P á g i n a | 0

MATEMATICA IV

QUIROZ GIRON CRISTIAN 20121208F

MERE LEON MANFRED 20121065K

LLANOS EVANGELISTA MILER 20121203D

Este trabajo esta dirigido a estudiantes de nivel universitario, en general, con el fin de ayudar a tener una mejor comprensión de las ecuaciones diferenciales. Trataremos brevemente lo que son en general las ecuaciones diferenciales y más a fondo el caso de su aplicación para resolver problemas y crear modelos matemáticos capaces de resolver tales problemas en general. Veremos también, como y desde cuándo es que la mente humana comenzó a preguntarse el cómo resolver y modelar casos de la vida real, grandes pensadores como Isaac Newton nos dejaron un gran legado de modelos, teoremas y leyes de la naturaleza, que van a ser utilizados en el cálculo diferencial.

P á g i n a | 1

INTRODUCION

En la vida cotidiana nos es ya muy común hablar de estadísticas, resultados estimados, cálculos hechos a partir de un conjunto de datos y aproximaciones .Todos estos cálculos son el resultado de una serie de planteamientos de problemas que, gracias a ciertos modelos matemáticos pueden ser resueltos sin más problema. Pero, ¿Cómo es que se ha podido llegar a modelar tales problemas en forma de simples ecuaciones matemáticas? Pues esto es gracias al empleo del cálculo diferencial y deducciones lógicas tomadas a partir de simples experiencias como son relaciones de proporcionalidad simple y otras relaciones matemáticas sin más complejidad.

Es muy interesante estudiar este tipo de métodos empleados para resolver diversos tipos de situaciones reales como son problemas que va desde casos de crecimientos poblacionales, decrecimientos, tiempos relativos de vida, hasta casos muy distintos como son sus aplicaciones en el cálculo de problemas netamente físicos como las leyes de Kepler , el oscilador armónico , la teoría del potencial , las ecuaciones depredador presa, la mecánica no lineal , el principio de Hamilton o el problema potencial de Abel …el tratamiento matemático de estos problemas son un gran logro para nuestra civilización .

Un problema físico que evaluaremos a fondo y nos enfocaremos en su planteamiento , toma de variables , formulación de modelo matemático y posterior resolución del mismo, es el problema físico muy conocido de masa resorte , para resolver tal haremos uso de cálculos diferenciales y a su vez de leyes físicas, como lo son las leyes de Newton y la de Hooke.

Este informe tiene por objetivo final, dar a comprender los conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales, saber realizar el análisis de las aplicaciones con construcción de modelos e interpretación de soluciones para su posterior análisis.

MATEMATICA IV

P á g i n a | 2

HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales sirven como modelos matemático para el estudio de problemas que surgen en disciplinas muy diversas .desde sus comienzos han contribuido de manera muy notable a solucionar muchas cuestiones y a interpretar numerosos fenómenos de la naturaleza .su origen histórico es inseparable de sus aplicaciones a las ciencias físicas , químicas e ingeniería , ya que para resolver muchos problemas significativos se requiere la determinación de una función que debe satisfacer una ecuación en la que aparece su derivada.

En la historia d las ecuaciones diferenciales se pueden considerar cinco etapas, donde cada una de ellas marca un avance significativo. La primera etapa iría desde sus inicios hasta 1820 cuando Cauchy publica su teorema de existencia, que da inicio a la segunda etapa que marca la edad del rigor .la tercera comienza en 1870 con M.S. Lie (1842 – 1899) y la aplicación de la teoría de grupos continuos a las ecuaciones diferenciales, particularmente aquellos de la dinámica de hamilton-Jacob .la cuarta comienza en 1880 con el trabajo de E. Picard (1856 - 1941) y su teorema de existencia. la construcción de las ecuaciones diferenciales es análoga a la teoría de las ecuaciones algebraicas de Galois . La última etapa comienza en 1930 donde el análisis se hace más general .Ya E.H.Moore en 1908 estudia ecuaciones con un número infinito numerable de variables; ahora se estudiaran ecuaciones diferenciales de dimensión infinita, y comienza el cálculo de variables y el análisis funcional.

Quizá se podría situar la primera idea sobre ecuación diferencial hacia finales de siglo XVI y principios del siglo XVII en los trabajos realizados por Jhon Napier (1550 – 1617) cuando invento los logaritmos .Vistas las tablas confeccionadas por él, si se utilizara el simbolismo moderno del cálculo infinitesimal, se podría considerar como la resolución numérica de una ecuación diferencial.

Lo infinitamente pequeño tenia para Gallileo Gallilei (1564 – 1642) una importancia más inmediata que lo infinitamente grande, puesto que lo necesitaba en su dinámica .Galileo analizo el comportamiento del movimiento de un proyectil con una componente horizontal y uniforme con una componente vertical y acelerada, consiguiendo demostrar que la trayectoria del proyectil, despreciando la resistencia del aire , es siempre una parábola.

Estudio el problema del espacio recorrido por un cuerpo en su caída libre y se puede considerar que utilizo para resolución ecuaciones diferenciales .de Pierre Fermat (1601- 1665) dice Laplace que es un verdadero inventor del cálculo diferencial.

MATEMATICA IV

P á g i n a | 3

Las ecuaciones diferenciales comienzan con Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716) . Dice este último “considerando la matemática desde el principio del mundo hasta la época de Newton, lo que él ha hecho es, con mucho, la mitad mejor”. Muy pronto los científicos se dan cuenta de que las ecuaciones diferenciales son la expresión matemática de las leyes naturales.

ISAAC NEWTON

Isaac Newton

Isaac Newton (25 de diciembre de 1642 – 20 de marzo de 1727) fue un físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley de la gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se presentan principalmente en su obra Opticks) y el desarrollo del cálculo matemático.

Newton comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras áreas de la matemática, desarrollando el teorema del binomio y las fórmulas de Newton-Cotes.

Entre sus hallazgos científicos se encuentran el descubrimiento de que el espectro de color que se observa cuando la luz blanca pasa por un prisma es inherente a esa luz, en lugar de provenir del prisma (como había sido postulado por Roger Bacon en el siglo XIII); su argumentación sobre la posibilidad de que la luz estuviera compuesta por partículas; su desarrollo de una ley de convección térmica, que describe la tasa de enfriamiento de los objetos expuestos al aire; sus estudios sobre la velocidad del sonido en el aire; y su propuesta de una teoría sobre el origen de las estrellas. Fue también un pionero de la mecánica de fluidos, estableciendo una ley sobre la viscosidad.

Newton fue el primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas. Es, a menudo, calificado como el científico más grande de todos los tiempos, y su obra como la culminación de la revolución científica.

MATEMATICA IV

P á g i n a | 4

El matemático y físico matemático Joseph Louis Lagrange (1736–1813), dijo que "Newton fue el más grande genio que ha existido y también el más afortunado dado que sólo se puede encontrar una vez un sistema que rija el mundo."

Primeras contribuciones

Desde finales de 1664 trabajó intensamente en diferentes problemas matemáticos. Abordó entonces el teorema del binomio, a partir de los trabajos de John Wallis, y desarrolló un método propio denominado cálculo de fluxiones. Poco después regresó a la granja familiar a causa de una epidemia de peste bubónica.

Retirado con su familia durante los años 1665 y 1666, conoció un período muy intenso de descubrimientos, entre los que destaca la ley del inverso del cuadrado de la gravitación, su desarrollo de las bases de la mecánica clásica, la formalización del método de fluxiones y la generalización del teorema del binomio, poniendo además de manifiesto la naturaleza física de los colores. Sin embargo, guardaría silencio durante mucho tiempo sobre sus descubrimientos ante el temor a las críticas y al robo de sus ideas. En 1667 reanudó sus estudios en Cambridge.

Desarrollo del Cálculo

De 1667 a 1669 emprendió investigaciones sobre óptica y fue elegido fellow del Trinity Collage. En 1669, su mentor, Isaac Barrow, renunció a su Cátedra Lucasianade matemática, puesto en el que Newton le sucedería hasta 1696. El mismo año envió a John Collins, por medio de Barrow, su Analysis per aequationes número terminorum infinitos. Para Newton, este manuscrito representa la introducción a un potente método general, que desarrollaría más tarde: su cálculo diferencial e integral.

Newton había descubierto los principios de su cálculo diferencial e integral hacia 1665-1666 y, durante el decenio siguiente, elaboró al menos tres enfoques diferentes de su nuevo análisis.

Newton y Leibniz protagonizaron una agria polémica sobre la autoría del desarrollo de esta rama de la matemática. Los historiadores de la ciencia consideran que ambos desarrollaron el cálculo independientemente, si bien la notación de Leibniz era mejor y la formulación de Newton se aplicaba mejor a problemas prácticos. La polémica dividió aún más a los matemáticos británicos y continentales. Sin embargo esta separación no fue tan profunda como para que Newton y Leibniz dejaran de intercambiar resultados.

Newton abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones. Newton también buscaba cómo cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la

MATEMATICA IV

P á g i n a | 5

teoría de tangentes. Después de los estudios de Roberval, Newton se percató de que el método de tangentes podía utilizarse para obtener las velocidades instantáneas de una trayectoria conocida. En sus primeras investigaciones Newton lidia únicamente con problemas geométricos, como encontrar tangentes, curvaturas y áreas utilizando como base matemática la geometría analítica de Descartes. No obstante, con el afán de separar su teoría de la de Descartes, comenzó a trabajar únicamente con las ecuaciones y sus variables sin necesidad de recurrir al sistema cartesiano.

Después de 1666 Newton abandonó sus trabajos matemáticos, sintiéndose interesado cada vez más por el estudio de la naturaleza y la creación de sus Principia.

Las leyes de la dinámica

Otro de los temas tratados en los Principia fueron las tres leyes de la dinámica o leyes de Newton, en las que explicaba el movimiento de los cuerpos así como sus efectos y causas.

La primera ley de Newton o ley de la inercia

"Todo cuerpo permanecerá en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado por fuerzas externas a cambiar su estado".

En esta ley, Newton afirma que un cuerpo sobre el que no actúan fuerzas externas (o las que actúan se anulan entre sí) permanecerá en reposo o moviéndose a velocidad constante.

Esta idea, que ya había sido enunciada por Descartes y Galileo, suponía romper con la física aristotélica, según la cual un cuerpo sólo se mantenía en movimiento mientras actuara una fuerza sobre él.

La segunda ley de Newton o ley de la interacción y la fuerza

"El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz externa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime".

Esta ley explica las condiciones necesarias para modificar el estado de movimiento o reposo de un cuerpo. Según Newton estas modificaciones sólo tienen lugar si se produce una interacción entre dos cuerpos, entrando o no en contacto (por ejemplo, la gravedad actúa sin que haya contacto físico). Según la segunda ley, las interacciones producen variaciones en el momento lineal, a razón de

F (t)=d Pdt

( t )

Siendo F la fuerza y D P el diferencial del momento lineal, Dt el diferencial del tiempo.

MATEMATICA IV

P á g i n a | 6

La segunda ley se puede resumir en la fórmula:

F=m . a

Siendo F la fuerza (medida en Newton) que hay que aplicar sobre un cuerpo

de masa m para crear una aceleración de a .

La tercera ley de Newton o ley de acción-reacción

"Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria; las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentidos opuestos".

Esta ley se refleja constantemente en la naturaleza: se tiene una sensación de dolor al golpear una mesa, puesto que la mesa ejerce una fuerza sobre ti con la misma intensidad; el impulso que consigue un nadador al ejercer una fuerza sobre el borde de la piscina, siendo la fuerza que le impulsa la reacción del borde a la fuerza que él está ejerciendo.

GOTTFRIEND WILHELM LEIBNIZ (1646-1716)

Gottfriend Wilhelm Leibniz

Leibniz leyó con atención las obras de pascal sobre la cicloide, y se dio cuenta, hacia 1673, de que la determinación de la tangente a una curva depende de la razón entre las diferencias entre las ordenadas y las abscisas, cuando estas diferencias se hacen infinitamente pequeñas. Se hacía pues necesario crear un lenguaje y una notación para tratar estos problemas, y lo elegido fue especialmente afortunado ya que facilito el razonamiento lógico. Utilizo la notación que hoy en día se emplea de dx y del signo de la integral, fue el primero en introducir el término de “ecuación deferencial y el término “derivar” para referirse a “deducir” (en una carta de Leibniz a Newton).

De Leibniz alguna vez se dijo : todos nuestros vagos conocimientos sobre el nacimiento y el desarrollo de la ciencia de las ecuaciones diferenciales se resume en una fecha importante , el 11 de noviembre de 1675, cuando por primera vez Leibniz aserto en un papel la ecuación :

MATEMATICA IV

P á g i n a | 7

∫ y . dy=12

y2

En forma contemporánea también se desarrollaban diversos descubrimientos en otros campos de la ciencia en general , uno de los personajes más notables por sus aportes en física biología y otros campos fue sin lugar a dudas Robert Hooke , en importante hablar de él ya que más adelante se tendrá que recurrir a una ley de la física muy importante que lleva su nombre, la Ley de Hooke, pero ¿quién fue este personaje tan importante y que aportes hizo a la humanidad? Y ¿cuál fue su disputa siendo contemporáneo a Isaac Newton?

Robert Hooke (1635-1703) fue un científico inglés. Es considerado uno de los científicos experimentales más importantes de la historia de la ciencia, polemista incansable con un genio creativo de primer orden. Sus intereses abarcaron campos tan dispares como la biología, la medicina, la horología (cronometría), la física planetaria, la mecánica de sólidos deformables, la microscopía, la náutica y la arquitectura. Participó en la creación de la primera sociedad científica de la historia, la Royal Society de Londres. Sus polémicas con Newton acerca de la paternidad de la ley de la gravitación universal han pasado a formar parte de la historia de la ciencia parece ser que Hooke era muy prolífico en ideas originales que luego rara vez desarrollaba.

Asumió en 1662 el cargo de director de experimentación en la Sociedad Real de Londres, de la cual llegó a ser también secretario en 1677. Pese al prestigio que alcanzó en el ámbito de la ciencia, sus restos yacen en una tumba desconocida, en algún punto del norte de Londres. En los últimos años, algunos historiadores y científicos han puesto gran empeño en reivindicar a este “genio olvidado”, por usar las palabras de uno de sus biógrafos, Stephen Inwood. En el año 2003, al cumplirse el tercer centenario de la muerte de Hooke, el Real Observatorio de Greenwich (situado en Londres) exhibió algunos de sus extraordinarios inventos y hallazgos.

Ley de Hooke

La Ley de Hooke describe fenómenos elásticos como los que exhiben los resortes. Esta ley afirma que la deformación elástica que sufre un cuerpo es proporcional a la fuerza que produce tal deformación, siempre y cuando no se sobrepase el límite de elasticidad.

F=K ∆ X

Donde F es la fuerza aplicada al resorte, K es la constante de proporcionalidad llamada constante del resorte y ∆ X es la deformación del resorte.

MATEMATICA IV

P á g i n a | 8

ECUACIONES DIFERENCIALES

Definición.

Una ecuación diferencial es una ecuación que establece una relación entre las variables independientes, una función y sus derivadas.

Si la función buscada depende de una variables (es del tipo y=f (x ))), la ecuación se llama ordinaria. Si la derivada de mayor orden que aparece es de orden "n”, se dice que es una ecuación diferencial ordinaria de orden n.

En símbolos: F (x ; y ; y ; y ; y ;…; y (n ))=0

Si la función buscada depende de más variables, se llama ecuación diferencial a derivadas parciales.

(Ecuación a derivadas parciales de 2do orden) Por ejemplo: d2 zd x2+

d2 zd y2=0

Si la ecuación diferencial se escribe como un polinomio respecto de las derivadas, llamamos grado de la ecuación diferencial, al mayor exponente que afecta a la derivada que da el orden a la ecuación.

Ejemplo: ( y }} sup { ' } { \) } rSup { size 8{5} } - \( ital y )4 . x = ex ¿¿ (ecuación diferencial ordinaria de 3er orden ,5to grado)

en cambio, 2y } } +y ' =0 ¿¿ (no tiene grado)

Soluciones de una ecuación diferencial

Toda función y = f(x) que reemplazada en la ecuación diferencial, la transforma en una identidad, es solución de la ecuación diferencial.

Ejemplo: dy= y … (I)

f ( x )=ex la verifica, por lo tanto f ( x )=ex es solución de (I), pero también la verifica

f ( x )=2e x.

En general: f ( x )=C ex satisface la ecuación (I).

La familia de curvas y=C ex es la solución general de (I). (Abreviaremos S.G.)

Se llama S.G de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden a la familia de funciones f ( x , C ), que depende de una constante arbitraria C (parámetro) y satisface las siguientes condiciones:

a) Para todo C, se satisface la ecuación diferencial;

MATEMATICA IV

P á g i n a | 9

b) Si se da una condición inicial, es decir un punto por el que se pretende pase la curva solución (por ejemplo, y (x0 )= y0), se puede hallar C =C0 / f (x , C0 ) verifica la ecuación diferen¬cial y la condición inicial.

La solución y=f (x , C0) es una solución particular (S.P) de la ecuación diferencial planteada.

Si la ecuación diferencial es de orden "n", las soluciones generales dependen de n parámetros, que son constantes arbitrarias, independientes; es decir, no pueden reducirse.

Solución particular es aquella que se deduce de la general determinando el valor de él o los parámetros; sujetas a ciertas condiciones iniciales, previamente establecidas.

A veces existen soluciones que verifican la ecuación diferencial , pero no pertenecen a la SG, de la misma, se llaman soluciones singulares (SS)

Ejemplo:

y=x y− y2 Para resolverla podemos hacer y=u …(1) ;

se tiene y=xu−u2 …(¿) ; entonces : y=u+ u x−2u . u…(2)

Igualando (1) y (2):

u=u+u(x−2u) u ( x−2u )=0 u=0 v x=2 u

u=0 u = C reemplazando en (*): y=Cx−C2 SG

U=X /2 y = x2/2 - x2/4 y=x2/4 S.S

Obtención de la ecuación diferencial de una familia de curvas

Dada la ecuación finita una fila de curvas dependiente de uno o más parámetros, interesa encontrar su ecuación diferencial. Para ello se deriva tantas veces como parámetros aparezcan y se opera hasta eliminarlos de la expresión.

Métodos de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Variables separables

Es el más sencillo; sirve para resolver ecuaciones diferenciales que pueden llevarse a la forma:

f 1 ( x ) . g1 ( y ) dx+ f 2 ( x ) . g2 ( y )dy=0

MATEMATICA IV

P á g i n a | 10

f 1( x ) . g

1( y ) . dx=- f

2(x ) . g

2( y ) .dy

f1(x )

f 2 ( x )dx=-

g2 ( y )g1 ( y )

dy∫ f 1 ( x )

f 2 ( x )dx =-∫ g2 ( y )

g1 ( y )dy

Ejemplo: ∫ ( y4+1 )dy=∫ ( x+1 ) dx⇒ y5

5+ y= x2

2+x+C

S.G.

Ecuaciones diferenciales homogéneas

Función homogénea de grado n

F: AR con A R2 es homogénea de grado "n" si y sólo si t R : F (tx ; ty )=t n F (x ; y )

Ejemplos

F ( x ; y )=x3+x2 y es homogénea de grado 3 ya que

F ( x ; ty )= t3.x3 + t2.x2.t.y = t3.x3 + t3.x2. y = t3(x3+ x2.y) = t3F ( x ; y )

F ( x ; y )= ex/y es homogénea de grado 0 pues

F ( tx ; ty ) = e tx/t y = e x/y = t0F ( x ; y )

Propiedad

Las funciones homogéneas de grado 0 pueden escribirse en función de y/x.

En efecto: F(x;y) homogénea de grado 0 F ( tx ; ty )= F ( x ; y ) t

Si t = 1/x, se tiene F( 1

x.x ;

1x

. y ) =

F ( x ; y )

G(y/x) = F ( x ; y )

Ecuación diferencial ordinaria de primer orden homogénea

Se llama así a aquella ecuación diferencial que puede escribirse como:

y' = F ( x ; y )siendo F ( x ; y )homogénea de grado 0

Por la propiedad anterior: y' = G( y

x )(*)

MATEMATICA IV

P á g i n a | 11

Se transforma en una ecuación a variables separables mediante la sustitución:

z= yx⇒ y=z . x⇒ y ' =z ' x+z

Reemplazando en (*):

z'. x + z = G (z)

dzdx⋅x+z=G (z )⇒ dz

dx⋅x=G( z )−z⇒∫ dz

G( z )−z=∫ dx

x

Resulta: ln|x| = ∫ dz

G( z ) -ze∫ dz

G( z) -z

S.G

NOTA G (z) - z = 0 puede dar lugar a soluciones singulares.

Ejemplo:

y ´ xy=x2+2 y2

y '= x2+ y2

xy⇒

y '= x

y+ y

x

Haciendo la sustitución y = z.x , y reemplazando y’ se tiene:

z ' x+z=1z+ z⇒ z ' x=1

z⇒ dz

dxx=1

z⇒ z . dz=dx

x.⇒∫ z .dz=∫ dx

x

Resulta:

12

z2=ln Cx . Reemplazando:

y2

2 x2=ln CX

y2=2 x2 lnCx

Ecuaciones diferenciales lineales

Responden a la forma: y' + P(x).y = Q(x) (*)

Si Q(x) = 0 se lleva a variables separables:

u ' + P(x) . u = 0 (**)

dudx

=- P ( x ). u⇒ duu

=- P ( x ).dx⇒∫ duu

=-∫P (x )dx

MATEMATICA IV

P á g i n a | 12

⇒ ln|u|=-∫P( x )dx⇒u=e−∫ P (x )dx

Para resolver (*) se utiliza la denominada sustitución de Lagrange que consiste en hacer

y = uv donde u es una solución particular de (**)

y = u. v y' = u'v + uv'

En (*): u'v + uv' + P(x) uv = Q(x)

uv' + v[ u' + P(x)u] = Q(x)

Si u=e−∫P (x )dx

, la expresión entre corchetes es 0 y resulta:

e−∫ P( x )dx

.dvdx

= Q( x )⇒ dv = ∫Q( x ) .e∫ P (x )dx.dx

Entonces: [∫Q( x ). e∫ P( x )dx

. dx+C ]

Ejemplo: y’+ 2y = 4x

Buscamos u/ u’+ 2 u = 0

u’ = - 2 u

dudx

=−2 u⇒ duu=−2 . dx⇒∫ du

u=

- 2∫ dx⇒ ln|u|=−2 x

u=e−2 x

Hacemos la sustitución y = u. v con u=e−2 x

y’= u’v + u v ‘ , entonces: u’v + u v ‘ + 2 u v = 4x

u v’ + u( v’+ 2 v ) = 4x

e−2 x dvdx

=4 x v=∫ 4 xe 2 x dxv= (2 x−1) . e2 x+C

Resulta y = e−2 x

[(2 x−1) . e2 x+C ] y =C.e−2 x

+ 2x-1

MATEMATICA IV

P á g i n a | 13

ECUACION DIFERENCIAL DE UN MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO

Modelamiento

Nuestro sistema a estudiar es (masa/resorte); del cual sabemos que el resorte tiene una constante de elasticidad (K), la masa "m" es " responsable de que se efectúe el movimiento.

El sistema se apoya sobre una superficie totalmente lisa, lo que hace posible que la energía del sistema se mantenga y no se pierda en el entorno; por ende el movimiento oscilatorio cesaría.

ESQUEMA ILUSTRATIVO

Identifico mi problema

Se necesita saber la posición del objeto de masa "m” en un tiempo "t" después del inicial t o

tiempo=t o → posicion=X (to)

tiempo=t → posicion=X (t )

X (t )=posicionde la masa m enelinstante t .

X (t )=posiciondel objeto en t o+avance de la posiciondel objeto enel intervalo [ t o; t ] .

X (t )=X (to)+avanceen [ t o ; t1 ]+…+avanceen [ t i−1; t i ]+…+avanceen [ t n−1; t n ]

Definimos: t i−1⨁ i t i

⇒V ( εi )=¿ razón de cambio de la posición del objeto en el instante ⨁ i .

⇒V (⨁ i )=¿es equivalente a la velocidad del objeto en el instante⨁ i .

X (t )≈ X (to )+V (⨁1 ) . [ to ; t 1 ]+…+V (⨁i ) . [ ti−1 ; ti ]+…+V (⨁n ) . [ tn−1 ; tn ]

MATEMATICA IV

P á g i n a | 14

X (t )≈ X (to )+∑

i

n

V (⨁i ) . [ ti−1 ; ti ]

X (t )=X (to)+ lim

n → ∞∑

i

n

V (⨁i ) . [ t i−1; t i ]

X (t )=X (to)+∫

t0

t

V (r ) . dr

d [ X (t ) ]

dt=V (t ) … ecuación (1)

Se analiza V ( t ) .

tiempo=t o → velocidad=V (t o )

tiempo=t → velocidad=V ( t )

V ( t )=¿ velocidad del objeto en el instante "t". V ( t )=¿ velocidad del objeto en t o + cambio de velocidad del objeto en el

intervalo [ t o ; t ] V (t )=V (to )+avance en [ to ; t 1 ]+…+avance en [ ti−1 ; ti ]+…+avanceen [ t n−1; t n ]

Definimos: t i−1⨁ i t i

⇒ a (⨁i )=razonde cambio de la velocidad del objeto enel instante⨁i .

⇒ a (⨁i )=es equivalente ala aceleracion del objeto enel inst ante⨁i .

V (t )≈ V (t o )+a (⨁1 ) . [ t o ; t1 ]+…+a (⨁i ) . [ t i−1 ; ti ]+…+a (⨁n ) . [ t n−1; t n ]

V ( t )≈ V (t o )+∑i

n

a (⨁i ) . [t i−1; t i ]

V (t )=V (to )+ limn →∞

∑i

n

a (⨁ i ). [ t i−1; t i ]

V (t )=V (to )+∫t0

t

a (r ) . dr ecuacion(2)

Analizando: a (r )

Hacemosuso de la segundaley de newton .

La aceleracion eneste sistema dinamico se prestacomo aceleracion centripeta; debidoa que

siempre laaceleracion se dirigehacia el punto de equilibrio .

ESQUEMA ILUSTRATIVO

MATEMATICA IV

P á g i n a | 15

Se hace el diagrama de cuerpo libre (DCL).

Imagen de diagrama de cuerpo libre.

En magnitud: m . ac=Felastica

m . ac=K . X (r )

ac=Km

. X(r )

La relación

ac=Km

. X (r )nos da la magnitud de la aceleración del objeto en el instante r y

debido que la aceleración y la posición son vectores opuestos, la relación correcta seria:

a(r )=−K

m. X (r )ecuacion(3)

→ reemplazo de la ecuacion (2 ) en la ecuacion (1 ) .

d [ X (t ) ]dt

=V (t o )+∫t0

t

a (r ) . dr se vuelv eaderivar esta ecuacion .

→ reemplazo de la ecuacion (3 )

d [ X (t ) ]dt

=V (t o )+∫t0

t−K

m. X (r ) . dr se vuelve aderivar esta ecuacion .

d2 [ X (t ) ]d t 2

=−Km

. X (t )

ECUACION DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO NO AMORTIGUADO

d2 [ X (t ) ]d t 2

+ Km

. X (t )=0

MATEMATICA IV

P á g i n a | 16

EL PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)

d2 [ X (t ) ]d t 2

+ Km

. X (t )=0

X (to )=X0 ;

d [ X (t ) ]dt

=X1

SOLUCION DE LA ECUACION DIFERENCIAL

→ partiendo de :a . x+b . x+c . x=0 cona ,b , c constantes .

→ si se intentaencontra r una solucion de la forma x=e p .t

→ se tendria :a . p2 . e p .t+b . p . e p .t+c . e p .t=0

e p .t .(a . p2+b . p+c)=0

→ a . p2+b . p+c=0

→ enel caso deque las soluciones de la ecuacion anterior seannumeros

conjugados complejos (b2−4.a . c<0) .

→ consoluciones p1=α+iβ p2=α−iβ donde α , β>0 sonreales .

x1=C1 . e (α+iβ ) t x2=C2 . e( α−iβ ) t , deesto tendriamos por combinacion :

X (t)=C1 . e( α+iβ )t+C2 . e( α−iβ ) t

→ usandola formacisθ :eiθ=cosθ+isenθ

→ eiβt=cos ( βt )+ isen ( βt ) y e−iβt=cos ( βt )−isen ( βt )

→ X (t )=c1 . eαt .cos ( βt )+c2 . eαt . sen(βt )

SABIENDO ESTO, RESOLVEMOS NUESTRO PVI.

d2 [ X (t ) ]

d t 2+ K

m. X (t )=0

X (to )=X0 ;

d [ X (t ) ]dt

=X1

x+ω2 . x=0

MATEMATICA IV

P á g i n a | 17

ε → p2+ω2=0

→ Con soluciones p1=ωi p2=−ωi dondeω>0 real .

→ X (t )=c1 . cos (ωt )+c2 . sen(ωt)

→ Por propiedad ,−√c12+c2

2 ≤ X(t )≤√c12+c2

2

→ Elvalor maximo para X (t ) denominado Amplitud ( A ) . A=√c12+c2

2

→ Delcual se podria acomodar c1=Asen ( φ ) c2=Acos (φ )

→ Por propiedad trigonometrica sereduce a:

X (t)=Asen ( φ ) .cos (ωt )+Acos (φ ) . sen (ωt)

X (t)=Asen ( ωt+φ ) siendo esta la soluciongeneral de la ED .

Conlos valoresiniciales , X (to )=Asen (ωt 0+φ0 )V (t o)

=ω Acos (ωt 0+φ0)

MATEMATICA IV

P á g i n a | 18

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE UNA E.D. DE MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO

PROBLEMA 1

Resuelva el problema de valor inicial.

P .V . I .|d2 xdt2 +16 x=0

x (0 )=10x ' (0 )=0

El problema equivale a tirar hacia abajo una masa unida a un resorte 10 unidades de longitud respecto de la posición de equilibrio y soltarla desde ese instante.

De la ecuación diferencial:

ω2=16 → ω=4

De la solución general:

x (t )=c1 cos 4 t+c2 sen4 t

x (0 )=10=c1cos 0+c2 sen0

x ' (t )=−4 c1 sen4 t+4 c2 cos4 t ,x ' (0 )=0=−4 (10 ) sen0+4 c2 c

c1=10

c2=0

Por tanto la ecuación del movimiento es:

MATEMATICA IV

x (t )=c1 cosωt+c2 senωt

x (t )=10 cos 4 t

P á g i n a | 19

PROBLEMA 2

Un cuerpo que pesa 2libras estira un resorte en 6 pulgadas. Dicho cuerpo se suelta en t=0 desde un punto que esta 8 pulgadas bajo la posición de equilibrio, con una velocidad dirigida hacia arriba de 4/3 pies/seg. Determine la función x(t) que describe el movimiento libre resultante.

Solución: Puesto que estamos usando el sistema de unidades inglesas gravitatorias, las magnitudes dadas en pulgadas deben expresarse en pies y las unidades de peso en unidades de masa.

Por regla de tres para las elongaciones:

1 ft 12 pulgadas 1 ft 12 pulgadas

S 6 pulgadas X 8 pulgadas

S= 1/2 ft X=2/3 ft

Para la masa:

W=mg m=Wg

m= 232

= 116

slug

Por la ley de Hooke:

2=k12

lo que implica que k=4lbft

De la ecuación diferencial:

MATEMATICA IV

W=kx

d2 xdt2 +ω2 x=0

P á g i n a | 20

d2 xdt2 +

km

x=0 d2 xdt2 +64 x=0

La posición y la velocidad iniciales están dadas por:

x (0 )=23

ft y x' (0 )=−4

3ft /s

También: ω2=64 ω=8

De modo que la solución general de la ecuación diferencial es:

x (t )=c1 cos8 t+c2 sen8 t

Aplicando las condiciones iniciales a esta ecuación tenemos:

x (0 )=23=c1 (1 )+c2(0) ( c1=

23

)

→ x (t )=23

cos8 t+c2 sen 8 t

Derivando:

x' ( t )=−16

3sen8 t+8c2cos 8t

x ' (0 )=−43

=−163

(0 )+8 c2(1) ( c2=−16

)

Por consiguiente, la ecuación del movimiento es:

MATEMATICA IV

x (t )=c1 cosωt+c2 senωt

x (t )=23

cos8 t−16

sen8 t

P á g i n a | 21

CONCLUSIONES

1. Teniendo en cuenta la ley de Hooke y sus respectivas ecuaciones se puede determinar valores como constantes, fuerzas, peso y así remplazarlas en las ecuaciones diferenciales de tal forma que podamos hallar c1 y c2 para darle una solución principal a la ecuación diferencial.

2. Sabiendo los valores respectivos con las cuales podemos hallar la ecuación diferencial podemos darle solución a x (t) siendo el valor principal que nos pide en cada ejercicio determinado por la ecuación principal.

MATEMATICA IV

P á g i n a | 22

BIBLIOGRAFIA

Dennis G Zill (Capitulo 5 - Modelado con ecuaciones diferenciales de orden superior).

Wikipedia enciclopedia libre (Biografías de Isaac Newton - Robert Hooke).

Análisis matemático para ingeniería – M. Molero, A. Salvador, T. Menargues, L. Garmendia (Biografía de Gottfriend Wilhelm Leibniz).

Apuntes tomados en clase (ayuda del modelamiento matemático).

MATEMATICA IV