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TRANSPORTE DE UN SOLUTO POR UN FLUIDO LIBRE
CURSO: MODELACIÓN MATEMÁTICA COMPUTACIONAL DE SISTEMAS TERRESTRES I
POSGRADOS: CIENCIAS DE LA TIERRA Y
CIENCIA E INGENIERIA DE LA COMPUTACIÓN
AUTOR: GUILLERMO DE J. HERNÁNDEZ G. UNAM
TRANSPORTE DE UN SOLUTO POR UN FLUIDO LIBRE
1. LA ECUACIÓN GENERAL DE TRANSPORTE DE UN SOLUTO POR UN
FLUIDO LIBRE
1. LA ECUACIÓN GENERAL DE TRANSPORTE DE UN SOLUTO POR UN FLUIDO LIBRE
La masa de soluto es una propiedad
extensiva dada en cualquier tiempo por
,
La ecuación de balance global es
, , ,
donde es la fuente de soluto en consideración
SB t
SSS
B t B t
S
M t c x t dx
dMt g x t dx x t n x t dx
dt
g
,
p. e. decaimiento radiactivo.
representa la masa de soluto por unidad de área
por unidad de tiempo entrando al cuerpo de fluido,
principalmente difusión molecular.
S
1. LA ECUACIÓN GENERAL DE TRANSPORTE DE UN SOLUTO POR UN FLUIDO LIBRE
La ecuación diferencial de balance local
del transporte de solutos por un fluido libre es:
Donde es la concentración del soluto, y es la
propiedad intensiva asociada con la masa de
S S
ccv g
t
c x,t
l soluto,
es decir, masa de soluto por unidad de volumen
de la solución.
2. PROCESOS DE TRANSPORTE
Se pueden distinguir tres procesos de transporte:
advección,
difusión, y
generación de masa.
La ecuación de transporte necesita el suministro
de información científica y tecnológica acerca de
, v
la velocidad de la partícula,
, flujo de masa del soluto, y
, la fuente externa de masa del soluto.
S
Sg
2. PROCESOS DE TRANSPORTEProcesos de advección
Siempre que el fluido está en movimiento ocurre la
; es decir cuando la velocidad de la
parícula es diferente de cero, 0.
Este proceso o fenómeno es debido al hecho de que la
substancia disu
advección
v
elta es llevada por el fluido conforme
se mueve, como una carga transportada por un vehículo.
La extensión del proceso advectivo es caracterizada
por la velocidad del fluido, la cual en los modelos
de transporte que estan siendo considerados se asume
que es dato conocido.
Es necesario, entonces, obtener la velocidad de las
partículas por medios adecuados.
2. PROCESOS DE TRANSPORTEProcesos de difusión
Las partículas microscópias que constituyen un fluido
están en permanente agitación, y las partículas del soluto
que las acompañan tiene caminos aleatorios conocidos
como .
Los pro
movimiento Browniano
cesos de difusión que son debidos a ese
movimiento son conocidos como .difusión molecular
2. PROCESOS DE TRANSPORTEProcesos de difusión
Un modelo muy simple y muy ampliamente usado para
difusión molecular es el de ; en
ella se establece que el campo vectorial representando
el flujo de masa de soluto, , , es unS
la primera ley de Fick
x t
a función
del gradiente de la concentración:
,
Donde es una matriz denominada
. Cuando el proceso es de difusión,
es isotrópico, y la ecuación se reduce:
S x t D c
D tensor de
difusión molecular
D DI
3. PROCESOS DE TRANSPORTEProcesos de generación de masa
La razón a la que la masa es generada es determinada
por fuentes externas, , .
Cuando las fuentes externas son idénticamente
iguales a cero, nada de masa es generada
y cada cuerpo de fluido conser
Sg x t
va la masa que contiene.
En este caso el sistema de transporte se denomina
.conservativo
3. PROCESOS DE TRANSPORTEProcesos de generación de masa
Por otra parte cuando las fuentes externas del soluto son
diferentes de cero, , 0 y a tal sistema de transporte
se le denomina - .
Informalmente se dice que hay una o
Sg x t
no conservativo
fuente de masa
u
cuando , 0 , 0,
respectivamente.
Los orígenes de tales fuentes y sumideros son diversos;
por ejemplo, dos que son especialmente significativas son
el decaimiento radiactivo
S Sn sumidero de masa g x t o g x t
y las reacciones químicas entre
diferentes solutos contenidos en el fluido.
4. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSPORTE DIFUSIVO
La es generalmente aceptada como
la ecuación constitutiva básica para difusión molecular.
Para fluidos libres, los procesos de difusión son
usualmente isotrópicos.
Cuando esto es a
primera ley de Fick
plicado la ecuación diferencial de
balance local es
Algunos casos especiales de la ecuación son los siguientes.
S
ccv g D c
t
4. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSPORTE DIFUSIVO
cDgt
c
v
cDgvct
c
D
cDgcvt
c
v
S
S
S
: 0 reposoen está fluido el Cuando3.
0posición la de nteindependie esdifusión de
ecoeficient el ,homogéneos es fluido el Cuando2.
0 bleincompresi es fluido el Si1.
2
4. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSPORTE DIFUSIVO
.siguientes lasson ellas a aplicables ecuaciones Las
es.aplicacion
muchasen interés de también es ioestacionar Estado El
:calor delecuación conocida la a reduce se
gobernante ldiferenciaecuación la reposo,en está que
homogéneo fluidoun por voconservati e transportel Para
2cDt
c
4. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSPORTE DIFUSIVO
elípticas. ecuaciones para prototipo el Laplace, deecuación la es última Esta
0
:voconservati es e transportel cuando
reposo,en homogéneo fluidoun deción representa La5.
:reposoen está fluido el cuandosituación La4.
:homogéneos fluidos para caso El3.
:blesincompresi fluidos para caso El2.
:por gobernado general, más caso El1.
2
2
c
gcD
gvccD
gcvcD
gvccD
S
S
S
S
ioestacionar Estado
5. PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS PARA TRANSPORTE DIFUSIVO
Problemas dependientes del tiempo.
problema. del conocido dato es que
inicial,ión concentrac la es función la donde
0y , ;0,
frontera,su seay espacial dominio el Sea
:prescritos
son ión concentrac la de iniciales valoresLos
:iniciales sCondicione
frontera. de scondicione lasadición en prescritas
son iniciales scondicione las decir, es frontera;
dey iniciales valoresde problemasson planteados
bien problemas los lineal, es ,, Cuando
0
0
xc
txxcxc
ΩΩ
ctxgS
5. PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS PARA TRANSPORTE DIFUSIVO
Problemas dependientes del tiempo.
problema. del conocido dato es ,función la donde
0y ;,,,
1, que talesúmeros y Sean
as.consideradser a
frontera de scondicione de forma general más laSon
Robin. tipofrontera de sCondicione
22
tx
txtxtxctxn
c
n
5. PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS PARA TRANSPORTE DIFUSIVO
Problemas dependientes del tiempo.Dos casos particulares muy importantes de las condiciones de frontera
son las condiciones de frontera Dirichlet y de Newmann.
Corresponden a los casos =1 ( =0) y =1( =0),
respectivamente.
Condiciones
de frontera tipo Dirichlet.
, , ; y 0.
Condiciones de frontera tipo Neumann.
, , ; y 0.
Condición de flujo total de masa.
, , , , ; 0
c x t x t x t
cx t x t x t
n
cD x t v x t n c x t x t x y t
n
5. PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS PARA TRANSPORTE DIFUSIVO
Problemas dependientes del tiempo.
0.010. 0.005, 0.001, Dy 0,=g .5,0 t1, v:Además
(0,1). unitario intervalo el es problema del dominio
del definición la cual elen
onalunidimensi caso el para
libres fluidospor e transportpara
ldiferenciaecuación la parasolución
la observa se figura siguiente laEn
S
5. PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS PARA TRANSPORTE DIFUSIVO
Problemas dependientes del tiempo.
solución. la de asíy curva la de pendiente ladecrecer
de es D de valor elr incrementa de efecto El
conserva. se sistema del masa la que indicando
0.5,ión concentrac la dealrededor simétricasson curvas Las
0
,0
:Iniciales
1,0
0,1
:Dirichlet
:son frontera de scondicione Las
x
c
xx
c
x
xc ii
ii
ii
5. PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS PARA TRANSPORTE DIFUSIVO
Problemas de estado estacionario.
solución. existe no
dominio, del frontera la en toda impuestasson Neumann
tipofrontera de scondicione las cuando embargo,Sin
tiempo.del esdependient problemas losen tratadas
mismas lasson considerar a frontera de scondicione Las
iniciales. scondicioneincluyen no
tiempodel ntesindependie planteadosbien problemas Los
6. PROCESOS IRREVERSIBLES DE PRIMER ORDEN
0
:esecuación la homogéneo, es fluido el Si
positiva. constante una es Donde
,,
:aplicada es externas fuentes las paraexpresión siguiente la ellas Para
orden.primer de lesirreversib procesos como
adascaracterizser pueden ción biodegrada formas ciertasy hidrólisis
,radiactivo odecaimient como talesquímica, actividad de clases Ciertas
a reduce se local balance de ldiferenciaecuación la
hace se esto cuando lados; en todos 0 = , procesos Para
cDcvct
c
txctxg
cDvct
c
gvosconservati
S
S
6. PROCESOS IRREVERSIBLES DE PRIMER ORDEN
Si el fluido es homogéneo, la ecuación es:
0
En la siguiente figura se presentan
soluciones al problema descrito por
la ecuación anterior, para diferentes valores de .
El valor de
ccv c D c
t
D =
0
0
1/2
0 5 1, y el tiempo transcurrido es =30.
1Notar que: =
=Cte. de desintegración No. de atomos en tiempo
= es la vida media No. inicial de atomos
Periodo de semidesintegración:
t
. , v = t
y N t N e
N t t
N
t
ln 2
6. PROCESOS IRREVERSIBLES DE PRIMER ORDEN
0,0
:es inicialcondición la Y
45,0
0,1
:son frontera de scondicione Las
.incrementa sereacción de tasala
conforme curva cada bajo áreas menoresen
refleja se cual la global masa de pérdida
la esorden primer de químicareacción
esta desolución laen impacto evidente más El
xc
xx
c
x
xc
ii
ii
ii
7. ECUACIONES DIFERENCIALES PARA TRANSPORTE NO DIFUSIVO
txcgcv
txcgvc
txcgt
c
v
txcgcvt
c
v
txcgvct
c
D
S
S
S
S
S
,,
bleincompresi fluidoy ioestacionar estado Para4.
,,
ioestacionar estado Para3.
,,
: 0 reposoen está fluido el Cuando2.
,,
0 bleincompresi es fluido el Si1.
,,
0 ndoestablecie derivadaser puede
solutos de difusivo-no e transportdel gobernanteecuación La
TRANSPORTE DE UN SOLUTO POR UN FLUIDO LIBRE
8. PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS PARA TRANSPORTE NO DIFUSIVO
8. PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS PARA TRANSPORTE NO DIFUSIVO
• Una importante diferencia entre las ecuaciones
generales de transporte difusivo y no-difusivo es que
la primera contiene derivadas espaciales de segundo
orden, debido a que D>0, mientras que la otra no.
• Como consecuencia la ecuación de transporte
difusivo es una ecuación parabólica de segundo
orden, mientras que la de transporte no-difusivo es
una ecuación de primer orden.
8. PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS PARA TRANSPORTE NO DIFUSIVO
• Las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden puedenser reducidas a una familia ecuaciones diferenciales ordinariasde primer orden, cada una de ellas satisfechas a lo largo deciertas curvas llamadas curvas características; como se puedever, las curvas características para transporte no-difusivo sonlas trayectorias el espacio-tiempo de partículas de fluido.
• La solución de tales ecuaciones diferenciales parciales escompletamente determinada cuando su valor es prescrito en uny solo un punto de la curva característica en el espacio-tiempo.Consecuentemente, los problemas bien planteados sonaquellos que cumplen esta condición y el siguiente principiogeneral se cumple.
8. PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS PARA TRANSPORTE NO DIFUSIVO
• Los problemas bien planteados de valores en la
frontera del transporte no difusivo de un soluto son
aquellos en los cuales el valor de la concentración
del soluto es prescrito en un y solo un punto de la
trayectoria espacio-temporal de cada partícula de
fluido.
8. Problemas bien planteados en una dimensión espacial
• Los problemas con dependencia del tiempo a
ser considerados serán formulados en el
intervalo espacial [a, b] y en el intervalo de
tiempo [0, T].
• Por lo tanto, la ecuación diferencial será
satisfecha en en el dominio [a, b]x[0, T] del
plano x-t.
txcg
x
cv
t
cS ,,
:espacialdimensión una Para
8. Problemas bien planteados en una dimensión espacial
• Un problema de transporte de soluto que es
bien planteado puede ser establecido como
adherida al Principio Básico para Problemas
Bien Planteados del Transporte no difusivo:
– Encuéntrese la concentración, c(x,t), para t>0,
hasta cierto tiempo T, en cada a<x<b cuando los
valores de la concentración son conocidos tanto al
inicio y en cada en un extremo del intervalo [a, b].
8. Problemas bien planteados en una dimensión espacial
• El correspondiente problema matemático es un
problema con valores iniciales y de frontera
con condiciones de frontera Dirichlet que
puede ser establecido como sigue:
– Encuéntrese la función c(x,t), definida en el
dominio rectangular [a, b]x[0, T], que satisface la
ecuación diferencial siguiente,
8. Problemas bien planteados en una dimensión espacial
Tttctac
bxaxcxc
txcgx
cv
t
cS
0,,
frontera la a scondicione lay
,0,
iniciales scondicione lascon
,,
Dirichlet frontera de scondicionecon
frontera dey iniciales scon valore problema
0
8. Problemas bien planteados en una dimensión espacial
• Este problema es bien planteado siempre que lavelocidad sea conocida en todos lados:
• esta condición es requerida para hacer seguro quecualquier partícula de fluido que cruce la fronteraizquierda del intervalo espacial del intervalo (x=a)nunca regrese a ella;
• si una partícula cruza esa frontera más de una vez en elintervalo de 0 a T entonces la ecuación deberíaprescribir el valor de C en dos puntos diferente en latrayectoria en el espacio-tiempo para la mismapartícula, y el principio básico de problemas bienplanteados de transporte no-difusivo sería violado.
8. Problemas bien planteados en una dimensión espacial
ttXpttXpcgttXpx
v
x
vttXpc
tXt
cttXpvttXp
t
c
tXt
pttXp
x
cttXp
t
ctX
t
C
ttXpctXC
ngianación Lagrarepresenta
txcgx
vc
x
cv
t
c
S
S
,,,,,,,,,
,,,,,
,,,,,,
:aLagrangianción representa la de
derivada la para fórmula lay e transportdeecuación la
usandoy ecuación esta tiempoal respectocon derivando
,,,
:esión concentrac la de La
,,
:esecuación la de explícita más forma Una
8. Problemas bien planteados en una dimensión espacial
ttXpttXpcgttXpx
vttXpctX
dt
dCS ,,,,,,,,,,
:a reduce seecuación la
X, fluido de partícula la fija mantenemos si ,conclusiónEn
8. Problemas bien planteados en una dimensión espacial
• Se usó derivada total porque cuando la
partícula de fluido se mantiene fija, la
derivada parcial y la derivada total coinciden.
• Si la función de posición, p(X, t), es conocida
la ecuación obtenida constituye una ecuación
diferencial ordinaria para la concentración a lo
largo de cada trayectoria de partícula de
fluido.
8. Problemas bien planteados en una dimensión espacial
• Como ya se mencionó, la función de posición
p(X,t) de cada partícula necesita ser conocida
para aplicar la ecuación; no obstante,
usualmente este no es el caso, no obstante la
velocidad es en efecto conocida y por
definición de la velocidad de partícula:
nida fijaX es mantepartícula cuando la
ttXpvtXdt
dp,,,,
8. Problemas bien planteados en una dimensión espacial
• Esta ecuación suministra una ecuación diferencialordinaria para p(X,t) de la cual es obtenida.
• En conclusión, el método general de soluciónconsiste en primero resolver esta ecuaciónnuméricamente y, cuando p(X,t) sea disponible,integrar la ecuación para la concentración.
• Actualmente las ecuaciones diferencialesordinarias son fácilmente resueltas usandoesquemas numéricos como el método RungeKutta, aunque procedimientos más simples sonsatisfactorios en muchos casos.
8. Problemas bien planteados en una dimensión espacial
• Como una ilustración de este resultado
general, consideraremos un caso cuando una
solución analítica exacta puede ser obtenida.
Para este fin se asume que ninguna fuente de
solutos está presente, gS(c,x,t) = 0, y que v es
una constante. Entonces la ecuación se reduce
al caso:
0, tXdt
dC
8. Problemas bien planteados en una dimensión espacial
tiempo.del travésaión concentrac devalor
su conserva fluido de partícula cada decir, es ente;exclusivam
fluido, de partícula la de Xposición la defunción una es
,
:obtener para integradaser puede cual La
0,
constante una es con y 0, = :Caso
XC
XCtXC
tXdt
dC
vc,x,tg S
8. Problemas bien planteados en una dimensión espacial
0.en ,
izquierda, fronterasu de travésa
][ intervalo al Entró 2.
o 0;en t
b][a, intervalo elen estaba Ya 1.
:desposibilida dos solohay fluido de partículacualquier para
0; asúmasey ],,0[ t],[ Sea
ón.continuaci a explica se como obtenidaser puede
e transportde ecuaciones las de frontera dey iniciales
valoresde problema delsolución la caso, simple este Para
tax
a,b
vTa,bx
8. Problemas bien planteados en una dimensión espacial
vtxctxc
vtXx
0,
:esión concentrac la Además
0.=en t fluido de partícula la deposición la es X Aquí
:por dada es 0en t
partícula cada deposición la caso,primer elEn
8. Problemas bien planteados en una dimensión espacial
vtaxv
axtctxc
vtaxvtxctxc
T t b x a
v
axtctxc
ttvXx
cuando aplica se,
cuando aplica se ,
:entonces ,0y que y t talesx cualquier Dada
,
:por dada es partícula la deión concentrac La
'
por dado es T, t t'que tal0,> ttiempo
elen partícula la deposición La por t'. denotado será tiempoesey
T, a cero de vacual el b],[a, intervalo al entró cual al tiempoelpor
daidentificaser puede fluido de partícula cada caso, segundo elEn
0
8. Problemas bien planteados en una dimensión espacial
Tttctbcytctac
txcgx
cD
xx
cv
t
cS
0,,,
:sonDirichlet frontera de scondicione Las
iniciales. scondicione mismas las satisface Y
,,
ldiferenciaecuación lapor gobernada es Dirichlet, tipo
frontera de scondicione lasy difusivo es sistema el cuando
físico, problema mismo del modelo El .Comentario
21
8. Problemas bien planteados en varias dimensiones espaciales
Las ideas precedentes pueden ser fácilmente extendidas a modelos
multidimensionales de transporte no difusivo.
La ecuación diferencial parcial de primer orden puede ser escrita como:
S
cv c v c g
t
, ,
Usando la representación Lagrangiana de la concentración del soluto:
, , , , , , , , , ,S
c x t
dCX t g c p X t t p X t t c p X t t v p X t t
dt
8. Problemas bien planteados en varias dimensiones espaciales
3,2,1,,,,
:explícita más forma una ional tridimensmodeloun Para
,,,
:ordinarias lesdiferencia ecuaciones de sistemaun
como dainterpreta es fluido de partícula la de velocidadla
de definición la cuando obtenidaser puedeposición defunción La
ittXpvtXdt
dp
ttXpvtXdt
pd
i
i
8. Problemas bien planteados para modelos de estado estacionario
Cuando la solución buscada es independiente del tiempo,
la ecuación se reduce a:
,
Sin difusión, la concentración tiene que satisfacer la E. D.
0, 0 1
con la condición Dirichl
Scv g c x
dcv para cada x x
dt
et
1 0
la solución del problema es 1 0 1
c en x
c x para x