajos en esas bandas y cumplir con las condiciones de acoplamiento de impedancias. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que an cuando los valores mximos de ROE en las diferentes bandas pueden estar dentro de lo tolerable, desde el punto de vista del acoplamien-to de impedancias, otros parmetros pueden variar considerablemente, en particular la ganancia y el diagrama de radiacin, por lo que este hecho debe tenerse en cuen-ta cuando una antena se disea para utilizarla en ms de una banda. 10.12Polarizacin La polarizacin de una onda electromagntica se define como la orientacin del vector del campo elctrico. A unas cuantas longitudes de onda de la antena (del orden 10 a 20 para fines prcticos), la onda electromagntica puede considerarse plana. En una onda plana las componentes de los campos elctricos y magntico

2

4(1 )w

ROEROE

= +

10.ANTENAS



342

son, en todo momento, perpendiculares entre s y, a la vesz, perpendiculares a la direccin de propagacin. Es decir, E y H estn en un plano perpendicular a la direccin de propagacin y se dice que tal onda es transversal, a diferencia de las ondas acsticas que son longitudinales, ya que la direccin del campo, en este caso de presin acstica, est en la direccin de propagacin. En la figura 10.9 se ilus-tran las componentes de una onda plana, con componentes Ez y Hy que viaja con velocidad v0 en la direccin x. La polarizacin se describe como el lugar geomtrico trazado por el vector del campo elctrico, E, en un plano estacionario, perpendicular a la direccin de pro-pagacin, cuando la onda atraviesa ese plano. El vector del campo en ese plano puede descomponerse en dos componentes ortogonales cuya amplitud puede ser variable en el tiempo y en el espacio. En el caso de la figura 1, el vector E est en el plano yz, siempre en la direccin z, de modo que la onda est polarizada verti-calmente. Si E estuviera en el plano xy, en la direccin y, la polarizacin sera hori-zontal.

Fig. 10.9. Componentes del campo electromagntico en una onda plana.

Si imaginamos que las dos componentes de E tienen amplitudes variables y se suponen girando en el plano transversal a la direccin de propagacin, el lugar geomtrico trazado por el extremo del vector resultante ser, en general, una elipse. De hecho, la polarizacin elptica representa el caso ms general de polarizacin, de la que la polarizacin lineal, ya sea vertical, horizontal o inclinada, son casos particulares. Otro caso particular es la polarizacin circular, que ocurre cuando las componentes de E tienen la misma amplitud, pero estn defasadas 90. En la figura 10.10 se muestran varias formas de polarizacin para diferentes relaciones entre las componentes del campo elctrico y distintas fases entre ellas.

10.ANTENAS



343

Fig. 10.10. Polarizacin en funcin de Ex/Ey y su ngulo de fase.

La polarizacin de una onda electromagntica est determinada por el tipo de ante-na transmisora utilizada. Por ejemplo, un dipolo o un alineamiento9 de dipolos horizontales, la polarizacin es horizontal, en el caso de un dipolo o un monopolo vertical, la polarizacin es vertical. Un sistema de dos dipolos perpendiculares en-tre s o una antena helicoidal radian una onda con polarizacin circular.

(a) (b) (c)

Fig. 10.11. Antenas con polarizacin horizontal, vertical y circular. En la figura 10.11 se ilustran tres tipos de antena que dan lugar a ondas con dife-rente polarizacin. La antena Yagi en 10.11(a), tiene polarizacin horizontal, los monopolos verticales de una estacin base de comunicaciones mviles en 10.11(b)

9 En ingls array.

10.ANTENAS



344

tienen polarizacin vertical, en tanto que la antena helicoidal en 10.11(c), es de polarizacin circular. En la figura 10.12 se ilustra la forma en que se combinan las componentes del campo elctrico para producir polarizacin circular. En este caso la onda se propaga en la direccin z.

Fig. 10.12. Polarizacin circular.

10.12.1Discriminacindepolarizacin En los sistemas radioelctricos de comunicaciones es muy importante que las ante-nas transmisora y receptora tengan la misma polarizacin o que sea copolares. Si la polarizacin de las antenas es contraria o contrapolar10, por ejemplo H en transmi-sin y V en recepcin, tericamente la antena receptora no recibir seal, pues la onda electromagntica no tendr componente vertical del campo elctrico. Las polarizaciones horizontal y vertical son contrapolares, lo mismo que la elptica o circular derecha e izquierda11. Tanto por la geometra de las antenas, como por las caractersticas del entorno en que se propaga la energa electromagntica, casi siempre est presente una compo-nente contrapolar. En sistemas con antenas altamente directivas, como es el caso de comunicaciones por satlite o radioenlaces terrestres de microondas, la relacin entre las componentes copolar y contrapolar es grande, del orden de 30 dB lo que facilita el mejor aprovechamiento del espectro. En sistemas de comunicaciones en que la propagacin tiene lugar en las capas inferiores de la atmsfera, sobre la su-perficie terrestre, la energa electromagntica se dispersa a causa de reflexiones, difracciones, etc., dando lugar a despolarizacin de la onda transmitida. Depen-diendo del entorno, por ejemplo en el caso de comunicaciones en interiores12 la

10 En ingls, cross polar. 11 En ingls, para polarizacin circular derecha se emplea la abreviatura RHCP (Right Hand Circular Pola-

rization) y para la izquierda LHCP (Left Hand Circular Polarization). 12 Prez-Vega, C. and Garca Garca, J.L. Polarisation Behaviour in the Indoor Propagation Channel Electron-

ics Letters, Vol. 33, N 10, 8th May 1997. pp. 898-899.

10.ANTENAS



345

componente contrapolar puede alcanzar niveles similares o superiores a los de componente copolar. En espacios abiertos, una relacin de 15 a 20 dB entre las componentes copolar y contrapolar, puede considerarse como tpica. 10.13 Campo electromagntico radiado por un elemento de corriente Se define como elemento de corriente y tambin dipolo elemental, a un hilo con-ductor infinitamente delgado de modo que no se toma en cuenta su seccin trans-versal y cuya longitud es mucho menor que la longitud de onda. Se supone, ade-ms, que por l circula una corriente elctrica variable senoidalmente, de amplitud Im y se asume tambin, que no es de inters la forma de excitacin de dicho ele-mento; simplemente, la corriente circula por l. Se supone, finalmente, que el ele-mento de corriente est aislado en el espacio libre, lo que equivale a suponerlo suficientemente alejado de cualquier objeto y de la propia tierra. El concepto de elemento de corriente, aunque inexistente en la prctica, permite llegar a resultados de importancia para el anlisis de antenas reales, ya que stas pueden considerarse como formadas por un gran nmero de elementos de corriente. Debido a que la longitud del elemento es mucho menor que la longitud de onda, es vlido asumir que la corriente se distribuye de forma constante a lo largo de l y, en la figura 10.13, se muestra la geometra que se emplear en el anlisis. El elemento de co-rriente es coincidente con el eje z y su centro coincide con el origen del sistema de coordenadas; la longitud del elemento es l. Como el elemento de corriente est en la direccin z y es infinitamente delgado, puede considerarse que la corriente est distribuida nicamente a lo largo de z.

Fig. 10.13. Geometra para el anlisis del campo producido por un elemento de corriente.

x

y

z

Er

E

H

r

10.ANTENAS



346

El anlisis terico para la obtencin de las componentes de los campos elctrico y magntico producidos por un elemento de corriente queda fuera del contexto de estas notas y est tratado abundantemente en textos clsicos de antenas13. Aqu nicamente se resumen las expresiones para dichas componentes:

(10.61)

(10.62)

(10.63)

(10.64)

(10.65)

(10.66)

Enlasexpresionesanteriores,EryEsonlascomponentesradialycenitaldelcampoelctrico.Lacomponenteazimutal,E,escero.Hes lacomponenteazimutaldel campomagnticoy las componentes radial,Hry cenital,Hvalen cero,por consideracionesde simetray laspropiedadesdel campomagntico.Lascomponentescenitalyazimutaldeloscampossoncomponentestransversalesaladireccinrdepropagacindelaondaelectromagnticaysonlasdeintersenelproblemaderadiacin,yaquesonlasquecontribuyenalapotenciarecibida. En la figura 10.14 se muestra el comportamiento de las componentes de los campos elctrico y magntico a distancias hasta de cinco longitudes de onda de la antena.

13 Vase por ejemplo E.A. Wolff, Antenna Analysis. John Wiley & Sons, Inc. New York, 1967.

= + 0

2 3

cos 2 24

j rm

rI le ZE

r j r

= + +

02 3

sen 14

j rmI le j ZE

r r j r

= 0E

= 0rH

= 0H

= + 2

sen 14

j rmI le jH

r r

10.ANTENAS



347

Fig. 10.14. Magnitudes relativas de las componentes del

campo electromagntico radiado por la antena. Desde el punto de vista de la densidad de flujo de potencia, el vector de Poynting es:

(10.67)

Donde:

(10.68)

Expresin en la que 1 , 1 y 1r G G G

son vectores unitarios en las direcciones r, y respectivamente. De (10.77) y (10.78) se obtiene el vector de Poynting, S

JG , como:

(10.69)

La componente reactiva decae rpidamente, ya que los trminos en 1/r2 y 1/r3 se hacen muy pequeos segn aumenta la distancia. As, a distancias grandes es vlida la siguiente aproximacin:

(10.70)

(10.71)

(10.72)

S E H= JG JG JJG

1 1 y 1r rE E E H H = + =JG G G JJG G

1 1r r real reactivaS E H E H S j S = = +JG G G

sen2

j rm

jH I l er

0rE =60 senj rm

jE I l er

10.ANTENAS



348

En estas condiciones el vector de Poynting slo tiene una componente significativa, la radial.

(10.73) A distancias cercanas a la antena predomina la componente reactiva. Sin embargo, sta decrece ms rpidamente que la componente activa y ambas tienen la misma magnitud a una distancia de 0.072, como se muestra en la figura 10.15. A frecuencias de VHF o mayores, esta distancia (72 cm a 30 MHz y 72 m a 300 KHz) ni es significativa ni tiene el menor inters en la prctica. A partir de 0,072, la componente reactiva comienza a disminuir respecto a la componente real y, a una distancia aproximada de 1,6, el nivel de la componente reactiva es de -30 dB respecto al de la componente real. En estas condiciones, la potencia que se mida es, prcticamente, la real o activa y la direccin de la onda puede considerarse radial.

Fig. 10.15. Comportamiento de las componentes real y reactiva de la

densidad de flujo de potencia a distancias entre 0.01 y 0.1. 10.13.1 Regiones de radiacin: campo cercano y campo lejano En (10.61), (10.62) y (10.66) aparecen trminos que contienen el inverso del cua-drado y el cubo de la distancia, 1/r2 y 1/r3, que alcanzan valores significativos en la cercana de la antena, es decir, a distancias en que su magnitud es comparable a la de los trminos que contienen slo el inverso de la distancia, 1/r. Al campo en esta

=G G

1rS E H

10.ANTENAS



349

regin se le designa como campo de induccin o campo cercano y se caracteriza por el hecho de que prevalecen todas las componentes del campo, por lo que la onda no puede considerarse plana ni uniforme en esa regin y el vector de Poyin-ting no puede expresarse con claridad, ya que su direccin en general, no coincide con la del radio vector al punto lejano. En esta zona la dependencia del campo res-pecto a la distancia es de naturaleza irregular y compleja y, en la prctica, da lugar a dificultades para el acoplamiento de la antena a la lnea de transmisin. Algunos autores14 subdividen el campo de induccin en tres partes: campo cercano reactivo, campo cercano de radiacin o de Fresnel y campo lejano, de radiacin o de Fraunhofer. En otros textos15, se definen slo dos regiones del campo radiado: campo cercano o de induccin y campo lejano o de radiacin. La regin de in-fluencia del campo de induccin puede definirse en el rango de distancias en que r < 1/, con lo que la zona de transicin estara definida por r = 1/ = /2, o bien r /6. En la prctica puede considerarse que el campo de induccin deja de tener efecto a una distancia de unas pocas longitudes de onda. Por otra parte, las tres regiones definidas por Balanis se definen como sigue: Campo cercano Reactivo:

(10.74)

Campo cercano de radiacin (Fresnel):

(10.75) Campo lejano (Fraunhofer):

(10.76) Donde D es la dimensin mxima de la antena. Las aproximaciones a efectuar para el caso de campo lejano son las siguientes:

(10.77)

14 Por ejemplo, Balanis, C.A. Antenna Theory. Analysis and Design. 2nd Ed. John Wiley & Sons, Inc.

New York, 1997. 15 Por ejemplo, G. T. Mrkov y D. M. Saznov. Antenas. Editorial Mir, Mosc, 1978.

> >3

0.62 0D r

> 2 32 0.62D Dr

22Dr

'cos para los terminos de fasepara los terminos de amplitud

R r zR r

10.ANTENAS



350

La aproximacin anterior para el campo lejano es vlida para antenas cuyas dimen-siones son grandes comparadas con la longitud de onda, por ejemplo en el caso de antenas parablicas a longitudes de onda decimtricas o menores, en el caso de antenas de dimensiones comparables a una longitud de onda, el campo lejano de radiacin puede considerarse que comienza a partir de r 1.6. A esa distancia, la componente reactiva de la densidad de flujo de potencia es del orden de -35 dB respecto a la componente real y, por consecuencia, no significativa. 10.13.2 Directividad de un elemento de corriente En el campo lejano 0rE y pueden despreciarse los trminos que contienen 1/r3 y 1/r2 en (10.62) y (10.66) que pueden escribirse ahora como:

(10.78)

(10.79)

Cuando los campos elctrico y magntico varan senoidalmente, la densidad de potencia efectiva radiada o densidad de potencia promedio est dada por:

(10.80) donde H* es el complejo conjugado de H. Como en el campo lejano slo prevalecen las componentes E y H el flujo de potencia es radial y est dado por:

(10.81) Si se substituyen en (10.81) los valores de E y H dados por (10.78) y (10.79) resulta:

(10.82) Si se integra la expresin anterior sobre una superficie cerrada en coordenadas esfricas, se obtiene la potencia radiada por el elemento de corriente:

(10.83) Ahora bien, el concepto de directividad ya fue tratado en la seccin 10.4, en que se defini como:

sen4

j rmj I leE

r

=sen

4

j rmj I leH

r

=

( )12S E H =

12

rE H

S =

2 2 2 20

2 2

sen32

mr

Z I lSr

=

22 240T m

lW I =

10.ANTENAS



351

(10.84) donde Smax es la mxima densidad de flujo de potencia radiada por el elemento de corriente y dada por el mximo de la ecuacin (10.92), cuando sen = 1. S0 es la densidad de potencia promedio, equivalente a la que radiara una antena isotrpica alimentada por una potencia WT dada por (10.93). De acuerdo a esto:

(10.85) Si la eficiencia de la antena, en este caso el elemento de corriente, es de 100%, la ganancia mxima tambin es de 3/2 (1.76 dBi), lo que significa que un elemento de corriente emite en la direccin de mxima radiacin 1.5 veces ms potencia que una antena isotrpica alimentada con la misma potencia. En algunos casos se usa al elemento de corriente o al dipolo corto como antena de referencia en lugar del radiador isotrpico, por lo que en tales condiciones debe tenerse en cuenta el valor de la directividad de la antena correspondiente referida al radiador isotrpico. 10.13.3Resistenciaderadiacindeunelementodecorriente Conocida la potencia total radiada por el elemento de corriente, puede calcularse fcilmente la resistencia de radiacin teniendo en cuenta que:

(10.86)

donde Ief es la corriente efectiva que, en el caso de variaciones senoidales est dada por / 2ef mI I= y:

(10.87) Hay que hacer notar que la expresin anterior es vlida solamente en el caso de un elemento de corriente y no para dipolos o cualesquier otro tipo de antenas, por lo que es necesario tener cuidado en no utilizar indiscriminadamente esta expresin para calcular la resistencia de radiacin de antenas reales. 10.13.4Diagramaderadiacindeunelementodecorriente

max

0

SDS

=

2 2 20

2 2

22 2

2

3322

40

4

m

m

Z I lrD

lI

r

= =

2T ef rW I R=

22

2

2 80Trm

W lRI

= =

10.ANTENAS



352

El diagrama o patrn de radiacin tiene sentido cuando se trata del campo lejano definido por (10.76) en que la onda es plana y homognea. En el caso del elemento de corriente, las componentes del campo lejano estn dadas por (10.78) y (10.79) y, para definir el diagrama de radiacin basta con utilizar una sola de las componentes del campo, por lo general la del campo elctrico ya que E y H estn relacionadas por la impedancia caracterstica, que es constante para medios homogneos e iso-trpicos. De acuerdo a esto y escribiendo la expresin (10.78) como:

(10.88)

Donde:

(10.89)

en que f() define el patrn o diagrama de radiacin de intensidad de campo elc-trico y expresa la magnitud relativa del campo en funcin de la direccin angular respecto a la antena, en este caso, el elemento de corriente. El diagrama de radia-cin en el plano vertical, de acuerdo a la geometra de la figura 10.13 se muestra en la figura 10.16(a). En el plano horizontal ( = 90), la intesidad de campo elctrico es constante para todos los valores de , de modo el diagrama de radiacin horizon-tal puede expresarse como:

(10.90) y se muestra en la figura 10.16(b).

(a) Plano vertical (b) Plano horizontal

Fig. 10.16.Diagrama de radiacin de un elemento de corriente Por otra parte, en la figura 10.17, se muestra esquemticamente la composicin espacial de los dos diagramas anteriores, que representa la distribucin en el espa-cio de la energa electromagntica radiada por el elemento de corriente.

( )j r

meE jKI f

r

=

y ( ) sen4

lK f = =

( ) constantef =

z

y|f()|

= 0

= 90

= 180

= 270|f()|

= 0

y

x

= 90

= 270

10.ANTENAS



353

Fig. 10.16 Diagrama tridimensional de radiacin

de un elemento de corriente. En el trazo de los diagramas de radiacin deben tenerse en cuenta los siguientes aspectos:

a) Por regla general, se representan nicamente los diagramas corres-pondientes a los planos vertical () y horizontal (). Si la radiacin en alguno de los planos es omnidireccional, como en el caso de la figura 10.15(b), la grfica correspondiente suele omitirse.

b) Debe tenerse presente que el diagrama representa el mdulo de f(), o

de f(). Al calcular los valores correspondientes a estas funciones, se tienen cambios de signo que corresponden a cambios de fase del cam-po elctrico. Estos cambios de signo permiten identificar los diferente lbulos del diagrama de radiacin.

c) La intensidad del campo elctrico en una direccin determinada, debe

calcularse mediante (10.98) y obtener su mdulo que, para el elemento de corriente es:

(10.91)

donde r es la distancia al punto de observacin y |f()|, el valor obte-nido grficamente en direccin a ese punto. No debe confundirse el valor ledo en la grfica, que es un valor relativo, con el valor real de la intensidad de campo elctrico E.

( )4mlI fE

r

=

10.ANTENAS



354

d) El diagrama de radiacin suele expresarse en forma normalizada, de

forma tal que el valor mximo en la grfica es uno. Los valores nor-malizados se calculan mediante la relacin:

e) (10.92)

Donde |f()|N es el valor normalizado de |f()| y |f()|max su valor mximo.

f) Tambin es frecuente representar el diagrama de racin en decibeles,

de forma tal que el valor mximo corresponde a 0 dB y, para la inten-sidad de campo elctrico puede calcularse mediante:

(10.93)

En la figura 10.14 se muestran los diagramas de radiacin, en coordenadas polares, para el elemento de corriente en valores relativos de intensidad de campo, con lnea continua. Otra forma de representar el diagrama de radiacin es en trminos de la densidad de potencia radiada por la antena. Para ello, (10.92) puede expresarse como:

(10.94) Donde:

(10.95)

(10.96) La relacin anterior entre los diagramas de radiacin de potencia e intensidad de campo no es una coincidencia, ya que la potencia es proporcional al cuadrado de esta ltima:

(10.97) As, el diagrama de radiacin de potencia se obtiene elevando al cuadrado la fun-cin que describe al diagrama de intensidad de campo elctrico. El diagrama de radiacin de potencia puede expresarse tambin en forma normali-zada, de modo que el valor mximo corresponda a 1; sin embargo, es ms frecuente expresarlo en dB, de modo que el mximo corresponde a 0 dB. En la grfica de la

max

( )( )

( )Nf

ff

=

( ) 20log ( )dB N

f f =

2

1 2 ( )m

rIS K Fr

=

2 20

1 2

2

32( ) sen

Z lK

F

==

2( ) ( )F f =

2

0

ES

Z=

10.ANTENAS



355

figura 10.18 se muestra, con lnea punteada, el patrn de radiacin de potencia. La grfica en dB es igual a la del de intensidad de campo en las mismas unidades y, en el caso de potencia se obtiene mediante la relacin:

(10.98) 10.14 El dipolo elctrico La antena real ms simple es, de hecho un alambre o hilo conductor, colocado so-bre un plano de tierra y alimentado por una corriente en la forma que se muestra en la figura 10.19. Esta antena lineal simple, se designa como monopolo. De hecho, las antenas ms simples son las antenas lineales, es decir, formadas por conductores cilndricos rectos o bien las antenas de espira, formadas por una sim-ple espira de alambre. Aunque las antenas prcticas se encuentran en una inmensa variedad de formas y tamaos, en este captulo se estudiar la teora de las antenas lineales simples y, concretamente, el dipolo, cuya forma ms comn es la de un conductor elctrico recto, de seccin circular y cortado en algn punto intermedio para permitir la conexin al generador.

Fig 10.18. Diagramas de radiacin normalizados, de la intensidad de

campo elctrico y potencia (- -), para un elemento de corriente.

( ) 10log ( )dBF F =

10.ANTENAS



356

Fig. 10.19. Monopolo. Eldipoloes simtrico cuando susdosbrazos sonde lamisma longitudyasimtrico,cuandosondelongitudesdiferentes,comoseilustraenlafigura10.20enqueL1yL2son las las longitudesdecadaunode losbrazosdeldipoloyL=L1+L2eslalongitudtotaldeldipolo.Enundipolosimtrico,L1=L2=L/2.

Fig. 10.20. Dipolo elctrico asimtrico. La interconexin entre el generador, o el receptor y el dipolo puede realizarse de distintas formas, de las que la ms comn en mediante una lnea de transmisin bifilar, simtrica o balanceada. Si se utiliza una lnea coaxial, no balanceada, es necesario algn dispositivo de acoplamiento entre la lnea y la antena, designado como balun16 . Para conocer el campo radiado por una antena es necesario conocer previamente la distribucin de corriente en ella. La determinacin del campo electromagntico radiado constituye el problema externo en el anlisis de la antena, en tanto que la determinacin de la distribucin de corriente en la antena constituye el problema interno. El conocimiento de dicha distribucin de corriente es de importancia pri-

16 Del ingls BALanced-UNbalanced.

Plano conductor

Hilo conductor

Generador

L1 L2

L

Punto de alimentacin delgenerador o de conexin al receptor

10.ANTENAS



357

mordial para determinar, tanto las caractersticas del campo de radiacin, como la impedancia, directividad, etc. Sin embargo, la solucin del problema interno es, en general, muy complicada y de hecho, an para el caso de un dipolo cilndrico, que constituye la antena real ms simple, no hay soluciones analticas completas a la ecuacin integral que describe la distribucin de corriente. Tal ecuacin se conoce como ecuacin de Halln, a quien se debe, entre otros, el desarrollo del problema interno de la antena. En la prctica es frecuente suponer, como aproximacin razonable, que la distribu-cin de corriente a lo largo del dipolo es senoidal. Tal suposicin se basa en asumir que la seccin transversal de la antena es mucho menor que la longitud de onda, de modo que el vector de densidad de corriente, J, slo tiene una componente a lo largo de la antena, ignorando los efectos de las componentes en otras direcciones, incluyendo el efecto causado por la separacin fsica de los conductores en el punto de alimentacin de la antena. La suposicin de una distribucin senoidal de co-rriente permite tambin analizar los dipolos muy cortos, aproximando esta distribu-cin senoidal a una distribucin uniforme, que es de tipo triangular cuando la lon-gitud del dipolo es inferior a unos 6 grados elctricos. La inexactitud de la aproxi-macin senoidal o, en su caso, la triangular, es mayor cuanto mayor sea el radio equivalente, es decir, el rea de la seccin transversal de la antena con respecto a la longitud de onda. La suposicin de una distribucin senoidal de corriente a lo largo de la antena conlleva las siguientes propiedades:

a) En los extremos del dipolo siempre se tienen ceros de corriente.

b) Los mximos y nulos de corriente se alternan cada cuarto de longitud de onda.

c) La corriente y la carga estn defasadas 90 a lo largo dipolo. As, en un nodo de corriente, se tiene un mximo de voltaje. La fase de la corriente y de la carga cambian 180 al pasar por ce-ro.

d) En los puntos de alimentacin del dipolo puede haber un mximo, un nulo, o un valor intermedio de corriente, segn sea la relacin entre la longitud del dipolo y la longitud de onda.

e) Si el dipolo es simtrico, la distribucin de la corriente a lo lar-go de los brazos del dipolo es tambin simtrica. En los dipolos asimtricos, los mximos y nulos de corriente son diferentes en cada brazo.

10.ANTENAS



358

10.14.1 Dipolo elctrico corto Para un dipolo elctrico simtrico de longitud inferior a /60, la distribucin de corriente puede suponerse como triangular y las soluciones para las componentes de los campos elctrico y magntico estn dadas por:

(10.99)

(10.100) De acuerdo a lo anterior, la densidad de flujo de potencia radiada por el dipolo corto resulta:

(10.101)

que es la cuarta parte de la debida al elemento de corriente, dada por la ecuacin (10.82). La potencia total radiada y la resistencia de radiacin son ahora:

(10.102)

(10.103) Por otra parte, el diagrama de radiacin para el dipolo corto, es el mismo que para el elemento de corriente, es decir:

(10.104)

(10.105) Por consecuencia, el rea efectiva del elemento de corriente y la del dipolo corto son iguales. Sin embargo, debido a que la resistencia de radiacin del dipolo corto es menor que la del elemento de corriente, su longitud efectiva, de acuerdo con (10.46) resulta:

(10.106) Finalmente, la directividad del dipolo corto es tambin igual a la del elemento de corriente, ya que sus diagramas de radiacin son iguales. 10.14.2 Dipolo elctrico de longitud arbitraria Para un dipolo elctrico de longitud L, con distribucin senoidal de corriente, la solucin para la componente del campo elctrico en la regin lejana est dada por:

sen8

j rmj I LeH

r

=

sen8

j rmj I LeE

r

=

2 2 2 20

2 2

sen128

mZ I LSr

=

22 210 m

LW I =

2220r

LR =

2( ) senF =( ) senf =

2eLL =

10.ANTENAS



359

(10.107)

No es necesario calcular explcitamente la intensidad del campo magntico para obtener la densidad de flujo de potencia, ya que:

(10.108)

Con lo que:

(10.109)

De (10.107) y (10.108) se ve que el diagrama de radiacin del campo elctrico est dado por:

(10.110) y el diagrama de radiacin de potencia:

(10.111)

El diagrama de radiacin de dos dipolos, uno de media longitud de onda y otro de una longitud de onda se ilustran en la figura 10.21.

0cos cos cos

2 22

j rm

L LjZ I eE

r sen

=

2

0

12 2

ES E H

Z

= =

2

202 2

cos cos cos2 2

8m

L LZ IS

r sen

=

cos cos cos2 2( )

L L

fsen

=

2

cos cos cos2 2( )

L L

Fsen

=

10.ANTENAS



360

(a) (b)

Fig. 10.21. Diagrama de radiacin de un dipolo de /2 (a) y de (b). La potencia total radiada por el dipolo puede calcularse integrando la ecuacin (10.109):

(10.112)

La resistencia de radiacin est dada por Rr = 2W/Im2, de modo que substi-tuyendo W de (10.122) se tiene:

(10.113)

La integral de la ecuacin anterior puede calcularse por mtodos numricos o bien resolverse analticamente. La solucin analtica da como resultado17:

(10.114)

Donde C es la constante de Euler, cuyo valor es 0.5772156... y las funciones Si(x) y Ci(x) se conocen como seno integral y coseno integral respectivamente y estn definidas como:

17 Wolff, E. A. Antenna Analysis. John Wiley & Sons, Inc., 1967.

2

20

0

cos cos cos2 2

4m

L LZ IW d

sen

= 2

0

0

cos cos cos2 2

2r

L LZR d

sen

=

[ ]1ln( ) Ci( ) sen( ) Si (2 ) 2Si ( )2

601

cos ( ) ln Ci (2 ) 2Ci ( )2 2

r

C L L L L LR

LL C L L

+ + +=

+ + +

"

10.ANTENAS



361

(10.115)

Las grficas de estas funciones se muestran en la figura 10.22.

Fig. 10.22. Funciones Si (x) y Ci (x)

El clculo numrico de la funcin Ci(x) se dificulta a causa de que uno de los lmi-tes de la integral es infinito. En su lugar es preferible evaluar la funcin Cin (x), definida como18

(10.116)

y utilizar la relacin siguiente:

(10.117) Donde C es la constante de Euler definida antes. La resistencia de radiacin de un dipolo vara en funcin de su longitud de onda en la forma mostrada en la figura 10.23.

18 Para un tratamiento ms amplio de estas funciones vase, por ejemplo: Abramowitz, M. and Stegun, I. A. Hand-

book of Mathematical Functions. Dover Publications, Inc. New york, 1964.

0

sen( ) cos( )Si( ) ; Ci( )x

x

u ux du x duu u

= =

0

1 cos( )Cin ( )x ux du

u=

Ci( ) Cin( ) ln( )x x x C= + +

10.ANTENAS



362

Fig. 10.23. Resistencia de radiacin de un dipolo en funcin

de su longitud, expresada en longitudes de onda (L/). La resistencia de radiacin cons

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