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UNIDAD 5 LÍNEAS DE ESPERA
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5.1. Definiciones, características y suposiciones
El problema es determinar que capacidad o tasa de servicio proporciona el balance
correcto. Esto no es sencillo, ya que el cliente no llega a un horario fijo, es decir, no
se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes. También el tiempo de
servicio no tiene un horario fijo.
Definición.
Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos
matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o sistemas de
colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable, como
la longitud promedio de la línea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado.
Esta información, junto con los costos pertinentes, se usa, entonces, para determinar
la capacidad de servicio apropiada.
Costos de los sistemas de colas.
Un sistema de colas puede dividirse en sus dos componentes de mayor importancia,
la cola y la instalación de servicio . Las llegadas son las unidades que entran en el
sistema para recibir el servicio. Siempre se unen primero a la cola; si no hay línea de
espera se dice que la cola esta vacía . De la cola, las llegadas van a la instalación de
servicio de acuerdo con la disciplina de la cola, es decir, de acuerdo con la regla para
decidir cuál de las llegadas se sirve después. El primero en llegar primero en ser
servido es una regla común, pero podría servir con prioridades o siguiendo alguna
otra regla. Una vez que se completa el servicio, las llegadas se convierten en salidas.
Ambas componentes del sistema tienen costos asociados que deben de considerarse.
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Costo de Espera.
Esperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien se puede aprovechar
en otra cosa y esta dado por :
Costo total de espera = CwL
Donde Cw = costo de espera por hora (en dólares) por llegada por unidad de tiempo y
L= longitud promedio de la línea.
Costo de Servicio.
Este en la mayoría se trata de comprar varias instalaciones de servicio , en estos
casos solo se ocupan los costos comparativos o diferenciales.
Sistema de costo mínimo.
Aquí hay que tomar en cuenta que para tasas bajas de servicio, se experimenta
largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el servicio disminuyen
los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio y el costo total disminuye, sin
embargo , finalmente se llega a un punto de disminución en el rendimiento. Entonces
el propósito es encontrar el balance adecuado para que el costo total sea el mínimo.
Estructuras típicas.
Las llegadas pueden ser personas, cartas, carros, incendios, ensambles intermedios
en una fábrica, etc. En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos de varios
sistemas de colas.
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Ejemplos de sistemas de colas
Situación Llegadas Cola Mecanismo de
Servicio
Aeropuerto Aviones Aviones en
carreteo
Pista
Aeropuerto Pasajeros Sala de espera Avión
Depto de
bomberos
Alarmas de
incendio
Incendios Depto. De
Bomberos.
Compañía
telefónica
Números
marcados
Llamadas Conmutador
Lavado de carros Autos Autos sucios Mecanismo de
lavado
La corte Casos Casos atrasados Juez
Panadería Clientes Clientes con
números
Vendedor
Carga de
camiones
Camiones Camiones en
espera
Muelle de carga
Oficina de correos Cartas Buzón Empleados por
correos
Crucero Autos Autos en línea Crucero
Fábrica Subensamble Inventario en
proceso
Estación de
trabajo.
Cartas de negocios Notas de dictado Cartas para
mecanografiar
Secretaria
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Reproducción Pedidos Trabajos Copiadoras
Hospital Pacientes Personas
enfermas
Hospital
Permitiendo que varíen el número de colas y el número de servidores, pueden
hacerse los diagramas de los cuatro tipos de sistemas de la siguiente figura. Cada
línea de espera individual y cada servidor individual se muestra por separado.
El primer sistema que se muestra en la figura, se llama un sistema de un servidor y
una cola o puede describir un lavado de carros automático o un muelle de descarga
de un solo lugar. El segundo, una línea con múltiples servidores, es típico de una
peluquería o una panadería en donde los clientes toman un número al entrar y se les
sirve cuando llega el turno. El tercer sistema, aquél en que cada servidor tiene una
línea de separada, es característico de los bancos y las tiendas de autoservicio. El
cuarto sistema, es una línea con servidores en serie, puede describir una fábrica.
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5.2 Terminología y notación
Este modelo puede aplicarse a personas esperando en una cola para comprar boletos
para el cine, a mecánicos que esperan obtener herramientas de un expendio o a
trabajos de computadora que esperan tiempo de procesador.
Llegadas.
Consiste en la entrada al sistema que se supone es aleatoria. No tienen horario,
es impredecible en que momento llegarán. El modelo también supone que las
llegadas vienen de una población infinita y llegan una a la vez.
Cola.
En este modelo se considera que el tamaño de la cola es infinito. La disciplina de la
cola es primero en llegar, primero en ser servido sin prioridades especiales. También
se supone que las llegadas no pueden cambiar lugares en la línea (cola) o dejar la
cola antes de ser servidas.
Instalación de Servicio.
Se supone que un solo servidor proporciona el servicio que varía aleatoriamente.
Salidas.
No se permite que las unidades que salgan entren inmediatamente al servicio.
Características de operación .
Un servidor y una cola.
Llegada Poisson.
Cola infinita, primero en llegar primero en ser servido.
Tiempos de servicio exponenciales.
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Cola :
Longitud promedio de la línea :
Tiempo de espera promedio :
Sistema:
Longitud promedio de la línea :
Tiempo de espera promedio :
Utilización de la instalación :
Probabilidad de que la línea exceda a n :
A = tasa promedio de llegada.
S = tasa promedio de servicio.
5.3 Proceso de nacimiento y muerte
Modelo de un servidor y una cola.
Ejemplo : (Un supermercado )
Supóngase un supermercado grande con muchas cajas de salida, en donde los
clientes llegan para que les marquen su cuenta con una tasa de 90 por hora y que hay
10 cajas en operación. Si hay poco intercambio entre las líneas, puede tratarse este
problema como 10 sistemas separados de una sola línea, cada uno con una llegada
de 9 clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12 por hora :
Dados A = 9 clientes por hora
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S = 12 clientes por hora
Entonces :
= 2.25 Clientes
= 0.25 horas o 15 minutos.
= 3 clientes.
= 0.33 horas o 20 minutos.
= 0.75 o 75%
0.32
Entonces, para este ejemplo, el cliente promedio espera 15 minutos antes de ser
servido. En promedio, hay un poco más de dos clientes en la línea o tres en el
sistema. El proceso completo lleva un promedio de 20 minutos. La caja está ocupada
el 75 % del tiempo. Y finalmente, el 32 % del tiempo habrá cuatro personas o más en
el sistema ( o tres o más esperando en la cola).
Evaluación del sistema cuando se conoce el costo de espera.
Los costos de servicio influyen en el método para encontrar el sistema de menor
costo. Si el costo de servicio es una función lineal de la tasa de servicio, puede
encontrarse una solución general para la tasa óptima.
Para aplicar una solución general, se necesita una tasa de servicio que pueda variar
de manera continua.
Cuando los costos de servicio cambian en forma escalonada, se usa la técnica de
prueba y error para encontrar el sistema de menor costo. Se calcula el costo total para
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una tasa de servicio, después para la siguiente y así sucesivamente. Esto continúa
hasta que se encuentra un límite inferior o un mínimo tal, que el aumentar o el
disminuir las tasas de servicio da costos totales más altos.
Ejemplo:
Se esta estudiando un muelle de carga y descarga de camiones para aprender cómo
debe formarse una brigada. El muelle tiene espacio sólo para un camión, así es un
sistema de un servidor. Pero el tiempo de carga o descarga puede reducirse
aumentando el tamaño de la brigada.
Supóngase que puede aplicarse el modelo de un servidor y una cola ( llegadas
Poisson, tiempos de servicio exponenciales) y que la tasa promedio de servicio es un
camión por hora para un cargador. Los cargadores adicionales aumentan la tasa de
servicio proporcionalmente. Además, supóngase que los camiones llegan con una
tasa de dos por hora en promedio y que el costo de espera es de $ 20 por hora por un
camión. Si se le paga $ 5 por hora a cada miembro de la brigada, ¿Cuál es el mejor
tamaño de esta?
Datos :
A = 2 camiones por hora.
S = 1 camión por persona.
Cw = costo de espera = $20 por hora por camión.
CS = costo de servicio = $ 5 por hora por persona.
Ahora sea k = número de personas en la brigada. Se busca k tal que la suma de los
costos de espera y servicio se minimicen :
Costo total = Cw LS + k CS
Las pruebas deben de empezar con tres miembros de la brigada, ya que uno o dos
no podrían compensar la tasa de llegadas de dos camiones por hora. Para una
brigada de tres, la tasa de servicio es de tres camiones por hora y puede encontrarse
Ls con la siguiente ecuación :
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De la misma manera, para una brigada de cuatro :
El costo es menor, por tanto se sigue adelante.
Para una brigada de cinco :
Este todavía es menor :
Como este costo es mayor que el de la brigada de cinco, se rebasó el límite inferior
de la curva de costo; el tamaño óptimo de la brigada es cinco personas.
Evaluación del sistema con costos de espera desconocidos .
En lugar de estimar el costo de espera, el administrador puede especificar un
promedio mínimo de tiempo de espera o de longitud de línea . Esto establece un
límite superior para Wq , el tiempo de espera en la cola
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( o para Lq, la longitud de línea en la cola). Con este límite superior puede encontrarse
la tasa de servicio necesaria para cualquiera tasa de llegadas dadas.
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Ejemplo :
Considérese un restaurante de comida rápida con un menú limitado. El restaurante
se está diseñando para que todos los clientes se unan a una sola línea para ser
servidos. Una persona tomará la orden y la servirá. Con sus limitaciones, la tasa de
servicio puede aumentarse agregando más personal para preparar la comida y servir
las ordenes.
Esto constituye un sistema de un servidor y una cola. Si las llegadas y salidas son
aleatorias, puede aplicarse el modelo de una cola. Supóngase que la administración
quiere que el cliente promedio no espere más de dos minutos antes de que se tome
su orden . Esto se expresa como :
Wq = 2 minutos
Supóngase también que la tasa máxima de llegadas es de 30 órdenes por hora.
Rearreglando términos,
Como la tasa de servicio debe ser mayor que la tasa de llegadas, puede descartarse
la solución negativa. Entonces:
Para este ejemplo, se supuso :
A = 30 ordenes por hora.
Wq = 2 minutos o 0.033 horas
Entonces :
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= 15 + 33.5 = 48.5 órdenes por hora.
Para cumplir los requerimientos, se necesita una tasa de casi 50 órdenes por hora.
Si, por ejemplo, una brigada de cinco pueden manejar 45 órdenes por hora y una de
seis puede procesar 50 por hora, entonces sería necesario tener la brigada de seis.
5.4 Modelos Poisson
5.4.1 Un servidor
Modelo de un servidor con tiempos de servicio constantes.
Este modelo es igual que el anterior, excepto que se supone que el tiempo de
servicio es exactamente el mismo en cada llegada en lugar de ser aleatorio. Todavía
se tiene una sola línea, tamaño de la cola infinito, disciplina de la cola como primero
en llegar primero en ser servido y llegadas Poisson.
Las aplicaciones típicas de este modelo pueden incluir un autolavado automático,
una estación de trabajo en una pequeña fábrica o una estación de diagnóstico de
mantenimiento preventivo. En general, el servicio lo proporciona una máquina.
Las características de operación están dadas por 4 :
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En donde A = tasa promedio de llegadas (llegadas por unidad de tiempo) y S =
tasa constante de servicio (llegadas por unidad de tiempo).
Ejemplo:
Supóngase un lavado automático de autos con una línea de remolque, de manera
que los autos se mueven a través de la instalación de lavado como en una línea de
ensamble. Una instalación de este tipo tiene dos tiempos de servicio diferentes: el
tiempo entre autos y el tiempo para completar un auto. Desde el punto de vista de
teoría de colas, el tiempo entre autos establece el tiempo de servicio del sistema. Un
auto cada cinco minutos da una tasa de 12 autos por hora. Sin embargo, el tiempo
para procesar un auto es el tiempo que se debe esperar para entregar un auto limpio.
La teoría de colas no considera este tiempo.
Supóngase que el lavado de autos puede aceptar un auto cada cinco minutos y que
la tasa promedio de llegadas es de nueve autos por hora (con distribución Poisson).
Sustituyendo:
5.4.2 Múltiples servidores.
Modelo con servidores múltiples.
Supóngase que las llegadas son Poisson, los tiempos de servicio son
exponenciales, hay una sola línea, varios servidores y una cola infinita que opera con
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la disciplina de primero en llegar primero en ser servido. Las ecuaciones para las
características de operación se vuelven un poco más complicadas. Sea :
N = número de servidores.
A = tasa promedio de llegadas (llegadas por unidad de tiempo).
S = tasa promedio de servicio por cada servidor (llegadas por unidad de tiempo).
Entonces :
La cantidad P0 es la probabilidad de que no haya llegadas en una unidad de tiempo,
lo cual no lo hace más fácil de calcular. Para dos o tres servidores pueden
combinarse y simplificar las dos ecuaciones para obtener, para N=2
Nótese que para N = 1 este modelo se reduce al modelo de un servidor.
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Ejemplo:
Considérese la biblioteca de una universidad cuyo personal está tratando de
decidir cuántas copiadoras debe de instalar para uso de los estudiantes. Se ha
escogido un equipo particular que puede hacer hasta 10 copias por minuto. No se
sabe cuál es el costo de espera para un estudiante, pero se piensa que no deben
tener que esperar más de dos minutos en promedio. Si el número promedio de copias
que se hacen por usuario es cinco, ¿ cuántas copiadoras se deben instalar ?.
Se usa prueba y error para resolver este tipo de problemas, no se encuentra una
solución general como se hizo para el modelo de un servidor. Se tratará primero con
dos copiadoras, después con tres, y así hasta que se satisfaga el criterio del tiempo
de espera.
¿Cuál es la tasa de servicio? Si el número promedio de copias es cinco y la
copiadora puede hacer hasta 10 copias por minuto, entonces pueden servirse en
promedio hasta dos estudiantes por minuto. Pero, en esto no se toma en cuenta el
tiempo para insertar la moneda, cambiar originales, para que un estudiante desocupe
y otro comience a copiar. Supóngase que se permite un 70 % del tiempo para estas
actividades. Entonces la tasa de servicio neta baja a 0.6 estudiantes por minuto.
Además se supone que los periodos pico de copiado tienen una tasa de llegada de 60
estudiantes por hora, o 1 por minuto.
Se comenzará con dos copiadoras, ya que una no sería suficiente.
A = 1 por minuto.
S = 0.6 por minuto.
N = 2
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Esto excede el criterio del máximo de 2 minutos de espera para el estudiante
promedio. Se tratarán tres copiadoras.
Se necesitan tres copiadoras. La utilización de cada una será :
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5.5 Análisis de costos
Sistema de costo mínimo.
Aquí hay que tomar en cuenta que para tasas bajas de servicio, se experimenta
largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el servicio disminuyen
los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio y el costo total disminuye, sin
embargo, finalmente se llega a un punto de disminución en el rendimiento. Entonces
el propósito es encontrar el balance adecuado para que el costo total sea el mínimo.
