Transformaci_2003

UNIVERSIDAD DE GRANADA

E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

Apuntes de Clase

MÉTODOS DE TRANSFORMACIÓN

LLUVIA-ESCORRENTÍA Y DE PROPAGACIÓN DE

CAUDALES

Prof. Leonardo S. Nanía

Asignatura: Hidrología Superficial y Subterránea

Área de Conocimiento: Ingeniería Hidráulica

Curso Académico 2002-03

Métodos de Transformación Lluvia-Escorrentía y de Propagación de Caudales Leonardo S. Nanía 2003

- ii -

0. ÍNDICE 1. Transformación lluvia-escorrentía......................................................................................... 1

1.1 ..El Hidrograma Unitario ................................................................................................. 1

1.1.1 Definición e hipótesis básicas ........................................................................... 1 1.1.2 Deducción del hidrograma unitario................................................................... 4 1.1.3 Cálculo matricail del hidrograma unitario ........................................................ 6 1.1.4 Aplicación del método del hidrograma unitario ............................................... 8 1.1.5 Hidrograma unitario instantáneo..................................................................... 10 1.1.6 Hidrogramas unitarios sintéticos..................................................................... 10 1.1.7 Hidrograma unitario sintético de Snyder ........................................................ 10 1.1.8 Hidrograma adimensional del SCS................................................................. 14 1.1.9 Hidrograma unitario de Clark. Método de las isocronas................................. 17 1.1.10 Hidrograma unitario para diferentes duraciones de lluvia .............................. 19

1.2 ..Modelos de depósitos .................................................................................................. 23 1.2.1 Modelo de sistema hidrológico integral.......................................................... 23 1.2.2 Modelo de embalse lineal ............................................................................... 24

1.3 ..Modelo de onda cinemática ......................................................................................... 26 2..... Propagación de caudales...................................................................................................... 30

2.1 Propagación de sistemas agregados o hidrológica....................................................... 30 2.1.1 Propagación de embalse a nivel ...................................................................... 32 2.1.2 Propagación en cauces. Método de Muskingum............................................. 35 2.1.3 Modelo de embalse lineal ............................................................................... 41

2.2 Propagación distribuida o hidrológica ......................................................................... 43 2.2.1 Propagación mediante el método de la onda cinemática ................................ 45 2.2.2 Método de Muskingum-Cunge ....................................................................... 52 2.2.3 Propagación mediante el método de la onda difusiva..................................... 53 2.2.4 Propagación mediante el método de la onda dinámica ................................... 53

3. Bibliografía.......................................................................................................................... 54


- 1 -

1. TRANSFORMACIÓN LLUVIA-ESCORRENTÍA Una vez que se ha estudiado el régimen de precipitaciones de una cuenca, obtenido una lluvia de diseño asociada a un determinado periodo de retorno y estimado las pérdidas con alguno de los modelos disponibles, de manera tal de encontrar la lluvia neta o efectiva, el paso siguiente es transformar esa lluvia efectiva en escorrentía o caudal. Esta transformación puede llevarse a cabo mediante diferentes métodos. El más popular es el del hidrograma unitario, introducido por Sherman en los años '30. También es posible la utilización modelos de depósito y, si el nivel de información es el adecuado, también se pueden usar modelos basados en las ecuaciones del movimiento del fluido, especialmente en zonas urbanas. 1.1 El Hidrograma Unitario 1.1.1 Definición e Hipótesis Básicas El método del Hidrograma Unitario tiene en cuenta, además del área y la intensidad de la lluvia, como lo hace el método racional, la forma, pendiente y características fisiográficas de la cuenca de estudio, aunque lo hace de forma implícita. El Hidrograma Unitario es el hidrograma de escorrentía directa causado por una lluvia efectiva unitaria (1 cm ó 1 mm, por ejemplo), de intensidad constante a lo largo de la duración efectiva y distribuida uniformemente sobre el área de drenaje (Sherman, 1932). El método se basa en dos hipótesis: 1) La respuesta de la cuenca ante el proceso de escorrentía sigue un comportamiento lineal.

Esto significa que son aplicables los principios de proporcionalidad y superposición. 2) No se tiene en cuenta la variabilidad temporal de las características de la cuenca, de manera

que una misma lluvia efectiva produce siempre el mismo hidrograma de escorrentía directa. Las condiciones que deben cumplirse en virtud de estas hipótesis son: 1) La lluvia efectiva tiene una intensidad constante dentro de la duración efectiva: esta

condición exige que las tormentas sean de corta duración, ya que la tasa de lluvia efectiva sería mayor y aproximadamente constante en el tiempo, produciendo un hidrograma mejor definido, con pico único y tiempo base corto.

2) La lluvia efectiva está uniformemente distribuida a través de toda el área de drenaje: en

virtud de esta condición, el área de drenaje no deberá ser muy grande o bien deberá ser subdividida en subcuencas de modo que se cumpla esta suposición. El orden de magnitud del límite superior que se maneja es de 300 a 400 km2 (Martínez Marín 1994)

3) El tiempo base del hidrograma de escorrentía directa resultante de una lluvia efectiva de una

duración dada es constante. Para que el comportamiento de la cuenca sea considerado lineal, es necesario asumir que los hidrogramas de escorrentía superficial generados por lluvias netas de igual duración tienen el mismo tiempo base, independientemente de la intensidad de dichas lluvias netas. Esta consideración se extiende también, lógicamente, al tiempo de punta. La información hidrológica real no es completamente lineal, pero los resultados obtenidos suponiéndola lineal son lo suficientemente aproximados para fines prácticos.


4) El hidrograma unitario de una duración determinada es único para una cuenca e invariante en el tiempo. Las características del cauce no deben tener cambios y la cuenca no debe tener almacenamientos apreciables (no debe tener embalses).

Principio de proporcionalidad Para una lluvia efectiva de una duración dada, el volumen de lluvia, que es igual al volumen de escorrentía directa, es proporcional a la intensidad de dicha lluvia. Como los hidrogramas de escorrentía directa correspondientes a lluvias efectivas de la misma duración, tienen el mismo tiempo base, se concluye que las ordenadas de dichos hidrogramas serán proporcionales a la intensidad de la lluvia efectiva (Figura 1.1). Es decir:

kQeQe

ieie

PePe

===2

1

2

1

2

1

Donde Pe es el volumen de lluvia efectiva, ie, la intensidad efectiva y Qe, el caudal de escorrentía directa.

Figura Principio de superposición Los caudales de un hidrogrsucesivas pueden ser halladcorrespondientes a las lluviocurren tales lluvias. La aplicación de los principllamada ecuación de convolu

k·ie ie

ie

- 2 -

1.1: Aplicación del principio de proporcionalidad.

ama total de escorrentía directa producidos por lluvias efectivas os sumando los caudales de los hidrogramas de escorrentía directa as efectivas individuales, teniendo en cuenta los tiempos en que

ios de proporcionalidad y superposición llevan a la definición de la ción discreta:

∑≤

=+−=

Mn

mmnmn UPQ

11


- 3 -

Donde Qn es el caudal de escorrentía directa en el instante n, Pm, la precipitación efectiva del bloque m y Un-m+1 los caudales por unidad de precipitación efectiva del hidrograma unitario. Por ejemplo, si se desea encontrar el hidrograma de escorrentía directa correspondiente a una lluvia efectiva compuesta por M = 3 bloques de igual duración e intensidades P1, P2 y P3 y las ordenadas del hidrograma unitario son N-M+1 = 6, U1 a U6, los caudales de dicho hidrograma se obtienen aplicando la ecuación de convolución, de la siguiente manera:

Q1 = P1U1 Q2 = P1U2 + P2U1 Q3 = P1U3 + P2U2 + P3U1 Q4 = P1U4 + P2U3 + P3U2 Q5 = P1U5 + P2U4 + P3U3 Q6 = P1U6 + P2U5 + P3U4 Q7 = P2U6 + P3U5 Q8 = P3U6

En la Figura 1.2 se muestra gráficamente el mismo ejemplo de aplicación del principio de superposición:

Figura 1.2: Ejemplo de aplicación del principio de superposición. Fuente: Chow et al. 1994.


- 4 -

1.1.2 Deducción del Hidrograma Unitario En el anterior apartado se vio que la ecuación de convolución discreta era:

∑≤

=+−=

Mn

mmnmn UPQ

11

Dados la lluvia efectiva P y el hidrograma de escorrentía directa de la cuenca Q, pueden deducirse las ordenadas del hidrograma unitario U mediante el proceso llamado deconvolución. Si existen M pulsos de precipitación neta y N pulsos de escorrentía directa, pueden escribirse N ecuaciones para Qn, n = 1,2,...,N, en términos de N-M+1 valores desconocidos del hidrograma unitario:

1

111

11221

1211

3122133

21122

111

000000000

0

+−

+−−−−

++

−

+++++++=+++++++=

++++=+++=

++=+=

=

MNMN

MNMMNMN

MMMM

MMMM

UPQUPUPQ

UPUPUPQUPUPUPQ

UPUPUPQUPUPQ

UPQ

LL

LL

MMMMM

L

L

MMM

Puede observarse que este sistema de ecuaciones está sobredimensionado, ya que tenemos más ecuaciones que incógnitas. El número de ecuaciones es N, mientras que las incógnitas son sólo N-M+1, donde M > 1. Ejemplo 1.1: Calcular el hidrograma unitario de media hora de duración utilizando el hietograma de lluvia neta y el hidrograma de escorrentía directa de la Tabla 1.1. Solución: El hietograma de lluvia neta está formado por 3 bloques, mientras que el hidrograma de escorrentía directa está formado por 11 valores, es decir que M = 3 y N = 11. Por lo tanto, tendremos N-M+1 = 11 - 3 + 1 = 9 ordenadas del hidrograma unitario. Las 11 ecuaciones quedarían planteadas de la siguiente manera:

9311

928310

9182739

8172638

7162537

6152436

5142335

4132234

3122133

21122

111

UPQUPUPQUPUPUPQ

UPUPUPQUPUPUPQ

UPUPUPQUPUPUPQ

UPUPUPQUPUPUPQ

UPUPQUPQ

=+=++=

++=++=

++=++=

++=++=

+==

Estas ecuaciones pueden resolverse por eliminación gaussiana, que consiste en aislar cada una de las variables desconocidas y resolverlas sucesivamente. En este caso puede empezar a


- 5 -

resolverse desde arriba hacia abajo, a partir de U1 o bien, desde abajo hacia arriba, a partir de U9. Nosotros comenzaremos a partir de U1:

Tabla 1.1: Datos de lluvia neta y caudales de escorrentía directa de la tormenta del 24 al 25 de mayo de 1981 en Austin, Texas, según Chow at al. 1994.

Tiempo Lluvia Neta

Hidrograma de Esc. Dir.

Día hora mm m3/s 24 mayo 20:30

21:00 21:30 22:00 26,95 12,1 22:30 49,05 54,5 23:00 45,95 150,0 23:30 258,6

25 mayo 0:00 300,9 0:30 221,9 1:00 111,1 1:30 52,3 2:00 39,7 2:30 23,5 3:00 8,9 3:30 4:00 4:30 122,0 1233,5

mm/m 449,0

mm 95,26/m 1,12 33

1

11

ssPQ

U ===

mm/m 205,1

mm 95,26949,05·0,44 - 5,54 3

1

1222

sP

UPQU ==

−=

mm/m 607,2

mm 95,26205,1·05494490·9545 150 3

1

221333

s·,-,·,- P

UPUPQU ==

−−=

mm/m 796,2

mm 95,26607,2·0549205,1·9545 6,258 3

1

322344

s·,·,- P

UPUPQU =−=

−−=

mm/m 628,1

mm 95,26796,2·0549607,2·95458,300 3

1

423355

s·,·,P

UPUPQU =−−=

−−=

mm/m 500,0

mm 95,26628,1·0549796,2·95458,221 3

1

524366

s·,·,P

UPUPQU =−−=

−−=

mm/m 433,0

mm 95,265,0·0549628,1·9545111 3

1

625377

s·,·,P

UPUPQU =−−=

−−=


- 6 -

mm/m 300,0

mm 95,26433,0·05495,095453,52 3

1

726388

s,·,P

UPUPQU =−−=

−−=

mm/m 189,0

mm 95,263,0·0549433,095457,39 3

1

827399

s,·,P

UPUPQU =−−=

−−=

Para comprobar que lo que hemos hallado es el hidrograma unitario, podemos calcular su volumen de escorrentía directa. Sumando todas las ordenadas del hidrograma unitario obtenemos 10,107 m3/s/mm. Si multiplicamos este valor por la amplitud del intervalo de tiempo considerado de media hora, o bien, 1800 segundos, hallaríamos el volumen de escorrentía directa, que es 10,107 m3/s/mm·1800s = 18192,6 m3/mm. Dividiendo este valor por el área de la cuenca, que es de 18,2 km2 y haciendo las conversiones de unidades correspondientes, comprobaremos que el volumen de escorrentía directa del hidrograma unitario es de 1 mm. Si no se cumpliera este requisito, habrá que ajustar todas las ordenadas del hidrograma unitario, de tal manera de que su volumen sea de 1 mm (o 1 cm, en su caso). Si hubiésemos comenzado a resolver el sistema de ecuaciones desde abajo hacia arriba, habríamos obtenido:

mm

/m 194,0mm 95,45

/m 9,8 33

3

119

ssP

QU ===

mm/m 304,0

mm 95,45449,05·0,19 - 5,23 3

3

92108

sP

UPQU ==

−=

que no difieren mucho de los valores encontrados anteriormente. Algunas veces, el hidrograma unitario resultante, puede mostrar algunas variaciones erráticas e incluso tener valores negativos. La causa de las variaciones erráticas puede deberse a la no linealidad en la relación lluvia neta-escorrentía directa en la cuenca considerada. Además, las tormentas reales no son siempre uniformes en el tiempo y en el espacio, tal como requiere la teoría, incluso dividiendo el hietograma de lluvia neta en bloques de corta duración. 1.1.3 Cálculo matricial del Hidrograma Unitario La ecuación de convolución discreta puede expresarse en forma matricial de la siguiente manera:

=

−

+

+−

−

−

−−

N

N

M

M

MN

M

MM

MM

MMM

QQ

QQ

QQQ

U

UUU

PPP

PPPPPPPP

PPPPP

P

1

1

3

2

1

1

3

2

1

1

121

121

123

12

1

.

00000000000

000000

000000000000000

M

M

M

KK

KK

MMMMMMM

KK

LK

MMMMMMM

LL

LL

LL

[ ] [ ] [ ]QUP =⋅


- 7 -

Dados [P] y [Q], usualmente no existe solución para [U] que satisfaga todas las N ecuaciones. Si se da una solución [U] que da como resultado un [Q] estimado como:

[ ] [ ] [ ]QUP =⋅ que satisface todas las ecuaciones. Se busca una solución que minimice el error [Q] – [Q] entre los hidrogramas observado y estimado. Solución por regresión lineal La solución por regresión lineal consiste en calcular las ordenadas del hidrograma unitario [U], conociendo las ordenadas de la lluvia efectiva [P] y los caudales de escorrentía directa de la cuenca [Q]:

[P]·[U] = [Q] [Nx(N-M+1)]·[(N-M+1)x1] = (Nx1)

[P]T·[P]·[U] = [P]T·[Q]

[(N-M+1)xN]·[Nx(N-M+1)]·[(N-M+1)x1] = [(N-M+1)xN]·(Nx1)

[PT·P]·[U] = [PT·Q] [(N-M+1)x(N-M+1)]·[(N-M+1)x1] = [(N-M+1)x1]

[U] = [PT·P]-1·[PT·Q]

[(N-M+1)x1) = [(N-M+1)x(N-M+1)]·[(N-M+1)x1]

Solución por optimización La solución por optimización consiste en proponer a priori las ordenadas del hidrograma unitario mediante algún método (HU triangular, SCS, etc), encontrar con ese hidrograma unitario un hidrograma de caudales calculadoQ y comparar esta solución con el hidrograma de caudales observado Qn (Figura 1.3).

Figura 1.3: Diferencias entre un hidrograma unitario obtenido del cálculo y otro observado. Fuente: Chow et al. 1994.


- 8 -

El objetivo sería minimizar el error entre los hidrogramas calculado y observado, a través de la modificación de las ordenadas del hidrograma unitario previo. Dicha minimización puede hacerse por programación lineal, en donde la función a minimizar sería la siguiente:

∑=

−=N

nnn QQf

1

O bien por mínimos cuadrados, en donde la función a minimizar sería:

( )∑=

−=N

nnn QQf

1

2

1.1.4 Aplicación del método del Hidrograma Unitario Una vez que se ha obtenido el hidrograma unitario correspondiente a una duración de lluvia efectiva determinada, la aplicación del método del hidrograma unitario para encontrar el hidrograma de escorrentía directa puede resumirse en los siguientes pasos: • Determinar el hietograma de la lluvia de diseño. • Determinar el hietograma de lluvia efectiva a través de la estimación de las abstracciones. • Ajustar la duración del hidrograma unitario según se necesite, a través del hidrograma en S.

Esto puede ser necesario dado que el intervalo de tiempo utilizado para definir las ordenadas del hietograma de lluvia efectiva debe ser el mismo que el especificado para el hidrograma unitario.

• Calcular el hidrograma de escorrentía directa a través de la ecuación discreta de convolución.

• Calcular el hidrograma de caudal sumando un flujo base estimado al hidrograma de escorrentía directa.

Ejemplo 1.2: Calcular el hidrograma de caudal para una tormenta de 150 mm de lluvia neta, con 50 mm en la primera media hora, 75 mm en la segunda media hora y 25 mm en la tercera media hora. Utilizar el hidrograma unitario de media hora calculado en el ejemplo 1.1 y suponer el flujo base constante e igual a 14,2 m3/s. Comprobar que el volumen total de escorrentía directa es igual al total de lluvia neta. El área de la cuenca es de 18,2 km2. Solución: El cálculo del hidrograma de escorrentía directa por medio de la ecuación de convolución se muestra en la Tabla 1.2. El tiempo está dividido en intervalos de media hora. Para el primer intervalo de tiempo, se tiene que: Q1 = P1U1 = 50 mm · 0,449 m3/s/mm = 22,4 m3/s Para el segundo intervalo de tiempo: Q2 = P2U1 + P1U2 = 75 · 0,449 + 50 · 1,205 = 33,675 + 60,25 = 93,9 m3/s Y así sucesivamente, como se muestra en la Tabla 1.2


- 9 -

Tabla 1.2: Cálculo del hidrograma de escorrentía directa y el hidrograma de caudales.

T Pe Ordenadas del HU [m3/s·mm] Qe Q x 0,5 h mm 0,449 1,205 2,607 2,796 1,628 0,500 0,433 0,300 0,189 m3/s m3/s

1 50 22,45 22,4 36,6 2 75 33,68 60,25 93,9 108,1 3 25 11,22 90,38 130,4 232,0 246,2 4 30,13 195,5 139,8 365,4 379,6 5 65,18 209,7 81,4 356,3 370,5 6 69,9 122,1 25,0 217,0 231,2 7 40,7 37,5 21,65 99,8 114,0 8 12,5 32,48 15,0 60,0 74,2 9 10,83 22,5 9,45 42,8 57,0

10 7,5 14,18 21,7 35,9 11 4,73 4,7 18,9 Σ 1516

El volumen total de escorrentía directa es:

363

11m 10x729,2

h 1s 3600/sm 1516·h 5,0·· ==∆=∆= ∑∑

==

N

nn

N

nne QttQV

y la altura correspondiente de escorrentía directa se encuentra dividiendo por el área de la cuenca:

mm 150 mm 9,149m 1mm 1000

m 1000000km 1

km 2,18m 2729000

2

2

2

3

≈===A

Vr ed

que es igual al volumen total de lluvia neta. Finalmente, el caudal total se obtiene sumando el caudal base de 14,2 m3/s al hidrograma de escorrentía directa, tal como se muestra en la última columna de la Tabla 1.2. En la Figura 1.4 se muestra gráficamente los hidrogramas obtenidos.

Figura 1.4: Hidrograma de caudal obtenido en la aplicación del hidrograma unitario del ejemplo 1.2.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Intervalo de tiempo [x 0,5 h]

Caud

al [m

3/s] Q (25 mm)

Q (75 mm)Q (50 mm)Q base


- 10 -

1.1.5 Hidrograma unitario instantáneo Si la lluvia efectiva o neta es unitaria y su duración es infinitesimal, el resultado a la salida de la cuenca es el hidrograma unitario instantáneo, HUI, que es la función impulso respuesta de la cuenca. Aunque el concepto de hidrograma unitario instantáneo es un concepto teórico, ideal, es útil porque permite caracterizar la respuesta de la cuenca ante un impulso de lluvia neta, sin tener en cuenta la duración del mismo, en función de la geomorfología de la cuenca. La integral de convolución en su forma continua es:

∫ −= τ τττ0 )()()( dtuItQ donde la función impulso respuesta es u(t - τ) y son las ordenadas del HUI. Las propiedades del HUI son: 0 ≤ u(t - τ) ≤ algún valor máximo positivo para (t - τ) > 0 u(t - τ) = 0 para (t - τ) ≤ 0 u(t - τ) → 0 para (t - τ) → ∞

1)(0 =−∫τ ττ dtu y Ltdttu =−−∫

τ τττ0 ))(( = tiempo de retardo del HUI 1.1.6 Hidrogramas Unitarios Sintéticos El hidrograma unitario calculado a partir de la información de lluvia y caudal de una cuenca se aplica solamente a la cuenca y al punto del cauce en donde se midieron los caudales. Los hidrogramas unitarios sintéticos se utilizan para calcular hidrogramas unitarios en otros puntos del cauce dentro de la misma cuenca, o bien, en cuencas adyacentes de carácter similar. Existen tres tipos de hidrogramas unitarios sintéticos:

1) Los que relacionan las características del hidrograma unitario con las características de la

cuenca (Snyder, Gray) 2) Los basados en hidrogramas unitarios adimensionales (SCS) 3) Los basados en modelos de almacenamiento y tránsito de la cuenca (Clark) 1.1.7 Hidrograma unitario sintético de Snyder Snyder realizó estudios en cuencas de los Montes Apalaches (EEUU), con áreas de 30 a 30000 km2 y encontró relaciones sintéticas de un hidrograma unitario estándar (Figura 1.5a) a partir de las cuales pueden calcularse las características de un hidrograma unitario requerido (Figura 1.5b). Para una duración de lluvia efectiva determinada, los parámetros del hidrograma unitario requerido son: 1. Retardo de la cuenca, tpR: diferencia de tiempo entre el centroide del hietograma efectivo y

el pico del hidrograma unitario 2. Caudal punta o pico por unidad de área de la cuenca, qpR 3. Tiempo base, tb 4. Ancho W50 [T] del hidrograma unitario al 50 % del caudal pico 5. Ancho W75 [T] del hidrograma unitario al 75 % del caudal pico


- 11 -

Snyder definió el hidrograma unitario estándar como aquel que cumple que:

5,5p

rt

t =

donde tr es la duración de la lluvia efectiva y tp el tiempo de retardo, ambos del hidrograma unitario estándar. Además encontró que para un hidrograma unitario estándar el tiempo de retardo es:

tp =0,75Ct(LLc)0,3 [h] donde L es la longitud del cauce principal hasta la divisoria de aguas arriba [km], Lc es la distancia desde la salida de la cuenca hasta el punto del cauce principal más cercano al centroide del área de la cuenca [km] y Ct es un coeficiente que varía entre 1,35 (pendientes altas) y 1,65 (pendientes bajas). También para el hidrograma unitario estándar se encontró que el caudal pico por unidad de área es:

p

pp t

Cq

75,2= [m3/s·km2]

donde Cp es un coeficiente que varía entre 0,56 y 0,69. Para calcular los coeficientes Ct y Cp de una cuenca instrumentada se sigue el siguiente procedimiento: − Se miden L y Lc de un mapa de la cuenca. − De un hidrograma unitario deducido con una lluvia efectiva y un hidrograma de caudales,

que será nuestro "hidrograma unitario requerido", se obtiene tR, tpR y qpR. − Si tpR ≈ 5,5 tR, entonces se considera tpR = tp, qpR = qp y se calculan Ct y Cp de las ecuaciones

correspondientes.

− Si tpR es muy distinto de 5,5 tR, el tiempo de retardo estándar es 4

RrpRp

tttt −+= ; que se

resuelve junto con tp = 5,5 tr para calcular tr y tp, luego se calculan Ct y Cp con tpR = tp y qpR = qp

Las restantes relaciones necesarias para encontrar el hidrograma unitario correspondiente a nuestra cuenca son:

pR

pppR t

tqq =

pRp q

t 56,5=

08,1

50 14,2 −= pRqW

08,175 22,1 −= pRqW


- 12 -

Se acostumbra distribuir el ancho W de manera tal que quede una tercera parte antes del tiempo al pico y dos terceras partes después del tiempo al pico.

Figura 1.5: a) Hidrograma unitario estándar (tp = 5,5 tr);

b) Hidrograma unitario requerido (tp ≠ 5,5 tr). Fuente: Chow et al. 1994. Espey, Altman y Graves (1977) han adaptado estas relaciones para hidrogramas unitarios de 10 minutos de duración, basándose en datos experimentales de 41 cuencas con tamaños desde 0,04 hasta 43 km2 y con porcentajes de impermeabilidad del 2 al 100%. Ejemplo 1.3: En una cuenca dada de 3500 km2 de área, se mide L = 150 km y Lc = 75 km. Se tiene también el hidrograma unitario de la cuenca, en el cual se mide: tR = 12 h, tpR = 34 h y Qp = 157,5 m3/s/cm. Determinar los coeficientes Ct y Cp del hidrograma unitario sintético de la cuenca. Solución: Primero calculamos 5,5 tR = 66 h, lo cual es muy distinto de tpR = 34 h, por lo cual encontramos tr y tp, utilizando la ecuación del retardo del hidrograma unitario estándar:

41234

4−

+=−

+= rRrpRp

ttttt

junto con: tp = 5,5 tr

que resolviendo da: tr = 5,9 h y tp = 32,5 h. Como sabemos que el retardo de la cuenca es también: tp = 0,75Ct(LLc)0,3, podemos calcular Ct como:

64,2)75150(75,0

5,32)(75,0 3,03,0 =

⋅==

c

pt LL

tC

El caudal pico por unidad de área es:

2

3

2

3

kmcmsm 045,0

km 3500/s/cmm 5,157

⋅⋅===

AQ

q pRpR


- 13 -

Como sabemos que el caudal pico es también: pR

ppR t

Cq

75,2= , podemos calcular Cp como:

56,075,2

=⋅

= pRpRp

tqC

Ejemplo 1.4: Calcular el hidrograma unitario sintético de seis horas de duración (tR = 6 h) para una subcuenca de 2500 km2 de la cuenca del ejemplo 1.3, en la que se ha medido L = 100 km y Lc = 50 km. Solución: Como esta subcuenca tiene aproximadamente las mismas características que la cuenca del ejemplo 1.3, podemos utilizar Ct = 2,64 y Cp = 0,56. Podemos calcular:

tp = 0,75Ct(LLc)0,3 = 0,75·2,64·(100·50)0,3 = 25,5 h

h 64,45,5

== pr

tt

h 8,254

664,45,254

=−+=−

−= RrppR

tttt

cmkmsm 0604,0

5,2556,075,275,2

2

3

⋅⋅=⋅==

p

pp t

Cq

cmkmsm 0597,0

8,255,250604,0

2

3

⋅⋅=⋅=

⋅=

pR

pppR t

tqq

cmsm 2,149km 2500

cmkmsm 0597,0

32

2

3

⋅=

⋅⋅=⋅= AqQ pRpR

h 9,440597,014,214,2 08,108,1

50 =⋅== −−pRqW 0,50·QpR = 74,6 m3/s/cm

h 6,250597,022,122,1 08,108,1

75 =⋅== −−pRqW 0,75·QpR = 111,9 m3/s/cm

h 1,930597,056,556,5 ===

pRp q

t

El hidrograma unitario así obtenido, quedaría como muestra la Figura 1.6.


- 14 -

Figura 1.6: Hidrograma unitario sintético calculado en el ejemplo 1.4 por el método de Snyder (Chow et

al. 1994). Por último se verifica que el volumen del hidrograma es efectivamente la unidad. Calculamos la superficie del hidrograma descomponiéndola en figuras simples:

Ve = 0,5 [(93,1 + 44,9) 74,6 + (44,9 + 25,6 ) · (111,9 - 74,6) + 25,6 · (149,2 - 111,9)] =

= 6940 m3h/s/cm 3600 s/h = 2,498 x 107 m3

La lluvia efectiva correspondiente, puede obtenerse dividiendo el volumen de escorrentía efectiva, Ve, por el área de la cuenca:

cm 1 cm 999,0m 1cm 100

m 10km 1

km 2500m 10498,2

26

2

2

37

≈=⋅==A

VP ee

1.1.8 Hidrograma adimensional del SCS El hidrograma adimensional del SCS (Servicio de Conservación de Suelos de los EE.UU.) es un hidrograma unitario sintético en el cual se expresan los caudales en función del caudal pico, qp y los tiempos en función del tiempo al pico, Tp (Figura 1.7a). Los valores de qp y Tp se estiman basándose en el hidrograma unitario triangular del SCS (Figura 1.7b). Basándose en una gran cantidad de hidrogramas unitarios, el SCS sugiere que el tiempo de recesión puede aproximarse a 1,67 Tp. Como el área del hidrograma es igual a 1 cm, se demuestra que:

pp T

Aq 08,2=


- 15 -

donde qp es el caudal pico [m3/s·cm], A es el área de drenaje [km2] y Tp es el tiempo al pico [hs]

Figura 1.7: a) hidrograma adimensional del SCS; b) hidrograma unitario triangular. Fuente: Chow et al.

1994. Tiempo de concentración de la cuenca, Tc: es el tiempo que tarda una gota de agua en trasladarse desde el punto más alejado de la cuenca hasta la salida. De acuerdo con esta definición, según análisis realizados en cuencas españolas, podría calcularse el tiempo de retardo, tp, también llamado tlag, como:

tlag ≈ 0,35 Tc De esta manera el tiempo al pico será:

pr

p ttT +=2

donde tr es la duración de la lluvia efectiva. Ejemplo 1.5: Sabiendo que la cuenca que vierte al Embalse de Alhama de Granada es de 54,3 km2 y su tiempo de concentración de 4,5 horas, calcular el hidrograma unitario (1 cm) para una duración de 15 minutos según el método del SCS. Solución: Con la información del tiempo de concentración, podemos calcular el tiempo de retardo, tlag, como 0,35·Tc = 0,35·4,5 horas = 1,58 horas. El tiempo al pico, Tp, será entonces, con tr = 0,25 horas:

horas 7,158,1225,0

2=+=+= lag

rp ttT

El caudal pico, qp, será:

cmsm 44,66

7,13,5408,208,2 3

⋅=⋅==

pp T

Aq

q/qp


- 16 -

El hidrograma adimensional del SCS puede convertirse en el hidrograma de esta cuenca para una duración de 15 minutos, multiplicando los valores del eje de abscisas por Tp y los del eje de ordenadas por qp, lo que se hace en la Tabla 1.3.

Tabla 1.3: Cálculo del hidrograma unitario del SCS.

t/Tp q/Qp t

[hs] Q

[m3/s/cm] Volumen

[m3] 0 0 0 0 0

0,10 0,013 0,17 0,86 264 0,20 0,076 0,34 5,05 1809 0,30 0,158 0,51 10,50 4757 0,40 0,278 0,68 18,47 8864 0,50 0,430 0,85 28,57 14394 0,60 0,601 1,02 39,93 20961 0,80 0,892 1,36 59,26 60707 1,00 1,000 1,7 66,44 76931 1,20 0,918 2,04 60,99 77988 1,40 0,753 2,38 50,03 67945 1,60 0,532 2,72 35,35 52250 1,80 0,418 3,06 27,77 38628 2,00 0,323 3,4 21,46 30130 2,20 0,241 3,74 16,01 22933 2,40 0,177 4,08 11,76 16996 2,60 0,133 4,42 8,84 12605 2,80 0,095 4,76 6,31 9271 3,00 0,076 5,1 5,05 6953 3,50 0,038 5,95 2,52 11588 4,00 0,019 6,8 1,26 5794 4,50 0,006 7,65 0,40 2541 5,00 0,000 8,5 0 610

Σ 544922 También el hidrograma unitario triangular puede dibujarse con tb = 2,67 Tp = 2,67·1,7 horas = 4,54 horas. Ambos hidrogramas se presentan en la Figura 1.8. El volumen de escorrentía del hidrograma unitario según el SCS, se muestra en la última columna de la Tabla 1.3. La lluvia neta equivalente sería:

cm 00,1m 1cm 100

m 10km 1

km 3,54m 544922

26

2

2

3

===A

VP ee

El volumen de escorrentía del hidrograma unitario triangular es:

cmm 1043,5

h1s 3600h 54,4

cmsm 44,66

21 3

53

⋅=⋅⋅⋅

⋅=eV

y la lluvia neta equivalente es:

cm 1m 1cm 100

m 10km 1

km 3,54m 1043,5

26

2

2

35

=⋅==A

VP e

e


- 17 -

Figura 1.8: Hidrogramas unitarios de 15 min. para la cuenca de Alhama de Granada, según el método del

SCS. 1.1.9 Hidrograma unitario de Clark. Método de las isocronas El hidrograma unitario de Clark, tiene en cuenta el tránsito a través de la cuenca a través de las curvas isocronas. Las curvas isocronas son curvas que unen los puntos de la cuenca que tienen igual tiempo de desagüe (Figura 1.9a). Para construir el hidrograma unitario, a partir de las curvas isocronas trazadas cada un cierto intervalo de tiempo (por ej., 1 hora) se dibuja un histograma área-tiempo (Figura 1.9b). Si se aplica una lluvia efectiva instantánea de 1 cm uniforme en toda la cuenca, el histograma área-tiempo, multiplicado por 1 cm dará el volumen que es desaguado por la cuenca al final de cada intervalo de tiempo para el cual está definido el histograma y éste será el hidrograma unitario instantáneo de la cuenca. Para transformar las área en caudales, es necesario aplicar la fórmula:

tAq

∆= 78,2

donde q es el caudal en [m3/s·cm] cuando A está en [km2] y ∆t, que es el intervalo de tiempo en función del cual está definido el histograma área-tiempo, está en [hs]. Para obtener el hidrograma unitario correspondiente a una duración cualquiera de lluvia neta, puede usarse el método que se explica en el siguiente apartado. Sin embargo, también puede considerarse que el hidrograma unitario obtenido es el correspondiente a una duración igual al intervalo con que es definido el histograma área-tiempo, ya que da lo mismo que la lluvia neta unitaria caiga instantáneamente o que caiga en un tiempo inferior o igual al de definición de dicho histograma. Clark propone que este hidrograma sea transitado por algún método de almacenamiento, por ejemplo, un depósito, para simular las retenciones que se producen en la cuenca y atenuar los picos.

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8

Tiempo [hs]

q [m

3/s/

cm]

HU SCS HU Triangular


- 18 -

(a) (b)

Figura 1.9: a) Ejemplo de curvas isocronas para una cuenca hidrográfica; b) Ejemplo de histograma

tiempo-área. Ejemplo 1.6: En la cuenca vertiente al embalse de Alhama de Granada, de 54,3 km2, se han trazado las líneas isocronas cada media hora, obteniéndose la relación área-tiempo de la Tabla 1.4. Calcular el hidrograma unitario sintético de Clark utilizando dicha relación. Tabla 1.4: Relación área-tiempo de la cuenca de Alhama de Granada y cálculo del hidrograma unitario de

Clark.

Tiempo [h] % Área

[km2] q

[m3/s/cm] Volumen

[m3] 0 0 0 0 0

0,5 5,16 2,80 15,58 14019 1 8,04 4,37 24,28 35872

1,5 18,36 9,97 55,43 71743 2 17,00 9,23 51,31 96070

2,5 14,72 7,99 44,44 86174 3 13,20 7,17 39,86 75866

3,5 9,86 5,36 29,78 62672 4 7,28 3,96 21,99 46592

4,5 6,37 3,46 19,24 37109 5 0 0 0 17317 Σ 100,00 54,3 Σ 543434

Solución: Cada una de las ordenadas del hidrograma unitario de Clark, se calculan aplicando la relación:

tAq

∆= 78,2

a cada una de las porciones de área entre isocronas, obteniendo el hidrograma unitario de la Figura 1.10.


- 19 -

Figura 1.10: Hidrograma unitario de Clark de media hora de duración, para la cuenca de Alhama de Granada.

Como de costumbre, verificamos que el volumen del hidrograma corresponde a una precipitación igual a la unidad. El volumen del hidrograma se encuentra calculado en la última columna de la Tabla 1.4. La precipitación correspondiente se obtiene dividiendo dicho volumen por el área de la cuenca:

cm ,00 1m 1cm 100

m 10km 1

km 3,54m 543434

26

2

2

3

===A

VP e

e

1.1.10 Hidrograma unitario para diferentes duraciones de lluvia. El Hidrograma en S Si se dispone de un hidrograma unitario para una duración dada, pueden deducirse los hidrogramas unitarios para otras duraciones. Si las otras duraciones son múltiplos enteros de la duración dada, el nuevo hidrograma unitario puede calcularse directamente aplicando los principios de proporcionalidad y superposición. Existe un método general aplicable a hidrogramas unitarios de cualquier duración, basado en estos principios, llamado el método del hidrograma en S. El hidrograma en S es aquel que resulta de una lluvia efectiva continua a una tasa constante de 1 cm/h durante un periodo indefinido (Figura 1.11). Si conocemos el hidrograma unitario para una duración de lluvia neta cualquiera, ∆t, podemos considerar que el hietograma que produce el hidrograma en S está formado por un número indefinido de hietogramas de esa duración y con una intensidad 1/∆t, uno tras otro. Esto se puede

( ) )(...)2()()( tnthtthtththtg ∆−++∆−+∆−+= Si se acepta el principio de superposición, el hidrograma de escurrimiento directo será como el indicado en la Figura 1.11. El caudal máximo del hidrograma en S es el denominado caudal de equilibrio, Qe, que es igual a:

At

iAQe ∆== cm 1

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5

Tiempo [hs]

q [m

3/s

/cm

]


- 20 -

donde A es el área de la cuenca, i es la intensidad y ∆t es la duración de la lluvia efectiva del hidrograma unitario original. El tiempo transcurrido hasta el establecimiento del caudal de equilibrio es el tiempo de concentración, Tc.

Figura 1.11: Hidrograma en S.

Teóricamente, el hidrograma obtenido de esta manera debería ser una curva suave, debido a que se supone que la lluvia efectiva de entrada tiene una intensidad constante y continua. Sin embargo, el proceso de suma producirá una forma ondulatoria si existen errores en las abstracciones o en la separación del flujo base, o también si la distribución temporal y/o espacial de la lluvia efectiva con la que se calculó el hidrograma unitario no fue uniforme. Antes de utilizar este hidrograma para nuestros cálculos, se deberá suavizar dicho hidrograma, sabiendo que para un tiempo igual al tiempo de concentración, el caudal será igual al caudal de equilibrio. Para obtener un hidrograma unitario de diferente duración de lluvia efectiva, se sigue el siguiente procedimiento (Figura 1.12): − Se desplaza el hidrograma en S una duración igual a la de la lluvia efectiva de la cual

queremos obtener el hidrograma unitario, ∆t'. − Se restan las ordenadas del hidrograma en S desplazado a las del hidrograma en S original,

con lo que se obtiene un hidrograma para una duración de lluvia efectiva de ∆t', pero que no es unitario.

− Se transforma el hidrograma obtenido en unitario, teniendo en cuenta que i · ∆t = i' · ∆t' = 1 cm, por lo cual:

''

ttii

∆∆=

siendo i' la intensidad del hidrograma unitario de duración ∆t'. Por lo tanto, para obtener el hidrograma unitario correspondiente a una duración ∆t', se deberá multiplicar las ordenadas del hidrograma obtenido por ∆t/∆t'.


- 21 -

Figura 1.12: Uso del hidrograma en S para encontrar el hidrograma unitario de otra duración. Ejemplo 1.7: Encontrar el hidrograma unitario de una duración de 1,5 horas, usando como base el hidrograma unitario de 0,5 horas del Ejemplo 1.1 y el concepto del hidrograma en S. Solución: En la segunda columna de la Tabla 1.5 se muestra el hidrograma unitario de 0,5 horas de duración. El hidrograma en S se obtiene aplicando la fórmula:

( ) )(...)2()()( tnthtthtththtg ∆−++∆−+∆−+= tal como se indica en la tercera columna de la Tabla 1.5. La diferencia entre las ordenadas de la segunda y tercera columna es un hidrograma que corresponde a una duración de 1,5 horas, pero no unitario. Para que dicho hidrograma sea unitario, se multiplican sus ordenadas por 0,5/1,5, obteniéndose los valores que se muestran en la última columna. El volumen unitario queda comprobado ya que la suma de las ordenadas es igual en ambos hidrogramas. En la Figura 1.13 se muestran: el hidrograma unitario de 0,5 horas de duración, el hidrograma en S, el hidrograma en S trasladado y la diferencia entre éstos dos últimos. En la Figura 1.14 se muestran, con propósitos comparativos, los dos hidrogramas unitarios, el de 0,5 horas y el de 1,5 horas de duración.

trasladado


- 22 -

Tabla 1.5: Cálculos necesarios para cambiar la duración de un hidrograma unitario utilizando el concepto de hidrograma en S.

T

[hs] HU - 0,5 hs [m3/s/cm]

HU en S [m3/s/cm]

HU en S trasl.[m3/s/cm]

Col.(3) - Col.(4)[m3/s/cm]

HU - 1,5 horas [m3/s/cm]

0 0 0 0 0 0 0,5 0,449 0,449 0 0,449 0,150 1 1,205 1,654 0 1,654 0,551

1,5 2,607 4,261 0 4,261 1,420 2 2,796 7,057 0,449 6,608 2,203

2,5 1,628 8,685 1,654 7,031 2,344 3 0,5 9,185 4,261 4,924 1,641

3,5 0,433 9,618 7,057 2,561 0,854 4 0,3 9,918 8,685 1,233 0,411

4,5 0,189 10,107 9,185 0,922 0,307 5 0 10,107 9,618 0,489 0,163

5,5 0 10,107 9,918 0,189 0,063 6 0 10,107 10,107 0 0 Σ 10,107

Figura 1.13: Hidrograma unitario de 0,5 horas de duración, hidrogramas en S y diferencia entre ellos, para

el ejemplo 1.7.

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6

Tiempo [hs]

q [m

3/s/c

m]

HU 0,5 horas H en S (H1) H en S, tras. (H2) H1 - H2


- 23 -

Figura 1.14: Hidrogramas unitarios de 0,5 y de 1,5 horas de duración del ejemplo 1.7.

1.2 Modelos de Depósito 1.2.1 Modelo de sistema hidrológico general La cantidad de agua almacenada en una cuenca, S, puede relacionarse con los caudales de entrada, I y de salida, Q, de la cuenca (Figura 1.15), a través de la ecuación integral de continuidad:

( ) ( )tQtIdtdS −=

Figura 1.15: Representación simplificada de un sistema hidrológico.

Como la cantidad de agua almacenada en la cuenca aumenta y disminuye con el tiempo en función de I y Q de su variación con el tiempo, el almacenamiento en cualquier instante podrá expresarse por una función tal como:

= KK ,,,,,,, 2

2

2

2

dtQd

dtdQQ

dtId

dtdIIfS

Donde la función f estará determinada por la naturaleza del sistema hidrológico analizado (cuenca o tramo de cauce). La solución de este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (I y Q), puede resolverse, por ejemplo, de dos maneras: 1) Diferenciar la ecuación de almacenamiento, sustituir el resultado en la primera y resolver la

ecuación diferencial integrando para I y Q.

I(t)

Q(t)S(t)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 1 2 3 4 5 6

Tiempo [hs]

q [m

3/s/

cm]

HU - 1,5 hs HU - 0,5 hs


- 24 -

2) Aplicar el método de diferencias finitas a las dos ecuaciones para resolverlas en puntos discretos del tiempo.

1.2.2 Modelo de embalse lineal Un embalse lineal es aquel cuyo almacenamiento, S, está relacionado linealmente con su caudal de salida, Q, a través de una constante de almacenamiento k:

S = kQ [L3] = [T]·[L3T-1]

de manera que k debe tener unidades de tiempo. Reemplazando esta definición del almacenamiento en la ecuación de continuidad de un sistema hidrológico, nos queda:

( ) ( )tQtIdtdQk

dtdS −==

Operando, encontramos que: ( ) ( )

−=

ktQ

ktI

dtdQ

( ) ( )tIk

tQkdt

dQ 11 =+

Multiplicando ambos lados de la ecuación por el factor integrante et/k, nos queda:

( ) ( )tIek

tQekdt

dQe ktktkt 11 =+

que puede expresarse también como:

( ) ( )tIek

Qedtd ktkt 1=

Integrando con condiciones iniciales Q = Q0 en t = 0 quedará:

( ) ( ) τττ dIek

Qedt kQ

Qkt ∫∫ =

0

10

donde τ es una variable auxiliar de tiempo en la integración. Resolviendo:

( ) ( ) τττ dIek

QetQt kkt ∫=−00

1

( ) ( ) ( ) τττ dIek

eQtQt ktkt ∫ −−− +=00

1

Suponiendo constantes k y I(τ) y con Q0 igual a 0:

( )t

kt

t kt

eIdek

ItQ0

0

1 −−

== ∫ττ

τ


- 25 -

Para un instante correspondiente a un tiempo t ≤ t0, siendo t0 la duración de la entrada I, tendremos:

( )

−=

−kt

eItQ 1

Para un instante correspondiente a un tiempo t > t0, es decir cuando I es igual a 0, entonces:

( )dtdQktQ =−

QdQdt

k=− 1

Integrando:

Qtk

ln1 =−

( )( )

ktt

etQ0−

−=

Ejemplo 1.8: Calcular los hidrogramas de salida de un depósito en el cual entra un caudal constante de 1 m3/s durante 1 hora, considerando valores de la constante de almacenamiento, k, de 0,1; 0,5; 1; 2 y 5 horas. En la Figura 1.16 pueden verse los hidrogramas calculados con las fórmulas de los caudales antes deducidas. Obsérvese la influencia que tiene la constante k en la forma del hidrograma de salida.

Figura 1.16: Influencia de la constante de almacenamiento, k, en la forma del hidrograma de salida.

Si contáramos con datos de campo de la curva de recesión del hidrograma de salida de una cuenca, podríamos estimar el valor de k para esa cuenca, partiendo de la ecuación:

Caudal de entrada, I = 1m3/sdurante 1 hora

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Tiempo [Hs]

Q sa

lida

[m3/

s]

k=0,1 hk=0,5 hk=1 hk=2 hk=5 h


- 26 -

( )dtdQktQ =−

que por diferencias finitas queda:

21

212 tt

QQkQ−−=−

Si conocemos el caudal de salida Q2 que se produjo en el tiempo conocido t2 y el caudal de salida Q1 que se produjo en el tiempo conocido t1, la constante k del sistema hidrológico puede calcularse como:

−−−=

21

212 QQ

ttQk

De esta manera, las características del almacenamiento de la cuenca de estudio quedarían resumidas en el valor de la constante k. 1.3 Modelo de Onda Cinemática La modelación del proceso de transformación lluvia-escorrentía también puede efectuarse a través de la aplicación de las ecuaciones del movimiento del agua sobre la superficie de la cuenca. Esto permite el conocimiento en detalle de las características del flujo sobre la superficie de la cuenca, pero como contrapartida, es necesario tener información de dicha superficie con el suficiente detalle espacial. La superficie de la cuenca es simulada a través de porciones de plano inclinado, definidos por una rugosidad, una longitud, un ancho y una pendiente (Figura 1.17). El comportamiento del flujo sobre estos planos inclinados se considerará equivalente al comportamiento del mismo sobre la superficie de nuestra cuenca.

Figura 1.17: Esquema de planos inclinados para simular la escorrentía sobre la superficie de una cuenca.

El movimiento del agua puede describirse a través de las ecuaciones del flujo no permanente (ecuaciones de Saint-Venant). Existe una simplificación de estas ecuaciones en función de considerar que sólo las fuerzas de gravedad y de fricción son relevantes en la descripción del movimiento, simplificación que se conoce como aproximación de la onda cinemática. Analicemos el flujo en un plano inclinado permeable de rugosidad n y pendiente So que se produciría como consecuencia de una lluvia de intensidad i uniforme sobre este plano y de una tasa de infiltración f también uniforme a través del plano. El caudal unitario, q y el calado y, de


- 27 -

dicho flujo, deben cumplir las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento (o equilibrio de fuerzas) siguientes:

fity

xq −=

∂∂+

∂∂

nSyq

21

03

5

=

Si derivamos la ecuación de equilibrio de fuerzas con respecto al calado, nos queda:

nSy

yq 2

10

32

35=

∂∂

que se transforma, previa multiplicación del numerador y denominador por el calado, en:

cvyq

ynSy

yq ====

∂∂

35

35

35 2

10

35

donde c es la celeridad con que se propaga una perturbación, en este caso una onda de caudal, por efecto exclusivo de la gravedad y de la fricción. Combinando esta ecuación con la de continuidad, podemos llegar a:

( )ficxqc

tq −=

∂∂+

∂∂

que es una ecuación diferencial de primer orden en términos del caudal q. Si consideramos c = dx/dt, igual a la pendiente de una línea característica, se llega a que la derivada total de q en esa línea, es igual a la celeridad por la diferencia entre la intensidad i y la tasa de infiltración f:

( )ficdtdq −=

Para resolver la ecuación, puede recurrirse a esquemas numéricos en diferencias finitas, como el representado en la Figura 1.18.

Figura 1.18: Esquema de solución en diferencias finitas para la aproximación de la onda cinemática.

Utilizando dicho esquema, la ecuación del movimiento quedaría:

x1

t

0

1

x0 x

qX11

qX10qX0

0

qX01

∆x

∆t


- 28 -

( )ficxqqc

tqq xxxx −=

∆−

+∆− 1

011

01

11

Para resolver esta ecuación es necesario proveerle de sólo una condición de contorno, la de aguas arriba. En este caso se toma un caudal nulo en el extremo aguas arriba del plano. Por su formulación, el modelo de la onda cinemática no es capaz de reproducir la influencia del flujo desde aguas abajo, lo que no debe preocupar, ya que estamos hablando de láminas de agua de, a lo sumo, pocos centímetros. Tampoco es capaz este modelo de reproducir los efectos de laminación o atenuación, aspecto que puede deducirse considerando nulos tanto la contribución de la precipitación, i = 0, como la de la infiltración, f = 0, con lo que la ecuación quedaría:

0=dtdq

Lo cual significa que el caudal es constante a lo largo de la línea característica. El caudal unitario q obtenido de la aplicación de esta metodología es el resultante en el extremo aguas abajo del plano inclinado y será el que reciba, por ejemplo, el cauce principal de nuestra cuenca si es rural o el colector de la red de drenaje pluvial en el caso de una cuenca urbana. Como se vio al plantear las ecuaciones del movimiento, la información de la cuenca necesaria para aplicar este método sería, además de la intensidad de precipitación i, las características de la superficie de la cuenca (rugosidad y pendiente) y las características del suelo en el caso de que éste sea permeable, necesarias para calcular la tasa de infiltración. Ejemplo 1.9: Calcular el caudal a la salida de una cuenca de 18,2 km2, simulada a través de un plano inclinado de una longitud de 6000 m y un ancho de 3033 m, con un coeficiente de Manning de 0,03 y una pendiente de 0,02, como consecuencia del hietograma de lluvia neta del Ejemplo 1.1, es decir, 26,95; 49,05 y 45,95 mm a 30; 60 y 90 minutos. Utilizar el esquema de diferencias finitas descrito anteriormente, con un ∆x de 1000 m y un ∆t de 15 minutos hasta la duración de la lluvia neta y luego con un ∆t de 30 minutos. Calcular la evolución de los caudales durante las 4,5 horas posteriores a la finalización de la lluvia. Solución: Se trata de resolver, para cada punto de cálculo, la ecuación implícita en qx1

1 del esquema en diferencias finitas de la Figura 1.18. Expresando la celeridad, c, en función del caudal, de la pendiente y del coeficiente de Manning, quedaría:

53

103

05

2

35

35 −⋅⋅== nSq

yqc

que reemplazado en la ecuación deducida anteriormente nos da:

( )finSqxqq

nSqtqq

xxx

xxx −

⋅⋅=

∆−

⋅⋅+

∆− −− 5

310

3

05

211

10

115

310

3

05

211

01

11

35

35

Resolviendo esta ecuación para cada punto de cálculo, obtenemos la evolución de los caudales en el tiempo y en el espacio que se muestra en la Tabla 1.6. En la Figura 1.19 se muestra el hidrograma resultante a la salida del plano inclinado de 3033 m de ancho y en la Figura 1.20 los calados resultantes a la salida del mismo plano en dos instantes, en el momento del caudal máximo, t = 1,5 hs y en el último instante de tiempo, t = 6 hs.


- 29 -

Tabla 1.6: Caudales obtenidos de la aplicación de la aproximación de la onda cinemática para la transformación lluvia-escorrentía del Ejemplo 1.9.

q [m3/s/m] t

[hs] x = 0 x = 1000 m x = 2000 m x = 3000 m x = 4000 m x = 5000 m x = 6000 m Q

[m3/s] 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0,25 0 4,58E-03 6,61E-03 7,56E-03 8,01E-03 8,23E-03 8,33E-03 25,26 0,5 0 8,31E-03 1,33E-02 1,63E-02 1,81E-02 1,91E-02 1,97E-02 59,77

0,75 0 1,63E-02 2,77E-02 3,57E-02 4,12E-02 4,49E-02 4,75E-02 144,02 1 0 2,12E-02 3,83E-02 5,17E-02 6,22E-02 7,02E-02 7,63E-02 231,34

1,25 0 2,32E-02 4,37E-02 6,14E-02 7,65E-02 8,90E-02 9,93E-02 301,12 1,5 0 2,43E-02 4,69E-02 6,77E-02 8,63E-02 1,03E-01 1,17E-01 355,51 2 0 1,43E-02 3,11E-02 4,82E-02 6,50E-02 8,08E-02 9,54E-02 289,48

2,5 0 9,06E-03 2,12E-02 3,48E-02 4,89E-02 6,30E-02 7,67E-02 232,77 3 0 6,07E-03 1,49E-02 2,55E-02 3,71E-02 4,92E-02 6,15E-02 186,43

3,5 0 4,25E-03 1,08E-02 1,91E-02 2,85E-02 3,87E-02 4,93E-02 149,56 4 0 3,09E-03 8,07E-03 1,45E-02 2,22E-02 3,06E-02 3,98E-02 120,61

4,5 0 2,31E-03 6,16E-03 1,13E-02 1,75E-02 2,46E-02 3,23E-02 97,97 5 0 1,78E-03 4,80E-03 8,92E-03 1,40E-02 1,99E-02 2,65E-02 80,23

5,5 0 1,39E-03 3,81E-03 7,16E-03 1,13E-02 1,63E-02 2,19E-02 66,28 6 0 1,11E-03 3,07E-03 5,82E-03 9,30E-03 1,35E-02 1,82E-02 55,23

Figura 1.19: Hidrograma a la salida del plano de 3033 m de ancho del Ejemplo 1.9.

Figura 1.20: Evolución de los calados a lo largo del plano de 6000 m de longitud del Ejemplo 1.9.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 1 2 3 4 5 6

Tiempo [hs]

Q [m

3/s

]

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Distancia [m]

Cal

ado

[m]

t = 1,5 hs t = 6 hs


- 30 -

2. PROPAGACIÓN DE CAUDALES Se denomina propagación de caudales al procedimiento a través del cual se puede determinar el hidrograma de caudal en un punto de un curso de agua utilizando hidrogramas conocidos en uno o más puntos aguas arriba. Dicho procedimiento puede aplicarse a sistemas agregados o distribuidos. Cuando se aplica a sistemas agregados, el flujo se calcula como una función del tiempo en un lugar en particular, lo que también se conoce como propagación hidrológica. Cuando se aplica a sistemas distribuidos, el flujo se calcula como una función del espacio y del tiempo a través del sistema, lo que se conoce también como propagación hidráulica. 2.1 Propagación de sistemas agregados o hidrológica Como ya hemos visto, en un sistema hidrológico la entrada, I(t), la salida, Q(t) y el almacenamiento S(t), se relacionan por la ecuación de continuidad:

( ) ( )tQtIdtdS −=

Conociendo I(t), no podemos obtener Q(t) si no se conoce una segunda relación llamada función de almacenamiento, que en general es:

= KK ,,,,,,, 2

2

2

2

dtQd

dtdQQ

dtId

dtdIIfS

Estas dos ecuaciones nos brindan una combinación de dos ecuaciones con dos incógnitas que pueden resolverse, por ejemplo, por el método de diferencias finitas. La forma de la ecuación de almacenamiento depende de la naturaleza del sistema analizado. Existen varios métodos que se diferencian entre sí en la manera de considerar la función de almacenamiento: − Método del embalse a nivel: el almacenamiento es función no lineal de Q

S = f(Q) − Método de Muskingum: el almacenamiento es función lineal de I y Q

S = f(I,Q) − Modelos de depósitos o embalses lineales: el almacenamiento es función lineal de Q

S = kQ La relación que existe entre el almacenamiento, S y el caudal de salida, Q, es invariable cuando se tiene un embalse con superficie de agua horizontal. En este caso, S es función únicamente de la altura de la lámina de agua en el embalse y Q es función de la altura de agua sobre la estructura de control, de manera tal que combinando ambas relaciones, se llega a una relación única entre S y Q: S = f(Q), como se muestra en la Figura 2.1a). La relación entre S y Q suele ser variable cuando se trata de embalses largos y angostos y de canales o cauces de ríos, ya que la superficie del agua suele tener una pendiente debido a los efectos de remanso. En este caso, S dependerá del nivel variable a lo largo del sistema y ya no existe una función única entre la altura de la lámina de agua y Q, lo que finalmente conduce a una relación variable entre S y Q, formando un bucle como se muestra en la Figura 2.1b).


- 31 -

Figura 2.1: Relación entre el caudal y el almacenamiento.

El efecto del almacenamiento sobre el hidrograma de salida es, por un lado, el de modificar la forma del hidrograma, retrasando el tiempo al pico, aumentando el tiempo base y disminuyendo el caudal punta y, por otro lado, el de retrasar el comienzo del hidrograma, especialmente si se trata de cauces muy largos, donde la onda de avenida debe viajar una distancia considerable. De esta manera, el tiempo de movimiento de la avenida puede considerarse compuesto por un tiempo de redistribución, provocado por el cambio en la forma del hidrograma, más un tiempo de traslación, provocado por el viaje de la onda de avenida a lo largo del cauce, tal como se muestra en la Figura 2.2.

Figura 2.2: Tiempo de movimiento de una avenida.

la avenida


- 32 -

2.1.1 Propagación de embalse a nivel El procedimiento para calcular un hidrograma de caudal a la salida de un embalse con una superficie de agua horizontal se lo conoce como método del embalse a nivel. Si se considera la variación entre los caudales de entrada y de salida a lo largo de un intervalo de tiempo es lineal, lo que es aproximado a la realidad siempre y cuando se tengan en cuenta intervalos de tiempo pequeños, digamos menores a 0,1 veces el tiempo al pico del hidrograma de entrada, la variación en el almacenamiento en el intervalo puede encontrarse haciendo:

tQQtIISS ∆+−∆+=−22

212112

Donde I1 e I2 son los caudales de entrada, Q1 y Q2 son los caudales de salida y S1 y S2 son los almacenamientos correspondientes a los instantes inicial y final del intervalo, respectivamente. En esta ecuación, las incógnitas son Q2 y S2. Agrupando las incógnitas por un lado y los datos por el otro podemos obtener:

( )

−

∆++=

+

∆ 11

2122 22 Q

tSIIQ

tS

que puede resolverse conociendo la relación entre S y Q, que ya sabemos que es invariable. La relación entre S y Q se obtiene a partir de: − La relación entre altura y almacenamiento, S = f(H), obtenida a través de levantamientos

topográficos o bien de mapas cartográficos. − La relación entre altura y caudal de salida, Q = f(H), que son ecuaciones que dependen del

tipo de vertedero o estructura de salida (con o sin compuertas). En la Figura 2.3 se muestra la manera de obtener una relación entre 2S/∆t y Q, utilizando ambas relaciones. Figura 2.3: Forma de obtener una relación entre S y Q para ser utilizada en el método del embalse a nivel.

Q

H

S

H

Q

QtS +

∆2


- 33 -

Ejemplo 2.1:Un depósito de retención de aguas pluviales tiene un área de 4110 m2, paredes verticales y la salida se realiza a través de una tubería de 1,5 m de diámetro. La relación entre el nivel de agua dentro del depósito y el caudal de salida se da en la Tabla 2.1. Calcular el hidrograma de salida del depósito por el método del embalse a nivel, considerando el hidrograma de entrada de la Tabla 2.2. Considerar que el depósito está inicialmente vacío.

Solución: En primer lugar, calcularemos la relación entre el caudal de salida y QtS +

∆2 . Como

el depósito tiene paredes verticales, el almacenamiento se obtiene multiplicando el nivel de agua por el área del depósito, lo cual se indica en la tercera columna de la Tabla 2.1. Finalmente, se

calcula QtS +

∆2 considerando un ∆t de 10 min.

Tabla 2.1: Relación entre la función de almacenamiento y el caudal de salida.

H Q S QtS +

∆2

m m3/s m3 m3/s 0 0 0 0

0,3 0,227 1233 4,337 0,6 0,850 2466 9,070 0,9 1,700 3699 14,030 1,2 2,747 4932 19,187 1,5 3,880 6165 24,430 1,8 4,900 7398 29,560 2,1 5,805 8631 34,575 2,4 6,541 9864 39,421 2,7 7,164 11097 44,154 3 7,787 12330 48,887

Los cálculos del caudal de salida se realizan aplicando la ecuación:

( )

−

∆++=

+

∆ 11

2122 22 Q

tSIIQ

tS

en cada uno de los intervalos de tiempo considerados. En el instante de tiempo 1, S1 = Q1 = 0,

porque el depósito está vacío y por lo tanto 02

11 =−

∆Q

tS

. El caudal de entrada, I1 = 0 e I2 = 3,4

m3/s, o sea que I1 + I2 = 3,4 m3/s. Luego calculamos la función de almacenamiento para este instante:

( )s

m 4,304,322 3

11

2122 =+=

−∆

++=

+∆

Qt

SIIQ

tS

El valor de Q2 correspondiente a 222

Qt

S+

∆ se obtiene por interpolación lineal. En este caso

será:

( )s

Q3

2m 18,004,3

0337,40227,00 =−

−−+=


- 34 -

Luego, el valor de 222

Qt

S−

∆ necesario para la segunda iteración se calcula como:

sm 04,318,024,32

22 3

222

22 =⋅−=−

+∆

=

−∆

QQt

SQ

tS

Los siguientes intervalos de tiempo se calculan de forma similar y los resultados se muestran en la Tabla 2.2.

Tabla 2.2:Cálculo de la propagación de caudales a través del depósito de retención del Ejemplo 2.1.

t I I1 + I2 112

Qt

S−

∆ 2

22Q

tS

+∆

Q2

min m3/s m3/s m3/s m3/s m3/s 0 0 0 0

10 3,4 3,4 3,04 3,40 0,18 20 6,8 10,2 10,12 13,24 1,56 30 10,2 17 18,30 27,12 4,41 40 6,8 17 23,48 35,30 5,91 50 3,4 10,2 22,40 33,68 5,64 60 0 3,4 17,50 25,80 4,15 70 0 13,60 17,50 1,95 80 0 10,34 13,60 1,63 90 0 8,20 10,34 1,07

100 0 6,72 8,20 0,74 110 0 5,64 6,72 0,54 120 0 4,84 5,64 0,40

En la Figura 2.4 pueden verse los hidrogramas de entrada y salida del depósito. Puede verse que el efecto del depósito de retención es el de bajar el caudal punta de 10,2 m3/s a 5, 91 m3/s y el de retrasar el tiempo al pico en 10 minutos.

Figura 2.4: Hidrogramas de entrada y de salida del depósito de retención del Ejemplo 2.1.

0

2

4

6

8

10

12

0 20 40 60 80 100 120

Tiempo [min]

Cau

dal [

m3/s

]

Hid. Entrada Hid. Salida


- 35 -

2.1.2 Propagación en cauces. Método de Muskingum El método de Muskingum fue presentado por McCarthy (1938) y maneja relaciones caudal-almacenamiento variables. Este método modela el almacenamiento en un cauce mediante la combinación de dos tipos de almacenamientos, tal como se muestra en la Figura 2.5: − Un almacenamiento prismático, formado por un volumen de sección transversal constante a

lo largo del cauce prismático. − Un almacenamiento en cuña, formado por la diferencia entre los caudales de entrada y

salida, o bien, por la pendiente de la lámina de agua en el tramo considerado.

Figura 2.5: Almacenamientos por prisma y por cuña en un tramo de cauce.

Durante el avance de la avenida el caudal de entrada es mayor que el de salida y se forma lo que se denomina cuña positiva y durante la recesión el caudal de entrada es menor al caudal de salida, formándose una cuña negativa. El volumen de almacenamiento prismático es proporcional al caudal de salida, ya que se supone que el caudal de salida es proporcional al área de la sección del cauce:

Sp = KQ El valor de K se considera igual al tiempo de tránsito de la onda de avenida a través del tramo. El volumen de almacenamiento por cuña es proporcional a la diferencia entre las entradas y las salidas:

Sc = KX(I - Q) Donde X es un factor de ponderación tal que puede tomar valores entre 0 y 0,5, en función de la forma de almacenamiento en cuña. Cuando X = 0, no existe cuña, no hay curva de remanso y el almacenamiento en el cauce será tipo embalse: S = KQ. En este caso se produciría la máxima atenuación posible. Cuando X = 0,5; se dice que la cuña está completamente desarrollada y no existiría atenuación alguna del pico. En cauces naturales muy caudalosos y de baja pendiente, X suele ser próximo a 0 y será más cercano a 0,5 cuanta más pendiente y menos caudal tenga el cauce. En ríos españoles, en general poco caudalosos, se puede tomar como media un valor de 0,3 a 0,35. El almacenamiento total en el tramo de cauce considerado sería entonces:


- 36 -

S = KQ + KX(I - Q) Que puede reordenarse como:

S = K[XI + (1 - X)Q] Esta ecuación representa el modelo lineal de almacenamiento para la propagación de avenidas en cauces por el método de Muskingum. Si analizamos el volumen de almacenamiento en dos instantes, 1 y 2, al comienzo y al final de un intervalo de tiempo ∆t, éstos pueden determinarse como:

S1 = K[XI1 + (1 - X)Q1]

S2 = K[XI2 + (1 - X)Q2] La variación en el almacenamiento a través del tramo sería la diferencia entre ambos almacenamientos:

S2 - S1 = K{[XI2 + (1 - X)Q2] - [XI1 + (1 - X)Q1]}

Utilizando la ecuación de continuidad, la variación en el almacenamiento es igual a:

tQQtIISS ∆+−∆+=−22

212112

Sustituyendo obtenemos:

( ) ( )( )[ ] tQQtIIQQXIIXK ∆+−∆+=−−+−22

1 21211212

y despejando Q2 nos queda:

( ) ( )

( )

( )1212

21

21

21

2

21

2 QtXK

tXKItXK

tKXItXK

tKXQ

∆+−

∆−−+

∆+−

∆+−+

∆+−

∆+=

o bien: 1322112 QCICICQ ++=

donde:

( )2

1

21 tXK

tKXC

∆+−

∆+= ;

( )2

1

22 tXK

tKXC

∆+−

∆+−= ;

( )

( )2

1

21

3 tXK

tXKC

∆+−

∆−−=

Se verifica que la suma de C1, C2 y C3 debe ser igual que 1. Obtención de K y X a partir de información de campo Si se encuentran disponibles los hidrogramas de entrada y salida observados para un tramo de un río, pueden determinarse los valores de K y X, utilizando la siguiente metodología: 1) Se asumen varios valores de X 2) Utilizando la información de los caudales de entrada y de salida, se calculan los valores del

numerador y del denominador de la siguiente expresión de K, deducida de una ecuación anterior:

( ) ( )[ ]( ) ( )( )1212

1212

12

QQXIIX

QQIIt

K−−+−

+−+∆

=


- 37 -

3) Los valores calculados del numerador y denominador se colocan en un gráfico como ordenadas y abscisas, respectivamente, lo que producirá una curva en forma de lazo. El valor de X que produzca un lazo lo más parecido posible a una recta única se utiliza para calcular el valor de K, que es la pendiente de dicha recta.

Ejemplo 2.2: En los extremos de un tramo de un río se han medido los caudales mostrados en la Tabla 2.3. Obtener los valores de K y X para ese tramo de río.

Tabla 2.3: Hidrogramas de caudales medidos en los extremos de un tramo de río.

t I Q t I Q [días] [m3/s] [m3/s] [días] [m3/s] [m3/s]

0 59 42 11 252 481 1 93 70 12 203 371 2 129 76 13 158 252 3 205 142 14 130 196 4 210 183 15 105 161 5 234 185 16 90 143 6 325 213 17 80 112 7 554 293 18 68 95 8 627 397 19 59 83 9 526 487 20 59 75

10 432 533 Solución: Primero se calcula el numerador de la última ecuación de K, es decir:

( ) ( )[ ]12122QQIItV +−+∆=

que sería el volumen de almacenamiento en el tramo de río considerado en cada instante de tiempo analizado. Para los instantes de tiempo 1 y 2, sería:

( ) ( )[ ] días

m 20s

m427059932día 1 33

1 ⋅=+−+=V

( ) ( )[ ] días

m 58s

m7076931292día 1día

sm20

333

2 ⋅=+−++⋅=V

Por otro lado, se calcula el denominador de dicha ecuación, asumiendo varios valores de X, por ejemplo, 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 y 0,5:

( ) ( )( )1212 1 QQXIIXD −−+−= Para X = 0,1 y para los instantes 1 y 2 tendríamos:

( ) ( )( )s

m6,28s

m42701,01s

m59931,0333

1 =−−+−⋅=D

( ) ( )( )s

m6,37s

m70761,01s

m931291,0s

m6,283333

1 =−−+−⋅+=D

En la Tabla 2.4 se muestran los valores de Vi y de Di para cada instante de cálculo. En la Figura 2.6 se muestran los diferentes lazos obtenidos graficando Vi vs. Di, para diferentes valores de X.


- 38 -

Tabla 2.4: Cálculo de los pares de valores (V, D) del Ejemplo 2.2.

t V D = X(I2 - I1) + (1 - X)(Q2 - Q1) [m3/s] [días] [m3/s·día] X = 0 X = 0,1 X = 0,2 X = 0,3 X = 0,4 X = 0,5

0 1 20 28 28,6 29,2 29,8 30,4 31 2 58 34 37,6 41,2 44,8 48,4 52 3 116 100 104,6 109,2 113,8 118,4 123 4 161 141 142 143 144 145 146 5 199 143 146,2 149,4 152,6 155,8 159 6 279.5 171 180,5 190 199,5 209 218,5 7 466 251 275,4 299,8 324,2 348,6 373 8 711.5 355 376,3 397,6 418,9 440,2 461,5 9 846 445 447,2 449,4 451,6 453,8 456

10 815 491 479,2 467,4 455,6 443,8 432 11 650 439 414,4 389,8 365,2 340,6 316 12 451.5 329 310,5 292 273,5 255 236,5 13 320.5 210 198,9 187,8 176,7 165,6 154,5 14 240.5 154 145,7 137,4 129,1 120,8 112,5 15 179.5 119 111,7 104,4 97,1 89,8 82,5 16 125 101 94 87 80 73 66 17 82.5 70 65,1 60,2 55,3 50,4 45,5 18 53 53 48,6 44,2 39,8 35,4 31 19 27.5 41 36,9 32,8 28,7 24,6 20,5 20 7.5 33 29,7 26,4 23,1 19,8 16,5

Figura 2.6: Obtención de los parámetros K y X de Muskingum, para el Ejemplo 2.2.

X = 0,2

0

200

400

600

0 500 1000

XI + (1-X)Q [m 3 /s]

V [m

3/s

·día

]

X = 0,1

0

200

400

600

0 500 1000

XI + (1-X)Q [m 3 /s]

V [m

3/s

·día

]

X = 0

0

200

400

600

0 500 1000

XI + (1-X)Q [m 3 /s]

V [m

3/s

·día

]

X = 0,5

0

200

400

600

0 500 1000

XI + (1-X)Q [m 3 /s]

V [m

3/s

·día

]

X = 0,4

0

200

400

600

0 500 1000

XI + (1-X)Q [m 3 /s]

V [m

3/s

·día

]

X = 0,3

0

200

400

600

0 500 1000

XI + (1-X)Q [m 3 /s]

V [m

3/s

·día

]


- 39 -

Puede observarse en la Figura 2.6, que el valor de X = 0,2 es el que produce un bucle más cerrado, por lo que se adoptará éste como válido. El valor de K se obtiene calculando la pendiente de la recta media que se ajusta al bucle y que es de 1,86 días. Como K es el tiempo necesario para que la onda de avenida atraviese el tramo, también puede estimarse como el tiempo observado del caudal punta a través del tramo, que para este ejemplo sería igual a 2 días. Ejemplo 2.3: Calcular el hidrograma resultante aguas abajo de un tramo de cauce de 5,4 km de longitud, con una pendiente media de 0,001, conociendo el hidrograma de entrada que se da en la Tabla 2.3. Considerar un X igual a 0,35. Solución: Calculamos K en función de la longitud del tramo, ∆x y de la pendiente media, S0:

horas 41,2001,0

4,518,018,076,0

25,0

76,0

25,00

=

=

∆=S

xK

Luego se calculan los coeficientes C1, C2 y C3, utilizando un ∆t de 1 hora:

( )6501,0

0665,23435,1

2135,0141,2

2135,041,2

1 ==+−

+⋅=C

1662,00665,23435,0

0665,22135,041,2

2 −=−=+⋅−

=C

( )5161,0

0665,20665,1

0665,22135,0141,2

3 ==−−

=C

Y finalmente se calcula el hidrograma de salida aguas abajo del tramo como:

1211322112 051611662,06501,0 QIIQCICICQ +−=++= Los valores resultantes se presentan en la Tabla 2.5 y los hidrogramas están representados en la Figura 2.7.


- 40 -

Tabla 2.5: Cálculo del hidrograma de salida del tramo de cauce del Ejemplo 2.3

t I Q [horas] [m3/s] [m3/s]

0 59 42 1 93 45 2 129 62 3 205 82 4 210 141 5 234 170 6 325 186 7 554 215 8 627 367 9 526 510

10 432 533 11 252 514 12 203 395 13 158 310 14 130 241 15 105 191 16 90 152 17 80 124 18 68 105 19 59 88 20 59 74

Figura 2.7: Hidrogramas de entrada y salida del tramo de cauce del Ejemplo 2.3.

0

100

200

300

400

500

600

700

0 5 10 15 20

Tiempo [horas]

Cau

dal [

m3/

s]

I Q


- 41 -

2.1.3 Modelo de embalse lineal Un embalse lineal es aquel en el cual el almacenamiento está linealmente relacionado con su caudal de salida mediante una constante de almacenamiento k, que tiene dimensiones de tiempo:

S = kQ

El concepto de embalse lineal fue introducido por primera vez por Zoch en 1934 en un análisis de la relación entre lluvia y escorrentía. Un embalse lineal único es equivalente a considerar el modelo de Muskingum con X = 0. El comportamiento de una cuenca puede representarse por medio de una serie de n embalses lineales idénticos, cada uno de ellos con una misma constante de almacenamiento k (Nash 1957). Transitando un flujo de entrada de volumen unitario a través de los n embalses lineales, puede deducirse un modelo matemático para el hidrograma unitario instantáneo de la serie. La integral de convolución en forma continua puede expresarse como:

∫ −= τ τττ0 )()()( dtuItQ La función impulso-respuesta para un embalse lineal fue deducida como:

−

−=− k

t

ek

tuτ

τ 1)(

por lo que el caudal de salida del primer embalse lineal, considerando una entrada I(τ) = 1 y un caudal inicial Q0 = 0, estará dado por:

∫

−

−= τ

τ

τ011)( dek

tQ kt

Si este caudal se usa como entrada para el segundo embalse lineal, su caudal de salida puede obtenerse como:

kt

kt

kt

ek

dek

ek

tQ−

−−−

== ∫ 202111)( τ

τ

τ

Si este caudal se usa como entrada para el tercer embalse lineal y así sucesivamente para n embalses lineales, el caudal de salida del embalse n será:

ktn

n ekt

nktQ

−−

Γ=

1

)(1)(

Siendo Γ(n) = (n - 1)! Cuando n no es un número entero, el valor de Γ puede obtenerse de tablas de la función gamma (Abramowitz y Stegun 1965). La ecuación obtenida de Qn(t) puede considerarse como el hidrograma unitario instantáneo de la serie de n embalses lineales y también es conocida como la función de probabilidad gamma. Puede comprobarse que la integral de esta ecuación para t desde 0 hasta infinito es igual a 1. También puede demostrarse que el primer y segundo momentos del HUI alrededor del origen t = 0 son:

M1 = nk y M2 = n(n + 1)k2


- 42 -

El primer momento, M1 es el tiempo de retardo del centroide del HUI y debe ser equivalente a la diferencia de tiempo entre los centroides de las áreas del hietograma de lluvia neta y el hidrograma de escorrentía directa (Chow 1994). Utilizando los conceptos anteriores, teniendo como datos el hietograma de lluvia neta y su correspondiente hidrograma de escorrentía directa de una cuenca, podría calcularse los parámetros n y k correspondientes a dicha cuenca y con los cuales puede obtenerse su HUI. El cálculo de n y k se realiza a través de la resolución del siguiente sistema de ecuaciones:

nkMM IQ =− 11

( ) 12

22 21 IIQ nkMknnMM ++=− Donde MI1 y MI2 son el primer y segundo momentos, respectivamente, del hietograma de precipitación neta dividido por la lluvia efectiva total y MQ1 y MQ2 son el primer y segundo momentos, respectivamente, del hidrograma de escorrentía directa dividido por la escorrentía directa total. Ejemplo 2.4: Dados el hietograma de lluvia neta o efectiva y el hidrograma de escorrentía directa de la Figura 2.8, determinar el valor de los parámetros n y k para el HUI.

Figura 2.8: Hietograma de lluvia efectiva e hidrograma de escorrentía directa del Ejemplo 2.4.

100

300

200

100

0

50

100

150

200

250

300

350

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Intervalo de tiempo [x 6hs]

Lluv

ia n

eta

[m3/s

]

010

70

165180

142

79

38

133

0

50

100

150

200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Intervalo de tiempo [x 6hs]

Esco

rren

tía d

irec

ta[m

3/s

]


- 43 -

Solución: Calculamos los momentos MI1, MI2, MQ1 y MQ2, para lo cual necesitamos determinar el volumen total de lluvia neta, que debe ser igual al volumen total de escorrentía directa. Para calcular este volumen, sumamos las ordenadas del hietograma de lluvia neta, que da 700 m3/s, igual a la suma de las ordenadas del hidrograma de escorrentía directa y el resultado lo multiplicamos por el ancho del intervalo de tiempo considerado, es decir, 6 horas, con lo que se obtiene un volumen de 4200 m3/s·h. Los momentos se calculan como:

[ ] h 57,11hs

m211001520093003100h

sm 4200

h 6 3

31 =⋅+⋅+⋅+⋅=IM

[ ] [ ]2

3

3332

32222

2 h 3,166h

sm 4200

m10020030010012

h 6hs

m211001520093003100h 6=

++++⋅+⋅+⋅+⋅= sM I

En forma similar se calculan los momentos correspondientes al hidrograma de escorrentía directa: MQ1 = 28,25 h MQ2 = 882,8 h2 Calculamos nk usando la fórmula:

h 68,16h 57,11h 25,2811 =−=−= IQ MMnk Que reemplazamos en la fórmula:

( ) ( ) 12

12

22 221 IIIQ nkMknknknkMknnMM +⋅+=++=−

h 57,11h 68,162h 68,16h68,16h 3,166h 8,882 2222 ⋅⋅+⋅+=− k de la cual se obtiene k = 3,14 h y n = 16,68 h/3,14 h = 5,31. Con estos valores, puede calcularse el HUI de la cuenca de la que provienen los datos utilizados. 2.2 Propagación distribuida o hidráulica Los métodos hidráulicos de propagación se basan en la resolución de las ecuaciones de conservación de la masa y de la cantidad de movimiento para flujo no permanente unidimensional, también conocidas como ecuaciones de Saint-Venant. La ecuación de conservación de la masa o de continuidad está dada, en su forma no conservativa, es decir, para un ancho unitario de flujo, por:

0=∂∂+

∂∂+

∂∂

ty

xVy

xyV

y la ecuación que expresa la conservación de la cantidad de movimiento, también en forma no conservativa, es:

( ) 00 =−−∂∂+

∂∂+

∂∂

fSSgxyg

xVV

tV


- 44 -

En ambas ecuaciones, V es la velocidad media del flujo en una sección transversal, y es el calado o nivel de agua en dicha sección, g es la aceleración gravitatoria, S0 es la pendiente de fondo del tramo de cauce considerado, Sf es la pendiente de fricción de dicho tramo de cauce y x y t son las variables independientes, el espacio y el tiempo, respectivamente. Las hipótesis que se tienen en cuenta para la validez de las ecuaciones de Saint-Venant son las siguientes: 1. El flujo es unidimensional: el calado y la velocidad varían sólo en la dirección longitudinal;

la velocidad es constante y la superficie del agua horizontal en cualquier sección transversal perpendicular al eje del cauce.

2. El flujo varía gradualmente a lo largo del canal, lo que implica que la distribución de

presiones es hidrostática y que las aceleraciones verticales son despreciables. 3. El eje del cauce es una línea recta. 4. La pendiente del fondo es pequeña y el lecho es fijo, lo que implica que no hay erosión ni

sedimentación. 5. Los coeficientes de resistencia para flujo uniforme permanente turbulento son aplicables,

por ejemplo, se utiliza la ecuación de Manning para describir el efecto de la resistencia. 6. El fluido es incompresible y de densidad constante. Cada uno de los términos con los que cuenta la ecuación de cantidad de movimiento tiene en cuenta alguno de los procesos físicos que gobiernan la movimiento del fluido:

+∂∂

tV +

∂∂

xVV −

∂∂

xyg

gS0 +

gSf

= 0

Aceleración local

Aceleración convectiva

Fuerza de presión

Fuerza de gravedad

Fuerza de fricción

− Aceleración local: variación de cantidad de movimiento debido al cambio de velocidad con

el tiempo. − Aceleración convectiva: variación de cantidad de movimiento debido al cambio de

velocidad a lo largo del canal. − Fuerza de presión: variación en la presión producida por un cambio en la profundidad del

agua. − Fuerza de gravedad: fuerza que mueve al fluido, proporcional a su peso y a la pendiente

del lecho. − Fuerza de fricción: resistencia a la fricción ocasionada por las paredes del cauce. Los dos términos de aceleración representan el efecto de las fuerzas de inercia en el flujo. Los efectos de remanso pueden incorporarse en la propagación distribuida a través de los tres primeros términos de la ecuación de la cantidad de movimiento. Los métodos hidrológicos no poseen mecanismos hidráulicos para describir la propagación aguas arriba de los cambios de flujo de cantidad de movimiento porque están basados sólo en la ecuación de continuidad.


- 45 -

La clasificación de los modelos de propagación distribuida se realiza en función del número de términos de la ecuación de la cantidad de movimiento que se utilizan para el cálculo. El modelo de la onda cinemática desprecia los términos de aceleración y el de presión, por lo que la ecuación de la cantidad de movimiento quedaría como:

S0 = Sf El modelo de la onda difusiva desprecia los términos de aceleración y la ecuación de la cantidad de movimiento queda:

00 =+−∂∂

fSSxy

Finalmente, el modelo de la onda dinámica considera todos los términos de la ecuación. La ecuación de conservación de cantidad de movimiento puede escribirse también en formas que tienen en cuenta si el flujo es permanente o no permanente y uniforme o variable.

tV

g ∂∂− 1

xV

gV

∂∂−

xy

∂∂−

+ S0

= Sf

Flujo uniforme y permanente

Flujo variable y permanente

Flujo variable y no permanente

2.2.1 Propagación mediante el modelo de la onda cinemática Como se vio anteriormente, en el modelo de la onda cinemática, la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento queda expresada como:

S0 = Sf Donde S0 es la pendiente del fondo del cauce en el tramo considerado, calculable a partir de información topográfica o batimétrica y Sf es la pendiente de fricción o de la línea de energía del flujo, calculable a partir de alguna fórmula de resistencia, como por ejemplo la de Manning. Si expresamos la velocidad media del flujo a través de la ecuación de Manning, el caudal sería igual a:

32

21

0352

10

32

···nP

SA

nSR

AVAQ h ===

Donde A es el área de la sección transversal y P es el perímetro mojado. Despejando A, tenemos:

βαQQS

nPA =

= 5

35

3

21

0

32

Donde hemos llamado α = [nP2/3/S0

1/2]3/5 y β = 3/5 = 0,6. Si derivamos A con respecto al tiempo, nos queda:


- 46 -

tQQ

tA

∂∂=

∂∂ −1βαβ

que sustituyendo en la ecuación de la continuidad en forma conservativa:

0=∂∂+

∂∂

tA

xQ

nos da:

01 =∂∂+

∂∂ −

tQQ

xQ βαβ

Las ondas cinemáticas son resultado de cambios en el caudal, Q. La derivada total del caudal con respecto al espacio, x, es igual a:

xt

tQ

xQ

dxdQ

∂∂

∂∂+

∂∂=

Comparando esta ecuación con la de la continuidad en su forma conservativa, vemos que son idénticas si:

0=dxdQ y 1

1−= βαβQdt

dx

con lo que queda demostrado que:

kcdAdQ

dtdx ==

que es la celeridad de la onda cinemática. Esto significa que un observador moviéndose a una velocidad ck, vería que dQ/dx = 0, es decir, que el caudal es constante. Estas dos últimas ecuaciones son las ecuaciones características para una onda cinemática, es decir, dos ecuaciones diferenciales ordinarias que son matemáticamente equivalentes a las ecuaciones de la continuidad y de la cantidad de movimiento. Si derivamos el caudal, Q, con respecto al área, A, utilizando la ecuación de Manning, considerando n, S0 y P constantes, lo que es aproximadamente cierto cuando se trata de cauces mucho más anchos que profundos, podemos encontrar que la celeridad, ck es igual a:

VAQ

AA

nP

SAAA

nP

SdAdQck 3

535

35

35 3

5

32

21

032

32

21

0 ==

=

==

Es decir, que la celeridad de la onda cinemática es superior a la velocidad media del flujo y utilizando la ecuación de Manning, igual a 5/3 la velocidad media del flujo. Solución analítica de la onda cinemática Para resolver el valor de Q en función del tiempo, a una distancia L del extremo aguas arriba del cauce, es necesario conocer las condiciones iniciales, es decir, el valor de Q en todo punto del espacio para t = 0 y las condiciones de contorno, es decir, el valor de Q en todo instante de tiempo para x = 0. Las condiciones iniciales podrían ser las de un caudal base uniforme a todo lo largo del cauce analizado en el instante t = 0 y las condiciones de contorno podrían ser las de un hidrograma de entrada en el extremo aguas arriba del cauce, en el punto x = 0.


Las ecuaciones características nos dicen que dQ/dx = 0, es decir, que el caudal es constante si nos movemos a una velocidad igual a la celeridad de la onda:

dtdxck =

Lo que se intenta esquematizar en la Figura 2.9

Figura 2.9: Tránsito de un Quiere decir, que en el modelo integramos la ecuación de la celerid

0L∫

Luego el tiempo en el cual un caudel extremo aguas abajo será:

En este caso particular las líneas caudal no varía a lo largo del tramsalida, estas líneas serían curvas. Ejemplo 2.5: Un canal rectangular fondo del 1 % y un coeficiente desalida del canal teniendo como datla solución analítica de la onda cine Solución: El caudal, utilizando la ees mucho mayor que el calado, está

t

Q = Qmáx

Q = 0

Q = Qmáx

Líneas características

- 47 -

a onda cinemática a lo largo de un cauce de longitud L.

de la onda cinemática el caudal no se atenúa nunca. Si ad a todo lo largo del cauce, nos queda:

( )00ttcLdtcdx k

tt k −=⇒= ∫

al Q transitará desde el extremo aguas arriba del cauce hasta

kcLtt += 0

características son rectas porque hemos considerado que el o del cauce, pero si existiera un caudal lateral de entrada o

de 60 m de ancho tiene 5000 m de longitud, una pendiente de rugosidad de Manning de 0,035. Calcular el hidrograma de o el hidrograma de entrada dado en la Tabla 2.x y utilizando mática.

cuación de Manning para flujo uniforme y cuando el ancho dado por:

nSBy

VAQ2

1

03

5

=⋅=

x L

Q = 01ck


- 48 -

de la cual puede obtenerse el calado como: 5

3

21

0

=

BS

Qny

La celeridad de la onda cinemática es ck = 5/3 V, que expresada en función del caudal, quedaría:

103

05

25

35

2

53

21

0

35

35

35

35 SBnQ

BS

QnB

QByQ

AQck

−−=

===

El tiempo de tránsito a lo largo de todo el canal sería igual a 5000 m/ck y finalmente, el tiempo de salida de cada caudal considerado, puede calcularse sumando el tiempo de entrada y el tiempo de tránsito, tal como se muestra en la Tabla 2.6. En la Figura 2.10 se muestran los hidrogramas de entrada y de salida resultante.

Tabla 2.6: Tránsito de un hidrograma de caudal utilizando la solución analítica de la onda cinemática.

t Caudal Celeridad Tiempo tránsito Tiempo de salida min m3/s m/s min min

0 60 3,13 26,6 26,6 12 60 3,13 26,6 38,6 24 100 3,84 21,7 45,7 36 140 4,39 19,0 55,0 48 180 4,86 17,2 65,2 60 220 5,26 15,8 75,8 72 180 4,86 17,2 89,2 84 140 4,39 19,0 103,0 96 100 3,84 21,7 117,7

108 60 3,13 26,6 134,6 120 60 3,13 26,6 146,6 132 60 3,13 26,6 158,6 144 60 3,13 26,6 170,6

Figura 2.10: Hidrogramas de entrada y de salida correspondientes al Ejemplo 2.5.

0

50

100

150

200

250

0 24 48 72 96 120 144

Tiempo [min]

Cau

dal [

m3/s

]



- 49 -

Solución numérica lineal para la onda cinemática La solución numérica para la onda cinemática consiste en resolver numéricamente, en cada uno de los puntos de una malla x-t, la ecuación:

01 =∂∂+

∂∂ −

tQQ

xQ βαβ

para unos parámetros α y β dados de un canal y unas determinadas condiciones iniciales y de contorno. Utilizando aproximaciones por diferencias finitas, para resolver el flujo en una malla x-t tal como la mostrada en la Figura 2.11, la ecuación anterior quedaría:

02

01

11

101

10

10

11 =

∆−

++

∆−

−

tQQQQ

xQQ XXXXXX

β

αβ

en la cual se resolvería el valor de QX1

1 en función de los valores conocidos, bien de las condiciones iniciales y de contorno o bien de los valores obtenidos en instantes de tiempo y espacio anteriores, QX1

0 y QX01.

Figura 2.11: Esquema en diferencias finitas para resolver la ecuación de la onda cinemática. Este esquema de diferencias finitas mostrado es el llamado de diferencias finitas hacia atrás y necesita para ser resuelto sólo valores de aguas arriba. Por este motivo, el modelo es insensible a la influencia del flujo aguas abajo. Este esquema también se llama explícito, porque cada valor de la incógnita QX1

1 se calcula uno a uno en cada punto de la malla, y cuyo valor quedaría dado por:

++

∆∆

++

∆∆

=−

−

101

10

101

100

11

0

11

2

2

β

β

αβ

αβ

XX

XXXX

XQQ

xt

QQQQ

xt

Q

Para que un esquema explícito sea estable, el tamaño de la malla de cálculo debe cumplir en todo momento con la condición de Courant-Friedrichs, que es necesaria pero no suficiente y está dada por:

kcxt ∆≤∆

x1

t

0

1

x0 x

QX11

QX10QX0

0

QX01

∆x

∆t


- 50 -

Solución numérica no lineal para la onda cinemática En el esquema no lineal, se resuelve por diferencias finitas la ecuación:

0=∂∂+

∂∂

tA

xQ

utilizando la aproximación A = αQβ para resolver A, quedando:

00

11

11

01

1 =

∆−

+∆−

tQQ

xQQ XXXX

ββ αα

Reordenando de tal manera que en el lado izquierdo quede la incógnita:

ββ αα 01

10

11

11 XXXX QQ

xtQQ

xt +

∆∆=+

∆∆

Que es una solución no lineal de la incógnita QX1

1 Ejemplo 2.6: Calcular el hidrograma de salida del canal del Ejemplo 2.5 utilizando un modelo lineal de onda cinemática, con un ∆x de 1000 m y un ∆t de 3 min. La condición inicial es un flujo uniforme a lo largo de todo el canal de 60 m3/s. Solución: El valor de β = 0,6 y α se calcula como:

74,201,0

60035,05

3

21

325

3

21

0

32

=

⋅=

=

S

nPα

Utilizando los valores de ∆x y ∆t dados, el cálculo de QX1

1 quedaría:

+⋅+

+⋅+

=−

−

4,001

10

4,001

100

11

0

11

26,074,2

m 1000s 180

26,074,2

m 1000s 180

XX

XXXX

XQQ

QQQQ

Q

Los cálculos se detallan en la Tabla 2.7, en la que se han omitido algunas filas por brevedad y en la Figura 2.11 se muestran los hidrogramas de entrada y salida correspondientes.

Puede observarse que existe una atenuación del pico del hidrograma, atenuación que es puramente numérica, ya que depende del tamaño con que se elijan tanto el ∆x como el ∆t. Puede verse que los valores de ∆x y ∆t fueron escogidos de manera que se cumpla la condición de Courant-Friedrichs. En la Tabla 2.6 se ve que la celeridad máxima se da para el caudal de 220 m3/s y es de 5,26 m/s. Para esta celeridad, el ∆t máximo sería igual a 1000 m/5,26 m/s = 190 s.


- 51 -

Tabla 2.7: Tránsito de un hidrograma de caudal por el método lineal de la onda cinemática.

t x (m) 0 1000 2000 3000 4000 5000 (min) Índices 1 2 3 4 5 6

0 1 60 60,0 60,0 60,0 60,0 60,0 3 2 60 60,0 60,0 60,0 60,0 60,0 6 3 60 60,0 60,0 60,0 60,0 60,0 9 4 60 60,0 60,0 60,0 60,0 60,0

12 5 60 60,0 60,0 60,0 60,0 60,0 15 6 70 63,7 61,3 60,5 60,2 60,1 18 7 80 69,8 64,5 61,9 60,8 60,3 21 8 90 77,6 69,4 64,7 62,2 61,0 24 9 100 86,5 76,0 68,9 64,7 62,4 27 10 110 96,1 83,9 74,7 68,4 64,6 30 11 120 106,0 92,8 81,8 73,5 67,9 33 12 130 116,2 102,5 90,1 80,0 72,5 36 13 140 126,5 112,6 99,3 87,7 78,4 39 14 150 136,8 123,0 109,3 96,5 85,5 42 15 160 147,2 133,6 119,7 106,1 93,9 45 16 170 157,5 144,3 130,4 116,4 103,2 48 17 180 167,9 154,9 141,3 127,2 113,3 51 18 190 178,2 165,6 152,2 138,2 124,1 54 19 200 188,5 176,2 163,2 149,5 135,2 57 20 210 198,7 186,8 174,2 160,7 146,6 60 21 220 209,0 197,4 185,0 172,0 158,1 63 22 210 209,5 203,2 193,6 182,1 169,2 66 23 200 204,9 204,0 198,6 189,9 178,8 69 24 190 197,8 201,1 199,8 194,6 186,2 72 25 180 189,4 195,5 197,7 196,1 190,9 75 26 170 180,4 188,4 193,3 194,8 192,7 78 27 160 171,0 180,3 187,2 191,2 192,0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

120 41 60 62,5 68,0 75,9 85,1 94,9 123 42 60 61,6 65,7 72,1 80,1 89,0 126 43 60 61,0 64,0 69,0 75,9 83,9 129 44 60 60,6 62,8 66,7 72,4 79,5 132 45 60 60,4 61,9 65,0 69,6 75,7 135 46 60 60,3 61,3 63,6 67,4 72,6 138 47 60 60,2 60,9 62,6 65,7 70,0 141 48 60 60,1 60,6 61,9 64,3 67,9 144 49 60 60,1 60,4 61,4 63,2 66,2


- 52 -

Figura 2.12: Hidrogramas de entrada y salida obtenidos mediante la solución numérica lineal de la onda

cinemática. 2.2.2 Método de Muskingum-Cunge Cunge (1969) propuso un método basado en el de Muskingum, pero que tiene en cuenta algunos conceptos tomados de la aproximación de la onda cinemática. La ecuación de Muskingum, en la notación utilizada para la onda cinemática, puede escribirse como:

013

002

101

11 XXXX QCQCQCQ ++=

En la cual, los coeficientes C1, C2 y C3 dependen de los parámetros K y X. Cunge demostró que cuando K y ∆t se toman como constantes, esta es una solución aproximada de las ecuaciones de onda cinemática, siendo los valores de K y X iguales a:

kcxK ∆=

∆

−=xSBc

QXk 0

121

Donde ∆x es la longitud del tramo considerado, ck es la celeridad de la onda de avenida correspondiente a Q y B, B es el ancho de la superficie de agua y S0, la pendiente media de dicho tramo de cauce. Este método tiene la ventaja de que la solución se obtiene a través de una ecuación algebraica lineal, lo que permite que el hidrograma pueda obtenerse sólo en las secciones requeridas en lugar de todos los puntos de la malla como requiere el modelo de onda cinemática, lo que también producirá una menor atenuación numérica. En España se acostumbra calcular el factor K, considerando válida la aproximación de la onda cinemática y la ecuación de resistencia de Manning, por lo cual, la celeridad, ck sería igual a 5/3

0

50

100

150

200

250

0 24 48 72 96 120 144

Tiempo [min]

Cau

dal [

m3/s

]



- 53 -

la velocidad de la onda de avenida. Si calculamos la velocidad de la onda como ∆x/T, donde T es un tiempo de concentración del fluido en el tramo y utilizamos para calcularlo la fórmula de Témez, se llega a la siguiente ecuación para K:

76,0

25,00

18,06,0

∆==S

xTK c

Donde ∆x debe introducirse en km, S0 en m/m y K quedaría expresado en horas. 2.2.3 Propagación mediante el modelo de la onda difusiva En el modelo de la onda difusiva, la ecuación de continuidad puede escribirse:

0=∂∂+

∂∂+

∂∂

xV

bA

xyV

ty

y la ecuación de la cantidad de movimiento sería, despreciando los términos de inercia:

fSSxy −=

∂∂

0

Combinando ambas ecuaciones se puede llegar a una ecuación diferencial única de tipo parabólico análoga en estructura y forma a la ecuación de difusión del calor. Necesita dos condiciones de contorno, aguas arriba y aguas abajo, permite representar la laminación y es válida para todo tipo de cauces y flujos (supercrítico y subcrítico). Es un modelo adecuado para casos en que los hidrogramas tienen subidas suaves, es decir, sin mucha inercia. 2.2.4 Propagación mediante el modelo de la onda dinámica En este caso, se usan todos los términos de la ecuación de la cantidad de movimiento y la forma de la solución cambia a tipo hiperbólico. Este modelo tiene en cuenta todas las fuerzas que actúan en el fluido y también necesita de condiciones de contorno aguas arriba y aguas abajo. El aumento de tiempo de cálculo con respecto al modelo de la onda difusiva no es muy grande, por lo cual normalmente se prefiere trabajar con las ecuaciones completas.


- 54 -

3. BIBLIOGRAFÍA Abramowitz y Stegun (1965) Handbook of mathematical functions. Dover, New York. Chow, V.T.; Maidment, D.R.; Mays, L.W. (1994) Hidrología Aplicada. McGraw-Hill, Bogotá. Gómez Valentín, Manuel (2001) Hidrograma Unitario y Modelos de Depósitos. En: Curso de Hidrología Urbana, 4ª Edición. Universitat Politècnica de Catalunya, E.T.S.I.C.C.P, Depto. de Ingeniería Hidráulica, Marítima y Ambiental, Sección de Ing. Hidráulica e Hidrológica, Barcelona. Gómez Valentín, Manuel (2001) Transformación Lluvia-Escorrentía mediante el uso de la Onda Cinemática. En: Curso de Hidrología Urbana, 4ª Edición. Universitat Politècnica de Catalunya, E.T.S.I.C.C.P, Depto. de Ingeniería Hidráulica, Marítima y Ambiental, Sección de Ing. Hidráulica e Hidrológica, Barcelona. Aparicio, F.J. (1999) Fundamentos de Hidrología de Superficie. Limusa, México, D.F. Linsley, R.K. Jr.; Kohler, M.A.; Paulhus, J.L.H. (1988) Hidrología para Ingenieros. McGraw-Hill. New York Monsalve Sáenz, G. (1999) Hidrología en la Ingeniería. Alfaomega, México.

Documents

Transformaci_2003