DESARROLLO TRABAJO COLABORATIVO II

CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES

NUMERO GRUPO COLABORATIVO: 100412_12

POR:

ANDREY RAMÍREZ OSPINAHÉCTOR FABIO RÍOS ORTIZ

FREDDY ALBERTO SÁNCHEZ OCAMPO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS AGRÍCOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE

PROGRAMA DE INGENIERÍA AGROFORESTAL

MAYO DE 2012

INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones diferenciales aparecen en modelos matemáticos que tratan de describir situaciones de la vida real. Así, muchas leyes naturales pueden ser traducidas al lenguaje matemático mediante ecuaciones que envuelven derivadas, como en física, donde la velocidad y la aceleración aparecen como derivadas; en biología, la derivada se utiliza como una razón de crecimiento de poblaciones; en química, como rapidez de reacciones, entre otros más.

En diversos modelos matemáticos, para obtener una ecuación diferencial que describa un problema real, se asume que la situación se rige por leyes simples. Una vez que se construye el modelo en forma de ecuación diferencial, lo que viene es solucionarla y con estas soluciones, se hacen predicciones relativas al comportamiento del problema en cuestión.

Las Ecuaciones Diferenciales tienen una importancia fundamental en la Matemáticas para la ingeniería debido a que muchos problemas se representan a través de leyes y relaciones físicas matemáticamente por este tipo de ecuaciones.

OBJETIVOS

Analizar, comprender y desarrollar las ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Comprender y desarrollar las ecuaciones diferenciales de orden superior.

Identificar los diversos campos de aplicación y desarrollar las soluciones correctamente.

Intercambiar conocimientos atreves de otras personas.

DESARROLLO DE EJERCICIOS

1. Resuelva el problema de valor inicial

2 x2 y ' '+3 x y '− y=0 ;si y (1 )=2 y ' (1 )=1

Haciendo la sustitucion y=xr

se tiene

y '=rxr−1

y ' '=r (r−1) xr−2

Reemplazando

2 x2 r (r−1 ) xr−2+3 xr xr−1− xr=0

2 r (r−1 ) xr+3 r xr−xr=0

(x¿¿r (2rcr−1 )+3r−1)=0¿

2 r2−2r+3 r−1=0

2 r2+r−1=0

(2 r+2)(2 r−1)2

=0

2 r+2=0 2 r−1=0

r=−1 r=12

Entoncesla situacion general es :

y=c1 x−1+c2 x

12

Como Como

y(1)=2 y ' '(1 )=1

2=c1 ¿ y '=−1c1 x−2+ 1

2c2x

−12

2=c1+c2 1=−1c1 ¿

1=−c1+12c2

2=−2c1+1c2

Entonces

c1+c2=2−1−c1−c2=−2

−2c1+c2=21−2c1+c2=2

−3c1=0

c1=0

c1+c2=2

0+c2=2=¿c2=2

La soluciondel problemade valor inicial es :

y=c1 x−1+c2 x

12

Quedando

y=0x−1+2 x12

y=2x12

2. Determine el wronskiano de los siguientes pares de funciones:

A. y1=1e y2=log x

w=|y1 y2y ' y ' 2|

y '1=0 y '2= 1

xLn 10

w=|1 logx

0 1xLn10|

w=(1 ) 1xLn10

−0

w= 1xLn

B. y1=eax y2=xeax

y '1=eax .a y '2=x eax . a+1eax

y '1=aeax y '2=axeax+eax

w=| eax x eax

aeax axeax+eax|

w=eax (axeax+eax )−aeax . xeax

w=a xe2ax+e2ax−ax e2ax

w=e2ax

C. y1=e−x y2=e2 x

y '1=e−x (−1) y '2=e2 x .(2)

y '1=−e−x y '2=2e2x

w=| e−x e2x

−e−x 2e2x|w=2e2x . e− x−e−x . e2 x

w=2ex−e−x

w=e x

3.Resuelva las siguientes ecuacionesdiferenciales por elmétodo de

coeficientes constantes .

a) 4 y ´ ´−8 y ´+7 y=0

b) y ´ ´+2 y ´+3 y=0

c) y ´ ´−9 y ´+20 y=0

a) 4 y ´ ´−8 y ´+7 y=0

hallo el polinomio caracteristicoasociado

4m2−8m+7=0 a=¿4b=¿−8c=¿7

m=−b±√b2−4ac2a

m=8±√64−1128

m=8±√−488

m=1± 4√3i8

m=1± √32

i

a ´=1b ´=√3i2

La solucióngeneral cuando tienenraices imaginarias es y=ea´ x (c1 cos (b´ x )+c2 sen (b ´ x ) ) Reemplazando

y=ex [c1 cos ( √32 x )+c2 sen(√32 x )]

b) y ´ ´+2 y ´+3 y=0

hallo el polinomio caracteristicoasociado

m2+2m+3=0 a=¿1b=¿2c=¿3

m=−b±√b2−4ac2a

m=−2±√4−122

m=−2±√−82

m=−1± √82

i

m=−1± 2√22

i

m=−1±√2 iRaiz imagianria

a ´=−1b=√2 Reemplazandoen la solucióngeneral y=ea´ x (c1 cos (b´ x )+c2 sen (b ´ x ) ) y=e−x (c1cos (√2 x )+c2 sen (√2x ) )

c) y ´ ´−9 y ´+20 y=0

hallo el polinomio caracteristicoasociado

m2−9m+20=0 a=¿1b=¿9

c=¿−20

m=−b±√b2−4ac2a

m=9±√81−802

m=9±√12

m1=92+ 12 m2=

92−12

m1=5m2=4

Dos raices realesdonde m1≠m2

La solución general para cuandoexistendosraices reales

y=c1 eλ1x+c2 e

λ2 x

λ=m

Reemplazando

y=c1 e5x+c2e

4 x

4.Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por elmetodocoeficientes indeterminados

a) y ´ ´+3 y ´−10 y=6 e4 x

b) y ´ ´−2 y ´+2 y=ex senx

c) y ´ ´+3 y ´−10 y=25 x2+12

a) y ´ ´+3 y ´−10 y=6 e4 x

De laforma Ay´ ´+By ´+Cy=R (x) Donde lasolución general es igual Y g=Y homogenea+Y particual

Y particular [R ( x )Aeax

A x2+Bx+cAcosbx+Bsenbx

y ´ ´+3 y ´−10 y=6 e4 x

hallo la solucionhomogenea encuentro el polinomio caracteristico m2+3m−10=0 (m+5 ) (m−2 )=0 m1=−5 Y homo=c1e

−5x+c2e2x

m2=2

hallamos la particular Y p=A e4 x derivamos y despues sereemplaza en la original parahallar la constante(A)

y p Ae4 x

y ´ 4 A e4x

y ´ ´ 16 Ae4 x

Reemplazoen y ´´ +3 y´−10 y=6 e4 x (16 Ae4 x)+3 (4 Ae4 x )−10 ( Ae4 x)=6e4 x 16 Ae4 x+12 A e4x−10 Ae4 x=6e4 x 18 A e4x=6e4x

A= 618

A=13

y part=13e4 x

la solucióngeneral=Y g=Y h+Y p

y g=c1 e−5 x+c2e

2x+ 13e4 x

b) y ' '−2 y '+2 y=e xsenx

Determinando la ecuacioncomplementaria y ' '−2 y '+2 y=0

m2−2m+2=0

m2−2m+1+1=0

(m−1)2=−1

m−1=±i

m1=1+i m2=1−i

yc=ex(c1cosx+c2 senx)

yc=c1 ex cosx+c2e

xsenx

Como g ( x )=ex senx

y p=Ax excosx+Bxex senx

y ' p=A excosx+Axe xcosx−Ax ex senx+B ex senx+Bx ex senx+Bx excosx

y ' p=A excosx+Bex senx+( A+B ) x excosx+(B−A) xex senx

y p=Ae xcosx−A ex senx+B ex senx+Bex cosx+( A+B ) ex cosx+(A+B ) xex cosx−( A+B ) x ex senx+ (B−A ) ex senx+(B−A ) x ex senx+(B−A)x ex cosx

Simplificando y ' ' p y agregando elresto de la ecuacion :

y ' ' p=2 (A+B) ex cosx+2 (B−A )e x senx+2B xex cosx−2A xex senx

−2 y p=−2 Aex cosx−2Bex senx−2 (A+B) xex cos−2(B−A )x e x senx

+2 y p=2 Axe x cosx+2Bx ex senx

y ' '−2 y '+2 y=2B excosx−2 A ex senx+0+0

y ' '−2 y '+2 y=2B excosx−2 A ex senx=ex senx

2B=0=¿B=0

−2 A=1

A=−12

Luego

y p=Ax excosx+Bxex senx

y p=−12

x ex cosx

La solucion general es :

y= yc+ y p

y=c1 ex cosx+c2 e

x senx−12x excosx

c ¿ . y ´ ´+3 y ´−10 y=25x2+12

Hallo la homogenea

Encuentro el polinomio caracteristico

m2+3m−10=0

(m+5 ) (m−2 )=0

m1=−5 m2=2

Y n=c1e−5x+c2 e

2 x

Hallamos la particular

y p=A x2+bx+c

y ´ p=2 Ax+b

y ´ ´ p=2 A

Reemplazamos en y´ ´+3 y ´−10 y=25 x2+12

2 A+3 (2 Ax+b )−10 ( A x2+bx+c )=25 x2+12

2 A+6 Ax+3b−10 A x2−10bx−10 c=25x2+12

2 A+6 Ax−10bx+3b−10c−10 A x2=25x2+12

Por fracciones parciales digo

−10 A x2=25x2 A=−2510

6 A−10b=06 A=10b b=

36 A105

b=35A

b=35 (−2510 )b=−3

2

2 A+3b−10c=12

2(−525105

)+3(−32 )−10c=12

−5−92−10c=12

−10c=12+5+ 92

C=−43210

C=−4320

Y p=−2510

x2−32x−4320

la solucióngeneral esY g=Y h+Y p

Y g=C1e−5 x+C2e

2 x−¿

CONCLUSIONES

Se determinaron las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Se encontraron y solucionaron las ecuaciones diferenciales de segundo orden a través de los siguientes casos, soluciones reales y distintas, soluciones iguales y reales y soluciones complejas y conjugadas.

En cada una de las ecuaciones diferenciales de segundo orden a través, presentan ejemplos típicos que van desde los casos más simples, pero ilustrativos, que nos permiten llegar de manera gradual hasta los que tienen un mayor grado de dificultad.

BIBLIOGRAFÍA

NARVAEZ GOMEZ, Ricardo. Protocolo Académico curso - Ecuaciones Diferenciales. Diciembre de 2010. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA.

NARVAEZ GOMEZ, Ricardo Contenido Didáctico del Curso: 100412 – Ecuaciones Diferenciales. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA.

Murray R. Spriegel. Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Ed. Prentice.

Denni G. Zill. Ecuaciones diferenciales.