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INGENIERÍA MECATRÓNICA

CUADERNO

UNIDAD I, II Y III

CONTROL DIGITAL

LATACUNGA, JULIO, 2014

2014

Universidad de las Fuerzas

Armadas ESPE Extensión

Latacunga

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UNIDAD I

1.1.Transformada z

El papel de la transformada z en sistemas en tiempo discreto es similar al de la

transformada de Laplace en sistemas en tiempo continuo. (Ogata, 2001, pág. 24)

Al considerar la transformada z de una función del tiempo x (t), sólo se toman en cuenta los

valores muestreados de x (t), esto es, x (0), x (T), x (2T),. . ., donde:

T= El período de muestreo.

La transformada z de una función del tiempo x (t), donde t es positivo, o de la secuencia de

valores x (kT), donde:

k = Adopta valores de cero o de enteros positivos

Y se define mediante la siguiente ecuación:

𝑿(𝒛) = 𝒁[𝒙(𝒕)] = 𝒛[𝒙(𝒌𝑻)] = ∑ 𝒙(𝒌𝑻)𝒛−𝒌∞𝒌=𝟎 Ecuación 1.1

a) Usos más comunes

Obtención de expresiones entrada-salida.

Simplificación de estructuras.

Implementación de estructuras.

Resolución de ecuaciones en diferencias

Puente entre el diseño analógico y digital.

b) Región de convergencia (ROC)

Definimos la Región de Convergencia, también conocida como R.O.C, de una

transformada Z a la región del plano complejo donde la transformada Z converge.

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Tabla 1.1: Transformada Z.

Dominio t (Tiempo) Dominio s (Laplace) Dominio z

𝜹(𝒕) − 𝑰𝒎𝒑𝒖𝒍𝒔𝒐 1 1

𝝁(𝒕) − 𝑬𝒔𝒄𝒂𝒍ó𝒏 1

𝑠

𝑧

𝑧 − 1

𝒕 1

𝑠2

𝑇𝑧

(𝑧 − 1)2

𝟏

𝟐 𝒕𝟐

1

𝑠3

𝑇2𝑧(𝑧 + 1)

2(𝑧 − 1)3

𝒕𝒎−𝟏 𝒎 = 𝟏, 𝟐, … (𝑚 − 1)!

𝑠𝑚

lim𝑏⟶0

[(−1)𝑚−1 𝜕𝑚−1 𝑧

𝑧 − 𝑒−𝑏𝑇

𝜕𝑏𝑚−1]

𝒆−𝒂𝒕 1

𝑠 + 𝑎

𝑧

𝑧 − 𝑒−𝑎𝑇

𝒆−𝒃𝒕 − 𝒆−𝒂𝒕

𝒂 − 𝒃

1

(𝑠 + 𝑎)(𝑠 + 𝑏)

1

𝑎 − 𝑏[

𝑧

𝑧 − 𝑒−𝑏𝑇−

𝑧

𝑧 − 𝑒−𝑎𝑇]

𝟏

𝒂(𝟏 − 𝒆−𝒂𝒕)

1

𝑠(𝑠 + 𝑎)

1

𝑎

(1 − 𝑒−𝑎𝑇)𝑧

(𝑧 − 1)(𝑧 − 𝑒−𝑎𝑇)

𝟏

𝒂(𝒕 −

𝟏 − 𝒆−𝒂𝒕

𝒂)

1

𝑠2(𝑠 + 𝑎)

1

𝑎[

𝑇𝑧

(𝑧 − 1)2−

(1 − 𝑒−𝑎𝑇)𝑧

𝑎(𝑧 − 1)(𝑧 − 𝑒−𝑎𝑇)]

𝒕𝒆−𝒂𝒕 1

(𝑠 + 𝑎)2

𝑇𝑧𝑒−𝑎𝑇

(𝑧 − 𝑒−𝑎𝑇)2

𝐬𝐢𝐧(𝒂𝒕) 𝑎

𝑠2 + 𝑎2

zsin(𝑎𝑇)

𝑧2 − 2𝑧(cos (𝑎𝑇)) + 1

1.1.1. Sistemas sin memoria (estáticos o instantáneos) y sistemas con memoria

(dinámicos)

Un sistema no tiene memoria (sistema estático) si su salida y[n] actual depende solo de la

entrada x[n] actual, y no de ninguno de los valores pasados o futuros de la entrada. Un sistema

estático no posee memoria.

Ejemplos:

𝑦(𝑛) = 5𝑥(𝑛)

𝑦(𝑛) = 𝑛𝑥[𝑛] − 10𝑥[𝑛2]

En caso contrario, el sistema es un sistema con memoria (sistema dinámico) si su salida y[n]

actual depende de valores pasados o futuros de la entrada.

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Ejemplo:

𝒚(𝒏) = 𝒙(𝒏) + 𝟑𝒙(𝒏 − 𝟏) (Memoria finita)

𝒚(𝒏) = 𝒙(𝒏 + 𝟓) (Memoria finita)

𝒚(𝒏) = ∑ 𝒙[𝒏 − 𝒌]∞𝒌=𝟎 (Memoria infinita)

1.1.2. Sistemas invariantes en el tiempo y sistemas variantes en el tiempo

Un sistema con entrada x[n] y salida y[n] es invariante en el tiempo si al alimentar el sistema

con la misma entrada pero desplazada en el tiempo por k unidades, x [n - k], se obtiene la

salida y [n - k], es decir, la salida también resulta desplazada en el tiempo por esas mismas k

unidades. El desplazamiento k puede ser un valor entero positivo (retardo) o negativo

(adelanto). Esto es, un sistema es Invariante en el tiempo si el sistema

𝒙[𝒏]𝑻→ 𝒚[𝒏] 𝒐 𝒚[𝒏] = 𝑻{𝒙[𝒏]} Ecuación 1.2

Implica que para cualquier desplazamiento de la entrada de k unidades en el tiempo se obtiene

𝒙[𝒏 − 𝒌]𝑻→ 𝒚[𝒏 − 𝒌] 𝒐 𝒚[𝒏 − 𝒌] = 𝑻{𝒙[𝒏 − 𝒌]} Ecuación 1.3

En general, si la salida del sistema con una entrada desplazada en el tiempo se define como

𝒚[𝒏, 𝒌] = 𝑻{𝒙[𝒏 − 𝒌]} Ecuación 1.4

Y

𝒚[𝒏, 𝒌] = 𝒚[𝒏 − 𝒌] Ecuación 1.5

Entonces el sistema es invariante en el tiempo. Si no se cumple esta condición de

invariabilidad en el tiempo, el sistema es variante con el tiempo.

Esto puede interpretarse de la siguiente manera: un sistema es invariante en el tiempo si al

ser utilizado en cualquier momento, bajo las mismas condiciones iniciales, nos proporciona

la misma salida; es decir, las condiciones de operación o funcionamiento del sistema no se

altera con el tiempo. Un sistema variante en el tiempo no produce los mismos resultados

(salidas) al ser utilizado en distintos momentos, ya que sus características internas varían con

el tiempo.

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Ejemplo:

a. Si un sistema de tiempo discreto está descrito por 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) + 5𝑥(𝑛 − 2)], y se aplica

una señal de entrada 𝑥(𝑛 − 𝑘), versión desplazada de la entrada 𝑥(𝑛), tenemos 𝑦(𝑛, 𝑘) =

𝑥(𝑛 − 𝑘) + 5𝑥(𝑛 − 𝑘 − 2) = 𝑦(𝑛 − 𝑘), por lo tanto, el sistema es invariante en el tiempo.

b. Si 𝑦(𝑛) = 𝑛𝑥(𝑛) tenemos que

𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑛𝑥[𝑛 − 𝑘], pero 𝑦(𝑛 − 𝑘) = (𝑛 − 𝑘)𝑥[𝑛 − 𝑘].Entonces, ya que 𝑦(𝑛, 𝑘) ≠

𝑦(𝑛 − 𝑘), el sistema es variante en el tiempo.

1.1.3. Sistemas lineales y no lineales

Fig. 1.1: Sistema lineal.

Un sistema lineal es aquel que satisface el principio de superposición y sistema no lineal no

cumple con el principio de superposición.

1.1.4. Principio de superposición

La respuesta del sistema a una suma ponderada de señales sea igual a la correspondiente

suma ponderada de las respuestas (salida) del sistema a cada una de las señales individuales

de entrada.

𝑻[𝒂𝟏𝒙𝟏(𝒏) + 𝒂𝟐𝒙𝟐(𝒏)] = 𝒂𝟏𝑻[𝒙𝟏(𝒏)] + 𝒂𝟐𝑻[𝒙𝟐(𝒏)] Ecuación 1.6

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Fig. 1.2: Teorema de superposición.

Primera parte

Propiedad multiplicativa o de escalonado

a2=0

𝑻[𝒂𝟏𝒙𝟏(𝒏)] = 𝒂𝟏𝑻[𝒙𝟏(𝒏)] = 𝒂𝟏𝒚𝟏(𝒏) Ecuación 1.7

𝒚𝟏(𝒏) = 𝑻[𝒙𝟏(𝒏)] Ecuación 1.8

Segunda parte

Propiedad aditiva

a1=a2=1

𝑻[𝒙𝟏(𝒏) + 𝒙𝟐(𝒏)] = 𝑻[𝒙𝟏(𝒏)] + 𝑻[𝒙𝟏(𝒏)] Ecuación 1.9

𝑻[𝒙𝟏(𝒏) + 𝒙𝟐(𝒏)] = 𝒚𝟏(𝒏) + 𝒚𝟐(𝒏) Ecuación 1.10

𝒙(𝒏) = ∑ 𝒂𝒌𝑴−𝟏𝒌 𝒙𝒌(𝒏) 𝑻 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝒚(𝒏) = ∑ 𝒂𝒌

𝑴−𝟏𝒌=𝟏 𝒚𝒌(𝒏) Ecuación 1.11

Ejercicios:

𝑦(𝑛) = 𝑛𝑥(𝑛)

Para dos secuencias de entrada x1(n) y x2(n) las salidas son:

𝑦1(𝑛) = 𝑛𝑥1(𝑛)

𝑦2(𝑛) = 𝑛𝑥2(𝑛)

Una combinación lineal de las dos secuencias de entrada da una salida

𝑦3(𝑛) = [𝑎1𝑥1(𝑛) + 𝑎2𝑥2(𝑛)] = 𝑎1𝑛𝑥1(𝑛) + 𝑎2𝑛𝑥2(𝑛)

Por otro lado, una combinación lineal de las dos salidas dadas genera la siguiente salida

[𝑎1𝑥1(𝑛) + 𝑎2𝑥2(𝑛)] = 𝑎1𝑛𝑥1(𝑛) + 𝑎2𝑛𝑥2(𝑛)

Puesto que las dos combinaciones son idénticas, el sistema es lineal.

𝑦(𝑛) = 𝑥2(𝑛)

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Para dos secuencias de entrada x1(n) y x2(n) las salidas son:

𝑦1(𝑛) = 𝑥12(𝑛)

𝑦2(𝑛) = 𝑛𝑥22(𝑛)

Una combinación lineal de las dos secuencias de entrada da una salida

𝑦3(𝑛) = [𝑎1𝑥1(𝑛) + 𝑎2𝑥2(𝑛)] = [𝑎1𝑥1(𝑛) + 𝑎2𝑥2(𝑛)]2

= 𝑎12𝑥12(𝑛) + 2𝑎1𝑎2𝑥1(𝑛)𝑥2(𝑛) + 𝑎22𝑥22(𝑛)

Por otro lado, una combinación lineal de las dos salidas dadas genera la siguiente salida

𝑎1𝑦1(𝑛) + 𝑎2𝑦2(𝑛) = 𝑎1𝑥12(𝑛) + 𝑎2𝑥22(𝑛)

Puesto que las dos combinaciones no son iguales, el sistema es no lineal.

1.1.5. Causal y No-causal

Un sistema causal es aquel que es no-anticipativo; esto es, que las salidas dependen de

entradas presentes y pasadas, pero no de entradas futuras. Todos los sistemas en “tiempo

real” deben ser causales, ya que no pueden tener salidas futuras disponibles para ellos.

(Proakis & Manolakis, 2006, pág. 86)

Uno puede pensar que la idea de salidas futuras no tiene mucho sentido físico; sin embargo,

hasta ahora nos hemos estado ocupando solamente del tiempo como nuestra variable

dependiente, el cual no siempre es el caso. Imaginémonos que quisiéramos hacer

procesamiento de señales; Entonces la variable dependiente representada por los píxeles de

la derecha y de la izquierda (el “futuro”) de la posición actual de la imagen. Entonces

tendríamos un sistema no-causal.

Tabla 1.2: Sistemas causal y no causal.

Un sistema es causal –también denominado “físicamente realizable” cuando la salida en un

instante de tiempo 𝑡0depende ÚNICAMENTE de valores de la entrada en 𝑡 ≤ 𝑡0

Y (t) H f (t)

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Para que un sistema típico sea CAUSA

La salida en tiempo t0, puede solamente

depender de la porción de la señal de

entrada antes t0.

1.1.6. Sistemas estables e inestables

Estabilidad

Un sistema es estable si y sólo si cualquier entrada acotada produce una salida acotada.

Para un sistema lineal invariante en el tiempo se puede obtener una condición de la

respuesta al impulso que garantiza la estabilidad. Para derivar esta condición,

consideraremos la fórmula de la convolución. (Proakis & Manolakis, 2006, pág. 88)

Sistema LTI estable equivale a decir h(n) absolutamente sumable, y por tanto en puntos

de la circunferencia unidad.

|𝑯(𝒛)|𝒛|=𝟏| = |∑ 𝒉(𝒏)(𝒛−𝒏)|𝒛|=𝟏∞𝒏=∞ | ≤ ∑ |𝒉(𝒏)||(𝒛−𝒏)|𝒛|=𝟏| = ∑ |𝒉(𝒏)| < ∞+∞

𝒏=−∞+∞𝒏=−∞

Ecuación 1.12

Es decir: La ROC de 𝐻(𝑧) incluye la circunferencia unidad

En un sistema LTI causal, estable equivale a decir:

Todos los polos están en el interior de la circunferencia unidad

Fig. 1.3: La ROC en diferentes sistemas.

1.2.Transformada z inversa

La transformada z inversa de X(z), denotada [X(z)], da como resultado la secuencia de

tiempo, x(k), en los instantes de muestreo t = 0, T, 2T, … Como métodos para obtener la

transformada z inversa se tienen los siguientes:

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1.2.1. Método de integración compleja

𝒙(𝒏) =𝟏

𝟐𝝅𝒋∮ 𝑿(𝒛)𝒛𝒏−𝟏.

𝒄𝒅𝒛 Ecuación 1.13

Fig. 1.4: Representación gráfica de la ROC. (Proakis & Manolakis, 2006, pág. 184)

1.2.2. Teorema del residuo de Cauchy

Sea f (z) una función de variable compleja z y C un contorno cerrado en el plazo z. Si la

derivada de df (z)/dz existe dentro y sobre el contorno C, y si f (z) no tiene polos en z=z0,

entonces:

𝟏

𝟐𝝅𝒋∮

𝒇(𝒛)

𝒛−𝒛𝟎

.

𝒄𝒅𝒛 = {

𝒇(𝒛𝟎) 𝑺𝒊 𝒛𝟎 𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝑪

𝟎 𝑺𝒊 𝒛𝟎𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒇𝒖𝒆𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝑪} Ecuación 1.14

𝟏

𝟐𝝅𝒋∮

𝒇(𝒛)

(𝒛−𝒛𝟎)𝒌

.

𝒄𝒅𝒛 = {

𝟏

(𝒌−𝟏)!

𝒅𝒌−𝟏𝒇(𝒛)

𝒅𝒛𝒌−𝟏 𝑺𝒊 𝒛𝟎 𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝑪

𝟎 𝑺𝒊 𝒛𝟎𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒇𝒖𝒆𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝑪} Ecuación 1.15

1.2.3. Transformada z para la solución de ecuaciones en diferencia

La utilidad del método de la transformada z es que permite obtener la expresión en forma

cerrada para x (k). (Ogata, 2001, pág. 52)

Considere un sistema en el tiempo discreto, lineal e invariante en el tiempo caracterizado

por la siguiente ecuación en diferencias en la ecuación (1.15).

𝒙(𝒌) + 𝒂𝟏𝒙(𝒌 − 𝟏) + ⋯ .+𝒂𝒏𝒙(𝒌 − 𝒏) Ecuación 1.16

= 𝑏0𝑢(𝑘) + 𝑏1𝑢(𝑘 − 1) + ⋯ .+𝑏𝑛𝑢(𝑘 − 𝑛)

Donde u (k) y x (k) son la entrada y salida del sistema, en la k- esima iteración.

Se toma la transformada z de cada uno de los términos en la ecuación.

Se define que

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𝑍[𝑥(𝑘)] = 𝑋(𝑧)

Entonces

𝑥(𝑘 + 1), 𝑥(𝑘 + 2), 𝑥(𝑘 + 3),… . 𝑦𝑥(𝑘 − 1), 𝑥(𝑘 − 2), 𝑥(𝑘 − 3),… ..

Se puede expresar en términos de X (z) y de las condiciones iniciales.

Tabla 1.3: Transformada z de x (k+m) y x (k-m)

Función Discreta Transformada Z

x(k+4) 𝑧4𝑋(𝑧) − 𝑧4𝑥(0) − 𝑧3𝑥(1) − 𝑧2𝑥(2) − 𝑧𝑥(3)

x(k+3) 𝑧3𝑋(𝑧) − 𝑧3𝑥(0) − 𝑧2𝑥(1) − 𝑧𝑥(2)

x(k+2) 𝑧2𝑋(𝑧) − 𝑧2𝑥(0) − 𝑧𝑥(1)

x(k+1) 𝑧𝑋(𝑧) − 𝑧𝑥(0)

x(k) 𝑋(𝑧)

x(k-1) 𝑧−1𝑋(𝑧)

x(k-2) 𝑧−2𝑋(𝑧)

x(k-3) 𝑧−3𝑋(𝑧)

x(k-4) 𝑧−4𝑋(𝑧)

Ejemplo:

Resuelva la siguiente ecuación en diferencias empleando la transformada z aplicando la

tabla 1.3.

𝑥(𝑘 + 2) + 3𝑥(𝑘 + 1) + 2𝑥(𝑘) = 0, 𝑥(0) = 0, 𝑥(1) = 1

Aplicando la transformada tenemos:

𝑍[𝑥(𝑘 + 2)] = 𝑧2𝑋(𝑧) − 𝑧2𝑥(0) − 𝑧𝑥(1)

𝑍[𝑥(𝑘 + 1)] =. 𝑧𝑋(𝑧) − 𝑧𝑥(0)

𝑍[𝑥(𝑘)] = 𝑋(𝑧)

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Al tomar la transformada z de ambos miembros:

𝑧2𝑋(𝑧) − 𝑧2𝑥(0) − 𝑧𝑥(1) + 3𝑧𝑋(𝑧) − 3𝑧𝑥(0) + 2𝑋(𝑧) = 0

Al asumir las condiciones iniciales tenemos:

𝑋(𝑧) =𝑧

𝑧2 + 3𝑧 + 2=

𝑧

(𝑧 + 1)(𝑧 + 2)=

𝑧

𝑧 + 1−

𝑧

𝑧 + 2

=1

1 + 𝑧−1−

1

1 + 2𝑧−1

Por ultimo aplicamos la transformada inversa y tenemos lo siguiente:

𝑍−1 [1

1 + 𝑧−1] = (−1)𝑘, 𝑍−1 [

1

1 + 2𝑧−1] = (−2)𝑘

𝑥(𝑘) = (−1)𝑘 − (−2)𝑘, 𝑘 = 0,1,2, …….

1.3.Estabilidad

1.3.1. Estabilidad de sistemas muestreados

Para analizar la estabilidad de un sistema muestreado, se desea saber dónde deben estar las

raíces de la ecuación característica (1 + 𝐺𝐻(𝑧)) para que el sistema tenga una respuesta

transitoria que se extinga en el tiempo. Para ello se calcula la respuesta del sistema en lazo

cerrado. (Proakis & Manolakis, 2006, pág. 210)

𝒚(𝒛) =𝑮(𝒛)

𝟏+𝑮𝑯(𝒛)𝑹(𝒛) =

𝑲∏ (𝒛−𝒛𝒊)𝒎𝒊=𝟏

∏ (𝒛−𝒑𝒊)𝒏𝒊=𝟏

𝑹(𝒛) Ecuación 1.17

Que mediante el desarrollo en fracciones parciales puede llevarse a la forma:

𝒀𝒛 =𝒌𝟏𝒛

𝒛−𝒑𝟏+ ⋯+

𝒌𝒏𝒛

𝒛−𝒑𝒏+ 𝒀𝑹(𝒛) Ecuación 1.18

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Fig. 1.5: Sistema de control de tiempo discreto

1.3.2. Efectos de los retardos

Los retardos existen en numerosas aplicaciones de control automático. En sistemas lineales

continuos invariantes en el tiempo, el retardo viene representado por 𝑒−𝑇•𝑠. Los sistemas con

retardo pueden ser analizados convenientemente en el dominio de la frecuencia. Nótese que

𝑒−𝑇•𝑠 = 1| − 𝑤𝑡. Por tanto los retardos dejan la magnitud invariable y afectan al desfase,

tendiendo a inestabilizar al sistema controlado. Para propósitos de simulación, si se utiliza el

comando bode, todo lo que habrá que hacer es restar la fase del retardo a la de la función de

transferencia. (Proakis & Manolakis, 2006, pág. 214)

1.3.3. Métodos para probar la estabilidad absoluta

Se pueden aplicar tres pruebas de estabilidad directamente a la ecuación característica

𝑃(𝑧) = 0, sintener que resolver las raíces. Dos de ellas son la prueba de estabilidad de Schur-

Cohn y la prueba de estabilidad de Jury. Estas dos pruebas revelan

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Fig. 1.6: Sistemas de control en lazo cerrado

La existencia de cualquier raíz inestable (raíces que en el plano 2 se presentan fuera del

círculo unitario). Sin embargo, estas pruebas no dan las localizaciones de las raíces

inestables, ni indican los efectos de cambios en los parámetros sobre la estabilidad del

sistema, excepto en el caso sencillo de sistemas de bajo orden. El tercer método está basado

en la transformación bilineal conjuntamente con el criterio de estabilidad Routh.

Tanto la prueba de estabilidad de Schur-Cohn como la prueba de estabilidad de Jury pueden

aplicarse a ecuaciones polinómicas con coeficientes reales o complejos. Los cálculos

requeridos en la prueba de Jury, cuando la ecuación polinómicas implica únicamente

coeficientes reales, son mucho más sencillos que los requeridos en la prueba de Schur-Cohn.

En vista de que los coeficientes de las ecuaciones características correspondientes a sistemas

físicamente realizables son siempre reales, es preferible la prueba de Jury sobre la prueba de

Schur-Cohn. (Proakis & Manolakis, 2006, pág. 218)

1.3.4. Unos cuantos comentarios sobre la estabilidad de sistemas de control en lazo

cerrado

a. Si estamos interesados en el efecto de algún parámetro de sistema sobre la estabilidad

de un sistema de control en lazo cerrado, podría resultar útil un diagrama del lugar

geométrico de las raíces. Puede usarse MATLAB para calcular y graficar un diagrama

de lugar geométrico de las raíces.

b. Debe notarse que, en la prueba de la estabilidad de una ecuación característica, pudiera

resultar más simple, en algunos casos, determinar directamente las raíces de la ecuación

característica mediante el uso de MATLAB.

c. Es importante observar que la estabilidad no tiene nada que ver con la habilidad de un

sistema para seguir una entrada especifica. La señal de error en un sistema de control

de lazo cerrado puede aumentar sin límite, aun si el sistema es estable.

1.3.5. Criterio de Jury

Es un método análogo al del Criterio de Routh-Hurwitz. Se trata de construir un arreglo (el

Arreglo de Jury) y analizarlo. Dado un polinomio p (z)

𝒑(𝒛) = 𝒂𝒏𝒛𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒛

𝒏−𝟏 + ⋯+ 𝒂𝟐𝒛𝟐 + 𝒂𝟏𝒛

𝟏 + 𝒂𝟎 Ecuación 1.19

En donde los coeficientes a son reales y an es positivo, es posible construir el Arreglo de

Jury de p (z) a partir de los coeficientes ai.

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Tabla 1.4: Arreglo de Jury.

Fila 𝒛𝟎 𝒛𝟏 𝒛𝟐 … 𝒛𝒏−𝒌 … 𝒛𝒏−𝟐 𝒛𝒏−𝟏 𝒛𝒏

𝟏 𝟐

𝟑

𝟒

𝟓

𝟔

⋮ 𝟐𝒏 − 𝟓

𝟐𝒏 − 𝟒

𝟐𝒏 − 𝟑

𝑎0 𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛−𝑘 … 𝑎𝑛−2 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛

𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−2 … 𝑎𝑘 … 𝑎2 𝑎1 𝑎0 𝑏0 𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑛−𝑘 … 𝑏𝑛−2 𝑏𝑛−1

𝑏𝑛−1 𝑏𝑛−2 𝑏𝑛−3 … 𝑏𝑘−1 … 𝑏1 𝑏0 𝑐0 𝑐1 𝑐2 … 𝑐𝑛−𝑘 … 𝑐𝑛−2

𝑐𝑛−2 𝑐𝑛−3 𝑐𝑛−4 … 𝑐𝑘−2 … 𝑐0 ⋮ ⋮ ⋮ … 𝑝0 𝑝1 𝑝2 𝑝3 𝑝3 𝑝2 𝑝1 𝑝 0

𝑞0 𝑞1 𝑞2

1.3.5.1. Arreglo de Jury

Cada línea par contiene los mismos coeficientes que la línea inmediatamente anterior pero

en el orden inverso.

Los elementos de las líneas impares se construyen así:

𝑏𝑘 = |𝑎0 𝑎𝑛−𝑘

𝑎𝑛 𝑎𝑘| 𝑐𝑘 = |

𝑏0 𝑏𝑛−𝑘

𝑏𝑛 𝑏𝑘|

𝑑𝑘 = |𝑐0 𝑐𝑛−𝑘

𝑐𝑛 𝑐𝑘| ….

1.3.5. 2. Arreglo de Jury

Es decir, el primer elemento de una fila impar se calcula como el determínate de la matriz

construida tomando de las dos líneas inmediatamente anteriores la primera y la última

columna; el segundo elemento de forma similar pero con la primera y las penúltimas

columnas; el tercero con la primera y la antepenúltima.

Dado que el último elemento sería el determinante de la matriz formada con dos columnas

iguales (la primera dos veces), este valor será siempre cero, y por tanto no se escribe en el

arreglo (se ha eliminado).

Ejemplo:

𝒑(𝒛) = 𝟏 + 𝟐𝒛 + 𝟑𝒛𝟐 + 𝟒𝒛𝟑 + 𝟓𝒛𝟒

Fila 𝒛𝟎 𝒛𝟏 𝒛𝟐 𝒛𝟑 𝒛𝟒

𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓

𝟐 𝟓 𝟒 𝟑 𝟐 𝟏

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𝟑 𝒃𝟎 𝒃𝟏 𝒃𝟐 𝒃𝟑

𝟒 𝒃𝟑 𝒃𝟐 𝒃𝟏 𝒃𝟎

𝟓 𝒄𝟎 𝒄𝟏 𝒄𝟐

𝒃𝟎 = | 𝟏 𝟓𝟓 𝟏

| = −𝟐𝟒

𝒃𝟏 = | 𝟏 𝟒𝟓 𝟐

| = −𝟏𝟖

𝒃𝟐 = | 𝟏 𝟑𝟓 𝟑

| = −𝟏𝟐

𝒃𝟑 = | 𝟏 𝟐𝟓 𝟒

| = −𝟔

𝒑(𝒛) = 𝟏 + 𝟐𝒛 + 𝟑𝒛𝟐 + 𝟒𝒛𝟑 + 𝟓𝒛𝟒

Fila 𝒛𝟎 𝒛𝟏 𝒛𝟐 𝒛𝟑 𝒛𝟒

𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟐 𝟓 𝟒 𝟑 𝟐 𝟏

𝟑 −𝟐𝟒 − 𝟏𝟖 − 𝟏𝟐 − 𝟔

𝟒 −𝟔 − 𝟏𝟐 − 𝟏𝟖 − 𝟐𝟒

𝟓 𝒄𝟎 𝒄𝟏 𝒄𝟐

𝒄𝟎 = | −𝟐𝟒 −𝟔−𝟔 −𝟐𝟒

| = 𝟓𝟎𝟒

𝒄𝟏 = | −𝟐𝟒 −𝟏𝟐−𝟔 −𝟏𝟖

| = 𝟑𝟔𝟎

𝒄𝟐 = | −𝟐𝟒 −𝟏𝟖−𝟔 −𝟏𝟐

| = 𝟏𝟖𝟎

𝒑(𝒛) = 𝟏 + 𝟐𝒛 + 𝟑𝒛𝟐 + 𝟒𝒛𝟑 + 𝟓𝒛𝟒

Fila 𝒛𝟎 𝒛𝟏 𝒛𝟐 𝒛𝟑 𝒛𝟒

𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓

𝟐 𝟓 𝟒 𝟑 𝟐 𝟏

𝟑 −𝟐𝟒 − 𝟏𝟖 − 𝟏𝟐 − 𝟔 𝟒 −𝟔 − 𝟏𝟐 − 𝟏𝟖 − 𝟐𝟒

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𝟓 𝟓𝟎𝟒 𝟑𝟔𝟎 𝟏𝟖𝟎

Las condiciones necesarias y suficientes para que p (z) tenga todas sus raíces en el interior

del círculo unitario del plano z son:

𝑝(1) > 0

𝑝(−1) {> 0 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟

< 0 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

𝑛 − 1 Restricciones {

|𝑎0| < 𝑎𝑛

|𝑏0| > |𝑏𝑛−1|

|𝑐0| > |𝑐𝑛−1|

Ejemplo:

𝑝(𝑧) = 1 + 2𝑧 + 3𝑧2 + 4𝑧3 + 5𝑧4

𝑝(1) = 1 + 2(1)1 + 3(1)2 + 4(1)3 + 5(1)4 = 15 > 0

𝑝(−1) = 1 + 2(−1)1 + 3(−1)2 + 4(−1)3 + 5(−1)4 = 3 > 0

1 = |𝑎0| < 𝑎4 = 5

24 = |𝑏0| > |𝑏3| = 6

504 = |𝑐0| > |𝑐2| = 180

Por lo que p (z) tiene todas su raíces en el interior del círculo unitario. Efectivamente, las

raíces de p (z) son:

𝑟1,2 = 0,1378 ± 𝑖 0,6782 𝑟3,4 = −0,5378 ± 𝑖 0,3583

1.3.6. Criterios de estabilidad de Routh – Hurwitz

Análisis de estabilidad mediante la transformación bilineal y el criterio de estabilidad

de Routh – Hurwitz.

Muy utilizado en sistemas de control en tiempo discreto. Este método requiere la

transformación del plano z a otro plano complejo, el plano w. La transformación bilineal

definida por. (Ogata, 2001, pág. 305)

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𝒛 =𝒘+𝟏

𝒘−𝟏 Ecuación 1.20

Fig. 1.7: Transformada del plano z al plano w.

Entonces, el interior del circulo unitario (|𝑧| < 1) en el plano z corresponde al semiplano

izquierdo del plano w. El círculo unitario en el plano z corresponde al eje imaginario en el

plano w, y la parte externa del círculo unitario en el plano z corresponde al semiplano derecho

de w.

Sustituimos:

𝑷(𝒛) = 𝒂𝟎𝒛𝒏 + 𝒂𝟏𝒛

𝒏−𝟏 + ⋯+ 𝒂𝒏−𝟏𝒛 + 𝒂𝒏 Ecuación 1.21

Como sigue:

𝒂𝟎 (𝒘+𝟏

𝒘−𝟏)𝒏

+ 𝒂𝟏 (𝒘+𝟏

𝒘−𝟏)𝒏−𝟏

+ ⋯+ 𝒂𝒏−𝟏𝒘+𝟏

𝒘−𝟏+ 𝒂𝒏 = 𝟎 Ecuación 1.22

Entonces, si simplificamos las fracciones multiplicando ambos miembros de esta última

ecuación por (w-1) ^n, obtenemos:

𝑸(𝒘) = 𝒃𝟎𝒘𝒏 + 𝒃𝟏𝒘

𝒏−𝟏 + ⋯+ 𝒃𝒏−𝟏𝒘 + 𝒃𝒏 = 𝟎 Ecuación 1.23

Una vez que transformemos P (z)=0 en Q (w)=0, es posible aplicar el criterio de estabilidad

de Routh de la misma forma que en los sistemas de tiempo continuo.

1.3.7. Criterio de Root-locus

El root-locus y el root-locus complementario muestran cómo varía la ubicación de los polos

de un sistema realimentado al variar K. Pueden emplearse estos diagramas en forma análoga

a como se emplean en el caso continuo para determinar la estabilidad de un sistema discreto:

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deben encontrarse las condiciones para que todas las ramas del root-locus y el root-locus

complementario estén en el interior del círculo unitario.

1.3.8. Diagramas de bode

El análisis de estabilidad de sistemas de tiempo discreto puede realizarse, como en sistemas

analógicos, en base al margen de fase MF y al margen de ganancia MG definidos a partir de

la respuesta en frecuencia del sistema de lazo abierto. En sistemas de tiempo continuo la

respuesta en frecuencia puede ser obtenida en forma aproximada a través de los diagramas

de Bode. En efecto, basándose en el hecho de que la respuesta en frecuencia de un sistema

continuo se obtiene al evaluar la función de transferencia en s = jw, pueden obtenerse, a

través de propiedades geométricas, aproximaciones por líneas rectas de la respuesta en

frecuencia.

En el dominio z, la respuesta en frecuencia se obtiene a partir de evaluar la función de

transferencia en 𝑧 = 𝑒𝑗𝑤, es decir sobre puntos de la circunferencia unitaria. Evidentemente,

la evaluación aproximada de Bode, por líneas rectas, no es aplicable. Sin embargo, si se

emplea la transformación bilineal para pasar del plano z al plano w, las aproximaciones de

Bode por líneas rectas pueden ser utilizadas para analizar el comportamiento en frecuencia

de sistemas muestreados.

Está formado por dos gráficas:

Magnitud |𝑮(𝒆𝒋𝒘)|𝒅𝑩

𝒗𝒔. 𝒘 Ecuación 1.24

Fase < 𝑮(𝒆𝒋𝒘)𝟎 𝐯𝐬. 𝐖 Ecuación 1.25

1.3.8.1 Margen de fase

Es la cantidad de retardo de fase adicional en la frecuencia de la ganancia de cruce que se

requiere para llevar el sistema a la frontera de la inestabilidad (fase)

La frecuencia de Ganancia de cruce es la frecuencia en la cual la magnitud es 0 dB.

1.3.8.2 Margen de ganancia

Es el recíproco de la magnitud en la frecuencia de cruce de la fase esta frecuencia es donde

el ángulo de fase é = -180°. Entonces:

𝑲𝒈 =𝟏

|𝑮(𝒆𝒋𝒘)| Ecuación 1.26

𝐾𝑔[𝑑𝐵] = 20𝑙𝑜𝑔𝐾𝑔 = −20𝑙𝑜𝑔|𝐺(𝑒𝑗𝑤)|

19

𝐾𝑔[𝑑𝐵] > 0 ⇒ 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 ⇒ 𝐾𝑔 > 1

1.3.8.3 Criterio de estabilidad de bode ejemplo

Fig. 1.8: Un sistema es estable cuando el margen de fase y de ganancia es positivos.

Fig. 1.9: Un sistema es inestable cuando el margen de fase y de ganancia es negativos.

20

1.3.8.4 Ventaja del diagrama de bode

La principal ventaja al usar Bode es que se puede analizar cada elemento de una función de

transferencia por separado y el efecto total del sistema, se obtiene simplemente sumando las

magnitudes y ángulos de fase de todos ellos.

Fig. 1.10: Representación de magnitudes y ángulos de fase.

1.3.8.5 Ejercicios de diagramas de bode

Dibuje las gráficas de Bode para la característica de magnitud y fase de las siguientes

funciones de transferencia:

Ejercicio 1:

Ejemplo utilizando el software Matlab:

num = [0 1 0.7];

den = [1 1 0.21];

T = .1;

sistema = tf(num, den)

sistema =

s + 0.7

− − − − − − − − − − − − − −

21

s^2 + s + 0.21

Continuous − time transfer function.

bode(sistema)

sistema_d = c2d(sistema, T , ′zoh′);

bode(sistemad);

hold on

grid on

Fig. 1.11: Diagrama de bode mediante el software matlab.

Ejercicio 2:

𝑑 = [0 10000 20000];

𝑑1 = [1 110 1000];

𝑏𝑜𝑑𝑒(𝑑, 𝑑1)

ℎ𝑜𝑙𝑑 𝑜𝑛

𝑔𝑟𝑖𝑑

𝑏𝑜𝑑𝑒(𝑑, 𝑑1, ′ ∗ 𝑟′)

22

Fig. 1.12: Diagrama de bode mediante el software matlab.

Ejercicio 3:

d = [10];

d1 = [1 12 20];

bode(d, d1)

hold on

bode(d, d1, ′ ∗ g′)

grid on

Fig. 1.13: Diagrama de bode en matlab.

1.3.9. Criterio de estabilidad de Nyquist

Como en los casos del criterio de Routh–Hurwitz y de los diagramas de Bode, el criterio de

estabilidad de Nyquist, desarrollado para sistemas continuos, puede aplicarse directamente a

sistemas discretos mediante el empleo de la transformada bilineal.

Sin embargo el criterio de estabilidad de Nyquist puede ser desarrollado a partir de la función

de transferencia del sistema muestreado en el plano z. Como en el caso de tiempo continuo,

23

desarrollo del criterio se basa en la aplicación del Principio de Cauchy, pero, en el caso

discreto, en lugar de rodear todo el semiplano izquierdo s, el camino de Nyquist para analizar

la estabilidad en el plano z es el círculo unitario rodeado en sentido antihorario.

La función característica del sistema muestreado 𝐹(𝑧) puede ser factorizada como:

𝑭𝒛 = 𝟏 + 𝑮𝑯(𝒛) =𝑲∏ (𝒛−𝒛𝒊)

𝒎𝒊=𝟏

∏ (𝒛−𝒑𝒊)𝒏𝒊=𝟏

Ecuación 1.27

Al recorrer el círculo unitario del plano z en sentido antihorario, el criterio de Nyquist

establece que:

𝑵 = 𝒁 − 𝑷 Ecuación 1.28

Dónde:

N representa el número de giros en sentido horario de la función F(z) alrededor del punto –

1.

Z el número de ceros de la ecuación característica (F(z)), situados fuera del círculo unitario.

P el número de polos de la función de transferencia a lazo abierto (GH(z)) o de la ecuación

característica (F(z)) situados fuera del círculo unitario.

Ejemplo:

Supóngase el mismo ejemplo analizado previamente. El estudio de la estabilidad del sistema

muestreado mediante el empleo del criterio de estabilidad de Nyquist puede realizarse a partir

de los planos z o w. Si partimos del plano z, para un período de muestreo de T = 1 seg., resulta:

𝑮𝒛 =𝟎.𝟑𝟔𝟖𝒛+𝟎.𝟐𝟔𝟒

(𝒛−𝟏)(𝒛−𝟎.𝟑𝟔𝟖): 𝑻 = 𝟏𝒔𝒆𝒈. Ecuación 1.29

Dado que la función de transferencia G(z) tiene un polo sobre el círculo unitario ubicado en

z=1, el camino de Nyquist debe esquivar dicho punto. La desviación de la trayectoria de

Nyquist alrededor del punto z=1 se realiza usualmente siguiendo el camino 𝑧 = 1 + 𝑟𝑝 𝑒𝑗∅

24

Fig. 1.14: Diagrama de Nyquist del sistema digital para T=1seg.

Los márgenes de ganancia y fase obtenidos de la figura coinciden con los hallados

previamente:

MG = 1/(1-a) =2.4

MF = 300(Tener en cuenta las escalas de la figura)

Si la aplicación del criterio de Nyquist se realiza en el plano w, para un período de muestreo

T = 1 seg. La función de transferencia del sistema muestreado en el plano w está dada por:

𝑮(𝒘) =−𝟎.𝟎𝟑𝟖𝟏(𝒘−𝟐)(𝒘+𝟏𝟐.𝟏𝟒)

𝒘(𝒘−𝟎.𝟗𝟐𝟒); 𝑻 = 𝟏𝒔𝒆𝒈. Ecuación 1.30

Como la función de transferencia tiene un polo en el origen, dicha discontinuidad debe ser

evitada. Para ello el contorno de Nyquist sigue usualmente una trayectoria circular, alrededor

del origen, de radio infinitesimal. El diagrama de Nyquist resultante coincide con el

representado en la figura 4 ya que la única diferencia entre ambos diagramas radica en la

calibración en frecuencia del mismo.

1.3.10. Diagramas de bloques

Un diagrama de bloques es una representación gráfica y abreviada de la relación causa y

efecto entre la entrada y salida de un sistema físico.

Fig. 1.15: Diagrama de bloque.

En el interior del rectángulo se encuentra la descripción o nombre del elemento.

25

La relación causa y efecto de la función de transferencia, permite representar las relaciones

de un sistema por medios diagramáticos.

1.3.10.1. Diagrama a bloques

Los diagramas de bloques de un sistema son bloques operacionales y unidireccionales que

representan la función de transferencia de las variables de interés

Consideraciones:

Tiene la ventaja de representar en forma más gráfica el flujo de señales de un

sistema.

Con los bloques es posible evaluar la contribución de cada componente al

desempeño total del sistema.

No incluye información de la construcción física del sistema (Laplace).

El diagrama de bloques de un sistema determinado no es único.

1.3.10.2. Elementos de un diagrama a bloques

Fig. 1.16: Elementos de un diagrama de bloques.

Flecha:

Representa una y solo una variable. La punta de la flecha indica la dirección del flujo de

señales.

Bloque:

Representa la operación matemática que sufre la señal de entrada para producir la señal de

salida. Las funciones de transferencia se introducen en los bloques. A los bloques también

se les llama ganancia.

1.3.11. Diagramas de flujo

1. Una rama indica la dependencia funcional de un nudo respecto a otro.

2. Un nudo suma las señales de todas las ramas que entran y trasmiten esta suma a todas

las ramas que salen.

3. Un nudo mixto puede ser considerado como un nudo de salida añadiendo una rama

de transmitancia unitaria.

26

1.3.11.1. Elementos de un diagrama de flujo.

Bloque ⟶ Rama

Función de transferencia ⟶ Transmitancia de la rama

Señal ⟶ Nudo

Transmitancia.- Ganancia entre dos nudos

Nudo.- Tiene ramas que entran y salen.

Rama.- Segmento de línea con dirección y sentido que une dos nudos.

Fig. 1.17: Elementos de un diagrama de flujo.

Ejercicio:

Fig. 1.18: Ejercicio de diagrama de flujo

X1 X2

a. b

27

1.3.12. Componentes del control digital

Fig. 1.19: Componentes del control digital.

El muestreo o discretización transforma las señales de tiempo continuo en datos de tiempo

discreto.

Muestreador y retenedor (Sample-and-Hold, S/H). Es un circuito que recibe una señal

analógica y la mantiene en un valor constante durante un tiempo específico.

Convertidor analógico-digital (A/D). Conocido también como codificador, convierte una

señal analógica en una señal digital, usualmente una señal codificada numéricamente.

Convertidor digital-analógico (D/A). También llamado decodificador, convierte una señal

digital (datos codificados numéricamente) en una señal analógica.

Planta o proceso. Una planta es cualquier objeto físico a ser controlado.

Transductor. Dispositivo que convierte una señal de entrada en una señal de salida de

naturaleza diferente a la de la entrada.

1.3.13. Muestreo de señales

Manera habitual de obtener una representación discreta en el tiempo de una señal continua

en tiempo es tomado muestras cada determinado período de tiempo T.

28

Fig. 1.20: Muestreo de señales.

Ejemplo: considere la siguiente señal analógica

𝑥𝑎(𝑡) = 3cos (100𝜋𝑡)

a) si la señal se muestra a una velocidad de F=200 Hz ¿Cuál es la señal e tiempo

discreto obtenida tras el muestreo?

b) Si la velocidad de muestreo cambia a F= 75Hz

Solución:

𝑥(𝑛) = 3 cos (100𝜋

200𝑛) = 3 cos (

𝜋

2𝑛)

𝑥(𝑛) = 3 cos (100𝜋

75𝑛) = 3 cos (

4𝜋

3𝑛)

1.3.13.1. Teorema de muestreo

El teorema de muestreo nos indica que pasa cuando muestreamos la señal o en su caso que

tan bien se puede obtener la señal cuando la muestreas.

Para realizar el muestreo en tiempo continúo basta con multiplicar la señal con un tren de

pulsos.

Se va a obtener un vector que con un intervalo T que va a tener la magnitud de la señal en

ese punto.

29

Fig. 1.21: Señales en forma muestreada.

Para la discretización del muestreo se usa la transformada de Fourier de un tren de pulsos

en donde:

𝑻𝒅 = 𝟏

𝑻= 𝒇𝒎 Ecuación 1.31

Para el muestreo se usa el espectro de la señal que a su vez aplicando la propiedad de

convolución con un tren de pulsos de periodo 𝑓𝑚 se obtiene el espectro de frecuencia de la

señal.

Esta señal es usada por los reproductores MP3 que reconstruyen el sonido a partir de esta

señal discreta.

1.3.13.2. Muestreo con retenedor de orden cero

Fig. 1.22: Señales con retenedor de orden cero.

30

Consiste en la multiplicación de la señal por un tren de pulsos, la única diferencia es que se

mantiene la señal hasta que aparezca otra señal después de un periodo T, como se muestra en

la señal en rojo.

𝐺ℎ =1− 𝑒−𝑇

𝑆 Ecuación 1.32

1.3.13.3. Retenedor de primer orden

Este retenedor mantiene el valor de la muestra anterior, así como la de la presente, y mediante

extrapolación predice el valor de la muestra siguiente. Esto se logra mediante la generación

de la pendiente de salida igual a la pendiente de un segmento de línea que conecta la muestra

actual con la anterior y proyectando esta desde el valor de la muestra actual, como se puede

apreciar en la figura siguiente:

Fig. 1.23: Salida de un retenedor de orden cero.

1.3.13.4. Poligonal y de retraso

Se les llama también retenedores de primer orden con interpolación, o retenedor poligonal,

reconstruye la señal original de una manera mucho más exacta. Este circuito de retención

también genera una línea recta a la salida cuya pendiente es igual aquella que une el valor de

la muestra anterior con el valor de muestra actual, pero esta vez la proyección se hace desde

el punto de la muestra actual con la amplitud de la muestra anterior. Por lo tanto, la exactitud

al reconstruir la señal original. Este tipo de retenedor no se usa en sistemas de control. Por el

alto periodo de muestreo de retardo.

1.3.13.5. Ejemplos de muestreo con matlab y simulink

Ejemplo 1. Muestreo de una señal senoidal.

Se usará una onda Senoidal de 2Hz de frecuencia y 2V de amplitud pico.

Análisis Real de muestreo de las señal senoidal, el ancho de pulso es muy pequeño, se

asemeja a cero.

Salid

a

Salida

0 t

31

Fig. 1.24: Análisis teórico de muestreo de la señal

32

Fig. 1.25: Análisis teórico de muestreo de la señal

Ejemplo 2. Muestre de una señal senoidal con retenedor de orden cero

Fig. 1.26: Diagrama de bloques muestreo con retenedor orden cero

Fig. 1.27: Respuesta para una f(señal)=1Hz y f(muestreo)=20Hz

33

Fig. 1.28: Respuesta para una f(señal)=1Hz y f(muestreo)=10Hz

Ejemplo 3. Muestreo con retenedor de Primer Orden

Fig. 1.29: Diagrama de bloques muestreo con retenedor de Primer Orden

Fig. 1.30: Respuesta para una f(señal)=1Hz y f(muestreo)=20Hz

34

Fig. 1.31: Respuesta para una f(señal)=1Hz y f(muestreo)=10Hz

CONCLUSIONES

Hoy día, las telecomunicaciones parecen consolidarse como un fenómeno que se incrementa

en el tiempo; con los días son más y más las aplicaciones que se generan de los conocimientos

teóricos en una práctica moderna, científica-experimental que resulta sorprendente.

Constituye así un conjunto ordenado de todos los conocimientos usados en la producción,

distribución y uso de bienes y servicios. De tal manera que, representa un conocimiento que

permite satisfacer las necesidades del ser humano, a través de técnicas que si se quieren

pueden ser consideradas como nuevas. Nuevas, porque en lo sustancial han aparecido y sobre

todo se han perfeccionado, difundido y asimilado.

De esta forma las transformadas Z, se convierten en una excelente técnica la cual, a pesar

de tener su sustento teórico práctico definido, como consecuencia de la tecnología se

reinventa para aplicarse, en este caso particular a una de las necesidades humanas

fundamentales, que es la comunicación, y dentro del contexto tecnológico a las

telecomunicaciones. Cabe destacar, que las telecomunicaciones obedecen a un sistema de

comunicación que incluye equipos electrónicos e inclusive la manipulación de señales

digitales, las cuales vienen compuestas por unos parámetros discretos

Finalmente, se pueden relacionar este proceso, con la telefonía móvil, con un RADAR, o con

la operación de diversos equipos, entre otros, cuando estos poseen o manipulan señales, como

un factor de entrada y salida.

35

UNIDAD 2

2.1 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA

En general los sistemas físicos reales que forman parte del sistema de control poseen inercias

que le impiden seguir la señal de entrada de manera instantánea, esto implica la existencia de

un período transitorio que es necesario conocer, así como el tiempo requerido para llegar al

estado estacionario.

En muchos casos prácticos, las características de desempeño deseadas del sistema de control

se especifican en términos de cantidades en el dominio del tiempo. Los sistemas que pueden

almacenar energía no responden instantáneamente y exhiben respuestas transitorias cada vez

que están sujetos a entradas o perturbaciones.

Los sistemas de segundo orden continuos son aquellos que responden a una ecuación

diferencial lineal de segundo orden

𝑎0

𝑑2𝑐(𝑡)

𝑑𝑡2+ 𝑎1

𝑑𝑐(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝑎2𝑐(𝑡) = 𝑏0

𝑑2𝑟(𝑡)

𝑑𝑡2+ 𝑏1

𝑑𝑟(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝑏2𝑐(𝑡)

Ecuación

2.33

Sin pérdida de generalidad se analizará un caso muy común donde

𝑎0 = 1, 𝑎1 = 𝑝, 𝑎2 = 𝑏2 = 𝐾, 𝑏0 = 𝑏1 = 0 Ecuación

2.34

Que corresponde al siguiente sistema de segundo orden:

Fig. 2.1. Sistema de segundo orden

Donde:

K Es una constante que representa una ganancia.

P Es una constante real representa al polo del sistema.

36

Fig. 2.2. Curvas de respuesta al escalón unitario.

2.1.1 Respuesta impulsiva de sistemas de segundo orden

𝐶(𝑧) =𝜔𝑛

2

𝑧2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑧 + 𝜔𝑛2

Ecuación

2.35

Utilizando transformada inversa obtenemos las siguientes soluciones de

Para (0 ≤ 𝜁 < 1)

𝐶(𝑧)

=𝜔𝑛

2

𝑧2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑧𝑐(𝑧) =𝜔𝑛

√1 − 𝜁2𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡 sin𝜔𝑛 √1 − 𝜁2 (𝑡 ≥ 0) + 𝜔𝑛

2

Ecuación

2.36

Para (𝜁 = 1)

𝑐(𝑡) =𝜔𝑛

2√𝜁2 − 1𝑒−(𝜁−√𝜁2−1)𝜁𝜔𝑛𝑡 −

𝜔𝑛

2√𝜁2 − 1𝑒−(𝜁−√𝜁2−1)𝜁𝜔𝑛𝑡 (𝑡 ≥ 0)

Ecuación

2.37

Para (𝜁 > 1)

𝑐(𝑡) = 𝜔𝑛2𝑡𝑒−𝜔𝑛𝑡 (𝑡 ≥ 0)

Ecuación

2.38

2.1.2 Definición de los parámetros de la respuesta transitoria

Las características de desempeño de un sistema de control se comparan basándose en el

tiempo de la repuesta transitoria. La característica transitoria de los sistemas dinámicos se

presenta por la incapacidad de responder de manera instantánea a las entradas o

perturbaciones. La respuesta transitoria es común clasificarla con base a los siguientes

parámetros.

37

Fig. 2.3. Parámetros de respuesta transitoria

1. Tiempo de retardo td

2. Tiempo de crecimiento tr

3. Tiempo pico tp

4. Sobreimpulso máximo Mp

5. Tiempo de establecimiento ts

La respuesta transitoria de un sistema para una entrada escalón unitario depende de las

condiciones iniciales. La respuesta transitoria de un sistema de control práctico exhibe con

frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Al especificar las

características de la respuesta transitoria de un sistema de control para una entrada escalón

unitario, es común especificar lo siguiente:

Tiempo de retardo, td: el tiempo de retardo es el tiempo requerido para que la respuesta

alcance la primera vez la mitad del valor final.

Tiempo de crecimiento. Es el tiempo requerido para que la respuesta aumente de 0 a 100%

para sistemas subamortiguados, del 5 al 95% o del 10 al 90% para sistemas críticamente

amortiguados o sobreamortiguados.

El tiempo de crecimiento se obtiene dando un valor de uno en la ecuación de respuesta de

un sistema de segundo orden ante una entrada escalón.

𝑐(𝑡) = 1 − 𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡𝑟 (cos𝜔𝑑𝑡𝑟 +𝜁

√1 − 𝜁2sin𝜔𝑑𝑡𝑟) = 1

Ecuación

2.39

cos𝜔𝑑𝑡𝑟 +𝜁

√1 − 𝜁2sin𝜔𝑑𝑡𝑟 Ecuación

2.40

El tiempo de crecimiento es

38

𝑡𝑟 =1

𝜔𝑑tan−1 (

𝜔𝑑

−𝜎) =

𝜋 − 𝛽

𝜔𝑑, 𝛽 = tan−1

𝜔𝑑

𝜎

Ecuación

2.41

Tiempo pico. Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico de

sobreimpulso. El tiempo pico se obtiene derivando la ecuación de respuesta c (t) e

igualándola a cero, con lo que se obtiene

sin(𝜔𝑑𝑡𝑝)𝜔𝑛

√1 − 𝜁2𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡𝑝 = 0

Ecuación

2.42

sin(𝜔𝑑𝑡𝑝) = 0, los valores que satisfacen esta ecuación son:

0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋,…, se elige el primer sobreimpulso.

𝜔𝑑𝑡𝑝 = π → 𝑡𝑝 =π

𝜔𝑑

Ecuación

2.43

El valor pico máximo Mp. Es la curva de respuesta medida desde la unidad o valor

deseado. El sobre impulso máximo se obtiene de la respuesta evaluada en el tiempo pico.

𝑀𝑝 =𝑒−(𝜁 √1−𝜁2⁄ )π

Ecuación

2.44

Tiempo de establecimiento. Es el tiempo mínimo donde la curva de respuesta alcanza y se

mantiene dentro de un rango de error preestablecido, generalmente es del 2% o del 5%, el

rango más común es el del 2%. Para sistemas de primer y segundo orden, la respuesta se

mantiene dentro del 2% después de 4 constantes de tiempo:

𝑡𝑠 =4𝑇 =4

𝜁𝜔𝑛=

4

𝜎

Ecuación

2.45

2.2 ERROR EN ESTADO PERMANENTE

Cualquier sistema físico de control sufre de error en estado permanente en su respuesta a

ciertos tipos de entrada.

Los conceptos de las constantes de error estático pueden extenderse al sistema de control en

tiempo discreto como se analiza a continuación

Los sistemas de control en tiempo discreto pueden clasificarse según el número de polos en

lazo abierto z=1.

39

𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 = 1

(𝑧 − 1)𝑁

𝐵(𝑧)

𝐴(𝑧)

Ecuación

2.46

Donde 𝐵(𝑧)

𝐴(𝑧) no tiene polos en z=1;

Consideremos el siguiente diagrama de bloques

Fig. 2.4. Diagrama de bloques

El error en estado estable es definido por la siguiente fórmula

𝑒𝑠𝑠 = lim𝑧→1

[(1 − 𝑧−1)1

1 + 𝐺𝐻(𝑧)𝑅(𝑧)]

Ecuación

2.47

Donde R(z) es la función de entrada

Como en el caso del sistema de control en tiempo continuo, consideramos 3 tipos de

entradas: escalón unitario, rampa y aceleración.

2.2.1 Constante de error de posición estática

Para una entrada escalón unitario 𝑟(𝑡) = 1(𝑡)

Transformando a la frecuencia z

𝑅(𝑧) =1

1 − 𝑧−1

Ecuación

2.48

Si introducimos esta expresión a la ecuación del error en estado estable tenemos:

𝑒𝑠𝑠 = lim𝑧→1

[(1 − 𝑧−1)1

1 + 𝐺𝐻(𝑧)

1

1 − 𝑧−1]

40

𝑒𝑠𝑠 = lim𝑧→1

[1

1 + 𝐺𝐻(𝑧)]

𝑒𝑠𝑠 =1

1 + lim𝑧→1

[𝐺𝐻(𝑧)] Ecuación

2.49

Definimos la constante de error de posición estática Kp

𝐾𝑝 = lim𝑧→1

[𝐺𝐻(𝑧)] Ecuación

2.50

Por lo tanto:

𝑒𝑠𝑠 =1

1 + 𝐾𝑝

Ecuación

2.51

2.2.2 Constante de error de velocidad estática

Para una entrada rampa unitaria 𝑟(𝑡) = 𝑡1(𝑡)

Transformando a la frecuencia z

𝑅(𝑧) =𝑇𝑧−1

(1 − 𝑧−1)2

Ecuación

2.52

Si introducimos esta expresión a la ecuación del error en estado estable tenemos:

𝑒𝑠𝑠 = lim𝑧→1

[(1 − 𝑧−1)1

1 + 𝐺𝐻(𝑧)

𝑇𝑧−1

(1 − 𝑧−1)2]

Realizando las operaciones necesarias

𝑒𝑠𝑠 = lim𝑧→1

[1

1 + 𝐺𝐻(𝑧)

𝑇𝑧−1

(1 − 𝑧−1)1]

𝑒𝑠𝑠 =𝑇 lim

𝑧→1[𝑧−1]

1 (1 − lim 𝑧→1

𝑧−1) + lim 𝑧→1

(1 − 𝑧−1)𝐺𝐻(𝑧)

𝑒𝑠𝑠 =𝑇(1)

1 − 1 + lim 𝑧→1

(1 − 𝑧−1)𝐺𝐻(𝑧)

41

𝑒𝑠𝑠 =𝑇

lim 𝑧→1

(1 − 𝑧−1)𝐺𝐻(𝑧) Ecuación

2.53

𝐾𝑣 =lim 𝑧→1

(1 − 𝑧−1)𝐺𝐻(𝑧)

𝑇

Ecuación

2.54

Remplazando el Kv en la ecuación tenemos:

𝑒𝑠𝑠 =1

𝐾𝑣

Ecuación

2.55

2.2.3 Constante de error de aceleración estática

Para una entrada:

𝑟(𝑡) =1

2𝑡21(𝑡)

Ecuación

2.56

Transformando a la frecuencia z

𝑅(𝑧) =𝑇2(1 + 𝑧−1)𝑧−1

2(1 − 𝑧−1)3

Ecuación

2.57

Si introducimos esta expresión a la ecuación del error en estado estable tenemos:

𝑒𝑠𝑠 = lim𝑧→1

[(1 − 𝑧−1)1

1 + 𝐺𝐻(𝑧)

𝑇2(1 + 𝑧−1)𝑧−1

2(1 − 𝑧−1)3]

Realizando las operaciones necesarias

𝑒𝑠𝑠 = lim𝑧→1

[1

1 + 𝐺𝐻(𝑧)

𝑇2(1 + 𝑧−1)𝑧−1

2(1 − 𝑧−1)2]

𝑒𝑠𝑠 = lim𝑧→1

[1

1 + 𝐺𝐻(𝑧)

𝑇2(1 + lim𝑧→1

𝑧−1)lim𝑧→1

𝑧−1

2lim𝑧→1

(1 − 𝑧−1)2]

𝑒𝑠𝑠 = lim𝑧→1

[1

1lim𝑧→1

(1 − 𝑧−1)2 + lim𝑧→1

(1 − 𝑧−1)2𝐺𝐻(𝑧)

𝑇2(2)

2]

𝑒𝑠𝑠 = lim𝑧→1

[𝑇2

1(1 − 1)2 + lim𝑧→1

(1 − 𝑧−1)2𝐺𝐻(𝑧)]

42

𝑒𝑠𝑠 = lim𝑧→1

[𝑇2

lim𝑧→1

(1 − 𝑧−1)2𝐺𝐻(𝑧)]

Ecuación

2.58

𝐾𝑎 =lim 𝑧→1

(1 − 𝑧−1)2𝐺𝐻(𝑧)

𝑇2

Ecuación

2.59

Remplazando el Ka en la ecuación tenemos:

𝑒𝑠𝑠 =1

𝐾𝑎

Ecuación

2.60

A continuación se muestra una tabla donde se indica en caso el error es cero, infinito y

cuando tiene un valor fijo

Tabla 2.5. Errores en estado permanente

SISTEMA

Errores en estado permanente en respuesta a

Entrada escalón

r(t)=1

Entrada rampa

r(t)=t

Entrada de

aceleración

𝑟(𝑡) =1

2𝑡2

Sistema de tipo 0 1

1 + 𝐾𝑝 ∞ ∞

Sistema de tipo 1 0 1

𝐾𝑣 ∞

Sistema de tipo 2 0 0 1

𝐾𝑎

2.3 CORRESPONDENCIA DEL PLANO S Y EL PLANO Z

El diseño de un sistema de control en tiempo continuo, la localizacion de los polos y ceros

en el plano s es de gran importancia para predecir el comportamiento dinámico en el sistema,

de igual manera en el diseño de sistemas de control en tiempo discreto es muy importante la

localización de polos y ceros. Cuando en el proceso se incorpora un muestreo por impulsos,

las varibles complejas z y s quedan relacionadas mediante la ecuación:

43

𝑧 = 𝑒𝑇𝑠 Ecuación

2.61

Esto significa que un polo en el plano s puede quedar localizado en plano z mediante la

transformación 𝑧 = 𝑒𝑇𝑠

S= σ+jw Ecuación

2.62

𝑧 = 𝑒𝑇𝑠 = 𝑒𝑇(σ+wj) = 𝑒𝑇σ + 𝑒𝑗𝑇𝑤 = 𝑒𝑇σ𝑒𝑗(𝑇𝑤+2𝜋𝑘) Ecuación

2.63

De esta ecuación vemos que los polos y ceros en el plano s, donde las frecuencias diferirán

en multiplos enteros de la frecuencia entorno 2π/T, corresponden a la misma localización en

el plano z. Esto significa que para cada valor de z exitirá un numero infinito de valores z.

Dado que σ es negativo en el semiplano izquierdo del plano s, el semiplano del plano s

corresponde a:

|𝑧| = 𝑒𝑇σ < 1 Ecuación

2.64

El eje jw en el plano s corresponde a |𝑧| = 1. Esto es , el eje imaginario en el plano s (la

línea σ= 0) corresponde al círculo unitario en el plano z, y el interior del círculo unitario

corresponde al semiplano izquierdo del pano s.

Fig. 2.5. Coorespondiente franja primaria en el plano s y el circulo unitario en el

plano z

44

2.4 CORRESPONDIENTE DE ALGUNOS CONTORNOS EN EL PLANO Z CON

PLANO S

2.4.1 Lugares geométricos atenuación constante

Una línea de atenuación constante (una línea trazada con σ=constante) en el plano s

corresponde a un circulo de radio 𝑧 = 𝑒𝑇σ con centro en el origen del plano z.

Fig. 2.6. a) líneas de atenuación constante en el plano s b) lugar gemétrico

correspondiente plano z

2.4.2 Tiempo de asentamiento ts

El tiempo de asentamiento queda determinado por el valor de la atenuación σ de los polos

dominantes en lazo cerrado. Si se espefica el tiempo de asentamiento es posible dibujar una

línea σ = -σ en el plano s que corresponda a un tiempo de asentamiento dado. La región en

el plano s a la izquierda de la línea σ = -σ corresponde en el plano z a la parte interior de un

circulo de radio 𝑧 = 𝑒−𝑇σ

Fig. 2.7. a) región para un tiempo de asentamiento T menos a 4/ σ en el plano s b)

región un tiempo de acentamiento T menos a 4/ σ en el plano z

45

2.4.3 Lugar geométrico en fecuencia constante

Un lugar geométrico de frecuencia constante w = w1 en el plano s corresponde en el palno z

a una linea radial de angulo contante Tw

Fig. 2.8. a) lugares geométricos de frecuencia constante en el plano s b) lugares

geometricos correspondiente en plano z

En las siguientes figuras se resumen el comportamiento de un sistema de acuerdo a

ubicación de suus polos en el plano z.

Fig. 2.9. Respuesta a un simple polo real

46

Fig. 2.10. Respuesta a un par de polos complejos

2.4.4 Calculo de polos y ceros

Dada la ecuacion encontrar los polos y ceros en el plano z

𝐻(𝑍) =2𝑍2 + 1

𝑍(𝑍2 − 0.5𝑍 + 0.3)

En el numerador se analisa los ceros

2𝑍2 + 1

Igualar a cero para encontrar las raices de la ecuacion

2𝑍2 + 1 = 0

𝑧 = √−1

2

𝑧 = ±1

√2𝑗

En el denominador se analisa los polos

𝑍(𝑍2 − 0.5𝑍 + 0.3) = 0

𝑧 = 0

𝑍2 − 0.5𝑍 + 0.3 = 0

𝑧 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑎 = 1

𝑏 = −0.5

47

𝑐 = 0.3

𝑧 =0.5 ± √(−0.5)2 − 4 ∗ 1 ∗ 0.3

2 ∗ 1

𝑧 =0.5 ± √−0.95

2

𝑧 = 0.25 ±0.975

2𝑗

𝑧 = 0.25 ± 0.487𝑗

Fig. 2. 11 Gráfica de polos y ceros

2.4.5 Programas en matlab

Encontara los polos y ceros de la sigiente funcion

𝑧 − 1

𝑧2 + 𝑧 + 1

num=[1 -1];

den=[1 1 1];

GZ=tf(num,den,0.1);

rlocus(GZ)

48

Fig. 2.12. Polos y ceros

Encontara la grafica de la respuestas natural de la guiente funcion

0.3679𝑧 + 0.2642

𝑧2 − 𝑧 + 0.6321

num=[0.3679 0.2642];

den=[1 -1 0.6321];

G=tf(num,den,0.01);

step(G,'--')

Fig. 2.13. Gráfica respuesta natural

49

Dada la funcion en dominio del plano s encontrar en en plano z y grafical

𝑠 − 1

𝑠2 + 𝑠 + 1

num=[1 +1];

den=[1 1 1];

G=tf(num,den);

Gd=c2d(G,0.1,'foh')

step(Gd,'--')

Fig. 2.14. Respuesta natural

2.5 TRANSFORMACIÓN BILINEAL

La transformación bilineal es una técnica usada en sistemas discretos para que estos se

“parezcan” a los sistemas continuos y así poder utilizar los criterios de estabilidad (Routh–

Hurwitz, márgenes de estabilidad usando respuesta en frecuencia) aplicados en sistemas de

tiempo continuo.

50

Fig. 2.15. Regiones de estabilidad e inestabilidad en el plano z

La transformación bilineal, matemáticamente se define como:

𝑧 =𝑤 + 1

𝑤 − 1

Ecuación

2.65

Se llama transformación bilineal porque al despejar w nos resulta una expresión similar:

𝑤 =𝑧 + 1

𝑧 − 1

Ecuación

2.66

Al realizar una transformación bilineal, el interior del círculo unitario (∣z∣<1) en el plano Z

corresponde al semiplano izquierdo del plano W. El círculo unitario corresponde al eje

imaginario en el plano w, y la parte externa del círculo unitario en el plano z corresponde al

semiplano derecho del plano w.

2.5.1 Ejemplo de una transformación bilineal

Se tiene una función de transferencia con la siguiente ecuación característica:

𝑃(𝑧) = 𝑧3 − 1.3𝑧2 − 0.08𝑧 + 0.24 = 0

Aplicando la transformación bilineal para determinar la estabilidad del sistema usando el

criterio de Routh – Hurwitz.

Reemplazando 𝑧 por 𝑤+1

𝑤−1

𝑃(𝑧) = (𝑤 + 1

𝑤 − 1)3

− 1.3 (𝑤 + 1

𝑤 − 1)2

− 0.08 (𝑤 + 1

𝑤 − 1) + 0.24 = 0

Simplificando la ecuación, multiplicando ambos términos por (𝑤 − 1)3 se obtiene:

51

−0.14𝑤3 + 1.06𝑤2 + 5.10𝑤 + 1.98 = 0

Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre -0.14, se obtiene:

𝑤3 − 7.571𝑤2 − 36.43𝑤 − 14.14 = 0

Con esta ecuación se puede aplicar el criterio de Routh para establecer la estabilidad del

sistema.

Para el análisis de sistemas de tiempo discreto en el dominio de la frecuencia se utiliza la

llamada transformada w, que nos es más que una transformación bilineal definida por:

𝑍 =1 + (𝑇 2⁄ )𝑊

1 − (𝑇 2⁄ )𝑊

Donde T es el sistema de control de nuestro sistema.

2.6 RESPUESTA EN FRECUENCIA

Presentación de las características de la respuesta en frecuencia en forma gráfica.

La función de transferencia senoidal, función compleja de la frecuencia w, se caracteriza por

su magnitud y ángulo de fase, con la frecuencia como parámetro. Por lo general se usan dos

representaciones gráficas de las funciones de transferencia senoidales:

1. Las trazas de bode o trazas logarítmicas

2. La traza de nyquist o traza polar

2.6.1 Gráficos de respuesta en frecuencia

2.6.2 Diagramas de Bode

Trazas de Bode o trazas logarítmicas. Una función de transferencia senoidal puede

representarse mediante dos gráficas distintas: una que ofrece la magnitud contra la frecuencia

y otra que muestra el ángulo de fase (en grados) contra la frecuencia. Las trazas de Bode

están formadas por dos gráficas: una es el logaritmo de la magnitud de una función de

transferencia senoidal y la otra es el ángulo de fase. Ambas se grafican contra la frecuencia

en la escala logarítmica.

La representación común de la magnitud logarítmica de 𝐺(𝑗𝑤) es 20 𝑙𝑜𝑔|𝐺(𝑗𝑤 )|, en donde

la base de logaritmo es 10. La unidad que se usa en esta representación de la magnitud es el

decibel, por lo general abreviado dB. En la representación logarítmica, se trazan las curvas

sobre papel semilogaritmico, con la escala logarítmica para la frecuencia y la escala lineal

para cualquier magnitud (en decibeles) o el ángulo de fase (en grados). (El rango de

frecuencia de interés determina la cantidad de ciclos logarítmicos que se requieren en la

abscisa.)

52

La ventaja principal de usar la traza de Bode es que la multiplicación de magnitudes se

convierte en adición. Además, cuenta con un método simple para trazar una curva

aproximada de magnitud logarítmica. Se basa en aproximaciones asintóticas. Esta

aproximación, mediante asíntotas (líneas rectas), es suficiente si sólo se necesita información

general sobre la característica de la respuesta en frecuencia. Si se desea obtener curvas

exactas, es fácil corregir las curvas asintóticas. Las curvas de ángulo de fase se dibujan con

facilidad si se cuenta con una plantilla de la curva de ángulo de fase de 1 + 𝑗𝑤. Es muy

provechoso ampliar el rango de frecuencia baja mediante el uso de una escala logarítmica,

dado que las características de las frecuencias bajas son lo más importante en los sistemas

prácticos.

Aunque no es posible graficar las curvas hasta una frecuencia cero, debido a la frecuencia

logarítmica (𝑙𝑜𝑔 0 = −), esto no significa un problema serio.

Observe que la determinación experimental de una función de transferencia se hace

simplemente si se presentan datos de la respuesta en frecuencia en la forma de una traza de

Bode.

Factores básicos de 𝐺(𝑗𝑤) 𝐻(𝑗𝑤). Como se planteó antes, la ventaja principal de usar una

traza logarítmica es la facilidad relativa de graficar las curvas de la respuesta en frecuencia.

Los factores básicos que suelen ocurrir en una función de transferencia arbitraria

𝐺(𝑗𝑤)𝐻(𝑗𝑤 ) son:

1. La ganancia 𝐾

2. Los factores de integral y de derivada (𝑗𝑤) 1

3. Los factores de primer orden (1 + 𝑗𝑤1) 1

4. Los factores cuadráticos [1 + 2 (𝑗𝑤

𝑤𝑛) + (

𝑗𝑤

𝑤𝑛)2

]±1

Una vez que nos familiarizamos con las trazas logarítmicas de estos factores básicos, es

posible utilizarlas con el fin de construir una traza logarítmica compuesta para cualquier

forma de 𝐺(𝑗𝑤)𝐻(𝑗𝑤), trazando las curvas para cada factor y agregando curvas individuales

en forma gráfica, ya que agregar los logaritmos de las ganancias corresponde a multiplicarlos

entre sí.

El proceso de obtener la traza logarítmica se simplifica todavía más mediante aproximaciones

asintóticas para las curvas de cada factor. (Si es necesario, es fácil hacer correcciones a una

traza aproximada, con el fin obtener una precisa.)

La ganancia K.

Un número mayor que la unidad tiene un valor positivo en decibeles, en tanto que un número

menor que la unidad tiene un valor negativo. La curva de magnitud logarítmica para una

ganancia constante K es una recta horizontal cuya magnitud es de 20 𝑙𝑜𝑔 𝐾 decibeles. El

ángulo de fase de la ganancia K es cero. El efecto de variar la ganancia K en la función de

53

transferencia es que sube o baja la curva de magnitud logarítmica de la función de

transferencia en la cantidad constante correspondiente, pero no afecta la curva de fase.

La figura 2.15 contiene una línea de conversión de números a decibeles. El valor en decibeles

de cualquier número se obtiene a partir de esta línea. Conforme un número aumenta en un

factor de 10, el valor correspondiente en decibeles aumenta en un factor de 20. Esto se

observa a partir de lo siguiente:

Fig. 2.16. Diagrama de Bode

Los factores de integral y de derivada (𝒋𝒘) 𝟏.

El ángulo de fase de (1

𝑗𝑤) es constante e igual a -90°.

En las trazas de Bode, las razones de frecuencia se expresan en términos de octavas o décadas.

Una octava es una banda de frecuencia de 𝑤1 a 2𝑤1, en donde 𝑤1 es cualquier frecuencia.

Una década es una banda de frecuencia de 𝑤1 a 10𝑤1, en donde, otra vez, 𝑤1 es cualquier

frecuencia. (En la escala logarítmica del papel semilogarítmico, cualquier razón de frecuencia

determinada se representa mediante la misma distancia horizontal, por ejemplo, la distancia

horizontal de w = 1 a w = 10 es igual a la de w = 3 a w = 30.)

Si se grafica la magnitud logarítmica de −20 𝑙𝑜𝑔 𝑊 dB contra w en una escala logarítmica,

se obtiene una recta. Para trazar esta recta, necesitamos ubicar un punto (0 dB, w = 1) en ella.

Dado que:

(−20 𝑙𝑜𝑔10𝑤)dB = (−20 𝑙𝑜𝑔 𝑤 − 20) dB

La pendiente de la recta es −20𝑑𝐵

𝑑é𝑐𝑎𝑑𝑎(ó

6𝑑𝐵

𝑜𝑐𝑡𝑎𝑣𝑎).

De la misma manera, la magnitud logarítmica de 𝑗𝑤 en decibeles es

20 𝑙𝑜𝑔 |(𝑗𝑤)| = 20 𝑙𝑜𝑔 𝑤 𝑑𝐵

54

El ángulo de fase de jw es constante e igual a 90°. La curva de magnitud logarítmica es una

recta con una pendiente de 20𝑑𝐵

𝑑é𝑐𝑎𝑑𝑎. Si la función de transferencia contiene el factor (

1

𝑗𝑤)𝑛

o

(𝑗𝑤)𝑛, la magnitud logarítmica se convierte, respectivamente en:

20 log |1

(𝑗𝑤)𝑛| = 𝑛 × 20 log|𝑗𝑤| = 20 𝑛 log𝑤 𝑑𝐵

Ecuación

2.67

Por tanto, las pendientes de las curvas de magnitud logarítmicas para los factores (1

𝑗𝑤)𝑛

y

(𝑗𝑤)𝑛 son -20dB/década y 20n dB/década, respectivamente. El ángulo de fase de (1

𝑗𝑤)𝑛

es

igual a -90° x n durante todo el rango de frecuencia, en tanto que el de (𝑗𝑤)𝑛 son -20

db/década y 20n db/década, respectivamente. El ángulo de fase (1

𝑗𝑤)𝑛

es igual 90° x n en

todo el rango de frecuencia. Las curvas de magnitud pasarán por el punto (0db, w=1).

Factores de primer orden (𝟏 + 𝒋𝒘𝟏) 𝟏.

La magnitud logarítmica del factor de primer orden 1/(1 + jwT) es

20𝑙𝑜𝑔 |1

1 + 𝑗𝑤𝑇| = −20𝑙𝑜𝑔√1 + 𝑤2𝑇2𝑑𝐵

Ecuación

2.68

Para frecuencias bajas, tales que w<<1/T, la magnitud logarítmica se aproximan mediante

−20𝑙𝑜𝑔√1 + 𝑤2𝑇2 ≈ −20𝑙𝑜𝑔1 = 0𝑑𝐵 Ecuación

2.69

Por tanto, la curva de magnitud logarítmica para frecuencias bajas es la línea 0 db constante.

Para frecuencia altas, tales que w>> 1/T

−20𝑙𝑜𝑔√1 + 𝑤2𝑇2 ≈ −20𝑙𝑜𝑔𝑤𝑇𝑑𝐵

Ecuación

2.70

Factores cuadráticos [𝟏 + 𝟐 (𝒋𝒘

𝒘𝒏) + (

𝒋𝒘

𝒘𝒏)𝟐

]±𝟏

.

Los sistemas de control suelen tener factores cuadráticos de la forma

1

1 + 2𝜁 (𝑗𝑤𝑤𝑛

) + (𝑗𝑤𝑤𝑛

)2 Ecuación

2.71

Si >1, este factor cuadrático se expresa como un producto de dos factores de primer orden

con polos reales. Si 0<<1, este factor cuadrático es el producto de dos factores complejos

conjugados. Las aproximaciones asintóticas para las curvas de respuesta en frecuencia no son

precisas para un factor con valores bajo de. Esto se debe a que la magnitud y la fase factor

cuadrático dependen de la frecuencia de esquina y del factor de amortiguamiento relativo.

55

La curva asintótica de respuesta en frecuencia se obtiene del modo siguiente: dado que

20 𝑙𝑜𝑔 |1

1 + 2𝜁 (𝑗𝑤𝑤𝑛

) + (𝑗𝑤𝑤𝑛

)2| = −20𝑙𝑜𝑔√(1 −

𝑤2

𝑤𝑛2)

2

+ (2𝜁𝑤

𝑤𝑛)2

Ecuación

2.72

Para frecuencias bajas tales que w<<wn, la magnitud logarítmica se convierte en

-20 log 1 = 0 dB

Por tanto, la asíntota de frecuencia baja es una recta horizontal en 0dB. Para frecuencias tales

que w<<wn, la magnitud logarítmica se vuelve

−20𝑙𝑜𝑔𝑤2

𝑤𝑛2= −40𝑙𝑜𝑔

𝑤

𝑤𝑛𝑑𝐵

Ecuación

2.73

La ecuación para la asíntota de alta frecuencia es una recta con pendiente de -40dB/década,

dado que

−40𝑙𝑜𝑔10𝑤

𝑤𝑛2

= −40 − 40𝑙𝑜𝑔𝑤

𝑤𝑛

Ecuación

2.74

La asíntota de alta frecuencia interseca la de baja frecuencia en w = wn dado en esta

frecuencia

−40𝑙𝑜𝑔10𝑤

𝑤𝑛= 40𝑙𝑜𝑔1 = 0𝑑𝐵

Ecuación

2.75

2.6.3 Criterio de estabilidad de Bode: Margen de fase, margen de ganancia.

2.6.3.1 Márgenes de Fase y Ganancia

Considere el siguiente sistema:

Fig. 2.17. Sistema

Donde K es la ganancia variable (constante) y G(s) es la planta estudiada. El margen de

ganancia está definido como el cambio en la ganancia de lazo abierto necesario para

inestabilizar el sistema de lazo cerrado. Los sistemas con márgenes de ganancia grandes

pueden soportar cambios importantes en los parámetros del sistema sin comprometer la

estabilidad de lazo cerrado.

Nótese que una ganancia unitaria es igual a una ganancia CERO en dB.

56

El margen de fase es definido como el cambio en la fase de lazo abierto necesaria para que

el sistema de lazo cerrado sea inestable.

El margen de fase además mide la tolerancia del sistema al retraso de tiempo. Si hubiera un

retraso de tiempo superior a 180

𝑊𝑝𝑐 en el lazo (donde Wpc es la frecuencia donde el cambio de

fase es igual a 180 grados), el sistema de lazo cerrado sería inestable. El retardo de tiempo

puede ser visto como un bloque extra en el camino directo del diagrama de bloques que

agrega fase al sistema pero no tiene efecto en la ganancia. Esto es, un retardo de tiempo puede

ser representado por un bloque con magnitud 1 y fase igual a w*retardo (en

radianes/segundo).

Por ahora, no nos preocuparemos en el origen de todo esto, y nos concentraremos en

identificar los márgenes de fase y ganancia de un diagrama de Bode.

EL margen de fase es la diferencia entre la curva de fase y -180 grados en el punto

correspondientes a la frecuencia que nos da una ganancia de 0 dB (la frecuencia de cruce de

ganancia Wgc). Igualmente, el margen de ganancia es la diferencia entre la curva de

magnitud y o dB en el punto correspondiente a la frecuencia que da una fase de -180 grados

(frecuencia de cruce de fase Wpc).

Fig. 2.18. Diagrama de Bode

Un aspecto interesante sobre el margen de fase es que no es necesario recalcular el diagrama

de Bode para encontrar el nuevo margen de fase cuando se modifica la ganancia. Recuérdese

que la adición de ganancia solamente tiene el efecto de desplazar la curva de ganancia para

arriba. Esto equivale a cambiar el eje y en el gráfico de magnitud. Encontrar el margen de

fase simplemente se reduce a encontrar la nueva frecuencia de cruce. Por ejemplo, supóngase

el diagrama de Bode que se muestra en la figura 2.18:

Fig. 2.19. Análisis de Diagrama de Bode

Se puede apreciar que el margen de fase es aproximadamente 100 grados. Supóngase ahora

que se agrega una ganancia de 100. Se obtendrá el gráfico que se muestraen la figura 2.19:

Fig. 2.20. Diagrama con una ganancia de 100

57

Como puede verse, el grafico de fase es exactamente igual al anterior, y el grafico de

magnitud se ha desplazado para arriba en 40 dB (igual a una ganancia de 100). El margen de

fase es ahora aproximadamente igual a -60 grados. El mismo resultado podría haberse

obtenido al desplazar para abajo el eje y en 40 dB.

2.6.3.2 Frecuencia de Ancho de Banda

La frecuencia de ancho de banda está definida como la frecuencia a la cual la magnitud de la

respuesta de lazo cerrado es igual a -3 dB. Sin embargo, cuando se aplica respuesta de

frecuencia en el diseño, se busca predecir el comportamiento del lazo cerrado a partir del lazo

abierto. Por lo tanto, utilizaremos una aproximación a un sistema de segundo orden para

establecer que la frecuencia de ancho de banda es igual a la frecuencia en la cual la magnitud

de lazo abierto se encuentra entre -6 y -7.5 dB, asumiendo que la fase de lazo abierto se

encuentra entre -135 and -225 grados. Para una deducción completa de esta aproximación,

recomendamos consultar el libro de texto.

Si se desea estudiar con mayor detenimiento como el ancho de banda de un sistema puede

ser encontrado matemáticamente a partir del coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia

natural de lazo cerrado.

De modo a ilustrar la importancia del ancho de banda, se mostrara a continuación la forma

en que la salida cambia con diferentes frecuencias de entrada. Hallaremos que las entradas

sinusoidales con frecuencias menores que Wbw (frecuencia de ancho de banda) son seguidas

"razonablemente bien" por el sistema. Las entradas con frecuencias mayores que Wbw son

atenuadas en magnitud por un factor de 0.707 o mayor, con un desfasaje adicional.

Consideremos la siguiente función de transferencia de lazo cerrado, representando un

sistema dado:

1

𝑧2 + 0.5 z + 1

Inicialmente, hallaremos la frecuencia de ancho de banda observando el diagrama de Bode

// Determinación de ancho de banda de un sistema

num=poly([1],"z","coeff");

den=poly([1 0.5 1],"z","coeff");

[sistema3]=syslin('c',num/den);

bode(sistema3,0.01,10,0.0001);

Fig. 2.21. Frecuencia de ancho de banda

58

Debido a que se ha graficado la función de transferencia de lazo cerrado, nuestra frecuencia

de ancho de banda corresponderá a la ganancia de -3 dB. Del gráfico, identificamos que la

misma es aproximadamente igual a 1.4 rad/s. Podemos concluir también del grafico que, para

una frecuencia de entrada de 0.3 radianes, la salida tendrá una magnitud aproximadamente

unitaria con un desfase de pocos grados con respecto a la salida. Para una frecuencia de

entrada de 3 rad/sec, la magnitud de salida deberá ser aproximadamente -20dB (1/10 tan

grande como la entrada) y la fase deberá ser aproximadamente -180. Podemos utilizar el

comando csim para simular la respuesta del sistema a entradas sinusoidales

Inicialmente, consideremos una entrada sinusoidal con una frecuencia menor que Wbw.

Debemos tener presente que buscamos analizar la respuesta en estado estable.

w=0.3

num=poly([1],"z","coeff");

den=poly([1 0.5 1],"z","coeff");

[sistema4]=syslin('c',num/den);

t=0:0.1:100;

u=sin(w*t);

[y x]=csim(u,t,sistema4);

plot2d(t,y,style=[color("red")]);

plot2d(t,u,style=[color("blue")]);

Fig. 2.22. Respuesta del sistema a entradas sinusoidales

Note que la salida sigue a la entrada bastante bien, probablemente con solo algunos grados

de desfasaje.

2.6.4 Nyquist

El criterio de Estabilidad de Nyquist está basado en un teorema de la variable compleja. Para

entender este criterio, se utilizan los conceptos de transferencia del plano S al plano complejo

GH(s). Este criterio también es útil para obtener información acerca de las funciones de

transferencia de componentes o sistemas a partir de datos experimentales sobre la respuesta

de frecuencia.

2.6.4.1 Diagramas Polares

El criterio de Nyquist para sistemas realimentados continuos se construye empleando las

trayectorias de Nyquist. Estas trayectorias han sido diseñadas en forma tal que encierran todo

el semiplano derecho y asi poder emplear el principio del argumento en forma conveniente.

59

Para sistemas discretos realimentados es necesario modificar la trayectoria de Nyquist para

que encierre toda la porción del plano complejo que está por fuera del círculo unitario. La

trayectoria seleccionada; en caso de que G(z)H(z) tenga polos exactamente sobre la

circunferencia unitaria, es necesario modificar la trayectoria. Denominaremos al diagrama

obtenido con estas trayectorias Diagrama de Nyquist para sistemas discretos, o simplemente

Diagrama de Nyquist discreto.

Fig. 2.23. Trayectoria de Nyquist para el caso discreto general

Fig. 2.24. Trayectoria de Nyquist para el caso discreto con polos en la circunferencia

unitaria

En estas condiciones, el Criterio de Nyquist para sistemas discretos puede enunciarse así:

2.6.4.2 Criterio de Nyquist para sistemas discretos

Ejemplo

Se trata de un sistema realimentado con

𝐺(𝑧) =1

𝑧 + 0.3 𝐻(𝑧) =

1

𝑧 + 0.7

El diagrama de Nyquist de G(z)H(z) puede observarse que el diagrama de Nyquist encierra

una vez el punto (-1,0). Además, G(z)H(z) tiene cero polos por fuera del círculo unitario. Se

tiene que 1= Número de polos del sistema realimentado por fuera del círculo unitario. Y por

lo tanto el sistema realimentado con K=1 es inestable. Sin embargo el número de veces que

se encierra el punto (-1,0). Puede ser 0 si el diagrama se amplifica por un valor positivo menor

que 0.79. En estas condiciones el sistema realimentado será estable. Por lo tanto, para que el

sistema realimentado sea estable con valores positivos de K, se necesita que 0<K<0.79

Para estudiar los valores negativos de K que harían que el sistema fuera estable, podríamos

trazar el diagrama de Nyquist de -G(z)H(z); sin embargo esto no es necesario, ya que ese

diagrama sólo puede diferir del de G(z)H(z) en una rotación de 180 o, por lo tanto es

suficiente con averiguar qué tantas veces se encierra el punto (1,0).

El número de veces que el diagrama de Nyquist puede encerrar al punto (1,0) es 0,1 o 2 en

las siguientes condiciones:

Si se amplifica por una cantidad menor que 0.21 lo encierra 0 veces.

60

Si se amplifica por una cantidad mayor que 0.21 y menor que 2,21 lo encierra 1 vez.

Si se amplifica por una cantidad mayor que 2.21 lo encierra 2 veces.

Por lo tanto, para que el sistema realimentado sea estable con valores negativos de K, se

necesita que -0.21<K<0

Al combinar los resultados obtenidos para valores positivos y negativos de se tiene que

-0.21<K<0.79

Fig. 2.25. Diagrama de Nyquist

2.6.4.3 Criterio de Estabilidad de Nyquist.

La función de transferencia en lazo cerrado es:

𝐶(𝑧)

𝑅(𝑧)=

𝐺(𝑧)

1 + 𝐺(𝑧)𝐻(𝑧)

Ecuación

2.76

Para la estabilidad, todas las raíces de la ecuación característica

1 + 𝐺(𝑧)𝐻(𝑧) = 0 Ecuación

2.77

2.7 COMPENSACIÓN

2.7.1 Introducción

Es importante señalar que, en el diseño de un sistema de control, por lo general lo más

importante es el desempeño de la respuesta transitoria. En el enfoque de la respuesta en

frecuencia, especificamos el desempeño de la respuesta transitoria en una forma indirecta. Es

decir, el desempeño de la respuesta transitoria se especifica en términos del margen de fase,

el margen de ganancia y la magnitud del pico de resonancia, que ofrecen una estimación a

grandes rasgos del amortiguamiento del sistema, la frecuencia de cruce de ganancia, la

frecuencia de resonancia y el ancho de banda, que ofrecen una estimación a grandes rasgos

de la velocidad de la respuesta transitoria y las constantes de error estático, que aportan la

precisión en estado estable. Aunque la correlación entre la respuesta transitoria y la respuesta

en frecuencia es indirecta, las especificaciones en el dominio de la frecuencia se cumplen

adecuadamente en el enfoque de las trazas de Bode.

Después de diseñar el lazo abierto mediante el método de la respuesta en frecuencia, se

determinan los polos y los ceros en lazo cerrado. Deben verificarse las características de la

61

respuesta transitoria para saber si el sistema diseñado satisface los requerimientos en el

dominio del tiempo. De no ser así, debe modificarse el compensador y luego repetirse el

análisis hasta obtener un resultado satisfactorio.

El diseño en el dominio de la frecuencia es sencillo y directo. La gráfica de la respuesta en

frecuencia indica en forma clara la manera en la que debe modificarse el sistema, aunque no

sea posible hacer una predicción cuantitativa exacta de las características de la respuesta

transitoria. El enfoque de la respuesta en frecuencia se aplica a los sistemas o componentes

cuyas características dinámicas están dadas en forma de datos de respuesta en frecuencia.

Observe que, debido a la dificultad de obtener las ecuaciones que controlan ciertos

componentes, por ejemplo neumáticos o hidráulicos, por lo general las características

dinámicas de dichos componentes se determinan en forma experimental a través de pruebas

de respuesta en frecuencia. Las gráficas de respuesta en frecuencia obtenidas

experimentalmente se combinan con facilidad con otras gráficas obtenidas del mismo modo

cuando se usa el enfoque de las trazas de Bode. Observe también que, cuando se trabaja con

ruido de frecuencia alta, encontramos que el enfoque de la respuesta en frecuencia es más

conveniente que otros.

Básicamente hay dos enfoques de diseño en el dominio de la frecuencia. Uno es el enfoque

de la traza polar y el otro es el enfoque de las trazas de Bode. Cuando se añade un

compensador, la traza polar no conserva su forma original, por lo que es necesario dibujar

una nueva traza polar, esto toma tiempo y, por tanto, no es conveniente. En cambio, agregar

las trazas de Bode del compensador a las trazas de Bode originales es muy simple y, por

tanto, graficar las trazas de Bode completas es un asunto sencillo. Asimismo, si varía la

ganancia en lazo abierto, la curva de magnitud se mueve hacia arriba o hacia abajo sin que

se modifique la pendiente de la curva, y la curva de fase no cambia. Por tanto, para propósitos

de diseño, es mejor trabajar con las trazas de Bode.

En un procedimiento común de las trazas de Bode, primero se ajusta la ganancia en lazo

abierto para cumplir el requerimiento sobre la precisión en estado estable. Si no se satisfacen

las especificaciones del margen de fase y del margen de ganancia, se determina un

compensador conveniente que vuelva a dar forma a la función de transferencia en lazo

abierto. Por último, si se debe cumplir con otros requerimientos, se intenta satisfacerlos, a

menos que algunos contradigan a los otros.

2.7.2 Tipos de compensadores

2.7.2.1 Características básicas de la compensación de adelanto, de atraso y de

atraso adelanto

La compensación de adelanto produce, en esencia, un mejoramiento razonable en la respuesta

transitoria y un cambio pequeño en la precisión en estado estable. Puede acentuar los efectos

del ruido de alta frecuencia. Por su parte, la compensación de atraso produce un

62

mejoramiento notable en la precisión en estado estable a costa de aumentar el tiempo de

respuesta transitoria. Suprime los efectos de las señales de ruido a altas frecuencias. La

compensación de atraso-adelanto combina las características de la compensación de adelanto

con las de la compensación de atraso. El uso de un compensador de atraso o de adelanto

aumenta el orden del sistema en 1 (a menos que haya una cancelación entre el cero del

compensador y un polo de la función de transferencia en lazo abierto no compensada).El uso

de un compensador de atraso-adelanto eleva el orden del sistema en 2 [a menos que haya una

cancelación entre el cero, o los ceros, del compensador de atraso-adelanto y el polo, o los

polos, de la función de transferencia en lazo abierto no compensada], lo cual significa que el

sistema se vuelve más complejo y que es más difícil controlar el comportamiento de la

respuesta transitoria. La situación en particular determina el tipo de compensación que debe

usarse.

2.7.3 Diseño de compensadores en adelanto de fase

2.7.3.1 Método del lugar de las raíces.

Son técnicas de compensación de adelanto basadas en el enfoque del lugar geométrico de las

raíces. El enfoque del lugar geométrico de las raíces es muy poderoso en el diseño cuando se

incorporan las especificaciones en términos de las cantidades en el dominio del tiempo, tales

como el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguada de los

polos dominantes en lazo cerrado, el sobrepaso máximo, el tiempo de levantamiento y el

tiempo de asentamiento.

Considere un problema de diseño tal que el sistema original sea inestable para todos los

valores de ganancia o estable pero con características inconvenientes de la respuesta

transitoria. En este caso, es necesario volver a construir el lugar geométrico de las raíces en

la vecindad amplia del eje jw y el origen para que los polos dominantes en lazo cerrado estén

en las posiciones deseadas en el plano complejo. Este problema se soluciona insertando un

compensador de adelanto apropiado en cascada con la función de transferencia de la

trayectoria directa.

Los procedimientos para diseñar un compensador de adelanto para el sistema mediante el

método del lugar geométrico de las raíces se plantean del modo siguiente:

1. A partir de las especificaciones de desempeño, determine la ubicación deseada para

los polos dominantes en lazo cerrado.

2. Por medio de una gráfica del lugar geométrico de las raíces, compruebe si el ajuste

de la ganancia puede o no por sí solo producir los polos en lazo cerrado convenientes.

Si no, calcule la deficiencia de ángulo 1/>. Este ángulo debe ser una contribución del

compensador de adelanto si el nuevo lugar geométrico de las raíces va a pasar por las

ubicaciones deseadas para los polos dominantes en lazo cerrado.

3. Suponga que el compensador de adelanto Gc(s) es

63

𝐺𝑐(𝑧) = 𝐾𝑐𝑎𝑇𝑧 + 1

𝑎𝑇𝑧 + 1= 𝐾𝑐

𝑧 +1𝑇

𝑧 +1𝑎𝑇

(0 < 𝑎 < 1) Ecuación

2.78

En donde a y T se determinan a partir de la deficiencia de ángulo. Kc se determina a partir

del requerimiento de la ganancia en lazo abierto.

4. Si no se especifican las constantes de error estático, determine la ubicación del polo

y del cero del compensador de adelanto, para que el compensador de adelanto

contribuya al ángulo c;b necesario. Si no se imponen otros requerimientos sobre el

sistema, intente aumentar lo más posible el valor de a. Un valor más grande de a por

lo general produce un valor más grande de Kv, lo cual es conveniente. (Si se

especifica una constante de error estático, por lo general es más sencillo usar el

enfoque de la respuesta en frecuencia.)

5. Determine la ganancia en lazo abierto del sistema compensado a partir de la condición

de magnitud.

Una vez diseñado un compensador, verifique que se hayan cumplido todas las

especificaciones de desempeño. Si el sistema no cumple las especificaciones de desempeño,

repita el procedimiento de diseño ajustando el polo y el cero del compensador hasta cumplir

con todas las especificaciones. Si se requiere de una constante de error estático grande, enlace

en cascada una red de atraso o convierta el compensador de adelanto en un compensador de

atraso-adelanto.

Observe que, si los polos dominantes en lazo cerrado seleccionados no son realmente

dominantes, será necesario modificar la ubicación del par de polos dominantes en lazo

cerrado seleccionados. (los polos en lazo cerrado diferentes de los dominantes modifican la

respuesta obtenida de los polos dominantes en lazo cerrado. El grado de modificación

depende de la ubicación de los polos en lazo cerrado restantes.) Asimismo, los ceros en lazo

cerrado afectan la respuesta si se localizan cerca del origen.

Fig. 2.26. Sistema de Control

2.7.3.2 Método de respuesta en frecuencia.

Considere un compensador de adelanto que tiene la función de transferencia siguiente:

𝐺𝑐(𝑧) = 𝐾𝑐𝑎𝑇𝑧 + 1

𝑎𝑇𝑧 + 1= 𝐾𝑐

𝑧 +1𝑇

𝑧 +1𝑎𝑇

(0 < 𝑎 < 1) Ecuación

2.79

64

Tiene un cero en s =-1/Ty un polo ens =-1/(T). Dado que 0<<1, vemos que el cero siempre

se ubica a la derecha del polo en el plano complejo. Observe que, para un valor pequeño de

, el polo se localiza lejos hacia la izquierda. El valor mínimo de a está limitado por la

construcción física del compensador de adelanto. Por lo general, el valor mínimo de a se

ubica cerca de 0..05. (Esto significa que el adelanto de fase máximo que produce el

compensador es de alrededor de 65°.)

La figura muestra la traza polar de:

𝐾𝑐𝑎𝑗𝑤𝑇 + 1

𝑗𝑤𝑎𝑇 + 1 (0 < 𝑎 < 1)

Ecuación

2.80

con Kc = 1. Para un valor determinado de a, el ángulo entre el eje real positivo y la línea

tangente al semicírculo dibujada desde el origen proporciona el ángulo de adelanto de fase

Fig. 2.27. Ángulo de adelanto de fase

Máximo, rpm. Llamaremos Wm a la frecuencia en el punto tangente. El ángulo de fase en W

= Wm es rpm, en donde

𝑠𝑒𝑛∅𝑚 =

1 − 𝛼2

1 + 𝛼2

=1 − 𝛼

1 + 𝛼

Ecuación

2.81

La ecuación relaciona el ángulo de adelanto de fase máximo con el valor de . La figura 9-

4 muestra las trazas de Bode de un compensador de adelanto cuando Kc = 1 y a = 0.1. Las

frecuencias de esquina para el compensador de adelanto son w = 1/Ty w = 1/(T) = 10/T. Si

examinamos la figura 9-4, vemos que Wm es la media geométrica de las dos frecuencias de

esquina

𝑙𝑜𝑔𝑤𝑚 =1

2(𝑙𝑜𝑔

1

𝑇+ 𝑙𝑜𝑔

1

𝑎𝑇)

por tanto,

𝑤𝑚 =1

√𝑎𝑇

Ecuación

2.82

Como puede observarse, el compensador de adelanto es básicamente un filtro paso-altas.

(Pasan las frecuencias altas, pero se atenúan las frecuencias bajas.)

65

Técnicas de compensación de adelanto basadas en el enfoque de la respuesta en frecuencia.

La función principal del compensador de adelanto es volver a dar forma a la curva de

respuesta en frecuencia a fin de ofrecer un ángulo de adelanto de fase suficiente para

compensar el atraso de fase excesivo asociado con los componentes del sistema fijo. Suponga

que las especificaciones del desempeño se dan en términos del margen de fase, del margen

de ganancia, de las constantes de error estático de velocidad, etc. El procedimiento para

diseñar un compensador de adelanto mediante el enfoque de la respuesta en frecuencia se

plantea del modo siguiente:

1. Suponga el siguiente compensador de adelanto:

𝐺𝑐(𝑧) = 𝐾𝑐𝑎𝑇𝑧 + 1

𝑎𝑇𝑧 + 1= 𝐾𝑐

𝑧 +1𝑇

𝑧 +1𝑎𝑇

(0 < 𝑎 < 1)

Defina

𝐾𝑐𝑎 = 𝐾 Ecuación

2.83

Así

𝐺𝑐(𝑧) = 𝐾𝑇𝑧 + 1

𝑎𝑇𝑧 + 1

La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es:

𝐺𝑐(𝑧) = 𝐾𝑇𝑧 + 1

𝑎𝑇𝑧 + 1𝐺(𝑧) =

𝑇𝑧 + 1

𝑎𝑇𝑧 + 1𝐾𝐺(𝑧) = 𝐾

𝑇𝑧 + 1

𝑎𝑇𝑧 + 1𝐺1(𝑧)

Ecuación

2.84

En donde

𝐺1(𝑧) = 𝐾𝐺(𝑧)

Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante estática de error

determinada.

2. Usando la ganancia K determinada, dibuje las trazas de Bode de Gl(jW), el sistema

con la ganancia ajustada pero sin compensar. Calcule el valor del margen de fase.

3. Determine el ángulo de adelanto de fase cp necesario que se agregará al sistema.

4. Determine el factor de atenuación a a partir de la ecuación (9-1). Establezca la

frecuencia a la cual la magnitud del sistema no compensado G1(j) es igual a:

−20 log√1

𝛼

66

Seleccione ésta como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Esta frecuencia corresponde

a 𝑤𝑚 =1

√1

𝛼

Y el cambio de fase máximo m ocurre en ella.

5. Determine las frecuencias de esquina del compensador de adelanto del modo

siguiente:

cero del compensador de adelanto: 𝜔 =1

𝑇

polo del compensador de adelanto: 𝜔 =1

𝛼𝑇

6. usando el valor de k determinado en el paso 1 y el de establecido en el paso 4,

calculando la constante Kc a partir de

𝐾𝑐 =𝐾

𝛼

7. Verifique el margen de ganancia para asegurarse de que es satisfactorio. De no ser

así, repita el proceso de diseño modificando la ubicación de los polos y ceros del

compensador hasta obtener un resultado satisfactorio.

2.7.4 Diseño de compensadores en atraso de fase

2.7.4.1 Método del lugar de las raíces

Técnicas de compensación de atraso basadas en el enfoque del lugar geométrico de las raíces.

Considere el problema de encontrar una red de compensación conveniente para un sistema

que exhibe características satisfactorias de la respuesta transitoria, pero características

insatisfactorias en estado estable. En este caso la compensación consiste, esencialmente, en

incrementar la ganancia en lazo cerrado sin modificar en forma notable las características de

la respuesta transitoria. Esto quiere decir que no debe cambiarse de manera significativa el

lugar geométrico de las raíces en la vecindad de los polos dominantes en lazo cerrado, sino

que debe incrementarse la ganancia en lazo abierto en la medida en que se necesite. Esto se

consigue si se coloca un compensador de atraso en cascada con la función de transferencia

de la trayectoria directa determinada.

Para evitar un cambio notable en los lugares geométricos de las raíces, la contribución de

ángulo de la red de atraso debe limitarse a una cantidad pequeña, por ejemplo 5°, Para

asegurar esto, colocamos el polo y el cero de la red de atraso relativamente cerca uno del otro

y cerca del origen del plano s. De este modo, los polos en lazo cerrado del sistema

compensado solo se alejarán ligeramente de sus ubicaciones originales. Por tanto, la

característica de la respuesta transitoria cambiará muy poco.

Considere un compensador de atraso Gc(s), en el que

67

𝐺𝑐(𝑧) = �̂�𝑐𝛽𝑇𝑧 + 1

𝛽𝑇𝑧 + 1= �̂�𝑐

𝑧 +1𝑇

𝑧 +1𝛽𝑇

Si colocamos el cero y el polo del compensador de atraso muy cerca uno del otro, ens = SI,

en donde SI es uno de los polos dominantes en lazo cerrado, las magnitudes SI + (lIT) y SI

+ [1/(PT)] serán casi iguales, o bien. Esto implica que, si la ganancia Kc del compensador de

atraso se hace igual a 1, la característica de la respuesta transitoria no se alterará. (Esto

significa que la ganancia global de la función de transferencia en lazo abierto se incrementará

en un factor de {J, en donde {J > 1.)

Si el polo y el cero se colocan muy cerca del origen, puede aumentarse el valor de {J. (Se usa

un valor grande de {J, siempre que sea posible la materialización del compensador de atraso.)

Se debe señalar que el valor de T debe ser grande, pero no es indispensable conocer su valor

exacto. Sin embargo, no debe ser demasiado grande, a fin de evitar dificultades al momento

de materializar el compensador de atraso de fase mediante componentes físicos.

Un incremento en la ganancia significa un incremento en las constantes de error estático. Si

la función de transferencia en lazo abierto del sistema no compensado es G(z), la constante

de error estático de velocidad Kv del sistema no compensado es.

Kv = lím zG(z) Si el compensador se selecciona como el que se obtiene de la ecuación,

entonces, para el sistema compensado con la función de transferencia en lazo abierto

Gc(z)G(z), la constante de error estático de velocidad Kv se convierte en:

|𝐺𝑐(𝑧)| = |�̂�𝑐

𝑧1 +1𝑇

𝑧1 +1𝛽𝑇

| = �̂�𝑐

�̂�𝑣 = lim𝑠→0

𝑧𝐺𝑐(𝑧)𝐺(𝑧)

= lim𝑧→0

𝑧𝐺𝑐(𝑧)𝐾𝑣

= �̂�𝑐𝛽𝐾𝑣

Por tanto, si el compensador se obtiene como anteriormente se mostró, la constante de error

estático de velocidad se incrementa en un factor de Kc {3, en donde Kc tiene un valor cercano

a la unidad.

Procedimientos de diseño para la compensación de atraso mediante el método del lugar

geométrico de las raíces. El procedimiento para diseñar compensadores de atraso:

1. Dibuje la gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado,

cuya función de transferencia en lazo abierto sea G(z). Con base en las

especificaciones de la respuesta transitoria, ubique los polos dominantes en lazo

cerrado en el lugar geométrico de las raíces.

68

2. Suponga que la función de transferencia del compensador de atraso es

𝐺𝑐(𝑧) = �̂�𝑐𝛽𝑇𝑧 + 1

𝛽𝑇𝑧 + 1= �̂�𝑐

𝑧 +1𝑇

𝑧 +1𝛽𝑇

3. Calcule la constante de error estático especificada en el problema.

4. Determine el incremento necesario en la constante de error estático para satisfacer las

especificaciones.

5. Determine el polo y el cero del compensador de atraso que producen el incremento

necesario en la constante de error estático determinado sin alterar apreciablemente

los lugares geométricos de las raíces originales. (Observe que la razón entre el valor

de la ganancia requerido en las especificaciones y la ganancia que se encuentra en el

sistema no compensado es la razón entre la distancia del cero al origen y la del polo

al origen.)

6. Dibuje una nueva gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema no

compensado. Localice los polos dominantes en lazo cerrado deseados sobre el lugar

geométrico de las raíces. (Si la contribución de ángulo de la red de atraso es muy

pequeña, es decir, de pocos grados, los lugares geométricos de las raíces originales y

los nuevos serán casi idénticos. Sin embargo, habrá una ligera discrepancia entre

ellos. A continuación ubique, sobre el nuevo lugar .geométrico de las raíces, los polos

dominantes en lazo cerrado deseados a partir de las especificaciones de la respuesta

transitoria.

7. Ajuste la ganancia Kc del compensador a partir de la condición de magnitud, a fin de

que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la ubicación deseada.

Fig. 2.28. Sistema Realimentado

Ejemplo

Se trata de un sistema realimentado con

𝐺(𝑧) =1

𝑧 + 0.3 𝐻(𝑧) =

1

𝑧 + 0.7

El root-locus y el root-locus complementario de G(z)H(z). Se ha dibujado allí también el

círculo unitario, para facilitar la determinación de la estabilidad.

El root-locus cruza el circulo unitario en −0.5 ± 𝑗√1 − 0.52 = −0.5 ± 𝑗0.86. Estos puntos

corresponden a una ganancia 𝐾𝐶1 positiva tal que

69

𝐾𝐶1 = |1

(−0.5 + 𝑗0.86 + 0.3)(−0.5 + 𝑗0.86 + 0.7)| = 0.79

El root-locus complementario cruza el círculo unitario en -1 y en 1.Estos puntos

corresponden a unas ganancias 𝐾𝐶2 𝑦 𝐾𝐶3 negativa tales que

𝐾𝐶2 = − |1

(−1 + 0.3)(−1 + 0.7)| = −0.21

𝐾𝐶3 = − |1

(1 + 0.3)(1 + 0.7)| = −2.21

Para el root-locus se necesita que K<0.79 y para el root-locus complementario que

𝐾 > −0.21

𝐾 > −2.21

Estas condiciones se pueden resumir en una sola

−0.21 < 𝐾 < 0.79

Fig. 2.29. Root Locus (rojo) y root locus complementario (azul)

2.7.4.2 Método de respuesta en frecuencia.

Técnicas de compensación de atraso basadas en el enfoque de la respuesta en frecuencia. La

función principal de un compensador de atraso es proporcionar una atenuación en el rango

de las frecuencias altas a fin de aportar un margen de fase suficiente al sistema. La

característica de atraso de fase no afecta la compensación de atraso.

El procedimiento para diseñar compensadores de atraso para el sistema de la figura, mediante

el enfoque de la respuesta en frecuencia, se plantea del modo siguiente:

1. Suponga el compensador de atraso:

𝐺𝑐(𝑧)𝐺(𝑠) = 𝐾𝑇𝑧 + 1

𝑎𝑇𝑧 + 1𝐺(𝑧) =

𝑇𝑧 + 1

𝑎𝑇𝑧 + 1𝐾𝐺(𝑧) = 𝐾

𝑇𝑧 + 1

𝑎𝑇𝑧 + 1𝐺1(𝑧)

Defina

𝐺𝑐(𝑧) = 𝐾𝐺(𝑧) Ecuación

2.85

70

De modo que

𝐺𝑐(𝑧) = 𝐾𝑇𝑧 + 1

𝑎𝑇𝑧 + 1

La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es:

𝐺𝑐(𝑠)𝐺(𝑠) = 𝐾𝑇𝑠 + 1

𝑎𝑇𝑠 + 1𝐺(𝑠) =

𝑇𝑠 + 1

𝑎𝑇𝑠 + 1𝐾𝐺(𝑠) = 𝐾

𝑇𝑠 + 1

𝑎𝑇𝑠 + 1𝐺1(𝑠)

Ecuación

2.86

En donde

𝐺1(𝑠) = 𝐾𝐺(𝑠)

Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento en la constante de error estático

establecida.

2. Si el sistema no compensado G1.(j) = KG(j) no satisface las especificaciones en

los márgenes de fase y de ganancia, encuentre el punto de frecuencia en el cual el

ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto sea igual a -180° más el

margen de fase requerido. Éste es el margen de fase especificado entre 5 y 12°. (La

adición de entre 5 y 12° compensa el atraso de fase del compensador de atraso.)

Seleccione ésta como la nueva frecuencia de cruce de ganancia.

3. Para evitar los efectos nocivos del atraso de fase producido por el compensador de

atraso, el polo y el cero del compensador de atraso deben ubicarse mucho más abajo

que la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Por tanto, seleccione la frecuencia de

esquina = 1/𝑇 (que corresponde al cero del compensador de atraso) entre una

octava y una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. (Si las

constantes de tiempo del compensador de atraso no se vuelven demasiado grandes,

se selecciona la esquina de frecuencia = 1/𝑇 una década por debajo de la nueva

frecuencia de cruce de ganancia.)

4. Determine la atenuación necesaria para disminuir la curva de magnitud a 0 dB en la

nueva frecuencia de cruce de ganancia. Considerando que esta atenuación es de -

20logβ, determine el valor de β. Luego se obtiene la otra frecuencia de esquina (que

corresponde al polo del compensador de atraso) a partir de = 1/( 𝛽 / 𝑇).

5. Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el de,8 obtenido en el paso 5, calcule

la constante Kc a partir de

𝐾𝑐 =𝐾

𝛽

Ecuación

2.87

71

2.7.5 Diseño de compensadores en atraso-adelanto

2.7.5.1 Método del lugar de las raíces

Suponga que usamos el compensador de atraso-adelanto

𝐺𝑐(𝑧) = 𝐾𝑐

𝛽

𝛾

(𝑇1𝑧 + 1)(𝑇𝑧2 + 1)

(𝑇1𝛾 𝑧 + 1) (𝛽𝑇2𝑧 + 1)

= 𝐾𝑐 (𝑧 +

1𝑇1

𝑧 +𝛾𝑇1

)(𝑧 +

1𝑇2

𝑧 +1

𝛽𝑇2

) Ecuación

2.88

En el que β>1 Y γ>1. (Suponga que Kc pertenece a la parte de-adelanto del compensador de

atraso-adelanto.)

Al diseñar los compensadores de atraso-adelanto, consideramos dos casos: γ β y γ =β

Caso1. γ β .En este caso, el proceso de diseño es una combinación del diseño del

compensador de adelanto con el del compensador de atraso. El siguiente es el procedimiento

para el compensador de atraso-adelanto:

1. A partir de las especificaciones de desempeño proporcionadas, determine la

ubicación deseada para los polos dominantes en lazo cerrado.

2. Use la función de transferencia en lazo abierto no compensado G(s), para determinar

la deficiencia de ángulo si los polos dominantes en lazo cerrado estarán en la

posición deseada. La parte de adelanto de fase del compensado de atraso-adelanto

debe contribuir a este ángulo .

3. Suponiendo que después selecciona un Tz suficientemente grande para que la

magnitud de la parte de atraso

|𝑧1 +

1𝑇2

𝑧1 +1

𝛽𝑇2

| Ecuación

2.89

Se acerque a la unidad, de modo que s=s1 es uno de los polos dominantes en la zo cerrado,

elija los valores de T1 y γ a partir del requerimiento de que

⋁𝑧1 +

1𝑇2

𝑧1 +𝛾𝑇1

= 𝜙 Ecuación

2.90

La elección de T1 y γ no es única (Puede escogerse un conjunto infinitamente más grande de

valores 0para T1 y γ ) A continuación determine el valor de Kc a partir de la condición de

magnitud:

72

|𝐾𝑐

𝑧1 +1𝑇1

𝑧1 +1

𝛽𝑇1

𝐺(𝑧1) = 1| Ecuación

2.91

4. si se especifica la constante de error estático de velocidad Kv, determine el valor de β

que satisfaga el requerimiento de Kv. La constante de error estático de velocidad Kv

se obtiene mediante

𝐾𝑣 = lim𝑠→0

𝑧𝐺𝑐(𝑧)𝐺(𝑧)

= lim𝑧→0

𝑧𝐾𝑐 ( 𝑧 +

1𝑇1

𝑧 +𝛾𝑇1

)( 𝑧 +

1𝑇2

𝑧 +1

𝛽𝑇2

)

= lim𝑧→0

𝑧𝐾𝑐

𝛽

𝛾𝐺𝑐(𝑧)

Ecuación

2.92

En donde Kc y γ se determinaron en el paso 3. Por tanto, dado el valor de Kv, el valor de β

se determina a partir de esta última ecuación. Después, usando el valor de β determinado de

este modo, seleccione un valor de T2, tal que

|𝑧1 +

1𝑇2

𝑧1 +1

𝛽𝑇2

| ≠ 1

−5° < ⋁𝑧1 +

1𝑇2

𝑧1 +1

𝛽𝑇2

< 0° Ecuación

2.93

Caso 2. φ=β. Si se requiere que la ecuación 7-5 φ=β, el procedimiento de diseño anterior para

el compensador de atraso-adelanto se modifica del modo siguiente:

1. a partir de las especificaciones de desempeño proporcionadas, determine la ubicación

deseada para los polos dominantes en lazo cerrado.

2. el compensador de atraso-adelanto obtenido se modifica a

𝐺𝑐(𝑧) = 𝐾𝑐

(𝑇1𝑧 + 1)(𝑇2𝑧 + 1)

(𝑇1

𝛽𝑧 + 1) (𝛽𝑇1𝑧 + 1)

= 𝐾𝑐

(𝑧 +1𝑇1

) (𝑧 +1𝑇2

)

(𝑧 +𝛽𝑇1

) (𝑧 +1

𝛽𝑇2)

Ecuación

2.94

en donde β>1. la función de transferencia de lazo abierto del sistema compensado es

Gc(s)G(s). si se especifica la constante de error estático de velocidad Kv, determine el valor

de la constante Kc a partir de la ecuación siguiente

73

𝐺𝑣 = lim𝑠→0

𝑧𝐺𝑐(𝑧)𝐺(𝑧)

= lim𝑠→0

𝑧𝐾𝑐𝐺(𝑧) Ecuación

2.95

3. para tener los polos dominantes en lazo cerrado en la ubicación deseada, calcule la

contribución requerida del ángulo de la parte de adelanto de fase del compensador

de atraso-adelanto.

4. para que el compensador de atraso-adelanto, seleccione una T2 suficientemente

grande, a fin de que

|𝑧1 +

1𝑇2

𝑧1 +1

𝛽𝑇2

| Ecuación

2.96

Se aproxime a la unidad, de modo que s=s1 sea uno de los polos dominantes en lazo cerrado.

Determine los valores de T1 y β a partir de las condiciones de magnitud y de ángulo.

|𝐾𝑐 (𝑧1 +

1𝑇1

𝑧1 +𝛽𝑇1

)𝐺(𝑠1)| = 1

⋁𝑧1 +

1𝑇1

𝑧1 +𝛽𝑇1

= 𝜙 Ecuación

2.97

5. usando el valor de β recién determinado, seleccione T2 de modo que

|𝑧1 +

1𝑇2

𝑧1 +1

𝛽𝑇2

| ≠ 1

−5° < ⋁𝑧1 +

1𝑇2

𝑧1 +1

𝛽𝑇2

< 0° Ecuación

2.98

El valor de βT2, la constante de tiempo más grande del compensador de atraso-adelanto no

debe ser demasiado grande, a fin de que pueda materializarse.

Método de respuesta en frecuencia

Considere el compensador de atraso-adelanto obtenido mediante:

74

𝐺𝑐(𝑧) = 𝐾𝑐

(𝑧 +1𝑇1

) (𝑧 +1𝑇2

)

(𝑧 +𝛾𝑇1

) (𝑧 +1

𝛽𝑇2)

Ecuación

2.99

Fig. 2.30. Compensador

En donde γ>1 y β>1, el termino

Produce el efecto de una red de adelanto, y el término

Produce el efecto de una red de atraso.

Al diseñar un compensador de atraso-adelanto, es común seleccionar γ=β. (esto, por

supuesto, no es necesario, ya que podemos elegir γβ). A continuación, considere el caso en

el que γ=β. La traza polar del compensador de atraso-adelanto Kc=1 y γ=β se convierte en la

que aparece en la figura. Observe que, para 0<ω< ω1, el compensador funciona como un

compensador de atraso, en tanto que, para ω1< ω<∞, funciona como un compensador de

adelanto. La frecuencia ω1 es aquella en la cual el ángulo de fase es cero. Se obtiene mediante:

𝑤1 =1

√𝑇1𝑇2

Ecuación

2.100

La figura muestra las trazas de bode del compensador de atraso-adelanto cuando Kc=1,

γ=β=10 y T2=10T1. Observe que la curva de magnitud tiene un valor de 0 dB en las regiones

de frecuencia alta y baja

Compensación de atraso-adelanto basada en el enfoque de la respuesta en frecuencia. El

diseño de un compensador de atraso-adelanto mediante el enfoque de la respuesta en

frecuencia se basa en la combinación de las técnicas de diseño

Fig. 2.31. Compensación

Analizadas en la Compensación de adelanto y la compensación de atraso.

Supongamos que el compensador de atraso-adelanto tiene la forma siguiente:

𝐺𝑐(𝑧) = 𝐾𝑐

(𝑇1𝑧 + 1)(𝑇2𝑧 + 1)

(𝑇1

𝛽𝑧 + 1) (𝛽𝑇2𝑧 + 1)

= 𝐾𝑐

(𝑧 +1𝑇1

) (𝑧 +1𝑇2

)

(𝑧 +𝛽𝑇1

) (𝑧 +1

𝛽𝑇2)

Ecuación

2.101

75

En donde 𝛽 = 1. La parte de adelanto de fase del compensador de atraso-adelanto (la parte

que contiene T1) altera la curva de respuesta en frecuencia añadiendo un ángulo de adelanto

de fase e incrementando el margen de fase en la frecuencia de cruce de ganancia. La parte

de atraso de fase (la parte que contiene T2) proporciona una atenuación cercana y por arriba

de la frecuencia de cruce de ganancia y. por tanto. Permite un incremento de la ganancia en

el rango de frecuencias bajas a fin de mejorar el desempeño en estado estable.

2.8 PID DISCRETO

Es interesante señalar que más de la mitad de los controladores industriales que se usan hoy

en día utilizan esquemas de control PID o PID modificado. Los controladores PID

analógicos, son principalmente de tipo hidráulico, neumático, electrónico, eléctrico o sus

combinaciones. En la actualidad, muchos de estos se transforman en formas digitales

mediante el uso de microprocesadores. Se puede indicar que un controlador PID responde

a la siguiente ecuación:

𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝𝑒(𝑡) +𝐾𝑝

𝑇𝑖∫ 𝑒(𝑡)𝜕𝑡 + 𝐾𝑝𝑇𝑑

𝜕𝑒(𝑡)

𝜕𝑡

𝑡

0

Ecuación

2.102

Donde e(t) es el error de la señal y u(t) es la entrada de control del proceso. Kp es la ganancia

proporcional, Ti es la constante de tiempo integral y Td es la constante de tiempo

derivativa.

En el dominio de la frecuencia, el controlador PID se puede escribir como

𝑈(𝑧) = 𝐾𝑝 (1 +1

𝑇𝑖𝑧+ 𝑇𝑑𝑧)𝐸(𝑧)

Ecuación

2.103

La función de transferencia para el controlador PID digital se convierte en

𝑈(𝑧) = 𝐾𝑝 [1 +1

𝑇𝑖(1 − 𝑧−1)+ 𝑇𝑑

(1 − 𝑧−1)

𝑇]𝐸(𝑧)

Ecuación

2.104

La función de transferencia discreta, también puede ser representada como

𝑈(𝑧)

𝐸(𝑧)= 𝑎 +

𝑏

1 − 𝑧−1+ 𝑐(1 − 𝑧−1)

Ecuación

2.105

Dónde:

𝑎 = 𝐾𝑝 𝑏 =𝐾𝑝𝑇

𝑇𝑖 𝑐 =

𝐾𝑝𝑇𝑑

𝑇

76

Existen distintas posibilidades de la realización práctica de un controlador PID, una de las

más habituales es la realización en paralelo:

Fig. 2.32. Diseño paralelo de controlador PID

2.8.1 Estructura Del Control Digital

Un sistema de control digital (o discreto) se introduce en un lazo de control con el único

propósito de reemplazar al controlador, por tanto, en la mayoría de los casos, el proceso físico

continua siendo continuo (analógico).

La señal de salida del proceso de control se muestrea cada cierto intervalo de tiempo (llamado

período de muestreo) y es discretizada mediante un convertidor analógico- digital (ADC).

Esta información es procesada por el controlador digital y convertida nuevamente en

analógica mediante un convertidor digital-analógico (DAC). Por lo tanto, internamente el

controlador digital se independiza del tipo de señal con que está trabajando y ve todas las

magnitudes como una serie de valores discretos. Por esta razón resulta mucho más cómodo

trabajar con ecuaciones en diferencia en lugar de ecuaciones diferenciales.

La estructura típica de un sistema de control digital en lazo cerrado se muestra a continuación:

Fig. 2.33. Estructura de un sistema de control digital en lazo cerrado

2.8.2 Características del control digital

Como características básicas del control digital se pueden mencionar las siguientes:

El algoritmo puede ser implementado sin límite de complejidad. Los sistemas

analógicos si presentan esta dificultad.

La facilidad de ajuste y cambio que presentan los controladores digitales los hace

muy flexibles. Esto implica que, los controladores digitales son modificados

simplemente reprogramando el algoritmo, mientras que, en los analógicos implica un

cambio de componentes o, en el peor de los casos, un cambio del controlador

completo.

Los sistemas digitales presentan menor sensibilidad al ruido electromagnético.

Si el controlador digital es implementado en un computador, este puede ser utilizado

simultáneamente para otros fines tales como: adquisición de datos, alarmas,

administración, etc. Al mismo tiempo presenta una excelente interface con el

operador del equipo.

El costo es el principal argumento para utilizar un sistema de control digital en lugar

de un analógico. El costo de un sistema analógico se incrementa en función de número

de lazos, no así con el digital.

77

2.8.3 Aproximación rectangular hacia delante

Se cumple que u(t) = u((k-1)T) en todo el intervalo:

𝐴 = (−𝑎𝑢((𝑘 − 1)𝑇) + 𝑎𝑒((𝑘 − 1)𝑇))𝑇 Ecuación

2.106

Teniendo en cuenta que

𝑢(𝑘𝑇) = 𝑢((𝑘 − 1)𝑇) + 𝐴 Ecuación

2.107

Se llega a:

𝑢𝑘 = 𝑢𝑘−1 − 𝑇𝑎𝑢𝑘−1 + 𝑇𝑎𝑒𝑘−1 Ecuación

2.108

Tomando la transformada z

𝑈(𝑧)

𝐸(𝑧)=

𝑎

𝑧 − 1𝑡 + 𝑎

Ecuación

2.109

Luego

𝑠 =𝑧 − 1

𝑇

Ecuación

2.110

2.8.4 Aproximación rectangular hacia atrás

Se cumple que u(t)=u(kT) en todo intervalo

En este caso:

𝐴 = −𝑎𝑇𝑢(𝑘𝑇) + 𝑎𝑇𝑒(𝑘𝑇) Ecuación

2.111

Teniendo en cuenta que

𝑢(𝑘𝑇) = 𝑢((𝑘 − 1)𝑇) + 𝐴 Ecuación

2.112

Se llega a:

𝑢𝑘 = 𝑢𝑘−1 − 𝑇𝑎𝑢𝑘 + 𝑇𝑎𝑒𝑘 Ecuación

2.113

Tomando la transformada z

78

𝑈(𝑧)

𝐸(𝑧)=

𝑎𝑇

1 + 𝑎𝑇 − 𝑧−1

Ecuación

2.114

Luego

𝑠 =𝑧 − 1

𝑧𝑇

Ecuación

2.115

2.8.5 Trapezoidal o Bilineal

En este caso u(t) a lo largo del intervalo vale:

𝑢(𝑡) = 𝑢((𝑘 − 1)𝑇) +𝑢(𝑘𝑇) − 𝑢((𝑘 − 1)𝑇)

𝑇(𝑡 − (𝑘 − 1)𝑇)

Ecuación

2.116

Esto implica

𝐴 = −𝑎𝑇 (𝑢𝑘 + 𝑢𝑘−1

2) + 𝑎𝑇 (

𝑒𝑘 + 𝑒𝑘−1

2)

Ecuación

2.117

Llevando a:

𝑢(𝑘𝑇) = 𝑢((𝑘 − 1)𝑇) + 𝐴 Ecuación

2.118

Se obtiene:

𝑢𝑘 = 𝑢𝑘−1 − 𝑎𝑇 (𝑢𝑘 + 𝑢𝑘−1

2) + 𝑎𝑇 (

𝑒𝑘 + 𝑒𝑘−1

2)

Ecuación

2.119

Aplicando transformada z

𝑈(𝑧)

𝐸(𝑧)=

𝑎

2(𝑧 − 1)𝑇(𝑧 + 1)

+ 𝑎 Ecuación

2.120

𝑠 =2(𝑧 − 1)

𝑇(𝑧 + 1)

Ecuación

2.121

79

BIBLIOGRAFÍA

Rodriguez, D. (s.f.). Control-class. Recuperado el 3 de Julio de 2014, de http://www.control-

class.com/Tema_6/Slides/Tema_6_Diseno_Controladores.pdf

Ogata, K. (2000). plano z con plano s. En K. Ogata, sistemas de control en tiempo discreto

(págs. 174-182). Mexico : PIRSON .

Rivera, J. (26 de 09 de 2006). Recuperado el 02 de 07 de 2014, de

http://www.depi.itchihuahua.edu.mx/jrivera/controldigital/unidad_iii_controldigital.

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