Unidad 2

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL

FACULTAD DE INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICA

PROGRAMA DE POSGRADO EN AUTOMATIZACIN Y

CONTROL INDUSTRIAL

MQUINAS ELCTRICAS

UNIDAD 2

Dr. Hugo Arcos Martnez


2 MQUINAS ELCTRICAS

DR. HUGO ARCOS M.

Contenido

Contenido.......................................................................................................................... 2

4. Conversin electromecnica de energa ................................................................... 3

4.1. Energa en el campo ........................................................................................... 5

4.2. Energa mecnica en un sistema lineal .............................................................. 8

4.3. Energa mecnica en un sistema saturable ....................................................... 16

4.4. Actuador rotante y motor de reluctancia .......................................................... 18

4.5. Mquina doblemente alimentada ..................................................................... 24


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DR. HUGO ARCOS M.

4. Conversin electromecnica de energa

La energa puede ser convertida de una clase a otra y transmitida desde una fuente a un

sumidero de energa, pero no puede ser ni creada ni destruida.

La energa total de un sistema es por tanto constante y para accin motora e ignorando

la radiacin de la misma se tiene:

= + + [4.1]

Para accin generadora la energa elctrica de la fuente y la energa mecnica de la

carga son negativas en la Ec. [4.1].

El ltimo trmino de la Ec. [4.1] incluye prdidas de todo tipo, esto es energa que

escapa del proceso de conversin electromecnica de energa.

= + + [4.2]

Prdidas en el campo que son casi totalmente originadas por histresis y corrientes

parsitas.

Reemplazando Ec. [4.2] en Ec. [4.1] se tiene:

= + [4.3]

Si la energa del campo elctrico es despreciable, fluye la misma corriente en todas las

partes de la bobina y el efecto de las prdidas en el conductor puede ser modelado por

una resistencia R concentrada como se ve en la Figura 4.1.

Energa

Elctrica

de la fuente

Energa

mecnica

de la carga

Incremento

de la energa

del campo

Energa

convertida

a calor

Energa

convertida

a calor

Prdidas en

la

resistencia

Prdidas por

friccin y

ventilacin

Prdidas en

el campo

Energa

elctrica

menos

prdidas en la

resistencia

Energa mecnica

ms prdidas por

friccin y

ventilacin

Incremento de la energa

en el campo magntico

de acoplamiento ms

prdidas en el ncleo


4 MQUINAS ELCTRICAS

DR. HUGO ARCOS M.

Figura 4.1. Actuador de un contactor de ascenso vertical.

En cualquier instante la fem inducida en la bobina por cambios en los enlaces de flujo vale:

[V] dt

de

[4.4]

En un intervalo dt durante el cual cambia la corriente y la armadura se mueve se

transfiere desde la fuente al campo de acoplamiento un diferencial de energa dWe:

eidtidtRivdtRiidtvdW tte

2

[4.5]

El campo de acoplamiento: Almacena energa que recibe de la fuente

Transfiere energa al sistema magntico

Como:

La energa del campo magntico vara

dWf = parte de la energa recibida por el campo magntico, que se destina a

modificar la energa almacenada en l y a abastecer las prdidas en el ncleo

dWm = parte de la energa recibida por el campo magntico, que se destina a la

carga mecnica y a abastecer las prdidas por friccin y ventilacin.

Por el principio de conservacin de la energa:

[J] fme dWdWdW [4.6]

Velocidad de

almacenamiento de

energa en el campo

Velocidad de transferencia de

energa desde el campo al

sistema magntico


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4.1. Energa en el campo

Despreciando las prdidas en el ncleo:

Wf = energa almacenada en el campo magntico de acoplamiento.

Si a un cierto valor de entrehierro se fija la armadura para impedir que se mueva, al

variar la corriente se tiene:

0mdW [4.7]

Al cerrar SW en la Figura 4.1 la corriente crece hasta vt / R y se establece un flujo en el

sistema magntico.

De las Ecs. [4.6] y [4.7] resulta:

[J] fe dWdW [4.8]

Y reemplazando las Ecs. [4.7] y [4.8] en la Ec. [4.5] se tiene:

[J] idiedtdWdW ef [4.9]

Si se cambia ahora vt, cambia i de i1 a i2 y de 1 a 2.

Figura 4.2. Caracterstica de un sistema magntico.


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Incremento de la energa almacenada durante la transicin entre esos dos estados:

[J] 2

1

idWf [4.10]

Si se incrementa desde cero, la energa total almacenada en el campo es:

[J] 0

idW f [4.11]

Si se asume que no hay flujo de dispersin, se tiene:

[Wb] N [4.12]

De las Ecs. [4.6] y [4.9] se expresa:

[J] dNididdWf [4.13]

Si la reluctancia del entrehierro es una parte preponderante de la reluctancia total, la

caracterstica -i se transforma en una lnea recta por el origen de coordenadas:

[Wb] Li [4.14]

Substituyendo en Ec. [4.11] se obtiene Wf:

[J] 222

22

0

iLi

Ld

LWf [4.15]


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Figura 4.3. Caracterstica del sistema magntico idealizado

Wf puede tambin ser expresado como:

[J] 22

22

0

dWf [4.16]

Si se asume que no hay efecto de bordes en el entrehierro, la energa del campo se

distribuye uniformemente en el volumen del entrehierro.

A = rea de la seccin transversal de la pierna central del ncleo

A/2 = rea de la seccin transversal de cada pierna exterior del ncleo

l = 2g = longitud total del camino de flujo en el entrehierro

De la Ec. [4.15] se tiene:

[J] 2

1

22HBlA

iW f

[4.17]

B = densidad de flujo en el entrehierro. Puesto que (B/H) = 0 y l.A es el volumen total del entrehierro, de la Ec. [4.17] se sigue que la densidad de energa en el entrehierro es:

][J/m 2

1

2

1

2

1 3

0

22

0

B

HBHlA

Ww

f

f [4.18]


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Ejercicio 4.1: Las dimensiones del ncleo de la Figura 4.1 estn mostradas en la

Figura 4.4. Ambas partes estn hechas de acero laminado M-36. El factor de

apilamiento es 0.95 y la bobina tiene 2000 vueltas.

El flujo de dispersin y el efecto de bordes en el entrehierro pueden ser despreciados.

La armadura est fijada en modo tal que la longitud del entrehierro es g = 10 mm. Una

corriente continua pasa a travs de la bobina y produce una densidad de flujo de 1.2

Tesla en el entrehierro. Determine:

a) La corriente requerida en la bobina. b) La energa almacenada en el entrehierro. c) La energa almacenada en el acero. d) La energa total del campo.

Figura 4.4. Diagrama para ejercicios 4.1 y 4.2

Ejercicio 4.2: Para el actuador del ejercicio 1 determine la energa almacenada en el

campo asumiendo que el acero del ncleo y la armadura tienen permeabilidad infinita.

4.2. Energa mecnica en un sistema lineal

La conversin electromecnica de la energa es posible si la cantidad de energa

almacenada en el campo de acoplamiento depende de las posiciones relativas de las

partes del sistema mecnico.

Se asume que el actuador de la Figura 4.1 se mueve dentro de ciertos lmites, existiendo

siempre entrehierro en el sistema magntico. La fuente de energa tiene una diferencia

de potencial vt que es constante.


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Figura 4.5. Sistema ideal: Caracterstica -i para las posiciones extremas de la

armadura

i. Se mantiene la armadura en la posicin inferior y se cierra el interruptor SW.

ii. La corriente en la bobina crece hasta el valor estacionario

[A] R

VI t [4.19]

iii. Se permite a la armadura moverse hacia arriba contra la accin de la fuerza de retencin (gravedad). La reluctancia decrece, los enlaces de flujo aumentan y se induce en la bobina una fem que reduce la corriente a:

[A] R

eVi t

[4.20]

iv. La armadura alcanza la posicin superior y en ese instante e i corresponden al punto p en la Figura 4.5.


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v. Con el tiempo se incrementan la corriente y los enlaces de flujo hasta que la fem e cae a cero y una vez ms se establece la corriente de estado estacionario. Este estado

se representa por el punto b en la Figura 4.5.

La forma de la curva entre a y b depende de la velocidad de movimiento de la armadura:

Movimiento lento fem e = 0 y corriente i = I = constante movimiento ab

Movimiento rpido e disminuye a i en forma apreciable movimiento apb

Movimiento muy rpido (caso lmite): Se completa el movimiento de la armadura sin

que se produzca cambios en los enlaces de flujo movimiento apb

En cuanto al comportamiento de la energa en el campo se tiene:

i. Energa almacenada en el campo para el estado a:

[J] 00 acreaW fa [4.21]

ii. Energa almacenada en el campo para el estado b:

[J] 00 bdreaW fb [4.22]

iii. Cambio de la energa almacenada en el campo debido al movimiento de la armadura:

[J] 00 00 acreabdreaW f [4.23]

iv. Energa suministrada al campo por la fuente en un intervalo dt mientras se mueve la armadura:

[J]

iddtdt

diiedtdWe [4.24]

v. La energa total suministrada al campo por la fuente durante el tiempo en el cual la energa del campo es incrementada en Wf es:

[J] 2

1

capbdcareaidWe

[4.25]

vi. Si Wm es el trabajo mecnico realizado al mover (levantar) la armadura entre los puntos extremos permitidos, entonces por el principio de conservacin de la energa.

[J] fme WWW [4.26]

vii. Entonces de las Ecs. [4.23], [4.25] y [4.26],



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[J] 00 00 acareabdareaWcapbdcarea m [4.27]

De lo cual:

[J] 00 apareaWm [4.28]

El trabajo mecnico realizado o la energa entregada por el campo magntico al sistema

mecnico al levantar la armadura est dada por el rea OapO en la Figura 4.5.

Si la caracterstica de magnetizacin y por lo tanto la energa en el campo de

acoplamiento no estuviera afectada por el movimiento de la armadura, entonces Wm sera cero.

Para un movimiento diferencial del punto de operacin sobre el segmento ap de la

Figura 4.5 se tiene que la fuerza sobre la armadura en la posicin x es:

[N] dx

dWF m [4.29]

Figura 4.6. Sistema ideal: Caracterstica -i para un desplazamiento diferencial de la

armadura

i. Movimiento muy rpido de la armadura, segmento ab1:

[J] 0''0 1baareadWm [4.30]

ii. Movimiento muy lento de la armadura, segmento ab2:

[J] 0''0 2baareadWm [4.31]



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iii. rea 0ab0 es una cantidad diferencial.

Las reas ab1ba y abb2a son diferenciales de segundo orden, de modo que en el

lmite para dx 0 se cumple:

[J] 0''0 0''0 0''0 21 baareabaareabaarea [4.32]

dWm es de la misma magnitud tanto para el movimiento rpido como para el

movimiento lento de la armadura. Por lo tanto la fuerza ejercida sobre la armadura en

cualquier posicin x es independiente de la forma en que se est moviendo la armadura.

Figura 4.7. Sistema ideal: Desplazamiento diferencial

(a) a valor constante del enlace de flujo.

(b) a valor constante de la corriente.

Para un movimiento diferencial dx de la armadura muy rpido, a enlace de flujo

constante (Figura 4.7(a)) se tiene:

[J] fm dWdW [4.33]

= constante fem e = 0 y dWe = 0, por lo cual de la Ec. [4.29] se obtiene:

[N] tantcons

f

x

WF

[4.34]

La energa mecnica ha sido suministrada completamente por el campo de

acoplamiento.

De la Ec. [4.15] se tiene que:

[J] 2

2

LWf

[4.35]

Sustituyendo las Ecs. [4.35] y [4.14] en la Ec. [4.34] resulta:



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[N] 22

2

2

2

dx

dLi

dx

dL

LF

[4.36]

F sobre la armadura en la direccin x es >0 si L aumenta con el movimiento en la

direccin de x.

La fuerza acta en la direccin que incrementa la inductancia del sistema

Si = constante, es constante y por lo tanto de la Ec. [4.16]:

[J] 2

2fW [4.37]

Substituyendo esta ltima expresin en la Ec. [4.34] se tiene:

[N] 2

2

dx

dF

[4.38]

La fuerza acta en la direccin que disminuye la reluctancia del sistema

Para un movimiento diferencial dx de la armadura muy lento, a corriente constante,

(Figura 4.7 (b)) se tiene que por analoga con la Ec. [4.28] la energa transferida al

sistema mecnico es:

[J] 0''0 2baareadWm [4.39]

El cambio de la energa en el campo durante este desplazamiento est dado por el

cambio en el rea a la izquierda de la caracterstica -i. Agregando la lnea 0b2 paralela a 0a en la Figura 4.7 (b) se muestra que:

rea 0b200 = rea 0ab20 y rea 0b2d0 = rea 0ac0

Puesto que la energa del campo para la posicin x + dx est dada por el rea 0b2d0, entonces se ve que dWf = dWm y ya que ha habido un cambio en los enlaces de flujo,

dWe no es cero. Esto puede ser confirmado en la Figura 4.7 (b) en base a principios

geomtricos.


[J] '''' 2 cdbaareaiddWe [4.40]

Puesto que el rea ab2ca= rea 0ab200, se sigue que:

En este sistema ideal lineal la energa entregada por la fuente al campo de acoplamiento se divide en partes iguales para incrementar la energa del campo

y para transferir energa al sistema mecnico.



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Esto contrasta con la conclusin alcanzada para movimiento muy rpido de la armadura

expresada en la Ec. [4.33].


[J] fem dWdWdW [4.41]

Sustituyendo en la Ec. [4.29] resulta:

N

dx

dW

dx

dWF

fe [4.42]

Y se sigue que para movimiento lento a corriente constante

N

tantan tconsi

f

tconsi

e

x

W

x

WF

[4.43]

Sustituyendo iddWe y

iW f2

1

en Ec. [4.43] se obtiene que:

N

2 dx

di

dx

idF

[4.44]

Que es igual a:

N

2

2

dx

dLiF

[4.45]

Conclusin idntica a la alcanzada con la Ec. [4.36]

Generalizacin: Si un sistema electromagntico es tal que al producirse una deformacin de algn tipo se incrementa la inductancia del o de los bobinados,

entonces cuando fluye corriente aparece una fuerza que tiende a producir tal

deformacin. El sistema tiende a asumir una configuracin con inductancia

incrementada o con reluctancia reducida.

De la Figura 4.1 se tiene que un desplazamiento x > 0 disminucin de g, por tanto:

[m] dgdx [4.46]


[N] 22

22

dg

d

dx

dF

[4.47]



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Puesto que: [A/Wb] 2

0 A

g

[4.48]

Entonces: [N] 22

2

2 0

2

0

2

A

B

AF

[4.49]

El rea total de la seccin transversal del entrehierro es 2A. Entonces la fuerza por

unidad de rea del entrehierro es:

][N/m 2

2

0

2

BFA [4.50]

Si la bobina del actuador de la Figura 4.1 es excitada con corriente alterna, se desarrolla

una fuerza fluctuante que tiene un valor promedio igual y opuesto a la fuerza de

retencin ejercida sobre la armadura.

Ejercicio 4.3: Para el actuador del ejercicio 4.1 determine la fuerza que acta sobre la

armadura para una posicin dada de ella y para las condiciones determinadas en el

ejercicio 4.1. Asuma que el sistema es lineal.



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4.3. Energa mecnica en un sistema saturable

Figura 4.8. Sistema saturable: Caractersticas -i para posiciones extremas de la

armadura

[J] 0

idW f [4.51]

[J] area 2

1

capbdcidWe

[4.52]

Figura 4.9. Sistema saturable: Desplazamiento diferencial

(a) A valor constante del enlace de flujo.

(b) A valor constante de la corriente.

a) Desplazamiento de la armadura a alta velocidad (Figura 4.9 (a)): Para cada x se

tiene una caracterstica -i. Variando se integra para obtener el rea entre el eje



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y la caracterstica -i para el x considerado. Se obtiene as Wf como funcin de y de x:

[J] , xWW ff [4.53]

Si = constante fem e = 0 y dWe = 0 y por lo tanto:

[J] , xdWdW fm [4.54]

[N] tantcons

fm ,xx

W

dx

dWF

[4.55]

b) Desplazamiento de la armadura a baja velocidad (Figura 4.9 (b)):

constante fem e 0 y dWe 0

De aqu que:

[J] fefem WWddWdWdW [4.56]

[N] tantconsi

fe WWx

F

[4.57]

En la Figura 4.9 (b):

dWm = rea 0ab20 = incremento del rea debajo de la caracterstica -i = W = Coenerga

Para cada x se tiene una caracterstica -i. Variando i se integra para obtener el rea entre el eje i y la caracterstica -i para el x considerado. Se obtiene as W como funcin de i y de x:

[J] ,'0i

dixiW [4.58]

[N] ,'

tantconsi

xix

WF

[4.59]

Como = N, e i = /N, sustituyendo en la Ec. [4.58] se tiene W=f(,x)

[J] ,'0

dxW [4.60]

[N] ,'

tantconsx

xWF

[4.61]

W = Wf (en un sistema lineal); W > Wf (en un sistema saturable).



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Ejercicio 4.4: La relacin entre enlaces de flujo y corriente en un actuador puede ser

expresada aproximadamente por:

g

i 21

08.0

entre los lmites 0 < i < 5 A y 0.02 < g < 0.10 m.

Si la corriente es mantenida a 4 A, cul es la fuerza sobre la armadura para g = 0.06

m?

4.4. Actuador rotante y motor de reluctancia

Figura 4.10. Actuador rotante y motor de reluctancia.

Al pasar corriente por la bobina, el actuador desarrolla un par T en la direccin :

i. Si el rotor puede girar libremente, el rotor gira hasta alinearse con los polos del estator.

ii. Si el rotor tiene aplicado un par de retencin o par de carga TL, el rotor gira un ngulo hasta que T iguala al par de retencin TL.

El trabajo diferencial realizado es:



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[J] TddWm [4.62]

Para un sistema lineal vale:

[Nm] 2

1

2

1 22

d

d

d

dLiT s

[4.63]

Si se conocen L = f() o = f(), se puede calcular T para cualquier posicin de .

El par siempre acta en una direccin tal que la rotacin resultante incrementa la inductancia o disminuye la reluctancia

L = f() y = f() se calculan de las dimensiones del dispositivo asumiendo para el material ferromagntico r = infinitamente grande.

a) Excitacin con fuente de tensin continua Vts constante:

[A] s

tsss

R

VIi [4.64]

[Nm] 2

1 2

d

dLITT sL [4.65]

Resolviendo la Ec. [4.65] se obtiene

b) Excitacin alterna sinusoidal vts de amplitud constante:

Desprecindose la resistencia:

[V] dt

dNv sts

[4.66]

Se conoce entonces la amplitud y la variacin de en el sistema magntico.

La variacin sinusoidal de , con max (valor pico) no est afectada por la posicin del rotor.

T variar en el rango:

[Nm] 2

10 2

d

dT

[4.67]

Si ahora se aplica un par externo TL, el rotor se apartar de su alineamiento con los

polos y oscilar alrededor de un ngulo dado por:



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[Nm] 2

2

LTTdt

dJ

[4.68]

J = Momento de inercia del rotor y de las partes conectadas a l.

Si la frecuencia f de la excitacin alterna es elevada y si J es grande, el rotor asumir un

ngulo esencialmente constante, tal que el par promedio Tav desarrollado por el actuador iguale al par de carga TL.

[Nm] 4

1 2

d

dTT Lav

[4.69]

Resolviendo la Ec. [4.69] se obtiene el ngulo .

El actuador, al ser excitado por corriente alterna, puede tambin operar como un motor

que rota continuamente; en este caso d/d es una funcin peridica del tiempo.

d = Reluctancia del sistema magntico (Figura 4.10) para = 0 (eje directo) q = Reluctancia del sistema magntico (Figura 4.10) para = /2 (eje en

cuadratura)

La reluctancia media es:

[A/Wb] 2

dq

a

[4.70]

La forma de los polos del estator y del rotor son tales que la reluctancia vara

sinusoidalmente como se muestra en la Figura 4.11.

Figura 4.11. Variacin de la reluctancia con la posicin del rotor

[A/Wb] 2

b

dq

[4.71]



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[A/Wb] 2cos ba [4.72]

Reemplazando Ec. [4.72] en Ec. [4.63]:

[Nm] 2sin2 bT [4.73]

Desplazando el rotor del eje directo, acta T llevando el rotor a una posicin tal que sin 2 = 0, es decir = 0 = radianes.

Sean m = d/dt velocidad angular constante del rotor y vts tensin alterna sinusoidal de frecuencia angular s.

Si Rsis



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De la Ec. [4.77], Tav existe para cualquier direccin de rotacin. Este par tiende a

mantener la velocidad de rotacin del rotor venciendo friccin, ventilacin y cualquier

par externo de carga aplicado al rotor.

El rotor siempre alcanza una particular posicin cuando el flujo alcanza su valor de

pico. Esto se debe a que la rotacin y la variacin de flujo estn sincronizadas.

Si m = s u m = ns con n entero, se dice que la mquina rota a velocidad sincrnica.

Como en este particular convertidor electromecnico de energa el par es debido a la

variacin de reluctancia con la posicin del rotor, se lo llama mquina sincrnica de

reluctancia.

En la Ec. [4.78] si 0 < 0, Tav > 0 (Tav en la direccin de rotacin mquina = motor)

Como 0 < 0, alcanza max cuando los polos del rotor se estn aproximando a los del estator. El mximo par (Tmax) del motor ocurre para 0 = -/4.

Si (par de friccin + par de ventilacin + par de carga) > Tmax, entonces la mquina sale

de sincronismo y llega al estado de reposo.

Figura 4.12. Variacin del par desarrollado

En la Ec. [4.81] si 0 > 0, Tav < 0 Tav se encuentra en direccin opuesta a la rotacin; por tanto debe aplicarse al rotor un par externo para mantener el rotor a velocidad

sincrnica.

En este caso se debe suministrar energa mecnica Wm al sistema, si Wm > (energa

disipada en friccin y ventilacin), el excedente se transforma en energa elctrica y la

mquina es un generador.



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Esto solo puede ocurrir si la bobina est ya conectada a una fuente de corriente alterna,

la cual se convierte en un sumidero cuando la mquina recibe el par mecnico de

impulso Tm.

Como 0 > 0, alcanza max cuando los polos del rotor se estn ajeando de los del estator. El mximo par Tmax ocurre para 0 = /4.

Si Tm > (par de friccin + par de ventilacin + par desarrollado por la mquina),

entonces la mquina es impulsada por encima de la velocidad sincrnica y puede

embalarse a menos que exista un lmite para la velocidad del motor primario de

impulso.

Bajo estas condiciones deja de realizarse el proceso continuo de conversin de energa y

por lo tanto existe un lmite para la velocidad de conversin de energa o para la

potencia que la mquina puede desarrollar.

La fem es desarrollada en la bobina del estator para motor o generador y su valor eficaz

son:

[V] sin tNdt

dNe sssss

[4.79]

[V] 2

sss

NE [4.80]

La corriente en la bobina puede ser determinada sustituyendo las Ecs. [4.72], [4.74] y

[4.75] en la expresin = Nsis/ para la condicin s = m, lo cual resulta en:

[A] 23cos2cos2

cos

2coscos

00

0

ttN

tN

i

ttN

i

ss

s

bs

s

a

sbas

s [4.81]

De la Ec. [4.81] se ve que la corriente en la bobina tiene una componente de tercera

armnica. Este es un comportamiento indeseable de la mquina, el cual impide que sta

sea usada como un generador, y la limita en tamao cuando se la usa como motor.

Sin embargo esta mquina puede ser usada para impulsar relojes elctricos, radio

grabadores y cualquier otro pequeo mecanismo que requiera velocidad precisa y

constante.

Ejercicio 4.5: La seccin transversal del estator y del rotor de un motor de reluctancia

del tipo ilustrado en la Figura 4.10 es de 25 mm x 25 mm. La longitud del rotor es de

50 mm. El entrehierro es de aproximadamente 4 mm de longitud, tal que las

reluctancias del circuito magntico son:



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Reluctancia de eje directo : d = 10 x 106 A/Wb

Reluctancia de eje en cuadratura: d = 40 x 106 A/Wb

Se puede asumir que la reluctancia vara con la posicin del rotor en la forma sinusoidal ilustrada en la Figura 4.11 y expresada en Ec. [4.72]. La bobina del estator

tiene 3000 vueltas y est excitada desde una fuente de 115 V y 25 Hz. La resistencia de

la bobina es despreciable.

a) Determine el valor mximo de la potencia mecnica que esta mquina puede desarrollar.

b) Determine el valor eficaz de la corriente en la bobina

4.5. Mquina doblemente alimentada

Figura 4.13. Mquina doblemente alimentada

= +

La entrada dWe de energa al campo resultante de las fmms de los 2 bobinados es:

Energa elctrica

de las fuentes

menos prdidas en

las resistencias

Energa mecnica

enviada a la carga

ms prdidas por

friccin y

ventilacin

Incremento de la

energa en el campo

magntico +

prdidas del ncleo



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[J] dtiedtiedW rrsse [4.82]

En ausencia de salida mecnica se tiene que:

[J] fe dWdW [4.83]

Siendo s y r los enlaces de flujo del estator y del rotor, las fems inducidas son

[V] dt

de

dt

de rr

ss

[4.84]

Los enlaces de flujo se expresan en funcin de corrientes e inductancias. Estas ltimas

son constantes para una posicin fija del rotor.

[Wb] rsrssss iLiL [4.85]

[Wb] rrrssrr iLiL [4.86]

Se considera un proceso de doble etapa:

Primera etapa: Se incrementa is (estator) desde cero, mientras el bobinado del

rotor permanece a circuito abierto (ir = 0). De las Ecs. [4.84] y [4.85] se tiene:

[V] dt

diL

dt

de sss

ss

[4.87]


[J] )1( sssse diiLdW [4.88]

Integrando esta expresin desde cero hasta el valor final de corriente is resulta la

entrada de energa durante la primera etapa en:

[J] 2

1 20

)1( sss

i

sssse iLdiiLWs

[4.89]

Ntese que no entra energa al rotor (ir = 0), pero si se induce en l una fem.

Segunda etapa: Mientras is = constante se incrementa ir desde cero. Durante esta

operacin de las Ecs. [4.85] y [4.86] se tiene:

[V] dt

diL

dt

iLiLde rsr

rsrssss

[4.90]

[V]

dt

diL

dt

iLiLde rrr

rrrssrr

[4.91]



DR. HUGO ARCOS M.

Sustituyendo las Ecs. [4.90] y [4.91] en la Ec. [4.82] se obtiene:

[J] )2( rrrrrssre diiLdiiLdW [4.92]

Integrando esta ltima ecuacin desde cero hasta la corriente final ir, resulta la entrada

de energa elctrica durante la segunda etapa

[J] 2

1 200

)2( rrrrssr

i

rrrr

i

rssre iLiiLdiiLdiiLWrr

[4.93]

En ausencia de energa mecnica, toda la entrada neta de energa elctrica durante las

etapas 1 y 2 debe haber sido almacenada en el campo magntico.

Entonces la energa almacenada con las corrientes is e ir es,

[J] 2

1

2

1 22)2()1( rrrrssrssseef iLiiLiLWWW [4.94]

Se puede derivar ahora una expresin para el par desarrollado por la mquina

doblemente alimentada. Supngase que el rotor es libre de moverse, tal que las

inductancias Lss, Lrr y Lsr son todas funciones de . En cualquier instante la diferencia de potencial en cada fuente es:

[V] dt

diRv sssts

[4.95]

[V] dt

diRv rrrtr

[4.96]

Estas ecuaciones pueden ser convertidas en ecuaciones de potencia, para ello se

reemplazan las Ecs. [4.85] y [4.86] en las [4.95] y [4.96] y luego se multiplica [4.95]

por is y [4.96] por ir para obtener:

[W] 22

2

dt

dLii

dt

diiL

dt

dLi

dt

diiLiR

iLiLdt

diiRiv

srrs

rssr

sss

ssssss

rsrsssssssts

[4.97]

[W] 22

2

dt

dLi

dt

diiL

dt

dLii

dt

diiLiR

iLiLdt

diiRiv

rrr

rrrr

srrs

srsrrr

rrrssrrrrrtr

[4.98]

La entrada total de potencia elctrica desde las fuentes es la suma de los miembros

izquierdos de las Ecs. [4.97] y [4.98].

Las prdidas en el cobre son Rsis

2 + Rrir

2.



DR. HUGO ARCOS M.

La suma de los restantes trminos son entonces la entrada de potencia al campo, la cual

es igual a la suma de la potencia destinada a la carga mecnica y la potencia destinada a

incrementar la energa almacenada en el campo magntico.

La potencia destinada a aumentar la energa del campo surge de la Ec. [4.96] y est dada

por:

[W] 2

2

2

1

2

1

2

2

22

dt

dLi

dt

diiL

dt

dLii

dt

diiL

dt

diiL

dt

dLi

dt

diiL

iLiiLiLdt

d

dt

dW

rrrrrrr

srrs

srsr

rssr

sssssss

rrrrssrsss

f

[4.99]

La potencia enviada desde el campo al sistema mecnico es por lo tanto,

4.99Ec. of RHS4.98Ec. of RHS4.97Ec. of RHS 22 rrssm iRiRdt

dW

[4.100]

Donde RHS significa lado derecho de

De la Ec. [4.100], la potencia mecnica es

dt

dLi

dt

dLii

dt

dLip rrrsrrs

sssmech

22

22

[4.101]

Puesto que:

[W] dt

dTTp mmech

[4.102]

El par es entonces:

d

dLi

d

dLii

d

dLiT rrrsrrs

sss

22

22

[4.103]

Los trminos en la Ec. [4.103] que involucran variacin angular de las inductancias

propias son pares de reluctancia similares al par que aparece en el actuador rotacional

discutido en 4.4.

El trmino que involucra variacin angular de la inductancia mutua expresa el par que

ha sido causado por la interaccin de los campos producidos por las corrientes del

estator y del rotor. Este par de inductancia mutua es el ms comnmente explotado en

las mquinas rotantes prcticas.

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Unidad 2