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LECCIÓN 3
1
TRANSPORTE DE SOLUTOS, FLUJO EN
MEDIOS POROSOS Y MODELACIÓN
DE YACIMIENTOS PETROLEROS
2
A. CONTENIDO DE ESTA
3ª PARTE DEL CURSO
En esta parte del curso se formulan y discuten algunos de los modelos macroscópicos más importantes de Ciencia, Ingeniería, Tecnología e Industria. Estudiaremos: transporte de solutos por fluidos libres y por fluidos en medios porosos; flujo (de fluidos) en medios porosos; y algunos procesos multifásicos de la producción petrolera
3
Tanto en los procesos de transporte de
solutos como en el flujo de fluidos en
medios porosos se considerará una sola fase.
Los procesos de la producción petrolera
involucran sistemas de varias fases; es decir,
ellos son processos multifásicos 4
5
( )( )( )
MODELO MATEMÁTICO BÁSICO
, 1,..., y 1,...,
gt
N M
αξ α αα αψ ψ τ
α ξ α
∂+∇ = ∇ +
∂
= =
v
6
OBTENCIÓN DEL ‘MODELO MATEMÁTICO BÁSICO’
• Se identifica la familia de propiedades extensivas
• También, las propiedades intensivas correspondientes
• Para cada una de ellas, se identifica la fase asociada
• Se aplican las ecuaciones diferenciales de balance correspondientes;
• Esto es suficiente para obtener el ‘modelo matemático básico’ del sistema
B. TRANSPORTE DE SOLUTOS
7
LA PROPIEDAD EXTENSIVA
En los modelos del transporte de solutos que vamos a estudiar la única propiedad extensiva es la masa del soluto. Además, sólo hay una fase; es decir, M=1 y N=1.
8
9
( ) ( )( )
La es la masa del soluto
,
La es la masa del solutopor unidad de volumen del espacio físico
f B t
'propiedad extensiva'
M t x t d x
'propiedad intensiva'
masa del soluto volumen del
ψ
ψ
=
=
∫
espacio físico
ECUACIÓN BÁSICA DEL TRANSPORTE DE SOLUTOS
10
( )
PARA EL TRANSPORTE = 1 Y 1
ASÍ :
Aquí
gt
masa del solutovolumen del espacio físico
masa del soluto volumen del fluidovolumen del fluido vol.esp.físico
ψ ψ τ
ψ
Μ Ν =
∂+∇ = ∇ +
∂
=
=
v
CONCENTRACIÓN DEL SOLUTO
11
( ), concentraciónmasa del soluto c x yvol. fluido
= =
TRANSPORTE DE SOLUTOS
POR UN FLUIDO LIBRE
12
HECHO FUNDAMENTAL
13
( )
( )
Cuando el fluido es libre, el fluido ocupa todoel espacio físico; es decir, el volumen del fluidoes igual al del espacio físico. Así
,
Donde , es la concentr
masa del soluto c x t
volumen del fluidoc x t
ψ = =
ación del soluto.
ECUACIÓN BÁSICA DEL TRANSPORTE UN FLUIDO LIBRE
14
( )
masa de solutovolumen del fluido
Así :
c = concentración
c c gt
ψ
τ
= =
∂+∇ = ∇ +
∂ v
TRANSPORTE DE SOLUTOS
POR UN FLUIDO CONTENIDO
EN UN MEDIO POROSO
15
16
HECHO FUNDAMENTAL
17
( )Cuando el fluido está en un medio poroso, el fluido ocupa todoel espacio físico, sino sólo una fracción , del mismo. Así,
masa del soluto masa del soluto volumen
vol.esp.físico volumen del fluido
nox t
ψ
ε
= = ( ) ( )
( )
, ,
a , se le llama .
del fluidoc x t x t
vol.esp.físico
x t porosidad
ε
ε
=
ECUACIÓN BÁSICA DEL TRANSPORTE CUANDO EL FLUIDO ESTÁ EN UN
MEDIO POROSO
18
( )
masa de solutovol. esp. fis.
masa de soluto vol. fluidovol. fluido volumen del esp. fis.
Así :
c
c c gt
ψ
ε
ε ε τ
= =
=
∂+∇ = ∇ +
∂ v
NOTA
En la discusión anterior se supuso que el volumen del fluido era igual al volumen de los poros. Cuando los poros están llenos de fluido se dice que el medio poroso está saturado. Por lo tanto, el modelo obetnido solo vale cuando el medio poroso está saturado.
19
20
( )
Para la aplicación de los modelos de transportede solutos se supone que la distribución de lavelocidad de la partículas del fluido . esconocida (es decir, es dato)
x t
NOTA
v
21
INTERPRETACIÓN FÍSICA DE Y DE
gτ
22
DIFUSIÓN MOLECULAR
Las partículas de un fluido están en agitación constante efectuando movimineots microscópicos llamados movimientos Brownianos. Debido a ello en cualquier cuerpo (mac
roscópico) entran y salen partículas microscópicas. La masa de soluto que entra y la que sale debido a los movimentos Brownianos no son iguales, lo que motiva un flujo de masa del soluto, que puede ser positivo o negativo. A este fenómeno se le llama La ocurre tanto en fluidos libres como cuando ellos se encuentran en un medio poroso
difusión molecular. difusión molecular
23
DIFUSIÓN MECÁNICA
Los huecos de un medio poroso tienen una distribución aleatoria lo que induce movimientos también aleatorios de los fluidos contenidos en él. Como en el caso de los movimientos Brownianos, tales movimientos provocan también un flujo difusivo. A este fenómeno se le conoce como
, o . La ocurre sólo cuando los fluidos se
e
difusión dispersión mecánica difusiónmecánica ncuentran en un medio poroso y no tiene lugar
cuando ellos están libres.
24
REACCIONES QUÍMICAS Y DECAIMIENTO RADIOACTIVO
Los solutos son sustancias químicas que están disueltas en el fluido que las contiene, el cual en su movimiento las transporta. En este
proceso frecuentemente ocurren diversos fenómenos químicos que alteran su masa y esto ocasiona que 0. Lo mismo sucede en el decaimiento de una sustancia radioactiva
g ≠
25
C.
FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS
OBJETIVO DE LOS MODELOS DEL FLUJO DE FLUIDOS
El propósito general de los modelos de flujo de fluidos es predecir el movimiento del fluido y la evolución de algunas otras propiedades que le son concomitantes, tales como su velocidad y su presión
26
27
FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS
Modelo Matemático Básico
( )
Como ya se dijo, el matemático básico del flujo de un fluido en un medio poroso, consta de una fase y una propiedad extensiva; por lo mismo :
Aquí es la velocidad de las par
gtψ ψ τ∂
+∇ = ∇ +∂
v
v tículas del fluido
HIPÓTESIS
28
( )
La matriz está saturada
La matriz está en reposo
La matriz es elástica
•El fluido es compresible
•No hay difusión 0
•La velocidad satisface la Ley de Darcy
τ
•
•
•
=
FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS PROPIEDAD INTENSIVA
29
Como en el modelo para el flujo de fluidos en medios porososque vamos a presentar se supone que la matriz porosa está (es decir, que el volumen del fluido es igual al de los poros), se tiene :
saturada
masa del fluido volumen de los poros masa del fluidovolumen del espacio volumen del espacio volumen del fluido
volumen de los porosvolumen del
ψ
ψ ερ
ε
= =
=
≡
( )
Donde es la y es la El es
masa del fluido y espacio volumen del fluido
porosidad densidad del fluido
gt
ρ
ε ρ
ερ ερ
≡
∂+∇ =
∂
modelo matemático básico
v
30
INTERPRETACIÓN FÍSICA DE
g
31
( )
CONSERVACIÓN DE MASA
Cuando hay conservación de masa del fluido ,Una de las aplicaciones principales del modelo de flujo como se presenta en este curso, es en el estudio del agu
g x t = 0
a subterránea. Para su aprovechamiento, se perforan pozos y por ellos se extrae el agua subterránea. En la práctica, hay dos formas de modelarlos: individualmente o en forma colectiva. Cuando se les m
( )
odela individualmente, debido a la conservación de masa del agua se toma
, g x t = 0
32
DISTRIBUCIÓN ESPACIAL DEL BOMBEO
En estudios regionales en que el comportamiento de la zona de estudio está influido por la extracción (o inyección, en
algunos casos) de una multitud de pozos, el volumen extraídose distribuye de manera continua en toda el área, o en todo el volumen cuando el modelo es tridimensional, ocupada por los pozos.
LA VELOCIDAD DE DARCY
33
( )
La velocidad de Darcy se define por :
Así :
0
U
Ut
ε
ερρ
≡
∂+∇ =
∂
v
INCOMPRESIBILIDAD COMO HIPÓTESIS ADICIONAL
34
( )
( )
La incompresibilidad del fluido implica
constante
En cuyo caso :
Equivale a :
0
0
t
Ut
ερερ
ε
ρ =
∂+∇ =
∂
∂+∇ =
∂
v
LEY DE DARCY
35
( )
( )
Para medios isotrópicos la Ley de Darcy es :
Para medios anisotrópicos la Ley de Darcy es :
ˆ
ˆ
kU p g z
kU p g z
ρµ
ρµ
= − ∇ + ∇
= − ∇ + ∇
36
D. PROCESOS MULTIFÁSICOS
37
LOS PROCESOS DE LA
PRODUCCIÓN DEL
PETRÓLEO
38
¿CÓMO ES UN YACIMIENTO DE PETRÓLEO?
Está constituido de un material sólido y poroso (la matriz), cuyos huecos están llenos de fluidos que se separan en tres fases: agua, aceite y gas. Inicialmente en la fase agua sólo hay H2O, pero tanto en la fase de aceite como en la fase de gas
hay muchos hidrocarburos de distinta composición. En algunas técnicas EOR ocurren
más de tres fases
39
¿CÓMO SE REALIZA LA EXPLOTACIÓN?
• PRODUCCIÓN PRIMARIA: Se extrae a través de pozos utilizando su presión original
• PRODUCCIÓN SECUNDARIA: Se inyecta agua para desplazar al petróleo
• RECUPERACIÓN MEJORADA: Se inyecta vapor, surfactantes, otros aditivos químicos, calor, y se hace combustión in situ
40
¿QUÉ PROCESOS HAY QUE MODELAR?
• PRODUCCIÓN PRIMARIA: El movimiento de una o dos fases
• PRODUCCIÓN SECUNDARIA: Al caer la presión parte del petróleo pasa a ser gas y se tienen tres fases (agua, aceite y gas)
• TERCIARIA: El movimiento del vapor y los aditivos químicos, los cambios de composición química de las fases. El transporte y difusión del calor. La combustión in situ del petróleo
41
¿QUÉ NOS DA LA MODELACIÓN DE ESTOS PROCESOS?
• Cómo se debe desarrollar y producir el yacimiento para aumentar su rendimiento
• Cual es la estrategia de producción mejorada más adecuada y cómo debe implementarse
• Cuando el comportamiento observado se desvía del esperado, cómo corregirlo
• Cuál será su vida útil y su rendimiento total
42
MODELOS
• De una fase • De dos fases • De petróleo negro • Composicional • Térmicos • Con interacción química • En medios fracturados
43
DESARROLLO DE UN MODELO
• Modelo conceptual • Modelo matemático • Modelo numérico • Modelo computacional • Validación
44
II.3.B
FORMULACIÓN AXIOMÁTICA
DE LOS MODELOS DE LA
RECUPERACIÓN MEJORADA
45
( )( )
, 1,...,
El sistema de "ecuaciones diferenciales" de
balance
g Nt
αξ α αα αψ ψ τ α∂
+∇ = ∇ + =∂
v
46
II.3.C.
MODELO DEL PETRÓLEO NEGRO
(BLACK-OIL MODEL)
47
CARACTERÍSTICAS GENERALES
1. 2.
3.
1. 2. 3. 4.
AguaFASES Aceite
Gas
PROPIEDADES EXTENSIVAS
Masa del agua en la fase aguaMasa del aceite no volátil en la fase aceiteMasa del gas (disuelto) en la fase aceiteMasa
− −−
−−−− del gas en la fase gas
48
MODELO MATEMÁTICO BÁSICO
( )( )( )( )
11 11 1
22 22 2
32 33 3
43 44 4
gt
gt
gt
gt
ψ ψ τ
ψ ψ τ
ψ ψ τ
ψ ψ τ
∂+∇ =∇ + ∂∂ +∇ =∇ + ∂∂ +∇ =∇ +
∂∂ +∇ =∇ + ∂
v
v
v
v
49
FENOMENOLOGÍA
50
FAMILIA DE PROPIEDADES INTENSIVAS
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1
2
2
3
1 1
2 2
3 3
4 4
& 1 1
& 2 2
& 3 2
& 4 3
1
w w w wB t
o Oo o OoB t
o Go o GoB t
g g g gB t
w o g
E t S dx S
E t S dx S
E t S dx S
E t S dx S
S S S
φ ρ ψ φ ρ ξ
φ ρ ψ φ ρ ξ
φ ρ ψ φ ρ ξ
φ ρ ψ φ ρ ξ
= ⇒ ≡ =
= ⇒ ≡ =
= ⇒ ≡ =
= ⇒ ≡ =
+ + =
∫∫∫∫
51
LOS CAMPOS DE FLUJO
0
0
0
0
w
Oo
Go
g
Ninguna de las componentes está sujeta a
difusión :
τ
τ
τ
τ
=
=
= =
52
LAS FUENTES
1
2
3
4
0
weOoe Go g
g GoGo Gog e
g gGo e
g gg g
g gg g g
g g g
=
= + == +
= +
53
EL MODELO DE PETRÓLEO NEGRO
( )( )( )( )
1 y 0
w ww ww w e
o Ooo Ooo Oo e
o Go Goo Goo Go g e
gg g g gg g Go e
Go gw o g g Go
S S gt
S S gt
S S g gt
SS g g
t
S S S g g
φ ρ φ ρφ ρ φ ρφ ρ φ ρφ ρ
φ ρ
∂ +∇ = ∂∂+∇ = ∂∂+ ∇ = +
∂∂ + ∇ = + ∂
+ + = + =
v
v
v
v
54
EL MODELO DE PETRÓLEO NEGRO EN OTRA FORMA
( )( )
( ) ( ){ }
w ww w
w w e
o Ooo Ooo Oo e
g g o Go g og g o Go
g Goe e
S S gt
S S gt
S SS S
t g g
φ ρ φ ρφ ρ φ ρ
φ ρ ρφ ρ ρ
∂ +∇ = ∂∂ + ∇ =
∂
∂ ++∇ +
∂
= +
v
v
v v
55
INCORPORACIÓN DE MÁS
FENOMENOLOGÍA AL MODELO DE
PETRÓLEO NEGRO
56
DENSIDAD DEL GAS DISUELTO Ecuación de Estado
( )
,GsGo s Oo
Os
Razón de masa del gas disuelto :
R p T
ρρ ρρ
=
57
GRÁFICA DE RS
RS
p
58
VELOCIDAD DE LAS FASES
( )
,
,
ll l
ll l l l
l
rl l
rl
Velocidad de Darcy
u S l w,o,g
Ley de Darcy (flujo multifásico) k
u p z
kk k effective permeability l w,ok absolute permeability
k relative permeability
φ
ρ γµ
= =
= − ∇ + ∇
= ≡ =≡ ≡
v
,g
59
EL MODELO DE PETRÓLEO NEGRO FORMA 2
( )
( )
ww www e
Ooo OooOo e
Gsg g o s Oo
Os
g GoGsg og s Oo e e
Os
S u gt
S u gt
S S R
t
u R u g g
φ ρ ρφ ρ ρ
ρφ ρ ρρ
ρρ ρρ
∂ +∇ = ∂∂ +∇ =
∂
∂ +
+∂
∇ + = +
60
LOS FACTORES DE VOLUMEN
( )
( )
( )
, 1
,
,
Gs Oso s
Os o
Gsg o Oo Go
g
Wsw
w
B p T R
B p T
B p T
ρ ρρ ρ
ρ ρ ρ ρρ
ρρ
≡ +
≡ ≡ +≡
61
EL MODELO DE PETRÓLEO NEGRO FORMA 3
wWs Wsww e
w w
OoOs Osoo e
o o
Gs so Gsg o
g o
g GoGs so Gsg o e e
g o
S u gt B B
S u gt B B
RS St B B
Ru u g gB B
φρ ρ
φρ ρ
ρ ρφ
ρ ρ
∂+∇ = ∂ ∂ +∇ = ∂
∂+ + ∂
∇ + = +
