7.1. ANÁLISIS DINÁMICO FACTORIAL

Análisis factorial dinámico trata de describir el comportamiento conjunto cíclico de un conjunto de claves de series de tiempo en términos de un vector de pocas dimensiones, de los factores no observables y un conjunto de perturbaciones idiosincrásicas que sean mutuamente no correlacionados y no correlacionados con los factores. Para describir cómo

formular modelos observables de índice, que denota una n-dimensional de media cero, covarianza estacionaria proceso estocástica utilizado para describir las observaciones sobre los valores (posiblemente de tendencia) de un conjunto de variables. Un modelo

inobservable de k factores para esta dada por

Donde es una secuencia de matrices de (n × k) dimensiones, es un

vector k × 1 de factores comunes, y es un vector n × 1 de perturbaciones idiosincrásicas que sean mutuamente no correlacionados y no correlacionados con los factores comunes. Más precisamente, es necesario que

Tanto los factores comunes y los factores idiosincrásicos pueden ser series correlacionado,

es decir, , para y para

.De acuerdo a este modelo, la covarianza entre los elementos de pueden surgir debido a que son funciones del mismo factor común o porque son funciones de factores diferentes que están correlacionadas en diferentes adelantos y retrasos.

Bajo estos supuestos, varianzas y autocovarianzas de la serie observada { } se puede descomponer en términos de las desviaciones y autocovarianzas de un conjunto de pocas dimensiones no observadas de los factores comunes y las perturbaciones idiosincrásicas. Dejar

sea la función de autocovarianza { }. Bajo los supuestos subyacentes (1,1),

Una representación alternativa de la función de autocovarianza es proporcionada por la función de densidad espectral

1

Suponiendo que es no-singular en cada frecuencia ω, note que fuera de los

elementos de la diagonal de son, en general, números complejos. Sin embargo,

1Este función está bien definida, siempre y cuando

desde que , los elementos de la diagonal de son

reales. Sustituyendo para en (1,4) los rendimientos

donde denota la transformada de Fourier de . Por lo tanto, el factor dinámico del modelo proporciona descomposición en cada frecuencia que es análogo a la descomposición de la varianza en el modelo de factores convencionales. La dinámica del modelo de factores puede ser estimada y sus restricciones a prueba a través de frecuencias alternativas utilizando un enfoque de dominio de la frecuencia de análisis de series temporales. La versión libre del modelo de factores dinámico no impone restricciones a las

matrices , que describen cómo los factores comunes afectan al comportamiento de los

elementos en todos los adelantos y retrasos. Además, no es posible identificar los factores comunes con distintos tipos de shocks a la economía.

El uso del modelo de factores dinámicos en el análisis del ciclo económico se remonta a la obra de Sargent y Sims [185]. A medida que estos autores observan, el análisis del factor dinámico puede estar vinculado a la noción de un "ciclo de referencia" que subyace a la metodología de Burns y Mitchell [50] y el ciclo económico de la literatura empírica se llevó a cabo en la Oficina Nacional de Investigación Económica.

Otra aplicación bien conocida de este enfoque es debido a Altug [5], que se deriva de un modelo de índice no observable de un conjunto clave de la serie agregada aumentar las

normas aproximados lineales de decisión para una versión modificada de Kydland y Prescott [141] con i.i.d. términos de error. Sargent [184] también cuenta con el dispositivo de aumentar un modelo singular con más perturbaciones idiosincrásicas. El autor analiza un caso de error de medición clásica, como en Altug [5], así como un caso con los errores de predicción ortogonales. También Altug utiliza esta representación para estimar el modelo por máxima verosimilitud (ML) de estimación en el dominio de la frecuencia. El modelo de factor de restricción hace uso de las restricciones de ecuaciones cruzadas a través de las reglas de decisión lineales implicadas por el modelo original. El factor común es identificado como la innovación al choque tecnológico, y las perturbaciones idiosincrásicas se interpretan como i.i.d. los errores de medición o componentes idiosincrásicos no capturado por el que subyace modelo RBC. A diferencia del modelo de factor de restricción que puede ser estimada frecuencia por frecuencia, este modelo debe ser estimado en forma conjunta a través de todas las frecuencias debido a que el modelo económico subyacente restringe la dinámica del comportamiento de la serie diferente, así como especifica la naturaleza de la factor observada2. Altug [5] inicialmente estima sin restricciones un modelo factor dinámico para el nivel de las horas per cápita y las diferencias en los valores per cápita de consumo de bienes durables, la inversión en equipo, la inversión en estructuras, y la producción agregada. Ella encuentra que la hipótesis de un factor no observable sola no puede ser rechazada a niveles convencionales de significación para describir el comportamiento de series de tiempo conjunta de las variables. Sin embargo, cuando las restricciones del modelo subyacente se imponen, el modelo no puede explicar la variación cíclica de las variables observadas.

7.1.1. Las medidas de ajuste para los modelos calibrados

Watson [209] amplió el enfoque en Altug [5] y Sargent [184] para obtener las medidas de ajuste para un modelo económico subyacente. A diferencia del enfoque adoptado por Altug y Sargent, el análisis de Watson no depende de suponer que los factores no observados y los choques idiosincrásicos no están correlacionados. En cambio, su enfoque implica la elección de las propiedades de correlación del proceso de error entre los datos reales y el modelo subyacente de manera que su variación es tan pequeña como sea posible. Además, el proceso conjunto de los datos y el error se introduce para motivar a la bondad de ajuste de medidas, no para describir un modelo estadístico que se puede utilizar para llevar a cabo las pruebas estadísticas.Para describir el enfoque de Watson, Sea xt un vector de covarianza nx1 de variables aleatorias estacionarias. Definir la función de generación de autocovarianza (ACGF) para xt

por

2Para mayor discusión de la estimación de máxima verosimilitud en el dominio de la frecuencia, ver Hansen y Sargent [114].

En este caso, denota el proceso estocástico generado por algún modelo subyacente, y Ax resume las propiedades del segundo momento incondicionales de este modelo. En los

datos, el vector de las variables y t corresponde a la empírica contraparte de x t. El ACGF de y t es igualmente denotado por A y(z ). La cuestión es si los datos generados por el modelo

es capaz de reproducir el comportamiento de la serie observada. Para este propósito, definir el vector nx1 de errores ut que se requieren para reconciliar la ACGF implícita en el modelo con el de los datos.3

Para continuar, ut se define por la relación

lo que implica que el ACGF para ut se puede expresar como

Donde Axy(z) es la ACGF conjunta para x t e y t. Para el cálculo de Au(z ), nótese que A y(z ) puede determinarse a partir de los datos, y Ax (z) a partir del modelo.

Sin embargo, como Axy(z) es desconocida, algunos supuestos adicionales son necesarios

para poner en práctica este enfoque. En el modelo de factor dinámico estándar, la hipótesis

respecto a Axy(z) es que es cero, Axy (z )=0. Esto implica una versión de un clásico de

errores en las variables de enfoque.4 Sin embargo, en el marco de Watson, el término de error ut es el error de aproximación en la descripción de los datos observados con el modelo económico subyacente. Por lo tanto, la asunción de un error de medición pura, que no está correlacionado con la variable de verdad no es apropiada. Sin embargo, un límite inferior se puede deducir de la varianza de la ut, sin imponer ninguna restricción a Axy(z). Esta cota se

calcula mediante la elección Axy(z) para minimizar la varianza de los ut sujetos a la

restricción implícita de que el ACGF conjunta para x t e y t es definida positiva.3En un nivel de bondad de ajuste de enfoque, es el tamaño del error de muestreo que se utiliza para juzgar si un determinado modelo

se ajusta los datos. En este caso, vemos que A y(z ) denota la función de autocovarianza población y A y(z ) denotan su homólogo

estimado. Entonces, la diferencia entre A y(z ) y A y(z ) es atribuida a un error de muestreo, y el tamaño del error de muestreo

puede determinarse a partir del proceso de datos de generación de y t . Si, además, A y ( z )=Ax ( z ), a continuación, el error de

muestreo en la estimación de A y(z ) a partir de los datos reales también se puede utilizar para determinar cómo los diferentes

A y(z ) es de Ax (z).4Este es similar a la interpretación proporcionada por Altug [5].

Para ilustrar este enfoque, vamos a considerar dos casos.5 En el primer caso, x t, y t, y ut se supone que las variables escalares presentan correlación serial al azar.

El problema es elegir σ xy para minimizar la varianza de ut sujeto a la restricción de que la

matriz de covarianza de x t e y t queda definida positiva, o

Es fácil ver que la solución para este problema es establecer σ xy=σ x σ y. Como

consecuencia, σ u2=(σ y−σx )

2 es el mínimo. Además, x t y y t están perfectamente

correlacionados de manera que

Donde

Ahora bien, supongamos que x t e y t son vectores de correlación serial al azar con

covarianzas Σx y Σ y. La matriz de covarianza de ut está dada por Σu=Σ y+Σ x−Σ xy+Σ yx. En

este caso, no podemos minimizar la varianza de la ut directamente. En su lugar, se

considera una transformación que nos permite determinar el tamaño de ut. Una

transformación conveniente es la traza de Σu, tr (Σ¿¿u)=Σi=1n Σij ,u ¿, donde Σij ,u denota el

elemento i,j de Σ. Una aproximación alternativa es minimizar la suma ponderada de las desviaciones como tr (W Σu), donde W es una matriz n × n. El problema en este caso es

elegir Σxy para minimizar tr (W Σu) sujeta a la restricción de que la matriz de covarianza de

los (x t, , y t

,) es semidefinida positiva. Watson [209] proporciona una solución para el caso en

que Σx tiene rango k ≤ n tal que el número de variables es típicamente menor que el número

de choques. Proposición 1 en Watson [209] demuestra que la única matriz Σxy , que

minimiza la suma ponderada de las varianzas de los elementos de ut sujeto a la restricción de que esta matriz es semidefinida positiva, está dada por

En esta expresión, C x es la matriz n × k raíz cuadrada de Σx como Σx=C x C x´ y C y es la

matriz n × n raíz cuadrada de Σ y. Las matrices U y V se definen a partir de la

descomposición de valor singular US V , de C y, W C x de tal manera que U es una matriz

5Omitimos el tercer caso que Watson considera que debido a que requiere resultados para la representación de Cramer de series de tiempo estacionarias.

ortogonal nxk (con U´U = Ik), y V es una matriz ortogonal kxk (con V´V = Ik), y S es una matriz diagonal kxk. Una implicación de este resultado es que, como en el caso escalar, la

matriz de covarianza conjunta (x t, , y t

,) es singular. Como consecuencia, x t se puede

representar como

donde . Para k = 1, este resultado se corresponde con el primer escalar, dadas las propiedades de las matrices U y V.

Watson [209] utiliza esta metodología para generar la bondad de ajuste de las medidas de un modelo estándar de RBC con una tendencia estocástica en la tecnología. Específicamente, se considera que el modelo de King, Plosser y Rebelo [131, 132]. El log-linealiza las condiciones de primer orden para obtener la solución para el registro de las diferencias de producción, el consumo, la inversión y el número de horas trabajadas. Su enfoque permite una descomposición por la frecuencia de la variación en cada serie observada, la varianza explicada por el modelo, y el error en la conciliación del modelo con los datos.6 Él encuentra que las mayores diferencias entre los espectros de la producción, el consumo, y las inversiones se producen en las frecuencias correspondientes a la periodicidad de los ciclos económicos de 6-32 trimestres. El modelo también implica que el número de horas de trabajo es estacionario, mientras que hay un poder considerable en las frecuencias más bajas para esta serie en los datos, lo que sugiere que las propiedades estocásticas de tendencia del modelo no se sostienen en los datos. El análisis de Watson demuestra que centrarse sólo en un pequeño subconjunto de los momentos que implica el modelo puede ser engañoso porque el modelo RBC es incapaz de reproducir la forma típica espectral de series de tiempo económicas.

7.1.2. Otras aplicaciones

Forni y Reichlin [93] utiliza el modelo de factor dinámico para describir la dinámica del ciclo económico de grandes secciones transversales. Sobre la base del argumento de la ley de los grandes números, que muestran que el número de factores comunes se puede determinar mediante el método de componentes principales, las perturbaciones en toda la economía pueden ser identificados utilizando técnicas de estructuras de autorregresión vectorial (SVAR), y el modelo de factores no observados se puede calcular utilizando el método de Mínimos cuadrados ordinarios (MCO). Ellos examinan el comportamiento de los cuatro dígitos de la producción industrial y la productividad de la economía de EE.UU. para el período 1958-1986 y encontrar evidencia a favor de al menos dos choques en toda la economía, teniendo un efecto a largo plazo sobre la producción sectorial. Sin embargo, sus

6A comparación de los espectros que implica el modelo y los generados por los datos reales también figuraron enlas primeras versiones de Altug [5], véase también Altug [4].

resultados también indican que los choques sectoriales específicos son necesarios para explicar la varianza de la serie.

Giannone, Reichlin, y la Sala [103] muestran cómo las clases más generales de los modelos de equilibrio del ciclo económico se puede representar mediante el factor dinámico. También describen cómo derivar funciones de impulso respuesta para los modelos de series de tiempo que han reducido el rango, es decir, modelos en los que el número de choques exógenos es menor que el número de serie.

7,2. CRITERIOS DE ESTIMACIÓN GMM

Otros trabajos han utilizado la estimación no lineal y técnicas de inferencia para que coincida con los modelos de equilibrio de negocios con los datos. Christiano y Eichenbaum [65] consideran horas - productividad y utilizan el método generalizado de momentos (GMM) modelo (véase Hansen [113]) para que coincida con un conjunto seleccionado de incondicionales momentos la primera y segunda que implica su modelo. Su enfoque puede ser visto como una extensión del enfoque RBC, que evalúa la adecuación del modelo basado en el comportamiento de la variabilidad relativa y co-movimiento de un pequeño conjunto de series de tiempo.

Christiano y Eichenbaum [65] se derivan de una solución para el problema del planificador social mediante la aplicación de una aproximación cuadrática para el problema original no lineal en torno a los estados estacionarios determinísticos. Puesto que existe una tendencia estocástica en esta economía derivada de la naturaleza del proceso de choque tecnologico, los estados estacionarios determinísticos se derivan de las variables transformadas. Su estrategia de estimación se basa en un subconjunto de los momentos primero y segundo implicados por su modelo. Para describir cómo su enfoque se lleva a cabo, ψ1 denota un vector de parámetros que determinan las preferencias, la tecnología y los procesos estocásticos exógenos. Algunos de los parámetros incluidos en ψ1 pueden ser la tasa de depreciación del capital, δ, y la participación del capital en la función de producción

neoclásica, θ. Más en general, ψ1=( δ , θ , γ , ρ , g , σ μ , λ , σ λ) '. Como en el enfoque estándar

RBC, los parámetros en ψ1 se estiman utilizando restricciones simples de primer momento implícitas en el modelo. Por ejemplo, la tasa de depreciación δ está destinado a reproducir la depreciación promedio sobre el capital, como

datos que figuran en la inversión bruta it y el stock de capital k t+1. Del mismo modo, la participación del capital satisface la ecuación de Euler

Procediendo de esta manera, los elementos de ψ1 satisfacen las restricciones de momentos incondicionales

Los elementos de ψ2 consisten en el estándar de RBC segundo momento como las restricciones

donde c t denota el consumo privado; it, la inversión privada; gt, el consumo público; nt, las

horas de trabajo, y ( y /n)t, la productividad media del trabajo. Los segundos momentos

condicionales se obtienen a través de la simulación de la solución del modelo basado en las reglas de decisión lineales obtenidos a partir de la aproximación al problema del planificador Social. Las restricciones del modelo se pueden resumir como

Christiano y Eichenbaum [65] están interesados en probar las restricciones para la correlación entre las horas y la productividad, corr(y/n, n), y la variabilidad relativa de horas frente a la productividad media, σn/σy/n. Para ello, utilizan una prueba de tipo Wald sobre la base de las condiciones de ortogonalidad que implican los momentos incondicionales pertinentes. Para cualquier vector de parámetros ψ1, como

representan las restricciones del modelo de corr(y/n, n) y σn/σy/n. Define ψ=[ψ1 , ψ2 ] ' como

el vector k × 1 que contiene los verdaderos valores de los parámetros y los segundos momentos para el modelo. Además, sea A una matriz de 2 × k de ceros y unos de tal manera que

y

Bajo la hipótesis nula de que el modelo está correctamente especificado,

En la práctica, no hay margen de error en la estimación ψ de un conjunto finito de datos

que contiene las T observaciones. Dejar que ψT denote el valor estimado de ψ, la prueba

estadística de las restricciones del segundo momento se basa en la distribución de F (ψT ) bajo la hipótesis nula. Utilizando esta distribución, los autores muestran que la estadística

se distribuye asintóticamente como una variable aleatoria χ2 con dos grados de libertad.

Utilizando los datos sobre el consumo privado, el gasto público, la inversión, las horas totales, y la productividad media, Christiano y Eichenbaum [65] estimaron los parámetros del modelo utilizando GMM y examinaron los diversos segundos momentos incondicionales implicadas por el modelo. Como hemos descrito anteriormente, el enfoque MMG se ha utilizado en otras aplicaciones de recientes. Por ejemplo, Aguiar y Gopinath [1] y García-Cicco, Pancrazi, y Uribe [101] emplean este enfoque en su análisis de los ciclos económicos en los mercados emergentes.