3° año; "Sistemas de Dos Ecuaciones con dos Variables de Grado Uno" Profesor Marcelo Stigliano

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TP: "Sistemas de dos Ecuaciones con Dos Variables de Grado Uno"

1) La suma de dos números naturales es 9 a) Planteen la cuestión como una ecuación b) ¿Qué es "una solución"?, ¿cuántos valores "hacen" una solución? c) ¿Cuántas soluciones tiene el problema? Escríbanlas, verifíquenlas

2) La suma de dos números enteros es 8

a) ¿Cuál es la diferencia con el primer planteo? b) ¿Cuántos valores "hacen" una solución? c) ¿Cuántas soluciones tiene el problema?, ¿por qué? Escriban tres –al menos una no natural- y

verifíquenlas

3) La suma de dos números es 3 a) ¿Cuál es la diferencia con los planteos anteriores? b) ¿Cuántos valores "hacen" una solución? c) ¿Cuántas soluciones tiene el problema?, ¿por qué? Escriban tres –al menos una no entera- y

verifíquenlas 4)* Sergio trabaja en una granja. Por la mañana tuvo que contar la cantidad de gallinas y conejos que hay, pero

se llevó una sorpresa al observar que estos animales no estaban en su lugar. Por suerte se encontró con su amigo Luis, que también trabaja en la granja y había contado a los animales el día anterior:

Sergio: –Hola, Luis. ¿Cuántos animales contaste ayer? Luis: –Yo conté en total, entre gallinas y conejos, 121 cabezas y 342 patas. Sergio: –Entonces, ¿cuántas gallinas y conejos hay en la granja?

Analizando los datos que obtuvo Luis, respondan las siguientes consignas: a) ¿Cuántas incógnitas hay en el problema? Identifiquen cada una con una letra diferente. b) ¿Podrían resolver esta situación planteando una sola ecuación? c) ¿Cuántas ecuaciones deberían plantear para resolver este problema? d) Propongan las ecuaciones necesarias para encontrar la cantidad de gallinas y conejos e intenten resolverlas. Comparen sus resultados con los demás compañeros. e) Si Luis hubiese contado un total de 341 patas, ¿qué habría pasado con la cantidad de gallinas y conejos?

5)* Encuentren tres soluciones distintas para esta ecuación: 4x + 6 = 3y

¿Qué podemos hacer para que sea más fácil hallarlas? Hagan lo mismo con las siguientes ecuaciones:

a) -x + 3y = -6 b) 2x - y +1 = 0 c) – y + 2x + 3 = 1

* Actividades adaptadas de: www.educ.ar/recursos/15213/resolucion-de-sistemas-de-ecuaciones-lineales-con-dos-incognitas

6) Expliquen cómo se pueden referenciar todos y cada uno de los puntos del plano de modo de que no haya dos puntos distintos con la misma indicación. Den por lo menos cinco ejemplos, organicen los datos en una tabla, aclaren qué indica cada dato y por qué son dados así; luego grafíquenlos en el plano de la hoja.

7) Dadas las siguientes tablas:

a) Indiquen (con una cruz en la columna válida) cuáles de los puntos pertenecen a cada recta indicada. b) Expliquen de forma general qué condición debe cumplirse para que un punto pertenezca a una recta. c) Sabemos que por un punto pasan infinitas rectas pero, ¿qué condición debe cumplirse para que un

punto pertenezca a dos rectas distintas?, ¿y a tres distintas?, ¿y a "n" cantidad de rectas distintas? d) Sin mirar las tablas, identifiquen -si existen- todos los puntos que pertenezcan a ambas rectas R1 y R2,

justifiquen su respuesta.

3° año; "Sistemas de Dos Ecuaciones con dos Variables de Grado Uno" Profesor Marcelo Stigliano

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xy:R1 =

X Y ∈ ∉

A 3 3 B 0 1 C 1 -1 D 1/2 1/2 E 0,0003 0,003 F -15208 15208 G 1.2 2,1

)

H 5/3 1,6 I 2 2

J 17

294,2 − 17

294,2 −

8) En el programa libre "GEOGEBRA" que está instalado en las netbooks (puede bajarse de forma gratuita a

cualquier PC o Mac) introduzcan en la ventana inferior "entrada" lo siguiente: y = 2x+1 a) ¿Qué es lo que apareció en la "vista gráfica"?, ¿qué es lo que hace la computadora con la fórmula que

introdujimos? b) ¿Lo que vemos en la gráfica es "todo" lo que hay "para ver" (sugerencia: usen el zoom)? ¿Por qué, qué

es lo que ocurre? Piensen la pregunta teniendo en cuenta la diferencia entre presentación y representación.

c) Si nos piden decidir si el punto W( 2.0035; 5) pertenece o no, ¿qué es más preciso, la fórmula o la vista gráfica?, ¿por qué?

9) Introduzcan en "GEOGEBRA" el siguiente par de fórmulas: 1x2y:R1 −= y 42x

y:R 2 +−=

a) ¿Existe "contacto" entre ambas representaciones de las dos fórmulas? b) Geométricamente, ¿qué es esta intersección? Identifíquenla c) ¿Qué tan preciso es lo que estamos viendo en la vista gráfica?, ¿cómo podríamos estar seguros que la

vista no nos "engaña"?

10) Introduzcan este otro par: 1x2y:R1 −= y 4,1x4,0y:R 3 +−=

Si nos piden identificar todos los puntos que pertenezcan a ambas rectas, ¿será (1, 1) la respuesta?, ¿por qué?

11) Hagan lo mismo que en el punto anterior con: 3x9,0y:R 4 +−= y 8,1x3,0y:R5 +−=

a) ¿Qué podríamos tener en cuenta de lo ya visto para ser más precisos con las coordenadas del punto?

b) Traten de calcular (no "a ojito") los valores de las coordenadas en X y en Y del punto intersección c) Expliquen cómo es el método que usaron para calcular -de forma precisa- las coordenadas

del punto intersección d) ¿Qué debería pasar entre la solución hallada gráficamente y la hallada usando el método

analítico?

12) Introduzcan 2x2y:R 6 += y 1x2y:R 7 −=

a) ¿Existe algún punto que pertenezca a ambas rectas? b) Apliquen el método que desarrollaron en el punto 11c), ¿qué ocurre?, Qué sentido tiene este

resultado?, ¿de dónde provino?

13) Introduzcan 2x2y:R 6 += y x1224

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y:R 8 +=

a) ¿El programa nos deja introducir ambas fórmulas?, ¿por qué?, ¿qué es lo que sucede?, ¿cómo se consideran esas dos ecuaciones?

b) ¿Existe algún punto que pertenezca a ambas rectas?, ¿cuántas soluciones hay? c) ¿Qué ocurre cuando aplicamos algún método de cálculo para hallar las coordenadas del punto de

intersección?, ¿Qué sentido tiene este resultado?, ¿de dónde provino?

14) Escriban los posibles resultados al tratar de calcular la intersección entre dos rectas. Expliquen cuáles son las condiciones para cada uno y las interpretaciones de los resultados. Adopten la clasificación para cada uno. Den un ejemplo de cada caso.

xy:R 2 −=

X Y ∈ ∉

K 2 2 L 0 0 M -1 -1 N 3/5 -3/5 P -0,008 0,008 Q -15,208 1,5208 R - 2,1

) 2,1

)

S - 5/3 1,6 T 3 3

U 17

294,2 −

−−

17294,2

3° año; "Sistemas de Dos Ecuaciones con dos Variables de Grado Uno" Profesor Marcelo Stigliano

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15) Dados los siguientes sistemas, trabájenlos para poder graficarlos en una hoja y luego den el conjunto solución; luego hallen el conjunto solución de forma analítica (método desarrollado por cálculo). Clasifiquen cada sistema según lo visto en el punto anterior. Verifiquen en Geogebra si su trabajo es correcto.

a)

+−=

−=

3xy1x3y

b)

+−=

+=

1x2y4xy

c)

−−=

−=

23

x3y

22x

y

d)

=−

=+

1yx

7yx

e)

=+−

−=−

4yx32yx2

f)

−=+

=−+

61

xy2

032

yx2

g)

=−−

+−=

y4x31x3y

h)

=−

−=+−

y26x42x2y

i)

=+

−=+−

y24x42x2y

j)

=

=+−

y4x4

0xy

16) Dadas las siguientes situaciones problemáticas, identifiquen las variables que intervienen, asígnenles letras distintas, armen el sistema de ecuaciones correspondiente. Según sea, grafiquen y den la solución gráfica y/o den la solución analítica.

a) Un boliche quiere que concurran más damas que las que habitualmente van. Para ello, decide cobrarles

sólo 100 pesos, aunque a los caballeros les cobra 250$. A la noche siguiente, el lugar estuvo muy concurrido. A las 6 de la mañana, el encargado de las entradas depositó el dinero en la caja fuerte y se fue. Al mediodía, cuando llegó el dueño, éste contó 112.000 pesos en concepto de entradas. Él quería saber cuántas damas y cuántos caballeros habían ido para ver si su idea había tenido resultado. A esa hora sólo estaba el encargado de la puerta; éste le dijo que había contado 700 personas. ¿Cómo hizo para saber lo que quería sin hablar con el de las entradas?

b) * En un examen tipo test, las preguntas correctas suman un punto y las incorrectas restan medio punto. En total hay 100 preguntas y no se admiten respuestas en blanco (hay que contestar todas). La nota de un alumno es 80.5 sobre 100 puntos posibles. Calculen el número de preguntas que contestó correcta e incorrectamente.

* Actividad adaptada de: https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-problemas-sistema.html

c) ** Un albañil ha trabajado durante 30 días en dos casas distintas ganando 20.700 pesos. El primero le pagaba 650 pesos diarios y el segundo 800 pesos. ¿Cuantos días trabajó en cada casa?, ¿Cuánto le pagaron en cada una?

d) ** El 17 de octubre de 2011, el abuelo Benicio, que tenía 87 años entonces, le dijo a Iñaki, a eso de

las 4 de la tarde, que entre hermanos y hermanas ellos sumaban doce, y que su padre Efraín el 15 de febrero de 1943 les dijo que si les daba 122 $ a cada mujer y 183$ a cada hombre tendría que gastar 1647$. A Iñaki no le gustó que se hiciera diferencia monetaria entre ambos sexos y que su bisabuelo hablara de "gastar" en sus propios hijos, y se lo dijo a su abuelo. El abuelo Benicio asintió con la cabeza, se sintió feliz por la calidad de nieto que tenía y le dijo a Iñaki que si adivinaba al primer intento cuántos hermanos y cuantas hermanas tenía y cuánto dinero le tocaba a cada género, él le daría esa suma para que se comprara lo que quisiera. Iñaki era buen alumno y, tras 43 minutos trajo la respuesta correcta. El abuelo Benicio, con los sentimientos encontrados, cumplió su promesa 9 minutos después. A las 19 y 40 horas, la madre de Iñaki encontró un sobre con la plata que le tocaba a "las chicas", dos horas después el padre encontró otro sobre con la plata que le tocaba "a los chicos". ¿Cuántos hermanos tenía el abuelo Benicio?, ¿Cuántas hermanas?, ¿Cuánto dinero había en cada sobre?

** Actividades adaptadas de: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/09-02-p-SisEcuProblemas.html##Obreros

ÁNIMO!