1) Suma de Riemann

Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodos máximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños del punto final de cada subintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha.

En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

Consideremos lo siguiente:

una función

donde D es un subconjunto de los números reales 

I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.

Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b

crean una partición de I

P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}

Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.

Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.

Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada suma trapezoidal.

De esta manera se define la integral definida:

, de la partición:

P = {[a, x1), [x1, x2), ... [xn-1, b]}

Tales que: a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b

2) Propiedades de la integral definida.

Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudaran a evaluarlas con más facilidad.

1. donde c es una constante.

2. Si y son integrables en y es una constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas:

(Se puede generalizar para más de dos funciones).

3. Si está definida para entonces

4. Si es integrable en entonces

5. Propiedad de Aditividad del intervalo:

Si es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por y entonces

Demostración de las propiedades enunciadas.

Conservación de desigualdades.

Si es integrable y no negativa en el intervalo cerrado entonces

Demostración: Si entonces representa el área bajo la curva de de modo que la interpretación geométrica de esta propiedad es sencillamente el área. (También se deduce directamente de la definición porque todas las cantidades son positivas).

Si y son integrables en el intervalo cerrado con f para todo

en entonces

Demostración: Si podemos asegurar que y le podemos

aplicar la propiedad anterior y por lo tanto . De aquí

y de esta manera .

Supongamos que y son constantes tales que para . Se

dice que está acotada arriba por y acotada abajo por , la gráfica que entre la recta

y la recta . Podemos enunciar el siguiente teorema:

Si es integrable y para entonces:

.

Si es continua y y son los valores mínimos y máximos de la misma

en el intervalo gráficamente esta propiedad indica que el área debajo de la

gráfica de es mayor que el área del rectángulo con altura y menor que la del

rectángulo con altura .

En general dado que podemos asegurar, por la propiedad anterior

que:

Si se evalúan las integrales de los extremos de la desigualdad resulta

.

3) Conocer el símbolo de la sumatoria, sus elementos y propiedades.

Ejemplos:

a)

b)

Luego:

Por el Teorema

Entonces:

Por tanto:

4) Encontrar el área de una región plana, mediante el desarrollo de la suma inferior y superior:

Mediante suma inferior:

a.

La función es creciente en para los rectángulos

inscritos tomamos:

Como:

Suma superior:

1. La función es creciente en .

Por tanto para los rectángulos circunscritos tomamos:

Luego

Por lo que

5) Aplicar el teorema fundamental del cálculo, mediante la aplicación de los métodos de sustitución y cambios de variables.

Calcule las siguientes integrales definidas:

a.

Cambio de variable

b.

6) Aplicar e interpretar geométricamente el T.V.M. para integrales.

Teorema de Valor Medio para Integrales

Si f es una función   continua   en  el intervalo  [a, b],  entonces  existe  en ´este un  punto  α   tal  que  severifique la  siguiente  igualdad:

Podemos   dar  una   interpretación geométrica  como  sigue:   consideremos   una   fusión f tal   que f(x) ≥0, para  todos  los valores  de  x  en  el intervalo  [a, b].

Entonces es  el ´área  de  la  región limitada   por  la  curva  con  ecuación , el   eje x ylas rectas   con  ecuaciones  x = a,  x = b

Debido a la propiedad que establece  que  existe numero   α  en  [ a,b]  tal que el área del rectángulo a QS b, cuya altura  es  f(α)  y  que  tiene  ancho  de  (b − a)   unidades,   es igual  al  ´área  de  la  región a PR  b. El valor de α no es necesariamente único

NOTA

Profesor El orden de la investigación no es la misma del orden que usted

envío.

Gracias.!